.

HIMPUNANPengertian:Himpunan/kumpulan/set adalah kumpulan objek-objek atau unsur-unsur yang dapat dirumuskan (diterangkan) secara tegas dan dapat dibeda-bedakan antara satu dengan yang lainnya.Ciri-ciri Himpunan:Penulisan himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, ,ZPengelompokan objek atau unsur-unsur ditulis dengan huruf kecil, dipisahkan dengan tanda koma dan ditempatpan diantara dua kurung kurawal.

Penulisan Himpunan:Daftar/Roster Yaitu seluruh objek dituangkan secara lengkap2. KaedahYaitu penulisan dengan menggunakan batasan-batasan atau rumusan tertentu.

Contoh:A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }B adalah bilangan Asli yang lebih dari 5 dan kurang atau sama dengan 15B = { x | 5 < x 15 , x A}C adalah bil bulat lebih dari atau sama dengan -3 tetapi kurang dari 10 C = { x | -3 x < 10 , x B } D adalah bilangan ganjil kurang dari 30 D = { x | x < 30 , x A }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanyaJawaban: = { 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 }1. B = { x | 5 < x 15 , x A}2. C = { x | -3 x < 10 , x B }3. D = { x | x < 30 , x A }

Keanggotaan Suatu HimpunanContoh:A = { 1, 3, 5, 7, 9 }B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }1 A1 B3 A3 B5 A5 B7 A7 B9 A9 B2 B2 A4 B4 A6 B6 A8 B8 A10 B10 ABanyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 12 B12 ACatatan:Lambang dibaca elemen atau anggotaLambang dibaca bukan elemen atau bukan anggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau Contoh :F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)Sekarang cobalah kalian membuat notasi himpunan yang mendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)

Himpunan LepasDefinisi:Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh :L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // GHimpunan Tidak Saling LepasDefinisi:Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang samaContoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Q

Himpunan SemestaDefinisi :Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakanContoh :A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }D = { 2,3,5,7,11 }E = { 0, 2, 4, 6 }Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan DSetiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

HIMPUNAN BAGIANDefinisi:A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A BContoh:S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, CKarena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B AKarena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C A

Rumus Banyaknya Himpunan BagianJika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)Contoh:Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikutA = { a, b, c }B = { 1, 2, 3, 4, 5 }C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }Jawab:n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan SamaDefinisi:Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnyaContoh :A = { a, e, i, o ,u} ; B = { u, a, i, o, e } Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,i,u,e, dan o maka himpunan A = BHimpunan EkuivalenDefinisi:Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak samaContoh :P = { a, e, i, o, u } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

2. Irisan Dua Himpunan (Interseksi) / Definisi:Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan yang keanggotaannya adalah semua anggota yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P QP Q = { d, e }Jawab :1. Gabungan Dua Himpunan ( Union) / Definisi:Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan yang keanggotaannya adalah semua anggota himpunan A atau anggota himpunan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P QJawab :P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }OPERASI HIMPUNAN

4. Pelengkap (Komplemen) / Definisi:Komplemen himpunan A ditulis adalah himpunan yang keanggotaannya adalah bukan anggota himpunan AContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan = { f,g, h }Jawab :3. Selisih Dua Himpunan / ( - ) Definisi:Selisih himpunan A dan B ditulis A - B adalah himpunan yang keanggotaannya adalah hanya anggota himpunan A saja bukan anggota himpunan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P - QJawab :P - Q = { a, b, c }

Diagram VennGunanya untuk memberikan gambaran yang sistematis tentang hubungan-hubungan antar sub himpunan dalam suatu himpunan universal. 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengahBuatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadiLingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunanSelanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan ituBuatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkapLangkah-langkah menggambar diagram venn:

Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }A = { 1,2,3,4,5,6 }B = { 2,4,6,8,10 }C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atasJawab:632415810912ABCS71113146 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B0

Contoh 2:Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab:N(S) = 32Misalnya : A = {siswa gemar melukis}n(A) = 21B = {siswa gemar menari}n(B) = 16A B = {siswa gemar keduanya}n(A B) = 10Perhatikan Diagram Venn berikut10AB116S5a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukisb. Ada 6 siswa yang hanya gemar menaric. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3:Diketahui : S = { x | 10 < x 20, x B }M = { x | x > 15, x S }N = { x | x > 12, x S }Gambarlah diagram vennyaJawab :S = { x | 10 < x 20, x B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { x | x > 15, x S } = { 16,17,18,19,20}N = { x | x > 12, x S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}M N = { 16,17,18,19,20 }1617181920MN131415S1112Diagram Vennya adalah sbb: