Interés compuesto54545

8/19/2019 Interés compuesto54545

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Interés compuesto

A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer

periodo, lo sumamos al total, y despuéscalculamos el interés

del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10:

AñoPréstam

o inicialInterés

Préstamo

final

0 (Ahora) $1,000.00($1,000.00 × 10%

= ) $100.00$1,100.00

1 $1,100.00 ($1,100.00 × 10%= ) $110.00

$1,210.00

2 $1,210.00($1,210.00 × 10%

= ) $121.00$1,331.00

3 $1,331.00($1,331.00 × 10%

= ) $133.10$1,464.10

4 $1,464.10($1,464.10 × 10%

= ) $146.41$1,610.51

5 $1,610.51

!omo "es, es #ácil calcular si "as paso a paso.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html


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• !alcula el interés $% &préstamo inicial& ' tasa de interés(

• )uma el interés al &préstamo inicial& para calcular el

&préstamo #inal& del año

• *l &préstamo #inal& del año es el &préstamo inicial& del

año siguiente

+na tarea simple, con mucos cálculos. Pero hay maneras

más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula

-amos a acer una #rmula para lo de arri/a... empeamos

mirando el primer año:

1,000.00 2 $1,000.00 ' 10( % $1,100.00

3o podemos reescri/ir

así:

Así que sumar el 10 de interés es comomultiplicar por 1.10


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Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal

dividiendo entre 1: 10% = 10/100 = 0.10 ,

leePorcentajes para sa!er más.

Así que ahora es todo en un paso:

• Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de

interés para calcular el "préstamo !inal"

"#Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés

en decimal$ .1, no 1%&

!on un simple cálculo "emos que el resultado es el mismo:

1,000 2 $1,000 4 10( % 1,000 2

100 % $1,100

es lo mismo

que:

1,000 ' 1.10

% $1,100

Aora "iene la magia...

... la misma #rmula "ale todos los años6

7 Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 1.10 #

$1,10

7 8 seguimos otro año más: $1,10 1.10 # $1,%%1

7 etc...

Así es como #unciona:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html


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9e eco podemos ir directamente desde elprincipio asta el año 5, multiplicando & 'eces:

1,000 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10

% $1,10.&1

Pero es más #ácil escri/ir las multiplicaciones

usando e4ponentes $o potencias( así:

La fórmula

emos usado un e;emplo real, pero podemos acerlo en

general con letras en 'e) de n*meros, así:

$- % 1,?10.51(

'sta es la (órmula !ásica para el interéscompuesto.

Apréndetela, es muy )til.

*;emplos

http://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.html


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)a/emos que si multiplicamos un "alor presente $P-(

por $12r(n nos da el "alor #uturo $>-(, así que podemos"ol"er atrás di'idiendo:

Así que la #rmula es:

P- % >- E $12r(n

8 podemos calcular la respuesta del pro/lema:

P- % ,000 E $120.10(5 % ,000 E 1.?1051 % $1,/1./

F sea, 1,G1.BG crecerán asta ,000 si los in"ertimos al

10 durante 5 años.

tro e2emplo:

dan 10,000

Periodos de interés compuesto

*l interés compuesto no se calcula siempre por año, puede

ser al mes, al día, etc. 45ero si no es anual de6erían

decirlo7


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*;emplo: tomas prestados 1,000 durante 1 meses y

dicen &18 al mes&,


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*n este anuncio parece que es ?.5, pero en realidad es

.%%&8

Aquí ay más e;emplos:

*;emplo 1: &18 al mes& en realidad es 9A

1.%8 $si no ay costes(.

8:

*;emplo : &8 de interés compuesto

mensualmente& en realidad es 9A .18 $si no

ay costes(.

)i estás /uscando acer negocios, pregunta por el DA*.

¡n respiro!asta aora emos usado $12r(n para ir de un "alorpresente $P-( a un "alor #uturo $>-( y al re"és, además

emos "isto algunos de los trucos que te puedes encontrar en

un préstamo.

Aora tmate un descanso antes de seguir con los dos temas

siguientes:

• !mo calcular la tasa de interés si conoces el P-, el >-

y el nCmero de periodos


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• !mo calcular el n*mero de periodos si conocemos el

P-, el >- y la tasa de interés

Calcular la tasa de interés

Puedes calcular la tasa de interés si sa/es el "alor presente, el

"alor #uturo y cuántos periodos son.

*;emplo: tienes 1,000, y quieres tener ,000 en 5años, - E P- (1En J 1

Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario ,

primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la

calculadora.

Por ejemplo !. lo calcularamos as: 2, "x^y", 0, ., 2, =

Aora &metemos& los "alores para tener el resultado:

r % $ ,000 E 1,000 (1E5 J 1 % $ (0. J 1 % 1.1GBK J 1

% 0.1/;

8 0.1GBK en porcenta;e es 1/.;8,

Así que te aría #alta una tasa de interés del 1G.BK para que

1,000 se con"irtieran en ,000 en 5 años.

tro e2emplo:


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8 0.0BB en porcenta;e es .%8. Así que un B.B

con"ertirá tus 1,000 en 5,000 en 0 años.

Calcular el nmero de periodos

Puedes calcular cuántos periodos son si sa/es el "alor

presente, el "alor #uturo y la tasa de interés.

*;emplo: quieres sa/er cuántos periodos necesitas para

que tus 1,000 se con"iertan en ,000 al 10 de

interés.*sta es la #rmula $nota: usa el logaritmo natural ln(:

n % ln$>- E P-( E ln$1 2 r(

#a funci$n " ln" de%era de estar en tu calculadora si es de

las %uenas.

&am%i'n (ay log , no las confundas.

*n #in, "amos a &meter& los "alores:n % ln$ ,000 E 1,000 ( E ln$ 1 2 0.10 ( %

ln$(Eln$1.10( % 0.?H15E0.0H51 % ;.;

Lagia6 9entro de ;.; aos tus 1,000 serán ,000 al

10 de interés.

tro e2emplo:

n % ln$ 10,000 E 1,000 ( E ln$ 1 2 0.05 ( %

ln$10(Eln$1.05( % .0?E0.0GBKH % /;.13

GK años6 Pero es que estamos a/lando de multiplicar

el dinero por 10, slo al 5 de interés.


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Calculadora

e eco una !alculadora de interés compuesto que usa

estas #rmulas, por si te interesa.

#esumen

3a #rmula /ásica para el interés compuesto es:

>- % P- $12r(n Para calcular el 'alor !uturo,

donde:

• >- % "alor #uturo,

• P- % "alor presente,

• r % tasa de interés $en

decimal(, y

• n % nCmero de periodos

8 manipulando la #rmula "lee erivación de la (órmula delinterés compuesto & podemos calcular cualquier "alor sisa/emos los otros tres:

P- % >- E $12r(n

!alcular el 'alor presente si

sa/emos el "alor #uturo, la

tasa de interés y el nCmero deperiodos.

r % $ >- E P- ( !alcular la tasa de interés sisa/emos el "alor presente, el

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.html


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1En J 1"alor #uturo y el nCmero de

periodos.

n % ln$>- E

P-( E ln$1 2 r(

!alcular el n*mero deperiodos si sa/emos el "alor

presente, el "alor #uturo y la

tasa de interés.

Anualidades

asta aora emos a/lado de lo que pasa con una cantidadcuando el tiempo "a pasando...


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Veamos si podemos generalizarlo con un eemplo!

"agamos c#lculos para saber el monto final de un depósito inicial de $

%.&&&.&&&, a ' años plazo con un interés compuesto de %& ( )como no se

especifica, se subentiende que es %& ( anual*.

Año Depósito

inicialInterés Saldo final

0 (inicio)$1.000.00

0

($1.000.000 x 10%

= ) $100.000$1.100.000

1$1.100.00

0

($1.100.000 × 10%

= ) $110.000$1.210.000

2$1.210.00

0

($1.210.000× 10%

= ) $121.000$1.331.000

3$1.331.00

0

($1.331.000 × 10%

= ) $133.100$1.464.100

4$1.464.10

0

($1.464.100 × 10%

= ) $146.410$1.610.510

5$1.610.51

0


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Paso a paso resulta f#cil calcular el interés sobre el depósito inicial +

sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el

segundo año, + así sucesivamente asta llegar al monto final.

-esulta simple, pero a+ mucos c#lculos; para evitarlos usaremos unafórmula de tipo general!

En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf ), que se obtiene a

partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t),

est# dado por la fórmula!

-ecordemos que i se epresa en forma decimal +a que corresponde a

.

/ donde t corresponde al n0mero de años durante los cuales se mantiene el

depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

1 partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia

entre el capital final + el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i)!

2acamos factor com0n 3!

4ambién podemos calcular la tasa de interés despeando en la fórmula de

3f !


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En los problemas de interés compuesto i + t deben epresarse en la misma

unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas

variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral,

trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse

1sí, si la fórmula del interés compuesto se a deducido para una tasa de

interés anual durante t años, todo sigue siendo v#lido si los periodos de

conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo a+ que convertir

éstos a años.

Por eemplo, si i se epresa en tasa anual + su aplicación como interés

compuesto se !alida en forma mensual, en ese caso i debe

dividirse por %5 . En seguida, la

potencia t )el n0mero de años* debe multiplicarse por %5 para mantener launidad mensual de tiempo )%5 meses por el n0mero de años*.

2i los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 5 +a que el

año tiene dos semestres )lo cual significa que los años los emos convertido


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a semestres*, por lo mismo, luego abr# que multiplicar la potencia t )el

n0mero de años* por 5 )el n0mero de semestres de un año*!

2uponiendo una tasa anual de %&(, acemos del siguiente modo!

ser# igual a

2i los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 6 +a que el

año tiene 6 trimestres )lo cual significa que los años los emos convertido a

trimestres* por lo mismo, luego abr# que multiplicar la potencia t )el

n0mero de años* por 6 )el n0mero de trimestres que a+ en un año*.

7el siguiente modo!

ser# igual a

En general, en todos los casos donde a+a que convertir a semestres,trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o

días el %&& de la fórmula que es igual a . 8a

potencia t )en n0mero de años* se debe multiplicar por el mismo valor de n,

en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de %&(!

ser# igual a

"er: P#$: %atemática& Pre'unta *+,-,

http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.html


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Ejercicios de práctica

/ercicio 01 -

1veriguar en qué se convierte un capital de %.5&&.&&& pesos al cabo de 'años, + a una tasa de interés compuesto anual del 9 (.

2esolución:

1plicando la fórmula

-eemplazamos con los valores conocidos!

En tasa de interés compuesto

3apital inicial

4iempo en años (t) =

2espuesta:

El capital final es de %.:n cierto capital invertido durante : años a una tasa de interés compuesto

anual del %& ( se a convertido en %.'9


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3apital final (Cf) = -.3.45

En tasa de interés compuesto

4iempo en años (t) = 6

7espeando 3!

2espuesta:

-edondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 9&&.&&& pesos.

/ercicio 01

3alcular la tasa de interés compuesto anual que se a aplicado a un capital

de %.'&&.&&& pesos para que al cabo de 6 años se a+a convertido en

5.


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3apital final (Cf) = +.7,.+64

4iempo en años (t) = 5


7espeamos (- 8 i)5

-edondeamos a &,%5 + multiplicamos por %&& )recuerda que i siempre se

epresa como

,&-+ 9 -,, = -+

2espuesta:

8a tasa de interés compuesto anual a sido de %5 (.

/ercicio 01 5

7igamos que pretendemos tener $5.&&&.&&& dentro de ' años. 2i el banco

paga una tasa de %&( anual ?cu#nto necesitamos como capital inicial@



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3apital final (Cf) = +.,,,.,,,

4asa de interés compuesto

4iempo en años (t) =


2espuesta:

>n capital inicial de $ %.56%.965,6 crecer# asta $ 5.&&&.&&& si lo

invertimos al %&( durante ' años.

;tro e/emplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro +


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-eemplazamos por los valores conocidos

2espuesta:

Entonces, 5.7-.434 invertidos al 9( durante %& años dan $%&.&&&.&&&

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