IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN 2D

IMPULSO Y MOMENTUM DE UN CUERPO RIGIDO (2D)

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal L

Modelo General (Traslacin + Rotacin):

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

Y

X

Con respecto a O:

i

ii

Gm

rmr

iiG rmrm

Derivando:

iiG vmvm

Para una partcula de masa mi

iivmL

iivmL

Para todo el cuerpo rgido:

Tambin:

Derivando:

iiGi rmrm

iiGi vmvm

GvmL

.

2. Momentum Angular (Vlida para un estado dinmico) H

Con respecto al centro de masa G, el Momento es el momento de la cantidad de movimiento lineal respecto del centro de masa.

GH

El depende del punto respecto al cual se toma. GH

iiGiiG vmrH

/

L: Siempre acta en el centro de masa del cuerpo:

L y H : Siempre acta en un instante de tiempo t

Como: GiGi rvv /

GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///

Para todo el cuerpo rgido:

GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///

Considerando el origen en G:

GiiG rmrm /0

0Givm

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

//GH

Y

Z

X

H

O

Escalarmente

2

/ GiiG rmHPara un medio discreto

Cuando n (El medio es continuo) dmrH GiG .2

/

GG IH

En el plano se puede

tomar Escalarmente,

de acuerdo a la

regla de la mano

derecha.

GG

GG

IH

IH

Casos particulares:

a) Traslacin pura: (Rectilnea y curvilnea). 0

GvmL

0GH

b) Rotacin pura respecto a un punto fijo en el cuerpo:

O

Gvm

G

O

Gr

G

Gvm

m

GI

Gr

GGGO

GGG

vmrI

vmI

0.

mrII GGO2

GvmL

GG IH

Podemos deducir que:

GGGO mvrIH

2

GGO mrIH

2GGO mrIH

OO IH

GG rv .

mrII GGO2

rigidocuerpoT .

GG IH

c) Traslacin y Rotacin: (Movimiento general del cuerpo en el plano)

GmvL GG rv ..GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum (se evala entre 2 estados dinmicos):

.Se aplica para un cambio de estado.

1t

2t12 ttt

1) Momentum Lineal:

Sabemos que para todo cuerpo en movimiento:

GamF

dt

vdmF G

.

2

1

2

1

.G

G

v

v

G

t

t

vdmdtF

12 GG vmvmJ

2211 GG vmJvm

:J Impulso lineal

GvmL

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

a) Para un cuerpo rgido:

2211 LJL

De donde:

zzz

yyy

xxx

LJL

LJL

LJLD

D

2211

2211

22112

3

:F

Suma de las

fuerzas externas,

sobre el sistema

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados: 2211 LJL

2) Momentum angular:

GG IM

dt

dIM GG

2

1

2

1

.

dIdtM G

t

tH

G

dt

dIM GG

GG Idt

dM

GG Hdt

dM

GGG HdII

1221 :21

Impulso

angular

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

2211 GG HH

Para un cuerpo rgido

Para un sistema

.GG IH

:GH Momento angular

respecto a G

Nota:

Suma de momentos de las fuerzas externas al sistema :GM

21

2

1

G

t

t

GG HdtMH

AA Hdt

dM

4. Conservacin del Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento: En un eje cualquiera:

Si

Entonces

0.2

1

t

t

dtF

.cteL

a) Para un Cuerpo Rgido:

21 LL

21 .. GG vmvm

21 GG vv

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas til):

21 LL

5. Conservacin del Momentum Angular:

En el plano:

Si

Entonces

2

1

0

t

t

GdtM

21 GG HH

.cteHG

21

GG II

21

21 GG HH

a) Para un Cuerpo Rgido:

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas til):

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL

.

2. Momentum Angular

GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 LJL

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 GG HH

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

5. Conservacin de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

6. Conservacin del Momentum Angular:

21 LL

21 GG HH

RESUMEN

Validas solo para un estado dinmico

6. Anlisis Para Choques Excntricos:

El impacto excntrico entre 2 cuerpos ocurre cuando la lnea que uno los centros de masa de los cuerpos no

coincide con la lnea del impacto. En estos choque, se cumplen las ecuaciones dadas, pero se agrega la que

corresponde al coeficiente de restitucin (e)

Antes del impacto Despus del impacto

impacto del antes vrel.

impacto del despues vrel.e (Se aplica en el punto de contacto,

en la lnea de Impacto)

En el ejemplo:

2 2

1 1

n n

P Q

n n

P Q

v ve

v v

Tambin: Si no hubieran fuerzas externas sobre

el sistema 3, "El sistema es conservativo".

Q Q P P

t

t

n n

1

n

Pv

1

t

Pv

1Pv

1

n

Qv

1

t

Qv

1Qv

2Qv

2Pv 2n

Qv

2

n

Pv

2

t

Qv

1

t

Pv

7. Conclusiones Importantes:

Para todo movimiento plano: en un estado dinmico.

GGGGG Hdt

dI

dt

d

dt

dIIM

.

GG HddtM

2

1

2

1

G

G

H

H

G

t

t

G HddtM

1221 GG HH

G G G

O O O

F2

F1

d2

RO mg

IG1

1

rG

2

2

1

1 2

t

G G G

t

I M dt I

2

1

2

1

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( )

( )

t

G O O G

t

t

G O O G

t

I k F d F d R d dtk I k

I F d F d R d dt I

a) Con respecto al centro de masa G:

IG2

G G G

O O O

F2

F1

r2

RO mg

rO

IG1

1

rG rG

2

2

1

1 1 1 2 2 2

t

G G O G G

t

I r mv M dt I r mv

2

1

2

1

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( )

( )

t

G G G O G G G

t

t

G O O G

t

I k r mv k F r F r r mg dtk I k r mv k

I F d F d R d dt I

IG2

Dos casos a tomar en consideracin:

a) Cuando t grande, apreciable. Se considera el impulso del peso y otras fuerzas pequeas.

b) Cuando t muy pequeo (choques). El impulso del peso y otras fuerzas pequeas, no impulsivas son despreciables.

a.- w = 1,2219 rad/s

b.- vn = 42,8342 m/s

1.- A2 = 25,1328 rad/s

2.- t = 0.8691 s

3.- Fm = 46,2651 N

4.- Ot = 22,7451 N

5.- On = 17,64 N

6.- 2 = 71,5359 rad/s2

KB = 1,6 m

1.- AB2 = 3,834 rad/s

2.- AB3 = 1,246 rad/s

3.- CD3 = 4,3132 rad/s

4.- OY = 170,4221 N

5.- 3 = 0

6.- max = 105.4