Il quadrilatero è il più comune tra i poligoni ed è presente nelle forme e negli oggetti che ci circondano.

DOMANDACostruibilità di un

quadrilatero

Attività didattica:

Costruiamo dei quadrilateri con cartoncino e graffette a farfalla e facciamo notare che i quadrilateri sono figure deformabili rispetto ai triangoli.

Domande:

- Quanti vertici hanno?

- Quanti lati hanno?

- Quanti angoli hanno?

- Quante diagonali hanno?

- I lati, gli angoli e i vertici sono in ugual numero?

Definizione: Un poligono con quattro lati e quattro angoli si dice quadrilatero.

Possiamo notare che il quadrilatero può essere visto come la somma di due triangoli:

La somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre 360°.

Osservazione

Osserviamo questi oggetti ed individuiamo tra essi i trapezi presenti:

Definizione: Il trapezio è un quadrilatero particolare avente 2 lati paralleli; se gli altri due non sono paralleli si dicono lati obliqui.

I trapezi possono essere classificati in tre categorie:

isoscele

scaleno

rettangolo

Trapezio scaleno

Non gode di particolari proprietà; i lati obliqui non sono congruenti

Possiamo notare che le rette r ed r’, parallele tra loro, se tagliate da due trasversali s ed s’, formano coppie di angoli coniugati interni che sono

supplementari.

Trapezio rettangolo

I lati obliqui non sono congruenti ed uno di essi è perpendicolare alle basi

Trapezio isoscele

Il trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti

Attività didattica:

Creiamo, con cartoncino e forbici, un trapezio isoscele e disegniamo la perpendicolare alle due basi passante per i punti medi. Procediamo come in figura:

Ripiegando il cartoncino lungo la perpendicolare MN, notiamo che le due parti coincidono.

DOMANDA

Cosa si può dedurre?

Riutilizziamo il trapezio precedente e disegniamo le due perpendicolari AH e DK.

Come prima ripieghiamo il cartoncino lungo la perpendicolare MN.

DOMANDA

Cosa si può dedurre?

Adesso creiamo un altro trapezio, in carta velina, uguale al primo e tracciamo le diagonali come in figura.

Ribaltando orizzontalmente il secondo trapezio e sovrapponendolo sul primo, notiamo che le diagonali coincidono

DOMANDA

Cosa si può dedurre?

Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti

OSSERVAZIONE: Possiamo osservare che un trapezio rettangolo, isoscele o scaleno, può essere ottenuto tagliando un triangolo rispettivamente rettangolo, isoscele o scaleno con una retta parallela alla base:

Definizione: Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti a due a e paralleli.

Ovviamente il parallelogramma possiede le proprietà dei trapezi a cui si aggiungono le seguenti:

1. In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti

sono angoli coniugati interni rispetto a coppie di rette parallele tagliate da una trasversale e quindi supplementari

2. In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti

Consideriamo un parallelogramma e la sua diagonale AC: questa lo divide in due triangoli che sono congruenti per il III criterio di congruenza dei triangoli. Come conseguenza possiamo dire che gli angoli B e D sono congruenti.

Se consideriamo la diagonale BD, faremmo le stesse deduzioni per cui otterremmo che anche gli angoli A e C sono congruenti.

3. In un parallelogramma le diagonali si incontrano in un punto che le divide in due parti congruenti (punto medio)

Consideriamo il parallelogramma ABCD e le sue diagonali: notiamo che si incontrano in un punto O.

Tagliamo il parallelogramma in due triangoli secondo la diagonale AC. I due triangoli ACD e ABC sono congruenti per il primo criterio, quindi posso sovrapporli facendoli coincidere perfettamente. Osserviamo quindi che: OB = OD.

La stessa considerazione possiamo farla tagliando il parallelogramma lungo la diagonale DB constatando ancora che: ADB = DBC per cui AO = OC. Quindi possiamo affermare che un parallelogramma è diviso da ciascuna delle diagonali in due triangoli congruenti.

Definizione: Il rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti (e quindi retti).

DOMANDA

Quali tra i seguenti poligoni è un rettangolo?

I seguenti poligoni sono tutti dei rettangoli!

Ovviamente il rettangolo possiede le proprietà dei parallelogrammi a cui si aggiunge la seguente:

Le diagonali di un rettangolo sono congruenti.

Dimostrazione: I triangoli DAB e DCB sono congruenti poiché hanno cateti congruenti e di conseguenza anche AC=BD.

Riassumiamo le tutte le proprietà di cui gode il rettangolo:

I lati opposti sono congruenti e paralleli a due a due

I quattro angoli sono congruenti e quindi retti

Le diagonali sono congruenti e si bisecano (si incontrano nel punto medio)

Definizione: Il rombo è un parallelogramma avente tutti e quattro i lati congruenti.

Poiché i rombi sono particolari parallelogrammi, per essi devono valere tutte le proprietà relative ai parallelogrammi, alle quali si aggiungono le seguenti:

Le diagonali sono perpendicolariLe diagonali sono bisettrici degli angoli interni opposti

Attività didattica:

Costruiamo, in carta velina, un rombo come in figura e proviamo le due proprietà:

Pieghiamo il rombo lungo le diagonali e notiamo che i triangoli DOC, COB, BOA, AOD sono congruenti e che l’angolo in O di ciascun triangolo è di . Pertanto le diagonali risultano perpendicolari tra loro.

Dalla congruenza dei 4 triangoli DOC, COB, BOA, AOD segue anche che:

quindi le diagonali sono bisettrici degli angoli interni opposti.

Definizione: Il quadrato è un parallelogramma avente tutti i lati congruenti e tutti gli angoli retti e quindi congruenti.

Possiamo considerare il quadrato come un parallelogramma che gode sia delle proprietà del rettangolo sia delle proprietà del rombo. Riassumiamole:

I lati sono tutti e 4 quattro congruenti e a due a due paralleli Gli angoli sono tutti retti Le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli e si bisecano E’ un poligono regolare

L’esame dei quadrilateri e dei suoi sottoinsiemi può essere visualizzato con un diagramma di Eulero-Venn:

QUADRILATERI

ROMBI RETTANGOLI

PARALLELOGRAMMI

TRAPEZI

QUADRATI

MAPPA CONCETTUALE

QUADRILATERI

POLIGONI

DELTOIDI

TRAPEZI

PARALLELOGRAMMI

ROMBI

QUADRATI

RETTANGOLI

SCALENO

ISOSCELE

RETTANGOLO

sono

sono

possono essere

possono essere

possono essere

possono essere

possono essere

sono