Campos de fuerzas global y localmente conservativos · 2020. 10. 5. · Fuerza conservativa Se de...

XXV Reunion Anual de Fısica y matematicas

Campos de fuerzas global y localmente conservativos

Emanuel Fitta1, Pablo Paniagua2, Francisco J. Turrubiates1, VladimirVega2

1Departamento de Fısica, Escuela Superior de Fısica y Matematicas del Instituto Politecnico Nacional,

Unidad Adolfo Lopez Mateos, Edificio 9, 07738 Ciudad de Mexico.

2Departamento de Formacion Basica Disciplinaria, Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenierıa Campus Hidalgo delInstituto Politecnico Nacional, Pachuca: Ciudad del Conocimiento y la Cultura, Carretera Pachuca-Actopan km 1+500

San Agustın Tlaxiaca, 42162 Hidalgo, Mexico.

Septiembre 2020

Emanuel Fitta, Pablo Paniagua, Francisco J. Turrubiates, Vladimir Vega ( Departamento de Fısica, Escuela Superior de Fısica y Matematicas del Instituto Politecnico Nacional, Unidad Adolfo Lopez Mateos, Edificio 9, 07738 Ciudad de Mexico. Departamento de Formacion Basica Disciplinaria, Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenierıa Campus Hidalgo del Instituto Politecnico Nacional, Pachuca: Ciudad del Conocimiento y la Cultura, Carretera Pachuca-Actopan km 1+500 San Agustın Tlaxiaca, 42162 Hidalgo, Mexico. )Campos de fuerzas global y localmente conservativos Septiembre 2020 1 / 8

Introduccion

Fuerza conservativaSe define una fuerza conservativa como una fuerza cuyo trabajo depende solo de laposicion inicial y final de la trayectorıa. Equivalentemente, ~F es una fuerza conservativasi existe una funcion escalar φ tal que ~F = −∇φ. A la funcion φ se le llama energıapotencial.

Teorema de trabajo-energıaEl trabajo realizado por una fuerza es igual al cambio en la energıa cinetica.

Wtotal = ∆K . (1)

Ley de la conservacion de la energıaSi en un sistema fısico solo actuan fuerzas conservativas entonces la energıa mecanicatotal es constante.

E = K + φ = cte. (2)


Teorema clasico

Sea ~F un campo vectorial de fuerza suave excepto quiza para un numero finito de puntos y f surespectivo campo covectorial de fuerza. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes

1 Para cualquier curva de clase C1 a trozos, cerrada y orientada γ,∫γf = 0, f una 1−forma en R3. (3)

2 Para cualesquier dos curvas de clase C1 a trozos, orientadas γ1 y γ2, que tengan losmismos extremos ∫

γ1

f =

∫γ2

f . (4)

3 El campo f es una forma diferencial exacta, es decir, para alguna funcion φ, f = −dφ. Sif no esta definido en algun punto, φ tampoco esta definida ahı.

4 El campo f es cerrado, df = 0.

A un campo covectorial que satisface alguna y por lo tanto todas estas condiciones se le conocecomo campo covectorial conservativo.

J. E. Marsden. “Vector Calculus”. New York: W.H. Freeman, 2012.


Generalizacion

¿Cuando una forma diferencial cerrada representa un campo covectorial conservativo?

Corolario del Lema de PoincareSea f una 1− forma diferencial cerrada sobre una variedad diferencial suave con o sinfrontera M. Entonces para cada punto de M existe una vecindad sobre la cual f esexacta.

Es decir, para cada punto de M existe una vecindad U y una funcion φloc ∈ C∞(U) talque f |U = dφloc .

Se introduce la nocion de campo covectorial localmente conservativo

DefinicionSea f un campo covectorial de fuerzas, se dice que f es localmente conservativo enU ⊆ M abierto si y solo si f es cerrado en U.

A la funcion φloc se la llamara energıa potencial local.

R. Bott and L. W. Tu. “Differential Forms in Algebraic Topology”. Graduate texts in Mathematics. Springer-Verlag, New

York-Berlin, 1998.


Ejemplo

Se considerara el espacio R3 sin el eje z visto como M = R3\{(0, 0, z)} ∼= (R2\{0})×R.

Aplicando la formula de Kunneth es posible demostrar que H0((R2\{0})× R) = R yH1((R2\{0})× R) = R.

Se aplicara el Teorema de trabajo-Energıa a una particula que se enrolla a lo largo de latrayectoria γ(t) = (cos t, sin t, 0) en el espacio M y la 1−forma

f =xdy − ydx

x2 + y 2+ mgdz , (5)

la cual es cerrada.


Para la trayectoria γ se tiene que f = dtPero f no puede ser exacta pues

∮γf =

∫ 2π

0dt = 2π 6= 0. .

Del Teorema de Trabajo- Energıa se obtiene

W =

∫γ

f = 2π = ∆K = Kb − Ka. (6)

Entonces Kb = 2π + Ka cuando la particula da una sola vuelta en contra de lasmanecillas del reloj y Kb = 2πn + Ka si la particula se enrolla n veces.

Se incrementa la energıa cinetica por una cantidad de 2π por cada vuelta y por lotanto la energıa total mecanica de la partıcula no se conserva.

Esta no conservacion no es consecuencia de fuerzas de tipo disipativo y escompletamente un efecto de la topologıa no trivial de M.

J. M. Lee. “Introduction to smooth manifolds”. New York: Springer, 2003.


Figura: El fenomeno visto en el ejemplo puede visualizarse artısticamente con los

llamados objetos imposibles de Penrose-Penrose y con la obra “Cascada” de Escher.

L. S. Penrose and R. Penrose. “Impossible objects: A special type of visual illusion”. British Journal of Psychology, 49, 31-33,

1958.


Conclusiones

Es posible generalizar el el concepto de campo covectorial de fuerza conservativo avariedades diferenciales.

Cuando el primer grupo de cohomologıa de la variedad es no trivial existen camposcovectoriales de fuerza cerrados localmente conservativos. Es decir, existen energıaspotenciales locales.

Se puede construir un teorema de conservacion local de la energıa total mecanica de unsistema.

Se construyo un campo covectorial de fuerza localmente conservativo y su energıapotencial local asociada.


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