ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

FYZIKLNE MERANIA

J. Uhrin, L. evovi, J. Murn

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

Technick univerzita v Koiciach

Fakulta elektrotechniky a informatiky

Katedra fyziky

FYZIKLNE MERANIA

Jn Uhrin

Ladislav evovi

Jozef Murn

Vydavatestvo elfa, s. r. o.

Koice 2006

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

FYZIKLNE MERANIAJn UhrinLadislav evoviJozef Murn

Prve vydanie 2006

c Jan Uhrin, Ladislav Sevcovic, Jozef Murn, 2006

Obrazok na titulnej strane:

Faksimile dobovej kresby mostka na meranie odporov, ktory zostrojil

v r. 1843 anglicky fyzik Charles Wheatstone.

Recenzovali: Doc. RNDr. Pavol Petrovic, CSc.

Doc. RNDr. Dusan Olcak, CSc.

Za odbornu napln tohto vysokoskolskeho ucebneho textu zodpovedaju autori. Sadzbu a zalo-

menie do stran previedol LADISLAVS EVCOVIC typografickym systemom TEX pouzitm formatu

pdfCSLATEX, psma Palatino, balkov formatuAMS-LATEX a inych softverovych balkov z projektuUBUNTU GNU/Linux. Grafy boli vytvorene v programovom prostred MATLAB 7 r.

ISBN 80-8086-032-7

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

OBSAH

PREDSLOV iii

1 UVOD DO METODIKY MERANI 1

1.1 Fyzikalne veliciny a ich jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Klasifikacia meracch metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Chyby a neistoty meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Hrube chyby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Chyby sustavne (systematicke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Nahodne chyby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.4 Srenie neistot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.5 Geometricka interpretacia standardnej neistoty . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.6 Poissonovo rozdelenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Spracovanie vysledkov meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Spracovanie opakovanych meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Vyhodnocovanie jednorazovych meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Numericke metody spracovania meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4 Graficke metody spracovania meran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Zasady prace v laboratoriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

E12 Urcenie naboja elektronu z charakteristiky tranzistora 27

E14 Overenie Stefanovho-Boltzmannovho zakona (bez pouzitia pyrometra) 31

E16 Urcenie hmotnostneho naboja elektronu magnetronom 35

NIEKTORE UZITOCNE VZTAHY 40

ZAKLADNE JEDNOTKY SUSTAVY SI 42

ZAKLADNE FYZIKALNE KONSTANTY 43

CHYBY ELEKTRICKYCH MERACICH PRISTROJOV 45

LITERATURA 49

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

PREDSLOV

Nikdy sa nepokusaj zopakovat

uspesny experiment.

FETTOV LABORATORNY ZAKON

Ziaden experiment nie je uplne

zbytocny. Vzdy sa da pouzit ako

negatvny prklad.

FAKTOR ZBYTOCNOSTI

Obsahom predkladanej ucebnice su navody k meraniam laboratornych uloh zo zakladneho kurzu fyziky,

ktory sa prednasa na vsetkych fakultach Technickej univerzity v Kosiciach. Sucasne tato ucebnica obsahuje

uvodne state obsahujuce zasady potrebne na vykonanie a spracovanie laboratornych cvicen. V sulade

s tradciou a koncepciou laboratornych cvicen na Katedre fyziky FEI TU v Kosiciach tento vyber zahrna

cvicenia z roznych oblast fyziky, pricom pred kazdou ulohou je skratka oznacenia, ktora potom sluzi pri

rozpise na jednotlive tyzdne v danom semestri.

Pri zostavovan ucebnice sme vyuzili aj dlhorocne skusenosti kolektvu pracovnkov Katedry fyziky FEI

TU v Kosiciach a skusenosti zskane pouzvanm predchadzajucich skrpt k labratornym cviceniam na

nasej katedre. Ukazalo sa, ze ako teoreticky zaklad na uspesne vykonanie laboratorneho cvicenia vo vacsine

prpadov postacuje uviest definciu meranej veliciny, fyzikalne vztahy, ktore ju urcuju a ktore su pri

meran pouzite. Doraz sme kladli na jednoznacne vymedzenie ulohy merania, na postup pri meran,

na spracovanie a vyhodnotenie nameranych hodnot.

Na webovej stranke http:// www. tuke.sk/ sevcovic su prstupne zdrojove subory na spracovanie

dat programom MATLAB k uloham, ktore si vyzaduju pouzitie metody najmensieho suctu stvorcov od-

chyliek alebo hladania lokalneho extremu. Na tejto adrese su uvedene metody opsane aj pre tabulkovy

procesor EXCEL1.

Nasa vdaka patr Pavlovi Petrovicovi, Dusanovi Olcakovi a Janovi Busovi za starostlive prectanie ru-

kopisu a cenne prpomienky, ktore prispeli k spresneniu niektorych formulaci a ku skvalitneniu tejto

publikacie.2

Autori

Moja vdaka patr Igorovi Lessovi za rady a upresnenia tych cast ucebnice, ktore su zamerane na merania

elektro-fyzikalnych velicn. Chcem sa tiez podakovat mojim kolegom, ktor mi pomohli nametmi na vy-

lepsenie textu a za upozornenia na nedopatrenia a chyby.

Kosice 2006 L. Sevcovic

1V operacnom systeme GNU/Linux je program Gnumeric plnohodnotnou nahradou za MS EXCEL z balka MS OFFICE.2Prpomienky a navrhy, ktore pomozu vylepsit dalsie vydanie ucebnice, zasielajte na adresu: Doc. Ing. Jan Uhrin, CSc. (Jan.

Uhrin@tuke.sk) alebo RNDr. Ladislav Sevcovic (Ladislav.Sevcovic@tuke.sk), Katedra fyziky, FEI, Technicka univerzita

v Kosiciach, Park Komenskeho 2, 041 20 Kosice.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1 VOD DO METODIKY MERAN

1.1 Fyziklne veliiny a ich jednotky

Kazda fyzikalna velicina opisuje niektoru konkretnu vlastnostskumanehomaterialneho objektu

alebo javu. Mieru uvazovanej vlastnosti u rozlicnych objektov charakterizujeme kvantitatvne c-

selnou hodnotou zodpovedajucej fyzikalnej veliciny. Vzajomne mozeme porovnavat len vlast-

nosti toho isteho druhu. To znamena, ze mozeme porovnavat len numericke hodnoty kazdej

fyzikalnej veliciny s numerickymi hodnotami tej istej fyzikalnej veliciny budpre iny objekt alebo

pre ten isty objekt za vseobecne inych podmienok. V ziadnom prpade nemozeme porovnavat

hodnoty roznych fyzikalnych velicn.

Cselne hodnoty (velkosti) fyzikalnych velicn urcujeme meranm. Meranm nazyvame taky pro-

ces skumania daneho objektu, ktory spocva v porovnavan hodnoty meranej fyzikalnej veliciny

s inou jej hodnotou prijatou za jednotku tejto veliciny. Konkretna hodnota veliciny X je potom

vyjadrena pomocou cselnej hodnoty {X} a prslusnej jednotky [X ], t. j. pseme v tvare X = {X} [X ].Fyzikalna velicina a jej jednotka mus byt jednoznacnym sposobom definovana. Neznamena to,

ze kazda fyzikalna velicina mus mat svoju vlastnu jednotku nezavisle od inych velicn. Pre-

toze medzi fyzikalnymi velicinami existuju vztahy, mozno pocet jednotiek znacne zredukovat

vyclenenm tzv. zakladnych jednotiek. Podla toho, kolko a ktore jednotky zvolme za zakladne,

rozoznavame sustavy fyzikalnych jednotiek. V sucasnosti sa v Slovenskej republike (a vo vacsine

statov) pouzva medzinarodna sustava jednotiek SI (Syste`me International dUnites), uzakonena

v r. 1960 XI. Generalnou konferenciou pre miery a vahy.

1.2 Klasikcia meracch metd

Meranie je zakladom kazdej experimentalnej vedy, kvalitnej vyroby a staleho technickeho roz-

voja. Metodou merania nazyvame sposob urcenia cselnej hodnoty urcitej veliciny. Spravidla

mozno kazdu fyzikalnu velicinu merat viacerymi metodami. Metoda merania je urcovana jed-

nak druhommeranej veliciny a potom aj tym, ake vztahy a prstroje mozeme pri meran pouzit.

Metody merania mozno klasifikovat z roznych hladsk. Uvedieme charakteristiky niektorych

zakladnych metod.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

2 FYZIKLNE MERANIA

Metdy priame a nepriame

U priamej metody meriame danu velicinu na zaklade jej defincie. Vsetky ostatne me-

tody, ktore vychadzaju pri meran z inych vztahov ako definicnych, su metody nepriame.

Prkladom priamej metody je urcenie objemovej hmotnosti (hustoty) telesa meranm jeho

hmotnosti m a objemu V vyuzitm definicneho vztahu = m/V. Nepriamou metodou

moze byt urcena hustota telesa naprklad meranm tiaze vo vzduchu a v kvapaline o zna-

mej hustote s vyuzitm Archimedovho zakona.

Metdy absoltne a relatvne

Priame a nepriame metody mozu byt absolutne a relatvne (porovnavacie). Absolutne

metody poskytuju priamo cselnu hodnotu meranej veliciny v prslusnych jednotkach.

Relatvne su take metody, ktore udavaju pomer dvoch velicn toho isteho druhu, pricom

hodnota jednej z porovnavanych velicn mus byt znama. Hodnoty viacerych fyzikalnych

velicn su realizovane etalonmi resp. standardmi.

Metdy statick a dynamick

Doskupiny statickychmetod zaradujeme takemetody, pri ktorychmerana velicina a ostatne

veliciny s ktorymi suvis maju stale (nemeniace sa) hodnoty. Naprklad modul pruznosti

tyce v tahumoze byturceny z charakteristk statickej deformacie tyce. Pri dynamickychme-

todach sa niektore z velicn s casom menia (spravidla periodicky). Prkladom dynamickej

metody je meranie tiazoveho zrychlenia pomocou kyvadiel.

Metdy substitun a kompenzanPrincp substitucnej metody je taky, ze sa merana velicina postupne porovnava s viacerymi

znamymi hodnotami tej istej veliciny, medzi ktorymi sa hlada taka hodnota, ktora je svo-

jou velkostou najblizsie k meranej velicine. Stav meracch prstrojov sa v tomto prpade

najmenej lsi od stavu zisteneho pre meranu velicinu. Presnost merania pri tejto metode

je urcena hlavne hustotou znamych hodnot veliciny. Prkladom substitucnej metody

je meranie odporu pomocou odporovej dekady, ktoru nastavme tak, aby prechadzajuci

prud bol rovnaky ako pri meranom odpore. Kompenzacna metoda je podobna substitucnej,

s tym rozdielom, ze ucinok meranej veliciny kompenzujeme, t. j. vyrovnavame znamou

velicinou opacneho znamienka. Naprklad, ked vazime na rovnoramennych vahach vy-

rovnavamemoment tiaze vazeneho predmetu momentom tiaze zavazia, ktory ma opacny

smer.

1.3 Chyby a neistoty meran

Za danych podmienok ma kazda fyzikalna velicina urcitu velkost vyjadrenu cselnou hod-

notou v stanovenych jednotkach. V dosledku chyb merania tuto hodnotu neurcme absolutne

presne. Na posudenie presnosti merania je potrebne analyzovat ake vplyvy sa pri nom uplat-

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.3 Chyby a neistoty meran 3

nuju a urcit interval neistotu, v ktorom sa s urcitou, definovanou pravdepodobnostou bude

skutocna (prava) hodnota nachadzat. Skutocna alebo prava hodnota je taka hodnota, ktoru by sme

(v princpe) mohli zskat dokonalym meranm. Skutocna (prava) hodnota je teda idealny po-

jem. Absolutna chyba merania je rozdiel medzi nameranou a pravou hodnotou meranej veliciny.

Absolutna chyba je teda hodnota dana jedinym cslom. Neistota je parameter urcujuci rozptyl

hodnot.

Pri meraniach sa mozu uplatnovat rozne chyby, vyplyvajuce jednak z nedokonalosti meracch

prstrojov, nevhodnoti zvolenych meracch metod, z nekontrolovanych zmien podmienok me-

rania, ako aj chyb zavinenych experimentatorom. Podla povodu delme chyby na hrube, sustavne

a nahodne.

1.3.1 Hrub chyby

Hrube chyby vznikaju nedbalostou alebo nepozornostou experimentatora, napr. pri chybnom

odctan udajov prstroja, pri pouzit nedokonalych alebo nepresnych metod merania a pod.

Hrube chyby sa pri opakovanych meraniach prejavuju vyraznym rozdielom od ostatnych hodnot.

Pri spracovan vysledkov, merania zatazene hrubymi chybami neberieme do uvahy.

1.3.2 Chyby sstavn (systematick)

Maju spravidla povod v pouzitej metode merania, meracch prstrojoch alebo su zaprcinene

samotnym experimentatorom (hovorme o chybach osobnych). Sustavne chyby sa od hrubych

lsia tym, ze aj pri mnohonasobnom opakovanommeran je zskany vysledokmerania budvacs

alebo sustavne mens, ako je spravna hodnota. Sustavne chyby vznikaju neuplnostou alebo

nepresnostou pouzitej metody alebo pouzitm vztahov, ktorych platnost je obmedzena. Napr.

pri vazen na vzduchu nie su vazene telesa rovnako nadlahcovane ako pouzite zavazia, pri

meraniach s kyvadlami pouzvame konecny rozkyv kyvadla, ale tiazove zrychlenie poctame

zo vztahov odvodenych pre nekonecne maly rozkyv a pod. Taketo chyby metody odstra-

nime spresnenmmetody merania, eliminaciou chyby vypoctom alebo meranm tej istej veliciny

roznymi metodami.

Chyby meracch prstrojov maju svoj povod v konstrukcnom preveden, v konecnom delen

stupnice meranych hodnot, v posunut stupnice voci jej zakladnemu stavu a pod. Presnost

meracieho prstroja mozeme hodnotit podla hodnoty najmensieho dielika stupnice a podla

triedy presnosti (u elektrickych meracch prstrojov). Trieda presnosti prstroja je vyjadrena csel-

nou hodnotou, ktora udava, ze neistota merania je mensia, ako p (%) hodnoty zodpovedajucej

celej stupnici v danom rozsahu prstroja. Napr. dvojrozsahovym ampermetrom 010A resp.01A s triedou presnosti 1, mozeme prudy merat s relatvnou neistotou 1 % hodnoty rozsahu.Hodnotu prudu I = 0,8A, mozeme zmerat na oboch rozsahoch. Odmeranie tejto hodnoty pri

rozsahu 010A udava, ze meranie je zatazene neistotou I1 = (1/100) 10A = 0,1A, takze uve-

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

4 FYZIKLNE MERANIA

dena hodnota prudu je urcena s presnostou 0,1A, t. j. I = (0,8 0,1)A. Na rozsahu 01A jemeranie zatazene mensou neistotou I2 = (1/100) 1A = 0,01A, t. j. I = (0,80 0,01)A. Volbavhodneho meracieho rozsahu vedie k vyssej presnosti merania (t. j. mensej neistote merania,

pozri prklady na strane 45). Neistotu merania vyplyvajucu z konecneho delenia stupnice pr-

stroja (meradla) obycajne hodnotme hodnotou najmensieho dielika stupnice. Napr. pravtkom

s milimetrovym delenm mozeme zmerat rozmer telesa s maximalnou neistotou x =1mm.Takze dlzku usecky x = 125mm mozeme pravtkom zmerat s neistotou x =1mm, co zap-seme v tvare x = (125 1)mm alebo x = (12,5 0,1) cm. Odhliadnuc od toho, ze za neistotumerania povazujeme hodnotu najmensieho dielika stupnice, pri meran sa snazme odhadovat

aj desatiny hodnoty dielika. Na presnejsie urcenie zlomkov najmensieho dielika stupnice sa

pouzva zvlastna doplnujuca stupnica tzv. nonius.

Chyby osobne maju svoj povod v osobe pozorovatela. K chybam tohto druhu patr napr. one-

skorene odhadnutie zaciatku (konca) sledovaneho deja, chybny sposob odctavania hodnot zo

stupnice prstroja (tzv. paralakticka chyba), hruby odhad casti najmensieho dielika a pod. Chyby

osobne mozno eliminovat prostrednctvom automatizacie experimentu, t. j. automatickou regu-

laciou potrebnych zmien parametrov a registraciou meranych hodnot.

1.3.3 Nhodn chyby

Pri projektovan experimentu sa snazme definovat a kontrolovat fyzikalne stavy, v ktorych

sa skumany system nachadza. Experimentalne zariadenie vsak nikdy nie je izolovanym sys-

temom a vzdy existuje vplyv okolia na experiment. Tento vplyv mozeme obmedzit, nie vsak

celkom vylucit. Na experiment vplyva napr. zmena teploty laboratoria, prudenie vzduchu, vib-

racie a podobne. V meracch prstrojoch samotnych prebiehaju deje, ktore limituju ich presnost,

napr. tepelne zmeny v elektronickych castiach, vplyv trenia u pohyblivych cast prstrojov a ine.

Spolocnym znakom vsetkych tychto dejov je ich nahodilost, tzn., ze v ramci experimentu nie

je mozne urcit (determinovat) cas ani hodnotu vplyvu. Na prvy pohlad by sa zdalo, ze na-

hodne javy sa vymykaju matematickemu opisu. Ukazuje sa vsak, ze prave nahodilost vplyvov

umoznuje ich kvantifikaciu. Adekvatnymmatematickym aparatom na opis nahodnych javov je

rozsiahle rozpracovany aparat matematickej statistiky a teorie pravdepodobnosti.

Ucinkom nahodnych vplyvov vznikaju v priebehu experimentu nahodne chyby. Chybou jedneho

merania budeme rozumiet rozdiel pravej hodnoty a meranej hodnoty. Pre i-te meranie nahodna

chyba veliciny bude

xi = xi x0 , (1)kde xi je namerana hodnota a x0 prava hodnota.

V dalsom sa obmedzme na opakovane merania za rovnakych podmienok. To su take merania,

pri ktorych vysledok i-teho merania nezavis od vysledkov predchadzajucich meran ani od

csla i. Subor nameranych udajov, ktore takto dostaneme x1, x2, . . . , xn sa nazyva subor nezavis-

lych udajov alebo aj homogenny subor. Nahodna chyba i-teho merania je definovana vztahom (1).

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.3 Chyby a neistoty meran 5

Ked si uvedomme, ze merania prebiehaju za rovnakych podmienok a na experiment vplyvaju

iba nahodne chyby (predpokladame, ze ostatne chyby smevylucili), subor nahodnych chyb bude

statistickym suborom a kazdej chybe bude priradena pravdepodobnost (vyskytu) chyby. Ulohou

teorie pravdepodobnosti je najst funkciu, ktora prirad nahodnej chybe jej pravdepodobnost.

Zo vseobecnych uvah vyplyva, ze velke nahodne chyby sa budu vyskytovat v homogennom

subore menej casto ako male chyby a chyby zaporne i kladne s rovnakou absolutnou hodnotou

budu rovnako pravdepodobne.

Bez dokazu uvedieme najnutnejsie vysledky teorie nezavislych meran. Podrobnejsie informacie je

mozne najst napr. v pracach ( BROZ A KOL., 1967 ; PALENCAR A HALAJ, 1998 ; REKTORYS A KOL.,

1981 ; Gnedenko, 1965).

Majme n nezavislych meran tej istej veliciny za takych istych podmienok a nech pravdepo-

dobnost toho, ze vysledok jedneho merania bude lezat v zvolenom intervale a, b je p. Potompravdepodobnost, ze pri m n nezavislych meraniach nameriame velicinu z tohto intervalu

a pri n m meraniach velicinu mimo tohto intervalu a, b je dana tzv. binomickym rozdelenmpravdepodobnosti

Pn(m) =

n

m

pm qnm, (2)

pricom q = 1 p. Vypocet pravdepodobnosti Pn(m) je obtiazny, lebo treba poctat faktorialya mocniny vysokych stupnov. Preto je dolezite najst jednoduchsie vztahy, ktore dobre aproxi-

muju hodnoty Pn(m).

Pre n je tato pravdepodobnost aproximovana funkciou

P(x) =12pi 0

exp[(x x0)2/2 20

], 0 =

npq. (3)

Tato funkcia, ktora ma jedine maximum v bode x0 je tzv. Gaussovo normalne rozdelenie a ma

pre opis nezavislych meran prvorady vyznam. Pozadovanej aproximacii n praktickyvyhovieme tym viac, cm vacs pocet nezavislych meran vykoname, t. j. cm vacs je prslusny

homogenny subor.

V specialnom prpade na vyhodnocovanie meran jadroveho rozpadu je adekvatne pouzit ap-

roximaciu p 0. Potom je binomicke rozdelenie aproximovane vztahom

P(m) =am ea

m !, (4)

pricom a = np, co je tzv. Poissonovo rozdelenie.

Stredna hodnota lubovolnej funkcie f (x) sa oznacuje f a je pre Gaussovo normalne rozdelenie

definovana vztahom

f =

f (x) P(x)dx, (5)

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

6 FYZIKLNE MERANIA

resp. pre Poissonovo rozdelenie vztahom

f =

m=0

f (m) P(m). (6)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

body prislchajce

0

body prislchajce 3

0

P (x)

x-x

0

(x

0

= 0)

Obrzok 1 Gaussove normalne rozdelenia pre 0 = 0,6(najostrejsia krivka), 0 = 1 a 0 = 1,75 (najsirsia krivka)

Budeme sa teraz zaoberat Gaussovym normal-

nym rozdelenm. Parameter 0 v Gaussovom

normalnom rozdelen (3) sa nazyva smerodajna

odchylka a charakterizuje presnostmerania. Cm

je 0 mensie, tym je meranie presnejsie, rozptyl

meran je mens a graf funkcie P(x) ostrejs

(pozri obrazok 1). Parameter 0 charakterizujeinterval hodnot a preto sa nazyva aj standardna

neistota. Vo vseobecnosti standardna neistota je

rovna smerodajnej odchylke prslusneho rozde-

lenia pravdepodobnosti. Neistoty zskane statis-

tickymi metodami z nameranych udajov sa na-

zyvaju aj neistotami typu A.

Vyraz dp = P(x) dx oznacuje vlastne pravde-

podobnost, ze merana velicina bude v intervale

(x, x + dx). Je zrejme, ze merana velicina mus

lezat v intervale (, ), preto

P(x)dx = 1, (7)

co je skutocne splnene.

Zaujma nas predovsetkym stredna hodnota x

meranej veliciny x. Podla defincie

x =

x P(x)dx. (8)

Pri vypocte dostaneme x = x0, t. j. stredna hodnota veliciny x je najpravdepodobnejsia hodnota.1

Vypoctajme strednu hodnotu odchylky resp. strednu hodnotu chyby

x x =

(x x) P(x)dx = x x

P(x)dx = x x = 0. (9)

Tento vysledok sme vlastne ocakavali, pretoze pri velmi velkom pocte meran je mozne najst

ku kazdej chybe chybu v absolutnej hodnote takmer rovnako velku, ale opacneho znamienka.

V limite pre n je potom Gaussovo normalne rozdelenie symetrickou funkciou podla najp-ravdepodobnejsej hodnoty x0 (pozri obrazok 1).Nikdy vsak nemozeme vykonat nekonecny

1Hodnotu veliciny x0 povazujeme za skutocnu hodnotu meranej veliciny.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.3 Chyby a neistoty meran 7

pocet meran (ktory by bol potrebny na urcenie parametrov 0 a x0 v Gaussovom normalnom

rozdelen) preto je potrebne odhadnut najpravdepodobnejsiu (skutocnu) hodnotu a strednu kvadra-

ticku chybu z konecneho poctumeran. Pri aproximovan strednej hodnoty x, z konecneho suboru

nezavislych meran vyjdeme z predpokladu, ze i pri konecnom (dostatocne velkom) pocte me-

ran je stredna odchylka v subore nezavislych meran priblizne rovna nule.2 Pre konecny subor

je teda (x1 x0) + (x2 x0) + . . . + (xn x0) 0, t. j.

x0 x1 + x2 + . . .+ xnn

= x. (10)

To znamena, ze najpravdepodobnejsia hodnota je aproximovana vyberovym (aritmetickym) prie-

merom3 nameranych udajov. Treba si uvedomit, ze vyberovy priemer konecneho poctu sa lsi

od najpravdepodobnejsej hodnoty x0. Subor nezavislych udajov nie je charakterizovany iba

najpravdepodobnejsou hodnotou x0, ale aj strednou kvadratickou chybou, ktora je definovana ako

stredna hodnota funkcie (x x0)2, t. j.

(x x0)2 =

(x x0)2 P(x)dx = 20 . (11)

V odseku 1.3.5 ukazeme, ze tento parameter charakterizuje rozptylenie opakovanych meran.

Podobne ako pri urcovan strednej hodnotymusme i pri odhade strednej kvadratickej chyby vy-

chadzatz konecneho poctu nezavislych udajov. Da sa ukazat, ze pre konecny subor nezavislych

udajov je vyberova smerodajna odchylka vyjadrena vyrazom

=

n

i=1

x2i

n 1 , (12)

kde xi = x xi je tzv. zdanliva chyba i-tej hodnoty alebo odhad nahodnej chyby i-teho merania.Parametre Gaussovho rozdelenia x0 a 0 sme aproximovali z konecneho suboru parametrami

x podla rovnice (10) a podla rovnice (12). V statistike sa dokazuju rovnosti limn x = x0

a limn = 0.

1.3.4 renie neistt

Vo vacsine prpadov nevystacme pri spracovavan meran iba s udajmi, ktore odctame priamo

z meracieho prstroja, ale tieto udaje treba dalej dosadzovat do vztahov na vypocet hladanych

fyzikalnych velicn. Napr. z troch rozmerov telesa vypoctame jeho objem, z merania doby kyvu

kyvadla a jeho dlzky vypoctame tiazove zrychlenie, z meraneho napatia a prudu odpor vodica

atd. Meriame teda niekolko roznych velicn x, y, z, . . . a hladana velicina je dana znamou fun-

kciou f = f (x, y, z, . . .). Pre jednoduchost sa obmedzme napr. na dve premenne x a y. Budeme

2Pre nekonecny subor podla rovnice (9) je stredna hodnota xx0 rovna nule presne.3Poctame ho na taky pocet desatinnych miest, ktory je o jedno vacsie, ako pri jednotlivych meraniach.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

8 FYZIKLNE MERANIA

predpokladat, ze pre velicinu x sme namerali hodnoty x1, x2, . . . , xn a pre velicinu y hodnoty

y1, y2, . . . , ym. O suboroch x1, . . . , xn a y1, . . . , ym predpokladame, ze su homogenne, tzn., ze

kazdemu suboru prislucha vlastne normalne rozdelenie. Ulohou je najst najpravdepodobnejsiu

hodnotu funkcie f a jej standardnu neistotu f . Inak povedane, dvom Gaussovym nameranym

rozdeleniam so znamymi hodnotami x, x a y, y treba priradit Gaussovo normalne rozdele-

nie charakterizovane strednou hodnotu funkcie f a standardnou neistotou f . Tato uloha je

vseobecne komplikovana a riesi sa za dalsch zjednodusujucich predpokladov. Predovsetkym

budeme predpokladat, ze odchylka kazdehomerania je taka mala, ze v Taylorovom rozvoji funkcie

je mozne obmedzit sa iba na linearne cleny

f(xi, yj

) f (x, y) + f (x, y)xi

xi + f (x, y)

yjyj. (13)

Parcialne derivacie v predchadzajucom vztahu sa nazyvaju aj citlivostne alebo prevodove koefi-

cienty. Vyberovy priemer vypoctame z n m nameranych funkcnych hodnot

f =1

n m

n

i=1

m

j=1

f(xi, yj

) 1n m

n

i=1

m

j=1

f (x, y) = f (x, y), (14)

pretoze posledne dva cleny v rovnici (13) po sumacii daju nulu.

Za uvedeneho predpokladu obmedzenia Taylorovho rozvoja linearnymi clenmi dostavame

z rovnice (14)

f = f (x, y) , (15)

t. j. strednu hodnotu funkcie dostaneme tak, ze za jej argumenty dosadme stredne hodnoty x

a y. Ak budeme dalej predpokladat x x0, y y0 (cize dostatocne velke homogenne subory),mozeme pre standardnu neistotu odvodit vztah:

f =

( f (x, y)

xx

)2+

( f (x, y)

yy

)2 ]12. (16)

Zovseobecnenm pre prpad funkcie viacerych premennych f = f (x, y, z, . . .) mozeme napsat

f =

( f (x, y, z, . . .)

xx

)2+

( f (x, y, z, . . .)

yy

)2+ . . .

]12

. (17)

Vypoctajme este podla vztahu (17) strednu standardnu neistotu pre funkciu n premennych.

Aritmeticky priemer je dany vztahom

f =1

n(1 + 2 + . . .+ n) a

f

i=

1

n.

Podla vztahu (17) a (12) dostavame

=

n

i=1

x2i

n (n 1) =n. (18)

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.3 Chyby a neistoty meran 9

Zvolena funkcia je vlastne vyberovy priemer a jeho neistou, ktoru sme oznacili , nazyvame

standardnou neistotou vyberoveho priemeru. Statisticka interpretacia standardnej neistoty aritme-

tickeho priemeru je nasledovna: Veliciny x1, x2, . . . , xn sme povazovali za nahodne premenne.

Su charakterizovane strednou hodnotou, ktora je aproximovana vyberovym priemerom x (10)

a standardna neistota je aproximovana podla (12) velicinou . Predpokladajme, ze vykoname

znova n meran a zskame dals vyberovy priemer, atd., az zskame subor vyberovych prieme-

rov napr. x1, x2, . . . , xk, z ktorych kazdy je poctany z n nezavislychmeran.Na subor vyberovych

priemerov sa budeme dvat ako na subor nahodnych velicn. Takyto subor bude opat Gaussov

normalny subor s rovnakou strednou hodnotou, ale standardna neistota suboru vyberovych

priemerov bude aproximovana podla (18).

Zaverom treba podotknut, ze sme nepredpokladali vyskyt inych chyb ako nahodnych a pre

nahodne chyby sme predpokladali pocas merania jedine normalne rozdelenie. V praxi sa moze

stat, ze jednonormalne rozdelenie vpriebehumerania skokomprejdena ine normalne rozdelenie

(napr. pri zmene napatia v sieti). Subor nameranych hodnot uz nebude homogenny.Matematicka

statistika v suvislosti s moznostami poctacov vypracovala testy normality suboru, vie odhalit

v subore ine chyby ako nahodne, daju sa navrhovat optimalne varianty meran atd. Tiez je

mozne, ze nahodne chyby sa budu riadit podla ineho rozdelenia ako je Gaussovo normalne

rozdelenie. Rozbor tychto metod presahuje potreby laboratornych meran v posluchacskych

laboratoriach, ale pri precznych a rozsiahlych meraniach sa spomenute postupy v praxi siroko

aplikuju ( BROZ A KOL., 1967 ; Gnedenko, 1965) a posluchaci niektorych specializaci sa s nimi

zoznamia vo vyssom kurze matematiky.

1.3.5 Geometrick interpretcia tandardnej neistoty

Ako bolo spomenute vyssie, pravdepodobnost, ze merana velicina bude z intervalu (x, x +

+ dx) je dana vyrazom dp = P(x) dx. Normovacia podmienka je vyjadrena vztahom (7). Nech

prslusny homogenny subor obsahuje n meran, pricom n je velmi velke. Z tychto n meran

dn = ndp = n P(x) dx padne do intervalu (x, x + dx). Vypoctajme, kolko meran bude patrit

do intervalu (x0 a, x0 + a)

na =

x0+ax0a

dn =

x0+ax0a

n P(x)dx = n

x0+ax0a

12pi 0

exp[ (x x0)2/ 2 20

]dx. (19)

Ak a je konecne cslo, integral sa da vypoctat iba numerickou metodou. Ked sa a vyjadr

hodnotami nasobku 0, dostaneme vysledky zapsane v tabulke 1.

Tzn., ze v intervale (x0 0) a (x0 + 0), rozlozenom symetricky okolo najpravdepodobnejsejhodnoty, sa nachadza 68,3% vsetkychmeran alebo s pravdepodobnostou 0,683 bude lubovolny

vysledok merania z vnutra tohto intervalu. Vychadzajuc z takejto interpretacie standardnej

neistoty, 3 0 sa nazyva aj krajna neistota, pretoze takmer vsetky merania (99,7 %) su z intervalu

x030, x0+30 (pozri obrazok 1 na strane 6).

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

10 FYZIKLNE MERANIA

Tabuka 1 Zavislost hodnoty na zo vztahu (19) od srky intervalu

a na

0,674 0 23 0 0,500 n0 0,683 n

2 0 0,954 n

3 0 0,997 n

Velicina =2 0/3 sa nazyva pravdepodobna neistota a v intervale x0, x0+ sa bude nacha-dzat okolo 50 %meran, druha polovica meran bude lezatmimo tohto intervalu. Z uvedeneho

vidiet, ze je vecou konvencie, ktore z tychto kriteri budeme pouzvat pri vyhodnocovan pres-

nosti merania. V nasichmeraniach budeme pouzvat standardnu neistotu vyberoveho priemeru

0 resp. standardnu neistotu . Vztahy pre tieto neistoty su naprogramovane na mnohych ve-

deckych vreckovych kalkulackach spolu s vypoctom vyberoveho priemeru.

1.3.6 Poissonovo rozdelenie

Na vyhodnocovanie meran jadroveho rozpadu je adekvatna aplikacia Poissonovho rozdelenia.

Pri meran pracujeme s celocselnymi udajmi (pocet castc zaregistrovany registracnym zariade-

nm). Stredna hodnota poctu zaregistrovanych castc rozpadu je podla (6)

m =

m=0

m P(m) =

m=0

mea am

m!= a. (20)

Smerodajna odchylka sa vypocta podla vztahu

2 =

m=0

(m a)2 P(m) =

m=0

(m a)2 ea am

m!= a = m, (21)

teda =

m.

Dolezitou velicinou je tzv. intenzita (registrovaneho) ziarenia, ktora je definovana ako pocet castc

registrovanych zariadenm prepoctany na casovu jednotku

I =m

t=

1n

n

i=1

mi

t=

n

i=1

mi

nt. (22)

Charaktermerania sa teda nezmen, ak namiesto nmeran kazde s dobou registracie t, vykoname

jedno meranie s dobou registracie nt (predpokladame, ze za cas nt sa nezmenili charakteristiky

ziarica, co je velmi dobre splnene pre instalovane laboratorne ziarice v posluchacskom labora-

toriu). Preto za strednu hodnotu m v rovnici (20) mozeme brat aj hodnotu z jedneho merania,

pokial doba registracie je dostatocne dlha.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 11

Relatvnou neistotou nazyvame podiel standardnej neistoty a meranej veliciny.

r =

m=

1m. (23)

V nasich ulohach z jadrovej fyziky budeme pozadovat vopred stanovenu hodnotu z rovnice

(23) (napr. 1 %). Preto treba nechat registracne zariadenie v cinnosti aspon taku dobu, aby

registrovalo m = 1/2r castc (napr. 104).

1.4 Spracovanie vsledkov meran

1.4.1 Spracovanie opakovanch meran

V prpade, ze nahodne chyby su vacsie ako systematicke chyby, je potrebne merania viackrat

opakovat, aby sme zistili velkost meranej veliciny, ako aj neistotu, ktorou budeme charakteri-

zovat presnost merania. Pri spracovan opakovanych meran vychadzame z teorie nahodnych

chyb. Pri skutocnommeran sa musme uspokojit s konecnym poctommeran (v nasom prpade

n = 5 resp. 10). Meranm dostaneme subor hodnot x1, x2, . . . , xn. Najpravdepodobnejsou hodnotou

meranej veliciny x je podla (10) aritmeticky (vyberovy) priemer

x =1

n

n

i=1

xi.

Presnostmerania budeme charakterizovat smerodajnou odchylkou (standardnou neistotou) aritme-

tickeho priemeru , definovanou vztahom (19)

=

n

i=1

2i

n (n 1) ,

kde i =x xi (i=1, 2, . . . , n) su tzv. odhady nahodnych chyb (zdanlive chyby) jednotlivych merana n je pocet meran. Vysledok merania zapisujeme v tvare

x = x , r = x100%,

kde r je relatvna neistota vyjadrena v percentach.

Zapis nameranych a vypoctanych hodnot potrebnych k vyhodnoteniumerania ilustruje prklad

uvedeny v tabulke 2 na strane 12.

Spracovanm udajov z tabulky 2 dostaneme

d = 2,548 2 cm, d =

(94 1069 10

)12

= 1,021 980 6 103 cm.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

12 FYZIKLNE MERANIA

Tabuka 2 Prklad nameranych hodnot priemeru valca

Merana velicina d

i dicm icm

2i106cm2

1 2,551 0,003 92 2,545 0,003 9

3 2,546 0,002 4

4 2,550 0,002 45 2,548 0 0

6 2,553 0,005 257 2,545 0,003 9

8 2,547 0,001 1

9 2,545 0,003 9

10 2,552 0,004 1625,482 0,002 94

Napriek tomu, ze veliciny d a d boli vypoctane spravne (na vela desatinnych miest), vysledok

zapsany v tvare d = (2,548 20,001 021 980 6) cm je nespravny, pretoze nema fyzikalny zmysel.Vzhladom na to, ze vypoctana neistota ma pravdepodobnostny charakter, fyzikalny vyznam ma

len prva nenulova cslica vo vysledku vypoctu standardnej neistoty (v nasom prpade cslica 1). Je

mozne udavat neistotu na dve prve cslice vo vypocte, avsak v ziadnom prpade na tri a viac

cslic. Vypoctanu hodnotu neistoty zaokruhlujeme vzdy nahor, okrem prpadu, ked za platnou

cslicou nasleduje nula. V nasom prklade pre neistotu d =0,001 cm.

Hodnotu nameranej veliciny zaokruhlujeme na tolko desatinnych miest, ako je stanovena neistota. Pri

zaokruhlovan aritmetickeho priemeru uplatnujeme normalne pravidlo zaokruhlovania: pri

cslach od 1 do 4 zaokruhlujeme nadol, pri 6 az 9 nahor, pri csle 5 zaokruhlujeme nadol ak je pred

nou parne cslo a nahor ak je neparne. Vysledok merania ilustrovaneho v nasom prklade zapseme

v tvare d = (2,5480,001) cm, d = 0,04%. V prpade, ked urcujeme velkost veliciny f , ktorazavis od l meranych velicn x1, x2, . . . , xl, postupujeme nasledovne:

1. Vyhodnotme opakovane merania kazdej z velicn podla postupu ilustrovaneho vyssie,

t. j. urcme strednu hodnotu kazdej z velicn xi a jej standardnu neistotu xi . Vysledok

zapseme v tvare xi = xixi , kde i =1, 2, . . . , l.2. Hodnotu veliciny f = f (x1, x2, . . . , xl) berieme podla vztahu (17) ako f = f (x1, x2, . . . , xl).

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 13

3. standardnu neistotu vysledku vypoctame podla vztahu

f =

[l

i=1

( f

xi

)22xi

] 12

,

pricom

f

xi=

[ f (x1, x2, . . . , xn)

xi

], x1=x1, x2=x2, . . . , xn =xn.

Ako prklad uvedieme vyhodnotenie objemu valca z merania jeho priemeru d a vysky h. Objem

valca je vyjadreny vztahom

V =pi d 2

4h.

Opakovanym meranm d a h sme zskali nasledovne hodnoty d=(2,550,03) cm,h=(7,53 0,03) cm. Aplikujuc vyznaceny postup vyhodnotenia dostavame

V =pi

4d2

h = 38,395 799 cm3 (bez zaokruhlenia),

V

d=

pi d h

2= 30,137 989 cm2,

(V

d

)2 2d = 0,000 908 2 cm

6,

V

h=

pi d2

4= 5,099 043 6 cm2,

(V

h

) 2h = 0,002 340 02 cm

6,

(V)=

[(V

d

)22d +

(V

h

)22h

] 12

= 0,155 911 8 cm3 .

Pri zaokruhlovan neistotyna dve desatinne miestadostavame (V)=0,16 cm3 a vysledokmerania

zapseme v tvare

V =(38,400,16) cm3, r(V)0,5%.

Pri zaokruhlen na jedno desatinne miesto dostavame

V =(38,40,2) cm3, r(V)0,5%.

Poznamka: cslo pi bolo brane na sedem desatinnych miest.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

14 FYZIKLNE MERANIA

1.4.2 Vyhodnocovanie jednorzovch meran

V prpadoch, ked sa pri meran vyraznejsie uplatnuju systematicke chyby ako chyby nahodne,

stac merania realizovat jednorazovo a pri vyhodnocovan brat do uvahy chyby systematicke.

V prpade jednej veliciny x ohodnotme presnost merania standardnou neistotou x, ktoru

urcme na zaklade kvalifikovaneho usudku napr. z delenia stupnice, z triedy presnosti mera-

cieho prstroja alebo z udaja daneho vyrobcom prstroja (certifikaty, kalibracne krivky a pod.)

Dalej, pokial je to mozne urcme vplyvy okolia ako teploty, tlaku vzduchu, neistoty pochadza-

juce z prevodnkov atd. Budeme predpokladat, ze jednotlive vplyvy nie su korelovane. Prklad

stanovenia (odhadu) neistoty v tychto prpadoch je opsany v casti 1.3.2 tychto skrpt. Potom

vypoctame citlivostne koeficienty a prslusnu standardnu neistotu podla vztahov (13) az (18).

Takyto postup stanovenia standardnej neistoty sa nazyva vyhodnotenie typu B standardnej neistoty

vystupneho odhadu. Vyhodnotenie tymto sposobom vyzaduje pomerne velku skusenost experi-

mentatora pri stanoven kvalifikovaneho odhadu vstupnych standardnych neistot a preto pre

ucely posluchacskeho laboratoria budeme pouzvathrubs odhad neistoty, ktoru urcme z od-

hadovneistot (maximalnych chyb)meracchprstrojov, s pouzitmlinearizovaneho zakona pre

srenie neistot, ktory dava vacsiu hodnotu vyslednej neistoty.

V prpade, ze merana velicina z je funkciou l premennych x1, x2, . . . , xl , ktore urcme mera-

nm a ich neistoty su x1, x2, . . . ,xl, potom maximalnu neistotu f veliciny f aproximujeme

vztahom

f =l

k=1

f (x1, x2, . . . , xl)xk |xk| , r = ff 100%, (24)

kde r je relatvna neistota veliciny f . Pritom nevylucujeme prpad, ze niektore z meranych

velicn xk boli urcene z opakovanych meran.

Prklad:

Mame urcit modul pruznosti E drotu dlzky l, polomeru r, ktoreho predlzenie pri zatazen

zavazm s hmotnostou m je l . Modul pruznosti E je vyjadreny vztahom

E =m g l

pi r2 l.

Meranymi velicinami su m, l, r a l. Meranm boli urcene nasledujuce hodnoty (aj s prslusnymi

neistotami):m=(800 10) g, r=(0,110 0,001)mm, l =(2 000 10)mma l =(0,27 0,01)mm.Pre vypocet berieme tiazove zrychlenie g =9,81m s2 a pre cslo pi hodnotu udavanu kalkulac-kou. Pred zaokruhlenm dostavame pre E hodnotu

E =0,8 kg 9,81m s2 2m

pi (1,1 104m)2 2,7 104m= 1,529 290 5 1012Nm2.

Vypocet maximalnej neistoty E bude

E =

Emm +

Ell +

Err +

E (l)(l) ,

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 15

pricom Em = g l

pi r2 l= 1,911 613 1 1012 Nm

2

kg, m = 102kg,

El = m g

pi r2 l= 0,764 645 2 1012 Nm

2

kg, l = 102m,

Er = 2m g l

pi r3 l= 2,780 528 2 1016 Nm

2

kg, r = 105m,

E (l) = m g l

pi r2 (l)2= 0,566 403 8 106 Nm

2

kg, (l) = 105m.

Pre maximalnu neistotu E dostavame pred zaokruhlenm hodnotu

E=36,145 578 1010Nm2

a po zaokruhlen na dve platne miesta dostaneme

E=0,37 1012Nm2.Vysledok merania zapseme v tvare

E=(1,53 0,37) 1012Nm2, r=24%.Vzhladom na velku relatvnu neistotu nema fyzikalne opodstatnenie zadavat neistotu (a tym

aj vysledok) na dve desatine miesta a preto spravny vysledok zapseme v tvare

E=(1,5 0,4) 1012Nm2, r 24%.V suvislosti s naznacenym postupom vznika otazka, ako ovplyvnuje presnost merania jednot-

livych velicn presnost vysledku. Za tymto ucelom vyjadrme relatvnu neistotu explicitne, cm

dostanemeEE =

mm+

ll+ 2

rr+

(l)l .

V nasom prpade dostavame (zaokruhlime na tri desatinne miesta)EE = 0,013+ 0,005+ 0,182+ 0,037 = 0,237,

(t. j. 24 %).Z uvedeneho vidme, ze najvacsiu chybu do vysledku vnasa tret clen ( 19 %) a prspevokprvych dvoch clenov je v porovnan s nm zanedbatelny. Ak chceme zskat vysledok s vacsou

presnostou, musme v prvom rade zvysit presnostmerania tej veliciny, ktora do celkovej chyby

prispieva najviac v tomto prpade polomeru r skumaneho drotu.

Takato analyza neistot merania sa uplatnuje nielen pri vyhodnocovan uz realizovanychmeran,

ale tiez pri planovan experimentu. Ak chceme realizovatmeranie so zadanou presnostou, je po-

trebne vykonatseriu skusobnychmeran, z nich odhadnuthoreuvedenympostupom chyby a na

zaklade toho navrhnut optimalny sposob merania jednotlivych velicn tak, aby bola dosiahnuta

pozadovana presnost vysledku.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

16 FYZIKLNE MERANIA

1.4.3 Numerick metdy spracovania meran

Pri projektovan pokusu je experimentator vedeny snahou zskat z meran co najviac fyzi-

kalne zaujmavych informaci. Preto experiment obycajne prebieha za roznych (kontrolovanych)

podmienok. Zmenou jednej veliciny sledujeme vplyv tejto zmeny na inu velicinu. Vo vacsine

prpadov takto zskame zavislost, o ktorej predpokladame, ze je spojita funkcna zavislost jed-

nej veliciny od druhej veliciny. Napr. teplotnu zavislost odporu, zavislost anodoveho prudu

magnetronu od indukcie magnetickeho pola, zavislost intenzity jadroveho ziarenia od hrubky

absorbatora atd. Nameranm zavislosti velicn praca experimentatora nekonc, naopak, nasle-

duje najdolezitejsia uloha a to fyzikalne interpretovat vysledky meran. Pod pojmom interpretacie

budeme rozumiet odovodnenie vysledkov, v podstate ide o urcenie prcin, ktore sposobuju dany

vysledok. Experimentalna praca je takto z formalneho hladiska obratenou ulohou k teoretic-

kemu postupu, ktory z definovanych podmienok (prcin) predpoklada zavery (nasledky) a tento

fakt trebamatna zreteli pri spracovavanmerania.V konkretnych prpadoch sa najcastejsie stret-

neme s tymito situaciami:

Fyzikalna interpretaciameranej zavislosti nie je dobreprepracovana, tzn., ze v case konaniaexperimentu neexistuje teoreticky model, ktory by viac-menej uspesne predpovedal tvar

funkcnej zavislosti. Potom je mozne zskane zavislosti interpretovat iba kvalitatvne, resp.

v jednoduchych prpadoch vyslovit hypotezu (napr. o linearnej, resp. inej zavislosti).

Teoreticky model predpoveda ocakavanu zavislost, napr. y = ax + b. Experiment linearnuzavislost potvrd. Treba najst spravne hodnoty parametrov, napr. a, b, ktorym mozu

odpovedat dalsie dolezite informacie. Ulohami tohto druhu sa zaobera vyrovnavac po-

cet. V sucasnej dobe sa siroko vyuzva metoda najmensch stvorcov.4 Za spravne hodnoty

sa povazuju take hodnoty parametrov, ktore davaju najmens sucet druhych mocnn odchy-

lok medzi nameranymi a teoreticky predpovedanymi hodnotami. Uvedieme hlavne crty

metody.

Majme nameranu funkcnu zavislost fi = f (xi) v bodoch i = 1, 2, . . . , n. Teoreticky model

predpoklada zavislostF= F(x, p1 , p2 , . . . , p

k), kde p

1, p

2 , . . . , p

k su parametre, ktore sa nedaju

vypoctat v ramci tohto modelu (cm menej parametrov, tym je model hodnotnejs). Odchylky

teoretickej F a experimentalej funkcie fi, vypoctane v nameranych bodoch, oznacme i

i = F(xi, p1 , p

2 , . . . , p

k) fi. (25)

Vzhladomna to, ze povazujeme kladne odchylky za rovnako vyznamne ako zaporne uvazujeme

druhu mocninu i.5 Dalej oznacme

=n

i=1

i2. (26)

4Metodunajmensch stvorcov, akovypoctovu proceduru opsalAdrien-Marie Legendre r. 1806 v praciNouvelles methodes

pour la determination des orbites des come`tes. On navrhol aj nazov tejtometody. Prvy, kto spojil metodu najmensch stvorcov

s teoriou pravdepodobnosti bol Carl Friedrich Gauss r. 1809 v praci Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicus

solem ambientium auctore, C. F. G. 1809. Poznamenal, ze tuto metodu pouzil uz roku 1795.5Vseobecne sa uvazuje nejaka parna funkcia, t. j. funkcia f (x) taka, ze f (x)= f (x).Druhejmocnine sa davaprednost

pred absolutnou hodnotou, lebo je hladka funkcia.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 17

Ulohou je najst take odhady p1, p2, . . . , pk parametrov p1 , p

2 , . . . , p

k , pre ktore funkcia

(oznacovana tiez ako ucelova alebo kriterialna) nadobuda minimum. Aby mala tato poziadavka

zmysel, mus byt splnenych niekolko, nie prave samozrejmych predpokladov, o ktorych sa

musme pred zacatm experimentu presvedcit, pozri napr. ( PETROVIC A KOL., 1989, I., str. 74):

1. chyba nezavisle premennej x je zanedbatelne mala vzhladom na chybu zavisle

premennej y,

2. chybameranej premennej y je nahodna velicina z normalne rozdeleneho suboru,

ktory ma nulovu strednu hodnotu a konstantny rozptyl v celej oblasti merania.

Nutnou podmienkou pre minimum je potom splnenie rovnice

pj= 2

n

i=1

iipi

= 2n

i=1

iF(xi, p1, . . . , pk)

pj= 0 , j = 1, 2, . . . , k. (27)

Tuto sustavu je mozne explicitne riesit v niektorych specialnych prpadoch. Vseobecne treba

pouzvat vybrane numericke metody. Preberieme si tie funkcne zavislosti, ktore budeme potre-

bovat pri vyhodnocovan laboratornych uloh.

1. Linearna zavislost y= ax+b

Podla vztahu (27) mame dva parametre p1= a, p2=b

i = axi + b fi.

Z rovnc (26) a (27) dostaneme sustavu dvoch linearnych rovnc pre nezname a a b, ktore

mozme lahko vyriesit. Riesenie zapseme v tvare vyhodnom na poctacove spracovanie.

Oznacme

s1=n

i=1

xi, s2=n

i=1

fi, s3=n

i=1

x2i , s4=n

i=1

xi fi, =ns3 s21.

Potom

a =ns4 s1s2

, b =

s2s3 s1s4

. (28)

2. Zavislost polynomialna

Parametrami su koeficienty v polynome k-teho stupna

F = akxk + ak1xk1 + . . .+ a1x + a0 =

k

l=0

al xl ,

i =k

l=0

alxli f (xi) ,

F(xi, a1, . . . , ak)

aj=

aj

k

l=0

alxli = x

ji

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

18 FYZIKLNE MERANIA

a podla rovnice (27) dostaneme sustavu rovnc

aj= 2

n

i=1

[k

l=0

alxli f (xi)

]x

ji = 0.

Prehodenmporadia sumaciedostavamesustavu k + 1 rovncpre k + 1neznamych a0, . . . , ak

k

l=0

Bjl al = yj, (29)

kde

Bjl =n

i=1

xl+ji , yj =

n

i=1

f (xi) xji .

Sustavu (29) je mozne riesit napr. Gaussovou eliminacnou metodou. Pre k = 1 dostavame

linearnu zavislost, pre ktoru je riesenie zhodne s rovnicou (28).

3. Exponencialna zavislost

F = a ex, p1 = a, p2 = , i = a exi f (xi)

a z rovnice (27) dostaneme

a= 2

n

i=1

[a exi f (xi)

]exi = 0,

= 2

n

i=1

a2 xi e2xi 2

i

a f (xi) xi exi = 0,

co je sustava transcendentnych rovnc a na ich riesenie treba zvolit priblizne numericke

metody. Aby sme sa tomu vyhli, pozmenme ulohu a namiesto extremu funkcie bu-

deme hladat extrem funkcie (L), v ktorej namiesto F vystupuje ln(F). Logaritmovanm

F dostaneme

ln(F) = x + ln(a).

Ak oznacme a= , b= ln(a), mozeme pouzit vysledky rovnice (28) pre linearnu zavislost.

Poznamka:

Ak pouzijeme metodu najmensch stvorcov na takto transformovanu nelinearnu funkciu, hladane

parametre nezodpovedaju minimalnemu suctu stvorcov odchylok ni=1 [ln yi ln F(xi)]2, pre-toze transformacia do suradnc prirodzeneho logaritmu ovplyvnuje odchylky rozdielne v roznych

oblastiach pozdlz krivky a tiez rozdielne ovplyvn pozitvne a negatvne chyby v tych istych bodoch

krivky; preto treba problem riesitako sustavu nelinearnych rovnc. Podla Brunovskej ( 1990) vsak

neexistuje vseobecne pravidlo pre nelinearne regresie, podla ktoreho by bolo mozne dat prednost

jednej ucelovej funkcii pred druhou. Ak rozptyl udajov nie je velky, tento rozdiel nie je vyznamny.

Odhad cez transformaciu mozno este zlepsit zavedenm statistickej vahy wi =(

2ln F/2y)1

i do

ucelovej funkcie (26), ktora potom nadobudne tvar ni=1 wi [ln yi ln F(xi)]2 = min.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 19

Zaverom treba zdoraznit, ze funkcia F (tzv. modelova funkcia) mus byt fyzikalne opod-

statnena. Ak sa predpoklada linearna zavislost, nema fyzikalne opodstatnenie vyrovna-

vat meranu zavislost kvadratickou funkciou, i ked mozeme ocakavat lepsiu zhodu

v zmysle najmensch stvorcov. Aproximacia experimentalnych dat inymi fyzikalne ne-

odovodnenymi funkciami ma vyznam iba z hladiska vhodnejsieho uchovania informacie

o experimentalnej funkcii a z hladiska niektorych numerickych operaci, napr. interpolacie

a extrapolacie.

4. Interpolacia

Meranm urcme konecny pocet hodnot x1, x2, . . . , xn a im prisluchajuce f (x1), f (x2),

. . ., f (xn). Predpokladajme, ze x1 < x2 < . . . < xn. Casto nas zaujma hodnota veliciny f

pre argument x, ktory sa nezhoduje so ziadnou z nameranych hodnot a lez v intervale

x1< x< xn. Hodnotu funkcie f pre argument x odhadneme interpolaciou. Z formalneho

hladiska experiment poskytuje informacie iba o hodnotach funkcie v konecnom pocte

bodov a o hodnote funkcie v bode x, kde sme meranie nevykonali, nemozeme tvrdit

nic. Tym, ze cez body x1, x2, . . . , xn prelozme krivku, nahradme konecne postupnosti

(spojitou) funkciou. Cez namerane body moze prechadzat velmi vela roznych funkci.

Ak z teorie pozname funkciu, ktora ma prechadzat cez namerane body, postupujeme

podla predchadzajucej kapitoly. V opacnom prpade mozeme funkcnu zavislost medzi

meranymi bodmi nahradit jednoduchymi funkciami, najcastejsie linearnou, kvadratic-

kou, zriedkavejsie polynomom vyssieho stupna. Hovorme o linearnej, kvadratickej alebo

polynomialnej interpolacii. Pri linearnej interpolacii dostaneme lomenu spojitu funkciu,

ktora vsak nema derivacie prave vmeranych bodoch. Pri kvadratickej interpolacii mozeme

dostat hladsiu krivku, pri kubickej interpolacii (napr. kubicke splajny) mozeme dosiah-

nut spojitost derivacie atd. Je zrejme, ze cm hustejsie budu body namerane, tym menej

sa budu lsit hodnoty zskane interpolaciou roznymi funkciami.

Naznacme postup pri interpolacii polynomom. Predpokladajme, ze cez k + 1 nameranych

bodov prechadza polynom k-teho stupna, t. j., ze plat

f (xi) =k

j=0

ajxji , i = 1, 2, . . . , k + 1. (30)

Dosadenmznamychhodnot xi a fi dostavame k + 1 linearnych rovncpre k + 1 neznamych

a0, a1, . . . , ak. Vyriesenm sustavy tychto rovnc dostaneme koeficienty a0, . . . , ak amozme

vypoctat hodnotu funkcie f (x) v lubovolnom bode, ktory lez mimo bodov x1, . . . , xk+1

f (x) =k

j=0

aj xi, x (x1, xk),

pre k = 1 dostavame linearnu interpolaciu, pre k = 2 kvadraticku, atd. Samozrejme, na

vypocet koeficientov a0, a1, . . . , ak vyberieme tie experimentalne body, ktore lezia v najb-

lizsom okol bodu x. Pocet meran n je obvykle vacs ako k.

Na prvy pohlad by sa zdalo, ze zvysovanm stupna polynomu k sa zvysuje aj presnost

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

20 FYZIKLNE MERANIA

interpolacie. V skutocnosti merane veliciny xi a f (xi) su zatazene neistotami, ktore sa

zvyraznuju pri vypocte vysokych mocnn hodnot xi v (30). Z tohto dovodu sa vo vacsine

prpadov uspokojme s interpolaciou nzkeho radu.

5. Extrapolacia

Ak z meraneho priebehu funkcie odhadujeme hodnotu f (x) v bode x, ktory lez mimo

intervalu nameranych hodnot, hovorme o extrapolacii. Pri extrapolacii mozeme pouzit

numericke metody ako pri interpolacii. Treba vsak mat vzdy na zreteli, ze pri extrapolacii

musme byt omnoho opatrnejs ako pri interpolacii, hlavne ak x je daleko od meraneho

intervalu. Pokial je mozne, snazme sa nahradit extrapolaciu interpolaciou, t. j. meranm

obsiahnut co najvacs interval hodnot xi. Mimo meraneho intervalu mozu mat podstatny

vplyv nove fyzikalne javy, ktore sa neprejavia v meranom intervale. Napr. pri meran tep-

lotnej zavislosti elektrickeho odporu vodica v intervale teplot od 10 C do 40 C nameramelinearnu zavislost a extrapolujeme ju do 100 C, pricom dodatocnym meranm zistme, zevodic sa roztopil pri teplote 80 C, takze extrapolacia nad 80 C je neprpustna.

1.4.4 Grack metdy spracovania meran

Z preczne vyhotoveneho grafu nameranej fyzikalnej zavislosti dvoch velicn sa daju s dosta-

tocnou mierou presnosti urcit charakteristiky funkcie. Je mozne napr. urcit polohu extremov,

inflexnych bodov, pre linearnu zavislost odctat z grafu smernicu priamky, atd. Su zname me-

tody pre graficke derivovanie a kvadraturu (integrovanie). Spomnane postupy ametody stratili

na vyzname v suvislosti s rozvojom vypoctovej techniky a jej aplikaci v experimentalnej praxi.

Ak je namerana zavislost ulozena do pamate poctaca, nema vyznam kreslit (grafickou jed-

notkou alebo inak) graf za tym ucelom, aby sme z grafu odctavali informacie a zadavali ich

opat do pamate. Napr. pre linearnu zavislost je omnoho pohodlnejsie vypoctat podla rovnice

(28) parametre priamky a, b, ako ich urcovat z grafu. Napriek tomu graficke zobrazenie fun-

kci nestratilo na vyzname, prave naopak, bohate moznosti grafickych jednotiek na osobnych

poctacoch dokazuju jeho uzitocnost a popularitu. Dovod je jednoduchy a spocva v rychlom,

pohodlnom a nazornom prijman obrazovej informacie clovekom. Dalo by sa povedat, ze graf

sluzi na rychlu kvalitatvnu orientaciu v nameranej zavislosti a ak nas zaujmaju podrobnejsie

kvantitatvne udaje, z pamate poctaca si nechame oznamit tabulku funkcie resp. analyticky

predpis, interpolacnu formulu, atd. Z dovodu nazornosti je graficke zobrazenie funkci velmi

caste i vo fyzikalnej literature a takmer kazda namerana zavislost je reprezentovana grafom. Na

zhotovenie grafov nie su jednoznacne pravidla a v kazdom odbore su trocha odlisne zvyklosti ur-

cene napr. tradciou, typografickymi moznostami casopisov a pod. Pre posluchacske laboratoria

budu na graf kladene tieto poziadavky:

1. Graf bude narysovany na milimetrovom papieri formatu A4 tuzkou alebo tusom podla

rysovacej pomocky (pravtka, krivtka).

2. Modul stupnice grafu zvolme tak, aby graf bol dostatocne velky, t. j. interval nezavisle

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.4 Spracovanie vsledkov meran 21

premennej ma byt zobrazeny na vodorovnej osi viac ako na dvoch tretinach vodorov-

neho rozmeru papiera a analogicky interval na zvislej osi. Pod pojmom modul stupnice

rozumieme podiel intervalu nameranych (v prpade extrapolacie potrebnych) hodnot fyzi-

kalnej velicinykdlzke osi vmm,na ktoru chceme interval zobrazit.Napr. obrazok 2 znazor-nuje graf, pre ktory bol zvoleny modul vodorovnej stupnice M1=(90V 40V)/120mm==0,416 6V/mm a zvislej stupnice M2=(7mA 1mA)/120mm=0,05mA/mm.

3. Osi vyznacme plnou useckou a oznacme jednotkami v okruhlej zatvorke, v ktorych je

fyzikalna velicina vynasana. Osi nekalibrujeme hodnotami, ktore sme namerali, ale takymi

hodnotami, medzi ktorymi je lahka interpolacia.

4. V kazdom prpade do grafu vhodnymi symbolmi vyznacme namerane hodnoty. Ak je na

jednom papieri viac grafov, pre rozne grafy volme rozne symboly na oznacenie namera-

nych hodnot (napr. plne body pre jeden graf, trojuholnky pre dals atd.). Od nameranych

hodnot nevedieme na osi ziadne ciary (pozri obrazok 2).

5. Ku kazdemu grafu napseme strucny komentar, aby bolo jasne, aku zavislost graf vyjad-

ruje.

40 50 60 70 80 90

1

2

3

4

5

6

7

Voltamprov charakteristika

vlkno A

vlkno B

I (mA)

U (V)

Obrzok 2 Prklad nakresleneho grafu, ktory znazornujevoltamperovu (VA) charakteristiku dvoch kovovych vlakien

Meranie je zatazene chybami a po vynesen

nameranych hodnot zistme, ze body su roz-

hadzane. Treba sa rozhodnut ako prelozit

cez namerane body ciaru. Ak sme meranie

vyhodnotili metodou najmensch stvorcov

a urcili parametre z rovnc (27), potom pre-

tabelujeme funkciu F(x, p1, . . . , pk) (odsek

1.4.3) a tuto funkciu vynesieme do grafu. Zs-

kame tak jednoznacne urcenu (v zmysle vy-

rovnavajucehopoctu vyrovnavajucu) hladku

ciaru. Napr. pre linearnu zavislost y = ax +

+ b, kde a aj b su urcene rovnicami (28)

zistme, ze tato priamka neprechadza vset-

kymi nameranymi bodmi, ale priblizne po-

lovica bodov je nad a priblizne polovica bo-

dov pod priamkou. V ostatnych prpadoch,

ked nemozeme pouzit vyrovnavajuci pocet

(cast1.4.3, odsek 1.), nemame k dispozcii ani

opodstatneny navod ako prelozit ciaru cez

namerane body, tu zalez vela od skusenosti

experimentatora. Oblasti zatazene velkymi

chybami sa premeraju znova, hustejsie resp.

inymi metodami. Ciaru, ktoru narysujeme, sa snazme viest tak, aby bola vyrovnana, t. j. nemala

fyzikalne neopodstatnene skoky, zalomenia a extremy, aby bola dostatocne hladka, aby priblizne

rovnaky pocet nameranych bodov bol nad i pod ciarou a sucet stvorcov nameranych hodnot od

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

22 FYZIKLNE MERANIA

ciary by mal byt co najmens. Majme stale na pamati, ze ciara v takomto grafe ma viac-menej

kvalitatvny vyznam.

Pri doslednejsch meraniach sa merania v kazdom bode opakuju za rovnakych podmienok

a kazdy bod v grafe je spracovany vyssie opsanymi metodami pre opakovane merania. V ta-

kychto prpadoch sa zvykne okremnajpravdepodobnejsej hodnoty (nameranej hodnoty) vyzna-

cit v grafoch aj standardna neistota pre kazdy bod zvlast.

Treba poznamenat, ze existuju standardne programy na kreslenie vedeckotechnickych grafov,

ktore su bohato vybavene podprogramami na interpolaciu aj extrapolaciu, subormi na fitova-

nie (najdenie najlepsej aproximacie) nameranej zavislosti zvolenou triedou funkci (ako bolo

opsane v odseku 1.4.3), obsahuju statisticke spracovanie vysledkov, vyhladenie zavislost, rozne

filtre atd. (V prostred operacneho systemu GNU/Linux a aj v MS Windows pracuje napr. prog-ramGNUPLOT.6 Grafy vytvorene tymto programom jemozne dalej spracovavat typografickymsystemomTEX alebo jeho nadstavbou LATEX, textovym editoromMSWord,OpenOce.org

7 a pod.

V OS GNU/Linuxmozeme namerane udaje spracovat aj programom Gnumeric).8 Je samozrejme,ze tieto prostriedky je mozne (a vtane) pouzvat pri spracovavan protokolu z merania.

1.5 Zsady prce v laboratriu

Riesenie kazdej experimentalnej ulohy ma tri zakladne fazy: prprava merania, meranie, spra-

covanie a vyhodnotenie vysledkov merania.

Prprava merania

1. Prestudujeme si problematiku laboratornej ulohy tak, aby sme pochopili jej vyznam, de-

fincie velicn a ich jednotky, fyzikalnu podstatu a metody merania pouzite v ulohe, aby

sme zskali predstavu o vysledku merania.

2. Oboznamime sa s princpom cinnosti jednotlivych meracch prstrojov a zariaden v danej

ulohe.

3. Uvazime fyzikalne podmienky, ktore mozu ovplyvnit meranie (rusive elektricke a mag-

neticke polia, prudenie vzduchu, otrasy, teplota a pod.).

4. Odhadneme mozny interval hodnot meranych velicn a stanovme si pocet a rozlozenie

meranych bodov. Berieme pritom do uvahy priebeh funkcnej zavislosti charakteristicke

zmeny a kriticke hodnoty pri nelinearnych priebehoch.

6Viac informaci o programe GNUPLOT najde zaujemca na URL adrese http://www.gnuplot.info/7Viac informaci o programe OpenOffice.org najde zaujemca na URL adrese http://sk.openoffice.org/8Logo TEX je registrovana znamka Americkej matematickej asociacie, MS Word a MSWindows su ochranne znamky

spolocnosti Microfoft Corporation, Linux je registrovana ochranna znamka Linusa Torvaldsa.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.5 Zsady prce v laboratriu 23

5. Pripravme si vztahy na vyhodnotenie neistot meran jednotlivych velicn, aby sme mohli

posudit ich vplyv na presnost vysledku.

6. Zhotovme si psomnu prpravu, do ktorej zapisujeme vysledkymeran. Psomnu prpravu

na meranie robme samostatne v dostatocnom predstihu pred meranm na dvojharku

papiera formatu A4.

Prprava obsahuje tieto casti :

Hlavicka: Meno a priezvisko riesitela a spoluriesitelov, nazov ulohy, datum.

Teoreticku cast ulohy merania: Formulaciu ulohy, defincie meranych velicn a ich jednotky,zakladne vztahy apoznamkyk fyzikalnemuprincpu ulohy, rozbor vplyvu chybmeranych

velicn na presnost vysledku a schemu zapojenia meracch prstrojov.

Zaznam o meran : Udaje o meracch prstrojoch (typ, vyrobne resp. inventarne cslo), pre-hladne usporiadane namerane hodnoty (zapsane v tabulkovej forme). Zavislosti zobrazu-

jeme do predbezneho grafu namilimetrovompapieri.V tejto casti si zapisujeme poznamky,

ktore by mohli ovpyvnit vysledok merania.

Zaver: Uvedieme orientacny vypocet vysledku merania.Vsetky udaje v prprave na meranie pseme perom. Zaznam overuje ucitel podpisom na konci

merania.

Meranie

Pri meran zistujeme velkost jednotlivych velicn. Dbame o spravne odctanie hodnot na me-

racch prstrojoch a spravnu manipulaciu s nimi. Presne dodrziavame postup meracej metody

a vsmame si okolnosti, ktore mozu ovplyvnitmerania, sposobovat hrube chyby. Dbame o ma-

ximalnu eliminaciu osobnych chyb. Merane veliciny prehladne zapisujeme do pripravenych

tabuliek resp. grafov (pozri castPrprava merania).

Spracovanie a vyhodnotenie meran

Nikdy nie je cas urobit to poriadne, ale

vzdy sa najde cas, urobit to este raz.

MESKIMENOV ZAKON

1. Riesenie laboratornej ulohy spracujeme vo forme referatu, ktory obsahuje:

upresnenu ulohu merania,

kratku teoreticku cast,

strucny a vystizny opis postupu meran a charakteristiky pouzitych meracch prstrojov,

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

24 FYZIKLNE MERANIA

namerane hodnoty (v tabulkach a grafoch),

vzorovy vypocet,

prehladne usporiadane vysledky merania,

vyhodnotenie merania, zaver.

2. Vo vzorovom vypocte dosadzujeme do vysledneho vztahu namerane hodnoty aj s prslus-

nymi jednotkami (pozri napr. vypocet modulu E v casti 1.4.2). Pomocne vypocty (nasobe-

nie, kratenie a pod.) neuvadzame.

3. Podkladom na vyhodnotenie merania, ktore uvadzame v zavere referatu, je okrem vlast-

nych vysledkov aj dosiahnuta presnost nameranych velicn (ohodnotena neistotou mera-

nia), ocakavane vysledkypodla teorie a tabulkove hodnoty. Zhodnotmevplyv fyzikalnych

podmienok merania na vysledok, poukazeme na zdroje chyb podla ich velkosti. Fyzikalne

interpretujeme aj tie pozorovania, ktore nas pri meran zaujali a neboli zahrnute v ulohach

merania.

4. Pri vypracovan referatu dbame na presnost a jazykovu cistotu vyjadrovacieho stylu,

dodrziavame zakladne typograficke pravidla a zasady psania odborneho textu.9

Laboratrny poriadok a zsady bezpenosti pri prci

1. Ucast studentov na cviceniach je povinna a kontrolovana.

2. Studenti su povinn prst na cvicenie vcas. Po zacat cvicenia je vstup do laboratoria

neprpustny.

3. Neprtomnost na cvicen bude ospravedlnena iba v odovodnenych vaznych prpadoch

(choroba, mimoriadna rodinna udalost, uradne predvolanie a pod.), po predlozen hod-

noverneho dokladu.

4. Student smie opustit cvicenie len so suhlasom ucitela.

5. Cvicenia sa uskutocnuju podla planu numerickych a laboratornych cvicen, ktory je vy-

pracovany na jednotlive tyzdne semestra a je zavazny.

6. Studentmus bytna kazde cvicenie pripraveny (psomna prpravapodla bodu 6 castiPrp-

rava merania). Student, ktory je nedostatocne pripraveny na laboratorne cvicenie samerania

nemoze zucastnit. V takomto prpade sa klasifikuje znamkou nevyhovel a u ucitela je

povinny vyziadat si nahradny termn cvicenia.

7. Do laboratoria sa nosia len nevyhnutne ucebne pomocky. Ostatne veci (kabaty, aktovky

9Zda sa mi veru, ze jedno najpotrebnejsie chybalo a chyba slovanskemu narodu a jazyku, a to pestovanie. A naozaj

ake velke zlo najma z toho pochadza, ze Slovania sa vedia dokonale naucit ine jazyky, ale naopak Nemci, Madari atd.

sa slovansku rec nikdy dokonale nenaucia, ani sa nou nevyjadria, lebo sa ucia bez zakladov iba pouzvanm; a vsade

sa odlisuje, lebo ju neovladaju pravidla.

Tobias MASNIK, Zprava psma slovenskeho, jak se ma dobre psati, csti a tisknouti. Levoca, 1696

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

1.5 Zsady prce v laboratriu 25

a pod.) si studenti odlozia v satni.

8. V laboratoriu sa studenti spravaju ohladuplne a disciplinovane. Cez prestavky je zakazane

zdrziavat sa v laboratoriu.

9. Laboratorna skupina (23 studenti) prevzatmkluca od skrinky k ulohe prebera zodpoved-

nost za prstroje a pomocky. Zistene poskodenia sustudenti povinn ihnedhlasit ucitelovi

a laborantovi.

10. Stratene alebo nedbalou manipulaciou poskodene prstroje a pomocky hradia studenti.

11. Z kazdeho laboratorneho cvicenia mus student vypracovat referat podla pokynov uve-

denych v casti Spracovanie a vyhodnotenie meran. Referaty musia byt vypracovane indivi-

dualne. Zaznam o meran (psomna prprava) je sucast referatu.

12. Referat bude vrateny na opravu, ak nevyhovie uvedenym poziadavkam.

13. Referat (i vrateny na opravu) mus student odovzdat na nasledujucom laboratornom

cvicen. Student, ktory nedodrz termn odovzdania, bude klasifikovany znamkou nevy-

hovel.

Uvedene poziadavky su v sulade s Podmienkami na zskanie zapoctu, s ktorymi su studenti obo-

znamen na zaciatku semestra.

Zakladom bezpecnosti pri praci je dodrziavanie laboratorneho poriadku a pokynov veduceho

cvicenia. Studenti musia bezpodmienecne dodrziavat tieto bezpecnostne zasady:

V laboratoriu pracujeme disciplinovane, zdrziavame sa v priestoroch vymedzenych pre tu-ktoru

ulohu.

Pracujeme sustredene a predvdavo, hlavne s takymi pomockami ako je sklo, horuca kvapalina,

ortut, elektricky prud, plamen plynoveho horaka, laserovy luc, radioaktvne preparaty a pod.

Elektricke zdroje vsetkych napat zapaja a odpaja ucitel alebo laborant. Studenti zapajaju elektricke

schemy bez ich pripojenia na zdroje napatia.

Prsne dbame, aby pri meran nedoslo k dotyku s neizolovanymi castami elektrickych obvodov.

Poruchy na pomockach (poskodene, funkcne nesposobive casti, uvolnene svorky, mimoriadne pre-

hriatie a pod.) hlasime ihned veducemu cvicenia. V prpade ohrozenia neodkladne vykoname ne-

vyhnutne opatrenia na odvratenie nebezpecenstva.

Pokyny pre prcu v jadrovom laboratriu

Radioaktvne latky su zdrojom neviditelneho ziarenia, ktore ak je intenzvne alebo posob na or-

ganizmus dlhsiu dobu, zaprcinuje rozne ochorenia a v krajnom prpade i smrt. Preto pracujeme

s nimi obozretne a k ochrane pouzvame rozne ochranne prostriedky. Posobenie na organiz-

mus moze byt vonkajsie a vnutorne. Proti ziareniu dopadajucemu na organizmus zvonku sa

chranime:

dostatocnou vzdialenostou od zdroja ziarenia,

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

26 FYZIKLNE MERANIA

minimalizaciou doby oziarenia,

ochrannymi krytmi a ochrannym oblecenm (plast, rukavice),

dozimetrickoukontrolouprijatej davky ziarenia, ktora nesmie prekrocitnormouprpustnu hodnotu.

Dbame, aby radioaktvne latky nevnikli do organizmu dychacou a zazvacou cestou. Toto vnu-

torne posobenie je obzvlast nebezpecne, pretoze mnohe radioaktvne latky sa usadzuju v roz-

nych organoch (pecen, oblicky, kostna dren a pod.) a ak je ich doba polpremeny T1/2 velmi dlha

(stroncium, radium), potom ich ucinok je dlhodoby a nebezpecny. V nasom laboratoriu pouz-

vane ziarice su pevne uzavrete a ulozene v krytoch, takze pri spravnej manipulacii s nimi je unik

radioaktvnej latky vyluceny. Pre bezpecnu pracu v jadrovom laboratoriu je nutne dodrziavat

tieto hlavne zasady:

1. Pri praci pouzvame pracovny plast a tuzkovy dozimeter.

2. Na tuzkovom dozimetri odctame hodnotu ukazovatela pred a po skoncen prace. Rozdiel

udajov je prijata davka ziarenia.

3. V laboratoriu je zakazane jest a pit.

4. So ziaricmi zasadne nemanipulujeme.

Zsady bezpenosti pri prci s laserom

Lasery su zdrojom intenzvneho ziarenia vo viditelnej i neviditelnej spektralnej oblasti. Toto

ziarenie je skodlive osobam i predmetom, predovsetkym svojimi tepelnymi ucinkami. Ziarenie

laseru moze u cloveka sposobit poranenie pokozky a poskodenie oc. Citlivost na laserove

ziarenie je individualna. Ochrana pred ucinkami laseroveho ziarenia sa zaist dodrziavanm

tychto zasad:

1. Praci s laserom je nutne venovatmaximalnu opatrnost.

2. V priestore vyhradenom pre laser sa mozu zdrziavat len t studenti, ktor prslusnu ulohu

meraju.

3. Laser zapna a vypna ucitel. Studenti smu manipulovat len s tymi prstrojmi a ovladacmi

prvkami, ktore su nevyhnutne na splnenie ulohy merania.

4. Na sietnicu oka nesmie dopadnut laserovy luc. Oko moze byt poranene nielen priamym,

ale aj odrazenym svetlom. Pri meran je preto nutne odlozit z ruky vsetky leskle predmety

(hodinky, prstene a pod.).

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

E12 URENIE NBOJA ELEKTRNUZ CHARAKTERISTIKY TRANZISTORA

Ulohy merania

1. Namerat a graficky znazornit zavislost lnUR = f (UEB).

2. Z nameranych hodnot urcitnaboj elektronumetodou najmensch stvorcov, vysledok ohod-

notit standardnou neistotou.

3. Porovnat hodnoty naboja urceneho meranm s tabulkovou hodnotou.

Teoreticky zaklad

Jednou z metod nepriameho urcenia naboja elektronu10 je meranie voltamperovej (VA) charak-

teristiky polovodicoveho pn priechodu. Tato metoda predpoklada meranie zavislosti prudu I

tecucehopriechodomodnapatiaU pripojeneho na priechod.Nameranie tejtoVA charakteristiky

je vsak vyhodnejsie pouzit tranzistorovy pn priechod emitorbaza v zapojen so spolocnym

emitorom.

10Zaklad k objaveniu elektronu polozil v roku 1833 anglicky fyzik Michael Faraday svojimi zakonmi o elektrolyze.

V roku 1897 anglicky fyzik Sir Joseph John Thomson podal dokaz o existencii volnych elektronov, ked identifikoval

katodove luce ako prud zaporne nabitych castc a urcil ich merny naboj m/e = 1,3 1011 kg/C meranm odklonu lucovv magnetickom a elektrickom poli. Analogicku metodu, ako Thomson, pouzil na urcenie merneho naboja elektronu

v rokoch 1896 az 1898 nemecky fyzik Walter Kaufmann, nameral hodnotu m/e=0,54 1011 kg/C. Irsky fyzik George Johns-tone Stoneyna zaklade Faradayovych zakonov elektrolyzy v r. 1874 prvykrat odhadolminimalnuhodnotuelementarneho

naboja 1020 C. Stoney v r. 1894 uverejnil pracu s nazvom O elektrone alebo o atome elektriny, cm sa zrodil termn elek-tron pre elementarny naboj (elektronom nazyval zaporny naboj jednovalentneho ionu). V r. 1903 Thomsonov ziak skotsky

fyzik Charles Thomson Rees Wilson robil pokusy v hmlovej komore medzi doskami kondenzatora; komoru skonstruoval

uz v r. 1895. Zskal hodnotu naboja elektronu 1,03 1019 C. Americky fyzik Robert Andrews Millikan po mnohorocnomusil od r. 1897 experimentalne stanovil v r. 1911 naboj elektronu e = (1,616 0,003) 1019 C. V rokoch 1906 az 1914urcoval strednu hodnotu elementarneho naboja zo strat a ziskov elektronov jedinej kvapky oleja. Podobnym sposobom

zmeral v r. 1912 rusky fyzik Abram Fiodorovic Ioffe naboj elektonov uvolnovanych pri fotoelektrickom jave.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

28 FYZIKLNE MERANIA

Tranzistor11 v elektrickych obvodoch mozeme uvazovat ako stvorpol, v zasade vsak vzdy ako

nelinearny prvok. Z fyzikalneho hladiska je tranzistor znacne zlozity prvok, ktoreho vlastnosti

sa snazme opsat nahradnymi schemami. Nahradne fyzikalne modely (obvody) maju vyhodu

v prehladnosti a vo vsestrannej pouzitelnosti. J. J. Ebers a J. L. Moll ( 1954) zostavili sustavu rovnc

pre napatia a prudy podla jednoduchej predstavy o npn tranzistore, ako o kombinacii dvoch za

sebou zapojenych priechodov pn. Tranzistorovy jav vznikne, kedsu dva pn priechody v takej

tesnej blzkosti, ze nosice naboja jedneho pn priechodu, polarizovaneho v priamom smere,

ovplyvnuju zavernu schopnost druheho pn priechodu, polarizovaneho v zavernom smere.

Charakteristickymznakom cinnosti tranzistora je odvadzaniemensinovych nosicov priechodom

kolektorbaza skor, ako mozu rekombinovat. Tranzistor vsak mozeme zapojit aj inverzne tak,

ze priechod kolektorbaza dodava nosice a priechod emitorbaza ich odvadza.

Obrzok 3 Ebersova-Mollova nahradnaschemanpn tranzistora.Kazdy pnpriechod je re-

prezentovany diodou a ich vzajomna interakcia

je vyjadrena prudovymi zdrojmi, kde I je pru-

dovy zosilnovac cinitel na useku emitorbaza

kolektor, N je prudovy zosilnovac cinitel na

useku kolektorbazaemitor

Staticke charakteristiky plosneho (bipolarneho) tran-

zistora, akovysledok tranzistoroveho javu sa vyjadruju

analyticky na zaklade diodovych (Shockleyovych) rov-

nc pre emitorovy a kolektorovy priechod. Zavislost

emitoroveho prudu IDE od napatia UEB emitoroveho

priechodu vyjadruje vztah

IDE = IET

(e

eUEBkBT 1

)(31)

a zavislost kolektoroveho prudu IDK od napatia UKB

kolektoroveho priechodu vyjadruje zase vztah

IDK = IKT

(e

eUKBkBT 1

), (32)

kde IET a IKT su pokojove (zvyskove) teplotne

prudy nasytenia emitoroveho resp. kolektoroveho

priechodu pn, T je absolutna (termodynamicka) tep-

lota, kB je Boltzmannova konstanta.

V Ebersovom-Mollovom modely su oba spomenute re-

zimy linearne superponovane. Tento fyzikalny mo-

del tranzistora mozeme opsat sustavou rovnc, ktore

zaroven opisuju charakteristiky idealneho tranzistora.

Z obrazku 3 vidiet, ze prud emitora a kolektora majuvo vseobecnosti dve zlozky: injekcnu (IDE resp. IDK)

a zberaciu (I IDK resp. N IDE), pre IE a IK plat

IE = IDE I IDK, (33a)IK = N IDE IDK. (33b)

11Prvy tranzistor s hrotovymi kontaktmi skonstruovali v roku 1947 americania John Bardeen, Walter Brattain a Wiliam

Schockley z Bellovych laboratori v USA. Coskoro v roku 1951 W. Schockley vytvoril spolahlivejs planarny PNP tranzistor,

ktoreho vyroba bola omnoho lahsia. Slovo tranzistor vzniklo kombinaciou slov transferovat a rezistor.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

E12 URENIE NBOJA ELEKTRNU Z CHARAKTERISTIKY TRANZISTORA 29

Dosadenm (31) a (32)do sustavy (33) a upravoudostaneme (z dovoduprehladnosti sme zaviedli

tieto substitucie a11= IET, a12=I IKT, a21=N IET, a22= IKT)

IE = a11

(e

eUEBkBT 1

) a12

(e

eUKBkBT 1

), (34a)

IK = a21

(e

eUEBkBT 1

) a22

(e

eUKBkBT 1

), (34b)

kde a11, a12, a21 a a22 su konstanty, ktore ako uz bolo spomenute, reprezentuju zvyskove prudy

priechodov. Vzladom na to, ze IET IKT a N 1, mozeme polozit a12 = a21 a a11 a22.12Upravou rovnc (34) mozeme eliminacnou metodou vylucit napatie UKB a dostaneme:

a11 IE a12 IK = (a211 a212)(e

eUEBkBT 1

). (35)

Kedze prud bazy IB je ovelamens ako prud emitora IE alebo prud kolektora IK, pricommozeme

predpokladat IE IK, po uprave rovnicu (35) prepseme do tvaru

IK (a11 + a12)(e

eUEBkBT 1

). (36)

Obrzok 4 Bipolarny tranzistorNPN v zapojen so spo-locnym emitorom. V1 je voltmeter na meranie napatia

emitor-baza UEB, V2 je voltmeter na meranie napatia URna kolektorovom odpore R

Namiesto merania kolektoroveho prudu IK je

vyhodnejsie meratnapatie na kolektorovom od-

pore R a pouzitmOhmovho zakonavyjadrit IK.

Pre vacsie napatia UEB ako kBT/e je exponen-

cialny clen ovela vacs ako 1 a s dobrym pribl-

zenm mozeme rovnicu (36) prepsat do tvaru

UR = BeeUEBkBT , (37)

kde B je konstanta.13 Logaritmovanm transfor-

mujeme rovnicu do linearneho tvaru y= a + bx

lnUR = ln B +e

kBTUEB. (38)

Metodou najmensch stvorcov mozeme urcit

optimalnu hodnotu smernice b. Dals parame-

ter a neurcujeme, pretoze od neho hodnota naboja elektronu nezavis.

Postup pri meran, spracovan a vyhodnoten

Aparatura je v laboratoriu skompletizovana a pripravena na meranie. Zakladna schema za-

pojenia je na obrazku 4. Meranie vykoname podla instruktazneho navodu, ktory je prilozenyk experimentalnemu zariadeniu. Merane hodnoty jednotlivych napat zapisujeme do tabulky 3.

12Koeficienty a12 a a21 sa musia rovnat, lebo uvazujeme sumerny bezdriftovy tranzistor.13Pre teplotu t = 20 C je kBTe 25,3 mV.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

30 FYZIKLNE MERANIA

Potrebujeme zmeratnapatieUEB a zodpovedajuce napatie na kolektorovom odporeUR. Napatie

UEB menme v rozsahu 0,5 az 0,7 V ameriame ho cslicovym voltmetrom V1. Zodpovedajuce na-patie UR meriame voltmetrom so sirokym rozsahom V2. Pri kazdom meran napat zapisujemedo tabulky teplotu tranzistora a do vztahu (38) dosadme jej aritmeticky priemer. Pouzitm me-

tody najmensch stvorcov urcme hodnotu e/kBT a vycslme naboj elektronu (pozri obrazky 5a 6), vysledok ohodnotme standardnou neistotou a porovname s tabulkovou hodnotou.

Regresna funkcia:

y = B e D x

B =1.002e08 D =3.280e+01 e =1.326e19 C

2 = 2.8253 NP = 12

0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66

0

5

10

15

20

25

Napatie UEB (V)

Nap

atie

UR

(V)

Obrzok 5 Graf znazornuje priebeh nameranych hodnotnapatia UR ako funkciu napatia emitorbaza UEB a spojitu

krivku, ktora bola zskana fitovanm podla vztahu (37)

programom MATLAB pouzitm funkcie fminsearch. Vy-

cslena hodnota naboja elektronu z takto zskaneho para-

metra D je 1,326 1019 C

Regresna funkcia:

ln y = ln + x

=4.375e+01 e =1.769e19 C

0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66

2

1

0

1

2

3

Napatie UEB (V)

ln U R

Obrzok 6 Graf znazornuje priebeh nameranych hodnotnapatia UR ako funkciu napatia emitorbaza UEB a spojitu

krivku, ktora bola zskana fitovanm podla vztahu (38)

programom MATLAB pouzitm funkcie polyfit. Vycs-

lena hodnota naboja elektronu z takto zskaneho para-

metra je 1,769 1019 C

Tabuka 3 Vzorova tabulka na zaznam nameranych hodnot k ulohe E12

i UEBVURV

TK

1

...

15

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

E14 OVERENIE STEFANOVHO-BOLTZMANNOVHOZKONA (bez pouitia pyrometra)

Ulohy merania

1. Meranm voltamperovej charakteristiky volframovej ziarovky zostrojit graf zavislosti

RT(UI) pre male hodnoty napatia U = 16 V a graf zavislosti ln P(ln T) privedeneho

vykonu od teploty pre vyssie napatia U =20120 V.

2. Urcit exponent v mocnine zavislosti M0 od T v rovnici (40) stanovenm hodnoty para-

metera n v rovnici (52) metodou najmensch stvorcov, vysledok ohodnotit standardnou

neistotou.

Teoreticky zaklad

Objasnenie zakonitost tepelneho ziarenia a elektromagnetizmu viedlo k vzniku kvantovej fy-

ziky. Stefanov-Boltzmannov zakon, ktory je integralnym tvarom Planckovho zakona ziarenia

absolutne cierneho telesa, umoznuje kvantitatvne vysetrit v laboratornych podmienkach zako-

nitosti tepelneho ziarenia telies.

Spektralna hustota vyzarovania absolutne cierneho telasa M0 (energia vyziarena v intervale

vlnovych dlzok (, +d) z plosnej jednotky povrchu telesa za jednotkovy cas pri teplote T) je

vyjadrena Planckovym vztahom

dM0(T, )

d=

2pi c2 h 5

eh c

kBT 1

(W

m3

). (39)

Celkova vyziarena energia za jednotku casu z plosnej jednotky pre vsetky vlnove dlzky je

M0 =

0

M0d =2pi5

15

k4Bc2 h3

T4 = T4, (40)

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

32 FYZIKLNE MERANIA

co je matematicke vyjadrenie Stefanovho-Boltzmannovho zakona. Experimentalne tento vztah po-

tvrdil slovinsky fyzik Jozef Stefan v r. 1879 a teoreticke zdvovodnenie zakona previedol rakusky

fyzik Ludwig Eduard Boltzmann v r. 1884.

Ked teleso nie je absolutne cierne vztah (40) sa modifikuje do tvaru

M0 = T4, (41)

kde je emisivita14 povrchu.

V nasom laboratornom cvicen ako zdroj ziarenia pouzijeme volframove vlakno ziarovky, pre

ktore je emisivita 0 < < 1. Na overenie vztahu (40) pouzijeme postup, pri ktorom aplikujeme

princp Piraniho vakuometra (r. 1906), v ktorom sa vyhodne pouzva ziarovka, napr. 40W/230V

napajana napatm 3 az 4 V. Po pripojen napatia na vlakno sa jeho teplota zvysuje tak dlho, az

dojde k rovnovaznemu stavu, ked je prkon privadzany do vlakna rovny energii odvadzanej

molekulami okoliteho plynu, energii Ev vyziarenej vlaknom a energii Ep odvadzanej prvodmi

vlakna za sekundu. V rovnovaznom stave plat

dQ1dt

= I2RT (privedene teplo za sekundu), (42)

dQ2dt

= S(T T0) (odvedene teplo za sekundu), (43)kde I je elektricky prud prechadzajuci vlaknom ziarovky, RT je odpor vlakna, je koeficient

prenosu tepla povrchom a prvodmi vlakna, S je povrch vlakna, T je ustalena teplota vlakna a T0je teplota plynu obklopujuceho vlakno. V ustalenom stave plat

dQ1dt

=dQ2dt

. (44)

Na zvysenie teploty vlakna o T =(T T0) mozeme z poslednej rovnice napsat

T =I2 RT

S. (45)

Dosledkom tejto zmeny teploty je zvysenie odporu vlakna o R = RT R0. Odpor kovovehovodica zavis od teploty podla vztahu RT = R0(1+ T), teda pre T plat

T =RT R0

R0. (46)

Z rovnosti pravych stran rovnc (45) a (46) po uprave mozeme napsat vyraz pre odpor vlakna

ziarovky ako funkciu jej prkonu I2RT =UI

RT = R0 + R0S

I2RT , aleboU

I= R0 +

R0S

UI. (47)

Meranm prudu pri malych hodnotach napatia (2 az 12 V) dostaneme predpokladanu linearnu

zislostRT(UI), z ktorej metodou najmensch stvorcov urcme optimalne hodnoty parametrov a

14Emisivita je pomer vyzarovania tepelneho ziarica k vyzarovaniu cierneho telasa pri takej istej teplote = M/

M0 =

= 0 (, T) M0d

/ 0 M0d.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

E14 OVERENIE STEFANOVHO-BOLTZMANNOVHO ZKONA (bez pouitia pyrometra) 33

a b meranej linearnej zavislosti y = a + bx. Parameter a je rovny hodnote odporu vlakna zia-

rovky R0 pri teplote T0 a parameter b = R0/

S. Hodnotu R0 budeme potrebovat pri urcovan

teploty vlakna ziarovky T pri vyssch hodnotach dodavanej energie (kedvlakno ziari). Teplotu

vlakna budeme poctat z rovnice (46) upravenej do tvaru

T =RT + R0(T0 1)

R0=

UI + R0(T0 1)

R0. (48)

Pri vyssch hodnotach privedenej energie do vlakna musme v rovnici (43) zohladnit aj po-

diel vyziarenej energie vlaknom Ev a ziarivej energie, ktora dopada na vlakno z okolia. Pre

rovnovazny stav plat rovnica

UI = S(T T0) + ST4 BT40 , (49)

kde sucin BT40 je ziarivy vykon dodavany z okolia a B je konstanta.

Obrzok 7 Schema zapojenia pr-strojovnaoverenie Stefanovho-Boltz-

mannovho zakona.ATautotransfor-

mator, Aampermeter, Vvoltmeter,

ziarovka

Pri teplotach nad 1000 K je T4 T40 a rovnicu mozeme prepsatdo tvaru

UI = S(T T0) + ST4 (50)

a po kratkej uprave dostaneme (pomocou parametrov a a b sme

vyjadrili S= ab )

UI ab

(T T0) = ST4. (51)

Zavedme tieto substitucie: UI ab (T T0) = P, 4= n, S == m. Logaritmovanm transformujeme upravenu rovnicu (51)

do linearneho tvaru y=m + nx

ln P = lnm + n ln T. (52)

Konstanty m a n vypoctame metodou najmensch stvorcov pre

taky interval ln T, v ktorom je zavislost ln P(ln T) linearna.Kedze parametre m a n urcene z rovnice (52) su zavisle od

volby hranicnych bodov linearizacie, merane hodnoty je po-

trebne spracovat aj volbou inych hranicnych hodnot ln T. Z uvedeneho vykladu vyplyva, ze

hodnota parametra n je vlastne mierou overenia Stefanovho-Boltzmannovho zakona. Ked je

hodnota parametra n blzka cslu 4, experimentalne overenie zakona mozeme povazovat za

uspokojive.

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

34 FYZIKLNE MERANIA

Postup pri meran, spracovan a vyhodnoten

Regresna funkcia:

ln y = ln m + n ln x

n =3.663

7.45 7.5 7.55 7.6 7.65 7.7 7.751.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

ln T ()

ln P*

()

Obrzok 8 Graf znazornuje priebeh nameranych hodnot ln P ako fun-kciu ln T a spojitu krivku, ktora bola zskana fitovanm podla vztahu

(52) programomMATLAB pouzitm funkcie polyfit. Vycslena hodnota

parametra n je 3,663

Ziarovku zapojme do obvodu na

meranie podla obrazku 7. Ob-vod pozostava z regulovatelneho

zdroja (obvykle je to autotransfor-

mator), ampermetra A a voltmer-tra V. Ako prve meranie vykonamesnmanie voltamperovej charakte-

ristiky ziarovky pre male hodnoty

napatia v rozsahu16V (po jednom

volte). Merane hodnoty napatia U

a prudu I zapisujeme do tabulky 4a vypoctame jednotlive P = UI

a R =U/

I. Zo zavislosti (47) meto-

dounajmensch stvorcovurcme R0

a sucin S. Hodnota teplotneho ko-

eficientu odporu pre volfram = 0,004 8 K1. Druhu voltamperovu charakteristiku ziarovkymeriame pri vyssch napatiach od 20 V do 120 V s krokom 5 V, pricom merane hodnoty U a I

zapisujeme do tabulky 5 a opatvypoctame jednotlive P=UI a R=U/

I. Pomocou vztahu (48)

poctame teplotu vlakna T pri jednotlivych U a I, a zo zavedenej substitucie do vztahu (52)

zase P. Na urcenie parametra n graficky priebeh logaritmovanych hodnot y = ln P a x = ln Tanalyzujememetodou najmensch stvorcov.Graf spracujemepodla pokynov uvedenych v uvod-

nej casti Graficke metody spracovania meran.

Tabuka 4 Vzorova tabulka na zaznam nameranych a vypoctanych hodnot k ulohe E14

i IAUV

P=UIW

R=U/I

1...

Tabuka 5 Vzorova tabulka na zaznam nameranych a vypoctanych hodnot k ulohe E14

i IAUV

R=U/I

P=UIW

TK

TT0K

PW ln T ln P

1...

ww

w.tu

ke.sk

/sevc

ovic

E16 URENIE HMOTNOSTNHO NBOJAELEKTRNU MAGNETRNOM

Ulohy merania

1. Urcte hmotnostny naboj elektronu meranm charakteristiky IA = f (Im) pre tri rozne hod-

noty UA.

2. Inflexne body kriviek z predchadzajucej ulohy urcte numerickym derivovanm experi-

mentalnej krivky, prpadne pouzitm grafickej derivacie!15

3. Hmotnostny naboj elektronu vypoctany podla vztahu (65) porovnajte s tabulkovou