1

BÀI GIẢNG KHẢO SÁT HÀM SỐ

ĐỖ VĂN THỌ

Năm 2012

2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. Tính đơn điệu của hàm số: 1. Định nghĩa: - Hàm số f x đồng biến trên K 1 2 1 2 1 2; ,x x K x x f x f x - Hàm số f x nghịch biến trên K 1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x 2. Điều kiện cần: Giả sử f x có đạo hàm trên khoảng I - Nếu f x đồng biến trên khoảng I thì ' 0f x , x I - Nếu f x nghịch biến trên khoảng I thì ' 0f x , x I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f x có đạo hàm trên khoảng I - Nếu ' 0,f x x I ( ' 0f x tại một số hữu hạn điểm) thì f x đồng biến trên I - Nếu ' 0,f x x I ( ' 0f x tại một số hữu hạn điểm ) thì f x nghịch biến trên I - Nếu ' 0f x , x I thì f x không đổi trên I (Lưu ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa đoạn thì f x phải liên tục trên đoạn đó) * Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số: - Tìm tập xác định của hàm số - Tính 'y . Tìm các điểm mà tại đó ' 0y hoặc 'y không tồn tại (gọi là điểm tới hạn) - Lập bảng xét dấu 'y . Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

1) 22 4 5y x x 2) 2 5

4 4xy x 3) 2 4 3y x x

4) 3 22 2y x x x 5) 24 1y x x 6) 3 23 4 1y x x x

7) 4 21 2 14

y x x 8) 4 22 3y x x 9) 4 21 1 210 10

y x x

10) 2 15

xyx

11) 12xy

x

12) 111

yx

3

13) 22 26

2x xy

x

14) 131

y xx

15) 24 15 9

3x xy

x

16) 2 11

xyx

17) 2

31

xyx

18) 2 4 3

2x xy

x

19) 2

2

4 32 2 4x xyx x

20) 13xy

x

21) 2

2

2 22 1x xy

x x

ĐS: 1) ĐB ,1 , NB 1, 2) NB , 2 ĐB 2,

3) NB , 2 ĐB 2, 4) ĐB 1, ; 1;3

NB 1 ,13

5) NB ,1 ; 3, ĐB 1,3 6) ĐB , 7) NB , 2 ; 0, 2 ĐB 2,0 ; 2, 8) ĐB ,0 NB 0, 9) NB ,0 ĐB 0, 10) ĐB , 5 ; 5, 11) ĐB , 2 ; 2, 12) NB ,1 ; 1, 13) ĐB , 6 ; 2, NB 6, 2 ; 2,2 14) NB ,1 ; 1,

15) ĐB 3 3, ; ,2 2

NB 3 3;0 ; 0;2 2

16) ĐB , 1 ; 1,

17) ĐB 1,1 NB , 1 ; 1, 18) ĐB , 2 ; 2; 19) ĐB , 1 ; 1, 2 ; 2, 20) NB 0,1 ĐB 1, 21) NB , 2 ; 0, ĐB 2,0 Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

1) 4 3 26 8 3 1y x x x 2) 2

2

14

xyx

3)

2

2

11

x xyx x

4) 2

2 1xyx

5) 2 3 2xy

x x

6) 3 2 2y x x

7) 2 1 3y x x 8) 22y x x 9) 22y x x

10) sin 2y x với 2 2

x

11) sin 2y x x với 2 2

x

ĐS: 1) ĐB ,0 NB 0, 2) ĐB , 2 ; 2,0 NB 0,2 ; 2, 3) ĐB , 1 ;(1; ) NB 1,1 4) NB ,0 ; 1, ĐB 0,1

5) NB , 2 ; 2, 2 ; 2, ĐB 2,1 ; 1, 2

4

6) ĐB ,1 NB 1,2 7) ĐB 1 ,32

8) NB 2, 1 ; 1, 2 ĐB 1,1

9) ĐB 0,1 NB 1,2 * Vấn đề 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến với mọi x Tìm miền xác định D của hàm số f x Tính đạo hàm 'f x . Nếu 2'f x ax bx c

- Hàm số f x đồng biến x 0

' 00

af x

- Hàm số f x nghịch biến x 0

' 00

af x

(Chú ý: Nếu hệ số a của 'f x có tham số thì phải xét khi 0a ) * Nhận xét: - Nếu hệ số a của 'f x có chứa tham số m thì thông thường hàm số f x đồng biến ' 0f x hoặc nghịch biến ' 0f x - Nếu có chứa tham số m thì ta cần lập bảng xét dấu của và biện luận theo m

Ví dụ:1 Cho hàm số: 3 21 2 2 2 2 53my f x x m x m x

. Tìm m để hàm

số: a. Luôn đồng biến b. Luôn nghịch biến

Giải: Miền xác định D

2' 1 4 2 2 2y m x m x m Hàm số luôn đồng biến ' 0,x y x

2

1 00 1' 0 2 35 6 0

ma mm

mm m

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn làm cho hàm số luôn đồng biến

b. Hàm số luôn nghịch biến 0

' 0' 0

ax y

5

2

1 0 12 3

2 35 6 0m m

mmm m

(giao)

Vậy với 2 3m thì hàm số luôn nghịch biến Ví dụ 2:

Cho hàm số 3 21 4 33

y f x x mx x . Định m để hàm số luôn đồng biến với mọi

x Giải:

Tập xác định D 2' 2 4y x mx

Cho 2 2' 0 2 4 0 ' 4y x mx m Bảng xét dấu '

m -2 2 ' + 0 - 0 +

+ Nếu 2 2m thì ' 0y , x . Hàm số y f x đồng biến trên

+ Nếu 2m thì 2' 2y x , ta có ' 0 2; ' 0, 2y x y x . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 2 và 2; nên hàm số y đồng biến trên R + Tương tự nế 2m . Hàm số y đồng biến trên R + Nếu 2m hoặc 2m thì ' 0y có hai nghiệm 1 2;x x phân biệt. Giả sử 1 2x x . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng 1 2;x x , đồng biến trên mỗi khoảng 1, x và 2 ;x . Do đó 2m hoặc 2m không thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi 2 2m Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định:

a. 3 2mx myx m

b. 22 2 3 11

x m x my

x

Giải:

a. 3 2mx myx m

Tập xác định \D m

2

2

2 3' ;m my x mx m

6

Hàm số luôn nghịch biến với mọi x m 2' 0 2 3 0y m m 3 1m

b. 22 2 3 11

x m x my

x

Tập xác định: \ 1D

2

2 1' 2 ; 11

my xx

+ Nếu 12

m ' 0; 1y x . Do đó hàm số nghịch biến trên D

+ Nếu 12

m , khi đó phương trình y’ có hai nghiệm 1 21x x hàm số đồng biến

trên mỗi khoảng 1;1x và 21; x , trường hợp này không thỏa

Vậy 12

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

1) 2 7 11

1x m my

x

2) 21 2 11

m x xy

x

3) 21 2 33

m x m my

x m

4) 2 2 2 13

x m x my

x

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên

1) 3 21 2 2 1 3 23

y x x m x m

2) 3

2 22 2 8 13xy m m x m x m

* Vấn đề 3: Định tham số m để hàm số f x đồng biến hoặc nghịch biến trong một khoảng , cho trước Nếu 'f x có dạng 2ax bx c Trường hợp ' 0f x 'f x vô nghiệm

+ f x đồng biến trong 0

,0

a

7

+ f x nghịch biến trong 0

,0

a

Trường hợp ' 0 'f x f x có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2; ;x x x x + Với 0a :

f x đồng biến trong

1 2

1 2

00

' 0

2,00

' 0

2

a

x x afS

a

x x afS

f x nghịch biến trong

1 2

0, ' 0

' 0

ax x af

af

+ Với 0a

f x đồng biến trong

1 2

0, ' 0

' 0

ax x x af

af

8

f x nghịch biến trong

1 2

1 2

00

' 0

2,00

' 0

2

a

x x afS

a

x x afS

1 20 0x x P 1 20 0x x P

1 2

00 0

0x x P

S

1 2

00 0

0x x P

S

1 2

1 2

0 00 0

x xx x P

(trong đó 1 2bS x xa

; 1 2. cP x xa

)

Nếu hàm số f x có giá trị nhỏ nhất trên tập D thì , 0 0

x Dx D f x f xMin

Nếu hàm số f x có giá trị lớn nhất trên tập D thì , 0 0

x Dx D f x f xMax

Ví dụ 1:

9

Cho hàm số 3 24 3y x m x mx . Tìm m để: a. Hàm số đồng biến trên b. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

Giải: Hàm số xác định trên D

2' 12 2 3y x m x m

Cho 2' 0 12 2 3 0y x m x m có 2 2' 3 12 3m m m và có hệ số 12 0a

a. Hàm số đồng biến x ' 0y 2' 0 3 0 3 0 3m m m

Vậy 3m thỏa mãn yêu cầu bài toán b. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

1 2

' v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm kÐp' 0, 0;

' cã nghiÖm 0

f xy x

f x x x

2

2

3 0

' 0 33 0

' 0 3030 30

60 0

012

m

mm m

mmS m

P mm

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 y x m x m . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng 1,2

Giải Tập xác định D

3 2 2' 3 2y x mx m y x mx có hệ số 3 0a Để hàm số đồng biến trong khoảng 1,2 ' 0, 1, 2y x

x 1x 1 2 2x 'y - 0 + 0 -

10

1 2 1 2

3' 1 01,2 , 1 2 32

' 2 0 3

af mx x x x m

af m

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 1 4y x x m x m . Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng 1;1

Giải Tập xác định D

2' 3 6 1y x x m có hệ số 3 0a và ' 3 6m - Trường hợp 1: Nếu 2 ' 0m . Ta có ' 0f x không thỏa mãn - Trường hợp 2: 2 ' 0m . Suy ra 'f x có hai nghiệm phân biệt

1 2 1 2; ;x x x x x 1x 2x 'y + 0 - 0 +

Hàm số nghịch biến trong khoảng 1;1 ' 0, 1;1f x x

1 2 1 2

' 1 01;1 ; 1 1

' 1 0

3 2 0 210

103 10 0

afx x x x

af

m mm

mm

Kết hợp với điều kiện 2m 10m Vậy 10m thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số 4mxyx m

luôn nghịch biến trong khoảng ,1

Giải: Tập xác định \D m

Ta có

2

2

4' ;my x mx m

Hàm số nghịch biến trên ,1

' 0; ,1 2 22 1

1,1

y x mm

mx m

11

Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm m để các hàm số sau:

1) 1mxyx m

luôn nghịch biến trong 2,

2)

22 3

x mym x m

luôn nghịch biến trong 1,2

3) 2 2x myx m

luôn nghịch biến trong ,0

4) 213

m x my

x m

luôn nghịch biến trong 0,1

Bài 2: Tìm m để hàm số sau: 1) 3 22 2 1y x x mx đồng biến trong 1, 2) 3 2 3 2y mx x x m đồng biến trong 3;0

3) 3 21 2 1 13

y mx m x m x m đồng biến trong 2;

Bài 3: Cho hàm số 3

21 3 43xy f x m x m x . Xác định m để hàm

số đồng biến trong khoảng 0,3 (ĐH Nông Lâm - 1995)

Bài 4: Cho hàm số 22 1 1x m x my

m x

. Xác định m để hàm số nghịch biến

trong 2,3

Bài 5: Cho hàm số 22 1 1x m x my

x m

. Xác định m để hàm số nghịch biến

trong khoảng 2, (ĐH Quốc Gia 1996)

Bài 6: Cho hàm số 2 6 2

2mx xy

x

. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1,

Bài 7: Cho hàm số 3 23 6 1y x mx mx . Xác định m để hàm số nghịch biến trong 10,2

Bài 8: Cho hàm số 2 22 3

2x mx my

m x

. Xác định m để hàm số nghịch biến trong

1,2

12

Bài 9: Cho hàm số 3

2 11 3 2

3 3mxy m x m x . Xác định m để hàm số đồng

biến trong 2,

Bài 10: Cho hàm số 22 1 1x m x my

x m

. Xác định m để hàm số đồng biến

trong khoảng 1, Bài 11: Cho hàm số 3 23 2 1 4y x x m x . Tìm các giá trị của m để hàm số: a. Đồng biến trên b. Đồng biến trên 0; c. Nghịch biến trên 2; 1

Bài 12: Cho hàm số 2 1xyx m

. Tìm các giá trị của m để hàm số:

a. Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định b. Nghịch biến trên 2;

Bài 13: Cho hàm số 21 2 61

m x mx my

x

. Tìm các giá trị của m để hàm số:

a. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b. Đồng biến trên 4; Bài 14: Cho hàm số 3 22 1 3y x m x m x . Tìm m để hàm số: a. Nghịch biến trên b. Nghịch biến trên 1;

Bài 15: Cho hàm số 3 22

xym x

. Tìm m để hàm số:

a. Đồng biến trên mỗi khoảng xác định b. Đồng biến trên 2;4

Bài 16: Cho hàm số 2 2 4 1

1x m x my

x

. Tìm m để hàm số:

a. Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định b. Nghịch biến trên ;0

Bài 17: Cho hàm số 21 1y x m x . Tìm m để hàm số đồng biến trên * Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

13

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: - Chuyển bất đẳng thức về dạng 0f x hoặc ; ; . Xét hàm số

y f x trên tập xác định do đề bài đưa ra - Xét dấu 'f x . Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác

định - Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Nhận xét: - Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của 'f x thì ta đặt 'h x f x

và xét dấu 'h x …cho đến khi nào xét được dấu của 'f x thì thôi - Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng

f a f b . Xét tính đơn điệu của hàm số f x trong khoảng ,a b

Ví dụ: Chứng minh rằng:

a) sin ; 0;2

x x x b)

3

sin ; 0;3! 2xx x x

c) 2 4

cos 1 ; 0;2 24 2x xx x

d)

3sin cos ; 0;2

x x xx

Giải:

a) sin ; 0;2

x x x

* Xét hàm số sinf x x x liên tục trên đoạn 0;2

x

* Ta có ' cos 1 0; 0;2

f x x x f x là hàm nghịch biến trên đoạn

0;2

Suy ra 0 0 sin ; 0;2

f x f x x x (đpcm)

b) 3

sin ; 0;3! 2xx x x

14

* Xét hàm số 3

sin6xf x x x liên tục trên x 0;

2

* Ta có 2

' cos 1 '' sin 0; 0;2 2xf x x f x x x x

(theo câu a)

' ' 0 0; 0; 0 0; 0;2 2

f x f x f x f x

3

sin ; 0;3! 2xx x x

(đpcm)

c) 2 4

cos 1 ; 0;2 24 2x xx x

* Xét hàm số 2 4

cos 12 24x xg x x liên tục trên 0;

2x

* Ta có 3

' sin 0; 0;6 2xg x x x x

(theo câu b)

0 0; 0;2

g x g x

2 3

cos 1 ; 0;2 24 2x xx x

(đpcm)

d) 3sin cos ; 0;

2x x x

x

Theo câu b, ta có 3

sin ; 0;6 2xx x x

332 2 2 4 6sin sin1 1 1

6 6 2 12 216x x x x x x x

x x

3 2 4 4 2sin 1 12 24 24 9

x x x x xx

Vì 32 2 4sin0; 1 0 1

2 9 2 24x x x xx

x

Mặt khác, theo câu c): 2 4

1 cos ; 0;2 24 2x x x x

15

Suy ra 3sin cos ; 0;

2x x x

x

(đpcm)

* Nhận xét: Ta có sin0 sin 0 1; 0;2

xx x xx

nên

3sin sin ; 3x xx x

. Do đó ta có kết quả sau:

sin3; cos ; 0;2

x x xx

Bài tập tự luyện Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3

sin6xx x x với 0x b) 2 1sin tan

3 3x x x , với 0

2x

c) tanx x , với 02

x d) sin tan 2x x x , với 0

2x

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tantan

a ab b với 0

2a b

b) sin sina a b b , với 02

a b

c) tan tana a b b , với 02

a b

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 2sin xx

, với 02

x b)

3 3 5

sin6 6 120x x xx x x , với 0x

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1xe x , với 0x b) ln 1 x x với 0x

c) 1ln 1 ln1

x xx

với 0x d) 2 21 ln 1 1x x x x

* Vấn đề 5: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f x g x (1) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

- Chọn nghiệm 0x thỏa mãn phương trình - Xét các hàm số y f x 1C và y g x 2C . Ta cần chứng minh

một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó 1C và 2C giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ 0x . Đó chính là nghiệm duy

16

nhất của phương trình Nhận xét: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y C thì kết luận trên vẫn đúng

Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 5 5x x b) 5 3 1 3 4 0x x x c) 5 7 16 14x x x x d) 2 215 3 2 8x x x Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 5 5 51 2 3 0x x x b) ln 4 5x x c) 3 4 5x x x d) 2 3 5 38x x x Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) 3 541 5 7 7 5 13 7 8x x x x b) 22 7 2 7 35x x x x x

17

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D và 0x D - Hàm số f đạt cực đại tại 0x nếu tồn tại một khoảng ,a b chứa điểm 0x sao cho ,a b D và 0f x f x với mọi 0, \x a b x - Hàm số f đạt cực tiểu tại 0x nếu tồn tại một khoảng ,a b chứa điểm 0x sao cho ,a b D và 0f x f x với mọi 0, \x a b x - Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, 0f x là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số - Điểm 0 0 0,M x f x gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số 2. Điều kiện cần để có cực trị: Cho hàm số f liên tục trên một khoảng ,a b chứa điểm 0x . Nếu f đạt cực trị tại 0x thì 0' 0f x hay 0'f x không tồn tại

f có cực trị

0

0

' 0

'

f x

f x

3. Điều kiện đủ để có cực trị a. Quy tắc 1: - Nếu 'f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x - Nếu 'f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đạt tại điểm 0x b. Quy tắc 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ,a b chứa điểm 0x , 0' 0f x và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0x

- Nếu 0'' 0f x thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0x - Nếu 0'' 0f x thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0x

(Chú ý: Trong trường hợp 0'f x không tồn tại hoặc

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

thì quy tắc 2 không

dùng được) Vấn đề 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

- Tìm tập xác định D của hàm số f

18

- Tính 'f x - Tìm nghiệm của phương trình ' 0f x (nếu có) và tìm các điểm

0x D mà tại đó f liên tục nhưng 0'f x không tồn tại - Vận dụng điều kiện 1 (lập bảng xét dấu 'f x ) hay dùng quy tắc 2

(tính ''f x ) để xác định điểm cực trị của hàm số Bài tập: Bài 1: Tìm cực (nếu có) của các hàm số sau

1. 23y x x 2. 4 31 4 14

y x x x 3. 2 14xy

x

4. 2 3 3

1x xy

x

5. 23 4 32

y x x x

6. 3 23 6 12

y x x x

7. 4 24 3y x x 8. 2

2

4 13

x xyx x

9. 2 20

1xy

x

Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau

1. 2 33 2y x x 2. 3 22 2 1y x x x 3. 3 21 4 153

y x x x

4. 4 21 32

y x x 5. 4 24 5y x x 6. 4 21 32 2

y x x

7. 2 3 6

2x xy

x

8. 23 4 5

1x xy

x

9. 2 2 15

3x xy

x

Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau

1. 3 42 1y x x 2. 2

2

4 2 12 3x xyx x

3. 2

2

3 4 41

x xyx x

4. 2 4y x x 5. 2 2 5y x x 6. 22y x x x Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau

1. 3 2 1y x 2. 3 2

2 1xy

x

3. 4x xy e e

4. 2 5 5 2lny x x x 5. 24siny x x 6. 2ln 1y x x Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau 1. 3 22 3 1y x x 2. 22 2y x x 3. 2 2y x x

19

4. 4 21 3 14 2

y x x 5. 3 22y x x 6. 22 3y x x

7. sin 2 2y x x 8. 3

1xy

x

* Vấn đề 2: Tìm tham số để hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x cho trước - Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại 0x là 0' 0f x , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số - Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc tìm cực trị để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không

Ví dụ: Cho hàm số 3 21 2 1 9 13

y x m x m x . Tìm các giá trị của tham số m

để hàm số đạt cực tiểu tại 2x Giải:

Tập xác định D 2' 2 2 1 9y x m x m

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại 2x là ' 2 0 4 4 2 1 9 0 1y m m m

Kiểm tra lại. Dùng quy tắc 2 Ta có '' 2 2 2 1y x m Khi 1m thì '' 2 2 '' 2 6 0y x y . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại 2x Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 2 1x m Bài tập: Bài 1: Cho hàm số 4 22 1 3 4 2y m x mx m . Xác định m để hàm số đạt cực đại tại 1x * Vấn đề 3: Tìm tham số để hàm số f có cực trị và cực thỏa mãn một điều kiện cho trước Các dạng đặc biệt của hàm số f x

a. 2

' 'ax bx cy f x

b x c

Tập xác định '\'

cD Rb

20

2

2'' '

Ax Bx Cyb x c

Hàm số có cực đại, cực tiểu 2 0Ax Bx C có hai nghiệm phân biệt 00

A

Hàm số không có cực trị 2 0Ax Bx C vộ nghiệm 00

A

b. Hàm số 3 2y ax bx cx d Tập xác định D R

2' 3 2y ax bx c Hàm số có hai cực trị 23 2 0ax bx c có hai nghiệm phân biệt Hàm số không có cực trị 23 2 0ax bx c vô nghiệm

c. Hàm số 4 2y ax bx c Tập xác định D R

3 2' 4 2 2 2y ax bx x ax b Hàm số có 3 cực trị 22 0ax b có 2 nghiệm phân biệt khác 0 a và b

trái dấu . 0a b

Hàm số chỉ có 1 cực trị 0; 00; 0

. 0

a ba ba b

Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: Đối với hàm bậc 3: 3 2y ax bx cx d - Bước 1: Tính 'y . - Bước 2: Thực hiện phép chia y cho 'y ta được '.y y p x q x - Bước 3: Khi đó phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là y q x

Đối với hàm 2ax bx cy f xdx e

Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là đường thẳng có dạng

2ax by

d

21

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của các tham số a, b sao cho hàm số 2ax bx abyax b

, 0a

đạt cực trị tại 0x và 1x Giải:

Tập xác định \ aDb

2 2 2 2

2

2' a x abx b a byax b

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại 0x và 1x là

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

00

' 0 02 0' 1 0 0

2 0

bb a ba by b

a ab b a b b a bya b a ab b a b

2 22

2 2

0 00 12

0 142 02 0 2 0

b bbaa b a ba b

b a b ab a ba ba ab a a

Kiểm tra lại. Khi 12

a và 14

b thì 2

2

1 14 4' ' 0 0 1

1 12 4

x xy y x x

x

Bảng xét dấu 'y x 0 1

2 1

'f x + 0 - - 0 + f x

CĐ

CT

Vậy hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 10, 1 ;2 4

x x a b

22

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số 2 1

1x mxf x

x

có CĐ, CT

Giải: Tập xác định \ 1D

2

2

2 1'1

x x mf xx

Cho 2' 0 2 1 0f x x x m Hàm số có CĐ, CT 2 2 1 0x x m có hai nghiệm phân biệt ' 0

' 0 0m m

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 1x mxy

x m

đạt cực đại tại 2x

Giải: Tập xác định \D m

2 2

2

2 1' x mx myx m

Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại 2 12 ' 2 0 4 3 0

3m

x y m mm

Điều kiện đủ:

* Với

2

2

21 '1

x xm yx

, 1x

Cho 0

' 02

xy

x

Bảng biến thiên 'y x 0 1 2 'y x + 0 - - 0 + y x

CĐ

CT

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại 0x , cực tiểu tại 2x

23

1m (loại)

* Với 3m

2

2

6 8'3

x xyx

, 3x

Cho 2

' 04

xy

x

Bảng biến thiên: x 2 3 4 'f x + 0 - - 0 + f x

CĐ

CT

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại 2x Vậy 3m Bài 1: Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu 1. 3 2 2 33 3 1y x mx m x m

2. 3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x

3. 2 2 41 1x m m x m

yx m

4. 2 2

1x mx my

x m

5. 2 23

, 02

x mx my mx m

Bài 2: Tìm m để hàm số 1. 3 22 3 5y m x x mx có cực đại, cực tiểu 2. 3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m có cực đại, cực tiểu

3. 3 2 23 1 2y x mx m x đạt cực đại tại 2x

4. 4 22 2 5y mx m x m có một cực đại 12

x

5. 2 2 2x mxy

x m

đạt cực tiểu khi 2x

24

6. 2 21 4 21

x m x m my

x

có cực đại, cực tiểu

7. 2

1x x my

x

có một giá trị cực đại bằng 0

8. 3 2 1y x mx x có CĐ, CT 9. 4 2 29 10y mx m x có 3 điểm cực trị

10. 2 22 3 4x m x m my

x m

có CĐ, CT

11. 4 3 23 2 1 1y x m x m x có CĐ mà không có CT

12. 22 1y x m x có cực tiểu 13. 4 21 2 1y m x mx m có đúng 1 cực trị Bài 3: Tìm m để các hàm số sau không có cực trị 1. 3 23 3 3 4y x x mx m 2. 3 23 1 1y mx mx m x

3. 2 5

3x mxy

x

4. 2 21 4 21

x m x m my

x

Bài 4: Tìm a, b, c, d để hàm số

1. 3 2y ax bx cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại 0x và đạt cực đại bằng 427

tại 13

x

2. 4 2y ax bx c có đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng 9 tại 3x

3. 2

1x bx cy

x

đạt cực trị bằng 6 tại 1x

4. 2ax bx abybx a

đạt cực trị tại 0x và 4x

5. 2

2

21

ax x byx

đạt cực đạt bằng 5 tại 1x

Bài 5: Tìm m để hàm số 1. 3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m đạt cực trị tại hai điểm 1 2,x x sao

cho 1 21 2

1 1 12

x xx x

25

2. 3 21 13

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm 1 2,x x sao cho 1 2 8x x

3. 3 21 11 3 23 3

y mx m x m x đạt cực trị tại hai điểm 1 2,x x sao cho

1 22 1x x Bài 6: Tìm m để hàm số

1. 2 2

1x mx my

x m

có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu

2. 2 21 4 21

x m x m my

x

có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

3. 2 3

4x x my

x

có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thỏa 4M m

4. 22 3 2

2x x my

x

có 12CD CTy y

Bài 7: Tìm m để hàm số 1. 4 2 4y x mx x m có 3 điểm cực trị A, B, C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

2. 2 2x mx my

x m

có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh

hai điểm CT luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành

3. 2

1x mxy

x

có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10

4. 2 2 5

1x mxy

x

có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía đối với đường thẳng 2y x

5. 2 2 3x x my

x m

có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số 1. 3 22 12 13y x mx x có hai điểm cực trị cách đều trục tung 2. 3 2 33 4y x mx m có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất 3. 3 2 33 4y x mx m có các điểm CĐ, CT ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0x y

26

4. 2 22 1 11

x m x my

x

có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng

(d): 2 3 1 0x y Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số

1. 2 1 2 1x m x my

x m

có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt

phẳng tọa độ

2. 2 2 22 4 1 32 2

2

mx m x m my

x m

có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ

hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ

3. 2 2 21 4mx m x m m

yx m

có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất

và điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba của mặt phẳng tọa độ

4. 2 22 1 11

x m x my

x

có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1. 3 22 1y x x x 2. 2 33 2y x x 3. 3 23 6 8y x x x

4. 22 1

3x xy

x

5. 2 1

2x xy

x

Bài 11: Khi hàm số có CĐ, CT. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

1. 3 2 2 33 3 1y x mx m x m 2. 2 6x mxy

x m

3. 3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m

4. 2 2

1x mx my

x m

Bài 12: Tìm m để hàm số 1. 3 22 3 1 6 2 1y x m x m x có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng 4 1y x 2. 3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x có các điểm CĐ, CT của đồ thị nằm trên đường thẳng 4y x 3. 3 2 7 3y x mx x có đường thẳng đi qua các điểm CĐ, CT vuông góc với đường thẳng 3 7y x

27

4. 3 2 23y x x m x m có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng

1 5:2 2

y x

5. Tìm m để hàm số 3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x có cực trị và: a. Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng 4y x b. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng

1y x 6. Tìm m để hàm số 3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

7. Tm m để hàm số 2 21 4 21

x m x m my

x

có cực trị đồng thời tích các giá trị

CĐ, CT đạt giá trị nhỏ nhất

8. Tìm m để đồ thị hàm số 22 3x x myx m

có điểm CĐ, CT tại các điểm có hoành độ

1 2,x x thỏa mãn 1 2 8y x y x

9. Chứng minh rằng hàm số 2 1 11

x m x my

x

luôn có hai cực trị và khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng 20 * Vấn đề 4: Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng - Tính 'f x - Xét dấu 'f x và lập bảng biến thiên - Nếu xét ,x a b thì để lập bảng biến thiên của hàm số f x trên ,a b thì ta

phải tìm các giới hạn lim ; limx a x b

f x f x

- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn ,a b - Tính 'f x - Giải phương trình ' 0f x tìm được các nghiệm 1 2, ,.., nx x x trên ,a b (nếu

có) - Tính 1 2, , , ,..., nf a f b f x f x f x

28

- So sánh các giá trị vừa tính và kết luận Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

3 23 2f x x x trên 3 5,2 2

Giải: 2' 3 6f x x x

Cho 0 3 5' 0 ;2 2 2

xf x

x

0 2; 2 2f f ; 3 52 2

65 9lim ; lim8 8x x

f x f x

Bảng biến thiên của f x x 3

2 0 2 5

2

'f x + 0 - 0 + f x

658

2 -2

98

Từ bảng biến thiên của f x ta suy ra

* 3 5;2 2

2x

Maxf x

* 3 5;2 2

x

f xMin

không tồn tại vì không tồn tại 3 5;2 2

x

sao cho 658

f x

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: 4 3 24 4 2f x x x x

Giải: Tập xác định D

29

3 2' 4 12 8f x x x x

Cho 0

' 0 12

xf x x

x

0 2; 1 3; 2 2f f f lim ; lim

x xf x f x

Ta có bảng biến thiên x 0 1 2 'f x - 0 + 0 - 0 + f x

2

3

2

Từ bảng biến thiên ta suy ra * 2

x

Minf x

* x

Maxf x

không tồn tại

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 1. 2 4 3y x x 2. 3 44 3y x x 3. 4 22 2y x x

4. 2 2y x x 5. 2

12 2

xyx x

6.

2

2

2 4 51

x xyx

7. 2 1 , 0y x xx

8. 2

2

11

x xyx x

9. 4 2

3

1, 0

x xy xx x

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau 1. 3 22 3 12 1y x x x trên 1,5 2. 33y x x trên 2,3 3. 4 22 3y x x trên 3,2 4. 4 22 5y x x trên 2,2

5. 3 13

xyx

trên 0,2 6. 11

xyx

trên 0,4

7. 24 7 7

2x xy

x

trên 0,2 8. 2

2

11

x xyx x

trên 0,1

30

9. 2100y x trên 6,8 10. 2 4y x x Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

1. 2sin 1sin 2

xyx

2. 2

1cos cos 1

yx x

3. 22sin cos 1y x x

4. 2 24 2 5 2 3y x x x x 5. 2 24 4 3y x x x x

31

Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Vẽ đồ thị hàm số của hàm số y f x

Ta có

neu 0

neu 0

f x f xf x

f x f x

Vẽ đồ thị hàm số :C y f x Đồ thị hàm số y f x gồm 2 phần:

- Phần 1: Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C) - Phần 2: Phần đối xứng của phần phía dưới trục hoành của đồ thị (C)

2. Vẽ đồ thị hàm số y f x

- Vẽ đồ thị hàm số y f x (C) - Lấy phần (C) bên phải trục Oy (tương ứng với 0x ) - Lấy thêm phần đối xứng qua trục Oy của phần của (C) ở bên phải trục Oy

32

3. Vẽ đồ thị hàm số

f xy

g x

- Vẽ đồ thị hàm số

f xy

g x (C)

- Lấy các phần của (C) tương ứng với x sao cho 0g x - Lấy thêm phần đối xứng qua trục Ox của các phần của (C) tương ứng với x sao cho 0g x

33

4. Vẽ đồ thị hàm số

f xy

g x

Thực hiện tương tự như phần trên

5. Vẽ đồ thị hàm số y f x g x Đồ thị trên gồm 2 phần:

34

- Đồ thị C : y f x g x tương ứng với x sao cho 0g x - Đồ thị :C y f x g x tương ứng với x sao cho 0g x Ví dụ 3 2 1y x x x * 1 0 1x x

** 1 0 1x x

Từ (*) và (**) Bài tập: Bài 1: Cho hàm số 3 3 1y x x (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 3 3 0x x k HD:

35

1 1 0k k : 2 nghiệm 1 1 0k k : 3 nghiệm

1 1 1 0 2k k : 4 nghiệm 1 1 2k k : 2 nghiệm kép 1 2 1x x 1 1 2k k : Vô nghiệm Bài 2: Cho hàm số 3 2y x mx m (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) với 3m b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình 3 3 1 0x x k HD:

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C): 3 3y x x . Từ đó suy ra đồ thị hàm số (C’): 3 3y x x Bài 4: Cho hàm số 3 22 3 1y x x có đồ thị (C)

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) c. Tìm tham số m để phương trình 3 22 3 2x x m có 4 nghiệm phân biệt

36

HD: a.

b. 12 8y x c.

1 2m Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số: a. 3 3 2y x x b. 3 23 2y x x c. 4 22 3y x x

d. 11

xyx

e. 2 2

1x x

yx

f. 2 3 3

2x xy

x

HD: a.

37

b.

c.

d.

38

e.

f.

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị (C’). Dùng đồ thị (C’) biện luận số nghiệm của phương trình (1)

39

a. 3 2 3 2 3 2: 3 6; ' : 3 6 ; 3 6 1C y x x C y x x x x m

b. 4 2 4 2 4 2: 2 3; ' : 2 3 ; 2 3 1C y x x C y x x x x m

c. 2 2 22 5 2 2 5 2 2 5 2: ; ' : ; 1

1 1 1x x x x x xC y C y m

x x x

d. 2 2 21 1 1: ; ' : ; 1

2 2 2x x x x x xC y C y m

x x x

e. 2 2 2 2 2 2: ; ' : ; 12 2 2

x x xC y C y mx x x

Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị (C’). Dùng đồ thị (C’) biện luận số nghiệm của phương trình (1)

a. 3 33 2 2 2: 2 9 12 4; ' : 2 9 12 4; 2 9 12 1C y x x x C y x x x x x x m

b. 22: ; ' : ; 2 0 11 1

xxC y C y m x mx x

c. 2 22 4 5 4 54 5: ; ' : ; 1

2 2 2x x x xx xC y C y m

x x x

Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị (C’). Dùng đồ thị (C’) tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt: a. 4 2 4 2 4 2

2: 2 1; ' : 2 1 ; 2 1 log ; 6C y x x C y x x x x m k

b. 3 33 2 2 2: 6 9 ; ' : 6 9 ; 6 9 0; 6C y x x x C y x x x x x x m k

c. 2 2 22 5 2 2 5 2 2 5 2: ; ' : ; ; 4

1 1 1x x x x x xC y C y m k

x x x

d. 4 4 4

2 2 2 25 5 5: 3 ; ' : 3 ; 3 2 ; 82 2 2 2 2 2x x xC y x C y x x m m k

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ Bài 1: Biên luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau

40

a.

3 3 22

y x xy m x

b.

3 2

23 2

1 132 12

x xy x

y m x

c.

3

33

3

xy x

y m x

d. 2 1

22

xyx

y x m

e. 11

2

xyx

y x m

f.

2 6 32

x xyx

y x m

g. 13

13

y xx

y mx

h.

2 3 32

4 1

x xyx

y mx m

i. 3

2

2 1

1

y x x

y m x

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số:

a. 22 1

; 12

xy y mx

x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b. 22 3 ; 2

1x x my y x m

x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c. 2

; 21

mx x my y mxx

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu

d. 2 4 5 ; 2

2x xy y mx

x

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu

e. 22

; 31x

y y mxx

cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau

f. 2

1mx x my

x

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

HD: a. Phương trình hoành độ giao điểm 21 3 2 1 0m x m x (*) (C) và (d) cắt nhau ta hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

41

2

10 150 4 8 5 0 1,3

5 3 0 51 03

ma mm m m m

mg m

b. Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số a. 3 23 2 ; 2y x x mx m y x cắt nhau tại 3 điểm phân biệt b. 3 23 1 2 1y mx mx m x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c. 2 21 3y x x mx m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

d. 3 2 22 2 2 1; 2 2y x x x m y x x cắt nhau tại 3 điểm phân biệt e. 3 2 2 22 3 ; 2 1y x x m x m y x cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: a. 4 22 1; y x x y m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt b. 4 2 31y x m m x m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt c. 4 2 22 3 3y x m x m m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Bài 5: Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a. 3 1; 2

4xy y x m

x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn

thẳng AB ngắn nhất

b. 4 1; 2xy y x m

x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn

thẳng AB ngắn nhất

c. 2 2 4 ; 2 2

2x xy y mx m

x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính

AB theo m Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số a. 3 23 6 8y x mx mx cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng b. 3 23 9 1; 4y x x x y x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC c. 4 2 22 4y x m x m cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

42

d. 3 21 1 2 1y x m x m x m cắt trụ hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân e. 3 23 2 2 9 192y x m x mx cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM BẰNG ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số 21

xy f xx

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng : 3 0a x y c. Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

23 2 2 0x m x m

Bài 2: Cho hàm số 11

xy f xx

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng : 2 0a x y c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

22 1 1 0x m x m

Bài 3: Cho hàm số 2

1xy f x

x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết PTTT của (C) đi qua điểm 0;1A c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình

21 1 1 0m x m x BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẰNG ĐỒ THỊ

1. Trường hợp 1:

C và Ox có một điểm chung

§

kh«ng cã cùc trÞ (h.1a)

cã 2 cùc trÞ (h.1b)

. 0C CT

f

f

y y

43

2. Trường hợp 2:

C và Ox có đúng 2 nghiệm C tiếp xúc với Ox co 2 cuc tri

. 0CD CT

fy y

(h.2)

3. Trường hợp 3: C và Ox có 3 nghiệm phân biệt C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

co 2 cuc tri

3. 0CD CT

fh

y y

Dạng 2: Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm cùng dấu * Trường hợp 1:

44

C Ox tại 3 điểm có hoành độ dương

co 2 cuc tri. 0

0; 0. 0 0 0

CD CT

CD CT

fy yx xa f hay ad

* Trường hợp 2:

C Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

co 2 cuc tri. 0

0; 0. 0 0 0

CD CT

CD CT

fy yx xa f hay ad

Bài 1: Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm a. 3 22 3 1 6 2 0x m x mx b. 3 23 3 1 1 3 0x x m x m c. 3 22 3 6 1 3 12 0x mx m x m d. 3 26 3 4 4 8 0x x m x m

45

e. 3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m f. 3 3 2 0x mx m Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm a. 3 2 21 2 3 2 2 2 1 0x m x m m x m m

b. 3 3 2 0x mx m c. 3 22 1 3 1 1 0x m x m x m d. 3 23 3 1 1 3 0x x m x m Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt a. 3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m

b. 3 26 3 4 4 8 0x x m x m c. 3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m

d. 31 03

x x m

Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a. 3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m

b. 3 26 3 4 4 8 0x x m x m

c. 3 21 5 74 03 2 6

x x x m

d. 3 2 2 1 2 0x mx m x m Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt a. 3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m

b. 3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m

c. 3 23 9 0x x x m d. 3 2 18 2 0x x mx m

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Cho hai đường cong :C y f x và ' :C y g x tiếp xúc với nhau khi và chỉ

khi hệ phương trình sau ' '

f x g x

f x g x

có nghiệm

Bài 1: Tìm m để hai đường 1 2;C C tiếp xúc nhau

46

a. 3 21 2: 3 2;C y x m x mx C trục hoành

b. 3 21 2: 2 1 ;C y x x m x m C trục hoành

c. 31 2: 1 1; : 1C y x m x C y x

d. 3 21 2: 2 2 1; :C y x x x C y x m

Bài 2: Tìm m để 1 2;C C tiếp xúc nhau a. 4 2 2

1 2: 2 1; : 2C y x x C y mx m b. 4 2 2

1 2: 1; :C y x x C y x m

c. 4 2 21 2

1 9: 2 ; :4 4

C y x x C y x m

d. 2 2 21 2: 1 1 ; : 2C y x x C y x m

e. 2

1 2

2 1: ; :

1m x m

C y C y xx

f. 2

21 2

1: ; :1

x xC y C y x mx

Bài 3: Tìm m để đường thẳng : 3d y m x tiếp xúc với đồ thị

31: 33

C y x x

HD: 6

34

m

m

Bài 4: Cho hàm số 2

1xy

x

(C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M

cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 14

HD: 1 ; 2 ; 1;12

M M

* Vấn đề 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y f x Bài toán 1: Viết PTTT (d) của (C) tại điểm 0 0;M x y

47

- Nếu đề bài cho 0x thì thay 0x vào phương trình 0 0y f x tìm được 0y - Nếu đề bài cho 0y thì thì 0x là nghiệm của phương trình 0 0y f x - Tính 0' 'k y f x - Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: 0 0y k x x y Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước - Gọi 0 0M x y là tọa độ tiếp điểm. Tính 0'k f x - (d) có hệ số góc 0'k f x k . Giải phương trình trên tìm được 0x thay vào

0 0y f x tìm được 0y 0 0;M x y - Phương trình tiếp tuyến có dạng: 0 0y k x x y * Chú ý: - (d) tạo với chiều dương trục hoành góc thì tank - (d) song song với đường thẳng (a): y ax b thì k a

- (d) vuông góc với đường thẳng (a): , 0y ax b a thì 1ka

- (d) tạo với đường thẳng (a): y ax b một góc thì tan1k a

ka

Bài toán 3: Viết PTTT của (C): y f x biết d đi qua điểm ;A AA x y Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

- Gọi 0 0;M x f x là tọa độ tiếp điểm. Tính 0'k f x

- Phương trình tiếp tuyến (d) tại M có dạng: 0 0 0'y f x x x f x - (d) đi qua ;A AA x y nên 0 0 0'A Ay f x x x f x (1) - Giải phương trình (1) tìm được 0 0x y . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến (d)

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc - phương trình đường thẳng (d) đi qua ;A AA x y và có hệ số góc k có dạng

A Ay k x x y - (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

'

A Af x k x x y

f x k

(*)

- Giải hệ (*) tìm được x k . Từ đó viết PTTT (d) Bài 1: Viết PTTT của (C) tại điểm được chỉ ra

48

a. 3 2: 3 7 1C y x x x tại 0;1A b. 4 2: 2 1C y x x tại 1;0B

c. 3 4:2 3xC yx

tại 1; 7C

d. 2: 12 1

C y xx

tại 0;3D

Bài 2: Viết PTTT của (C) tại những điểm được chỉ ra

a. 2 3 3:

2x xC y

x

tại điểm A có 4Ax

b. 3 2:

1x

C yx

tại điểm B có 4By

c. 1:2

xC yx

tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

d. 2: 2 2 1C y x x tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung e. 3: 3 1C y x x tại điểm uốn của (C)

f. 4 21 9: 24 4

C y x x tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Bài 3: Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra a. 3 2: 2 3 9 4C y x x x và : 7 4d y x b. 3 2: 2 3 9 4C y x x x và 2: 8 3P y x x c. 3 2: 2 3 9 4C y x x x và 3 2' : 4 6 7C y x x x Bài 4: Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra

a. 5 11:2 3xC yx

tại điểm A có 2Ax

b. 2: 7 26C y x x tại điểm B có 2Bx Bài 5: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước

a. 2:1

x mC yx

tại điểm A có 2Ax và 12

S

49

b. 2 3:2mC y

x

tại điểm B có 1Bx và 92

S

c. 3: 1 1C y x m x tại điểm C có 0Cx và 8S Bài 6: Viết PTTT (d) của (C), biết hệ số góc k cho trước a. 3 2: 2 2 5; 12C y x x k

b. 2 1: ; 32

xC y kx

c. 2 3 4: ; 1

1x xC y k

x

d. 2: 4 3; 2C y x x k Bài 7: Viết PTTT (d) của (C), biết (d) song song với đường thẳng (a) cho trước

a. 3

2: 2 3 1; : 3 23xC y x x a y x

b. 2 1 3: ; : 22 4

xC y a y xx

c. 2 2 3: ; : 2 5 04 6

x xC y a x yx

d. 4 21 3: 3 ; : 4 12 2

C y x x a y x

Bài 8: Viết PTTT (d) của (C), biết (d) vuông góc với đường thẳng (a) cho trước

a. 3

2: 2 3 1; : 23 8x xC y x x a y

b. 2 1: ; :2

xC y a y xx

c. 2 3: ; : 3

1xC y a y xx

d. 2 1: ; 2

2x xC y a y x

x

Bài 9: Viết PTTT (d) của (C), biết (d) tạo với chiều dương trục Ox góc

a. 3

2 0: 2 4; 603xC y x x

50

b. 03 2: ; 451

xC yx

Bài 10: Viết PTTT (d) của (C), biết (d) tạo với đường thẳng (a) góc

a. 3

2 0: 2 4; : 3 7; 453xC y x x a y x

b. 3

2 01: 2 4; : 3; 303 2xC y x x a y x

c. 04 3: ; : 3 ; 451

xC y a y xx

d. 03 7: ; : ; 602 5xC y a y xx

e. 2

03: ; : 1; 602

x xC y a y xx

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng (a) cho trước

a. 2 2 1 2:

1x m x m

C yx

tại điểm A có 0Ax và a là tiệm cận xiên

của (C)

b. 22 1:

3x mxC y

x

tại điểm B có 4Bx và : 12 1 0a x y

Bài 12: Viết PTTT (d) của (C), biết (d) đi qua điểm được chỉ ra a. 3: 3 2; 2; 4C y x x A b. 3: 3 1; 1; 6C y x x B

c. 22: 2 ; 0;4C y x C

d. 4 21 3 3: 3 ; 0;2 2 2

C y x x D

e. 2: ; 6;52

xC y Ex

f. 3 4: ; 2;31

xC y Fx

g. 2 3 3: ; 1;0

2x xC y G

x

51

h. 2 2: ; 2;2

1x xC y H

x

Bài toán 4: Tìm những điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó có thể vẽ được 1,2,3,… tiếp tuyến với đồ thị :C y f x Giả sử : 0d ax by c , ;M MM x y d - Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: M My k x x y - tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm

'

M Mf x k x x y

f x k

- Thay k từ phương trình dưới lên trên ta được: ' . M Mf x f x x x y (*) - Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M bằng số nghiệm của phương trình (3) Bài 1: Tìm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C) a. 3 2: 3 2C y x x b. 3: 3 1C y x x Bài 2: Tìm trên đường thẳng (d) mà từ đó vẽ được đúng 1 tiếp tuyến với (C)

a. 1:1

xC yx

; :d Oy

b. 2 2: ; :

1x xC y d Ox

x

c. 22: ; : 1

1x xC y d yx

d. 2 3 3: ; : 1

2x xC y d x

x

e. 3: ; : 2 11

xC y d y xx

Bài 3: Tìm trên đường thẳng (d) mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C)

a. 2 6 9:

2x xC y

x

; :d Oy

b. 2 3 3: ; :

1x xC y d Oy

x

52

c. 2 1: ; : 32

xC y d xx

d. 3 4: ; : 24 3xC y d yx

Bài 4: Tìm các điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C)

a. 2 2: ; :

2x xC y d Ox

x

b. 2 1: ; :

1x xC y d Oy

x

c. 2 3 3: ; : 5

2x xC y d y

x

Bài 5: Tìm các điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C) a. 3 2: 3 2; : 2C y x x d y b. 3: 3 ; : 2C y x x d x c. 3: 3 2; :C y x x d Ox d. 3: 12 12; : 4C y x x d y

e. 4 2: 2; :C y x x d Oy f. 4 2: 2 1; :C y x x d Oy

Bài 6: Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)

a. 3 2: 9 17 2; 2;5C y x x x A b. 3 21 4 4: 2 3 4; ;3 9 3

C y x x x A

c. 3 2: 2 3 5; 1; 4C y x x A

Bài 7: Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng (d) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)

a. 3 2: 6 9 1; 2C y x x x d x b. 3: 3 ; : 2C y x x d x

Bài toán 5: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Gọi ;M MM x y - Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: M My k x x y - tiếp xúc với C khi hệ sau có nghiệm:

53

1

' 2M Mf x k x x y

f x k

- Thay k từ (2) vào (1) ta được ' . 3M Mf x f x x x y - Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) 3 có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x - Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau 1 2' . ' 1f x f x - Từ đó tìm được M Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp tuyến nằm về hai phía với

trục hoành thì 1 2

3 co 2 nghiem phan biet

. 0f x f x

Bài 1: Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết PTTT đó

a. 2 1: 2 3 1; 0;4

C y x x A

b. 2 1: ; 1; 1

1x xC y A

x

c. 2 2 2: ; 1;0

1x xC y A

x

Bài 2: Tìm các điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a. 3 2: 3 2; : 2C y x x d y b. 3 2: 3 ; :C y x x d Ox

c. 22 1: ; :

1x xC y d Oy

x

d. 2 2 1: ; :

1x xC y d Oy

x

e. 2 3 2: ; : 1x xC y d x

x

Bài 3: Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

a. 2

: ; : 12

x x mC y d yx m

b.

2 8: ; :x mxC y d Oxx m

c. 2 2: ; :x mx mC y d Ox

x m

Bài 4: Tìm m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp tuyến nằm về hai phía với trục hoành

54

2: ; 0;1

xC y A mx

TÌM CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ : ,mC y f x m * Cách 1: - Gọi 0 0;M x y là điểm cố định (nếu có) của họ mC

0 0 0 0; , , ;mM x y C m y f x m m (1) - Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: 0

1 0,0

AAm B m

B

Dạng 2: 2

01 0, 0

0

AAm Bm C m B

C

- Giải 2 hệ trên ta tìm được tọa độ 0 0;x y của điểm cố định * Cách 2: - Gọi 0 0;M x y là điểm cố định (nếu có) của họ mC

0 0 0 0; , , ,mM x y C m y f x m m (1) - Đặt 0 ,F m f x m thì 0F m y không đổi

' 0F m (3) - Giải (3) tìm được 0x . Thay 0x vào (1) tìm được 0y . Từ đó suy ra được các điểm

cố định Tìm các điểm cố định của họ mC có phương trình sau: a. 1 2 1y m x m b. 2 2 2 3 1y mx m x m c. 3 21 2 2 2 1y m x mx m x m d. 21 2 3 1 5 2y m x m x m e. 32 2y m x mx f. 4 22 4 1y mx x m g. 4 2 5y x mx m

55

h. 1 2

; 1; 2m x

y m mx m

i.

3 12 4

x mym x m

j. 2 5 7 2;

2 3x mxy m

mx

k.

22 2; 0

2x m x m

y mx m

l. 2

2

12 2 1

x m x my

x mx m

m.

2

2

2 6 42 5 2 6

x x myx m x

TÌM ĐIỂM MÀ KHÔNG CÓ ĐỒ THỊ NÀO CỦA HỌ ĐỒ THỊ : ,mC y f x m ĐI QUA

- Gọi 0 0;M x y là điểm mà không có đồ thị nào của họ mC đi qua 0 0 0 0; ; ;mM x y C m y f x m vô nghiệm m (1)

- Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: 1 0Am B vô nghiệm 00

AB

Dạng 2: 21 0Am Bm C vô nghiệm m

2

00

04 0

A BCAB AC

Chú ý: - Kết quả là một tập hợp điểm - Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị

không đi qua Bài 1: Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ mC đi qua

a. 22 2y m x m m b. 2

2 2

11 1

m my xm m m m

56

c. 2 2 1 1 , 0y mx m x m m d. 2 3 2 2y x m x m e. 3 2 3 22 3 5 4y x mx m m f. 3 2 2 24 4 6y mx m x mx m

g. 22 2 4m x m m

yx m

h.

23 1m x m my

x m

i. 2 8

1x mx my

x

j. 2 2 2x mx my

x m

k. 2

2

2 42 5

x mx myx x

l. 2

2

3 1 103 2

x m xy

x x

Bài 2: Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ mC đi qua a. 3 2 2 2: 4 4 6mC y mx m x mx m ; :L Ox b. 3 2 2: 2 3 3 18 6; : 14mC y x m x mx L y x

c. 2 2

2

1: ; :1m

x mx m mC y L Oymx m m

d. 2 21 1

: ; : 2m

m x m xC y L x

x m

e. 2 2 1: ; : 1m

m xC y L yx

TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG :d y ax b

A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoan AB - Phương trình đường thẳng vuông góc với :d y ax b có dạng

1: y x ma

- Phương trình hoành độ giao điểm của và C

1 1f x x ma

- Tìm điều kiện của m để cắt C tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó ;A Bx x là nghiệm của (1)

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB

57

- Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d ta tìm được , ; ,A B A Bm x x y y A B

Chú ý:

- A, B đối xứng nhau qua trục hoành A B

A B

x xy y

- A, B đối xứng nhau qua trục tung A B

A B

x xy y

- A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 2

A B

A B

x xy b

y y b

- A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 2A B

A B

x x ax a

y y

Bài 1: Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng (d)

a. 3:C y x x ; : 2 0d x y b. 4: ; : 2 6 02

xC y d x yx

c. 2

: ; : 11

xC y d y xx

d. 2 1: ; : 1

1x xC y d y x

x

Bài 2: Cho đồ thị (C) và đường thẳng (d). Viết phương trình đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng (d)

a. 3 2: 3 5 10 2; : 2C y x x x d x b. 22 3 7: ; : 2

1x xC y d x

x

c. 2 2: ; : 2

2x xC y d y

x

d. 22 5 3: ; : 1

1x xC y d y

x

58

TÌM CẶP ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ :C y f x ĐỐI XỨNG QUA ĐIỂM ;I a b

A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm AB - Phương trình đường thẳng (d) qua ,I a b có hệ số góc k có dạng:

y k x a b - Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 1f x k x a b - Tìm điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó ,A Bx x là hai nghiệm của (1) - Từ điều kiện A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm được k ;A Bx x

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc tọa độ A B

A B

x xO

y y

Bài 1: Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I

a. 3 2: 4 2; 2;4C y x x x I b. 2 2 5: ; 0;

1 2x xC y I

x

c. 3 2: 3 2 1; 0;0C y x x x I O d. 4: ; 0;01

xC y I Ox

e. 3 4: ; 1;12 1xC y Ix

f. 22 5 1: ; 2; 5

1x xC y I

x

Bài 2: Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua điểm I:

a. 3 2: 2 3 5 1; 1;2C y x x x I b. 21

: ; 1;12

xC y I

x

c. 2 1: ; 2;1

1x xC y I

x

d. 3 22 5 1: ; 2;1

2 3x x xC y I

x

Bài 3: Tìm m trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:

59

a. 3 2 2 2: 3 3 1 1 ; 0;0C y x mx m x m I O

b. 3 2: 7 3; 0;0C y x mx x I O c. 3 2: 9 4; 0;0C y x mx x I O

d. 2 2 22: ; 0;0

1x m x mC y I O

x