Funções de Bessel - gradadm.ifsc.usp.br · A equação (33) é a equação de Bessel...
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1 FFI 112: Física Matemática I Material Didático # 9 .......... 27-06-14 Funções de Bessel Gabriela Arthuzo 1. Expressão geral A função: , = 2 − 1 é chamada função geratriz das funções de Bessel. Vamos expandi-la em uma série de Laurent para acharmos a expressão geral das funções de Bessel ( ). , = 2 − 1 = () ∞ =−∞ (1) Sabemos que: = ! ∞ =0 Aplicando esse resultado à função geratriz: , = 2 − 2 = 2 ∞ =0 ! (−1) − 2 ! ∞ =0 = (−1) 2 + − ! ! ∞ =0 ∞ =0 Definimos: = − ⇒ = + Assim temos: , = (−1) + ! ! ∞ =0 ∞ =−∞ 2 +2 (2) Comparando (1) e (2):
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FFI 112: Física Matemática I
Material Didático # 9 .......... 27-06-14
Funções de Bessel
Gabriela Arthuzo
1. Expressão geral
A função:
𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡
é chamada função geratriz das funções de Bessel.
Vamos expandi-la em uma série de Laurent para acharmos a expressão geral das
funções de Bessel (𝐽𝑛 𝑥 ).
𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡 = 𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
(1)
Sabemos que:
𝑒𝑥 = 𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
Aplicando esse resultado à função geratriz:
𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒𝑥𝑡2 𝑒−
𝑥2𝑡 =
𝑥
2 𝑟
∞
𝑟=0
𝑡𝑟
𝑟!
(−1)𝑠𝑥𝑠𝑡−𝑠
2𝑠𝑠!
∞
𝑠=0
= (−1)𝑠 𝑥
2 𝑟+𝑠 𝑡𝑟−𝑠
𝑟! 𝑠!
∞
𝑠=0
∞
𝑟=0
Definimos:
𝑛 = 𝑟 − 𝑠 ⇒ 𝑟 = 𝑛 + 𝑠
Assim temos:
𝑔 𝑥, 𝑡 = (−1)𝑠
𝑛 + 𝑠 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
∞
𝑛=−∞
𝑥
2 𝑛+2𝑠
𝑡𝑛 (2)
Comparando (1) e (2):
2
𝐽𝑛 𝑥 = (−1)𝑠
𝑛 + 𝑠 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
𝑥
2 𝑛+2𝑠
(3)
Essa é a expressão geral das funções de Bessel.
A seguir temos um esboço das funções de Bessel para 𝑛 = 0 até 5.
Figura 1: Funções de Bessel.
2. Propriedade
Trocando (𝑛) por (−𝑛) na equação (3):
𝐽−𝑛 𝑥 = (−1)𝑠
𝑠 − 𝑛 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
𝑥
2
2𝑠−𝑛
(4)
Definimos:
𝑠 = 𝑠′ + 𝑛 (5)
Substituímos (5) em (4):
𝐽−𝑛 𝑥 = (−1)𝑠′ +𝑛
𝑠′ ! 𝑠′ + 𝑛 !
∞
𝑠′=0
𝑥
2 𝑛+2𝑠′
(6)
Comparando (3) e (6), vemos que:
𝐽−𝑛 𝑥 = −1 𝑛𝐽𝑛(𝑥)
3
3. Representação integral
Tomamos a função geratriz 𝑔 𝑥, 𝑡 , dividimos por 𝑡𝑛+1 e integramos:
𝑔 𝑥, 𝑡
𝑡𝑛+1𝑑𝑡 =
𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡
𝑡𝑛+1
𝐶𝐶
𝑑𝑡 = 𝐽𝑚(𝑥)𝑡𝑚−𝑛−1𝑑𝑡
∞
𝑚=−∞𝐶
𝑒
𝑥2 𝑡−
1𝑡
𝑡𝑛+1
𝐶
𝑑𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖𝑅𝑒𝑠 𝑔 𝑡 , 𝑡 = 0 = 2𝜋𝑖𝐽𝑛(𝑥)
𝐶
⇒ 𝐽𝑛 𝑥 =1
2𝜋𝑖
𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡
𝑡𝑛+1
𝐶
𝑑𝑡
Fazemos a substituição: 𝑡 = 𝑒𝑖𝜃 ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃
𝐽𝑛 𝑥 =1
2𝜋𝑖
𝑒𝑥2
(𝑒 𝑖𝜃 −𝑒−𝑖𝜃 )
𝑒𝑖𝜃 (𝑛+1)
2𝜋
0
𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃 =1
2𝜋 𝑒𝑖(𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑛𝜃 )𝑑𝜃
2𝜋
0
Parte real:
𝐽𝑛 𝑥 =1
2𝜋 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃 =
2𝜋
0
1
𝜋 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
4. Relações de recorrência
Para a primeira relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑡.
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡=
𝜕 𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡
𝜕𝑡= 𝑒
𝑥2 𝑡−
1𝑡 𝑥
2 1 +
1
𝑡2 = 𝑔 𝑥, 𝑡
𝑥
2 1 +
1
𝑡2 =
𝑥
2 1 +
1
𝑡2 𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
⇒ 𝑥
2 1 +
1
𝑡2 𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
𝑥
2𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
+ 𝑥
2𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛−2
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
(7)
Manipulando a equação (7), deixando todos os somatórios com 𝑡𝑛−1:
4
𝑥
2𝐽𝑛−1(𝑥)𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
+ 𝑥
2𝐽𝑛+1(𝑥)𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
⇒𝑥
2𝐽𝑛−1 𝑥 +
𝑥
2𝐽𝑛+1 𝑥 = 𝐽𝑛 𝑥 𝑛 (8)
Multiplicamos a equação (8) por 2
𝑥 :
𝐽𝑛−1 𝑥 + 𝐽𝑛+1 𝑥 =2𝑛
𝑥𝐽𝑛(𝑥) (primeira relação de recorrência) (9)
Para a segunda relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑥.
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥=
𝜕 𝑒𝑥2 𝑡−
1𝑡
𝜕𝑥= 𝑒
𝑥2 𝑡−
1𝑡 1
2 𝑡 −
1
𝑡 = 𝑔 𝑥, 𝑡
1
2 𝑡 −
1
𝑡 =
1
2 𝑡 −
1
𝑡 𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥= 𝐽𝑛
′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
⇒ 1
2 𝑡 −
1
𝑡 𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
1
2𝐽𝑛 𝑥 𝑡
𝑛+1
∞
𝑛=−∞
− 1
2𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛−1
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
(10)
Manipulando a equação (10), deixando todos os somatórios com 𝑡𝑛 :
1
2𝐽𝑛−1 𝑥 𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
− 1
2𝐽𝑛+1(𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
⇒ 𝐽𝑛−1 𝑥 − 𝐽𝑛+1 𝑥 = 2𝐽𝑛′ (𝑥) (segunda relação de recorrência) (11)
Podemos somar as relações de recorrência e obter uma nova relação:
𝐽𝑛−1 𝑥 =𝑛
𝑥𝐽𝑛 𝑥 + 𝐽𝑛
′ 𝑥 (12)
Subtraindo as relações de recorrência obtemos:
𝐽𝑛+1 𝑥 =𝑛
𝑥𝐽𝑛 𝑥 − 𝐽𝑛
′ 𝑥 (13)
5. Equação diferencial
Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 na equação (12):
5
𝑍𝑣−1 𝑥 =𝑣
𝑥𝑍𝑣 𝑥 + 𝑍𝑣
′ 𝑥 (14)
Multiplicando a equação (14) por 𝑥:
𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣′ 𝑥 (15)
Derivamos a equação (15) em relação a 𝑥:
𝑥𝑍𝑣−1′ (𝑥) + 𝑍𝑣−1(𝑥) = 𝑣𝑍𝑣
′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣′′ (𝑥) + 𝑍𝑣
′ (𝑥) (16)
Multiplicando a equação (16) por 𝑥:
𝑥2𝑍𝑣−1′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣−1(𝑥) = 𝑣𝑥𝑍𝑣
′ (𝑥) + 𝑥2𝑍𝑣′′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣
′ (𝑥) (17)
Multiplicando a equação 15 por 𝑣:
𝑣𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑣𝑥𝑍𝑣′ 𝑥 (18)
Fazendo 17 − (18):
𝑥2𝑍𝑣′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 − 𝑣2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥[ 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1′ 𝑥 ] = 0 (19)
Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣−1 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 − 1 na equação (13):
𝑍𝑣 𝑥 =(𝑣 − 1)
𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑍𝑣−1
′ 𝑥 (20)
Multiplicando a equação (20) por 𝑥:
𝑥𝑍𝑣 𝑥 = 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1′ 𝑥 (21)
Substituindo a equação (21) na equação (19), temos:
𝑥2𝑍𝑣′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 − 𝑣2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥2𝑍𝑣 𝑥 = 0
⇒ 𝑥2𝑍𝑣′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 + 𝑥2 − 𝑣2 𝑍𝑣 𝑥 = 0 (22)
A equação (22) é a equação diferencial de Bessel.
Podemos transformar a equação diferencial (22) em outra equação.
Fazemos a mudança 𝑍𝑣 𝑥 → 𝑢(𝑥) na equação 22 .
𝑥2𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝑣2 𝑢 𝑥 = 0 (23)
Primeira mudança:
𝑥 = 𝑧𝛽 (24)
6
⇒ 𝑑
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥=
1
𝛽
𝑑
𝑑𝑧 (25)
Substituímos as equações (24) e (25) na equação (23):
𝑧2𝑑2𝑢(𝑧)
𝑑𝑧2+ 𝑧
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧+ 𝑧2𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝑧 = 0
⇒ 𝑧𝑑
𝑑𝑧 𝑧
𝑑𝑢
𝑑𝑧 + 𝑧2𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝑧 = 0 (26)
Segunda mudança:
𝑧 = 𝜉𝛾 (27)
⇒ 𝑧𝑑
𝑑𝑧= 𝜉𝛾
𝑑
𝑑𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝑧=
𝜉
𝛾
𝑑
𝑑𝜉 (28)
Substituímos as equações (27) e (28) na equação (26):
𝜉
𝛾
𝑑
𝑑𝜉 𝜉
𝛾
𝑑𝑢
𝑑𝜉 + 𝜉2𝛾𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝜉 = 0 (29)
Multiplicamos a equação (29) por 𝛾2:
𝜉𝑑
𝑑𝜉 𝜉
𝑑𝑢
𝑑𝜉 + (𝜉𝛾𝛽𝛾)2 − (𝑣𝛾)2 𝑢 𝜉 = 0 (30)
Terceira mudança:
𝑢 = 𝑦𝜉−𝛼
Calculamos a derivada:
𝜉𝑑𝑢
𝑑𝜉= 𝜉
𝑑(𝑦𝜉−𝛼)
𝑑𝜉= 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉−𝛼
⇒ 𝜉𝑑
𝑑𝜉 𝜉
𝑑𝑢
𝑑𝜉 = 𝜉
𝑑
𝑑𝜉 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉−𝛼 = 𝑦 ′′ 𝜉2−𝛼 + 1 − 2𝛼 𝑦′𝜉1−𝛼 + 𝛼2𝑦𝜉−𝛼 (31)
Substituímos a equação (31) na equação (30) e dividimos por 𝜉2−𝛼 :
𝑦 ′′ + 1 − 2𝛼 𝑦 ′
𝜉+
𝛼2𝑦
𝜉2+
(𝜉𝛾𝛽𝛾)2 − (𝑣𝛾)2 𝑢 𝜉
𝜉2𝜉−𝛼= 0 (32)
Sabemos que 𝑢(𝜉)
𝜉−𝛼= 𝑦(𝜉). Substituímos isso na equação (32):
(33) 𝑑2𝑦
𝑑𝜉2+
1 − 2𝛼
𝜉
𝑑𝑦
𝑑𝜉+
𝛼2 − 𝑣𝛾 2
𝜉2+ (𝜉𝛾−1𝛽𝛾)2
𝑦 𝜉 = 0
7
A equação (33) é a equação de Bessel transformada, cuja solução é:
𝑦 𝜉 = 𝜉𝛼𝑍𝑣(𝛽𝜉𝛾)
Este resultado é aplicado quando é dada uma EDO cuja solução queremos saber. Então
comparamos a EDO dada com a EDO da equação (33) e identificamos 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝑣.
6. Ortogonalidade
Vamos provar a ortogonalidade das funções de Bessel:
𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0 (𝜆 ≠ 𝜇)
1
0
𝜆 e 𝜇 são raízes; 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e 𝐽𝑛 𝜇𝑥 são soluções da equação de Bessel.
Através da EDO de Bessel,
𝑥2𝐽𝑛′′ 𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝑥 + 𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝑥 = 0
podemos escrever:
𝑥2𝐽𝑛′′ 𝜆𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝜆𝑥 + 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (34)
𝑥2𝐽𝑛′′ 𝜇𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝜇𝑥 + 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (35)
Escrevemos as equações (34) e (35) na forma:
34 ⇒ 𝑥𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 + 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (36)
35 ⇒ 𝑥𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥
𝑑𝑥 + 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (37)
Multiplicamos (36) por 𝐽𝑛 𝜇𝑥 , (37) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e dividimos por 𝑥:
𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 +
1
𝑥 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (38)
𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥
𝑑𝑥 +
1
𝑥 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (39)
Fazemos 38 − (39):
8
𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥
𝑑𝑥 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0
⇒𝑑
𝑑𝑥 𝑥𝐽𝑛 𝜇𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥
𝑑𝑥 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 𝐴 = 0 (40)
Integramos a equação (40):
𝐴
1
0
𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝜇 𝐽𝑛′ 𝜆 − 𝐽𝑛
′ 𝜇 𝐽𝑛 𝜆 + 𝜆2 − 𝜇2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
0
Como 𝜆 e 𝜇 são raízes:
𝐽𝑛 𝜇 𝐽𝑛′ 𝜆 = 0
e
𝐽𝑛′ 𝜇 𝐽𝑛 𝜆 = 0
Assim para 𝜆 ≠ 𝜇:
𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
0
7. Norma
Dividimos a equação (36) por 𝑥:
𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 + 𝜆2𝑥 −
𝑛2
𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (41)
Sendo 𝜆 uma raiz. Com 𝑘 arbitrária temos:
𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥
𝑑𝑥 + 𝑘2𝑥 −
𝑛2
𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 = 0 (42)
Multiplicamos a equação 41 por 𝐽𝑛 𝑘𝑥 e a equação (42) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e fazemos
41 − (42):
𝐵 = 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑𝑥 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑑
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥
𝑑𝑥 = 𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 (43)
Integramos a equação 43 :
9
𝐵
𝑎
0
𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝑘𝑎 𝑎𝜆𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 − 𝐽𝑛 𝜆𝑎 𝑎𝐽𝑛
′ 𝑘𝑎 = 𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑎
0
𝜆𝑎 é raiz ⇒ 𝐽𝑛 𝜆𝑎 = 0
⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎 𝑎𝜆𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 = 𝑘2 − 𝜆2
𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑎
0
(44)
Derivando a equação (44) em 𝑘:
𝑎2𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑎
𝑑𝑥𝜆𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 = 2𝑘𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘2 − 𝜆2 𝑥2𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥
𝑑𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥
𝑎
0
𝑑𝑥
Fazemos 𝑘 = 𝜆:
𝑎2𝜆𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 2 = 2𝜆 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥
2𝑑𝑥
𝑎
0
⇒ 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 2𝑑𝑥
𝑎
0
=𝑎2
2𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 2 (45)
Da equação (13), sabemos que:
𝐽𝑛′ 𝜆𝑎 = −𝐽𝑛+1 𝜆𝑎 (46)
Substituindo a equação (46) na equação (45):
𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 2𝑑𝑥
𝑎
0
=𝑎2
2𝐽𝑛+1(𝜆𝑎)2
8. Membrana circular
Figura 2: Membrana circular.
10
No problema da membrana circular, iremos determinar 𝑧, sendo 𝑧 = 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡), com
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
Utilizaremos a equação de onda:
1
𝑐2
𝜕2𝑧
𝜕𝑡2= 𝛻2𝑧
𝑐 = 𝑇
𝜌
⇒ 𝜌𝜕2𝑧
𝜕𝑡2= 𝑇𝛻2𝑧 (47)
As condições de contorno são:
𝐶𝐶1: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é finito
𝐶𝐶2: 𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0
𝐶𝐶3: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é periódica em 𝜃, com período = 2𝜋
As condições iniciais são:
𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑓(𝑟, 𝜃)
𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑣(𝑟, 𝜃)
Vamos procurar vibrações harmônicas:
𝑧 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 (48)
Laplaciano em coordenadas polares:
𝛻2𝑢 𝑟, 𝜃 =1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟 +
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
⇒ 𝛻2𝑢 𝑟, 𝜃 =𝜕2𝑢
𝜕𝑟2+
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟+
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
Assim, substituindo a equação (48) na equação (47) temos:
𝜕2
𝜕𝑟2+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟+
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 = −
𝜌
𝑇𝜔2𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐹
𝜕𝑟2+
1
𝑟
𝜕𝐹
𝜕𝑟+
1
𝑟2
𝜕2𝐹
𝜕𝜃2= −
𝜌
𝑇𝜔2𝐹 (49)
Separação de variáveis:
11
𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 (50)
Substituímos a equação (50) na equação (49):
Θ 𝜃 𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2+
1
𝑟Θ 𝜃
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟+
1
𝑟2𝑅 𝑟
𝑑2Θ 𝜃
𝑑𝜃2= −
𝜌
𝑇𝜔2𝑅 𝑟 Θ 𝜃 (51)
Dividimos a equação (51) por 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 e multiplicamos por 𝑟2:
r2
R(r)
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2+
𝑟
𝑅(𝑟)
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟+
𝑟2𝜌𝜔2
𝑇+
1
Θ 𝜃
𝑑2Θ 𝜃
𝑑𝜃2= 0
⇒ r2
R(r)
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2+
𝑟
𝑅(𝑟)
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟+
𝑟2𝜌𝜔2
𝑇= 𝑚
⇒ 1
Θ 𝜃
𝑑2Θ 𝜃
𝑑𝜃2= −𝑚
Definimos:
𝑘2 =𝜌𝜔2
𝑇
EDO radial:
𝑟2𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2+ 𝑟
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 − 𝑚 𝑅 𝑟 = 0 (52)
Notamos a semelhança da equação (52) com a equação diferencial de Bessel, equação
(22).
EDO angular:
𝑑2Θ 𝜃
𝑑𝜃2= −𝑚Θ 𝜃
Solução da EDO radial:
Definimos 𝑚 = 𝑛2
⇒ 𝑟2𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2+ 𝑟
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 − 𝑛2 𝑅 𝑟 = 0
A equação anterior é uma EDO de Bessel na variável 𝑘𝑟, cuja solução é:
𝑅𝑛(𝑟) = 𝐴𝑛′ 𝐽𝑛(𝑘𝑟) + 𝐵𝑛
′ 𝑌𝑛(𝑘𝑟)
Como as funções 𝑌𝑛(𝑥) divergem para 𝑥 → 0, elas não são soluções para este
problema (de acordo com a 𝐶𝐶1).
12
⇒ 𝑅𝑛 𝑟 = 𝐴𝑛′ 𝐽𝑛 𝑘𝑟 (53)
Solução da EDO angular:
Θ 𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 (54)
Com 𝑛 = 0,1,2, … e 𝑚 = 𝑛2.
Substituímos as equações (53) e (54) na equação (50):
𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝐽𝑛(𝑘𝑟) 𝐶𝑛cos(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)
Aplicamos a 𝐶𝐶2:
𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0 ⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎 = 0
Assim 𝑘𝑎 é uma raiz de 𝐽𝑛 ⇒ 𝑘𝑎 = 𝜉𝑠(𝑛)
(s-ésima raiz de 𝐽𝑛 )
⇒ 𝑘𝑠(𝑛)
=1
𝑎𝜉𝑠
(𝑛)
Lembrando que: 𝑘 = 𝜔 𝜌
𝑇=
𝜔
𝑐
⇒ 𝑘𝑠(𝑛)
=1
𝑎𝜉𝑠
(𝑛)=
𝜔𝑠(𝑛)
𝑐
𝜔𝑠(𝑛)
= 𝑇
𝜌
1
𝑎𝜉𝑠
(𝑛)
Voltando a equação (48):
𝑧𝑠(𝑛) 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐽𝑛 𝜉𝑠
(𝑛) 𝑟
𝑎 𝐶𝑛cos(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(𝑛)𝑡
Com
𝑛 = 0,1,2, …
𝑠 = 1,2,3, …
Caso especial: excitação simétrica, no centro da membrana.
Os modos não dependem de 𝜃 ⇒ 𝑛 = 0
𝑧𝑠(0) 𝑟, 𝑡 = 𝐶0𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(0)𝑡 + 𝜑
Os modos têm a forma:
13
Figura 3: Forma dos modos para 𝝎𝟏(𝟎)
, 𝝎𝟐(𝟎)
e 𝝎𝟑(𝟎)
, respectivamente.
Podemos escrever a solução como:
𝑧𝑠(0) 𝑟, 𝑡 = 𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(0)𝑡 + 𝐵𝑠𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑠
(0)𝑡
Determinamos 𝐴𝑠 e 𝐵𝑠 pelas condições iniciais.
Exemplo:
𝑧 𝑟, 0 = 0
⇒ 𝐽0 𝜉𝑠(0) 𝑟
𝑎 𝐴𝑠 = 0
⇒ 𝐴𝑠 = 0
𝑧 𝑟, 0 = 𝑣(𝑟)
⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝜔𝑠(0)
𝐽0 𝜉𝑠(0) 𝑟
𝑎 𝐵𝑠cos(0)
⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝐵𝑠𝜔𝑠(0)
𝐽0 𝜉𝑠(0) 𝑟
𝑎 = 𝑣(𝑟)
∞
𝑠=0
Multiplicamos a equação anterior por 𝐽0 𝜉𝑚(0) 𝑟
𝑎 𝑟 e integramos:
𝐵𝑠𝜔𝑠(0)
𝐽0 𝜉𝑠(0) 𝑟
𝑎 𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎 𝑟 dr
∞
𝑠=0
𝑅
0
= 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚(0) 𝑟
𝑎 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
⇒ 𝐵𝑚𝜔𝑚(0) 𝑅
2
2 𝐽1 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
2
= 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚(0) 𝑟
𝑎 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
14
𝐵𝑚 =2
𝜔𝑚(0)
𝑅2 𝐽1 𝜉𝑚(0) 𝑟
𝑎 2 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
Bibliografia
1 Butkov – “Mathematical Physics”
(2) Rey Pastor – “Funciones de Bessel”
(3) Morse – “Methods of Theoretical Physics”
(4) Watson – “A Treatise on the Theory of Bessel Functions”
(5) Rainville – “Special Functions”
6 Arfken – “Mathematical Methods for Physicists”
Este texto é a redação do seminário sobre funções de Bessel feito pelo grupo
composto pelos seguintes alunos:
Gabriela Arthuzo (redação)
Camila Cardoso (aula teórica)
Lucas Francisco (aula teórica)
Fernando Beserra (experimento)
Vinicius Massami Mikuni (experimento)
