impedenza meccanica

5/9/2018 impedenza meccanica

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77esiste una certa differenza di pressione dalle due parti delpistone. In questo modo c'e una forza considerevole che si 0,pone al moto relativo fra il corpo mac china e ammortizzatori:questa forza e circa proporzionale alIa velocita del mota re-lativo degli ammortizzatori. La quantita ottimale di smorza-mento (damping) in questi ammortizzatori dipende dalle condi-zioni della strada. Correndo su una strada liscia con ondula-zioni fatte in modo che ci sia un impulso al secondo e chiaroche si deve ricercare uno smorzamento critico. D'altra partese la strl:l


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78ne non e piu giustificata perche il peso delle parti costitue!,!ti il supporto e considerevolmente piu leggero di quello delmotore da solo.

Per cercare di elaborare un primo studio di Una tale si-tuazione, supponiamo che la struttura di sostegno sia dotatadi una massa m2(fig. 71) mentre la massa del motore sia rap-presentata col simbolo mI. Le equazioni differenziali sono:

Supponiamo che una coppia di soluzioni sia data dalle:Xl xlmsenwtx2 x2msenwt

e, sostituendo otteniamo:2xl(-mlw + k) + x2(-k) = Po

2Xl(-k) + X2(-~ + k) = 0II motore da solo non si trova in difficolta di funziona-mento per il fatto di essere soggetto ad unmoto di tipo xl Tale moto pertanto non ci interessa. Piuttosto vogliamo trovare qual'e il moto del supporto x2Dalla seconda equazione ricaviamo:

E sostituendo il valore di xl cos! trovato nella prima equa-zione:P ko

Questa espressione si puo porre in altre forme di cui una co!,!veniente e:


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Dove w rappresenta la frequenza naturale del sistema e vale:..n~,.""""_",~~. ~_~"~~.,=__ ._,,"""_"_.",,,,,.76)

La forza trasmessa all'incastellatura si puo determinaremolto facilmente osservando che essa deve essere la forza d'iner~~!3._d.~l"_~~J:lP?rto:2w2X4

m2 P77) Forza trasmessa 0ml + m2 2w -12W nConfrontando questo risultato con quello fornito dall'e-quazione (31) ed osservando la fig. 49 relativa alIa teoria

delle fondazioni rigide che abbiamo gia avuto modo di vedere,no i, scopriamo che tale teoria (perfllIlo:r::zarne.nt0rll.l11o)anco-rSl:,y~!tC!,~iin al tri termini l' equazione .(77 r' ~'a:ncora rappre-sentata dal diagramma di risonanza classico.Si deve osservare frattanto che nella teoria delle fonda-zioni rigide la frequenza propria wn e data da w~ = kim men-tre ora essa e da ta d all' equa zion e (76). Per un dato tipo diincastellatura si deve realizzare il sistema isolante in modotale che la frequen~a propria sia uguale a circa un .terzodel_.~l:fJ::Elql.l(3nzae:r~llI_'~


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8020 Hertz. Di conseguenza un sistema isolante conveniente peruna incastellatura massiccia avra 1 frequnza propria dell'or-dine di 6 Hertz e due terzi e questa corrisponde ad un allun-gamento della molla di circa 6,5 mm e rappresenta un risulta-t o r ag io ne vo le .Se 10 stesso motore avesse dovuto essere installato su u~na nave con un supporto leggero in modo che m2/ml fosse ugua-Ie a 0,1 l'allungamento statico della molla sarebbe dovuto e~sere undici volte piu grande ossia circa 70 mm. Si vede beneche questa e difficile da realizzare. Oltre a cia una tale disposizione del motore su un mezzo come la nave, soggetto arollio e beccheggio, e del tutto sconsigliabile. -Questo indica che l'isolamento della scafo di un bastimegto nei confronti delle vibrazioni dei macchinari situati allointerno di esso e assai diffi6ile da realizzare.

Le vibrazioni della scafo si propagano sott'acqua sottoforma di rumori. Cia presenta numero inconvenienti. Si pensiad es. ai battelli da pesca 0 alIa individuazione di navi ne-miche.La rappresentazione dell'incastellatura della scafo con una massa m2 costituisce una semplificazione grossolana. Il~to della scafo al quale sono fissate Ie mac c hine si comportain parte come una molla in parte come una massa e in parte cme un ammortizzatore per il fatto che l'irradiamento delle vibrazioni nell'acqua circostante rappresenta una cessione di ~nergia della scafo e quindi il sistema viene "ammortizzato".II determinare in fase di progetto Ie caratteristiche della forza della massa e del dispositiv~ di ammortizzamento pr~senta grosse difficolta.Una volta che l'aereoplano e la nave siano costruiti, sipua invece determinare facilmente queste caratteristiche; sifissa alIa costruzione in questione un generatore di vibrazioni che Ie applica una forza sinusoidale di cui si pua far va=riare con continuita la frequenza. Si misura in seguito la forza e l'ampiezza del movimento per ciascunafrequenza. Si pu6-rappresentare il risul tato sotto forma di un_rapporto~,.J')ln_-.?I).onei w chiamato im~.li~!.!.~~_!!g_gcanica----',"'""------78) , z : : : : intensi ta della forza .,

.. (w ) am piez z_~_" ~.:~ _lo. _~po stam entoConsideriamo a titolo di esempio una semplice molla attaccata al suolo alIa sua estremita inferiore, mentre la sua e-st remi ta su peri ore e eccitata da un generatore di vibrazioni.Se l'ampiezza all'estremita superiore e a senwt Ia forza ek a senwt in modo che per una molla si ha Z:::: quanti ta indi-

pendente daIIa frequenza.Consideriamo come esempio una certa massa.


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81Se il generatore di vibrazioni agisce su di essa il suo mOto sara rappresentato da asenwt mentre fa forza e -maui2senwt-in modo che Z = -mw2 ..11 terzo esempio e costituito da un ammortizzatore con ilsuo cilindro fissato al terreno mentre un generatore agiscesul pistone. 11 moto di quest'ultimo si esprime con asenwt

mentre la forza agente vale ca coswt sfasata di 900 rispettoallo spostamento. Se si uttlizzanoi numeri immaginari si scrivera che il moto e a mentre la forza e Jcaw coe Lcche Z = Jwc 1 1na quantita immaginaria.Se si conosce il sistema si puo calcolare allora la suaimpedenza rna non si conoscono le proprieta di un punto, poniamodello scafo, di una nave. Si puo allora effettuare su que=sto punto una serie di misure.Consideriamo ora l'insieme costituito da una mac c hina mlsoggetta.?-d una forza Posenwt attaccata ad una incastellaturadi impedenza Z(w) per mezzo di una molla di costante k(fig. 71). Le equazioni differenziali

P senwto

Se si suppone che il modo sia armonico di pulsazione w, le ampiezze xl e x2 saranno dei n complessi e,se Z e una quantita-immaginaria2-ml w xl + k(Xl - x2 )

k(xl - x2)Po

0, ordinando2xl(-mlw + k ) + x2(-k) Po

xl (-k) + x2 (k + Z) = 0Risolvendo rispetto a xl la 2a equazione

e portato questo valore nella la equazione risolvendo rispet-to ad x2


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82Po

Z(l -La forza trasmessa al suolo e ZX2 e la forza eccitatriceapplicata alla macchina e Po in modo che il rapporto fra i duee dato da:

80) T ra sm is si b il i ta Z

Questa formula contiene tutte le caratteristiche possibi-li dell'incastellatura. Consideriamo come primo esempio la figura 71 dove Z = -m2w2. Portando questa equazione nella (80) g Lritrova il risultato precedentemente trovato in questo caso.A ti tolo di 20 esempio supponiamo che l' incastellatura cOQsista esclusivamente di una molla K in modo che il motore poggi al suolo solo tramite serie di molle di costante elasticak 0 per mezzo di un'unica molla equivalente di cost. elasticokK/ (k+K). Sosti tuendo Z = K nella (80) abbiamo

_ _ _ = K =2K- mlw (1+ K/k)Trasmissibilita =

= ______ l~~ __ ~=2 ml (k+K)1-w kK1

come e mostrato dall'equazione (31).Nel caso di un ammortizzatore c ink (fig. 72) si conduce 10 studio allostesso modo.Si trova per la trasmissibilita

parallelo ad una molla~ ~ C o : I t

nlotore

d.r-----''------'-- ' Z c w )

Fig. 72

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