PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi...

9/10/2016

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 2


Đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệuf’(a) là:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

• Chú ý: đặt h=x-a, ta có:

' limx a

f x f af a

x a

0' lim

h

f a h f af a

h


Ví dụ

• Tìm đạo hàm của hàm:

tại a=2 theo định nghĩa.

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

2 8 9f x x x

22

0 0

2 8 2 9 3 4lim lim 4h h

h h h h

h h

' 2 4f

0

2 2limh

f h f

h


Đạo hàm phải – trái• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

0' lim lim

x a h

f x f a f a h f af a

x a h

0' lim lim

x a h

f x f a f a h f af a

x a h


Định lý

• Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi vàchỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a vàhai đạo hàm này bằng nhau.

• Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàmsố liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể khôngđúng.

' ' 'f a L f a f a L

' limx a

f a L f x f a


Ví dụ• Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.

1/ , 0

0 , 0

xe xf x

x

' 0 ; ' 0f f

1/

1/

0 0

0 0

0 0 0' 0 lim lim lim 0

0 0 0' 0 lim lim

h

u

h

uh h

h h

f h f e uf

h h ef h f e

fh h

9/10/2016

2


Hàm số đạo hàm• Với a cố định ta có:

• Thay a bằng x ta có:

• Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếugiới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụthuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàmtheo x và gọi là đạo hàm của hàm f.

0' lim

h

f a h f af a

h

0' lim

h

f x h f xf x

h


Hàm số đạo hàm• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

• Ký hiệu:

• Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao chof’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

'; '; ; ;df dy d

f y f xdx dx dx


Ví dụ 1

• Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2.

• Ta có:

• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộcTXĐ.

• Vậy đạo hàm của hàm số:

2 2

0 0lim lim 2h h

f x h f x x h xx

h h

' 2y x


Ví dụ 2

• Tìm đạo hàm của hàm:

• Ta có:

• Vậy:

• Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )

0 0

1' lim lim

2h h

f x h f x x h xf x

h h x

1' . D : 0;

2f x TX

x

f x x


Qui tắc tính đạo hàm 1• Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của

các hàm sau là:

• Đạo hàm dạng:uv

• Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:

2

. ' ' ' . ' . '

' . . '. . ' ' . . ' .

i u v u v ii ku k u

u u v u viii u v u v u v iv

v v

'' . ln .v v u

u u v u vu

vy u


Qui tắc tính đạo hàm 2• Đạo hàm của hàm hợp:

• Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:

Vậy:

0.

x g xy f g x y f g

ln cosy x

ln ; cosf x x g x x

1. . sin tan

cosx g xy f g x x

x

9/10/2016

3


Công thức tính đạo hàm 1

1

2

2

1. 0 2. .

3.

14. ln

5. sin cos

6. cos sin

17. tan

cos1

8. cotsin

x x

C x x

e e

xx

x x

x x

xx

xx

Đạo hàm hàm hợp

2

2

3. . '

14. ln . '

5. sin ' .cos

6. cos sin

17. tan . '

cos1

8. cot . 's

' .

in

u ue e u

u uu

u u u

u u

u u

uu

u

u

u


Công thức tính đạo hàm 2

2

2

2

2

9. . ln

110. log

. ln1

11. arcsin11

12. arccos11

13. arctan11

14. arc cot1

x x

a

a a a

xx a

xx

xx

xx

xx

Đạo hàm hàm hợp

9.

10. log

11. arcsin

12. arccos

13. arctan

14. arc cot

u

a

a

u

u

u

u

u


Ví dụ• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

3ln1 cos

xef x

x

1ln 1 cos

31 sin 1 sin

' 1 13 1 cos 3 1 cos

y x x

x xy

x x


Ví dụ• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

• Vậy:

2

3 4 7

1

.sin

xf x y

x x

2

2

4ln ln 1 ln 7 ln sin

3' 2 4 7 cos

3 sin1

y x x x

y x x

y x xx

2

23 4 7

2 4 7 cos' .

1

.si sn 3 in1

x

x

xy

x xxx

x


Hàm số cho bởi tham số• Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

• Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trìnhtham số.

• Ví dụ: Cho hàm

Đặt: ta có dạng tham số sau:

x x t

y y t

lnxy

x

tx e

t

t

x e

tye


Công thức đạo hàm tham số

• Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

• Khi đó:

• Ví dụ:

x x t

y y t

/

/t

xt

ydy dy dty

dx dx dt x

2 2

1

11 1 ln

tt

t t

t

x t t

x e

ty

et

t xeye e x

lnt

t

x ex

y tx ye

9/10/2016

4


Đạo hàm của hàm ngược• Hàm số có hàm ngược là:

• Khi đó:

• Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany

1x f y

1 1y x

x y

x yy x

2 2

1 1 1

1 tan 1xy

yx y x

y f x


Đạo hàm của hàm ngược• Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

• Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

2 2

1 1 1 1

cos 1 sin 1

2 2

xy

yx y y x

do y

2 2

1 1 1 1

sin 1 cos 1

0

xy

yx y y x

do y


Hàm ẩn• Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương

trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳngthức đúng.

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).

• Ví dụ: Phương trình:

xác định hai hàm ẩn:

2 2, 1F x y x y

2

11 , 1;1y x x

2

21 , 1;1y x x


Đạo hàm hàm ẩn• Cho phương trình: F(x;y)=0

• Để tính: y’x• B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.

Chú ý y là hàm theo x.

• B2. Giải phương trình tìm y’.

• B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.

Ví dụ: Cho phương trình:

Tính đạo hàm của y theo x.

3 2ln 0yx y x e


Đạo hàm hàm ẩn• B1. Lấy đạo hàm theo x

• B2. Giải tìm y’

3 2ln 0y

xx y x e

2 2

2 2

2

2

* 3 2 . . 0

3 2 . 1 0

3 2 .

'

'

'

1

'y y

y y

y

y

x y xy e x ye

x y xy e x

y y

ye

x y xy ey

x ye

y

2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e x

yye

y


Đạo hàm hàm ẩn• B3. Tính y’(0).

• Ta có:

• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:

3 2ln 0

0 ln 0 1 0

yx y x e

x y y y

2

2

3 2 .'

1

y

y

x y xy ey

x ye

1

1

1 10 03. . 2. . .' 0 0

. 10.1

ey

e

9/10/2016

5


Đạo hàm cấp cao

• Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọilà đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x).

• Ký hiệu:

• Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạohàm cấp 2.

2

2

d df d ff f

dx dx dx

2 3

2 3

d d f d ff f

dx dx dx


Đạo hàm cấp cao

• Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạohàm cấp (n-1).

• Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số.

Giải:

11

1

n nn n

n n

d d f d ff f

dx dx dx

. xf x x e

. . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e


Đạo hàm cấp cao• Ta có:

• Tương tự:

• Tổng quát:

1 1 2x x x xf x x e e x e x e

43 ; 4x xf x x e f x x e

n xf x x n e


Đạo hàm cấp cao thường gặp

1

1

) 1 ... 1

1 1) 1 !

) .

1 !) ln 1

) sin .sin2

) cos .cos2

nn

nn

n

nax n ax

n n

n

n n

n n

i x a n x a

ii nx a x a

iii e a e

niv x

x

v ax a ax n

vi ax a ax n


Chú ý

1

) 1 ... 1 .

1 !) ln 1 .

) sin .sin2

) cos .cos2

nn

n

n n

n

nn

nn

n

i ax b n ax b

niv ax b

ax b

v ax b a ax b n

vi ax b a ax b n

a

a


Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp n của:

2

1 1) )

3 21a f x b g x

x xx x

9/10/2016

6


Đạo hàm cấp cao hàm ẩn• Biết: . CM:

• Đạo hàm 2 vế theo x:

• Do đó:

• Thay y’ vào:

4 4 16x y2

7

48xy

y

33 3

34 4 . ' 0 '

xx y y y

y

23 2 3 3 2

3 6 4

3 '3 3 . ' x xy yx x y x y yy

y y y

32

2 4 4 2

4 7 7

33

3 48x x y

x x y x

y y

x

yy

y


Đạo hàm cấp cao tham số• Ta đã biết:

• Theo công thức đạo hàm hàm hợp:

• Do đó:

'

't

xt

x x t yy

y y t x

. .x t

x x t x t xt xt

yy y x y x y

x

3

. .t t t

x

t

y x y xy

x


Ví dụ

• Tìm y’’ biết:

• Ta có:

• Vậy:

2

sinx t

y t

cos ; sin

2 ; 2t t

t t

x t x t

y t y

3 3

2;

cos2.cos 2 sin 2.cos 2 sin

coscos

x

x

ty

tt t t t t t

ytt


Công thức Leibnitz• Dễ thấy:

• Mở rộng:

. . .

. . . . 2 .

f g f g g f

f g f g g f f g f g f g

0

. .nn k n kk

nk

f g C f g

Gần giống khai triển nhị thức Newton


Ví dụ

• Tính đạo hàm:

3 3 2 2 3

3 4 3 2 2 3 4

. 3 . 3 .

. 4 . 6 . 4 .

f g f g f g f g g f

f g f g f g f g f g g f

102 1 sin ???f x x x f x


VI PHÂN

• Vi phân tại một điểm

• Vi phân trên một khoảng

• Ứng dụng vi phân tính gần đúng

9/10/2016

7


Vi phân tại một điểm

• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu:

• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu:

0 0. 0f x h f x Ah h

: haèng soá höõu haïn

VCBù baäc cao hôn

Ngöôøi ta coøn kyù hieäu laø .

0

00 : . lim 0

h

A

hh h

h

h x

0 0. 0f x x f x A x x


Vi phân tại một điểm• Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó A.h gọi là vi phân

của hàm số f(x) tại x0.

Ký hiệu:

Định lý: Hàm y= f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồntại f’(x0).

Ta chứng minh được:

0

0

.

.

df x A h

hay df x A x

0'A f x


Vi phân tại một điểm• Vi phân của hàm số f(x) tại x0.

• Tính chất:

0 0

0 0

' .

' .

df x f x h

hay df x f x x

2

) 0

)

)

)

)

i d C

ii d f df

iii d f g df dg

iv d fg gdf fdg

f gdf fdgv dg g


Vi phân của hàm hợp

• Cho hàm hợp:

• Vi phân:

• Hai công thức này có dạng giống nhau

• Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến.

0f u x hay f u x

. . ' ' .df f x dx f u u x dx f u du


Ứng dụng vi phân

0

y

0x

0x x

0f x

0f x x

x

0 0f x x f x

f

0' .f x x

0' . 0f f x x khi x


Ứng dụng vi phân tính gần đúng

• Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có:

• Hay công thức:

0 0 0' .f x x f x f x x

0 0 0' .f x f x f x x x

9/10/2016

8



a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:

Giải:

3f x x

4,03

1 1

2 3 2 3f x df x dx

x x

1 1 11 1

4 42 1 3df dx dx x



a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:

Giải:

Nếu tính bằng máy tính:

3f x x

4,03

11 1

41 0, 03

4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 00754 4

f x f x

f f

4,03 2,00748599..


Vi phân cấp cao• Vi phân cấp 1:

• Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì viphân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x).

• Vậy:

• Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n-1).

df x f x dx

2

2

'

. ' . .

d f x d df d f x dx

dx d f x dx f x dx f x dx

1 .nn n nd f x d d f f x dx


Vi phân cấp cao của hàm hợp• Cho hàm hợp: f(g(x)).

• Vi phân cấp 2:

2

2 2

'

' . ' .

d f d df d f u du

d f u du f u d d u

f u du f u d u

2 2d f x f x dx


CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

• Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)

• Công thức Taylor

• Qui tắc L’ Hospitale


Định lý Fermat

• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0.

• Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0

thì:

0' 0f x

9/10/2016

9


Định lý Rolle

• Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) saocho f’(c)=0

• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle cónghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhấtmột nghiệm của đạo hàm.


Định lý Lagrange

• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thìtồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

'f b f a

f cb a


Định lý Cauchy

• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong(a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc(a,b) sao cho:

'

'

f b f a f c

g b g a g c


Công thức Taylor

• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạngđơn giản

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức.

• Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0

2 5 2 11 2

2 3

arctan ... 1 03 5 2 1

1 ... 02! 3! !

nn n

nx n

x x xx x x

nx x x

e x xn


Công thức TaylorCho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:

20 0

0 0 0

110

0 0

' "

1! 2 !

...! 1 !

n nn n

f x f xf x f x x x x x

f x f cx x x x

n n


Phần dư trong công thức Taylor

• Dạng Lagrange:

• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

11

01 !

nn

n

f cR x x

n

0

lim 0nnx

R

x x0

0n

nR x x

9/10/2016

10


Công thức MaclaurinCho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:

2' 0 " 0 0

0 ... 01! 2! !

n

n n

f x

f f ff x x x x

n


Công thức L’Hospital

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng

Neáu thì

0lim ;

0

lim lim

x a

x a x a

f x

g x

f x f xL L

g x g x

0;0

lim limx a x a

f x f xL

g x g x


ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• 1. Ý nghĩa của đạo hàm

• 2. Giá trị cận biên

• 3. Hệ số co dãn

• 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế


1. Ý nghĩa của đạo hàm

• Cho hàm số y=f(x)

• Tại x0 khi x thay đổi một lượng Δx

• Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0)

• Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0 chính làđạo hàm f’(x0)

0 0

0 0' lim

x

f x x f xf x

x

0'

yf x khi x rat nho

x



• Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa làp=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1



• Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là

𝑝 = 45 − 2 𝑄

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4

9/10/2016

11


2. Giá trị cận biên

• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)

• Ta thường chọn xấp xỉ 𝑀𝑦(𝑥) ≈ ∆𝑦 tức làMy(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thayđổi một đơn vị ∆𝑥=1

'My x f x


Giá trị cận biên của chi phí

• Cho hàm chi phí C=C(Q)

• Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)

• Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơnvị


Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sảnphẩm là:

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Qsản phẩm.

• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ýnghĩa khi Q=50.

2 5000, 0001 0, 02 5C Q Q

Q


Giá trị cận biên của doanh thu

• Cho hàm doanh thu R=R(Q)

• Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

• Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1đơn vị


Ví dụ

• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xebus được cho bởi công thức:

• A) Xác định hàm tổng doanh thu

• B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 vàp=32

10000 125Q p


Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượngΔx thì ta nói:

• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

• Tỷ số∆𝑥𝑥. 100% gọi là độ thay đổi tương đối

của x

9/10/2016

12


Hệ số co dãn

• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thayđổi tương đối của y và của x thay đổi một lượngΔx.

• Ký hiệu:

• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.

'/. .

/yx

f xy y y xx

x x x y f x


Ví dụ

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khip=3


Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

• Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau:

• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa

• + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa

• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

• Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị củahàm một biến số đã học.


Ví dụ 1

• Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3-19Q2+333Q+10

• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.


Ví dụ 2

• Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3-25Q2+184Q+15

• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi...

Documents

Transcript of PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi...