CAPITULO IIILa funcin Bessel fue encontrada como solucin de un problema de movimiento planetario por el matemtico y astrnomo Friedrich Wilhem Bessel. La aplicacin de las funciones Bessel (es ms extensa que la de las funciones gamma) se extiende a los campos de ingeniera elctrica, acstica, hidrodinmica, termodinmica, electricidad y mecnica celeste. Las funciones Bessel son soluciones particulares de la ecuacin diferencial: (1) que recibe el nombre de ecuacin de Bessel de orden n, aunque por supuesto,la ecuacin la ecuacion diferencial es de orden 2; n es cualquier nmero real o complejo. La forma de la solucin general depende del caracter de n. El estudio de las funciones Bessel se empezar buscando una solucin particular de la ecuacion (1) para cuando n es real positivo, usando el mtodo de Frobenius, donde se postula que la solucin es de la forma:x2 y + xy + (x2 n2 )y = 0

FUNCION BESSEL

y 1 = xn=1 0

an x n

ya que inmediatamente se ve que x = 0 es un punto singular regular de la ecuacin (1). Entonces esta solucin debe ser vlida en 0 x ahora sigue hacer el cuadro correspondiente: x x +1 x +2 x + 3... n y a n a n an a n xy a a 2 1 0 2 1 2 2 2 3 2 2 1 0 1

xy1 x2 y 1

a0 c a1 (c + 1) a0 c(c 1) a1 c(c + 1)

a2 (c + 2) a2 (c + 1)(c + 2)

a3 (c + 3) a3 (c + 2)(c + 3)

(2) La ecuacin inicial se encuentra a partir de los trminos con menor exponente (o usando la frmula 8 del Capitulo II):a0 (c2 n2 ) = 0 c = n (a0 = 0 y arbitraria), como n > 0, por hipotesis, entonces :

cuando 2n es igual a un entero positivo, se tiene la certeza de una solucin de la forma (1), la cual corresponde a la raiz ms grande,c1 = n

c1 c2 = 2n > 0

Del cuadro (2) se encuentra:

a1 (n + 1)2 n2 = 0

a1 = 0

a2 [(n + 2)2 n2 ] + a0 = 0

a2 =

a0 2(2n + 2)

a3 [(n + 3)2 n2 ] + a1 = 0

a3 = 0

a4 [(n + 4)2 n2 ] + a2 = 0

a4 =

a2 4(2n + 4)

Por consiguiente:ak =

Ntese que todas las aes con subndice impar valen cero. Con las aes pares se construyen los coecientes en trminos de a : As: a0

ak2 k(2n + k)

(k 2)

a4 =

0

2 4(2n + 2)(2n + 6)

a6 =

a0 2 4 6(2n + 2)(2n + 4)(2n + 6) a0 2 4 6..,2k(2n + 2)(2n + 4)...(2n + 2k) 22k k!(n a0 + 1)(n + 2)...(n + k)

a2k = (1)k

= (1)k1

por ende el trmino general de y es:(1)k

Recuerden que la funcion de Bessel es una solucin particular de la ecuacion diferencial (1), por ello es conveniente seleccionar a a para que este trmino general que se acaba de encontrar se simplique. Se podria tomar a = 1; pero resulta mejor:0 0

a0 xn+2k 2k k!(n + 1)(n + 2)...(n + k) 2

a0 =

1 2n (n + 1)

porque de esta forma tanto el exponente de Xcomo el de 2 se haceniguales; adems los factores (n + 1)...(n + k) se combinan con (n + 1) para dar (n + k + 1). Por consiguiente, la solucin particular, y , que se busca es:1

(2) Esta es la denicin de la funcin Besse de orden (n 0). La serie converge uniformememnte en cualquier intervalo nito:

y1 = Jn (x) =

(1)k

k=0

xn+2k , 2n+2k k!(n + k + 1)

(n 0)

a2(k+1) | |= a2k =

1 2n+2(k+1) )k+1)!(n+k+2) 1 2n+2kk!(n+k+1)

xn+2(k+1) xn+2k x2

2n+2k k!(n + k + 1) 2n+2k 22 (k + 1)k!(n + k + 1)(n + k + 1) = 22 (k 1 k 0 + 1)(n + k + 1)

Tambin hay convergencia absoluta para cualquier X nita, puesto que:1 2n+2k k!(n + k + 1) 1) basta utilizar las propiedades recursivas(ver mas adelante)

PROGRAMA BESSEL0

WRITE(*,*) ' DAME EL VALOR DE X' READ(*,*) X XTEMP=BESSJ0(X) WRITE(*,*)X,XTEMP END FUNCTION BESSJ0(X) REAL*8 Y,P1,P2,P3,P4,P5,Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,R1,R2,R3,R4,R5,R6 * S1,S2,S3,S4,S5,S6 DATA P1,P2,P3,P4,P5/1.DO,-.1098628627D-2,.2734510407D-4, * -.2073370639D-5,.2093887211D-6/, Q1,Q2,Q3,Q4,Q5/-.1562499995D*1, * .1430488765D-3,-.6911147651D-5,.7621095161D-6,-.934945152D-7/ DATA R1,R2,R3,R4,R5,R6/57568490574.D0,-13362590354.D0,651619640.7D *0, * -11214424.18D0,77392.33017D0,-184.9052456D0/, * S1,S2,S3,S4,S5,S6/57568490411.D0,1029532985.D0, * 9494680.718D0,59272.64853D0,267.8532712D0,1.D0/ IF(ABS(X).LT.8.)THEN Y=X**2 BESSJ0=(R1+Y*(R2+Y*(R3+Y*(R4+Y*(R5+Y*R6))))) * /(S1+Y*(S2+Y*(S3+Y*(S4+Y*(S5+Y*S6))))) ELSE AX=ABS(X) Z=8./AX Y=Z**2 XX=AX-.785398164 BESSJ0=SQRT(.636619772/AX)*(COS(XX)*(P1+Y*(P2+Y*(P3+Y*(P4+Y * *P5)))))-Z*SIN(XX)*(Q1+Y*(Q2+Y*(Q3+Y*(Q4+Y*Q5))))) ENDIF RETURN END

PROGRAMA BESSEL1

WRITE(*.*) ' DAME EL VALOR DE X' READ(*.*) X XTEMP=BESSJ1(X) WRITE(*,*)X,XTEMP END FUNCTION BESSJ1(X) REAL*8 Y,P1,P2,P3,P4,P5,Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,R1,R2,R3,R4,R5,R6, * S1,S2,S3,S4,S5,S6 DATA R1,R2,R3,R4,R5,R6/72362614232.D0,-789059235.D0,242396853.1D0 *, * -2972611.439D0,15704.48260D0,-30.16036606D0/, * S1,S2,S3,S4,S5,S6/144735228442.D0,2300535178.D0, * 18583304.74D0,99447043394D0,376.9991397D0,1.D0/ DATA P1,P2,P3,P4,P5/1.D0,.183105D-2,-.3516396496D-4,.247520174D-5 *, * -.240337019D-6/, Q1,Q2,Q3,Q4,Q5/.04687499995D0,-.2002690873D-3 *, * .8449199096D-5,-.88228987D-6,.105787412D-6/ IF(ABS(X).LT.8. )THEN Y=X**2 BESSJ1=X*(R1+Y*(R2+Y*(R3+Y*(R4+Y*(R5+Y*R6))))) * /(S1+Y*(S2+Y*(S3+Y*(S4+Y*(S5+Y*S6))))) ELSE AX=ABS(X) Z=8./AX Y=Z**2 XX=AX-2.356194491 BESSJ1=SQRT(.636619772/AX)*(COS(XX)*(P1+Y*(P2+Y*(P3+Y*(P4+Y * *P5))))-Z*SIN(XX)*(Q1+Y*(Q2+Y*(Q3+Y*(Q4+Y*Q5))))) * *SIGN(1.,X) ENDIF RETURN END Un ejercicio interesante es la traduccin de estos dos programas al APL; tambin se puede practicar con el primer polinomio dado arriba.

Cuadro (1) Valores de las funciones Bessel de orden 0, 1 y 2 (Fuente: Handbook of Mathematical Functions - ver capitulo 1)0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0x

1.00000 0.99750 0.99002 0.97762 0.96039 0.93846 0.91200 0.88120 0.84628 0.80752 0.76519 0.71962 0.67113 0.62008 0.56685 0.51182 0.45540 0.39798 0.33998 0.28181 0.22389 0.16660 0.11036 0.05553 +0.00250 -0.04838 -0.09680 -0.14244 -0.18503 -0.22431 -0.26005 -0.29206 -0.32018 -0.34429 -0.36429 -0.38012 -0.39176 -0.39923 -0.40255 -0.40182 -0.39714 -0.38866 -0.37655 -0.36101 -0.34225 -0.32054 -0.29613 -0.26933 -0.24042 -0.20973 -0.17759

J0 (x)

00000 15620 49722 62465 82266 98072 48634 08886 73527 37981 76865 20185 27442 59895 51203 76717 21676 48594 64110 85593 07791 69803 22669 97844 76832 37764 49543 93700 60333 15457 19549 43476 81696 62603 55967 77399 89837 02033 64101 60148 98098 96798 70543 11172 67900 25089 78165 07894 53272 83275 67713

(4)6 11

00000 66040 39576 38296 59563 40813 97211 07405 50480 22545 57967 27511 64363 61509 74289 35918 39381 46109 42558 74385 41236 31990 22174 45602 97244 68198 97038 46012 64387 91968 01933 50698 57123 98885 62000 87263 00798 71191 78564 87640 63847 35854 67568 36535 03886 85121 74141 19753 91183 85326 14338

0.00000 0.04993 0.09950 0.14831 0.19602 0.24226 0.28670 0.32899 0.36884 0.40594 0.44005 0.47090 0.49828 0.52202 0.54194 0.55793 0.56989 0.57776 0.58151 0.58115 0.57672 0.56829 0.55596 0.53987 0.52018 0.49709 0.47081 0.44160 0.40970 0.37542 0.33905 0.30092 0.26134 0.22066 0.17922 0.13737 0.09546 0.05383 +0.01282 -0.02724 -0.06604 -0.10327 -0.13864 -0.17189 -0.20277 -0.23106 -0.25655 -0.27908 -0.29849 -0.31469 -0.32757

J1 (x)

(4)5 8

00000 75260 08326 88163 65780 84571 09881 57415 20461 95461 05857 23949 90576 32474 77139 65079 59353 52315 69517 70727 48078 21358 30498 25326 52682 41025 82665 13791 92469 74818 89585 11331 32488 34530 58517 75274 55472 39877 10029 40396 33280 32577 69421 65602 55219 04319 28361 07358 98581 46710 91376

0.00000 0.00124 0.00498 0.01116 0.01973 0.03060 0.04366 0.05878 0.07581 0.09458 0.11490 0.13656 0.15934 0.18302 0.20735 0.23208 0.25696 0.28173 0.30614 0.32992 0.35283 0.37462 0.39505 0.41391 0.43098 0.44605 0.45897 0.46956 0.47768 0.48322 0.48609 0.48620 0.48352 0.47803 0.46972 0.45862 0.44480 0.42832 0.40930 0.38785 0.36412 0.33829 0.31053 0.28105 0.25008 0.21784 0.18459 0.15057 0.11605 0.08129 0.04656

J2 (x)

(4)3 7

00000 89587 33542 58619 46631 40235 50967 69444 77625 63043 34849 41540 90183 66988 58995 76721 77514 89424 35353 57277 40286 36252 86875 45917 00402 90584 28517 15027 54954 70505 12606 70142 77001 16865 25683 91842 53988 96562 43065 47125 81459 24809 47010 92288 60982 89837 31052 30295 03864 15231 51163

Los programas anteriores dan el resultado con siete cifras decimales para J (x) y J (x) Las primeras cindo raices de J (x) = 0, J (x) = 0 son (con 4 cifras decimales):0 1 0 1

Raz 2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.93091

J0 (x) = 0

Diferencia 3.1153 3.1336 3.1378 3.1394

Raz 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237 16.47061

J1 (x) = 0

Diferencia 3.1839 3.1579 3.1502 3.1469

Note que las diferencias de las raices de J (x) = 0 se acercan a por debajo, y las de J (x) = 0, por arriba. Las raices de J (x) = 0 estn entre las raices de J (x) = 0 para formar una serie creciente. Un resultado interesante es que la suma de los reciprocos al cuadrado de las raices positivas de J (x) = 0 vale 1/4:0 0 0

positivas de cosx = 0:

(2,4048)2 + (5,5201)2 + (8,6537)2 + ... = 22

1 4

+

3 2

2

+

5 2

2

+ ... =

1 2

= 4 2 (1 + 32 + 52 + ...) = (4 2 )

2 8

Dos integrales que involucran a J0 (x) y J1 (x)

La ecuacin de Bessel de orden n es: y su solucin es y = J (x) Sea ax = x y = y /a , yn n

x2 y + xy + (x2 n2 )y = 0 ...(1) = y /a2

x2 y + xy + (a2 x2 n2 )y = 0

cuya solucin, por tanto, es: y = J (ax) , para n = 0, se tiene:xy + y + a2 xy = 0 y = J0 (ax)

(9)

Ahora se pueden obtener resultados interesantes y tiles al considerar dos de estas ecuaciones de Bessel de orden cero y sus soluciones: xu + u + xu = 0 u = J (x) (10) xv + v + xv = 0 v = J (x) (11) Ahora multiplique a la ecuacin (11) por u y a la ecuacion (10) por v, enseguida reste los resultados:2 o 2 0

u(xv + v + 2 xv) v(xu + u + 2 xu) = 0 ( 2 2 )xuv = x(u v + uv ) + (u v uv )

el lado derecho de esta ecuacin es una derivada exacta: tal que la integracin entre x = 0 y x = 1 da:1

d [x(u v uv )] = x(u v + u v uv u v ) + u v uv = dx = x(u v uv ) + (u v uv )

( 2 2 )0

xuv dx = |x(u v uv )|0 = |u v uv |x=1 yaqueu = J0 (x) u = d J0 (x) dx

1

u =

anlogamente:1 0

d d(x) J0 (x) = J1 (x) d(x) dx

v = Jo (x) v = J1 (x) xJ0 (x)J0 (x)dx =0

(12) Si y son raices distintas de J (x) = 0, es decir: J () y J () = 0, entonces la ltima ecuacin se reduce a:J1 ()J0 () + J0 ()J1 () 2 2o 0 1

xJ0 (x)J0 (x)dx = 00

( = )

Cuando = la expresin (12) queda indeterminada (0/0). Se puede calcular su lmite para ello considere que es una raiz de J (x) = 0 y una variable que tiende a , entonces el cociente del lado derecho de ecuacin (12) es:0

Ahora se aplica la regla de Hpital, diferenciando numerador y denominador con respecto a :to

J1 ()J0 () 2 2

l m

J1 ()J0 () J1 ()J1 () = l m 2 2 to 22 = 1/2J1 () 1 2 2 xJ0 (x)dx = 1/2J1 ()

Desarrollo de f (x) en trminos de la funcin Bessel de orden cero, J (x). Sean , , ..., , ... las raices positivas de J (x) = 0. Un gran nmero de funciones pueden desarrollarse como: f (x) = A J ( x) + ... + A J ( x) + ... (0 < x < 1) (13) En esta clase de problemas hayq ue encontrar los coecientes de .A". Para lograrlo se multiplica la ecuacin (13) por xJ ( x) y enseguida se integra de o a 1, con la hiptesis de que la integral es vlida. Por el resultado anterior, todas las integrales del lado derecho de ecuacin (13) se hacen cero, excepto la nica que contiene al factor de A , es decir:0 0 1 2 n 0 1 0 1 n 0 n 0 n n 1 1

xJ0 (n x)f (x)dx = An

2 xJ0 (n x)dx = 0

por ende:

0

An 2 J (n ) 2 1

An =

La ecuacin (13) da el desarrollo de f (x) y la frmula (14) los coecientes. Ejemplo: Desarrollar el nmero 1 en una serie de funciones de Bessel de orden cero. En este ejemplo:0

2 2 J1 (n )

1

xJ0 (n x)f (x)dx

(14)

f (x) = 1, An =

La integral se puede calcular, usando una d elas frmulas vistas, cambiando a x por x:0 n

2 2 J1 (n )

1

xJ0 (n x)dx

d [n xJ1 (n x)] = n xJ0 (n x) d(n x)dx xJ1 (n x) = zJ0 (n x)dx , porconsiguiente : n An = 2 xJ1 (n x) J1 r(n ) n1

d

=0

2 n J1 (n )

La serie correspondiente para el nmero 1 es: (15) Esta serie es vlida para 0 < x < 1; sin embargo, no es vlida para x = 1, ya que se reduce a cero, porque todos los numeradores son raices de la ecuacin J (x) = 0 (Todas las son sus raices positivas), es decir, existe una contradiccion:1= 2J0 (1 x) 2J0 (2 x) 2J0 (n x) + + ... + + ... 1 J1 (1 ) 2 J1 (2 ) n J1 (n )0

pero para x = 0 la serie obtenida s es vlida. Como J (0) = 1, entonces:0

1 = 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0 :

1=2

para encontrar el resultado:

n=1

1 n J1 (n )

1 1 = displaystylesum n=1 2 n J1 (n )

Si cambiamos n por -n en la denicin que se di de la funcin J (x) [ecuacin (3)] se tiene:n

La funcin Bessel Jn (x)

Jn (x) =k=0

(1)k

Cuando n no es un entero positivo la serie converge para todos los valores reales de x, excepto cero y dene la funcion J (x). Cuando ntoN > 0, entonces (n + k + 1) se vuelve innita para k = 0, 1, 2, ..., (N 1); por consiguiente estos trminos tienden a cero. La parte diferente de cero principia cuando k = N y toma la forma:n

xn+2k 2n+2k k!(n + k + 1)

(1)kk=N

xN +2k = (1)N 2N +2k k!(N + k + 1)

xN + 2N N !

la cual dene el valor de J(x), donde N es un entero positivo; por ende, la denicin completa de la funcin de Bessel de orden negativo es:

x xN +4 + N +4 ... 2N +2 (N + 1)! 2 (N + 2)!2!

= (1)N JN (x)

Jn (x) =k=0

(1)k

xn+2k 2n+2k k!(n + k + 1) (0 n = 1, 2, 3, ...)

Ponga

J1/2 (x) n = 1/2

al igual que J (x) se puede expresar en forma nita. en la funcin J (x):1/2 n

JN (x) = (1)N JN (x)

(N = 1, 2, 3, ...)

J1/2 (x) =k=0

(1)k x 2

1/2+2k 1/2+2k k! 2k+1 2

(

)

= (2/x)1/2k=0

(1)k (22k k! (1)kk=0

x2k2k1 2k3 ... 2 2 )(1/2) 2

= (2/x)1 /2

x2k 2k k! (2k 1)(2k 3)..,1 x2k = (2/x)1 /2cosx (2k)!

= (2/x) /2k=0 n

1

(1)k

La funcin J cuando se substituye por y en la ecuacin diferencial de Bessel la satisface, obviamente, porque J (x) diere de la solucin J (x) slo en el signo de n y sta aparece solamente al cuadrado en la ecuacin diferencial de Bessel. As, cuando n diferente de entero y de cero, se tienen dos soluciones particulares independientes:n n

y1 = Jn (x) ,

y2 = Jn (x)

(16) donde A, B son constantes arbitrarias. As, por ejemplo, la solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel de orden 1/2:y = AJn (x) + bJn (x) x2 y + xy + (x2 0,25)y = 0 es : y = AJ1/2 (x) + BJ1/2 (x) = A(2/x)1/2 senx + B(2/x)1/2 cosx cosx senx = C1 + C2 x x

de la ecuacin diferencial de Bessel de orden n. Por tanto, la solucin general es:

Cuando n = 0, entonces: y = (A + B)J (x) = CJ (x), C constante arvitraria; cuando n es un entero positivo (N > 0), entonces: y = [A + (1) B]J (x): por consiguiente, cuando n es cero o un entero la ecuacin (16) no d ala solucin general. No son sucientes las funciones J (x), J (x) para obtenerla. Las funciones que se han estudiado hasta ahora se llaman funciones Bessel de la primera clase : El problema en cuentin se resuelve con las funciones de Bessel de la segunda clase, las cuales se vern ms adelante.0 0 N N n n

Las funciones ber y bei

Considere la ecuacin diferencial que frecuentemente aparece en problemas de la fsica: xy + y ixy = 0 (donde i = (1) (17) que tiene la forma de la ecuacin que ya se estudi: por tanto a2

=i

, tal que una solucin particular es:3/2

xy + y + a2 xy = 0 y = J0 (ax)

y = J0 (ax) = J0 [(1)1/2 x] = J0 (i3/2 x)

Substituyendo (i Se tiene:

x)

por x en la serie que se obtuvo para J (x),0

(17)

J0 (i3/2 x) = 1

i6 x4 i9 x6 i 3 x2 + 4 6 + ... 22 2 (2!)2 2 (3!)2

x4 ix6 ix2 + ... =1+ 2 4 2 2 (2!)2 26 (3!)2 1 +i x8 x4 + 2 2 2 2 ... + 22 42 2 4 6 8

x2 x6 x1 0 2 2 2 + 2 2 2 2 2 + ... 22 2 4 6 2 4 6 8 10

= 1+k=1

(1)k

x4k + 22 42 62 ... (4k)2

+ ik=1 0

(1)k3/2

x4k2 22 42 62 ... (4k 2)2

Por consiguiente para x real J (i x) es compleja. Este resultado se usa para denir las funciones ber (Bessel - real) y bei (Bessel - imaginaria) como las series:

1+k=1

(1)k

x4k 22 42 62 ...(4k)2

y

i

(1)kk=1

x4k2 22 42 62 ... (4k 2)2

respectivamente, tal que:

Ahora se derivarn dos frmulas que conectan a las funciones ber y bei: S al segundo trmino de la serie ber, a saber: primero se diferencia y despusx4 22 42

J0 (i3/2 x) = ber x + i bei x

se multiplica por x, el resultado es: , resultado que tambin se obtiene, pero con signo opuesto, s al primer trmino de la serie bei, a saber , primero se multiplica por x y enseguida se integra de 0 a x. Relaciones similares se obtienen entre el tercer trmino de ber y el segundo de bei; para as llegar a:x4 21 42 x2 22

x ber x =k=1

(1)k

x4k = 22 42 62 ...(4k 2)2 (4k)x

=

x(bei x)dx0

en otras palabras:

Note que resultados idnticos se obtienen multiplicando cualquier trmino de la serie ber por x y despus integrando de 0 a x, y al diferenciar el trmino correspondiente de la serie bei y despus multiplicar por x. El resultado es:x

d (x ber x) = x bei x dx

x(ber x)dx =0

x4k+2 x2 + (1)k 2 2 2 2 2 4 6 ...(4k)2 (4k + 2) k=1

=

(1)kk=1

por tanto:{

x4k2 = x bei x 22 42 62 ...(4k 4)2 (4k 2)

Al multiplicar por x se obtiene:

d (x bei x) = x ber x dx

x(ber x) = x +

(1)kk=1

integrando:x

x4k+1 22 42 62 ...(4k)2

x(ber x)dx =0

El ltimo se consigui trayendo dentro de la sumatoria al primer trmino de la serie, (x /2) } Ejemplo: Demostrar que:2 a

x2 x4k+2 (4k + 2) (1)k 2 2 2 + 2 2 4 6 ...(4k)2 (4k + 2)2 k=1

x (ber2 x) + (bei2 x) dx =0

a [(ber a)(bei a) (bei a)(ber a)]

Se ha visto que:x (ber x) = d (x[bei x]) dx

Integrando por partes:a 0

(bei x) =

d (x[ber x]) dxa

x(ber2 x)dx =0 a

[x (ber x)] (ber x)dx

=0

d [x (bei x x)](ber x)dx dxa

= a(bei a)(ber a) 0 a a

x(bei x)(ber x)dx [x(bei x)] (bei x)dx0

x(bei2 x)dx =0 a

=0

d [x(ber x)](bei x)dx dxa

= a(ber a)(bei a) +0

x(ber x)(bei x)dx

por consiguiente ya que las integrales se cancelan, se tiene:a

x (ber2 x) + (bei2 x) dx =0

a [(ber a)(bei a) (bei a)(ber a)]

Funciones Bessel de segunda clase

La funcin de Neumann se dene como: (18) Para n no entero satisface la ecuacin diferencial de Bessel, ya que es una combinacin lineal de dos soluciones conocidas: J (x) y J (x), Sin embargo, para n entero, la ecuacin (18) queda indeterminada. La denicin de N (x) se eligi de forma deliberada para que poseyera estas dos propiedades. Evaluando a N (x) mediante la regla de L'Hpital se obtiene:Nn (x) = cos(n)Jn (x) Jn (x) sen(n)n n

N (x) =

d dx

[cos(n)Jn (x) J.n (x)] d sen(n) dxJn (x) n

sen(n)Jn (x) + cos(n) = cos(n) = 1 Jn (x)n

Jn (x) n n=ent.

(1)n

Jn (x)n n=entero

Lo anterior conduce a una expresin que depende de la funcin digamma ( ) y el logaritmo de x, El clculo es relativamente sencillo; pero muy laborioso (ponerlo aqui). En esta forma la solucin general de la ecuacin diferencial de Bessel es:A y B son constantes arbitrarias. Las funciones Neumann satisfacen las relaciones de recursin que tienen las funciones Bessel: y = AJn (x) + BNn (x)

Relaciones Recursivasd n [x Jn (x)] = xn Jn1 (x) dx d xn Jn (x) = xn Jn+1 (x) dx Jn1 (x) + Jn+1 (x) = 2n Jn (x) x

(19) (20) (21) (22) (23) (24) (25)

Jn1 (x) Jn+1 (x) = 2Jn (x) n n Jn (x) = Jn (x) + Jn1 (x) = Jn (x) Jn+1 (x) x x Jn (x)Jn (x) Jn (x)Jn (x) = 2sen(n) nx 2 x

Demostracin de la propiedad (19): Primero se multiplica por x y despus se deriva:n

Jn (x)Nn+1 (x) Jn+1 (x)Nn (x) =

d d n [x Jn (x)] = dx dx

(1)kk=0

x2n+2k 2n+2k k!(n + k + 1)

=

(1)kk=0

como se sabe:

(2n + 2k)x2n+2k1 2n+2k k!(n + k + 1)

(n + k + 1) = (n + k)(n + k) d n [x Jn (x)] = dx

(1)kk=0

x2n+2k1 2n+2k1 k!(n + k)

=x

n k=0

(1)k

xn+2k1 = xn Jn1 (x) 2n+2k1 k!(n + k)

Ecuacin diferencial general con soluciones Funciones Bessely + 1 2a a2 n 2 c 2 y + (bcx1 )2 + y=0 x x2

tiene la solucin:

donde Z es J N cualquier combinacin de ellas, a, b, c, n son constantes. Ejemplo: Por tanto:y + 9xy = 0

y = xZn (bxc )

1 2a = 0, (bc)2 = 0, 2(c 1) = 1, a2 n2 c2 = 0

Por consiguiente:

a = 1/2, b2 = 9/c2 , c = 3/2 to b = 2, n = a/c = 1/3

Por ende, la solucin general es:

y = x1/2 Z1/3 (2x3/2 )

donde A, B son constantes arnitrarias. Como una aplicacin de las funciones Bessel considere de nuevo el problema del pndulo simple, con la siguiente caracteristica: su longitud 1 ahora crece con velocidad constante. Encontrar la ecuacin de movimiento y la solucin para osciladores pequeas.La energa cintica es : T = 1/2 m (l2 + l2 2 )

y = x1/2 AJ1/3 (2x3/2 ) + BN1/3 (2x3/2 )

entonces:

La energa potencial es : V = mgl cos, L = T V = 1/2m (l2 + l2 2 ) + mgl cos

La ecuacin Lagrangiana de movimiento para la variable es: Por consiguiente:d (ml2 ) + mgl sen = 0 dt

ml2

d dl + 2ml + mgl sen = 0 dt dt l + 2l + gsen = 00

Sea l la longitud de la cuerda, en el tiempo t : l = l + vt, donde v es la constante de crecimiento, entonces: l = v Para el caso de oscilaciones pequeas sen puede sustiruirse por , por tanto: sea: entonces: entonces:dx = dt, = (l0 + vt) + 2v + g = 0 x= l0 + vt v = l0 v

d d = = = dt dx

vx + 2v + g = 0

Esta ltima ecuacin tiene la forma de la ecuacin diferencial general con soluciones Funciones de Bessel. Por tanto:g 1 2a = 2, a2 n2 c2 = 0, (bc)2 = , 2c 2 = 1 v c = 1/2, a = 1/2, n2 = 1 a2 = 1, b = 2 c c g/v = 2 g/v

g 2 =0 + + x v x

Por ende:

Para simplicar la notacin ponga:

= x1/2 Z1 2 g/vx1/2

entonces, por lo visto anteriormente, se tiene:

u = 2 g/vx1/2

usando la propiedad diferencial que se demostr se encuentra d/du: Las constantes A y B se encuentran a partir de las condiciones iniciales; por ejemplo, cuando se estudi el pndulo simple clsico con oscilaciones pequeas se puso: = 0 , = 0 , para t = 0 d = A u1 J2 (u) + B u1 N2 (u) du

= A u1 J1 (u) + Bu1 N1 (u)

y se vi que la solucin general es: = A coswt +; B senwt 0 = a cos0 + B sen0 A = 0 = A wsenwt + B coswt = 0 B = 0, por tanto : = 0 coswt

En el problema bajo discusin se pueden tomar estas mismas condiciones iniciales:l0 = 0 , = 0 , para t = 0; x = v u0 = 2 g/v x1/2 = 2 g/v du = (1/2)(2) g/v x1/2 = dx d = dud dx du dx

l0 /v = g/v l0 v1/2

2 v =

gl0

g/l0

=

l0 /g = l0 /g = 0

entonces para t = 0:

0 = A u1 J1 (u0 ) + B u1 N1 (u0 ) 0 0 0 = A J2 (u0 ) + B N2 (u0 )

por la propiedad recursiva: Se puede probar que:

d u1 J1 (u) = u1 J2 (u) du J1 (u)N2 (u) J2 (u)N1 (u) = 2 u Nn (x)

Ahora use las relaciones de recursin, la denicin deJn (x)Nn (x) Nn (x)Jn (x) = =

y la propiedad:

2 sen(n) x

para obtener:

Jn (x)Jn (x) Jn (x)Jn (x) sen(n)

u0 0 N2 (u0 ) = A[J1 (u0 )N2 (u0 ) N1 (u0 )J2 (u0 )] =A 2 u0

u0 0 J2 (u0 ) = B[N1 (u0 )J2 (u0 ) N2 (u0 )J1 (u0 )] =B 2 u0

Por consiguiente: Entonces la solucin general es:= A= u2 0 0 N2 (u0 ), 2 B= u2 0 0 J2 (u0 ) 2

esta solucin se puede simplicar si se ajustan las constantes v, l , tal que:0

2 u 0 u1 [N2 (y0 )J1 (u) + J2 (u0 )N1 (u)] 2 0

u0 =

2 v

gl0

es una raiz de J2 (u) = 0, entonces

B = 0 , por tanto : = A u1 J1 (u) = C x1/2 J1 2 gx/v , donde C= A 2 v/g, x =2

para este caso especial es un mltiplo de J (u). As:

l0 +t v

Un cuarto de periodo correspondiente al tiempo desde = 0 hasta = 0, las cuales se pueden encontrar a partir de las raices de J (u) = 0 y J (u) = 01 2

= 0, corresponde a las raices de J1 (u) = 0 = 0, corresponde a las raices de J2 (u) = 0

Funcin Generadora

Proceda a introducir una funcin de dos variables:g(x, t) = e1/2x (t 1/t)

Esta funcin se puede desarrollar en una serie de Laurent, para obtener:

e Jn (x)

1/2x (t 1/t)

=n=0

Jn (x) tn

, que constituye el coeciente de t , es la funcin de Bessel de primera clase de orden n. Desarrollando las exponenciales se tiene el producto de series de MacLaurin en xt/2, x/2t, respectivamente:n

e

1/2xt 1/2xt1

e

=r=0

Para cierta k se tiene t

n

( 0)

, apartir de:n

x 2

r

tr r!

(1)kk=0

x 2

k

tk k!

Por consiguiente, el coeciente de t es:

x tn+k x (1)k 2 (n + k)! 2

k

tk xn = n k! 2 n!

Jn (x) =k=0

(1)k

De acuerdo a este procedimiento, el cual origina esta serie a partir de sus propiedades de convergencia, es evidente que estas serie da inmediatamente J (x). Adems si se substituye un nmero real por uno complejo, Z , entonces se extiende la denicin de la funcin Bessel.n

xn+2k 2n+2k k!(n + k + 1)

1) Derive: 2) Demuestre: 3) Demuestre: 4) Demuestre: 5) Demuestre:

Ejercicios para resolverJn (x) = (1)n xn 1 d x dxn

J0 (x)

1 d x dx

n

(xv Jv (x)) = xvn Jvn (x)

1 d x dx

n

Jv (x) xv

= (1)n

Jv+n (x) xv+n

Jn+1/2 (x) = (1)

n

2/xn+1/2

1 d x dx

n

sex(x) x (n = 0, 1, 2, ...)

1=2

J2n (x) + J0 (x)n=1

6) Derive: 7) Demuestre:Jn (x) = 1 0

eax J0 (bx)dx =

1 a2 + b 2

cos(n xsen)d ... (n, entero)0 0

8) Demuestre que entre dos raices reales consecutivas de J (x) = 0 existe una, y slo una raiz de J (x) = 0.1