Il Senso del Numero

I l sensode l

numero

G i a m p i e r o R a s p e t t i

Dedico il mio libro a te.

Giampiero Raspetti

Disegni di Chiara Leonelli

LA MIA MANIA 4

METODO 26

IL SENSO DEL NUMERO 40

SENSO DEL NUMERO NEGLI ANIMALI 62

SENSO DEL NUMERO NELL’UOMO PRIMITIVO 78

SENSO DEL NUMERO NELL’UOMO CIVILIZZATO 86

I NOMI 96

PRAENOMEN, NOMEN, COGNOMEN 106

CALENDARIO 108

EVOLUZIONE 118

INSEGNAMENTO 122

LE NOSTRE RADICI 130

ARRIVEDERCI 134

esercizi 136

P e r c h é x d e v ' e s s e r e u g u a l e a u n n u m e r o ?

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Giampiero Raspetti

Il senso del numero

Sono davvero soddisfatto di aver coltivato l’interesse, appena

laureato, specializzazione Analisi Numerica, per la storia della

matematica. Mi sono così inoltrato nel lato umano della disciplina

riuscendo a ghermire il senso, il calore, il sapore delle sue scoperte.

Più mi appassionavo al suo sviluppo storico, più ne penetravo

l’essenza.

La passione per la storia della matematica comporta

inevitabilmente una conoscenza approfondita delle sue parole, degli

etimi stessi. Ipotenusa2 è forse, in assoluto, uno dei vocaboli più

noti, ma quante persone ne conoscono storia e significato?

Non moltissime, credo... Ho così rivolto i miei interessi

culturali allo studio della nascita e dell’evoluzione di idee, parole e

storie matematiche presso antiche civiltà, oltre quelle greche ed

indiane, laboratori quest’ultime delle preziose conquiste che oggi, di

norma, troviamo nei programmi scolastici.

Nelle pagine di destra farò

spesso riferimento alle radiciindoeuropee3 di alcune

parole. Inizio con ma come...

matematica4 e con namascome... numero5.

Si parla di radici poiché il

genere umano, non è apparsosulla terra, come ormai

inequivocabilmente attestato,

all’improvviso, magari alto,

biondo e con gli occhi

azzurri... tutt’altro!

Anche nel linguaggio l’homo,

pur se sapiens, non è nato

LL AA MM II AA MM AA NN II AA 11

4

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1 . M A N I A

Gli antichi che stabilirono i nomie le ragioni dei vocaboli, non ritenevanomalvagia la mania.

La considerarono invece artesublime, quella che permette di conoscereil futuro...

... la ritenevano bella perchéderivante da influsso divino e con talepersuasione le imposero il nome...

... i moderni, inserendovi moltorozzamente una t, l’hanno chiamatamantica...

... gli antichi concordanonell’affermare che la follia proveniente da Dio vale moltopiù della saggezza che ha origine umana...

... chi, investito da vera follia e sospinto da divinofurore, era liberato da ogni male... ...

... vi è poi follia e invasamento che proviene dalle Musee prende possesso di anime delicate e pure; le vivifica e leentusiasma nel canto lirico e in altre poetiche composizioni;infonde ordine e bellezza in vicende d’eroi ed educa legenerazioni future...

... Chi giunge alle porte della poesia privo della folliaispiratrice delle Muse, convinto didiventar poeta per virtù d’arte, resta ametà... di fronte alla poesia dei folli, lapoesia dei savi scompare...

... Dobbiamo dimostrare che è per noigrande fortuna che tale mania sia natadagli dèi. Certo questa dimostrazione sembreràinaccettabile per il pensiero razionale, mapersuasiva per gli uomini saggi.

Platone, Fedro, XXII-XXIII

5

imparato, come argutamen-

te suggerisce l’adagio popo-

lare.

Le sue prime biascicanti

emissioni vocali si riferiva-

no ad un repertorio di ogget-

ti o di azioni simili che, nel

corso dei tempi, si è amplia-

to, raffinato, consapevoliz-

zato, originando parole con

significati omogenei, spesso

affini.

Ogni suo primo vagito si

chiama radice.Lentamente da ogni radice,

che assumeva significati

ampi anche se vicini, si è

sviluppato un albero con

rami e foglie, via via

presentando significati

sempre più minuti e diffe-

renze precise: le nostre

parole quotidiane.

Son dette indoeuropee, tali

radici, in base alla ipotesi

(molto sostanziata) di una lingua originaria comune, da cui

moltissime altre lingue sarebbero derivate.

Nutro notevoli perplessità nel credere ad un Adamo

primigenio che, rivolto alla sua costolare Eva, abbia, subito dopo

averla adocchiata, inanellato frasi del tipo: Gentile Signora, mipermetta di ossequiarLa e di proporLe di intrattenerci in unsollazzevole oroscopo... o forse preferirebbe indaffararsi in untoccante scambio di opinioni sulla dinamica delle falde tettoniche?

6

Pagina6

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Le annuali inondazioni del Nilocancellano le tracce di confine.Occorre, ogni anno, restituireai contadini gli stessi campi.

La matematica non assegnacampi clientelari poiché safissare uno stesso angolo pertutte le misurazioni! upoteinousa (ipotenusa) daupoteino e questo da upo(sotto) e teino (tendo a forza):quando tutto è ben teso,l’angolo tra i due cateti èretto. Il lato sotto l’angoloretto è chiamato, ovviamente,IPOTENUSA!

2 . I P O T E N U S A

Tavola disegnata da Agnese Sembolini

8

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Tra gli 8.000 e i 9.000 anni fa, si è diffusa, a partiredall’Anatolia, una vasta famiglia linguistica checomprende i seguenti sottogruppi o lingue:indoiranico (sanscrito, hindi, bengali, persiano),armeno, tracofrigio, greco, macedone, illirico(albanese), dialetti italici (osco-umbro, venetico,ligure) tra i quali anche il latino da cui sonoderivate le lingue romanze (italiano, francese,spagnolo, portoghese, romeno), celtico (scozzese,irlandese, gallese, bre tone), germanico (goto,tedesco, inglese, olandese), baltico (lettone, lituano),slavo (russo, ceco, polacco, sloveno, serbo),l’antico ittito, le lingue anatoliche e il tocarico. Studiosi di linguistica comparata quali Schlegel,Bopp, Grimm, muovendo dall’osservazione dellenumerose affinità fonetiche, morfologiche, lessicaliesistenti tra molte lingue europee ed asiatiche,giunsero alla formulazione dell’ipotesi di unalingua originaria comune (indoeuropeo), da cui essesarebbero derivate. L’antica area delle origini doveva essere compresatra il Reno, gli Urali e la Germania meridionale.

9

3 . L E L I N G U E I N D O E U R O P E E

Indeciso tra un lavoro, in India,

con IBM calcolatori e la cosid-

detta missione di insegnante,

scelsi quest’ultima, con un

chiodo fisso: cercare, per

quanto possibile, di proporre la

matematica in modo storico-problematico, perché risultasse

di stimolo al pensiero autonomo

o potesse comunque essere

recepita dallo studente come

una sfida alla sua intuizione ed

alle personali capacità

interpretative ed elaborative,

al suo originale modo di

costruire il pensiero, di

tracciare la sua mappa

logica e culturale, in modo

compatibile con i suoi tempi

e con le sue esperienze.

I miei convincimenti mi

condussero verso una scuola

che non condizionasse, ma

fosse in grado di promuove-

re, nell’allievo, una solida

e fiera autodeterminazione.

Tra l’educere e l’educare,

non ebbi dubbi di sorta. I due verbi, che formalmente differiscono

solo per una e/a, riguardano entrambi il mondo della educazione,

ma i loro significati sono chiaramente divergenti, anzi sottendono

modalità e comportamenti diversi e sono apportatori di

conseguenze profonde e difficilmente conciliabili.

10

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3 . 1 S A N S C R I T O

Filippo Sassetti, nel XVI secolo, aveva individuatouna somiglianza di alcune parole sanscrite conl’Italiano, ma l’affinità tra il sanscrito e le altrelingue euro pee più diffuse risultò più evidente nel1786, quando Sir William Jones della East IndiaCompany presentò alla Royal Asiatic Society unsaggio in cui dimostrava che la lingua sanscrita erariconducibile allo stesso ceppo linguistico dellelingue germaniche e delle lingue classiche piùconosciute. La parola Sanscrito è un calco dal termineSamskrta (perfezionato, ornato), nome con cui sidistingue dalle lingue pracrite (Prakrta, naturale),lingue correnti sviluppatesi parallelamente alsanscrito e parlate anche dal popolo non colto. Il sanscrito fu fissato nella sua forma definitiva dalfamosissimo grammatico Panini, vissuto nel IVsec. aC, autore dell’Asthadhyayi, un trattatogrammaticale in otto libri, scritto interamentesotto forma di aforismi.

RADICEElemento irriducibile di una parola e partefondamentale di una famiglia di parole.

11

Al loro interno si celano due concezioni opposte

dell’essere scuola e dell’avere società.

La prima prende in considerazione la parola educazione

derivandola dalla maieutica socratica7; detto in latino, educere, ex

ducere, aiutare cioè il giovane a

tirar fuori, a far nascere le sue idee,

a sviluppare in modo autonomo la

propria mente. Come se fossimo

levatrici, appunto. La seconda deriva dal senso di

sottomissione, dal libro delle regole,

dal latino educare, cioè nutrire,

travasare, assorbire quello che viene

dettato e versato dall’alto.

Poiché l’insegnamento contiene

anche queste due opposte maniere di

modellare una società, ne deriva

che, di norma, pochissimi siano i

12

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4 . M A T E M A T I C A

La radice indoeuropea ma - men ha il doppio senso dimisurare e di pensare, cioè misurare con la mente. In sanscrito mati è pensiero, mata dottrina, medha intelligenza, madhas scienza, arte medica, madaya insegnare.

Il greco mathematiké (téchne, arte) significa che concerne ilsapere, la scienza, e si collega a mathema disciplina, studio,scienza, derivando da manqanw (mantano) imparo,capisco, intendo, misuro e pondero le idee. La maqhsij (matesis) è la dottrina, lo studio, la scienza pereccellenza.Mantano è affine a manteuo, investigo e a mantica cioè amania…

4 . 1 d a M a M Amfenicio min greco mi latino eminizialmente indica le onde e l'acqua.E’ una labiale di agevole pronuncia per i bambini e così sivuole abbia dato origine alla parola mamma.maRadice sanscrita che porta al senso di misurare:sanscrito matr greco mether lat materquindi madre significa la misuratrice, la ordinatrice,rispetto alle diverse funzioni attribuite nella famigliacomare cum matre, che tiene a battesimo il figlio altruiimmantinente in manu tenente, mentre si tiene in mano,

cioè subito, senza indugioimmenso composto da in e mensus, e questo da

metiri, misurare, che è senza limitimano la misuratrice per eccellenza

13

liberi testimoni educativi, ruolo questo estremamente difficile e

delicato mentre gli istruttori, i ripetitori cioè, quelli sempre

rispettosi del potere dominante, che mal s’accorda, in genere, con

i valori più nobili dell’uomo, si sprecano! Ed hanno, quest’ultimi, un

consistente potere, soprattutto nel

perbenismo. Costituiscono la metà

buona del cosmo, ordinati, appunto...

non un capello fuori posto, timorati

di tutto. I loro saperi spaziano anche

dall’astrologia alla mistica, ma il loro

forte è indubbiamente la memoria, la

Grande Sorella.

Gli Evaristo Galois invece, logici,

matematici, divergenti, impertinenti,

donnaioli... sono scomodi, scoprono

cosa c’è sotto, sono sinceri, non

ipocriti e poi, guarda un po’, non

credono né a favole né a streghe,

sono irriverenti verso l’autoritarismo

becero ed emanano, ma solo nei confronti delle persone colte,

fascino e carisma autentici!

Certo che è più facile studiare e far studiare a memoria, senza

alcun vero sudore della mente, al riparo da logica e da spirito

critico.

Ripetere a memoria, d’altra parte, è importante perché cidifferenzia... dalle lenticchie!

Molto più rilassante è la passività, rispetto all’attività;

più comodo sostituire le chiacchiere alle azioni, i racconti degli elfi

alla ricerca dei fatti, per cui i legionari della sottomissione ed i

cultori di privilegi, in folta schiera, si abbarbicano attorno a

misteri, centri di potere, televisioni, lezioni narcotizzanti, pratiche

per la circonvenzione di ingenui e di incapaci e così campicchiano

14

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mansueto da manus e suetus, istruito a venire sotto la manomantenere manu-tenere, tenere in mano, tenere fermo e

fisso, conservare nel medesimo statomateria misura poiché la materia è quantità misurabilememoria rappresentare al proprio pensieromese il misuratore dell’annometro lo strumento misuratoremetropoli da metro e polis, città madremimo imitare, cioè misurare i gesti degli altriMinerva divinità che i Romani importarono dall’Etruria,

in cui era conosciuta come Menrva, da manas che si ricollega al latino mens, mente. Dea della sapienza, dei saggi consigli, della intelligenza, protettrice delle scienze. Come protettrice dei medici fu chiamata Minerva Medica

morale regola, misura delle azionimostrare avvertire e quindi far pensareMnemosine Dea della memoria, figlia di Urano e di Gea.

Zeus se ne innamorò e si unì a lei trasformatosi in un giovane e bel pastore.

Nella Musogonia, Vincenzo Monti descrive la nascita delle9 figlie, dette Muse:

Tr e v o l t e e s e i l ’ o n n i p o s s e n t e p a d r eD e l l a f i g l i a d i U r a n o i n g r e m b o s c e s e ,

E d a l t r e t t a n t e a v v e n t u r o s a m a d r eD i m a g n a n i m a p r o l e i l D i o l a r e s e :

D i n o v e i o d i c o v e r g i n i l e g g i a d r eD e l c a n t o a m i c h e e d e l l e b e l l e i m p r e s e .

Musa che ha il pensiero rivolto a qualcosa. Clio alla storia,Euterpe alla musica, Talia alla danza, Erato ai versi amorosi,Polinnia alla retorica, Calliope alla poesia epica,Urania all’astronomia.

15

sperando che sopravviva, per loro, il domani birbone.

Da una parte quindi, la scuola e la società dell’educere, ove si

forma il responsabile, sempre, delle proprie azioni, coerente e

dignitoso, in cui vige la meritocrazia, il pensiero critico e creativo, il

dubbio sistematico, la ricerca, il comportamento rivoluzionario...

coloro che non delegano, ma pagano di persona... a petto nudo, la

croce sulle spalle e gli sguardi rivolti al bene degli altri... (moriròper voi...ricordate?).

Ho appena descritto gli uomini liberi. Dall’altra, la scuola e la società delle certezze, delle regole

assolute... non hai che da impararle a memoria e ripeterle tutta la

vita. Ripetere i ragionamenti dei Grandi, si diceva ai tempi della mia

prima formazione scolastica, allena ai grandi ragionamenti! La verità è lì, non hai che da ingurgitarla e ripetere tutto a

memoria. Ma non farti domande, non porti perché... studia e ripeti! CREDI A ME! IO VOGLIO IL TUO BENE!

16

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5 . N U M E R ODalla radice sanscrita namas, cibo, porzioneassegnata e da nam-ati, esser devoluto; in greconemw (nemo), distribuisco, elargisco, spartisco equindi amministro, regolo, da cui nemesij(nemesis), distribuzione, attribuzione a ciascuno delgiusto e nomoj (nomos), legge, uso, regola, costume,disposizione. In latino numesus che, per rotacismo, (passaggio diuna articolazione fonetica a r (ro), r, specialmentenel caso della s intervocalica), diventa numerus,ente che specifica la quantità.

Non avremmo potuto ragionare intorno all’universo senon avessimo visto né gli astri, né il sole, né il cielo.L’osservazione del giorno e della notte, dei mesi e deglianni, ha generato il numero e procurato a noi lacognizione del tempo e l’indagine sulla naturadell’universo. Platone, Timeo, XVI, 47

Nel numero non penetra menzogna perché la menzognaè avversa e nemica alla natura, così come la verità èconnaturata e propria alla specie dei numeri. Filolao

Filolao di Crotone, pitagorico. Da costui Dione comperò, perincarico di Platone, i libri pitagorici. Diogene Laertio, VIII

Tutto è edificato sull’ordine numerico, Cosmos...Mundus, ordinato, pulito, senza macchia... omniamunda mundis.

17

Niente di più falso: essere guardoni,

credere ciecamente o ripetere i

grandi ragionamenti allena solo alla

non autonomia mentale!

Crea pappagalli, topastri, ocarelle,

gallinastre, miciarelle.... tutti

obbedienti, perbenisti, i senzavergogna, molto, molto timorati dei

potenti... il futuro yes-people!

Una sorta di rituale delle idolatrie,

un catechismo

in cui si cerca

più o meno consapevol-

mente di allevare il più

gran numero possibile di

allineati, non divergenti,

politicamente indiffe-

renti, dogmatici, estre-

misti quindi, all’occor-

renza, manipolabili e

veri e propri ribelli.

Questa situazione è pur-

troppo fotografata da

tutte le indagini mondia-

li sull’educazione in cui

gli studenti italiani,

mediamente, sono in

posizione non dignifica-ta rispetto alle capacità

critiche ed a quelle di

decodifica di un docu-

mento: rispetto alcapire, insomma!

18

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5 . 1 N O M A D E

Dalla stessa radice sanscrita namas. Nemw significa anche condurre al pascolo quindi ilnomade è colui che ha e dà una porzione assegnata,pascolo e pastura (e non ha dimora stabile).

5 . 2 N E M E S I

...storica, con i significati di attribuzione di giustiziama anche di giusta vendetta.

Nella Teogonia (v. 223) Esiodo presenta Nemesi,figlia della Notte, come una dea che distribuisce aciascun uomo la sua sorte, felicità o sventura,secondo giustizia e merito. In un’età posteriore, con Pindaro ed Erodoto,cominciò ad apparire solo come apportatrice disventura. Vendica e punisce i prepotenti, abbatte la lorosuperbia, impone rovine e affanni a chi ebbe daldestino troppa felicità. Ripristina così la giusta misura in modo che l’uomopossa riflettere su di sè e divenire consapevole dellasua condizione umana.

Una sorta di livella in vita.

19

20

Ma quanto sarà allettante assuefare ripetitori, giovani che

mangiano, Leopardi lamentava, quello che i loro insegnanti hanno

digerito?

Credo non si tratti di un innocente gusto: il meccanismo ha

origini lontane, è collaudato, architettato da un potere iniziale ed

inerziale che per imporre fievoli certezze e colossali privilegi,

combatte la scienza distorcendo la realtà, in un contorsionismo di

storie senza capo né coda, intorno all’uomo, sulle razze, tra le speci,

sulla morale, sui comportamenti.

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6 . P A G I N ALa radice sanscrita pag-pak-pek significa unire,legare. Ricca la generazione di parole: pace il cessare della guerra mediante patti; pacco;pecora (latino pecus, pecoris), animale da sempre inbranco, unito agli altri; pugno; paese (pangese);palo (sostegno alle viti), patto.Pagina, latino PAGERE, convertito in PANGERE,ficcare, infiggere, fissare, congiungere ed anchecomporre. In origine significava pergolato di viti poi,colonna di scrittura.Giulio Cesare, sostenitore del purismo lin guistico,come appare anche dai frammenti Dell’analogia,inviava al Senato lettere, per la prima volta da luiridotte in paginae, a forma di libretto di memorie. Quelle pagi ne favorirono il passaggio dal papiroarro tolato, volumen, a quello che noi oggichiamiamo libro.Epistulae quoque eius ad senatum extant, quas primus videturad paginas et formam memorialis libelli conuertisse, cumantea consules et duces nonnisi transuersa charta scriptasmitterent. Sembra, da alcune sue lettere inviate al Senato,che sia stato il primo a dividerle in pagine e a dar loro laforma di memoriale, mentre consoli e generali avevanosempre scritto i loro rapporti su tutta la larghezza del foglio.C. Svetonio Tranquillo, Le vite di dodici Cesari, Vita Divi Iuli, Vol. I, 56.

La denominazione di liber in luogo di volumen e di codex comincia ai primi del II sec dC.

21

22

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oi.

Oscar W

ilde

Un potere che teme l’eterna ghirlanda fiorita.

Così tanti maestri, così pochi testimoni!

La tunica di Cristo non è più lacera e polverosa... oggi è

indiamantinata!

E dai diamanti non nasce niente!

Menone In che senso dici, o Socrate, che reminescenzaè quello che chiamiamo apprendimento? Puoi farmi capire?

Socrate Non è facile, ma voglioprovarci. Chiamami uno dei tuoi servi.

Me Volentieri. (Ad un servo) Vieni qua tu.

So E' greco e sa il greco? Me Perfettamente: è nato in casa. So Ebbene stai attento se ti

pare che egli ricordi o imparida me. (Al servo) Dimmi, giovanotto, sai che una figura come questa (ABCD) è un quadrato? Servo Sì.

So Un quadrato ha dunque quattro lati eguali? Se Certamente.

So E non ha eguali anche queste linee(EG, FH) che passano per il mezzo?

Se Sì. So E una superficie come questa (ABCD) non potrebbe anche essere maggiore o minore?

Se Senza dubbio.So Se il lato AD fosse di due piedi e il

lato AB di due, di quanti piedi quadrati sarebbe l'intero? Diventa di due volte due piedi?

Se Sì. So E quanto fanno due volte due piedi? Fai il conto e dimmelo.

Se Quattro, Socrate.So E non ci potrebbe essere un'altra

superficie, doppia di questa ma che abbia, come questa, tutti i lati eguali? Se Sì.

7 . P L A T O N E , M e n o n e , X V . . . .

B

A

C

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AB=BC==CD=DA

F

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23

4 piediquadrati

2 piedi

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So E allora di quanti piedi quadrati sarà? Se Di otto.So Orsù, provati a dirmi quanto sarà

lungo ogni lato di essa. Il lato di questo quadrato è di due piedi; quanto sarà quello di un quadrato doppio?

Se E' chiaro: sarà doppio. So Affermi dunque che da una linea doppia si genera una

superficie doppia. E questa linea AD diventerà doppia, se le si aggiungerà dal punto D un'altra linea DN di eguale lunghezza? Se Certo.

So Da questa linea AN dunque deriverà il quadrato di ottopiedi, quando si abbiano quattro linee siffatte? Se Sì.

So Ebbene, servendoci di questa AN, disegniamo quattro lati eguali (AN, NL, LI, IA). E questo (ANLI) sarà così quelche tu affermi, un quadrato, di otto piedi?

Se Senza dubbio.So Ma in esso non ci sono questi

quattro quadrati qui(ABCD, BIKC, CKLM, DCMN), di cui ciascuno è uguale a questo(ABCD) di quattro piedi? Se Sì.

So E dunque non diventa quattro volte tanto? Se E come no? So E quel che è quattro volte tanto, è forse

doppio? Se No, per Zeus.So Ma quant'è? Se Quadruplo.So Sicché, giovanotto, dalla

linea doppia si generauna superficie non giàdoppia ma quadrupla.

Se E' vero.

8 piediquadrati?

?

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Sono così rimasto non solo colpito, ma anche esaltato, lo

confesso, dall’idea, poi consapevolizzata, che uno studio adeguato

della matematica, diverso e discosto dagli usuali propinamenti

scolastici, possa anche rivelarsi un’eccezionale cartina di tornasole

per distinguere e/o caratterizzare due opposte visioni della società:

educante o repressiva, per uomini liberi o per cultori di privilegi.

La storia della matematica mi apparve così importantissima

per concorrere all’affermazione della metodologia della (sana)motivazione, la sola che per me abbia significato, tanto nella prassi

scolastica quanto nelle iniziative culturali, sociali e politiche.

Mi riferisco ad un apprendimento-insegnamento noto come

problem solving, quello che i matematici italiani chiamano euristica.Ricordate l’eureka di Archimede?

Detto latinamente, ars inveniendi, arte del ricercare, trovare,

scoprire, capire, arte delnon ripetere. Nelle sue valenze

sociali è testimonianza,

vivere insieme le pro-

blematiche (magistrale

esempio ne è il volonta-

riato). Pontificare è ilsuo contrario. Nel versante politico

significa produrre e

realizzare progetti

sostenibili e validi

culturalmente.

Fumoseria ideologicaè il suo opposto.

26

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So Perché quattro per quattro fa sedici: non è così? Se Certo. So E una superficie di otto piedi quadrati da quale linea si

ottiene? Un quadrato di otto piedi non è doppio di questo (ABCD) e metà di quest'altro (AILN)? E non si otterrà esso da una linea più lunga di AD, ma più corta di AN? Se A me così pare.

So E dimmi: questa linea (AD) non è, dicevamo, di due piedi, e quest'altra (AN) di quattro? Se Sì.

So Però il lato di una superficie di otto piedi deve essere più lungo di due piedi, ma più corto di quattro.

Se Non fa una piega. So Ebbene, cerca di dirmi quanto, secondo te, sarà lungo. Se Tre piedi. So Perciò, se deve essere di tre

piedi, prenderemo la metàdi DN. Perché AD misuradue piedi e DO uno. E così due AB e uno BP e si ha il quadrato APQO che tu dici.

Se Preciso preciso. So Ma, se AO è di tre piedi e

AP di tre, tutto il quadratonon sarà di tre piedi per tre?

Se Mi pare. So E quanto fa tre per tre? Se Nove. So Ma il quadrato doppio di quanti piedi doveva essere? Se Di otto. So Allora neppure da un lato di tre piedi si avrà

un quadrato di otto. Se Eh no! So Ma da quale,

allora? Se Per Zeus, Socrate, io non lo so davvero.

So Queste linee (DB, BK, KM, MD), che vanno da un angolo all'altro, non tagliano in due ciascuno di questi quadrati?

Se Appunto.

27

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Dopo la laurea, come

d’uso, si comincia a

studiare davvero ed io

mi appassionai moltis-

simo alla genesi delle

conquiste del pensiero

logico ed operativo,

delle vittorie dell’uo-

mo sui problemi

concreti che la realtà ha

presentato, ma anche ai

metodi ed alle tecniche

dell’insegnamento ed

agli studi di psicologia

genetica, particolar-

mente rivolti, ovvia-

mente, alle primissime

conoscenze dei bambi-

ni. Scoprivo così non solo il lato umano, ma anche la semplicità, la

bellezza, la moralità della disciplina8 costatando come tutto fosse

estremamente facile e naturale.

Nell’insegnamento, mi convincevo, tutto sarebbe dovuto

essere impostato a facilità e naturalezza.

Certo, luoghi comuni, frutto di ignoranza, affibbiano alla

matematica fama di aridità. Alcuni, se sentono parlare della poesiadella matematica, inorridiscono addirittura!

Anche qualche mio insegnante di matematica tuonò: è cosìperché... è così!, ma non era però così tanto convincente!

Qualche sparuto gruppetto di istruttori ancora s’affanna nel

presentare la matematica solo come palestra di staticità intellettiva:

questa è la regola, imparala, ti servirà... Se quei pochissimi tapini

rimasti a rovinare la mente di sfortunati giovani continuano ad

etichettare la matematica, nelle sue analisi iniziali, d’ingresso, come

28

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So E ora bada: quanto è grande questo spazio (DBKM)? Se Non lo so. So In questi quattro quadrati (ABCD, BIKC, CKLM,

DCMN) ogni linea non ha tagliato interamente per metàciascuno di essi? Se Sì. So E quante metà ci sono in questa figura (DBKM)? Se Quattro.

So E in quest'altra (ABCD)? Se Due So E quattro rispetto a due che è? Se Il doppio. So Questo quadrato (DBKM), dunque, di quanti piedi

risulta? Se Di otto. So E da quale linea si ottiene? Se Da DB. So Da quella che va da un angolo all'altro

d'un quadrato di quattro piedi? Se Sì.So E questa linea i

geometri chiamano diagonale*, o diametro**, e, come tu affermi, oservo di Menone, da essa si otterrà il quadrato doppio.

Se Senza dubbio, Socrate.So Che ti pare, Menone?

Ha egli risposto nulla che non sia una sua opinione?

Me Null'altro che questo. So Eppure egli non sapeva, come dicevamo poc'anzi. Me E' vero. So E queste opinioni erano in lui insite o no?Me Sì. So Ed ora in lui, come in un sogno, si sono d'un

tratto ridestate; e le saprà, non perché gliele ho insegnate, ma per via di semplici domande, riattingendo egli stesso da sé la scienza. Me Sì.

So E il riattingere da sé in se stesso la scienza non è ricordare? Me Certo.

So Sicché, dunque, la scienza, che ha ora costui, o dovetteacquisirla un tempo o l'ha sempre avuta? Me Sì.

So E però, se l'ha avuta sempre, è stato anche sempresciente; e se l'ha acquisita un tempo, non l'avrà certo

29

arte della dimostrazione (che si apprezza, di solito, solo dopo la

laurea), ovvero... arte di saper ripetere a memoria.... se addestranopensando solo a se stessi perché, dopo tanta onorata carriera,

conoscono ormai a menadito i loro amati teoremi e non nutrono

alcun desiderio di indursi in esaltanti indagini, né di improvvisaredavanti agli studenti, né di dar piglio alla formulazione di nuove

intelligenti ipotesi e alla ricerca di soluzioni originali; se non hanno

mai provato a pensare in proprio alle ragioni della dimostrazione,

costruendosela da soli, se hanno percorso il pensiero degli altri senza

vivificare il proprio... (si sappia, detto per inciso, che la tradizione

indiana e quella cinese fanno sì che i matematici espongano

soltanto i risultati dei loro teoremi, lasciando ai loro allievi

dimostrazioni e commenti, volendo così incoraggiare capacità

critiche e creative).

Se dunque gli istruttori delle nostre scuole si comportano

come gli aristotelisti nei confronti di Archimede (lettera ad

Eratostene9) o come i colleghi

tedeschi di Federigo Enriques, uno dei

padri della matematica dello scorso

secolo, che, al suo accorato appello manon vi accorgete, colleghi, che è così?- okkorre dimostrationen! - risponde-

vano - ma vi giuro, colleghi, non puòche essere proprio così! - dimostratio-nen, dimostrationen, immer! -

colleghi, mi gioco la testa che è così! -

non sarebbe una dimostrazionen,kollega!... allora... allora povero il

nostro studente... da intelligente che è,

saremo riusciti a mortificarlo, a

togliergli il gusto del congetturare, a

convincerlo, forse, di essere mancante

(deficiens)!

30

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acquisita in questa vita. E se non l’ ha imparata inquesta vita, non è evidente che la possedeva e l’aveva appresa in altro tempo?

Me E' chiaro. So E questo tempo non è quello in cui non era ancora uomo? Me Sì.

So Se, dunque, così durante il tempo in cui è, come durante quello in cui non era, uomo, sono insite in lui delle opinioni vere che, ridestate da domande, diventano conoscenze, non è forse vero che la sua animale avrà apprese da sempre? Giacché è chiaro che nella perpetua durata del tempo o si è o non si è uomo.

31

e vai!!!!

* Diagonale da dia, traverso e gonus, angolo** Diametro da dia, traverso e metron, misura

Quello studente che, invece, una volta imbroccata, anche

mediante sollecitazioni maieutiche, o semplicemente attraverso una

discussione alla pari, una via risolutiva, una volta elaborata una

risposta giusta e autenticamente personale ad un quesito posto, sarà

così fiero di sé che di lì in poi terrà sempre acceso il sacro fuoco

della matematica e, conseguentemente, non sarà più costretto o a far

finta di capire, studiando tutto a memoria, o a smettere di studiare la

nobile disciplina.

Occorre però avere consapevolezza del come sia davvero

indispensabile che tutti gli insegnanti, di tutte le discipline,

sappiano proporre un omogeneo metodo di insegnamento.

E’ urgente, innanzitutto, introdurre una forte meritocrazia!

La pagellina di fine anno non deve essere consegnata solo allo

studente; si elabori anche per l’insegnante... non da parte della

presidenza dell’Istituto, per carità di Dio!

Molti sono invece i metodi oggettivi per stabilire e far vincere

la vera meritocrazia nella scuola!

32

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8 . E S S E N Z A D E L L A M A T E M A T I C A

Individua la problematicità, il fondamentale dalsecondario, il probabile dall’irrilevante; imposta i problemisintetizzandone le vere coordinate, i punti di partenza equelli di arrivo; studia le possibili strategie di soluzione,scopre le regole comuni. Sa leggere la realtà con occhidisincantati ed acuti. Spirito critico della matematica

Stabilite alcune premesse, sa dedurre coerentemente erigorosamente. Non conosce teorie belle e teorie brutte, mateorie vere e teorie false, da sottoporre a controllouniversale. Capacità logica della matematica

Presenta un pensiero divergente che amplia gli schemidell’esperienza e crea nuove ipotesi; intuisce, fa domande,inventa, scopre laddove altri trovano normalità e regolarità;è capace di giudizi indipendenti, da tutto e da tutti, trannedalle proprie oggettive regole. Creatività della matematica

Non riconosce alcun valore al principio di autorità. Accetta solo quello che è dimostrato.

Moralità della matematica

Si interessa alla interazione ed alla trasformazionesociale, essendo scienza delle relazioni e linguaggio dellascienza. Valenza sociale della matematica

Si oppone alla massificazione, a formare cioè uoministandard, esseri impersonali, oggi incapaci di pensare con lapropria testa, domani ribelli od esecutori di ordini.

Umanesimo della matematica

Qui ista il vero centro delle riforme scolastiche, Signor Sarsi,non le spicciole amenità che a volte hanno dilettato alcuni responsa-

bili della istruzione italiana, i loro esperti e i loro dirigenti, divisi per

gruppi di potere partitico o per confraternite regionali.

Coloro che non di rado, unici in Europa, dando ascolto a

sirene di malintesa libertà di coscienza e di distorta libertà diinsegnamento, hanno sostenuto svendite, nel tempio o fuori di esso,

di fogli chiamati diplomi.

Altro che sana concorrenza tra istituti in nome della cultura,

altro che meritocrazia!

Altro che scuole private in cui, si dice, l’impegno è diverso marigoroso!

In moltissime basta solo pagare la retta!

Fino a quando questi lei non sa chi sono io.... abuseranno delle

tante persone oneste?

Tornando alla skolh, al tempo libero da altri impegni cioè,

se nella scuola proliferano istruttori che pretendono dagli studenti

massicce pagine da studiare a memoria, allora l’insegnante

educatore... passa per quello sbagliato, se va bene.... in genere è

meglio conosciuto come il

sovversivo o il ribelle.

Preside e colleghi non lo

vedranno di buon occhio.

Sarà però amato dagli

studenti e un educatore a

questo solo è interessato.

Ho appena confessato che,

nonostante io abbia sempre

avuto un rapporto eccellente

con la quasi totalità dei

miei studenti (con i lampan-

temente sciocchi o con i

razzisti depositari del

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8 . 1 LA MATEMATICA E’ UN UMANESIMOCome letteratura, musica e pittura sono le tre grazie dell’arte edei sensi, così aritmetica, geometria e logica sono le regine del lascienza e della ragione. La distanza che sembra separare questi due gruppi di bellezze,le prime sensuali e dionisiache le seconde fredde ed apollinee,sembrerebbe incolmabile. E proprio sul mito della lorodistanza si fonda quell’incompren sione nota come separazionedelle due culture, che si può e si deve cercare di sfatare...Incominciando a scavare si scopre subito che alcuni scrittori divalore sono stati in realtà matematici di professione: l’OmarKhayyàm del Rubaiyyàt, lo Stoker di Dracula, il Carroll di Alice,via via fino al Bertrand Russell della Storia della filosofiaoccidentale e al Solženicyn del Gulag...Ancora più profondi di quelli con la letteratura sono i rap portidella m con la musica, enunciati per la prima volta da Pitagora.L’idea pitagorica che musica, m e natura siano essenzialmentecoincidenti ha ispirato scienziati quali Keplero e Newton,spingendoli a ricercare e trovare nelle leggi dell’armoniamusicale il segreto dell’universo. Inversa mente, la m ha fornitoalla musica dapprima il lin guaggio numerico per esprimere lateoria dei rapporti armoni ci e poi le strutture geometriche sullequali si basano le composizioni polifoniche e dodecafoniche.Ancora oggi alcuni dei massimi esponenti della musicacontemporanea, da Pierre Boulez a Philip Glass, sono laureatiin m. Passando alla pittura, i legami con la m diventanoaddirittura autoevidenti. L’arte figurativa parla spessoattra verso il linguaggio matematico, dai triangoli e quadrati delcu bismo alle rette e cerchi del disegno geometrico, e altrettantospesso trova suoi modelli o sue modelle nella m, dai solidi diLeonardo alle figure geometriche di Kandinskij. Viceversaintere branche della m, dalla geometria proiettiva alla teoria deigruppi di simmetria, sono state ispirate e stimolare daproblemi artistici... Dunque, non solo arte e scienza non sonoseparate, ma proprio nella m si situa il corpo calloso checolle ga i due emisferi della sensorialità e della razionalità e ilponte di collegamento fra le due culture.

Piergiorgio Odifreddi, Il computer di Dio, Raffaello Cortina Editore

pensiero debole non c’è mai stato niente da fare...) non sono

riuscito a portare a compimento il mio progetto educativo.

Gli studenti erano spesso chiamati da altri insegnanti a

ripetere a memoria... premiati se ben masticavavano10, appunto, quel

poco che l’insegnante aveva digerito.

Per molti diventava tutto più facile...

Manifestare invece apertamente il proprio pensiero, esporre a

pubblico giudizio intuizioni e logica personali, mostrare di sapere o

non sapere intus legere... può davvero terrorizzare qualcuno!

E non mi riferisco solo ai discenti!

Uomini semplici e liberi scelgono di mostrarsi comunque e

sempre così come sono, come natura li ha generati o come si sono

autodisegnati, altri invece non riescono ad accettarsi, affollano le

schiere di Sua Maestà Ipocrisia, disprezzano e condannano,

pubblicamente, mentre, nel loro privato, sono irresistibilmente ed

inequivocabilmente segnati dagli stessi peccati che condannano!

Sed, quod licet Jovi! Double face nella vita e nell’insegnamento non ce la faranno

mai a non essere

che bacchettoni

delle regole e

asserviti al nozio-

nismo ed alla

memoria narcotiz-

zante!

Serve a poco

dunque un inse-

gnante che educa...

la scuola tutta, a

cominciare dagli

ausiliari, deve

essere scuola

dell’educere...

36

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37

9 . ARCHIMEDE A ERATOSTENE SALUTE Ti ho precedentemente inviato dei teoremi da me trovati,scrivendo di essi gli enunciati e invitandoti a trovare ledimostrazioni, che non avevo ancora indicate.... Vedendotidiligente ed egregio maestro di filosofia, decisi di scriverti edi esporti nello stesso libro le caratteristiche di un certometodo, mediante il quale ti sarà data la possibilità diconsiderare questioni matematiche per mezzo dellameccanica. Sono persuaso che questo metodo sia non menoutile anche per la dimostrazione degli stessi teoremi. E infatti alcune delle proprietà che a me dapprima si sonopresentate per via meccanica sono state più tardi da medimostrate per via geometrica, poiché la ricerca compiuta permezzo di questo metodo non è una [vera] dimostrazione: è poipiù facile, avendo già ottenuto con questo metodo qualcheconoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione,piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva. .... hovoluto quindi, avendolo scritto, pubblicare quel metodo, siaperché ne avevo già prima parlato (sicché non sembri cheabbia fatto un vuoto discorso) sia perché son convinto cheporterà non piccola utilità nella matematica: confido infattiche alcuni dei matematici attuali o dei futuri, essendo statoloro mostrato questo metodo, ritroveranno anche altriteoremi da noi non ancora escogitati. Scriviamo dunque come primo teorema quello che pure perla prima volta ci apparve per mezzo della meccanica: cheogni segmento di sezione di cono rettangolo è uguale aiquattro terzi del triangolo avente la stessa base e ugualealtezza; dopo di ciò ciascuno dei teoremi veduti con lostesso metodo: alla fine del libro scriviamo le dimostrazionigeometriche di quei teoremi dei quali ti mandammo primagli enunciati. OPERE DI ARCHIMEDE, UTET

Questo scritto venne feli cemente ritrovato dal grande filologo danese J. L. Heibergnel 1906. Particolare è la sua importanza: è profondamente diversa da tutte le altreopere di Archimede che ci sono giunte, poiché non fornisce dimostrazioni rigorose deiteoremi, ma offre deduzioni compiute con l’impiego della meccanica, con un metodoche Archimede dichiara privo di vero valore dimostrativo. Come scrisse H. G. Zeuthen (Bibi. Math., 1906-07, 3 Fo1ge, 7 Bd, p. 342): in questoscritto Archimede.... ci fa guardar dentro la sua officina matematica.

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1 0 . Jonathan Swift, I VIAGGI DI GULLIVERL’autore visita la grande Accademia di Lagado.

Descrizione delle arti alle quali si dedicano gli studiosi.

... Il primo ricercatore che vidi era sperduto, la faccia e le manisporche, barba e capelli lunghi, stracciato e sbruciacchiato in varieparti; i vestiti, la camicia, la pelle erano tutte dello stesso colore. Aveva dedicato otto anni ad un progetto per estrarre i raggi solaridalle zucche. Questi li avrebbe chiusi in fiale di vetro, pronti perriscaldare l’aria in estati rigide e inclementi. Mi disse che nutriva la segreta speranza di potere, con altri ottoanni di studio, dotare della luce solare, e ad un prezzo modico, igiardini del governatore. Per il momento si lamentava che i suoifondi fossero all’asciutto e mi pregò di lasciargli qualcosa atitolo d’incoraggiamento del suo ingegno, tanto più che era statauna stagione proibitiva per le zucche... ... In un’altra stanza ebbi il piacere di conoscere un inventore ilquale aveva trovato un nuovo modo di arare la terra con iporci, risparmiando fatica e la spesa dell’aratro e delle bestie. Consiglia il metodo seguente: in un acro di terra si seppellisce,alla profondità di venti centimetri e ad una distanza di quindici,una certa quantità di ghiande, castagne, datteri ed altra frutta dicui i maiali sono ghiottissimi; poi si portano seicento di questianimali sul campo dove, in pochi giorni, rigireranno tutta quantala terra alla ricerca del cibo, rendendola non solo pronta ad essereseminata, ma perfino concimata dal loro sterco... ... Venne poi la volta della scuola di matematica, dove l’insegnanteseguiva un metodo inimmaginabile a noi europei: si scrivevano,con inchiostro composto di tintura cefalica, enunciati edimostrazioni su una sottile ostia. Lo studente doveva trangugiarla a stomaco vuoto e per tre giorniera tenuto a pane ed acqua. Quando l’ostia veniva digerita, latintura cefalica saliva al cervello portando con sé anche glienunciati matematici. Fino ad allora i risultati si erano dimostrati inferioriall’aspettativa; questo era dovuto a qualche inesattezza nelladose, ma anche alla disubbidienza di questi ragazzaccirecalcitranti i quali si liberano della pozione disgustosa primadi averla digerita, oppure non rispettano la dieta alimentarerichiesta.

Kronecker disse: I numeri interi li ha fatti il buon Dio,tutto il resto è opera dell'uomo. Numeri come dono divino, regale

base per costruire il resto? Ma c’è mai stato un dono divino?

Davvero Prometeo11 ci ha

donato il fuoco e Atena12 la

saggezza?

O, viceversa, l’uomo si è

guadagnato, in milioni di

anni e attraverso inenarrabili

sofferenze, tutto, ma proprio

tutto, da solo?

La scienza, ormai inconfutabil-

mente, è donazione esclusiva

dell’uomo a se stesso,

nonostante molte, aberranti,

avversità. Quante le torbide

azioni compiute dai nemici

della scienza e della verità

(seppure sempre relativa, ma in

continuo, progressivo, perfe-

zionamento), così vittime di

palpitazioni ideologiche, di

ossessioni, di protervia, di

debolezze...

II LL SS EE NN SS OO DD EE LL NN UU MM EE RR OO

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11 . P R O M E T E OIl titano Prometeo (che significa avveduto, quelloche pensa prima), fu figlio di Iapeto e di Clymene,fratello di Atlante, di Menezio e di Epimeteo(che s’ac corge di un fatto dopo che è avvenuto). Secondo Eschilo, Zeus voleva sterminare la stirpeumana, ritenuta rozza e brutale, per forgiarne unamigliore. Pro meteo, amico degli uomini, si oppose; recò loroil fuoco rubato ad Efesto e li civilizzò insegnandodiverse arti: l’architettura, l’astronomia, lascrittura, l’aritme tica, la navigazione, il vaticinio,la medicina. Zeus, per punizione, mandò sulla terra Pandoracol suo funesto vaso. Prometeo avvertì suo fratello Epimeteo, ma questi,capendo sempre dopo, si lasciò ammaliare daPandora (così chiamata perché ogni dio le detteun dono). Finì allora la vita beata degli uomini: Pandora feceuscire dal vaso tutte le sciagure. Quando lo richiuse vi era rimasta solo la speranza.Prometeo, secondo Esiodo, con il dono del fuocoar reca tutti i mali di una vita lontana da quellaprimitiva, tran quilla e semplice; per opera delladonna giunge nel mondo la morte, il grande male,perché col moltiplicarsi degli uomini la vitaim mortale è divenuta impossibile. Il re degli dèi, più che mai adirato, or dinò ad Ermese ad Efesto d’inchiodare Prometeo ad una rupe delCaucaso, ove un’aquila gli doveva ro dere il fegatosempre rinascente.

41

Sciocca operazione quella di rendere difficile la comprensione

della scienza, di bistrattarla, in particolare nell’insegnamento

scolastico, di trattarla sovente come insieme di regole dubbie, scritte

da persone strane, forse insane, quasi una sorta di congiura dei

soliti avversari politici... così piena di formule da mandar giù, così

vuota di risorse per la sua ricerca, di finanziamenti per preparare gli

insegnanti, per attrezzare i laboratori.

A volte la si trasmette, calpestandola, come catechismo.

Spesso capita di dover assistere all’autoesaltazione di braviintellettuali disinvoltamente dichiaranti che, per loro fortuna, non

hanno mai capito niente di matematica... due parole in meno

ristabiliscono la pura verità!

Ma fanno comodo uomini dalla logica zoppichina,

strumentale, finalizzata....

La televisione (nel contenzioso tv pubblica - tv privata vincela tv spenta) ne è esempio eclatante: appena sufficiente in alcuni

programmi di smascheramento untorelli (solo quelli di piccolo

cabotaggio), è però del tutto negativa in quanto stabilmente al

servizio di partiti e di potenti e per la nauseabonda presenza di

donnine di ogni età e di ometti che predicono il futuro, rendendo

42

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Luciano (Dialoghi degli dèi - Prometeo e Zeus) narra che Zeusstesso tolse il supplizio a Prometeo:

PROMETEO Liberami, Zeus, ho già sofferto terribilmente. ZEUSLiberarti? Dovresti avere catene ancor più pesanti e il Caucaso interosulla testa e sedici avvoltoi non solo a roderti il fegato ma anche acavarti gli occhi, per aver aiutato quegli animali degli uomini e per averru bato il fuoco. E dell’inganno fattomi nella distribuzione delle carni,servendomi ossa nascoste nel grasso e serbando il migliore boccone perte, che dovrei dire? P E non basta ancora la pena che ho sofferto,inchiodato sul Caucaso, a nutrire del mio fegato la crudele aquiladivoratrice? Z Questo è niente rispetto a quello che devi soffrire. P Semi libererai sarai ricompensato, o Zeus, perché ti farò una rivelazionedella massima importanza. Z M’inganni ancora, o Prometeo? P E ache scopo? Tu sai dov’è il Caucaso e non ti fanno difetto le catene se troviche t’ho ordito qualche inganno. Z Prima rivela. P Se ti dico dove staiper andare, mi crederai anche quando ti predirò il resto? Z E perchéno? P Tu vai da Teti, per fare l’amore con lei. Z Sì, questo è vero. Mapoi? Perché ho l’ìmpressione che mi stai dicendo delle verità. P Nonunirti con la Nereide, o Giove, perché, se ella concepirà da te, ilfigliuolo che nascerà ti farà quello che tu facesti a Crono. Z Vuoi dire,che mi toglierà la signoria? P Non sia mai, o Zeus, ma se ti unisci conlei, questo pericolo ti minaccia. Z E allora, tanti saluti a Teti! Per questo che mi hai detto, Vulcano ti sciolga.

Per Luciano Prometeo meritò il castigo di Zeus:E poi mi stanno a dire che PrometeoNon meritava d’esser inchiodatoA quelle rupi? Egli ci diede il fuoco,Ma niente altro di buono. Fece un male,Per qual, cred’io, tutti gli Dei l’abborrono:Le femmine formò! Numi beati,Che brutta razza! Ora ammògliati; ammòglia.Tutti i vizi con lei t’entrano in casa.

Ad Atene Prometeo divideva il culto con Atena, perchémolti erano ritenuti gli elementi di somiglianza.

Esiodo: Teogonia; Eschilo: Prometeo incatenato; Apollonio Rodio: Argonautiche,II; Platone: Protagora; Aristofane: Gli uccelli; Catullo: Carmi; Orazio: Odi;Epodi; Seneca: Medea; Monti: Il Prometeo; Carducci: Prometeo; I due Ti tani;Goethe: Prometheus.

43

felici alcune servette, profetizzando che sposeranno il loro principeazzurro13 o che, se è bel tempo, ma proprio bello, potrebbero uscire

anche senza ombrello.

Io, né principe né azzurro, mi riprometto, partendo dalla base

e cioé dal senso del numero, di dimostrare progressivamente quanto

la matematica, linguaggio della scienza e quindi condizione

fondamentale perché ci sia scienza, possa risultare semplice enaturale e quanto bisogno si abbia, nel mondo, in Italia in

particolare, di conoscere matematica e scienza.

Allora, cos’è il numero? Ma soprattutto cosa c’è alla basedel calcolo, dell’aritmetica14, dell’algebra... della matematica, ditutta la scienza che ha costruito, bene o male, il mondo15?

C’è un dato di nascita in noi, una percezione naturale, un

istinto, che precede il concetto di numero, che permette cioè di

accorgersi della presenza fisica di alcuni corpi ottenendone una

reazione cosciente? Cosa c’è alla base di alcune innate

consapevolezze della numerosità, delle forme, dei colori....?

44

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1 2 . A T E N AFiglia, senza madre, di Zeus nacque, come narraEsiodo (Theog. 886 seg.), dal capo di Zeus, dopo chequesti ebbe inghiottito Metis (la prudenza), suaprima moglie. Così narra Luciano (Dialoghi degli dèi - Efesto e Zeus):

EFESTO Che debbo fare, o Zeus? Eccomi al tuo co mando, con la scureaffilata che con un colpo taglierebbe di netto anche un sasso. ZEUSBene, o Efesto: spaccami il capo in due. E Mi metti alla prova pervedere se sono pazzo? Dimmi cosa vuoi veramente ch’io faccia.Z Proprio questo, che tu mi apra il cranio: e se non ubbidisci proveraiun’altra volta la mia collera. Devi colpire con tutta la forza e senzaindugio, perché ho le trafitture del parto che mi straziano il cervello. E Bada, o Zeus, che non combiniamo qualche guaio; la scure è affilata,e farà sangue: non ho le mani di Ilizia io. Z Colpisci senza paura, oEfesto: so io ciò che è bene. E Colpirò: non posso far altro, visto che locomandi ... Ma che è? una fanciulla in armi? Gran male, o Zeus, avevinel capo: a ragione eri cosi irritabile: covavi sotto la meninge una sìtanta vergine, e armata di tutto punto. Avevi un accampamento nellatesta, e non lo sapevi. E lei salta, balla la danza pirrica, agita lo scudo,vibra la lancia ed è compresa da divino furore e, in più, in breve tempoè diventata molto bella. Ha gli occhi az zurri, che le stan bene sottoquell’elmo. O Zeus, io t’ho aiutato a partorirla, in compenso dammelain sposa. Z Chiedi cosa impossibile, o Efesto: ella vuol ri manere semprevergine. Io per me non ti dico di no. E Questo volevo: al resto penseròio: la rapirò. Z Se ti riesce: ma so che desideri l’impossibile.

Atena veniva quindi considerata come lapersonificazione della prudenza di Zeus. Avendo un carattere di una serietà quasi virile,si considerava come pro pria a lei una austeravirginità (Parqenoj). Protettrice delle città, si diceva che favorisse tuttociò che è bene per i citta dini, l’agricoltura, le arti eil commercio, e che, con l’acuto suo ingegno, avessescoperto varie utili cose, come l’aratro, le briglie del

45

Il senso della presenza e della quantità non richiede

certamente una conoscenza del numero, anzi, lo precede, ne è base,

e nemmeno richiede il saper confrontare due insiemi (cognizionequesta di numerosità relativa).

Sostituiamo alla parola quantità la parola numerosità ed

entriamo nel cuore della questione.

Le innate capacità numeriche codificate nel nostro genoma

sono quelle che consentirebbero, in presenza di alcuni oggetti, di

notare anche una loro diminuzione, se ne è stato sottratto, senza

avvedersene, qualcuno; o permetterebbe di accorgersi senza

difficoltà di una variazione incrementativa se ne è stato aggiunto,

sempre ad insaputa, qualcun altro.

46

Chi

ha

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G

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cavallo, il carro, la navigazione, l’uso del fuoco;avrebbe inoltre esercitato e insegnato ogni artefemminile. Dea anche di ogni sapere e scienza. Per l’acutezza e la penetrazione del suo sguardo erachiamata Glaukwpij, dall’oc chio splendente. Era considerata la dea della guerra condotta conavvedutezza ed or dine, al contrario di Aresconsiderato dio del com battimento feroce esanguinario. Alla greca Pallas Athena cor rispondela romana Minerva, nome tratto dalla parolaminervare, affine a mens e a memini. Una pioggia violentissima seguita da una schiaritasmagliante seguì la nascita di Atena. I mitografividero in Atena la personifica zione del lampo chedisperde le nuvole e ricon duce il sereno luminoso.Contese con Era e Afrodite l’onore di esseregiu dicata la più bella fra le dee (dietro giudizio diParide) e non essendo riuscita vincitrice, durante laguerra di Troia parteggiò per i Greci. Quando si dovette decidere qual nome dare allacapitale dell’Attica, gareggiarono Atena ePosidone; fu deciso alla fine di concederlo a quellodei due che avesse fatto alla città il dono più utile.Posidone, battendo col tridente la terra, ne fecebalzar fuori un cavallo, Atena fece nascere l’ulivo epoiché il suo dono venne considerato il più utile, lacittà fu chiamata Atene.Nel Partenone, tempio a lei dedicato sul l’Acropolidi Atene, aveva una statua di avorio e d’oro,famosissima opera di Fidia.

Esiodo: Teogonia; Pindaro: Olimpica; Callimaco: Ai lavacri di Pallade; Omero: Iliade e Odissea.

47

Tutto ciò, ribadisco, non ha alcun bisogno della conoscenza

del numero, ma ne è presupposto.

Quello che si è sviluppato, ab origine, è il senso della

numerosità e il saper comparare, a livello di sensazione, insiemi

diversi per numerosità.

Capire che l’insieme delle stelle in cielo è più numeroso di

quello degli amici seduti attorno al fuoco, è una prima germinante

conquista del pensiero e non fa alcun ricorso al numero.

48

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1 3 . SENECA IL VECCHIO, Suasorie 4, 1 3Chi formula profezie per volere di un dio deve averecertamente un destino fuori dal comune, non può esserestato rinchiuso nello stesso utero da cui noi, uominiignoranti, nasciamo; chi riferisce gli ordini di un dio dovràavere nel suo aspetto qualcosa di divino. L'uomo cui è lecito atterrire Alessandro deve essere ungrande e avere una natura superiore a quella che la sorteriserva agli uomini. Deve avere i suoi antenati fra le stelle,deve trarre la sua origine dal cielo, un dio lo devericonoscere come suo profeta. Colui che rivela il futuro alle genti non può essere soggettoal comune limite della vita, deve essere esente da tutte lerestrizioni imposte agli uomini dal fato... Coloro che si sono dedicati, come vanno dicendo, allaconoscenza del fato, studiano accuratamente il giorno in cuisi è nati e considerano la prima ora di vita rivelatrice di ciòche accadrà in tutti gli anni futuri; valutano i movimenti deipianeti, la direzione del loro corso e se il sole trovandosi inopposizione sia stato ostile o se invece abbia brillatopacificamente. Se la luna sia stata piena o nascente, o seabbia nascosto il capo oscuro nella notte. Se Saturno abbiatrasmesso al neonato l'inclinazione per l'agricoltura, oMarte al soldato la disposizione per la guerra, o Mercurioall'uomo d'affari l'intuito per il profitto, o se la dolce Venereabbia dato il proprio favore al bimbo, o se Giove lo abbiasollevato da una condizione bassa a una elevata. Tanti dèi in agitazione intorno a un solo essere! Annunciano il futuro: a molti dissero che sarebbero vissutia lungo ma il loro ultimo giorno li sorprese senza cheavessero alcun timore; ad altri annunciarono una morteimminente ma quelli sono sopravvissuti, vivendo un'inutilevita; promisero un'esistenza felice a molti neonati ma lasfortuna li colpì con ogni male. E’ incerta la sorte dellanostra vita: chi ha ideato queste finzioni non credeva in essee voleva solo mettere alla prova l'intelligenza di ciascuno.

49

50

Il senso del numero è una categoria di base, una grandezza,

potremmo dire, fondamentale, un istinto naturale.

Molti animali, lo sappiamo, nascono con lo stesso senso del

numero che accompagna dalla nascita noi umani.Ma gli animali, risulta, non conoscono numeri né sanno

contare (al pari di tanti di noi, del resto).

Tutti gli eclatanti casi di animali che, si dice o è stato detto,

conoscano o abbiano conosciuto i numeri, in realtà costituiscono

solo numeri da circo... come il cavallo di Wilhelm von Osten,

Hans, cavallo tedesco.

Wilhelm, non era addestratore di un circo, ma un seguace delle

teorie di Darwin e voleva dimostrare quanto grande fosse

l’intelligenza degli ani mali.

Insegnò al suo cavallo aritmetica e musica.

I risultati apparvero inizialmente eccezionali: Hans, cavallo

tedesco, era in grado di risol vere problemi di matematica e anche di

compitare delle parole!

Gli spettacoli nei quali veniva presentato der klu ge (astuto)Hans si svolgevano davanti ad un pubblico disposto in semicerchio

attorno all’animale.

Domande: Quanto fa a+b?Von Osten disponeva davanti all’animale a oggetti da una

parte e b oggetti al loro fianco e il teutonico cavallo batteva con lo

zoccolo una serie di col pi pari alla somma richiesta.

Era anche in grado di addizionare due frazioni e la risposta

veniva fornita battendo prima tante zoccolate corrispondenti al

valore del numeratore, poi, dopo un intervallo, tante corrispondenti

a quello del denominatore.

Si narra conoscesse anche i divisori di un numero.Nel settembre del 1904, una commissione di esperti concluse,

dopo un esame approfondito, che non vi era alcun trucco.

Hans si accingeva alla composizione di ballate e di rondò

quando intervenne il miscredente O. Pfungst. Gli

anim

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ono

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man

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Geo

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Eli

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1 4 . A R I T M E T I C A

Arte dell'unire e del porre in ordine.

Dalla radice indoeuropea ar che ha il senso diunire, disporre, mettere in ordine.

in greco ariqmoj (aritmos) ordine collegamentodisposizione numero

e questi da arariskw (ararisco) mettere insieme connettere

armonia Proporzione, connessione, adattamento.

Sin tesi di parti diverse formanti un tutto

proporzionato e concordante: accordo di

voci, consonanza; disposizione gradevole

di parole nel verso o nel periodo;

buon ac cordo fra persone

arte connessione, collegamento

arto membro articolato del corpo

articolo parte di organo separata dalle parti

contigue mediante un’articolazione

Articolo elemento grammaticale di connessione

51

52

L’ipotesi di lavoro del miscredente era che il cavallo, di per sé,

non avesse alcuna capacità matematica e che dunque il suo pa drone,

o magari qualcuno del pubblico, conoscendo la risposta tra smettesse

all’animale un segnale, indicandogli quando veniva rag giunto il

numero esatto e quando quindi doveva smettere di battere con lo

zoccolo.

Per dimostrarlo, Pfungst fece in modo di dissociare le

conoscenze del cavallo da quelle del suo padrone.

Cominciò con lo scrivere una semplice addizione a caratteri

cubitali su un pannello, in presenza di von Osten, poi sistemò

l’animale in modo che solo lui potesse vede re il pannello e

rispondere alla domanda.

Pfungst modificava surretti ziamente il problema prima di

mostrarlo al cavallo.

Il padrone credeva che il problema fosse quanto vale a+bmentre ad Hans, ca vallo di Germania, si chiedeva di rispondere alla

domanda quanto vale c+d.

I risultati di questo esperimento non lasciarono dubbi: quando

il padrone conosceva la risposta il cavallo non sbagliava mai.

Quando invece il padrone non sapeva quale fosse la risposta

esatta, il cavallo faceva un errore che, molto spesso, coincideva con

la risposta che il suo maestro riteneva fosse giusta.

Era dunque von Osten, e non Hans, che risolveva i problemi di

aritmetica.

Il cavallo si limitava a cogliere i pur minimi cenni della testa

o delle sopracciglia del padro ne che annunciavano invariabilmente

quando doveva smettere di battere con lo zoccolo.

Pfungst non aveva mai messo in dubbio la buona fede

dell’addestratore, i cui segnali riteneva del tutto inconsci e

involontari. Persino in assenza di von Osten, il cavallo continuava a

rispondere correttamente, forse percependo la tensione del pubbli co

che cresceva all’approssimarsi del numero esatto dei colpi di

zoc colo.Sa

reb

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pe

gg

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.M

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1 5 . M O N D OAËTIUS, II 1, 1: Pitagora fu il primo a chiamare COSMOla sfera delle cose tutte, per l'ordine che esiste in essa. Si suppone che i termini stessi di filosofia (amore dellasaggezza) e di matematica (ciò che si impara) siano staticoniati dallo stesso Pitagora per descrivere la propriaattività intellettuale.

Marziale, nel terzo Libro dei suoi Epigrammi, prende dimira Gellia e il suo profumo: Per dove passi tu, Gellia, ci pareche il profumiere Cosmus traslochi e che si sparga cannellaversata da flaconi di vetro. Non compiacerti, o Gellia, diesotici aromi. Penso che il mio cane, profumato, potrebbeavere un simile olezzo.

Il nome del profumiere, Cosmus, deriva dal greco kosmew(kosmeo), mettere in ordine, adornare. Il termine è oggi molto in uso come cosmetica. Kosmoj (Kosmos) e Mundus, parole oggi usatissime,esprimono il concetto di ordine e, in primo luogo, l’ordinecosmico ovvero l’universo, il mondo. Mundus indicò anche ciò che è pulito (il manzoniano omniamunda mundis). Poiché munditia significava sia eleganza sia pulizia,immunditia indicò ovviamente il contrario di munditia e,quindi, la sporcizia, ma nello stesso tempo munditia significòanche ciò che si getta via per fare pulizia, cioè la cosiddetta,in romanesco, monnezza. Mondare significa tanto pulire quanto privare qualcosadella buccia, per cui mondina indica l’operaia addetta allamonda nelle risaie, ovvero all’estirpazione delle erbacce. Mondano, relativo al mondo cioè, assume il significato diuomo che fa vita di società, dedito ai piaceri terreni. Tale parola è recepita con valenza positiva. Mondana, riferita ovviamente alla donna, è recepita convalenza negativa...

53

54

Tornando dunque non al numero ma al senso della quantità,

definiamo sensazione numerica la facoltà di cogliere le differenze

relative di due gruppi di oggetti, differenze ovviamente sempre più

nitide e cristallizzate, tanto più i gruppi siano abbastanza ristretti.

E’ bene sottolineare l’aggettivo ristretto, quantitativamente

esiguo, cioè.

Ma quanto esiguo?

Beh, sicuramente possiamo prendere in considerazione

l’unità, il singolo elemento, altrimenti parleremmo di una umanità

senza sensi o che, al più, potrebbe vivere nella Flatlandia (terra

piatta, in due dimensioni) descritta dal reverendo Abbot.

Lo zero16 invece, quindi l’assenza o la non presenza, lamancanza cioè, è un concetto posteriore alla presa di coscienza

dell’esistenza di un oggetto.

La

vita

, no

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som

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o pu

ò essere zero e la somm

a di tanti zeri può costituire una cifra mostruosa

.G

R

1 6 . L O Z E R O

Dizionario di latino: la parola zero è tradotta con nullusnumerus, non esiste quindi il nome identificativo.La numerazione additiva dei romani, in cui il valoreassoluto di una cifra si aggiunge ai valori delle altre, nonpoteva servirsi dello zero e, a dire il vero, la stessa menteconcreta degli antichi greci non poteva concepire il vuotocome un numero e tanto meno attribuire al vuoto unsimbolo. Lo zero viene così introdotto in Italia dal grandeLeonardo Pisano, detto il Fibonacci, filius Bonacci, nel 1202,nel suo famosissimo Liber Abaci (Libro dell’abaco).Il Fibonacci apprese le meravigliose conquiste del pensieromatematico in Arabia, dai matematici locali che, a lorovolta, l’avevano apprese dai matematici-astronomi indiani.La loro era una numerazione posizionale e la parola sifr(in sanscrito sunya) significava colonna vuota, cherappresentava cioè il nulla o l’assenza di unità. Fu così, grazie all’introduzione del sifr, che si è potutaabbandonare, in Italia, la numerazione additiva (con laquale staremmo ancora nel medioevo perché rendeimpossibile qualunque calcolo appena un poco articolato).Già... ma come chiamarlo in Italia? Leonardo dice che alla pronuncia di quel nome sembravauscisse dalle labbra degli arabi un venticello simile al nostrozephyrus e così egli lo chiamò.La parola divenne, nel tempo,zefiro, zefro e, documentato dal1491, zero. Un adattamento della parolaaraba più vicino all'originale èquello della parola cifra(spagnolo, cifra; francese,chiffre; tedesco, Ziffer) col valoredi segno o valore numerico. In inglese cipher vale tanto cifra,quanto zero.

55

Naturale è la vista, l’accorgersi di una presenza concreta.

Si ha mancanza, in natura, solo di qualcosa di già visto e che

in quel momento non c’è. I nostri antenati non hanno mai notato

l’assenza di un frigorifero o di un televisore, all’interno della loro

grotta, ma solo, eventualmente, la mancanza dei loro utensili, di

sassi, di uomini, di pecore... che avevano già visto e per i quali, solo

per i quali, si accingevano al riconoscimento di alcune

caratteristiche, oltre a quelle dei colori, delle forme, ecc.

Questi accorgersi, riconoscere, ricordare, cosa sono se non

una capacità della nostra mente, la

funzione di alcuni circuiti neurali

che alloggiano nella nostra corteccia

cerebrale?

Per certo uno o più circuiti svolgono

la funzione di miniregistro, in grado

di fissare in memoria una certa

quantità di grandezze numeriche.

Si tratta di un vero e proprio

minilaboratorio che permette la

percezione del numero allo stesso

modo di quello della sensazione del

colore, della forma o della posizione

degli oggetti e offre, sia all’animalesia al l’uomo, un istinto del numero, un’intuizione diretta delle

quantità numeriche.

Le domande che ci poniamo e alle quali cerchiamo di dare

risposte sono: quanti oggetti memorizza naturalmente questominiregistro e che differenza c’è tra il nostro, quello dei nostriantenati, degli attuali selvaggi, degli animali?

Dovremo fare particolare attenzione perché l’uomo, nel corso

della sua evoluzione, ha saputo e potuto sviluppare un meccanismo

supplementare: il linguaggio17 e, più in generale, la capacità di

immaginare un vasto sistema di simboli scritti e orali.

56

Ne

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na

um

an

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ne

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i.L

eonard

o da V

inci

2...3...?

1 7 . ALFABETO GRECO

57

Tutto ciò può disturbare e confondere l’analisi del problema:

quale sia cioè il senso innato del numero.

Il nostro miniregistro mentale sa memorizzare (registrare nella

sua memoria, inserire tra i suoi dati, nei suoi cassetti naturali), per

certo un oggetto, una realtà concreta.

Abbiamo la certezza che sappia memorizzare anche la doppiaunità, quindi l’alterità..., ma poi?

Ed ancora: tale facoltà, nel corso dei secoli, dal sapiens sapi-ens ad oggi, ad esempio, è cambiata, magari notevolmente?

E le differenze tra le capacità innate dell’uomo e quelle di

alcuni animali sono tanto evidenti o addirittura non paragonabili o

sono molto vicine, addirittura simili?

Oppure esiste un nocciolo duro, un denominatore se non

comune, molto simile, per tali attitudini di percezione selettiva, tra i

nostri progenitori, alcuni popoli non molto civilizzati, i cuccioli

dell’uomo e alcuni animali?

Cercheremo di dimostrare come tutti, in pratica, nasciamocon in testa un miniregistro che valuta, memorizza, in media, dadue a tre unità!18

Tale facoltà appartiene ai nostri sensi, tatto compreso, a patto

che non si utilizzino le dita per una specie di corrispondenza

biunivoca dita-oggetti perché, in questo caso, si entra in una fase

ulteriore, molto affascinante, ma successiva, e che non appartiene

però solo agli elementari sensi dell’uomo ma anche ad altre

proprietà e ad altre capacità.

Mi riferisco ad una raffinatissima struttura mentale che

individua e interiorizza la corrispondenza bunivoca, base

esclusivamente (a quanto ne sappiamo oggi) umana, del contare.

Il contare sembra essere infatti un attributo esclusivamente

umano, mentre alcune specie di animali sembrano possedere un

rudimentale senso del numero, affine al nostro.

Aristotele19, anche se ne Le parti degli animali ci dice tuttodella loro costituzione e della funzionalità di ogni loro organo,

58

Il

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oric

a

1 8 .

59

ed altrettanto tutto ci dice di come si riproducano ne

La riproduzione degli animali... non ci ha invero illuminato al

proposito di un eventuale senso del numero nel mondo vegetale.Noi ignoriamo se il mondo vegetale ne abbia coscienza, se sia

cioè in possesso di consapevolezze magari della presenza esterna o

del senso della numerosità, se ci osserva o è solo osservato.

Bisognerebbe saperci comunicare.

Disgraziatam

ente, chi ce lo assicura è il filosofo, non il protozoo.B

ertrand

Ru

ssel

60

ci assicurano, rappresenta senza dubbio un progresso. La

vita

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gra

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1 9 . Naturale aspirazione degli uomini alla conoscenzaTutti gli uomini sono protesi per natura alla conoscenza:ne è un segno evidente la gioia che essi provano per lesensazioni, giacché queste, anche se si metta da partel'utilità che ne deriva, sono amate di per sé, e più di tutteè amata quella che si esercita mediante gli occhi. Infatti noi preferiamo la vista a tutte le altre sensazioni,non solo quando miriamo ad uno scopo pratico, ma anchequando non intendiamo compiere alcuna azione. E il motivo sta nel fatto che questa sensazione, più di ognialtra, ci fa acquistare conoscenza e ci presenta conimmediatezza una molteplicità di differenze. E' un fatto naturale, d'altronde, che tutti gli animali sianodotati di sensibilità, ma da tale sensibilità in alcuni di essinon nasce la memoria, in altri sì. E appunto perciò questi ultimi sono più intelligenti edhanno maggiore capacità di imparare rispetto a quelli chesono privi di facoltà mnemoniche. Nella vita degli altrianimali, però, sono presenti soltanto immagini e ricordi,mentre l'esperienza vi ha solo una limitatissima parte;nella vita del genere umano, invece, sono presenti attivitàartistiche e razionali. E negli uomini l'esperienza traeorigine dalla memoria, giacché la molteplicità dei ricordidi un medesimo oggetto offre la possibilità di compiereun'unica esperienza. Anzi, pare quasi che l'esperienza siaqualcosa di simile alla scienza e all'arte, ma in realtàl'esperienza è per gli uomini solo il punto di partenza dacui derivano scienza ed arte. L'arte nasce quando da una molteplicità di nozioniempiriche venga prodotto un unico giudizio universale cheabbracci tutte le cose simili fra loro.

Aristotele, Metafisica - I (A), 1

61

62

La capacità di distinguere le quantità, rudimento di un istinto

matematico, non è proprietà esclusiva del genere umano22.

Tale capacità, non risulta, infatti, vitale solo per l’uomo.

Per un animale che mangia frutta è, ad esempio, importante,

prima di arrampicarsi, individuare l'albero che ne è più provvisto.

SS EE NN SS OO 22 00 DD EE LL NN UU MM EE RR OO

NN EE GG LL II AA NN II MM AA LL II 22 11

Per un gruppo di animali, ai fini stessi della sopravvivenza,

conta molto sapere se un altro, minaccioso, gruppo sia più o meno

numeroso del loro.

Nel secondo caso si potrebbe scegliere di mantenere la

posizione, altrimenti potrebbe essere più saggio darsela a gambe.

2 0 . S E N S O

Dal latino sentire (participio presente sensus), percepirecon il corpo o con l’intelletto. Facoltà di ricevere impressioni prodotte da stimoli esternio percezione di oggetti esterni.

20.1. SENSO COMUNEFacoltà intellettuale che fa distinguere l’utile e il dannosoper la comunità degli uomini.

20.2. BUON SENSO COMUNESenso comune raffinato dallo studio e dalla meditazione.

20.3. BUON SENSO - AFORISMIIl buon senso è la cosa del mondo meglio ripartita. Infatti, ognuno pensa di esserne così ben provvisto che, seanche egli è della più difficile accontentatura in ogni altrocampo, non desidera averne più di quel che ne ha. Cartesio

I vecchi amano dare buoni consigli per consolarsi di nonpoter più dare cattivi esempi. Francois De La Rochefoucauld

Pur essendo il mondo pieno di sciocchi, non c’è nessuno chesi creda tale o appena appena abbia il sospetto di esserlo.

Gracia’n Baltasar

Niente produce un effetto simile a quello di un buon luogocomune: ci rende tutti uguali. Oscar Wilde

I microscopi e i telescopi, in realtà, confondono il limpidobuonsenso. Johann Wolfang Goethe

La prima prova di buon senso è nel non pretendere di risolvertutto col buon senso. Ugo Bernasconi

63

Questa ipo tesi fu verificata qualche anno fa da Karen

McComb, della School of Biological Sciences, University of

Sussex, e dai suoi colleghi, inglesi e keniani.

I ricercatori fecero ascoltare la registrazione del ruggito di

diversi leoni ad alcuni piccoli gruppi di leonesse del Parco

Nazionale del Serengeti, in Tanzania.

Quando il numero dei ruggiti diversi era superiore a quello

delle leones se del gruppo, esse si ritiravano; ma quando erano in

maggio ranza, le leonesse mantenevano la posizione e si

preparavano ad attaccare gli avversari.

Sembrava pertanto che fossero in grado di confrontare la

percezione del numero facente capo a due sensi diversi: il numero

dei ruggiti che udivano e il numero di leonesse che osservavano,un compito che pare richiedere un senso del numero abbastanza

astratto.

Ne Il numero linguaggio della scienza23 Tobias Dantzig

descrive interessanti esperienze riguardanti un uccello e le uova del

suo nido, la vespa solitaria, il genus eumenus e la storia di una

cornacchia.

64

2 1 . A N I M A L I

... kaqaroi\ o)/ntej kai\ a)sh/mantoi tou/tou o(\ nu=n dh\sw=ma perife/rontej o)noma/zomen, o)stre/ou tro/pondedesmeume/noi.... noi stessi puri e privi di questa tomba che ora ci portiamoin giro col nome di corpo, imprigionati in esso comeun’ostrica. Platone, Fedro, XXX - 250c

Tumulo, cumulo di pietre da cui si riconosce una tomba, ingreco si dice shma (sema) mentre corpo, carcassa si diceswma (soma). Platone presenta anche qui una delle suefamose paraetimologie, estremamente suggestive.La parola latina animal, indicava un essere provvisto dianima. Animale indica chi è capace di vita, di funzioni qualila respirazione, il movimento autonomo, la nutrizione e lapossibilità di procreare. Appartengono quindi al genere animale, tutti gli esseriviventi dotati delle primarie funzioni vitali e i cui organismisono composti da cellule, compreso l'uomo. Nella filosofia classica e medievale, i meccanismi vitali eranoconsiderati comuni negli animali e negli uomini, ma siriteneva che soltanto l'uomo avesse un'anima: un donoquesto che Dio aveva concesso soltanto all'umanità. Tale dono si esprimeva nell'intelligenza superiore dell'uomoe soprattutto nella sua possibilità di giungere a conoscere lavia della salvezza eterna. Dopo la morte, liberato dalla sua parte animale e divenutopura anima, l'uomo poteva incontrare Dio. E' a questoconcetto di anima che si connette l'uso attuale della parola:con anima ci si riferisce, infatti, alla parte immortale edivina dell'uomo, a tutto ciò che attiene la sfera spirituale.

Intorno a psicologia, dignità, sentimenti e forme di pensierodegli altri animali la scienza si interroga e dibatte. Esistono anche, per fortuna, movimenti animalisti che sioccupano dei diritti degli animali “senza anima”.

65

66

Se un nido contiene quattro

uova se ne può sottrarre tran-

quillamente uno, ma, qualora

se ne sottragga un altro,

l’uccello abbandona il nido.

Sa distinguere quattro da tre?

Od anche quattro da due?

Non credo sia proprio così...

Uno su quattro può

ancora sfuggire ai

sensi, ma due su

quattro, il 50%, quella

parte che noi indichi-

amo come la metà, no!

Sia come sia, questo

comportamento è

sempre riscontrabile e

riguarda, comunque,

quello che noi

chiamiamo insieme di

elementi o numerositàe quindi... senso delnumero.

2 2 . F O R S E T U T T O Q U E S T O

Forse tutto questo avviene in un laboratorio? Sotto una sola lampada di giorno e miliardi di lampade la notte?

Forse siamo generazioni sperimentali? Travasati da un recipiente all’altro, scossi in alambicchi, osservati non soltanto da occhi, e infine presi a uno a uno con le pinzette?

O forse è altrimenti:nessun intervento?I cambiamenti avvengono da sé in conformità al piano?L’ago del diagramma traccia a poco a poco gli zigzag previsti?

Forse finora non siamo di grande interesse?I monitor di controllo sono accesi di rado?Solo in caso di guerre, meglio se grandi,di voli al di sopra della nostra zolla di Terra,o di migrazioni rilevanti tra i punti A e B?

67

68

Un esempio davvero curioso è fornito da un

insetto, la cosiddetta vespa solitaria. La madre

vespa depone le uova in celle separate e prov-

vede ciascuna di esse di un certo numero di larve

vive di cui i nuovi nati si nutriranno non appena

usciti dall’uovo. Ebbene, il numero di queste

larve è per lo piú costante per ogni data specie di

vespa: alcune forniscono di 5, altre di 12, altre di 24 larve ogni cella.

Il caso piú interessante è quello del Genus Eumenus, una

varietà in cui il maschio è assai piú piccolo della femmina.

La madre sa sempre se l’uovo, ai nostri occhi uguali a tutti gli

altri, contiene un maschio o una femmina e prepara opportunamente

la quantità di cibo necessaria; non cambia natura né dimensioni delle

larve, ma, se l’uovo è maschio depone nella sua cella 5 larve, se è

femmina 10. Si tratta dunque di un agire abbastanza ordinato e

metodico su quantità discrete e di una dimostrazione di particolare

capacità nello svolgere azioni omogenee.

Vien da pensare ad un certo.... senso del numero....

O forse è il contrario:là piacciono solo le piccole cose? Ecco: una ragazzina su un grande schermo si cuce un bottone sulla manica.I sensori fischiano, il personale accorre.

Ah, guarda che creaturina con un cuoricino che le batte dentro! Quale incantevole serietà nell’infilare l’ago!Qualcuno grida rapito:Avvertite il Capo, che venga a vedere di persona!

Wislawa Szymborska, Vista con granello di sabbia,Biblioteca Adelphi

Wislawa Szymborska nasce in Polonia, nel 1923.Nel 1993 viene insignita in Germania del premioGoethe, nel 1995 in Austria del premio Herder, nel 1996 del NOBEL per la LETTERATURA.

69

70

Un castellano tentò più volte di scacciare dalla sua torre una

cornacchia che vi aveva fatto il nido, ma i tentativi andavano a

vuoto. Cercava di sorprenderla, ma sempre, all’avvicinarsi di una

persona l’uccello se ne avvedeva, abbandonava il nido e restava in

guardia, da un albero lontano, per rientrare soltanto quando l’uomo

aveva lasciato la torre.

Il castellano escogitò un trucco: fece entrare nella torre due

uomini di cui però uno solo rimase dentro. L’uccello non si lasciò

ingannare dal fatto che l’altro uomo si allontanasse e restò lontano

finché non furono usciti tutti e due. Il tentativo fu ripetuto con due,

tre e poi quattro uomini, ma sempre senza successo. Furono infine

fatti entrare nella torre cinque uomini, di cui uno solo rimase

all’interno mentre gli altri quattro uscirono e si allontanarono.

A questo punto la cornacchia perdette il conto e, incapace di

distinguere tra quattro e cinque, fece ritorno al suo nido ove fu

chiassosamente festeggiata.

Un’altra dimostrazione delle

capacità numeriche degli uc celli

è quella offertaci dalla ricercatri-

ce Irene Peppenberg, del

Massachusetts Institute of

Technology (MIT), che ha

addestrato Alex, un pappagallo

cenerino, a dire quanti oggetti

vedesse su un vassoio, compito

che imponeva all’uccello non

solo di distinguere quantità

numeriche, ma anche di

as sociare a ciascuna di esse la

risposta vocale appropriata.

Alcune fonti riportano che Alex, oltre a riconoscere 7 immagi-

ni e 5 forme geometriche, possedesse addirittura un appropriato

concetto di uguale, differente, minore, maggiore.

71

2 3 . L A S C I E N Z A

La scienza non produce teorie belle e teorie brutte, ma soltanto teorie vere e teorie false. La scelta non la fa lo scienziato elaborandoargomenti astrusi, ma semplicemente interrogandola Natura.

La Scienza interroga solo la Natura.

Nessuno scienziato ha mai preteso di dire: questacosa è vera perché l’ho detta io.Nessuno scienziato ha mai preteso di volerdimostrare un suo personale credo, un suo uzzolo,una sua ideologia, una sua aspettativa mistica.Non sarebbe uno scienziato ma il menestrello di unacorte esclusivamente rivolta al potere temporale. Lo scienziato si limita a riportare fedelmente lerisposte che i suoi studi ottengono e ad elaborarle.Le sottopone poi alla visione critica di tutto il mondoscientifico affinché questo possa rifiutarle in quantofalse o accettarle in quanto (relativamente) vere.Così si cerca di capire i fenomeni.

Chi è contro la scienza cerca affannosamente,attraverso bizantinismi, aggettivazioni inverodeprimenti, elucubrazioni parentetiche, buonismi,consigli “probi”... di piegarli alla sua ideologia.

72

L’etologo tedesco Otto Koehler

ipotizzò, a metà dello scorso

secolo, che due basilari requisi-

ti per le conoscenze matem-

atiche fossero la capacità di

confrontare le dimensioni di

due insiemi presentati simul-

taneamente e quella di ricordare

il numero di oggetti presentati

in tempi successivi e dimostrò

che gli uccelli sono dotati di

entrambe le capacità.

Effettuò un esperimento, molto

noto, sul corvo Jacob.

Jacob di fronte a due scatole,

una sola delle quali contenente

bocconcini di carne, imparò che

per ottenerlo, doveva riuscire ad

individuare quella sul cui coper-

chio c’era lo stesso numero di

punti disegnati su un cartoncino

che gli veniva presentato con-

temporaneamente alla scatola,

senza, peraltro, che la sistema-

zione dei punti sulla scatola e

sul cartoncino fosse la stessa.

Divenne addirittura capace di

distinguere due, tre, quattro,

cinque e sei punti.

Un’operazione questa che

dimostrava come l’animale

doveva possedere una sorta di

senso del numero.

2 3 . 1 Ciò che originariamente spinse gli uominial le prime r icerche, fu la meravigl ia .

Aristotele, Metafisica - I (A), 2

E’ ovvio che, se ci si dovesse soffermare alla sempliceconstatazione di un evento meraviglioso, estasiati nellapura commozione del proprio spirito, al massimo si puòfar poesia. Per fare scienza occorre passare dallo stato dicontemplazione a quello di azione, cioè alla produzionedi mezzi per analizzare il meraviglioso, scomponendoloe componendolo, mettendolo in relazione con altrieventi, riproducendolo in circostanze analoghe o diverse.E questo senza essere al soldo di ideologie, teismi,finalità di comodo. Occorre chiarire tutto completamente, tanto daarrivare alla meraviglia contraria, da far pensare cioèche si rimarrebbe meravigliati se le cose non andasseroproprio così. Se di fronte all’evento ci si industriainvece con la superstizione e con la mistica, magaridirigendosi quanto più indietro possibile nel tempo, suantichi scritti e magiche ricette, si cercano solo pateticivantaggi personali. Per fare scienza occorre passaredallo stato di cultore di privilegi a quello di uomo libero. C’è anche chi è perennemente fideista: un misteroqualsivoglia è e sarà sempre un miracolo! Per fare scienza occorre passare dallo stato di ingenuaidiozia a quello di consapevole intelligenza.

C’è chi, spinto solo dall’ansia della conoscenza, studiaper unificare leggi, scoprire mondi, scrivere il librodella natura, rappresentare la dignità dell’uomo.

73

74

Gli animali sui quali si

è maggiormente prova-

ta l’esistenza di capaci-

tà numeriche sono gli

scimpanzé.

Negli anni ‘80 uno

scienziato giapponese,

Tetsuro Matsuzawa,

insegnò a uno scimpan-

zé di nome Ali ad usare

correttamente i numeri

arabi da 1 a 9.

Ali usava le cifre arabe

per indicare il numero

di oggetti contenuti in

un insieme con una

precisione che po teva

arrivare al 95 per

cento. Stando ai suoi

tempi di risposta,

sembra che Ali

riuscisse a riconoscere con un’occhiata il numero degli oggetti se

essi non erano più di tre, e che nel caso di insiemi più numerosi

ricorresse invece al conteggio.

Alcune ricerche successive hanno prodotto risultati simili.

In uno dei più impressionanti, Sarah Boyson mostrava alla sua

scimpanzé Sheba una serie di carte, su ciascuna delle quali era

riportato un numero da 1 a 9. Sheba era in grado di abbinare

correttamente ciascuna delle cifre stampate sulle carte con un

insieme di oggetti - da 1 a 9 - che le veniva presentato. Era anche in

grado di effettuare semplici addizioni usando dei simboli.

Per esempio, se Sarah estrae va i numeri 2 e 3, Sheba avrebbe

estratto la carta che portava stampato il numero 5.

2 3 . 2 L ’ i p e r u r a n i oNessun inno giammai, nessun canto di poeta mortalecantò ancora né un giorno canterà con degna canzone,quell’iperuranio luogo che oltre il cielo si stende.Quell’essere privo in tutto di colore e privo di forme;quell’essere che il senso del tatto non perviene atoccare; essere in una plenitudine, cui, unica alla menteche regge il timone dell’anima, è concesso contemplare(e in rapporto a quell’essere è il vero sapere);quest’essere in tale luogo ha dimora. Il pensiero d’unDio è sostentato da pura intellezione e pura cogitazione.Il pensiero di ogni anima, quando in lunghi intervalli ditempo perviene a scorgere l’Essere, ardentemente glisorride, contempla la verità, se ne nutre tutto vivo digioia. E dura finché la rota dei cieli, nel suo circularegiro, non lo torni a riportare al luogo di prima. E in questa circulazione, il pensiero contempla nellapura oggettività l’impartecipata giustizia, contemplatemperanza; scienza contempla. E non già scienza cui generazione è inerente; diversaper realtà diverse (realtà che ora noi, in questa vita,chiamiamo enti). Non questa; bensì la scienza in Colui che è nellaplenitudine dell’essere intero... E questa è vita di Dei.

Platone, Fedro, XXVII

Bellissima, ma sarà bene proporla agli studenti comealtissima lirica, assolutamente niente di più!

75

Nel 1998, Eliza beth Brannan ed Herbert Terrace hanno

dimostrato che la capacità di imparare a distinguere i numeri da 1 a

9 e di associare ad essi dei simboli è posseduta anche dalle scimmie

reso.

Lo Yerkes Primate Research Centre realizzò un esperimento

su altri due scimpanzé - Sherman e Austin - per valutare se fossero

in grado di eseguire alcune semplici addizioni. Sherman e Austin

sceglievano fra due vassoi contenenti ciascuno due vaschette di

cioccolatini quello che ne conteneva il maggior numero.

Il fatto che siano animali intelligenti e sociali, in grado, se

addestrati, di comunicare con gli esseri umani, ha sollecitato l’idea

che potrebbero possedere il concetto cognitivo di numero e, a

maggior ragione che dispongano largamente del senso del numero.

Rigorosi esperimenti scientifici hanno comunque dimostrato

che gli scimpanzé possono essere addestrati a contare oggetti fino

a 3 o 4, con molti errori, fino a 6, ma non più in là.

Anche la salamandra Plethodon cinereus, un piccolo anfibio

brillantementre colorato che abita il Nord America orientale ha a che

vedere con la numerosità. Se una di loro è messa di fronte a due

tubi, uno dei quali contiene due prede e l'altro tre, si immette imman-

cab i lmen te

nel tubo più

ricco di cibo.

Proprio come

accade ai

bambini e

alle scimmie,

le salaman-

dre si con-

fondono se si

p r e s e n t a n o

loro più di tre

oggetti.

76

Risultato delle operazioni del pensiero codificate teoricamente ed applicate concretamente: teoriericonducibili ad osservazioni fattuali

Dichiarazioni teoriche, senzacontrollo sul piano pratico:

concezioni non riconducibili ad osservazioni fattuali

Scienza

Registrare fatti e formare teorieper spiegare e predire fenomeni

Imporre predizioni di comodosenza possibilità di controllo

Compito

La matematica: è di fatto il solopiano veramente universale finqui raggiunto dall’uomo

Parole e frasi con un alone indistinto, equivoche, il più delle

volte senza alcun senso

Linguaggio

Induzione-deduzione-verificazione Tecniche varie.. ricette.. consigli..

Metodo

Falsificazione: cercare cioècontinuamente di smentire, relativizzare, perfezionare teorie

Nessun cambiamento nel corso deimillenni: più antica è la ricetta,

più è magica, più è vera

Finalità metodologica

Non scienza

Intero campo della conoscenza Posizione delle stelle, ossa, frattaglie, elementi di suggestione

appartenenti a concezioni, mistiche, superstizioni

Contenuti

2 3 . 3

77

78

Studi antropologici, relativi ad uomini che attualmente vivono

in condizioni simili a quelle esistenti agli albori della civiltà umana,

hanno rivelato come i selvaggi24 non ancora arrivati allo stadio delcontare sulle dita siano praticamente dotati di una ridottissima, quasi

nulla, percezione del numero. E’ questo il caso di molte tribú

dell’Australia, delle isole dei Mari del Sud, dell’America

meridionale e dell’Africa.

Edward Curr, autorevole studioso dei popoli primitivi

dell’Australia, nel suo libro The Australian race, racconta come

soltanto pochi indigeni siano in grado di distinguere il numero

quattro e che nessun australiano allo stato selvaggio sia capace di

percepire il sette. L’eminente linguista

Alf Axelson Sommerfelt, nel suo libro

La lingua e la società, rivela i numeri

conosciuti dalla tribù australiana

ArandaNINTANINTA

TARATARA

TARA-MI-NINTATARA-MI-NINTA

TARA-MA-TARATARA-MA-TARAPoi una parola che significa molti,oltre.

�

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SS EE NN SS OO DD EE LL NN UU MM EE RR OO

NN EE LL LL ’’ UU OO MM OO PP RR II MM II TT II VV OO

2 4 . LA BREVE VITA DEI NOSTRI ANTENATI

Non arrivavano in molti fino a trent’anni. La vecchiaia era un privilegio di alberi e pietre. L’infanzia durava quanto quella dei cuccioli di lupo. Bisognava sbrigarsi, fare in tempo a vivere prima che tramontasse il sole, prima che cadesse la neve.

Le genitrici tredicenni, i cercatori quattrenni di nidi fra i giunchi, i capicaccia ventenni -un attimo prima non c’erano, già non ci sono più. I capi dell’infinito si univano in fretta. Le fattucchiere biascicavano esorcismi con ancora tutti i denti della giovinezza. Il figlio si faceva uomo sotto gli occhi del padre. Il nipote nasceva sotto l’occhiaia del nonno.

E del resto non si contavano gli anni. Contavano reti, pentole, capanni, asce. Il tempo, così prodigo con una qualsiasi stella del cielo,tendeva loro la mano quasi vuota, e la ritraeva in fretta, come pentito. Ancora un passo, ancora duelungo il fiume scintillante, che dall’oscurità nasce e nell’oscurità scompare.

79

80

Per Hunt (Murray island, Torres Straits, in “Journal of the

Anthropological Institute of Great Britain”, vol. XXVIII, p.13)

gli indigeni delle isole Murray (stretto di

Torres) si servono dei seguenti numeri:

NETATNETAT

NEISNEIS

NEIS-NETATNEIS-NETAT

NEIS-NEISNEIS-NEIS

Poi una parola che significa moltitudine, oltre.

Haddon (The Ethnography of the Western Tribes of theTorres Straits, in “Journal of the Anthropological Institute of

Great Britain”, vol. XIX, pp. 305-306) riferisce di altre

tribù dello stretto di Torres

URAPUN

OKOSA

OKOSA-URAPUN

OKOSA-OKOSAPoi la parola RAS che sinifica una folla, oltre.

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Non c’era un attimo da perdere, domande da rinviare e illuminazioni tardive, c’erano solo quelle avute in tempo. La saggezza non poteva aspettare i capelli bianchi. Doveva vedere con chiarezza, prima che fosse chiaro, e udire ogni voce, prima che risonasse.

Il bene e il male -ne sapevano poco, ma tutto: quando il male trionfa, il bene si cela; quando il bene si mostra, il male si acquatta. Nessuno dei due si lascia vincere o allontanare a una distanza definitiva. Ecco il perché d’una gioia sempre tinta di terrore,

d’una disperazione mai disgiunta da tacita speranza.

La vita, per quanto lunga, sarà sempre breve.

Troppo breve per aggiungere alcunché.

Wislawa Szymborska Gente sul ponte

Libri Scheiwiller

81

I Kamilaroi vivono in

Australia sulle rive del

fiume Darling, nella

Nuova Galles del Sud.

MAL

BULAN

GULIBA

BULAN BULAN

BULAN GULIBA

GULIBA GULIBA82

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2 4 . 1 A B I P O N I

Gli Abipon del Chaco (Paraguay) costituivano un

gruppo etnico dell'America Meridionale di lingua

guaycurú.

Oggi è estinto come entità omogenea.

Gli Abipon erano stanziati in origine nel bacino del

Bermejo, dove vivevano allo stato di

cacciatori-raccoglitori seminomadi.

La loro società era di tipo egualitario ed erano

organizzati in clan patrilineari; abitavano capanne

ad alveare e usavano l'arco semplice; praticavano il

tatuaggio, il ratto delle donne, la scotennatura.

Dopo i primi contatti con gli Spagnoli impararono

a usare il cavallo; questo fatto provocò un radicale

cambiamento dei costumi che portò alla

formazione di classi sociali e di società militari,

all'introduzione della struttura patriarcale,

dell'infanticidio, della guerra di occupazione.

Nei sec. XVII e XVIII gli Abipon occuparono tutte

le regioni fino al Rio Paraná e al Rio Salado, ma la

reazione dei coloni spagnoli minacciati dalle loro

scorrerie ne provocò la rapida distruzione.

83

84

Anche i botocudos

del Brasile, gli

indiani della Terra

del Fuoco, i pigmei

hanno vocaboli per

indicare uno e due.

I botocudos dicendo

la loro parola per

parecchi mostrano

simultaneamente i

capelli della testa.Lèvi-Strauss (La viefamiliale et sociale des IndiensNambikwara) riferiscesolo delle paroleuno, due e molti edaggiunge che, inquesta tribù, altrinumeri vengonocomposti con unaspecie di indigitatio.I Boscimani del Sud

Africa non hanno

vocaboli per indicare

i numeri, ad eccezione di uno, due e molti e questi sono cosí

inarticolati che c’è da domandarsi se per gli indigeni abbiano un

significato chiaro.

I pigmei d’Africa hanno uno-due-innumerevoli.Non abbiamo ragione di credere che i nostri lontani antenati

fossero in condizioni migliori, abbiamo anzi molte ragioni di

dubitarne, dato che tutte le lingue europee recano ancora tracce di

queste antiche limitazioni. Evidentemente i nostri più antichi

antenati in un primo tempo contavano soltanto fino a due,

indicando con molti qualsiasi insieme superiore.

Nel sud della Colombia, ai confini della Forestaamazzonica, un gruppo di Nukak-Makú ha decisodi vivere ai bordi di una città e di convertirsi allaciviltà, dopo aver vissuto, da sempre, nell’età dellapietra. Un’ottantina di Nukak sono usciti dallagiungla, mezzi nudi e accompagnati da piccolescimmie, e si sono presentati nei pressi della vicinacittadina di San José del Guaviare. Unico contatto con la civiltà Belisario, che conoscelo spagnolo. Vogliono rimanere vicini alla città. Non hanno il concetto del denaro, della proprietàprivata e non sanno nemmeno dell’esistenza delloStato della Colombia. Hanno subito chiesto: su quale razza di stradainvisibile camminano in cielo gli aerei?I cittadini di San José stanno provvedendo afornire loro cibo e vestiti. La gente vuole proteggerli, ma portare cibo ognigiorno non li aiuterà a sopravvivere per moltotempo. Bisognerebbe trovare loro un ruolo nella società.Anche se non è chiaro da quante persone siacomposta l’intera popolazione dei Nukak, alcuniantropologi credono che a causa dei contattiavvenuti con la società civile negli ultimi anni(i primi incontri con la civiltà sono datati 1998) sisia sensibilmente ridotta a causa di malattie per noicomuni (come influenza e raffreddori) dalle quali,però, gli indigeni non hanno difese naturali.

2 4 . 2 N U K A K - M A K U

85

Il senso del nume-

ro, ne siamo ormai

convinti, è innato.

Dovrebbe essere

allora possibile

trovarne traccia

anche nei bambini

molto piccoli.

Capita spesso di

osservare che, di

fronte a due mucchietti di caramelle, uno piccolo e l’altro grande, un

bimbetto (questo è anche attestato da prove statisticamente

rilevanti) pesca dal mucchietto più grande.

Rigorosi esperimenti dimostrano invero come il bambino

venga al mondo con meccanismi innati di percezione di una piccola

numerosità, lo stesso senso presente anche in alcuni animali.

Questo senso innato è quindi indipendente dalla capacità dilinguaggio.

La ricercatrice Karen Wynn ritiene che non solo i bambini,

ma anche alcune specie animali utilizzino lo stesso meccanismo:

nella mente di ognuno agisce un contatore emettitore di battiti che,

a loro volta, sono inseriti in un accumulatoreallorché si è in presenza di una nuova entità da

memorizzare. Nel cervello di ognuno esistono

speciali circuiti neurali dedicati alla matematica.

Questo significa che veniamo al mondo con un

modulo numerico, con informazioni codificate

geneticamente che ci conferiscono un’intuizione

delle quantità numeriche.

86

SS EE NN SS OO DD EE LL NN UU MM EE RR OO

NN EE LL LL ’’ UU OO MM OO CC II VV II LL II ZZ ZZ AA TT OO

87

2 5 . S C R I T T U R A M A N O S C R I T T A

Scriviamoli di corsa (corsivo)

88

Nuovi raffinatissimi strumenti, disponibili soltan-

to da pochi anni, come la camera a positroni,

hanno finalmente consentito di visualizzare

l’attività cerebrale e avviare nuovi rivoluzionari

studi sul cervello, arrivando, tra l’altro, a localiz-

zare anche i circuiti neurali della matematica.

Il cervello del bambino è un organo strutturato che impara

soltanto ciò che è collegato con le sue conoscenze anteriori.

Karen, nella sua tesi di dottorato al MIT in Massachussets, nel

1992 ha illustrato il comportamento di bambini di 5 mesi davanti a

un teatrino delle marionette.

Il palchetto del teatrino viene occultato da

uno schermo.

Al bambino vien fatto vedere che una

marionetta, tenuta in mano da Karen, entra,

dall’esterno, nel teatrino e lì rimane, poiché

la mano, da dietro lo schermo, riesce vuota.

Poi, viene di nuovo fatta vedere la mano, con una marionetta

diversa, eseguire la stessa azione.

Il bambino partecipa così allo svolgersi di un’azione e poi di

un’altra. Tolto il pannello schermante si vedono due marionette.

Le espressioni del bambino danno allora la classica sensazio-

ne di normalità.Viene ripetuta la prova, ma, prima di togliere lo schermo, di

nascosto, si aggiunge un’altra marionetta, oppure se ne toglie una.

Abbassato lo schermo, il bambino vede tre marionette

oppure una sola e si dimostra sorpreso: c’è qualcosa di

strano adesso nell’aria! Il bambino ha visto uno più uno.

Nel tre o nell’uno finale qualcosa non convince...

Con questo e altri metodi gli psicologi hanno dimostra-

to che i bambini piccoli, persino nei primissimi giorni

d’età, dimostrano il senso del numero, naturalmente

relativamente a pochissime unità.

89

la TRIALITA’

la DUALITA’

2 6 . ACCUMULATORE MATEMATICOOltre all’unità, sappiamo distinguere.......

Il nostro cervello, come già sappiamo, tratta in manie-

ra diversa gli insiemi contenenti al massimo tre

elementi da quelli più grandi. Quando si chiede a

soggetti adulti di nominare il numero dei punti

disposti a caso in un’immagine mostrata loro, il tempo

che impiegano per rispondere è quasi identico nel caso

di uno e due punti, ed è solo legger mente superiore per tre punti

(poco più di mezzo secondo). Oltre il tre, tuttavia, il tempo richiesto

comincia ad aumentare rapidamente. Al crescere del numero dei

punti, cresce anche quello degli errori.

Dunque tutti ci comportiamo come, tra tanti altri, la

tribu aborigena dei Warlpiris, e cioè consi derando

solo tre possibilità: uno, due e molti, in un sistema in

cui il conteggio termina con il tre, limite oltre il quale

l’in sieme viene semplicemente definito grande.Il fatto che quando si superano i tre oggetti il nostro compor-

tamento cambi all’improvviso indica che il cer vello si serve, nei due

casi, di due meccanismi diversi, che Dehaene, nel suo The NumberSense, presenta con una serie di esperimenti molto convincenti.

La percezione della quantità per i numeri fino a tre è istanta-

nea. Non contiamo ma ne percepiamo immediatamente la presenza.

Si tratta di una vera e propria subitizzazione.

Anche i nostri 2 e 3 altro non sono che varianti grafiche,

rispetto alla notazione araba da cui

discendono, di due e tre tratti orizzontali

sovrapposti, legati insieme durante la

storia della scrittura manoscritta25.

A partire dal 4, la notazione diventa

simbolica e corrisponde ad una capacità

quasi esclusivamente umana di superarei limiti della percezione immediata delle

quantità numeriche.

Ne parleremo nel secondo volume.

90

91

...persino 4, 5 oggetti, ma solo in posizione e casi particolari...

92

Proviamo ora noi stessi26

a verificare come funziona

il nostro accumulatorinomatematico.

Cercheremo di verificare

se anche per noi il senso

del numero è davvero

limitato.

Sappiamo distinguere per

certo gli oggetti a partire

dall’unità.

L’oggetto in sé, la sua

unicità, la distinguiamo

molto bene.

Infatti, nelle precedenti righe ci siamo domandati che

collegamento potessero avere con il testo, in un libro quasi tutto,

diciamo così, contestualizzato pagina per pagina, il bastone, il

fuoco, l’uccello e gli altri oggetti, visto che con il testo c’entravano

come i cavoli a merenda.

Sono invece la prova che l’unità la distinguiamo molto,molto bene!

Altrettanto si può dire per la dualità, come bene si vede nel

riferimento 26. Per insiemi contenenti al massimo tre elementi, il

riconoscimen to della numerosità, ossia del numero degli elementi

del l’insieme, sembra pressoché istantaneo e viene effettuato senza

contare.

Per insiemi di quattro o più elementi, invece, il risultato viene

normalmente ottenuto contando.

Il tempo necessario per decidere la numerosità di un insieme

aumenta in modo lineare passando da tre a sei.

Il fatto che in generale il cervello manipoli gli insiemi

contenenti non più di tre elementi mediante un processo immediato,

istintivo (e inconscio) trova ulteriori conferme negli studi effettuati

93

Dopo il 5 non c’è più alcunaimmediatezza...

... il senso del numero si ritrae

94

su pazienti con particolari lesioni cere brali.

Sebbene le lesioni cerebrali spesso interessino vaste aree del

cervello distruggendo diverse facoltà mentali, a volte possono

essere ben localizzate e avere uno o due effetti mol to specifici.

I pazienti con lesioni così focalizzate offrono agli psicologi

cognitivisti dimostrazioni assai utili, altrimenti impossibili da

ottenere.

In un caso, descritto sempre da Dehaene, una paziente era stata

colpita da una lesione cerebrale che aveva cancellato la sua

capacità di con tare e perfino di spuntare uno alla volta gli oggetti di

una serie.

Tuttavia, se le si mostravano non più di tre punti sullo schermo

di un computer, la donna era ancora in grado di dire immediatamen-

te quanti fossero.

Cosa accade quando ci troviamo di fronte a un insie me

contenente ben più di tre soli elementi?

Siamo in grado di stabilire quanti siano?

Riusciamo a distinguere fra due insiemi di diversa numerosità?

Per certo sappiamo che se ci viene chiesto di dire il numero

esatto di oggetti contenuti in un insieme di dieci o più elementi,

l’unica strategia a cui possiamo ricorrere è quella di contarli uno per

uno, o magari a due a due o anche a tre a tre.

Se invece ci bastasse anche solo una stima ragionevol mentebuona? In quale misura gli esseri umani adulti sono in grado di

stimare il numero di oggetti contenuti in un insieme, diciamo, di un

centinaio di elementi?

Le evidenze sperimentali dimostrano che ce la caviamo meglio

di quanto si tenderebbe a pensare; ciò nondimeno, possiamo essere

fuorviati da circostanze esterne.

Se si chiede a dei soggetti sperimentali di stimare il numero di

oggetti stampati27 su una pagina di solito si ottiene sottostima del

totale se i punti sono disposti in modo irregolare e una sovrastima

se essi sono regolarmente distan ziati.

95

Quando, in materia di notazione numerica, sisviluppa quella consistente nel rappresentare unnumero con una successione di tanti segni similiquanti sono gli elementi della raccolta di oggetti dacontare è giocoforza fermarsi a IIII, quattro poichènessuno è in grado di leggere a colpo d’occhio unasuccessione di cinque tratti, IIIII, di sei IIIIII o, amaggior ragione, un numero superiore.

Gerschel

2 7 . O C C H I O !

I I I I I I I I I

96

Quando la nostra specie ha cominciato a ululare, probabilmen-

te, come abbiamo visto, sapeva riconoscere ed in dicare soltanto unelemento, quell’elemento ed un altro e, ma non sempre, i primielementi ed un altro ancora.

Il terzo ed il quarto elemento non ci traggano comunque in

inganno: sono semplicemente l’affiancamento, la ripetizione del

primo con il secondo e del secondo con se stesso.

Oggi noi chiamiamo questi primi elementi (in maniera

cardinale): uno, due, ..... tre.

Sono quantità che cervelli diversi, per genesi e per età, hanno

percepito e percepiscono naturalmente, senza sforzo alcuno.

Per questo mo tivo fu probabilmente facile, daparte dell’uomo, dar loro un nome.

Anzi, possiamo ben dire che tuttociò che è chiaramente percepito è

anche il solo chiaramente espresso.

Uno, due, ... tre ... assolutamente percepiti erano esono anche i soli chiaramente espressi con un loronome, non con una indicazione generica.

Uno, due, tre ... sono ancora uguali, in tantissime lingue28.

II NN OO MM II

97

SANSCRITO eka dva tri

GRECO en duo tria

LATINO unum duo tria

FRANCESE un deux trois

RUMENO un doi trei

GAELICO aon dà trì

GALLESE un dau trì

GOTO ains twai threis

INGLESE one two three

SPAGNOLO uno dos tres

TEDESCO eins zwei drei

NORVEGESE en to tre

RUSSO odin dva tri

2 8 . 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . .

98

In molte lingue, uno, due e tre sono spesso gli unici numeri

che ammettono più generi (maschile, femminile, neutro....)29 o sonogli unici declinabili30.

Neutro viene dalla parola latina neuter, che vuol dire né l’unoné l’altro: né maschile, né femminile.

Non si tratta di un vero e proprio ras, oltre, cioè di un termine

ampliativo-accrescitivo, ma di un termine che, comunque,

si diversifica dai primi due.

L’etimologia dei nomi dei primi tre numeri mostra quanto

siano antichi.

Le parole due e secondo sono spesso si nonimi di altro.

L’inglese thrice, proprio come il latino ter, ha il doppio

significato di tre volte e di molti. Si può ben vedere una connessione tra il latino tres, tre e trans

che vuol dire al di là di... e tra il francese très, molto, e trois, tre.

Three (tre), trans (oltre), très (molto), trop, troppo, throughattraverso, sono parole con una comune radice indoeuropea e tutto

ciò indica, con buonissime probabilità, come un tempo esso fosse il

numerale più grande.

99

I numeri cardinali greci specificanocompletamente uno, un po’ meno tre e quattro,per nulla due e tutti gli altri numeri.

Come si vede fino a quattro ci sono molte specificazioni, da cinque in poi è tutto uguale.

2 9 . N U M E R I C A R D I N A L I G R E C I

VALORE SEGNO MASCHILE FEMMINILE NEUTRO

1 a’ eij mia en

2 b’ duo

3 g’ treij treij tria

4 d’ tettarej tettarej tettara

5 e’ pente

6 j’ ec

7 z’ epta

8 h’ oktw

9 q’ ennea

10 i’ deka

100

Le parole usate per denotare i primi tre numeri -quelli corrispondenti al nostro senso del numeroinnato - sono molto diverse da tutte le altre.

Sono diverse, ad esempio, nel passaggio dal cardinale

all’ordinale.

In italiano all’uno, due, tre, corrisponde, ordinalmente, primo,

secondo, terzo.

Gli altri hanno tutti come base il nome stesso del cardinale:...

sei-sesto; sette-settimo... dieci-decimo...

Tanto per l’italiano, quanto per tutte le altre lingue, eventuali

piccolissime variazioni hanno solo lo scopo di facilitare la

pronuncia.

In inglese, nel caso dei primi tre numeri, i corrispondenti

ordinali si denotano con parole completamente diverse da quelle

dei cardinali: a one, uno corrisponde first, primo, a two,

due corrisponde second, secondo e a three, tre corrisponde third,

terzo.

A partire da quattro esiste una semplice regola per passare

dalla parola che indica il numero cardinale al corrispondente

aggettivo ordinale, mediante l’aggiunta del suffisso th.Così four, quattro diventa fourth, quarto, five, cinque diventa

fifth, quinto, six, sei diventa sixth e così via.

Le parole che denotano i primi due numeri godono anche di

significati cor relati.

Second può essere usato come verbo, secondare, con il

significato di favorire, sostenere ed esiste inoltre l’aggettivo

secondary, secondario.

Anche i numeri ordinali ad essi associati hanno una forma

particolare: in fran cese, per esempio, le parole premier e secondsfuggono alla de sinenza ième che si applica ai numeri ordinali

successivi (troisiè me, quatrième, ecc.).

In tedesco ein/erst, zwei/zweite, drei/dritte, vier/vierte.....

101

2 9 . 1 N U M E R I C A R D I N A L I L A T I N I

VALORE SEGNO MASCHILE FEMMINILE NEUTRO

1 I unus una unum

2 II duo duae duo

3 III tres tria

4 IV quattuor

5 V quinque

6 VI sex

7 VII septem

8 VIII octo

9 IX novem

10 X decem

I numeri cardinali latini specificanocompletamente uno, un po’ meno due e tre, pernulla tutti gli altri numeri.

Come si vede da quattro in poi è tutto uguale.

102

Diamo una visione sinottica, anche se per sole quattro lingue,

tanto per tantissime altre il nocciolo concettule non varia:

ITALIANO FRANCESE

uno primo un premier

due secondo deux second

tre terzo trois troisième

quattro quarto quatre quatrième

..... .....

INGLESE SPAGNOLO

one first uno primero

two second dos segundo

three third tres tercero

four fourth quatro cuarto

..... .....

Esistono inoltre modi particolari per riferirsi a insiemi di due

o tre oggetti.

Nel caso di due, parliamo di paio, coppia, duo e abbiamo

l’aggettivo doppio. Per il tre, abbiamo le parole triplo, trio, terna.

Oltre il tre, d’altra parte, ci serviamo di forme costruite in

modo regolare: quartetto, quintetto, sestetto... eccetera.

Molte delle parole riferite ad un insieme di due elementi sono

limitate a particolari tipi di oggetti, a conferma dell’idea che i

numeri innati uno, due e tre sono intimamente connessi agli insiemi

di oggetti fisici.

103

3 0 . GRECO: 1, 2, 3, 4, sono gli unici declinabili

nominativo eij mia engenitivo enoj miaj enojdativo eni mia eni

accusativo ena mian en

L’unità è davvero ben specificata!

nominativo duogenitivo duoindativo duoin

accusativo duo

Per 2 esistono parole di significato affine: amfw amboamfoteroi entrambi amfoteron l’una e l’altra cosa

UNO

DUE

nominativo treij triagenitivo triwndativo trisi

accusativo treij tria

nominativo tessarej tessaragenitivo tessarwndativo tessarsi

accusativo tessaraj tessara

TUTTI GLI ALTRI NUMERI CARDINALI NON SONO DECLINABILI

(ad eccezione delle centinaia da 200 in poi, le migliaia e ledecine di migliaia... ma questo non riguarda la nostra tesi)

TRE

QUATTRO

104

Così, diciamo paio di scarpe ma non coppia di sandali... o

coppia di sposi ma non paio di coniugi. In inglese ci si esprime con a brace of pheasants per dire una

coppia di fagiani, e di a yoke of oxen per dire un paio di buoi.Coppia e paio non sono intercambiabili.

In ogni lingua troveremo esempi simili sulla forte impronta

che i primi numeri assegnano a varietà e plurivocità, anche se con

grandi affinità, a loro significati derivati.

A seconda delle lingue esistono le seguenti forme:

il singolare, il duale, il triale, il quartale, il paucale e il plurale.

Per esempio, l'arabo classico, l'ebraico e lo sloveno hanno una

forma di duale sia per i verbi che per i sostantivi.

Il duale serve per indicare due persone o due cose, i gruppidi due.

E così per il triale...

In molte lingue, come in italiano o in inglese, la maggior

parte delle parole possiede sia una forma singolare sia una forma

plurale.

Ma in pochissime, come la lingua australiana aborigena

Ngan'gitjemerri, vi sono quattro forme per ogni sostantivo:

singolare, duale, triale e plurale.

Il Sursrunga, il Tangga e il Marshallese ne hanno addirittura

cinque.

Analogamente, in genere, nelle lingue il singolare è più

frequente del plurale: ciò significa che riconosciamo più facilmente

gli individui che non le specie e i generi, o gli insiemi.

E il plurale generico è più frequente di quello specifico (duale

per le coppie, triale per le terne, eccetera): ciò significa che

riconosciamo più facilmente le specie, i generi, gli insiemi che le

loro tipologie cardinali.

Secondo Lévy-Bruhl, certe tribù primitive oceaniche

declinavano e coniugavano al singolare, al duale, al triale, al

quadriale, al plurale.

105

CASO MASCHILE FEMMINILE NEUTRO

nominativo unus una unumgenitivo uniusdativo uni

accusativo unum unam unumablativo uno una uno

3 0 . 1 LATINO: 1, 2, 3, sono gli unici declinabili

CASO MASCHILE FEMMINILE NEUTRO

nominativo duo duae duogenitivo duorum duarum duorumdativo duobus duabus duobus

accusativo duo duas duoablativo duobus duabus duobus

UNO

DUE

TRE

CASO MASCHILE E FEMMINILE NEUTRO

nominativo tres triagenitivo trium triumdativo tribus tribus

accusativo tres triaablativo tribus tribus

106

Nella convenzione dei nomi usati nella Roma antica, ogni

romano, nato libero o servo liberato, aveva 3 nomi:

praenomen il prenome, cioè il nome individuale che

viene imposto alla nascita e che distingue

gli individui della stessa famiglia (è il nome

proprio come lo intendiamo oggi);

nomen gentilicium il nome comune a tutti i membri di una

stessa gens, una famiglia allargata

(equivalente al nostro cognome);

cognomen il cognome ovvero il ramo in cui si divideva

la gens (indicava la famiglia in senso più

ampio). Il cognomen comparve ab initiocome soprannome o nome personale che

distingueva un individuo all’interno della

gens (il cognomen non compare in

documenti ufficiali fino a circa il 100 aC).

A causa della sua origine, spesso il

cognomen rifletteva qualche tratto fisico

o della personalità.

In Marcus Tullius Cicero, Marcus è il praenomen, Tullius è il

nomen gentilicium, Cicero è il cognomen.

PP RR AA EE NN OO MM EE NN 33 11 ,,

NN OO MM EE NN ,, CC OO GG NN OO MM EE NN

107

3 1 . P R A E N O M E N

I prenomi romani sono i seguenti:

Aulus Appius

Decimus Flavius

Gaius Gnaeus

Kaeso Lucius

Mamercus Manius

Marcus Numerius

Publius Quintus

Servius Sextus

Spurius Tiberius

Titus

Non esistono, come si può osservare, Primus, Secundus, Tertius, Quartus.

Ben conosciuto, ben identificato!

La generalità inizia da Quintus.

108

I Romani chiamarono Calendae il primo giorno di ogni

mese, nel quale si convocava (chiamava) il popolo per bandire feste,

giochi, giorni fasti e nefasti.

I dies fasti erano i giorni in cui si poteva svolgere l’attività

giuridica e il magistrato poteva fari (parlare, pronunziare sentenze).I dies nefasti, quelli in cui, per motivi religiosi, il magistrato

non poteva rendere giustizia.

Ille nefastus erit per quem tria uerba silentur; faustus erit per quem lege licebit agi. Sarà nefasto quello in cui si tacciono le tre parole; fausto

quello in cui si potrà rendere giustizia. Ovidio, Fasti, Libro I, [47, 48].

Tre le parole pronunciate dal pretore: do, dico, addico.L’attività del pretore consisteva infatti nel nominare i

giudici (iudices dare), nel presentare la legge (ius dicere),

nell’assegnare i beni contesi al legittimo proprietario (bonaaddicere).

C’erano poi i giorni divisi (intercisi) in un periodo fasto ed

in un periodo nefasto; in questi giorni si offrivano sacrifici agli dèi:

la vittima, hostia, veniva immo lata

al mattino, mentre le sue interiora,

exta, erano offerte la sera; il perio-

do fasto, durante il quale si poteva

rendere giustizia, era solo la parte

media della giornata, cioè la parte

fra l’immolazione dell’hostia e

l’offerta dei suoi exta; nefasti erano

invece la mattina e la sera.

I dies intercisi erano soprattutto le

vigilie di grandi feste, in cui si

facevano sacrifici preparatori.

CC AA LL EE NN DD AA RR II OO 33 22

gallo l’animale chechiama per la sveglia.

to callchiamare, nella lingua inglese.

109

3 2 . C A L E N D A R I O

I Romani computavano i giorni su tre date fisse delloro calendario: le Kalendae, le Nonae e le Idus. Le Kalendae, da cui calendario, cadevano il primodel mese. Il termine deriva da calare, chiamare a raccolta,convocare, poiché nei tempi più anti chi, quandoappariva la luna nuova, il pontefice minoreconvocava il popolo nella Curia calabra, sulCampidoglio, nei pressi del tempio di GiunoneMoneta (da monere, ammonire, consigliare) posto afianco dell’edificio del conio (attuale Zecca) da cuiil nome moneta che ancor oggi noi usiamo. La monetina era invece chiamata stips da cuistipendio (piccolo, inevitabilmente!). Il pontefice annunziava l’inizio del mese, leKalendae e fissava le altre fasi della luna, cioè leNonae, o primo quarto, e le Idus, o plenilunio.

Calendae viene dal greco kallw (callo) da cui illatino calo, chiamo, convoco. Il tutto dalla radice sanscrita kar, kal, emetteresuono. I Greci non avevano le calende per cui la frasead graecas calendas (alle calende greche) significamai, in nessun tempo.

110

BBee nn

ccoo

nnoo

ss ccii uu

tt oo,,

bbee

nnii dd

eenn

tt iiff ii

ccaa

tt oo!!

Il primo mese dell’anno romuleo era Martius, perché dedica-

to da Romolo a suo padre Marte.

Da marzo iniziava il computo degli altri mesi, per cui

Quintilis era il quinto mese, Sextilis il sesto e September, October,November e December rispettivamente il settimo, l’ottavo, il nono

ed il decimo mese.

Sulla denominazione del secondo, terzo e quarto mese -

Aprilis, Maius, Iunius - gli antichi danno diverse interpretazioni:

Apri lis deriverebbe da aperire, aprire, perché in quel mese tutto si

apre con la primavera e cioè gli alberi ed ogni altro prodotto della

terra cominciano a schiudersi in germogli; un’altra versione collega

invece il nome del mese con Venere (Afrodite, da afros, schiuma

perché nata nella schiuma); Maius avrebbe tratto il nome dall’esse-

re il mese dedicato a Maia, la madre di Mercurio, oppure per ché

Romolo divise il popolo in maiores e iuniores, anziani e giovani,

perché gli uni difendessero lo stato con il consiglio, gli altri con le

armi.

Iunius è anche fatto derivare da Iuno-Giunone.

P Po oc co o

c co on n

o os sc ci iu u

t to o, ,

n no o

m me e

g ge en n

e er ri ic co o! !

RR OO MM OO LL OO

MARTIUS APRILIS

MAIUS IUNIUS

QUINTILIS SEXTILIS

SEPTEMBER OCTOBER

NOVEMBER DECEMBER

111

3 2 . 1 IL CALENDARIO di ROMOLO

Quando il fondatore di Roma fissò le divisioni del tempo,

stabilì che ogni anno fosse di dieci mesi.

Certo, o Romolo, conoscevi le armi più degli astri,

ed eri più preoccupato a combattere i popoli di confine.

Tuttavia v’era qualche ragione che lo mosse,

ed egli ha di che giustificare il proprio errore.

Il tempo perché il bambino esca dal grembo materno

Romolo pensò che bastasse anche per compiere un anno.

Per altrettanti mesi dalla morte del marito, la sposa

continua a indossare le vesti a lutto nella orbata casa.

Dunque a queste cose mirò la cura del trabeato Quirino

quando alle rozze genti dette le annue ricorrenze legali.

A Marte dedicò il primo mese, a Venere il secondo:

questa, materno principio; quello, in quanto suo stesso padre;

il terzo fu denominato dai vecchi, il quarto dai giovani,

tutti gli altri che seguono, dal numero di ciascuno.

Ma Numa non trascurò Giano né le ombre degli avi,

e agli antichi mesi ne antepose altri due.

Ovidio, Fasti, Libro Primo, [27, 44]

112

Ianuarius trae il nome da Janus-Giano, dio dell’entrata e del

transito, delle porte (januae) delle abitazioni, come di quelle della

città (fores). Dio degli inizi, del giorno, dell’anno, veniva invocato

ogni mattina dai sacerdoti come pater matutinus, poiché si credeva

che egli, come portinaio del cielo, aprisse, di mattina, le porte

dell’Olimpo. A lui era sacro il primo mese dell’anno (Kalendae

januariae). Gli si offriva un sacrificio, che consisteva particolarmen-

te in una vivanda di farina; si evitava ogni vocabolo di cattivo

augurio, si scambiavano parole amicali augurandosi felicità e l’uno

donava all’altro dolciumi, quasi a denotare il desiderio che l’anno

scorresse dolcemente. Si stabilì sul colle che venne poi chiamato

Gianicolo. Februarius è con nesso con il verbo februare, purificare e

con una grande cerimonia di purificazione.

Fauno era per i Romani il dio della campagna e dei boschi

ed il protettore delle greggi e come tale si chiamava Lupercus,il difensore contro il lupo.

Sotto questo nome gli veniva celebrata una festa,

Lupercalia33, il 15 febbraio, durante la quale si sacrificavano capri e

capre con riti e preghiere speciali di espiazione.

NN UU MM AA PP OO MM PP II LL II OO

IANUARIUS FEBRUARIUSMARTIUS APRILISMAIUS IUNIUSQUINTILIS SEXTILISSEPTEMBER 9° mese ( 7° dell’anno romuleo)

OCTOBER 10° mese ( 8° dell’anno romuleo)

NOVEMBER 11° mese ( 9° dell’anno romuleo)

DECEMBER 12° mese (10° dell’anno romuleo)

113

3 2 . 2 C A L E N D A R I O d i N U M A

Il più antico calendario fu dettato da Romolo, suddivisoin 10 mesi (4 - Martius, Maius, Quintilis, October - di 31giorni, 6 - Aprilis, Iunius, Sextilis, September, November,December - di 30 giorni, per un totale di 304 giorni). Era però di scarsa utilità pratica poiché avrebbe, inpoco tempo, portato a sfasare vistosamente le date conil naturale ciclo delle stagioni. Numa Pompilio ordinòl’anno in 355 giorni e in 12 mesi. Un ciclo solare di 4 annidi 355 giorni in cui al 2° e 4° anno veniva inserito unmese intercalato di 22 o 23 giorni. Il ciclo risultava di 4anni di 366 giorni e 6 ore, eccedente di un giornorispetto al ciclo solare. Lentamente i mesi noncorrispondevano più alle stagioni.

3 2 . 3 C A L E N D A R I O G I U L I A N O

Alla situazione pose rimedio, nel 46 aC (detto anno diconfusione), Giulio Cesare che, incaricato il matematicoalessandrino Sosigene, promulgò il Calendario Giulianodi 12 mesi (365 giorni e 6 ore). Dopo 4 anni (6 ore per 4anni uguale 24 ore) l’anno presentava un 366° giorno. Mentre noi lo collochiamo alla fine del mese di febbraio,i latini lo inserivano tra il 24 e il 25 del mese che venivacosì ad avere due giorni 24, il primo dei quali eraregolarmente detto dies sestus ante Kalendas Martias e ilsecondo dies bis sextus ante Kalendas Martias. Da qui l’appellativo di bisestili attribuito agli anni di366 giorni. Per tener conto della differenza con ilcalendario solare, non di 6 ore ma di 5h 48’ 46” funecessaria un’ulteriore riforma, quella effettuata dapapa Gregorio XIII nel 1582.

114

Si toccava la fronte, col coltello ancora intriso di sangue

della vittima, a due giovani e quindi si nettavano loro le macchie di

sangue con lana intinta nel latte. Dopo il sacrificio i sacerdoti,

chiamati Luperci, tagliavano strisce di pelle delle vittime sacrificate

e dal luogo del sacrificio, che era il Lupercal sul monte Palatino,

percorrevano la città coperti soltanto da un grembiule di pelli

tagliate. In una mano stringevano il coltello insanguinato con cui

avevano immolato al dio le capre, nell’altra le sferze (februa) con le

quali percuotevano le donne per ottenerne la fecondità.

Le donne maritate andavano volentieri loro incontro e si

lasciavano sferzare dalle cinghie persuase che ciò apportasse la

felicità del matrimonio e fosse in pari tempo una purificazione ed

una espiazione. Per questa ragione il giorno si chiamava diesfebruatus, da februare, purificare ed espiare; il mezzo di purgazione,

cioè la pelle, era detto februum, e il mese della festa Februarius.

115

3 2 . 4 C A L E N D A R I O G R E G O R I A N O

Nel 1582 il Papa Gregorio XIII risolse il problemadei 10 giorni in più semplicemente omettendoli:decretò che al 4 ottobre (giovedì) di quell’annoseguisse immediatamente venerdì 15 ottobre. Papa Gregorio riassestò le lunghezze dei mesinella loro moderna versione e, cosa ancora piùimportante, stabilì il modo di correggere la lieveinesattezza del calendario giuliano, decretando chesarebbe stato considerato anno bisestile (di 366giorni) l’anno secolare (1600, 2000 ecc) che fossedivisibile per 400. Questa è la ragione per cui il 1700, il 1800 e il 1900non furono bisestili, mentre lo è stato l’anno 2000.Oggi lo scarto rispetto all’anno tropico si riduce a0.0003”. La riforma gregoriana è stata via via accettata daquasi tutti i popoli di religione non cattolica(Inghilterra nel 1752, URSS nel 1918, Grecia nel1932).

3 2 . 5 CALENDARIO ANGLOSASSONENel mondo anglosassone il giorno 3 settembre 1752non è mai esistito e così pure i 10 giorni seguenti. In quell’anno, infatti, la Gran Bretagna e le colonieamericane adottarono il calendario gregoriano e sirimisero al passo perdendo 11 giorni.

116

IULIUS quinto mese dell’anno antico;

44 aC, in onore di Giulio Cesare.

AUGUSTUS sesto mese dell’anno antico;

8 aC, in onore di Cesare Augusto.

Poiché il mese dedicato ad Augusto era

di 30 giorni mentre quello dedicato

a Cesare era di 31, per non fare disparità,

venne aumentato il mese Augustus di un

giorno, accorciando febbraio a 28 negli anni

normali e a 29 in quelli bisestili.

GG II UU LL II OO CC EE SS AA RR EE

IANUARIUS FEBRUARIUS

MARTIUS APRILIS

MAIUS IUNIUS

IULIUS AUGUSTUS

SEPTEMBER 9° mese ( 7° dell’anno romuleo)

OCTOBER 10° mese ( 8° dell’anno romuleo)

NOVEMBER 11° mese ( 9° dell’anno romuleo)

DECEMBER 12° mese (10° dell’anno romuleo)

117

3 3 . L U P E R C A L I A

Vi fu infatti un tempo in cui per dura sorte le spose

davano rari pegni del loro ventre.…

Ai piedi del monte Esquilino v’era un bosco

rimasto intatto per lunghi anni, consacrato al

nome della grande Giunone.

Come giunsero qui le spose con i loro mariti, si

prostrarono in terra, in ginocchio, atteggiamento

supplichevole.

All’improvviso il bosco fu scosso e ne tremarono le

cime e la dea attraverso la selva pronunciò strane

parole.

Un caprone sacro, disse, penetri le madri italiche.

Stupì la folla, atterrita da questa frase ambigua.

V’era un àugure - il nome s’è perduto negli anni -

venuto di recente esule dalla terra etrusca: egli

sacrifica un caprone: al suo ordine le spose offrono

le spalle alle percosse delle strisce di pelle recisa.

La luna rinnovava le corna del suo decimo ciclo,

e il marito ben presto diventava padre, e la sposa

madre. Ovidio, Fasti, Libro II, [429, 448]

118

L'evoluzione evolve da miliardi di anni.Sarebbe utile, oltre che intelligente, impegnare, anche

per poco, le nostre capacità introspettive nel cercare dipenetrare, di sentire la dimensione o il fenomeno miliardi dianni34 ed i suoi conseguenti significati. Dovrebbe fare uncerto effetto, specialmente in chi crede che tutto ruotiattorno a lui ed alle sue incrollabili certezze!

La matematica evolve, ma solo da qualche migliaio35.Un tempo esiguo al confronto, che non può aver

causato grandi cambiamenti nella struttura logica delcervello umano, con un sistema nervoso che ancor oggirisente di primitive, raccapriccianti urla di terrore e vibratuttora per trauma ancestrali.

Quando pensiamo matematicamente utilizziamoabilità mentali impresse nel nostro bagaglio genetico giàmilioni di anni prima che la matematica venisse sospettata,intravista, formalizzata in modo semplice, intuita.

Comunque l’architettura logica del nostro cervello e leconseguenti leggi matematiche hanno subìto un processo diadattamento alla struttura dell’universo, una vera e propriaevoluzione: sono sopravvissute solo le teorie matematiche piùadatte a meglio rappresentare la realtà.

L’evoluzione è lentissima, quella del bagaglio geneticoè anche delicatissima, dipendente com’è da mutazioniimprevedibili: migliaia di tentativi falliti, poi... unofavorevole, utile, evolutivo in quanto legato alla miglioresopravvivenza, destinato quindi ad essere tra mandato allegenerazioni successive.

Le culture, al contrario, evolvono molto, molto più infretta. Non appena nasce l’idea giusta, lo stimolo buono, il

EE VV OO LL UU ZZ II OO NN EE

Dio

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atematica; essa è il gioco più

divino ch

e vi sia tra gli uom

ini.

Erath

119

3 4 . A N N I F A15 miliardi nascita dell’Universo

5 miliardi formazione del pianeta Terra

3,5 miliardi prime forme di vita nelle acque

600 milioni Pangea, completamente circondata

dall’acqua (Pantalassa); flora e fauna

solo acquatica; primi vertebrati: gli

ostracodermi, antenati dei pesci;

inizia la vita sulla terraferma: prime

piante (tipo felci) e animali (scor pioni);

si diffondono le foreste; si formano i

conti nenti; grande sviluppo dei rettili

225-190 milioni triassico

scissione della Pangea; grandi rettili

190-135 milioni giurassico

ricca vegetazione; diffusione dei

dinosauri; primi uccelli e mammiferi

135-65 milioni cretacico:

angiosperme; monocotiledoni;

tirannosauridi; movimenti orogenetici

e cambiamenti climatici; scomparsa

misteriosa dei grandi rettili

65 milioni era cenozoica:

grandiosi fenomeni orogenetici;

deriva dei continenti

65-2,5 milioni terziario:

120

seme fruttifero, il progresso in tutte le sue forme si sviluppae si espande immediatamente, attraverso linguaggio ededucazione.

La necessità, unita alla capacità di risolvere iproblemi36, ed al sapersi adattare, sono le molle vincenti.

E così solo qualche migliaio di anni è stato sufficienteper costruire l’edificio matematico che oggi conosciamo.

Gran parte di ciò che chiamiamo matematica è lo svi-luppo degli stimoli e dei pensieri sollecitati da aspetti natu-rali quali: l’esistenza, la presenza, la mancanza, la gran -dezza, la forma... La matematica nasce e si sviluppa duran-te la vita quotidiana dell’uomo: riflessioni in itinere. Non è empiria in sé, ma nasce dall’empiria.

Gli enti razionali come i punti, le rette, i piani sono figlidella ragione, sono astrazioni che aderiscono alla strutturadelle realtà empiriche dalle quali provengono.

La matematica dunque è un metodo. Non una disciplina, un cassetto del sapere, quello che

contiene formule, costruzioni mentali, astrazioni... è unmetodo: il metodo che porta da situazioni fisiche asituazioni mentali, da strutture reali a strutture astratte, chehanno però a che fare con le strutture reali di partenza,risultandone un loro estremo perfezionamento.

Siamo tutti dei matematici, in ogni istante, più o menoconsapevolmente.

Secondo le analisi esposte il nostro cervello non èdiverso da quello degli antenati di cinquantamila anni fa e inostri giovani imparano la matematica con un bagagliogenetico inizialmente destinato alla sopravvivenza nellasavana o nelle grotte preistoriche. Del resto è, per il 98%,identico a quello di uno scimpanzé!L

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Neu

man

n

121

mammiferi; pesci; anfibi; uccelli;

primati

2,5 mil - 11 .000 quaternario

glaciazioni; ominidi: australopiteci;

protoantropi (Homo habilis, Homoerectus, tra cui il pitecantropo e il

sinantropo); ciottoli scheggiati; fuoco,

capanne. Sviluppo dell’ Homo sapiensneanderthalensis; cultura musteriana;

schegge e ra schiatoi; cannibalismo

rituale, seppellimento dei defunti con

corredo. Sviluppo dell’Homo sapiensCro-Magnon. Culture aurignaciana(dalla grotta di Aurignac

nell’Haute-Garonne), perigordiano(dalla regione di Périgord), solutreana(da Solutré nel dipartimento di Saòne

et Loire), maddaleniana (dalla grotta

de La Madeleine a Tursac in

Dordogna). Lame di pietra, punte,

raschiatoi, bulini; lavorazione

dell’osso e del corno.

INCISIONI, GRAFFITI, PITTURA SU ROCCIA

manifestazioni di credenze religiose e

magiche

11.000 anni - oggi Homo sapiens sapiens, l’uomo at tuale.

122

Alcune sintesi matematiche, la cui struttura siaabbastanza vicina alla nostra architettura cerebrale, cisembrano intuiti ve, altre meno comprensibili.

Il cervello impara solo ciò che è collegato con le sueconoscenze di base, quindi anteriori, e costruisce il suoedificio matematico senza ingurgitare astruserie che nonpuò capire e che, per tal motivo, rigetta.

Scopo dell’insegnamento è allora nella strategiamigliore per porre su piani paralleli, o almeno nondivergenti, il bagaglio genetico matematico quasiindifferenziato che è in tutti noi, animali compresi, ed ilgrande tempio culturale che l’uomo ha creato proprio apartire da quella manciata di sinapsi comuni.

Si agevoli e si assecondi il pensiero intuitivo deidiscenti, si dia vita a discussioni maieutiche al fine dielaborare la sintesi di pensiero che meglio possa rappresen-tare il fenomeno in analisi e, attraverso frasi sempre piùlimate e sempre meno ridondanti (come si fa con le poesie),si cominci a sfrondare e ad astrarre, a sintetizzare eformalizzare. Verrà allora partorita quella che, a benragione, potremo chiamare la nostra regola, da confrontarepoi con quella della matematica garantita ed ufficiale.

Partendo dalla capacità espressiva del giovane, saràfacile giungere alla utilità delle scorciatoie che la notazionematematica simbolica permette.

Occorre però ripercorrere, nel cervello di ciascunallievo, la storia della matematica e delle sue motivazioni.

Il primum movens sarà allora nel come, cioè nelmetodo. Risulteranno fondamentale, per ben riuscire in taleoperazione, grandi investimenti statali per migliorare, di

II NN SS EE GG NN AA MM EE NN TT OO

L’as

tratto

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e

123

Le prime manifestazioni dell’arte rupestre (le pitture sullepareti delle grotte) hanno inizio forse intorno al 30.000 aC.La vera arte paleolitica è riconoscibile solo dopo il 20.000 eculmina intorno al 14.000 - 13.000.

Pittura

rupestre

della

grotta

di

Altamira,

Spagna

124

molto, la preparazione degli insegnanti, imponendo unarigorosa meritocrazia, mentre per gli istituti scolastici sidovrà ricorrere ad una effettiva concorrenzialità.

Non penso certo alla miseria dei concorsi a cattedra daiquali escono, in buon numero, o amichetti o compagnucci ochi non dovrebbe mai insegnare perché supera l’esame solograzie alla sua poderosa memoria rendendolo, al più, abileal propinamento di pastoni per oche o pappagalli.

Meritocrazia significa non solo attribuire grandissimovalore (fino a decuplicare lo stipendio) e potere culturale(totale gestione dell’Istituto) agli educatori carismatici,organizzatori di cultura insieme ai loro discenti. Significaanche dirottare in Arcadia (la Beozia va bene lo stesso),gran parte di quegli istruttori che ripetono ripetutamenteregole che il cervello del giovane non accetterà mai, ma checapirà e farà sue solo se le ricreerà da solo37, certo incollaborazione con il docente.

Lo studente deve fare congetture intorno ad unaqualsiasi problematica. L’insegnante deve intervenire almomento in cui sia necessario modificare una tesi del tuttoerrata, purchè non inibisca il gusto del congetturare.

Il modo migliore per capire e quindi imparare èquello di ipotizzare, di fare, di agire, di concretizzare, disentirsi piacevolmente protagonista.

La scuola non può consegnare ai giovani giustificazio-ni a posteriori di risultati che cadono dall’alto, tavole cheappartengono al limitato sapere dell’istruttore ripetitore.

Deve invece sviluppare nei giovani il senso dellacritica, della ricerca, della scoperta di elementi particolari,di regolarità, di irregolarità, di fenomeni dei quali lostudente stesso formalizzerà regole guida.L’

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Nel 1879, in Spagna, nella grotta di Altamira, sui MontiCantàbrici, furono scoperti molti disegni di animali(bisonti, cavalli, cervi) dipinti in rosso, decorati in nero eocra. Tutto il mondo conobbe allora l’esistenza di pitture dietà preistorica inserite in un complesso così vasto eimportante da far meritare alla grotta il soprannome diCappella Sistina della preistoria. Molte altre scoperte sono state poi effettuate in quasi tuttal’Europa, in Africa, in Asia.Nella lunga vita dell’uomo, dalla sua comparsa sulla terra(qualche milio ne di anni or sono) e dal suo passaggioall’evoluzione culturale (circa 500.000 anni fa), fino ad oggi,l’inizio della produzione figurativa è relativamente recente. Lo si fa risalire infatti a non oltre il 40-30.000 aC. È il periodo detto paleolitico (dal greco palaios, antico, elithos, pietra).Alcune scoperte archeologiche suggeriscono poi che l’ideadi numero e di figura sia addirittura molto più anticarispetto alla nascita della civiltà e della scrittura stessa:si è trovata traccia di conteggi da parte dell’uomo diNeanderthal, oltre cinquantamila anni fa; si sono scopertidisegni geometrici primitivi su rocce di oltre venticinquemila anni, all’epoca dell’uomo di Cro-Magnon.Particolarmente interessante è la scoperta di ossa dianimali, risalenti anche a venticinquemila anni fa,profondamente incise con intaccature riunite in gruppi dicinque o multipli di cinque.Dunque i primi vagiti, le prime urla, le prime radici,rispetto alla comparsa dell’uomo sulla terra, sono propriodi poco tempo fa.

3 5 . M A T E M A T I C A . . . . F A

126

Il libro di testo deve essere essenzialmente un libro dicultura, quindi si redige in classe e si pubblica in pienaautonomia. Questa è anche l’essenza del confronto e dellacompetizione per scuole private o non private, pubbliche osemipubbliche. Il programma di matematica diventaprogramma di storia della matematica con il corredo ditutto quello che serve per capire (storia, lingue, filosofia,italiano... ecc ecc). La storia ci propone l’umanità, nemostra ansie e tormenti, difficoltà ed errori; inserisce ilmatematico nella cul tura del suo tempo e quindi negiustifica i limiti, gli orienta menti e contribuisce ad unavisione completa ed unitaria del sapere. Il più freddoteorema diventa il frutto di una appassionata ricerca.

L’insegnante deve essere un organizzatore di cultura,in grado di sapere o di rivelare di non sapere ma disponibi-le a ricercare ed a studiare insieme agli studenti.

Durante il mio insegnamento presso il Liceo Classico,quante volte ho scoperto, nella biblioteca d’Istituto,preziosissimi libri di autori greci presenti nella edizionetedesca, in quella francese, in quella inglese, ma nontradotti in italiano. Mi sono domandato e mi domando:perché non si traducono insieme, in classe? Perché non sistampano un po’ di questi libri fatti in casa? I libri di testoelaborati in classe ogni anno si impreziosiscono, attraversola ricerca, di notizie, riflessioni, argomentazioni, cultura,con il lavoro comune di tanti studenti. Di eserciziari ce nesono a iosa, nei data base del computer. Basta acquistare,per consultazione, qualche altro libro di testo, d’autore od’Istituto, per controllare i risultati ottenuti. La scuola deveormai produrre cultura, non ripetere solo i pensieri deglialtri, da altri riportati (si facesse magari uso di documentiautentici o di testi originali, macché, tutto diventa unS

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3 6 . R I S O L V E R E U N P R O B L E M A

Risolvere un problema è il compito specifico

dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico

dell’uomo.

L’abilità di aggirare un ostacolo, di intraprendere

una strada indiretta, là dove non si presenta una

strada diretta, innalza l’animale intelligente sopra

quello ottuso, innalza l’uomo di gran lunga sopra il

più intelligente degli animali e gli uomini di talento

sopra i loro compagni di umanità.

Niente è più interessante per noi uomini della

attività umana.

L’attività umana più caratteristica è il risolvere

problemi, il pensare secondo uno scopo, l’inventare

metodi per raggiungere un fine desiderato.

Polya

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raccontino banalizzante, fantasioso... o un... bignamino). Si parla, spesso a sproposito, di competitività... come?Facendo elemosina a qualche insegnante di buona

volontà con l’assunsione di incaricucci o promovendo tutti,superfannulloni inclusi, così presidi e professori nonperdono posto e gli studenti si iscrivono a frotte?

O sarebbe opportuno che gli studenti possanoiscriversi ai corsi di un insegnante bravo, carismatico e chesappia motivare alla ricerca? E che nelle liste di quelli nonproprio bravi possa anche esserci nessun iscritto... e chequest’ultimo istruttore non possa più avere alcun ruolo nellagestione della scuola, mentre potrebbe aspirare benissimo adun incarico di collaboratore ecologico.

O vogliamo diabolicamente insistere in quella ipocrisiadella cosiddetta libertà di coscienza, perché i genitori puri,possano iscrivere i loro figli in una scuola ideologica?

Ma che c’entra la cultura con l’ideologia?Sfido chiunque a dimostrare quali siano i mirabolanti

insegnamenti che rendono, a loro dire, le scuole private,anche quelle con bravi insegnanti, così diverse, innovative,creative rispetto alle scuole pubbliche.

Si tratta invero di gruppi di insegnanti che, ad andarebene, arrotondano la pensione ridistribuendo il loro anticosapere oppure di giovani insegnanti costretti a subire anchela terribile amputazione dello stipendio, per accumularequella manciata di punti gradutoria che potrebbe portarli,sul limitare dell’età pensionabile, all’agognato e sospiratoruolo. Per gli insegnanti di religione invece è sufficiente, perentare in ruolo, la firma benedicente del loro caro vescovo!

Anche se la cattedra salta, a loro cosa interessa? Sono di ruolo, loro, alla barba di tutti gli altri colleghi! Proprio come avrebbe voluto il nostro amatissimo Cristo!N

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3 7 . C R E A R E L A M A T E M A T I C A

...la matematica è una creazione della menteumana. Essa non esiste al di fuori della mente umana eprende le sue qualità dalle menti degli uomini chel’hanno creata. Siccome la matematica è fatta dagli uomini edesiste soltanto nelle loro menti, essa deve esserefatta, o rifatta, nella mente di ogni persona chel’apprende. In questo senso la matematica può essere appresasoltanto creandola. Non crediamo che si possa fare una nettadistinzione tra le attività dei matematici cheinventano nuova matematica e le attività deglialunni che apprendono una matematica che ènuova per essi.Gli alunni ed i matematici hanno risorse diverse edesperienze diverse, ma tanto gli uni che gli altrisono coinvolti in uno stato creativo. Vogliamo sottolineare il fatto che la matematica cheun alunno conosce è, in un senso reale, un suopossesso, perché l’alunno l’ha creata con un attopersonale.

Notes on Mathematics in Primary Schools, documentodell’Associazione degli insegnanti di matematica inglesi

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LL EE NN OO SS TT RR EE RR AA DD II CC II

VI secolo aC: erede dei matematici egiziani ebabilonesi, la civiltà greca (uno degli iniziatori fu Talete)rese la matematica una disciplina in cui regole empirichetratte dalla quotidianità venivano trasformate in pensieroordinato e sistematico.

Nacquero allora i processi principali su cui basa la suaorganizzazione logica: l’astrazione (ricavare una regolagenerale dall’osservazione di fenomeni diversi), ladeduzione (partendo da alcune premesse, ricavare unaconclusione coerente con le assunzioni del ragionamento).

La geometria si caratterizzò con l’idealizzazione deglienti geometrici.

Triangoli, poligoni, cerchi diventano enti liberati dallamateria; enti geometrici razionali, cioè punto senzadimensioni, linea senza larghezza, superficie senza spessore.

Astrazioni di altissimo livello.I greci svilupparono la matematica più complessa

dell’antichità e le nozioni di questa scienza furono poiconservate e accresciute nel mondo islamico per essereinfine trasmesse, nel Basso Medioevo, all’Occidente latino.

La cultura greca è dunque una delle illustri basi dellaciviltà occidentale38: ci ha consegnato opere sublimi diletteratura, gli inizi della filosofia, della storia, le primeanalisi della fisica, la generalizzazione nella matematica.

L’italiano è una lingua neolatina, ma la civiltà latinasi è formata nell’ambito del l’ellenismo, sia pure concaratteristiche sue proprie. Tr

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3 8 . E L A B A L L A T A . . .Ballo: mettere, gettare

SIMBOLOSumbolon, simbolon (contromarca, per indicare le duemetà o parti corrispondenti di unoggetto che venivano conservate da due diverse persone al fine dipotersene servire come segno diriconoscimento). Da sumballw, simballo (mettere insieme, unire), composto di sun, sin(insieme) e ballw, ballo.

BOLIDEBolij, bolis (giavellotto,proiettile). Da ballw (scagliare) quindi dardo scagliato, bolide.

EMBOLOEmboloj, embolon (cosa appuntita che si introduce). Da emballw (gettare in) quindischieramento di battaglia a cuneo, rostro ferrato,sperone. Oggi anche formazione estranea, solida,liquida o gassosa, presente nel sangue.

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Gli uomini di cultura romani parla vano greco e latino.Cicerone usava spesso espressioni greche. Plutarco

riferisce che Giulio Cesare gridò le sue ulti me parole ingreco. Gli imperatori Marco Aurelio e Giuliano scrivevanoin greco. Non si può insomma immaginare la civiltà romanasenza quella greca.

La moderna civiltà di massa è oggi invece dominatadalla scienza e dalla tecnologia, quindi, dalla matematica,che è il linguaggio della scienza.

La cultura oggi non si identifica più esclusivamente conquella classica, però, in un mondo governato dalla matemati-ca, la tradizione classica, greca o latina, rappresenta il segnodella nostra identità culturale, le nostre stesse radici, di cuiabbiamo bisogno per capire più e meglio.

In una cultura tenden zialmente massificante comequella moderna, perdere l’identità culturale è un rischiopossibile, forse incombente.

La produzione industriale che impone gli stessioggetti su tutti i mercati, i mass media che diffondonoinformazioni standardizzate, la pubbli cità che regola inostri desideri in funzione dei bisogni dei poteri forti inter-nazionali, sono un rischio per la nostra capacità di pensareautonomamente, per la nostra stessa libertà di pensiero.

Lo studio della matematica, inteso a partire dallenostre radici culturali, o in esse intriso, ci avvia a ritrovare leno stre origini e può aiutarci a portare un contributorilevante di civiltà e di cultura al villaggio globale in cuisiamo ormai costretti a vivere.

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IPERBOLEUperbolh, iperbole (il gettaroltre). Da uper, iper (oltre, al disopra) e ballw, lancio oltre,esagerazione (ben 4 asintoti!). L’perbole è anche figura retorica che consiste nell’intensificare ed esagerare una espressione.

PROBLEMAProblhma, problema. Da pro pro (prima,davanti) e ballw (pongo) quindi proporre,questione da risolvere.

DIAVOLODiaboloj,diabolos(calunniatore,avversario. Da dia, dia(in mezzo a,attraverso) eballw(gettare) quindi tentatore, calunniatore, seminatore di zizzania

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AA RR RR II VV EE DD EE RR CC II

La differenza tra la presenza di un essere isolato o diun gruppo di esseri; la grandezza variabile tra enti dellasetssa natura; le forme disuguali, dei corpi e degli oggetti; laoccasionale presenza di un nuovo ente, la sua scomparsa...tutto ciò ha sicuramente condotto ad alcune embrionaliregole o ad abbozzi di comportamento: le osservazioni, lamemorizzazione, le differenze, l’ordine, le relazioni.

E’ chiaro che latente sull’intero processo conoscitivo èil concetto di esistenza e di unicità.

Tratti di similarità tra unicità, tra entità fisicheconcrete, concorrono allo sviluppo ed al fiorire di uno deimeccanismi mentali di base per lo sviluppo dell’uomo:una corrispondenza che condurrà, lentamente, alla chiavedi volta della matematica stessa:

la corrispondenza biunivoca.

Nel prossimo volume cioccuperemo dell’ampliamen-to del senso del numero, dellacorrispondenza biunivoca,dei metodi per ricordare eper elaborare quantitàsuperiori al tre, del contare,delle numerazioni.

Buona rilettura.La

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ANCHE PARLARE.... ED ANCHE TUTTOQUELLO CHE AVETE LETTO E’....

MATEMATICA!

Arrivederci al prossimo volume:LA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

ELA NUMERAZIONE

PARABOLAParabolh, parabola (comparazione, paragone,illustrazione, analogia. Da para, para (accanto, in confronto) e ballw (mettere) quindi metto a lato, paragono, percorso indiretto, racconto allegorico.PARABOLA... PARABOLARE... PARAB’LARE...

PARAULARE... PARLARE!

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LA TAVOLA DEL DIECI

1 - Elaborare una bibliografia ragionata (cartaceo - elettronico)sulla storia della matematica; confrontare notizie, vagliarel’attendibilità e la serietà dei documenti, degli articoli, dei libri

2 - Ricercare e catalogare, nella loro successione temporale, graffiti e simboli su pietra, legno, osso, foglie, papiri, ostracon

3 - Ricercare storia, nascita, etimologia di tutte le parole ed i simboli della matematica

4 - Organizzare corsi di greco per le parole della matematica, qualunque sia l’istituto di appartenenza

5 - Studiare ed analizzare l’età del sistema solare, della terra, delle sue ere e paragonare quei tempi con la vita che conosciamo ed i tempi che trascorriamo

6 - Seguire, anche attraverso Internet, i risultati delle ricerche di centri universitari specialistici sul senso del numero, delle forme, dei colori da parte di uomini primitivi e di animali

7 - Approfondire la conoscenza di alcuni animali, non solo dalpunto di vista comportamentale

8 - Escogitare metodi per provare il senso del numero su animali disponibili. Le ipotesi da seguire, da cambiare, da raffinare, sotto la guida di un educatore, possono contribuire molto a fabbricarsi un ottimo metodo di analisi e di lavoro. Un metodo infatti non è un pacco dono. Un metodo si vive, si attraversa, si realizza con determnazione e continuità, si perfeziona in itinere, anche dietro l’esempio dell’insegnante

9 - Giornata della memoria: ad ogni studente una copia di una testo letterario, filosofico o poetico. Poi discussione e analisi personale di quanto capito dalla lettura stessa

10 - Il vostro insegnante è pagato per essere un educatore: se sa comunichi bene, se non sa lo dica e vada a studiare o a ricercare insieme a voi.

Il Senso del Numero

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