CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS...Gia sư Thành Được 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN

*******

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Định lí : Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng K .

( )f x đồng biến trên K '( ) 0,f x x KÛ ³ " Î .

( )f x nghịch biến trên K ( )' 0,f x x KÛ £ " Î .

(chỉ xét trường hợp '( ) 0f x = tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K )

2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + :

Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi x Î ¡ .

Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi \2

bx

a

í üï ïï ïÎ -ì ýï ïï ïî þ

¡ , tại 2

bx

a= - thì ( ) 0g x = .

Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài

khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng).

b) Tam thức 2( ) ( 0)g x ax bx c a= + + ¹ không đổi dấu trên ¡

0

( ) 0,0

ag x x R

íï >ï³ " Î Û ìï D £ïî

0

( ) 0,0

ag x x R

íï <ï£ " Î Û ìï D £ïî

c) So sánh các nghiệm 1 2;x x của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0:

1 2

0

0 0

0

x x P

S

íïD >ïïï< < Û >ìïï <ïïî

1 2

0

0 0

0

x x P

S

íïD >ïïï< < Û >ìïï >ïïî

1 2

0 0x x P< < Û <

3) CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a)4 21 3

14 2

y x x= - + + b)4 31

122

y x x x= + - - c) 2 7 12y x x= - +

Lời giải

a)4 21 3

14 2

y x x= - - + .

TXĐ D = ¡ . 3' 3 0 0; 3y x x x x= - + = Û = = ±

BBT:

x - ¥ 3- 0 3 + ¥

'y + 0 - 0 + 0 -

y - ¥

13

4 1

13

4 - ¥

Vậy hàm số đồng biến trên ( ; 3);(0; 3)- ¥ - ; nghịch biến trên ( 3;0);( 3; )- + ¥

b)4 31

122

y x x x= + - -

Tập xác định: D = ¡ .


2

Đạo hàm: 3 2 2

1

' 2 3 1 0 ( 1) (2 1) 0 1

2

x

y x x x xx

é = -êê= + - = Û + - = Ûê =êë

Do 1x = - là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi x đi qua 1- .

BBT:

x - ¥ -1

1

2 + ¥

'y - 0 - 0 +

y - ¥ + ¥

Vậy hàm số nghịch biến trên 1

;2

æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø

và đồng biến trên 1

;2

æ ö÷ç ÷+ ¥ç ÷ç ÷çè ø

c) 2 7 12y x x= - + .

TXĐ ( ;3] [4; )D = - ¥ È + ¥ . 2

2 7 7' 0

22 7 12

xy x

x x

-= = Û =

- +

Dấu của 'y là dấu của nhị thức 2 7x - . Do đó, ta có bảng biến thiên

x - ¥ 3

7

2 4 + ¥

'y - || ////// 0 /////// || +

y + ¥ | //////////////////| + ¥

0 0

Vậy hàm số nghịch biến trên ( ;3)- ¥ và đồng biến trên (4; )+ ¥

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 3

sin6

xx x x- < < với 0x >

Lời giải

BĐT 3

sin ( )

sin ( )6

x x a

xx x b

íï <ïïïìï - <ïïïî

với 0x >

a) Ta chứng minh sin x x< với 0x >

Xét hàm số ( ) sinf x x x= - . (0) 0f =

Ta có: ( ) cos 1 0f x x¢ = - £ , (0; )x" Î + ¥ ( )f x nghịch biến trong (0; )+ ¥ .

( ) (0)f x f< với 0x > sin 0x x- < với 0x >

b) Ta chứng minh 3

sin6

xx x- < với 0x >

Xét hàm số 3

( ) sin6

xf x x x= - + . Ta có

2

( ) cos 1 ( )2

xf x x g x¢ = - + =

Þ ( ) sin 0g x x x¢ = - + > với x > 0 ( )g x đồng biến ( ) (0) 0g x g> = với 0x >

hay ( ) 0f x¢ > với 0x > ( )f x đồng biến ( ) (0) 0f x f> = với 0x >

3

sin 06

xx x- + > hay

3

6

xx - < sin x với 0x >


3

Từ a) và b) Þ 3

sin6

xx x x- < < với 0x >

Ví dụ 3. Cho hàm số 2 3 21

( ) 2 3 13

y m m x mx x= - + + - . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ .

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 2 2' ( ) 4 3y m m x mx= - + +

Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û ' 0y ³ x" Î ¡

Trường hợp 1: Xét 20

01

mm m

m

é =ê- = Û ê =êë

+ Với 0m = , ta có ' 3 0,y x= > " Î ¡ , suy ra 0m = thỏa.

+ Với 1m = , ta có 3

' 4 3 04

y x x= + > Û > - , suy ra 1m = không thỏa.

Trường hợp 2: Xét 20

01

mm m

m

íï ¹ï- ¹ Û ìï ¹ïî

, khi đó:

' 0y ³ x" Î ¡ Û

2

2

' 0 ' 3 0

0 0

m m

a m m

íí ïï D £ D = + £ïï ïÛì ìï ï> - >ï ïî ïî

Û 3 0

0 1

m

m m

íï - £ £ïìï < Ú >ïî

Û 3 0m- £ <

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3 0m- £ £ .

Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) ( )3 23 1 3 1 1y x m x m x= - + + + + . Định m để:

a) Hàm số luôn đồng biến trên R.

b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ .

Lời giải

a) Tập xác định D = ¡ . 2' 3 6( 1) 3( 1)y x m x m= - + + +

Hàm số luôn đồng biến trên 0

' 0,' 0

ay x

íï >ïÛ ³ " Î Û ìï D £ïî

¡ ¡2

3 0( / )1 0

9 9 0

h nm

m m

íï >ïïÛ Û - £ £ìï + £ïïî

b) Cách 1: Tập xác định D = ¡ . 2' 3 6( 1) 3( 1)y x m x m= - + + +

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ ' 0, (2; )y xÛ ³ " Î + ¥

2( ) 3 6( 1) 3( 1) 0, (2; )f x x m x m xÛ = - + + + ³ " Î + ¥

TH1: Nếu 0 1 0mD £ Û - £ £ thì hàm số đồng biến trên ¡ nên hàm số đồng biến trên ( )2;+ ¥

TH2: Nếu 0 1; 0m mD > Û < - > (*) thì ( )f x có hai nghiệm 1 2,x x , giả sử

1 2x x<

Vì 3 0a = > nên BXD

x - ¥ 1

x 2

x + ¥

( )f x + 0 - 0 +

2 2

2

1( ) 0, (2; ) 2 1 2 1

3f x x x m m m m m m m³ " Î + ¥ Û £ Û + + + £ Û + £ - Û £


4

So với điều kiện (*) ta được 1

1;03

m m< - < £

Kết hợp hai trường hợp:

1 01

13

10

3

m

m m

m

éê- £ £êê

< - Û £êêê< £ê

êë

Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ ' 0, (2; )y xÛ ³ " Î + ¥

2 2( 1) 1 0, (2; )x m x m xÛ - + + + ³ " Î + ¥

2 2 1( ) , (2; )

2 1

x xg x m x

x

- +Û = ³ " Î + ¥

-

Ta có 2

2

2 2'( ) 0 0; 1

(2 1)

x xg x x x

x

-= = Û = =

-

BBT

x - ¥ 0

1

2 1 2 + ¥

'( )g x + 0 - || - 0 + | +

( )g x ///////////////////////////////////| + ¥

///////////////////////////////////|1

3

Dựa vào BBT ta có: 1

3m £

Ví dụ 4. Cho hàm số 7 8mx m

yx m

+ -=

-. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải

Tập xác định: { }\D m= ¡

Đạo hàm:

( )

2

2

7 8'

m my

x m

- - +=

-

. Dấu của 'y là dấu của biểu thức 2 7 8m m- - + .

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û ' 0y > , x D" Î (không có dấu bằng)

Û 2 7 8 0m m- - + > Û 8 1m- < <

Vậy giá trị m cần tìm là 8 1m- < < .

Ví dụ 5. Cho hàm số 7 8mx m

yx m

+ -=

-. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )3;+ ¥ .

Lời giải

Tập xác định: { }\D m= ¡

Đạo hàm:

( )

2

2

7 8'

m my

x m

- - +=

-

. Dấu của 'y là dấu của biểu thức 2 7 8m m- - + .

Hàm số đồng biến trên khoảng ( )3;+ ¥ Û ' 0y > , ( )3;x" Î + ¥


5

Û

2 7 8 0

3

m m

m

íï - - + >ïïìï £ïïî

Û8 1

3

m

m

íï - < <ïìï £ïî

Û 8 3m- < £

Vậy giá trị m cần tìm là 8 3m- < £ .

4) BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a) y x x22 4 5= - + + b) y x x x3 22 2= - + - c) y x x x3 23 4 1= - + -

d) y x x4 212 1

4= - - e) y x x4 22 3= - - + f)

xy

x

2 1

5

-=

+

g) x

yx

1

2

-=

- h)

x xy

x

22 26

2

+ +=

+ k) y x

x

13

1= - + -

-

l) y x x2 1 3= - - - m) y x x 22= - n) y x xsin 22 2

p pæ ö÷ç ÷= - < <ç ÷çè ø

Bài 2. Tìm m để hàm số hàm số 3 21

( 1) (3 2)3

y m x mx m x= - + + - nghịch biến trên tập xác định.

HD: 2m £

Bài 3. Xác định m để hàm số 3 2

2 13 2

x mxy x= - - + .

a) Đồng biến trên R. b) Đồng biến trên ( )1;+ ¥ .

HD: a) m Î Æ b) 1m £ -

Bài 4. Tìm m để hàm số 3 23 4y x x mx= + - - đồng biến trên khoảng ( ;0)- ¥ .

HD: 3m £ -

Bài 5. Tìm m để hàm số 4mx

yx m

+=

+ nghịch biến trên khoảng ( ;1)- ¥ .

HD: 2 1m- < £ - .

Bài 6. Cho hàm số ( ) ( )3 23 2 1 12 5 2y x m x m x= - + + + + .

a) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ .

b) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ); 1- ¥ - .

HD: a)5

12m £ b)

7

12m ³ -

Bài 7. Tìm m để hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; )+ ¥

HD: 1m £

Bài 8. Tìm m để hàm số 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

HD: 9

4m =

Bài 9. Tìm m để hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + đồng biến trên ( )0;+ ¥ .

HD: 5

4m £

Bài 10. Tìm m để hàm số 4 22 3 1y x mx m= - - + đồng biến trên khoảng (1; 2).


6

HD: ( ;1m ùÎ - ¥ úû.

Bài 11. Cho hàm số 2

3

mxy

x m

-=

+ -. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

HD: 1m < hoặc 2m > .

Bài 12. Cho hàm số 9mx

yx m

-=

-. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( );2- ¥

HD: 2 3m< < .


1

mxy

x m

-=

- -. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;+ ¥

HD: 2m < - .

II. CỰC TRỊ HÀM SỐ

1. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng ( , )a b và điểm 0

( , )x a bÎ .

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm 0

x thì 0

'( ) 0f x =

Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số 3

2 13

xy x x= - + + có '(1) 0f = nhưng hàm số không

đạt cực trị tại 1x = .

2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ

Định lí 2: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên khoảng ( , )a b chứa điểm 0

x và có đạo hàm trên các khoảng

0 0( , ); ( , )a x x b . Khi đó:

Nếu 0

0

'( ) 0, ( ; )

'( ) 0, ( , )

f x x a x

f x x x b

íï < " Îïìï > " Îïî

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0

x

Nếu 0

0

'( ) 0, ( ; )

'( ) 0, ( , )

f x x a x

f x x x b

íï > " Îïìï < " Îïî

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x

Hình vẽ minh họa:

BBT

x a 0

x b

'( )f x - +

( )f x

CT

Định lí 3: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm cấp 1 trên khoảng ( , )a b chứa điểm 0

x và có đạo hàm cấp 2

khác 0 tại điểm 0

x . Khi đó:

Nếu ( )( )

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

íï =ïïìï >ïïî

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0

x .

Nếu ( )( )

0

0

' 0

'' 0

f x

f x

íï =ïïìï <ïïî

thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0

x .

Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số 4 1y x= + đạt cực tiểu tại 0x = nhưng ''(0) 0f = .

NHẬN XÉT:

x a 0

x b

'( )f x + -

( )f x CĐ


7

a) Hàm số ( ) ( )3 2 0y f x ax bx cx d a= = + + + ¹ có hai điểm cực trị

Û ( ) 2' 3 2 0f x ax bx c= + + = có hai nghiệm phân biệt.

b) Hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx c a= = + + ¹ có ba điểm cực trị

Û ( ) 3' 4 2 0f x ax bx= + = có ba nghiệm phân biệt.

3. CÁCH VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ.

Dạng 1: Hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + .

Chia y cho y' ta được: ( ). ' .y Q x y Ax B= + +

Khi đó, y Ax B= + là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Dạng 2 (Nâng cao): Hàm số 2ax bx c

ydx e

+ +=

+

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng ( )

( )

2 ' 2

'

ax bx c a by x

d ddx e

+ += = +

+

4. CÁC VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3 21

( 1) ( 1) 3 53

y m x m x x= - + + + + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 2 2' ( 1) 2( 1) 3y m x m x= - + + +

' 0y = Û 2 2( 1) 2( 1) 3 0m x m x- + + + =

Hàm số có hai điểm cực trị Û ' 0y = có hai nghiệm phân biệtÛ

2

2 2

1 0

' ( 1) 3( 1) 0

m

m m

íï - ¹ïïìïD = + - - >ïïî

Û 2

1

2 2 4 0

m

m m

íï ¹ ±ïïìï - + + >ïïî

Û 1 1

1 2 1 2

m m

m m

í íï ï¹ ± ¹ï ïÛì ìï ï- < < - < <ï ïî î

Vậy giá trị m cần tìm là 1

1 2

m

m

íï ¹ïìï - < <ïî

.

Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 3 2 2 2' 4 2( 9) 2 .(2 9)y mx m x x mx m= + - = + -

' 0y = Û 2 2

0

2 9 0

x

mx m

é =êê

+ - =êë (1)

Hàm số có ba điểm cực trị Û ' 0y = có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Û 2

2

0

' 2 ( 9) 0

9 0

m

m m

m

íï ¹ïïïïD = - - >ìïïï - ¹ïïî

Û

0

3

0 3

3

m

m

m

m

íï ¹ïïï é < -ïï êì êï < <êï ëïï ¹ïïî

Û 3

0 3

m

m

é < -êê < <êë


8

Vậy giá trị m cần tìm là 3

0 3

m

m

é < -êê < <êë

.

Ví dụ 3: Cho hàm số ( )3 2 2 212 (3 1) 5

3y x m m x m x m= + - + + + + - . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu

tại 2x = - .

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: ( )2 2 2' 2 2 3 1y x m m x m= + - + + +

Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = - Þ '( 2) 0y - = Û 2 4 3 0m m- + - = Û 1

3

m

m

é =êê =êë

Điều kiện đủ:

Với 1m = , ta có: 2' 4 4y x x= + + , ' 0 2y x= Û = -

Bảng biến thiên

x - ¥ 2- + ¥

'y + 0 +

y + ¥

- ¥ Từ BBT ta suy ra 1m = không thỏa.

Với 3m = , ta có: 2' 16 28y x x= + + , 14

' 02

xy

x

é = -ê= Û ê = -êë


x - ¥ 14- 2- + ¥

'y + 0 - 0 +

y

CĐ + ¥

CT

- ¥ Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 2x = - .

Vậy giá trị m cần tìm là 3m =

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho

1 2

1

3x x- > .

Lời giải

TXĐ: D = ¡ . Ta có: 2' 3 ( 2 ( )2 1 ) 2y x m x m= - + -+

Hàm số có CĐ, CT ' 0yÛ = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x

2 5' 0 4 5 0 1;

4m m m mÛ D > Û - - > Û < - > (*)

Theo định lí Viet: 1 2 1 2

( )

3

2 1 2 2;

3

m mx x x x

- -+ = - =

Theo giả thiết: ( ) ( )2 2

1 2 1 21 2 1 2

14

1

3 9x x x x x x x xÛ = + -- >- >

2 2 3 29 3 294(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0 ;

8 8m m m m m m

- +Û - - - > Û - - > Û < >


9

Kết hợp (*), ta suy ra 3 29

1;8

m m+

< - >

Ví dụ 5: Cho hàm số 4 22 1y x mx m= - + - . Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng

thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.

Giải

TXĐ: D = ¡ . Ta có: 2’ 4 ( )y x x m= - .Cho 2' 0 0;y x x m= Û = = .

Hàm số có 3 cực trị Û phương trình ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt 0mÛ >

Toạ độ 3 điểm cực trị là (0; 1)A m - , 2 2( ; 1), ( ; 1)B m m m C m m m- - + - - + -

Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều khi:

2 2AB BC=34 4 3m m m mÛ + = Û = (vì 0m > )

Ví dụ 6: Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có ba điểm cực trị , ,A B C đồng thời các điểm , ,A B C tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= - = - . ' 0y = Û 2

0x

x m

é =êê

=êë

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị , ,A B C Û ' 0y = có ba nghiệm phân biệt Û 0m > (*)

Khi đó ' 0y = có ba nghiệm phân biệt là 0x = , x m= ±

Với 0x = Þ 42y m m= +

Với x m= ± Þ 4 2 2y m m m= - +

Tọa độ các điểm cực trị , ,A B C là

( ) ( ) ( )4 4 2 4 20;2 ; ; 2 ; ; 2A m m B m m m m C m m m m+ - - + - +

Suy ra: ( ) ( )2 2; ; ;AB m m AC m m= - - = -uuur uuur

Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông tại A

Û . 0AB AC =uuur uuur

Û 4

00

1

mm m

m

é =ê- + = Û ê =êë

So với (*) suy ra giá trị m cần tìm là 1m = .

Ví dụ 7: Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + .

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

b)Tìm m để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng : 1d y x= -

Lời giải

a)TXĐ: D = ¡ . Tính 2’ 3 6y x x m= - - .

Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt 0 3mÛ D > Û > -

Chia đa thức ’y cho y , ta được 1

( ) ' 2( 1) 23 3 3 3

x m my y x= - - + + -

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2( 1) 23 3

m my xD = - + + -

b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là ( ) ( )1 1 2 2; , ; .A x y B x y


10

TH1: / /dD2( 1) 1 93 3

22 1

3

m

mm

íïï + =ïïïÛ Û = - < -ìïï - ¹ïïïî

(loại)

TH2: Trung điểm của đoạn AB nằm trên d . Toạ độ trung điểm AB là E :1 2 1

2

x xx

y m

íï +ï = =ïïìïï = -ïïî

Vì ( )1;E m d- Î , suy ra 0m =


Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau

a) y x x2 33 2= - b) y x x x3 22 2 1= - + - c) y x x x3 214 15

3= - + -

d) x

y x4

2 32

= - + e) y x x4 24 5= - + f) x

y x4

2 3

2 2= - + +

g) x x

yx

2 3 6

2

- + +=

+ h) y x x2 2 5= - + i) y x x x 22= + -

Bài 2. Cho hàm số 3 23 2y x x mx m= + + + - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.

HD: 3m <

Bài 3. Cho hàm số 2 3 21

( 1) ( 1) 3 53

y m x m x x= - + + + + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

HD: 1 2m- < < và 1m ¹ .

Bài 4. Xác định m để hàm số 3 23 3 3 4y x x mx m= - + + +

a)Không có cực trị. b)Có cực đại và cực tiểu.

HD: a) 1m ³ b) 1m <

Bài 5. Cho hàm số 4 2( 1) 2 1y x m x m= + + - - . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

HD: 1m < - .

Bài 6. Tìm m để hàm số 4 2( 1) 2y mx m x m= + - +

a) Có ba điểm cực trị b) Có cực đại mà không có cực tiếu.

HD: a) 0 1m< < b) 0m £

Bài 7. Tìm m để hàm số: ( ) ( )3 2 2 212 3 1 5

3y x m m x m x m= + - + + + + - đạt cực tiểu tại 2x = -

HD: 3m =

Bài 8. Cho hàm số 3 2( 1) (3 4) 5y x m x m x= - + + - + . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1x =

HD: 3m = .

Bài 9. Cho hàm số 3 23 9 3 5y x mx x m= - + + - . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết

phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

HD: 2(6 2 ) 6 5y m x m= - + -

Bài 10. Cho hàm số 3 2 22

( 1) ( 4 3) 13

y x m x m m x= + + + + + - . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

HD: 5 3m- < < - .


11

Bài 11. Cho hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + - + - + + . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị

đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

HD: 5 7

1;4 5

m m< - < <

Bài 12. Cho hàm số 3 21

(2 1) 2 ( )3 m

y x mx m x m C= - + - - + . Định m để hàm số có hai điểm cực trị

cùng dương.

Bài 13. Tìm m để 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d:

3 7.y x= -

HD: 3 10

2m = ±

Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx m3 23 2= + + + - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai

phía đối với trục hoành.

HD: m 3<

Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - có các điểm cực đại và cực

tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.

HD: m1 2< <

Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m x3 21(2 1) 3

3= - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về

cùng một phía đối với trục tung

HD:m m1

; 12

> ¹

Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau

qua đường thẳng d x y: 8 74 0+ - =

HD: m 2=

Bài 18. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx3 23 2= - - + có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường

thẳng y x 1= -

HD: m m3

0;2

= = -

Bài 19. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2

3 3y mx m x m x= - - + - + đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn

1 22 1.x x+ =

HD:2

2;3

m m= =

Bài 20. Cho hàm số 3 2( 1) (2 1) 2y x m x m x m= + - - + - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1

x và

2x sao cho 2 2

1 2 1 21x x x x+ = + .

HD:

Bài 21. Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 4y mx m x m x= - + + - + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1

x và 2

x

sao cho 2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 116

x x x x+ = + .

HD:


12

Bài 22. Cho hàm số ( )3 22 3( 1) 6 2 1y x m x m x= + - + - - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1

x và

2x sao cho

1 22x x+ = .

HD: 1m = - .

Bài 23. Cho hàm số: ( )3 21 1 3sin cos sin 2

3 2 4y x a a x a x

æ ö÷ç ÷= - + + ç ÷ç ÷çè ø

. Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại

1 2,x x và 2 2

1 2 1 2x x x x+ = + .

HD:

Bài 24. Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m= - + + - - - . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các

điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .

HD: 1

2m = ± .

Bài 25. Cho hàm số ( )3 22 3 3 11 3y x m x m= + - + - . Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B

sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.

HD:

Bài 26. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m3 2 31 4( 1) ( 1)

3 3= - + + + có các điểm cực đại và cực tiểu nằm

về hai phía của đường tròn C x y x2 2( ) : 4 3 0+ - + =

HD: m1

2<

Bài 27. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx3 23 2= - - + có hai điểm cực đại và cực tiểu là A B, và đường

thẳng đi qua hai điểm A B, tạo với đường thẳng d x y: 4 5 0+ - = một góc 045

HD: m1

2= -

Bài 28. Cho hàm số: 4 22 2y x mx m= - + . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị

này thỏa

a) Lập thành 1 tam giác đều.

b) Lập thành 1 tam giác vuông.

c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.

HD: a) 33m = b) 1m = c) 4m =

Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số m

y x mx2

4 2 62

= + + - có ba điểm cực trị A B C, , sao cho:

a) ABCD là tam giác vuông

b) Diện tích ABCD bằng 32

c) Tứ giác ABOC là hình bình hành

d) Diện tích tứ giác OABC bằng 52

HD: a) m 2= - ; b) m 8= - ; c)m 6= - d) m 8= -

Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m m4 2 22= + + + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

một góc bằng 0120

HD: m3

1

3= -


13

Bài 31. Cho hàm số 4 2 22 2y x mx m= - + - . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của

đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .

HD: 1m =

Bài 32. Tìm m để đồ thị hàm số 4 2(3 1) 3y x m x= + + - có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ

dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên.

HD: 5

3m = -

Bài 33. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 2 22(1 ) 1= - - + + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

có diện tích lớn nhất

HD: m 0=

Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx4 22 2= - + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường

tròn ngoại tiếp đi qua điểm D3 9

;5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

HD: m 1=

Bài 35. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22 1= - + - có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán

kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

HD: m m1 5

1;2

- += =

Bài 36. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22= - + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính

đường tròn nội tiếp bằng 1.

HD: m 2=

Bài 37. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22 2= - + - có ba điểm cực trị A B C, , và bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

HD: 3

3

3 2 1min

4 2R m= Û =

Bài 38. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 23

2y x mx m= - +

tiếp xúc với đường tròn 2 2 1x y+ =

HD: 2m = ±

Bài 39. Cho hàm số ( )3 23 3 3 2m

y x mx x m C= - - + + . Định m để ( )mC có cực đại cực tiểu đồng thời

khoảng cách giữa chúng là bé nhất.

III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) CÁC BƢỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Tìm tập xác định của hàm số.

Xét sự biến thiên của hàm số:

Tính y.

Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.

Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.

Vẽ đồ thị của hàm số:

Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Ox Oy, , các điểm đặc biệt


14

khác...).

Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị

Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn. Cách tìm như sau:

Tính y '' , giải pt y '' 0= tìm x y f x0 0 0

( )Þ = Þ điểm uốn I x y0 0

( ; )

2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

a) Hàm số bậc ba y ax bx cx d a3 2 ( 0)= + + + ¹

Tập xác định D = ¡ .

Đồ thị luôn có một điểm uốn I và nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng

Các dạng đồ thị:

a 0> a 0<

y’ 0= có 2 nghiệm phân biệt

y’ 0= có nghiệm kép

y’ 0= vô nghiệm

b) Hàm số trùng phương y ax bx c a4 2 ( 0)= + + ¹

Tập xác định D = ¡ .

Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.


y

x 0

I

y

x 0

I

y

x 0 I

y

x 0

I


15

d) Hàm số nhất biến ax b

y c ad bccx d

( 0, 0)+

= ¹ - ¹+

Tập xác định \d

Dc

í üï ïï ïì ý= -ï ïï ïî þ

¡ .

Đồ thị có một tiệm cận đứng là d

xc

= - và một tiệm cận ngang là a

yc

= . Giao điểm của hai tiệm

cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.


Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 3 23 – 4y x x= + b) 4 22 – 3y x x= - c)2

1

xy

x

- +=

+

Giải

a) 3 23 – 4y x x= +


y x x

x yy x x

x y

2

2

’ 3 6

0 4’ 0 3 6 0

2 0

= +

é = Þ = -ê= Û + = Û ê = - Þ =êë

Giới hạn: x

ylim® + ¥

= + ¥ ; x

ylim® - ¥

= - ¥

0

– 0ad bc

x

y

0

– 0ad bc

x

y

0a 0a

’ 0y có 3 nghiệm phân

biệt

’ 0y chỉ có 1 nghiệm

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0


16

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên ( ) ( ); 2 ; 0;- ¥ - + ¥ , nghịch biến trên ( )2;0-

Hàm số đạt cực đại tại CD

x y2; 0= - = , đạt cực tiểu tại CT

x y0; 4= = -

Điểm đặc biệt:

Điểm uốn: y x y x x y'' 6 6; '' 0 6 6 0 1 2= + = Û + = Û = - Þ = - Þ ( )I 1; 2- -

x -3 -2 -1 0 1 y -4 0 -2 -4 0

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn ( )I 1; 2- - làm tâm đối xứng.

b) y x x4 22 – 3= - .

Tập xác định: D = ¡

( )y x x y x x x x x x x3 3 2’ 4 4 ; ’ 0 4 4 0 4 – 4 0 0; 1; 1= - = Û - = Û = Û = = = -

Giới hạn: x

ylim® + ¥

= + ¥ ; x

ylim® - ¥

= + ¥


Đồ thị hàm số đồng biến trên ( ) ( )1;0 ; 1;- + ¥ , nghịch biến trên ( ) ( ); 1 ; 0;1- ¥ -

Hàm số đạt cực đại tại CD

x y0; 3= = - , đạt cực tiểu tại CT

x y1; 4= ± = -

Điểm đặc biệt:

Đồ thị

x -2 -1 0 1 -2 y 5 -4 -3 -4 5


17

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

d) x

yx

2

1

- +=

+.

Tập xác định D \ { 1}= -¡

y x Dx 2

3’ 0,

( 1)

-= < " Î

+ .

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định

Giới hạn: x

y1

lim-® -

= - ¥ ;x

y1

lim+® -

= + ¥ x 1Þ = - là tiệm cận đứng

xylim 1

® - ¥= - ;

xylim 1

® + ¥= - y 1Þ = - là tiệm cận ngang


x -∞ -1 +∞

y ' - -

y -1 +∞

-∞ -1

Hàm số không có cực trị

Điểm đặc biệt

x -3 -2 -1 0 1 y -5/2 -4 || 2 1/2

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I ( 1; 1)- - làm tâm đối xứng.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 3 23 9 1y x x x= - - + b) 3 23 3 5y x x x= + + + c) 3 23 2y x x= - + -


18

d) 2( 1) (4 )y x x= - - e) 3

2 1

3 3

xy x= - + f) 3 23 4 2y x x x= - - - +

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 4 22 1y x x= - - b) 4 24 1y x x= - + c) 4

2 53

2 2

xy x= - +

d) 2 2( 1) ( 1)y x x= - + e) 4 22 2y x x= - + + f) 4 22 4 8y x x= - + +

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 1

2

xy

x

+=

+ b)

2 1

1

xy

x

+=

- c)

3

4

xy

x

-=

-

d) 1 2

1 2

xy

x

-=

+ e)

3 1

3

xy

x

-=

- f)

2

2 1

xy

x

-=

+

III. SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho hai đồ thị hàm số: ( ) ( ).y f x và y g x= = (có thể chứa tham số)

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình ( )

( )

y f x

y g x

íï =ïìï =ïî

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình ( ; ) ( ; ) (1)f x m g x m= .

Do đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đặc biệt: Để tìm số nghiệm của phương trình bậc ba ngoài cách thông thường là nhẩm nghiệm rồi chia

đa thức (sơ đồ hoocne), ta còn hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi PT bậc ba ( , ) 0f x m = về dạng ( ) ( )g x h m= . Khi đó số nghiệm chính là số giao

điểm của đồ thị ( )y g x= và đường thẳng ( )y h m= .

Cách 2: PT bậc ba ( , ) 0f x m = có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số ( , )y f x m= phải có cực đại, cực

tiểu và . 0CD CTf f < .

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 2 1

2 1

xy

x

+=

- và đường thẳng 2y x= + .

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1

22 1

xx

x

+= +

- (1)

Điều kiện: 1

2x ¹ . Khi đó: (1) Û 2 1 (2 1)( 2)x x x+ = - + 22 3 0x xÛ + - =

Û

3 1

2 21 3

x y

x y

éê = - Þ =êê= Þ =êë

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 3 1

;2 2

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø và ( )1;3

Ví dụ 2. Cho hàm số 2 1

1

xy

x

-=

- có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): y x m= - + cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt.

Lời giải


19


1

xx m

x

-= - +

- (1)

Điều kiện: 1x ¹ . Khi đó: (1) Û 2 1 ( )( 1)x x m x- = - + -

Û 2 ( 1) 1 0x m x m- - + - = (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ( ) ( )

( )

2

1 4 1 0

1 1 .1 1 0

m m

m m

íï é ùïD = - - - - >ï ê úë ûìï - - + - ¹ïïî

Û 2 6 5 0m m- + > 1 5m mÛ < Ú >

Vậy giá trị m cần tìm là 1 5m m< Ú >

Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2 2 8y mx x x m= - - + có đồ thị là ( )mC . Tìm m đồ thị ( )m

C cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 8 0mx x x m- - + = (1)

Û ( ) 22 (2 1) 4 0x mx m x mé ù+ - + + =ê úë ûÛ

2

2

(2 1) 4 0

x

mx m x m

é = -êê

- + + =êë (2)

( )mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2- Û 2

0

12 4 1 0

12 2 0

m

m m

m

íï ¹ïïïïD = - + + >ìïï + ¹ïïïî

Û

0

1 1

6 21

6

m

m

m

íïï ¹ïïïïï - < <ìïïïïï ¹ -ïïî

Û

0

1 1

6 2

m

m

íï ¹ïïïìï - < <ïïïî

Ví dụ 4. Cho hàm số 4 2 2(3 4)y x m x m= - + + có đồ thị là ( )mC . Tìm m đồ thị ( )m

C cắt trục hoành tại

bốn điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2(3 4) 0x m x m- + + = (1)

Đặt 2t x= ( )0t ³

Phương trình (1) trở thành: 2 2(3 4) 0t m t m- + + = (2)

( )mC cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û

2

2

5 24 16 0

0

3 4 0

m m

P m

S m

íïD = + + >ïïïï = >ìïï = + >ïïïî


20

Û

44

50

4

3

m m

m

m

íïï < - Ú > -ïïïï ¹ìïïïï > -ïïî

Û

4

50

m

m

íïï > -ïïìïï ¹ïïî

Ví dụ 5: Cho hàm số 1

2

mxy

x

-=

+ có đồ thị là ( )m

C . Tìm m để đường thẳng (d): 2 1y x= - cắt đồ thị

( )mC tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho 10AB = .

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 1

2 12

mxx

x

-= -

+ (1)

Điều kiện: 2x ¹ -

Khi đó: (1) Û 1 (2 1)( 2)mx x x- = - + Û 22 ( 3) 1 0x m x- - - = (2)

(d) cắt ( )mC tại hai điểm phân biệt ,A B Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2- Û ( )2

3 8 0

8 2 6 1 0

m

m

íï é ùïD = - - + >ï ê úë ûìï + - - ¹ïïî

Û 1

2m ¹ - (*)

Đặt ( ) ( )1 1 2 2;2 1 ; ;2 1A x x B x x- - với

1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

3

21

2

mx x

x x

íï -ï + =ïïïìïï = -ïïïî

Khi đó: ( ) ( )2 2

1 2 1 24 10AB x x x x= - + - = Û ( )

2

1 2 1 25 4 10x x x xé ù

+ - =ê úê úë û

Û

23

2 22

mæ ö- ÷ç ÷ + =ç ÷ç ÷çè ø Û 3m = [thỏa mãn (*)]

Vậy giá trị m cần tìm là 3m =

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( 1;0)A - với hệ số góc k ( )k Î ¡ . Tìm k để đường thẳng k

d

cắt đồ thị hàm số 3 23 4y x x= - + (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và tam giác OBC có diện tích bằng

1 (O là gốc tọa độ).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua ( 1;0)A - và có hệ số góc k nên có dạng: ( 1)y k x= + 0kx y k- + =

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

3 2 22

13 4 ( 1) ( 4 4 0

( ) 4 4 0 (*)

xx x kx k x x x k

g x x x k

é = -êé ù- + = + Û + - + - = Ûê ú êë û

= - + - =êë

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệtÛ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

' 0 0

( 1) 0 9

k

g k

í íï ïD > >ï ïÛ Ûì ìï ï- ¹ ¹ï ïî î


21

Khi đó ( ) 0 2 ; 2g x x k x k= Û = - = +

Các giao điểm là ( ) ( )( 1;0), 2 ;3 , 2 ;3A B k k k k C k k k k- - - + + .

2

22 1 , ( , ) ( , )

1

kBC k k d O BC d O d

k

= + = =

+

2 3

2

1. .2 . 1 1 1 1 1

2 1OBC

kS k k k k k k

kD

= + = Û = Û = Û =

+

Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 2(3 4)y x m x m= - + + có đồ thị là ( )mC . Tìm m để đồ thị ( )m

C cắt trục hoành

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2(3 4) 0x m x m- + + = (1)

Đặt 2t x= ( )0t ³ , phương trình (1) trở thành: 2 2(3 4) 0t m t m- + + = (2)

(C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û

2

2

5 24 16 0

0

3 4 0

m m

P m

S m

íïD = + + >ïïïï = >ìïï = + >ïïïî

Û

44

50

4

3

m m

m

m

íïï < - Ú > -ïïïï ¹ìïïïï > -ïïî

Û

4

50

m

m


(*)

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm1 2

0 t t< < . Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân

biệt là 1 2 2 1 3 1 4 2

x t x t x t x t= - < = - < = < =

Bốn nghiệm 1 2 3 4, , ,x x x x lập thành cấp số cộng Û

2 1 3 2 4 3x x x x x x- = - = -

Û 1 2 1

2t t t- + =

Û 2 1

3t t= 2 1

9t tÛ = (3)

Theo định lý Viet ta có: 1 2

2

1 2

3 4t t m

t t m

íï + = +ïïìï =ïïî

(4)

(5)

Từ (3) và (4) ta suy ra được 1

2

3 4

109(3 4)

10

mt

mt

íï +ï =ïïïìï +ï =ïïïî

(6).

Thay (6) vào (5) ta được: ( )2 29

3 4100

m m+ = Û ( )( )

123 3 4 1012

3 3 4 1019

mm m

m m m

é =é + = êê êÛê ê+ = - = -ê êë ë

[thỏa (*)]

Vậy giá trị m cần tìm là

12

12

19

m

m

é =êêê = -êë


22

Ví dụ8: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2y x mx= + + cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành:

3 2 0x mx+ + =2 2

( 0)m x xx

Û = - - ¹

Xét hàm số: 3

2

2 2

2 2 2 2( ) ; 0 '( ) 2 0 1

xf x x x f x x x

x x x

- += - - " ¹ Þ = - + = = Û =

BBT

x

f x( )

f x( )

0 1

0+ + –

–3

Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 3mÛ > - .

Nhận xét: Trong bài toán trên, khi lập phương trình hoành độ giao điểm ta được phương trình bậc ba. Do

không nhẫm nghiệm được nên ta phải chuuyển vế cô lập m và xét hàm số.

3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau

a) (C): 2 4y x= - và (C'): 2 2y x x= - - b) (C): 3 21

3y x x= - và

5( ) : 3

3d y x= +

c) (C): 2 1

1

xy

x

-=

+ và ( ) : 3 1d y x= - - d) (C): y x= và ( ) : 2d y x= -

Bài 2. Tìm m để đường thẳng d y x m: = - + cắt đồ thị (C) của hàm số x

yx

2 1

1

-=

- tại hai điểm phân

biệt.

HD: m m1; 5< >

Bài 3. Tìm m để đồ thị (Cm): ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m= - + + + + - + cắt Ox tại 3

điểm phân biệt

HD: 1m ¹

Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 2 1= - + - cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

HD: m m1; 2> ¹

Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y x x x3 26 9 6= - + - cắt đường thẳng d y mx m: 2 4= - - tại ba điểm

phân biệt.

HD: m 3> -

Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số 1

2 1

xy

x

- +=

+ (C) cắt đường thẳng : 2 1d y mx m= + - tại 2 điểm phân

biệt có hoành độ trái dấu.

HD: 0 1m< <

Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x m m3 2 2 2(4 5) (3 12 8) 7 8= - + + + + - - cắt trục hoành

tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

HD: m m m11

1; 5;10

= = - = -


23

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m x3 2(3 1) 2(3 1) 8= - + + - + + cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.

HD: m m5

1;3

< - >

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập

thành cấp số cộng.

HD: m m4

4;9

= = -

Bài 10. Tìm m để đồ thị (Cm): ( )3 2 2 22 2 1 (1 )y x mx m x m m= - + - + - cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ đều dương.

HD: 2

13

m< <

Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx x m3 21 2

3 3= - - + + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

hoành độ thỏa x x x2 2 2

1 2 315+ + >

HD: m 1>

Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x mx3 22 3( 1) 6 2= - + + - cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.

HD: m1 3 1 3- < < +

Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số 3 23 3 3y x x mx m= - - + cắt đường thẳng 3 1y x= - - tại ba điểm

phân biệt.

HD: 1m >

Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số 3y x= cắt đồ thị hàm số 2y mx m= - tại ba điểm phân biệt.

HD: 3 3

2m >

Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số hàm số 3 2 4y x mx= + + cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

HD: 3m > - .

Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y x x m x m3 23 (2 1) 4 2= - - - + + cắt trục hoành tại đúng hai điểm

phân biệt.

HD: m m5 1

;8 2

= - =

Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x mx m3 23( 1) 3 1= - + + - + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

trong đó ít nhất một điểm có hoành độ âm.

HD: CD CTy y

my

. 01 1

(0) 0

íï <ï Þ - < <ìï >ïî

Bài 18. Cho hàm số (C): 1

2

xy

x

-=

-. Tìm m để đường thẳng :d y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt

mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.

Bài 19. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;1) và có hệ số góc k . Tìm k để d cắt đồ thị hàm số x

yx

2 4

1

+=

-

tại hai điểm M N, sao cho MN 3 10=


24

HD: k k k3 41 3 41

3; ;16 16

- + - -= - = =

Bài 20. Tìm m để đường thẳng d y x m1

:2

= + cắt đồ thị (C) của hàm số x

yx

2

1=

- tại hai điểm phân biệt

A B, sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng d x y: 2 4 0+ - =

HD: m3

2= -

Bài 21. Tìm m để đường thẳng d y x1

: 22

= - cắt đồ thị (C) của hàm số mx

yx m

2 5+=

+ tại hai điểm phân

biệt A B, có hoành độ x x1 2; thỏa x x x2

1 1 29 8- = .

HD: m m5; 4= - =

Bài 22. Gọi A B, là giao điểm của đường thẳng d y x1

:6

= với đồ thị của hàm số x

yx

1

1

-=

+.Tìm những

điểm M thuộc đường phân giác thứ nhất sao cho MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất

HD: M7 7

;5 5

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø


2

xy

x

+=

+ có đồ thị (C). Đường thẳng y x= cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm

m để đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình

bình hành.

HD: 10m =

Bài 24. Tìm m để đường thẳng d y x m: 1= - + - cắt đồ thị (C) của hàm số x

yx 1

=-

tại hai điểm phân

biệt A B, sao cho tam giác OA B nội tiếp đường tròn có bán kính R 2 2=

HD:m m1; 7= - =

Bài 25. Tìm m để đường thẳng d y: 1= cắt đồ thị của hàm số y x x mx3 23 1= + + + (1) tại ba điểm phân

biệt A B C(0;1), , sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C, vuông góc nhau.

HD: 9 65

8m

±=

Bài 26. Cho hàm số (C): 4 2y x x= - . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình

( )2 24 1 1x x k- = -

Bài 27. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): 4y x= + cắt đồ thị hàm

số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có

diện tích bằng 8 2 với điểm K(1; 3).

HD:1 137

2m

±=

Bài 28. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có

hoành độ nhỏ hơn 3.

HD: m m1

; 12

= - ³


25

Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x m m3 2 2 2(2 3) (2 9) 2 3 7= - + + - + - + - cắt trục hoành

tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này

là lớn nhất

HD: m5

2=

Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

A B C D, , , lần lượt có hoành độ ( )x x x x x x x x1 2 3 4 1 2 3 4, , , < < < sao cho tam giác AKC có diện

tích bằng 4 , biết rằng K (3; 2)-

HD: m 4=

Bài 31. Chứng minh rằng đường thẳng d y x m: = - + luôn cắt đồ thị (C) của hàm số x

yx

2 1

2

+=

+ tại hai

điểm phân biệt A B, . Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.

HD: m 0=

Bài 32. Tìm m để đường thẳng 2 2y m= - + cắt đồ thị hàm số 4 22( 1) 3y x m x= - + + tại đúng hai

điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8

HD: 3m = -

Bài 33. Chứng minh rằng đường thẳng : 2 – 0d x y m+ = luôn cắt đồ thị (C): 1

1

xy

x

+=

- tại A, B phân

biệt thuộc 2 nhánh của (C). Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số 3 22 (3 1) 3y x x m x m= - - - + + cắt đường thẳng

(1 ) 5y m x m= - + - tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3

1x x x< < <

HD:7

2m >

Bài 35. Tìm m để đường thẳng d y m x: ( 2) 2= - - cắt đồ thị của hàm số y x x3 23 2= - + (1) tại ba

điểm phân biệt A B C(2; 2), ,- sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C,

đạt giá trị nhỏ nhất.

HD: m 1= -

IV. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1. ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 0

( ; )M x y có dạng:

0 0 0’( )( – )y f x x x y= + với

0’( )f x là hệ số góc của tiếp tuyến.

2. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ

Hai đồ thị (C): ( )y f x= và (D): ( )y g x= tiếp xúc với nhauÛ hệ phương trình ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

í ¢ ¢ï =ïìï =ïî

có

nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình là số hoành độ của điểm tiếp xúc.

3. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (c) tại 0 0

( ; )M x y

Áp dụng công thức ( )( )0 0 0– ’ –y y f x x x=

Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc

Ta chọn cách sau:

Tiếp tuyến có hệ số góc ( )0k f x k¢Û = . Giải phương trình tìm ( )0 0 0

x y f xÞ =


26

Thế vào phương trình tiếp tuyến ( )( )0 0 0– ’ –y y f x x x=

Chú ý: Tiếp tuyến song song với :d y ax b= + thì 0

'( )f x a=

Tiếp tuyến vuông góc với :d y ax b= + thì 0

'( ). – 1f x a = hay 0

1'( )f x

a= -

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(1 1;x y )

Ta chọn cách sau:

Gọi ( )0 0;M x y là tiếp điểm và tính ( )0 0

y f x= và ( )0’f x theo

0x .

Tiếp tuyến đi qua A(1 1;x y ) nên ( )( )1 0 0 1 0

– ’ –y y f x x x=

Giải phương trình tìm 0

x thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3

1

xy

x

- +=

- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao

điểm của ( )C và đường thẳng 3y x= - .

Lời giải


31

xx

x

- += -

- (1)

Điều kiện: 1x ¹

Khi đó: (1) 2 3 ( 3)( 1)x x xÛ - + = - - Û 2 2 0x x- = Û 0

2

x

x

é =êê =êë

Suy ra tọa độ các giao điểm là ( ) ( )0; 3 , 2; 1A B- -

Ta có:

( )2

1'

1

y

x

-=

-

Phương trình tiếp tuyến tại A là '(0)( 0) 3 3y y x y x= - - Û = - -

Phương trình tiếp tuyến tại B là '(2)( 2) 1y y x= - - 1y xÛ = - +

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 3y x= - - và 1y x= - +

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1

2

xy

x

+=

- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hệ số góc của

tiếp tuyến bằng 5- .

Lời giải

Gọi 0 0

( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Ta có:

( )2

5'

2

y

x

-=

-

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5- Û 0

'( ) 5y x = - Û

( )2

0

55

2x

-= -

-

Û 0

0

1

3

x

x

é =êê =êë

Với 0

1x = Þ 0

3y = - : 1(1; 3)M - Þ pttt: 5 2y x= - +

Với 0

3x = Þ 0

7y = : 2(3;7)M Þ pttt: 5 22y x= - +


27

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 5 2y x= - + và 5 22y x= - + .

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 2y x x= - + có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng ( ) : 9 2y xD = + .

Lời giải

Ta có: 2' 3 6y x x= -

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là 9k =

Gọi 0 0


Hệ số góc của tiếp tuyến 9k = Û 0

'( ) 9y x = Û 2

0 03 6 9 0x x- - = Û 0

0

1

3

x

x

é = -êê =êë

Với 0

1x = - Þ 0

2y = - : 1( 1; 2)M - - Þ pttt: y 9x 7= +

Với 0

3x = Þ 0

2y = : 2(3;2)M Þ pttt: ( )D (loại)

Vậy tiếp tuyến thỏa đề bài là 9 7y x= +

Ví dụ 4: Cho hàm số 2

2

xy

x

-=

+ có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng ( ) : 2y xD = - + .

Lời giải

Ta có:

( )2

4'

2

y

x

=

+

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1k =

Gọi 0 0


Hệ số góc của tiếp tuyến 1k = Û 0

'( ) 1y x = Û

( )2

0

41

2x

=

+

Û ( )2

02 4x + =

Û 0 0

0 0

2 2 0

2 2 4

x x

x x

é é+ = =ê êÛê ê+ = - = -ê êë ë

Với 0

0x = Þ 0

1y = - : 1(0; 1)M - Þ pttt: 1y x= +

Với 0

4x = - Þ 0

3y = : 2( 4;3)M - Þ pttt: 7y x= +

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 1y x= + và 7y x= +

Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) 3 – 3 2y f x x x= = + biết rằng tiếp tuyến đi qua (2; –4)A

Lời giải

Gọi 0 0

( ; )M x y là tiếp điểm .

Ta có 3 2

0 0 0 0 0– 3 2 ’( ) 3 – 3y x x à f x x= + =v

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

3 2 2 3

0 0 0 0 0 0– ( – 3 2) (3 – 3)( – ) (3 3) 2 2y x x x x x y x x x+ = Û = - - + (1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên 2 3 3 2

0 0 0 0 0 0– 4 (3 – 3).2 – 2 2 3 0 0; 3x x x x x x= + Û - = Û = =

Khi 0

0x = : Phương trình tiếp tuyến là –3 2y x= +

Khi 0

3x = : Phương trình tiếp tuyến là 24 – 52y x=


28

Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 1y x mx= + + có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt : – 1d y x= + tại ba điểm phân

biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:

3 2 22

01 – 1 ( 1) 0

1 0

xx mx x x x mx

x mx

é =ê+ + = + Û + + = Û ê

+ + =êë

Đặt 2( ) 1g x x mx= + + . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt

khác 0 ( )

2 24 0

20 1 0

mg m

mg

í éï >D = - >ïï êÛ Ûì êï < -= ¹ êï ëïî

.

Vì ,B C

x x là nghiệm của ( ) 01

B C

B C

S x x mg x

P x x

íï = + = -ï= Þ ìï = =ïî

.

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: ( ) ( ) 1C B

f x f x¢ ¢ = -

( )( )3 2 3 2 1B C B C

x x x m x mÛ + + = - ( ) 29 6 4 1B C B C B C

x x x x m x x mé ùÛ + + + = -ê úë û

( ) 21 9 6 4 1m m mé ùÛ + - + = -ê úë û 22 10mÛ = 5mÛ = ± (nhận so với điều kiện)

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

2 3

xy

x

+=

+ biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục

tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Lời giải

TXĐ: 3

\2

Dí üï ïï ï= -ì ýï ïï ïî þ

¡ và 2

1( )

(2 3)y x

x

-¢ =+

. Gọi 0 0

( ; )M x y là điểm tiếp xúc.

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 002

00

21( )

2 3(2 3)

xy x x

xx

+= - - +

++

Giao điểm của TT với Ox:

Cho 2 200 0 0 0 02

00

210 ( ) 0 2 8 6 (2 8 6;0)

2 3(2 3)

xy x x x x x A x x

xx

+= Û - - + = Û = + + Þ + +

++

Giao điểm của TT với Oy:

Cho

2 2

0 0 0 0 002 2 2

00 0 0

2 2 8 6 2 8 610 ( ) 0;

2 3(2 3) (2 3) (2 3)

x x x x xx y x B

xx x x

æ ö+ + + + + ÷ç ÷ç= Þ = - - + = Þ ÷ç ÷ç ÷+ ÷ç+ + +è ø

OA BV cân tại O

22

2 2 2 2 0 00 0 2

0

2 8 6(2 8 6)

(2 3)

x xOA OB x x

x

æ ö+ + ÷ç ÷çÛ = Û + + = ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø

2 2 00 0

02

00

1(2 8 6) 0

3(2 3) 1

2

xx x

xx

x

é = -é ê+ + =ê êÛ Û = -ê ê+ =ê ê

ë = -êë

Khi 0 0 0

1 1; '( ) 1.x y f x= - Þ = = - Phương trình tiếp tuyến: ( )y x l= -

Khi 0 0 0

1 13 ; '( ) .

3 9x y f x= - Þ = = - Phương trình tiếp tuyến:

1( )

9y x l= -


29

Khi 0 0 0

2 0; '( ) 1.x y f x= - Þ = = - Phương trình tiếp tuyến: 2 ( )y x n= - -

Ví dụ 8: Tìm trên đường thẳng : 2 1d y x= + những điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C) của

hàm số 3

1

xy

x

+=

-

Lời giải

Gọi ( ;2 1)M m m + là điểm thuộc đường thẳng d . Phương trình D đi qua điểm M có dạng:

( ) 2 1y k x m m= - + +

Xét hệ phương trình:

2

3( ) 2 1 (1)

14

(2)( 1)

xk x m m

x

kx

íï +ï = - + +ïï -ïì -ïï =ïï -ïî

D là tiếp tuyến duy nhất của đồ thị hàm sốÛ hệ phương trình trên có duy nhất 1 nghiệm.

Thế (1) vào (2) ta được: 2 2( 2) 3 2 0, 1 (3)mx m x m x- + + + = ¹

Suy ra, hệ phương trình có một nghiệm Û phương trình (3) có một nghiệm khác 1.

TH1: Xét 0m = : PT trở thành 1

4 2 0 12

x x- + = Û = ¹ Þ nhận 0m =

TH2: Xét 0m ¹

PT(3) có nghiệm kép khác 1

' 0

'1

b

a

íï =ïïïÛ ìï - ¹ïïïî

V

22( 2) (3 2) 0 12 0

2 22 1 ( / )1

m m m mm mm mh n

m

íï + - + = í éï ï = -- + + =ï ïï ï êÛ Û Ûì ì+ êï ï =¹¹ êï ï ëïîïïî

PT(3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1

2' 0 1 22 01

(1) 0 12 2 0

mm mm

f mm

íí íïï ïD > - < <- + + >ïï ïïÛ Û Û Û =ì ì ìï ï ï= =- =ï ï ïî îïî

Vậy có bốn điểm (0;1); ( 1; 1); (1;3); (2;5)M M M M- -


Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): 3 3 5y x x= - + khi biết:

a) Tọa độ điểm tiếp xúc là M(2; 7).

b) Hoành độ tiếp điểm là 0

1x = - .

c) Tung độ tiếp điểm là 0

5y = .

d) Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng : 7 0d x y+ =


1

xy

x

-=

- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hệ số góc của

tiếp tuyến bằng 4- .

HD: 4 2; 4 10y x y x= - + = - +

Bài 3. Cho hàm số 3 23 3y x x x= - + có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng ( ) : 3y xD = .

HD: 3 4y x= -


30

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) 3 21 1 42

3 2 3y x x x= + - - biết tiếp tuyến đó

song song với đường thẳng : 4 2d y x= + .


1

xy

x

-=

- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng ( ) : x y 1 0D - + = .

HD: 1; 3y x y x= - + = - - .

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)2 3

1

xy

x

-=

-biết tiếp tuyến đó vuông góc với

đường thẳng: – 2019 0x y + = .

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): 3y x x= - biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0;

2).


2

xy

x

+=

- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đi qua

điểm ( )6;5A -

HD: 1y x= - - và 1 7

4 2y x= - +

Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):1

2 1

xy

x

- +=

+ biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của

tiệm cận đứng và trục Ox.

Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): 3 21

2 33

y x x x= - + tại điểm uốn và chứng

minh rằng tiếp tuyến đó của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Bài 11. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 1

1

xy

x

+=

+ (C) tại

điểm M(-2; 5).


1

xy

x

+=

-. Xác định m để đường thẳng 2y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau

HD: 1m = -

Bài 13. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 2 1

1

xy

x

-=

- (C). Tìm điểm M thuộc

(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

HD: (2;3); (0;1)M M

Bài 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

xy

x=

- (C) biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường

tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác cân.

HD: ; 4y x y x= - = - +

Bài 15. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )3 23 1 1y x mx m x= + + + + (C) tại điểm

có hoành độ 1x = - đi qua điểm A(1; 2).

HD:5

8m =


31

Bài 16. Tìm toạ độ điểm M thuộc đồ thị hàm số 2

1

xy

x=

+(C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục

,Ox Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4.

HD: 1

(1;1); ; 22

M Mæ ö

÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø

Bài 17. Cho hàm số (C): 2 1

1

xy

x

-=

-. Cho M bất kì trên (C) có

Mx m= . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai

tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích

tam giác IAB không đổi.

Bài 18. Cho hàm số (Cm): 3 23 1y x x mx= + + + . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng 1y = tại 3 điểm phân

biệt C(0; 1),D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc.

HD:9 65

8m

±=

Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x

yx

2

2=

- biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox Oy, tại hai

điểm A B, mà tam giác OA B thỏa AB OA 2=

HD: y x 8= - +

Bài 20. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho trên đồ thị hàm số y mx m x m x3 21( 1) (4 3 ) 1

3= + - + - + tồn

tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

d x y: 2 3 0+ - =

HD: m1 1 2

0; ;2 2 3

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷Î Èç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Bài 21. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho từ điểm A(1;2) ta có thể vẽ đúng hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số

3 22 ( 1) 2y x x m x m= - + - +

HD: 100

3;81

m m= - =

Bài 22. Cho hàm số mx

yx m

2 3+=

-. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của

đồ thị hàm số cắt hai tiệm cận tại hai điểm A B, sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64

HD: m58

2= ±

Bài 23. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x

yx 1

=-

sao cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm

cận một tam giác có chu vi bằng ( )2 2 2+

HD: y x y x; 4= - = - +

Bài 24. Cho hàm số x

yx

3 2

1

-=

+. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại hai điểm A B, sao cho ·BAI

5cos

26=


32

HD: y x y x5 2; 5 2= - = +

Bài 25. Tìm m để đồ thị hàm số y x x m x m3 23 ( 4)= - + - + cắt trục hoành tại ba điểm A B C( 1;0), ,-

sao cho 0A B C

k k k- - = , trong đó A B B

k k k, , lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A B C, , .

HD: 11

5m =

Bài 26. Tìm những điểm M trên đồ thị hàm số y x x4 21 53

2 2= - + sao cho tiếp tuyến tại M cắt đồ thị tại

hai điểm phân biệt A B, khác M sao cho MB MA3= và A thuộc đoạn thẳng MB .

HD: M M3 3

2; , 2;2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Bài 27. Tìm trên đồ thị hàm số x

yx

1

2

- -=

+ các điểm A B, sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm

đó song song với nhau và AB 8=

HD: ( ) ( )A B2 3; 3 1 , 2 3; 3 1- - + - + - hoặc ( ) ( )A B2 3; 3 1 , 2 3; 3 1- + - - - +

Bài 28. Tìm hai điểm A B, thuộc đồ thị của hàm số y x x3 3 2= - + sao cho tiếp tuyến tại A B, song song

nhau và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d x y: 5 0+ + =

HD: A B(2;4); ( 2;0)-

Bài 29. Tìm m sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y x x m x m3 22 ( 2) 3= - + - +

đi qua điểm A55

1;27

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

HD: m1

4=

Bài 30. Cho M là điểm bất kì trên đồ thị của hàm số 2 3

2

xy

x

. Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt các đường

tiệm cận tại A B, . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

HD: M M(1;1); (3;3)

Bài 31. Tìm những điểm M thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y x x4 22 1= - + -

HD: M (0; 1)-

Bài 32. Tìm những điểm M nằm trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

xy

x

2

1

+=

- và 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

HD: a

a

2

31


Bài 33. Tìm m để đồ thị hàm số 3 22 3( 3) 18 8y x m x mx= - + + - tiếp xúc với trục hoành.

HD:35

1; 4 2 6;27

m m m= = ± = .


2

xy

x

+=

- có đồ thị (C).


33

a)Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.

b)Tìm những điểm thuộc đồ thị có hoành độ lớn hơn 1 sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiếp

tuyến ngắn nhất.

HD: a) 3 1y x= + b) ( )2; 5N -

V. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số ( )y f x= xác định trên miền D (D ¡ ).

0 0

( ) ,max ( )

: ( )D

f x M x DM f x

x D f x M

íï £ " Îï= Û ìï $ Î =ïî

0 0

( ) ,min ( )

: ( )D

f x m x Dm f x

x D f x m

íï ³ " Îï= Û ìï $ Î =ïî

Chú ý

Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến trên ;a bé ùê úë û

thì [ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )a b a b

f x f b f x f a= = .

Nếu hàm số ( )y f x= nghịch biến trên ;a bé ùê úë û

thì [ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )a b a b

f x f a f x f b= = .

2) CÁCH TÌM GTLN, GTNN:

a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x= trên khoảng (a;b):

Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận.

b)Tìm GTLNGTNN của hàm số ( )y f x= trên đoạn ,a b[ ] (ta không cần lập bảng biến thiên)

Xét hàm số đã cho liên tục trên đoạn ,a b[ ] .

Tìm đạo hàm '( )f x và tìm các điểm tới hạn 1 2,, ...x x của '( )y f x= trên đoạn ,a b[ ] .

Tính các giá trị 1 2

( ), ( ), ..., ( ), ( ).f x f x f a f b

Số lớn nhất trong các số 1 2

( ), ( ), ..., ( ), ( )f x f x f a f b là GTLN cần tìm. Số nhỏ nhất trong các số

1 2( ), ( ), ..., ( ), ( )f x f x f a f b là GTNN cần tìm.

3) ỨNG DỤNG CỦA GTLN, GTNN ĐỂ GIẢI PT, BPT:( sẽ trình bày kĩ hơn trong chuyên đề PT-

BPT)

Bài toán 1: Tìm m đê phương trình ( ; ) 0f x m = có nghiệm trên D .

Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )g x h m=

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y g x= trên tập D.

Bước 3: Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình ( ) ( )g x h m= có nghiệm trên D.

Phương trình ( ; ) 0f x m = có nghiệm trên D min ( ) ( ) max ( )D D

g x h m g xÛ £ £

Phương trình ( ; ) 0f x m = có k nghiệm trên D Û đuòng thẳng ( )y h m= nằm ngang cắt

đồ thị hàm số ( )y g x= tại k điểm phân biệt.

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình ( ; ) 0f x m ³ hoặc ( ; ) 0f x m £ có nghiệm trên D

Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )g x h m³ hoặc ( ) ( )g x h m£


Bước 3: Kết luận những giá trị cần tìm của m để bất phương trình có nghiệm trên D.

Bất phương trình ( ) ( )g x h m³ có nghiệm trên D Û ( ) max ( )D

h m g x£

Bất phương trình ( ) ( )g x h m£ có nghiệm trên D Û ( ) min ( )D

h m g x³

Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình ( ; ) 0f x m ³ hoặc ( ; ) 0f x m £ có nghiệm đúng với mọi x DÎ

Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )g x h m³ hoặc ( ) ( )g x h m£


Bước 3: Kết luận những giá trị cần tìm của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x DÎ .


34

Bất phương trình ( ) ( )g x h m³ có nghiệm đúng x D" Î Û ( ) min ( )D

h m g x£

Bất phương trình ( ) ( )g x h m£ có nghiệm đúng x D" Î Û ( ) max ( )D

h m g x³

4) CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x

yx 24

=+

trên khoảng ( )0;+ ¥

Lời giải

Tập xác định D = ¡ . Đạo hàm:

( )

xy

x

2

22

4'

4

-=

+

. x n

yx l

2 ( )' 0

2 ( )

é =ê= Û ê = -êë


Vậy f x(0; )

1max ( )

4+ ¥= khi x 2=

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2

1

1

x

x

+

+

trên đoạn [ 1;2]- .

Lời giải.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ 1;2]- .Ta có 2 3

1’

( 1)

xy

x

-=

+

. ' 0 1 [ 1;2]y x= Û = Î -

3 5( 1) 0; (1) 2; (2)

5f f f- = = =

Từ đó, 1;2

max 2x

yé ùÎ -ê úë û

= khi 1x = và 1;2

0x

minyé ùÎ -ê úë û

= khi 1x = -

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 22sin cos 1y x x= - + .

Lời giải


Ta có 2 2 22sin cos 1 2(1 cos ) cos 1 2cos cos 3y x x x x x x= - + = - - + = - - +

Đặt cost x= với 1;1t é ùÎ -ê úë û , hàm số trở thành: 22 3y t t= - - +

Ta có: ' 4 1y t= - - ; 1

' 0 1;14

y t é ù= Û = - Î -ê úë û

Do ( ) ( )1 25

1 2; 1 0;4 8

y y yæ ö

÷ç ÷- = = - =ç ÷ç ÷çè ø

Vậy min 0x D

yÎ

= khi 1t = ; 25

max8x D

yÎ

= khi 1

4t = -

Ví dụ 4: Tìm tham số thực m để phương trình: 2 2m x x m+ = + có đúng ba nghiệm thực phân biệt

x

0 2 + ¥

y’

+ 0 -

y

0 1

4 0


35

Lời giải

TXĐ: D = ¡ . Ta có: ( )2

22 ;

2 1

xPT m x m x m f x x

x

Û + - = Û = = " Î

+ -

¡ .

2

2

2 2'( )

2

xf x

x

- +=

+

. Cho 2

'( ) 02

xf x

x

é= -ê

= Û êê =ë

.

BBT

x - ¥ 2- 2 + ¥

'( )f x - 0 + 0 -

( )f x + ¥ 2

2- - ¥

Dựa vào BBT, PT có ba nghiệm khi: 2 2m- < < .

Ví dụ 4: Tìm tham số thực m để bâ t phương trình: ( )2 24 5 4 1x x x x m- + ³ - + có nghiệm thực trong

đoạn 2;3é ùê úë û

.

Lời giải

TXĐ: D = ¡ . Đặt 2 2 24 5 1 4 5t x x x x t= - + ³ Þ - = - .

Khi đó: ( ) ( ) )2 21 5 5 , 1;t t m m t t g t t éÛ ³ - + Û £ - + + = Î + ¥êë .

Ta co : 1

'( ) 2 1. '( ) 02

g t t Cho g t t= - + = Û =

BBT

t - ¥

1

2 2 3 + ¥

'( )g t + 0 - - -

( )g t 3

1-

Dựa vào bảng biến thiên, 1m £ - thỏa yêu cầu bài toán.


Baøi 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) 216 2 12y x x= - + trên đoạn 1

0;4

é ùê úê úë û

b) 2 9

4y x x= - trên đoạn

41;

3


c) 3 23 9 35y x x x= - - + trên đoạn 4, 4é ù-ê úë û d)

322 3 4

3

xy x x= + + - trên đoạn 4, 0é ù-ê úë û

e) 2

2

xy

x

-=

+ trên đoạn 0;2é ù

ê úë û f)

3

2

xy

x

+=

+ trên đoạn 1;2é ù-ê úë û

g) 22 3 3

1

x xy

x

- +=

+ trên đoạn 0;2é ù

ê úë û h)

22 5 4

2

x xy

x

+ +=

+ trên đoạn 1;1é ù-ê úë û


a) 24y x x= - b) 2 2 8y x x= - + +

c) 2 4y x x= + + - d) 24y x x= + -


36

e) ( ) 21 1y x x= + - f) 2 21 1y x x= + - -

g) 24y x x= - - h) 2 214

4y x x x x= - - -


a) 342 sin sin

3y x x= - trên đoạn 0;pé ù

ê úë û b) 4 2cos 6cos 5y x x= - +

c) ( )3

6 24 1y x x= + - trên đoạn 1;1é ù-ê úë û d) 4 4sin cos 2y x x= + +

Baøi 4. Cho 3x ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1

( )f x xx

= +

HD: 3

10min ( )

3xf x

³= khi 3x =

Baøi 5. Cho 2x ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

1( )f x x

x= +

HD: 2

9min ( )

4xf x

³= khi 2x =

Baøi 6. Cho 1

02

x< £ . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

1( ) 2f x x

x= +

HD: 1

0;2

min ( ) 5f xæ ùç úçç úçè û

= khi 1

2x =

Baøi 7. Cho 0x > . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

11 7( ) 4 1

2f x x

x x

æ ö÷ç ÷= + + +ç ÷ç ÷çè ø

HD: 3

15min ( )

2xf x

³= khi 3x =

Baøi 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3( ) sin cosf x x x= với 0;2

xpé ù

ê úÎê úë û

HD:

0; 0;2 2

3 3min ( ) 0 0; ; max ( )

2 16 6f x x f x x

p p

p p

é ù é ùê ú ê úê ú ê úë û ë û

= Û = = Û =

Baøi 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 2

2 4( ) sin cos 1

1 1

x xf x

x x= + +

+ + với x Î ¡

HD: 2 17 1

min ( ) 2 sin 1 sin 1 2 sin 1; max ( )4 4

f x x f x x= - - + Û = - = Û =¡ ¡

Baøi 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2( ) 3 6 18 3f x x x x x= + + - - + - trên

miền xác định của nó

HD: 3;6 3;6

9 3 2 3min ( ) ; max ( ) 3 3;6

6 2f x x f x x

é ù é ù- -ê ú ê úë û ë û

-= Û = = Û = -

Baøi 11. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 4

2 2

3 4 3( )

(1 )

x xf x

x

+ +=

+ trên miền xác định của

nó


37

HD: 5

min ( ) 1; max ( ) 3 02

f x x f x x= Û = ± = Û =¡ ¡

Baøi 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1( )f x x x

x= + + với 0x >

HD: (0; )

1min ( ) 2

2f x x

+ ¥= Û =

Baøi 13. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2( )f x x x x= + - trên miền xác định của nó

HD: [0;1] [0;1]

2 1 2 2min ( ) 0 0;1; max ( )

2 4f x x f x x

+ += Û = = Û =

Baøi 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2( ) 4 21 3 10f x x x x x= - + + - - + + trên miền xác định

của nó

HD: [ 2;5]

1min ( ) 2

3f x x

-= Û =

Baøi 15. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 1 sin 1 cosf x x x= + + + với

x Î ¡

HD: min ( ) 1 1; max ( ) 4 2 2 2f x x f x x= Û = - = + Û = ±¡ ¡

Baøi 16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 4 2 4( ) 13 9f x x x x x= - + + với 0 1x£ £

HD: [0;1]

2max ( ) 15

5f x x= Û =

Baøi 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 4

1 2

x xy

x x

- - +=

+ - + trên tập xác định

của nó.

HD: [0;1] [0;1]min ( ) 1 0; max ( ) 2 1f x x f x x= Û = = Û =

Baøi 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2

2 2( 1)

x x xy

x

+ +=

+ trên tập xác định của nó.

HD: 1 1 3 1

min ( ) ; max ( )4 2 4 2

f x x f x x= - Û = - = Û =¡ ¡

Baøi 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

1 2

1

x xy

x x

-= +

- trên tập xác định của nó.

HD: (1; )

9min ( ) 2

2f x x

+ ¥= Û =

Baøi 20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

2

2 1

1 2

x xy

x x

-=

+ - +

trên tập xác định của nó.

HD: [ 1;1] [ 1;1]

2 2min ( ) 2 3 4 3 2; max ( ) 2

2f x x f x x

- -

-= - Û = - = Û =

Baøi 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

cos

sin (2 cos sin )

xy

x x x=

- với 0;

3x

pæ ùç úÎ çç úçè û

.


38

HD:

0;3

min ( ) 24

f x xp

p

æ ùç úçç úçè û

= Û =

Baøi 22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2

2 sin4

sin (2 cos sin )

x

yx x x

pæ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø

=-

với ;2

xp

pé ùê úÎê úë û

.

HD:

;2

max ( ) 12

f x xp

p

p


= Û =

Baøi 23. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 42 4( ) 1 1 1f x x x x= - + + + - với 1 1x- £ £

HD: [ 1;1]max ( ) 3 0f x x-

= Û =

Baøi 24. Tìm m để phương trình 3 23 0x x m- + = có ba nghiệm phân biệt.

Baøi 25. Tìm m để bất PT: 3

3

13 2x mx

x- + - £ - nghiệm đúng với mọi 1x ³ .

Baøi 26. Tìm m để phương trình 22 1x x m+ + = có nghiệm.

Baøi 27. Tìm m để bất phương trình 22 1x x m+ + > với mọi x Î ¡ .

Baøi 28. Tìm m để phương trình: ( )( )3 6 3 6x x x x m+ + - - + - = có nghiệm.

Baøi 29. Tìm m để phương trình: cos2 4sin cos 2 0m x x x m- + - = có nghiệm 0;4

xpæ ö÷ç ÷Î ç ÷ç ÷çè ø

.

VI. CÁC BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN

1. TÌM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHỮNG ĐIỂM CÓ TOẠ ĐỘ NGUYÊN

Bài toán: Tìm trên đồ thị hàm số ( )y f x= những điểm ( ; )M x y có tọa độ nguyên

Phân tích ( )

( ) ( )( ) ( )

P x ay f x A x

Q x Q x= = = + , với ( )A x là đa thức, a là số nguyên.

Khi đó x

y

íï Îïìï Îïî

¢

¢ ( )Q x là ước số của a . Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên.

Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

2. TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ

Bài toán: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ( ; )y f x m= luôn đi qua

Giả sử ( )0 0;M x y là điểm cố định của họ (Cm).

Khi đó: ( )0 0,y f x m= với mọi m .

Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị( )0 0;x y .

Kết luận.

Chú ý: 0

0,0

aam b m

b

íï =ï+ = " Î Û ìï =ïî

¡ 2

0

0, 0

0

a

am bm c m b

c

íï =ïïï+ + = " Î Û =ìïï =ïïî

¡


39

3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra đồ thị của các hàm số ( )y f x= và

( )y f x=

y = f(x) có đồ thị (C) ( )y f x= có đồ thị (C') ( )y f x= có đồ thị (C ")

Giả sử đồ thị (C) có dạng

như hình vẽ bên dưới ( ) 0,y f x x D= ³ " Î . Do đó ta

phải giữ nguyên phần phía trên trục

Ox và lấy đối xứng phần phía dưới

trục Ox lên trên.

( )y f x= có ( ) ( )f x f x- = ,

x D" Î . Do đó ta giữ nguyên phần

bên phải trục Oy và lấy đối xứng

phần vừa vẽ qua trục Oy.

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y

(C)

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y

(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y

(C'')

3. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm những điểm M nằm trên đồ thị hàm số 2 4

1

x xy

x

+ +=

+ có tọa độ là những số nguyên

Lời giải

Ta có 2 4 4

1 1

x xy x

x x

+ += = +

+ +. Để tọa độ những điểm thuộc đồ thị là số nguyên thì 1x +

phải là ước của 4. Do đó: ta có bảng sau:

1x + 4 -4 2 -2 1 -1

x 3 -5 1 -3 0 -2 y 4 -6 3 -5 4 -6

Vậy có sáu điểm cần tìm (3;4); ( 5; 6); (1;3); ( 3; 5); (0;4); ( 2; 6)M M M M M M- - - - - -

Ví dụ 2: Cho hàm số 1mx

yx m

-=

-. Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua khi m thay đổi.

Lời giải

Giả sử 0 0

( ; )x y là điểm cố định. Khi đó

( )1 0 ,

o

o o o o

x m

x y m x y m

íï ¹ïïìï + - + = "ïïî

2

0 1, 1

1 0 1, 11

o oo o o o

o o o oo

x yx y x y

x y x yx

íí íï = -ï ï+ = = = -ïï ïïÛ Û Ûì ì ìï ï ï+ = = - ==ï ï ïî îïî

Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định (1; 1)- và ( 1;1)-

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 22 9 12y x x x= - +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 3 22 9 12x x x m- + = .

Lời giải


40

a) Học sinh tự làm f(x)=2x^3-9x^2+12x

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

b) Nghiệm của phương trình 3 22 9 12x x x m- + = là số giao điểm của

3 2( ') : 2 9 12C y x x x= - + và :d y m=

Ta vẽ ( ')C được suy ra từ ( )C f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Vậy phương trình có sáu nghiệm phân biệt 4 5mÛ < <


Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) 2

1

xy

x

+=

+ b)

10

2

xy

x

-=

+c)

41

1y x

x= + +

- d)

2 2

1

x xy

x

+=

+

Bài 2. Cho hàm số ( ) ( )3 23 1 3 2m

y x m x mx C= - - - + . Chứng minh rằng ( )mC luôn đi qua hai

điểm cố định khi m thay đổi.

Bài 3. Cho hàm số ( ) ( ) ( )4 2: 1 2 3 1m

C y m x mx m= - + - + . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.

Bài 4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số ( ) ( ) ( ) ( )3 23 3 3 6 1 1m

y m x m x m x m C= + - + - + + +

luôn đi qua ba điểm cố định.

Bài 5. Vẽ đồ thị của các hàm số

a) 3

3 2y x x= - + b) 3 23 2y x x= - + - c) 4 22 3y x x= - - d) 1

1

xy

x

+=

-

Bài 6. Cho hàm số (C): 3 23 6y x x= - - .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình: 3 23 6x x m- - = có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 7. Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= - + -

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x= - + - .

b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 22 9 12 0x x x m- + - = .


41

Bài 8. Cho hàm số ( ) 3: 3 – 4 .C y x x=

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Tìm m để phương trình: ( )23 4x x m- = có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 9. Cho hàm số 3 23 4y x x= + - (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để phương trình 3 21 41 0

3 3x x m+ - + - = có 4 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình 3 22 6 0x x m+ + = có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 10. Cho hàm số: 4 22 4y x x= -

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Với giá trị nào của m , phương trình 2 2 2x x m- = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Bài 14. Cho hàm số (Cm): ( )3 2 2 23 3 1 1y x mx m x m= - + - + - . Tìm m để trên đồ thị (Cm) có hai điểm

phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.


2 1

xy

x

+=

+

a) CMR: đường thẳng : – 1d y mx m= + luôn đi qua một điểm cố định của (C) khi m thay đổi.

Bài 16. b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng 1 nhánh của

(C).

Bài 17. Cho hàm số ( )3 23 2 1 3y mx mx m x m= - + + + - . Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi

đó đường thẳng đi qua CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định.

ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM QUA

*******

Bài 1. [A-2005] Gọi ( )mC là đồ thị của hàm số

1(*)y mx

x= + (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 1

.4

m =

b) Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của( )mC đến tiệm cận xiên của

( )mC bằng

1

2.

Bài 2. [B-2005] Gọi ( )m

C là đồ thị của hàm số 2 ( 1) 1

(*),1

x m x my m

x

+ + + +=

+là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 1m = .

b) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị ( )m

C luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng 20

Bài 3. [D-2005] Gọi ( )mC là đồ thị của hàm số

3 21 1(*)

3 2 3

my x x= - + m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 2m = .


42

b) Gọi M là điểm thuộc ( )mC có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến với ( )m

C tại M song song

với đường thẳng 5 0x y- = .

Bài 4. [A-2006] Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= - + - có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

b) Tìm m để p.trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 22 | | 9 12 | |x x x m- + = .

Bài 5. [B-2006] Cho hàm số 2 1

2

x xy

x

+ -=

+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Bài 6. [D-2006] Cho hàm số 3 3 2y x x= - + .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m . Tìm m để đường thẳng d cắt đồ

thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

Bài 7. [A-2007] Cho hàm số 2 22( 1) 4

2

x m x m my

x

+ + + +=

+ (1), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =−1.

b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc

tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.

Bài 8. [B-2007] Cho hàm số: 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m= - + + - - - (1), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = .

b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc

tọa độ O.

Bài 9. [D-2007] Cho hàm số 2

1

xy

x=

+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục ,Ox Oy tại A, B và tam

giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài 10. [A-2008] Cho hàm số 2 2(3 2) 2

3

mx m xy

x m

+ - -=

+ (1) với m là tham số thực.


b) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450.

Bài 11. [B-2008] Cho hàm số 3 24 6 1 (1)y x x= - + .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(−1;−9).

Bài 12. [D-2008] Cho hàm số 3 23 4 (1)y x x= - + .


b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm (1,2)I với hệ số góc ( 3)k k > - đều cắt đồ thị

của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt , ,I A B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 13. [A-2009] Cho hàm số 2

(1)2 3

xy

x

+=

+.


b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần

lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .


43

Bài 14. [B-2009] Cho hàm số 4 22 4y x x= - (1).


b) Với các giá trị nào của m phương trình 2 2| 2 |x x m- = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Bài 15. [D-2009] Cho hàm số 4 2(3 2) 3y x m x m= - + + có đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

b) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

Bài 16. [A-2010] Cho hàm số 3 22 (1 ) (1),y x x m x m m= - + - + là số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m = .

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3, ,x x x thỏa điều

kiện 2 2 2

1 2 34x x x+ + < .

Bài 17. [B-2010] Cho hàm số 2 1

1

xy

x

+=

+.


b) Tìm m để đường thẳng 2y x m= - + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác

OAB có diện tích bằng 3 , (O là gốc tọa độ).

Bài 18. [D-2010] Cho hàm số 4 2 6y x x= - - +


b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

11

6y x= - .


.2 1

xy

x

- +=

-

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thì (C ) tại 2 điểm phân biệt A và

B . Gọi k1 và k1 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B . Tìm m để tổng k1 + k1

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 20. [B-2011] Cho ha m số 4 22( 1)y x m x m= - + + (1), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là

cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Bài 21. [D-2011] Cho hàm số 2 1

1

xy

x

+=

+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Bài 22. [A.2012]Cho hàm số 4 2 22( 1) (1)y x m x m= - + + với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 0m =

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Bài 23. [B-2012] Cho hàm số 3 2 33 3 (1)y x mx m= - + với m là tham số thực


b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OA B có diện tích bằng

48.


44

Bài 24. [D-2012] Cho hàm số 3 2 22 22(3 1) (1)

3 3y x mx m x= - - - + với m là tham số thực.


b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị 1

x và 2

x sao cho 1 2 1 2

2( ) 1x x x x+ + = .

Bài 25. [A-2013] Cho hàm số 3 23 3 1 (1)y x x mx= - + + - , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m =

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +¥ )

Bài 26. [B-2013] Cho hàm số 3 22 3( 1) 6 (1)y x m x mx= - + + , với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = - .

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với

đường thẳng 2y x= + .

Bài 27. [D-2013] Cho hàm số 3 22 3 ( 1) 1 (1)y x mx m x= - + - + , m là tham số thực.


b) Tìm m để đường thẳng 1y x= - + cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.


1

xy

x

+=

- (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y x= - bằng 2

Bài 29. [B-2014]Cho hàm số 3 3 1y x mx= - + (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = .

b) Cho điểm A(2;3). Tìm m để đồ thị (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A.

Bài 30. [D-2014]Cho hàm số 3 – 3 – 2y x x= (1)


b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.

Bài 31. [THPT QG 2015]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 3y x x= -

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4

( )f x xx

= + trên đoạn [1;3].

"Gạo đem vào giã bao đao đớn

Gạo giã xong rồi trắng tựa bông

Sống ở trên đời người cũng vậy

Gian nan rèn luyện mới thành công!"

(Giã Gạo – Hồ Chí Minh)

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS...Gia sư Thành Được 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC...

Documents

Transcript of CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS...Gia sư Thành Được 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC...