Professur Graphische Datenverarbeitung - Johann Wolfgang ... › lehre › ss2000 › Folien ›...

1

Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

*RHWKH�8QLYHUVLWlW��)UDQNIXUW

*UDSKLVFKH�'DWHQYHUDUEHLWXQJ

��

Texturen

SS 20002GDV9. Texturen© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

��

1. Einführung2. Diskrete und prozedurale Texturen3. Generalisierte Textur-Pipeline4. Texturmapping

� Ebene Polygone � Zweischrittverfahren

5. Corresponder-Verfahren6. Texturabtastung

� Aliasing� Mipmap, SAT, FPA

2


��

7. Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung8. Environment-Mapping9. Bump Mapping10.Zusammenfassung 11.Glossar12.Weitere Informationen13.Ausblick – Nächste Schritte


��

3


In der Realität finden wir ein großes Spektrum geometrischer Feinstrukturen• Maserungen und Muster von Holz, Marmorplatten, Tapeten

• Wolken, Rauch,

• Strukturen unebenen Oberflächen z.B. Rauhputzwänden, rauhes Leder, Apfelsinen oder Baumstämmen

• im Hintergrund sichtbare Häuser, Maschinen, Pflanzen und Personen

Die geometrische Form dieser Objekte durch Flächen exakt nachzubilden, ist um Größenordnungen zu aufwendig

��

��


�� Texturen bieten Möglichkeiten,das visuelle Erscheinungsbild von Objekten detailreicher zu gestalten.

Die Oberfläche einer Wand kann durch eine einzige planare Fläche modelliert werden. Das „Tapezieren“ kann als Aufbringen eines Bildes auf die Wandober-fläche interpretiert werden.

Diesen Vorgang bezeichnet man als Texturierung.

4


�� Erste einfache Definition:Zweidimensionale Texturen oder kurz 2D-Texturen sind Funktionen, die Punkte der (u,v)-Ebene auf (r,g,b)-Farben abbilden:

Das Mapping (engl.: Abbildung) beschreibt, wie eine 2D-Textur bzw. ein Ausschnitt aus einer 2D-Textur auf eine Fläche aufgebracht wird. Beim Rendering muß jedoch das inverse Mapping-Problem gelöst werden, d.h. den bekannten ��Koordinaten des Flächenpunktes P müssen ��Koordinaten zugeordnet werden:

),(),,( �� WH[

�=

),,()(),( ��!"!�� #��#�� ==


��

5


��

Die Texturierung einer Fläche mit einer 2D-Textur läßt sich dann mathematisch durch die Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen beschreiben:

Dreidimensionale Texturen oder kurz 3D-Texturen sind Funktionen, die Punkte eines ��$��Raumes auf �� Farben abbilden:

)),,((),,( ��!% �� LQYPDSWH[=

),,(),,( $��% ��WH[

=


��

Sie werden auch als Festkörpertexturen bezeichnet. Häufig genannte Beispiele hierfür sind Holz- und Marmortexturen. Beim inversenMapping

müssen den ��Flächenpunkten ��$�-Koordinaten zugeordnet werden. Man kann dieTexturierung mit 3D-Texturen auch so interpretieren, daß die Körper quasi aus dem (u,v,w)-Texturkörper herausgeschnitzt werden.

),,(),,( $��% ��WH[

=

6


��

Wir unterscheiden zwischen �� und �� TexturenN-dimensionale �� Texturen als (N+1) dimensionale Zahlenfelder gespeichert. Ein �&'(��dimensionales Zahlenfeld entspricht dabei einem &-dimensionalen Vektorfeld. Diskrete farbige )*-Texturen der Breite n und Höhe m lassen sich so z.B. durch

beschreiben, wobei %��+� ein Vektor mit drei Farbkomponenten ist und als Texel (TEXtur ELement) bezeichnet wird.

�+��+� ≤≤≤≤ 00),(�


��

+ das Generieren komplexer 2D-Texturen für die photorealistische Visualisierung vergleichsweise schnell und einfach.

7


�� (Diskussion anhand von 2D-Texturen)

– Texturen mit hoher Auflösung (n,m) haben einen hohen Speicherbedarf. – Beim Vergrößern von Bildern treten Artefakte auf (Pixeleffekt)– Fortsetzung (Aneinandersetzen, Vergrößern) von Texturen ist oftproblematisch– Der in den Bildern dargestellte Kontext (Sonnenstand, Schattenwurf, ...) stimmt häufig nicht mit der geplanten Szene überein. Die Suche nach geeigneten Vorlagen kann dann sehr aufwendig sein. – Beim Mapping auf beliebige Fläche treten Verzerrungen und infolgedessen Abtast-Probleme auf.


��

Resampling-Methoden:1. nächstgelegener Nachbar

�� , : u<1,v<1

1 , : u=1,v<1( , )

, 1 : u<1,v=1

1 , 1 : u=1,v=1

WH[

� ��

� � ��

� ��

� � �

− = −

− −

� 1� +

��

��

8


��

2. Bilineare Interpolation

0

1

1 0

ˆ

ˆ

ˆ ˆ( , ) * 1, (1 )* ,

ˆ ˆ( , ) * 1, 1 (1 )* , 1

ˆ ˆ( , ) * ( , ) (1 )* ( , )WH[

� ��

� ��

� � � � � ��

� � � � � ��

� � � � � � � � � � �

= − = −

= + + − = + + + − + = + −

��

��

��

1�� +

��

1�� +

3. Aufwendiger Filtern (später)


��

Prozedurale Texturen werten bei jedem Aufruf von Ctex( u, v) bzw. Ctex( u, v, w) eine mathematische Formel bzw. einen (fraktalen) Algorithmus aus. Dies hat folgende ��:

+ Der Speicheraufwand ist minimal. + Die Texturwerte können an jeder Stelle ( u, v) bzw. (u, v, w) mit optimaler Genauigkeit berechnet werden. + Die Texturen sind im gesamten Raum definiert.

- Der entscheidende ��prozeduraler Texturen ist, daß selbst Experten Probleme haben, komplexe Texturen, die sie bildlich vor Augen haben, durch mathematische Formeln zu beschreiben. (Hilfreich sind auf jeden Fall gute Grundkenntnisse der Fourier-Synthese und der fraktalen Geometrie).

9


� �� !��"��

1. Aus 2D-Bildschirmkoordinaten in den 3D-Objektraum „zurückprojezieren“

2. Anwenden der Projektorfunktion: ��Planar, Kugel, Zylinder, Quader (box), bei parametrischen Flächen ggf. nicht nötigBei Realtime-Renderer i.d.R. schon beim Modelling ausgeführt und (u,v)-Werte , in den Vertices gespeichert und dann interpoliert. (Aber z.B. OpenGL stellt einige Projektionsmethoden zur Verfügung).

BerechneObjektraum-koordinaten

Projektor-funktion��

Correspon-der-Funktion

TexturwertTransfor-mation

ModifiziereBeleuchtungs-

gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...


� �� !��"��

3. Corresponder- Funktion: Transformation vom Parameterraum zum Texturraum (-ebene) (Texturkoordinaten):

� Weitere Matrix-Transformation (OpenGL): translieren, rotieren, skalieren,...

� Fortsetzungsmodi: wrap (repeat, tile), mirror, clamp, border

4. Abtasten des Texturwertes und Wertanpassung5. Modifiziere Beleuchtungsrechnung: Replace, Modulate

(Multiplikation) den (r,g.b)-Wert oder irgend einen anderen Parameter der Beleuchtungsgleichung (siehe unten)


Projektor-funktion


Texturwert-Abtastung &Anpassung


gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...

10


#��

� In der Regel sind jedem Eckpunkt eines polygonalen Modells Texturkoordinaten (u,v) beim Modelling zugeordnet – also zum Zeitpunkt des Rendering bekannt

� Rückprojektion und Mapping werden in der Regel zusammengefaßt

� Gesucht ist eine Operation, die bilinear interpolierte (x,y)-Koordinaten auf (u,v) abbildet






gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...


�� $��% ��

Wird die Texturierung in den Prozess der Rasterung integriert, so ist zu beachten, daß die Textur perspektivisch korrekt verzerrt wird. Einfache Interpolation der Texturwerte aus den Texturwerten an den Eckpunkten führt zu Artefakten.

11


% ��#��

In homogenen Koordinaten kann das Inverse Mappingausgedrückt werden durch:

=

==

=

Z

\

[

,+*

)('

&%$

T

Y

X

,QYHUVHGHVVHQE]Z

T

Y

T

XYXXQG

Z

\

Z

[\[PLW

T

Y

X

LKJ

IHG

FED

Z

\

[

’

’

’

’

.

)’

,’

(),()’

,’

(),(’

’

’

’

Wenn die Transformation der Eckpunkte eines Vierecks bekannt sind, kann diese Matrix bestimmt werden.


% ��#�� % ��

In der Praxis:� Texturkoordinaten so wie z-Wert oder Beleuch-

tungsparameter im Scanline-Modus interpolieren� Aufgrund der perspektivischen Verzerrung kann

dieses für (u,v) nicht linear erfolgen, sondern für

�,

,�

�,�

�

��,��

1,

’,

’

),’,’(

===

12


�� &�'��$�(��

Bisher wurde Textur-Mapping für ein einzelnes Polygon beschrieben. Dabei wurde vorausgesetzt, dass die ��

L��

LParameter der Polygoneckpunkte ��

L��

L�

L

explizit bekannt sind. Besteht ein Objekt aus sehr wenigen Dreiecken, dann kann ein Anwender diese Zuordnung der ��

L��

LParameter unter Umständen

noch interaktiv am Bildschirm vornehmen. Bei komplexeren Objekten ist dies jedoch unmöglich.

Bier und Sloan (86´) haben ein �� vorgestellt, das die ��Berechnung vollständig automatisiert. Die Grundidee besteht darin, ein komplexes Objekt, das aus beliebig vielen primitiven Teilobjekten bestehen darf, mit einer einfach parametrisierbaren, virtuellen Fläche zu umhüllen. Die 2D-Textur wird dann zunächst einmal auf diese umhüllende Fläche abgebildet, und erst von dort aus auf die Objektoberfläche. Geeignete umhüllende Flächen sind Zylinder-, Kugel- und Quaderoberflächen.


)*�� #��

Beim Zylinder-Mapping wird das Objekt von einem endlichen Zylinder umhüllt. Die Berechnungen sind besonders einfach, wenn die Zylinder-hauptachse parallel zur z-Achse des Objektraumkoordinatensystems verläuft. Die Endpunkte der Achse sind dann durch die Koordinaten min( , , ),

F\O F\O F\O� �

gegeben.

Die Zylinderoberfläche läßt sich leicht durch einen Rotationswinkel φund die Höhe � parametrisieren. Punkte �� im Innern des Zylinders

max( , , )F\O F\O F\O� �

werden dann senkrecht von der Zylinderachse aus auf die Zylinderoberfläche projiziert, und deren �φ ��Parameter werden, nach entsprechender Normierung, als ��-Parameter interpretiert.

Note: in Gleichungen ycyl...

13


+�� #��

arctan 2( , )

2V V

� � � ��

ππ

+ − −=

Kugeloberflächen können leicht durch Kugelkoordinaten und parametrisiert werden. Hat eine umhüllende Kugel den Mittelpunkt ��

V��

V�

V�

dann werden Punkte �� im Kugelinnern vom Mittelpunkt aus auf die Kugeloberfläche projiziert. Dadurch werden ihnen die Parameter � und �zugeordnet:

( )2 2arctan 2 ( ) ( ) ,V V V

� � � � �

π

− + − −=

φ

θ

θφ

��


!�� #��

,max ,min ,max ,min ,max ,min( ) ( ) ( )ER[ ER[ ER[ ER[ ER[ ER[� � � � − ≥ − ≥ −

Beim Box-Mapping beschreibt die umhüllende Fläche einen Quader. In der Regel wählt man hierfür die achsenparallele Bounding Box des Objekts. Eine mögliche Parametrisierung von Punkten �� im Innern der Bounding Box definiert einfach die längste Kante der Bounding Box als u-Achse und die zweitlängste Kante als v-Achse. Gilt also z.B.

,min

,max ,min

ER[

ER[ ER[

� ��

� �

−=

−

dann kann man die Texturparameter einfach durch

und ,min

,max ,min

ER[

ER[ ER[

� ��

� �

−=

−

berechnen.

�

��

�

14


,��

Corresponder- Funktion: Transformation vom Parameterraum zum Texturraum (-ebene) (Texturkoordinaten):

� Weitere Matrix-Transformation (OpenGL): translieren, rotieren, skalieren,...

� Nicht immer realisiert

� Fortsetzungsmodi: wrap (repeat, tile), mirror, clamp, border






gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...


��

wrap mirror clamp border

15


��-�� .��

� Resampling des Texturwertes und ggf. Wertanpassung






gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...


.�� "� ��

Entspricht einem Resampling eines Digitalen Bildes

Einfache Funktionen wie• nearest neightbour• bilinbeare Interpolationerzeugen gravierende Aliasing-Effekte

16


�� "� ��

1 2( , ) , ( , )W W� � � �

� �� ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

Die Projektion eines quadratischen Bildschirmpixels (Kantenlänge 1) auf die Texturebene, wird Footprint genannt (= beliebiges Viereck) und wird näherungsweise als ein Parallelogramm angenommen, das von den Vektoren

aufgespannt wird. Bei den Echtzeitverfahren wird dieser Footprint nun durch einfachere Flächen ersetzt, für die die Summe oder der Mittelwert der dazugehörenden Texturwerte im voraus berechnet werden kann.


!��#� �$��

Abbildung einer Reihe Pixel auf eine Schachbrett-Textur

17


�� / ��(�$�#�� $��

Ausgangstextur: 32 x 64 Texels

Nearest bilineareNeighbour Interpolation


#�� #��

Das wichtigste und bekannteste Verfahren für Echtzeitanwendungen ist das Mip-Mapping-Verfahren. Eine Mip-Map �

PLS�� speichert eine quadratische

Textur �� der Größe �×�, wobei ��N eine Zweierpotenz sein muß, in fortlaufend halbierten Auflösungsstufen.

18


#�� #��

Auf der Stufe �� werden die Texturwerte direkt übernommen.0 k[ , ] [ , ], 0 i,j<2 .PLS

� � � � � �= ≤

( )1 1 1 1

-

1[ , ] [2 ,2 ] [2 1, 2 ] [2 , 2 1] [2 1,2 1]

4 1 -1 und 0 , 2 .

G G G G G

PLS PLS PLS PLS PLS

N G

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � �

− − − −= + + + + + + +

≤ < ≤ <

Die übrigen Stufen d entstehen durch Filterung der jeweils vorhergehenden Stufe.

Auf der Stufe ��der Texturhierarchie werden also ��G Texel der Originaltextur als ein einziges Texel dargestellt.


#�� #��

Nach dieser nur ein einziges Mal zu berechnenden Vorfilterung können beliebige Flächenelemente folgendermaßen texturiert werden:die Texturkoordinaten (u,v) des Pixelmittelpunkts und die Ableitungen nach den Bildschirmkoordinaten

, , ,� � � �� ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

22� �

��

∂ ∂ = + ∂ ∂

gegeben. Dann hat die Projektion des quadratischen Pixels auf die Texturebene, also der Footprint, die Kantenlängen

22

.� �

��

∂ ∂ = + ∂ ∂ X

[

∂∂

X

\

∂∂

19


#�� #��

Als Seitenlänge des quadratischen Footprints wählt man oft ��. Das Maximum und nicht etwa der Mittelwert wird deshalb gewählt, weil die entstehende zusätzliche Verschmierung des Ergebnisbildes durch zu große Footprints eher in Kauf genommen werden kann als Aliasing durch zu kleine Footprints. Unter diesen Voraussetzungen kann der Gesamttexturwert auf derStufe d= log2(l) gemäß

( , , ) ( , , )G

WH[ PLS� � � � �� =

berechnet werden. Dies geht natürlich nur, wenn d ein ganzzahliger Wert ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß d entweder zum nächstgelegenen ganzzahligen Wert gerundet werden, oder aber man führt eine lineare Interpolation zwischen den beiden benachbarten Stufen � und � ! durch. Als Ergebnis der sog. trilinearen Interpolation erhalten wir dann:

1( , , ) ( )* ( , , ) ( 1 )* ( , , ).G G

WH[ PLS PLS� � � � � � �� + = − + + −


0��.��0.��

Die Richtungsabhängigkeit der Projektion (Anisotropie) des Footprints kann durch das Mip-Mapping gar nicht berücksichtigt werden. SAT erlauben anstatt der Approximation durch Quadrate (u,v)-achsenparallele Rechtecke zu verwenden und somit diesem Defizit etwas Rechnung zu tragen.

X

[

∂∂

X

\

∂∂

�Quadratische Approximation des Footprints beim MipMap-Verfahren

20


0��.��0.��

Der Berechnungsaufwand der einfachsten Methode, das arithmetische Mittel über alle Texturwerte eines ��achsenparallele Rechtecks ��

��

�� zu

berechnen, ist proportional zur Größe des Rechtecks:

1 1

0 0

0 0 1 11 0 1 0

[ , ]( , , , )

( 1)( 1)

L M

L L M M

DYJ

� � ��

� � � �= ==

− + − +∑ ∑

Berechnet man dagegen in einem Vorverarbeitungsschritt eine sogenannte Summed-Area-Tabelle

0 0( , ) [ , ]V V

L M

VDW V V L L M M� � � � � �

= ==∑ ∑

und setzt

[ , 1] [ 1, ] 0,VDW VDW� � � �− = − =


0��.��0.��

Dann kann �DYJ

alternativ mit konstantem Berechnungsaufwand, unabhängig von der Rechteckgröße berechnet werden:

1 1

0 0

0 0 1 11 0 1 0

[ , ]( , , , )

( 1)( 1)

L M

L L M M

DYJ

� � ��

� � � �= ==

− + − +∑ ∑

1 1 0 1 1 0 0 00 0 1 1

1 0 1 0

[ , ] [ 1, ] [ , 1] [ 1, 1]( , , , ) .

( 1)( 1)VDW VDW VDW VDW

DYJ

� � � � � � � � � � � ��

� � � �− − − − + − −=

− + − +

21


�� .��*��.�

Die wesentliche Idee des FPA-Verfahrens besteht darin, die leicht und schnell zu erzeugenden Mip-Maps so einzusetzen, daß der näherungsweise als Parallelogramm angenommene Footprint möglichst genau abgedeckt wird. Auf diese Weise wird ein hoher Rechenaufwand vermieden und trotzdem eine anisotrope Texturfilterung erreicht. Das Problem besteht nun darin, den Footprint durch " quadratische Texturfelder (Mip-Map-Zugriffe) möglichst genau und mit geringem Rechenaufwand zu approximieren.

1 1 0 1 1 0 0 00 0 1 1

1 0 1 0

[ , ] [ 1, ] [ , 1] [ 1, 1]( , , , ) .

( 1)( 1)VDW VDW VDW VDW

DYJ

� � � � � � � � � � � ��

� � � �− − − − + − −=

− + − +


�� .��*��.�

.Aus praktischen Gründen wird dabei "��P gewählt, da auf diese Weise die endgültige Texturfarbe durch Aufsummieren und einfache Division durch eine Zweierpotenz (Shift) ermittelt werden kann. Für " kann eine Obergrenze angegeben werden, um die Rechenzeit ohne merkliche Qualitätseinbußen wesentlich zu verkürzen.

22


�� .��* ��.�Für die Berechnung der Mip-Map-Stufe werden die Vektoren

1 2( , ) , ( , )W W� � � �

� �� ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

verwendet, die auch beim normalen Mip-Mapping zur Bestimmung der Stufe herangezogen werden. Dabei sind u,v die Texturkoordinaten und x,y die Bildschirmkoordinaten des Pixels. Ausgehend vom in die Texturebene projizierten Pixelmittelpunkt (u,v) erfolgen die Mip-Map-Zugriffe in Schritten entlang einer Geraden. Dabei wird der betragsmäßig größere der beiden Vektoren �

�bzw. �

�als

Schrittrichtung ��X��Yt verwendet.

Die Mip-Map-Stufe � ist dann durch die Kantenlänge 1 2min( , )� � �=

als 2log ( )� �=

gerundet auf die nächstliegende Zweierpotenz, gegeben.

und die Anzahl der Mip-Map-Zugriffe durch

1 2max( , ),

� �"

�=


�� .��* ��.�Mit Hilfe des Schrittvektors ∆r=(∆u, ∆v) der sich aus der Schrittrichtung durch

und X Y� �

� �" "

∆ = ∆ =

berechnet, können nun die Koordinaten ��Q��

Q für die einzelnen Zugriffe

bestimmt werden: ( , ) ( , ) ( , ), wobei 1, 3, 5,..., ( 1).

2Q Q

�� "= + ∆ ∆ = ± ± ± −

Die Farbe des Pixels ergibt sich dann als arithmetischer Mittelwert aller Zugriffe.

23


#��$��!��

� Potentiell ist jeder Parameter der Beleuchtungsrechnung beeinflußbar






gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b) ...


!� $�� !��

Basis für die folgenden Betrachtungen : Erweiterte Blinn-Phong-Modell durchgeführt wird:

( )( )

VSHFVSHF

P

VSHF

GLIIGLIIGLII

DPEDPEDPE

N

N

VSHF

N

GLII

NN

DPE

N

VSRWHPLDPEJOREWRW

VKL

�-

��

��

��

��

⊗⋅⋅=

⊗⋅=⊗=

++++⊗= ∑

)0,max(

)0,max(

)((

� ��

24


!� $�� !��

�� Eine der am häufigsten angewandten Techniken führt die Beleuchtungsrechnung und das Shading mit konstanten Beleuchtungsparametern durch und skaliert den Beleuchtungswert �tot erst im nachhinein komponentenweise mit dem Texturwert �tex

��!��"�#��$�� %�&� ��Bei dieser einfachsten Art der Texturierung wird die Objektfarbe durch die Farbe der Textur ersetzt. Jegliche Beleuchtung des Objekts wird entfernt, außer die Textur selbst enthält Beleuchtungseffekte.

WH[RXW�� =

WH[WRWRXW�� ⊗=

wenn als Objektfarbe weiß gewählt wird, enthält diese die Schattierungsinformation und die Textur die Farbinformation des Objektes


!� $�� !��

'�� (��$��

Die Flächenfarbe wird im wesentlichen durch den Materialparameter mdiff, im geringeren Maße aber auch durch den Parameter mamb

bestimmt. Also

zu setzen.

Der wesentliche Unterschied zu 2. besteht darin, dass die spekularenReflektionen und Emissionen von der Textur unbeeinflußt bleiben.

WH[DPEDPE

WH[GLIIGLII

��

��

⊗=⊗=’

’

25


!� $�� !��

)�� *�$��

Die Highlights können dadurch unregelmäßig gestaltet werden. Interessant ist diese Methode vor allem im Zusammenhang mit dem *�$��+�� und !��+�� (später)

��#�-#�- �� ⊗=


!� $�� !��

,�� %��Durch die Modulation des Transparenzparameters

*#�� $�α α α=können sehr realistisch aussehende Effekte erzielt werden:α.( � Objekte hinter diesem Flächenpixel sind vollständig sichtbarα./ � so wird kein Licht durchgelassenansonsten wird mit dem Wert von α gefiltert.

Bei Beschränkung auf die Werte 0 und 1 kann durch die Textur zwischen Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit des Objekts ''umgeschaltet'' werden. Dadurch können auch kompliziert geformte Flächen aus einfachen Flächen ''ausgeschnitten'' werden.

Mit stochastischen Werten für α können z.B. verschmutzte und milchige Glasscheiben modelliert werden.

26


!� $�� !��

-��.�� /��Beim 0 �� wird mit Hilfe einer skalarwertigen Textur eine Offsetfläche "0�� definiert. Die Normalenvektoren der Offsetfläche werden dann als Variationen der Normalenvektoren der Basisflächeinterpretiert (siehe später)

~ ( ( )).� �$� ��% �� & ��

1�� 2��3 ��Eine weitere Möglichkeit besteht darin, Lichtquellenparameter durch Texturen zu beeinflussen. Besonders anschaulich ist dies bei Projektorlichtquellen. Dabei wird eine zweidimensionale Textur in den Raum projiziert, d.h. die Lichtemission wird in Abhängigkeit von der Lichtrichtung moduliert:


!� $�� !��

4��56��$�� "$$��$�(��Hierbei wird mit Hilfe von Texturen die tatsächliche Geometrie von Oberflächen verändert. Darauf beruht das sogenannte 7��+��.

8��9��

27


�� % ��

Bei Gouraud-interpolierten Dreiecken kann nur die Beleuchtungsrechnung 2. �� angewendet werden.

Die Möglichkeit der alternativen oder auch kombinierten Anwendung der Texturierungen 3. bis 8. besteht nur bei Visualisierungsverfahren, die entweder eine explizite Beleuchtungsrechnung in jedem Flächenpunkt durchführen oder die verschiedenen Anteile der Phong Beleuchtungsgleichung getrennt durch Gouraud-Interpolation berechnen.


1 �� #�� 2$�� #��

eine einfache Möglichkeit, Reflektionen (zumindest approximativ) mit Hilfe von Textur-Hardware zu berechnen. :� ��;Ist ein Objekt verglichen mit dem Abstand zu umgebenden Objektenklein, so hängt die einfallende Beleuchtsstärke nur von der Richtung, nicht von der Position eines Punktes auf dem Objekt ab. Daher kann die einfallende Beleuchtung für ein Objekt vorberechnet und in einer 2D-Textur, der Environment Map gespeichert werden.

28


1 �� #��

Anschaulich wird das reflektierende Objekt von einer virtuellen Kugel (oder auch virtueller Würfel) umgeben, auf deren Innenseite die Szenenumgebung als zweidimensionale Textur, die Environment Map) aufgetragen ist. Einem Punkt P auf der Objektoberfläche werden dann Texturkoordinaten (u,v) zugeordnet. Die Richtung R und damit die Texturkoordinaten (u,v) können einfach aus der Richtung V zur Kamera und der Normale N in Punkt P berechnet werden:

''�

"

()

( , )� �

�</�/<* 2−=

<


1 �� #��

Für die Beleuchtungsrechnung wird ein erweitertes Phong-Beleuchtungsmodell, das auch Reflektionen berücksichtigt angewendet:

Vorteile des Environment Mapping+ schnell und einfach zu berechnen + liefert gute Visualisierungsergebnisse, wenn die Textur z.B. den Himmel oder einen weit entfernten Horizont repräsentiert. + kann verwendet werden, um große ausgedehnte Lichtquellen als Textur darzustellen.

)()(( φθUHIOPDS

N

N

VSHF

N

GLII

NN

DPE

N

VSRWHPLDPEJOREWRW��- �� +++++⊗= ∑

29


1 �� #��

Nachteile- Wie wird die Environment Map generiert und parametrisiert?- Die Reflektionsberechnung ist nur dann korrekt, wenn der Objektpunkt P sich im Weltmittelpunkt W befindet. Mit zunehmendem Abstand zwischen P und W treten verstärkt Verzerrungen auf.


1 �� #��

Ist die Environment Map schlecht parametrisiert, können erhebliche Aliasing-Probleme auftreten. - Es wird keine Verdeckungsrechnung durchgeführt. Das Problem, daß der reflektierte Strahl R auf ein blockierendes Szenenobjekt treffen kann, wird ignoriert. - Szenenobjekte können sich nicht gegenseitig widerspiegeln. Bei der Reflektionsberechnung wird nur die a priori berechnete Environment Mapberücksichtigt.

30


�� 1 �� #��

Ist der Reflektierte Strahl '��'[�'

\�'

] gegeben, so berechnen sich (φ,θ)

analog wie beim Kugel-Mapping gemäß

Blinn, Newell 1976 verwenden Kugelkoordinaten zur Parametrisierung der Environment Map. Diese werden dann als Texturkoordinaten auf dem Objekt verwendet.

arccos( )

arccos( / sin ), falls 0

2 arccos( / sin ), sonst

]

[ \

[

'

' '

'

θθ

φπ θ

=≥

= −φ

θ

��


�� !�� 3-��

+ Einfach verständlich, älteste Parametrisierung.Die Erzeugung der Environment Map ist kompliziert. In der Praxis wird

meist eine Environment Map, die auf den Innenseiten eines Würfels aufgebracht ist, entsprechend umgerechnet.- Die Parametrisierung mittels Kugelkoordinaten ist schlecht. Um die Pole liegen wesentlich mehr Texel/Fläche als am Äquator. Das führt zu einer schlechten Abtastung.- Wird gegenwärtig nicht von Hardware unterstützt.- Ein Dreieck, das den Pol enthält, enthält den Pol nicht mehr, wenn linear in Polar-koordinaten interpoliert wird.- Schneidet ein Dreieck die Linie mit φ=0, so schneidet ein linear interpoliertes Dreieck diese nicht mehr.

31


��

Greene 1986 verwendet anstatt der Projektion der Umgebung auf eine Kugel eine Projektion auf einen Würfel. Die Environment Map besteht aus 6 ebenen Texturen entsprechend den 6 Würfelseiten. Zur Erzeugung wird eine Kamerain der Mitte des Würfels platziert und 6 Aufnahmen in jede Richtung gemacht. In der Praxis wird die Szene ausgehend vom Mittelpunkt des Objekts 6 mal mit unterschiedlichen Blickrichtungen gerendert. Je nach Richtung des reflektierten Strahls wird eine der 6 Texturen ausgewählt.

+ Die Parametrisierung ist regelmäßiger eine Kugelkoordinatenparametrisierung.+ Die Environment Map kann einfach mit Hilfe von Hardware erzeugt werden.


�� 1 �� #��

Die Projektion auf einen Würfel hat auch Nachteile:

-Liegen die Texturkoordinaten von Eckpunkten von Dreiecken des Objekts in unterschiedlichen Würfelseiten, so ist es schwierig dazwischen zu interpolieren. Eine Methode ist, diese Dreiecke entsprechen zu unterteilen.- Filterung und bilineare Interpolation entlang Würfelkanten ist schwierig.-Noch nicht in Hardware implementiert.

32


�� 1 �� #��

Die Environment Map ist abhängig vom Objektmittelpunkt!


1 �� #��

Anschaulich wird das reflektierende Objekt von einer virtuellen Kugelumgeben, auf deren Innenseite die Szenenumgebung als zweidimensionale Textur, die Environment Map) aufgetragen ist. Einem Punkt P auf der Objektoberfläche werden dann Texturkoordinaten (u,v) zugeordnet. Die Richtung R und damit die Texturkoordinaten (u,v) können einfach aus der Richtung V zur Kamera und der Normale N in Punkt P berechnet werden:beim Reflektion Mapping (Blinn, Newell 1976) z.B. die Kugelkoordinaten (φ,θ), 2( )' * * " "= − �

33


0��#��

OpenGL unterstützt Environment Mapping mit der sogenannten Sphere Map. Dabei wird die gesamte umhüllende Kugel des Objekts, auf deren Innenseite wie beim Standard Environment Mapping die Textur der Umgebung aufgebracht ist, auf einen Kreis abgebildet:

5

19

9

5

Bild,Textur


0��#��

RückseiteVorderseite

Linke SeiteRechte Seite

ObenUnten

Abbildung von 6 Würfelseiten auf eine Sphere Map

34


!�� 0��#��


0��#��

Berechnung von Texturkoordinaten in einem Punkt ( des Objekts:Sei ' ��'

[�'

\�'

]W die Richtung des reflektierten Strahls (sie ist abhängig von

der aktuellen Beobachtungsrichtung!). Dann berechnen sich die Texturkoordinaten ��W wie folgt.

2( )' * " " *= −�Für den reflektierten Strahl gilt:

mit "��"[�"

\�"

]W=��"

]W�

und *��!+�Daraus folgt5

19

Y

X

( , )X Y2

0 0 2

2 0 0 2

1 1 2 1

[ ]

\ ]

] ] ] ]

5 X X 1 X

5 Y Y 1 Y

5 1 1 1

= ⋅ − =

−

Auflösen nach � und � liefert

, 2( 1) 2( 1)

\[

] ]

''� �

' '= =

+ +

(

35


��43��

-Interpolation der Texturkoordinaten führt zu Artefakten.- Unregelmäßige Abtastung: Maximale Abtastraten in Richtungen entgegender Beobachtungsrichtung, Abtastrate in Richtung der Beobachtungsrichtung geht gegen 0. In Beobachtungsrichtung hat die Parametrisierung eine Singulartität.- Aliasing Probleme vor allem am Rand.

Relativ gute Abtastung. Beabsichtigte Interpolation Tatsächliche Interpolation mit Hardware, WrappingEffekt


�� #��

Heidrich und Seidel (1999) verwenden als reflektierendes Objekt anstatt einerKugel zwei Paraboloide.

Im Gegensatz zum Sphere-Mapping, wo die gesamte Umgebung in einer Textur abgelegt wird, werden zwei Texturen verwendet. Eine für die Halbkugel entgegen der Blickrichtung (hinten) und eine in Blickrichtung (vorne). Für die Normale im Punkt �� ergibt sich:

2 2 2 21 1( , ) ( ), 1

2 2, � � � � � �= − + + ≤

2 2

1

1 1

�

" ��

= + +

"

36


�� #��

Berechnung von Texturkoordinaten in einem Punkt ( des Objekts:Sei ' ��'

[�'

\�'

]W die Richtung des reflektierten Strahls (sie ist abhängig von

der aktuellen Beobachtungsrichtung!). Dann berechnen sich die Texturkoordinaten ��W wie folgt.

2( )' * " " *= −�Für den reflektierten Strahl gilt:

mit "��"[�"

\�"

]W�

und *��!+�Daraus folgt

2 2

2 2 2 2

2 2

2

10 01 2

2 0 01 1

1 1 1 1 21

1

[

\

]

X

X Y5 X X

5 Y Y Y

X Y X Y

5

X Y

+ +

= ⋅ − = + + + + − − − − − + + +

Auflösen nach � und � liefert , 1 1

\[

] ]

''� �

' '= =

− −

2 2

1( , ,1)

1

W

X Y

X Y+ +5

1

9

Y

X

( , )X Y3

Frontside


�� 3��

+ Dual-parabolic Maps lassen sich mit einfachen Matrizenoperationen für unterschiedliche Blickrichtungen umrechnen. D.h. sie sind blickpunktsabhängig. + Wesentliche gleichmäßigere Abtastung als beim Sphere-Mapping.+ Weniger Aliasing Probleme.- Interpolation der Texturkoordinaten führt zu Artefakten.- Noch nicht in Hardware verfügbar.

Würfel auf Dual-Parabolische Maps abgebildet.

37


!��#��

Mit den bisher beschriebenen Texturierungstechniken können nur Materialparameter variiert und Beleuchtungsergebnisse skaliert werden. Beleuchtete Flächen sehen dadurch bereits sehr viel variantenreicher und damit auch realistischer aus, trotzdem wirken sie häufig immer noch zu glatt.


!��#��

Gesucht ist daher eine einfache Technik, mit deren Hilfe Flächen rauh, runzlig, zerknittert oder gekräuselt erscheinen. Wollte man diese kleinen Unebenheiten geometrisch exakt modellieren, so könnte man z.B. zu einer gegebenen parametrischen Grundfläche (�� ein zweidimensionales Höhenfeld �� addieren und würde so die Offsetfläche

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

" � �( � � ( � � � � �

" � �′ = +

erhalten.

38


!��#��

Für kleine Höhenwerte ist dieser Ansatz jedoch zu rechenaufwendig. Außerdem zeigt das Phong-Beleuchtungsmodell, daß die exakten geometrischen Positionen der Flächenpunkte (�� bzw. (-�� gar nicht direkt in die Beleuchtungsrechnung eingehen. Viel wichtiger sind die Normalenvektoren "��+ Die wesentliche Idee der Bump-Mapping-Technik besteht konsequenterweise darin, daß es für kleine Unebenheiten ��ausreicht, die Visualisierung mit der Originalgeometrie (�� durchzuführen, bei der Beleuchtungsrechnung aber die Normalen "-�� der Offsetfläche zu verwenden. Diese Normalenvektoren können durch

( , ) ( , ) ( , )X Y

" � � ( � � ( � �′ = ×

berechnet werden.


!��#��

Die Richtungsableitungen erhält man mit den bekannten Summen- und Kettenregeln:

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

X X X

X

Y Y Y

Y

" � � " � �( � � ( � � � � � � � �

" � � " � �

" � � " � �( � � ( � � � � � � � �

" � � " � �

′ = + +

′ = + +

Für kleine Werte h(u,v) können die hinteren Teilterme ignoriert werden:

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

X X X

Y Y Y

" � �( � � ( � � � � �

" � �

" � �( � � ( � � � � �

" � �

′ ≈ +

′ ≈ +

39


!��#��

Für ".�� folgt damit:

, mit

( ) ( )

X Y X Y Y X X Y

X Y Y X

X Y Y X

" " " "" ( ( � ( � ( � �

" " " "

" /

� " ( � ( "" "/ � ( � (

" " "

′ = × + × + × + × = +

× − ×= × + × = Die zweidimensionale Bump Map �� ist dabei in der Regel als diskretes Zahlenfeld bzw. als Grauwertbild gegeben. In diesem Fall werden die Richtungsableitungen �

Xund �

Ydurch

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )( , )

X

Y

� � � � � � ��

��

� � ��

+∆ −=∆

+∆ −=∆

berechnet.


!��#��

Das Bump Mapping kann nur mit denjenigen Beleuchtungsverfahren kombiniert werden, die eine explizite Beleuchtungsrechnung in jedem Flächenpunkt durchführen. Beispiele hierfür sind das Phong-Shading- und das Raytracing-Verfahren. Das Gouraud-Shading-Verfahren erfüllt diese Bedingung jedoch nicht. 1997 wurde ein Bump-Mapping-Verfahren für Hardware vorgestellt.

40


)�� $��

� Fassen Sie das Gelernte zusammen.� Definieren Sie Anwendungsmöglichkeiten

für das Gelernte.� Erbitten Sie Feedback zur

Schulungsveranstaltung.


41


��

� Glossar der Begriffe� Definieren Sie die Fachausdrücke, wie sie

zu diesem Thema verwendet werden.


42


5��% $��

� Nennen Sie Bücher, Artikel, elektronische Quellen.

� Beratungsdienste, andere Quellen


43


.��6 3(��0��

� Ergänzungen, ...� Wie geht es weiter

Nächstes Kapitel


44

5��


Text

TextText

� �Text

Text

TextTextVR

�:

��

Professur Graphische Datenverarbeitung - Johann Wolfgang ... › lehre › ss2000 › Folien ›...

Documents

Transcript of Professur Graphische Datenverarbeitung - Johann Wolfgang ... › lehre › ss2000 › Folien ›...