Matematika himpunan
-
Upload
dattebayo90 -
Category
Education
-
view
32.186 -
download
5
Transcript of Matematika himpunan
![Page 1: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/1.jpg)
HimpunanAnggota Kelompok : 1. Aulia Rahman
2. Nur Faizin P.3. Rivan Pratama4. Umam Muarif
TKJ 1B
![Page 2: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/2.jpg)
Notasi Himpunan Himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi
dengan jelas; artinya, kita selalu dapat menentukan apakah sebuah objek termasuk dalam koleksi atau tidak.
Nama himpunan ditulis dengan menggunakan huruf besar
A,B,H,S,U,...,
sedangkan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil
a,b,h,s,u,....
![Page 3: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/3.jpg)
Beberapa contoh himpunan. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 10.
B adalah himpunan huruf hidup dalam abjad bahasa Indonesia.
C adalah himpunan kuadrat bilangan asli. K adalah himpunan mahasiswa yang memiliki IPK
lebih dari 3. M adalah himpunan mahasiswa PNJ.
![Page 4: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/4.jpg)
Keanggotaan Himpunan Untuk menyatakan bahwa sebuah objek a
adalah anggota sebuah himpunan A kita menggunakan notasi
a A. Sedangkan notasi
a A.
berarti a bukan anggota himpunan A.
![Page 5: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh:
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }1 A 1 B
3 A 3 B5 A 5 B7 A 7 B9 A 9 B
2 B 2 A4 B 4 A6 B 6 A8 B 8 A
10 B 10 A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6
12 B 12 A
Catatan:
Lambang dibaca “elemen” atau anggotaLambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal
![Page 6: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/6.jpg)
Diagram VennHimpunan dapat digambarkan dengan
diagram Venn. Dalam diagram ini himpunan semesta digambarkan sebagai empat persegi panjang sedangkan himpunan-himpunan di dalamnya digambarkan sebagai lingkaran atau bentuk geometri lain.
Anggota himpunan biasanya dinyatakan sebagai titik.
![Page 7: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/7.jpg)
Diagram VennLangkah-langkah menggambar diagram venn1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang
melingkupi anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap
![Page 8: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh:Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 }
B = { 2,4,6,8,10 }
C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan
himpunan di atasJawab:
6
3
2 4
15
8 10
9
12
A
B
C
S
7
11
13
14
6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C
2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B
0
![Page 9: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan
B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B Diagram Venn:
U
AB
![Page 10: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Contoh Himpunan Bagian (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C
![Page 11: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/11.jpg)
11
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
A B berbeda dengan A B (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
![Page 12: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Himpunan Kuasa (Power Set)Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
![Page 13: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Perampatan Operasi Himpunan
n
iin
AAAA1
21...
n
iin
AAAA1
21...
i
n
inAAAA
121...
i
n
inAAAA
121...
![Page 14: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Contoh : (i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A
Bn)
n
ii
n
ii
BABA11
)()(
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
![Page 15: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Hukum-hukum HimpunanDisebut juga sifat-sifat (properties)
himpunanDisebut juga hukum aljabar himpunan
1. Hukum identitas: A = A A U = A
2. Hukum null/dominasi: A = A U = U
3. Hukum komplemen: A A = U A A =
4. Hukum idempoten: A A = A A A = A
![Page 16: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/16.jpg)
16
5. Hukum involusi: )(A= A
6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A
8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
10. Hukum De Morgan: BA = BA BA = BA
11. Hukum 0/1 = U U =
![Page 17: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/17.jpg)
Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan BContoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q
P Q = { d, e }
Jawab :
Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan BContoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q
Jawab : P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }
![Page 18: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/18.jpg)
18
PartisiPartisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a) A1 A2 … = A, dan (b) Ai Aj = untuk i j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
![Page 19: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh : (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
![Page 20: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A B = A . B . 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
![Page 21: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = A B = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
![Page 22: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian: (a) P() = {} (b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
![Page 23: Matematika himpunan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081420/558624b0d8b42ac54a8b45ef/html5/thumbnails/23.jpg)
TERIMA KASIH ATAS
PERHATIANNYA