1

CHƯƠNG I:LÝ THUYẾT GIỚI HẠN

§1: SỐ THỰC

1) Chú ý mở đầu: Trong thực tế và nghiên cứu số hữu tỷ không đáp ứng được,nên

nhất thiết phải mở rộng tập hợp số

Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phương số đó được kết quả bằng 2

2) Định nghĩa: 1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được xem là biểu diễn một số vô tỷ 2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số thực

được xác định bởi I .

Nếu với mỗi tập X x có một số M sao cho x M thì nói tập X bị chặn trên bởi số M.Trái lại nếu có số m để x m thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chăn trên(dưới) có thể không bị chặn dưới(trên).Số M hay m được gọi là cận trên hay dưới của tập X.

Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dưới) có vô số cận trên(dưới).

3. Định nghĩa Số bé nhất trong các cận trên được gọi là cận trên đúng và được gọi

làx X

M = SupX

.

Số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng được gọi là

x Xm = inf X

.

3) Định lý Số M được gọi là cận trên đúng của tập X o ox X sao cho x M . Số m được gọi là cận dưới đúng của tập X o ox X sao cho x m .

2

§2:HÀM MỘT BIẾN SỐ

1) Khái niệm hàm số :Hàm số là ánh xạ f: X Y trong đó X ;Y

Ta gọi X là tập xác định , còn f (X) Y gọi là tập giá trị.

2) Cách cho hàm số:

Lập bảng Đồ thị Biểu thức giải tích

3) Một số lớp hàm quan trọng:

a) Hàm sơ cấp Hàm đa thức: n n 1 n 2 n 3

o 1 2 3 n 1 ny a x + a x a x a x .... a x a

Hàm hữu tỷ nguyên: n n 1 n 2 n 3

o 1 2 3 n 1 nn n 1 n 2 n 3

o 1 2 3 n 1 n

a x + a x a x a x .... a x ay

b x + b x b x b x .... b x b

Hàm lũy thừa: ay x với a là hằng số thực tùy ý.

Hàm mũ: xy a với a > 0 và a ≠ 1 Hàm lôgarit: ay log x với a > 0 và a ≠ 1; x 0 Hàm lượng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx

Hàm hypebonic x x x xe e e e shx chxshx ;chx ; thx ;coth x

2 2 chx shx

b) Hàm ngược:Giả sử hàm y = f(x)được cho trong miền X nào đó,và giả sử Y là

tậptất cả các giá trị mà hàm đó lấy khi x biến thiên trong miền X.

Với 0 0 0 0y Y x X : f (x ) y Như thế với mỗi y Y sẽ ứng với một hay một số giá trị x X .Như vậy trong Y ta có hàm x = g(y) được gọi là hàm ngược của hàm f(x).

Hàm lượng giác ngược

y = arcsinx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên ,2 2

Còn Arcsin x arcsin x k2

3

y = arccosx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên 0, và

arccos x arcsin x2

vì cos(arccosx) cos arcsin x x sin(arcsin x)2

y arc tgx thỏa mãn arc tgx2 2

Ngoài ra ta còn có mối liên hệ giữa arctgx và arcsinx

2 2

x xarc tgx arcsin khi ( , ) V arcsin x arc tg khi ( 1 x 1)1 x 1 x

y arccot gx có miền xác định ( , ) và miền giá trị (0, )

Mặt khác còn có mối liên hệ arccot gx arc tgx2

.

Ngoài ra còn các hàm ngược của các hàm siêu việt

§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x , x ,..

Số a được gọi là giới hạn của dãy biến nx nếu bắt đầu từ một chỗ nào đó tức là đối với mọi số thứ tự n khá lớn biến nx sai khác a nhỏ bao nhiêu cũng được.

Hoặc: số a được gọi là giới hạn của dãy nx nếu 0, N( ) N 0 sao cho n N đều thỏa mãn nx a n

nlim x a

. Khi đó ta có thể viết nx a hoặc

nlim x = a .

Khi đó ta nói dãy nx hội tụ đến a.Đặc biệt khi nx = a với mọi n thì lim nx = a.

Từ (1) có n nx a a x a và khoảng mở (a ,a ) được gọi là lân cận của điểm a.Như vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các giá trị của

nx bắt đầu từ một giá trị nào đấy cần phải rơi vào lân cận đó.

Ví dụ

4

a. Chứng minh rằng 2

2 2n n

n 1 n 1lim 0; limn 2 3n 2

Chứng minh: để 2 2n 1 n 10

n 2 n 2

hay 21 1n n hay 2 2n

n

Chọn 2N 1 vậy với n > N ta có 2

n 1 0n 2

tức là 2n

n 1lim 0n 2

b. Chứng minh rằng 2

2n

n 1 1lim33n 2

Để 2

22 2

n 1 1 1 1 1 23n 2 n3 3 33n 2 3n 2

Chọn 1 2N 13 3

thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh.

1. Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): Biến nx được gọi là đại lượng

vô cùng bé nếu lim nx = 0.

Ví dụ: n 1

n n n1 1 ( 1)x ,x ,xn n n

đó là các vô cùng bé

2. Đại lương vô cùng lớn (VCL) Dãy nx được gọi là VCL nếu với các giá trị n

khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0 lớn tùy ý cho trước. Hay n

nlim x

với A 0 đủ lớn 0 0 nN 0 sao cho n N x A

Ví dụ: nnx q khi q 1 là một VCL

Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng như 2310 cũng không phải là VCL

+ Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB)

5

2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY 1. Định lý: n 0 0 n n

nlim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N : x p(x q)

Chứng minh: chọn a p a p thì n nnlim x a a x a

0 nkhi n N x p tương tự cho trường hợp a < q

2. Định lý 2: nnlim x a

thì a là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử nnlim x a

và a a r : a r a

Do nnlim x a

nên có 1 1 nN 0 ; n N x r

và nnlim x a

nên có 2 2 nN 0 ; n N x r

Chọn N = max 1 2 n nN ,N n N x r ;x r .Điều này vô lý , nên a= a .

3. Định lý 3 :Nếu nx có giới hạn thì nx giới nội

Chứng minh: n nnlim x a a 1 x a 1

Chọn 1 2 NM max a 1,x ,x ,....x thì nx M n

4. Định lý 4:

Cho n n nx y z và n n nn n nlim x lim z a lim y a

( nguyên lý bị kẹp giữa)

Chứng minh: n 1 1 nnlim x a 0, N n N a x a

n 2 2 nnlim z a 0, N n N a z a

1 2Khi N max N ,N

n n n n nn

a x y z a a y a lim y a

5. Định nghĩa: Dãy 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x , x ,..

6

Được gọi là dãy tăng nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,.. Được gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ,.. Được gọi là dãy giảm nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,.. Được gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ..

6. Định Lý n nCho x a ;y b thì ta có các kết quả sau

ncx ca khi c cosnt n nx y a b khi , cos nt n nx y ab

n

n

x a khi b 0y b

n nx y a b

7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu nx đơn điệu tăng(giảm) và

bị chặn trên(dưới) thì hội tụ,

8. Dãy con: Cho dãy nx và một dãy knx được trích ra từ dãy nx ở đây dãy

kn là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy knx gọi là dãy con của

dãy nx .

Lưu ý:

1. kn k 2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó

9. Định nghĩa:

Dãy n n 1 trong đó n n na ,b ; được gọi là dãy đoạn thắt nếu

n 1 n n 1,2,...... n n

nlim (b a ) 0

10. Bổ đề: Nếu n n 1 là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất

thuộc mọi đoạn của dãy.

7

Chứng minh: Do n 1 n n 1,2,...... nên 1 2 n na a ..... a .... b nên na là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên

n n nnlim a a b n

. Giả sử có cũng thuộc mọi đoạn n ,

thế thì n n0 b a nhưng n nnlim (b a ) 0

. Nên .

11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra được một dãy con

hội tụ.

Chứng minh :Giả sử nx có na x b n .Chia a,b thành hai phần bằng nhau ,khi đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của nx gọi đoạn đó là 1 .lại chia

1 thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số các phần tử của nx

gọi là 2 .Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy đoạn thắt n n 1 trong đó

n n nb ab a 0 khi n2

.Nên có số thuộc mọi đoạn n .Trong mỗi đoạn

n rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là k kn nx và

kn n na x b nhưng

n nn nlim a lim b

kn

nlim x

12. Định lý (Côsi):

Điều kiện cần và đủ để dãy nx hội tụ là n m0, N sao cho n,m N : a a

Chứng minh :

n n mn

( )Do lim x a 0 N : x a n N; m N: x a2 2

n m n m n mx x x a x a x x

( ) Từ n mx x cố định một m thì hiển nhiên nx bị chặn nên tồn tại dãy

con knx Thỏa mãn

knnlim x

và do k kn n n n n

nx x x x lim x

8

13. SỐ e:

Cho dãy số n

n1x 1n

tìm giới hạn của dãy số đó.

\ Chứng minh : Ta có n

n 2 n1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)..(n n 1) 1x 1 1 n. . ... .n n 1.2 1.2.3..nn n

1 1 1 1 2 1 1 2 n 11 1 1 1 1 ... 1 1 ... 12! n 3! n n n! n n n

mặt khác

n 11 1 1 1 2 nx 1 1 1 ... 1 1 ... 12! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1

Hiển nhiên n n 1x x và n 2 n1 1 1 1x 2 ... .. 2 312 2 2 1

2

Tức là dãy nx đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó nnlim x

và người ta chứng minh

được giới hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ.

§4:GIỚI HẠN HÀM SỐ

1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X và

nhận giá trị trên , 0x là một điểm giới hạn của tập X.

1. Định nghĩa : Số được gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới 0x nếu

0, 0 0sao cho x : x x thì f (x) 0x x

lim f (x)

Ví dụ : chứng minh x 2lim (3x 3) 9

2. Định lý: Nếu 0x x

lim f (x) A

thì A là duy nhất.

9

Chứng minh : Giả sử 0

1x xlim f (x) A

và 1A A ,đặt 1 1A A 2 0 A A

Vì 0x x

lim f (x) A

nên 1 0 10 sao cho A f (x) A x :0 x x thì

A f (x) A

Ta cũng có 2 1 1 0 20 sao cho A f (x) A x :0 x x

thì 1 1A f (x) A

Chọn 1 2min( , ) ,khi đó với mọi x thỏa mãn

00 x x 1 11

f (x) AA A <>A A 2

f (x) A

vô lý.Vậy 1A A .

3. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn trái của hàm f(x) khi 0x x 0

(nghĩa là 0x x nhưng luôn bé hơn 0x ) nếu 0, 0 sao cho

0x:0 x x f (x) .Ký hiệu 0

0x x 0lim f (x) f (x 0)

4. Định nghĩa :

Ta gọi số là giới hạn phải của hàm f(x) khi 0x x 0 (nghĩa là 0x x nhưng luôn lớn hơn 0x ), nếu 00, 0 sao cho x:0 x x f (x)

Ký hiệu 0

0x x 0lim f (x) f (x 0)

5. Định lý :0 0 0x x x x 0 x x 0

lim f (x) lim f (x) lim f (x)

2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận

6. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x

nếu 0 , M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x > M. Ký hiệuxlim f (x)

10

7. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x nếu 0

M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x <- M. Ký hiệuxlim f (x)

8. Định nghĩa :Nếu A 0 , (A) 0 sao cho f (x) A với 0x:0 x x

thì ta viết 0x x

lim f (x)

3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1. Định lý 1 :Nếu

x alim f (x)

và A< <B thì tồn tại khoảng J chứa điểm a sao

cho x C J,x a thì A f (x) B .

2. Định lý 2: x alim f (x)

và f (x)

3. Định lý 3 : x alim f (x)

và x alim g(x)

thỏa mãn thì tồn tại khoảng J

chứa a sao cho f(x) > g(x) x C J , x a

4. Định lý 4: Cho hai hàm f(x) và g(x) cùng xác định trên tập C; f(x) > g(x) x C . Nếu

x alim f (x)

và x alim g(x)

thì

5. Định lý 5: Cho các hàm f(x) , h(x) và g(x) cùng xác định trên tập C,trong đó

f(x) < h(x) < g(x) và x a x alim f (x) lim g(x)

thì x alim h(x)

Ví Dụ: Tìm x

x

1lim 1x

+ xét x :

Với mỗi x > 0 , luôn có số tự nhiên n thỏa mãn: n x n 1

n x n 11 1 1khi n : n x n 1 1 1 1

n 1 x n

n x n 1 x

x

1 1 1 1hay:e 1 1 1 e lim 1 en 1 x n x

11

Tương tự cho trường hợp x ta cũng có kết quả là e

Vậy x

x

1lim 1x

= e

Mở rộng: g(x)1

f (x)f (x) 0 g(x)

1lim 1 f (x) lim 1 eg(x)

6. Định lý:Cho các hàm f(x) và g(x) xác định trên tập C và x a x alim f (x), lim g(x)

Thì ta có các kết quả sau:

a) x a x a x alim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

b) x a x a x alim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x)

c) x ax a x a

x a

lim f (x)f (x)lim khi lim g(x) 0g(x) lim g(x)

4)ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Định lý 1 : 0x x

lim f (x) A

là nx X , n 0nlim x x

thì nnlim f (x ) A

2. Định lý (Bônxanô-Côsi): f(x)xác định trên X khi đó

x alim f (x)

0, 0 x ,x : 0 x a ;0 x a f (x ) f (x )

Chứng minh :

( ) Do x alim f (x) nên 0, 0, x : 0 x a f (x)

2

với x ;x : 0 x a ;0 x a thì f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

( ) Ta đã có với 0 x a ;0 x a thì f (x ) f (x )

Lấy một dãy bất kỳ n n n nx (x X,x a);x a

Khi đó n mN :0 x a ;0 x a Và ta có n mf (x ) f (x )

12

Ta phải chứng minh rằng n n nnx : x a lim f (x )

Thật vậy, giả sử có hai dãy n nx a; x a

và cùng có nnlim f (x )

và nnlim f (x )

nhưng 0 .

Khi đó n n n nN sao cho n N : f (x ) ; f (x ) ; f (x ) f (x )3 3 3

n n n nf (x ) f (x ) f (x ) f (x )

Điều đó mâu thuẫn với .Vậy , tức là nnlim f (x )

3. Định lý 3:Cho hàm số f(x) xác định trên tập X.Thìxlim f (x)

0, N sao cho x ,x : x N; x N f (x ) f (x )

4. Định nghĩa Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) được gọi là một vô cùng bé , nếu

x alim f (x) 0 khi a (a,b)

hoặc xlim f (x) 0

.Ký hiệu là VCB

Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) được gọi là một vô cùng lớn ,

nếu:x alim f (x) khi a (a,b)

hoặc xlim f (x)

. Ký hiệu là VCL

5. Định nghĩa:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) khi x a (a hữu hạn hoặc vô hạn).

và x a

f (x)lim ,(g(x) 0)g(x)

.Nếu:

a) 0 < <+ ,thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

đặc biệt khi = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

là hai VCB (VCL) tương đương khi x a và viết f(x) g(x) khi x a

b) = 0 thì g(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn f(x) khi x a

13

và viết g(x) = 0(f(x)) khi x a

c) = thì f(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn g(x) khi x a

Chú ý :

d) nghịch đảo của một VCB(VCL) là một VCL(VCB) khi x a e) Tổng của hai VCB(VCL) khi x a là VCB(VCL) khi x a f) Tích của VCB(VCL) với một đại lượng bị chặn là VCB(VCL) g) Trong khi lấy giới hạn ta có thể thay bằng các VCB(VCL) tương đương.

Một số giới hạn cần biết:

kx

x 0

a 11, lim ln a (a 0)kx

đặc biệt

kx

x 0

e 1lim 1kx

;

f (x) 0

ln 1 f (x)2, lim 1

f (x)

CHƯƠNG II:HÀM SỐ LIÊN TỤC

§1:CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN

1) Định nghĩa 1:

Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và 0x (a,b). Hàm số đó được gọi là liên tại điểm 0x nếu:

0

0x xlim f (x) f (x )

Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm 1xsin khi x 0

f (x) x0 khi x 0

tại 0x 0

2) Định nghĩa 2:

Hàm số liên tục trong khoảng (a, b),nếu liên tục tại mọi điểm trên (a, b)

3) Định nghĩa 3:

14

Hàm số liên tục trong a,b ,liên tục trên khoảng (a,b) và liên tục phảitại a, liên tục trái tại b,hay

x a 0lim f (x) f (a 0)

hoặcx b 0

lim f (x) f (b 0)

.

Ví dụ: Xét sự liên tục trái và phải của

2

2

x khi x 1f (x)

3x 1 khi x 1

tại 0x 1

4) Định nghĩa 4: Hàm f(x) xác định trong khoảng (a, b) được gọi là gián đoạn tại

0x (a,b). Nếu hàm số không liên tục tại 0x ,hoặc không liên tục trái (phải) tại đó.

§2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC

1) Định lý 1: Tổng, tích, thương (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tại 0x là hàm liên tục 0x

2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại 0x ,và hàm g(y) liên tục tại 0 0y f (x )

thì hàm hợp g f (x) liên tục tại 0x .

Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên tục tại đó.

§3:TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC

1) Định lý: Nếu hàm số f liên tục tại điển a và f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì tồn tại một

lân cận của a để sao cho với mọi x thuộc lân cận đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)

2) Định lý Bônxanô-Côsi thứ nhất:Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và

f (a)f (b) 0 .Khi đó c (a,b) để f(c) = 0

3) Định lý Bônxanô-Côsi thứ hai: Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và f(a) = A

f(b) = B,thì C: A C B c (a,b) : f (c) C

Chứng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó vận dụng Bônxanô-Côsi thứ nhất

15

4) Định lý (Vâyestrat thứ nhất):

Hàm f xác định, liên tục trên a,b thì bị chặn trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không bị chặn trên a,b ,khi đó với mỗi

nn luôn x a,b nsao cho f (x ) n .

Từ k kn n n 0x a,b x a,b : x x a,b và

kk

n 0nlim f (x ) f (x )

Nhưng theo điều giả sử ở trên ta có kn k 0 kf (x ) n f (x ) khi n (vô lý).

Vậy f(x) bị chặn trên a,b .

5) Định lý (Vâyestrat thứ hai) Nếu hàm f xác định và liên tục trên a,b thì đạt giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất trên a,b .

Chứng minh:Do f(x) bị chặn trên a,b nên

x a,b

M sup f (x)

,giả sử f (x) M vì nếu

trái lại thì M không đạt đến được .

Xét hàm 1(x)M f (x)

liên tục trên a,b .

Nên 1f (x) M

(trái với M là cận trên đúng).Vậy 0 0x a,b : f (x ) M

Tức M là giá trị lớn nhất của f(x) trên a,b

Tương tự đối với giá trị bé nhất.

6) Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên (a, b) ((a, b) là khoảng hữu

hạn,vô hạn,đóng hoặc mở) nếu:

0, x ,x (a,b),sao cho ( ) 0 : x x f (x ) f (x )

7) Đlý (Canto):

16

Nếu hàm f (x) xác định và liên tục trên a,b thì liên tục đều trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không liên tục đều trên a,b .Tức là

0 n n n n n0 0, x ,x a,b : x x và nnlim 0

: n n 0f (x ) f (x )

Mặt khác các dãy nx và nx bị chặn nên có các dãy con knx và

knx hội tụ,

và k k kn n nx x ;

knnlim 0

sao cho k kn n 0f (x ) f (x )

giả sử k

k

n 0nlim x x

vì k k0 n nx x và

knnlim 0

thì dãy con của dãy knx cũng hội tụ về 0x

Do f (x) liên tục trên a,b nên k

k

n 0nlim f (x ) f (x )

và ks

ks

n 0nlim f (x ) f (x )

Qua đó với ks

nx ,ks

nx thỏa mãn ks ks ks

n n nx x : 0 0 0f (x ) f (x ) 0

vô lý.Đpcm

CHƯƠNG III:VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

§1:ĐẠO HÀM

1) Định nghĩa : Hàm y = f(x) xác định trên (a, b), 0x (a,b) .Cho 0x một số gia

x sao cho 0x x (a,b) nếu 0 0x 0 x 0

f (x x) f (x ) ylim limx x

thì giới hạn đó

được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại 0x và viết 0y f (x ) hoặc 0dy f (x )dx

.

Chú ý:

Từ 0 00

x 0

f (x x) f (x )lim f (x )

x

0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x O( x)

17

Nếu hàm số có đạo hàm tại 0x thì liên tục tại đó.Đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đường tại điểm đó.

2) Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử u (x) có đạo hàm tại 0x và x 0u (x ) ,hàm

y = f(u) có đạo hàm tại 0 0u (x ) là u u 0y f (u ) .Khi đó hàm hợp y f (x)

có đạo hàm tại 0x và x u 0 x 0y f (x ) (x ) ,hay gọn hơn x u xy f .u

3) Đạo hàm một phía : Nếu 0 00

x 0 0

f (x x) f (x )lim f (x )

x

thì đó được gọi là

đạo hàm phải tại 0x . Còn nếu 0 00

x 0 0

f (x x) f (x )lim f (x )

x

thì đó được gọi là

đạo hàm trái tại 0x .

4) Đạo hàm của hàm ngược

Giả sử y = f(x) có đạo hàm tại 0x là 0f (x ) 0 và là hàm số có hàm ngược

x (y) .Khi đó đạo hàm của x (y) tại 0 0y f (x ) là 0

1(y)f (x )

.

ví dụ:Đạo hàm của một số hàm ngược

1. y arcsin x 2

1y1 x

2. y arccosx 2

1y1 x

3. y arc tgx 21y

1 x

4. y arccotgx 21y

1 x

5. ay log x ln ayx

6. Đặc biệt : y ln x 1yx

5) Quy tắc lấy đạo hàm

1. U V U V

18

2. (UV) U V UV

3. 2U U V UVV V

§2:VI PHÂN

1) Định nghĩa

Từ 0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x 0( x) 0 0f (x ) f (x ) x 0( x)

Khi đó hàm f(x) được gọi là khả vi và 0f (x ) x gọi là vi phân của f(x) tại 0x

Ký hiệu 0dy f (x ) x

Đặc biệt nếu y = x thì dx dy nên ta có thể viết dy y dx .

Từ định nghĩa vi phân nên các quy tắc lấy vi phân tương tự như các quy tắc lấy đạo

hàm

2) Tính bất biến của vi phân: Giả sử có dx (t)dt và tdy y dt với y f (t)

Thì ta cũng có t x tdy y dt y x dt nhưng dx (t)dt xdy y dx ,như vậy biểu thức vi phân không thây đổi khi biên độc lập hay biến hàm.Đó gọi là tính bất biến của

vi phân.

§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

1) Định nghĩa các đạo hàm cấp cao:Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại

x (a,b) khi đó y f (x) cũng là một hàm số và giả sử nó cũng có đạo hàm,được gọi

là đạo hàm cấp hai. ký hiệu 2

2d yy f (x) haydx

cứ tiếp tục như vậy thì ta có đạo hàm

cấp 2, 3,

n(n) (n)

nd yy f (x) haydx

hoặc n

nd f (x) n 0,1,2,..

dx

19

Quy ước (0) (0)y f (x) f (x)

2) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao hoàn toàn tương tự như quy tắc đạo hàm cấp 1

Vi phân cấp cao:Giả sử xdy y dx là vi phân của hàm f(x) trên (a, b) cũng là một hàm số khả vi, vi phân của xdy y dx được gọi là vi phân cấp hai (lưu ý dx là một số tùy ý

không phụ thuộc x): 2 2x xd(dy) d(y dx) d y y dx Cứ tiếp tục như vậy ta có các kết

quả của vi phân cấp cao và

n 1 (n 1) n 1 2 (n) nx xd(d y) d(y dx ) d y y dx

Lưu ý:Các vi phân cấp cao không còn tính bất biến

§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1) Các định lý giá trị trung bình: 1. Bổ đề Fecma:Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và đạt giá trị lớn

nhất(nhỏ nhất) tại một điểm c trong (a, b).Nếu f (c) f (c) 0

2. Định lý Roll :Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong (a,b) ,

f (a) f (b) Khi đó c (a,b) sao cho f (c) 0

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên a,b nên đạt giá trị lớn nhất M và giá trị

nhỏ nhất m trên đoạn đó

Nếu M = m thì m f (x) M f (x) cosnt f (c) 0 Nếu M > m,do f(a) = f(b) nên hàm số không thể đạt cả hai giá trị tại hai đầu

mút.Nên nó phải đạt ít nhất một trong hai giá trị đó tại c (a,b) ,theo Fecma thì

f (c) 0 .

3. Định lý Lagrăng: Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong (a,b) ,

Khi đó f (b) f (a)c (a,b) sao cho f (c)b a

.

20

Chứng minh: xét hàm f (b) f (a)F(x) f (x) f (a) (x a)b a

thỏa mãn các điều kiện

của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 ,tức là f (b) f (a)f (c) 0b a

hay f (b) f (a)f (c)b a

.

Chú ý:Nếu thay a,b bởi đoạn x,x x f (x x) f (x) f (c) x được gọi là

công thức số gia giới nội,ở đó c x x với 0 1

4. Định lý Cô si: G/sử hàm f(x) và g(x) liên tục trên a,b , khả vi trong (a,b)

g (x) 0 x (a,b) .Khi đó f (b) f (a) f (c)c (a,b) sao chog(b) g(a) g (c)

Chứng minh:xét hàm f (b) f (a)F(x) f (x) f (a) g(x) g(a)g(b) g(a)

thỏa mãn các

Điều kiện của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 hay

f (b) f (a) f (c) f (b) f (a)f (c) g (c) 0g(b) g(a) g (c) g(b) g(a)

Chú ý: các số c được xác định là có trong các định lý trên và các định lý không chỉ ra số lượng điểm c .

2) Công thức Taylo:

1. Công thức Taylo đối với hàm đa thức:Đối với đa thức n

kk

k 0p(x) a x

đều viết được dưới dạng n

kk

k 0p(x) c (x a)

trong đó

(k)

kf (a)c k 0,n

k!

2. Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ:

Cho một hàm f(x) xác định trên (a, b) (hữu hạn hoặc vô hạn) và có đạo hàm đến

21

cấp n + 1 tại 0x (a,b) .Khi đó

2 30 0 00 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x ) ...

1! 2! 3!

+

(n)

n00

f (x )(x x )

n! +

(n 1)n 1

0f (c) (x x )(n 1)!

được gọi là công thức Taylo của f(x) tại 0x ,trong đó c nằm giữa 0x và x.

Đặt (n 1)

n 1n 0 nn

f (c)r (x x ) lim r 0(n 1)!

vì khi n thì 0 0x x c x

nr được gọi là phần dư Taylo,khi đó có thể viết lại công thức Taylo

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0f (x ) f (x ) f (x )

f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )1! 2! n!

Chú ý: Nếu 0x 0 thì khai triển Taylo còn gọi là khai triển Macloranh

3. Một số khai triển Macloranh hàm sơ cấp cơ bản

a) 2 n

x x x xe 1 .... ..1! 2! n!

b) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xsin x x ... ( 1) ... ( 1)3! 5! (2n 1)! (2n 1)!

c) 2 4 2n 2n

n n

n 0

x x x xcos x 1 ... ( 1) ... ( 1)2! 4! (2n)! (2n)!

d) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xarc tgx x ... ( 1) ..... ( 1)3 5 2n 1 2n 1

e) 2 3 nx x xln 1 x x ..... ..

2 3 n

f) n 1

n

n 0

xln(1 x) ( 1)n 1

22

§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1)Khảo sát hàm số:Việc khảo sát hàm số ta thực hiện như trong chương trình đã

học ở phổ thông trung học,nhưng lưu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp trường

hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1 ,thì ta xét theo

kết quả:

2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại 0x (a,b) và (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1

và (n)0f (x ) 0 .Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số có cực

trị tại 0x :

Khi (n)0f (x ) 0 thì hàm số có cực đại tại 0x

Khi (n)0f (x ) 0 thì hàm số có cực tiểu tại 0x

Chứng minh : Trong khai triển Taylo của hàm f(x) tại 0x ta có

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0f (x ) f (x ) f (x )

f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )1! 2! n!

(n)n0

0 0f (x )

f (x) f (x ) (x x )n!

Nếu n lẻ thì n0(x x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x dẫn đến

0f (x) f (x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x

Nếu n chẵn thì n0(x x ) nguyên mội dấu khi x biến thiên qua 0x dẫn đến

0f (x) f (x ) giữ nguyên một dấu:

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) ,hàm đạt cực đại tại 0x

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) , hàm đạt cực tiểu tại 0x

3) Khử các dạng vô định 00

:

23

1. Định lý:Các hàm f(x) và g(x) xác định trên a,b ,có các đạo hàm f (x);g (x)

hữu hạn, trong đó g (x) 0 và x a x alim f (x) lim g(x) 0

.Đặc biệt x a

f (x)lim Kg (x)

.

Khi đó

x a x a

f (x) f (x)lim lim Kg(x) g (x)

Chứng minh:Theo Côsi ta có f (x) f (x) f (a) f (c)g(x) g(x) g(a) g (c)

trong đó a < c < x

Khi x a thì c a nên x a c a

f (x) f (c)lim lim Kg(x) g (c)

Nếu vai trò của f (x);g (x) cũng như các hàm f(x) và g(x) thì ta có kết quả tương tự.

Tức là x a x a

f (x) f (x)lim lim Kg(x) g (x)

và quá trình này tiếp tục nếu các điều kiện của giả

thiết được thỏa mãn.

2. Chú ý: Khi f (x)g(x)

có dạng khi x a

thì ta đã biết 1

f (x)và 1

g(x)là các

VCB khi x a .Nên ta lại quay về dạng 00

.

24

CHƯƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1) Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x),nếu

F (x) f (x) .Nhưvậy F(x) + C sẽ là họ nguyên hàm của f(x),với C const .Khi đó

phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm f(x)

và viết

f (x)dx F(x) C

2) Các tính chất (Tự đọc) 3) Phương pháp tính

1. Đổi biến số: đặt x (t) dx (t)dt thì f (x)dx f (t) (t)dt

2. Tích phân từng phần: UdV UV VdU 3. Tích phân truy hồi: thực tế là giải phương trình tích phân,ví dụ như tính

tích phân

xI e sin x dx

4) Bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản:(Tự đọc)

Một số nguyên hàm khó nhớ

1. 2 2dx 1 a xln C a 0

2a a xa x

2. 2 2dx 1 x aln C a 0

2a x ax a

25

3. 2 2

dx x xarcsin C arccos Ca aa x

4. 2 22 2

dx ln x x a C (a 0)x a

5. 2

2 2 2 2x a xa x dx a x arcsin C (a 0)2 2 a

6. 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a C2 2

5) Một số dạng tích phân hàm thực

1. Tích phân dạng 1 2dxI

ax bx c

Cách giải 2 2

2 b b 4acax bx c a x2a 4ac

2 2 2dx duI a

ax bx c u k

trong đó2

2b b 4acx u; k2a 4ac

2. Tích phân dạng: 2 2 2

A Ab(2ax b) BAx Bx dx 2a 2aI dxax bx c ax bx c

2

2 2A d(ax bx c) Ab dxB2a 2aax bx c ax bx c

Ví dụ:2

2 2 2(x 3)dx 1 d(x 2x 5) dxI 4

2x 2x 5 x 2x 5 x 2x 5

2

22

1 d(x 1)ln x 2x 5 42 (x 1) 6

21 6 x 1 6ln x 2x 5 ln C2 3 x 1 6

3. Tích phân dạng: 3 2

dxIax bx c

26

Nếu a 0 :

thì 2 2

duIu k

với bu x2a

và còn k phụ thuộc vào dấu của 2b 4ac4ac

2 22 2

duI ln u u k Cu k

Nếu a 0 thì 2 2

1 du 1 uI arcsin Cka ak u

Ví dụ:2

dxI2 3x 2x

2 2

1 dx 1 du 1 4x 3I arcsin C52 2 21 u25 3x

16 4

với 4x 3u5

4. Tích phân dạng 4 2

(Ax B)dxIax bx c

Cách giải 2

2 2 2

(Ax B)dx A d(ax bx c) Ab dxI B2a 2aax bx c ax bx c ax bx c

5. Tích phân dạng 5 2

dxI(Ax B) ax bx c

Cách giải :Đặt 21 1 dyAx B dx .y A y

khi đó By 1xAy

thì ta sẽ được tích phân

dạng 3.

6. Tích phân dạng 26I ax bx c dx

Nếu 2 26a 0 I a u k du trong đó bu x

2a

27

Nếu 2 26a 0 I a k u du trong đó bu x

2a

7. Tích phân dạng 27I R(x, ax bx c)dx

Nếu 21 1ax bx c a(x x )(x x ) ,đặt 2

1ax bx c z(x x )

Nếu 2ax bx c có nghiệm ảo:

a) đặt 2ax bx c ax z khi a 0

b) đặt 2ax bx c xz c khi c 0

Ví dụ: 22

2 2

1 x x 1I dx

x x x 1

đặt 2

22t 1x x 1 xt 1 x1 t

2

22

2t 2t 2dx dt1 t

2 2

2 22 2

t t 1 2t tx x 1 ; 1 x x 11 t 1 t

222 2

2 22 2

1 x x 1 2t dt (1 t ) 1 1 tI dx 2 dt 2t ln C1 t1 t 1 tx x x 1

22

2

2 x x x 1 1 x x x 1 1I ln Cx x x x 1 1

8. Tích phân dạng n8 2

P (x)dxIax bx c

trong đó là nP (x)đa thức bậc n

28

2n 1 2

dxI Q (x) ax bx c (3)ax bx c

trong đó là n 1Q (x) đa thức bậc n-1 và

được xác định bằng cách lấy đạo hàm đẳng thức (3).Tính các hệ số của

n 1Q (x) và bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ:3

2

x dxI1 2x x

32 2

2 2

x dx dxI (ax bx c) 1 2x x1 2x x 1 2x x

32

2 2

x (2ax b) 1 2x x1 2x x 1 2x x

3 2x (2ax b)(1 2x x )

3 3 2x 3ax (5a 2b)x (3b 2a c)x b c

1 5 19a ;b ;c ; 43 6 6

3 22

2 2

x dx 2x 5x 19 dxI 1 2x x 461 2x x 1 2x x

2

22x 5x 19 x 11 2x x 4arcsin C6 2

9. Tích phân dạng I x (a bx ) dx

a) Nếu 1

ta đặt ka bx z trong đó k là mẫu của phân số

b) Nếu 1

ta đặt kax b z trong đó k là mẫu của phân số

29

Ví dụ :

12 23

3 2

xdxI x 1 x dx1 x

ta có 1 1 1 323

đặt

2231 x z

2 2 5 3

3 2

xdx 3I 3 (z 1) dx z 2z 3z C51 x

với 3 2z 1 x

10. Tích phân hàm lượng giác:

Tích phân dạng 1I R(sin x,cos x)dx R là hàm hữu tỷ

a) để tính ta đặt 2

2 2x 1 t 2ttg t cosx ;sin x2 1 t 1 t

b) Nếu R(sin x, cos x) R(sin x,cos x) thì đặt sin x t c) Nếu R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) thì đặt cosx t d) Nếu R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) thì đặt tgx = t

§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1)Định nghĩa, điều kiện tồn tại tích phân xác định:

Cho hàm f(x) xác định trên đoạn a,b ,chia a,b bởi các điểm chia kx với k 0,n thỏa mãn 0 1 na x x ... x b đặt k k 1 kx x x với k 0,n .Đặt kmax x .Trên mỗi đoạn k k 1x ,x lấy bất kỳ điểm k k k k 1: x x .

Lập tổng n

k kk 0

f ( ) x

và được gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên a,b ,nếu

tồn tại giới hạn n

k k0 k 0

lim f ( ) x

mà không phụ thuộc vào phép chia a,b thì giới

hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên a,b , và viết b

a

I f (x)dx .Khi đó

hàm f(x) là hàm khả tích trên a,b .

30

Nếu ta gọi km và kM tương ứng là cận dưới và cận trên đúng của f(x) trên k k 1x ,x

Tổng n

k kk 0

s m x

và n

k kk 0

S M x

được gọi là tổng Đacbu dưới và trên của hàm

f(x) trên a,b s S .Ta đặt k k k 1 kS M (x x )

Nhận xét:

1. Nếu thêm các điểm chia mới thì tổng Đacbu dưới chỉ có thể tăng lên và tổng

Đacbu trên chỉ có thể giảm đi.

Chứng minh:Giả sử có k k 1x : x x x thì tổng Đacbu trên ở trên k k 1x ,x là

k k k k k 1 k k k 1S M (x x ) M (x x ) do x ,x x ,x và k 1 k k 1x ,x x ,x

nên k k k k k kM M ;M M S S

2. Mỗi tổng Đacbu dưới không vượt quá mỗi tổng trên,mặc dù tổng trên ứng

với cách chia khác nhau.

2) Định lý: Tích phân xác định tồn tại 0

lim (S s) 0

3) Các lớp hàm khả tích 1. Nếu hàm f(x) lien tục trên a,b thì khả tích trên đó. 2. Hàm f(x) giới nội trên a,b chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn,thì khả tích

trên a,b . 3. Hàm f(x) đơn điệu giới nội trên a,b thì khả tích trên đó.

4) Tính chất của tích phân xác định.

1. b a

a b

f (x)dx f (x)dx

2. b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

3. b b

a a

kf (x)dx k f (x)dx khi k cosnt

31

4. b b b

a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

5. Với b

a

f (x) 0 khi x a,b f (x)dx 0

6. Nếu f(x) và g(x) khả tích và f (x) g(x) trên a,b thìb b

a a

f (x)dx g(x)dx

7. b b

a af (x)dx f (x) dx

8. Nếu b

a

m f (x) M m(b a) f (x)dx M(b a)

9. Định lý giá trị trung bình:Nếu m f (x) M và khả tích trên a,b thì

b

a

f (x)dx (b a) khi m M

10. Nếu g(x) và f(x).g(x) khả tích trên a,b ; m f (x) M và g(x) giữ nguyên

một dấu,thì b b

a a

f (x)g(x)dx g(x)dx .Đặc biệt nếu f(x) liên tục trên a,b

thì c a,b để b b

a a

f (x)g(x)dx f (c) g(x)dx

11. Nếu f(x) khả tích trên a,b thì x

a

(x) f (t)dt , hàm (x) t/mãn các tính chất

sau: a. (x) liên tục trên a,b b. (x) f (x)

x x x x

a a x

(x x) (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt x.f (x x)

(đl giá trị tr/ bình)

32

do đó x 0

(x x) (x)(x) lim f (x)x

ở đó 0 1 .

12. Chú ý:

a. Nếu hàm f (x) là hàm số chẵn trên a,a thì a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

b. Nếu hàm f (x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2k thì

k a 2k

k a

f (x)dx f (x)dx

với a bất kỳ

5) Cách tính tích phân xác định:

1. Công thức Newton-Lepnit:Nếu f(x) liên tục trên a,b và có nguyên hàm

F(x) thì b

x bx a

a

f (x)dx F(x) F(b) F(a)

2. Khi tính nguyên hàm của f(x) ta áp dụng các cách tính tích phân đã biết trong

tích phân không xác định.

6)Tính gần đúng tích phân xác định 7) ứng dụng của tích phân xác định:

1. Diện tích hình phẳng:Miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong f(x) và g(x)

liên tục trên a,b được xác định bởi b

a

S f (x) g(x) dx

2. Diện tích miền phẳng được cho bởi phương trình tham số

x x(t)y y(t)

trong đó 1 2t t t được xác định 2

1

t

t

1S x(t)y (t) x (t)y(t) dt2

33

3. Trong tọa độ cực: Đường cho bởi r r( ) với 1 2 được xác định

2

1

21S r ( )d2

4. Độ dài đường cong:

a. Xác định bởi y f (x) với a x b đươc tính b

2

a

L 1 f (x)dx

b. Xác định bởi x x(t)y y(t)

với 1 2t t t được tính

2

1

t2 2

t

L x (t) y (t)dt

c. Trong tọa độ cực r r( ) với thì 2 2L r ( ) r ( )d

5. Thể tích vật thể:

a. Vật V có thể tích b

a

V S(x)dx trong đó S = S(x) ( a x b ) là thiết diện

thẳng vuông góc với trục 0x

b. Do y f (x) (a x b) quay xung quanh 0x:b

20x

a

V f (x)dx

c. Do y f (x) 0 (a x b) quay xung quanh 0y:b

0ya

V 2 xf (x)dx

6. Diện tích mặt tròn xoay do đường cong phẳng y f (x) với (a x b)

quay xung quanh trục 0x:b b

20x

a a

S 2 f (x)ds 2 f (x) 1 f (x)dx

7. Diện tích mặt tròn xoay do đường cong phẳng cho bởi phương trình tham số

x x(t)y y(t)

với 1 2t t t quay xung quanh 0x :

2

1

t2 2

0xt

S 2 y(t) x (t) y (t)dt

34

CHƯƠNG V:CHUỖI

A:CHUỖI SỐ

§1:KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

35

1) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Định nghĩa:Cho dãy số vô hạn 1 2 na ,a ,...a ,... .Khi đó tổng vô hạn

1 2 n nn 1

a a ... a .. a

(1) được gọi là một chuỗi số

Ta gọi n

n kk 1

S a

là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).Số hạng na được gọi là số hạng thứ

n của chuỗi (1).

Nếu tồn tại nnlim S S

thì chuỗi (1) được gọi là hội tụ và viết nn 1

a S

.Còn trái lại

thì

chuỗi (1) gọi là phân kỳ.

Ta gọi n 1 n 2 kk n 1

a a .... a

là phần dư của chuỗi (1).

Ví dụ:

a. Tính tổng: 2 3 n 1aq aq aq ... aq ..

b. Tính tổng: n 1

1n(n 1)

2. Các định lý đơn giản

a. Định lý 1:Nếu chuỗi (1) hội tụ thì phần dư của nó cũng hội tụ và hội tụ về 0 b. Hệ quả : Nếu chuỗi (1) hội tụ thì n

nlim a 0

Như vậy :nếu thêm vào hoặc bớt đi một số số hạng của chuỗi (1) thì sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không đổi.

2) CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

1. Định lý 2:Nếu nn 1

a S

thì n

n 1ca cS

với c cos nt

36

2. Định lý 3:Cho nn 1

a A

và n

n 1b B

thì ta có các kết quả sau

n nn 1

(a b ) A B

n nn 1

a b AB

n

nn 1

a Ab B

với B 0

3. Định lý Cô si:

chuỗi (1) hội tụ n 1 n 2 m0, N 0 sao cho n,m N : a a ... a

Chứng minh: Chuỗi (1) hội tụ nS hội tụ 0, N 0 sao cho: n mS S

tức là n 1 n 2 ma a ... a

§2:CHUỖI SỐ DƯƠNG

1) Nhân xét:Chuỗi số dương là trường hợp đặc biệt của chuỗi số,nên mọi tính

chất của chuỗi số đều đúng cho chuỗi số dương.Ngoài ra nó còn có tính chất riêng

khác.

2) Định nghĩa: Cho chuỗi số 1 2 n nn 1

a a ... a .. a

với na 0 (2) được gọi

là chuỗi số dương.

3) Định lý 1:Chuỗi số dương (2) hội tụ dãy nS bị chặn trên.

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi n 1

1n

(thường được gọi là chuỗi điều hòa)

Chứng minh:Ta có n1 11 e ln(n 1) ln n

n n

với n 1

37

Lần lượt cho n 1,2,.. ta có

ln 2 ln1 1

1ln3 ln 22

1ln 4 ln33

……………..

1ln(n 1) ln nn

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

n1 1 11 ... S ln(n 1)2 3 n

.Chứng tỏ nnlim S

.Vậy chuỗi điều hòa phân kỳ

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi sn 1

1n

với s const .

Hội tụ khi n 1 phân kỳ khi n 1

4) Định lý 2:Cho hai chuỗi số dương nn 1

a

và n

n 1b

thỏa mãn bắt đầu từ n N

trở đi n na b n N thì ta có kết quả sau:

a)Nếu nn 1

b

hội tụ thì n

n 1a

hội tụ

b) Nếu nn 1

a

phân kỳ thì n

n 1b

phân kỳ

Lưu ý:Định lý trên chỉ xảy ra một chiều và định lý đó gọi là định lý so sánh.

5) Định lý 3:

38

Cho hai chuỗi số dương nn 1

a

và n

n 1b

và n

n n

alim Kb

với 0 K

a)Với K Thì từ sự hội tụ của chuỗi nn 1

b

thì suy ra chuỗi n

n 1a

hội tụ

b) Với K 0 thì từ sự phân kỳ của chuỗi nn 1

b

thì suy ra chuỗi n

n 1a

phân kỳ

c)Và với 0 K thì cả hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chứng minh:Giả sử K và nn 1

b

hội tụ,từ giả thiết ta có n na (K )b theo định

lý so sánh ta có nn 1

a

hội tụ.

Giả sử chuỗi nn 1

b

phân kỳ và K 0 nhưng n

n 1a

hội tụ khi đó n

n n

blima

hữu hạn theo

kết quả của chứng minh trên ta lại có nn 1

b

hội tụ(vô lý).Như vậy n

n 1a

phân kỳ.

6) Tiêu chuẩn Đalambe: Cho chuỗi số dương nn 1

a

và n 1

n n

alima

a)Nếu 1 thì nn 1

a

hội tụ

b) Nếu 1 thì nn 1

a

phân kỳ

c) Nếu 1 thì không có kết luận

Chứng minh:Khi 1 với N đủ lớn thì 0 với n 1

n

aq 1 q 1a

n 1 na qa n N cố định 0n n thì ta có 0 0

mn m na a q mà

0

mn

m 1a q

hội tụ nên

chuỗi mm 1

a

hội tụ (dựa vào tiêu chuẩn so sánh)

39

Tương tự khi 1 thì ta có n 1 na qa 1 n N với N đủ lớn,chứng tỏ mm 1

a

có

mmlim a 0

nên là chuỗi phân kỳ.Còn khi

1 ta xét hai chuỗi n 1

1n

và

n 1

1n(n 1)

đều có n 1n n

alim 1a

nhưng

n 1

1n

phân kỳ,còn n 1

1 1n(n 1)

.

7) Tiêu chuẩn Côsi :Cho chuỗi số dương nn 1

a

và n nn

lim a

a)Nếu 1 thì nn 1

a

hội tụ

b) Nếu 1 thì nn 1

a

phân kỳ

c) Nếu 1 thì không có kết luận

Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh tiêu chuẩn Đalambe.

8) Tiêu chuẩn Ráp: Nếu có r 1 sao cho:

a) n

n 1

an 1 ra

với 0n n thì n

n 1a

hội tụ.

b) n

n 1

an 1 1a

với 0n n thì n

n 1a

phân kỳ.

9) Tiêu chuẩn tích phân Côsi:

Cho hàm f(x) dương và giảm trên a, ,khi đó chuỗi n 1

f (a n)

hội tụ hay phân kỳ

với sự tồn tại hay không tồn tại giới hạnn

na

lim f (x)dx

40

Chứng minh:Với mỗi x a, luôn tồn tại k :a k x a k 1 a k 1 a k 1 a k 1

a k a k a k

f (a k) f (x) f (a k 1) f (a k)dx f (x)dx f (a k 1)dx

a k 1 a k 1 a k 1n 1 n 1 n 1

k 0 k 0 k 0a k a k a k

f (a k)dx f (x)dx f (a k 1)dx

a nn 1 n 1

n 1 nk 0 k 0a

S f (a k) f (x)dx f (a k 1) S f (a)

Nếu tồn tại n a n

n na a

lim f (x)dx lim f (x)dx

thì nS bị chặn trên do đó chuỗi

n 1f (a n)

hội tụ .Ngược lại nếu không tồn tại

n

na

lim f (x)dx tức

làn

na

lim f (x)dx

n 1nlim S

,tức là chuỗi n 1

f (a n)

phân kỳ.

§3:CHUỖI SỐ VỚI DẤU BẤT KỲ

1) Chuỗi đan dấu:Chuỗi n 1n

n 1( 1) a

với na 0 được gọi là chuỗi đan dấu

2) Định lý Lepnit: Cho chuỗi đan dấu n 1n

n 1( 1) a

thỏa mãn

1. n n 1a a tức là dãy na đơn điệu giảm 2. n

nlim a 0

Khi đó chuỗi n 1n

n 1( 1) a

hội tụ.

Chứng minh:Xét tổng 2n 1 2 3 4 5 6 2n 1 2nS (a a ) (a a ) (a a ) ... (a a ) 0

41

tức là dãy 2nS đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1a vì:

2n 1 2 3 4 5 2n 2 2n 1 2n 1S a (a a ) (a a ) ... (a a ) a a

nên tồn tại 2nnlim S S

.Mặt khác 2n 1 2n 2n 1S S a ,do đó 2n 1nlim S S

vì

nnlim a 0

Các dãy 2nS và 2n 1S chứa mọi dãy con của dãy nS nên nnlim S S

.

Vậy chuỗi đan dấu n 1n

n 1( 1) a

hội tụ.

Ví dụ: chuỗi điều hòa đan dấu n 1

n 1

( 1)n

3) Định nghĩa:Chuỗi nn 1

a

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n

n 1a

và n

n 1a

hội tụ.Đặc biệt khi nn 1

a

hội tụ thì n

n 1a

cũng hội tụ.

Thật vậy từ n 1 n 2 n m n 1 n 2 n ma a ... a a a ... a

nên n 1 n 2 n ma a ... a theo định lý Côsi ta có nn 1

a

hội tụ.

Còn khi nn 1

a

hội tụ mà n

n 1a

phân kỳ thì n

n 1a

gọi là chuỗi bán hội tụ.

Ví dụ :n 1

n 1

( 1)n

là chuỗi bán hội tụ

4) Tiêu chuẩn Đirichlê:Chuỗi số n nn 1

a b

hội tụ, nếu

42

a) nn 1

a

hội tụ

b) Dãy nb đơn điệu bị chặn

5) Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi số n nn 1

a b

hội tụ, nếu

a) Dãy tổng riêng n

n kk 1

A a

của chuỗi số nn 1

a

bị chặn

b) Dãy nb đơn điệu và nnlim b 0

B:CHUỖI HÀM

1) Một số khái niệm và định lý

1. Định nghĩa :Dãy hàm nu (x) ,n 0,1,2,3,... điểm 0x X được gọi là điểm hội

tụ của chuỗi hàm nu (x) nếu dãy số n 0u (x ) hội tụ điểm 1x X được gọi là điểm

phân kỳ của dãy hàm nu (x) nếu dãy số n 1u (x ) phân kỳ.

Tổng vô hạn 1 2 n nn 1

u (x) u (x) ... u (x) ... u (x)

(1) được gọi là chuỗi hàm.

Tổng n

n 1 2 n kk 1

S (x) u (x) u (x) ... u (x) u (x)

được gọi là tổng riêng thứ n của

chuỗi hàm nn 1

u (x)

.Nếu tồn tại n

nlim S (x) S(x)

thì chuỗi hàm nn 1

u (x)

được gọi là

hội tụ và nn 1

u (x) S(x)

,trái lại thì chuỗi hàm n

n 1u (x)

được gọi là phân kỳ.

2. Miền hội tụ của chuỗi hàm nn 1

u (x)

:Để tìm miền hội tụ ta thực hiện một trong

hai cách sau:

43

a) Tiêu chuẩn tích phân Côsi: n nnlim u (x) f (x)

b) Tiêu chuẩn Đalambe: n 1n n

u (x)lim f (x)u (x)

Nếu f (x) 1 thì chuỗi hàm nn 1

u (x)

hội tụ

Nếu f (x) 1 thì chuỗi hàm nn 1

u (x)

phân kỳ.

Nếu f (x) 1 thì phải xét trực tiếp. 3. Dãy hàm nu (x) được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên tập 0X nếu 0

cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý, 0 nN sao cho x X n N : u (x) u(x)

Ký hiệu: nu (x)u(x) với 0x X

4. Định nghĩa:Chuỗi hàm (1) được gọi là hội tụ đều về hàm S(x) trên tập X

nếu 0 cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý

0 n nN sao cho x X n N : r (x) S (x) S(x)

Ký hiệu: nS (x)S(x) với x X hoặc nn 1

u (x)

S(x)

5. Định lý: Chuỗi hàm (1) hội tụ đều trên tập X điều kiện cần và đủ nếu 0

cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý, N sao cho x X : n N và với số p nguyên dương bất kỳ ta có n 1 n 2 n pu (x) u (x) ... u (x)

Chứng minh: nn 1

u (x)

S(x) nS (x) S(x) n p nS (x) S (x) đpcm.

6. Định lý(Dấu hiệu Vâyest’rat):Nếu 0x X và với n đủ lớn n nu (x) a mà

nn 1

a

hội tụ, thì chuỗi hàm n

n 1u (x)

hội tụ tuyệt đối và đều trên tập 0X .

44

Chứng minh:Do nn 1

a

hội tụ nên 0 N sao cho x X : n N và với số p

nguyên dương bất kỳ ta có: n 1 n 2 n pa a ... a

n 1 n 2 n p n 1 n 2 n pu (x) u (x) ... u (x) a a ... a .Đó là đpcm.

2) Các tính chất của tổng chuỗi hàm:Cho nn 1

u (x)

1. Định lý 1:Nếu các hàm nu (x) liên tục trên a,b và nn 1

u (x)

S(x) trên

a,b thì hàm S(x) liên tục trên a,b .

Chứng minh:

Lấy bất kỳ 0x a,b ,do nn 1

u (x)

S(x) trên a,b tức nS (x) S(x) ;

3

x a,b .Cố định 0x x ta cũng có n 0 0S (x ) S(x )3

. Mặt khác các hàm nu (x) liên

tục trên a,b nên nS (x) cũng liên tục tại 0x tức ta có n 0 n 0S (x ) S (x )3

Từ trên ta có 0S(x) S(x ) nS (x) S(x) + n 0 0S (x ) S(x ) + n 0 n 0S (x ) S (x ) .

Tức là hàm S(x) liên tục tại 0x nên liên tục trên a,b vì 0x tùy ý.

2. Định lý 2’:Nếu các hàm nf (x) liên tục với n 1,2,3... trên đoạn a,b và dãy

hàm nf (x) f (x) trên đoạn a,b .Thì f (x) liên tục trên đoạn a,b .

3. Định lý 2: Nếu các hàm nu (x) liên tục trên a,b và nn 1

u (x)

S(x)

trên a,b thì b b

nn 1a a

S(x)dx u (x)dx

45

Chứng minh: Theo định lý 1 thì S(x) trên a,b nên tồn tại b

a

S(x)dx .

Ta đã có nS (x) S(x)b a

nên b b bn

k nk 1a a a

u (x)dx S(x)dx S (x) S(x) dx

Tức là b b b bn

k nn k 1 n 1a a a a

lim u (x)dx S(x)dx u (x)dx S(x)dx

.

4. Định lý 2’:Nếu các hàm nf (x) liên tục với n 1,2,3... trên đoạn a,b

và dãy hàm nf (x) hội tụ đều về f (x) thì ta có

b b b

n nn na a a

f (x)dx lim f (x)dx lim f (x)dx

5. Định lý 3: Nếu các hàm nu (x) liên tục trên a,b và nn 1

u (x)

= S(x)

trên a,b .Còn nn 1

u (x)

F(x) trên a,b .Khi đó nn 1

S (x) F(x) S (x) u (x)

Chứng minh: Theo định lý 2 x x

n n nn 1 n 1a a

F(t)dt u (t)dt u (x) u (a) S(x) S(a)

Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được: F(x) S (x) ,đó là điều phải chứng minh.

6. Định lý 3’: Nếu các hàm nf (x) có đạo hàm liên tục với n 1,2,3... trên đoạn

a,b và dãy hàm nf (x) hội tụ về f (x) ,còn dãy hàm nf (x) hội tụ đều thì hàm

f (x) có đạo hàm trên a,b và: nn

f (x) lim f (x)

3) Chuỗi hàm lũy thừa: Đó là chuỗi hàm có dạng

46

a) nn

n 1a x

với na cosnt

b) nn 0

n 1a (x x )

với na cosnt

Chuỗi hàm lũy thừa là dạng đặc biệt của chuỗi hàm nên ngoài việc thỏa mãn các

tính chất của chuỗi hàm ,chuỗi hàm lũy thừa còn có các tính chất riêng

c) Miền hội tụ:

Bổ đề:Nếu nn

n 1a x

hội tụ tại 0x x thì n

nn 1

a x

hội tụ tuyệt đối

0x : x x

Chứng minh: Thật vậy từ nn 0

n 1a x

hội tụ,nên n

n 0C 0 sao cho a x C vì vậy

0x : x x ta có n n

n nn n 0

0 0

x xa x a x Cx x

nhưng n

0n 1

xx

hội tụ,

do đó chuỗi hàm nn

n 1a x

hội tụ tuyệt đối.

Mặt khác chuỗi nn

n 1a x

phân kỳ tại 1x x thì n

nn 1

a x

phân kỳ 1x : x x

Định lý : Đối với mỗi chuỗi hàm nn

n 1a x

đều có số R ( 0 R ) sao

cho nn

n 1a x

hội tụ tuyệt đối x: x R và phân kỳ khi x R .Giá trị R được gọi là

bán kính hội tụ.

Định lý :Cho chuỗi hàm nn

n 1a x

có n 1

n n

alima

47

thì bán kính hội tụ R của chuỗi hàm nn

n 1a x

được xác định:

1 khi 0

R khi 00 khi

Định lý :Cho chuỗi hàm nn

n 1a x

có n n

nlim u (x) (0 )

thì bán kính hội tụ R của chuỗi hàm nn

n 1a x

được xác định:

1 khi 0

R khi 00 khi

Định lý:Nếu chuỗi nn

n 1a x

có bán kính hội tụ là R 0 thì chuỗi hàm đó

hội tụ đều trên mọi đoạn R ,R trong đó 0 R R .

Nhận xét:Do chuỗi hàm lũy thừa là trường hợp đặc biệt của chuỗi hàm, nên chuỗi

hàm lũy thừa thỏa mãn các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều trên R ,R .

4) Khai triển hàm số thành chuỗi hàm lũy thừa:

1. Định nghĩa:

Hàm số S(x) gọi là khai triển được thành chuỗi hàm lũy thừa trong khoảng ( R,R) ,

48

nếu tồn tại một chuỗi hàm lũy thừa nn

n 1a x

hội tụ về S(x) tại mỗi điểm x ( R,R) .

2. Định lý:Điều kiện ắt có để hàm số S(x) gọi là khai triển được thành chuỗi hàm

lũy thừa nn

n 1a x

trong khoảng ( R,R) là hàm số S(x) có đạo hàm mọi cấp và

(k)kS (0) k!a (k 0,1,2,...)

Chứng minh: Ta có nn

n 1S(x) a x

với x ( R,R)

và (k) n kn

n kS (x) n(n 1)...(n k 1)a x

tại (k)

k kx 0 S (0) k(k 1)...1.a k!a

khi đó (n)

n

n 1

S (0)S(x) xn!

đươc gọi là chuỗi Macloranh của hàm S(x) .

Chú ý:

a) chuỗi Macloranh của hàm S(x) có thể không hội tụ. b) chuỗi Macloranh của hàm S(x) hội tụ nhưng không hội tụ về hàm S(x) .

Ví dụ:

1. Xét chuỗi hàm n

n 1

sin(2 x)n!

có

nsin(2 x) 1 xn! n!

và chuỗi n 1

1n!

hội tụ

theo tiêu chuẩn Vâyest’rat thì n

n 1

sin(2 x)n!

hội tụ tuyệt đối và đều trên toàn trục số.

Đặt n

n 1

sin(2 x)S(x)n!

.Xét chuỗi Macloranh của S(x) trên ( R,R) bất kỳ

49

Ta có n n

n n

n 1 n 1

2 sin(2 x )2 cos(2 x) 2S (x)n! n!

và n n

n2 sin(2 x ) 22 xn! n!

mặt khác n

n 1

2n!

hội tụ (Đalambe).Nên chuỗi hàm

n n

n 1

2 sin(2 x )2

n!

hội tụ tuyệt

đối và đều trên nên ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng.Tức là

kn

(k) n

n 1

2S (x) sin(2 x k )n! 2

với (k 1,2,...)

khi đó (2k)S (0) 0 và (2k 1)n

(2k 1) k

n 1

2S (0) ( 1)n!

Nhưng

n2k 1(2k 1) k

n 1

2S (0) ( 1)

n!

2 k 1(2k 1) k 2S (0) ( 1) e 1

vì ta đã có kết quả2 n

x x x xe 1 .... ..1! 2! n!

Vậy 3 2 k 1(n) 2 2

n 2 3 k 2k 1

n 1

S (0) (e 1) e 1x (e 1)x x ..... ( 1) x ...n! 3! (2k 1)!

Măt khác (n)

nn

S (0)lim x 0n!

với x 0 ,như thế

3 2 k 1(n) 2 2n 2 3 k 2k 1

n 1

S (0) (e 1) e 1x (e 1)x x ..... ( 1) x ...n! 3! (2k 1)!

phân kỳ x 0

Chứng tỏ chuỗi Macloranh của S(x) không hội tụ về S(x) trong mọi khoảng ( R,R) .

2. Cho hàm số 1S(x) (x)1 x

50

trong đó 2

1xe khi x 0(x)

0 khi x 0

Nhận thấy (k) (0) 0 với k 0,1,2,.. do đó (k)S (0) k!

Chuỗi Macloranh của 1S(x) (x)1 x

là n

n 0

1x1 x

khi x 1 .Tức là chuỗi

Macloranh của 1S(x) (x)1 x

hội tụ về 11 x

mà không hội về S(x) .

3. Định lý(Điều kiện đủ):

Nếu có số C 0 sao cho (n)S (x) C với R x R;n 0,1,2,... thì hàm số S(x)

khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên R,R .

Chứng minh:

Ta có (n 1) (n)

2 n 1 nS (0) S (0) S (0) S ( x)S(x) S(0) x x ... x x1! 2! (n 1)! n!

với 0 1

nên (n 1) (n)

2 n 1 nn

S (0) S (0) S (0) S ( x)r (x) S(x) S(0) x x ... x x1! 2! (n 1)! n!

và n

nRx R,R : r (x) Cn!

nhưng n

n 0

Rn!

hội tụ theo Dalambe do đó

n

n

Rlim 0n!

nên nnlim r (x) 0

.Tức là (n)

n

n 1

S (0)S(x) xn!

với R x R .

C:CHUỖI FOURIER

1) Chuỗi lượng giác:Chuỗi hàm số có dạng

0n n

n 1

a (a cosnx b sin nx)2

(T)

51

trong đó 1 2 3 1 2 3 na ,a ,a ..;b ,b ,b ,...,b ,...là các hằng số thực.Ta thấy chuỗi (T) là chuỗi

tuần hoàn chu kỳ 2 ,do đó ta chỉ cần khảo sát trên , .

2) Hệ số Fourier:Giả sử hàm f (x) tuần hoàn chu kỳ 2 và khai triển được thành

chuỗi lượng giác (T): 0n n

n 1

a (a cosnx b sin nx)2

ta cần tìm k ka ,b

Giả sử 0n n

n 1

a (a cosnx b sin nx)2

f (x) trên ,

tức là 0n n

n 1

af (x) (a cosnx b sin nx)2

x ,

Mặt khác 0n n

k 1

a cosnx (a cosnx coskx b cos nxsin kx)2

cũng hội tụ đều trên ,

hơn nữa 0n n

k 1

af (x)cos nx cosnx (a cosnxcoskx b cosnxsin kx)2

với x ,

nên 0n n

k 1

af (x)cos nxdx cos nxdx a cosnxcoskxdx b cosnxsin kxdx

2

do 1cos nx cos kxdx cos(k n)xdx cos(k n)xdx 0 khi n k;n,k 0,1,2,...2

và 1cos nxsin kxdx sin(k n)xdx sin(n k)xdx 0 khi n k;n,k 1,2,...2

nên khi n k 2n nf (x)cosnxdx a cos nxdx a

n1a f (x)cosnxdx

với n 0,1,2,...

52

hoàn toàn tương tự n1b f (x)sin nxdx

với n 1,2,3,...

Chú ý:

a. Nếu hàm f (x) chẵn thì hệ số nb 0 với n 1,2,3,... b. Nếu hàm f (x) lẻ thì hệ số na 0 với n 0,1,2,3,... c. Để khai triển hàm f (x) bất kỳ trên (a,b) thành chuỗi Fourier,ta nên thác

triển hàm f (x) thành hàm chẵn hoặc lẻ để rồi từ đó khai triển theo côsin

hay sin.

d. Chuỗi lượng giác là chuỗi duy nhất hội tụ đều về hàm f (x)

3) Nếu f (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ , bằng phép đổi biến x x

thì ta sẽ

được tuần hoàn chu kỳ 2 và

0n n

n 1

af ( x) (a cosnx b sin nx )2

0

n nn 1

a n x n xa cos b sin2

trong đó n1 n xa f (x)cos dx

với n 0,1,2,...

n1 n xb f (x)sin dx

với n 1,2,3,...

Ví dụ:Khai triển hàm số f (x) 2x thành chuỗi Fourier trong miền 0 x 1

Chứng minh:+Thác triển hàm f (x) thành hàm chẵn

2x khi 0 x 1

g(x)2x khi 1 x 0

Nên 1 1x 1

n 2 2 2x 00 0

4xsin n x 4 4(cosn 1) 8a 4 x cosn xdx sin n xdxn n (n ) (2n 1)

53

với n 1,2,... Do đó 2 2n 1

8 cosn xf (x) 1(2n 1)

+ Thác triển hàm f (x) thành hàm lẻ

Khi đó 11 n 1

n 20 0

4xcosn x 4sin n x 4cosn 4( 1)b 4 xsin n xdxn n n(n )

nên chuỗi Fourier theo sin của n 1

n 1

4 ( 1) sin n xf (x)n

4) Định lý:Mọi hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2 và có đạo hàm cấp một liên tục

x đều có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên toàn trục số.

5) Định lý Dirichlet :Nếu hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2 ,đơn điệu từng khúc và

bị chặn trên đoạn , thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn đó.Tổng S(x) của chuỗi ấy bằng f (x) tại những điểm hội tụ của hàm số,còn tại điểm gián đoạn c của f (x) ,ta có

x cf (c 0) f (c 0)S(x)

2

CHƯƠNG VI:TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1) Tích phân với cận vô tận: 1. Đ/nghĩa:Cho hàm số y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu hạn

b a .Ta gọi giới hạn b

ba

lim f (x)dx (nếu nó tồn tại) là tích phân suy rộng của hàm

y f (x) trên a, và ký hiệu b

ba a

f (x)dx lim f (x)dx

.

Khi đó tích phân a

f (x)dx

là hội tụ, trái lại thì a

f (x)dx

gọi là phân kỳ.

54

Hoàn toàn tương tự ta cũng có định nghĩa

b b

aa

lim f (x)dx f (x)dx

và b

aab

lim f (x)dx f (x)dx

khi các giới hạn tồn tại.

Chú ý: Ta cần có sự so sánh về sự tương tác giữa chuỗi số và tích phân suy rộng

2. Các tính chất đơn giản

a. Tính chất 1:Nếu tích phâna

f (x)dx

hội tụ thì tích phânA

f (x)dx

cũng

hội tụ và ngược lại ( A a ).Ngoài ra A

a a A

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

b. Tính chất 2: Nếu tích phân a

f (x)dx

hội tụ thì A

A

lim f (x)dx 0

c. Tính chất 4: Nếu tích phân a

f (x)dx

và a

g(x)dx

hội tụ thì

a

f (x) g(x) dx

hội tụ và a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

d. Định lý 1: Điều kiện ắt có và đủ để a

f (x)dx

hội tụ là 00 A đủ lớn

và 0A a sao cho với 1 0A A và 2 0A A thì 2 1 1

2

A A A

a a A

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

3. Điều kiện hội tụ:Ta xét những hàm f (x) 0 (liên hệ với chuỗi số dương)

a. Định lý 2:Điều kiện ắt có và đủ để a

f (x)dx

trong đó f (x) 0 và

55

a x hội tụ là tích phân A

a

f (x)dx bị chặn ( A a )

b. Định lý 3:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x và các hàm f (x) ; (x)

khả tích trong mọi đoạn a,b với a b .Nếu a

(x)dx

hội tụ thì a

f (x)dx

hội tụ và

a a

f (x)dx (x)dx

.Ngược lại a

f (x)dx

phân kỳ thì a

(x)dx

phân kỳ.

Ví dụ:Xét sự hội tụ của x

1

x e dx

với const

Chứng minh:Ta có x2

xlim x e 0

(quy tắc Lôpitan)nên với x đủ lớn :

x2x e 1

do đó x x x

x 2 2 2x e x e e e và

x2

1

e dx

hội tụ, suy ra x

1

x e dx

hội tụ.

c. Định nghĩa :Tích phân a

f (x)dx

được gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

a

f (x) dx

hội tụ.Như vậy khi a

f (x) dx

hội tụ thì a

f (x)dx

cũng hội tụ

d. Định lý 4: Cho y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu hạn b a 0

Nếu 1 ,với C const 0 thỏa mãn Cf (x)x

thìa

f (x)dx

hội tụ tuyệt đối

Nếu 0 1 và với x đủ lớn 1f (x)x

, thì a

f (x)dx

phân kỳ.

56

e. Định lý 5 (Abel) Giả sử f (x) và g(x) xác định trên a, hơn nữa

- Tích phân a

f (x)dx

hội tụ

- Hàm g(x) đơn điệu bị chặn

thì tích phân a

g.f dx

hội tụ

f. Định lý 6 (Dirichlet):Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với x a .

Nếu tồn tại C const 0 sao cho a b :b

a(x)dx C thì

a

(x) dxx

hội tụ.

2) Tích phân của hàm số không bị chặn:

1. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn a ,b với 0 b a ,

xác định trên a,b nhưng không bị chặn tại lân cận x a .Nếu tồn tại b

0a

lim f (x)dx

thì giới hạn đó gọi là tích phân của hàm không bị chặn f (x) trên a,b và ký hiệu

:b

a

f (x)dx .

2. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn 1a,c ; 2c ,b ,

trong đó 10 c a ; 20 b c và không bị chặn ở lân cận điểm c.Khi tồn tại các

tích phân suy rộng c

a

f (x)dx và b

c

f (x)dx tức là tồn tại các giới hạn sau

1

1

c c

0a a

lim f (x)dx f (x)dx

và

22

b b

0c c

lim f (x)dx f (x)dx

khi đó ta có b

a

f (x)dx = c

a

f (x)dx + b

c

f (x)dx

57

và ta có b

a

f (x)dx hội tụ,trái lại thì tích phân gọi là phân kỳ.

Lưu ý:

Trong tích phân b

a

f (x)dx nếu hàm số f (x) không xác định tại x a hoặc x b

nhưng tồn tại x a 0

lim f (x)

hoặc x b 0

lim f (x)

thì b

a

f (x)dx vẫn tồn tại.

3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng:Giả sử Cho hàm f (x) khả tích

trên mọi đoạn a ,b với 0 b a ,xác định trên a,b nhưng không bị chặn tại

lân cận x a .Do đó b b

0a a

f (x)dx lim f (x)dx

Đặt 1x ay

ta có

1 1b

21 1a

b a b a

1 dyf (x)dx f (a ) (y)dyy y

trong đó 21 1(y) f (a )

yy

Khi đó

1b

0 1 1ab a b a

f (x)dx lim (y)dy (y)dy

4. Điều kiện hội tụ:Từ phân tích trình bày ở trên ta có các định lý sau

a. Định lý 1’:Điều kiện ắt có và đủ để b

a

f (x)dx trong đó

58

f (x) 0; x a,b hội tụ là tích phân b

a

f (x)dx bị chặn với 0 ( 0 b a )

b. Định lý 2’:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x b

Nếu b

a

(x)dx hội tụ thì b

a

f (x)dx hội tụ và b b

a a

f (x)dx (x)dx .Ngược lại b

a

f (x)dx phân

kỳ thì b

a

(x)dx phân kỳ

c. Định lý 3’: Đ/kiện ắt có và đủ để b

a

f (x)dx hội tụ là 0 0 :

10 và 20 thì 2

1

a

a

f (x)dx

d. Định nghĩa :Tích phân b

a

f (x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

b

a

f (x) dx hội tụ.Như vậy khi a

f (x) dx

hội tụ thì a

f (x)dx

cũng hội tụ

e. Định lý 4:

Nếu 0 1 và x a đủ gần a mà 1f (x)(x a)

thì b

a

f (x)dx hội tụ tuyệt đối

Nếu 1 và x a đủ gần a để 1f (x)(x a)

thì b

a

f (x)dx phân kỳ.

g. Định lý 5:Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với x a .Nếu tồn tại

59

C const 0 sao cho:b

a(x)dx C

thì b

a

(x a) (x)dx hội tụ.