G18102

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

LÓGICA MATEMÁTICA

MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

ABRIL - AGOSTO 2009

Guía Didáctica

CICLO

1CARRERA : Ingeniería en Informática

ELABORADA POR : Ing. Priscila Valdivieso Díaz; Ing. Ruth María Reátegui Rojas

PROFESORA : Ing. Ruth María Reátegui Rojas

TELÉFONO : (07) 2 570 275 Ext. 2929

E-MAIL : [email protected]

TUTORÍA : Martes y miércoles de 15h30 a 17h30

Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

LÓGICA MATEMÁTICAGuía DidácticaPriscila Valdivieso DíazRuth María Reátegui Rojas

2007, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

CC Ecuador 3.0 By NC ND

Diagramación, diseño e impresión:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador

Primera ediciónTercera reimpresión

ISBN-978-9942-00-147-4

Julio, 2008

Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Sin Obras Derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/

INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 5OBJETIVO GENERAL.............................................................................................................. 6BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................... 6ORIENTACIONES GENERALES PARA EL ESTUDIO....................................................... 7

PRIMER BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.................................................................................................... 9CONTENIDOS......................................................................................................................... 10DESARROLLO DEL APRENDIZAJE................................................................................... 11

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA........................................................................................ 11

CAPÍTULO 2

LA LÓGICA PROPORCIONAL............................................................................................ 14

CAPÍTULO 3

TEORÍA DE COJNUNTOS..................................................................................................... 21

SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS..................................................................................................... 25CONTENIDOS........................................................................................................................ 26DESARROLLO DEL APRENDIZAJE................................................................................... 27

CAPÍTULO 4

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO........................................................................... 27

CAPÍTULO 5

ALGEBRA BOOLEANA........................................................................................................ 32

CAPÍTULO 6

LÓGICA DE PREDICADOS.................................................................................................... 36

SOLUCIONARIO................................................................................................................... 45

u EVALUACIONES A DISTANCIA

ÍNDICE

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA �

Guía Didáctica: Lógica Matemática

INTRODUCCIÓN

La asignatura de Lógica Matemática forma parte del primer ciclo de la carrera de Ingeniería en Informática de la modalidad Abierta y a Distancia de la Universidad Técnica Particular de Loja.

La lógica es una disciplina que se ocupa de los métodos de razonamiento, proporciona reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. De acuerdo a lo manifestado esta disciplina reviste de una singular importancia dado que es la base fundamental en la adquisición de conocimientos y en la aplicación de éstos en otras disciplinas.

El objetivo de la asignatura es proporcionar al alumno instrumentos que le permitan definir, expresar, describir y elaborar conceptos lógico matemáticos, de tal forma que desarrolle su capacidad de poder representar problemas o fenómenos reales aplicados a la carrera y a su diario vivir.

Los estudiantes con la ayuda de la “lógica matemática”, serán capaces de relacionar los conocimientos (leyes, teoremas, fórmulas, etc) que se proporcionan en la carrera de informática, con los problemas que se le presentan en la vida real.

La programación de la asignatura está organizada de la siguiente forma: en el primer bimestre conoceremos acerca de la importancia de la Lógica, los fundamentos de la Lógica proposicional y la Teoría de conjuntos. En el segundo bimestre abarcaremos el Sistema de numeración binario, el Álgebra booleana; y la Lógica de predicados.

Le doy la bienvenida al estudio de esta asignatura y desde ya me comprometo a apoyarlo para la consecución de los objetivos propuestos. ¡Éxitos y Adelante compañero!

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�


¸ Comprender los principios básicos y utilizar las herramientas fundamentales de la lógica y la matemática, que le permitan conocer a esta disciplina como parte de la formación profesional.

Texto Base

Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid - España.

Bibliografía complementaria

Seymour, L.(1992), Matemáticas para computador, McGraw – Hill, México.Hortalá, M., Leach, Javier., Rodríguez, Mario., (2001). Matemática discreta y lógica matemática, Segunda edición, Complutense, Madrid – España

OBJETIVO GENERAL

BIBLIOGRAFÍA



Estudiar a distancia es un reto que requiere esfuerzo, dedicación y sobre todo de organización, por ello debe hacer de esta actividad un trabajo continuo y sistemático, organice su tiempo de manera que pueda verdaderamente aprovechar los contenidos que se le están ofreciendo. Le sugiero hacer vida esta frase, que aunque le puede parecer trillada, es la que más se adapta a la realidad de las personas que estudian a distancia:

“No deje para mañana lo que puede y debe hacer hoy“

Le propongo algunas orientaciones que le servirán en su proceso de aprendizaje:

1. Materiales

Para su estudio usted dispondrá del texto básico, mencionado en la bibliografía y la guía didáctica.La guía didáctica será el documento que le irá orientando en los temas que deben ser estudiados y las actividades que se sugieren realizar para una mayor comprensión y desarrollo de habilidades a lo largo de los dos bimestres.

2. ¿Cómo estudiar?

Para ayudarse en el proceso de aprendizaje utilice las técnicas de estudio que más se adapten a su manera de aprender: subrayado, resúmenes, cuadros sinópticos y trate, en lo posible, de estudiar en un horario y ambiente adecuado.

3. Apoyo tecnológico e Interactividad

Para usted ya es familiar, que cuenta con el apoyo tecnológico de una plataforma o entorno virtual de aprendizaje (EVA) www.utplonline.edu.ec, este entorno, accesible únicamente para los estudiantes de la UTPL, le permite interactuar con docentes y compañeros. Consulte con frecuencia el espacio ANUNCIOS donde encontrará información y orientaciones sobre el desarrollo de esta asignatura. Desde este semestre se empieza a calificar su participación a través del Campus Virtual, interactúe a través de los foros.

ORIENTACIONES GENERALES

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�


Plan de desarrollo de contenidos

La materia consta de dos bimestres, los contenidos en función del texto base son:

PRIMER BIMESTRECapítulos de Texto Base Páginas Horas

Capítulo 1. Introducción a la Lógica 5Capítulo 2. Lógica Proporsicional 24Capítulo 3. Teoría de Conjuntos 4Total 33

SEGUNDO BIMESTRE

Capítulo 4. Sistema de Numeración Binario 12Capítulo 5. Algebra Booleana 12Capítulo 6. Lógica de Predicados 12

36



OBJETIVOS ESPECÍFICOS

PRIMERRIMERBIMESTREBIMESTRE

¸ Identificar las nociones básicas de la lógica matemática y entender la utilidad de la lógica en las ciencias de la computación.

¸ Formalizar enunciados del lenguaje natural o común, aplicar los operadores lógicos para la simbolización de nuevas proposiciones, aplicar las tablas de verdad en la clasificación de esquemas moleculares y demostración de identidades lógicas, utilizar las principales leyes proposicionales para la reducción de proposiciones a expresiones equivalentes, representar gráficamente una proposición mediante circuitos lógicos, aplicar las reglas de inferencia en la demostración de la validez de argumentos.

¸ Conocer los fundamentos básicos sobre la teoría de conjuntos y comprender la relación entre la lógica y los conjuntos

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA10


CONTENIDOS

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

Datos Generales: PropósitoConceptos ClaveEsquema de estudioCuestiones de repaso capítulo 1Interactividad a través de los Foros de Campus Virtual

CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPORCIONAL

Datos Generales: Propósito Conceptos Clave Esquema de estudio Cuestiones de repaso capítulo 2 Interactividad a través de los Foros de Campus Virtual Documentación adicional

CAPÍTULO 3. TEORÍA DE CONJUNTOS

Datos Generales: Propósito Conceptos ClaveEsquema de estudio Cuestiones de repaso capítulo 3 Interactividad a través de los Foros de Campus Virtual Documentación adicional

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 11


Introducción a la LógicaCapitulo 1.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

Datos Generales:

Texto base Iranzo, P. (2004), Lógica simbólica para informáticos, Ra – Ma, Madrid – España.

Capítulo 1. Introducción a la Lógica

Páginas 1 – 5, 9 -12 Horas de estudio empleadas para el de-sarrollo del contenido

5 horas

Propósito

El propósito de este capítulo es introducirlo en los conceptos fundamentales de la lógica matemática e identificar las representaciones de los sistemas lógicos.

Conceptos Clave

¿De qué trata la lógica matemática?

La lógica investiga la relación de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto.

Lógica Proposicional

Se ocupa de enunciados declarativos simples o proposiciones que se contemplan como un todo indivisible y pueden ser combinados mediante conectores.

Lógica de Predicados

Las proposiciones ya no son elementos indivisibles. Se realiza un análisis más detallado que toma como base los componentes de una proposición: términos, fórmulas atómicas, cuantificadores y conectores.



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Cuestiones de repaso capítulo 1

Como medidor de asimilación de los contenidos, desarrollaremos las siguientes cuestiones de repaso; le recomendamos que responda las preguntas de auto evaluación y para su información registre el nivel de desempeño que observo, esto le permitirá saber los temas que debe volver a revisar si su desempeño lo considera medio, y en caso de observar un desempeño malo recuerde que puede solicitar tutoría mediante el campus virtual o telefónicamente.

No. Cuestión

Después de responder, el desempeño ha sido:

Malo Medio Muy bien

1. ¿Cuál es la clasificación de los enunciados?

2. ¿Qué tipo de enunciado es utilizado en la lógica matemática?

3. Proponer tres ejemplos de enunciados que son proposiciones y tres enunciados que no son proposiciones.

4. Como se simbolizaría el enunciado “Juan es alto” utilizando la lógica proposicional y lógica de predicados.

Interactividad a través de los Foros de Campus Virtual

Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec y envíe al correo del tutor ejemplos de enunciados interrogativos, imperativos y declarativos.



Datos Generales:


Capítulo 1. Lógica de Proposiciones4. Cálculo Deducción Natural

Páginas 17 a 29, 31 a 39, 82 a 99.

Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido

24 horas

Propósito

En este capítulo conoceremos la parte de la lógica simbólica que estudia los enunciados como un todo y sus relaciones con otros enunciados, aprenderemos a simbolizarlos y demostrar la validez de argumentos.

Conceptos Clave

ProposiciónEs aquel enunciado que afirma o niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F). Por esto es que a la lógica de proposiciones también se la conoce como lógica binaria, porque sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas.

Enunciados Simples o AtómicosExpresan una sola idea en su forma más simple. Aquellas proposiciones que no contienen dentro de sí más proposiciones que sí misma.

Enunciados Compuestos o MolecularesSe construyen a partir de los enunciados simples, por medio de diversas partículas de enlace (y, o, si.. entonces.., ..si y sólo si.. ) llamadas conectivas.

Circuito LógicoSegún Boole George, un circuito lógico es: La disposición de conductores e interruptores que conecta dos terminales. Donde un interruptor cerrado permite que fluya corriente y uno abierto impide su flujo.

Inferencia LógicaEs una operación lógica que consiste en concluir una cierta proposición en forma inmediata sobre la base de una o dos proposiciones previamente asumidas llamadas premisas.

La Lógica ProposicionalCapitulo 2.

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84

y 85

a 9

7, lu

ego

en la

s pá

gina

s 97

a

99

enco

ntra

rá

algu

nos

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ejos

pa

ra

la

reso

luci

ón d

e ar

gum

ento

s.Pa

ra

acla

rar

las

idea

s y

obte

ner u

na m

ayor

exp

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ión

med

iant

e ej

erci

cios

pue

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er

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ocum

ento

“ca

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.

Es

impo

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qu

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no

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ndie

ndo

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auto

r, no

sotr

os

trab

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emos

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y ab

revi

atur

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das

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ento

“C

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lo 2

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le

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nece

sario

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na re

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e in

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ncia

y c

uále

s ex

iste

n,

com

o tr

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mét

odo

dire

cto

e in

dire

cto

(red

ucci

ón

al

absu

rdo)

par

a la

s de

mos

trac

ione

s de

argu

men

tos.





No. Cuestión


Malo MedioMuy bien

1. Traducir al lenguaje formal los enunciados:a. No es cierto que si voy al cine entonces tengo que caminar.b. Si 10 + 5 = 15 entonces 10+4 < 15c. El tres no es par pero es número primo.d. Si llueve me mojo.

2. ¿Qué es una regla de inferencia?

3. ¿Cómo trabaja el método indirecto o de reducción al absurdo?

4. Dadas las premisas, demostrar F utilizando el método directo y el indirecto.(1) G ‡ H(2) ¬GG‡ ¬¬F¬¬FF(3) ¬H


Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec y participe del foro referente al primer bimestre, su aporte es importante.

• Diríjase al área de materiales y descargue ejercicios resueltos o propuestos por el profesor.

• En el área de materiales multimedia puede ejecutar un objeto multimedia que explica como graficar un enunciado proposicional utilizando circuitos lógicos.

Documentación adicional

Para ampliar la información del texto base se dispone de bibliografía adicional, que estará disponible en el área de materiales del campus virtual específicamente el documento “capitulo2” .



Datos Generales:


Apéndice A

Páginas 271 a 273 Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido

4 horas

Propósito

Conocer los conceptos fundamentales de teoría de conjuntos y comprender su relación con la lógica matemática.

Conceptos Clave

¿Qué es un conjunto?

Es una colección de objetos que se denominan elementos.

Relación entre los operadores de teoría de conjuntos y la lógica matemática.

La unión es la disyunción, la intersección es la conjunción, el complemento es la negación y la inclusión es la implicación, además que el conjunto vacío es la falsedad y el conjunto universo es la verdad.

Teoría de ConjuntosCapitulo 3.



Esqu

ema

de e

stud

io

A c

ontin

uaci

ón s

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talla

n lo

s te

mas

que

se

debe

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sarr

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a de

scrip

ción

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mo,

y u

n co

njun

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e ac

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se re

com

iend

a se

an d

esar

rolla

das p

ara

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mej

or a

sim

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ón d

e lo

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cept

os.

Tem

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sar

Des

crip

ción

del

con

teni

do a

re

visa

rA

ctiv

idad

es r

ecom

enda

das

Plan

ifica

ción

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ha)

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nota

cion

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3.1

Revi

sión

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conc

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tos.

En e

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dar

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le

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del

doc

umen

to

“ane

xos”

dis

poni

ble

en e

l cam

pus

virt

ual,

lueg

o po

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resp

onde

r:

1. In

dica

r cua

les d

e las

afirm

acio

nes

son

corr

ecta

s o n

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se co

noce

n lo

s co

njun

tos:

A=

{a,b

,c,d

,e,f,

g}B=

{b,c

,e}

C={

e,d,

b}A

⊂ B

, A ⊆

B,

B =

C ,

d ∈

C2.

Det

erm

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nto

pote

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de

los c

onju

ntos

:A

= {2

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{ i ,

u }



Tem

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revi

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Des

crip

ción

del

con

teni

do a

re

visa

rA

ctiv

idad

es r

ecom

enda

das

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

3.2.

R

ela

ció

n en

tre

la

Lógi

ca y

los

conj

unto

s.

Se e

stud

ia l

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laci

ón e

ntre

la

lógi

ca

y lo

s co

njun

tos,

com

o ta

mbi

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la

repr

esen

taci

ón

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inos

de

lógi

ca d

e lo

s op

erad

ores

de

conj

unto

s.

Dar

le

ctur

a al

do

cum

ento

“c

apitu

lo3”

dis

poni

ble

en e

l ár

ea

de m

ater

iale

s del

cam

pus v

irtua

l.





No. Cuestión


Malo MedioMuy bien

1. La unión de conjuntos de (A U B ) se representa por: a. A - B b. (p v q)c. ¬(p v q)

2. La intersección de conjuntos de A’ ∩ B se representa por:a. (p v q)b. ¬p ∧ qc. ¬p ∧ ¬q

3. La inclusión de conjuntos B ⊂ A’ se representa por:a. (p → ¬q)b. (p → q)c. (q → ¬p)

4. Considerando las operaciones siguientes entre conjuntos, determinar el equivalente en términos de lógica matemáticaa. A ∩ B b. A’ U B’c. (A ∩ B)’d. A’ U (B ∩ C)


Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec y envíe al correo del tutor el resultado de la pregunta 4 del cuestionario del capítulo 3.


Para ampliar la información del texto base se dispone de bibliografía adicional, que estará disponible en el campus virtual en el área de materiales, es necesario descargar el documento “anexos” y “capitulo3.”



¸ Convertir números de un sistema de numeración a otro, realizar operaciones aritméticas en el sistema de numeración binario

¸ Describir la operación de las compuertas lógicas, mediante sus tablas de verdad, simplificar expresiones booleanas con la aplicación de leyes y mediante el uso de mapas de karnaugh, emplear compuertas para la construcción de circuitos lógicos representados por expresiones booleanas.

¸ Identificar la diferencia entre la lógica de predicados y la lógica de proposiciones, identificar los diferentes tipos de predicados que puede contener un enunciado, formalizar enunciados del lenguaje natural en el lenguaje de la lógica de predicados, comprender las reglas de cuantificadores para su aplicación en la demostración de los argumentos.

No olvide que debe acceder al campus virtual para interactuar con el tutor y sus compañeros, además

podrá descargar información de la materia.

S EGUNDOEGUNDOBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



CONTENIDOS

CAPÍTULO 4. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

Datos Generales: Propósito Conceptos Clave Esquema de estudio Cuestiones de repaso capítulo 4 Interactividad a través de los Foros de Campus Virtual Documentación adicional

CAPÍTULO 5. ALGEBRA BOOLEANA

Datos Generales:PropósitoConceptos ClaveEsquema de estudioCuestiones de repaso capítulo 5Interactividad a través de los Foros de Campus VirtualDocumentación adicional

CAPÍTULO 6. LÓGICA DE PREDICADOS

Datos Generales:PropósitoConceptos ClaveEsquema de estudioCuestiones de repaso capítulo 6Interactividad a través de los Foros de Campus VirtualDocumentación adicional



Datos Generales:

Texto base Documento “capitulo4” disponible en el área de materiales del campus virtual.

Capítulo 4. Sistema de Numeración Binario


12horas

Propósito

El propósito de este capítulo es conocer como trabaja el sistema de numeración binario, como realizar transformaciones a otros sistemas y operaciones aritméticas básicas.

Conceptos Clave

Sistema Binario

Utiliza los dígitos 0 y 1, cada uno representa un bit de información.

Complentos Binarios

Son utilizados para representar el signo de un número mediante la reserva de un bit, el número 0 para números positivos (+) y 1 para números negativos (-).

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

Sistema de Numeración Binario

Capitulo 4.



Esqu

ema

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A c

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talla

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os.

Tem

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sar

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ción

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con

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rA

ctiv

idad

es r

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das

Plan

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ción

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rson

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ha)

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1.1

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men

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rtua

l.Es

crib

a en

not

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n ex

pand

ida

los n

úmer

os:

2468

y 1

46.7

23



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

con

teni

do a

re

visa

rA

ctiv

idad

es r

ecom

enda

das

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

1.2

Si

st

em

a Bi

nario

Det

alla

la

form

a en

que

se

trab

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l sis

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129

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0En

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rar

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vale

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lo

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ntes

nú

mer

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1100

1100

1 1

0011

10.1

10C

onve

rtir

a si

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a oc

tal

y he

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cim

al

los

sigu

ient

es

núm

eros

bi

nario

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1110

y

1001

.101

.

Revi

sar

el a

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com

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ones

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los

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oc

tal

y he

xade

cim

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es

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anex

os”.



Tem

a a

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Des

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ción

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con

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do a

re

visa

rA

ctiv

idad

es r

ecom

enda

das

Plan

ifica

ción

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rson

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tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

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torí

a?A

nota

cion

es

1.3

Op

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Bina

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Revi

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101

1.4

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el

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s vi

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l.

Real

izar

la

s si

guie

ntes

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ione

s ut

iliza

ndo

com

plem

ento

s bin

ario

s:15

– 1

313

– 1

5





No. Cuestión


Malo Medio Muy bien

1. Cuáles son los dígitos con los que trabajan los sistemas binario, octal y hexadecimal?

2. Para que se utiliza los complementos binarios?

3. Cuál es el procedimientos que se utiliza para transformar al sistema binario, la parte fraccionaria de un número decimal?

Interactividad a través del Campus Virtual

Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec y envíe al tutor un correo indicando sus respuestas al ejercicio planteado a continuación, si es necesario mayor explicación comuníquese con el tutor a través del mail o descargando algunos ejemplos en el área de materiales.

• Transformar al sistema octal y hexadecimal los números binarios:

1101.1001

11101.11

11.11


Para ampliar la información del texto base se dispone de bibliografía adicional, que estará disponible en el anexo 2 del documento “anexos” y del documento “capitulo4” en el área de materiales de campus virtual.



Datos Generales:

Texto base Documento “capitulo5” disponible en el área de materiales del campus virtual.

Capítulo 5. Algebra Booleana


12 horas

Propósito

En este capítulo estudiaremos principalmente las compuertas lógicas que son los circuitos lógicos cuyo funcionamiento puede describirse mediante el uso del álgebra booleana.

Conceptos Clave

Forma Normal Disyuntiva

La función booleana adopta esta forma cuando la función está escrita como una suma de términos, donde cada término es un producto que involucra todas las “n” variables con negación o sin ella. Cada término se llama término minimal o minterm. La función recibe el nombre de función polinomial de términos minimales.

Forma Normal Conjuntiva

La función booleana adopta esta forma si está escrita como un producto de términos, en la cual cada término es una suma que involucra todas las “n” variables, con complementación o sin ella. Cada término se denomina término maximal o maxterm.

Algebra BooleanaCapitulo 5.



Esqu

ema

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A c

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talla

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scrip

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mo,

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njun

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tivid

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se re

com

iend

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rolla

das p

ara

una

mej

or a

sim

ilaci

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cept

os.

Tem

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revi

sar

Des

crip

ción

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con

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rA

ctiv

idad

es r

ecom

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Plan

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ción

pe

rson

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tudi

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(fec

ha)

¿Req

uier

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cion

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5.1.

A

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Op

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aut

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lgeb

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e Bo

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1 a 3

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a de

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les d

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Com

plet

ar

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conc

epto

s co

n el

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cum

ento

“

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disp

onib

le

en

el

área

de

mat

eria

les

del

cam

pus

virt

ual.

5.2.

Fu

ncio

nes

o E

xpre

sion

es

Bool

eana

s

Des

crip

ción

de

la

s fo

rmas

no

rmal

es

Dar

lect

ura

a la

s pág

inas

3 a

5 d

el

text

o “c

apitu

lo5”

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ble

en

el á

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iale

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Tem

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revi

sar

Des

crip

ción

del

con

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visa

rA

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idad

es r

ecom

enda

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Plan

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ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

5.3.

Si

mpl

ifica

ción

de

Exp

resi

ones

Bo

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nas

Sim

plifi

caci

ón

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expr

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nes

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Dar

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5 a

9 d

el

text

o “c

apitu

lo5”

dis

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ble

en

el á

rea

de m

ater

iale

s de

l cam

pus

virt

ual.

Sim

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ón b

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xyz

+ xy

z’

+ x’

yz.

+ x’

yz’,

utili

zand

o lo

s do

s m

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os d

e si

mpl

ifica

ción

.





No. Cuestión


Malo MedioMuy bien

1. Si cada una de las entradas x , y de una compuerta OR tienen las siguientes sucesiones de bits: x = 0011100111001110 y = 1010101010101010¿Cuál es la salida de dicha compuerta?

2. Escriba (V) o (F) según corresponda.

a.( ) Una variable booleana puede representare mediante bits.

b.( ) Las operaciones lógicas son la base para el funcionamiento de un computador.

c.( ) La operación “+” suele dominarse habitualmente operación AND.

d.( ) Una variable booleana puede tener tres estados posibles.

e.( ) La Forma normal disyuntiva se representa por un producto de términos, donde cada término es la suma de todas las variables involucradas en la expresión.


Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec, en el área de materiales multimedia encontrará un objeto multimedia que simplifica expresiones booleanas mediante mapas de karnugh.


Recuerde es necesario descargar del área de materiales del campus virtual los documentos “anexos” y “capitulo5”.



Datos Generales:


Capítulo 5. Semántica


6 horas

Capítulo 7. Cálculo de Deducción Natural

Páginas 177 - 190 Horas de estudio empleadas para el desarrollo del contenido

6 horas

Propósito

En esta unidad se han contemplado temas que proporcionarán los conocimientos básicos para poder reconocer y simbolizar enunciados cuantificacionales

Conceptos Clave

Functores

Es una expresión que seguida de un número determinado de designadores, forman otro designador.

Relator

Son expresiones lingüísticas que están acompañadas de designadores.

Cuantificadores

Son expresiones lingüísticas como todo o alguno.

Lógica de PredicadosCapitulo 6.



Esqu

ema

de e

stud

io

A c

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talla

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s te

mas

que

se

debe

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njun

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tivid

ades

que

se re

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ara

una

mej

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sim

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ón d

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cept

os.

Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

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co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

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s

Plan

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ción

pe

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tudi

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(fec

ha)

¿Req

uier

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a?A

nota

cion

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6.1.

N

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es

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stud

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Leer

el

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s 110

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13.

Iden

tific

ar

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rt

en

ec

en

los

sigu

ient

es

enun

ciad

os:

a.

Este

lib

ro

es

inte

resa

nte.

b.

6 es

la

m

edia

ar

itmét

ica

de 8

y 1

2.c.

El d

uplo

de

9 es

18

Iden

tific

ar lo

s nom

bres

y

los

rela

tore

s, lu

ego

sim

boliz

ar

los

sigu

ient

es

enun

ciad

os:

a.

Los

pint

ores

so

n ar

tista

sb.

Qui

to e

s una

cap

ital

c. 7

no

es n

úmer

o pa

r o

bien

4≠

7

Sim

bólic

amen

te

pode

mos

re

pres

enta

r lo

s no

mbr

es p

ropi

os c

on le

tras

min

úscu

las

y el

pr

edic

ado

o re

lato

r co

n le

tras

may

úscu

las,

coom

o po

r eje

mpl

o:“j

uan

es tr

avie

so”

nom

bre

prop

io Ju

an: j

pred

icad

o o

rela

tor t

ravi

eso:

T

“T(j)

”qu

e po

dem

os le

er co

mo

“j ti

ene

la p

ropi

edad

T”

o “

j es

T”

Vari

able

s In

divi

dual

esJu

an e

s gra

nde

jRo

sa e

s gra

nde

rj y

r s

on c

onst

ante

s po

rque

nom

brab

sie

pre

a un

sup

uest

o in

divi

duo

conc

reto

(Ju

an o

Ro

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Las

letr

as m

inús

cula

s x,

y,

z en

cam

bio

se u

tiliz

an p

ara

nom

brar

a u

n in

divi

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cual

quie

ra, n

o im

port

a qu

ién,

eje

mpl

o:

x es

gra

nde



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

dada

s

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

Cla

ses

de p

redi

cado

s o

Rel

ator

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a.

Pred

icad

os

mon

ádic

os

(o

mon

ario

s).-

Con

sist

e en

la a

trib

ució

n de

una

pro

pied

ad

a un

suje

to.

Mar

ia c

anta

: C

(m)

3 es

impa

r :

I(3

)b.

Pr

edic

ados

pol

iádi

cos.-

Exp

resa

n un

a re

laci

ón e

ntre

var

ios i

ndiv

iduo

sA

lfred

o rie

con

Lui

s: R(

a,l)

o aR

lJu

an v

iio a

Mar

ia e

n C

uenc

a: V

(j,m

,c)

o jV

mc

c.

Pred

icad

os

asig

nific

ativ

os.-

Exis

ten

expr

esio

nes

pred

icat

ivas

que

apl

icad

as a

un

o o

más

indi

vidu

os a

sign

an a

éste

o a

ésto

s ot

ro in

divi

duo.

El c

uadr

ado

de 2

es 4

: C(2

) = 4

El h

ijo d

e Ja

ime

y C

arlo

s es

Alb

erto

: H

(j,

c)=a

Func

ione

s (o

funt

ores

)

Form

ados

por

var

iosd

esig

nado

tes:

Sans

ón s

e ar

mó

con

la q

uija

da d

e Pl

ater

o:

R(a,

f(b)

)D

onde

f(b)

sim

boliz

a “l

a qu

ijada

de

Plat

ero”



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

dada

s

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

6.2.

C

uant

ifica

dore

sSe

co

noce

rá

los

cu

an

tifi

ca

do

res

univ

ersa

les

y ex

iste

ncia

les.

Ade

más

su

si

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lizar

los,

y la

s co

nect

ivas

ló

gica

s em

plea

das

para

ca

da

cuan

tific

ador

.

Leer

las p

ágin

as: 1

13 a

la

115

del l

ibro

bas

e.

Sim

boliz

ar

las

prop

osic

ione

s:a.

Nin

gún

núm

ero

par e

s en

tero

b.

Alg

unos

ni

ños

son

trav

ieso

sc.

Par

a ca

da x

, x >

5

Cua

ntifi

cado

r Uni

vers

al o

Gen

eral

izad

or:

Todo

, Par

a to

do, C

ualq

uier

a, C

ada,

Nin

guno

.El

sím

bolo

del

cua

ntifi

cado

r u

nive

rsal

“t

odo”

, pu

ede

ser “

Λ”

ó ∀

Cua

ntifi

cado

r Ex

iste

ncia

l o

Part

icul

ariz

ador

: A

lgun

os, P

ara

algú

n, H

ay u

n, A

lgún

, Cie

rtos

.El

sím

bolo

del

cua

ntifi

cado

r ex

iste

ncia

l pu

ede

ser

“V”

ó “

∃”.

Ejem

plos

:To

do n

úmer

o en

tero

es r

eal

(Λ

x)(E

(x) →

R(x

))A

lgun

os ló

gico

s son

inco

rreg

ible

s (

Vx)

(L(x

) ∧ I(

x))

Hay

un

amig

o de

Mar

ía q

ue e

s ing

enie

ro (

∃x)(x

Am

∧ Ix

)To

do p

ar e

s múl

tiplo

de

2 (

∀x)

(Px

→ x

M2)

o(

xM2)

o (

∀x)

(Px

→ M

(x,2

))M

(x,2

))

6.3.

Le

ngua

je f

orm

al

de p

rimer

ord

en

Trad

ucci

ón

de

fras

es

del

leng

uaje

nat

ural

a

form

ulas

del

leng

uaje

de

la ló

gica

de

pred

icad

os.

Dar

lect

ura

a la

s pág

inas

11

6 a

la 1

19 d

el l

ibro

ba

se.

Para

es

te

tem

a es

ne

cesa

rio

adem

ás

revi

sar

el a

nexo

4

del

docu

men

to

“ane

xos”

di

spon

ible

en

el c

ampu

s vi

rtua

l.

Ejem

plo:

Pedr

o se

rá b

uen

juga

dor s

i y só

lo si

pra

ctic

a tod

os

los d

ías.

A =

será

bue

n ju

gado

rB

= pr

áctic

a to

dos l

os d

ías

Si re

pres

enta

mos

a p

edro

por

“ p

“, n

os q

ueda

ría:

A(p

) ↔ B

(p)



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

dada

s

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

6.4.

Te

oría

de

M

odel

osSe

es

tudi

ara

lo

que

es

un

térm

ino,

có

mo

inte

rpre

tar

un

form

alis

mo,

co

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trad

ucir

argu

men

tos

del

leng

uaje

na

tura

l al

le

ngua

je

form

al

con

la

ayud

a de

in

terp

reta

cio

nes

, en

unci

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cate

góric

os,

lo

que

son

las

inte

rpre

taci

ones

.

Dar

lect

ura

al te

xto

base

pá

gina

s 12

1 a

142,

pon

er

may

or a

tenc

ión

a la

tabl

a 5.

2 y

los

ejer

cici

os d

e la

13

1.

Cuá

l es

el

equi

vale

nte

lógi

co

en

leng

uaje

na

tura

l y sí

mbo

los d

e los

en

unci

ados

:

a. T

odo

auto

es c

hata

rra.

b. A

lgun

os a

utos

no

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chat

arra

.

De

la l

ectu

ra r

ealiz

ada

es n

eces

ario

res

umir

lo

sigu

ient

e:- S

e de

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ar u

na re

spue

sta

para

los t

res t

ipos

de

térm

inos

:

con

stan

tes,

v

aria

bles

,

f(t1,

t2,

. .

. ,

tn)

, do

nde

t1,

. .

. ,

tn s

on

térm

inos

.- D

ar u

na in

terp

reta

ción

a la

s va

riabl

es. e

s de

cir

si x

es

una

varia

ble,

¿Q

ué o

bjet

o de

l dom

inio

le

corr

espo

nde?

- Es

nec

esar

io u

na f

unci

ón d

e as

igna

ción

, qu

e as

igne

val

ores

a la

s var

iabl

es.

A v

eces

se

prec

isa

la c

uant

ifica

ción

de

dos

o m

ás

varia

bles

indi

vidu

ales

en u

na m

ism

a pro

posi

ción

, al

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s eje

mpl

os:

Hay

un

núm

ero

impa

r men

or q

ue c

ualq

uier

par

En e

l len

guaj

e fo

rmal

:

(Λx)

(Vy)

((Iy

∧ Px

) ∧ y

<x)

cual

quie

r ban

dido

es m

ás h

ábil

que

todo

art

ista

sim

boliz

ando

:(Λ

x)( Λ

y)((B

x ∧

Ay)

→ x

Hy)

Ejem

plos

de

enun

ciad

os c

ateg

óric

os:

Todo

pat

o vu

ela

Nin

gún

pato

vue

la (t

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no

vuel

a)A

lgún

pat

o vu

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Alg

ún p

ato

no v

uela



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

dada

s

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

Equi

vale

ncia

ent

re c

uant

ific

ador

es

Los

cuan

tific

ador

es

guar

dan

entr

e sí

ci

erta

s re

laci

ones

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gica

s de

la

s cu

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po

ngo

a co

nsid

erac

ión

las d

e eq

uiva

lenc

ia.

Supo

ngam

os

esta

s cu

atro

pr

opos

icio

nes

cuan

tific

adas

:

1. T

odo

cam

ina

(Λx)

(Cx)

2. N

ada

cam

ina

(todo

no

cam

ina)

(

Λx)

( ¬C

x)

3. A

lgo

cam

ina

(Vx)

(Cx)

4. A

lgo

no c

amin

a (

Vx)

( ¬C

x) N

egue

mos

ahor

a cad

a una

de e

stas

pro

posi

cion

es

cuan

tific

adas

:

1. N

o to

do c

amin

a

¬(

Λx)

(Cx)

2. N

o se

da

que

nada

cam

ina

(no

todo

no

cam

ina)

¬(

Λx)

( ¬C

x)3.

No

suce

de q

ue a

lgo

cam

ina

¬

(Vx)

(Cx)

4. N

o su

cede

que

alg

o no

cam

ina

¬

(Vx)

(¬C

x)Si

com

para

mos

se v

erá

que

son

equi

vale

ntes

:

(Λx)

(Cx)

≡ ¬

(Vx)

( ¬C

x)(Λ

x)( ¬

Cx)

≡

¬ (V

x)(C

x)(V

x)(C

x)

≡

¬(Λ

x)( ¬

Cx)

(Vx)

( ¬C

x)

≡

¬(Λ

x)(C

x)

Ejem

plos

: To

dos l

os c

isne

s son

bla

ncos

(Λ

x)(C

x →

Bx)

Es e

quiv

alen

te a

:N

o ha

y un

solo

cis

ne q

ue n

o se

a bl

anco

¬

(Vx)

( Cx

∧ ¬B

x)



Tem

a a

revi

sar

Des

crip

ción

del

co

nten

ido

a re

visa

rA

ctiv

idad

es

reco

men

dada

s

Plan

ifica

ción

pe

rson

al d

e es

tudi

o

(fec

ha)

¿Req

uier

o Tu

torí

a?A

nota

cion

es

6.5.

C

álcu

lo

de

dedu

cció

n N

atur

al

Apl

icac

ión

de r

egla

s de

in

fere

ncia

s en

la

s qu

e ap

arec

en

cuan

tific

ador

es

para

se

r ut

iliza

das

en

los

mét

odos

de

prue

ba y

de

ded

ucci

ón.

Dar

lect

ura

a la

s pág

inas

17

7 a

190.

Ejem

plos

:

Dem

uest

re q

ue:

{ Λx

(P(x

) → Q

(x)),

Λx

P(x)

} |−

Λx

Q(x

)Si

guie

ndo

los c

onse

jos s

eñal

ados

en

la l

ectu

ra se

tie

ne:

(1)

Λx

(P(x

) → Q

(x))

(2)

Λx

P(x)

(3

) (P

(p) →

Q(p

)) El

imi G

ener

. (1)(1

)(4

)

P(p)

El

imi G

ener

.(2)

(5)

Q(p

)

MP

(3) y

(4)

(6)

Λx

Q(x

)

Intr

od. G

ene.

en

(5)

Si se

tien

e el

sigu

ient

e ra

zona

mie

nto:

1. C

ada

ciud

adan

o de

Cal

iforn

ia es

un

ciud

adan

o de

los E

stad

os U

nido

s.2.

El

gobe

rnad

or B

row

n es

un

ciud

adan

o de

C

alifo

rnia

.Po

r, ta

nto

el g

ober

nado

r Bro

wn

es u

n ci

udad

ano

de lo

s Est

ados

Uni

dos.

Sim

boliz

ando

las p

rem

isas

y la

conc

lusi

ón d

e est

e ra

zona

mie

nto,

ent

once

s se

tiene

lo si

guie

nte:

Dem

ostr

ar: U

b(1

) (Λ

x)(C

x →

Ux)

(2) C

b(3

) Cb

→U

b EG

(1)

(4) U

b M

P(2,

3)





No. Cuestión

Después de responder, el

desempeño ha sido:

Malo MedioMuy bien

1.Escriba una (v)o una (f), según sea el enunciado verdadero o falso.

1. ( ) en la lógica cuantificacional a la las proposiciones se les llaman enunciados cuantificados y a sus símbolos cuantificadores.

2. ( ) en la lógica de predicados a los nombres propios se los simboliza con letras mayúsculas.

3. ( ) el enunciado categórico ningún s es p equivale a decir todo s no es p.

4.( ) la negación de cuantificador existencial es equivalente al cuantificador universal.

5. ( ) los predicados monádicos expresan una relación entre varios sujetos.

2.Encierre en un círculo el literal de la respuesta correcta por cada uno de los siguientes enunciados. 1. El enunciado: Todo árbol es una planta se simboliza como:a. Vx (A(x) → P(x))b. Λx (A(x) → P(x))c. Λx (P(x) ^ Q(x))2. La expresión: No todos cantan es equivalente a:a. Algunos no cantanb. Todos no cantanc. Algunos cantan


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No. Cuestión Respuesta

1. ¿Cuál es la clasificación de los enunciados?

DeclarativosImperativosInterrogativos

2. ¿Qué tipo de enunciado es utilizado en la lógica matemática? Declarativos

3. Proponer tres ejemplos de enunciados que son proposiciones y tres enunciados que no son proposiciones.

Proposiciones:4< 6María juegaEl agua hierve a 100 gradosNo Proposiciones:El cuadrado de cuatro¿Te gusta jugar?Cierra la puerta

4. Como se simbolizaría el enunciado “Juan es alto” utilizando la lógica proposicional y lógica de predicados.

Lógica Proposicional PLógica Predicados A( j )



1. Traducir al lenguaje formal los enunciados:a. No es cierto que si voy al cine entonces tengo que caminar.b. Si 10 + 5 = 15 entonces 10+4 < 15c. El tres no es par pero es número primo.d. Si llueve me mojo.

a. ¬(P→Q)b. P→Qc. ¬P ^ Qd. P→Q

2. ¿Qué es una regla de inferencia? Inferencia es una operación lógica que consiste en concluir una cierta proposición en forma inmediata sobre la base de una o dos proposiciones previamente asumidas llamadas premisas.

SOLUCIONARIO




3. ¿Cómo trabaja el método indirecto o de reducción al absurdo?

Incluye dentro de las premisas la conclusión negada y se trata de llagar a una contradicción.

4. Dadas las premisas, demostrar F utilizando el método directo y el indirecto.1. G → H2. ¬G → ¬¬F3. ¬H

Método directo1. G → H2. ¬G ¬F3. ¬H4. ¬G MT(1, 3)5. ¬¬F MP(2, 4)6. F DN(5)

Método Indirecto1. G → H2. ¬G → ¬¬F3. ¬H4. ¬F Incluir conclusión negada5. G MT(2, 4)6. H MP(1,5)7. H ^ ¬H Adj (6, 3)



1. La unión de conjuntos de (A U B ) se representa por: a. A - B b. (p v q)c. ¬(p v q)

Literal b.

2. La intersección de conjuntos de A’ ∩ B se representa por:a. (p v q)b. ¬p ∧ qc. ¬p ∧ ¬q

Literal b.

3. La inclusión de conjuntos B ⊂ A’ se representa por:a. (p → ¬q)b. (p → q)c. (q → ¬p)

Literal c.

4. Considerando las operaciones siguientes entre conjuntos, determinar el equivalente en términos de lógica matemáticaa. A ∩ B b. A’ U B’c. (A ∩ B)’d. A’ U (B ∩ C)

a. P ∧ Qb. ¬P v ¬Q¬P v ¬QP v ¬Q¬QQc. ¬ (P¬ (P (P ∧Q)d. ¬P v (Q¬P v (QP v (Q ∧ R)





1. Cuáles son los dígitos con los que trabajan los sistemas binario, octal y hexadecimal?

Binario: 0, 1 Octal: 0 – 7Hexadecimal: 0 – 9, A,B,C,D,E,F.

2. Para que se utiliza los complementos binarios?

Para poder representar números con signo.

3. Cuál es el procedimientos que se utiliza para transformar al sistema binario, la parte fraccionaria de un número decimal?

Se multiplica la fracción decimal por dos y la parte entera de este producto es la primera cifra de la fracción binaria. La parte fraccionaria del producto se multiplica nuevamente por 2 y la parte entera de este producto es la segunda cifra de la fracción binaria y así sucesivamente, pude darse varios casos.



1. Si cada una de las entradas x , y de una compuerta OR tienen las siguientes sucesiones de bits:x= 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0y= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0¿Cuál es la salida de dicha compuerta?

1011101111101110

2. Escriba (V) o (F) según corresponda.

a. ( ) Una variable booleana puede representare mediante bits.

b. ( ) Las operaciones lógicas son la base para el funcionamiento de un computador

c. ( ) La operación “+” suele dominarse habitualmente operación AND

d. ( ) Una variable booleana puede tener tres estados posibles.

e. ( ) La Forma normal disyuntiva se representa por un producto de términos, donde cada término es la suma de todas las variables involucradas en la expresión.

a. V

b. V

c. F

d. F

e. F





1. Escriba una (v)o una (f), según sea el enunciado verdadero o falso. 1. ( ) En la lógica cuantificacional a la

las proposiciones se les llaman enunciados cuantificados y a sus símbolos cuantificadores.

2. ( ) En la lógica de predicados a los nombres propios se los simboliza con letras mayúsculas.

3. ( ) El enunciado categórico ningún s es p equivale a decir todo s no es p.

4. ( ) La negación de cuantificador existencial es equivalente al cuantificador universal.

5. ( ) Los predicados monádicos expresan una relación entre varios sujetos.

1. V

2. F

3. V

4. V

5. F

2. Encierre en un círculo el literal de la respuesta correcta por cada uno de los siguientes enunciados. 1. El enunciado: Todo árbol es una planta se simboliza como:a. Vx (A(x) → P(x))b. Λx (A(x) → P(x))c. Λx (P(x) ^ Q(x))2. La expresión: No todos cantan es equivalente a:a. Algunos no cantanb. Todos no cantanc. Algunos cantan

1. b

2. a

RR/sd/07-02-07/48mj/14-07-08

G18102

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