Guiones Practicas Mecánica de Fluídos

Mecánica de fluidos Guiones de Prácticas

M. Luisa Sánchez Simón

Fernando López Peña

2 Prácticas de Mecánica de Fluidos

Prácticas de Mecánica de Fluidos 3

1 Práctica Nº 2:

Práctica Nº 1:

Calibración de un Venturi

1. Objetivo Calibrar un caudalímetro de venturi comparando el caudal real determinado experimentalmente y el caudal teórico estimado mediante la ecuación de Bernoulli.

2. Fundamentos Teóricos Un venturi, Figura 1.2, es un dispositivo empleado para la medida de caudales en tuberías. El caudal se obtiene a partir de la diferencia de presiones entre dos secciones de área distinta.

La ecuación de continuidad establece que:

2211 AVAVQ == (1.1)

Suponiendo flujo ideal, la presión y la velocidad en dos secciones están relacionadas mediante la ecuación de Bernoulli:

zgVP

zgVP ++=++

22

222

211

ρρ (1.2)

A partir de las Ecs. (1.1) y (1.2) el caudal resulta:

1

22

2

1

1

−

∆=

A

A

APQ

ρ (1.3)

En la práctica, el caudal real difiere del teórico (debido a la fricción o a la aparición de una vena contracta) por lo que el caudal real no corresponde con el caudal teórico calculado mediante la Ec. (1.3), por ello se introduce en un coeficiente, C, que da cuenta de esta discrepancia:

1

22

2

1

1

−

∆=

A

A

APCQ

ρ (1.4)

El coeficiente C debe obtenerse empíricamente y es independiente del número de Reynolds para valores suficientemente elevados del mismo.


3. Descripción del Equipo La instalación experimental es la que aparece en la Figura 1.1. Los elementos utilizados en esta práctica son el caudalímetro tipo venturi, el manómetro diferencial y el depósito 3. En el depósito 3 se ha colocado una escala graduada, de tal manera que la lectura coincide con el volumen de agua contenido este depósito en litros. Aparte de la instalación se precisa un cronómetro para medir el tiempo de llenado de este depósito.

Figura 1.1: Instalación experimental.

La sección de entrada del venturi tiene un diámetro D1=26,72 mm. En la sección contraída el diámetro D2=8,00 mm. La lectura del manómetro diferencial da la diferencia de presiones, ∆P, entre las secciones (1) y (2) del venturi, Figura 1.2.

P2

P1

D1D1 D2

Figura 1.2: Esquema de un venturi.


4. Metodología 1. Poner la bomba en marcha. Abrir las llaves V3 y V4 y cerrar las demás. De esta

manera se asegura que todo el caudal que suministra la bomba circula por el venturi.

2. Para cinco posiciones de la llave V3, es decir cinco valores del caudal, se anotará la lectura del manómetro diferencial.

3. Para cada posición de la llave V3 se medirá el tiempo que va transcurriendo según se alcanzan volúmenes (al menos 5) predeterminados en el tanque (Tablas 1.1 a 1.5 del cuaderno de prácticas).

5. Procesado de Datos 1. El caudal teórico y su incertidumbre puede calcularse a partir de la Ec. (1.3) con los

datos de ∆P.

2. El caudal real que circula por el Venturi es la pendiente de la recta de regresión Volumen frente al Tiempo, para cada posición de la válvula V3. Figura 1.2 Deberá representarse las curvas Volumen frente al Tiempo para cada posición de la válvula V3.

3. Los valores de ∆P, Qteórico y QReal se incluirán en una tabla.

4. Se representará la curva Qreal frente al Qteórico. El coeficiente C es la pendiente de la recta de regresión Qreal frente a Qteórico. Figura 1.3. Se dará una estimación de la incertidumbre del coeficiente C.

5. En las conclusiones debe discutirse el valor del coeficiente obtenido.


6. Bibliografía CRESPO, A. 1991 Mecánica de Fluidos, Servicio de Publicaciones de la UPM., § XX.

WHITE, F.M. 1983 Mecánica de Fluidos, McGraw-Hill, § 3.

Figura 1.3: Determinación del caudal real.

y = Cx +bR2 =

Q teorico

Q r

eal

Figura 1.4: Determinación del coeficiente C.

∆P = 1.4 Bar

y =Qx + bR2 = 0.9966

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30

Tiempo (s)

Vol

umen

(l)


2 Práctica Nº 3:


3 Práctica Nº 4:

Práctica Nº 2:

Fuerza de resistencia en un cilindro

1. Objetivo En esta práctica se pretende medir la distribución de presiones en un cilindro liso en una corriente uniforme. Esta distribución de presiones se va a integrar para obtener la fuerza de presión sobre el cilindro. Se va a comparar la resultante de las fuerzas de presión con la fuerza total medida por un método independiente. También, se va a obtener el Coeficiente de Resistencia CD.

2. Fundamentos Teóricos Se va a considerara el flujo entorno a un cilindro liso circular de diámetro D, sumergido en una corriente uniforme e incompresible. La velocidad y la presión aguas arriba en la región no perturbada por el cilindro son V∞ y Ps, respectivamente. Se supondrá que las fuerzas másicas son despreciables y que, por lo tanto, el único parámetro adimensional que caracteriza el flujo es el número de Reynolds basado en el tamaño del cuerpo,

µρ /Re DV∞= . (2.1)

La teoría de flujo potencial predice una distribución de presiones simétrica entorno a un cilindro en ausencia de fuerzas másicas lo que implica una fuerza de resistencia nula. Sin embargo, aún para valores del número de Re altos, se observa una fuerza de resistencia no nula (paradoja de D’Alambert).

La viscosidad es la responsable de la aparición de una capa límite en la superficie del cilindro que se desprende debido al gradiente de presión adverso originado por la curvatura del cilindro, Figura 2.1. Se forma, aguas abajo del punto de separación, una estela ancha donde la presión es constante y menor que la presión aguas arriba de éste, Figura 2.2. La fuerza de resistencia es debida, principalmente, a la diferencia de

Figura 2.1: Desprendimiento de la capa límite entorno a un cilindro.


presiones en las regiones aguas arriba y aguas abajo del punto de separación. Esta contribución a la fuerza se denomina resistencia de forma, porque es la forma roma (no esbelta) del cuerpo la que provoca la separación de la capa límite y la asimetría de la distribución de presiones. También existe una contribución de la fricción (resistencia de fricción) que en este caso es pequeña.

El coeficiente de resistencia, CD, se obtiene adimensionalizando la fuerza de resistencia y se define como,

F

DD

AV

FC

ρ2

2

1∞

= , (2.2)

La capa límite entorno a un cilindro liso es laminar hasta Re<3 x 105 aunque la estela sea completamente turbulenta para Re mucho menores. La capa límite laminar se separa para un ángulo de θ≅82º desde el punto de remanso delantero, Figura 2.1, y en este rango del número de Re, el coeficiente de resistencia CD es aproximadamente constante e igual a 1,2, Figura 2.3.

Por encima del número de Re crítico, Re=3x105, la capa límite se hace turbulenta. Una capa límite turbulenta posee más energía y es capaz de soportar mayores gradientes adversos de presión por lo que se separa, para el caso de un cilindro, para un ángulo θ≅125º, Figura 2.1. La estela es más estrecha, la presión es mayor que cuando la capa límite es laminar y la distribución de presiones se parece más a la correspondiente a un flujo potencial, Figura 2.2. Como consecuencia, el coeficiente de resistencia sufre una disminución brusca de 1,2 a 0,33 para Re=3x105, Figura 2.3. A partir del Re crítico el punto de separación se mueve progresivamente aguas arriba al aumentar el Re lo que se traduce en un aumento del coeficiente de resistencia CD. La Figura 2.2 compara la distribución de presiones alrededor de un cilindro para el caso irrotacional y dos valores del Re, por debajo y por encima del Re crítico, Re=3x105, respectivamente.

Figura 2.2: Distribución de presiones en torno a un cilindro.


3. Descripción del Equipo El cilindro de diámetro D= 5 cm y longitud L= 6 cm se coloca en la sección de ensayos de un túnel de viento cuyo esquema se muestra en la Figura 2.. La velocidad del aire en el túnel puede variarse entre 0 y 20 m/s.

En el cilindro, Figura 2.5, se han dispuesto 20 tomas de presión desde θ= -10º hasta θ=180º cada 10º. La presión en la toma 2, correspondiente a θ= 0º, que es el punto de remanso delantero. La distribución de presiones se obtiene mediante un multimanómetro de columna (no mostrado en la Figura 2.). Hay que tener en cuenta que estas presiones no están referidas a ningún valor conocido y, simplemente, el multimanómetro nos permite obtener la diferencia entre cualesquiera de ellas, pero no su valor absoluto.

La presión estática en el túnel no se mide directamente, sino que se mide, únicamente, su diferencia con la presión de remanso (presión dinámica), Ps-P0, mediante un micromanómetro de columna inclinado.

Figura 2.3: Variación del coeficiente de resistencia de un cilindro con el Re.


4. Metodología 1. Medir la presión y temperatura ambientes, Pa y Ta.

2. Medir la presión diferencial Ps-P0.

3. Para una velocidad del flujo incidente, fijada por el profesor de prácticas, medir la distribución de presiones entorno al cilindro (Tabla 2.1 del cuaderno de prácticas).

V∞ Ps O

Vo=0 Po

θ

D=5 cm

Balanza

Viga

V∞

L=6 cm

Figura 2.5: Esquema del cilindro.

Motor

Difusor de salidaContracción

Difusor

By-Pass

Sección de ensayos

Cilindro

Ventilador

Toma de presión estática

Figura 2.4: Esquema de la instalación experimental.


5. Procesado de Datos 1. Para obtener la velocidad, V∞, téngase en cuenta que el flujo es ideal para una línea

de corriente que va desde la región no perturbada por el cilindro hasta el punto de remanso delantero Figura 2.5.

2. Se obtendrá la distribución de presiones adimensionalizadas frente al ángulo θ y se incluirá en una tabla y se representará frente al ángulo θ de forma análoga a la Figura 2.2.

3. Se obtendrá la resultante de fuerza de presión sobre el cilindro integrando la distribución de presiones medida. Esta integral se puede aproximar por el siguiente

sumatorio: ∑=

∆=º350

º0

cosθ

θ θPSFx , donde ∆S es el área subtendida por cada toma de

presión.

4. Se obtendrá ellos dos valores del coeficiente de resistencia, CD, que se compararán con el valor correspondiente de la Figura 2.3. Discútase la relación entre la curva obtenida en (2) y el valor del CD.

6. Bibliografía KUNDU, P.K. 1990 Fluid Mechanics, § 10, Academic Press.

SLICHTING, H. 1979 Boundary-layer Theory, § 1, Mc Graw-Hill.


4 Práctica Nº 5:


5 Práctica Nº 6:

Práctica Nº 3:

Pérdidas de Carga

1. Objeto de la Práctica Esta práctica tiene por objeto la determinación del coeficiente de fricción en un conducto recto de sección circular (tubo B) y la determinación de los coeficientes de pérdidas localizadas en codos y accesorios (tubo A).

2. Fundamentos Teóricos

a. Pérdidas de carga en tubos rectos con paredes rugosas

La pérdida de carga, o caída de presión ∆P, en un tubo recto de sección circular de diámetro D y longitud L se relaciona fácilmente con el esfuerzo de fricción en la pared τw. Para ello no hay mas que platear el equilibrio de fuerzas para el volumen de fluido encerrado dentro del tubo, obteniéndose:

π τπ

DLD

PW =2

4∆

El esfuerzo de fricción en la pared τw ha de ser función del diámetro del tubo D, de la densidad del fluido ρ, de su viscosidad µ, de la altura media e de la rugosidad de su pared y de la velocidad media del fluido dentro del conducto Um. Es decir:

( )τ ρ µw mF D e U= , , , ,

Aplicando el teorema Π de Buckingham del análisis dimensional se puede obtener la relación adimensional siguiente:

fDU e

Dm=

φ

ρµ ,

En donde f es el llamado coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach definido como:

fU

P

L

D

U

w

m m

= =8

2

2 2

τρ ρ

∆

De acuerdo con la Ec. (3.3), este coeficiente de fricción dependerá del número de Reynolds (ρDUm/µ) y de la rugosidad relativa (e/D). Esta relación de dependencia se representa en el diagrama de Moody, el cual ha sido obtenido a partir de datos experimentales.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)


Figura 3.1: Diagrama de Moody

Figura 3.2: Esquema del banco de ensayo de pérdidas de carga.


b. Pérdidas localizadas debidas a codos y otros accesorios

Las pérdidas de carga debidas a la fricción en tramos rectos de tuberías pueden calcularse a partir de los conceptos expuestos en el apartado anterior. Sin embargo, en cualquier instalación aparecen, además de tramos rectos de tubería, toda una serie de accesorios tales como codos, derivaciones, expansiones, difusores, etc. que introducen pérdidas de carga localizadas. Estas pérdidas de carga acostumbran a contabilizarse para cada elemento mediante un coeficiente de pérdida K definido como:

KP

Um

=∆

1

2

2ρ

Este coeficiente de pérdida ha de determinarse experimentalmente para cada grupo de accesorios geométricamente semejantes, el coeficiente no varía sensiblemente con el número de Reynolds siempre que el flujo sea plenamente turbulento. Los resultados experimentales suelen aparecer tabulados y corresponden al elemento aislado. Los resultados obtenidos en esta práctica pueden diferir de los que se pueden encontrar en estas tablas debido a que los elementos se encuentran muy próximos unos de otros produciéndose acoplamientos o interferencias entre ellos. Esto puede constituir por una parte un inconveniente para contrastar los resultados obtenidos, pero por otra parte esta situación se produce con frecuencia en la práctica, por lo que el análisis cuidadoso de estos resultados puede resultar instructivo.

3. Descripción del Equipo El equipo consta de un único banco de prácticas como el que se representa esquematicamente en la Figura 3.2. En su parte inferior tiene un tanque con agua, una bomba impulsora y un caudalímetro. En su parte superior tiene el interruptor de puesta en marcha de la bomba y dos conductos sobre los que se realizarán los ensayos, el conducto A es un tubo recto de sección circular y el conducto B es un tubo con codos y accesorios. Unas llaves de paso de entrada y salida de estos dos conductos permiten por una parte seleccionar aquel de los dos sobre el que vamos a efectuar las medidas y por otra parte nos permiten variar el caudal. Además de todo esto tenemos un tablero vertical en el que están situados unos tubos de vidrio que al estar conectados por su parte inferior a distintas tomas a lo largo de los conductos A y B, permiten medir la presión manométrica en esos puntos.

Tubo recto

El diámetro del tubo recto es 17 mm y la longitud del tramo entre las dos tomas es de 692 mm.

Tubo con accesorios

El diámetro del tubo con accesorios es de 30 mm. En este tubo se han dispuesto seis accesorios. Los primeros cuatro accesorios son codos soldados con la siguiente geometría:

(3.5)


Accesorio Tomas Ángulo

Codo 1 1-2 45 º

Codo 2 3-4 90 º

Codo 3 5-6 90 º

Codo 4 7-8 45 º

El quinto accesorio es una expansión brusca seguida de una contracción brusca con una relación entre diámetros D/d= 3 y una relación entre longitud y diámetro inicial L/d= 3.

4. Metodología

Operaciones preliminares (antes de poner en marcha la bomba).

1. Seleccione el conducto sobre el que va a efectuar los ensayos abriendo su llave de paso de entrada y cerrando completamente la del otro conducto. Si la llave del otro conducto no estuviese cerrada completamente, por él pasaría algo de agua y por consiguiente el caudal medido no se correspondería con el que realmente circula por el conducto que se quiere ensayar.

2. Asegúrese de que la llave de paso a la salida del conducto a ensayar se encuentra completamente abierta. En caso de que estuviese cerrada la presión podría superar los valores máximos de operación y las conexiones manométricas podrían soltarse provocando fugas de agua.

Operación y toma de datos

1. Accione el interruptor de puesta en marcha de la bomba.

2. Antes de efectuar la toma de datos de alturas manométricas en los conductos, debe de purgarse de aire tanto el conducto a medir como los tubos manométricos y sus conexiones. Para efectuar esta purga, tras esperar unos segundos desde la puesta en marcha de la bomba, se cerrara de forma progresiva y sólo parcialmente la válvula de paso a la salida del conducto que se ensaya, esto hará que el agua (acompañada de burbujas de aire) suba por los manómetros. Ha de evitarse en lo posible que el agua rebose por el tubo de aireación situado en la parte superior de los manómetros, así que cuando el agua comience a rebosar por alguno de estos tubos, se abrirá de nuevo la llave de salida para reducir así la presión. Tras esperar unos segundos el nivel del agua en los manómetros volverá a bajar y las operaciones de cierre y apertura de la llave de salida podrán repetirse hasta que no quede aire en los conductos.

3. Acciónense con precaución las llaves de paso de entrada y salida del conducto hasta conseguir que, con el valor deseado del caudal, las columnas de agua de todos los manómetros estén dentro de la escala de medida.

4. Espere unos instantes hasta que las columnas de agua se estabilicen y tome las lecturas de presión anotando la altura de la columna de agua en cada manómetro. Repita los puntos 2 y 3 para cinco valores del caudal. Ver tablas 3.1 y 3.2 del cuaderno de laboratorio.


5. Proceso de Datos

Tubo recto

1. Calcular la velocidad media en el tubo y el número de Reynolds correspondiente a cada caudal. Para esto último necesitamos conocer también la viscosidad del agua, la cual es función de la temperatura. Aunque no se dispone de un termómetro para medir la temperatura del agua, esta temperatura no diferirá ostensiblemente de la temperatura ambiente, que es la que utilizaremos para evaluar la viscosidad.

2. Con la velocidad media calculada y la caída de presión medida se calculará el coeficiente de fricción f para cada caso a partir de la Ec. (3.4)

3. Estimar la incertidumbre del valor del coeficiente f.

4. Incluir en una tabla f frente a Re.

5. Dibújese la curva f frente a Re sobre un diagrama de Moody, Figura 3.1.

6. Estímese el valor de la rugosidad relativa comparando la curva obtenida con las del diagrama de Moody.

Tubo con accesorios

1. Calcular la velocidad media en el tubo y el número de Reynolds correspondiente a cada caudal.

2. Para el proceso de datos en este caso se tendrá en cuenta que la medida de la caída de presión entre dos puntos de medida consecutivos está bastante próxima a la precisión del sistema de medida. Por ello contabilizaremos la caída de presión desde el primer punto restando de la presión medida en él cada una de las medidas en los demás puntos. Así se obtiene la pérdida de carga acumulada desde la toma 1. Advertimos aquí que al menos una de las tomas de presión en el tubo es defectuosa debido a que restos de soldadura penetran en el interior del tubo en las proximidades de esta toma originando una medida de presión deficiente.

3. Adimensionalizaremos estas con la energía cinética media ( 2/2mUρ ). Es

aconsejable representar para cada caudal la evolución de estas pérdidas de carga acumuladas. Si, para algún caudal, el flujo no fuera plenamente turbulento, la pérdida de carga acumulada se desviaría del resto. En ese caso los datos para ese caudal no se tendrían en cuenta en el análisis posterior

4. Promediar las pérdidas de carga adimensionales acumuladas en cada toma.

5. La diferencia entre los valores de la pérdida de carga adimensional acumulada promedio antes y después de cada accesorio nos dará el valor del coeficiente de pérdida local del accesorio.

6. Dar el valor de estos coeficientes en cada accesorio.

7. En las conclusiones, deberá compararse el valor de los coeficientes de pérdidas obtenidos con el valor dado en la literatura para dichas singularidades. Así mismo se discutirá la evolución de la presión en el último accesorio.

6. Bibliografia WHITE, F. M. 1988 Mecánica de Fluidos, McGraw-Hill. Páginas 347-362 y 381-388.


6 Práctica Nº 7:

Práctica Nº 4:

Capa Límite en una Placa Plana

1. Objeto de la Práctica En esta práctica se va a medir el perfil de velocidades de una capa límite incompresible y laminar en una placa plana. El perfil medido se va a comparar con la solución de Blasius. Se obtendrán, a si mismo, los espesores de capa límite.

2. Fundamentos teóricos.

Capa límite en una placa plana: Solución de Blasius.

Se va a considerar la capa límite generada cuando una corriente uniforme incompresible incide paralelamente sobre una placa plana, Figura 4.1. La velocidad de la corriente incidente, lejos de la placa es U. Se considerará el sistema coordenado mostrado en la Figura 4.1, donde el eje x es paralelo a la placa y el eje y es perpendicular a la misma. El origen de coordenadas se toma en el borde de ataque de la placa.

El flujo en la proximidad de la placa plana decelera, 0<∂∂ xu , por lo que según la ecuación de continuidad tiene que aparecer una componente vertical de la velocidad

0>∂∂ yv . En principio esta componente de la velocidad va a ser pequeña y se despreciará en la región exterior a la capa límite, donde la única componente de la velocidad es u=U=uniforme, como si la placa plana no existiera. Entonces, para el flujo exterior la ecuación de Euler predice que 0=dxdp . La presión es uniforme en el flujo exterior, y por tratarse de una discontinuidad tangencial la presión es uniforme en la capa límite. Entonces, el conjunto de ecuaciones para la capa límite es:

Figura 4.1: Capa límite en una placa plana.


0=∂∂+

∂∂

y

v

x

u (4.1)

2

2

y

u

y

vv

x

uu

∂∂=

∂∂+

∂∂ ν . (4.2)

Con las siguientes condiciones de contorno:

Uyu =)( para x=0 y ∀ y

0== vu en y=0, Lx ≤≤0 (4.3)

Uu → cuando ∞→δy

, Lx ≤≤0 .

Donde ULνδ = , es un espesor de capa límite promedio(ν=µ/ρ, es la viscosidad

cinemática).

Se puede encontrar una solución adimensional del tipo

)(ηgU

u = , (4.4)

donde la variable η es la coordenada y adimensionalizada por el espesor de la capa límite δ(x),

)(x

y

δη = . (4.5)

El espesor de la capa límite sólo puede depender de (U, x,ν) por lo que

U

xxx

x

νδ ≈≈Re

)( . (4.6)

Se define entonces la variable η (distancia a la placa aadimensionalizada),

x

Uy

x

y

νδη ==

)(. (4.7)

Se va a trabajar con la función de corriente, ψ

y

u∂∂= ψ

x

v∂∂−= ψ

(4.8)

∫ ∫ ===y

fgdgUdyu0 0

)()()(η ηηηηψ (4.9)

donde se ha definido la función f(η),

η

ηd

fdg =)( . (4.10)

Empleando la función de corriente, las Ecs. (4.1) y (4.2) se transforman en

3

3

2

22

yyxyxy ∂∂=

∂∂

∂∂−

∂∂∂

∂∂ ψνψψψψ

(4.11)


con las condiciones de contorno,

Uy

=∂∂ψ

e x=0

0==∂∂ ψψ

y en y=0 (4.12)

Uy

→∂∂ψ

cuando ∞→δy

.

Para expresar la Ec. (4.11) en términos de la función adimensional f(η) deben calcularse las siguientes derivadas de la Ec. (4.9):

Ux

f

dx

dfU

y=

∂∂+=

∂∂ δδψ

(4.13)

[ ]dx

dfUff

ydx

dU

yx

δδηηδ ''

'2

−=−∂∂=

∂∂∂

(4.14)

'fUy

=∂∂ψ

(4.15)

δ

ψ ''2

2 fU

y=

∂∂

(4.16)

23

3 '''δ

ψ fU

y=

∂∂

(4.17)

Entonces se tiene que la Ec. (4.11) se escribe, en términos de la función f como:

0'''''21 =+ fff (4.18)

Con las siguientes condiciones de contorno:

f '(∞)=1

f(0)=f’ (0)=0 (4.19)

La solución de la Ec. (4.18) es un perfil de velocidades adimensional universal que se representa en la Figura 4.2. El eje de abscisas corresponde a la distancia a la placa adimensionalizada y frente a él se representa la velocidad adimensional.

Los espesores de capa límite se definen como

• El espesor δ99 es la distancia donde u=0,99U:

Para la solución de Blasius

U

xνδ 9.499 = . (4.20)

El espesor de la capa límite crece con x de forma parabólica

• El espesor de desplazamiento, δ* , es la distancia vertical a la que habría que desplazar la placa para que siendo la velocidad uniforme, U, el caudal fuera el mismo que con la capa límite. Se define como,


dyU

u∫

−= 1*δ (4.21)

para la solución de Blasius vale U

xνδ 72,1* = . (4.22)

• El espesor de cantidad de movimiento,θ, se define de manera que la cantidad de movimiento perdida por fricción en la capa límite sea igual a ρU2θ. Entonces,

dyU

u

U

u

−= ∫∞

10

θ . (4.23)

Para la solución de Blasius, este espesor es: U

xνθ 664,0= (4.24)

3. Descripción del Equipo de prácticas La placa plana se ha colocado en la sección de ensayos de un túnel de viento cuyo esquema se muestra en la Figura 4.3. La velocidad del aire en el túnel puede variarse entre 0 y 20 m/s.

Para generar la capa límite mediante una placa de espesor finito, el borde de ataque de ésta tiene la forma de un perfil aerodinámico. De este modo, la velocidad varía suavemente sin que se produzcan desprendimientos de la capa límites ni inestabilidades en la misma. El origen de coordenadas se localiza en el borde de ataque del perfil.

El perfil de velocidades se mide mediante una sonda de Pitot situada a una distancia de x= 88 cm aguas debajo del borde de ataque del perfil. La sonda se desplaza verticalmente y la distancia a la placa puede determinarse a partir del contador sabiendo que cada paso corresponde a 0,1 mm; también hay que tener en cuenta que el radio vertical de la sonda es 0,3 mm por lo que la posición real del centro de la misma es la posición marcada por el contador más 0,3 mm. La presión diferencial P0-Ps dinámica se

Figura 4.2: Solución de Blasius .


mide, mediante un transductor de presión. La salida del transductor de presión está ajustada de manera que 10 Volt corresponden a 100 Pa.

Un inconveniente que presenta el empleo de sondas tipo Pitot es que los valores de la velocidad se desvían apreciablemente de las esperadas cuando la sonda se encuentra muy cerca de la pared. Esto es debido a que, al tratarse de un método intrusivo, la sonda modifica el flujo bajo estudio. Este efecto no es tan evidente lejos de superficies.

4. Metodología 1. Medir la presión y temperatura ambientes, Pa y Ta.

2. Colocar la sonda en su posición inferior, es decir, pegada a la pared del túnel. Esta posición se alcanza cuando no se aprecia espacio entre la sonda y su reflejo. Hay que tener cuidado al acercar la sonda a la base del túnel porque si una vez alcanzada la posición inferior se sigue intentado aproximarla, la sonda se daña.

3. Medir el voltaje de salida del transductor de presión desde la posición inferior separando la sonda hasta que, por estar fuera de la capa límite y ser la velocidad uniforme, este voltaje no varía.

5. Procesado de Datos 1. A partir de las medidas de presión se calculará el perfil de velocidades absolutas.

Estimar las incertidumbres de la velocidad. Incluir en una tabla la velocidad y su incertidumbre frente a la posición.

2. Representar gráficamente el perfil de velocidad obtenido.

3. Obtener el perfil de velocidad adimensional.

4. Representará gráficamente el perfil adimensional y compararar con la solución de Blasius, Tabla 1. Explicar las discrepancias obtenidas.

5. Calcular los valores de los espesores de capa límite, δ99, δ* y θ obtenidas a partir del perfil de velocidad medido (Ecs. (4.21) y (4.23)) y se compararán en una tabla estos valores con los predichos por Blasius (Ecs. (4.20), (4.22) y (4.24)).

Motor

Difusor de salida

Contracción

Difusor

By-Pass

Sección de ensayos

Ventilador

Toma de presión estática

Placa plana

Pitot

Figura 4.3: Esquema de la instalación experimental.


6. Bibliografía KUNDU, P.K. 1990 Fluid Mechanics, § 10, Academic Press.

SHLICHTING, H. 1979 Boundary-layer Theory, § 7, Mc Graw-Hill.

Tabla 1. Función f.


7 Anexo I: Determinación de Incertidumbres Anexo I: Determinación de Incertidumbres

1. Propagación de Errores

Cuando una magnitud A es función de las variables medidas x1,....xn,

),,,,( 321 nxxxxFA L= ,

cuyas incertidumbres ε1, .... εn son estadísticamente aleatorias e independientes, la incertidumbre en la magnitud A, εA, es:

212

1

2

22

2

11

∂∂++

∂∂+

∂∂= n

nA x

A

x

A

x

A εεεε L

2. Método de Mínimos Cuadrados

Determinación de los Coeficientes de la Regresión

Mejor recta que ajusta a un conjunto de puntos medidos

(x1, x2, x3 … xN) → (y1, y2, y3 … yN)

y=ax+b

y =ax + b

R2 = 0.9756

Hipótesis:

� El error en la medida de xi es despreciable

� El error en cada yi es del mismo orden de magnitud, εy

Mejor acuerdo con la recta ⇒ Minimizar l a función Chi2, χ2

2

12

2 )(∑

=

−−=n

i y

ii bxay

σχ


0)(2

12

2

=−−−=∂

∂∑

=i

N

ii

y

xabyb σ

χ

0)(2

12

2

=−−−=∂

∂∑

=i

N

iii

y

xabyxa σ

χ

Entonces,

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

−−

=22

2

)( xxN

yxxyxb

∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

=22 )( xxN

yxyxNa

Incertidumbre de los Coeficientes de la Regresión

� Incertidumbre de y ó σy

02

=∂∂

yσχ

2

1

)(2

1bxay

N i

N

iiyy −−

−== ∑

=

σε

Representa la desviación de los valores medidos yi respecto de los esperados, axi+b.

� Incertidumbres de a y b

• Si la incertidumbre εx es despreciable:

∑ ∑∑

−=

22

2

)( xxN

xyb σε

∑ ∑−=

22 )( xxN

Nya σε

• Cuando las incertidumbres en las dos variables son apreciables se sustituye en las expresiones anteriores σy por σy (equivalente)

22 )()()( xyyy aequivequiv εσσε +==


Coeficiente de Correlación

¿Cuan bueno es el ajuste?

∑∑

∑

==

=

−−

−−= N

ii

N

ii

i

N

ii

YyXx

YyXxr

11

12

)()(

)()(

∑∑

∑

==

=

−−

−=

N

ii

N

ii

N

iii

YNyXNx

YXNyxr

1

22

1

22

12

)()(

)(


3. Ejemplo de determinación de la incertidumbre en medidas con muestra simple.

Las medidas con muestra simple son aquellas en las que la incertidumbre no se estima mediante repetición. Llamamos incertidumbre al posible valor que el error de la medida pueda tener. Una variable es cualquier cantidad básica observada directamente, mientras que el resultado de la medida es el que se obtiene mediante la corrección y/o los cálculos efectuados con los valores registrados de las variables. Por ejemplo, cuando medimos la velocidad del aire v mediante un tubo Pitot, hemos de medir la presión dinámica ∆p (diferencia entre la presión estática y de la remanso), la temperatura del aire Ta y la presión Pa. Aplicando luego la ecuación de Bernouilli junto con la de estado tenemos:

a

aG

p

TpRv

∆=

2

En esta expresión el resultado de la medida es la velocidad v mientras que las variables son ∆p, Ta y pa. El valor de cada una de las variables ha de acompañarse de un intervalo de incertidumbre, el cual se corresponde con la precisión que se desea (habitualmente el 95%). Si queremos obtener el resultado de la medida de una magnitud R que depende de n variables independientes vi:

R=R(v1, v2, .... vn)

Tendremos que dar no solo el valor de R obtenido a partir de los valores observados de las variables vi, sino también el intervalo de incertidumbre wR que le corresponde. Este intervalo wR se obtiene a partir de los intervalos de incertidumbre wi de cada una de las variables vi de las que R depende en la forma:

22

22

2

11

.....

∂∂++

∂∂+

∂∂= n

nR w

v

Rw

v

Rw

v

Rw

Así en el caso del ejemplo, el intervalo de incertidumbre wv de la velocidad v será:

2

122

2

22

2

12

2

12

2

1

∆+

∆+

= ∆ Ta

a

Gp

a

aGp

a

aGv w

p

pRw

p

TpRw

p

TRw

2

1222

2

1

2

1

2

1

+

+

∆= ∆ Ta

ap

a

apv w

T

vw

p

vw

p

vw

La incertidumbre relativa de la velocidad (en tanto por uno, o tanto por ciento) puede escribirse en función de las incertidumbres relativas de las variables medidas:

2

1222

2

1

2

1

2

1

+

+

∆= ∆

a

Ta

a

ppv

T

w

p

w

p

w

v

w


Para la determinación del intervalo de incertidumbre de cada una de las variables nos deberemos de basar en las características del instrumento de medida y en las de las condiciones en que se efectúa la misma. En el caso de que en las condiciones en que se mide no se induzcan oscilaciones en el indicador del instrumento, la incertidumbre será la propia del equipo y generalmente estará comprendida entre el doble y la mitad de la unidad mínima que se muestra en el indicador del mismo. Cuando en las condiciones en que se mide el indicador muestre oscilaciones, el intervalo de incertidumbre se podrá tomar igual al del instrumento de medida solamente cuando las oscilaciones se mantengan dentro de ese intervalo. En caso contrario el intervalo de incertidumbre debe de tomarse igual a dos veces la desviación típica de una muestra suficientemente grande de medidas. El cálculo de la media y de la desviación típica solo puede hacerse con exactitud cuando se dispone de algún aparato que registre las medidas, cuando esto no sea así estos valores se deberán de estimar por observación directa del indicador del instrumento de medida.

Supongamos que en el caso del ejemplo se mide una presión ambiente de 760 mm de Hg mediante un barómetro atmosférico de columna de mercurio con incertidumbre de ±1 mm de Hg (wp/P=1/760), una temperatura ambiente de 20ºC mediante un termómetro de alcohol con incertidumbre de ±1 ºC [wTa/Ta=1/(273+20)] y que la presión dinámica se mide mediante un transductor de presión diferencial cuya señal de salida está conectada a un voltímetro digital. En este último caso el conjunto transductor-voltímetro se ha calibrado previamente y se sabe que indica 1 mV por cada Pa, con una incertidumbre del 0.5 %. Cuando se mide se observa que el valor que aparece en el indicador digital del voltímetro oscila, se estima que las oscilaciones se producen alrededor de los 250 mV y que están contenidas en un intervalo de ±5 mV. Con esto tenemos que la presión dinámica medida es de 250 Pa con incertidumbre de ±5 Pa (w∆P/∆P =5/250). Con estos valores, obtenemos que la velocidad medida es v=20.505 m/s con wv/v=0.01017, es decir, v=20.5±0.2 m/s (0.2 = 0.01017x20.505).

Guiones Practicas Mecánica de Fluídos

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