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Integrales generaliseesDefinitions

Calcul des integrales generaliseesCrite`res de convergence

Convergence absolueSemi-convergence

Integrales generaliseescours MIP 1

Soumia CHAIRA

F.S.T. Mohammedia Universite Hassan II

11th May 2009

Mohamed MALIKI Calcul Integral




Integrales generalisees

On cherchea` integrer une fonction sur un intervalle non borneou a` integrer sur un intervalle [a,b] une fonction nonbornee en a ou en b

Cette integrale est dite generalisee ou impropre.





Exemple 10

dxx

;

+1

dxx





Integrale generalisee

DefinitionSoit f une fonction positive definie sur I (borne ou non borne).On dit que f est integrable sur I si et seulement si lensembledes integrales de f sur tous les sous intervalles de I est majore,et

If (x)dx =

[c,d ]I

f (x)dx

Cette definition recouvre :





I = [a,b[ ba

f (x)dx = limxb

xa

f (t)dt

Cas particulier : I = [a,+[ +a

f (x)dx = limx+

xa

f (t)dt





I =]a,b] ba

f (x)dx = limxa

bx

f (t)dt

Cas particulier : I =],b] b

f (x)dx = limx

bx

f (t)dt





I =]a,b[f est integrable sur ]a,b[ si et seulement si

ca

f (x)dx et bc

f (x)dx existent.





Nature dune integrale generaliseeDefinition

Soit f une fonction integrable sur [a,b[ avec < a < b +.On dit que lintegrale de f sur [a,b[ est convergente si

F : x [a,b[7 x

af (t)dt

admet une limite (finie) lorsque x tend vers b.Cette limite est appelee integrale generalisee de f sur

[a,b[ et est notee b

af (x)dx .

Sinon, lintegrale est dite divergente.Mohamed MALIKI Calcul Integral




ExempleLapplication f : x IR+ 7 ex est integrable sur [0,+[

Lapplication f : x IR+ 7 1x

est integrable sur ]0,1]

Lapplication f : x IR 7 1x

nest pas integrable sur ]0,1]





REMARQUES :

Il est inexact decrire +

f (t)dt = limx+

xx

f (t)dt .

Lorsquon calcule lintegrale dune fonction sur un intervalledonne, il faut sassurer que la fonction est bien integrable.Ainsi, lapplication x IR 1/x nest pas integrable sur[1,1].On retrouve pour lintegrale generalise les proprietes delintegrale simple.





Soit f une fonction definie sur un intervalle ]a,b[ prive dunnombre fini de points (c)i=1, ,n avec

a = c0 < c1 < < cn < cn+1 = b.

Si, pour tout i {0, ,n}, f est integrable sur chacun desintervalles ]ci , ci+1[ et si les integrales

ci+1ci

f (t)dt

convergent alors on dit que f admet une integralegeneralisee sur ]a,b[ convergente et on pose b

af (t)dt =

ni=0

ci+1ci

f (t)dt





Exemples de reference

Calcul des integrales generalisees

Les formulesde changement de variabledintegration par parties

pour une integrale generalisee decoulent de lapplication deces formules a` lintegrale

xa

f (t)dt .On conside`re ensuite la limite quand x tend vers b.






ExempleOn a 1

0sin(1

x)dx =

+0

sin tt2

dt ;

On a +0

sin tt

dt = cos(1) + +

0

cos tt2

dt






Plan

1 Integrales generalisees2 Definitions3 Calcul des integrales generalisees

Exemples de reference4 Crite`res de convergence

Remarques preliminairesCrite`res de convergence pour les fonctions positives

5 Convergence absolue6 Semi-convergence






Les exemples qui suivent sont tre`s importants car ilspermettront, par comparaison, detablir des re`gles deconvergence pour les integrales generalisees. Dans ceparagraphe et designent deux reels.






Inegrale generalisee de Riemann

Inegrale generalisee de Riemann. 10

1x

dx{

converge, si < 1;diverge, si 1.

+1

1x

dx{

converge, si > 1;diverge, si 1.






Inegrale de Bertrand

Inegrale de Bertrand.

a ]1,+[ +

a

1x(ln x)dx converge ssi

1 > 1, IR2 ou = 1, > 1.

a ]0,1[ a

0

1x| ln x |dx converge ssi

1 < 1, IR2 ou = 1, > 1.






Plan










PropositionSoit f et g deux fonctions integrables sur [a,b[ et soit , deuxreels.Si les integrales generalisees

ba

f (t)dt et b

ag(t)dt

convergent alors lintegrale generalisee b

a(f (t) + g(t))dt

converge.






ATTENTION : La reciproque est fausse.Par exemple

+2

21 t2 dt est une integrale generalisee

convergente mais on necrira pas +2

21 t2 dt =

+2

11 t dt

+2

21 + t dt

car les deux integrales generalisees du membre de droitedivergent.






PropositionSoit f une fonction integrable sur [a,b[ avec b IR {+}.Lintegrale

ba

f (t)dt converge si et seulement si pour toutesuite (xn)n de reels appartenant a` [a,b[ et convergeant vers b,la suite de terme general F (xn) =

xna

f (t)dt converge.






REMARQUE :Si pour toute suite particulie`re (xn)n de [a,b[ convergeant versb, la suite de terme general F (xn) diverge, on peut conclure

que lintegrale generalisee b

af (t)dt diverge.






Exemple

Lintegrale generalisee +

0

| sin t |t

dt diverge.






Plan










Principe de comparaison

Theore`meSoit f et g deux fonctions integrables sur [a,b[ a` valeurspositives telles que

f g sur [a,b[

Si b

ag(t)dt converge, alors

ba

f (t)dt converge.

Si b

af (t)dt diverge, alors

ba

g(t)dt diverge.






Exemple


0et

2dt converge.

Lintegrale generalisee pi/2

0

dtsin t diverge.






PropositionSoit f et g deux applications definies sur [a,b[ a` valeurspositives, integrables sur [a,b[, telles que la fonction f (t)/g(t)admette le reel l pour limite a` gauche en b.

1 Si l 6= 0 alors les integrales generalisees b

af (t)dt et b

ag(t)dt sont toutes les deux convergentes ou toutes les

deux divergentes.2 Si l = 0 alors la convegence de lintegrale generalisee b

ag(t)dt implique la convergence de lintegrale

generalisee b

af (t)dt.






CorollaireSoit f et g deux applications integrables sur [a,b[ a` valeurspositives. Si f et g sont equivalentes au voisinage de b, alors

les integrales generalisees b

af (t)dt et

ba

g(t)dt sont toutesles deux convergentes ou toutes les deux divergentes.






REMARQUE :En pratique, au voisinage de b on compare souvent f avec

1 g : t [a,b[7 Ct

2 g : t [a,b[7 Ct| ln t |





Convergence absolue

DefinitionSoit f une fonction integrable sur [a,b[.

On dit que lintegrale generalisee b

af (t)dt converge

absolument (ou encore, est une integrale generaliseeabsolument convergente) si lintegrale generalisee

ba|f (t)|dt

converge.





PropositionToute integrale generalisee absolument convergente estconvergente.





Exemple

Les integrales generalisees +

1

sin tt2

dt et +

1

cos tt2

dtsont absolument convergentes.


1

sin tt

dt nest pas absolumentconvergente.





REMARQUE :La fonction t 7 | sin t | etant positive, les crite`res deconvergence de lintegrale generalisee relatifs aux fonctionspositives peuvent etre appliques pour montrer quune integralegeneralisee est absolument convergente.





Si f est une fonction de signe quelconque, on proce`degeneralement ainsi pour etudier la convergence de lintegrale

generalisee b

af (t)dt .

On conside`re lintegrale generalisee b

a|f (t)|dt et on

applique les crite`res de convergence des fonctionspositives afin detablir la convergence ou la divergence decette integrale.

Si lintegrale generalisee b

a|f (t)|dt converge alors

lintegrale generalisee b

af (t)dt converge absolument,

donc converge.Mohamed MALIKI Calcul Integral




Si lintegrale generalisee b

a|f (t)|dt diverge alors

lintegrale generalisee b

af (t)dt ne converge pas

absolument. Il peut toute fois sagir dune integralegeneralisee convergente, mais il faut trouver une autremethode pour etudier la nature de cette integralegeneralisee (I.P.P, thm dAbel, ).





Semi-convergence

DefinitionSoit f une fonction integrable sur [a,b[.

On dit que lintegrale generalisee b

af (t)dt semi-convergente

sil sagit dune integrale generalisee convergentemais pas dune integrale generalisee absolumentconvergente.





Exemple


1

sin tt

dt ne converge pasabsolument, mais elle est semi-convergente.On a vu quen integrant par parties : +

1

sin tt

dt = cos(1) + +

1

cos tt2

dt

et +

1

cos tt2

dt converge.





Theore`me dAbel

Theore`meSoit f et g deux applications integrables sur [a,+[. Si lesdeux conditions suivantes sont satisfaites

1 lapplication f est positive, decroissante sur [a,+[ etlim

x+ f (x) = 0 ;

2 il existe un reel M > 0 tel que pour tout x [a,+[, on ait| x

ag(t)dt | M ;

alors lintegrale +

af (t)g(t)dt converge.





Exemple


0

sin t2

tdt est convergente.


Intgrales gnralisesDfinitionsCalcul des intgrales gnralisesExemples de rfrence

Critres de convergenceRemarques prliminairesCritres de convergence pour les fonctions positives


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