Fuerza conservativa

En un campo conservativo, el trabajo realizado para ir del punto A al punto B depende sólo de A y de B: es independiente de la trayectoria que se utilice para desplazarse entre ambos.

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de conservación de la energía.

Criterios de caracterización de una fuerza conservativa

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):

Hay un campo escalar con:

(1)

donde es el gradiente del campo escalar V(r).

El trabajo

(2a)

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

(2b)

El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad:

(3) . Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará

Un ejemplo de fuerza conservativa es el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana. Lo contrario a una fuerza conservativa es una fuerza no-conservativa, que realiza más trabajo cuando aumenta la longitud del camino recorrido. Un ejemplo de esto es el rozamiento. La mayoría de sistemas físicos son no-conservativos; en ellos la energía se pierde por el rozamiento o por la acción del campo de fuerzas no-conservativas. Un campo no conservativo se puede describir a través de un campo conservativo haciendo algunas consideraciones.

Conservatividad local

Cuando se considera el criterio (3) se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, pero la rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:

Aunque la condición integral se cumple, no existe la derivada en el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no se trata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario se parametriza mediante

con .

Con eso la integral cerrada es:

Es un campo conservativo, es decir cada integral que describe un camino cerrado, con lo que se tiene que la rotación desaparece (conservatividad local). La inversión de esta afirmación no tienen ningún valor significativo.

Potencial

El campo escalar del criterio (1) se llama potencial o energía potencial. El signo menos de este criterio es una convención y tiene un significado profundo, a pesar que su significado fue argumentado en el principio variacional de la mecánica lagrangiana y, por el momento, opera de forma voluntaria. La base de esa convención se puede aclarar por medio del siguiente ejemplo: en la cercanía de la superficie terrestre está la masa m en un potencial gravitacional a una altura h=y bajo una aceleración de la gravedad g > 0, aproximadamente v(y)= + m g y. Debido al sistema de coordenadas en la superficie terrestre es positivo cuando se dirige hacia arriba, debe ser negativo cuando se dirige hacia abajo. Se calcula la fuerza del primer criterio y se obtiene:

Esto muestra que la fuerza se ejerce, tal como se esperaba, en dirección al centro de la Tierra.

Demostración de equivalencia de los criterios

Existen tres criterios equivalentes para determinar si un campo de fuerzas es conservativo ((1), (2) y (3)). El primer criterio es acerca de la definición de un campo de fuerzas conservativo; los otros dos son otras formulaciones del primer criterio. Muchas veces el campo de fuerzas está definido de una forma "directa" a través del segundo criterio. Así, se tiene que el trabajo en un campo conservativo es independiente del camino.

Se tiene un camino cerrado C en un campo conservativo, del punto 1 sobre el camino S1 al punto 2 luego por el camino S2 de regreso al punto 1.

Dos caminos cualquiera en un campo conservativo de fuerzas.

.

La integral cerrada sobre ese camino será:

Para todos los caminos S1, S2 esta integral sería S1 + (-S2) igual a cero, cuando:

También sería:

esto es la independencia del camino recorrido y con esto se describe las posibles definiciones de un campo conservativo.

El tercer criterio habla sobre la desaparición de la rotación de un campo de fuerzas

conservativas. Por el primer criterio se tiene y para la rotación se tiene que

con lo que el primer y el tercer criterio resultan ser equivalentes. Esto también es

equivalente al segundo criterio. Si , por medio del teorema de Stokes para la curva cerrada C, se tiene para una superficie cerrada A:

Con lo que el trabajo vuelve a aparecer y éste desde la primera demostración se obtuvo que era independiente del camino, por lo que se tiene finalmente una igualación de los tres criterios.

Conservación de la energía

En la mecánica clásica se tiene que la energía cinética es: , donde v es la velocidad; de la segunda ley de Newton, : para masas m constantes, la energía puede ser descrita como

.

Tenemos la integral para el camino del punto 1 al punto 2

.

Para el lado derecho de la ecuación

Lo que significa que el trabajo total que se necesita para el movimiento corresponde al cambio en la energía cinética. Para el lado izquierdo se obtiene mediante el uso de las propiedades de la fuerza conservativa

y con esto

T2 − T1 = V2 − V1

respectivamente

T1 + V1 = T2 + V2

que se refiere directamente a la conservación de la energía. Las propiedades de la conservación de la energía son también la base, de ahí que el campo conservativo lleva su nombre, aquí la energía se conserva. Pero no solo el concepto de conservación va ligado a la energía, también va ligado al de la masa, que en campos relativistas están muy enlazados.

Ejemplos

Fuerzas conservativas

En física clásica:

Gravitacional Elásticas Electrostática

Campos conservativos

El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánica clásica o las fuerzas intermoleculares en un sólido para pequeños valores de vibración son todos ellos casos de fuerzas conservativas. El campo electrostático y el gravitatorio en mecánica clásica de un cuerpo en reposo y a grandes distancia del mismo tiene la forma aproximada:

Donde es un vector unitario dirigido desde la fuente del campo hacia el punto donde se

mide el campo, son respectivamente el vector de posición del punto donde se mide el campo, el vector posición de la carga que crea el campo electrostático y el vector de la posición de la masa que crea el campo gravitatorio Las fuerzas intermoleculares pueden ser escritas por unas fuerzas del tipo:

Donde representa el vector de posición de la molécula i-ésima y las

son constantes elásticas que dependen de la red cristalina del material o su estructura interna. La energía potencial es la correspondiente problema de oscilaciones acopladas y viene dado por una forma cuadrática de las coordenadas:

Fuerzas no conservativas

Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por las mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado por las fuerzas no

conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor recorrido, mayor trabajo realizado.

Ejemplos de fuerzas no conservativas serían:

Fuerza de rozamiento Fuerza magnética

Fuerza de rozamiento)

Para el grupo musical, véase Fricción (banda).

Fricción estática: no se inicia el movimiento si la fuerza tangencial T hace que el ángulo sea menor a φ0.

Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción, entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al movimiento entre ambas superficies (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza normal entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, si no que forma un ángulo φ con la perpendicular (el ángulo de rozamiento). Por tanto, la fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

[editar] Rozamiento entre superficies de dos sólidos

En el rozamiento entre cuerpos sólidos se ha observado que son válidos de forma aproximada los siguientes hechos empíricos:

1. La fuerza de rozamiento tiene dirección paralela a la superficie de apoyo.

2. El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies.

3. La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto.

4. Para un mismo par de cuerpos (superficies de contacto), el rozamiento es mayor un instante antes de que comience el movimiento que cuando ya ha comenzado.

El rozamiento puede variar en una medida mucho menor debido a otros factores:

1. El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto.

2. El coeficiente de rozamiento cinetico es prácticamente independiente de la velocidad de los moviles.

3. La fuerza de rozamiento puede aumentar ligeramente si los cuerpos llevan mucho tiempo sin moverse uno respecto del otro ya que se "agarrotan".

Algunos autores sintetizan las leyes del comportamiento de la fricción en las siguientes dos leyes básicas:1

1. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza normal ejercida entre los mismos.

2. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es independiente de las dimensiones de ambos.

La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque o ladrillo sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre será la misma aunque el bloque descanse sobre la cara ancha o sobre un borde. Estas leyes fueron establecidas primeramente por Leonardo da Vinci al final del siglo XV, olvidándose después durante largo tiempo y posteriormente fueron redescubiertas por el ingeniero francés Amontons en 1699. Frecuentemente se les denomina también leyes de Amontons.

[editar] Tipos de rozamiento

Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática (FE) y la fricción dinámica (FD). El primero es la resistencia que se debe superar para poner en movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es la resistencia, de magnitud considerada constante, que se opone al movimiento pero una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro, es que el estático actúa cuando los cuerpos están en reposo relativo en tanto que el dinámico lo hace cuando ya están en movimiento.

La fuerza de fricción estática, necesaria para vencer la fricción homóloga, es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre los dos objetos (número medido empíricamente y que se encuentra tabulado) multiplicado por la fuerza normal. La fuerza cinética, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento dinámico, denotado por la letra griega , por la normal en todo instante.

No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es algo mayor que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso microsoldaduras entre las superficies, factores que desaparecen en estado de movimiento. Éste fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies, del pistón y la camisa, durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre sí.

Un ejemplo bastante común de fricción dinámica es la ocurrida entre los neumáticos de un auto y el pavimento en un frenado abrupto.

Como comprobación de lo anterior, se realiza el siguiente ensayo, sobre una superficie horizontal se coloca un cuerpo, y le aplica un fuerza horizontal F , muy pequeña en un principio, se puede ver que el cuerpo no se desplaza, la fuerza de rozamiento iguala a la fuerza aplicada y el cuerpo permanece en reposo, en la gráfica se representa en el eje horizontal la fuerza F aplicada, y en el eje vertical la fuerza de rozamiento Fr.

Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo permanece estático; al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente se comienza a desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que el cuerpo puede soportar sin deslizarse, se denomina Fe o fuerza estática de fricción; la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado el desplazamiento es Fd o fuerza dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo (Fe). La fuerza dinámica permanece constante.

Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y a la constante de proporcionalidad se la llama :

Y permaneciendo la fuerza normal constante, se puede calcular dos coeficientes de rozamiento: el estático y el dinámico como:

donde el coeficiente de rozamiento estático corresponde al de la mayor fuerza que el cuerpo puede soportar inmediatamente antes de iniciar el movimiento y el coeficiente de rozamiento dinámico corresponde a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado.

[editar] Fricción estática

Es la fuerza que se opone al inicio del movimiento. Sobre un cuerpo en reposo al que se aplica una fuerza horizontal F, intervienen cuatro fuerzas:

F: la fuerza aplicada.

Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento.

P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.

N: la fuerza normal, con la que la superficie reacciona sobre el cuerpo sosteniéndolo.

Dado que el cuerpo está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:

Se sabe que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad (g), y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente estático por la normal:

esto es:

La fuerza horizontal F máxima que se puede aplicar a un cuerpo en reposo es igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y por la aceleración de la gravedad.

[editar] Rozamiento dinámico

Dado un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal, deben considerarse las siguientes fuerzas:

F: la fuerza aplicada.

Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento.

Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que sufre a.

P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.

N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo.

Como equilibrio dinámico, se puede establecer que:

Sabiendo que:

se puede reescribir la segunda ecuación de equilibrio dinámico como:

Es decir, la fuerza resultante F aplicada a un cuerpo es igual a la fuerza de rozamiento Fr mas la fuerza de inercia Fi que el cuerpo opone a ser acelerado. De lo que también se puede deducir:

Con lo que se tiene la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle una fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie sobre la que se apoya.

[editar] Rozamiento en un plano inclinado

[editar] Rozamiento estático

Si sobre una la línea horizontal r, se tiene un plano inclinado un ángulo , y sobre este plano inclinado se coloca un cuerpo con rozamiento, se tendrán tres fuerzas que intervienen:

P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y con un valor igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P = mg.

N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano inclinado, según la recta t

Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento.

Si el cuerpo está en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres fuerzas es cero:

Lo que gráficamente seria un triángulo cerrado formado por estas tres fuerzas, puestas una a continuación de otra, como se ve en la figura.

Si el peso P del cuerpo se descompone en dos componentes: Pn, peso normal, perpendicular al plano, que es la componente del peso que el plano inclinado soporta y Pt, peso tangencial, que es la componente del peso tangencial al plano inclinado y que tiende a desplazar el cuerpo descendentemente por el plano inclinado. Se puede ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso tangencial Pt a la fuerza de rozamiento Fr.

Se puede decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado hace sobre el cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que este en equilibrio. El peso tangencial Pt es la fuerza que hace que el cuerpo tienda a deslizarse por el plano y Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para que este en equilibrio Pt = Fr.

Cuando el cuerpo está en equilibrio estas dos ecuaciones determinan la igualdad de fuerzas, también es necesario saber que:

y que la descomposición del peso es:

Con lo que se determinan las condiciones del equilibrio de un cuerpo en un plano inclinado con el que tiene fricción. Es de destacar la siguiente relación:

Haciendo la sustitución de N:

que da finalmente como resultado:

El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar, ello permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del material con el que se pretende calcular su coeficiente de rozamiento, inclinando el plano progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos saber el ángulo máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.

[editar] Rozamiento dinámico

En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, se tiene un cuerpo que se desliza, y siendo que está en movimiento, el coeficiente que interviene es el dinámico , así como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el equilibrio de fuerzas se da cuando:

descomponiendo los vectores en sus componentes normales y tangenciales se tiene:

teniendo en cuenta que:

y como en el caso de equilibrio estático, se tiene:

Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio dinámico del cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin aceleración (a velocidad constante) su fuerza de inercia Fi será cero, y se puede ver que:

esto es, de forma semejante al caso estático:

con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento dinámico de un cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleración, con velocidad constante, por el plano.

[editar] Valores de los coeficientes de fricción

En la tabla se listan los coeficientes de rozamiento de algunas sustancias donde

μe = Coeficiente de rozamiento estático,

Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias[cita requerida]

Materiales en contacto

Articulaciones humanas 0,02 0,003

Acero // Hielo 0,03 0,02

Acero // Teflón 0,04 0,04

Teflón // Teflón 0,04 0,04

Hielo // Hielo 0,1 0,03

Esquí (encerado) // Nieve (0 °C) 0,1 0,05

Acero // Acero 0,15 0,09

Vidrio // Madera 0,2 0,25

Caucho // Cemento (húmedo) 0,3 0,25

Madera // Cuero 0,5 0,4

Caucho // Madera 0,7 0,6

Acero // Latón 0,5 0,4

Madera // Madera 0,7 0,4

Madera // Piedra 0,7 0,3

Vidrio // Vidrio 0,9 0,4

Caucho // Cemento (seco) 1 0,8

Cobre // Hierro (fundido) 1,1 0,3

μd = Coeficiente de rozamiento dinámico.

Los coeficientes de rozamiento, por ser relaciones entre dos fuerzas son magnitudes adimensionales.

[editar] Rozamiento entre sólido y fluido

Artículo principal: aerodinámica

La fricción aerodinámica depende del régimen o tipo de flujo que exista alrededor del cuerpo en movimiento:

Cuando el flujo es laminar la fuerza de oposición al avance puede modelizarse como proporcional a la velocidad del cuerpo, un ejemplo de este tipo de resistencia aerodinámica es la ley de Stokes para cuerpos esféricos.

Cuando el cuerpo se mueve rápidamente el flujo se vuelve turbulento y se producen remolinos alrededor del cuerpo en movimiento, y como resultado la fuerza de resistencia al avance es proporcional al cuadrado de la velocidad (v2), de hecho, es proporcional a la presión aerodinámica.

[editar] Rozamiento en medios fluidos

Artículo principal: Viscosidad

La viscosidad es una medida de la resistencia de un fuído que está siendo deformado por cualquier esfuerzo cortante o tensión extensional. En términos generales, es la resistencia de un líquido a fluir, o su "espesor". Viscosidad describe la resistencia interna de un líquido a fluir y puede ser pensado como una medida de la fricción del fluido. Así, el agua es "delgada", tiene baja viscosidad, mientras que el aceite vegetal es "densa", con una mayor viscosidad. Todos los fluidos reales (excepto los superfluidos) tienen cierta resistencia a la tensión, pero un fluido que no tiene resistencia al esfuerzo cortante se conoce como un fluido ideal o líquido viscoso. Por ejemplo, un magma de alta viscosidad creará un volcán alto, porque no se puede propagar con suficiente rapidez; la lava de baja viscosidad va a crear un volcán en escudo, que es grande y ancho. El estudio de la viscosidad que se conoce como reología.

El modelo más simple de fluido viscoso lo constituyen los fluidos newtonianos en los cuales el vector tensión debido al rozamiento entre unas capas de fluido y otras viene dado por:

Donde:

, son las componentes de la velocidad.

son las coordenadas cartesinas (x, y, z).

Para un flujo unidimensional la anterior ecuación se reduce a la conocida expresión:

Fuerza magnética

Fuerza de Lorentz

Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una partícula cargada en un campo magnético constante, según el signo de la carga eléctrica.

Fuerza sobre una partícula cargada.

Fuerza sobre una corriente.

En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.

[editar] Forma clásica

Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:

donde es la velocidad de la carga, es el vector intensidad de campo eléctrico y es el vector inducción magnética. La expresión anterior está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

donde es la longitud del conductor, es la intensidad de corriente y la inducción magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.

[editar] Formas alternativas

[editar] Forma integral

Si los campos eléctrico y magnético no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente , y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

Como en general esto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.

[editar] Forma tensorial

En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

(expresión tensorial relativista)

Donde:

son las componentes del cuadrivector fuerza.

son las componentes del cuadrivelocidad.

son las componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:

[editar] Fuerza de Lorentz y tercera ley de Newton

La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la

primera. Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es, utilizando la Ley de Biot-Savart:

Donde los son los valores de posición respectivos, las velocidades lineales respectivas, qi las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de la partícula 2 sobre la partícula 1 es:

Empleando la identidad puede verse que la primera fuerza está en el plano formado por y que la segunda fuerza está en el plano formado por y .

Campos no conservativos

El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser derivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de campo del campo magnético son cerradas.

Propiedades

Dado un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa el campo es conservativo si cumple cualquiera de estas condiciones (de hecho puede demostrarse que si cumple una de ellas cumple las otras dos también):

1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que genera el campo entre dos puntos no depende del camino que haya seguido el móvil entre esos dos puntos.

2. Un campo es conservativo si, y solo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los puntos es cero:.

3. Y más importante: un campo de fuerzas es conservativo si y sólo si podemos encontrar una función escalar potencial llamada de energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza. De tal modo que para esa fuerza el trabajo que realiza sobre un móvil entre dos puntos cualesquiera del espacio es igual a la variación de esa función escalar entre esos dos puntos, cambiada de signo.

Otra propiedad interesante es que las curvas integrales de un campo vectorial conservativo, llamadas líneas de campo, no pueden ser cerradas.

Un sistema conservativo es un sistema mecánico en que la energía mecánica se conserva. La mayoría de los ejemplos de sistemas conservativos la conservación de la energía se sigue del hecho de que las interacciones entre las diferentes partículas vienen descritas por fuerzas conservativas. En consecuencia en dichos sistemas la energía mecánica es una integral del movimiento y por tanto una cantidad conservada.

Los sistemas mecánicos disipativos son ejemplos de sistemas mecánicos no conservativos.

Contenido

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1 Mecánica newtoniana 2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

o 2.1 Integrabilidad 3 Referencias

o 3.1 Bibliografía

[editar] Mecánica newtoniana

Un sistema de partículas que interactúan entre ellas es un sistema mecánico conservativo, si las fuerzas puden expresarse como gradiente de un cierto potencial, para verlo basta considerar las ecuaciones del movimiento:

Donde ri(t) es la posición de la partícula i-ésima en el instante de tiempo t, Fji representa la fuerza que ejerce la partícula j sobre la partícula i. Si admitimos que dichas fuerzas son conservativas y pueden derivarse de un potencial:

Es inmediato comprobar que la energía mecánica definida como la suma de energía cinética y energía potencial:

Es una magnitud constante a lo largo de las "trayectorias" reales del sistema, cosa que puede verse directamente:

Además puede probarse que si las fuerzas sólo dependen de la distancia entre las partículas y su sentido de acción coincide con el de la línea que une a dichas partículas se conserva además tanto el momento lineal como el momento angular.

[editar] Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica hamiltoniana un sistema es conservativo si el hamiltoniano o el lagrangiano expresados mediante un conjunto de coordenadas naturales no depende explícitamente del tiempo, ya que en ese caso: 1

Donde se han tenido en cuenta las ecuaciones del movimiento y la definición del momento conjugado:

Para ver si el sistema es natural, es decir, si el hamiltoniano coincide con la energía, se calcula la energía cinética expresada en las coordenadas generalizadas a partir de su expresión newtoniana.2

[editar] Integrabilidad

Los sistemas de un sólo grado de libertad conservativos son automáticamente integrables.

[editar] Referencias

1. ↑ Landau & Lifshitz, p.1592. ↑ Fernández Rañada, p.106.

[editar] Bibliografía

Landau, L.D.; Lifshitz E.M.. «VII». En Reverté. Mecánica (2ª edición). Barcelona. pp. 158-189. ISBN 84-291-4080-6.

Fernádez Rañada, Antonio. Fondo de Cultura Económica. ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México DF. pp. 77-131.

Energia Potencial, Concepto y TiposEnergia Potencial, Concepto y Ejemplo.- Se dice que un objeto tiene energia cuando está en movimiento, pero también puede tener energia potencial, que es la energia asociada con la posición del objeto.

Energia Potencial, ejemplo: un pesado ladrillo sostenido en alto tiene energia potencial debido a su posición en relación al suelo. Tiene la capacidad de efectuar trabajo porque si se suelta caerá al piso debido a la fuerza de gravedad, pudiendo efectuar trabajo sobre otro objeto que se interponga en su caída.

Un resorte comprimido tiene energia potencial. Por ejemplo, el resorte de un reloj a cuerda transforma su energia efectuando trabajo para mover el horario y el minutero.

Hay varios tipos de energia potencial: gravitacional, elástica, eléctrica, etc.

Energia Potencial Gravitacional

El ejemplo mas cotidiano de energía potencial es la energía potencial gravitacional.

Se define la energía potencial (EP) gravitacional de un objeto de masa m que se encuentra a una altura y de algún nivel de referencia como:

EPG = mgy

g es la aceleración de gravedad

Esta definición es totalmente compatible con la definición de trabajo por cuanto el trabajo necesario para elevar la masa m desde el nivel de referencia hasta la altura y es Fy = Peso•y = mgy. El objeto ha acumulado una energía mgy.

Si dejamos que el objeto de masa m caiga libremente bajo la acción de la gravedad sobre una estaca que sobresale del suelo, efectuará un trabajo sobre la estaca igual a la energía cinética que adquiera llegando a ella.

Esta energía cinética puede calcularse mediante la ecuación cinemática vf2 =

vi2 + 2gy. Como vi = 0,

vf2 = 2gy. La energía cinética justo antes de golpear la estaca es ½mvf2.

Reemplazando vf2 por 2gy se obtiene ½ m•2gy = mgy.

O sea, para elevar un objeto de masa m a una altura y se necesita una cantidad de trabajo igual a mgy y una vez en la altura y, el objeto tiene la capacidad de efectuar trabajo igual a mgy.

Notemos que la EPG depende de la altura vertical del objeto sobre algún nivel de referencia , en el caso de este ejemplo, el suelo.

El trabajo necesario para elevar un objeto a una altura y no depende de la trayectoria que se siga . O sea, la trayectoria puede ser vertical o en

pendiente u otra y el trabajo para subirlo será el mismo. Igualmente, el trabajo que puede efectuar al descender tampoco depende de la trayectoria.

¿Desde qué nivel medir la altura y? Lo que realmente importa es el cambio en energía potencial y escogemos un nivel de referencia que sea cómodo para resolver determinado problema. Una vez escogido el nivel, debemos mantenerlo en todo el problema.

Energia Potencial Elastica.

Es la energía asociada con las materiales elásticos. Se demostrará a continuación que el trabajo para comprimir o estirar un resorte una distancia x es ½kx2, donde k es la constante del resorte.

Sabemos, por ley de Hooke, que la relación entre la fuerza y el desplazamiento en un resorte es F = -kx. El signo menos se debe a que la fuerza siempre se dirige hacia la posición de equilibrio (x = 0). La fuerza F ahora es variable y ya no podemos usar W = Fdcos .

Encontremos primero una relación general para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable, que luego aplicaremos a nuestro resorte

Como Fx es aproximadamente constante en cada x, W Fx x, y el trabajo total puede aproximarse por

Si hacemos los intervalos x cada vez mas pequeños, esto es hacemos que x 0, W tiende a un límite, que se expresa como

Que representa la integral de la fuerza Fx como función de x:

Y que es el área bajo la curva Fx(x). Por supuesto, esta relación incluye el caso en que Fx = F cos es constante.

Aplicando dicha relación a nuestro resorte, el que supondremos horizontal conectado con una masa que desliza sobre una superficie lisa también horizontal y comprimido una distancia xmax y que luego soltamos, el trabajo W hecho por la fuerza del resorte entre xi = -xmax y xf = 0 es:

Sistemas de partículas y cantidad de movimiento

Conceptos principales a tener en cuenta:

Centro de masaso El centro de masas de un sistema de partículas viene definido por:

Movimiento del centro de masas de un sistemao El centro de masas de un sistema de partículas se mueve bajo la acción de

una fuerza neta resultante como lo haría una única partícula de masa igual a la masa total del sistema de partículas colocada en esa posición según la segunda ley de Newton Fneta=MAcm

Conservación del momento linealo La masa total de un sistema multiplicada por la velocidad del centro de

masas es igual a la cantidad de movimiento lineal total  del sistema P=MVcm.Si la fuerza externa resultante que actua sobre el sistema es nula, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva.

Sistemas de referencia del centro de masaso Si colocamos nuestro sistema de referencia desplazándose justo con el

centro de masas del sistema, la cantidad de movimiento total de las partículas que lo forman será igual a cero.

Energía cinética de un sistema de partículas

o En todo sistema de partículas, la energía cinética total del sistema puede expresarse como la energía asociada al centro de masas, más la energía cinética asociada al movimiento de las partículas respecto del centro de masas, es decir:

Choques en una dimensióno Un choque es la interacción rapida mediante fuerzas de contacto entre dos

partículas. En cualquier choque la cantidad de movimiento total del problema siempre se conserva. La energía cinética en cambio puede hacerlo o no. En caso de que la energía cinética se conserve el choque se dice elástico mientras que si la energía cinética no se conserva el choque se llama inelástico.

Impulso y promedio temporal de una fuerzao El impulso de una fuerza se define mediante la integral de la fuerza que

aparece durante el choque a lo largo del tiempo que ésta dura.

o El impulso de la fuerza resulta así igual al cambio en la cantidad de movimiento en cada una de las partículas. A partir de esta expresión puede estimarse entonces la fuerza promedio que actua durante el choque si hacemos Fm=J/dt

Choque (física)El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos, pero también puede definirse como una excitación física.

Un choque físico o mecánico es percibido por una repentina aceleración o desaceleración causada normalmente por un impacto, por ejemplo, de una gota de agua, aunque también una explosión causa choque; cualquier tipo de contacto directo entre dos cuerpos provoca un choque. Lo que mayormente lo caracteriza es la duración del contacto que, generalmente, es muy corta y es entonces cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre los cuerpos.

Un choque suele medirse con un acelerómetro. Esto describe un choque de pulso, como una parcela de aceleración en función del tiempo. La aceleración se puede tomar en unidades de metro por segundo al cuadrado. A menudo, por conveniencia, la magnitud de un choque se mide como un múltiplo de la aceleración de la (gravedad), g, que tiene un valor de 9,80665 m.s-2 a nivel del mar. Así, un choque de "20g" es equivalente a aproximadamente 196 m/s2. Un choque puede ser caracterizado por la aceleración máxima, la duración y la forma del pulso de choque (la mitad seno, triangular, etc.)

[editar] Colisiones

En una colisión intervienen dos objetos que se ejercen fuerzas mutuamente. Cuando los objetos están muy cercanos o entran en contacto, interaccionan fuertemente durante un breve intervalo de tiempo. La fuerzas de éste tipo reciben el nombre de fuerzas impulsivas y se caracteriza por su acción muy intensa y su brevedad. Un caso de este tipo de interacción, por ejemplo, es la colisión de dos carros que lleven montados parachoques magnéticos. Estos interactúan incluso sin llegar a tocarse, es lo que se considera colisión sin contacto.

Las fuerzas que se ejercen mutuamente son iguales y de sentido contrario. Si el choque es elástico se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Si el choque es inelastico la energía cinética no se conserva y, como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura.

Según la segunda ley de Newton la fuerza es igual a la variación del momento lineal con respecto al tiempo. Si la fuerza resultante es cero, el momento lineal constante. Ésta es una ley general de la Física y se cumplirá ya sea el choque elástico o inelástico. En el caso de un choque:

Esto supone, en el caso especial del choque, que el momento lineal antes de la

interacción será igual al momento lineal posterior al choque.

Para caracterizar la elasticidad de un choque entre dos masas se define un coeficiente de restitución como:

Este coeficiente variará entre 0 y 1, siendo 1 el valor para un choque totalmente elástico y 0 el valor para uno totalmente plástico o inelástico.

[editar] Efectos de choque

La mecánica de choque tiene el potencial de dañar, deformar, etc:

Un cuerpo frágil se puede fracturar. Por ejemplo, dos copas de cristal pueden romperse en caso de colisión una contra el otra. Una cizalla en un motor está diseñada para la fractura con cierta magnitud de choque.

Un objeto dúctil se puede doblar por una conmoción (deformar). Por ejemplo, una jarra de cobre se puede curvar cuando cae en el suelo.

Algunos objetos no se dañan por un único choque, pero si se produce fatiga en el material con numerosas repeticiones de choques de bajo nivel.

Un efecto de choque puede resultar sólo daños menores, que pueden no ser críticos para su uso. Sin embargo, daños menores acumulados de varios efectos de choques, eventualmente resultarán en que el objeto sea inutilizable.

Un choque puede no producir daño aparente de inmediato, pero podría reducir la vida útil del producto: la fiabilidad se reduce.

Algunos materiales como los explosivos se pueden detonar con mecánicas de choque o impacto.

[editar] Consideraciones

Cuando las pruebas de laboratorio, la experiencia sobre un terreno, o de ingeniería indica que un objeto puede ser dañado por un choque, debería considerarse tener algunas precauciones:

Reducir y controlar la fuente de entrada del choque (origen). Modificar el objeto para mejorar su resistencia o mejorar el control del choque. Usar amortiguadores o algún material que absorba el golpe (como materiales muy

deformables) a fin de controlar la transmisión del choque sobre el objeto, esto reduce el pico de aceleración y amplía la duración del choque.

Plan de fracasos: Aceptar algunas pérdidas. Tener sistemas redundantes; utilizar los más seguros; etc.

[editar] Bibliografía

DeSilva, CW, "las vibraciones y los choques Handbook", CRC, 2005, ISBN 0-8493-1580-8 Harris, CM, y Peirsol, AG "Shock and Vibration Handbook", 2001, McGraw Hill, ISBN 0-07-

137081-1

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MIL-STD-810 M, medio ambiente y métodos de ensayo Directrices de Ingeniería, 2000 MIL-S-901 D, Pruebas de choque, HI (Alto Impacto) a bordo Maquinaria, Equipos, y

Sistemas, 1989

Impulso y Cantidad de Movimiento

Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas.

Una gran parte de nuestra información acerca de las partículas atómicas y nucleares, se obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en función de choques de las partículas, y encontraremos que de los principios de la conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía, podemos deducir mucha información acerca de los fenómenos de choques.

Impulso y cantidad de movimiento.- En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

Supongamos que la curva de la figura 2 muestra la magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un choque. Supongamos que la fuerza tiene una dirección constante. El choque comienza en el tiempo t1 y termina en el tiempo t2, siendo la fuerza 0 antes y después del choque.

De la ecuación I podemos escribir el cambio de cantidad de movimiento dp de un cuerpo en el tiempo dt durante el cual obra una fuerza F así:

dp = F dt

Podemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto es,

p2 - p1 = I dp = I F dt

La integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se supone que es de dirección constante. El impulso de esta fuerza I F dt. está representado en magnitud por el área de la curva fuerza-tiempo.

Fenómenos de choque.- Consideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. además, cada fuerza obra durante el mismo período de tiempo, est es, el tiempo del choque,

dt = t2 - t1

Dos “partículas” m1 y m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la dirección de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de Newton.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula resultante del choque es:

En esta expresión es el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo.

El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 2 atribuible al choque es:

En esta expresión es el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo.

Si no actúan otras fuerzas en las partículas, entonces

y dan el cambio total de la cantidad de movimiento para cada una. Pero hemos visto que en

cada instante F2 es igual a - F1, de modo que

es igual a -, y por consiguiente:

.

Si consideramos las dos partículas como constituyendo un sistema, la cantidad de movimiento total del mismo es:

P = p1 + p2.

y el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es:

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema.

Si consideramos después un sistema de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensión del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El único requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

Ahora el estudiante se preguntará por qué los fenómenos de choque se han discutido en función del impulso. De echo, el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya se ha deducido antes. Todo lo que debemos reconocer para sistemas en los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son fuerzas internas, y para tales sistemas surge inmediatamente el principio de la conservación.

Una razón para considerar la naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase importante de problemas sobre como ocurre la conservación de la cantidad de movimiento. Sin embargo, una razón más importante es que nos permite explicar por qué casi siempre suponemos conservación de cantidad de movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas externas sobre el sistema.

Cuando un bat le pega a una pelota de béisbol un bastón de golf le pega a una pelota de golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran fuerzas externas sobre el sistema; por ejemplo, la gravedad o la fricción ejercen fuerzas sobre esos cuerpos; esas fuerzas externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el choque y suponer conservación de la cantidad de movimiento con tal que, como es casi siempre cierto,

Las fuerzas externas sean insignificantes en comparación con las fuerzas impulsivas de choque. Como resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una fuerza externa, es insignificante en

En la figura a la izquierda se puede observar,

que durante un choque la fuerza impulsiva, Fimp es

generalmente mucho mayor que cualquiera de las

fuerzas externas Fext que puedan sobre el sistema.

Comparación con el cambio de cantidad de movimiento de una partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.

Por ejemplo, cuando un bate le pega a una pelota de béisbol el choque dura sólo una fracción de segundo, ya que el cambio de cantidad de movimiento es grande y el tiempo de choque es mas pequeño, se deduce de:

que la fuerza impulsiva media es sumamente grande. Comparada con esta fuerza externa de gravedad es insignificante. Durante el choque podemos impunemente pasar por alto esta fuerza al determinar el cambio de cantidad de movimiento de la pelota.

Si llamamos J al impulso entonces tenemos:

De tal manera que tratamos de conservar J constante conforme se hace más pequeña. Esto se puede lograr suponiendo una fuerza F más y mas grande, o

sea

. En el límite, cuando para que J sea constante para un valor finito. Si los choques ocurren en el tiempo cero dado que las fuerzas externas son inapreciables comparadas con la fuerza de choque infinita.

En la practica, por consiguiente, todo lo que se requiere para justificar el uso del principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas, poco antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema, poco después de que las partículas han chocado.

Choques en una dimensión.-

El problema de determinar el movimiento de los cuerpos después del choque, conociendo el movimiento antes del mismo, puede moverse solamente si conocemos exactamente las fuerzas de choque y podemos resolver las ecuaciones del movimiento. A menudo esas fuerzas no se conocen. Sin embargo el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser valido durante el choque, así como el de la conservación de la energía total. Aun cuando podemos no conocer los detalles de la interacción, esos principios pueden usarse para predecir los resultados del choque.

Los choques o están limitados a casos en los cuales dos cuerpos entran en contacto en el sentido usual. También se puede decir que chocan cuerpos que no entran en contacto por que ejercen fuerzas entre si y que alternan mutuamente sus movimientos. Los átomos pueden interactuar mediante fuerzas eléctricas o magnéticas que ejercen entre si, los núcleos pueden actuar mediante fuerzas nucleares y los cuerpos astronómicos pueden actuar mediante fuerzas gravitacionales tratando los cuerpos que interactuan como un sistema, podemos usar los principios de conservación para estudiar el movimiento de esos cuerpos.

Las colisiones ordinariamente se clasifican de acuerdo con lo que se conserve o no durante el choque la energía cinética. Cuando se conserva la energía cinética durante un choque, se dice que el mecanismo es elástico; si no es así, el choque es inelástico. Las colisiones de las partículas atómicas y subatómicas, a veces son elásticas. De hecho estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Sin embargo, a menudo podemos tratarlas como aproximadamente elásticas, como en el caso de choques de bolas de marfil o de vidrio. La mayoría de los choques son inelásticos. Cuando dos cuerpos quedan unidos después de un choque se dice que este es completamente inelástico. Por ejemplo el choque entre una bala y su blanco es completamente inelástico cuando la bala queda ahogada en el blanco. Él termino completamente inelástico no significa que pierda toda la energía cinética inicial; Como veremos; quiere decir también que la perdida es tan grande como lo permite la cantidad de conservación de la cantidad del movimiento.

Aun cuando las fuerzas de colisión no se conozcan, el movimiento de las partículas después de la misma puede determinarse a partir del movimiento antes del choque con tal de que este sea completamente inelástico, o bien, si es elástico, con tal que se efectúe en una sola dimensión el movimiento relativo después de este es a lo largo de la misma línea que el movimiento relativo antes del mismo.

Consideremos primero un choque elástico en una sola dimensión.

Podemos imaginar dos esferas lisas, que no rigen, moviéndose inicialmente en la dirección de la línea que une sus centros, chocando frente a frente y moviéndose en la misma línea

recta sin rotación después del choque. La situación se ilustra en la figura que tenemos de abajo.

Debido a su forma esférica, esos cuerpos ejercen fuerza entre sí, durante el choque, que están a lo largo de la línea inicial del movimiento de tal manera que el movimiento final esta también él la misma línea.

Las masas de la esfera son m1 y m2 siendo las velocidades componentes u1 y u2 antes del choque y v1 y v2 después del choque.

m1 m2 m1 m2

u1 u2 v1 v2

u1-u2 v2-v1

Antes del choque Después del choque

Llamamos la dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad hacia la derecha. Entonces del principio de la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

y de la conservación de la energía cinética obtenemos

1/2 m1u12 + 1/2 m2u22 = 1/2 m1v12 + 1/2 m2v22

La ecuación de la cantidad del movimiento se puede escribir

m1(u1 - v1) = m2 (v2 - u2) (1º)

y la ecuación de la energía se puede escribir

m1(u12 - v12) = m2 (v22 - u22) (2º)

dividiendo miembro a miembro la ecuación 2º entre la 1º obtenemos

u1 + v1 = v2 + u2 (3º)

Nótese que en un choque elástico en una dimensión, la velocidad mínima de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de separación después del mismo porque la ecuación 3º se puede escribir también así.

u1 - u2 = v2 - v1

Para determinar las velocidades v1 y v2 después del choque a partir de las velocidades u1 y u2 antes del choque, podemos usar dos de las tres ecuaciones numeradas anteriormente. Así de la ecuación 3º

v2 = u1 + v1 - u2

reemplazando este valor en la ecuación 1º y despejando v1, obtenemos

v1 = (m1 - m2) u1 + (2m2) u2

(m1 + m2) (m1 + m2)

Análogamente poniendo v1 = v2 + u2 - u1 en la ecuación 3º despejando v2, obtenemos

v2 = (2m1) u1 + (m2 - m1) u2

(m1 +m2) (m1+ m2)

Hay varios casos de especial interés. Por ejemplo, cuando las partículas que chocan tienen la misma masa, m1 es igual a m2 las dos ecuaciones anteriores se transforman en

v1 = u2 v2 = u1

Esto es, un choque elástico de una dimensión de dos partículas de igual masa, las partículas simplemente intercambian sus velocidades durante el choque.

Otro caso de interés es aquel en el cual una partícula m2 esta inicialmente en el reposo. Entonces u2 es igual a cero y

v1 = (m1 - m2) u1 v2 = (2m1) u1

(m1 +m2) (m1 +m2)

Por supuesto que, sí m1 =m2 también, entonces v1 = 0 y v2 = 0 como era de esperarse. La primera partícula se “para en seco” y la segunda “arranca” con velocidad que tenia la primera originalmente. En cambio, si m2 es mucho mayor que m1, obtenemos

v1 " -u1 y v2 " 0

Esto es, cuando una partícula ligera choca con una de mucha mayor masa que esta en reposo, la velocidad de la partícula ligera aproximadamente se invierte y la partícula de gran masa permanece aproximadamente en reposo. Por ejemplo, supongamos que una pelota se deja caer verticalmente sobre una superficie horizontal fija a la tierra. Esto es de hecho un choque entre la pelota y la tierra. Si el choque es elástico, la pelota botara con una velocidad invertida y llegara a la misma altura a la de la cual caerá finalmente, si m2 es mucho menor que m1, obtenemos

v1 " u1 v2 " 2u1

Esto significa que la velocidad de la partícula incidente de gran masa casi no cambia con el choque contra la partícula ligera fija pero la partícula ligera rebota con una velocidad aproximadamente doble de la velocidad e la partícula incidente. El movimiento de una bola de boliche casi no es afectado porque choca contra una pelota de plástico del mismo tamaño inflada con aire pero la pelota rebota rápidamente.

Los neutrones producidos por un reactor por la fisión de los átomos de uranio se mueven muy aprisa y tienen que ser frenado si se quiere que produzcan mas fisiones. Suponiendo que se efectúan choques elásticos con los núcleos en reposo, ¿qué neutrón debe escogerse para moderar los neutrones en el reactor?

Sabemos de las consideraciones anteriores, que si los blancos estacionarios fueran núcleos de gran masa, como el plomo, los neutrones simplemente rebotarían con una velocidad casi igual a la que tenían inicialmente. Si los blancos estacionarios fueran mucho más ligeros que los neutrones, como los electrones, los neutrones aun seguirían de frente con la misma velocidad que tenían inicialmente. En cambio, si los blancos son partículas de masa casi igual. Los neutrones quedarían casi al reposo al chocar con ellos. Pos consiguiente, el retardador más efectivo será él hidrogeno cuyo núcleo (el protón) tienen casi la misma masa que el neutrón. Hay otras consideraciones que afectan la elección de un moderador para neutrones, pero no teniendo en cuenta las condiciones de cantidad de movimiento, la elección se limita a los elementos más ligeros.

Si un choque es inelástico ya no podemos practicar el principio de la conservación de la energía cinética. La energía cinética inicial puede ser menor al valor inicial, convirtiéndose finalmente la diferencia en calor o en energía potencial de deformación en el choque. En todo caso, el principio de la conservación de la cantidad del movimiento sigue siendo valido. De cualquier modo, debemos usar el principio de la conservación de la energía total y del de la conservación de la energía cinética.

Consideremos finalmente un choque completamente inelástico. Las dos partículas permanecen en contacto después del choque, de modo que habrá una velocidad final común v. usando el principio de la conservación de la materia.

m1u2 + m2u2 = (m1 + m2)v 4º

Esta ecuación determina v cuando se conocen u1 y u2.

Ejemplo 1. Una pelota de béisbol que pesa 1.56 [N] recibe un golpe de un bat al ir moviéndose horizontalmente con una velocidad de 43 m/seg. Como consecuencia del golpe la pelota sale con una velocidad de 33. 52 m/seg. En una dirección opuesta al movimiento original. Determinar el impulso del golpe.

No podemos determinar él impulsó mediante la definición J =

Porque no sabemos la fuerza ejercida sobre la pelota en función del tiempo. No obstante hemos visto que el cambio de cantidad de movimiento de una partícula sobre la cual obra una partícula sobre la cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Por consiguiente,

impulso = cambio de cantidad de movimiento = P2 + P1

La magnitud del impulso es entonces:

El signo menos indica que la dirección del impulso es opuesta a la de la velocidad original que arbitrariamente escogimos como positiva.

La fuerza del choque no puede determinarse con los datos que se proporcionan. De hecho, cualquier fuerza cuyo impulso sea -9.79[N*s] producirá el mismo cambio de cantidad de movimiento, por ejemplo, si el bat y la pelota estuvieran en contacto durante 0.001[s] la fuerza media durante ese tiempo sería:

Para tiempos de contacto más cortos las fuerzas medidas serían mayores la fuerza real tendría un valor máximo mayor que este valor medio por tanto caería la pelota debido a la gravedad durante el tiempo de choque.

Ejemplo 2. ¿En qué fracción disminuye la energía cinética de un neutrón (masa m1) durante un choque elástico de frente con un núcleo atómico (masa m2) que está inicialmente en reposo?

La energía cinética inicial Ki es 1/2m1u12. La energía cinética final es 1/2m1v12. Por consiguiente la fracción de disminución de energía cinética es:

Pero para ese choque

de modo que

Encontrar la fracción de disminución de energía cinética de un neutrón cuando choca de esta manera con un núcleo de plomo, un núcleo de carbono y un núcleo de hidrógeno. La relación de la masa nuclear a la masa del neutrón es 206 para el plomo, 12 para el carbono y 1 para el hidrógeno.

Para el plomo, m2=206m1

Para el carbono, m2=12m1

Para el hidrógeno, m2=m1

Estos resultados explican por qué los neutrones son retardados muy poco por una placa de plomo de 50[cm] de espesor, mientras que son completamente absorbidos por una capa de parafina de 20[cm] de espesor.

Ejemplo 3.

El péndulo balístico se usa para medir la velocidad de las balas. El péndulo, que consiste de un gran bloque de madera de masa M cuelga verticalmente de dos cuerdas. Una bala de masa m, que avanza con una velocidad horizontal u, choca contra el péndulo y se incrusta en él. Si el tiempo de choque (el tiempo requerido para que la bala quede en reposo con respecto al bloque) es muy pequeño en comparación con el tiempo de oscilación del péndulo, las cuerdas que lo sostienen quedan aproximadamente verticales durante el choque. Por consiguiente no obra ninguna fuerza externa horizontal sobre el sistema durante el choque y se conserva la componente horizontal de la cantidad de movimiento. La velocidad v del sistema después del choque es mucho menor que la de la bala antes del choque. Esta velocidad final se puede determinar fácilmente de modo que la velocidad original de la bala se puede calcular mediante el principio de la conservación de la cantidad del movimiento.

La cantidad de movimiento inercial del sistema es la de la bala mas la cantidad de movimiento del sistema apenas terminado el choque, de modo que:

Una vez que termina el choque, el péndulo y la bala oscilan hasta una altura máxima y, en donde la energía cinética que quedó después del impacto se convierte en energía potencial gravitacional.

Entonces, aplicando el principio de la conservación de la energía mecánica para esta parte del movimiento, obtenemos:

Por consiguiente, se puede determinar la velocidad inicial de la bala si se miden "m" "M" y "y".

La energía cinética de la bala inicialmente es 1/2mu2 y la energía cinética del sistema (bala+péndulo) inmediatamente después del choque es 1/2(m+M)v2. La relación es:

Por ejemplo, si la bala tiene una masa m=5[gr] y el bloque tiene una masa M=2000[gr], la cantidad de energía cinética que queda es apenas de 0.25% aproximadamente; más del 99% se convierte en otras formas de energía, por ejemplo calor y sonido.

El movimiento del centro de masa de dos partículas no es afectado por su choque, por que el choque no cambia la cantidad de movimiento del sistema de dos partículas, sólo cambia la distribución de la cantidad de movimiento entre las dos partículas. La cantidad de movimiento del sistema se puede escribir así P=(m1 +m2 )vcm. Si no obran fuerzas externas sobre el sistema, entonces P es constante antes y después del choque y el centro de masa se mueve con velocidad constante todo el tramo.

Si escogemos un sistema de referencia ligado al centro de masa entonces en este sistema de coordenadas del centro de masa vcm =0 y P=1. Hay una gran simplicidad y simetría al describir los choques con respecto al centro de masa, y se acostumbra hacerlo así en física nuclear. Para decir que los choques sean elásticos o inelásticos, se conserva la cantidad de movimiento y tomando coordenadas referidas al centro de masa, la cantidad de movimiento total es igual a cero. Estos resultados son válidos en dos y en tres dimensiones lo mismo que en una porque la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial.

Como ejemplo, consideremos el choque de frente entre dos partículas m1 y m2. Sea m2=3m1, y consideremos a m2 en reposo, de modo que u1 es igual a cero en el sistema de coordenadas del laboratorio. La cantidad de movimiento total de las dos partículas es simplemente la de la partícula incidente m1u1 de modo que:

Después del choque m1 tiene una velocidad v1=1/2u1, y m2 tiene una velocidad v2=1/2u1. La cantidad de movimiento total de las dos partículas es la misma que antes del choque, y el movimiento del centro de masa no se altera.

Un choque elástico referido al sistema de coordenadas del laboratorio.

El mismo choque referido al centro de masa.

Sección eficaz de choque.-

Cuando se conoce la fuerza de interacción de las partículas que chocan, podemos encontrar el movimiento resultante directamente a partir de las condiciones iniciales. La misma ley de las fuerzas en una cuarta ecuación que se aplica al movimiento. El parámetro de choque es entonces una condición inicial que debe especificarse. Ejemplos que frecuentemente se encuentran en física son choques entre cuerpos astronómicos, tales como el movimiento de un cometa cerca de un planeta, en el cual la fuerza es la conocida fuerza de gravitación, o choques entre partículas eléctricamente cargadas, en las cuales la fuerza es también la conocida fuerza de Coulomb entre partículas cargadas. Esas fuerzas son de gran alcance, de modo que los cambios en el movimiento de unos cuerpos que chocan y que están sometidos a tales fuerzas de interacción son graduales y no repentinos como lo son los choques por contacto.

Hay otras fuerzas, tales como las fuerzas nucleares, que obran sólo a corta distancia. En tales casos debemos decir que tan débil puede ser una interacción para que se llame choque. Es equivalente a estipular que tan grande puede ser el parámetro de impacto a fin de que , para los objetivos del problema de que se trata, ocurre una desviación suficientemente grande para que la interacción se llame choque. Si el parámetro de impacto excede ese valor, decimos que no hay choque. Este procedimiento determina el alcance efectivo de la fuerza de interacción. Por consiguiente, podemos definir un área alrededor de la partícula blanca, tal, que ocurra un choque si la línea inicial del movimiento de la partícula incidente pasa por esa área y no ocurre si pasa fuera de esa área. A esta área le llamamos sección eficaz de choque . Debido a que una partícula de rápido movimiento interactúan con el blanco durante un intervalo de tiempo más comúnmente que una partícula lenta, la sección

eficaz de choque generalmente depende de la velocidad (o energía) de la partícula incidente.

A menudo, como ocurre en la física nuclear, la naturaleza exacta de la fuerza de la fuerza no se conoce. Entonces determinamos la sección eficaz experimentalmente y usamos los resultados para introducir algo acerca de la naturaleza de la fuerza. En física nuclear, la sección eficaz de choque se determina experimentalmente disparando un haz de partículas a una hoja delgada de material que mantenga un gran número de núcleos blancos. No podemos regular el parámetro de impacto por que la distancia de un núcleo blanco en la trayectoria de un proyectil puede ser diferente para cada par de partículas “chocadoras”. Los parámetros de impacto están distribuidos al azar y debemos analizar la interacción estadísticamente.

El área de la hoja expuesta al haz es A y el espesor de la hoja ............ Si hay n partícula blanco por unidad de volumen de la hoja el número total de partículas blanco disponibles es nA s. Si cada partícula blanco ofrece una reacción eficaz al choque, el área general disponible para el choque es (nA s) . Por consiguiente la probabilidad de que ocurra un choque cuando una partícula pase por la hoja es la relación de esa área al área total de la hoja expuesta al haz, o sea n s . Para determinar o experimentalmente medimos la fracción de las partículas incidentes que chocan e igualamos n s . Esto es, N/N es igual a n s. Conociendo el espesor de la hoja y la densidad de la partícula blanco obtenemos .

En vez de la sección eficaz para que ocurra un choque cual quiera, llamada sección eficaz total, a menudo estamos interesados en la sección eficaz para ciertas clases especiales de choque. Por ejemplo, en choques moleculares la molécula inicialmente puede ionizar la molécula blanco; pueden simplemente pasar energía a la molécula blanco; pude disociar la molécula blanco, y así sucesivamente. Para obtener la sección eficaz par una clase especial de choque, simplemente medimos la fracción de la partícula incidente que hace esta clase de choque con las partículas blanco. La sección total eficaz de choque es la suma de todas esas secciones eficaces parciales.

La medida “verdadera” de una fuerza.-

La distinción entre energía cinética y cantidad de movimiento y las relaciones entre esos conceptos y las fuerzas no se entendía diariamente sino hasta muy avanzado el siglo XVIII. Los hombres de ciencia se preguntaban si la energía cinética o la cantidad de movimiento eran la verdadera medida del efecto que actúa en un cuerpo. Descartes arguia que cuando que cuando interactuan los cuerpos todo lo que puede ocurrir es que pase cantidad de movimiento de uno a otro, porque la cantidad total de movimiento del universo permanece constante; por consiguiente, la única medida verdadera de una fuerza es el cambio en la cantidad de movimiento que produzca en un tiempo dado. Liebnitz ataco este punto de vista y concluía que la verdadera medida de una fuerza es el cambio que produce en la energia cinética.

En su tratado de mecánica, D'Alembert abandono la discusión por pareserle inútil y por que provenía de una confusión de terminología. El efecto acumulativo de una fuerza puede

medirse por su efecto integrado en el transcurso del tiempo , que produce un cambio de la cantidad de movimiento, o bien por su fuerza integrada en el

espacio, , que produce un cambio de la energía cinética. Ambos conceptos son útiles y validos. Según lo ilustra al estudio que hemos hecho de los choques, frecuentemente usamos ambos conceptos en el mismo problema.

Choque en dos y en tres dimensiones .-

Con excepción del choque completamente inelastico, el uso de las leyes de la conservacion solas, no permiten determinar el movimiento de las particulas despues de un choque apartir del conocimiento del movimiento antes del choque es bi o tri-dimensional. Por ejemplo para un choque elástico bi-dimensional, que es el caso más sencillo, tenemos cuatro incógnitas a saber, las dos componentes de la velocidad para cada una de las dos particulas despues del choque; pero solo tenemos tres ecuaciones conocidas entre ellas, una para la conservacion de la energía cinética y una relación para la conservación de la cantidad de movimiento, para cada una de las dos dimensiones. Por consiguiente, necesitamos mas información que las puras colisiones iniciales. Cuando no conocemos precisamente las fuerzas de interacción, como es a menudo el caso, la información adicional debe obtenerse del experimento. Lo más simple es especificar el ángulo de retroceso de una de las partículas que chocan.

Consideremos lo que ocurre cuando una partícula es disparada sobre una partícula blanco que esta en reposo. Este caso no es tan restringido como parece, porque siempre podemos escoger nuestro sistema de coordenadas de tal manera que la partícula blanco este en reposo antes del choque. Además, hay mucho trabajo experimental en física nuclear que consiste en disparar partículas nucleares a un blanco que esta fijo en el sistema de coordenada referido al laboratorio. Entonces el movimiento esta en un plano determinado por las líneas de retroceso de las partículas que chocan. El movimiento inicial no esta forzosamente en la línea que une los centros de las dos partículas. La fuerza de interacción puede no ser una fuerza de contacto, sino una fuerza que actúe a distancias, eléctricas, gravitacionales o nucleares.

La distancia entre la línea inicial del movimiento y una línea paralela a ella que pase por el centro de la partícula blanco, se llama parámetro de impacto. Este valor es una medida de que tan directo es el choque, si b = 0 se trata de un choque de frente. La dirección del movimiento de la partícula incidente m1 despues del choque. Aplicando el concepto de la conservación de la cantidad de movimiento tenemos:

m1 u1= m1 v1 cos1 + m2 v2 cos2

y para la componente y

= m1 v1 sen1 - m2 v2 sen2

Supongamos que el choque es elástico. Entonces se aplica la conservacion de la energía cinética y obtenemos una tercera ecuación.

½ m1 u1 u1= ½ m1 v1 v1 + ½ m2 v2 v2

Si conocemos las condiciones iniciales (m1, m2 y u1), nos queda cuatro incógnitas (v1, v2, 1 y 2) pero solo tres ecuaciones relacionandolas. Podemos determinar el movimiento despues del choque solamente si especificamos un valor para alguna de esas cantidades

Y

v2

m2 2

m1 v1 o X

1

v1

H h He

he He He

He He He He

(a)

(b)

He Cl

He He He Cl

F1 He

F1 He

(c) (d)

En la figura se muestra fotografías de cuatro colisiones nucleares. En cada una la partícula incidente es una partícula (núcleo del átomo de helio) y el núcleo que sirve de blanco esta en reposo antes del choque. Nótese que conforme aumenta la masa del núcleo, aumenta el ángulo entre las partículas después de chocar. En el caso (b), en que el blanco es también

una partícula alfa, las partículas después de chocar se mueven en direcciones perpendiculares.

La mayor de las colisiones son inelasticas, en escala microscópica. Los átomos, las moléculas y aun los núcleos, tienen energía interna relacionada con las posiciones y los movimientos de ambas partes constitutivas. Por consiguiente, esas partículas pueden sorber o ceder energía cinética en los choques.

Desarrollo.

1.- Trabajo:

La palabra trabajo tiene diferentes significados en el lenguaje cotidiano, en física se le da un significado específico como el resultado de la acción que ejerce una fuerza para que un objeto se mueva en cierta distancia.

También se puede decir que el trabajo es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento de este cuerpo en dirección de la fuerza aplicada. Mientras se realiza un trabajo sobre el cuerpo, se produce una transformación de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es “energía en movimiento”. Las unidades de trabajo son las mismas que las de energía.

Un ejemplo cotidiano de trabajo sería el levantar una caja desde el piso al borde de una mesa: se realiza una fuerza para vencer el peso de la caja y elevarla a una cierta altura para colocarla sobre la mesa.

Dentro del trabajo nos encontramos es trabajo realizado por una fuerza variable ó el trabajo realizado por una fuerza constante.

Nos referimos a una fuerza constante como aquella que no varía y el trabajo realizado por esta sería definida como el producto de una fuerza paralela al desplazamiento y la magnitud de este desplazamiento. Una forma de decirlo científicamente ó en formula sería: T = Fd * cos

Donde F es la fuerza aplicada que será constante, y D el desplazamiento de la partícula y el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento.

F = 30 Nw.

En el caso de una fuerza variable el trabajo se puede calcular gráficamente, el procedimiento es parecido al calculo del desplazamiento cuando conocemos la velocidad en función del tiempo T. Para calcular el trabajo efectuado por una fuerza variable graficamos Fcos , que es la componente de la fuerza paralelo al desplazamiento horizontal de la partícula en cualquier punto, en función de una distancia D, dividimos la distancia en pequeños segmentos D. Para cada segmento se indica el promedio de Fcos mediante una línea horizontal de puntos. Entonces el trabajo seria: T = ( Fcos ) * ( D ), que seria el área del rectángulo de ancho D y altura Fcos , el trabajo total sería la suma de todos los T. Las unidades básicas de trabajo son el Joule y el Ergio.

Unidades mks cgs

Joule (j) New * m 10-7

Ergío 10-7 Dina * cm

Si tomamos en cuenta que T = F*D y tomando en cuenta la 2da ley de Newton que dice F = M*A se tendrá la formula T = M*A*D

2 . Energía Cinética:

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa y la velocidad del cuerpo según la siguiente ecuación: Ec = ½ M*V2

Donde m es la masa del cuerpo y V es la velocidad que tiene el cuerpo. Si tenemos la aceleración y la distancia recorrida por el cuerpo sabiendo que A = V/T obtenemos las siguiente formula Ec = M*A*D. Un ejemplo de energía cinética en la vida cotidiana seria el hecho de manejar un auto por una calle o el simple acto de caminar.

Por otra parte dentro de la energía cinética nos encontramos diferentes clases de energía cinética o relaciones entre la energía cinética o relaciones entre la energía cinética con otras clases de energías. Entre estas tenemos la relación entre trabajo y energía, la trasmisión de eneregia cinética en choques o colisiones y la relacion entre energía y la cantidad de movimiento.

Con respecto a la relacion entre trabajo y eneregia es por todos conocido que un cuerpo en movimiento realiza un trabajo y por lo tanto posee una energía, si el movimiemto realiza un

trabajo y por lo tanto posee una energía, si el movimiento posee una rapidez variable, la energía del cuerpo tambien varia. Esta clase de energía que depende de la rapidez que posee en cuerpo se llama energía cinética.

Si tomamos en cuenta que t = M*A*D y sabiendo que la energía cinética es ec 0 M*A*D y observando esta similitud se obtiene que el trabajo realizado por un cuerpo es igual a ala energía cinética que tiene el mismo.

En el caso de la transmisión de energía cinética en colisiones o choques, sabemos que generalmente en una interacción entre dos o mas cuerpos, la energía cinética se trasforma en energía potencial, energía calórica o en algún proceso de deformación de los cuerpos que actúan en el proceso. Estas interacciones se caracterizan porque la energía cinética no se conserva se les llama interacciones inelásticas. En este caso la fuerza que se produce cuando los cuerpos se acercan es mayor a la fuerza que se produce cuando se alejan, esto hace que la velocidad que poseen los cuerpos disminuya después de la interacción de los mismos haciendo que la energía cinética disminuya.

En relación con la energía cinética y la cantidad de movimiento si en un sistema aislado formado por dos cuerpos de masas m1 y m2 , entre los cuales existe una interacción, la cantidad de movimiento se conserva, o sea que m1 v + m2 u = m1 v1 + m 2 v2 ; siendo v y u las velocidades respectivas antes de la interacción y v1 y u1 las velocidades después de la interacción.

3 . Teorema de Trabajo y Energía :

Luego de haber estudiado lo anterior tenemos una idea de la relación que existe entre el trabajo y la energía. Sabemos que el trabajo efectuado sobre un objeto es igual a su cambio de energía cinética.

Esta relación es llamada “El principio de trabajo y energía” que se podría explicar así :

“Cuando la velocidad de un cuerpo pasa de un valor a otro, la variación de la energía cinética que experimenta es igual al trabajo realizado por la fuerza neta que origina el cambio de velocidad”

Si tomamos en cuenta el planteamiento anterior tendremos que Ec = T, pero teniendo en cuenta que este trabajo es realizado por la fuerza neta del cuerpo, es decir por la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Veamos algunos ejemplos cotidianos de este teorema :

Cuando un carro acelera aumenta su rapidez y por lo tanto su energía cinética.

En forma detallada ocurre lo siguiente:

La explosión de gasolina por medio del motor y otros componentes originan una fuerza con la misma dirección y sentido del movimiento. Esta fuerza a lo largo de una realiza un trabajo mecánico que transmite a la masa del carro, lo cual ocasiona un aumento en la velocidad y por lo tanto en la energía cinética es igual al trabajo mecánico que por medio de la gasolina se transmitio al carro. En este caso el trabajo es positivo porque la energía cinética aumento.

Cuando una bola atraviesa una pared, pierde velocidad y por lo tanto energía cinética.

En este caso ocurre lo siguiente:

Para que la bala atraviesa la pared, primero tiene que rompe la fuerza de adhesión que tiene las moléculas de la pared, es decir que se origina una fuerza de rozomiento con la dirección del movimiento pero de sentido contrario, que frena la bala disminuyendo su velocidad y por lo tanto su energía cinética. Esta fuerza a lo largo del espesor de la pared realiza un trabajo mecánico que se transfiere a la masa de la bala lo cual origina una disminución de l la velocidad y por tanto en la energía cinética y esta energía cinética es igual al trabajo realizado que por medio del rozamiento se transmitió a la bala. En este caso el trabajo es negativo por que la energía cinética disminuyo.

4 . Energía Potencial :

La energía potencial es la energía almacenada que posee un sistema como resultado de las posiciones relativas de sus componentes.

Al comprimir un resorte o levantar un cuerpo se efectúa un trabajo y por lo tanto se produce energía la cual es potencialmente disponible. En este caso la energía adquirida por el resorte se debe a su configuración, y la energía del cuerpo se debe a su posición. En el primer caso se dice que la energía potencial es elástica y en el segundo que la energía potencial es gravitatoria.

La energía potencial elástica se podría explicar así: si un resorte deformado posee energía potencial, es necesario para deformarlo la realización de un trabajo, que se manifiesta en una transformación de energía muscular en energía cinética y esta a su vez se transforma en energía potencial que adquiere el resorte. Analicemos lo que ocurre al comprimir el resorte: la fuerza que se aplica al resorte es proporcional a la compresión que este experimenta. Tomando en cuenta la definición de proporcionalidad sabemos que se necesita una constante, y tomaremos como constante la deformación del resorte la cual llamaremos K y tendremos la siguiente formula F=K*d, sustituyendo esta formula en la ecuación de trabajo tendremos que T = ½ (K*d)*d donde nos queda que T = ½K*d2.

Un cuerpo adquiere energía potencial gravitatoria cuando realiza un trabajo contra la gravedad, para colocarlo a cierta altura en relación con el plano horizontal. Para elevar un cuerpo de masa m a una altura h es necesario realizar una fuerza igual a su peso luego siendo g la aceleración de la gravedad; el trabajo seria igual a T = F*h siendo la fuerza F = m*g el trabajo seria T = m*g*h. Si la energía potencial gravitatoria de un cuerpo se mide

con referencia a la superficie de la tierra, la ecuación solo es valida para alturas relativamente pequeñas en donde la fuerza de gravedad todavía actué.

5 . Fuerzas conservativas y no conservativas :

El trabajo efectuado contra la gravedad para mover un objeto de un punto a otro, no depende de la trayectoria que siga; por ejemplo se necesita el mismo trabajo para elevar un cuerpo a una determinada altura, que llevarlo cuestas arriba a la misma altura.

Fuerzas como la gravitatoria, para las cuales el trabajo efectuado no depende de la trayectoria recorrida, sino de la posición inicial y final, a estas fuerzas se les conocen como Fuerzas Conservativas.

Por otra parte la fuerza de fricción no es una fuerza conservativa, ya que el trabajo realizado para empujar una caja por el piso depende si la trayectoria es recta, curva o en zigzag, por ejemplo si una caja es empujada siguiendo una trayectoria semicircular mas larga, en vez de hacerlo en trayectoria recta se realiza un trabajo mayor porque es una mayor distancia y a diferencia de la gravedad la fuerza de fricción esta en contra de la fuerza que se aplica. Debido a que la energía potencial, la energía asociada con la posición de los cuerpos, esta puede tener sentido solo si se puede establecer para cualquier punto dado, esto no se puede hacer con las fuerzas no conservativas, ya que el trabajo no depende de la distancia entre dos puntos sino de la trayectoria que siga. En consecuencia, la energía potencial se puede definir solo para una fuerza conservativa, así y aunque siempre se asocia la energía potencial con una fuerza, no podemos formularla para cualquier fuerza, como la de fricción que es una fuerza no conservativa.

Otro ejemplo seria una partícula que cae en un fluido esta sujeta a la fuerza de gravedad y a la fuerza de fricción y a la viscosidad del elemento.

Ahora podemos ampliar el principio de trabajo y energía, descrita anteriormente para trabajar con energía potencial. Si suponemos que trabajamos con varias fuerzas sobre una misma partícula, algunas de ellas conservativas, podemos formular una función de la energía potencial a estas fuerzas conservativas. Escribimos el trabajo total ( neto ) T neto como un trabajo realizado por las fuerzas conservativas T C y el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas T NC

T neto = T C + T NC , entonces del principio trabajo y energía tenemos T neto = ½ m*v2 2- ½ m*v 1 2 = ec.

6 . Energía Mecánica :

Cuando un cuerpo se mueve por acción de un resorte, o por acción de una fuerza de gravedad, posee energía cinética por estar en movimiento, y a la vez tiene energía potencial por estar accionado por la fuerza de interacción del sistema. A la suma de estas energías se le llama energía mecánica total.

Entendemos por energía mecánica total de un cuerpo, en un instante dado, a la suma de las energías cinética y potencial que posee dicho cuerpo en ese instante.

A la energía mecánica se le asigna la nomenclatura Em, la formula seria Em = Ec + Ep.

Si solamente hay fuerzas conservativas actuando sobre un sistema, se llega a la conclusión sencilla que concierne a la energía. Cuando no se encuentran fuerzas no conservativas su respectivo trabajo es cero entonces por sustitución en la formula de las fuerzas conservativas tendríamos que :

½ m*v2 2- ½ m*v1 2 + Ep2 - Ep1 = 0

en esta ultima expresión se puede reordenar para obtener ½ m*v2 2 + Ep2 = ½ m*v1 2+ Ep1, si a Em se le conoce como energía mecánica total le ecuación anterior expresan un principio muy útil para la energía mecánica que se trata de la cantidad de energía conservada, la energía macánica total permanece constante siempre y cuando no actúen fuerzas conservativas. A este hecho se le conoce como principio de la conservación de energía :

Si únicamente se encuentra actuando fuerzas conservativas, la energía mecánica total de un sistema no aumenta ni disminuye en cualquier proceso. Es decir permanece constante ( se conserva ).

7 . Potencia :

Es el trabajo, o transferencia de energía, realizado por unidad de tiempo. El trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el objeto se desplaza en la dirección de la fuerza. La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos, la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo.

El concepto de potencia no se aplica exclusivamente a situaciones en las que se desplazan objetos mecánicamente. También resulta útil, por ejemplo, en electricidad. Imaginemos un circuito eléctrico con una resistencia. Hay que realizar una determinada cantidad de trabajo para mover las cargas eléctricas a través de la resistencia. Para moverlas mas rápidamente ( en otras palabras, para aumentar la corriente que fluye por la resistencia ) se necesita mas potencia.

La potencia siempre se expresa en unidades de energía divididas entre unidades de tiempo. La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio, que equivale a la potencia necesaria para efectuar 1 joule de trabajo por segundo. Una unidad de potencia tradicional es el caballo de vapor ( CV ), que equivale aproximadamente a 746 vatios.

Formulas :

P = Trabajo/Tiempo

1W = joule/segundo

1CV = 746 W

en el sistema ingles :

P = pies*libras/segundo

1HP = 550 pies*libras/segundo.

D = 15 cm