Introducción - Colombia Aprende · Polinomios. 3x3x5 5 + 4xy+ 4xy33zz44-5x-5x22yy 5a2 b + 3ab - 5b...

1

Introducción

COMUNICA INFORMACIÓN POR MEDIO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Construcción de expresiones algebraicas que representan medidas de figuras geométricas

Figura 1.Los niños, el viejo y las estrellas

Observa la animación

Identificar las relaciones inmersas entre cada uno de los elementos de una expresión algebraica, sus clases y representaciones.Interpretar y construir situaciones problema que requieren sumar y/o restar expresiones algebraicas.Interpretar y construir situaciones problema que requieren multiplicar y/o dividir expresiones algebraicas.Modelar situaciones de medición de áreas y perímetros, haciendo uso de expresiones algebraicas.Modelar situaciones de medición de volúmenes de cuerpos geométricos, haciendo uso de expresiones algebraicas.

Objetivos de aprendizajeReconocer una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas al expresar medidas de figuras geométricas.

2

El origen del álgebra hay que buscarlo en Babilonia y en Egipto hace unos 4000 años. Cabe señalar, que en el siglo XVI a.c. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental con la finalidad de poder resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Para ello, disponían de un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el método de la falsa posición. Destaca el papiro de Rhind, en el que había una serie de problemas planteados en cuya resolución se comenzaron a utilizar las primeras estrategias algebraicas. Cabe señalar que al número desconocido que se quería obtener le llamaban “montón”.

Expresiones algebraicasEn la vida cotidiana puedes encontrarte con expresiones como:

a) Un número cualquierab) El doble de un número c) La mitad de una cantidadd) Ya tengo el triple de la edad de mi hijo

Como ves, aunque todas se refieren a un número, ninguna lo presenta, entonces, ¿cómo podrías representar una cantidad que desconoces?

Un número cualquiera, que no conozco, lo puedo expresar con una letra cualquiera, por ejemplo M. Si eso es así, aplícalo a la siguiente situación:

Actividad 1Variables y constantes de una expresión algebraica

El álgebra en las civilizaciones antiguas1. Orígenes del Álgebra

Uno de los problemas más representativos y famosos de dicho papiro es el número 24, que establece lo siguiente: “Calcula el valor del montón, si el montón y un séptimo del montón es igual a 19” Otro matemático ilustre fue Muhammad ibn-Mu-sa Al-Jwarizmi, que vivió aproximadamente entre los años 780 y 850 y fue miembro de la Casa de la Sabiduría. A éste matemático, debemos el término álgebra, que proviene del título del libro “Al-jabr w´al-muqabalah”, que significa ciencia de la trasposición y de la simplificación.

3

¿Cómo calculas la mitad de 10? _______________________________________________

¿Cómo calculas el triple de 10? _______________________________________________

¿Cómo calculas el doble de 10? ________________________________________________

Pero si no sabemos que el número es el 10, y por ello lo reemplazamos por una letra, por ejemplo la M, ¿cómo expresarías las operaciones anteriores?

¿Cómo calculas la mitad de M? _______________________________________________

¿Cómo calculas el triple de M? _______________________________________________

¿Cómo calculas el doble de M? _______________________________________________

4

Figura 2. Jóvenes pensantes

Si la edad de mi hijo es X años, y

yo tengo el tripe de su edad,

entonces yo tengo 3 X años.La mitad de ese mismo

número es igual a X/2

Un número cualquiera

puede ser X

El doble de ese

número es igual a 2 X

o a X+X

.

Las expresiones que acabamos de formar son expresiones algebraicas, es decir, que están escritas en lenguaje algebraicoSi otros ejemplos de esas expresiones son: 4P; 5L/2; Z/3, completa la siguiente oración:

Podemos afirmar que las expresiones algebraicas están formadas por _________________ y

__________________, que están relacionados por operaciones, donde las letras representan

___________________ desconocidos.

Ejercicio 1

Pasa las siguientes expresiones a un lenguaje algebraico. Para ello escribe en los recuadros la expresión en términos algebraicos

Entonces, si reemplazamos el número por una letra, por ejemplo x podríamos decir:

Lenguaje común lenguaje algebraico

Un número cualquiera

Un número aumentado en 7

El triple de un número disminuido en 3

La suma de dos números consecutivos

5

Figura 3.La expresión algebraica y sus partes

Podemos establecer las siguiente definición:

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras (variables) que se relacionan con los signos de las operaciones aritméticas, donde las letras respresentan cantidades desconocidas.

En una expresión algebraica las letras también se denominan variables, ya que al ser cantidades desconocidos pueden tomar cualquier valor. Por el contrario aquello valores que son conocidos dentro de la expresión, se llaman constantes, ya que son valores dados, así,: en las expresiones

El doble de un número Tengo el triple de la edad de mi hijo

X2 + 3 y-2.

Con base en lo anterior resuelve el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.En la siguiente expresión algebraica identifica cuáles son las constantes, cuáles las variables y cuáles son los signos de las operaciones aritméticas que se encuentra en la expresión algebraica. Escribe tus respuestas dentro de los recuadros de la imagen teniendo en cuenta lo que señalan las flechas en la misma.

constante,representada

por 2

Variables,representada por cualquier letras

constante,representada

por 3

Variable y se puede representar cualquier

letra

6

Tabla 1. Las expresiones algebraicas y sus partes

Actividad 2Clasificación y grado de los polinomios algebraicosLos polinomios algebraicos se clasifican en las siguientes categorías, así:

1. Monomio

Ejercicio 3.

En las expresiones algebraicas que se presentan en la siguiente tabla, identifica las variables, las constantes, y las operaciones que hay en las expresiones. Escríbelas en los espacios vacíos de la tabla.

a) ¿Qué características tienen las letras que se presentan en una expresión algebraica?

1.__________________________________________________________________________________________________

2.__________________________________________________________________________________________________

b) De acuerdo a sus características dichas letras reciben el nombre de ______________________________

c) Aquellas magnitudes que representan cantidades conocidas se denominan cómo: ____________________________________________________________________________________________________

Expresión algebraica Variables Constantes Operaciones que hay en la expresión

-3ab2+4x3 yab-4c+a4 b2

3xy-5y+2+3xy2x-2ab3+4cd+3ac

3abcxyz

Ahora responde las siguientes preguntas:

Figura 4.El estudiante

7

Ejercicio 1

A) Expresa algebraicamente las siguientes situaciones, e identifica en cada expresión cuál es la constante y cuál es la variable

a) Juan te regala el triple de canicas que tenías ayer.b) En una apuesta ganaste el cuádruple del dinero que apostaste.c) Si el lado de un cuadrado mide X ¿Cuánto mide el área de dicho cuadrado?d) Si el lado de un cubo es 2X ¿Cuál será el volumen del cubo?e) He perdido la mitad de lo que tenía.

Socializa tu respuesta en el espacio que brinda el docente, y aclara las dudas que se presenten.B) Con base en las expresiones que resultaron del ejercicio anterior contesta:

a) En general ¿qué elementos vez en las anteriores expresiones?

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Hay sumas o restas entre los elementos que componen cada una de las expresiones?

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

c) ¿Qué operación hay entre los números y las letras de cada expresión?

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

d) Si a las anteriores expresiones las llamamos Monomios, con base en tus respuestas anteriores y en tus palabras, da una definición de monomio.

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

a) __________________________________________________b) __________________________________________________c) __________________________________________________d) __________________________________________________ e) __________________________________________________

RecuerdaÁrea del cuadrado L• L= L2Volumen del cubo L•L•L=L3

!

8

Una definición de monomio es:

Es una expresión algebraica que representa el producto de un número por una o varias variables, elevadas a distintos exponentes.

Para una mejor comprensión de los elementos del monomio, veamos los siguientes ejemplos:

Partes del monomio: Del monomio - 4x5y2z9, identifica cada una de las partes del mismo. Para ello escribe cada una de las partes dentro del siguiente cuadro, en la fila que corresponda.

Ejemplos:

Ejercicio 2:

4x5y2z94x5y2z9

x2yx2y

-9d-9dk2ak2a44

Figura 5.Monomios

Partes del monomio Monomio - 4x5y2z9

SignoCoeficiente numéricoParte literalexponentes

-9d4x5y2z9

xy2

Coeficiente

Signo Parte literal Parte literal

Exponente = 1 Exponente

Coeficiente = 1Coeficiente

9

Como viste en el ejemplo anterior, se identificó un exponente y un coeficiente iguales a 1. Para entender de dónde salen esos valores, responde las siguientes preguntas (Para responder ten en cuenta las propiedades de la potenciación):

Ejercicio 3

a) El área de un cuadro cuyo lado mide X, es igual a X•X o X2

¿Por qué el resultado es X2 ? Ahora, si a4 es = a•a•a•a = a3•a = a2•a2; y d1 = d, entonces

¿A qué es igual b3? ______ o _______

Saca tus propias conclusiones.

b) Ahora analicemos el coeficiente:• ¿Cuántas A, hay en la expresión 2A? ________• ¿Cuántas A, hay en la expresión A? _________• Entonces, ¿cuánto suma 2A+ A? ____________• Según lo anterior, ¿cuál es el coeficiente de cada uno de los términos de la suma anterior? _______ y ______

Entonces concluimos que si la letra no tiene exponente o coeficiente, es porque ambos valores son iguales a 1.

Grado de un monomio:El grado de un monomio puede ser de dos tipos, así:

• Grado Relativo: Corresponde al exponente de cada variable

Ejemplo

• Grado absoluto: Corresponde a la suma de los exponentes de todas las variables del monomio

Ejemplo

4x5y2z9

4x5y2z9

-9d

x2y

El grado relativo respecto a x, y, y zes: x=5, y=2, z=9

El grado absoluto del monomio: 165+2+9=16

Grado relativo de: d=1

Grado absoluto del monomio= 3:2+1=3

10

2. Polinomios

.

3x5 + 4xy3z4-5x2y3x5 + 4xy3z4-5x2y

5a2 b + 3ab - 5b +85a2 b + 3ab - 5b +8

Figura 6. El maestro y los estudiantes

Figura 7. Los polinomios

Se puede definir como: Expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios, los cuales reciben el nombre de términos algebraicos.

Parte del polinomio:Están conformados por términos algebraicos, los cuales están separados por el signo más (+) o el signo menos (-)

Ejemplo:

Ejemplos:

Su clasificación depende del número de términos que tenga, ejemplo: 5a2b+3ab= binomio3x5 + 4xy3z4 - 5x5y= Trinomio

Lo que significa que en este caso tenemos un polinomio de dos términos, y un polinomio de tres términos.

Para la clasificación de los polinomios utilizamos los sufijos mono = un término, bi = 2 términos, tri = tres términos, y terminamos con la palabra nomio. Cuando hay más de tres términos se le llama polinomio, simplemente.

Grado de un polinomioEste puede ser de dos clases: Grado relativo con relación a una variable y Grado absoluto del polinomio

3x5+ 4xy3z4-5x2y{{{Tres términos

11

Tabla 2. Clasificación de polinomios

Grado relativo o con relación a una variable: corresponde al grado de cada variable, y su valor es el mayor exponente que tenga la variable en el polinomio.

Grado absoluto del polinomio: corresponde al mayor exponente que tenga el polinomio.

Ahora resuelve el siguiente ejercicio:

Ejercicio 4

Completa la siguiente tabla, escribiendo los datos que se solicitan en cada columna de la tabla. En la columna titulada Términos escribe cuántos términos tiene el polinomio.

3x5+ 4xy3z4-5x2y

3x5+ 4xy3z4-5x2y

El grado relativo de X,Y y Z es: X=5, Y=3 y Z=4

Grados de polinomio es 5

Ejemplo:

Ejemplo:

Expresión algebraica

Clase de polinomio

Grado absoluto del polinomio

Grado relativo del polinomio Términos

3x2 + 5xy3

2abc2d5

5x4+ y3 + 4a5 -2a2y2

3 + a5x2 - 7ax3 + 4x2

2a5

3a3-2c3 + 4abc

Actividad 3Valor numérico de un polinomioPara entender de donde sale el valor numérico de un polinomio, resuelve los siguientes ejercicios:Ejercicio 1.

Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas, si los valores de las variables son:

a=-2 b=3 x=-1 y=2

12

Expresiones

a) 3a – 2b

b) -2x + 4a + 3y

c) 2a – 4ab + 5xy

Valor de la expresión:



Realiza aquí tus cálculos

13


Del ejercicio anterior podemos concluir que: el valor numérico de un polinomio se obtiene al realizar las operaciones que indica el polinomio, una vez se reemplazan las variables o letras por un valor numérico asignado.

Ejercicio 2

Teniendo en cuenta el valor numérico de las variables y los signos de agrupación, determina cuál es el valor de los siguientes polinomios, si el valor de cada variable es:

a= -2; b= - ; x= -1; z = 1) 2a2 x3-[3az-(5xz-3x3)+2bx2 ] = _________________________2) 2a2 x3-3az-[-5xz-(3x3 +2bx2)] = _________________________

Observa que los polinomios tienen los mismos términos, pero los signos de agrupación están ubicados en diferentes posiciones, ¿el resultado será igual? Escribe tus conclusiones en el Material del estudiante.

34

23

14

Ejercicio 3.Halla el área sombreada de las siguientes dos figuras, si a= 6, b=2,54 c = Para la figura A, primero define: ¿Cuál es el área de uno de los cuadrados pequeños de la figura? ____________¿Cuánto suma el área de los cuatro cuadrados pequeños? _____________Con base en la pregunta anterior ¿cuánto suma el área de los cuatro cuadrados pequeños?_________________________________________________________________________________________________________¿Cuál es el área del rectángulo mayor? ____________¿Qué área da la resta de las áreas? ________________El área resultante de la pregunta anterior ¿a qué corresponde? ________________

Para la figura B, determina ¿Cuál es el área total del rectángulo? ______________¿Cuál es el área del triángulo en blanco? _____________Ahora con las medidas anteriores, determina, ¿cuál es el área de la parte sombreada? ____________

32

(b•h)2A) Área del rectángulo= b. h B) Área del triángulo=

C

C

a + b

C

C

C

CC a

b + c

a + b + c

Figura 9. Rectángulo y cuadrados esquinados Figura 8. Rectángulo y triangulo


15

La producción del juguete 1

se triplicó

Entonces la producción total

de la empresa fue 500

Pero la producción del

juguete 2 se redujo a la mitad

Figura 10. Empresarios

Actividad 4Identificación de las variables que se presentan en una expresión algebraicaEl álgebra ha sido de gran ayuda para generalizar situaciones en cualquier ámbito o ciencia, contrario a la aritmética que habla de casos específicos. Con el uso de las expresiones algebraicas podemos pasar de un lenguaje común a un lenguaje algebraico. Teniendo en cuenta la animación de la introducción resuelve los siguientes ejercicios: Ejercicio 1.

Como te habrás dado cuenta, las variables de las expresiones algebraicas representan un algo. En el ejercicio anterior representaban un número. Miremos otro ejemplo. Lee la siguiente conversación:

Entonces la expresión algebraica con la que podríamos representar lo dicho en el dialogo podría ser: 3X + Y = 500 o 3X + = 500, donde las variables son X y Y.

Y, en este caso X, representa la producción del juguete uno, y Y representa la producción del juguete dos.

Ten en cuenta lo siguiente:

La expresión algebraica del ejemplo pudo ser también, por ejemplo: 3L + (½) A = 500, dependiendo de las variables que hayan elegido, que bien pudieron ser letras o símbolos. También ten en cuenta que las dos variables elegidas se colocaron en este orden, por la forma como se presenta el dialogo entre las personas, pero también se pudieron organizar así: Y + 3X = 500

12

12

y2

16

Ahora haz tú lo mismo con las siguientes oraciones:

Escribe la expresión algebraica que representa cada oración, y define cuales son las variables de dicha expresión, e indica qué representan las variables inmersas en ellas, según el contexto de la frase:

• El perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2XY3.Expresión algebraica ___________________________________________________________ variables_________________ y representan________________________________________.

• Compré 3 jeans y 7 camisetas por un valor de $230.000Expresión algebraica ____________________________________________________________variables_________________ y representan________________________________________.

• Se fabricaron 14 portátiles cuyo costo fue de $7000000.Expresión algebraica_____________________________variables_________________ y representan________________________________________.

• Se fabricaron 20 portátiles cuyo costo fue de $7000000Expresión algebraica_____________________________variables_________________ y representan________________________________________.

Actividad 5Suma y resta de expresiones algebraicas Operaciones con términos semejantesAl igual que en la aritmética, las expresiones algebraicas por números reales, también se pueden sumar y restar. Para aprender cómo, resuelve lo siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

¿Qué tienen en común los siguientes términos?

a) a2b3, 3 a2b3, -5 a2b3, - a2b3

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

17

Expresión algebraica: __________________________________________________________

d) Tu hermano debe recortar la letra a de revistas o periódicos para llevarla como tarea de la escuela, y tu madre, tu padre y tú, deciden ayudarle. Cada uno recorta la siguiente cantidad:

La mamá recorta 5a, el padre recorta 8a, el niño 3a, y tú recortas 6a, entonces:

• Expresa el total recortado como una suma: ____________________________________________

• La suma total sería:_______________________

• Si en un descuido el perro de la casa se come 7a, ¿cuántas a quedan?: __________________

c) Observa la siguiente figura y sus medidas, y determina cuál sería la expresión algebraica que representaría el perímetro de esta (exprésala como una suma).

b) Con base en respuesta de la pregunta a, ¿podemos decir que los siguientes términos son semejantes? ¿Por qué?

• L4P2; 2L4P3; -3L3P4

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

• km2; 2kt2; 4rm2

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

ab

2ab

Figura 11.Rectángulo

18

Al resolver la anterior actividad habrás concluido que los términos tenían en común la parte literal con sus respectivos exponentes, sin importar que coeficiente numérico tienen. A estos términos los llamamos términos semejantes, de los cuales podemos dar la siguiente definición: Son aquellos términos que presentan igual parte literal (la cual también es un número) e igual exponente, y por serlo se pueden sumar o restar, para lo cual se mantiene tanto la parte literal como el exponente, y se suman o restan los coeficientes de los términos.Ejercicio 2: Suma de términos semejantes

a) Expresa en forma algebraica el perímetro de la figura ____________________

Si X= 2 y Y=3 ¿cuál es el valor del perímetro? _____________________________

x

y

y

2x

Figura 12. Figura geométrica


19

b) Expresa en forma algebraica el perímetro de la siguiente figura, y después calcúlalo, si: x = 2 y a = 3

5x-2a5x-2a

3x+a

3x+a

x+2a

Figura 13. Imagen geométrica 2


20

Ejercicio 3. Resta de términos semejantes

Si el área del triángulo es 9x2y4 y el área del rectángulo es 16x2y4, ¿cuál es el área de la región sombreada de azul?

A=9x2y4

Figura 14.Rectángulo y triángulo


21

4x3 - 3a2b

7x3 + 9a2b

RESTAURANTE

A B

Figura 15. El restaurante y dos ciudades


Ten en cuenta para restar, que:

Si fueras a restar dos números enteros, tales como: 3-(+4) el resultado sería:

3-(+4) = 3 – 4 = -1 y 6 -(-5) = 6+5 = 11. Como vez, en los dos casos al sustraendo se le cambia el signo al multiplicar el signo de la operación con el signo del sustraendo. Lo mismo pasa con los polinomios, por ejemplos, si tienes:

(4x+y) – (2x-y) este sería igual a 4x+y-2x+y. El menos de la operación implica cambiar todos los signos del polinomio que hace de sustraendo, y luego realizar las operaciones teniendo en cuenta los términos semejantes.

b) Un restaurante está ubicado a una de distancia de 7x3+9a2b de una ciudad B, y a una distancia de 4x3-3a2b de una ciudad A. Si dichas ciudades están situadas sobre una misma línea recta, una después de la otra, tal y como se muestra en la siguiente imagen, ¿cuál es la distancia entre ambas ciudades?

Distancia:

22

Actividad 6Propiedades de la potenciación aplicadas en las operaciones con monomios y polinomiosPropiedades de la potenciación en la multiplicación Propiedad: producto de potencias de bases iguales

Para una mejor compresión de este tema analiza lo siguiente:2•2 =22= 4, igualmente= 2•2•2•2 = 23•2 = 22•22 = 16. Si cambiamos el 2 por a, tendremos: a•a = a2 y = a•a•a•a = a3 •a = a2•a2 = a4. Ahora responde:

• ¿Qué se hizo con la base en el resultado final?

____________________________________________________________________________________________________

•¿Qué operación se realizó con los exponentes?

____________________________________________________________________________________________________

• Multiplicación entre monomios

Ejercicio 1

a) Observa la figura y completa la frase que hay debajo de esta.

Si para calcular el área del cuadrado elevamos la medida de su lado al cuadrado, en la figura esto es equivalente a multiplicar____ por ____ = ______

b) Observa la figura, completa la oración y responde la pregunta: • Si la fórmula para calcular el volumen de un cubo es lado • lado • lado, en la figura esto equivale a multiplicar: _____ por ____ por _____= ______

a

a

x

xx

Figura 16. Cuadrado

Figura 17. Cubo

• En los dos casos anteriores, ¿qué se hizo con la variable y con los exponentes?

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

23

Ejercicio 2Calcula el área de una cancha de baloncesto que presenta las siguientes dimensiones:

De lo anterior podemos concluir que en la multiplicación de potencias de bases iguales, se coloca la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo: a2b4 • (3a3b6) = 3a5b10

Como acabas de ver en el producto de monomios utilizamos la propiedad de los productos de bases iguales, y se multiplicaron los coeficientes.

De la misma manera puedes realizar el producto de un monomio por un polinomio. • Multiplicación de un monomio por un polinomioAquí la propiedad funciona de la misma forma que entre monomios. Resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Para multiplicar: 3x4y2 • (2x5y3-2x3y6+4x), reúnete con 3 compañeros y aporta ideas de como realizar este ejercicio, teniendo en cuenta la multiplicación de monomios que acabas de ver en el anterior ejercicio, y partiendo de la definición de polinomio.

1._______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

2._______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

3._______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

5 ap2 + 4p-5

2

4ap2

Figura 18. Cancha de baloncesto

Área:

24



• Muliplicación de un polinomio por un polinomioSe realiza el mismo proceso de un monomio por un polinomio. Resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1 Multiplica (2x2+3xy) • (4x+3xy)

Respuesta:

25


Ejercicio 2

Calcula el área de un jardín que tiene la forma de un cuadrado y sus medidas son:

Propiedades de la potenciación en la divisiónPropiedad: cociente de bases iguales

• División monomio entre monomioAhora resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1. Observa el comparativo de cómo se resuelven multiplicaciones y divisiones de monomios que cuentan con la misma base, y completa la ultima fila de la columna Cociente de bases iguales

4x2+2

Figura 19. Cuadrado 2

Área:

Producto de bases iguales Cociente de bases igualesa5•a3=a5+3 =a8 a5÷a3=a5-3 = a2

Z7 •Z4•Z2=Z7+4+2 =Z13 Z7 ÷Z4÷ Z2=Z7-4-2 =Z1=ZSe coloca la misma base y se suman los exponentes

26

Veamos un ejemplo:

Si un terreno rectangular tiene un área de 64x2y6z8, y un ancho expresado por 4xy3z , ¿la expresión algebraica que representa el largo del terreno es?:

Como puedes ver, si en el producto de bases iguales se suman los exponentes y se deja la misma base, en la división de bases iguales se restan los exponentes y se colocan las mismas bases.Esta propiedad es de gran ayuda para la división en el álgebra, y también se puede aplicar en la división de un polinomio por un monomio, como veremos a continuación.

Con la información anterior responde las siguientes preguntas:

a) Si la anterior representación contiene tres divisiones entre monomios, define cuál es la expresión algebraica final

_______________________________________________________________________________________________________

Si la expresión algebraica que representa el ancho del rectángulo K es igual a:

Ancho del terreno 8xy3z2

Largo del terreno = 8xy3z6Área del terreno 64x2y6z8

9x2y3A=27x4y7A=81x5y6A=18x4y10

a b c

Figura 20. Terreno parcelado

Figura 21.Terreno parcelado 2

64x2 y6 z8 8xy3z2

18x4 y10 9x2 y3

81x5 y6 27x4 y718x4 y10+81x5 y6+27x4 y7 9x2 y3

= 8x2-1 y6-3 z8-2 = 8xy3 z6

largo del terreno.

que equivale a:

• División de polinomio entre un monomioEjercicio 1

En la siguiente figura se presenta un rectángulo K, el cual contiene otros tres rectángulos (a, b y c) y sus medidas, tal y como se observa en la imagen

+ +9x2 y3 9x2 y3


27

Escribe aquí los términos correspondientes, realiza la división y después escribe el resultado al lugar adecuado.


• División entre polinomios

Con la ayuda del docente, y como si estuvieras dividiendo números enteros, realiza el siguiente ejercicio:Dividir (X4 – 12X + 11X2 + 6) entre (x2 – 3x + 3). Para la solución vamos realizando cada uno de los pasos:

Primer paso:Organiza cada uno de los polinomios, por ejemplo en forma descendente, tomando como referencia la variable. Ten en cuenta que para los términos que falten se debe dejar un espacio o colocar el término con el exponente correspondiente, pero con coeficiente cero.

Segundo paso:Divide el térrmino con mayor exponente del dividendo por el término de mayor exponente del divisor, y dicho resultado llevalo como el primer término del cociente. Recuerda que para ello dividimos los coeficiente y restamos los exponentes.

Tercer paso:El cociente de la división anterior multiplícalo por cada uno los monomios del divisor, y al resultado de dicha división cámbiale el signo y colócalo en el lugar adecuado para sumarlo. Después de terminar la suma, baja el siguiente término del dividendo.

b) ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo a? _________________________c) ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo b? _________________________d) ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo c? _________________________

=

= = =

28

Cuarto paso:Repite los pasos 2 y 3, hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.


=

Escribe aquí los términos a multiplicar, multiplica y después escribe los resultados en el lugar adecuado.

= = =

29


=

Escribe aquí los términos a multiplicar, multiplica y después escribe los resultados en el lugar adecuado.

= = =

30

En este momento, el exponente o grado del residuo debe ser menor que el exponente o grado del divisor, en cuyo caso has terminado la división. Ahora simplemente coloca los valores del cociente y del residuo en los siguientes rectangulos:

Ahora resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1. Encuentra la altura del trapecio si su ancho y área son:

Cociente

Altura:

Área =

Residuo

2x2+8x

4x2+3x

Area = 44x2+24x3

¿?

Figura 22.Trapecio

(base mayor+base menor) h 2


31

Ejercicio 2. Calcula el ancho del paralelogramo, si su área y altura son:

Ancho:

¿?

2n2+nÁrea= 2n5+7n4+7n3-6n2-4n

Figura 23.Paralelogramo


32

Recordemos otras propiedades.

En la siguiente tabla encontrarás una serie de propiedades, para las cuales debes incluir en la tabla la explicación de la propiedad, o la notación de la misma, donde no se encuentre una de las dos. Para este ejercicio haz uso de tus saberes previos sobre las propiedades de la potenciación.

Tabla 3. Algunas propiedades de la potenciación

Figura 24. Piscina

Propiedades Explicación NotaciónPotencia de una potencia (a2)5 = a2•5 = a10

Potencia de un producto Es el producto de las potencias de cada uno de los factores

Potencia de un cociente

Exponente negativo Es una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la misma potencia con exponente positivo

Potencia a la cero a0= 1

,b≠0a b )n =( an

bn

Actividad 7Expresión del área y el perímetro de polígonos por medio de expresiones algebraicas construidas con representaciones geométricas

Resuelve el siguiente ejercicio:Una piscina rectangular tiene un marco alrededor. La distancia entre los lados de la piscina y los lados externos del marco está expresada por X. Además las medidas de ancho y largo del marco son las que se presentan en la imagen.

Largo = 4x+3y

Ancho = 6x+2y

xx

x

x

33

Responde:• ¿Cuál es el perímetro del marco?• ¿Cuál es el perímetro de la piscina?• ¿Cuál es el área cubierta entre la piscina y el marco?• ¿Cuál es la expresión que representa el área de la piscina? • ¿Cuál es la expresión que representa el área del marco?• Si se amplía el ancho del marco, la nueva área entre la piscina y el marco estaría expresada por 32x2+36xy+9y2, entonces: ¿Cuál es el polinomio que representa el nuevo ancho?


34

Actividad 8Identificación del área de polígonos a partir de la descomposición en otros menoresEjercicio:

En esta actividad debes armar el polígono mayor que aparece en color claro, con algunos de los polígonos menores (de color oscuro) para ello necesitarás de unas tijeras y pegante. Debes recortar todas las imágenes que se presentan a continuación, y después armar el polígono mayor con 5 de los polígonos menores. Puedes colocarlos o pegarlos sobre el polígono mayor, de tal forma que las piezas queden ajustadas y no sobren espacios en el polígono mayor. Al armar el polígono mayor no puedes sobreponer un polígono menor sobre otro. Después halla el perímetro y el área de la figura construida, para lo cual debes de tener en cuentas las medidas de los polígonos menores. (Se presenta como anexo la figura y sus partes, para ser recortadas).

Figura 25. Tijeras y figuras geométricas

3x + y

3x + y

3x + y

x + y

x + yx

x + y

x

4x + 2

x

5x + y

3x + y

5x + y

35

Perímetro: Área:


36

Actividad 9Identificación del perímetro de polígonos, expresando cada uno de sus lados compuestos por otros de menor longitud

Ejercicio 1Jorge y Mario recibieron de herencia dos terrenos. Ambos terrenos están parcelados en 30 lotes pequeños de forma cuadrada, y sus medida en cada lado son 2x.

¿Cuál es el área y el perímetro de cada terreno?

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área:

Figura 26.Rectángulo dividido

Figura 26.Rectángulo dividido

2x 2x 2x 2x 2x 2x

2x

2x

2x

2x

2x

Terreno de Jorge

2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x

2x

2x

2x

Terreno de Mario

37


38

Ejercicio 2Halla el área y el perímetro de los dos siguientes polígonos, si se sabe que están subdivididos en cuadrados, cuya medida en cada lado es igual a Y.

Figura 28.Cuadrado dividido Figura 29.Rectángulo dividido 3

Y Y Y Y Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y Y Y Y Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Polígono A Polígono B

Perímetro: Perímetro:

Área: Área:


39

Resuelve los siguientes ejercicios

Ejercicio 1Selecciona cuál de las siguientes figuras puedes armar con los siguientes bloques de tal forma que estos concuerden exactamente con la figura.

Figura seleccionada: ________________Figura 30. Bloques

2x 2x

x

2x 2x

x

2x 2x

x

2x 2x

x

2x

Figura A

Figura BFigura c

2x

x

2x 2x

x

2x 2x

x

2x 2x

x


Actividad 10Composición y descomposición de poliedros a partir de otros de menor volumen

Luego de tu elección responde las siguientes preguntas en los recuadros:a) ¿Cuáles son las medidas de las aristas (lados) del poliedro correcto?b) ¿Qué volumen tiene el poliedro que elegiste?

40

Figura 31. Poliedro

Figura 32. Cubo 2

Ejercicio 2Teniendo en cuenta la imagen, la cual se puede dividir en dos bloques, tal y como se sugiere con la línea punteada, calcula el volumen total de poliedro.

Volumen del poliedro: __________________________

x

x

x

2x4x+1

4x+1

3x+1

V=36x3

4X

4X

4X


En esta actividad debes construir un poliedro cuyo volumen es de V=36X3. Antes de construirlo coloca las medidas que le faltan a cada uno de los bloques en los recuadros de cada bloque, y después arma el poliedro con todos los bloques. Para ello recorta y coloca, o pega los bloques en el poliedro de tal forma que no sobren espacios y queden ajustadas. No puedes superponer los bloques, pero los puedes girar como lo necesites. Para finalizar coloca las medidas que le faltan al poliedro. (se anexa la figura con los bloques para ser recortados).

Actividad 11Construcción de poliedros a partir de la medida de su volumen

41

Figura 33.Bloques 2

x

2x

4x

x

4x

x

2x

2x

x

2x

2x

x

4x

3x


42

Expresiones algebraicas

DefiniciónExpresiones formadas por números conocidos y números desconocidos que representamos por letras, y estos se encuentran relacionados por operaciones aritméticas. Estas expresiones son utilizadas en las ciencias como la física, la química, la economía, la administración entre otras. A través de este tipo de expresiones se presentan fórmulas para aplicar en la solución de situaciones e interrogantes.

En una expresión algebraica las cantidades conocidas las llamamos constantes, y aquellas que representan cantidades desconocidas las denominamos variables.Son ejemplos de expresiones algebraicas:

a) x2+3xy b) a c)-a3 b+4bc-2Xy2

Las expresiones algebraicas en ocasiones tienen un valor numérico, que se obtiene al realizar las operaciones que indica el polinomio, una vez se reemplazan las variables por un valor numérico asignado.Tipos de expresiones algebraicas

Monomios es una expresión algebraica representada por un producto indicado de factores numéricos (números) y factores literales (letras.).

Contiene: coeficiente, parte literal, exponente y signo: ejemplo 8x4y2

Presentan: grado relativo y grado absoluto

Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más términos (monomios)

Presentan: grado relativo y grado absolutoHay: Binomios: 3x5 +4xy3z4; Trinomios: 4x2-2xy+5xy2.

Más de tres términos se le llaman polinomios.

a9

a4 a9-5= a5

Tabla 4. Propiedades de la potenciación

Propiedades de la potenciación

Propiedades Explicación NotaciónProducto de bases iguales Es la base con el total de la

suma de los exponentes a2.a3=a2+3= a5

Cociente de bases iguales Es la base con la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor

43

Propiedades Explicación NotaciónProducto de bases iguales Es la base con el total de la

suma de los exponentes a2.a3=a2+3= a5

Cociente de bases iguales Es la base con la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor

Potencia de un exponente Se coloca la base elevada al producto del exponente por la potencia

(a2)5 = a2 • 5 =a10

Potencia de un producto Es el producto de las potencias de cada uno de los factores (a • b)n = an.bn

Potencia de un cociente Es el cociente de las potencias de cada uno de los elementos de la división

,b≠0a b )n =( an

bn

1 a5a-5=

44

1) El terreno que se presenta a continuación se ha parcelado para sembrar tres tipos de legumbres, A,B y C. Determina el área de cada parcela y el área total del terreno, si las medidas de cada parcela son:

c

a

b m2 + m - 2

m2 - 4m + 1 m2 - 3

m +

2

m + 5

2m + 10

Figura 34.Figura abstracta


45

2) Define la expresión algebraica que representa la siguiente figura.

u - a

u + a 4(u + a)

Figura 35.Figura abstracta 2


46

Tabla 5. Área, perímetro y dimensión

Figura Área Perímetro DimensiónA=3x2+17x+20 P= Altura=

A =2z2+24z+40

A =

A Total=

P= Altura=

Figura

3x + 5

z + 10

z - 2

2z + 6

A= 3x² + 17x +20P= Altura=

Altura= P= A = 2z² + 24z +40

A =

A Total =

Área Perímetro DimensiónFigura

3x + 5

z + 10

z - 2

2z + 6

A= 3x² + 17x +20P= Altura=

Altura= P= A = 2z² + 24z +40

A =

A Total =

Área Perímetro Dimensión

47

Anexo para la actividad 8

3x + y

3x + y

3x + y

x + y

x + yx

x + y

x

4x + 2

x

5x + y

3x + y

5x + y

48

Anexo para la actividad 11

3x + y

3x + y

3x + y

x + y

x + yx

x + y

x

4x + 2

x

5x + y

3x + y

5x + y

49

Lista de figurasFigura 1. Los niños, el viejo y las estrellas

Figura 2. Jóvenes pensantes

Figura 3. La expresión algebraica y sus partes

Figura 4. El estudiante

Figura 5. Monomios

Figura 6. El maestro y los estudiantes

Figura 7. Los polinomios

Figura 8. Rectángulo y triangulo

Figura 9. Rectángulo y cuadrados esquinados

Figura 10. Empresarios

Figura 11. Rectángulo

Figura 12. Figura geométrica

Figura 13. Imagen geométrica 2

Figura 14. Rectángulo y triángulo

Figura 15. El restaurante y dos ciudades

Figura 16. Cuadrado

Figura 17. Cubo

Figura 18. Cancha de baloncesto

Figura 19. Cuadrado 2

Figura 20. Terreno parcelado

Figura 21. Terreno parcelado 2

Figura22. Trapecio

Figura 23. Paralelogramo

Figura 24. Piscina

50

Figura 25. Tijeras y figuras geométricas

Figura 26. Rectángulo dividido

Figura 27. Rectángulo dividido 2

Figura 28. Cuadrado dividido

Figura 29. Rectángulo dividido 3

Figura 30. Bloques

Figura 31. Poliedro

Figura 32. Cubo 2

Figura 33. Bloques 2

Figura 34. Figura abstracta

Figura 35. Figura abstracta 2

Lista de tablasTabla 1. Las expresiones algebraicas y sus partes

Tabla 2. Clasificación de polinomios

Tabla 3. Algunas propiedades de la potenciación

Tabla 4. Propiedades de la potenciación

Tabla 5. Área, perímetro y dimensión

ReferenciasNavarro Fernández, M.A (sf ) Algebra. Dirigido al alumnado del 2° ciclo de la E.S.O, recuperado de http://ficus.pntic.mec.es/mnaf0005/Historia.html

Introducción - Colombia Aprende · Polinomios. 3x3x5 5 + 4xy+ 4xy33zz44-5x-5x22yy 5a2 b + 3ab - 5b...

Documents

Transcript of Introducción - Colombia Aprende · Polinomios. 3x3x5 5 + 4xy+ 4xy33zz44-5x-5x22yy 5a2 b + 3ab - 5b...