Incerteza e propagação de Erros em sistemas de medição

Prof Valner

sistemas de medição

Prof. Valner

Material desenvolvido com notas de aulas e bibliografiabibliografia

Incerteza de medição

Documento importante: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (ISO-GUM).

Guia International – anos de desenvolvimento e revisões feitas por sete organizações internacionais.Fortemente recomendado por Institutos referência como o NISTreferência como o NISTMelhor maneira de certificar-se sobre a consistência entre laboratórios do mundoconsistência entre laboratórios do mundo.

Modelo de MedidaD fi d d tid d Defina o mensurando- measurand – a quantidade sujeita à medição

d l á d dDetermine o modelo matemático, com as quantidades de entrada X1,X2,…,XN, e (pelo menos) uma quantidade de saída,Y.Os valores determinados para as quantidades de p qentrada são chamados de estimativa da entrada e são denotados por x1,x2,…,xN.p 1, 2, , N

O valor calculado para as quantidades de saída são chamados de estimativa de saída e são denotados por chamados de estimativa de saída e são denotados por y.

Incerteza de medição(VIM) : Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão (VIM) : Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a um mensurando, com base nas informações utilizadas.o ações ut a as.

NOTA 1: A incerteza de medição compreende componentes provenientes de efeitos sistemáticos, tais como componentes provenientes de efeitos sistemáticos, tais como componentes associadas a correções e valores designados a padrões, assim como a incerteza definicional. Algumas vezes não são gcorrigidos os efeitos sistemáticos estimados; em vez disso são incorporadas componentes de incerteza associadas.

Incerteza padrãoA incerteza pode ser por exemplo um desvio padrão A incerteza pode ser, por exemplo, um desvio-padrão denominado incerteza de medição padrão (ou um de seus

úl i l ) d d i l d múltiplos) ou a metade de um intervalo tendo uma probabilidade de abrangência determinada. OBS.: utiliza-se o desvio padrão da média, como visto anteriormente, o qual depende do número de ensaios n;

A incerteza de uma estimativa de entrada, xi, é denotada por u(xi).p ( i)

A incerteza padrão de uma estimativa de saída, y, determinada pela propagação da incerteza é chamada de determinada pela propagação da incerteza, é chamada de incerteza padrão combinada, e é denotada por uc(y).

Incerteza tipo A

Avaliação estatísticada incerteza envolvendo uma série de observações

Sempre possui uma associação com o número de Sempre possui uma associação com o número de graus de liberdade.

Exemplos incluem simples médias e estimativas de mínimos quadrados q

Incerteza tipo B

Qualquer avaliação que não é do tipo A é uma avaliação do tipo B.Não é incerteza sistemáticaExemplos:

Usando experiência profissional combinada com Usando experiência profissional combinada com uma distrinuição retangularObt d i t d ã d tifi d d ã Obtendo incertezas padrão de certificados padrão ou de livros de referência

âCovariância

Correlações entre as estimativas de entrada afetam a incerteza padrão combinada da estimativa de saída.

A covariância estimada de duas estimativas de A covariância estimada de duas estimativas de entrada, xi and xj, são denotadas por u(xi,xj).

Propagação de incertezas

“Lei da propagação de incertezas,” ou, simplesmente, ga “equação de propagação de incertezas”

Incertezas padrão e covariâncias de estimativas de Incertezas padrão e covariâncias de estimativas de entrada são combinadas matematicamente para

d i i d ã bi d d produzir a incerteza padrão combinada da quantidade de saída.

Incerteza expandidap

Multiplique a incerteza padrão combinada, uc(y), por um número k, chamado fator de coberturapara obter a incerteza expandida, U.pa a obte a ce te a e pa a, U.

A probabilidade que o intervalo y +- U contém o l d d é h d d í l d valor do mensurando é chamada de nível de

cobertura ou nível de confidência ou de confiança.

Propagação de incertezasp g ç

Intervalo de ConfiançaIntervalo de Confiança

O intervalo de confiança consiste em um número fixo, positivo menor que 1 que representa a probabilidade de um menor que 1 que representa a probabilidade de um determinado parâmetro da população (a ser estimado) estar compreendida entre dois limitescompreendida entre dois limites.

( )1 2P L Lϕ≤ ≤( )1 2

Intervalo de confiançanº de σ Intervalo de Nível de Nível den de σ Intervalo de

confiança

Nível de

confiança

(%)

Nível de

Significância

(%)

3.30 ( ) ( )3.3 3.3vy y yσ σ− < < + 99.9 0.1

3.0 ( ) ( )3 3vy y yσ σ− < < + 99.7 0.3

2.57 ( ) ( )2.57 2.57vy y yσ σ− < < + 99.0 1.0

2.0 ( ) ( )2 2vy y yσ σ− < < + 95.4 4.6

( ) ( )1 96 1 96< < +1.96 ( ) ( )1.96 1.96vy y yσ σ− < < + 95.0 5.0

1.65 ( ) ( )1.65 1.65vy y yσ σ− < < + 90.0 10.0

1 0 ( ) ( )vy y yσ σ− < < + 68 3 31 71.0

(incerteza

padrão)

( ) ( )vy y y 68.3 31.7

Análise de IncertezasAnálise de Incertezas

Variáveis ModificantesAfetam a sensibilidade da leitura em relação à variável de interesse (mensurando)variável de interesse (mensurando)Contribuem de forma multiplicativa

Variáveis InterferentesAfetam a leitura mas não a sensibilidade da leitura Afetam a leitura mas não a sensibilidade da leitura em relação à variável de interesse C ib d f di iContribuem de forma aditiva

Análise de IncertezasAnálise de IncertezasEfeitos das variáveis modificantes e interferentes em um sistema de medição linear

Variável interferente e modificanteVariável interferente e modificante variável

leituraVariável modificanteSensibilidade alterada

Sensibilidade alteradaDeslocamento de zero

Variável modificante variávelSensibilidade alterada

Sensibilidade alteradaDeslocamento de zero

ideal

Variável interferenteVariável interferente variávelDeslocamento de ZeroDeslocamento de Zero

u1

Análise de IncertezasAnálise de Incertezas

Especificação da Leituraspec cação a e tu aSe o erro sistemático for removido então:

Medida Ideal = Medida Real ± incerteza

A Incerteza é estabelecida um valor limite de máximo e mínimo com um determinado nível de confidênciaExemplo:

2,6gp

10 gramas = (Medida Real ± 1,3) gramas com 10gnível de confidência de 95%

Valor ideal da Medida

Análise de IncertezasAnálise de IncertezasIncertezas (erro não sistemático)

Tipo ATipo AAvaliadas por métodos estatísticosCaracterizadas pela variância σi

2 ou desvio padrão σi(geralmente definido como o desvio padrão da média) e pelo número de graus de liberdade

Tipo BpoAvaliadas por outros meios:

• dados obtidos previamente• experiência ou conhecimento do comportamento do sistema

de medição• especificação do fabricanteespecificação do fabricante• dados obtidos de curvas de aferição ou outros documentos

Caracterizadas pela quantidade uj2 ou uj que podem ser j j

tratadas como aproximações de variância e desvio padrão para efeitos de cálculos.

Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas

A d i i t l t Ao proceder com um ensaio experimental para executar a medição de uma variável, é comum definir um intervalo no qual a medida é significativa como visto na secção no qual a medida é significativa como visto na secção anterior. Este parâmetro depende das condições ambientais, da habilidade do operador entre outras. , pAo utilizar duas medidas experimentais, cujas incertezas são conhecidas, para determinar uma nova grandeza deve-, p gse considerar a mesma dentro de seu intervalo de confiança (na maioria das vezes determinado pela incerteza padrão) na seguinte forma:

G G± ∆onde G é a grandeza e ΔG a incerteza padrão

Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas

Considerando uma grandeza dependente das variáveis d b d x y z as quais possuem distribuições de erros

gaussianas com desvios padrões , , ,... e médias, , ,...i i ix y z

xσ yσ zσ

, , ... respectivamente a grandeza pode ser calculada para qualquer conjunto de variáveis

xµ yµ zµp q q j

( ),...,, iii zyxG

Análise de IncertezasAnálise de IncertezasEfeito da Incerteza sobre “y”

( )y f x u x u x u= ± ± ±L L( )1 1 2 2, , , ,k ky f x u x u x u= ± ± ±Expansão em Série de Taylor:

⎤⎡ ⎞⎛( ) ( ) LL

L +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡±⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+= ∑k

kk

uxxxx

fxxxfy,,,

,,,321

321

⎦⎣ ⎠⎝

ucV i ã

y f(x1 , x2 ,...)

Variação em y incertezauc

xk

uk x

Análise de IncertezasExemplo: Suponha que medimos a corrente (I) e a resistência (R) de um resistor. Pela lei de Ohm:

V = IRV = IRSe nós conhecemos as incertezas (ou desvios padrões) em I e R,qual a incerteza em V?Mais formalmente, dada uma relação funcional entre algumas variáveis (x, y, z),

Q=f(x, y, z)Qual é a incerteza em conhecendo as incertezas em x, y, e z?Geralmente consideramos a incerteza padrão em x, e escrevemos: x±s.pNa maioria dos casos assumimos a incerteza “Gaussiana” e como visto anteriormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de x esteja no intervalo [x-s, x+s].Nem todas as medidas podem ser representadas por distribuições Gaussianas!p p p çPara calcular a a variância de Q como função das variâncias em x e y, então usamos:

⎞⎛⎞⎛22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

yQ

xQ

yQ

xQ

xyyxQ ∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂σσ 2

22

222

Análise de IncertezasSe as variáveis x e y não são correlacionadas, então σxy = 0 e o último termo na equação anterior é zero. Podemos deduzir essa da sequinte maneira:Assumindo que temos algumas quantidades medidas x (x1, x2...xN) e y (y1, y2, g...yN). As médias de x e y:

1 1

1 1 e N N

x i y ii i

x yN N

µ µ= =

= =∑ ∑Q ≡ f (x y )

defina: avaliada nos valores médios

expandindo Qi sobre estes valores médios:

Qi ≡ f (xi ,yi )Q ≡ f (µx ,µy )

expandindo Qi sobre estes valores médios:

( ) ( ) ( ) + termos de ordens altasQ QQ Q x y∂ ∂µ µ µ µ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟

assumindo que os valores medidos encontram-se próximos das médias, e desprezando termos de ordens mais elevadas:

, ,

( , ) ( ) ( ) + termos de ordens altasx y x y

i x y i x i yQ Q x yx yµ µ µ µ

µ µ µ µ∂ ∂

= + − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p :

á⎞⎛⎞⎛

Análise de Incertezas

∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

N

yixii

QQ

yQy

xQxQQ

xxxx

22

,,

)(1

)()(∂∂µ

∂∂µ

µµµµ

∑ ∑∑

∑=

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

N N

yixiyi

N

xi

iiQ

yQ

xQyx

NyQy

NxQx

N

QQN

22

22

1

22

))((2)(1)(1

)(

∂∂

∂∂µµ

∂∂µ

∂∂µ

σ

∑=

= ==

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎠⎜⎝⎠⎝⎠

⎜⎝⎠⎝

N

iyixiyx

i ii

yxNy

QxQ

yQ

xQ

yxNyNxNxxxxyxxx

1

22

22

1 ,1 ,,1 ,

))((2 µµ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂∂∂

µµµµµµµµ

µµµµµµµµ

Se as medidas não são correlacionadas o último termo na equação acima é zero:

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ yyyxyxxxxx ,,,, µµµµµµµµ

22 QQ ∂∂ ⎞⎛⎞⎛

Uma vez que as derivadas são avaliadas nas médias (µx, µy) , podemos tirá-las da soma

,

2

,

22

yxyxyQ

xQ

yxQµµµµ ∂

∂σ∂∂σσ ⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Erros não correlacionados

Análise de IncertezasSe x e y são correlacionados, definimos σxy como:

N

yx µµσ ))((1 ∑

xyyxQ

iyixixy

QQQQ

yxN

σ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σσ

µµσ

22

222

1

2

))((

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−= ∑=

Exemplo: Potência em um circuito elétrico.

xyyxQ

yxyxyxyxyxyx ∂∂∂∂ µµµµµµµµ ,,,, ⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝

P = I2R

Faça I = 1.0 ± 0.1 A e R = 10. ± 1.0 ΩP = 10 W

Calcule a variância na potência usando a propagação de incertezas i d I R ã ã l i dassumindo que I e R não são correlacionados

σ P2 = σ I

2 ∂P∂I

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+σ R2 ∂P

∂R⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

= σ I2 (2IR)2 +σ R

2 (I2 )2 = (0.1)2 (2 ⋅1⋅10)2 + (1)2 (12)2 = 5 watts2P I ∂I⎝

⎜⎠ ⎟I=1

R ∂R⎝ ⎜

⎠ ⎟R=10

I ( ) R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Análise de IncertezasP = 10± 2 watts

S l d d i d tê i f d 10 W ó di Se o valor verdadeiro da potêcia for de 10 W e nós medirmos a mesma com uma incerteza padrão (s) de ± 2 W, considerando uma distribuição Gaussiana, então 68% das medidas ficará dentro do intervalo [8,12] W, f [ , ]

Podemos ainda, fazer o cálculo anterior com erros relativos:

1104 222222222 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ PP ∂∂

Observe que se a corrente for medida com mais precisão a

)14()1.0(101

11.044 2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RIRP

PIP

PPRIRIP σσ

∂∂σ

∂∂σσ

Observe que se a corrente for medida com mais precisão, a incerteza na potência cai mais rapidamente.

Pode-se mostrar que em uma função do tipo: f(x,y,z)= xaybzc, a q ç p f( ,y, ) y ,variância relativa de f(x,y,z) é:

2222⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ cba σσσσ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

cy

bx

af

zyxf σσσσ

Análise de IncertezasO desvio na média

Análise de Incertezas

A média de algumas medidas com a mesma incerteza (σ) é dada por:

µ = 1 (x1 + x2 + x )µ =n

(x1 + x2 +...xn )

σµ2 = σ

x1

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+σx2

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+...σx

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

= σ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+σ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+...σ 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

= nσ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

µ x1 ∂x1⎝ ⎠ x2 ∂x2⎝ ⎠ xn ∂xn⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠

σµ = σn “desvio padrão na média” ou incerteza padrão

A precisão aumenta com a raiz quadrada do número de experimentos.Nã f d !Não confunda σµ com σ ! σ está relacionado com a largura da função densidade probabilidade ( ex.:

Gaussiana) da qual as medidas são originadas. σ não diminui quando se aumenta o número de elementos.

Propagação de Incertezas

Depois do procedimento matemático, das simplificações e considerações pode se obter a expressão para a incerteza considerações, pode-se obter a expressão para a incerteza padrão na grandeza G :

222⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ...2

22

22

22 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= zyxG zG

yG

xG σσσσ

Esta equação permite calcular a incerteza mais provável da grandeza G em função das incertezas de cada uma das

⎠⎝

gvariáveis, das quais a mesma é dependente.

Propagação de IncertezasTodas as grandezas físicas, quando medidas devem ser g , qrepresentadas por um valor numérico, uma incerteza e uma unidade (se a grandeza não for adimensional). Exemplo: temperatura indicada no painel de um forno : 700 °C Exemplo: temperatura indicada no painel de um forno : 700 C. A expressão “grandeza física” implica na determinação de um número que representa a grandeza e tem pouco valor caso não seja conhecida a incerteza correspondente Assim no caso da conhecida a incerteza correspondente. Assim, no caso da temperatura do forno, considerando a precisão do sensor de temperatura, do instrumento de indicação e dos cabos poder-se-ia h i f ã d ti chegar a uma informação do tipo:

Onde o valor 700 indica a grandeza nominal medida ou estimada e

( )700 5 C± o

Onde o valor 700 indica a grandeza nominal medida ou estimada e o valor 5 a incerteza (em ºC) relacionada a esta medida.

Propagação de IncertezasErros em uma medida: A análise quantitativa é realizada a partir da medida dos Erros em uma medida: A análise quantitativa é realizada a partir da medida dos valores das grandezas relacionadas à propriedade alvo da pesquisa. O usuário faz uso de instrumentos de medida cuja complexidade varia de acordo com a natureza da grandeza a ser mensurada. O grau de sofisticação e ou de precisão do natureza da grandeza a ser mensurada. O grau de sofisticação e ou de precisão do aparelho utilizado não livra o operador da existência de erros ao realizar a medida.Dados experimentais devem ser acompanhados por um posterior tratamento matemático que permita uma avaliação da confiabilidade dos resultados obtidos, isto é, q p ç , ,quanto os mesmos estão corretos, são aceitos ou mesmo infundados.No processo de medida há uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, nos resultados. Uma vez que é impossível a determinação de como cada fator influencia no processo, o erro verdadeiro da medida permanece desconhecido.É possível somente uma estimativa do erro máximo aceitável para o processo, p p pcaracterizado pelo intervalo de incertezas.

Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas

U di i d d 10000 BTU t t ã lét i did dUm ar condicionado de 10000 BTU tem uma tensão elétrica medida dee corrente .Pretende-se determinar a potência real

dissipada neste aparelho de ar condicionado:( )220 10E V= ± ( )6 1I A= ±

dissipada neste aparelho de ar condicionado:

200 6 1320P VI W= = =( )( )min 220 10 6 1 1050P W= − − = ⋅ ( )( )max 220 10 6 1 1610P W= + + = ⋅

Entretanto, apesar de possível, é bastante improvável que a incerteza da potência seja dada por essas quantidades, uma vez que dois maiores ou

l d d d l â d

200.6 1320P VI W

menores valores de medida simultâneos devem ocorrer. Segundo o método apresentado anteriormente, o resultado do cálculo da incerteza final é uma função das variáveis independentes para:, , ,...i i ix y zincerteza final é uma função das variáveis independentes para:, , ,...i i ix y z

( ), , ,...G i i iG x y zσ =

Incerteza Combinada

Incerteza Combinada ucIncerteza Combinada ucEstimativa dos limites da incerteza em ySe as variáveis xi forem estatisticamente independentes:p

⎤⎡ ⎞⎛2

∑ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=k

kk

c uxxxx

fu 2

2

321

2

,,, L⎦⎣ ⎠⎝k k 321

Se a função de transferência for linear:Se a função de transferência for linear:

( )∑= kkc uu 22 λ( )∑k

kkc

Incerteza ExpandidaEspecificando a Incerteza da Medida (Precisão)Especificando a Incerteza da Medida (Precisão)

Medida Ideal = Medida Real ± U

U é a Incerteza Expandida

kU ckuU ±=k = Fator de Cobertura

Determina o Nível de ConfidênciaDetermina o Nível de Confidência• Grau de crença de que o valor ideal da medida se encontra no

intervalo• Se a quantidade z apresentar uma distribuição normal, com

espectância µz e desvio padão σ, o intervalo µz ± kσ abarca 68,27%; 90%; 95,45%; 99% e 99,73% (nível de confidência) dos Área = P(µz – kσ <z< µz + kσ )

p(z) Fator de Cobertura

, ; ; , ; , ( )possíveis valores de z, para k=1; k=1,645; k=2; k=2,576 e k=3respectivamente (considerando graus de liberdade →∞)

Área P(µz kσ z µz kσ )

Área nível de confidência

• Para outras distribuições os valores são diferenteszµz + kσµzµz – kσ

Propagação de IncertezasConsidere, nos próximos exemplos, erros com distribuição gaussiana. Se nada for informado sobre o nível de confidência, o mesmo corresponde a 68 3% (±σ) a 68,3% (±σ).

No exemplo da potência, calcule a incerteza resultante mais provável.

A fí i j t t i t t t l d l l í d A superfície juntamente com a incerteza total de um paralelepípedo deve ser calculada. Os resultados das medidas das dimensões são:

( )100 1%x mm= ± ( )300 3%y mm= ±( ) ( )%y( )25 2z mm= ±

íexercícios

Aplica se uma Tensão de a um resistor de %1100 ±VV %110 ±Ω=RAplica-se uma Tensão de a um resistor de , sendo a corrente medida igual a . Deseja-se calcular a potência dissipada de três modos diferentes:

%.1.100 ±= VV %1.10 ±Ω=R

%1.10 ±= AI

potência dissipada de três modos diferentes:

RVP

2

=2RIP = IVP .=

Qual dos modos você considera mais adequado?

íexercíciosDados dois resistores ( )Ω±= 420R( )Ω±= 23002RDados dois resistores, , , determine o valor da resistência equivalente, quando:

(a) Os resistores estiverem em série;

( )Ω±= .4201R( )Ω± .23002R

(a) Os resistores estiverem em série;

(b) Os resistores estiverem em paralelo.

íexercíciosA resistência elétrica de um fio de cobre em função da A resistência elétrica de um fio de cobre, em função da temperatura, é dada por: ( )0 01R R T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

onde,

Ro = 6 00 Ω ± 2% ( na temperatura To)Ro 6,00 Ω ± 2% ( na temperatura To)

α = 0,0004 °C-1 ± 5%

T = 40 °C ± 2°CT 40 C ± 2 C

To = 20°C ± 2°C

Calcule R com a sua incerteza relativaCalcule R com a sua incerteza relativa

Análise de incerteza - ExemploAnálise de incerteza Exemplo

Incerteza CombinadaExemplo:

x y x1 di i d d i l y600

x Condicionador de Sinal

e

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

++400

500

Variável espúria e1

e1

y=10.(2x+e1)-3x = xm± 2distribuição normalnível de confidência =99,73%

d lib d d300

400

Uy

22

2 ⎥⎤

⎢⎡ ⎞⎜⎜⎛ ∂

+⎥⎤

⎢⎡ ⎞⎜⎜⎛ ∂

= uyuyu

graus de liberdade →∞

5 1

ux=2/3=0,66 200

110,0, ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠⎜⎝ ∂

+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠⎜⎜⎝ ∂ e

mx

mc u

xeu

xxu

( )[ ] ( )[ ] 2025,01066,020 222 =+=u

e1= 5 ± 1distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞0

100

( )[ ] ( )[ ] 2025,01066,020 +cu

y = (20xm +47) ± 42 k=3Grau de confidência 99,73%

graus de liberdade →∞

ue1 =1/2=0,50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

x

Análise de incerteza - ExemploAnálise de incerteza Exemplo

Incerteza CombinadaIncerteza CombinadaExemplo:

22 ⎤⎡ ⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛600

x Condicionador de Sinal yy=2.ex.x

2

10,10, ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= exmx

xm

c uxe

yuxx

yu500

ex

y x

( )[ ] ( )[ ]222 6,122,010.2 mc xu +=300

400

Fonte de Alimentação

x=xm±0,4 22 24,1016 mc xu +=200 U(12)

ex=10 ± 3,2distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞

y = 20xm ± 3.√(16+10,24xm2)

100

graus de liberdade →∞

ux=0,4/2=0,2uex=3,2/2=1,6

k=3Grau de confidência 99,73%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Propagação de Incerteza

A incerteza se propaga de um estágio para outro do Sistema p p g g pde Medição

A função de transferência de cada estágio afeta a incerteza

x x yxCondicionador de Sinal

e1

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

++

x1= =10 3

Variável espúria e1

uxy1=2.x

uy1= 2 ux

1y1+e1

1 1 1

2 2x y eu u u= +

y=10.x1-3

uy=10 ux1

ue1

P ã d i t E í iPropagação de incerteza - ExercícioExercício

Determine a incerteza expandida em cada estágio.

3 ++ ^2 X

^3

3.ln++

0 5

xy

2 ^3 0,5

e1 e2 e3

x=xm±0,05 (99,73%)e1=2 ± 0,1 (95,45%)e2=0 ± 0 4 (99%)

Qual das fontes de incerteza é predominante?

e2=0 ± 0,4 (99%)e3=1 ± 0,1 (99,73%)

BibliografiaVUOLO J. H. Fundamentos da Teoria de erros. Ed. Edgard Blücher.gHOLMAN J. P. Experimental Methods for Engineers,.McGraw-Hill, IncDOEBELIN, O. Measurement Systems, McGraw-Hill, 1990.BOLTON, W. Instrumentação e Controle, Ed. Hemus, 1997., ç , ,BECKWITH e Buck, Mechanical Measurements, McGraw-Hill, 1992NOLTINGK, B.E., Instrument Technology, Ed. Buttherworths, 1985BALBINOT A., BRUSAMARELLO V. J., Instrumentação e Fundamentos de Medidas, J , çV 1 e V2 , 2006 e 2007.