Graphische Datenverarbeitung - Universität Frankfurt€¦ · Constructive Solid Geometry Primitive...

1

Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

*RHWKH�8QLYHUVLWlW��)UDQNIXUW

*UDSKLVFKH�'DWHQYHUDUEHLWXQJ

��

Geometrie-Repräsentationen

SS 20022Graphische Datenverarbeitung13. Geometrie-Repräsentationenl© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

Beschreibt ein Bild (2D) oder eine Szene (3D) durch� Ensemble von geometrischen Objekten

(Punkte, Linien, Flächen, Körper)� Erscheinungsattribute

(Farbe, Struktur, Textur, Parametern von Beleuchtungsmodellen, ... )

� Betrachtungsbedingungen

��

2

Wichtige UnterscheidungDefinitionsbereich: 2D oder 3D

��: ggf Ausschnitt aus Definitionsbereich darstellen: streng: Window (Teilmenge des Definitionsbereichs) Viewport (Teil des Bildschirms)Window-Viewport Transformation

��: Szene wird durch virtuelle Kamera (Viewing Transformationen, perspektivische Transformation) auf 2D abgebildet

��

y z

x

x

y

-z


��

��Vector Files „Zeichnungen“, CAD HPGL HP Graphics Language (Plottersprache) Hewlett-Packard

DXF Drawing eXchange Format Autodesk

(original 2D später auf 3D erweitert)

Metafiles (Raster & Vektorgraphik) CGM Computer Graphic Metafile ISO/IEC

Page Description Language (Seitenbeschreibungssprachen) PS (EPS) (Encapsulated) PostScript

PDF Portable Document Format Adobe

3


��

��CAD Formate IGES Initial Graphics Exchange Specification STEP Standard for the Exchange of Product Data

Szenen- und Objektbeschreibungssprachen VRML �� ISO/IEC RIB Renderman Interface Bytestream � Animation FLT MultiGen Flight OBJ Wavefront Object Alias

(Wavefront) MAX 3D Studio Max Kinetix


�� !�"��

Geometrisches Modellieren verschiedene Modellarten und

-Erzeugungsmethoden Geometrieakquisition:

Scanner − Übernahme (CAD) Prozedurales Modellieren

Fraktale, Grammatiken, ... “Symbolisches” Modellieren

kinematische, dynamische, ... Modelleigenschaften Surface (Volume) Modeling

Material: Farbe, Reflektion, Textur, ..ggf. O-spezifische Lichtquellen

4


#��

1. Geometrisches Modellieren in 3D -Körpermodelle

2. Polygonale Repräsentationen3. Subdivision Techniken 4. Level of Detail + andere Speedup-Techniken5. Prozedurale Techniken6. Grundsätzliches zu Parametrischen Flächen7. Bézier Kurven und Flächen8. Andere parametrische Beschreibungen9. Übernahme von CAD-Daten und 3D-Scanning


��

� Gesamtziel Beschreibung von physikalisch realen Objekten in einem

Modell, welches mathematisch betrachtet eine Punktmenge bzw. Mengen aus Unterräumen des R3

� Graphische Modellierung versus geometrische Modellierung

� Entwicklung Graphisches Modell (2D) Drahtgitter-Modell (3D) Polyhedron-Modell (Polygone) Freiformflächen-Modell

5


��


��

6


��

� Formale Anforderungen an Modell Vollständigkeit

Integrität Komplexität und geometrische Übereinstimmung

� Modellklassifizierung nach der Dimension Punktmodell

Drahtgittermodell (Wire frame) Flächenmodell (Surface)

Volumenmodell (Solid)

Gemischtes Modell (Hybrid)


��

� Volumenmodell 3D-Erzeugende

� Flächenmodell 2D-Erzeugende Rand des Volumens

Oberfläche Manchmal nicht

ausreichend

� Linienmodell(Wire Frame)

1D-Erzeugende Rand einer Fläche Rand des Randes eines

Volumens

Nicht ausreichend

7


��

� Punktmodell 0D-Erzeugende

Element einer Linie Element des Randes einer Fläche

Nicht ausreichend

Abtasten: Punkte im R3

Konvexe Hülle

Versagt bei konkaven Objekten


��

� Modellklassifizierung nach mathematischer Beschreibung

Implizite Darstellung Explizite Darstellung

Parametrische Darstellung

� Modellklassifizierung nach Bezug zum „realen oder mentalen“ Modell

Analytisch exakt Interpolation

Approximation

0),,( =]\[I

),( \[J] =

210 UU[[&&&& µλ ++=

8


��

� Repräsentations Schemas� Primitve Instancing� Decomposition Models� Constructive Models� Boundary Models� Sweeping


��

Primitive Instancing Sammlung von vordefinierten Primitiven

Instantiierung durch beschreibende Parameter Einfachste Art zur Beschreibung von geometrischen

Objekten

Nachteil: begrenzte Menge von Primitiven

Beispiele: (tbrick, 1, h1, h2, w1, w2)

9


$��%��&�'��

Können auch parametrisch definiert werden, z.B. als: Sweep-Körper um die z-Achse (siehe später) Einfache Kontroll-Parameter:

Bereiche von z und der Sweep-Winkel Viele elementare Körper: Kegel, Zylinder (Scheibe), Kugel

(Ellipsoid), Paraboloid, Hyperboloid, Torus,

[ ] 01

1,,,

0222222222

=

=+++++++++

�

�

�

��

��

��

��

��

��


��

� Decomposition ModelsAuch spatial-partioning representation genanntBasiselemente: primitive instancing

ohne Parametrisierungmit Parametrisierung

Eine Operation: Glue („Verkleben“)Variationen

exhaustive enumerationspace subdivisioncell decomposition

10


��

� Exhaustive Enumeration� Spatial-occupancy enumeration� Primitive: Block (3D), Rechteck (2D)� Glue-Operation: 3D-array, 2D-array

-> „Farb- und Sichtbarkeitsdefinition“� 2D: Repräsentations-

schema im digitalenBildprozess (digitalimage processing)

7RUXV�UHSUHVHQWHG�E\�VSDWLDO�

RFFXSDQF\�HQXPHUDWLRQ�


��

� Space Subdivision SchemaRaumunterteilungHierarchische Strukturierung

Octree, Quadtreebinary space (Binärraum)

Knoten zeigt eine Unterteilung an.

Blatt (on/off) zeigt an,ob Raumelement zumObjekt gehört

11


��

� Quadtree Representation� 2D� Unterteilung eines

Rechtecks in viergleichgroße Rechtecke,die kongruent zumAusgangsrechteck sind


��

��

12


� Octree Representation� 3D� Unterteilung des

„Betrachtungsraumes“in acht Oktanten

��


��

� Binärraum-Unterteilung� Unterteilung in Halbräume bzw. Halbebenen� Unendliche Ausdehnung des

Betrachtungsraumes

��

��

13


��

� Zellendekomposition� Vergleich exhaustive

enumeration� Basiselemente: Zellen� Anwendungsgebiet:

z.B. FEM� Nachbarschaftsbe-

ziehungen in„Knoten“ realisiert


��

� Constructive Models� Mächtigere Operationen als „Glue“� Mengentheroetisch ebzw. Boolean Set

Operationen ∪ Vereinigung (union)

∩ Durchschnitt (intersection)\ Differenz (hier A\B)

� VariationenHalbraum-ModellConstructive Solid Geometry A

B

14


��

� Halbraum-Modell� „Primitive“ sind Halbräume

– Unterteilung des R3 inzwei Räume


��

� Constructive Solid Geometry Primitive sind begrenzte Elemente – aus Halbräumen

entstanden Für Benutzer einfacher handhabbar Primitive: z.B. Würfel, Zylinder, Kugel Transformationsoperationen – Rotation, Tranlation,

Skalierung Mengentheoretische Operationen Schema Hierarchische Strukturierung Blatt: Primitiv + Transformierung Knoten: Operation

15


��


��

� Boundary Models� Flächenmodell� „verbessertes graphisches Modell“� Ursprung: polyhedrales

Modell� Boundary Datenstruktur

Drei Basisobjekttypen:Face (Fläche),Edge (Kante), Vertex (Ecke)

16


��

� Modelle� Polygon-based� Vertex-based� Edge-based


��

� Notwendige Bedingung: Erfüllen topologischer Kriterien

� Aufteilung in zwei getrennte Repräsentationen� Abstrakt – konkret� Algebra – Analysis� Topologie - Geometrie

17


��

� Solid models� Entsprechung zu Volumenmodell� Invarianztheorem: Euler Charakteristik

v – e + f = 2(für polyhedrons)

� Erweiterte Euler-Poincaré-Formel für Flächen mit Löchern v – e + f = 2 (s – h) –1

s: Schale (shell) -> Körperh: Höhle (hole) -> Körperl: Loch (loop) -> Flächen


��

� Konsistenzsicherung

18


��

� Two-Manifold (Zwei Mannigfaltigkeit)� Definition: Eine Zwei-Mannigfaltigkeit M ist ein

topologische Raum, in dem jeder Punkt eine Umgebung (Nachbarschaft) besitzt, die topologisch äquivalent zu einer offenen Scheibe des R2 ist.


��

� Ein 3D-Modell kann durch ein 2D-Modell beschriebenwerden

19


��

� Non-Manifold� Definition für Two-Manifold versagt


��

� Sweeping (1)� Modell: i. a. Volumen- intern Flächen-� Primitive: Profil (Cross Section), Pfad

(Trajektorie)� Definition: Ein Swept-Objekt beschreibt die

Punktmenge im R3, die durch Bewegen eines 2D-Profils entlang eines Pfdes überstrichen wird.

20


��

� Sweeping (2)� Ausprägungen

Extrusion (Pfad=Strecke)Translational (Profile ändert Normalenrichtung nicht)Rorational, revolving (Pfad ise ein Kreis,

Erweiterung: Kreissegment)Allgemein, general (Profil ändert Normalenrichtung)

� Anwendungen 3D-Objekte aus 2D-Objekten erzeugen 2 1/2D-CAD-Konstruktion


��

21


��

� Allgemein: Methode zur Beschreibung einer Punktmenge des Rn durch eine Punktmenge des Rn-1

==> 2D-Sweptobjekt (Profil=Kurve)3D-Sweptobjekt (Profil=Fläche)4D-Sweptobjekt (Profil=Körper)


��

� Hybride Modelle Verschiedene Repräsentationen in einem

übergeordneten Modell Bzgl. Methoden Bzgl. Realisierung

Theoretischer Vorteil Mächtigere Funktionalitätsmenge Optimale Dualität zwischen Repräsentation und

Modellierungsmethode

Praktische Probleme Konvertierung zwischen den Modellen Konsistenzerhaltung: Modifizierung in einer Repräsentation

müssen in anderen Repräsentationen nachgezogen werden

22


��


��

� Interaktives Modellieren (1)� Benutzerfreundlich (High Level Operationen)� Ändern von einzelnen Parametern oder

Werten� Architektur

User InterfaceMathematische BibliothekDatenverwaltung (kurz- und langfristig)

23


��

� Interaktives Modellieren (2)� Weitere Verbesserungen des

Modellierungsvorgangs durchgraphische Interaktionen

� Selektion� Neue Interaktionstechniken, z. B., Free-Form-

Deformation (FFD)� 3D-Eingabegeräte

a) graphisch-interaktiv (User Interface), b) Abtasten (Datenerfassung)

(��)��'��*��

Parametrisieren und Instanzieren von Objekten: Würfel, Kugel, ... , Quadriken

Duplizieren, Spiegeln, Facetten unterteilen Direct Point Manipulation: „Verschieben“

Basis: Polygonales (oder Freiform-) Modell Virtual Sculping: “Modellieren mit Ton”

Direct Edge / Face Manipulation: Translieren – Rotieren – Skalieren (– Scheren)

Sweeping Extrusion (Extrudieren, Lofting) einer Fläche entlang eines

Pfades (z.B. Polyline) Default oft: in Richtung der Normalen Rotation (lathe, revolve, surface oft revolution)

24

+�&��,-.

� Beveling: Anphasen “harter” Kanten oder Punkte� Rounding: “Abrunden”� Fillets (wie Bevels, oft durch “sweeping” eines 2D-

Outlines entlang einer Innenkante)


+�&��,�.

� Purging (Simplification): Eliminierung “zu kleiner” Polygone, “zu vieler” Eckpunkte

� Aligning: “Verbinden zweier Flächen”� Fitting: Eliminieren kleiner Zwischenräume� Blending: Erzeugung einer Zwischenfläche beim

verbinden zweier Flächen

25


��

Wirken auf einen Körper / ausgewählte Teile� Lattices / Clusters

Externer Rahmen, unterteilte “Bounding Box” Transformationen dieses Rahmens werden auf das Objekt übertragen

“Modellvorstellung”: Die Objektpunkte sind mit imaginären Federn an die Lattice-Box / den Clustergebunden

� Gut für die Animation benutzbar!


��/��0��'��*��

Subdivide & bevel scale top down

Move vertices up scale down vertices extrude faces

26


/��0�� '��*��

Extrude more & scale extrude down scale inner vertices

Extrude & scale smooth for test


/��0�� '��*��

27


/��0�� '��*��


+��)��

� In fast allen Systemen enthalten; verschiedene Bezeichnungen:� MAX Mesh Smooth� Maya Smoothing� Softimage Rounding

� Idee ist einfach: Durch fortgesetzte Unterteilung eines polygonalen Modells � B-spline patch (��)

28


+��)��

Man modeliert und animiert in Low-Res Vor dem Rendern � Subdibvisions


'��

��: Grobstruktur bleibt sichtbar erhalten! Besonders sichtbar in animierten Sequenzen

� Wenn Subdivison dynamisch beim Rendering durchgeführt wird: ��

29


1��

��+��2)��

Je weiter ein Objekt von de virtuellen Kamera entfernt ist (vielleicht wird es nur noch auf 5x10 Pixel abgebildet), um so geringer darf auch sein geometrischer Detailreichtum sein.

Man kann verschiedene Abstraktionsgrade nutzen!


1!��

30


1��

Umschalten während des Renderns; Entfernung Objekt – Kamera d:

0 < d

31


/�&��1!��+��

��

Häufigste Methode: ��

Subset placement oder optimal placement (z.B. neuen Punkt suchen)


/�&��1!��+��

Bad collapse:

Kostenfunktion ist aktuelles Forschungsthema

32


#��&3��1!��

� Sprunghaftes Umschalten �� wirkt störend:

� Alpha Channel: Transparenz verändern� Wenn Subdivision oder Simplification

genutzt wurde, kann man auch �� !��"�� nutzen (in Anim & MM)

� ��: Entfernungshysterese nutzen!


��'��)��+��42 ��

Weniger Punkte � Weniger Transformationen Weniger Normalen Weniger Klippen Weniger Beleuchtungsrechnungen

Triangle Strip Fig 7.27 7.29

33


��5��'��6

�� immer planar, immer konvex, keine Selbstdurchdringungen� Normale eindeutig bestimmt

Nonplanare Vierecke (Polygone) sind oft Ursache für Renderfehler oder unerwartete Effekte

��Manche Modelliermethoden (MetaNurbs oder Metaform) erfordern Vierecke (siehe auch Beispiel)

� ��

��

�� !��"��#��$��%��

��

��

��&��#��

�'��()

�


'��0��

��'��*��

Pro Unterschiedliche Netzdichte möglich:hohe Polygonzahl nur dort, wo viele geometrische Details vorliegen

Pro einfach zu verstehen und zu kontrollierenCon Glatte Kurven + Flächen können praktisch nur

mit sehr viel Aufwand erstellt werden; insbeson-dere polygonale Konturlinien bleiben sichtbar

Con Kurven sind nicht akkurat (CAD; Karosseriebau)Con Hoher Speicheraufwand Con kein „natürlicher“ Parameter fürs

Textur-Mapping und die Animation

34


'��&�� )��'��

� Bekanntes Beispiel: Fraktales Terrain Modelingfür Berge, Riffe, ...

� Kann auch zum Animieren genutzt werden� Geringe Modelierungskosten

� Andere Techniken:Fourier Synthese (Landschaften)Partikelsysteme (Feuerwerk, Wasserfälle, ...)


��)��

� Wichtiger Name: Benoit Mandelbrot� Spezielle SubdivisionTechnik: � Jeder Schritt mit einer eigenen sich ständig

verkleinernden Pertubation� Algorithmus von [Fournier 82]

35


1�+��)��+��

R: Zufallsvariable zwischen –1 und +1��"�� bestimmt den Grad der Veränderung


'��&�� 2)��,'��.

� Bekanntes Beispiel: Fraktales Terrain Modelingfür Berge, Riffe, ...

� Kann auch zum Animieren genutzt werden� Geringe Modelierungskosten

� Andere Techniken:Fourier Synthese (Landschaften)Partikelsysteme (Feuerwerk, Wasserfälle, ...)

36


��)��

� Wichtiger Name: Benoit Mandelbrot� Spezielle SubdivisionTechnik: � Jeder Schritt mit einer eigenen sich ständig

verkleinernden Pertubation� Algorithmus von [Fournier 82]


1�+��)��+��

R: Zufallsvariable zwischen –1 und +1��"�� bestimmt den Grad der Veränderung

37


'��'��*��

� Für glatte Flächen benötigt man sehr viele Polygone

� Datenmengen� ggf. schwer zu

animieren: Berechnungsaufwand

� Konturen bleiben trotzdem „#��$��%

Abb. S.30


#��'�� %��

*+!�� ,��%�� )��(in GDV)B-Splines&'(�)

��*��$��)��+��$,��(�,�)��

-��,��.��

��,/!!

38


/��3��

Anwendungsursprung: Ab ca. 1958 Anwendungen im Automobil-

Karosseriebau: ��(��()��-�allgemein �.�Auch wenn vieles in der Differentialgeometrie vorab

entwickelt war.Zwei große Namen:��*+!�� (Renault): parametrische

Repräsentation auf der Basis der Bernstein-Polynome: System UNISURF

�� (Citroen) (nur als interne Berichte veröffentlicht)


��'�� ,-.

Grundlegende Idee: uraltes Verfahren aus der

GießereitechnikAn der )��ist das

bewegliche ��,$�� noch unveränderlich; modellhaft könnte dieses sich während der Bewegung verändern

� Biparametrisches Patch

39


��'�� ,�.

a) Gegeben: drei Randkurven AB, BC, CD (hier als kubische Bezier-Kurven mit ihren Kontrollpolygonen)

b) Die Kurve BC wird entlang BA und CD verschoben. Die Form kann sich dabei ändern!

c) Während des Verschiebens verändern sich die Punkte p1und p2 und erzeugen neue Linien EFGH und IJKL

d) Es entstehen die 16 Kontrollpunkte (A, B, ..., P) und damit 9 Vierecke, die ein bikubisches parametrischesBezier-Patch definieren.


��%�&��&�

'�� 7��%��

Eine parametrische Kurve im 3D ist durch drei univariate Funktionen definiert:

Entsprechendes gilt für eine parametrische Fläche

Ein solches Flächenelement nennt man ��.

10

))(),(),(()

≤≤=

�,�$

�0�1�2��/

1010

)),(),,(),,((),

≤≤≤≤=

.��,�$

.�0.�1.�2.��/

40


83�� (��%��

��7��%��

3��6

Formen der Darstellung von Kurven oder Flächen:� 01�!�� 1�!��

Kurze Diskussion am Beispiel der Kurven:


/9��&��

� y = f(x)

� Bsp.:

� Probleme: Für ein x darf es nur einen y Wert geben

(Probleme z.B. ist ein Kreis nicht geschlossen darstellbar)

Beschreibung nicht invariant gegenüber Rotationen Keine Kurven mit (echt) vertikalen Tangenten möglich

(impliziert unendliche Steigung)

�� −= 3

41


:��&��

� f(x,y) = 0

� Bsp.:

� Probleme:� Gleichung kann mehr Lösungen als gewollt

haben, was zur Notwendigkeit von Randbedingungen führt

� Richtung der Tangente ist schwer zu ermitteln

02 223 =−+− ��


'��

� Q(t) = ( x(t), y(t) )� Bsp.:

� Vorteile: Keine Mehrdeutigkeiten Geometrische Steigungen (potentiell unendlich)

werden durch Tangentenvektoren (niemals unendlich) ersetzt

Invarianz gegenüber Rotationen

� Wir verwenden daher im folgenden nur die 1��

��

),()( 32 �� −=

42


'��7��7��

Parametrische Kurven sind i.d.R. (ganzrationale) Polynome gebrochen rationale Polynome

n-ten Grades (n: höchster auftretender Exponent), z.B.

In der CG werden ganz überwiegend kubische (also k=3) Repräsentationen genutzt:

N

N�� ++++= ...)( 2210/


)*��7��

,��%��.

� Exakte Darstellung Jeder Punkt ist durch eine Formel definiert Problem: Formel ist meist nicht bekannt oder zu

komplex

� Interpolatorische Darstellung Kurve ist durch Stützstellenbedingungen beschrieben Kurve ist an den Stützstellen determiniert

� Approximative Darstellung Kurve ist durch Stützstellenbedingungen beschrieben Kurve ist an den Stützstellen nicht determiniert

43


:��

� Interpolation mit Monomen Gesucht sind die Koeffizienten eines Polynoms P(t)

derart, daß P(ti) = Pi für alle Stützpunkte Pi gilt

Für n+1 paarweise verschiedene Stützpunkte gibt es genau ein Polynom vom Grad n, das die obige Bedingung erfüllt

Nachteil: Berechnung der Koeffizienten ist aufwendig

Nachteil: Änderung eines Stützpunktes bedingt Neuberechnung aller Koeffizienten


��:��

� Interpolation mit Newton-Polynomen

Rekursive Berechnung der Koeffizienten kj mittels der dividierten Differenzen

Vorteil: Neu hinzugefügter Punkt bedeutet nur eine weitere Stufe in dem Differenzschema

)()()()( 110 −−⋅⋅−⋅−= LL ��

∑=

⋅=Q

M

MM��

0

)()(

44


:��

� Eine Reihe weiterer Interpolationsschemata sind üblich (z.B. Lagrange Polynome, TschebyscheffPolynome oder rationale Funktionen als Basisfunktionen)

� Unabhängig von der Methode hat Interpolation immer das Problem der 2�!�

��, insbesondere bei hohem Polynomgrad n

� Interpolation liefert schlechte Qualität in praktischen Anwendungen (Kurven sind nicht „glatt“ genug)


!�&��

:��

� Beispiel:

Interpolationspolynom

“Erwarteter” Verlauf

45


��9��

Ziel: Vermeidung von Oszillationsproblemen

Abschwächung der geometrischen Bedingungen: Nicht alle Stützpunkte liegen notwendigerweise auf der Kurve, also nicht alle Punkte werden interpoliert

Einführung anderer Bedingungen als Stützpunkte (z.B. Betrag und Richtung von Tangentenvektoren)

Problem: Aussehen der Kurve ist allgemein aus den Randbedingungen schwieriger vorhersagbar, aber spezielle Polynome haben interessante Eigenschaften


��9��'��*��

�#$�3��$��

��4��#$��,�$

��

L

L

:

:)(

)((u)k

0i

L

L

1

1/ ∑=

=

46


��9��'��*��

Grad n = 1:Polygonzug, unstetige Steigungen an den Eckpunkten

Grad n = 2:In 3D können nur planare Kurven erhalten werden (d.h. Kurve liegt immer in einer Ebene)

3��4��56��7�8Die vier Koeffizienten können z.B. durch Startpunkt, Endpunkt, Tangente am Startpunkt, Tangente am Endpunkt gegeben werden

Grad n > 3:Rechenaufwendig, nur in speziellen Anwendungen benutzt

∑=

=k

0i

)((u) ��LL

1/1i Kontrollpunktebi(u) Basisfunktionen

Polynome vom Grad n


��9��9��3��

Der dritte Faktor heißt 3��%��3, die pi sind geometrische Nebenbedingungen (z.B. Kontrollpunkte oder definieren Tangentenvektoren, etc.)

Das Produkt aus U und M ergibt die *

��(��(diese gewichten die den Geometrievektor (die geometrischen Nebenbedingungen pi)

⋅⋅==

4

3

2

1

23 1] u u [u z(u)] y(u)[x(u)(u)

�

�

�

�

�/

��%�� *��0 3��%��k=3 � 4x4 (Kontrollpunkte)

*��(��*

��

47


��%�&��&��

�� %��

Ein Punkt Q = (x,y,z) der Fläche im kartesischen Raum ist durch (u,v) im Parameterraum bestimmt.

Mann nennt solche Flächen auch "��()��.Komplizierte Flächen werden durch eine Menge von solchen

Flächenelemente (Patches) zusammengesetzt.

�#$�3��$��,�$

.��.�

ML

ML

L M

LM

16:

)()(),(

,

3

0

3

0∑∑= =

=/

[ ] [ ]

=

==

=

3330

0300

23123 11

),(

��

��

+.++..++�+��

.�

�

��

�

3

�9

�9$3�/7

7

zenBasismatri

:�$-


��3��

��0�2!�"��;��2)��

a) Wireframe Darstellung für Linien konstanten u und v.Ein Patch (von 32) ist schattiert.

b) Darstellung der Patch-Kantenc) Wireframe der Kontrollpunkte.

48


(��/��,-.,7��9

49


(��/��,�.7��%�

= Glattheit (�,��$"��+�5��$��$� Besonders wichtig beim Anfügen von Kurven oder

Flächenstücken

Wir unterscheiden: �� ,��)�

3��,��)�Q

Q

Q

Q

Q

�$$6�

�$$6�

$3��$��$75"��,�$��

)()(

: 21 =

00

21

1;n ,0 mit

)()(

:

�

�$$6�

�$$6�

$3��$��$7"��,�$��5�Q

Q

Q

Q

Q

=≥>

= α


�=&�� 7��

Eine Bézier Kurve ist gegeben durch

enoeffizientBinominalkdiesind)!(!

!

)1()(

)((u)

,

n

0i,

��

,�$

��

��

L

Q

LQL

L

Q

QL

QL

−=

−=

=

−

=∑ L1/

Die Bi,n nennt man Bernstein-Polynome

50


7��=&�� 7��

>�

33,3

23,2

23,1

33,0

3

0i3,

)(

)1(3)(

)1(3)(

)1()(

)((u)

��

��

��

��

,�$��L

=

−=

−=

−=

= ∑=

L1/

Bezier Basisfunktionen

•Beobachtungen: p0 hat dominierenden Einfluss für u < 0,1•Mit wachsendem u haben nimmt der Einfluss der andere Kontrollpunkte zu

•Mann nennt die Basis Funktionen auch ��5$��


��

7��=&�� 7��

Eine erste interessante Eigenschaft:Steigung der Kurve in �1 ist gegeben durch den Vektor �1-�2Entsprechendes gilt für �3, �4

51


/��

�0��"��

Seien p0, p1, ..., pn die Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve. Wir definieren:,

5�81/5�8

11

111

Q

�=

=−=

=

+−= −+−

��5"��$�,,$3��.��

��46��#$��8��

�

��

��

,�$

��

LL

U

L

U

L

U

L

)(

,...,0

,...,1

)()()1()(

0

11

1

001

)(30 �9=1

2112

01 121

111

101

031

021

011


��7��&��

��0��"��

001

301

2112

01 121

111

101

031

021

011

ligonKontrollpo Das :0L

1

0,7

0,7

0,7

0,7

0,70,7

Iteration erste Die :1L

1

Iteration zweite Die :2L

1

0,7t tKurvenpunk Der

Iteration dritte Die :30=

1

Für alle 0

52


/�3��?��9?��&��7��

⋅

−−

−−

⋅===

4

3

2

1

23

0001

0033

0363

1331

1] u u [u z(u)] y(u)[x(u)(u)

1

1

1

1

�9�/&%

Multipliziert man die Basismatrix �B mit dem Parametervektor 9 so errechnen sich die Basisfunktionen ��5$�� :

%9�=),,,( 3,33,23,13,0 ��


��&��=&��27��

Diese Ableitungen sind also die Tangentenvektoren an den Endpunkten der Kurve:

1. Bezier: Interpoliert durch die Endpunkte

2. Zwei Weitere Kontrollpunkte bestimmen die Tangenten

)(3)1()()1(

)(3)0()()0(

233

1

3

1111

1111��

−= →−=

−= →−=

•=

−

•=

9��

�9

9��

�9

Q

QQ

Q

53


��=&�� 7��

Zwei Bézier-Kurven Q und R mit den Kontrollpunkten qi und ri

C0 Kontinuität: q3 = r0G1 Kontinuität

(Geometrische Kontinuität): Tangentenrichtungen gleich

C1 Kontinuität(Parametrische Kontinuität)

��(

��9 )0()3( =


/�3��&��=&��%��

��5$��

.��

.��.�

,�$

.�

QMQL

QM

N

L

N

M

QLLM

oder

ionenBasisfunktBéziersind)(),(

)()(),(

nkteKontrollpu16derMatrix:

nzvektorenZeilenpoteundReihen:,

xBasismatriBézier:

),(

,,

,0 0

,∑∑= =

=

−

=

1/

�

�9

�

��9�/

&

%

7

%&%

Beachte: Die Randkurven eines BézierPatches sind Bézier Kurven

54


8��

��%��

3,...,0

),0(),1(

tKontinuitäC

03

0

==⇔=

��:

..

LL

�/

C1 Kontinuität wesentlich schwieriger!


0- 7��%��&��2��%��

Bedingung ist sehr einschränkend.

Freiheitsgrade reduzieren sich stark.

Probleme beim Deformieren solcher Flächen; es entstehen leicht Stufen.

(ggf. lockern der Kontinuitäts-bedingungen möglich)

+∈=

−=−

IR;3,...,0

)( 0123#�

��#::LLLL

55


8��

/��

�=&�� 7��%�� Der Polynomgrad eines Kurvensegmentes ist um Eins

kleiner als die Anzahl der Punkte des Kontrollpolygons Der erste und letzte Punkt des Kontrollpolygons werden

interpoliert Der Tangentenvektor am Anfang und Ende der Kurve

haben die gleiche Richtung wie die erste resp. letzte Kante des Kontrollpolygons

Die Kurve verläuft innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons

Die Kurve ist invariant gegenüber affinen Transformationen


8��

�=&�� 7��%��

Zwei entscheidende Nachteile beschränken die Flexibilität: Feste Kopplung zwischen Polygongrad und der Anzahl

der Kontrollpunkte Änderungen der Kontrollpunkte wirken innerhalb des

Bezier-Spans (des Patches) global Historisch bedeutende Repräsentation Bézier Kurven noch oft genutzt, insbesondere in 2D

Anwendungen: Kontrolle der Endpunkte und der Tangenten

Bézier Flächen durch Verlust der Freiheitsgrade beim Modellieren beschränkt einsetzbar

Häufig als Render-Primitiv genutzt.

56


8��2+��

Die einschränkende Inflexibilität der Bézier-Kurven werden überwunden Feste Kopplung zwischen Polygongrad und der Anzahl

der Kontrollpunkte Änderungen der Kontrollpunkte wirken innerhalb des

Bezier-Spans (des Patches) global C2 Kontinuität per Definition Es gibt vielfältige „handles“ die die Form der

Basisfunktionen und damit die Form der entstehenden Kurve beeinflussen: sehr wichtig ��(��*:'1��

.��# Kegelschnitte lassen sich allgemein nicht durch B-Splines repräsentieren


?;��+?�;��2+��

� Idee: Benutzung von rationalen Formen� Dazu: Definition von Kurven Kontrollpunkte in 4D

homogenen Koordinaten �polynomiale Funktionen in 4D RaumRückprojektion in den 3D

� Konsequenz: Kurve wird durch gebrochen-rationale Funktionen definiert (Division durch die homogene Koordinate)

57


��?;��+

∑

∑

∑

+

=

+

=

+

=

=

=

1

1,

1

1,

1

1,

)(

)()(

)()(

�

�#�

�

�#��

�

�#�

"

$&"

$&"�$6

$&�$6

L

L

L

Ein weiterer Kontrollhandlean jedem Kontrollpunkt hi


5��?;��+

� Invarianz gegenüber Rotation, Skalierung, Translation ��1��1��%��"��(�� (d.h. nur die Kontroll-punkte müssen transformiert werden und nicht jeder Punkt der Kurve)

� NURBS können Kegelschnitte exakt beschreiben

58


��3��7��

� Es gibt eine große Spannbreite weiterer Kurven-definitionen mit jeweils spezifischen Eigenschaften β-Splines Catmull-Rom Splines ...

� Es gibt keine „beste“ Kurvenrepräsentation, diese muß anwendungsabhängig gewählt werden (heute werden sehr oft NURBS verwendet)


7��&3��

��%��

Eine der großen Vorteile der Matrixdarstellung ist, daß man einfach ableiten kann, wie sich verschiedene Repräsentationen ineinander überführen lassen:

3��: Der Satz �j der Kontrollpunkte in der Repräsentation �j. Gesucht ist die gleiche Kurve in der Repräsentation �i, also die Kontrollpunkte �i.

MMLL

MMLL

MMLL

��

��

�9��9�

1−=

=

=

59


��%��

� Erweiterung von Kurven auf Flächen: Kurven beschreiben Schnitte von Flächen

� Freiformflächen (Erweiterung der allgemeinen Darstellung):

5�-%8�4�"5�8��35%8�4�"5�8��3��" '5%8"


��

��

��

��5��8�: direkte Manipulation der Eckpunkte

*+!��# Die Kurve geht durch die Kontrollpunkte; zusätlich Tangenten

60


��

*:'1��: ggf. weit entfernt liegende Kontrollpunkte – auch außerhalb des Patches

$9�*�#�Zusätzliche Gewichte an den Kontrollpunkten, zur Einstellung der Steigungen


/�� !��

;0�� : Sweeping eines Profiles (Kurve) entlang einer Strecke oder eines Pfades (Kurve)

��

61


��

'�� ?;�� !��

'�� 59:�(��:�(�8Gleiche Möglichkeiten wie Lofting

��(�� : Extrude mit versciedenen Profilen


/�3��'��!��

*��= 3 oder 4 Kurven definieren den Rand eines Patches

*�� = Sweeping eines Profiles entlang zweier Schienen

62


+�&��7��

��?;��

,��%��(��2��()��:durch Projektion oder das direkte Zeichnen auf der Oberfläche

"�� : erlauben das Ausschneiden von Teilen aus der Oberfläche


��

?;��+0��

63


+��0��?;��+


+��0�� ?;��+

64

#��0��2��

� sehr oft benutzt:DXF (Drawing Interchange Format), AutodeskHauptproblem: fehlende Topologieinformation

� andere CAD-Formate: IGES VDAFS (VDA-Flächenschnittstelle) STEP

� Haben sehr schnell an Bedeutung gewonnen, Zukunft unsicher VRML 1.0 (Virtual Reality Modeling Language)VRML 2.0 (August 1996, ISO/IEC SC24, CD)

65

��2+��

��

� Prinzip: Tiefenmessung: Punkt, Gitter, Kreise, ... cross sections, slices, outlines: “Höhenlinien”

geschlossene 2D-Kurven; gleiche Anzahl Punkte

Extrusion erzeugt 3D-Objekt: Triangle-Mesh

� Probleme: i.d.R. Abtastfehler bei inhomogener Oberfläche

des Originals “verdeckte” Geometrieteile sehr viele Polygone --> Nachbearbeitung

� Beispiel: Cyberware Scanner

5�3��)��'��

� Verfahren zur Objektrekonstruktionbekannt und entwickelt zur Bauaufnahmeauch Luftbild/Satellitenbildauswertung

� Verfahren sehr vielfältig: Theodolitgestützte Verfahren Industriemeßverfahren (Einzelpunkte) Photographische Verfahren, z.B.

Shape from Shading Shape from Texture Stereoskopische Verfahren

Graphische Datenverarbeitung - Universität Frankfurt€¦ · Constructive Solid Geometry Primitive...

Documents

Transcript of Graphische Datenverarbeitung - Universität Frankfurt€¦ · Constructive Solid Geometry Primitive...