ﯽﻄﺧ يﺮﺒﺟ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣwp.kntu.ac.ir/mojra/Algebric...

جبري خطیمعادالتحل دستگاه

خطیجبربرايمقدمه•:زیربصورتاستدستگاهیمجهولnبامعادلهnخطیدستگاهیک•

•

+ +⋯+ =+ +⋯+ =⋮+ +⋯+ = ;• = ( ) × , = , … , , = ,… , → =

•Aضرایب،ماتریسXومجهوالتبردارBداردنامدومطرفبردار..گویندغیرهمگنغیراینصورتدروباشدمیهمگنخطیدستگاهآنگاهB=0اگر•میX=A-1Bیکتايجوابدارايدستگاهآنگاهباشد،پذیرمعکوسAماتریساگر•

.استX=0نیزهمگنحالتدروباشد

Session8: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

1/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه :اینکهبهتوجهبا•

– = ( ) = & = −–AijسطرکردنحذفازحاصلدترمینانiستونوامiماتریسامAباشدمی.

• = → = −−• = →• = + − +− + −+ − +


2/30


نامکرامرروشباشد،میماتریسمعکوسمحاسبهبرمبتنیکهروشاین•.دارد

:کنیدحلماتریسمعکوسروشازاستفادهبارازیرخطیدستگاه:مثال•

•+ =+ =

:حل•

• = , = , , = ≠• , = = [ . , . ]


3/30


اجراقابلسادگیبهباالابعادباهايدستگاهبرايمعکوسماتریسروش•نیازضربعمل!nبهnxnماتریسیکدترمینانمحاسبهبراي.باشدنمی

رخداداحتمالافزایشوباالزمانصرفباعثمحاسباتبااليحجم.داریم.گرددمیخطا

بسیاررامحاسباتحجمکهکنیممیمعرفیراروشهاییبخشایندر•بادستگاهیکبهتبدیلراخطیمعادالتدستگاهودهندمیکاهش

حلبرايونمایدمیقطريیاومثلثیپایینمثلثی،باالضرایبماتریس.باشندمیمناسبباالابعادبادستگاه


روش هاي مستقیمروش هاي مستقیم

4/30


:سطريعملیاتمعرفی•ماتریسیکدردلخواهسطردوجابجایی•

• ↔ثابتمقداریکدرسطریکضرب•

• →دیگرسطردرمتناظرمقادیربهسطریکازمضربینمودناضافه•

• → +


اعمال عملیات سطري مقدماتی، در جواب دستگاه معادالت .خطی تغییري ایجاد نمی نماید

اعمال عملیات سطري مقدماتی، در جواب دستگاه معادالت .خطی تغییري ایجاد نمی نماید

5/30


.باشدمییکتاجوابدارايAX=Bخطیمعادالتدستگاهکنیمفرض•استفادهبااگرگوییممعادالتدستگاهاینافزودهماتریسرا[A:B]ماتریس

مثلثی،باالماتریسیکبهتتبدیلراAماتریسمقدماتیسطرياعمالاز.نماییمقطريیاومثلثیپایین

• : = … . .… . . ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮ ⋮… . . ⋮ →Session8: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

روش حذفی گاوس و گاوس جردنروش حذفی گاوس و گاوس جردن

6/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه :مثلثیباالماتریس•

• : = ′ … . .… . . ′ ⋮ ′′ ⋮ ′⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮… . . ⋮ ′»0«بابرابراصلیقطرپایینعناصرکلیه،»1«بابرابراصلیقطررويعناصرکلیه•:بهگرددمیتبدیلAX=Bخطیمعادالتدستگاهاینصورتدر•

•

+ ′ + ′ + ⋯+ = ′+ ′ + ⋯+ = ′+⋯+ = ′⋮ + = ′= ′Session8: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

7/30


:باشدمیزیربصورتخطیدستگاهجواببنابراین•

•

= ′= ′ − ′ ′⋮= ′ − − −⋯−− ′.شودمیگفتهگاوسپسروحذفیروشروش،اینبه•حذفیروشاستفادهموردروششود،مثلثیپایینماتریسیکبهتبدیلAماتریساگر•

.بودخواهدگاوسپیشرو


8/30


بدسترازیرخطیدستگاهجوابگاوسپیشروحذفیروشازاستفادهبا:مثال•:آورید

•+ − =− − =+ − = −


9/30


:داشتخواهیمبنابراین•• = ; = + = , = + − =


10/30


LUبصورترا)Aماتریس(خطیدستگاهضرایبماتریسروشایندر•باالماتریسیکUومثلثیپایینماتریسیکLآندرکهکنیممیتجزیه:داشتخواهیماینصورتدر.استمثلثی

• = → =:داشتخواهیمUX=Yفرضبا•

• =استمثلثیپایینماتریسیکLY=Bخطیدستگاهضرایبکهشودمیمشاهده•

ازسپس.آوریممیبدستراYگاوسپیشروحذفیروشازاستفادهبانتیجهدرUX=YگاوسپسروحذفیروشازاستفادهباوXآوریممیبدسترا.


LUروش تجزیه LU decomposition (factorization)

LUروش تجزیه LU decomposition (factorization)

11/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه مثلثی؟پایینوباالماتریسدوبهضرایبماتریستجزیهنحوه:نکته•

:داشتخواهیمکنیم،استفادهماتریسهاضربازچنانچه•

•

==⋮+ + =نمیواحدجوابدارايدستگاهاینبنابراین.داشتخواهیممجهول12ومعادله9•

.باشد


12/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه قرارواحدمقداربرابرراUیاوLماتریسدوازیکیاصلیقطررويعناصر:حلراه•

:دهیمروشراروشباشد،یکاصلیقطرعناصربامثلثیپایینماتریسیکLاگر•

Doolittle).گوینددولیتل algorithm)کروتروشراروشباشد،یکاصلیقطرعناصربامثلثیباالماتریسیکUاگر•

Crout).گویند algorithm)A=LیعنیU=LTاگر• LTگویندچولسکیراروشدراینصورت.(Cholesky

decomposition)


13/30


:آوریدبدسترازیرخطیدستگاهجوابکروتروشازاستفادهبا:مثال•

•+ + =+ − =+ + =

یکUآندرکهکنیممیتجزیهLUبصورتراAماتریسروشایندر:حل•:استیکاصلیقطرعناصربامثلثیباالماتریس


14/30


• = , = , =• = , = , =• = − , = , = −

:داریمبنابراین•• = →

:آوریممیبدستگاوسپسروحذفیروشازاستفادهبا•• = − ; = − , =

:کنیممیحلراUX=Yدستگاهاکنون•


15/30


:آوریممیبدستگاوسپسروحذفیروشازاستفادهبا•• = − ; = , =

اینبیانبراي.استپذیرامکانخاصیشرایطتحتچولسکیتجزیه•:کنیممیتعریفابتداشرایط،


16/30


Xهربازايهرگاهگوییم،معینمثبتماتریسیکراA=(aij)nxnماتریس•:باشیمداشتهصفرمخالف

• >.استمعینمثبتماتریسیکزیرماتریسدهیدنشان:مثال•

•:حل•

• = ≠Session8: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

ماتریس مثبت معینPositive definite matrix

(symmetric)

ماتریس مثبت معینPositive definite matrix

(symmetric)

17/30


• = = + + + =+ + = + + >.استمعینمثبتماتریسیکAماتریسپس•

:اینستکهAماتریسبودنمعنمثبتبرايکافیشرط•.باشند(مثبت)صفرازبزرگتراصلیقطررويعناصرتمامی•.باشندسطرهردرمقداربزرگتریناصلیقطررويعناصر•:هربراي•

• ∀ ≠ : + > | |.باشدصفرازبزرگترAدترمینان•


18/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه است؟معینمثبتماتریسیکAماتریسآیا:مثال•

• = 11 2 32 15 123 12 18.باشندمیصفرازبزرگتراصلیقطررويعناصرتمامی•.باشندمیسطرهردرمقداربزرگتریناصلیقطررويعناصر•:هربراي•

• ∀ ≠ : + > | |• = >

.استمعینمثبتماتریسیکAماتریسپس•توانمیچولسکیتجزیهروشدرباشد،متقارنومعینمثبتماتریسیکAاگر•

:نوشت• A=L LT


19/30


.آوریدبدستچولسکیروشازاستفادهبارازیردستگاهجواب:مثال•

•+ + =+ + =+ + =

توانمیپس.استمعینمثبتمتقارنماتریسیکدستگاهضرایبماتریس:حل•:نمودتجزیهزیرصورتبهراAضرایبماتریس

• A=L LT

• =

.باشندمیماتریسهايدرایهآندرونعناصرواستماتریسنشاندهنده||عالمت•


l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33

l11 l21 l310 l22 l320 0 l33

1 4 54 20 325 32 64

20/30


:آیدمیبدستزیرصورتبهLماتریس•

• = → = [ ]• = → = [ ]


1 0 04 2 05 6 3

21/30


پیچیدگیازدترمینانمقدارمحاسبه3ازباالترابعادباماتریسهايبراي•ماتریسآوردنبدستدردترمینانمحاسبهبهنیاز.استبرخوردارزیادي

استفادهبابخشایندر.داردزیادياهمیتآنبهوابستهمسائلومعکوس.پرداختخواهیمماتریسیکدترمینانمحاسبهبهLUتجزیهروشاز

:داشتخواهیم،A=LUآنجاییکهاز•• = = ( )


LUمحاسبه دترمینان در روش تجزیه Computing Determinant in LU decomposition

LUمحاسبه دترمینان در روش تجزیه Computing Determinant in LU decomposition

22/30

جبري خطیمعادالتحل دستگاه جداگانهLUتجزیهروشسهازیکهردررادترمینانمحاسبهادامهدر•

:دادخواهیمقراربررسیمورد:دولیتلروش•

• = = ∏ = …• = −

:کروتروش•• = = ∏ = …• = −


23/30


:چولسکیروش•• = , = → =• = ( )

.نماییدمحاسبهراضرایبماتریسدترمینانمقدارقبلمثالدر:مثال•:حل•:باشدمیزیربصورتLماتریسشد،محاسبهکههمانطور•

• = − = → = =Session8: Numerical Analysis Dr. Afsaneh Mojra

1 0 04 2 05 6 3

24/30

حل دستگاه معادالت جبري غیر خطی

بررسیموردراغیرخطیمعادالتدستگاهحلبرايروشیکبخشایندر•تعمیمروشاین.داردنام)سادهتکرار(ثابتنقطهروشکهدهیممیقرار

.باشدمیمعادلهریشهیافتنبرايثابتنقطهروش

:بگیریدنظردررازیرمجهولnمعادلهnغیرخطیدستگاه•• , , … , =• , , … , =• ⋮• , , … , =


25/30

غیر خطیحل دستگاه معادالت جبري

.آوردبدستمجهوالتسایرحسببرراxiبایدامiمعادلهدرثابتنقطهروشدر•• = , , … ,• = , , … ,• ⋮• = , , … ,

باشد،دستگاهاینجوابازاولیهتقریبیکXاگر•• = , … ,

:تکراريدنبالهدراینصورت•• ( ) = = , , , …

حالتمشابههمگراییشرایط.باشدمیغیرخطیمعادلهدستگاهجواببههمگرا•.گرفتقراربحثموردقبالًکهاستبعديیک


26/30


برآوردصورتیبهزیراولیهتقریبباسادهتکرارروشبارازیردستگاهجواب:مثال•:باشدبرقرارزیرشرطکهکنید

• = . , . , − . , ( ) − ( ) <•

− ( ) − =− + . + + . =+ + =:مجهوالتسایرحسببرامiمعادلهدرxiبازنویسی:حل•


27/30


•

= ( ) += + + . − .= − ( + ):آیددرمیزیربصورتثابتنقطهدنبالهبنابراین•

•

( ) = ( ( ) ( )) +( ) = + ( ) + . − .( ) = − ( ( ) ( ) + ):استشدهآوردهجدولدرk=1,2,..,5بازاينتایج•


28/30


:استزیربصورتدستگاهجوابتقریببنابراین•• ≅ ( )


k X1(k) X1(k) X1(k) X1(k)-X1(k-1)

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000 -1 0.4999833 0.0944115 -0.523110127 0.4232 0.4999593 0.0002557 -0.52336331 9.4*10-3

3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2.3*10-4

4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1.2*10-5

5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3.1*10-7

29/30


:بااستبرابردستگاهواقعیجواب•

• = . , , −:خطا•

• − ( ) ≤ ×.باشدمیدستگاهجواببرايخوبیتقریبپنجممرحلهجواب•


30/30

ﯽﻄﺧ يﺮﺒﺟ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣwp.kntu.ac.ir/mojra/Algebric...

Documents

Transcript of ﯽﻄﺧ يﺮﺒﺟ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣwp.kntu.ac.ir/mojra/Algebric...