MATEMATIKA BISNIS Dosen

Hikmah Agustin,SP.,MM

Politeknik Dharma Patria Kebumen

2016

Himpunan

• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas.

• KONSEP HIMPUNAN ▫ Himpunan (set) sekumpulan obyek yg dapat dibedakan secara tegas ▫ Obyek yg membentuk sebuah himpunan disebut anggota/elemen/unsur. ▫ Secara umum himpunan dilambangkan dgn huruf besar,sedang anggota berhuruf

kecil

Penulisan

• Penulisan himpunan : cara daftar & cara kaidah • Contoh

• A = {1,2,3,4,5} cara daftar

• A = {x; 0 < x < 6} cara kaidah atau

A = {x ; 1 ≤ x ≤5} B = {x; x adalah bilangan gasal}

xS berarti objek x adalah unsur himpunan S xS berarti objek x bukan unsur himpunan S

PENYAJIAN HIMPUNAN

1. Cara daftar : Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Contoh : HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS

SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4} 2. Cara Kaidah : Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi

anggota himpunan tersebut . Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi

oleh anggotanya. Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Keanggotaan Suatu Himpunan

Contoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 A 1 B

3 A 3 B

5 A 5 B

7 A 7 B

9 A 9 B

2 B 2 A

4 B 4 A

6 B 6 A

8 B 8 A

10 B 10 A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

12 B 12 A

Catatan: Lambang dibaca “elemen” atau anggota Lambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

Jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua

objek pembicaraan. Simbol himpunan semesta : S atau U. 2. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan

dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : ∅ atau { } Contoh : E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 P = {orang Indonesia yang pernah ke mars}, maka n(P) = 0

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan

bagian dari A.

Jika tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A Contoh : Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

Himpunan Saling Lepas

• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika ke

duanya tidak memiliki elemen yang sama.

• Notasi : A // B

• Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... },

maka A // B.

U

A B

Operasi Himpunan

Politeknik Dharma Patria Kebumen

2016

OPERASI HIMPUNAN

1. Gabungan/union :

A B = {x: x A dan atau x B }

2. Irisan/intersection:

A B = {x: x € A dan x € B }

3. Selisih : A – B= A/B={x: x A tapi x B }

4. Komplemen :

A’ = {x: x U tapi x A} = U-A

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

U

AB

Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh

(i)Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya: A // B

Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },

maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

Komplemen (complement)

Notasi : = { x x U, x A }

Contoh

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka

= { 1, 3, 5, 7, 9 } A

A

Contoh

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri”

(E A) (E B) atau E (A B)

“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

A C D

Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A

Contoh

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

B

SISTEM BILANGAN

Hikmah Agustin ,SP.,MM

SISTEM BILANGAN

Bilangan

Ril/Nyata (bisa - +) Khayal/Imajiner

Irrasional Rasional

Bulat Pecahan

Sistem Bilangan

► Bilangan nyata = seluruh bilangan yg ada, kecuali bilangan yg

imajiner

► Bilangan bulat positif:

►Bilangan asli : tidak termasuk nol A = {1,2,3, …}

► Bilangan cacah: termasuk 0 (nol) B = {0,1,2,3,…}

►Bilangan prima: besarnya ≠ 1, dan hanya “habis” dibagi

(hasil baginya bilangan bulat) dengan dirinya sendiri

P ={2, 3, 5, 7, 11, ….}

Contoh Soal :

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }

Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

6

3

2 4

1 5

8 10

9

12

A

B

C

S

7

11 13

14

6 adalah anggota yg dimiliki

oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg

dimiliki oleh himpunan A

dan C

2,4, 6 adalah anggota yg

dimiliki oleh himpunan A

dan B

0

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari

dan 10 orang gemar keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?

c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?

Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21

B = {siswa gemar menari} n(B) = 16 A B = {siswa gemar keduanya} n(A B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11 6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 4:

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5

orang tidak suka keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?

b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

Maka A B = {suka keduanya}

(A B)c = {tidak suka keduanya} n((A B)c) = 5

n(A B) = x

{siswa suka bakso saja} = 20 - x

{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

x A B 20 - x 46 - x

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5

60 = 71 - x

X = 71 – 60 = 11 a. Yang suka keduanya adalah x

= 11 orang b. Yang suka bakso saja adalah

20-x = 20-11= 9 orang

c. Yang suka siomay saja adalah

46-x = 46-11= 35 orang

Latihan dikelas

Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa.

Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa ada . . .

Pembahasan

n(S) = 180 orang n(M) = 103 orang n(B) = 142 orang n(M B ) = x orang n(S) = n( M B ) = n(M) + n(B) – n( MB) 180 = 103 + 142 - X X = 245 – 180 = 65 Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C )

Take Home

1. Dari 80 terdapat 25 orang suka membaca , 46 orang suka menulis dan 10 orang tidak suka keduanya.

• Ada berapa orang siswa yang suka membaca dan menulis?

• Ada berapa orang siswa yang hanya suka membaca?

• Ada berapa orang siswa yang hanya suka menulis?

• Gambarkan diagram Venn-nya!

2. Dari 40 siswa terdapat 20 orang suka futsal, 16 orang suka basket dan 7 orang tidak suka keduanya.

• Ada berapa orang siswa yang suka bermain futsal dan basket?

• Ada berapa orang siswa yang hanya suka futsal saja?

• Ada berapa orang siswa yang hanya suka basket saja?

• Gambarkan diagram Venn-nya!

Penyelesaian