inka mtk
-
Upload
imha-andi-hikmawaty -
Category
Documents
-
view
38 -
download
6
description
Transcript of inka mtk
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah tak lupa kami haturkan kehadirat Allah Yang Maha Esa atas
segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan tugas
Makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah ditentukan.
Dalam Makalah ini yang berjudul “Difrensial, Integral, Fungsi Linear Dan Non
Linear”, sebagai tugas untuk memenuhi persyaratan mata kuliah Matematika. Sehingga
makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan studi dalam pembelajaran
Seperti pepatah yang mengatakan bahwa, Tak Ada Gading yang Tak Retak, demikian
pula dalam hal penyusunan makalah, saya menyadari masih banyak kekurangan, oleh karena
itu saya mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca untuk membantu penyempurnaan
makalah. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.
Makassar, Maret 2013
Penyusun
1
I. DIFRENSIAL
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari
bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam
pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik
tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai
real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari
garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada
sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus
menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari
perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatanbenda, dan turunan dari kecepatan
terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan
darimomentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan
menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan
menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk
perusahaanyang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-
persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam
mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering
muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional,
geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
1. Turunan
Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah
satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalahfungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari
garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang
tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan
rumus:
2
di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena
y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.
Diikuti pula Δy = m Δx.
Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki
nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik
terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx.
Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau
disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari
turunan.
Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.
Garis singgung pada (x, f(x))
Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis
singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f
adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling
mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan.
Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah
3
turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara
bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalahtransformasi linear, dan ia
menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut
sebagaihiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke
semua arah secara bersamaan.
2. Penerapan Turunan
2.1 Optimalisasi
Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah
maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol;
titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut
nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana
turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan
menggunakan turunan ke-dua dari f di x:
jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;
jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;
jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal,
ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0,
namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) =
±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun
maksimum.)
Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan
pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.
Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang
sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan
untukoptimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada
interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu
kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada
titik kritis atau titik akhir.
Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui
minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik
4
perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di
antara titik-titik kritis.
Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien
fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik-
titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi
di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah
minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada
beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana,
dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa
eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.
2.2 Kalkulus variasi
Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas
sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika
permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus.
Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva
yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling
sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas
permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan
ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus
variasi.
2.3 Fisika
Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan
dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari
perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap
perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep
penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika
Newtonan:
kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan
kedua posisi benda terhadap waktu.
5
Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah:
maka kecepatan benda tersebut adalah:
dan percepatan benda itu adalah:
3. Persamaan diferential
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-
turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi
yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul
secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai
contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan
posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:
Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat
berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial
Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah
tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.
3.1 Teorema nilai purata
Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi
asal. Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a <b, maka
6
teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a)) dan (b, f(b))
adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:
Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya.
Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka
fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini
haruslah benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan
kemiringan salah satu garis singgung di f. Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis
sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki
kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak
naik maupun turun.
3.2 Polinomial Taylor dan deret Taylor
Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat
berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah
dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada
suatu titik x0 adalah linearisasi polinomial a + b(x - x0), dan sangat mungkin untuk
mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x
- x0) + c(x - x0)². Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x -x0)
+ c(x - x0)² + d(x - x0)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi.
Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk
a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.
Untuk a, pilihan nilai yang terbaik selalu bernilai f(x0), dan untuk b selalu bernilai f'(x0).
Untuk c, d, dan koefisien berderajat tinggi lainnya, koefisien-koefisien ini ditentukan dengan
turunan berderajat tinggi dari f. c haruslah f''(x0)/2, dan d haruslah f'''(x0)/3!. Dengan
menggunakan koefisen ini, kita mendapatkan polinomial Taylor dari f. Polinomial taylor
berderajat d adalah polinomial dengan derajat d yang memberikan pendekatan yang paling
baik terhadap f, dan koefisiennya dapat ditentukan dengan perampatan dari rumus di atas.
Teorema Taylor memberikan batasan-batasan yang detail akan seberapa baik pendekatan
tersebut. Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka
polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f.
7
Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor.
Deret Taylor biasanya merupakan pendekatan yang cukup dekat dengan fungsi asalnya.
Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik. Adalah tidak
mungkin untuk fungsi yang tidak kontinu atau memiliki sudut yang tajam untuk menjadi
fungsi analitik. Namun terdapat pula fungsi mulus yang bukan analitik.
3.3 Teorema fungsi implisit
Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik
fungsi. Jika F(x, y) = x² + y², maka lingkaran adalah himpunan pasangan (x, y) di mana
F(x,y) = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong)
dari F. Ini tidaklah sama dengan grafik F, yang berupa kerucut. Teorema fungsi implisit
mengubah relasi seperti F(x, y) = 0 menjadi fungsi. Teorema ini menyatakan bahwa jika F
adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol
dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik di mana hal ini tidak
benar ditentukan pada kondisi turunan F. Lingkaran dapat digabungkan bersama dengan
grafik dari dua fungsi . Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu
dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga
bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).
Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan
kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan
bersama.
8
II. INTEGRAL
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas
wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah.
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik
adan b.
1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu mempunyai rumus umum:
Keterangan:
c : konstanta
1.1 Pengintegralan standar
Jika maka:
9
Jika maka:
Jika maka:
1.2 Pengintegralan khusus
1.3 Sifat-sifat
2. Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki
batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:
10
Keterangan:
konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
2.1 Integral trigonometri
11
Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:
Substitusi trigonometri
Integral yang mengandung a2 − x2
Pada integral
kita dapat menggunakan
12
Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;
Integral yang mengandung a2 + x2
Pada integral
kita dapat menuliskan
maka integralnya menjadi
(syarat: a ≠ 0).
Integral yang mengandung x2 − a2
Pada integral
13
dapat diselesaikan dengan substitusi:
Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan
Polinomial tingkat pertama pada penyebut
Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral
Menjadi
Contoh lain:
Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral
akan berubah menjadi
14
3. Integral Parsial
Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f '(x) dx dan dv = g'(x) dx, maka
integral parsial menyatakan bahwa:
Atau dapat ditulis juga:
III. FUNGSI LINEAR DAN NON LINEAR
15
1. Fungsi Linear
Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep
berbeda namun berhubungan:
• Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
• Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan
perkalian scalar
Geometri analitis
Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (m),
sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (b).
Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud
fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya
pada bidang Cartesius adalah garis lurus.
Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:
16
dengan dan adalah konstanta riil dan adalah variabel riil.
Konstana disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan memberikan titik
perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu . Mengubah membuat garis
tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah akan menggerakkan garis ke atas
atau ke bawah.
Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:
Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan
linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor
dan perkalian skalar.
Contohnya, bila dan direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear
adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:
dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi
adalah peta linear jika dan hanya jika = 0. Untuk nilai lain dari , fungsi ini tergolong dalam
kelas yang lebih umum, yaitu peta afin.
2. Fungsi Non Linier
17
Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi
linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada,
sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi,
yaitu : - Fungsi Kuadrat
- Fungsi Kubik
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi Logaritma
Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi
kuadrat.
1.1 Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang
berbentuk PARABOLA.
Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0
dimana a atau b 0
sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
18
• Jika p = 0 dan a = b 0 ⇒ bentuk kurvanya Lingkaran
• p 2 – 4 a b < 0 ; a b dan tanda sama ⇒ bentuk kurvanya Elips
• p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan ⇒ bentuk kurvanya Hiperbola
• p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya Parabola
berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya
akan berbentuk Parabola
1.2 Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik
tertentu yang disebut pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0
Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana : i =
c−2 a ; j =
d−2 a dan r = √(i2+ j2− e
a )Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y
j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X
r = jari-jari lingkaran
Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0
Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-
masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.
Jika i > r lingkaran tidak memotong sumbu Y
j > r lingkaran tidak memotong sumbu X
Contoh :
19
3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3
X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
i =
c−2 a =
−8−2 (1 ) = 4 j =
d−2 a =
−6−2 (1 ) = 3
dan r = √(i2+ j2− ea )
= √(42+32−−111 )
= √36 = 6
jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat ( 4 ; 3 ) dengan jari-jari
lingkaran = 6
1.3 Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu
konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang
disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua
sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.
Bentuk Umum Persamaan Elips :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0
dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a ¿ b
Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
( X−i)2
r12
+(Y− j)2
r22
=1
jika r = r maka akan menjadi lingkaran.
Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu
koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :
8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2
4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k1 + Y 2 - 6 Y + k2 = - 9 + k1 + k2
(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
20
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16
( X−2)2
4 +
(Y−3 )2
16 = 1
( X−2)2
22+
(Y−3 )2
42= 1
Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r 1 = 2 dan r2 = 4
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
Karena r1 < r 2 maka sumbu mayor elips // sumbu vertikalY
r 1 adalah jari-jari pendek dan r 2adalah jari-jari panjang
1.4 Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus
selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan
sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot)
merupakan pusat hiperbola.
Bentuk umum persamaan hiperbola :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda
Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :
( X−i)2
m2−
(Y − j)2
n2=1
dimana sumbu lintang // sumbu X
atau
( X−i)2
n2−
(Y − j)2
m2=1
dimana sumbu lintang // sumbu Y
dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola
Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi
sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.
1.5 Parabola
21
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus
dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu
simetri dan sebuah titik ekstrim.
Persamaan parabola :
1.6 y = a X 2 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
1.7 X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)
X Y
Titik Ekstrim : (−b
2 a;b2−4ac−4 a )
Jarak titik ekstrim ↓ ↓ Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y pada sumbu X
Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu
x dan y) dari parabola berikut :
Y = - X 2 + 6 X – 2
Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik koordinat :
(−b2a
;b2−4ac−4 a )
= = ( −6
2(−1);
62−4 (−1)(−2)−4 (−1 ) )
==(−6−2
;36−8
4 )= ( 3 , 7 )= ( 3 , 7 )
Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0 X = 0 Y = - 2 Y = - 2
Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saatPerpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0 0 = - X 2 + 6 X – 2
Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh
X 1 = 5,65 dan X2 = 0,35
y
22
(3,7)
7
y = -x2 + 6x - 22
x = 3 sumbu simetri
x
0 0,35 3 5,65
-2
REFRENSI :
23
1. nanikrisnawati.files.wordpress.com/2011/01/fungsi-non-linier.doc
2. http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_linear
3. http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial
4. http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Integral
24