GI I H N HÀM S LÝ THUY T VÀ PH NG PHÁP TÓM TẮT LÝ THUYẾT fileGiới hạn của hàm số...

Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, bài giảng miễn phí


GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1). Giới hạn của hàm số tại một điểm:

a). Giới hạn hữu hạn: Giả sử a; b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp

0a; b \ x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với

mọi dãy số nx trong tập hợp 0a; b \ x mà n 0limx x ta đều có nlim f x L . Khi đó ta viết:

0x X

lim f x L

hoặc f x L khi 0x x .

Nhận xét:

Nếu f x c, x ¡ , trong đó c là hằng số thì 0 0x x x x

lim f x lim c c

.

Nếu f x x, x ¡ thì 0 0

0x x x xlim f x lim x x

.

b). Giới hạn vô cực: Giả sử a; b là một khoảng chứa điểm 0x và f là một hàm số xác định trên tập hợp

0a; b \ x .

0x x

lim f x

nếu với mọi dãy số nx trog tập hợp 0a; b \ x mà n 0limx x ta đều có

lim f x .

0x x

lim f x

nếu với mọi dãy số nx trog tập hợp 0a; b \ x mà n 0limx x ta đều có

lim f x .

2). Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới

nếu với mọi dãy số nx trong khoảng a; mà nlimx ta đều có nlim f x L . Khi đó ta

viết: xlim f x L

hoặc f x L khi x .

Các giới hạn xlim f x ,

xlim f x ,

xlim f x L,

xlim f x ,

xlim f x

được định

nghĩa hoàn toàn tương tự.

Nhận xét:

Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với mọi số nguyên dương k, ta

có:

k

xlim x

kx

1lim 0

x

kx

1lim 0

x

3). Một số định lí về giới hạn hữu hạn:

Định lí 1: Giả sử 0x x

lim f x L

và 0x x

lim g x M

(với L, M ¡ ).Khi đó:

0x x

lim f x g x L M

0x x

lim f x g x L M

0x x

lim f x .g x L.M

Nếu M 0 thì 0x x

f x Llim

Mg x

Hệ quả:

Nếu c là một hằng số thì 0x x

lim c.f x c.L

.

0

k k0

x xlim a.x ax

( a hằng số và k ¢ ).



Định lí 2: Giả sử 0x x

lim f x L

. Khi đó:

0x x

lim f x L

0

33

x xlim f x L

Nếu f x 0 với mọi 0x J\ x , trong đó J là một khoảng nào đó chứa 0x , thì L 0 và

0x x

lim f x L

.

Chú ý:

Định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng khi thay 0x x bởi x hoặc x .

Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn hàm số): giả sử J là một khoảng chứa 0x và f, g, h là ba hàm số xác

định trên tập hợp 0J\ x . Nếu f x g x h x với mọi 0x J\ x và 0 0x x x x

lim f x lim h x L

thì

0x x

lim g x L

.

Chú ý: Định lí 3 vẫn đúng khi thay 0x x bởi x (trong các trường hợp này thay tập hợp 0J\ x

bằng khoảng a; ) hoặc x (trong các trường hợp này thay tập hợp 0J\ x bằng khoảng ;a

).

Định lí 4: Nếu 0x x

lim f x

thì 0x x

1lim 0

f x .

4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Qui tắc 1: Nếu 0x x

lim f x

và 0x x

lim g x L

(với L 0 ) thì 0x x

lim f x .g x

được cho bởi bảng sau:

0x x

lim f x

Dấu của L 0x x

lim f x .g x

+

Quy tắc 2: Nếu 0x x

lim f x L, L 0

, 0x x

lim g x 0

và g x 0 hoặc g x 0 với mọi 0x a; b \ x thì

0x x

f xlim

g x được cho bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của g x 0x x

f xlim

g x

+

5). Các dạng vô định:

Các dạng vô định trường gặp: 0, ,0. ,

0

.

6). Giới hạn một bên:

a). Giới hạn hữu hạn:



Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng 0 0x ; b , x ¡ . Ta nói rằng hàm số f có giới

hạn bên phải là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số nx trong khoảng

0x ; b mà n 0limx x , ta đều có nlim f x L . Khi đó ta viết:

0x x

lim f x L


Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng 0 0a; x , x ¡ . Ta nói rằng hàm số f có giới

hạn bên trái là số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số nx trong khoảng

0a; x mà n 0limx x , ta đều có nlim f x L . Khi đó ta viết:

0x x

lim f x L


Định lí 5: 0 0 0

x x x x x xlim f x L lim f x lim f x L

Giới hạn vô cực:

0 0 0 0x x x x x x x x

lim f x , lim f x , lim f x lim f x

được phát biểu tương tự như các định nghĩa ở

phần giới hạn hữu hạn.

Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực.

Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng trong trường hợp 0x x

hay 0x x .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1: TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

a). Để tìm 0x x

lim f x

ta làm như sau:

Xét dãy số nx bất kỳ thuộc tập xác định D với n 0x x mà n 0limx x

Tìm nlim f x :

Nếu ta có nlim f x L thì 0x x

lim f x L

.

Nếu ta có nlim f x thì 0x x

lim f x

.

b). Để tìm xlim f x

hoặc xlim f x

ta làm như sau :

Xét dãy số nx bất kỳ thuộc tập xác định mà nlimx .

Tìm nlim f x :

Nếu ta có nlim f x L thì xlim f x L

.

Nếu ta có nlim f x thì xlim f x

.

Hoàn toàn tương tự khi tính xlim f x

.

c). Để chứng minh hàm số f x không có giới hạn khi 0x x ta thường làm như sau :

Chọn hai dãy số nu và nv cùng thuộc tập xác định của hàm số sao cho n 0 n 0u x ,v x và có

n n 0limu limv x .

Chứng minh n nlim f u lim f v hoặc một trong hai giới hạn này không tồn tại.



Khi đó theo định nghĩa ta suy ra hàm số không có giới hạn khi 0x x .

Đối với các trường hợp 0 0x x ,x x ,x ,x ta cũng làm tương tự.

CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH 0

0 (Dạng này thường gặp khi 0x x ).

DẠNG 1: Hàm số

P xf x

Q x trong đó P x ,Q x là đa thức theo biến x.

PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức làm cả tử và mẫu bằng 0.

Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau:

Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng 21 2ax bx c a x x x x , a 0 với 1 2x ,x là nghiệm của

phương trình 2ax bx c 0 .

Sử dụng phương pháp Hoocner . Phép chia đa thức 4 3 2P x ax bx cx dx e cho 0(x x ) theo sơ

đồ Hoocner như sau:

a b c d e

0x a 1 0b ax b 2

1 0 0c ax bx c 3 2

1 0 0 0d ax bx cx d 0

Hàng thứ nhất điền hệ số của đa thức P x từ ô thứ hai đến ô cuối cùng. Ở hàng thứ hai ô đầu tiên điền

giá trị 0x là một nghiệm của P x , ô thứ hai viết lại a, lấy 0x .a b đặt vào ô thứ ba, lấy

20 0 0 0x x a b c ax bx c điền váo ô thứ tư, lấy 2

0 0 0x ax bx c d 3 20 0 0ax bx cx d điền vào ô

thứ năm, lấy 3 20 0 0 0x ax bx cx d e 0 (bắt buộc tổng này phải bằng 0, thì đây mới là phép chia hết).

Khi đó P x được viết lại

3 20 1 1 1P x x x ax b x c x d

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a). 3

2x 2

x 8lim

x 11x 18

b).3 2

3 2x 3

2x 5x 2x 3L lim

4x 13x 4x 3

c).

3 2

3 2x 1

2x 5x 4x 1lim

x x x 1

d). 3x 2

1 12lim

x 2 x 8

e). 3

4 2x 1

1 xlim

x 4x 3

f).

2 2x 2

1 1lim

x 3x 2 x 5x 6

LỜI GIẢI

a).Ta có 3 3 3 2x 8 x 2 x 2 x 2x 4 (áp dụng hằng đẳng thức), và 2x 11x 18 x 2 x 9

(với 1x 2 và 2x 9 là hai nghiệm của phương trình 2x 11x 18 0 ).

Do đó

23 2

2x 2 x 2 x 2

x 2 x 2x 4x 8 x 2x 4 12lim lim lim

x 9 7x 2 x 9x 11x 18

.

b).3 2

3 2x 3

2x 5x 2x 3L lim

4x 13x 4x 3



Thay x 3 vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên x 3 là một nghiệm của hai đa thức cả mẫu và tử. Có

nghĩa (x 3) là nhân tử chung, ta phân tích đa thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp

Hoocner. Cách làm như sau:

Phân tích tử số: 3 2 22x 5x 2x 3 x 3 2x x 1

Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần vào các ô ở hàng đầu tiên với ô

thứ nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá

trị ở ô thứ hai của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy 3.2 ( 5) 1 điền

chữ số 1 vào ô thứ ba, lấy 3.1 ( 2) 1 điền chữ số 1 vào ô thứ tư, cuối cùng lấy 3.1 ( 3) 0 điền vào ô

cuối cùng.

2 ‐5 ‐2 ‐3

3 2 1 1 0

Phân tích mẫu số: 3 2 24x 13x 4x 3 x 3 4x x 1

4 ‐13 4 ‐3

3 4 ‐1 1 0

Do đó

2 2

22x 3 x 3

x 3 2x x 1 2x x 1 11L lim lim

174x x 1x 3 4x x 1

.

c). 3 2

3 2x 1

2x 5x 4x 1L lim

x x x 1

. Ta thấy 3 2

x 1lim 2x 5x 4x 1 0

và 3 2

x 1lim x x x 1 0

như vậy đây

là dạng giới hạn vô định 0

0ta phải phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử để khử vô định. Phân tích nhân

tử bằng phương pháp Hoocner

Phân tích tử số: 3 2 22x 5x 4x 1 x 1 2x 3x 1

2 5 4 1

1 2 3 1 0

Phân tích mẫu số: 3 2 2 2x x x 1 x 1 x 0x 1 x 1 x 1

1 1 1 1

1 1 0 1 0

Từ đó

2

2

22x 1 x 1

x 1 2x 3x 1 2x 3x 1L lim lim

x 1x 1 x 1

, ta thấy 2

x 1lim 2x 3x 1 0

và 2

x 1lim x 1 0

ta

vẫn còn dạng vô định 0

0 nên phân tích thành nhân tử tiếp, ta làm như sau:

2

2x 1 x 1 x 1

x 1 2x 12x 3x 1 2x 1 1L lim lim lim

x 1 2x 1 x 1x 1

.

d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành nhân tử và rút gọn hạng

tử vô định 3x 2

1 12L lim

x 2 x 8

2x 2

1 12lim

x 2 (x 2)(x 2x 4)

2

2x 2

x 2x 8lim

(x 2)(x 2x 4)

2x 2

(x 2)(x 4)lim

(x 2)(x 2x 4)

2x 2

x 4 1lim

2x 2x 4

.



e). 3

4 2x 1

1 xL lim

x 4x 3

. Phân tích tử số 3 21 x 1 x 1 x x . Phân tích mẫu số 4 2x 4x 3

4 3 2 2x 0x 4x 0x 3 bằng Hoocner:

1 0 4 0 3

1 1 1 3 3 0

Do đó 4 2 3 2x 4x 3 x 1 x x 3x 3

Từ đó

2 2

3 23 2x 1 x 1

1 x 1 x x 1 x x 3L lim lim

4x x 3x 3x 1 x x 3x 3

.

f). 2 2x 2

1 1L lim

x 3x 2 x 5x 6

x 2

1 1lim

x 1 x 2 x 2 x 3

x 2

2 x 2lim

x 1 x 2 x 3

x 2

2lim 2

x 1 x 3

.

DẠNG 2: Hàm số

P xf x

Q x trong đó P x ,Q x là các biểu thức có chứa căn thức theo biến x.

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Nhân lượng liên hợp.

2 2

2 2

2 2

a ba b

a ba b a b a ba b

a ba b

3 3

2 2

a ba b

a ab b

3 3

2 2

a ba b

a ab b

.

223 3 3

33

2 22 23 3 3 3

a b a a.b ba b

a b

a a.b b a a.b b

.

223 3 3

33

2 22 23 3 3 3

a b a a.b ba b

a b

a a.b b a a.b b

223 3 3

33

2 22 23 3 3 3

a b a a. b ba b

a b

a a. b b a a. b b

223 3 3

33

2 22 23 3 3 3

a b a a. b ba b

a b

a a. b b a a. b b

2 23 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3

a b a a. b ba b

a b

a a. b b a a. b b

.



2 23 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3

a b a a. b ba b

a b

a a. b b a a. b b

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn hạng tử chung của cả tử và mẫu.

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau :

a). x 1

x 3 2lim

x 1

b). 2x 7

2 x 3lim

x 49

c). 2 2

2x 3

x 2x 6 x 2x 6lim

x 4x 3

d). x 2

x 2 2lim

x 7 3

e).

2

4x 1

x x 2 1 xlim

x x

f). x 2

x 2 2xlim

x 1 3 x

.

g). x 1

4x 5 3x 6lim

x 3 2

h).

x 3

x 1 3x 5lim

2x 3 x 6

LỜI GIẢI

a).

2

x 1 x 1 x 1 x 1

x 3 2 x 3 2 x 1 1 1lim lim lim lim

x 1 4x 3 2x 1 x 3 2 x 1 x 3 2

.

b).

2

2x 7 x 7 x 72

2 x 3 2 (x 3) 7 xlim lim lim

x 49 x 49 2 x 3 x 7 x 7 2 x 3

x 7

1 1lim

56x 7 2 x 3

.

c).

2 22 2

2x 3 x 3 2 2 2

x 2x 6 x 2x 6x 2x 6 x 2x 6lim lim

x 4x 3 x 4x 3 x 2x 6 x 2x 6

x 3 x 32 2 2 2

4 x 3 4 1lim lim

3x 1 x 3 x 2x 6 x 2x 6 x 1 x 2x 6 x 2x 6

.

d).

2

x 2 x 2 x 22

x 2 2 x 7 3 x 2 x 7 3x 2 2lim lim lim

x 7 3 x 7 3 x 2 2 x 2 x 2 2

x 2

x 7 3 3lim

2x 2 2

.

e).

22

4x 1 x 1 4 2

x x 2 1 xx x 2 1 xlim lim

x x x x x x 2 1 x

2

x 1 3 2

x 2x 1lim

x x 1 x x 2 1 x

2

x 1 2 2

x 1lim

x x 1 x x 1 x x 2 1 x

x 1 2 2

x 1lim 0

x x x 1 x x 2 1 x

.

f). x 2 x 2

x 2 2x x 1 3 xx 2 2xlim lim

x 1 3 x x 1 3 x x 2 2x

x 2

x 2 x 1 3 xlim

2 x 2 x 2 2x

x 2

x 1 3 x 1lim

42 x 2 2x

.



g). x 1 x 1

4x 5 3x 6 x 3 24x 5 3x 6lim lim

x 3 2 x 3 4 4x 5 3x 6

x 1 x 1

x 1 x 3 2 x 3 2 2lim lim

34x 5 3x 6x 1 4x 5 3x 6

h).

x 3 x 3 x 3

2 x 3 2x 3 x 6 2 2x 3 x 6x 1 3x 5lim lim lim 3

2x 3 x 6 x 3 x 1 3x 5 x 1 3x 5


a). 3

x 2

4x 2lim

x 2

b). 3 3

2x 1

10 2x x 1lim

x 3x 2

c).

3

3x 3 2

x 27lim

x 1 4x 28

d). 3

3x 1

x 1lim

x 2 1

e).

3 3

x 1

2x 1 xlim

x 1

f).

4

x 1

4x 3 1lim

x 1

.

LỜI GIẢI

a). Ta có

233 3 3

33

3

23 3

A

4x 2 4x 2. 4x 4 4x 2 2 x 24x 84x 2

A A A4x 2. 4x 4

1 4 4 4 2 4 4 43

.

Do đó

3

2x 2 x 2 x 2 3 3

2 x 24x 2 2 2 1lim lim lim

x 2 A 6x 2 .A4.2 2. 4.2 4

.

b). Ta có 3 310 2x x 1

223 3 33 3 3

223 33 3

A

10 2x x 1 10 2x 10 2x . x 1 x 1

10 2x 10 2x . x 1 x 1

1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43

3

33 3 23 210 2x x 1 3 x 1 x 2x 33x 3x 3x 9

A A A

Và có 2x 3x 2 x 1 x 2

Do đó

23 3

2x 1 x 1

3 x 1 x 2x 310 2x x 1lim lim

x 1 x 2 .Ax 3x 2

2

x 1

3 x 2x 3 3.6 3lim

12 2x 2 .A

.



c). Ta có 3 2x 1 4x 28

223 3 32 2 2

22 3 32 2

A

(x 1) 4x 28 x 1 x 1 4x 28 4x 28

x 1 x 1 4x 28 4x 28

1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43

3

3 3 2 23 2x 1 4x 28 x 3 x 2x 9x x 3x 27

A A A

Và 3 3 3 2x 27 x 3 x 3 x 3x 9 . Do đó 3

3x 3 2

x 27lim

x 1 4x 28

2

2x 3

x 3 x 3x 9lim

x 3 x 2x 9

A

2

2x 3

x 3x 9 .A 27.48lim 54

24x 2x 9

.

d). Có

233 3 3

3

3

23 3

A

x 1 x x 1 x 1 x 1x 1

A Ax x 1

1 4 4 2 4 43

, và

2

33 3 33

3

23 3

B

x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 1 x 1x 2 1

B Bx 2 x 2 1

1 4 4 44 2 4 4 4 43

.

Từ đó 3

3x 1

x 1lim

x 2 1

x 1 x 1

x 1B 3Alim lim 1

x 1 A 3

B

.

e). Có

2 23 3 3 3 3 3

3 3

2 23 3 3 3

A

2x 1 x 2x 1 2x 1. x x

2x 1 x

2x 1 2x 1. x x

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

3 33 32x 1 x

A

x 1

A

và

x 1x 1

x 1

.

Do đó 3 3

x 1 x 1 x 1

x 12x 1 x x 1 2Alim lim lim

x 1 A 3x 1

x 1

.

f). Có

4 4

4

4 4

4x 3 1 4x 3 1 4x 3 14x 3 1

4x 3 1 4x 3 1

4

A

4x 3 1 4x 3 1

4x 3 1 4x 3 1

1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

4 x 1

A

.



Do đó

4

x 1 x 1 x 1

4 x 1

4x 3 1 4 4Alim lim lim 1x 1 x 1 A 4

.

DẠNG 3: Thêm bớt số hạng hoặc một biểu thức vắng để khử được dạng vô định: Các dạng hay gặp

0

k k

x x0

f x g x clim

x x

hoặc

0

k m

x x0

f x g x clim

x x

hoặc

0

k m

nx x0

f x g x clim

x x

. Trong đó k, m, n

* ¥ và n min(k,m) .

PHƯƠNG PHÁP: Thông qua những ví dụ sau, rồi ta rút ra phương pháp giải:


a). x 1

2x 2 5x 4 5lim

x 1

b). 3

x 2

3x 2 5x 6lim

x 2

c). 3 2

2x 2

2x 4x 11 x 7lim

x 4

d).

2 2

x 1

5x 1 3 x x 1 5 2x 1lim

x 1

LỜI GIẢI

a). Ta có khi x 1 thì 2x 2 5x 4 5 0 do đó đây là bài dạng vô định 0

0, ta phải tách được về

dạng

x 1 x 1

f x c g x mlim lim

x 1 x 1

sao cho mỗi giới hạn nhân lượng liên hợp đều khử được dạng vô

định . Kỹ thuật ta thay x 1 vào 2x 2 2 và 5x 4 3 nên số 5 tách thành 2 3 và gom

lại như sau :

x 1 x 1

2x 2 2 5x 4 32x 2 5x 4 5lim lim

x 1 x 1

x 1 x 1

2x 2 2 5x 4 3lim lim

x 1 x 1

. Sau đó tính

từng giới hạn.

Tính

1x 1 x 1

2x 2 2 2x 2 22x 2 2L lim lim

x 1 x 1 2x 2 2

2

x 1

2x 2 4lim

x 1 2x 2 2

x 1 x 1

2 x 1 2 1lim lim

22x 2 2x 1 2x 2 2

.

Tính

2x 1 x 1

5x 4 3 5x 4 35x 4 3L lim lim

x 1 x 1 5x 4 3

2

x 1

5x 4 9lim

x 1 5x 4 3

x 1 x 1

5 x 1 5 5lim lim

65x 4 3x 1 5x 4 3

.

Kết luận x 1

2x 2 5x 4 5 1 5 4lim

x 1 2 6 3

.



b). 3

x 2

3x 2 5x 6L lim

x 2

. Ta dễ dàng thấy đây là dạng vô định

0

0 và tử số có hai căn thức khác loại,

nên ta phải thêm bớt một hằng số c sao cho đưa được về dạng 3

x 2 x 1

f x c c g xlim lim

x 2 x 2

và mỗi giới

hạn đều tính được giới hạn khi khử được dạng vô định bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Kỹ thuật 1: Thay x 2 vào 3 3x 2 và 5x 6 đều bằng 2. Suy ra 2 là giá trị ta cần thêm bớt.

Kỹ thuật 2: Cho x 2 0 x 2 sau đó giải hệ 3 3x 2 2 3x 2 8 x 2

5x 6 4 x 25x 6 2

c 2 là giá trị

cần thêm bớt.

Cụ thể làm như sau: 3

3

x 2 x 2

3x 2 2 2 5x 63x 2 5x 6L lim lim

x 2 x 2

3

x 2 x 2

3x 2 2 2 5x 6lim lim

x 2 x 2

.

Tính

23 3 3

3

1 2x 2 x 2 3 3

A

3x 2 2 3x 2 2. 3x 2 43x 2 2

L lim limx 2

x 2 3x 2 2. 3x 2 4

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43

x 2 x 2

3 x 2 3 1lim lim

A 4x 2 .A

.

Tính

2x 2

2 5x 6 2 5x 62 5x 6 4 (5x 6)L lim

x 2 x 2 2 5x 6 x 2 2 5x 6

5 x 2 5 5

42 5x 6x 2 2 5x 6

.

Do đó 1 2

1 5L L L 1

4 4 .

c). 3 2

2x 2

2x 4x 11 x 7L lim

x 4

, tương tự câu b) thay x 2 vào

3 22x 4x 11 và x 7 đều bằng 3.

Như vậy 3 là giá trị cần thêm và bớt, cụ thể 3 2

2x 2

2x 4x 11 3 3 x 7L lim

x 4

3 2

2 2x 2 x 2

2x 4x 11 3 3 x 7lim lim

x 4 x 4

.



Tính 3 2

1 2x 2

2x 4x 11 3L lim

x 4

23 3 32 2 2

2x 23 32 2 2

A

2x 4x 11 3 2x 4x 11 3. 2x 4x 11 9

lim

x 4 2x 4x 11 3. 2x 4x 11 9

1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43

33 2

2

2 2x 2 x 2 x 2 x 2

2x 4x 11 27 2 x 2 x 4 2 x 42x 4x 16 1lim lim lim lim

9x 2 x 2 .A x 2 .Ax 4 .A x 4 .A

.

Tính: 2 2 2x 2 x 2

3 x 7 3 x 73 x 7L lim lim

x 4 x 4 3 x 7

x 2

2 xlim

x 2 x 2 3 x 7

x 2

1 1lim

24x 2 3 x 7

.

Do đó 1 2

1 1 5L L L

9 24 72 .

d). 2 2

x 1

5x 1 3 x x 1 5 2x 1lim

x 1

. Ta thấy khi x 1 thì cả tử và mẫu đều 0 nên đây là bài

thuộc dạng vô định 0

0. Kỹ thuật giải bài này cũng giống như các câu a, b, c. Bước đầu tiên thay x 1 vào

5x 1 được 2, thay x 1 vào 2x x 1 được 1 và thay x 1 vào 22x 1 được 1. Nên giới hạn được

viết lại 2 2

x 1

5x 1 2 3 x x 1 1 5 2x 1 1L lim

x 1

x 1

5x 1 2L lim

x 1

2

x 1

x x 1 13lim

x 1

2

x 1

2x 1 15lim

x 1

.

Tính

1x 1 x 1

5x 1 2 5x 1 25x 1 2L lim lim

x 1 x 1 5x 1 2

x 1

5 x 1lim

x 1 5x 1 2

x 1

5 5lim

45x 1 2

.

Tính

2 22

2x 1 x 1 2

x x 1 1 x x 1 1x x 1 1

L lim limx 1 x 1 x x 1 1

2

x 1 2

x x 2lim

x 1 x x 1 1

x 1 x 1 22

x 1 x 2 x 2 3lim lim

2x x 1 1x 1 x x 1 1

.

Tính

2 22

3x 1 x 1 2

2x 1 1 2x 1 12x 1 1

L lim limx 1 x 1 2x 1 1

2

x 1 2

2x 2lim

x 1 2x 1 1

x 1 x 1 22

2 x 1 x 1 2 x 1lim lim 2

2x 1 1x 1 2x 1 1

.



Từ đó suy ra 1 2 3

5 9 17L L 3L 5L 10

4 2 4 .

Ví dụ 2 *: Tính các giới hạn sau:

a). 3

2x 0

1 4x 1 6xlim

x

b).

32 2

2x 2

2x 6x 5 3x 9x 7lim

x 2

c). 33 2 2

3x 0

8x x 6x 9 9x 27x 27lim

x

d).

3 2

3 2x 1

6x 2 2 xlim

x x x 1

LỜI GIẢI

Cách khử vô định 0

0 dạng

0

k m

nx x0

f x g xlim

x x

ta phải thêm và bớt một biểu thức h x sao cho liên hợp

thì tử xuất hiện một lượng nhân tử n0x x sau đó khử được vô định. Cách làm như sau:

0 0

k mk m

n nx x x x0 0

f x h x h x g xf x g xL lim lim

x x x x

0 0

n nk m0 0

n n n nx x x x0 0 0 0

f x h x h x g x u x x x v x x xlim lim

x x x x x x P x x x Q x

.

Trong đó P x là lượng liên hợp của k f x h x và Q x là lượng liên hợp của mh x g x . Cụ

thể qua những ví dụ các bạn sẽ hiểu rõ hơn.

a). Phân tích hướng giải, bước đầu tiên ta phải thêm một lượng h x có nghĩa 3

2x 0

1 4x 1 6xlim

x

3

2x 0

1 4x h x h x 1 6xlim

x

2x 0

1 4x h xlim

x

3

2x 0

h x 1 6xlim

x

.

Tính

1 2x 0

1 4x h xL lim

x

, ta có 1 4x h x

1 4x h x 1 4x h x

1 4x h x

21 4x h x

1 4x h x

như vậy ta phải tìm hàm h x sao cho 2h x phải xuất hiện 1 4x . Ta phân tích

22 21 4x ... h x 1 2.1.(2x) 2x h x 2 21 2x h x h x 1 2x . Đến đây bài toán

xem như đã hoàn thành (vì phương pháp nhân lượng liên hợp các bạn đã thành thạo trong những ví dụ

trên).

Cách làm cụ thể : 3

2x 0

1 4x 1 6xlim

x

3

2x 0

1 4x 1 2x 1 2x 1 6xlim

x

2x 0

1 4x 1 2xlim

x

3

2x 0

1 2x 1 6xlim

x

.

Tính

1 2 2x 0 x 0

1 4x 1 2x 1 4x 1 2x 1 4x 1 2xL lim lim

x x 1 4x 1 2x



2 2

2x 0

1 4x 1 2xlim

x 1 4x 1 2x

22

2 2x 0 x 0

1 4x 1 4x 4x 4xlim lim

x 1 4x 1 2x x 1 4x 1 2x

x 0

4lim 2

1 4x 1 2x

.

Tính 3

2 2x 0

1 2x 1 6xL lim

x

223 3 3

2x 0 22 3 3

A

1 2x 1 6x 1 2x 1 2x 1 6x 1 6x

lim

x 1 2x 1 2x 1 6x 1 6x

1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 43

33 32 3

2 2x 0 x 0

1 2x 1 6x 1 6x 12x 8x (1 6x)lim lim

x .A x .A

2

2x 0

4x 3 2xlim

x .A

x 0

4 3 2xlim 4

A

Do đó 1 2L L L 2 4 2 .

b).

32 2

2x 2

2x 6x 5 3x 9x 7L lim

x 2

. Để dễ thêm bớt ta nên đặt x 2 t x t 2 vì x 2

(x 2) 0 do đó t 0 . Suy ra 2 23

2t 0

2(t 2) 6(t 2) 5 3(t 2) 9(t 2) 7L lim

t

32 2

2t 0

2t 2t 1 3t 3t 1lim

t

đến đây ta phải thêm và bớt một lượng h t để trên tử phải xuất hiện

một lượng 2t .u t . Ta bắt đầu thực hiện 32 2

2t 0

2t 2t 1 h t h t 3t 3t 1L lim

t

32 2

2 2t 0 t 0

2t 2t 1 h t h t 3t 3t 1lim lim

t t

.

Phân tích

2 2 2

1 2t 0 t 0 2 2

2t 2t 1 h t 2t 2t 1 h t 2t 2t 1 h tL lim lim

t t . 2t 2t 1 h t

2 2

t 0 2 2

2t 2t 1 h tlim

t . 2t 2t 1 h t

như vậy ta phải tìm hàm h t sao cho 2h t phải xuất hiện một lượng

2t 1 . Ta thực hiện như sau: 2 2 2... 2t 1 h t t 2t 1 h t 2 2t 1 h t h t t 1

mấu chốt của bài toán ta đã giải quyết xong. Ở đây vì sao ta lại lấy giới hạn đầu để phân tích? Thật ra lấy

giới hạn nào cũng được vì thêm và bớt phải cùng một lượng h t , ta tìm được bớt lượng h t ở giới hạn

đầu thì giới hạn sau hiển nhiên phải nhận thêm lượng h t . Và tìm hàm h t lấy giới hạn có căn thức

bậc hai dễ nhân lượng liên hợp hơn.



Cách làm cụ thể ở bài này: 32 2

2t 0

2t 2t 1 t 1 t 1 3t 3t 1L lim

t

2

2t 0

2t 2t 1 t 1lim

t

3 2

2t 0

t 1 3t 3t 1lim

t

.

Tính

2 2 2

1 2t 0 t 0 2 2

2t 2t 1 t 1 2t 2t 1 t 1 2t 2t 1 t 1L lim lim

t t 2t 2t 1 t 1

222

t 0 t 0 t 0 22 2 2 2

2t 2t 1 t 1t 1 1

lim lim lim22t 2t 1 t 1t 2t 2t 1 t 1 t 2t 2t 1 t 1

Tính 3 2

2 2t 0

t 1 3t 3t 1L lim

t

223 3 32 2 2

2t 0 2 3 32 2 2

A

t 1 3t 3t 1 t 1 t 1 3t 3t 1 3t 3t 1

lim

t t 1 t 1 3t 3t 1 3t 3t 1

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3

3

2 3 23

2 2t 0 t 0 t 0

t 1 3t 3t 1t t

lim lim lim 0At .A t .A

.

Kết luận 1 2

1 1L L L 0

2 2 .

c). 33 2 2

3x 0

8x x 6x 9 9x 27x 27lim

x

.Tương tự câu a và b trước tiên ta phải tìm lượng h x . Có

3 2 3 2

3 2

3 2

8x x 6x 9 h x 8x x 6x 9 h x8x x 6x 9 h x

8x x 6x 9 h x

3 2 2

3 2

8x x 6x 9 h x

8x x 6x 9 h x

bài này tương đối dễ, ta thấy ngay 22x 6x 9 x 3 có nghĩa

22h x x 3 h x x 3 . Cách làm cụ thể như sau:

33 2 2

3x 0

8x x 6x 9 (x 3) (x 3) 9x 27x 27L lim

x

33 2 2

3 3x 0 x 0

8x x 6x 9 (x 3) (x 3) 9x 27x 27lim lim

x x



Tính

3 2

1 3x 0

8x x 6x 9 (x 3)L lim

x

3 2 3 2

x 0 3 3 2

A

8x x 6x 9 (x 3) 8x x 6x 9 (x 3)lim

x 8x x 6x 9 (x 3)

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

23 2

3x 0

8x x 6x 9 x 3lim

x .A

3

3x 0 x 0

8x 8 8 4lim lim

A 6 3x .A .

Tính

3 2

2 3x 0

(x 3) 9x 27x 27L lim

x

3 2

2x 0 2 3 33 2 2

B

x 3 9x 27x 27lim

x x 3 x 3 9x 27x 27 9x 27x 27

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3

3

3x 0 x 0

x 1 1lim lim

B 27x .B .

Kết luận 1 2

4 1 37L L L

3 27 27 .

d). 3 2

3 2x 1

6x 2 2 xlim

x x x 1

. Mẫu số được phân tích 3 2 2x x x 1 x x 1 x 1 2x 1 x 1

2x 1 x 1 , nên giới hạn được viết lại

3 2

2x 1

6x 2 2 xL lim

x 1 x 1

. Đặt t x 1 nên

2 33 2

2 2t 0 t 0

6(t 1) 2 t 1 6t 12t 6 2 t 1L lim lim

t t 2 t t 2

3 3 32 2 2

3 2 3 2 3 2x 1 x 1 x 1

6x 2 2 x 6x 2 (x 1) (x 1) 2 x 6x 2 (x 1)lim lim lim

x x x 1 x x x 1 x x x 1

3 2x 1

(x 1) 2 xlim

x x x 1

.

GI I H N HÀM S LÝ THUY T VÀ PH NG PHÁP TÓM TẮT LÝ THUYẾT fileGiới hạn của hàm số...

Documents

Transcript of GI I H N HÀM S LÝ THUY T VÀ PH NG PHÁP TÓM TẮT LÝ THUYẾT fileGiới hạn của hàm số...