Incerteza de medição

7/3/2019 Incerteza de medição

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Estatıstica para Metrologistas e

Calculo de Incerteza

Instrutor:

Dorival Leao

Estatcamp Consultoria em Estatıstica e Qualidade

Rua: Adolfo Catani, 682

Jardim Macarengo CEP: 13560-470 Sao Carlos/SP

Fone/Fax: (16) 3376-2047

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Dezembro / 2007



ii

Sumario

1 Nocoes Basicas de Estatıstica 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Exposicao de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Distribuicao de Frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Medidas de Posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Medidas de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11 Distribuicao amostral do desvio padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.12 A Distribuicao t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.13 A estatıstica F e a distribuicao F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.14 Teste para Duas Variancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.15 Teste de Valor Extremo (Grubbs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.16 Teste de Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.17 Teste de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.18 Teste de Igualdade das Variancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.18.1 Teste de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.18.2 Teste de Levene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.19 Comparacao entre Sistemas de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medicao 41

2.1 Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Erros, efeitos e correcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42



Sumario iii

2.3 Incerteza de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Avaliacao da Incerteza Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Determinacao da Incerteza Padrao Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Determinacao da Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Comprovacao Metrologica - Equipamento de Medicao . . . . . . . . . . . 60

2.7 Determinacao da Variancia Agrupada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8 Regras de arredondamento de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.9 Propagacao da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Estudos de Estabilidade 68

4 Metodo da ANOVA (Completo) 74

4.0.1 Metodo da ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 92

5.1 Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1 Repetitividade (∆l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.2 Incerteza Herdada do Padrao U (ls) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.3 Resolucao do Calibrador (Res(Cal)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.4 Resolucao do Relogio (Res(Rel)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.5 Calculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Calculo de Incerteza do Relogio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.1 Calculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.2 Graus de liberdade Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4 Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Calculo de Incerteza de um Manometro 97

6.1 Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1 Repetitividade (∆l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.2 Incerteza Herdada do Manometro Padrao - U(Upadrao) . . . . . . . . . 100

6.2.3 Resolucao do Manometro Padrao - U(Res(padra)) . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.4 Resolucao do Manometro - U(Res(man)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.5 Calculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101



Sumario iv

6.3 Calculo da Incerteza do Mano m e t r o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

6.3.1 Calculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.2 Graus de liberdade efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.3 Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.4 Expressao da Incerteza em Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Calculo de Incerteza de um Voltımetro Digital 103

8 Calculo de Incerteza no Ensaio de Tensao 105

8.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9 Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 109

9.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10 Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 113

10.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medicao 117

B Tabelas Estatısticas 123

Referencias Bibliograficas 132



1

Capıtulo 1

Nocoes Basicas de Estatıstica

Nosso curso de incerteza de medicao esta dividido em duas partes. A primeira parte contem-

pla as tecnicas estatısticas e os fundamentos do calculo de incerteza, enquanto que a segunda

parte contempla as aplicacoes para calibracoes especıficas. A seguir, vamos apresentar os con-

ceitos basicos de Estatıstica necessarios para expressarmos a incerteza em medicoes.

1.1 Introducao

Com a finalidade de estudar metodos estatısticos utilizados para expressarmos a incerteza

de medicao, faremos inicialmente uma breve abordagem aos conceitos basicos de Estatıstica.

Ao efetuarmos uma medicao, diversas fontes de variacao estao presentes. A temperatura,

umidade, resolucao do instrumento entre outras, fazem com que o valor de um mensurado tenha

variacao.

A variabilidade esta presente em todo lugar. Ao estacionar um carro em sua garagem, a

posicao do carro na garagem nao e a mesma ao longo dos dias. A posicao do carro apresenta

uma variacao. As tecnicas estatısticas sao utilizadas para avaliarmos as variacoes. A aplicacao

de tecnicas estatıstica envolve varias etapas:

• Coleta dos dados - Amostragem;

• Exposicao dos dados;

• Modelos Estatısticos.



1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 2

1.2 Coleta de Dados

Uma populacao e um agregado de elementos (finitos ou nao) para o qual deseja-se obter

informacoes sobre algumas de suas caracterısticas. Duas populacoes sao consideradas distintas

se uma delas contem um elemento que nao esta contido na outra populacao. Como exemplo de

populacao temos a producao diaria de um empresa, conjunto de resultados de medicao de uma

haste de aco realizada com um micrometro, entre outras. A amostra e uma parcela de uma

populacao que pode conter informacoes sobre a populacao. Para estudarmos adequadamente

uma populacao atraves de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.

Planejando a Coleta de Dados - Amostragem

• Qual a pergunta a ser respondida?

• Como comunicar a resposta obtida?

• Qual ferramenta de analise pretende-se usar e como vai comunicar os resultados?

• Que tipo de dados e necessario para utilizar as ferramentas desejadas e responder a

pergunta?

• Onde acessar estes dados?

• Como coletar esse dados com um mınimo de esforco e de erro?

• Quais informacoes adicionais serao necessarias para estudos futuros, referencias ou recon-

hecimento?

1.3 Exposicao de Dados

Antes da exposicao dos dados coletados e necessario que se faca um trabalho de revisao

e correcao nos dados coletados na tentativa de eliminar possıveis enganos na elaboracao do

relatorio.

Medidas Quantitativas Contınuas

Quando os possıveis valores incluem “todos” os numeros do intervalo de variacao da car-

acterıstica medida. Ao medirmos um bloco padrao com um micrometro externo obtemos uma

medida quantitativa contınua .




Exemplo 1.1. Na calibrac˜ ao de um micrometro externo, o avaliador tomou 10 pontos (ou

blocos padr˜ ao) com 10 leituras de cada ponto. Os desvios de cada leitura em relac˜ ao ao valor

do ponto est˜ ao na tabela 1.1.

-0.012 0.003 0.015 0.012 -0.018 0.013 -0.015 0.002 -0.006 0.0120.008 -0.001 0.000 0.003 -0.008 0.008 0.017 0.013 0.002 -0.002-0.002 0.006 -0.021 -0.001 0.000 0.007 -0.009 0.018 0.000 0.010-0.006 0.000 0.009 -0.011 0.000 -0.006 -0.001 0.012 0.004 -0.0020.000 -0.012 0.001 0.006 0.000 -0.002 -0.004 0.012 0.003 0.0200.024 -0.003 -0.011 -0.007 -0.009 0.018 -0.017 0.006 -0.004 0.0190.016 0.012 -0.002 -0.007 -0.013 0.008 -0.013 0.001 0.017 0.0120.006 0.008 0.004 0.002 0.006 0.000 -0.008 0.017 -0.002 0.019-0.005 -0.008 0.013 -0.004 0.001 -0.005 0.000 -0.007 0.012 -0.0030.004 0.002 -0.004 0.002 0.011 -0.012 -0.011 0.003 0.002 -0.006

Tabela 1.1: Desvios

Podemos fazer a apuracao considerando intervalos de medidas como apresentado na tabela

1.2.

Intervalos Node Desvios−0.021 −0.017 3−0.017 −0.013 3

−0.013

−0.009 8

−0.009 −0.005 12−0.005 −0.001 15−0.001 0.003 220.003 0.007 90.007 0.011 70.011 0.015 110.015 0.019 80.019 0.024 2

Tabela 1.2: Frequencia absoluta

Ao se estabelecer intervalos, esta-se admitindo que o desvio pode assumir qualquer valor

entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive. A exposi cao dos dados pode ser

feita atraves de tabela e/ou graficos. Inumeros graficos auxiliam na apresentacao e interpretacao

dos fatos, mas destacaremos os mais usuais.

1.4 Distribuicao de Frequencias

Com as tabelas e/ou graficos em maos, apresentando uma melhor visualizacao dos dados,

muitas vezes ja temos condicoes de interpretar o fenomeno em estudo. Entretanto, em muitos




casos ha necessidade de se efetuar operacoes numericas para se chegar a conclusoes mais solidas.

Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais frequentemente encontrados no estudo de

Sistemas de medicao, desenvolveremos os metodos de analise para estes tipos de dados.

Dados Contınuos:

Vejamos o exemplo 1.1, com APURACAO na tabela 1.2. Note que neste exemplo a variavel

de interesse e o ”Desvio”enquanto que “Numero de Desvios” representa a frequencia de medidas

em cada intervalo (Tabela 1.2).

Definicoes:

Frequencia Absoluta (f i): E o numero de observacoes correspondentes a cada intervalo.

A frequencia absoluta e, geralmente, chamada apenas de frequencia. No exemplo anterior, a

frequencia e o numero de desvios. Para um dado intervalo i, denotaremos a frequencia absoluta

correspondente por f i . Assim, por exemplo, a frequencia do quarto intervalo e f 4 = 12.

Frequencia Relativa (f ri): E o quociente entre a frequencia absoluta e o numero total

de observacoes, e sera denotada por f ri. Isto e, f ri = f in

onde n representa o numero total de

observacoes. No nosso exemplo, f r4 = 12100

= 0.12, onde n = 100.

Frequencia Percentual: ( pi): E conseguida multiplicando-se a frequencia relativa por 100

p4 =12

100100% = 12%

Frequencia Acumulada: E o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores ate

a classe atual. Pode ser Frequencia Acumulada Absoluta (F i), Frequencia Acumulada Relativa

(F ri), ou Frequencia Acumulada Percentual (P i).

Ponto Medio (xi): E obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo

e dividindo o resultado por 2. Este ponto se constitui no valor representativo de cada intervalo.

No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:

x1 =−0.021 + (−0.017)

2= −0.019

Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acom-

panhando e mostrar todas elas atraves de uma tabela completa. Como Frequencia Acumuladairemos apresentar somente a Frequencia Acumulada Percentual.

Algumas indicacoes na construcao da distribuicao de frequencias sao:




Diametro X i f i f ri pi(%) P i(%)−0.021 −0.017 −0.019 3 0.03 3 3−0.017 −0.013 −0.015 3 0.03 3 6−0.013 −0.009 −0.011 8 0.08 8 14

−0.009

−0.005

−0.007 12 0.12 12 26

−0.005 −0.001 −0.003 15 0.15 15 41−0.001 0.003 0.001 22 0.22 22 630.003 0.007 0.005 9 0.09 9 720.007 0.011 0.009 7 0.07 7 790.011 0.015 0.013 11 0.11 11 900.015 0.019 0.017 8 0.08 8 980.019 0.024 0.021 2 0.02 2 100

Tabela 1.3: Distribuicao de frequencias

1. Na medida do possıvel, as classes deverao ter amplitudes iguais.

2. Escolher os limites dos intervalos entre duas possıveis observacoes.

3. O numero de intervalos nao deve ultrapassar 20.

4. Escolher limites que facilitem o agrupamento.

5. Marcar os pontos medios dos intervalos.

6. Ao construir o histograma, cada retangulo devera ter area proporcional a frequencia

relativa (ou a frequencia absoluta, o que da no mesmo) correspondente.

7. Um criterio para determinar os intervalos (classes) e:

Tamanho da Amostra (n) Numero de Classes (c)30 a 50 5 a 7

51 a 100 6 a 11

101 a 250 7 a 13acima de 250 10 a 20

Tabela 1.4: Numero de classes

Determinacao do tamanho da classe ou intervalo (L):

L =amplitude

no de classes=

R

c

onde R= maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.




1.5 Histograma

Uma representacao grafica da distribuicao de frequencia, como as anteriores, e o Histograma.

E um grafico onde a frequencia relativa do intervalo i (f ri) e representada pela area de um

retangulo que e colocado acima do ponto medio da classe i. Consequentemente, a area total do

histograma (igual a soma das areas de todos os retangulos) sera igual a ”1”. No caso em que

os intervalos sejam de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retangulos serao iguais as

frequencias relativas (ou iguais as frequencias absolutas) dos intervalos correspondentes. Para

a distribuicao de frequencias da tabela 1.3, o histograma correspondente e o seguinte:

Figura 1.1: Histograma dos desvios

Ao analisarmos a distribuicao de frequencia dos desvios, observamos que 15% das ob-

servacoes encontram-se entre −0, 005 a −0, 001 e que pelo menos 10% das observacoes estao

acima de 0, 015.

1.6 Medidas de Posicao

Essas medidas visam representar ”onde”os valores estao localizados ou posicionados. As

mais usuais sao media aritmetica, mediana e moda.

Media Aritmetica: A media aritmetica, ou simplesmente Media, e calculada somando-se

os valores das observacoes e dividindo-se o resultado pelo numero de valores. Notacao:

• xi : cada valor individual.

• x : media de uma amostra.

• µ : media da populacao.

• n : tamanho da amostra.

• N : tamanho do universo (populacao).




Dado uma populacao e uma amostra x1, . . . , xn retirada desta populacao, a media amostral

e dada por :

x =

x1 + x2+, . . . , +xn

n

Exemplo 1.2. No exemplo dos desvios das 100 leituras x= 0, 00161. Confira !!! O ideal e que

o desvio seja zero. Entretanto, h´ a um pequeno deslocamento.

Exemplo 1.3. Foram realizadas 5 leituras de uma massa padr˜ ao com valor nominal 2, 45g

com um comparador. Os valores foram: 2, 45; 2, 46; 2, 45; 2, 44; 2, 45. A media amostral para

as medidas da massa e:

x =2, 45 + 2, 46 + 2, 45 + 2, 44 + 2, 45

5=

12, 25

5= 2, 45 .

A media das 5 leitura e x= 2, 45.

Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor

para o maior valor. Se o numero de observacoes for ımpar, a mediana sera a observacao central.

Se o numero de observacoes for par, a mediana sera a media aritmetica das duas observacoes

centrais.Notacao : A mediana sera denotada por x.

Exemplo 1.4. Nos dados referentes ao exemplo 1.3, obtemos a seguinte ordenac˜ ao: 2, 44; 2, 45;

2, 45; 2, 45; 2, 46.

Como o n´ umero de observac˜ oes e ımpar, a mediana e o valor central, isto e, x = 2, 45.

Exemplo 1.5. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos

de fio de aco: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.

Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.

Como o n´ umero de observac˜ oes e 8, portanto par, a mediana e dada pela media dos dois

valores centrais que s˜ ao 68 e 69, isto e:

x =68 + 69

2= 68, 5

Moda: A moda de um conjunto de valores e o valor que apresenta a maior frequencia.

Notacao: A moda sera denotada por Mo.

No exemplo 1.4, a moda e Mo = 2,45. Confira !




1.7 Medidas de Dispersao

Dispersao e sinonimo de variacao ou variabilidade. Para medir a dispersao sao usadas mais

frequentemente duas medidas: a amplitude e o desvio padrao.

Amplitude:

A amplitude e definida como sendo a diferenca entre o maior e o menor valor do conjunto

de dados. Denotaremos a amplitude por R.

Exemplo 1.6. Os comprimentos de 8 rolos de fio de aco foram: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77

. A amplitude deste conjunto e :

R = 77 − 60 = 17

Para definirmos desvio padrao e necessario definir variancia. A notacao mais comumente

usada e :

Desvio Padrao:

• s2 : Variancia amostral.

• σ2 : Variancia populacional.

• s : Desvio padrao amostral.

• σ : Desvio padrao populacional.

A variancia de uma amostra x1, . . . , xn de n elementos e definida como a soma dos quadra-

dos dos desvios de elementos em relacao a sua media amostral x dividido por (n − 1). Ou seja,

a variancia amostral e dada por:

s2 =

ni=1

(xi − x)2

n − 1

O desvio padrao de um conjunto de dados e igual a raiz quadrada positiva da variancia.

Assim, o desvio padrao amostral e dado por:

s =√

s2 =

n1=i

(xi − x)2

n − 1

Exemplo 1.7. Suponha a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de aco cujos valores foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68 metros. Para calcularmos o desvio padr˜ ao devemos

primeiramente calcular a media X , isto e:




x =65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68

8= 68, 5

Agora vamos subtrair x de cada valor, elevar os resultados ao quadrado e soma-los. Entao

dividimos o total dos quadrados pelo numero de valores menos 1, ou seja, por (n−1) e extraımos

a raiz quadrada:

(x − x) (x − x)2

65 - 68.5 = −3.5 (−3.5)2 = 12.2572 - 68.5 = 3.5 (3.5)2 = 12.2570 - 68.5 = 1.5 (1.5)2 = 2.277 - 68.5 = 8.5 (8.5)2 = 72.2560 - 68.5 = −8.5 (−8.5)2 = 72.25

67 - 68.5 = −1.5 (−1.5)

2

= 2.2569 - 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.2568 - 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.25

Total = 174.00

Tabela 1.5: Calculo do Desvio Padrao

s2 =174

7= 24 ⇒ s =

√24 ⇒ s = 4.9

Portanto o desvio padrao e 4.9.

Exemplo 1.8. No exemplo 1.1, que trata os desvios das leituras do micrometro referente ao

valor do padr˜ ao, o desvio padr˜ ao e igual a 0.00957. Confira !!!.

1.8 Probabilidade

Os dados sao originados de uma amostra de medicoes realizadas com a aplicacao do pro-

cedimento de medicao, equipamentos e operadores. Estas medicoes apresentam variacoes que

podem ser analisadas atraves da distribuicao de frequencias (visualmente, o histograma). Ob-

serve que a variacao obtida pelos desvios das leituras do micrometro em blocos padrao (exemplo

1.1) pode ser caracterizado pela frequencias relativas,por exemplo, 15% dos desvios estao entre

−0.005 e −0.001 mm).

Uma forma de modelarmos a variabilidade presente nos dados relativos a quaisquer amostras

e a probabilidade. Considere H uma haste de aco, um experimento e realizado para se obter

o comprimento da haste H . Este experimento e realizado n vezes de forma independente,

isto e, cada realizacao do experimento e independente das outras realizacoes do experimento.




Considere Ω o espaco formado por todos os possıveis resultados da medicao do comprimento

da haste, denominado espaco amostral. Para caracterizar a variabilidade dos resultados da

medicao, podemos modelar a probabilidade do resultado da medicao pertencer a subconjuntos

do espaco amostral Ω, denominados eventos. Por exemplo, considere o evento A como sendo aclasse de resultados da medicao inferiores a C 1 e o evento B como sendo a classe de resultados

da medicao superiores a C 2, onde C 1 e C 2 sao constantes numericas.

Ao denotarmos por X a variavel referente ao resultado da medicao, podemos tomar como

espaco amostral,

Ω = −∞ < X < +∞A = X < C 1

B = X > C 2Com os eventos A e B, podemos associar os eventos:

• A uniao com B = A ∪ B = A ou B;

• A interseccao com B = A ∩ B = A e B;

• Complementar de A, denotado por Ac = nao A;

A probabilidade e uma funcao de associa valores (pesos) aos eventos de um experimento,

satisfazendo as seguintes propriedades:

a) Prob (Ω) = 1

b) Prob (A ∪ B) = Prob(A) + Prob(B) − Prob(A ∩ B)

Ao associarmos probabilidades (pesos) aos eventos de um experimento, satisfazendo as pro-

priedades acima, obtemos um modelo para a variabilidade, denominado modelo de probabili-

dade. A seguir, vamos estudar alguns modelos de probabilidade utilizados na pratica.

1.9 Distribuicao Normal

A variacao natural de qualquer medida e realmente aleatoria (incerta). Embora as dis-

tribuicoes possam assumir uma variedade de formas, muitas variaveis observadas possuem uma

distribuicao de frequencias que e, aproximadamente, como a da distribuicao Normal (simetrica

e em forma de sino).




Como discutimos anteriormente, a probabilidade e um modelo para calcularmos a chance

real de ocorrer um determinado evento, isto e, a chance de ocorrer uma medida em um de-

terminado intervalo. Por exemplo, a frequencia relativa deste intervalo, observada a partir de

uma amostra de medidas, e a aproximacao da probabilidade. E a distribuicao de frequencias ea aproximacao da distribuicao de probabilidades.

Uma das formas mais tradicionais de modelar a distribuicao de probabilidade dos dados cor-

responde a distribuicao normal ou gaussiana. A denominacao gaussiana e devido ao matematico

e astronomo Gauss, que utilizou esta distribuicao para modelar a variacao do resultado de

medicoes do posicionamento de planetas.

Figura 1.2: Distribuicao Normal

A forma da distribuicao normal e simetrica em torno da media e com formato de sino. O

grafico desta distribuicao e apresentado na figura 1.2.Densidade:

f (x) =1√

2πσ2exp

−1

2

x − µ

σ

2

−∞ < µ < ∞

0 < σ < ∞−∞ < x < ∞

A distribuicao dos ”desvios”do Exemplo 1.1 tem uma forma parecida com a distribuicao

normal. Volte e confira!!Se concluirmos que o modelo da distribuicao normal e adequado para caracterizar a vari-

abilidade, podemos calcular probabilidade do resultado da medicao estar entre determinados

intervalos, calculando a area sob a curva naquele intervalo. Entao, a probabilidade de um

evento A ocorrer e dado por

Prob(A) =

Af (x) dx

Para achar a area sob a curva normal devemos conhecer dois valores numericos (tambem

chamados de parametros), a media µ e o desvio padrao σ. O grafico a seguir (figura 1.3) mostra




algumas areas importantes:

Figura 1.3: Area sob a Curva Normal

Quando µ e σ sao desconhecidos, como geralmente acontece, sao substituıdos por X e S ,

respectivamente, a partir da amostra.

Nota: Areas sob a curva normal sao probabilidades que na pratica sao dadas em porcent-

agens

Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribuicao. Mas para se calcular areas es-

pecıficas, se faz uso de uma distribuicao particular: a ”distribuicao normal padronizada”. Esta

distribuicao tem media µ = 0 e desvio padrao σ = 1, e esta tabelado (a tabela se encontra no

apendice). Como a distribuicao e simetrica em relacao a media µ = 0, a area a direita de µ

e igual a area a esquerda de µ . Assim, a tabela fornece areas acima de valores nao-negativos

que vao desde 0.00 ate 4.09. Veja o grafico (figura 1.4) da curva normal padronizada a seguir:

Nota: A variavel que tem distribuicao normal padronizada e denotada por Z.

Exemplo 1.9. A ´ area sob a curva normal para Z maior do que 4.00 e 0.00003. Ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 4.00 e 0.003%. Veja o gr´ afico!

Exemplo 1.10. : A ´ area sob a curva para Z maior do que 1.00 e 0.1587. Ou seja, a probabi-

lidade de Z ser maior do que 1 e 15.87%, veja figura 1.5.

Exemplo 1.11. A ´ area sob a curva para Z maior do que 1.19 e 0.1170,ou seja, a probabilidade

de Z ser maior do que 1.19 e 11.70%.

Exemplo 1.12. A ´ area sob a curva para Z menor do que 2.00 n˜ ao e fornecida diretamente

pela tabela. Ent˜ ao devemos encontrar a ´ area para Z maior do que 2.00. Em seguida fazemos




Figura 1.4: Distribuicao Normal Padronizada

1 menos a ´ area encontrada e temos a ´ area desejada. A ´ area sob a curva para Z maior do que

2.00 e 0.0228. A ´ area desejada e 1 − 0.0228 = 0.9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor

do que 2.00 e 97.72%.

Quando se tem uma variavel X com distribuicao normal com media µ diferente de 0 (zero)

e/ou desvio padrao diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z , efetuando o seguinte

calculo:

Z =X

−µ

σ

Exemplo 1.13. Considere uma vari´ avel X com distribuic˜ ao normal com media µ = 4.888 e




Figura 1.5: Calculo de probabilidades com a distribuicao Normal

desvio padr˜ ao σ = 0.31949, se quisermos calcular a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm,

fazemos:

Z =5.0 − 4.888

0.31949= 0.35

Usando a tabela da normal padronizada, temos que a ´ area sob a curva e abaixo de 0.35 e

0.6368. Ou seja, a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm e 63.68%.




Exemplo 1.14. Suponha que a variac˜ ao nas espessuras das arruelas possa ser modelado pela

distribuic˜ ao normal com media 11.15 e desvio padr˜ ao 2.238. Qual a porcentagem de arruelas

que tem espessura entre 8.70 e 14.70?

Temos que encontrar dois pontos da distribuicao normal padronizada. O primeiro ponto e:

Z 1 =8.70 − 11.15

2.238= −1.09

A area para valores maiores do que −1.09 e 0.8621 ou 86.21%. O segundo ponto e:

Z 2 =14.70 − 11.15

2.238= 1.58

A area para valores maiores do que 1.58 e 0.0571 ou 5.71%. O que procuramos e a area

entre Z 1 e Z 2, como mostram os graficos a seguir:

Figura 1.8: Calculo de percentis com a distribuicao Normal

Portanto, fazemos:

0.8621 − 0.0571 = 0.8050

Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8.70 e 14.70(limites de tolerancia

da especificacao) e somente de 80.50%. Portanto,cerca de 19.50% das arruelas nao atendem aos

limites de especificacoes. Anteriormente havıamos calculado esta porcentagem diretamente do

histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferenca entre os dois calculos fica por conta

da suposicao de normalidade que fizemos.

Exercıcio 1.1. Com os dados do exemplo 1.1, relativos aos desvios, utilize a distribuic˜ ao

normal para calcular a probabilidade de que o m´ odulo dos desvios seja maior 0.02.

Desvio Padrao da Media




Figura 1.9: Calculo de percentis com a distribuicao Normal

Ao obtermos uma amostra de leituras de um equipamento, denotadas x1, x2,

· · ·, xn, a media

e o desvio padrao relativo a medidas sao definidos por.

x =x1 + x2 + · · · , +xn

n

s =√

s2 =

ni=1

(xi − x)2

n − 1.

respectivamente. Por outro lado, o desvio padrao relativo a media das medidas e dado por




sx =s√n

Observe que quanto maior o numero de leituras melhor e a aproximacao da media amostral

em relacao a media populacional. Da mesma forma, quanto maior o numero de leitura menor

o desvio padrao da media.

Exercıcio 1.2. Calcule a media e o desvio padr˜ ao da media para os seguintes dados:

VR Leituras Media DP Repetitividade

12,5 12,501 12,502 12,501

15 15,001 15,001 15

17,5 17,5 17,501 17,502

20 20,001 20 20

Onde,

Repetitividade = Desvio padr˜ ao da media = sx =s√n

Repetitividade Total do Sistema ( R ptotal):

• Maior Repetitividade;

Com isso,

R ptotal = MaiorRepetitividade =

• Desvio padr˜ ao agrupado:

Com isso,

R ptotal =

ji=1 Rep2

i

j=

onde:

– j: representa o n´ umero de pontos (no exemplo, j=4);

– Repi : representa a Repetividade no ponto i (i=1,2,3,4);

Exercıcio 1.3. Considere o sistema de medic˜ ao para o furo de um pist˜ ao de autom´ ovel. Esta

dimens˜ ao apresenta uma tolerancia (Limite Superior de Especificac˜ ao-Limite Inferior de Es-




pecificac˜ ao) de 0,005mm. Em um estudo preliminar foram obtidas 30 leituras do furo de um

pist˜ ao. Os dados est˜ ao abaixo de forma ordenada.

18997,6 18999,0 18999,4 19000,0 19000,9 19001,6

18997,7 18999,0 18999,5 19000,1 19000,9 19001,8

18998,1 18999,1 18999,6 19000,4 19001,1 19001,8

18998,5 18999,1 18999,8 19000,6 19001,2 19002,1

18998,6 18999,2 18999,9 19000,7 19001,4 19002,9

a) Montar a tabela de distribuic˜ ao de freq¨ uencias.

Diametro X i f i f ri pi(%) P i(%)18997, 6

18998, 6 18998, 1 4

18998, 6 18999, 6 18999, 1 818999, 6 19000, 6 19001, 1 619000, 6 19001, 6 19002, 1 719001, 6 19002, 9 19002, 25 5

Tabela 1.6: Distribuicao de frequencias

b) Montar o histograma.

c) Calcular a media.

x =

30i=1

xi

30=

570002

30=

d) Calcular o desvio-padr˜ ao.

s2 =

30

i=1

(xi − x)2

n − 1=

52, 4344

30 − 1=

e) Dado que o verdadeiro diametro do furo de uma peca e 19001.Utilize a distribuic˜ ao normal

para calcular a probabilidade do sitema de medic˜ ao reprovar essa peca.

1.10 Teorema do Limite Central

O teorema central do limite e um resultado estatıstico fundamental em aplicacoes praticas,pois este teorema garante que mesmo que os dados nao sejam distribuıdos conforme uma dis-

tribuicao normal, a media dos dados converge para a distribuicao normal conforme o numero




de dados aumenta. Para ilustrar, considere os dados da tabela 1.7 com histograma apresentado

na figura 1.10.

0 ,1 80 39 0 ,06 105 0, 332 64 1 ,05 89 0, 04 61 1 2 ,0 79 19 0, 16 42 6 0 ,1 37 56 2 ,25 764 0 ,6 96 11 0 ,00 666 1, 43 68 5

0 ,0 48 58 0 ,05 189 0, 049 37 4 ,00 06 2, 44 30 9 1 ,1 92 79 0, 36 03 4 0 ,1 48 96 1 ,02 117 0 ,2 27 75 0 ,19 664 0, 67 20 92 ,0 48 99 0 ,00 578 0, 247 81 0 ,43 687 0, 02 99 1 0 ,5 23 21 1, 19 93 1 0 ,9 70 63 0 ,65 404 1 ,2 89 9 0 ,56 337 0, 28 80 90,29371 0,07804 0,483 0,2983 3,75236 0,283 0,01252 0,07863 1,51493 0,58831 0,40478 0,126921,82698 0,9184 1,30431 0,68007 3,9539 1,00186 2,1392 0,65945 2,44657 2,26175 0,04064 0,908530,70571 2,32028 1,44356 1,04687 3,07768 0,91547 1,0711 0,78354 0,10735 1,8086 3,58991 0,289850 ,1 00 34 1 ,09 242 0, 115 91 0 ,93 788 0, 86 55 5 0 ,1 11 35 0, 22 06 4 2 ,5 47 24 2 ,32 252 0 ,2 11 21 0 ,99 732 0, 73 89 40 ,1 80 68 0 ,03 391 0, 335 54 2 ,82 354 0, 21 89 6 0 ,6 15 99 2, 70 12 2 0 ,5 90 41 0, 92 96 0 ,3 72 08 0 ,96 049 0, 97 88 61,67637 0,3829 0,66678 1,27616 0,15644 1,49853 0,2438 0,69662 0,03946 1,68575 1,68336 1,972480,75177 0,14673 0,85142 0,60226 0,10131 0,00041 1,04934 0,71689 0,6841 0,40779 0,655 2,598911 ,8 69 95 0 ,11 694 1 ,0 70 2 5 ,24 055 0, 91 62 9 0 ,7 44 49 1, 54 70 6 1 ,7 19 29 0 ,57 949 0 ,0 60 82 4 ,50 549 1, 31 12 11,20456 1,32523 0,15098 3,82457 2,21574 1,24752 3,01742 0,48124 0,50226 0,752 0,07319 0,75321 ,8 45 46 1 ,00 032 0, 181 13 1 ,95 966 0, 12 04 3 0 ,0 27 55 1, 12 13 4 0 ,1 58 25 0 ,39 719 0 ,7 39 28 0 ,75 933 0, 98 66 50,20692 1,04208 0,77392 0,53456 0,37931 0,55943 0,1528 0,32622 1,34607 0,1881 0,63464 0,013681 ,0 70 56 1 ,56 307 3, 975 67 0 ,12 068 0 ,0 59 1 0 ,0 93 11 0, 13 43 3 1 ,1 33 53 0 ,06 729 0 ,7 33 02 3 ,68 017 0, 36 33 40,33364 0,10242 0,24987 0,436 0,63775 0,92961 0,1736 0,5642 0,07914 1,69506 3,81342 1,18567

0,835 1,0241 1,75904 0,655 1,5316 2,38105 1,31363 4,87441 1,87911 1,19198 4,01736 0,989980 ,9 75 58 0 ,70 493 0, 023 62 1 ,83 92 0, 23 14 9 0 ,4 25 28 0, 70 00 5 0 ,8 14 29 0 ,14 648 1 ,1 41 52 1 ,63 649 0, 42 35 40,49084 0,42526 0,21363 1,71473 0,1912 0,30273 0,50795 0,59502 0,0055 0,99069 0,05411 0,080151 ,8 89 66 2 ,54 082 0, 058 87 0 ,49 302 1, 94 56 3 2 ,8 89 59 0, 76 71 5 0 ,0 89 22 1 ,50 332 1 ,4 41 35 0 ,25 575 0, 52 35 61 ,2 11 21 1 ,63 265 2, 490 13 0 ,58 964 0, 73 06 7 0 ,58 09 0, 20 30 9 1 ,1 98 91 0 ,41 577 4 ,8 33 29 0 ,83 598 3, 31 92 1

0 ,3 74 5 0 ,55 206 0, 961 08 0 ,87 766 0, 52 77 7 0 ,1 06 78 0, 89 24 7 0 ,6 86 66 0 ,40 921 3 ,1 36 98 0 ,15 909 0, 78 27 61,19616 1,31787 0,1115 0,3589 0,61516 2,2579 0,5537 1,12084 1,18308 5,6274 0,38246 1,260490,30181 1,88888 0,9136 1,7155 0,49844 1,80252 0,78627 2,30031 0,37888 0,27255 0,13101 0,254513,21402 2,01428 1,5868 0,01396 0,31211 1,41659 0,20996 0,56251 0,64183 0,7217 0,01722 0,25670,0903 2,67363 0,38425 0,17188 4,38611 0,47624 1,7204 1,97416 0,15397 0,20741 1,23387 0,83222

2,61544 0,34815 3,7862 0,17602 0,49381 1,11899 0,33027 0,91986 1,10484 0,3501 0,6366 0,640130 ,4 97 25 0 ,29 042 2, 321 41 0 ,56 294 1, 10 05 8 0 ,2 37 71 0, 16 61 1 0 ,1 94 64 0 ,53 044 1 ,1 02 23 2 ,63 819 1, 73 76 70 ,3 51 47 0 ,13 475 2, 317 99 1 ,42 038 0, 28 47 7 0 ,6 15 07 0, 70 72 2 0 ,1 69 77 2 ,07 863 0 ,2 14 53 2 ,31 535 0, 06 88 50,97265 0,05683 0,08027 0,6846 0,29454 0,40381 0,38346 0,3467 0,08971 0,29033 0,71624 2,057920 ,7 79 07 0 ,04 533 1, 214 07 0 ,15 632 1, 54 65 1 1 ,0 33 75 0, 20 11 2 0 ,2 14 92 1 ,23 729 0 ,0 22 09 1 ,92 794 1, 81 13 90,25324 0,06947 0,14656 1,43476 0,58053 0,2361 1,30842 0,90432 0,38311 0,01359 0,2938 1,034440 ,5 76 09 0 ,00 047 0, 150 99 0 ,74 214 0, 88 67 3 1 ,04 56 3, 40 52 2 1 ,3 17 29 0 ,19 672 0 ,8 40 27 0 ,38 748 1, 29 32 7

Tabela 1.7: Dados Exponenciais




Figura 1.10: Dados Exponenciais

Notamos que o grafico mostra que o conjunto de dados segue uma distribuicao nao simetrica,

mas se agruparmos os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirando a media de cada

grupo, temos o seguinte grafico (figura 1.11):

Percebemos que a media dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas

caracterısticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a media.

O resultados estao na figura 1.12.

Como percebemos, este grafico ja possui uma distribuicao similar a da distribuicao normal.

Teorema do Limite Central: Para amostras grandes, a distribuicao amostral da

media pode ser aproximada pela distribuicao normal.

Se combinarmos esse resultado com

µx = µ e σx = σ√n

para amostras aleatorias de populacoes infinitas, temos que se e a media de uma amostra

aleatoria de tamanho n retirada de uma populacao infinita com media e desvio padrao X , para

n grande




Figura 1.11: Media de grupos de 5

z =X − µ

σ /√

n

representa os valores de uma variavel aleatoria com distribuicao normal com media zero e desvio

padrao igual a 1.

O Teorema Central do Limite e de fundamental importancia em estatıstica porque justifica

o intenso uso da curva normal. Ele se aplica a populacoes infinitas, e tambem em populacoes

finitas quando n, embora grande, constitui-se em uma pequena porcao da populacao. E difıcil

dizer precisamente quao grande deve ser n para que o Teorema Central do Limite possa ser

aplicado, mas a menos da distribuicao populacional tenha uma forma muito ”estranha”n = 30

e considerado suficientemente grande.

Nota: Quando uma amostra proveniente de uma populacao realmente normal, a distribuicao

amostral da media e normal nao importando o tamanho de n.




Figura 1.12: Medias

1.11 Distribuicao amostral do desvio padrao

Uma importante distribuicao amostral associada a amostras aleatorias de variaveis normais

corresponde a distribuicao qui-quadrado (χ2). Suponha que Z 1,...,Z n sao variaveis aleatorias

normalmente distribuıdas com media zero e variancia 1. Entao, a variavel aleatoria

Qn = Z 21 + ... + Z 2n

tem distribuicao qui-quadrado com n graus de liberdade (χ2n). A funcao densidade da qui-

quadrado e definida por:

f (x) =1

2n/2Γ(n/2)x(n/2)−1 exp(−x/2) ; x > 0.

A distribuicao qui-quadrado e assimetrica e tem media E (Qn) = n e variancia V ar(Qn) = 2n.Como um exemplo de uma variavel aleatoria qui-quadrado, suponha que y1,...,yn sao

variaveis aleatorias normais independentes e identicamente distribuıdas com media µ e desvio




padrao σ. Entao, temos que a estatıstica

Qn =

ni=1(yi − y)2

σ2=

(n − 1)s2

σ2

tem distribuicao qui-quadrado com (n-1)graus de liberdade, onde s e o desvio padrao amostral.

Graus de liberdade

Ao denotarmos

SS =n

i=1

(yi − y)2 = (n − 1)s2

obtemos que

E (SS ) = E n

i=1

(yi − y)2

= E n

i=1

y2i − n(y)2

=

ni=1

(µ + σ2) − n(µ + σ

2

n )2 = (n − 1)σ2.

A quantidade (n−1) multiplicando σ2 e denominado graus de liberdade da soma de quadra-

dos SS . De forma geral, se tomarmos Y uma variavel aleatoria com variancia σ2, a soma de

quadrado

SS =n

i=1

(yi − y)2.

Tem graus de liberdade ν seE (SS ) = νσ2.

O numero de graus de liberdade de uma soma de quadrados corresponde ao numero de ele-

mentos independentes na soma de quadrados. Por exemplo, se y1,...,yn sao variaveis aleatorias

normais independentes e identicamente distribuıdas com media µ e desvio padrao σ. Entao, os

elementos da soma de quadrados y1 − y,...,yn − y, nao sao todos independentes, pois

ni=1

(yi − y).

Na realidade, somente (n − 1) destes elementos sao independentes, implicando que SS tem

(n − 1) graus de liberdade.

1.12 A Distribuicao t-Student

Em calibracoes, nao conhecemos o desvio padrao da medicao e coletamos amostras de

tamanho pequeno (3 a 10), que nao permite uma boa estimativa do desvio padrao. Considere




que as leituras realizadas por um equipamento sao modeladas por variaveis X 1,...,X n indepen-

dentes e com distribuicao normal com media e desvio padrao. Entao, a variavel

t =X − µ

s/√n

onde s e o desvio padrao amostral, tem distribuicao t-student com n − 1 graus de liberdade.

Figura 1.13: Funcao densidade da distribuicao t-Student




Para calcularmos os valores da distribuicao t-Student precisamos conhecer o grau de liber-

dade ”ν ”, associado ao numero de repeticoes da medida. Os graus de liberdade para uma

amostra com n repeticoes da mesma medida e definido por

ν (graus de liberdade) = n − 1.

Exemplo 1.15. A media de uma serie de dez medic˜ oes de uma anel padr˜ ao e 40,0078 mm

com um desvio padr˜ ao de 0,0002 mm. Qual o intervalo do resultado da medic˜ ao com confianca

de 95% ?

Solucao

Graus de liberdade: 10 - 1 = 9

Prob[−t2.5 ≤ X − µ

s/√

n≤ t2.5] = 0, 95.

O intervalo de 95% e dado por:

X

±t2,5

s

√nonde t2,5 e o valor tabelado igual a 2,262. Assim, o intervalo de confianca com 95% e :

40, 0078 ± 2, 2620, 0002√

10= 0, 000143.

Exercıcio 1.4. Continuando o exercıcio 1.3, a mesma peca que foi medida no ch˜ ao de f´ abrica

da empresa, foi enviada ao laborat´ orio de Metrologia para determinar o valor de referencia.

Ap´ os 100 medic˜ oes da peca, o laborat´ orio da RBC determinou o valor de referencia para a

peca VR=19001 µm. Avaliar a consistencia das medic˜ oes da empresa com relac˜ ao ao valor

de referencia (estudo de tendencia). Na seq¨ uencia vamos determinar o intervalo de confianca

para a media das medic˜ oes da empresa.

LI = X − t2,5s√n

=

LS = X + t2,5

s√n =

Conclus˜ ao:




1.13 A estatıstica F e a distribuicao F de Snedecor

Considere Qn e Qm variaveis aleatorias com distribuicao qui-quadrado com n e m graus de

liberdade respectivamente, alem disso, vamos supor que estas variaveis aleatorias sao indepen-

dentes. Entao a variavel aleatoria

F =Qn/n

Qm/m

tem distribuicao F de Snedecor com n graus de liberdade no numerador e m graus de liberdade

no denominador. A funcao densidade de probabilidade e definida por

f (x) =

Γ

m + n

2

m

n

m2

xm2−1

Γ

m2

Γ

n2

mn

x + 1

m+n

2

.

Um importante exemplo da distribuicao F de Snedecor corresponde a estatıstica F . Suponha

que temos duas populacoes independentes tendo distribuicoes normais com variancia comum

igual a σ2 . Considere y11,...,y1n uma amostra aleatoria da primeira populacao com n ob-

servacoes e y21,...,y2m uma amostra aleatoria da segunda populacao com m observacoes. Entao,

a estatıstica

F =

(n

−1)s2

1

(n − 1)σ2

(m − 1)s22

(m − 1)σ2

tem distribuicao F de Snedecor com (n − 1) graus de liberdade no numerador e (m − 1) graus

de liberdade no denominador, onde s1 e s2 sao os desvios padrao amostrais.

1.14 Teste para Duas Variancias

Suponha que queiramos comparar as variancias σ21 e σ2

2 de duas populacoes normais inde-

pendentes. Para isso retiramos uma amostra aleatoria X 1, X 2,..., da populacao 1, e Y 1, Y 2,...,

da populacao 2. Ja vimos que

Q1 =(n1 − 1)s2

1

σ21

∼ χ2(n1−1)

Q2 = (n2 − 1)s22

σ22

∼ χ2(n2−1)




onde s21 e a variancia amostral da populacao 1 e s2

2 a variancia amostral da populacao 2.

Entao a estatıstica F definida por

F =

Q1n

1 −1

Q2n2 − 1

=s2

1s22

tem distribuicao ”F de Snedecor”com (n1 −1) graus de liberdade no numerador e (n2 −1) graus

de liberdade no denominador, e denotamos F (n1−1)(n2−1) .

Para executar um teste, podemos seguir os passos:

1) Estabelecer as hipoteses, por exemplo

H 0 : σ21 = σ2

2

H 1 : σ21 = σ2

2

que e equivalente a

H 0 :σ2

1

σ22

= 1

H 1 :σ2

1

σ22

= 1.

2) Fixar o nıvel de significancia α.

3) Determinar a regiao crıtica; neste caso devemos determinar os pontos crıticos F 1−α2

e

F α2

com (n1 − 1) graus de liberdade no numerador e (n2 − 1) graus de liberdade no

denominador usando a tabela da distribuicao ”F de Snedecor”. Graficamente:

4) Calcular, sob a hipotese nula, o valor

F obs =s2

1

s22

onde:

s21: variancia da amostra retirada da populacao 1.

s22: variancia da amostra retirada da populacao 2.

5) Conclusao, neste caso se F obs < F 1−α2

ou F obs > F α2

, rejeita-se H 0, caso contrario, aceita-se

H 0.

6) Temos que




P-valor = 2 ∗ min P [F > F obs|H 0] ; P [F < F obs|H 0]

Observacao: Geralmente, nao se tem interesse aqui em considerar hipoteses alternativas

do tipo H 1 : σ21 > σ2

2 ou H 1 : σ21 < σ2

2.

Exemplo 1.16. Para avaliar a efic´ acia de um sistema de medic˜ ao, uma empresa enviou uma

peca para um laborat´ orio do cliente medir. Esta peca foi medida 30 vezes pelo laborat´ orio

cliente, obtendo uma variancia de 70 microns. A mesma peca foi medida tambem 30 vezes

pelo laborat´ orio da empresa obtendo uma variancia de 81 microns. Considerando α = 0, 05,

podemos concluir que a variancia do sistema de medic˜ ao do cliente e menor que a variancia do

sistema de medic˜ ao da empresa?

Resposta:




1)

H 0 : σ21 = σ2

2

H 1 : σ

2

1 = σ

2

2

2) α = 0.05.

3) Regiao crıtica

4) F obs =S 21S 22

= 8170 = 1, 157

5) Conclusao: F 0.975 = 0, 476 e F 0.025 = 2, 1

Como F 0.025 ≤ F obs ≤ F 0.975 , nao rejeitamos H 0.




6) Temos que

P-valor= 2 ∗ minP [F > 1, 157|H 0] ; P [F < 1, 157|H 0] = 2 ∗ min0, 35;0, 65 = 0, 7.

Assim, como o P − valor = 0, 7 > 0, 05, nao rejeitamos a hipotese H 0.

1.15 Teste de Valor Extremo (Grubbs)

Este teste e desenvolvido para verificar a presenca de valores extremos em observacoes

amostrais. Valores extremos podem ser considerados como manifestacoes da variabilidade

aleatoria inerente aos dados, ou apenas um erro no calculo durante o recolhimento dos da-

dos e ate mesmo uma anotacao preciptada pelo operador.

Existem inumeros criterios para testar valores extremos. Em todos eles, desenvolvemos o

calculo numerico amostral (Estatıstica) e comparamos com um valor crıtico baseado na teoria

de amostras aleatorias para decidirmos se existe ou nao uma observacao considerada valor

extremo.

No teste de Grubbs, usamos a seguinte estatıstica:

Z =|xi − x|

s

onde

• xi: e uma observacao da amostra x1, x2, · · · , xn;

• x: e a media amostral e ;

• s: e o desvio padrao amostral.

Esta estatıstica testa as seguintes hipoteses:

H 0 : xi e uma observacao considerada valor extremo

H 1 : xi nao e uma observacao considerada valor extremo.

Rejeitamos a hipotese H 0, com nıvel de significancia α, se Z > Z c. Onde Z c e um valor

crıtico baseado na distribuicao de Z e encontra-se tabelado (Ver F. E. Grubbs (1969) ) para

alguns valores de α. Na Tabela B.3, encontra-se alguns valores crıticos para 5%.




1.16 Teste de Dixon

O teste de DIXON e um criterio para rejeicao de valores extremos de um conjunto de dados.

Objetivo: Determinar valores extremos em conjunto de dados.

Exemplo 1.17. Um metrologista realizou uma serie de medidas com uma Regua graduada. As

medidas s˜ ao: 20,1; 19,9; 20,2; 19,9; 21,1; 20,0.

Para sabermos se o resultado 21,1 pertence a mesma distribuic˜ ao dos outros 5 , aplicamos

o Teste de Dixon.

Etapas do Teste de Dixon

a) Etapa 1 - Ordenar os dados;

19,9 19,9 20 20,1 20,2 21,1

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 ou ZH

b) Etapa 2 - Calcular a Estatıstica;

N´ umero de Repetic˜ oes rD Z H (suspeito) Z 1 (suspeito)

3 ≤ H ≤ 7 Q10 (Z H − Z H−1)(Z H − Z 1) (Z 2 − Z 1)(Z H − Z 1)

8 ≤ H ≤ 12 Q11(Z H − Z H−1)

(Z H − Z 2)(Z 2 − Z 1)

(Z H−1 − Z 1)

13 ≤ H Q22(Z H − Z H−2)

(Z H − Z 3)(Z 3 − Z 1)

(Z H−2 − Z 1)

Z H (suspeito) =21, 1 − 20, 2

21, 1 − 19, 9= 0, 75

Z 1(suspeito) = 19, 9 − 19, 921, 1 − 19, 9 = 0

c) Etapa 3 - Encontrar o Valor Crıtico na Tabela, para 5% de significancia;

Valor Crıtico = 0,628.

Como o valor calculado de Z H (suspeito) e maior do que o valor tabelado conclui-se pela

rejeic˜ ao da medida 21,1mm.

Como o valor calculado de Z 1 (suspeito) e menor do que o valor tabelado conclui-se pela

n˜ ao rejeic˜ ao da medida 19,9mm. Ap´ os a rejeic˜ ao de um dos extremos devemos aplicar

mais uma vez o Teste de Dixon nos novos valores extremos.




Exercıcio 1.5. Considere um sistema de medic˜ ao do diametro por uma coluna pneum´ atica.

O equipamento realizou 8 medic˜ oes, conforme abaixo: 12,5013; 12,5012; 12,5016; 12,5015;

12,5018; 12,5030; 12,5022; 12,5022.

a) Etapa 1 - Ordenar os dados;

b) Etapa 2 - Calcular a Estatıstica;

c) Etapa 3 - Comparar com a tabela e concluir.

Valor de RD Valores crıticos

Q10 H 5%3 0.970

4 0.8295 0.7106 0.6287 0.569

Q11 8 0.6089 0.504

10 0.53011 0.50212 0.479

Q22 13 0.61114 0.58615 0.56516 0.54617 0.52918 0.51419 0.501

20 0.48921 0.48822 0.46823 0.45924 0.45125 0.44426 0.43627 0.42928 0.42329 0.417

Valor de RD Valores crıticos

Q22 30 0.41231 0.40732 0.40233 0.397

1.17 Teste de Cochran

(HOMOGENEIDADE DE VARIANCIA)

O teste de Cochran e usado para comparar a maior variancia com as outras varianciasde um grupo. Pode ser utilizado para comparar metrologistas, metodos ou laboratorios.

Para aplicar o Teste de Cochran vamos seguir as seguintes etapas a seguir:




a) Etapa 1 - Calcular a Estatıstica;

C =s2

max

pi=1 s2

i

=maior variancia

soma de todas as variancias

onde:

• p: representa o numero de metrologistas, metodos ou laboratorios;

• s2i : representa a variancia amostral. Esta e calculada por:

s2i =

n j=1(y j − y)2

n − 1;

• n: representa o numero de medidas feitas por cada metrologista, metodos ou labo-

ratorios.

b) Etapa 2 - Comparar com valor tabelado.

Exemplo 1.18. Em um laborat´ orio de metrologia, 4 metrologistas realizam 5 medic˜ oes para

calibrarem um certo equipamento. veja as medic˜ oes na tabela 1.9.

METROLOGISTAS

JO˜AO NOVATO MOACIR ROBERTO

MEDIDA 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073

MEDIDA 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074

MEDIDA 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073

MEDIDA 4 500.071 50,0071 50,0072 50,0072

MEDIDA 5 500.072 50,0078 50,0072 50,0072

MEDIA 50,00716 50,0074 50,00726 50,00728

DESVIO PADRAO 0,000055 0,00034 0,000089 0,000084

VARIANCIA 0,000000003 0,000000115 0,000000008 0,000000007

Tabela 1.8: Tabela resumo das medicoes dos metrologistas

Observamos que S 2max = 0, 000000115, com isso:

C calculado =0, 000000115

0, 000000003 + 0, 000000115 + 0, 000000008 + 0, 000000007= 0, 985

C tabelado (Tabela C, para 5% de significancia) = 0,629. Portanto, como C calculado > C tabelado,

a variancia do metrologista NOVATO n˜ ao e homogenea em relac˜ ao a dos demais metrologistas.

Exercıcio 1.6. Considere um laborat´ orio de metrologia com 4 metrologistas realizando o mesmotipo de calibrac˜ ao. Ao realizarmos uma comparac˜ ao interlaboratorial, obtemos os seguintes

resultados:




METROLOGISTAS

M1 M2 M3 M4

MEDIDA 1 12,501 12,502 12,502 12,501

MEDIDA 2 12,501 12,501 12,502 12,501

MEDIDA 3 12,502 12,501 12,502 12,501

MEDIDA 4 12,503 12,502 12,501 12,501

MEDIDA 5 12,502 12,501 12,501 12,502

MEDIDA 6 12,502 12,501 12,503 12,501

M EDIA

DESVIO PADR ˜ AO

VARI ANCIA

Avaliar a homogeneidade dos quatro metrologistas!

Tabela C para um nıvel de significancia de 5%.

p n=4 n=5 n=6

2 0,939 0,906 0,877

3 0,798 0,746 0,707

4 0,684 0,629 0,59

5 0,598 0,544 0,506

6 0,532 0,48 0,445

7 0,48 0,431 0,397

8 0,428 0,391 0,36

9 0,403 0,358 0,328

10 0,373 0,321 0,302

1.18 Teste de Igualdade das Variancias

Apesar de utilizarmos o grafico de resıduos para avaliar a igualdade de variancia, diversos

testes estatısticos podem ser encontrados na literatura. Considere as hipoteses

H 0 : σ21 = σ2

2 = ... = σ2k

H 1 : pelo menos um dos σ2

’s diferente.

Os metodos mais utilizados sao o teste de Bartlett e o teste de Levene.




1.18.1 Teste de Bartlett

Este procedimento consiste em calcular uma estatıstica cuja distribuicao amostral e aprox-

imada por uma qui-quadrado com k − 1 graus de liberdade.

A estatıstica de teste e

B0 =q

c

onde

q = (N − k) ∗ ln s2 p −

ki=1

(ni − 1) ∗ ln s2

i

c = 1 +1

3 ∗ (k − 1) k

i=1

1

ni − 1 −1

N − k

s2 p =

ki=1

(ni − 1)s2i

N − k; s2

i =

ni j=1

(yij − yi.)2

ni − 1

A quantidade q e grande quando as variancias amostrais s2i sao significativamente diferentes

e e igual a 0 quando estas variancias sao iguais. Portanto, rejeitamos H 0 para valores de B0

forem alto, isto e, rejeitamos H 0 se

B0 > Q[1−α;k−1].

Onde Q[1−α;k−1] representa o percentil com (1 − α) ∗ 100% da distribuicao qui-quadrado com

k − 1 graus de liberdade. O P-valor e calculado por

P − valor = P [ χ2(k−1) > B0 | H 0 ].

Exemplo 1.19. Vamos aplicar aos dados do Exemplo1.18 o metodo de Bartlett para testar a

igualdade de variancia. As variancias amostrais s˜ ao

s2JOAO = 0, 0000000030; s2

NOV AT O = 0, 0000001156;

s2MOACIR = 0, 0000000079; s2

ROBERTO = 0, 0000000071.




Ent˜ ao, temos que

s2 p =

4 ∗ (0, 0000000030) + 4 ∗ (0, 0000001156) + 4 ∗ (0, 0000000079) + 4 ∗ (0, 0000000071)

20 − 4

= 0, 000033.

Logo

q = [16 ∗ ln(0, 000000033)] − 4 ∗ [ln(0, 0000000030) + ln(0, 0000001156)]

− 4 ∗ [ln(0, 0000000079) + ln(0, 0000000071)]

= −275, 6281 − −292, 0694

= 16, 44.

Temos tambem que

c = 1 +1

3 ∗ 3

1 − 1

16

= 1, 1

Ent˜ ao, a estatıstica do teste

B0 = 16, 44/1, 1 = 14, 94545.

Como Q[0,95;3] = 7, 81, n´ os rejeitamos a hip´ otese de que todas as variancia s˜ ao iguais. Abaixo

calculamos o p-valor para o teste de Bartlett.

P

−valor = P [ χ2

(k

−1) > B0

|H 0 ] = P [ χ2

(3) > 14, 94545

|H 0 ] = 0, 00186386.

Como o p-valor est´ a abaixo de 5% rejeitamos a hip´ otese H 0.

1.18.2 Teste de Levene

Este procedimento consiste em fazer uma transformacao aos dados originais e aplicar os

dados transformados ao teste da ANOVA. Levene (1960) proproe a seguinte transformacao:

zij = |xij − xi.| , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni. (1.1)




onde

• zij: representa os dados apos transformacao;

•xij: representa os dados originais;

• xi.: representa a media do nıvel i, para os dados originais;

• As duas barras verticais representa o modulo ou valor absoluto da diferenca.

Uma transformacao (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, pro-

posto por Brown (1974), e substituir a media do nıvel pela mediana. Com isso, a expressao 1.1

e substituıda por

zij = |xij − xi.| , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni (1.2)

onde

• zij: representa os dados apos transformacao;

• xij: representa os dados originais;

•xi.: representa a mediana do nıvel i, para os dados originais;

• As duas barras verticais representa o modulo ou valor absoluto da diferenca.

Apos a transformacao dos dados originais pela expressao 1.2, aplicamos o teste da ANOVA.

Se a estatıstica F for significativa rejeitamos a hipotese de igualdade das variancias, ou seja, se

o p-valor for inferior ao valor de α (nıvel de significancia do teste) rejeitamos H 0.

Exemplo 1.20. Utilizando os dados do Exemplo1.18 iremos aplicar o teste de Levene para

testar a igualdade de variancia. Os dados est˜ ao apresentados na tabela 1.9.

Usando a express˜ ao 1.2, para os dados da medic˜ ao metrologista JO ˜ AO ( i = 1), obtemos os

dados transformado que s˜ ao dados por:

z11 = |50, 0071−50, 0072| = 0, 0001 ; z12 = |50, 0072−50, 0072| = 0 ; z13 = |50, 0072−50, 0072| = 0;

z14 = |50, 0071 − 50, 0072| = 0, 0001 ; z15 = |50, 0072 − 50, 0072| = 0.

Fazendo o mesmo para os demais nıveis, obtemos a tabela 1.10 com os dados transformados

para todos os nıveis.




JOAO NOVATO MOACIR ROBERTOMEDIDA 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073MEDIDA 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074MEDIDA 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073MEDIDA 4 50,0071 50,0071 50,0072 50,0072

MEDIDA 5 50,0072 50,0078 50,0072 50,0072SOMA (xi.) 250,036 250,037 250,036 250,036 x.. = 1000, 146

MEDIA (xi.) 50,0072 50,0074 50,0073 50,0073 x.. = 50, 0073MEDIANA ( xi.) 50,0072 50,0075 50,0072 50,0073

Tabela 1.9: Tabela resumo das medicoes dos metrologistas

Operador Medicoes

JOAO 0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000NOVATO 0,0005 0,0001 0,0000 0,0004 0,0003

MOACIR 0,0000 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000ROBERTO 0,0000 0,0001 0,0000 0,0001 0,0001

Tabela 1.10: Dados Transformados para as Medicoes

Com os dados transformados, aplicamos o teste da Anova. A tabela 1.11 apresenta o resul-

tado do teste.

Fonte de Soma de Graus de Quadrados Estatıstica F P-valor

Variacao Quadrados Liberdade MediosFator 1,615e-07 3 5,3833e-08 3,778 0,0318Erro 2,280e-07 16 1,4250e-08Total 3,895e-07 19

Tabela 1.11: Analise de Variancia para os dados transformados.

Como o p-valor e menor que 5%, temos evidencias para rejeitar a hip´ otese de igualdade de

variancias.

1.19 Comparacao entre Sistemas de Medicao

Aqui, vamos apresentar uma tecnica para comparar dois sistemas de medicao. Para ilustrar,

vamos considerar um exemplo.

Exemplo 1.21. O diametro de um anel padr˜ ao pode ser medido por dois tipos de sistemas de

medic˜ ao. Para comparar estes sistemas de medic˜ ao, um anel padr˜ ao foi medido 5 vezes por

cada sistema de medic˜ ao utilizando o mesmo operador. Os resultados est˜ ao abaixo:




SM 1 SM 2

Media 15,601mm 15,603mm

Incerteza Expandida 0,001mm 0,0015mm

Etapa 1: Calcular a Estatıstica:

EN =|MSM 1 − MSM 2|√

U SM 12 + USM 22

onde:

• MSM1: representa a media do sistema de medic˜ ao 1;

• MSM2: representa a media do sistema de medic˜ ao 2;

• USM1: representa a incerteza expandida do sistema de medic˜ ao1;

• USM2: representa a incerteza expandida do sistema de medic˜ ao2.

Com isso, temos que

EN =|15, 601 − 15, 603| (0, 001)2 + (0, 0015)2

=0, 002

0, 0018= 1, 109

Etapa 2:

• Se EN < 1, os dois sistemas de medic˜ ao s˜ ao compatıveis;

• Se EN > 1, os dois sistemas de medic˜ ao n˜ ao s˜ ao compatıveis, isto e, os sistemas de

medic˜ ao apresentam diferencas significativas.

Como, no exemplo, EN = 1, 109 e maior que 1, concluımos que existe uma diferenca

significativa entre os dois sistemas medic˜ ao.

Exercıcio 1.7. Considere dois sistemas de medic˜ ao de dureza na escala HB. Um mesmo padr˜ ao

foi medido v´ arias vezes por cada sistema, os resultados est˜ ao abaixo:

SM 1 SM 2

Media 56 HB 58,2 HB

Incerteza Expandida 1,25 HB 2,2 HB

EN =|56 − 58, 2|

(1, 25)2 + (2, 2)2= 0, 8695

Como o EN = 0, 8695 e menor que 1, concluımos que n ao existe uma diferenca significativa

entre os dois sistemas medic˜ ao.



41

Capıtulo 2

Fundamentos do Calculo de Incerteza

em Medicao

2.1 Medicao

O objetivo de uma medicao e determinar o valor de uma grandeza, isto e, um valor particular

de uma quantidade da grandeza. Esta medicao comeca com uma apropriada especificacao da

grandeza, do metodo e procedimento de medicao.

Em geral, o resultado de uma medicao e uma aproximacao ou estimativa do valor da

grandeza. Assim, o resultado da medicao somente esta completo se estiver acompanhado da

incerteza da estimativa.

Na pratica, a especificacao ou definicao da grandeza e consequencia da exatidao (accuracy)

desejada. Para atender a exatidao requerida, a grandeza deve ser especificada de tal forma que,

esta tenha um unico valor para os propositos praticos associados.

Exemplo 2.1. Considere uma haste de 75 mm onde a exatid˜ ao requerida e de micrometros.

Neste caso, sua especificac˜ ao deve incluir a temperatura e press˜ ao. Por outro lado, se o compri-

mento da haste deve ser determinado em milımetros, sua especificac˜ ao n˜ ao requer a definic˜ ao

da temperatura e press˜ ao.

Na grande maioria dos casos, o resultado da medicao e determinado atraves de uma serie

de leituras obtidas sob condicoes de repetitividade. Variacoes obtidas nas leituras repetidas sao

consequencia de fatores que afetam os resultados das leituras.

Alem disso, o modelo matematico da medicao, que transforma as leituras repetidas no

resultado da medicao e crıtico, pois incluı fatores que nao sao totalmente conhecidos. Assim, a



2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 42

variacao obtida nas leituras repetidas e a falta de informacao do modelo matematico, contribuem

para a incerteza do resultado da medicao.

Medicao e o conjunto de operacoes com objetivo de determinar o valor de uma grandeza.

Estas operacoes podem ser realizadas automaticamente.Medir e um processo experimental pelo qual o valor momentaneo de uma grandeza fısica

(grandeza a medir) e determinado como multiplo e/ou uma fracao de uma unidade, estabelecida

por um padrao, e reconhecida internacionalmente.

2.2 Erros, efeitos e correcoes

Em geral, uma medicao tem imperfeicoes que dao origem a um erro no resultado da medicao.Tradicionalmente, um erro e visto como tendo dois componentes, a saber, um componente

aleatorio e um componente sistematico.

NOTA - Erro e um conceito idealizado e os erros n˜ ao podem ser conhecidos exatamente.

O erro aleatorio presumivelmente se origina de variacoes temporais ou espaciais, estocasticas

ou imprevisıveis, de grandeza de influencia. Os efeitos de tais variacoes, daqui para a frente

denominamos efeitos aleatorios, sao a causa de variacoes em observacoes repetidas da grandeza.

Embora nao seja possıvel compensar o erro aleatorio de um resultado de medicao, ele pode geral-

mente ser reduzido aumentando-se o numero de observacoes; sua esperanca ou valor esperado

e zero.

NOTAS

1. O desvio padr˜ ao experimental da media aritmetica ou media de uma serie de observac˜ oes

n˜ ao e o erro aleat´ orio da media embora ele assim seja designado em algumas publicac˜ oes.

Ele e, em vez disso, uma medida de incerteza da media devida a efeitos aleat´ orios. O

valor exato do erro na media, que se origina destes efeitos, n˜ ao pode ser conhecido.

2. Deve-se tomar muito cuidado em distinguir entre os termos ”erros”e ”incerteza”. Eles

n˜ ao s˜ ao sinonimos, ao contr´ ario representam conceitos completamente diferentes; eles

n˜ ao deveriam ser confundidos um com o outro, nem ser mal empregados.

O erro sistematico, como o erro aleatorio, nao pode ser eliminado porem ele tambem,




frequentemente, pode ser reduzido. Se um erro sistematico se origina de um efeito recon-

hecido de uma grandeza de influencia em um resultado de medicao, daqui para diante denom-

inado como efeito sistematico, o efeito pode ser quantificado e, se for significativo com rela cao

a exatidao requerida da medicao, uma correcao ou fator de correcao pode ser aplicado paracompensar o efeito. Supoe-se que, apos esta correcao, a esperanca ou valor esperado do erro

provocado ou um efeito sistematico seja zero.

NOTA - A incerteza de uma correc˜ ao aplicada a um resultado de medic˜ ao, para compensar

um efeito sistem´ atico, n˜ ao e o erro sistem´ atico, freq¨ uentemente denominado efeito de tendencia,

como e algumas vezes denominada no resultado de medic˜ ao devido ao efeito. ´ E, ao contr´ ario,

uma medida de incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor requerido

da correc˜ ao. O erro originado da compensac˜ ao imperfeita de um efeito sistem´ atico n˜ ao pode

ser exatamente conhecido, Os termos ”erro”e ”incerteza”devem ser usados apropriadamente e

deve-se tomar cuidado em distinguir um do outro.

Supoe-se que o resultado de uma medicao tenha sido corrigido para todos os efeitos sis-

tematicos reconhecidos como significativos e que todo esforco tenha sido feito para identificar

tais efeitos.

Exemplo 2.2. Uma correc˜ ao devida a impedancia finita de um voltımetro usado para medir

uma diferenca de potencial (a grandeza), atraves de um resistor de alta impedancia e aplicada

para reduzir o efeito sistem´ atico sobre no resultado da medic˜ ao proveniente do efeito de car-

regamento do voltımetro. Entretanto, os valores da impedancia do voltımetro e do resistor, que

s˜ ao usados para estimar o valor da correc˜ ao e s˜ ao obtidos a partir de outras medidas, s˜ ao,

eles mesmos, incertos. Essas incertezas s˜ ao usadas para avaliar a componente de incerteza da

determinac˜ ao de diferenca de potencial originada da correc˜ ao e, assim, do efeito sistem´ atico

devido a impedancia finita do voltımetro.

NOTA - Freq¨ uentemente, os instrumentos e sistemas de medic˜ ao s˜ ao ajustados ou cali-

brados, utilizando-se padr˜ oes de medic˜ ao e materiais de referencia para eliminar os efeitos

sistem´ aticos; entretanto, as incertezas associadas a esses padr˜ oes e materiais ainda devem ser

levadas em conta.




2.3 Incerteza de Medicao

A incerteza do resultado de uma medicao reflete a falta de conhecimento exato do valor da

grandeza. O resultado de uma medicao, apos correcao dos efeitos sistematicos reconhecidos, e

ainda, tao somente uma estimativa do valor da grandeza por causa da incerteza proveniente

dos efeitos aleatorios e da correcao imperfeita do resultado para efeitos sistematicos.

NOTA - O resultado de uma medic˜ ao (ap´ os correc˜ ao) pode, sem que se perceba, estar muito

pr´ oximo do valor da grandeza (e, assim, ter um erro desprezıvel), muito embora possa ter uma

incerteza grande. Portanto, a incerteza do resultado de uma medic˜ ao n˜ ao deve ser confundida

com o erro desconhecido remanescente.

Na pratica, existem muitas fontes possıveis d incerteza em uma medicao, incluindo:

a) definicao incompleta da grandeza;

b) realizacao imperfeita da definicao da grandeza;

c) amostragem nao-representativa - a amostra medida pode nao representar a grandeza

definida;

d) conhecimento inadequado dos efeitos das condicoes ambientais sobre a medicao ou medicao

imperfeita das condicoes ambientais;e) erro de tendencia pessoal na leitura de instrumentos analogicos;

f) resolucao finita do instrumento ou limiar de mobilidade;

g) valore inexatos dos padroes de medicao e materiais de referencia;

h) valore inexatos de constantes e de outros parametros obtidos de fontes eternas e usados

no algoritmo de reducao de dados;

i) aproximacoes e suposicoes incorporadas ao metodo e procedimento de medicao;

j) variacoes nas observacoes repetidas da grandeza sob condicoes aparentemente identicas.

Essas fontes nao sao necessariamente independentes e algumas das fontes de a) a i) podem

contribuir para a fonte j). Naturalmente, um efeito sistematico nao reconhecido nao pode ser

levado em consideracao na avaliacao da incerteza do resultado de uma medicao, porem contribui

para seu erro.

NOTA - Em algumas publicac˜ oes, os componentes da incerteza s˜ ao categorizados como

”aleat´ orio”e ”sistem´ atico”e s˜ ao associados com erros provenientes de efeitos aleat´ orios e deefeitos sistem´ aticos conhecidos, respectivamente. Tal categorizac˜ ao de componentes de in-




certeza pode se tornar ambıgua quando aplicada genericamente. Por exemplo, um componente

”aleat´ orio”de incerteza em uma medic˜ ao pode se tornar um componente ”sistem´ atico”da in-

certeza em outra medic˜ ao na qual o resultado da primeira medic˜ ao e usado como dado de

entrada. Categorizando os metodos de avaliac˜ ao dos componentes de incerteza, em vez de faze-lo com os pr´ oprios componentes, evita-se tal ambig¨ uidade. Ao mesmo tempo, isto n˜ ao impede

designar componentes individuais que tenham sido avaliados pelos dois diferentes metodos em

grupos distintos, a serem usados para uma finalidade em particular.

O proposito da classificacao Tipo A e Tipo B e de indicar as duas maneiras diferentes de

avaliar os componentes da incerteza e serve apenas para discussao; a classificacao nao se propoe

a indicar que haja qualquer diferenca na natureza dos componentes resultando dos dois tipos

de avaliacao. Ambos os tipos d avaliacao sao baseados em distribuicoes de probabilidade e os

componentes de incerteza resultantes de cada tipo sao quantificados por variancias ou desvios

padrao.

A variancia estimada u2, caracterizando um componente de incerteza obtido de uma avaliacao

do Tipo A, e calculada a partir de uma serie de observacoes repetidas, e e a conhecida variancia

s2 estatisticamente estimada. O desvio padrao estimado u, a raiz quadrada positiva de u2, e

portanto u = s e, para maior conveniencia, e por vezes denominada incerteza padrao do TipoA. Para um componente de incerteza obtido por uma avaliacao do Tipo B, a variancia estimada

u2 e avaliada, usando-se o conhecimento disponıvel, e o desvio padrao estimado u e, por vezes,

denominado incerteza padrao do Tipo B.

Assim, uma incerteza padrao do Tipo A e obtida a partir de uma funcao densidade de

probabilidade derivada da observacao de uma distribuicao de frequencia, enquanto que a in-

certeza padrao do Tipo B e obtida de uma suposta funcao densidade de probabilidade, baseada

no grau de credibilidade de que um evento va ocorrer (frequentemente chamada probabilidadesubjetiva). Ambos os enfoques empregam interpretacoes reconhecidas de probabilidade.

NOTA - Uma avaliac˜ ao do Tipo B de um componente de incerteza e usualmente baseada

em um conjunto de informac˜ oes comparativamente confi´ aveis.

A incerteza padrao do resultado de uma medicao, quando este resultado e obtido de valores

e um numero de outras grandezas, e denominada incerteza padrao combinada e designada ou

uc. Ela e o desvio padrao estimado, associado com o resultado, e e igual a raiz quadrada positiva

da variancia combinada, obtida a partir de todos os componentes da variancia e covariancia,




independente de como tenham sido avaliados, usando o que e denominado, de lei da propagacao

de incerteza.

Para satisfazer as necessidades de algumas aplicacoes industriais e comerciais, assim como a

requisitos nas areas da saude e seguranca, uma incerteza expandida U e obtida, multiplicando-se a incerteza padrao combinada uc por um fator de abrangencia k. A finalidade pretendida

para U e fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medicao, com o qual se espera

abranger uma grande fracao da distribuicao de valores que poderiam razoavelmente ser atribuıda

a grandeza. A escolha de k, o qual esta geralmente na faixa de 2 a 3, e baseada na probabilidade

de abrangencia ou nıvel da confianca requerido do intervalo.

NOTA - O fator de abrangencia k deve sempre ser declarado de forma que a incerteza padr˜ ao

da grandeza medida possa ser recuperada para uso no c´ alculo de incerteza padr˜ ao combinada

de outros resultados de medic˜ ao que possam depender dessa grandeza.

Se houver variacao de todas as grandezas das quais o resultado de uma medi cao depende,

sua incerteza podera ser calculada por meios estatısticos. Entretanto, uma vez que isso, na

pratica, raramente e possıvel, devido a tempo e recursos limitados, a incerteza de um resultado

de medicao e, geralmente, avaliada, utilizando-se um modelo matematico da medicao e a lei

de propagacao da incerteza. Assim, esta implıcita a suposicao de que uma medicao pode ser

modelada matematicamente ate o grau imposto pela exatidao requerida na medicao. Uma

vez que o modelo matematico pode ser incompleto, todas as grandezas relevantes dever ser

variadas ate a maior extensao pratica possıvel, de modo que a avaliacao da incerteza possa ser

baseada, tanto quanto possıvel, nos dados observados. Sempre que factıvel, o uso de modelos

empıricos da medicao, fundamentados em dados quantitativos, colecionados ao longo do tempo,

e o uso de padroes de verificacao e graficos de controle que possam indicar se uma medi cao

esta sob controle estatıstico, devem ser parte do esforco de obtencao de avaliacoes confiaveis

de incerteza. O modelo matematico devera sempre ser revisado quando os dados observados,

incluindo o resultado de determinacoes independentes da mesma grandeza, demonstrarem que

o modelo esta incompleto. Um experimento bem projetado pode, muito, facilitar avaliacoes

confiaveis da incerteza e e uma parte importante da arte de medicao.

De forma a decidir se um sistema de medi cao esta funcionando adequadamente, a vari-

abilidade observada experimentalmente de seus valores de saıda, conforme medida pelo seu

desvio padrao observado, e, frequentemente, comparada com o desvio padrao previsto obtido,

combinando-se os varios componentes da incerteza que caracterizam a medicao. Em tais ca-




sos, somente aqueles componentes (obtidos de avaliacoes Tipo A ou Tipo B) que poderiam

contribuir para a variabilidade experimentalmente observada destes valores de saıda devem ser

considerados.

NOTA - Tal an´ alise pode ser facilitada, reunindo-se aqueles componentes que contribuem

para a variabilidade e aqueles que n˜ ao o fazem em dois grupos separados e adequadamente

rotulados.

Em alguns casos, a incerteza de uma correcao para um efeito sistematico nao precisa ser

incluıda na avaliacao da incerteza de um resultado de medi cao. Embora a incerteza tenha

sido avaliada, ela pode ser ignorada se sua contribuicao para a incerteza padrao combinada

de um resultado de medicao e insignificante. Se o valor da propria correcao for insignificante

relativamente a incerteza padrao combinada, ele tambem pode ser ignorado.

Muitas vezes ocorre na pratica, especialmente no domınio da metrologia legal, que um

equipamento e ensaiado atraves de uma comparacao com um padrao de medicao e as incertezas

associadas com o padrao e com o procedimento de comparacao sao desprezıveis relativamente

a exatidao requerida do ensaio. Um exemplo e o uso de um conjunto de padroes de massa

bem calibrados para verificar a exatidao de uma balanca comercial. Em tais casos, porque os

componentes da incerteza sao pequenos o bastante para serem ignorados, a medi cao pode ser

vista como determinacao do erro do equipamento sob ensaio.

A estimativa do valor de uma grandeza, obtida pelo resultado de uma medicao, e algumas

vezes expressa em termos de valor adotado de um padr ao de medicao, em vez de termos da

unidade apropriada do Sistema Internacional de Unidades (SI). Em tais casos, a magnitude da

incerteza atribuıvel ao resultado de medicao pode ser significativamente menor do que quando

aquele resultado for expresso na unidade SI apropriada (na realidade, a grandeza foi redefinida

para ser razao entre o valor da grandeza a ser medida e do valor adotado do padrao).

Exemplo 2.3. Um padr˜ ao de tens˜ ao Zener de alta qualidade e calibrado por comparac˜ ao

com uma referencia de tens˜ ao de efeito Josephson baseado no valor convencional da constante

Josephson recomendada para uso internacional pelo CIPM. A incerteza padr˜ ao combinada rel-

ativa uc(V S )/V S da diferenca de potencial calibrada V S e relatado em termos do valor conven-

cional, mas uc(V S )/V S e 4 × 10−7 quando V S e relatado em termos da unidade SI da diferenca

de potencial, volt( V ), por causa da incerteza adicional associada com o valor SI da constante

Josephson.




Erros grosseiros no registro ou na analise dos dados podem introduzir um erro desconhecido

significativo no resultado de uma medicao. Grandes erros grosseiros podem ser, geralmente,

identificados por uma revisao apropriada dos dados; os pequenos erros grosseiros podem ser

mascarados por variacoes aleatorios, ou ate mesmo podem aparecer como tais. Medidas deincerteza nao sao projetadas para levar em conta tais erros.

A avaliacao da incerteza nao e uma tarefa de rotina nem uma tarefa puramente matematica;

ela depende de conhecimento detalhado da natureza da grandeza e da medicao. A qualidade

e utilidade da incerteza indicada para o resultado de uma medicao, dependem, portanto, e em

ultima analise, da compreensao, analise crıtica e integridade daqueles que contribuem para o

estabelecimento de seu valor.

Resultado da Medicao

A expressao de um resultado de medicao encontra-se incompleta caso esta nao se apresente

com a declaracao da Incerteza de medicao associada. A incerteza de um resultado define uma

faixa de valores em torno da media das medicoes, dentro da qual o valor verdadeiro da grandeza

se encontra com nıvel de confianca estabelecido.

Resultado = Media (das medidas) - Erro Sistematico

±IM (Incerteza)

Embora nao seja ainda de entendimento geral e ate mesmo algumas vezes de desconheci-

mento de alguns, cumpre-nos observar que dentre as parcelas mostradas na expressao do Re-

sultado de uma medicao a IM (Incerteza de Medicao) e a mais importante, ate mesmo do que

a Media (das medidas) e mereceria uma maior compreensao e aplicacao.

Vejamos um exemplo em que a um Metrologista fosse solicitado para medir as dimens oes do

seu Laboratorio de Metrologia para a preparacao de um layout, e este nao dispusesse de trena

ou qualquer outro meio de medicao. Este poderia utilizar-se das dimensoes padronizadas das

placas do piso (Por exemplo Paviflex, 30 × 30 cm) e apos uma contagem do numero de placas

em cada lado emitir um resultado de medicao, como o seguinte: 4,0 × 4,0 m ± 0,15 m .

Metrologicamente falando, o resultado da sua medicao esta correto mesmo se o solicitante

nao estivesse satisfeito com a IM apresentada e neste caso o mesmo poderia propor uma al-

teracao no procedimento de medicao utilizado, como por exemplo o uso de uma trena.

Sob o mesmo ponto de vista, errado estaria se a medicao fosse feita, por exemplo com uma

trena e o resultado apresentado fosse: 4,010 × 4,047 m (sem a declaracao da IM).

Tipos de Incertezas de Medicao




Por recomendacoes do INC-1 (1981) [ISO GUM ver.95] os componentes da incerteza foram

divididos em dois grupos de acordo com o metodo utilizado para estimar seus valores numericos:

Tipo A - Aquelas que sao avaliadas por metodos estatısticos

Tipo B - Aquelas que sao avaliadas por outros metodosEstas categorias aplicam-se somente a incerteza e nao sao substitutos das palavras “aleatorios”

e “sistematicos”.

Ora os componentes da incerteza de medicao sao classificados como “Tipo A” ou “Tipo

B” e modelados pelo tipo de avaliacao, mas todos estes componentes independente de suas

classificacoes sao modelados pelo tipo de distribuicao de probabilidade e quantificados pela

variancia ou pelo desvio padrao. Portanto, a incerteza do tipo A e obtida da funcao densidade

de probabilidade derivada das observacoes (leituras), isto e, da distribuicao de frequencia.Enquanto a incerteza do tipo B e obtida da funcao densidade de probabilidade previamente

assumida.

• A avaliacao do Tipo A sera normalmente utilizada para obter o valor da repetitividade ou

aleatoriedade de um processo de medicao, exibido em um dado momento. Para algumas

medicoes o componente aleatorio da incerteza pode nao ser significante em relacao a

outras contribuicoes da incerteza.

• E provavel que os componentes sistematicos da incerteza, por exemplo aqueles relativos

a erros que permanecem quase constantes enquanto a medicao e realizada, serao obti-

das por avaliacoes Tipo B. A mais importante dessas componentes sistematicas, para

um instrumento, normalmente sera a incerteza associada aos padroes de referencia uti-

lizados de forma a atender as necessidades da rastreabilidade aos Padroes Nacionais ou

Internacionais.

Exemplos de Componentes de Incerteza de Medicao Tipo “A”

GRANDEZA FONTE DE INCERTEZA - TIPO “A”

Dimensional Repetitividade entre as varias medicoes em um calibrador

Temperatura Repetitividade entre as medicoes de microvoltagens em um Termopar Tipo S

Dureza Repetitividade entre 10 medidas em uma placa padrao de dureza

Exemplos de Componentes de Incerteza de Medicao Tipo “B”




GRANDEZA FONTE DE INCERTEZA - TIPO “B”

Dimensional Incerteza no medidor de temperatura utilizado para compensar a expansao termica do mensuran do

Dimensional Resolucao do Instrumento

Dimensional Incerteza do Coeficiente de Expansao termica utilizad o

Temperatura Erro estimado na determinacao do ponto zero

Temperatura Incerteza do padrao utilizado

Temperatura Uniformidade do forno

Medidas Eletricas Influencias das condicoes ambientais

Me di da s Ele tr ic as Es ta bi li dad e es ti mad a d o i ns tr um ento a o l ong o do te mp o

Massa Estabilidade (Drift) da massa padrao

Massa Incerteza do padrao

Massa Linearidade da balanca

Algumas Fontes de Erros para Estimativas de Componentes Tipo “B”

Dimensional

• Fonte de Incerteza;

• Duvida na leitura (resolucao do instrumento);

• Desconhecimento do coeficiente de expansao termica do mensurando ou padrao a ser

calibrado;

• Diferencas de temperatura;

• Erros de cosseno;

• Erros geometricos;

• Incertezas do equipamento de medicao usado na calibracao.




Temperatura

• Incerteza assumida para os instrumentos eletricos usados durante da calibracao;

•Drift (instabilidade) desde a ultima calibracao;

• Resolucao da leitura;

• Instabilidade e gradientes de temperatura no ambiente;

• Efeito do auto aquecimento dos termometros de resistencia Pt;

• Interpolacoes em tabelas de referencia.

Eletrica

• Drift ( instabilidade ) desde a ultima calibracao;

• Condicoes ambientais diferentes daquela recomendada para a calibracao;

• Interpolacao nos dados de calibracao;

• Resolucao;

•Layout dos instrumentos e padroes durante a calibracao (fugas de corrente, campos eletro-

magneticos);

• Impedancia dos cabos, terminais e instrumentos.

2.4 Avaliacao da Incerteza Padrao

Em muitos casos, uma grandeza y nao e medida diretamente, mas e determinado em funcao

de n outras grandezas x1, x2, . . . , xn, atraves de uma relacao funcional f :

y = f (x1, x2, . . . , xn)

As grandezas de entrada x1, x2, . . . , xn, sobre o qual o valor de saıda y depende, pode ser uma

medida ou depender de outras variaveis, incluindo correcoes e fatores de correcoes para efeitos

sistematicos. A funcao f pode ser determinada experimentalmente, ou existe somente, comoum algoritmo que pode ser avaliado numericamente.

As grandezas de entradas x1, x2, . . . , xn podem ser caracterizadas como:




valores e incertezas determinados diretamente em medicao; esses valores e incertezas

podem ser obtidos de uma simples observacao, repetidas observacoes ou julgamentos

baseados na experiencia. Tambem podem envolver as determinacoes de correcoes para

indicacao dos instrumentos e correcoes por grandezas de influencias, tais como: tempera-tura ambiente, pressao barometrica e umidade;

valores e incertezas, os quais sao conduzidos para uma medicao de fontes externas, tais

como: grandezas associadas com calibracao de padroes, certificados de materiais de re-

ferencia e referencia de informacoes obtidas atraves de manuais.

Exemplo: Para medirmos o volume, podemos utilizar o seguinte metodo:

V ol =Massa

Densidade

onde a grandeza volume e obtida atraves das grandezas massa e densidade .

A estimativa do desvio padrao, associado com cada estimativa de entrada xi, e denominada

de incerteza padrao e indicada por u(xi).

A estimativa do desvio padrao, associado com a estimativa do resultado de medicao y,

e denominado incerteza padrao combinada e indicado por uc(y), e e determinada pela

combinacao das incertezas padrao, associada com as estimativas de entrada (xi).

Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza associada u(xi) sao obtidas pela distribuicao

dos valores de uma grandeza de entrada (xi).

A avaliacao da incerteza de medicao “Tipo A” e baseada na distribuicao de

frequencia, enquanto que a avaliacao “Tipo B” e baseada em informacoes disponıveis

da variabilidade da grandeza de entrada (xi).

Exemplo 2.4. (NIS 3003, 1995) Calibrac˜ ao de uma massa padr˜ ao com valor nominal 10 Kg de

classe M1, utilizando um comparador. Neste caso, obtemos a equac˜ ao da massa desconhecida

W X , por

W X = W S + DS + δC + Ab + ∆W.

Na pratica nao aplicamos correcao para esta classe de massa e o comparador tem linearidade

desconhecida. Entretanto, associamos incertezas para estas contribuicoes.

Avaliacao da Incerteza Padrao Tipo A.Na grande maioria dos casos, a melhor estimativa para o valor esperado de uma quantidade

que varia aleatoriamente, e para o qual temos n leituras independentes k obtidas sob condicoes




Sımbolo Fonte de Incerteza Tipo Limites MediaWS Massa padrao B ± 30 mg (k=2) 10 kgDS Deriva (drift) massa padrao B ± 15 mg 0δC Linearidade do comparador B ± 10 mg 0Ab Efeito do ar B

±10 mg 0

∆W Repetitividade A

de repetitividade, corresponde a media aritmetica.

Assim, quando a estimativa de uma grandeza de entrada xi, tem sido obtida de n medidas,

sob condicoes de repetitividade, a incerteza padrao u(xi) e obtida pela estimativa da variancia

da media, dada por:

sX =s√n

.

onde n = numero de medidas e s = desvio padrao correspondente as n leituras.

Voltando ao exemplo 2.4: Considerando o processo de calibracao da massa padrao do exem-

plo anterior, o avaliador realizou cinco medidas da diferenca entre a massa padrao e a massa

desconhecida. Os resultados estao abaixo:

Leitura 1 15 mg

Leitura 2 25 mg

Leitura 3 20 mg

Leitura 4 13 mg

Leitura 5 18 mg

Media 18,20 mg

Desvio Padrao 4,66 mg

Desvio Padrao da Media 2,08 mg

Incerteza do tipo A : 2,08 mg.




Avaliacao da Incerteza Padrao Tipo B

Para uma estimativa de uma grandeza de entrada xi, que nao tenha sido obtida de ob-

servacoes repetidas, a variancia estimada u2(xi) ou a incerteza padrao u(xi) e avaliada pelo

julgamento especıfico baseado em todas as informacoes disponıveis na variabilidade de xi. Noconjunto destas informacoes incluımos:

a) informacoes previas de medicao;

b) experiencia ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos instrumentos e

materiais relevantes;

c) especificacoes do fabricante;

d) informacoes de relatorios de calibracao e outras especificacoes;

e) incerteza transmitidas pelas informacoes de referencias obtidas de manuais.

Por conveniencia, u2(xi) e u(xi) avaliados desta maneira sao chamados de Variancia Tipo

B e Incerteza Padrao Tipo B, respectivamente.

O proposito de usar varias informacoes disponıveis para a avaliacao da incerteza padrao do

Tipo B e para buscar um discernimento baseado na experiencia e nos conhecimentos gerais,

e e uma habilidade que pode ser obtida com a pratica. E reconhecido que uma avaliacao da

incerteza pelo Tipo B pode ser tanto confiavel quanto a do Tipo A, especialmente na situacao

em que a avaliacao do Tipo A e baseada na comparacao de pequenos numeros de observacoes

estatisticamente independentes (ISO GUM, 1995)

A seguir, sao apresentados 4 suposicoes disponıveis para as grandezas de entradas de in-

fluencia xi, para a avaliacao da Incerteza Padrao Tipo B.

• Caso 1

Se a estimativa xi e retirada da especificacao do fabricante, certificados de calibracao, ma-

nuais ou outras fontes, sua incerteza padrao u(xi) e simplesmente o valor citado dividido pelo

multiplicador.

Exemplo 2.5. Um certificado de calibrac˜ ao afirma que a massa de um aco inoxid´ avel de massa

padr˜ ao ms = 1000, 000325g, tem como incerteza 240µg para um nıvel de confianca com k = 3.

A incerteza padr˜ ao da massa padr˜ ao, e ent ao:

u(ms) = 240 µg/3 = 80 µg




A incerteza de xi, nao necessariamente e relatada como um multiplo de um desvio padrao,

como abordado acima. Em vez disso, pode-se encontrar uma declaracao que a incerteza

declarada possui 90, 95 ou 99 % de nıvel de confianca.

Salvo indicacao contraria, podera assumir que uma distribuicao normal (ou, t-Student) serautilizada para o calculo da incerteza declarada, e a incerteza padrao u(xi), pode ser encontrada

dividindo-se a incerteza declarada por um fator k, apropriado da distribuicao normal.

Exemplo 2.6. Um certificado de calibrac˜ ao afirma que a resistencia de um resistor padr˜ ao

RS de valor nominal 10 Ohms e 10, 000742Ω a 23oC e com incerteza de 129mΩ, definindo um

intervalo de com nıvel de significancia de 99%. Ent˜ ao, a incerteza padr˜ ao e dada por:

u(RS ) = 1292, 58

= 50 µΩ

Neste caso, utilizamos a tabela da distribuic˜ ao normal para determinar o valor de k.

• Caso 2

Em alguns casos, pode ser possıvel estimar somente os limites (limite superior a+ e inferior

a−) para xi, por exemplo, quando a grandeza de influencia e a variacao da temperatura. Neste

caso, consideramos que a probabilidade de que o valor de xi se encontra dentro do intervalo

a− ate a+, para todo proposito pratico, e igual a 1 e a probabilidade que xi esteja fora deste

intervalo e essencialmente zero. Se nao ha conhecimento especıfico sobre a possibilidade do valor

xi estar dentro do intervalo, pode-se somente admitir que, e igualmente provavel encontra-lo

por toda parte, dentro do intervalo (uma distribuicao uniforme ou retangular).

Entao xi, e o ponto medio do intervalo , onde: xi = (a−+a+)2

, cuja variancia associada e dada

por:

u2(xi) = (a+ − a−)2

12.

Se a diferenca entre os limites, (a+ − a−), e representado por 2a, ou seja, os limites sao

simetricos, entao a equacao para variancia sera:

u2(xi) =a2

2




u =base

2√

3=

2a

2√

3=

a√3

Exemplo 2.7. Um manual estabelece que o valor do coeficiente linear de expans˜ ao termica de

um bloco padr˜ ao de aco e determinado por αS = 11, 5

×10−6 C −1 e que o “erro” neste valor

n˜ ao deve exceder 2 × 10−6 C −1. Baseado nesta informac˜ ao limitada, e razo´ avel assumir que

o coeficiente de expans˜ ao termica pertence ao intervalo 9, 5 × 10−6 C −1 a 13, 5 × 10−6 C −1,

com probabilidade 1. A incerteza padr˜ ao do coeficiente de expans˜ ao termica e dado por

u(αS ) =(2 × 10−6)√

3= 1, 2 × 10−6 C −1

• Caso 3

Os limites superiores e inferiores a−ea+ para uma grandeza de entrada xi pode nao ser

simetrico, ou seja, se o limite menor e escrito como a− = xi − b− e o limite superior como

a+ = xi + b+, entao b− = b+. Neste caso, xi nao e o centro do intervalo (a−, a+) e a dis-

tribuicao de probabilidade de xi nao pode ser uniforme. Entretanto, pode nao existir informacao

suficiente para escolher uma distribuicao apropriada e diferentes modelos conduzirao para dife-

rentes expressoes para a variancia. Na ausencia de tais informacoes uma simples aproximacao

e:

u2(xi) =(b+ + b−)2

12=

(a+ + a−)2

12

que corresponde a variancia da distribuicao retangular com comprimento b− + b+.

Exemplo 2.8. Caso o exemplo anterior referente ao coeficiente de expans˜ ao termica especifique

aS = 11, 5×10−6 C −1 tal que o menor valor possıvel seja 10, 0×10−6 C −1 e que o maior valor

possıvel seja de 14, 0 × 10−6 C −1. Neste caso, b− = 1, 5 × 10−6 C −1 e b+ = 2, 5 × 10−6 C −1.

Assim, a incerteza padr˜ ao e determinada por




u(αS ) =(4 × 10−6)√

12= 1, 15 × 10−6 C −1

Exemplo 2.9. Voltando ao exemplo 2.4 da calibrac˜ ao da massa padr˜ ao, vamos estimar as

incertezas padr˜ ao do tipo B:

Sımoblo Fonte de Incerteza Limites Distribuic˜ ao Incerteza

W S massa padr˜ ao ± 30 mg Normal 30/2=15 mg

D S Deriva (drift) massa padr˜ ao ± 15 mg Retangular 15/(3)1/2 = 8, 66mg

δC Linearidade do comparador ± 10 mg Retangular 10/(3)1/2 = 5, 77mg

Ab Efeito do ar ± 10 mg Retangular 10/(3)1/2 = 5, 77mg

• Caso 4

Nos casos acima nao temos informacao sobre os valor da grandeza X i, apenas que ela se

encontra dentro dos limites especificados. Por isso, assumimos que os valores da grandeza sao

equiprovaveis dentro destes limites, e que tem probabilidade zero de estar for destes limites.

Muitas vezes e mais realista assumirmos que valores perto dos limites especificados sao menos

provaveis do que valores proximos ao centro. Neste caso, e razoavel trocarmos a distribuicao

retangular pela distribuicao triangular. Assumindo uma distribuicao triangular para a grandeza

X i, obtemos como media

xi = (a+ + a−)/2

com incerteza associada

u2(xi) = a2/6




u =base

2√

6=

2a

2√

6=

a√6

2.5 Determinacao da Incerteza Padrao Combinada

Quando a incerteza do resultado do mensurado y e obtida pela combinacao das incertezas

padrao das estimativas de entrada x1, x2, . . . , xN, esta incerteza combinada da estimativa y e

representada por uc(y), e denominada de incerteza padrao combinada.

As estimativas de entrada x1, x2, . . . , xN , podem ser classificadas como grandezas:

•Estatisticamente independentes ou nao correlacionadas;

• Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.

Para as grandezas estatisticamente independentes, considera-se as series de medicoes que

foram realizadas com diferentes sistemas de medicao. Neste caso, a incerteza padrao combinada

uc(y) e a raiz quadrada positiva da variancia combinada.

Quando as medicoes sao realizadas com o mesmo sistema de medicao, considera-se que as

grandezas de entradas sao estatisticamente dependentes entre si.

Neste caso, a covariancia estimada deve ser considerada como uma contribuicao adicional

para a incerteza.

A expressao para se determinar esta incerteza padrao combinada no caso nao correlacionado

e apresentada por:

u2c (y) =

N

i=1

∂f

∂xi

2

u2(xi)

onde u(xi) e a incerteza padrao associada com a grandeza de entrada Xi. As derivadas parciais

(df/dxi) calculada no ponto xi sao denominadas coeficientes de sensibilidade, pois descrevem

como a estimativa de y varia com pequenas mudancas nos valores das estimativas das grandezas

de entrada x1, x2, . . . , xN.

Nota: A incerteza combinada padrao no caso correlacionado nao sera tratado nesta apostila.

Exemplo: Na calibracao da massa padrao, obtemos a seguinte incerteza combinada

uc(m) =

(15)2 + (8, 66)2 + (5, 77)2 + (5, 77)2 + (2, 08)2 = 19, 26mg




2.6 Determinacao da Incerteza Expandida

Embora a incerteza combinada uc(y) possa ser universalmente usado para expressar a in-

certeza de um resultado de medicao, devido a necessidade de algumas industrias e aplicacoes

comerciais, bem como requisitos em areas de saude e seguranca, e frequentemente necessario

apresentar uma medida de incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medicao.

Neste caso, a incerteza compreende uma fracao da distribuicao dos valores, que podem ser ra-

zoavelmente atribuıdos para um mensurando, denominada de incerteza expandida U. Este

requisito foi reconhecido pelo Working Group e Recomendacoes do CIPM, INC (1981).

A incerteza expandida U e obtida pela multiplicacao da incerteza padrao combinada

uc(y) por um fator k:

U = k ∗ uc(y)

O valor do fator k e escolhido com base no nıvel de confianca requerido para o intervalo.

Em geral, k e usado entre 2 e 3. Portanto, para aplicacoes especiais, k podera ser determinado

conforme o nıvel de confianca requerido, de acordo com a distribuicao normal ou t-Student.

A Namas (NIS 3003 , 1995) recomenda que o fator k seja igual a 2 para calcular a incerteza

expandida. Este valor corresponde a aproximadamente 95% de confianca. Entretanto, se ascontribuicoes para a incerteza relativo a repetitividade for grande comparado com as outras dis-

tribuicoes e o numero de repeticoes for pequeno, existe uma possibilidade de que a distribuicao

de probabilidade normal nao seja adequada. Neste caso, o fator k = 2 nos garante um nıvel

de confianca menor que 95%. Aqui, devemos utilizar a distribuicao t-Student para encontrar o

valor do fator k que garante 95%.

Regra: Se a incerteza do tipo A for menor que metade da incerteza combinada, vamos

utilizar o fator k = 2. Caso contrario, devemos utilizar a distribuicao t-Student para obtermos

o valor de k que nos garante um intervalo com 95% confianca. A norma ISO GUM ver. 95

recomenda a utilizacao da equacao de Welch-Satterwaite para calcular os graus de liberdade,

baseado nos graus de liberdade de cada fonte de incerteza.

υef f =u4

c (y)N i=1 u4

i (y)/ν i=

u4c (y)

u4A(y)/ν A

=

uc(y)

uA(y)

4

ν A

onde ν i representa os graus de liberdade do fator de incerteza i e ν A e representa os graus

de liberdade do tipo A. Para contribuicoes da incerteza tipo A, consideramos como graus de

liberdade o numero de leitura menus 1 vezes o numero de pontos de calibracao. Para os graus




de liberdade referente a contribuicoes da incerteza tipo B, vamos considerar υi igual a infinito.

Exemplo 2.10. Voltando ao exemplo 2.4 da calibrac˜ ao da massa padr˜ ao, observe que a in-

certeza do tipo A e menor que metade da incerteza combinada. Assim, a incerteza expandida e

dada por:

U = 2x19, 26mg = 38, 52mg (k = 2)

Neste caso o resultado da medic˜ ao e expresso na forma:

10000, 000 g + 0, 018 g ± 0, 04 g (k = 2)

10000, 018 g ± 0, 04 g (k = 2)

Exemplo 2.11. Suponha um sistema de medic˜ ao com incerteza do tipo A, baseada em 4 ob-

servac˜ oes, tenha valor ui(y) de 3,5 unidades, existem outras 5 fontes de incerteza do tipo B que

apresentam incerteza estimada muito pequeno, de tal forma que a incerteza combinada uc(y)

seja igual a 5,7 unidades. Como a incerteza do tipo A e maior que metade da incerteza com-

binada, vamos utilizar a distribuic˜ ao t-Student para determinar o fator k. Atraves da equac˜ ao

de Welch-Satterwaite, temos

υeff =(5, 7)4

((3, 5)4/(4 − 1)) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 21, 1

Tomando valor de υef f igual a 20, obtemos que k = 2, 13.

2.6.1 Comprovacao Metrologica - Equipamento de Medicao

Determinar o erro maximo permissıvel.

EM P =menor tolerancia medida

J com J = (5; 15]

O mais utilizado e J = 10. Assim

EM P =tolerancia

10.




Criterio:

maxi | T i | +U (i) ≤ EM P (2.1)

A comprovacao metrologica no caso em que o EMP e funcao das leituras e discutido abaixo.

EM P = ± (a + b × leitura)

a = 0, 01

b = 0, 01

Criterio: |T i| + U (i) ≤ EM P (i), para todo ponto de calibracao. (i, representa o ponto de

calibracao).

Exemplo 2.12. Suponha que temos uma tolerancia de 1 g para as massas padr˜ ao. Ap´ os a cali-

brac˜ ao das massas, obteve-se as seguintes informac˜ oes do certificado de calibrac˜ ao apresentado




na Tabela 2.1.

Ponto (g) Tendencia (g) U (g) k1000 0,009 0,015 21000 0,01 0,015 2

1000 0,016 0,015 21000 0,01 0,015 25000 -0,014 0,075 25000 -0,069 0,075 25000 -0,043 0,075 25000 0,025 0,075 2

Tabela 2.1: Certificado de Calibracao

Considerando J = 10 temos que

EM P =Tolerancia

10= 0, 1 g.

A Tabela 2.2 apresenta o criterio de aprovac˜ ao (|T | + U ≤ EM P ) para as oito massas

padr˜ ao. Como podemos ver, duas massas de 5 kg foram reprovadas. Com isso, o certificado de

calibrac˜ ao cujo os valores foram apresentados na Tabela 2.1 n˜ ao est´ a aprovado.

Ponto (g) |T|+U Criterio1000 0,024 Aprovado1000 0,025 Aprovado1000 0,031 Aprovado1000 0,025 Aprovado5000 0,089 Aprovado5000 0,144 Reprovado5000 0,118 Reprovado5000 0,1 Aprovado

Tabela 2.2: Criterio de Aprovacao

2.7 Determinacao da Variancia Agrupada

Para agrupar k variancias com (n-1) graus de liberdade, utilizamos a seguinte f ormula

s2 =

ki=1(n − 1)s2

i

ki=1(n − 1)

=

ki=1 s2

i

k

onde (n - 1) = Grau de Liberdade; e s2

= VarianciaConsidere que o metodo de calibracao de um equipamento utilize tres pontos da escala

deste equipamento. Para cada ponto e obtido o variancia da media a partir de 5 leituras. Para




obtermos variancia da media do equipamento, aplicamos a formula para o grupo de 3 variancias,

na forma

s2agrupada =4 × 0, 0000000030 + 4 × 0, 0000000070 + 4 × 0, 0000000080

4 + 4 + 4= 0, 0000000060

A variancia agrupada de 0,0000000060 representa a variancia da media do equipamento.

2.8 Regras de arredondamento de valores

Quando desejamos arredondar um numero para que seja expresso com uma certa quantidade

de dıgitos significativos, devemos aplicar regras convencionais de arredondamento.

Regra 1:

Se o algarismo a direita do ultimo dıgito que se pretende representar for inferior a 5, apenas

desprezamos os demais dıgitos a direita Exemplo: 3, 14159265 para 3, 14

Regra 2:

Se o algarismo a direita do ultimo dıgito que se pretende representar for maior que 5,adicionamos uma unidade ao ultimo dıgito representado e desprezamos os demais dıgitos a

direita.

Exemplo 2.13. 3, 14159265 para 3, 1416

Regra 3:

Se o algarismo a direita que se pretende representar for igual a 5, entao o arredondamento

deve ser tal que o ultimo dıgito representado depois do arredondamento deve ser par.

Exemplo 2.14. 3, 14159265 para 3, 142

Numeros de algarismo na incerteza de medicao

Nao existe uma regra bem definida para o numero de algarismos que devem ser indicados

para a incerteza de medicao. Em geral, utilizamos 2 algarismos significativos, alem dos

zeros a esquerda. Em alguns casos, pode ser necessario utilizar mais dıgitos significativos para

evitar erros de arredondamento nos calculos subsequentes. Em outros casos, nao e possıvelatribuir mais de 1 algarismo para incerteza de medicao. Regras para numero de algarismo na

incerteza de medicao.




• Incerteza de medicao deve ser apresentada com 2 algarismos quando o primeiro algarismo

na incerteza for 1 ou 2.

• Incerteza de medicao pode ser apresentada com 1 algarismo quando o primeiro algarismo

da incerteza for 3 ou maior.

• o Incerteza de medicao pode ser representada com 2 algarismos em qualquer caso.

De acordo com as regras acima apresentamos os exemplos:

Incorreto Correto

0,144 (mm) 0,14 (mm)

1,026 (s) 1,0 (s)

3,49 (mm) 3,5 (mm) Ou 3 (mm)

3,51 (mm) 3,5 (mm) Ou 4 (mm)

0,00514 (mm) 0,0050 (mm) Ou 0,005 (mm)

2.9 Propagacao da Incerteza

Um mensurando y calculado em funcao de outras grandezas x1, . . . , xn com u(x1), . . . , u(xn)

as incertezas padrao correspondente, tem como incerteza combinada uc(y) definida por:

u2c (y) =

ni=1

∂ y

∂ xi

2

u2(xi)

• Soma de variaveis

y = x1 ± x2 ± x3 ± · · · ± xn

Assim, todas as derivadas sao iguais a 1. Entao,

Exemplo 2.15. Determinar a incerteza de medic˜ ao, na composic˜ ao de dois blocos padr˜ ao:

Dados:

• Bloco 1

Dimens˜ ao nominal: 10 (mm)

Incerteza Expandida u (x1) = 0,0077(nm) para k = 2




• Bloco 2

Dimens˜ ao nominal: 20 (mm)

Incerteza Expandida u (x2) = 0,084(nm) para k = 2

O resultado da combinac˜ ao dos blocos pode ser expresso matematicamente por:

y = x1 + x2

A incerteza padr˜ ao u(xi) de cada bloco e obtida dividindo-se a incerteza expandida pelo fator

k. Assim,

u(x1) = 0, 077/2 =

u(x2) = 0, 084/2 =

Ent˜ ao, a variancia combinada e:

u2c (y) = = (µm)2

A incerteza combinada e:

uc(y) =

• Relacao linear

y = a + bx

Admitindo-se que a e b sao constantes isentas de incertezas ou com incertezas desprezıveis,

somente a variavel x e considerada para o calculo de incerteza. Assim,

u2c (y) = a2u2(x) ou uc(y) =| a | u(x)




Produto de Variaveis:

y = axw

Temos que:

∂ y

∂ x= aw

∂ y

∂ w= ax

Entao,

u2c (y) = (aw)2u2(x) + (ax)2u2(w)

Dividindo a expressao acima por y2 = (axw)2 , obtemos

u2c(y)/y2 = u2(x)/x2 + u2(w)/w2

Exemplo 2.16. Determinar a incerteza da ´ area de um cırculo, cujo diametro foi medido ex-

perimentalmente atraves de um sistema de medic˜ ao denominado paquımetro:

Valor do diametro obtido com o micrometro digital, com resoluc˜ ao de 0,002 mm e incerteza

expandida U=0,001 mm (k=1,96):

Leituras Diametro

1 10,28

2 10,26

3 10,28 4 10,3

5 10,28

Media das leituras

Desvio padr˜ ao das leituras

Desvio padr˜ ao da media das leituras

A express˜ ao para o c´ alculo da ´ area e dada por:

1

4πd2




Admitindo-se que 14

e π s˜ ao constantes isentas de incerteza ou com incertezas desprezıveis,

somente a vari´ avel d e considerada para c´ alculo da incerteza. Assim, a variancia combinada

relativa e:

u2c (y)

y2=

22u2(d)

d2

Incerteza combinada relativa:

uc(y)

y=

2u(d)

d

Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa:

uc(y)

y=

e a incerteza combinada da ´ area,

uc(y) =



68

Capıtulo 3

Estudos de Estabilidade

Estabilidade e a quantidade de variacao total na tendencia do sistema ao longo do tempo

com relacao a um padrao rastreavel (ou amostra). Antes de estudarmos qualquer propriedade

estatıstica do sistema de medicao, vamos analisar a capacidade do sistema manter tais pro-

priedades ao longo do tempo. O objetivo da estabilidade consiste em avaliarmos:

• A interacao do sistema de medicao e o meio ambiente;

•Desgaste de componentes;

• Ajuste de dispositivos e sensores.

Diretrizes para sistemas nao destrutivos:

• Obter padrao rastreavel (ou amostra);

• Montar diario de bordo;

• Medir periodicamente (diario, semanal, quinzenal ou mensal) o padrao (ou amostra);

• Apos 20 ou mais grupos de medicoes, construir o grafico X e R, conforme descrito abaixo.

Criterio de avaliacao:

Analisar os graficos X e R, primeiro o grafico R e na sequencia o grafico X :

• Pontos fora dos limites de controle.

• 7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes.

• 7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha media.



3. Estudos de Estabilidade 69

Limites dos Graficos No de element. A2 D3 D4

amostra (n)Grafico das Medias X 2 1, 880 0 3, 267

LSC = Limite Superior = ¯X + A2R 3 1, 023 0 2, 574

LC = Limite Central = ¯X 4 0, 729 0 2, 282

LIC = Limite Inferior = ¯X − A2R 5 0, 577 0 2, 114Grafico das Amplitudes R 6 0, 483 0 2, 004

LSC = Limite Superior = D4R 7 0, 419 0, 076 1, 924LC = Limite Central = R 8 0, 373 0, 136 1, 864

LIC = Limite Inferior = D3R 9 0, 337 0, 184 1, 81610 0, 308 0, 223 1, 777

Caso os graficos X e R estejam fora de controle, investigar as causas e estabelecer acoes

corretivas.

• Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas, estabeleca acao cor-

retiva. Repita o estudo de estabilidade;

Discriminacao do Sistema de medicao no estudo de Estabilidade

Capacidade do sistema de medicao de detectar e indicar de forma confiavel, pequenas

variacoes da grandeza que esta sendo medida. Uma forma de quantificar o poder discrimi-

nador e expressando a menor variacao da grandeza que o sistema de medicao pode detectar.

Criterio de avaliacao:

Verificar se o grafico de controle R nao apresenta muitas amplitudes iguais a zero (acima de

30%). Caso isso ocorra, existe uma boa evidencia de que o equipamento de medicao nao tem

uma resolucao adequada para esta necessidade. Neste caso, faca uma analise crıtica.

Exemplo 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema de cal-

ibrac˜ ao de um micrometro com um bloco padr˜ ao. O metrologista selecionou um bloco padr˜ ao,

que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores est˜ ao na Tabela 3.1. Montar

os gr´ aficos de Controle X e R e interpretar os resultados!

Solucao

Da Tabela 3.1 tomamos a media dos valores da coluna Media e a media dos valores da

coluna Amplitude e obtemos:

¯X = 4, 200486 e R = 0, 001292 .




Data Horario TemperaturaMedidas

Media Amplitude1 2 3

6/ago 09:15 20,3 4,202 4,201 4,202 4,20167 0,00113/ago 16:35 20,0 4,201 4,202 4,203 4,20200 0,002

20/ago 14:13 19,4 4,199 4,198 4,200 4,19900 0,00227/ago 09:40 19,8 4,200 4,201 4,201 4,20067 0,0014/set 15:28 19,9 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,001

11/set 10:39 19,9 4,202 4,201 4,200 4,20100 0,00219/set 15:10 20,1 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,00125/set 09:25 20,2 4,200 4,199 4,199 4,19933 0,0011/out 15:40 19,3 4,198 4,199 4,199 4,19867 0,0018/out 09:25 19,9 4,200 4,202 4,200 4,20067 0,002

16/out 16:10 20,8 4,202 4,203 4,203 4,20267 0,00124/out 10:05 20,1 4,201 4,202 4,201 4,20133 0,001

1/nov 13:40 19,5 4,199 4,199 4,198 4,19867 0,0018/nov 14:55 20,1 4,200 4,200 4,201 4,20033 0,00114/nov 11:00 19,3 4,199 4,198 4,199 4,19867 0,00122/nov 15:50 19,8 4,200 4,199 4,200 4,19967 0,00129/nov 09:42 20,1 4,201 4,201 4,200 4,20067 0,0017/dez 08:20 19,6 4,199 4,200 4,199 4,19933 0,001

12/dez 15:30 19,8 4,200 4,201 4,199 4,20000 0,00220/dez 11:05 20,1 4,199 4,199 4,200 4,19933 0,00128/dez 15:30 20,1 4,201 4,200 4,199 4,20000 0,0024/jan 16:00 20,2 4,200 4,200 4,202 4,20067 0,002

10/jan 15:15 20,7 4,203 4,204 4,203 4,20333 0,00115/jan 16:00 20,8 4,204 4,203 4,203 4,20333 0,001

Tabela 3.1: Dados

Os limites de controle sao calculados da seguinte forma:

• Grafico R. Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0

e D4 = 2, 574, com isso:

LSC = 2, 574 ∗ 0, 001292 = 0, 003325

LIC = 0 ∗ 0, 001292 = 0

• Grafico X . Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de A2 = 1, 023,




com isso:

LSC = 4, 200486 + 1, 023

∗0, 001292 = 4, 201807

LIC = 4, 200486 − 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 199165




Exercıcio 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre o sistema de medic˜ ao para cal-

ibrac˜ ao de um anel padr˜ ao em um banco micrometrico. O metrologista selecionou um anel

padr˜ ao, que foi medido (3 replicas) diariamente por um avaliador. Os valores est˜ ao na Tabela

3.2.

Amostra DataMedidas

Media Amplitude1 2 3

1 22/set 20006,6 20006,6 20006,7 20006,63 0,12 22/set 20006,8 20006,7 20006,9 20006,8 0,23 23/set 20006,1 20006,2 20006,2 20006,17 0,14 24/set 20005,4 20005,3 20005,3 20005,33 0,15 27/set 20005,7 20005,9 20005,8 20005,8 0,26 27/set 20005,9 20006 20006 20005,97 0,17 1/out 20005,4 20005,7 20005,7 20005,6 0,38 6/out 20006,6 20006,6 20006,5 20006,57 0,19 7/out 20006,1 20006,1 20006,1 20006,1 0

10 8/out 20006,1 20006 20006 20006,03 0,111 8/out 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,112 13/out 20005,9 20006 20006 20005,97 0,113 13/out 20006,2 20006,1 20006,2 20006,17 0,114 14/out 20006,5 20006,3 20006,4 20006,4 0,215 18/out 20005,4 20005,4 20005,5 20005,43 0,116 20/out 20005,9 20006,2 20006,2 20006,1 0,317 25/out 20006,8 20006,9 20006,6 20006,77 0,318 26/out 20006,3 20006,3 20006,3 20006,3 019 26/out 20006,5 20006,5 20006,5 20006,5 020 28/out 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,221 4/nov 20005,8 20005,9 20005,9 20005,87 0,122 8/nov 20006 20005,8 20005,9 20005,9 0,223 8/nov 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,224 10/nov 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,125 15/nov 20006,7 20006,4 20006,4 20006,5 0,326 16/nov 20006,6 20006,5 20006,5 20006,53 0,127 17/nov 20006,4 20006,2 20006,2 20006,27 0,228 18/nov 20006,6 20006,5 20006,4 20006,5 0,229 18/nov 20006,9 20006,8 20006,8 20006,83 0,1

Tabela 3.2: Estabilidade do Diametro do Furo




Montar os graficos de Controle X e R e interpretar os resultados! ( ¯X = 20006, 21 e

R = 0, 1448).

• Grafico R. Temos 3 elementos em nossa amostra, entao: D3 = e D4 = , com

isso:

LSC = D4R =

LIC = D3R =

• Grafico X Novamente, temos 3 elementos em nossa amostra, entao: A2 = , com

isso:

LSC = ¯X + A2R =

LC = ¯X =

LIC = ¯X − A2R =



74

Capıtulo 4

Metodo da ANOVA (Completo)

4.0.1 Metodo da ANOVA

Em cada sistema de medicao, existe um valor de referencia para uma caracterıstica para

cada amostra. Estes valores de referencia variam de amostra para amostra em torno de um

nıvel medio. Isto pode ser representado simplesmente como:

1) Valor Padrao = Media das Medicoes + Variacao Propria da Amostra

Na pratica, existe algum erro introduzido pelo sistema de medicao, o qual pode ser escrito

como:

2) Valor observado = Valor Padrao + Erro de Medicao:

Um modo simples de modelar o erro de medicao.

3) Erro de Medicao = Tendencia + Efeito do Fator1 + Erro de Replicacoes. A tendencia

e um numero unico que representa o erro geral, sistematico, introduzido pelo sistema de

medicao. Alem disso, poderiam existir erros introduzidos pelo uso de diferentes Fatores1.

O termo erro de replicacoes reflete as diferencas nas observacoes repetidas da mesma

amostra, com o mesmo sistema de medicao e pelo mesmo Fator1.

Combinando (1), (2) e (3), obtem-se o modelo representado no proximo ıtem.

4) Valor Observado = (Media das Amostras + Tendencia) + Efeito da Amostra + Efeito do

Fator1 + Erro de Replicacoes. A media das amostras e a tendencia sao constantes. Eles

nao podem ser estimados separadamente sem ter um sistema de medicao padrao. O efeitoda amostra, o efeito do Fator1 e o erro de repeti cao (replicacao) sao variaveis aleatorias.

O efeito da amostra representa a variacao no processo de producao. O efeito do Fator1



4. Metodo da ANOVA (Completo) 75

representa a variacao devida aos diferentes Fatores1, denominado reprodutibilidade. O

erro de repeticao representa a variacao resultante de medicoes repetidas feitas pelo mesmo

Fator1 na mesma amostra, denominado repetitividade. A media das amostras e o efeito

da amostra sao propriedades do processo de producao e nao dependem do sistema demedicao. Os termos restantes no modelo refletem o erro no sistema de medicao.

Representacao Matematica

Seja Y ijk a k-esima medicao feita pelo Fator1 j na i-esima amostra. Cada amostra tem um

valor de referencia, digamos X i, o qual e impossıvel de ser medido na pratica. Chame de ijk o

erro sobreposto a X i na pratica. Entao, temos no proximo ıtem que:

5) Y ijk = X i +

ijk ou

Valor Observado = Valor Padrao + Desvio

Supondo que os X is sao distribuıdos independentemente conforme uma distribuicao normal

de media µ e variancia σ2P . O parametro µ e a media das amostras. A equacao (5) pode ser

escrita, equivalentemente, como:

6) Y ijk = µ + αi +

ijk

Onde: αi = X i − µ e o efeito da amostra, com media zero e variancia σ2P .

O desvio pode ser modelado como consistindo de uma tendencia sistematica devido ao

sistema de medicao e ao Fator1 como um todo (sistema de medi cao), uma tendencia

adicional devido ao Fator1 especıfico e um erro associado a replicacao da medicao. Isto

e,

7)

ijk = b + β j + ijk , ou seja,

Desvio = Tendencia do sistema de medicao + efeito do Fator1 + Erro de Replicacao.

Suponha que os erros de replicacao sao independentes, com uma distribuicao normal de

media zero e variancia comum σ2 para todas as combinacoes amostra / Fator1 / replicacao. A

variancia σ2 mede a repetitividade para o sistema de medicao. Se os Fatores1 sao selecionados

aleatoriamente de uma grande populacao, pode-se modelar o efeito do Fator1, β j , como sendo

normalmente distribuıdo com media zero e variancia σ2

F 1. A variancia σ2

F 1 mede a variabilidadedevido ao Fator1, isto, e a reprodutibilidade. Combinando (6) e (7), o modelo pode ser escrito

como:




8) Y ijk = (µ + b) + αi + β j + ijk ou

Valor Observado = (Media das Amostras + Tendencia do sistema de medicao) + Efeito

da Amostra + Efeito do Fator1 + Erro de Replicacao

Onde αi, β j , ijk sao variaveis aleatorias independentes com distribuicoes normais de

medias zero e variancia σ2P , σ2

F 1, σ2 respectivamente. Consequentemente, a variancia do

processo e dada por

9) V ar(Y ijk ) = σ2P + σ2

F 1 + σ2.

No modelo (8) supoe-se que os efeitos da amostra e do Fator1 sao aditivos. Isto significa

que o efeito do j-esimo Fator1 e o mesmo em todas as amostras. Consequentemente, nos

nos referimos a este modelo simples como o modelo aditivo. A suposicao de aditividade

pode nem sempre ser valida na pratica. Alem disso, a validade da suposicao poderia ser

testada a partir dos dados, se cada Fator1 repetir medicoes em cada amostra. A validade

do modelo aditivo pode ser testada pela consideracao de um modelo mais geral, que inclua

um efeito de interacao entre peca e Fator1. Supondo que o desvio em (7) seja dado por

10)

ijk = b + β j + τ ij + ijk , ou seja,

Desvio = Tendencia do sistema de medicao + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1 *

Amostra + Erro de Replicacao.

O termo adicional τ ij representa a interacao entre o j-esimo Fator1 e a i-esima amostra.

Entao, substituindo (10) em (6) resulta no seguinte modelo nao aditivo:

11) Y ijk = (µ + b) + αi + β j + τ ij + ijk , ou seja,

Valor Observado = (Media das amostras + tendencia do sistema de medicao) + Efeito

da Amostra + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1×Amostra + Erro de Replicacao.

Se τ ij e distribuıdo normalmente com media zero e variancia σ2I , entao a variancia total

para (11) e dada por:

12) V ar(Y ijk ) = σ2P + σ2

F 1 + σ2I + σ2

Particionando a variancia, no caso onde p e o numero de amostras, o o numero de Fatores1

e r e o numero de replicacoes. i = 1, ..., p, j = 1, ..., o e k = 1, ..., r .

1o Passo Coleta de dados e definicao do modelo:




Fator1Amostra

1 2 · · · o Media1 Y 111, · · · , Y 11r Y 121, · · · , Y 12r · · · Y 1o1, · · · , Y 1or Y 1..

2 Y 211, · · · , Y 21r Y 221, · · · , Y 22r · · · Y 2o1, · · · , Y 2or Y 2.....

......

......

... p Y p11, · · · , Y p1r Y p21, · · · , Y p2r · · · Y po1, · · · , Y por Y p..

Media Y .1. Y .2. · · · Y .o. Y ...

Tabela 4.1: Tabela de Entradas

O modelo estatıstico para este planejamento e

Y ijk = µ + αi + β j + τ ij + εijk

i = 1, · · · , p Amostra

j = 1,

· · ·, o Fator1

k = 1, · · · , r Replica

(4.1)

onde:

• Y ijk representa a k-esima medicao do j-esimo Fator1 na i-esima amostra ;

• µ e a Media das amostras adicionada com a tendencia do sistema de medicao;

•αi e o efeito da Amostra;

• β j e o efeito do Fator1;

• τ ij e o efeito da interacao Amostra×Fator1;

• εijk e o erro de replicacao.

Onde αi, β j, τ ij e εijk sao variaveis aleatorias independentes com distribuicoes normais de

medias zero e variancia σ2 p, σ2

F 1, σ2I e σ2, respectivamente. Consequentemente, a variancia do

processo e:

V ar(yijk ) = σ2 p + σ2

F 1 + σ2I + σ2

2o Passo: Soma de Quadrados:

Vamos mostrar que:

SQT = SQP + SQF 1 + SQI + SQE




onde SQT e a soma de quadrados total, SQP e a soma de quadrados do fator amostra, SQF 1

e a soma de quadrados do Fator1, SQI e a soma de quadrados da interacao Fator1 × amostra

e SQE e a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que

pi=1

oj=1

rk=1

(Y ijk − Y ...)2 =

pi=1

oj=1

rk=1

(Y i.. − Y ...) + (Y .j. − Y ...) + (Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...) + (Y ijk − Y ij.)

2

= o r

pi=1

(Y i.. − Y ...)2 + p r

oj=1

(Y .j. − Y ...)2 + r

pi=1

oj=1

(Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...)2

+

pi=1

oj=1

rk=1

(Y ijk − Y ij.)2

Portanto

SQT =

pi=1

o j=1

rk=1

(Y ijk − Y ...)2

SQP = o r

pi=1

(Y i.. − Y ...)2

SQF 1 = p ro

j=1

(Y .j. − Y ...)2

SQI = r

pi=1

o j=1

(Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...)2

SQE = p

i=1

o j=1

rk=1

(Y ijk − Y ij.)2

Onde:

Y i.. =o

j=1

rk=1

Y ijk , Y .j. =

pi=1

rk=1

Y ijk , Y ij. =r

k=1

Y ijk , Y ... =

pi=1

o j=1

rk=1

Y ijk

Y i.. =1

o r

o j=1

rk=1

Y ijk , Y .j. =1

p r

pi=1

rk=1

Y ijk , Y ij. =1

r

rk=1

Y ijk , Y ... =1

o p r

pi=1

o j=1

rk=1

Y ijk

Da mesma forma,

yi.. =o

j=1

rk=1

yijk , y.j. =

pi=1

rk=1

yijk , yij. =r

k=1

yijk , y... =

pi=1

o j=1

rk=1

yijk




yi.. =1

o r

o j=1

rk=1

yijk , y.j. =1

p r

pi=1

rk=1

yijk , yij. =1

r

rk=1

yijk , y... =1

o p r

pi=1

o j=1

rk=1

yijk

Uma forma mais conveniente para se calcular a soma de quadrados e utilizar o calculo de

variancia amostral. A tabela 4.2 apresenta quais variancias devemos calcular.

Fator1Amostra

1 2 · · · o Media1 Y 111, · · · , Y 11r Y 121, · · · , Y 12r · · · Y 1o1, · · · , Y 1or Y 1..

S 211 S 212 · · · S 21o

2 Y 211, · · · , Y 21r Y 221, · · · , Y 22r · · · Y 2o1, · · · , Y 2or Y 2..

S 221 S 222

· · ·S 22o S 2 p

... ... ... ... ... ... p Y p11, · · · , Y p1r Y p21, · · · , Y p2r · · · Y po1, · · · , Y por Y p..

S 2 p1 S 2 p2 · · · S 2 po

Media Y .1. Y .2. · · · Y .o. Y ...S 2F 1

Tabela 4.2: Tabela de Entradas

Portanto,

SQT = ( p o r − 1) S 2... (4.2)

SQP = o r ( p − 1) S 2i.. (4.3)

SQF 1 = p r (o − 1) S 2.j. (4.4)

SQE = (r − 1)

pi=1

o j=1

S 2ij. (4.5)

SQI = SQT − SQP − SQF 1 − SQE (4.6)

Onde:

• S 2...: representa a variancia amostral com relacao a todos os dados. Com isso,

S 2... =1

p o r − 1

pi=1

o j=1

rk=1

(y... − y...)2 onde y... e a media de todos os dados;

•S 2i..: representa a variancia amostral com relacao aos valores das medias das amostras, ou




seja, a variancia com relacao a ultima coluna da tabela 4.2. Com isso,

S 2i.. =1

p − 1

o j=1

rk=1

(yi.. − y...)2 onde yi.. e a media em cada amostra e

y... e a media de todos os dados;

• S 2.j.: representa a variancia amostral com relacao aos valores das medias dos Fatores1, ou

seja, a variancia com relacao a ultima linha da tabela 4.2. Com isso,

S 2.j. =1

o − 1

pi=1

rk=1

(y.j. − y...)2 onde y.j. e a media em cada Fator1 e

y... e a media de todos os dados;

• S 2ij.: representa a variancia amostral com relacao a cada combinacao de amostra e Fator1,

ou seja, em cada casela da tabela 4.2. Com isso,

S 2ij. =1

r − 1

rk=1

(yij. − y...)2 onde yij. sao as medicoes em cada casela e y... e a

media de todos os dados;

3o Passo: Calculo dos graus de liberdade:

O numero de graus de liberdade em uma soma de quadrados e a quantidade de elementos

independentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados

pi=1(Y i.. − Y ...)

2.

Neste caso, como p

i=1(¯Y i.. −

¯Y ...) = 0, nem todos os elementos (

¯Y 1.. −

¯Y ...), · · · , (

¯Y p.. −

¯Y ...) sao

independentes. Portanto, temos p − 1 graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus

de liberdade associados a cada soma de quadrados sao:

Efeito Grau de LiberdadeAmostra p − 1

Fator1 o − 1Interacao ( p − 1)(o − 1)

Erro p o (r − 1)Total p o r

−1

4o Passo: Calculo do erro quadratico medio:




Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado medio (QM),

ou seja

QM P =SQP

p − 1Amostra (4.7)

QM F 1 =SQF 1

o − 1Fator1 (4.8)

QM I =SQI

( p − 1)(o − 1)Amostra × Fator1 (4.9)

QM E =SQE

p o (r − 1)Replica (4.10)

Considerando as expressoes 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 vamos calcular o valor esperado do QM. Para o

fator amostra, temos que:

E (QM P ) =1

p − 1

E

p

i=1

Y 2i..

o r

− E

Y 2

...

p o r

=1

p − 1

1

o r

pi=1

E

o

j=1

rk=1

Y ijk

2 − 1

p o rE

p

i=1

o j=1

rk=1

Y ijk

2

=1

p

−1

1

o r

p

i=1

E

o

j=1

r

k=1

(µ + αi + β j + τ ij + εijk )

2 −

− 1

p o rE

p

i=1

o j=1

rk=1

(µ + αi + β j + τ ij + εijk )

2

=1

p − 1

1

o r

pi=1

(o r µ)2 + (o r σP )

2 + o r2 σ2F 1 + o r2 σ2

I + o r σ2 −

− 1

p o r

( p o r µ)2 + p (o r σP )

2 + o ( p r σF 1)2 + o p (r σI )2 + p o r σ2

= o r σ2

P + r σ2I + σ2

Podemos resumir que

E (QM P ) = σ2 + r σ2I + o rσ2

P

E (QM F 1) = σ2 + r σ2I + p rσ2

F 1

E (QM I ) = σ2 + r σ2I

E (QM E ) = σ2

5o Passo: Definindo os testes:




Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipoteses :

A :

H 0 = σ2P = 0

H 1 = σ2P > 0

; B :

H 0 = σ2F 1 = 0

H 1 = σ2F 1 > 0

; C :

H 0 = σ2I = 0

H 1 = σ2I > 0

Vamos mostrar como essas hipoteses sao testadas usando a analise de variancia. Para

determinarmos a estatıstica do teste C, vamos observar que

SQI

σ2 + r σ2I

∼ χ2( p−1)(o−1) e tambem,

SQE

σ2∼ χ2

p o (r−1) ,

onde ambas sao independentes.

Assim, sob H 0 temos que a estatıstica

F 0 =

SQI

(σ2+r σ2I

) ( p−1)(o−1)

SQE

σ2 p o (r−1)

=QM I

QM E

∼ F (( p − 1)(o − 1); p o (r − 1))

tem distribuicao de Fisher-Snedecor com ( p − 1)(o − 1) graus de liberdade no numerador e

p o (r − 1) graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por

RC = F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador

e denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c natabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.

Para determinarmos a estatıstica do teste A, vamos observar que

SQP

σ2 + r σ2I + o r σ2

P

∼ χ2( p−1) e tambem,

SQI

σ2 + r σ2I

∼ χ2( p−1)(o−1) ,



F 0 =

SQP

(σ2+r σ2I

+o r σ2P

) ( p−1)

SQI

(σ2+r σ2I

) ( p−1)(o−1)

=QM P

QM I

∼ F (( p − 1);( p − 1)(o − 1))

tem distribuicao de Fisher-Snedecor com ( p − 1) graus de liberdade no numerador e ( p − 1)(o − 1)

graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por RC =

F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador e

denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c na

tabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.

Para determinarmos a estatıstica do teste B, vamos observar que




Figura 4.1: Regiao Crıtica do Teste

SQF 1

σ2 + r σ2I + p r σ2

F 1

∼ χ2(o−1) e tambem,

SQI

σ2 + r σ2I

∼ χ2( p−1)(o−1) ,



F 0 =

SQP

(σ2+r σ2I

+ p r σ2F 1) (o−1)

SQI

(σ2+r σ2I

) ( p−1)(o−1)

=QM F 1

QM I

∼ F ((o − 1);( p − 1)(o − 1))

tem distribuicao de Fisher-Snedecor com (o − 1) graus de liberdade no numerador e ( p − 1)(o − 1)

graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por RC =

F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador e

denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c na

tabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.

6o Passo: Tabela de ANOVA:

O teste estatıstico para as hipoteses (A, B, C) propostas e resumido na tabela 4.3. Essa

tabela e chamada tabela de an´ alise de varianica . Caso o teste C implique em H 0 ser nao




significativo, ou seja, a interacao ( Amostra × Fator1 ) sera considerada nula. Neste caso, os

testes A e B serao realizados conforme a tabela 4.4. Para isso, vamos incorporar a soma de

quadrados da interacao a soma de quadrados do erro. Assim, temos que SQE = SQT − SQP −

SQF 1.

Fonte de Graus de Soma de Quadrado TesteVariacao Liberdade Quadrados Medio F

Amostra p − 1 SQP QM P QM P QM I

Fator1 o − 1 SQF 1 QM F 1QM F 1QM I

Interacao ( p − 1)(o − 1) SQI QM I QM IQM E

Erro p o (r − 1) SQE QM E

Total p o r − 1 SQT

Tabela 4.3: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Com interacao

Fonte de Graus de Soma de Quadrado TesteVariacao Liberdade Quadrados Medio F

Amostra p − 1 SQP QM P = SQP

p − 1QM P QM E

Fator1 o − 1 SQF 1 QM F 1 = SQF 1

o − 1QM F 1QM E

Erro p o r − p − o + 1 SQE QM E = SQE

p o r − p − o + 1

Total p o r − 1 SQT

Tabela 4.4: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Sem interacao

7o Passo: Componentes de variancia:

Aqui, vamos estimar as componentes de variancia pelo metodo de momentos. Este metodo,

visa igualar os momentos populacionais aos momentos amostrais. Considerando o modelo com

interacao temos:

E (QM E ) = σ2 =⇒ σ2 = QM E

E (QM I ) = σ2 + r σ2I =⇒ σ2 + r σ2

I = QM I

E (QM F 1) = σ2 + r σ2I + p rσ2

F 1 =⇒ σ2 + r σ2I + p rσ2

F 1 = QM F 1

E (QM P ) = σ2 + r σ2I + o rσ2

P =⇒ σ2 + r σ2I + o rσ2

P = QM P

Assim, obtemos que as fontes de variacao podem ser estimadas por




V F1 =

QM F 1 − QM I

p rFator1 (4.11)

V I =

QM I − QM E

rinteracao (4.12)

V E =

QM E repetitividade (4.13)

V F =

(V F1)2 + (V I )2 reprodutibilidade (4.14)

R&R =

(V E )2 + (V O)2 R&R (4.15)

V P =

QM P − QM I

o ∗ ramostra (4.16)

V T = (R&R)2 + (V P )2 total (4.17)

Considerando que a interacao nao e significativa, temos que

E (QM E ) = σ2 =⇒ σ2 = QM E

E (QM F 1) = σ2 + p rσ2F 1 =⇒ σ2 + p rσ2

F 1 = QM F 1

E (QM P ) = σ2 + o rσ2P =

⇒σ2 + o rσ2

P = QM P

Assim, obtemos que as fontes de variacao podem ser estimadas por

V F1 =

QM F 1 − QM E

p rFator1 (4.18)

V E =

QM E repetitividade (4.19)

V F =

(V F1)2

reprodutibilidade (4.20)

R&R =

(V E )2 + (V F )2 R&R (4.21)

V P =

QM P − QM E

o ∗ ramostra (4.22)

V T =

(R&R)2 + (V P )2 total (4.23)

Exemplo 4.1. Nesta aplicac˜ ao usaremos uma anova two-way, ou seja, dois fatores aleat´ orios.

A tabela 4.5 apresenta as medic˜ oes realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto

de medic˜ ao.




Tempo (s) P essoa Absorcao (g/m2) Desvio20 Camila 0,11479 0,00161820 Paula 0,05992 0,00021522 Paula 0,06308 0,00013222 Paula 0,06308 0,00013222 Camila 0,05740 0,000295

20 Camila 0,03021 0,00196820 Paula 0,08200 0,00005522 Camila 0,08458 0,00010020 Camila 0,09667 0,00048820 Paula 0,05362 0,00043922 Paula 0,09777 0,00053822 Paula 0,05362 0,00043922 Camila 0,09969 0,00063120 Camila 0,06948 0,00002620 Paula 0,07569 0,00000122 Camila 0,08458 0,00010020 Camila 0,05135 0,000539

20 Paula 0,03785 0,00134822 Paula 0,08516 0,00011222 Paula 0,03785 0,00134822 Camila 0,07854 0,00001620 Camila 0,09063 0,00025820 Paula 0,11039 0,00128322 Camila 0,11177 0,001384

Soma 1,78972 0,013466

Tabela 4.5: Tabela de dados

O modelo estatıstico para este experimento e:

Y ijk = µ + αi + β j + εijk

i = 1, · · · , p Tempo

j = 1, · · · , o Pessoa

k = 1, · · · , r Replicas

(4.24)

onde:

•Y ijk representa a k-esima medic˜ ao no j-esimo Fator 2 no i-esima copo;

• µ e a Media das medic˜ oes;

• αi e o efeito do Tempo;

• β j e o efeito do Fator Pessoa;

• εijk e o erro de replicac˜ ao.

Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes

variancias amostrais :




S 2... =1

p o r − 1

pi=1

o j=1

rk=1

(yijk − y...)2 = 0, 0005855

S 2 p = 1 p − 1

pi=1

(yi.. − y...)2 = 0, 0000778

S 2o =1

o − 1

o j=1

(y.j. − y...)2 = 0, 0000069

onde,

p = 1, 2 Pessoa

o = 1, 2 Tempo

r = 6 Replica

SQTotal = ( p o r − 1) S 2... = (23) S 2... = 0, 0134657

SQPessoa = o r ( p − 1) S 2 p = (12) S 2 p = 0, 000933255

SQTempo = p r (o − 1) S 2o = (12) S 2o = 0, 000083

SQErro = SQTotal − SQPessoa − SQTempo = 0, 012449957

Os graus de liberdade s˜ ao:

Efeito Grau de Liberdade

Pessoa p − 1 = 1

Tempo o − 1 = 1

Erro por − p − o + 1 = 21Total por − 1=23




Com isso, o quadrado medio e:

QM Pessoa =SQPessoa

p − 1=

0, 000933

1

= 0, 000933

QM Tempo =SQTempo

o − 1=

0, 000083

1

= 0, 000083

QM Erro =SQErro

p o r − p − o + 1=

0, 012449957

21

= 0, 000592855

A tabela abaixo apresenta o resumo da an´ alise de variancia.

Fonte G.L. Soma Quad Media Quad Estat. F P-valorTempo 1 0,000083 0,000083 0,139300 0,712719Pessoa 1 0,000933255 0,000933 1,57417 0,223387

Residuals 21 0,012449957 0,000593Total 23 0,01347

Tabela 4.6: Tabela de Analise de Variancia

Aqui, temos que P-Valor e dado por:

T empo P (F 1; 21 > 0, 139) = 0, 712719

P essoa P (F 1; 21 > 1, 574) = 0, 223387

Portanto, temos que a estimativa da variabilidade com dois fatores e:

σ2 = QM E = 0, 000593

Considerando que os fatores n˜ ao s˜ ao significativo, temos que os componentes de variancia

s˜ ao desprezıveis.

Exemplo 4.2. Para avaliar a exatid˜ ao das medic˜ oes de dureza na escala HRB (ponto 52,39),

tomamos 2 tipos de penetradores e 2 operadores. Cada operador realizou 6 medic˜ oes com cada

penetrador aleat´ oriamente. Os dados est˜ ao apresentados na tabela 4.7.




Op. A Op. BMedicoes Medicoes

Penetrador 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6Bom 52 52 52,4 52 52,4 53 53 53 53,2 53,4 52,8 53

Ruim 72,2 71,2 71 70,2 72 72 42 72,4 72 73 73,2 72,3

Tabela 4.7: Medicao de Dureza Escala HRB

Soluc˜ ao

2o Passo: Soma de Quadrados:

• C´ alculo do S 2.... Seja y... = 61, 07 a media dos dados, com p = 2, o = 2 e r = 6. Ent˜ ao:

S 2... = (52 − 61, 07)2

+ (72, 2 − 61, 07)2

+ · · · + (72, 00 − 61, 07)2

+ (53, 00 − 61, 07)2

24 − 1

= 109, 6195

• C´ alculo do S 2i... Veja a tabela 4.8.

Penetrador Media (yi..) Media das Medias (y...) (yi.. − y...)2

Bom 52,6833 61,0708 70,35Ruim 69,4583 61,0708 70,35

Total 140,7

Tabela 4.8: Calculo do S 2i..

Portanto,

S 2i.. =140, 7

1= 140, 7

• C´ alculo do S 2.j.. Veja a tabela 4.9.

Operador Media (y.j.) Media das Medias (y...) (y.j.

−y...)

2

A 61,87 61,0708 0,6334B 60,28 61,0708 0,6334

Total 1,2667

Tabela 4.9: Calculo do S 2.j.

Portanto,

S 2.j. =1, 2667

1= 1, 2667

Utilizando as express˜ oes (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6) e os resultados das variancias

amotrais, temos que:




SQT = ( p o r − 1) S 2... = 2521, 2496

SQO = p r (o − 1) S

2

.j. = 15, 2004SQP = o r ( p − 1) S 2i.. = 1688, 4038

SQE = SQT − SQP − SQO = 817, 6454

3o Passo: C´ alculo dos graus de liberdade:

Efeito Grau de LiberdadePenetrador p - 1 = 1Operador o - 1 = 1

Erro por-p-o+1 = 21Total p o r - 1 = 23

4o Passo: C´ alculo do erro quadr´ atico medio:

Utilizando as express˜ oes (4.7), (4.8), (4.9) e (4.10) temos que:

QM P =SQP

p − 1= (Penetrador)

QM O =SQO

o − 1= (Operador)

QM E = SQE

por − p − o + 1= (Erro)

6o Passo: Tabela de ANOVA:

Siga os procedimentos de montagem da tabela anova, com base na tabela 4.3, apresentada

no sexto passo da teoria.

7o Passo: Componentes de variancia:




Fonte GL SQ QM FPenetradorOperador

ErroTotal

Tabela 4.10: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Sem interacao

V E =

QM E =

V P = QM P − QM E

o ∗ r

=

V O =

QM O − QM E

p ∗ r=

R&R =

(V E )2 + (V O)2 =

V T = (R&R)2 + (V P )2 =



92

Capıtulo 5

Calculo de Incerteza de um Relogio

Comparador

Considere o processo de calibracao de um relogio de resolucao de 0,01mm. Esta calibracao

e realizada por comparacao utilizando-se um calibrador de relogio. O calibrador apresenta

uma resolucao 0,001 mm com incerteza expandida de 0,001 mm com k=2. Os resultados sao

apresentados na tabela 9.2.

Ref. Leituras (mm) Media Tend DP DPM

A R A R A R0,1 0,101 0,098 0,102 0,101 0,102 0,102 0,101 0,001 0,0015492 0,0006330,5 0,503 0,502 0,504 0,501 0,504 0,502 0,502667 0,0026667 0,0012111 0,0004940,7 0,7 0,695 0,702 0,697 0,703 0,698 0,699167 -0,0008333 0,0030605 0,001249

1 1,002 1 1,001 1,001 0,996 0,998 0,999667 -0,0003333 0,0022509 0,000919

Tabela 5.1: Tabela de Dados

Na tabela 9.2, temos que

•A: representa a leitura no avanco;

• R: representa a leitura no retorno;

• Tend: representa a tendencia;

• Ref: representa o valor de referencia;

• DP: representa o Desvio Padrao;

• DPM: representa o Desvio padrao da Media ou repetitividade.



5. Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 93

Metodo de Medicao

A calibracao corresponde a diferenca entre as medicoes do relogio e do calibrador

d = l − lS

onde

• l: representa a leitura ajustada no relogio comparador;

• lS : representa a leitura obtida pelo calibrador.

Modelo Matematico

Os desvios obtidos apresentam as seguintes fontes de incerteza

d = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese

Entao,

l = d + ls = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese + ls

onde,

• ∆l : representa a diferenca observada entre a medicao do relogio e a medicao do calibrador

(repetitividade);

• Res(Rel) : Resolucao do relogio;

• Res(Cal) : Resolucao do calibrador;

• ls : representa a contribuicao do padrao;

• Histerese: Maxima diferenca entre a medicao no avanco e no retorno.




5.1 Incerteza Combinada

Atraves da equacao de propagacao da incerteza, temos que a expressao da incerteza combinada

e dada por

uc(d) =

u2(∆l) + u2(Res(Rel)) + u2(Res(Cal)) + u2(ls) + u2(Histerese)

5.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de en-

trada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

5.2.1 Repetitividade (∆l)

Incerteza do tipo A Agrupada:

u(∆l) = ni=1 u2

A(i)

n= 0, 0000030

4=

Onde

• u(∆l): representa a incerteza combinada (agrupada) do tipo A;

• uA(i): representa a incerteza do tipo A no ponto de calibracao i;

• n: representa o numero de pontos de calibracao.

5.2.2 Incerteza Herdada do Padrao U (ls)

Distribuicao: Normal

u(ls) =




5.2.3 Resolucao do Calibrador (Res(Cal))

Distribuicao: Retangular

u(Res(Cal)) =

5.2.4 Resolucao do Relogio (Res(Rel))


u(Res(Rel)) =

5.2.5 Calculo da Histerese

Referencia Media do Avanco Media do Retorno |Histerese|0,1 0,101667 0,100333 0,00133330,5 0,503667 0,501667 0,0020,7 0,701667 0,696667 0,005

1 0,999667 0,999667 0

Histerese Maxima:

5.3 Calculo de Incerteza do Relogio

5.3.1 Calculo da Incerteza Combinada

Fonte Estimativa Tipo Distribuicao Divisor IncertezaRepetitividade 0,000866 A Normal 1 0,000866Res(Rel) 0,01 B Retangular 3,464 0,002887Res(Cal) 0,001 B Retangular 3,464 0,0002887Incert. Herdada do ls 0,001 B Normal 2 0,0005Histerese 0,005 B Retangular 3,464 0,00144342




Incerteza Combinada:

uc(d) =

(0, 000866)2 + (0, 002887)2 + (0, 0002887)2 + (0, 0005)2 + (0, 00144342)2

=

5.3.2 Graus de liberdade Efetivo

ν eff = uc(d)

u(∆l)4

ν A =

Atraves da tabela t-Student encontramos k =

5.4 Incerteza Expandida

U = k ∗ uc(d) =

O relogio de medicao e utilizado para medir uma tolerancia de 0,2mm. Faca um estudo da

comprovacao metrologica.



97

Capıtulo 6

Calculo de Incerteza de um

Manometro

Objeto a ser calibrado: Manometro

Resolucao: 1kgf/cm2.

Faixa de Indicacao (faixa nominal): 0 − 160kgf/cm2.

Padrao de referencia: Manometro padrao.

Resolucao: 0, 1kgf/cm2

Incerteza expandida - U = 0, 1% (k = 2) (Fundo de escala).

Temperatura durante a calibracao: 22 ± 1 C .

Faixa de Indicacao (faixa nominal): 0 − 200kgf/cm2.

Resultados: A bancada foi ajustada com o manometro (a ser calibrado) e as leituras foram

realizadas com o padrao. A tabela 6.1 apresenta os dados.



6. Calculo de Incerteza de um Manometro 98

Ajustado Leituras (Kgf/cm2) Media Tendencia DP DPMA R A R A R

15 14,9 14,9 14,8 14,9 14,9 14,9 14,883 -0,11667 0,040825 0,01666730 29,8 29,6 29,7 29,7 29,8 29,7 29,717 -0,28333 0,075277 0,03073245 45 44,6 45,1 44,7 45,1 44,7 44,867 -0,13333 0,225093 0,09189460 60,1 59,7 60 59,8 60,1 59,8 59,917 -0,08333 0,17224 0,070317

75 75 74,6 75 74,6 75 74,6 74,8 -0,2 0,219089 0,08944390 89,9 89,5 89,9 89,6 89,8 89,6 89,717 -0,28333 0,17224 0,070317

105 104,9 104,5 105 104,6 105 104,6 104,767 -0,23333 0,225093 0,091894120 119,9 119,7 119,8 119,8 119,9 119,7 119,8 -0,2 0,089443 0,036515140 140,2 140 140,1 140,2 140,2 140 140,117 0,116667 0,098319 0,040139160 160,3 160,1 160,2 160,2 160,2 160,2 160,2 0,2 0,063246 0,02582

Tabela 6.1: Tabela de Dados para o Manometro

Na tabela 6.1, temos que

• A: representa a leitura no avanco;

• R: representa a leitura no retorno;

• D: representa o Desvio;

• DP: representa o Desvio Padrao;

• DPM: representa o Desvio padrao da Media ou repetitividade.

Equacao Matematica

Desvio = Medida do Manometro − Manometro padrao

Fontes de Incerteza

• Repetitividade - tipo A;

• Resolucao do manometro;

• Resolucao do manometro padrao;

• Incerteza herdada do padrao, U = 0, 1% (k = 2):

Porcentagem tomada em relacao ao fundo de escala.

U =U (unidade)

200100% ,




Entao

U (unidade) =U (%)

100200

uc =U (unidade)

k

• Histerese.

6.1 Incerteza Combinada

Atraves da equacao de propagacao da incerteza, temos que a expressao da incerteza combinada

para o manometro e dada por

uc(M ) = u2(∆l) + u2(Res(man)) + u2(Res( padra)) + u2(hP ad) + u2(Hist)

Onde

• u(∆l): representa a incerteza devido a repetitividade;

• u(Res(man)): representa a incerteza devido a resolucao do manometro;

• u(Res( padra)): representa a incerteza devido a resolucao do manometro padrao;

• u(hP ad): representa a incerteza herdada do manometro padrao;

• u(Hist): representa a incerteza devido a histerese;

6.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de en-

trada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.




6.2.1 Repetitividade (∆l)

Incerteza do tipo A Agrupada:

u(∆l) =

ni=1 u2

Ai

n=

0, 0396111

10=

Onde

• u(∆l): representa a incerteza do tipo A;

• uAi: representa a incerteza do tipo A para o i-esimo ponto de calibracao;

• n: representa o numero de pontos de calibracao.

6.2.2 Incerteza Herdada do Manometro Padrao - U(Upadrao)

Distribuicao: Normal

u(hP ad) =

6.2.3 Resolucao do Manometro Padrao - U(Res(padra))


u(Res( padra)) =

6.2.4 Resolucao do Manometro - U(Res(man))


u(Res(man)) =




6.2.5 Calculo da Histerese

Media do Avanco Media do Retorno |Histerese|14,867 14,9 0,03333329,767 29,667 0,1

45,0667 44,667 0,460,067 59,767 0,3

75 74,667 0,33333389,867 89,567 0,3104,9 104,567 0,333333

119,867 119,733 0,133333140,1 140,067 0,033333

160,233 160,233 0

Histerese Maxima:

6.3 Calculo da Incerteza do Manometro

6.3.1 Calculo da Incerteza Combinada

FV Estimativa Tipo Distribuicao Divisor IncertezaRepetitividade 0,062937 A Normal 1 0,062937

Inc. Herdada 0,2 B Normal 2 0,1Res-Padrao 0,1 B Retangular 3,464 0,02887

Res-manom. 1 B Retangular 3,464 0,2887Histerese 0,4 B Retangular 3,464 0,11547




Incerteza combinada:

uc(M ) = (0, 062937)2 + (0, 1)2 + (0, 02887)2 + (0, 2887)2 + (0, 11547)2

=

6.3.2 Graus de liberdade efetivo

ν eff =

uc(M )

u(∆l)

4

ν A =

Atraves da tabela t-Student encontramos k =

6.3.3 Incerteza Expandida

U = k ∗ uc(M ) =

6.3.4 Expressao da Incerteza em Porcentagem

U =U (unidade)

160100%



103

Capıtulo 7

Calculo de Incerteza de um Voltımetro

Digital

Exemplo 7.1. Considere a calibrac˜ ao de um voltımetro digital por comparac˜ ao.

C´ odigo: VO341 Serie: 006-C Descric˜ ao: Voltımetro digital

Menor Div. 0,1 mV Unidade: mV Faixa de leitura: 0 a 200 mV

Temperatura ambiente: 20 ± 3 o C;

Padr˜ ao de referencia: Multımetro digital HP - 3458 A

Resoluc˜ ao: 0,01 mV U = ± 0,001% (k=2) (em relac˜ ao ao fundo de escala)

Drift (estabilidade) =± 0,002 mV

Faixa de leitura: 0 a 200 mV

Modelo Matematico

Desvio = (Voltagem indicada no equipamento em calibracao) - (voltagem do padrao de

referencia)

Valores Encontrados:

Leitura

Padrao 1 2 3 4 Media Tend. DPM

40 40,11 40,15 40,16 40,12 40,135 0,135 0,0119024

80 80,12 80,16 80,14 80,13 80,138 0,1375 0,0085391

120 120,15 120,17 120,19 120,19 120,175 0,175 0,0095743

160 160,23 160,18 160,17 160,18 160,19 0,19 0,0135401

200 200,21 200,23 200,26 200,27 200,243 0,2425 0,0137689



7. Calculo de Incerteza de um Voltımetro Digital 104

Planilha de Incerteza

Fonte de Incerteza Valor Tipo Dist Divisor Incerteza gl

Repetitividade

Incerteza do Padrao

Resolucao Padrao

Drift do Padrao

Resolucao Voltımetro

Incerteza Combinada:

Graus de Liberdade efetivo

υeff =

uc(y)

uA(y)

4

ν A =

Onde ν A = j ∗ (n − 1) corresponde ao grau de liberdade tipo A, tal que j e o numero de

pontos de calibracao e n o numero de leituras por ponto.

Incerteza Expandida:

Avaliacao da incerteza: Suponha que este equipamento seja utilizado para medir uma

tolerancia de 3 mV. Faca uma analise crıtica da capacidade deste equipamento para medir

tal tolerancia.



105

Capıtulo 8

Calculo de Incerteza no Ensaio de

Tensao

8.1 Calibracao

Equacao de Medicao

A expressao 8.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Tensao:

T = M + Res + Inst + ∆ (8.1)

T : Representa a Tensao

M : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que M tem

distribuicao Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangencia obtidos via certificado

de calibracao.

Res: Resolucao do multımetro. Podemos supor que a resolucao tem distribuicao retangular

(ou uniforme) no intervalo−Res

2, Res

2

, onde Res e a resolucao do artefato. Logo, a

incerteza devida a resolucao sera dada por:

u(Res) =Res

2√

3

Inst: Instabilidade do multımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribuicao retan-gular (ou uniforme) no intervalo

− Inst2

, Inst2

, onde Inst e a Instabilidade do artefato.



8. Calculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao 106

Logo, a incerteza devida a Instabilidade sera dada por:

u(Inst) =Inst

2√

3

∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribuicao da media das

medicoes (repetitividade) tem distribuicao normal. Logo, podemos estimar sua incerteza

(desvio padrao) como

u(∆) =s√n

,

onde s2 = 1n−1

ni=1(xi − X )2 e a variancia amostral e X = 1

n

ni=1 xi e a media amostral;

Incerteza Combinada (uc(T ))

A incerteza combinada para a Tensao e dada por:

uc(T )2 = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆)

Logo,

uc(T ) = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆).

Incerteza Expandida (U (T ))

Aqui, a expressao 8.2 representa a incerteza expandida para a Tensao.

U (T ) = k × uc(T ) (8.2)

onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν ef f (T ) graus

de liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:

ν eff (T ) =(uc(T ))4

u4(∆)n−1

+ u4(herdM )∞ + u4(Res)

∞ + u4(Inst)∞

A tabela 9.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Tensao.




Calculo de Incerteza - Canal de Tensao

Sımb olo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tip o Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.

∆ Repetitividade A Normal 1 1 n− 1M Equip. Medicao B Normal k 1 ∞

Res Resolucao B Retangular 2√

3 1 ∞Inst Instabilidade B Retangular 2

√3 1 ∞

Incerteza Combinada uc(T )

Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (T )Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (T )

Est. = Estimativa Distr. = Distribuicao Div. = DivisorC.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribuicao G.L. = Graus de Liberdade

Tabela 8.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Tensao

8.2 Aplicacao

Considere um Ensaio de Tensao, utilizando um Multımetro, sao realizadas 5 leituras, na

unidade de milivolts (mV). Os resultados sao apresentados na Tabela 8.2.

Leituras (mV)97,761

102,488100,87098,941

100,510Media 100,1139

Repetitividade 0,8148


Os dados necessarios para esta aplicacao sao:

• A incerteza do multımetro U (herdM ) = 1% da leitura com k = 2;

• A resolucao do multımetro Res(M ) = 0, 1% da leitura;

•A instabilidade do multımetro Inst(M ) = 0, 04% da leitura;

• A repetitividade (%) e dada por: u(∆) = 100 s/√

nT

= 100 0,8148100,1139

= 0, 81383%

A seguir, todos os calculos serao feitos em porcentagem (%)!!!!


uc(T ) =

Os graus de liberdade sao:




ν eff (T ) =((uc(T ))4

u4(∆)n−1


∞ + u4(Inst)∞

=

Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confianca de aproximadamente 95%,

temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso,

a incerteza expandida para a variavel tensao:

U (T ) = k × uc(T )

=

Calculo de Incerteza - Canal de Tensao


∆ Repetitividade % 0,81383 A Normal 1 0,81383 1 0,81383 4M Equip. Medicao % 1 B Normal 2 0,5 1 0,5 ∞

Res Resolucao % 0,1 B Retangular 2√

3 0,0289 1 0,0289 ∞Inst Instabilidade % 0,04 B Retangular 2

√3 0,01155 1 0,01155 ∞

Incerteza Combinada 0, 9557Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 7, 61Fator de Abrangencia 2, 33Incerteza Expandida 2, 22 %

Tabela 8.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Tensao



109

Capıtulo 9


Corrente

9.1 Calibracao

Equacao de Medicao

A expressao 9.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Corrente:

I = M + Res + Inst + ∆ (9.1)

I : Representa a Corrente

M : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que M tem

distribuicao Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangencia obtidos via certificado

de calibracao.

Res: Resolucao do multımetro. Podemos supor que a resolucao tem distribuicao retangular

(ou uniforme) no intervalo−Res

2, Res

2

, onde Res e a resolucao do artefato. Logo, a

incerteza devida a resolucao sera dada por:

u(Res) =Res

2√

3

Inst: Instabilidade do multımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribuicao retan-

gular (ou uniforme) no intervalo− Inst

2, Inst

2

, onde Inst e a Instabilidade do artefato.



9. Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 110

Logo, a incerteza devida a Instabilidade sera dada por:

u(Inst) =Inst

2√

3




u(∆) =s√n

,

onde s2 = 1n−1

ni=1(xi − X )2 e a variancia amostral e X = 1

n

ni=1 xi e a media amostral;

Incerteza Combinada (uc(I ))


uc(I )2 = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆)

Logo,

uc(I ) = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆).

Incerteza Expandida (U (I ))

Aqui, a expressao 9.2 representa a incerteza expandida para a Corrente.

U (I ) = k × uc(I ) (9.2)

onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν ef f (I ) graus de

liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:

ν eff (I ) =(uc(I ))4

u4(∆)n−1


∞ + u4(Inst)∞

A tabela 9.1 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Corrente.




Calculo de Incerteza - Canal de Corrente


∆ Repetitividade A Normal 1 1 n− 1M Equip. Medicao B Normal k 1 ∞

Res Resolucao B Retangular 2√

3 1 ∞Inst Instabilidade B Retangular 2

√3 1 ∞

Incerteza Combinada uc(T )

Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (T )Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (T )


Tabela 9.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Corrente

9.2 Aplicacao

Considere um Ensaio de Corrente, utilizando um Multımetro, sao realizadas 5 leituras, na

unidade de miliamper (mA). Os resultados sao apresentados na Tabela 9.2. Temos que, a

Instabilidade do Multımetro e ±0, 2%.

Leituras (mA)500,41500,32501,75498,06496,71

Media 499,45

Repetitividade 0,9058



• A incerteza do multımetro u(herdM ) = 1% da leitura com k = 2;

• A resolucao do multımetro res(M ) = 0, 1% da leitura ;

• A instabilidade do multımetro inst(M ) = 0, 4% da leitura;


nI

= 100 0,9058499,45

= 0, 18%


uc(I ) =





ν eff (I ) =(uc(I ))4

u4(∆)n−1


∞ + u4(Inst)∞

=


temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso,

a incerteza expandida para a variavel corrente:

U (I ) = k × uc(I )

=

Calculo de Incerteza - Canal de Corrente


∆ Repetitividade % 0,18 A Normal 1 0,18 1 0,18 4M Equip. Medicao % 1 B Normal 2 0,5 1 0,5 ∞

Res Resolucao % 0,1 B Retangular 2√

3 0,0289 1 0,0289 ∞Inst Instabilidade % 0,4 B Retangular 2

√3 0,0115 1 0,0115 ∞

Incerteza Combinada 0, 5328

Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 297, 96Fator de Abrangencia 1, 96Incerteza Expandida 1, 04 %

Tabela 9.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Corrente



113

Capıtulo 10


Impedancia

10.1 Calibracao

Equacao de Medicao

A expressao 10.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Impedancia:

R =V

I + ∆

R: Representa a Impedancia;

V : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que V tem

distribuicao Normal com incerteza U (V ) e fator de abrangencia obtidos na capıtulo 8.

I : Representa a corrente no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que I tem

distribuicao Normal com incerteza U (I ) e fator de abrangencia obtidos na capıtulo 9.




u(∆) =s√n

,

onde s2

=

1

n−1n

i=1(xi − X )2

e a variancia amostral e X =

1

nn

i=1 xi e a media amostral.

Incerteza Combinada (uc(R))



10. Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 114


u2

c

(R) = ∂R

∂V

2

u2(V ) + ∂R

∂I

2

u2(I ) + u2(∆)

=

1

I

2

u2(V ) +

− V

I 2

2

u2(I ) + u2(∆)

A Incerteza combinada relativa e dada por

u2r(R) =

u2c (R)

R2=

1

I 2 u2(V )

R2+ − V

I 22 u2(I )

R2+

u2(∆)

R2

Logo,

ur(R) =

u(V )

V

2

+

u(I )

I

2

+

u(∆)

R

2

=

u2r(V ) + u2

r(I ) + u2r(∆)

Incerteza Expandida (U (R))

Aqui, a expressao 10.1 representa a incerteza expandida para a Impedancia.

U (R) = k × ur(R) (10.1)

onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν eff (R) graus

de liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:

ν eff (R) =(ur(R))4

u4r(V )∞ + u4

r(I )∞ + u2

r(∆)n−1

= ∞

A tabela 10.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Impedancia.




Calculo de Incerteza - Canal de Impedancia

Sımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.

∆ Repetitividade % A Normal 1 1 n− 1V Herdada da Tensao % B Normal k 1 ∞I Herdada da Corrente % B Normal k 1 ∞

Incerteza Combinada uc(R)Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (R)

Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (R)


Tabela 10.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Impedancia

10.2 Aplicacao

Considere um Ensaio de Impedancia, utilizando os dados dos Capıtulos 9 e 8, temos os

valores da Impedancia na Tabela 10.2

Tensao (mV) Corrente (mA) Impedancia97,761 500,41 0,195

102,488 500,32 0,205100,870 501,75 0,20198,941 498,06 0,199

100,510 496,71 0,202Media 100,113856 Media 499,45 Media 0,2004

Repetitividade 0,8148 Repetitividade 0,9058 Repetitividade 0,0017



• A incerteza herdada da Tensao U (V ) = 2, 22 % com k = 2, 33;

• A incerteza herdada da Corrente U (I ) = 1, 04 % com k = 1, 96;


nR

= 100 0,00170,2004

= 0, 829%.

A incerteza combinada para a Impedancia e dada por:

ur(R) =





ν ef f (R) =(ur(R))4

u4r(V )∞ + u4

r(I )∞ + u2

r(∆)n−1

=


temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso, a

incerteza expandida para a variavel impedancia:

U (R) = k × ur(R)

=

Calculo de Incerteza - Canal de Impedancia

Sımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.

∆ Repetitividade % 0,829 A Normal 1 0,829 1 0,829 4I Herdada da Corrente % 1,0442 B Normal 1, 96 0,5328 1 0,5328 ∞V Herdada da Tensao % 2,2238 B Normal 2, 33 0,9557 1 0,9557 ∞

Incerteza Combinada 1,3727Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 30,07

Fator de Abrangencia 2,04Incerteza Expandida 2,8%

Tabela 10.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Impedancia



117

Apendice A

Parametros Caracterısticos de um

Sistema de Medicao

Para caracterizar o comportamento metrologico de um sistema de medicao, sao empregados

alguns parametros metrologicos. Estes parametros podem ser expressos na forma de um simples

numero, uma faixa de valores ou na forma de um grafico. Aqui, sao descritos os principais

parametros.

Faixa Nominal

A faixa nominal e a faixa de indicacao que se pode obter em uma posicao especıfica dos

controles de um instrumento de medicao. A faixa nominal normalmente e definida em termos

de seus limites inferiores e superiores. Exemplos:

• Termometro: 100o C a 200o C

•Manometro: 0 bar a 20 bar

• Contador: 5 dıgitos ( isto e 99999 pulsos )

Quando o limite inferior e zero, a faixa nominal pode ser definida unicamente em termos do

limite superior, por exemplo: a faixa nominal de 0V a 100V e expressa como ”100 V”.

Amplitude da Faixa Nominal

A amplitude da faixa nominal e a diferenca, em modulo, entre os dois limites de uma faixanominal de -10 V a + 10 V a amplitude da faixa nominal e 20 V. Em algumas areas, a diferenca

entre o maior e o menor valor e denominado faixa.



A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 118

Faixa de Medicao

A faixa de medicao, tambem denominada faixa de trabalho, e o conjunto de valores de um

mesurando para o qual admite-se que o erro de um instrumento de medi cao mantem-se dentro

dos limites especificados. Exemplo: Num relogio Apalpador a faixa de medicao e de ± 50 µm

a + 50 µm ).

A faixa de medicao e menor ou, no maximo, igual a faixa nominal. O valor da faixa de

medicao pode ser obtidas atraves:

• do manual de operacao do SM;

•de sinais gravados sobre a escala;

• das especificacoes de normas tecnicas;

• dos relatorios de calibracao.

Divisao de Escala

E a parte de uma escala compreendida entre duas marcas sucessivas quaisquer.

Comprimento de uma Divisao

E a distancia entre duas marcas sucessivas quaisquer, medidas ao longo da linha do com-

primento de escala. O comprimento de uma divisao e expresso em unidades de comprimento.

Qualquer que seja a unidade mensurado ou a unidade marcada sobre a escala.

Valor de uma Divisao

O valor de uma divisao e a diferenca entre os valores de escala correspondente a duas marcas

sucessivas.

Condicoes de Utilizacao

Sao as condicoes de uso para as quais as caracterısticas metrologicas especificadas de um

instrumento de medicao mantem-se dentro de limites especificados.

Condicoes de Referencia




As condicoes de referencia sao as condicoes usuais prescritas para ensaio de desempenho

de um instrumento de medicao ou para intercomparacao de resultados de medicoes. Es-

tas condicoes geralmente incluem os valores de referencia ou as faixas de referencia para as

grandezas de influencia que afetam o instrumento de medicao.

Caracterıstico de Resposta

E a relacao entre um estımulo e a resposta correspondente, sob condicoes definidas. Exem-

plo: a forca elemotriz ( fem) de um termopar como funcao da temperatura. A relacao podera

ser expressa na forma de uma equacao matematica, uma tabela numerica ou um grafico.

Sensibilidade

A sensibilidade e caracterizada pela variacao da resposta de um instrumento de medicao

dividida pela variacao de estimulo. Nos instrumentos com indicador de ponteiro comumente

se estabelece a sensibilidade como sendo a relacao entre o deslocamento da extremidade do

ponteiro em (mm) e o valor unitario da grandeza a medir.

Limiar de Mobilidade

E a maior variacao no estimulo que nao produz variacao detectavel na resposta de um

instrumento de medicao, sendo a variacao no sinal de entrada lenta e uniforme. O limiar de

mobilidade ( tambem chamado threshold ) pode depender, por exemplo de ruıdo ( interno e

externo ) ou atrito. Pode depender tambem, do valor do estımulo.

Resolucao

A resolucao e a menor diferenca entre as indicacoes de um dispositivo mostrador que pode

ser significativamente percebida. A avaliacao da resolucao e executada em funcao do tipo de

instrumento:

a) Para dispositivo mostrador digital, a resolucao e a variacao na indicacao quando o dıgito

menos significativo varia de uma unidade.

b) Nos sistemas de medicao com dispositivo mostrador analogico, a resolucao e funcao das

limitacoes do executor da leitura, da qualidade do indicador e da propia necessidade de

leituras mais ou menos criteriosas.




Estabilidade

A estabilidade e a aptidao de um instrumento de medicao em conservar constantes suas

caracterısticas metrologicas ao longo do tempo. A estabilidade pode ser quantificada de varias

maneiras, por exemplo: pelo tempo no qual a caracterıstica metrologica varia de um valor

determinado, ou, em termos de variacao de uma caracterıstica em um determinado perıodo de

tempo.

Discricao

Caracteriza a aptidao de um instrumento de medicao em nao alterar o valor do mensurado.

Por exemplo: Uma balanca e um instrumento discreto para medicao de massas, pois o sistema

de medicao nao altera o valor da massa. Um termometro de resistencia que aquece o meio

ambiente no qual a temperatura esta sob medicao, nao e discreto.

Deriva

A deriva e a variacao lenta de uma caracterıstica metrologica de um instrumento de medicao.

Tempo de Resposta

E o intervalo entre o instante em que o estımulo e submetido a uma variacao brusca e o

instante em que a resposta atinge e permanece dentro de limites especificados em torno do seu

valor final estavel.

Exatidao de Um Instrumento de Medicao

A exatidao e a aptidao de um instrumento de medicao par dar respostas proximas a um

valor verdadeiro ( tambem denominada de acuracia ). A exatidao e um conceito qualitativo,

nao devendo ser confundido com precisao.

Classe de Exatidao

Classe de instrumentos de medicao ou medidas materializadas, que satisfazem a certas

exigencias metrologicas para conservar os erros dentro de certos limites especificados. Uma

classe de exatidao e usualmente indicada por um numero ou sımbolo adotado por convencao e

denominado de ındice de classe, por exemplo: jogo de blocos padrao classe 0.

Erro de Indicacao em um Instrumento de Medicao




Este erro e determinado pela diferenca da indicacao de um instrumento de medicao e um

valor verdadeiro da grandeza de entrada correspondente. Uma vez que um valor verdadeiro

nao pode ser determinado, entao na pratica e utilizado um valor verdadeiro convencional. Este

conceito de erro aplica-se principalmente quando o instrumento e comparado a um padrao dereferencia. Para uma medida materializada, o erro e caracterizado entre a indicacao e o valor

atribuıdo a ela.

Erros Maximos Admissıveis

Sao os valores extremos de um erro admissıvel por especificacoes, regulamentos, etc, para

um dado instrumento de medicao. Tambem denominado de Limites de Erros Admissıveis.

Tendencia

A tendencia e o erro sistematico da indicacao de um instrumento de medicao ( tambem

denominado: bias of a measuring instrument, erreur de justesse ). A tendencia de um instru-

mento de medicao e normalmente estimada pela media dos erros de indicacao de um numero

apropriado de medicoes repetidas.

Isencao de Tendencia

Aptidao de um instrumento de medicao em dar indicacoes isentas de erros sistematicos.

Repetitividade

A repetitividade e a aptidao de um instrumento de medicao em fornecer indicacoes muito

proximas, em repetidas aplicacoes do mesmo mensurando, sob as mesmas condicoes de medicao.

Estas condicoes incluem:

• Reducao ao mınimo das variaveis devido ao observador;

• Mesmo procedimento de medicao;

• Mesmo avaliador;

• Mesmo equipamento de medicao, sendo utilizado nas mesmas condicoes;

• Mesmo local;

• Repeticoes em um curto perıodo de tempo.




A repetitividade pode ser expressa quantitativamente em termos das caracterısticas de dis-

persao das indicacoes.

Histerese

A histerese de um instrumento de medicao e um erro de medicao, que ocorre quando ha

diferenca entre a medida para um dado valor do mensurado quando esta foi atingida por

valores crescentes e a medida quando atingida por valores decrescentes do mensurado. Este

valor podera ser diferente se o ciclo de carregamento e descarregamento for completo ou parcial.

A histerese e um fenomeno bastante tıpico nos instrumentos mecanicos, tendo como fonte de

erro, principalmente, folgas e deformacoes associadas ao atrito.



123

Apendice B

Tabelas Estatısticas



B. Tabelas Estatısticas 124

• Distribuicao Normal - Tabela 6 Sigma

Z Area Z Area Z Area Z Area0,00 0,500000000 0,50 0,308537539 1,00 0,158655254 1,50 0,0668072010,01 0,496010644 0,51 0,305025731 1,01 0,156247645 1,51 0,0655217120,02 0,492021686 0,52 0,301531788 1,02 0,153864230 1,52 0,0642554880,03 0,488033527 0,53 0,298055965 1,03 0,151505003 1,53 0,0630083640,04 0,484046563 0,54 0,294598516 1,04 0,149169950 1,54 0,0617801770,05 0,480061194 0,55 0,291159687 1,05 0,146859056 1,55 0,0605707580,06 0,476077817 0,56 0,287739719 1,06 0,144572300 1,56 0,0593799410,07 0,472096830 0,57 0,284338849 1,07 0,142309654 1,57 0,0582075560,08 0,468118628 0,58 0,280957309 1,08 0,140071090 1,58 0,0570534330,09 0,464143607 0,59 0,277595325 1,09 0,137856572 1,59 0,0559174030,10 0,460172163 0,60 0,274253118 1,10 0,135666061 1,60 0,0547992920,11 0,456204687 0,61 0,270930904 1,11 0,133499513 1,61 0,0536989280,12 0,452241574 0,62 0,267628893 1,12 0,131356881 1,62 0,0526161380,13 0,448283213 0,63 0,264347292 1,13 0,129238112 1,63 0,0515507480,14 0,444329995 0,64 0,261086300 1,14 0,127143151 1,64 0,0505025830,15 0,440382308 0,65 0,257846111 1,15 0,125071936 1,65 0,0494714680,16 0,436440537 0,66 0,254626915 1,16 0,123024403 1,66 0,0484572260,17 0,432505068 0,67 0,251428895 1,17 0,121000484 1,67 0,0474596820,18 0,428576284 0,68 0,248252230 1,18 0,119000107 1,68 0,0464786580,19 0,424654565 0,69 0,245097094 1,19 0,117023196 1,69 0,0455139770,20 0,420740291 0,70 0,241963652 1,20 0,115069670 1,70 0,0445654630,21 0,416833837 0,71 0,238852068 1,21 0,113139446 1,71 0,0436329370,22 0,412935577 0,72 0,235762498 1,22 0,111232437 1,72 0,0427162210,23 0,409045885 0,73 0,232695092 1,23 0,109348552 1,73 0,0418151380,24 0,405165128 0,74 0,229649997 1,24 0,107487697 1,74 0,0409295090,25 0,401293674 0,75 0,226627352 1,25 0,105649774 1,75 0,0400591570,26 0,397431887 0,76 0,223627292 1,26 0,103834681 1,76 0,0392039030,27 0,393580127 0,77 0,220649946 1,27 0,102042315 1,77 0,0383635700,28 0,389738752 0,78 0,217695438 1,28 0,100272568 1,78 0,0375379800,29 0,385908119 0,79 0,214763884 1,29 0,098525329 1,79 0,0367269560,30 0,382088578 0,80 0,211855399 1,30 0,096800485 1,80 0,0359303190,31 0,378280478 0,81 0,208970088 1,31 0,095097918 1,81 0,0351478940,32 0,374484165 0,82 0,206108054 1,32 0,093417509 1,82 0,0343795020,33 0,370699981 0,83 0,203269392 1,33 0,091759136 1,83 0,0336249690,34 0,366928264 0,84 0,200454193 1,34 0,090122672 1,84 0,0328841190,35 0,363169349 0,85 0,197662543 1,35 0,088507991 1,85 0,0321567750,36 0,359423567 0,86 0,194894521 1,36 0,086914962 1,86 0,0314427630,37 0,355691245 0,87 0,192150202 1,37 0,085343451 1,87 0,0307419090,38 0,351972708 0,88 0,189429655 1,38 0,083793322 1,88 0,0300540390,39 0,348268273 0,89 0,186732943 1,39 0,082264439 1,89 0,0293789800,40 0,344578258 0,90 0,184060125 1,40 0,080756659 1,90 0,0287165600,41 0,340902974 0,91 0,181411255 1,41 0,079269841 1,91 0,0280666070,42 0,337242727 0,92 0,178786380 1,42 0,077803841 1,92 0,0274289500,43 0,333597821 0,93 0,176185542 1,43 0,076358510 1,93 0,0268034190,44 0,329968554 0,94 0,173608780 1,44 0,074933700 1,94 0,0261898450,45 0,326355220 0,95 0,171056126 1,45 0,073529260 1,95 0,0255880600,46 0,322758110 0,96 0,168527607 1,46 0,072145037 1,96 0,0249978950,47 0,319177509 0,97 0,166023246 1,47 0,070780877 1,97 0,0244191850,48 0,315613697 0,98 0,163543059 1,48 0,069436623 1,98 0,0238517640,49 0,312066949 0,99 0,161087060 1,49 0,068112118 1,99 0,023295468




Z Area Z Area Z Area Z Area2,00 0,022750132 2,50 0,006209665 3,00 0,001349898 3,50 0,0002326292,01 0,022215594 2,51 0,006036558 3,01 0,001306238 3,51 0,0002240532,02 0,021691694 2,52 0,005867742 3,02 0,001263873 3,52 0,0002157732,03 0,021178270 2,53 0,005703126 3,03 0,001222769 3,53 0,0002077802,04 0,020675163 2,54 0,005542623 3,04 0,001182891 3,54 0,000200064

2,05 0,020182215 2,55 0,005386146 3,05 0,001144207 3,55 0,0001926162,06 0,019699270 2,56 0,005233608 3,06 0,001106685 3,56 0,0001854272,07 0,019226172 2,57 0,005084926 3,07 0,001070294 3,57 0,0001784912,08 0,018762766 2,58 0,004940016 3,08 0,001035003 3,58 0,0001717972,09 0,018308900 2,59 0,004798797 3,09 0,001000782 3,59 0,0001653392,10 0,017864421 2,60 0,004661188 3,10 0,000967603 3,60 0,0001591092,11 0,017429178 2,61 0,004527111 3,11 0,000935437 3,61 0,0001530992,12 0,017003023 2,62 0,004396488 3,12 0,000904255 3,62 0,0001473022,13 0,016585807 2,63 0,004269243 3,13 0,000874032 3,63 0,0001417112,14 0,016177383 2,64 0,004145301 3,14 0,000844739 3,64 0,0001363192,15 0,015777607 2,65 0,004024589 3,15 0,000816352 3,65 0,0001311202,16 0,015386335 2,66 0,003907033 3,16 0,000788846 3,66 0,000126108

2,17 0,015003423 2,67 0,003792562 3,17 0,000762195 3,67 0,0001212752,18 0,014628731 2,68 0,003681108 3,18 0,000736375 3,68 0,0001166172,19 0,014262118 2,69 0,003572601 3,19 0,000711364 3,69 0,0001121272,20 0,013903448 2,70 0,003466974 3,20 0,000687138 3,70 0,0001078002,21 0,013552581 2,71 0,003364160 3,21 0,000663675 3,71 0,0001036302,22 0,013209384 2,72 0,003264096 3,22 0,000640953 3,72 0,0000996112,23 0,012873721 2,73 0,003166716 3,23 0,000618951 3,73 0,0000957402,24 0,012545461 2,74 0,003071959 3,24 0,000597648 3,74 0,0000920102,25 0,012224473 2,75 0,002979763 3,25 0,000577025 3,75 0,0000884172,26 0,011910625 2,76 0,002890068 3,26 0,000557061 3,76 0,0000849572,27 0,011603792 2,77 0,002802815 3,27 0,000537737 3,77 0,0000816242,28 0,011303844 2,78 0,002717945 3,28 0,000519035 3,78 0,000078414

2,29 0,011010658 2,79 0,002635402 3,29 0,000500937 3,79 0,0000753242,30 0,010724110 2,80 0,002555130 3,30 0,000483424 3,80 0,0000723482,31 0,010444077 2,81 0,002477075 3,31 0,000466480 3,81 0,0000694832,32 0,010170439 2,82 0,002401182 3,32 0,000450087 3,82 0,0000667262,33 0,009903076 2,83 0,002327400 3,33 0,000434230 3,83 0,0000640722,34 0,009641870 2,84 0,002255677 3,34 0,000418892 3,84 0,0000615172,35 0,009386706 2,85 0,002185961 3,35 0,000404058 3,85 0,0000590592,36 0,009137468 2,86 0,002118205 3,36 0,000389712 3,86 0,0000566942,37 0,008894043 2,87 0,002052359 3,37 0,000375841 3,87 0,0000544182,38 0,008656319 2,88 0,001988376 3,38 0,000362429 3,88 0,0000522282,39 0,008424186 2,89 0,001926209 3,39 0,000349463 3,89 0,0000501222,40 0,008197536 2,90 0,001865813 3,40 0,000336929 3,90 0,000048096

2,41 0,007976260 2,91 0,001807144 3,41 0,000324814 3,91 0,0000461482,42 0,007760254 2,92 0,001750157 3,42 0,000313106 3,92 0,0000442742,43 0,007549411 2,93 0,001694810 3,43 0,000301791 3,93 0,0000424732,44 0,007343631 2,94 0,001641061 3,44 0,000290857 3,94 0,0000407412,45 0,007142811 2,95 0,001588870 3,45 0,000280293 3,95 0,0000390762,46 0,006946851 2,96 0,001538195 3,46 0,000270088 3,96 0,0000374752,47 0,006755653 2,97 0,001488999 3,47 0,000260229 3,97 0,0000359362,48 0,006569119 2,98 0,001441242 3,48 0,000250707 3,98 0,0000344582,49 0,006387155 2,99 0,001394887 3,49 0,000241510 3,99 0,000033037




Z Area Z Area Z Area Z Area4,00 0,000031671 4,50 0,000003398 5,00 0,000000287 5,50 0,0000000194,01 0,000030359 4,51 0,000003241 5,01 0,000000272 5,51 0,0000000184,02 0,000029099 4,52 0,000003092 5,02 0,000000258 5,52 0,0000000174,03 0,000027888 4,53 0,000002949 5,03 0,000000245 5,53 0,0000000164,04 0,000026726 4,54 0,000002813 5,04 0,000000233 5,54 0,000000015

4,05 0,000025609 4,55 0,000002682 5,05 0,000000221 5,55 0,0000000144,06 0,000024536 4,56 0,000002558 5,06 0,000000210 5,56 0,0000000134,07 0,000023507 4,57 0,000002439 5,07 0,000000199 5,57 0,0000000134,08 0,000022518 4,58 0,000002325 5,08 0,000000189 5,58 0,0000000124,09 0,000021569 4,59 0,000002216 5,09 0,000000179 5,59 0,0000000114,10 0,000020658 4,60 0,000002112 5,10 0,000000170 5,60 0,0000000114,11 0,000019783 4,61 0,000002013 5,11 0,000000161 5,61 0,0000000104,12 0,000018944 4,62 0,000001919 5,12 0,000000153 5,62 0,0000000104,13 0,000018138 4,63 0,000001828 5,13 0,000000145 5,63 0,0000000094,14 0,000017365 4,64 0,000001742 5,14 0,000000137 5,64 0,00000000854,15 0,000016624 4,65 0,000001660 5,15 0,000000130 5,65 0,00000000804,16 0,000015912 4,66 0,000001581 5,16 0,000000123 5,66 0,0000000076

4,17 0,000015230 4,67 0,000001506 5,17 0,000000117 5,67 0,00000000714,18 0,000014575 4,68 0,000001434 5,18 0,000000111 5,68 0,00000000674,19 0,000013948 4,69 0,000001366 5,19 0,000000105 5,69 0,00000000644,20 0,000013346 4,70 0,000001301 5,20 0,000000100 5,70 0,00000000604,21 0,000012769 4,71 0,000001239 5,21 0,000000094 5,71 0,00000000564,22 0,000012215 4,72 0,000001179 5,22 0,000000089 5,72 0,00000000534,23 0,000011685 4,73 0,000001123 5,23 0,000000085 5,73 0,00000000504,24 0,000011176 4,74 0,000001069 5,24 0,000000080 5,74 0,00000000474,25 0,000010689 4,75 0,000001017 5,25 0,000000076 5,75 0,00000000454,26 0,000010221 4,76 0,000000968 5,26 0,000000072 5,76 0,00000000424,27 0,000009774 4,77 0,000000921 5,27 0,000000068 5,77 0,00000000404,28 0,000009345 4,78 0,000000876 5,28 0,000000065 5,78 0,0000000037

4,29 0,000008934 4,79 0,000000834 5,29 0,000000061 5,79 0,00000000354,30 0,000008540 4,80 0,000000793 5,30 0,000000058 5,80 0,00000000334,31 0,000008163 4,81 0,000000755 5,31 0,000000055 5,81 0,00000000314,32 0,000007801 4,82 0,000000718 5,32 0,000000052 5,82 0,00000000294,33 0,000007455 4,83 0,000000683 5,33 0,000000049 5,83 0,00000000284,34 0,000007124 4,84 0,000000649 5,34 0,000000046 5,84 0,00000000264,35 0,000006807 4,85 0,000000617 5,35 0,000000044 5,85 0,00000000254,36 0,000006503 4,86 0,000000587 5,36 0,000000042 5,86 0,00000000234,37 0,000006212 4,87 0,000000558 5,37 0,000000039 5,87 0,00000000224,38 0,000005934 4,88 0,000000530 5,38 0,000000037 5,88 0,00000000214,39 0,000005668 4,89 0,000000504 5,39 0,000000035 5,89 0,00000000194,40 0,000005413 4,90 0,000000479 5,40 0,000000033 5,90 0,0000000018

4,41 0,000005169 4,91 0,000000455 5,41 0,000000032 5,91 0,00000000174,42 0,000004935 4,92 0,000000433 5,42 0,000000030 5,92 0,00000000164,43 0,000004712 4,93 0,000000411 5,43 0,000000028 5,93 0,00000000154,44 0,000004498 4,94 0,000000391 5,44 0,000000027 5,94 0,00000000144,45 0,000004294 4,95 0,000000371 5,45 0,000000025 5,95 0,00000000134,46 0,000004098 4,96 0,000000352 5,46 0,000000024 5,96 0,00000000134,47 0,000003911 4,97 0,000000335 5,47 0,000000023 5,97 0,00000000124,48 0,000003732 4,98 0,000000318 5,48 0,000000021 5,98 0,00000000114,49 0,000003561 4,99 0,000000302 5,49 0,000000020 5,99 0,0000000010

6,00 0,0000000010

Tabela B.1: Tabela Normal 6σ




• Distribuicao T-Student

GLα/2 0,10 0,05 0,025 0,011 3,078 6,314 12,706 31,8212 1,886 2,920 4,303 6,9653 1,638 2,353 3,182 4,5414 1,533 2,132 2,776 3,7475 1,576 2,015 2,571 3,3656 1,440 1,943 2,447 3,1437 1,415 1,895 2,365 2,9988 1,397 1,860 2,306 2,8969 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,372 1,812 2,228 2,76411 1,363 1,796 2,201 2,71812 1,356 1,782 2,179 2,68113 1,350 1,771 2,160 2,65014 1,345 1,761 2,145 2,62415 1,341 1,753 2,131 2,60216 1,337 1,745 2,120 2,58317 1,333 1,740 2,110 2,56718 1,330 1,734 2,101 2,55219 1,328 1,729 2,093 2,53920 1,325 1,725 2,086 2,52821 1,323 1,721 2,080 2,51822 1,321 1,717 2,074 2,50823 1,319 1,714 2,069 2,50024 1,318 1,711 2,064 2,49225 1,316 1,708 2,060 2,48526 1,315 1,706 2,056 2,47927 1,314 1,703 2,052 2,47328 1,313 1,701 2,048 2,46729 1,311 1,699 2,045 2,46230 1,310 1,697 2,042 2,45740 1,303 1,684 2,021 2,42360 1,296 1,671 2,000 2,390

120 1,289 1,658 1,980 2,358maior 1,282 1,645 1,960 2,326

Tabela B.2: Distribuicao T-Student




• Tabela do Teste de Grubbs

Numero de 5% deLaboratorios Significancia

3 1,154 1,48

5 1,716 1,897 2,028 2,139 2,21

10 2,2911 2,3612 2,4113 2,4614 2,5115 2,5516 2,59

17 2,6218 2,6519 2,6820 2,71

Tabela B.3: Tabela de Grubbs




• Distribuicao de Fisher-Snedecor




G . L .

G r a u s d e l i b e r d a d e d o n u m e r a d o r

D e n o m .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

6 0

1 2 0

∞

1

6 4 7 , 8

7 9 9 , 5

8 6 4 , 2

8 9 9 , 5 8

9 2 1 , 8 4

9 3 7 , 1 1

9 4 8 , 2 1

9 5 6 , 6 5

9 6 3 , 2 9

9 6 8 , 6 3

9 8 4 , 8 7

9 9 3 , 1 0 3

9

9 8 , 0 8

1 0 0 1 , 4 1

1 0 0 9 , 8

1 0 1 4 , 0 2

1 0 1 8

, 2 6

2

3 8 , 5 0

3 9

3 9 , 1 7

3 9 , 2 4 8

3 9 , 2 9 8

3 9 , 3 3 1

3 9 , 3 5 5

3 9 , 3 7 3

3 9 , 3 8 7

3 9 , 3 9 8

3 9 , 4 3 1

3 9 , 4 4 8

3

9 , 4 5 8

3 9 , 4 6

3 9 , 4 8

3 9 , 4 9

3 9 , 5

3

1 7 , 4 4

1 6 , 0 4

1 5 , 4 4

1 5 , 1 0 1

1 4 , 8 8 5

1 4 , 7 3 5

1 4 , 6 2 4

1 4 , 5 4

1 4 , 4 7 3

1 4 , 4 1 9

1 4 , 2 5 3

1 4 , 1 6 7

1

4 , 1 1 5

1 4 , 0 8

1 3 , 9 9

1 3 , 9 5

1 3 , 9

4

1 2 , 2 1

1 0 , 6 4

9 , 9 8

9 , 6 0 5

9 , 3 6 4

9 , 1 9 7

9 , 0 7 4

8 , 9 8

8 , 9 0 5

8 , 8 4 4

8 , 6 5 7

8 , 5 6

8 , 5 0 1

8 , 4 6

8 , 3 6

8 , 3 1

8 , 2

6

5

1 0 , 0 0

8 , 4 3 4

7 , 7 5

7 , 3 8 8

7 , 1 4 6

6 , 9 7 8

6 , 8 5 3

6 , 7 5 7

6 , 6 8 1

6 , 6 1 9

6 , 4 2 8

6 , 3 2 9

6 , 2 6 8

6 , 2 3

6 , 1 2

6 , 0 7

6 , 0

2

6

8 , 8 1 3

7 , 2 6

6 , 5 9 9

6 , 2 2 7

5 , 9 8 8

5 , 8 2

5 , 6 9 5

5 , 6

5 , 5 2 3

5 , 4 6 1

5 , 2 6 9

5 , 1 6 8

5 , 1 0 7

5 , 0 7

4 , 9 6

4 , 9

4 , 8

5

7

8 , 0 7 3

6 , 5 4 2

5 , 8 9

5 , 5 2 3

5 , 2 8 5

5 , 1 1 9

4 , 9 9 5

4 , 8 9 9

4 , 8 2 3

4 , 7 6 1

4 , 5 6 8

4 , 4 6 7

4 , 4 0 5

4 , 3 6

4 , 2 5

4 , 2

4 , 1

4

8

7 , 5 7 1

6 , 0 5 9

5 , 4 1 6

5 , 0 5 3

4 , 8 1 7

4 , 6 5 2

4 , 5 2 9

4 , 4 3 3

4 , 3 5 7

4 , 2 9 5

4 , 1 0 1

3 , 9 9 9

3 , 9 3 7

3 , 8 9

3 , 7 8

3 , 7 3

3 , 6

7

9

7 , 2 0 9

5 , 7 1 5

5 , 0 7 8

4 , 7 1 8

4 , 4 8 4

4 , 3 2

4 , 1 9 7

4 , 1 0 2

4 , 0 2 6

3 , 9 6 4

3 , 7 6 9

3 , 6 6 7

3 , 6 0 4

3 , 5 6

3 , 4 5

3 , 3 9

3 , 3

3

1 0

6 , 9 3 7

5 , 4 5 6

4 , 8 2 6

4 , 4 6 8

4 , 2 3 6

4 , 0 7 2

3 , 9 5

3 , 8 5 5

3 , 7 7 9

3 , 7 1 7

3 , 5 2 2

3 , 4 1 9

3 , 3 5 5

3 , 3 1

3 , 2

3 , 1 4

3 , 0

8

1 1

6 , 7 2 4

5 , 2 5 6

4 , 6 3

4 , 2 7 5

4 , 0 4 4

3 , 8 8 1

3 , 7 5 9

3 , 6 6 4

3 , 5 8 8

3 , 5 2 6

3 , 3 3

3 , 2 2 6

3 , 1 6 2

3 , 1 2

3

2 , 9 4

2 , 8

8

1 2

6 , 5 5 4

5 , 0 9 6

4 , 4 7 4

4 , 1 2 1

3 , 8 9 1

3 , 7 2 8

3 , 6 0 7

3 , 5 1 2

3 , 4 3 6

3 , 3 7 4

3 , 1 7 7

3 , 0 7 3

3 , 0 0 8

2 , 9 6

2 , 8 5

2 , 7 9

2 , 7

2

1 3

6 , 4 1 4

4 , 9 6 5

4 , 3 4 7

3 , 9 9 6

3 , 7 6 7

3 , 6 0 4

3 , 4 8 3

3 , 3 8 8

3 , 3 1 2

3 , 2 5

3 , 0 5 3

2 , 9 4 8

2 , 8 8 2

2 , 8 4

2 , 7 2

2 , 6 6

2 , 6

1 4

6 , 2 9 8

4 , 8 5 7

4 , 2 4 2

3 , 8 9 2

3 , 6 6 3

3 , 5 0 1

3 , 3 8

3 , 2 8 5

3 , 2 0 9

3 , 1 4 7

2 , 9 4 9

2 , 8 4 4

2 , 7 7 8

2 , 7 3

2 , 6 1

2 , 5 5

2 , 4

9

1 5

6 , 2

4 , 7 6 5

4 , 1 5 3

3 , 8 0 4

3 , 5 7 6

3 , 4 1 5

3 , 2 9 3

3 , 1 9 9

3 , 1 2 3

3 , 0 6

2 , 8 6 2

2 , 7 5 6

2 , 6 8 9

2 , 6 4

2 , 5 2

2 , 4 6

2 , 4

1 6

6 , 1 1 5

4 , 6 8 7

4 , 0 7 7

3 , 7 2 9

3 , 5 0 2

3 , 3 4 1

3 , 2 1 9

3 , 1 2 5

3 , 0 4 9

2 , 9 8 6

2 , 7 8 8

2 , 6 8 1

2 , 6 1 4

2 , 5 7

2 , 4 5

2 , 3 8

2 , 3

2

1 7

6 , 0 4 2

4 , 6 1 9

4 , 0 1 1

3 , 6 6 5

3 , 4 3 8

3 , 2 7 7

3 , 1 5 6

3 , 0 6 1

2 , 9 8 5

2 , 9 2 2

2 , 7 2 3

2 , 6 1 6

2 , 5 4 8

2 , 5

2 , 3 8

2 , 3 2

2 , 2

5

1 8

5 , 9 7 8

4 , 5 6

3 , 9 5 4

3 , 6 0 8

3 , 3 8 2

3 , 2 2 1

3 , 1

3 , 0 0 5

2 , 9 2 9

2 , 8 6 6

2 , 6 6 7

2 , 5 5 9

2 , 4 9 1

2 , 4 4

2 , 3 2

2 , 2 6

2 , 1

9

1 9

5 , 9 2 2

4 , 5 0 8

3 , 9 0 3

3 , 5 5 9

3 , 3 3 3

3 , 1 7 2

3 , 0 5 1

2 , 9 5 6

2 , 8 8

2 , 8 1 7

2 , 6 1 7

2 , 5 0 9

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1 , 0 0 4

T a b e l a B . 4

: D i s t r i b u i c ˜ a o d e F i s h e r - S n e d

e c o r -

V a l o r e s f C

t a i s q u e P (

F

≥

f C

) =

0 , 0

2 5




G . L .

G r a u s d e l i b e r d a d e d o N u m e r a d o r

D e n o m .

1

2

3

4

5

6

7

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2 4

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 0 8

0 , 1 1 7 5

0 , 1 5 9 3

0 , 1 9 5 4

0 , 2 2 6 5

0 ,

2 5 3 3

0 , 2 7 6 7

0 , 2 9 7 1

0 , 3 7 0 3

0 , 4 1 5 4

0 , 4 4 6 0

0 , 4 6 8 2

0 , 5 3 1 4

0 , 5 6 8 3

0 , 6 0

9 7

2 5

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 0 8

0 , 1 1 7 6

0 , 1 5 9 5

0 , 1 9 5 8

0 , 2 2 7 0

0 ,

2 5 4 0

0 , 2 7 7 5

0 , 2 9 8 1

0 , 3 7 1 8

0 , 4 1 7 4

0 , 4 4 8 4

0 , 4 7 0 9

0 , 5 3 5 1

0 , 5 7 2 7

0 , 6 1

5 1

2 6

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 0 9

0 , 1 1 7 8

0 , 1 5 9 8

0 , 1 9 6 2

0 , 2 2 7 5

0 ,

2 5 4 7

0 , 2 7 8 3

0 , 2 9 9 0

0 , 3 7 3 3

0 , 4 1 9 3

0 , 4 5 0 6

0 , 4 7 3 4

0 , 5 3 8 6

0 , 5 7 6 9

0 , 6 2

0 2

2 7

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 0 9

0 , 1 1 7 9

0 , 1 6 0 0

0 , 1 9 6 5

0 , 2 2 8 0

0 ,

2 5 5 2

0 , 2 7 9 0

0 , 2 9 9 8

0 , 3 7 4 6

0 , 4 2 1 0

0 , 4 5 2 7

0 , 4 7 5 8

0 , 5 4 1 9

0 , 5 8 0 9

0 , 6 2

5 1

2 8

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 0

0 , 1 1 8 0

0 , 1 6 0 2

0 , 1 9 6 8

0 , 2 2 8 4

0 ,

2 5 5 8

0 , 2 7 9 7

0 , 3 0 0 6

0 , 3 7 5 9

0 , 4 2 2 7

0 , 4 5 4 7

0 , 4 7 8 0

0 , 5 4 5 1

0 , 5 8 4 7

0 , 6 2

9 8

2 9

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 0

0 , 1 1 8 1

0 , 1 6 0 4

0 , 1 9 7 1

0 , 2 2 8 8

0 ,

2 5 6 3

0 , 2 8 0 3

0 , 3 0 1 3

0 , 3 7 7 1

0 , 4 2 4 3

0 , 4 5 6 6

0 , 4 8 0 2

0 , 5 4 8 1

0 , 5 8 8 3

0 , 6 3

4 3

3 0

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 0

0 , 1 1 8 2

0 , 1 6 0 6

0 , 1 9 7 4

0 , 2 2 9 2

0 ,

2 5 6 8

0 , 2 8 0 9

0 , 3 0 2 0

0 , 3 7 8 3

0 , 4 2 5 8

0 , 4 5 8 4

0 , 4 8 2 2

0 , 5 5 0 9

0 , 5 9 1 7

0 , 6 3

8 6

6 0

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 5

0 , 1 1 9 6

0 , 1 6 3 3

0 , 2 0 1 7

0 , 2 3 5 1

0 ,

2 6 4 2

0 , 2 8 9 9

0 , 3 1 2 7

0 , 3 9 6 2

0 , 4 4 9 8

0 , 4 8 7 4

0 , 5 1 5 5

0 , 6 0 0 0

0 , 6 5 4

0 , 7

2

1 2 0

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 7

0 , 1 2 0 3

0 , 1 6 4 8

0 , 2 0 3 9

0 , 2 3 8 2

0 ,

2 6 8 2

0 , 2 9 4 8

0 , 3 1 8 5

0 , 4 0 6 3

0 , 4 6 3 8

0 , 5 0 4 8

0 , 5 3 5 8

0 , 6 3 2 0

0 , 6 9 8

0 , 7 8 8

∞

0 , 0 0 1 0

0 , 0 2 5 3

0 , 0 7 1 9

0 , 1 2 1 1

0 , 1 6 6 2

0 , 2 0 6 2

0 , 2 4 1 4

0 ,

2 7 2 5

0 , 3 0 0 0

0 , 3 2 4 7

0 , 4 1 7 5

0 , 4 7 9 5

0 , 5 2 4 8

0 , 5 5 9 7

0 , 6 7 5 0

0 , 7 6 3

0 , 9 9 6

T a b e l a B . 5

: D i s t r i b u i c ˜ a o d e F i s h e r - S n e d

e c o r .

V a l o r e s f C

t a i s q u e P ( F

≥

f C

) =

0 , 9

7 5




• Distribuicao Qui-quadrado

Graus de liberdade 97, 50% 95% 5% 2, 50%1 0,001 0,004 3,841 5,0242 0,051 0,103 5,991 7,3783 0,216 0,352 7,815 9,3484 0,48 0,71 9,49 11,145 0,83 1,15 11,07 12,836 1,24 1,64 12,59 14,457 1,69 2,17 14,07 16,018 2,18 2,73 15,51 17,539 2,7 3,33 16,92 19,02

10 3,25 3,94 18,31 20,4811 3,82 4,57 19,68 21,9212 4,4 5,23 21,03 23,3413 5,01 5,89 22,36 24,7414 5,63 6,57 22,68 26,1215 6,26 7,26 25 27,49

16 6,91 7,96 26,3 28,8517 7,56 8,67 27,59 30,1918 8,23 9,39 28,87 31,5319 8,91 10,12 30,14 32,8520 9,59 10,85 31,41 34,1721 10,28 11,59 32,67 35,4822 10,98 12,34 33,92 36,7823 11,69 13,09 35,17 38,0824 12,4 13,85 36,42 39,3625 13,12 14,61 37,65 40,6526 13,84 15,38 38,89 41,9227 14,57 16,15 40,11 43,1928 15,31 16,93 41,34 44,4629 16,05 17,71 42,56 45,7230 16,79 18,49 43,77 46,98

Tabela B.6: Distribuicao Qui-quadrado. Valores vC tais que P (χ2 ≥ vC ) = p



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Referencias Bibliograficas

[1] Bussab, W. O. e Morettin, P. A. (1987), Estatıstica B asica , 4a Edicao, Atual Editora.

[2] Magalhaes, M. N. e Lima, A. C. P. De (2001), Noc˜ oes de Probabilidade e Estatıstica , 3a

edicao, Editora USP.

[3] Meyer, P. L. (1983), Probabilidade: Aplicac˜ oes a Estatıstica , 2a edicao, Livros tecnicos e

Cientıficos Editora.

[4] CIPM (1981) INC, BIPM Proc. Verb. Com. Int. Poids et Mesures, vol. 18, Metrologia

(1992), 43-44 (English).

[5] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, OIML, Guide to the Expression of Uncertainty in Mea-

surement . International Organization for Standardization, Genebra, Switzerland, Second

Edition, 1995.

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