SNLAs 2D: Sistemas conservativos

SNLAs 2D: Sistemas conservativos 1 / 28

SNLAs 2D: Sistemas conservativos

Rafael Ramırez Ros

Clase SNL19


Introduccion

Indice

1 Introduccion

2 Teorıa

3 Problemas


Introduccion

Problema

Estudiamos el movimiento de una partıcula de masa uno quese mueve sobre una recta (Universo 1D) y esta sometida a unafuerza conservativa (es decir, que solo depende de la posicion).

Variable independiente: t = tiempo.

Variable dependiente: x = posicion.

Normalizacion: Suponemos que la partıcula tiene masa uno.

Idealizaciones:

La masa es puntual;La fuerza es conservativa (en particular, no hay friccion); yEl sistema esta aislado del resto del Universo.


Introduccion

Objetivos

1 Modelar el movimiento de la partıcula con un SNLA 2D.

2 Probar que la energıa mecanica total se conserva.

3 Determinar todas las PEQs del sistema.

4 Estudiar la estabilidad de las PEQs.

5 Relacionar el croquis global del SNLA 2D con la grafica delpotencial.

6 Calcular el periodo de las (pequenas y no pequenas)oscilaciones alrededor de las PEQ estables.

7 Estudiar la simetrıa y la reversibilidad del sistema.


Teorıa

Indice

1 Introduccion

2 Teorıa

3 Problemas


Teorıa

Ecuacion del movimiento

La fuerza conservativa que proviene de un potencial U(x) es

F (x) = −dU

dx(x).

2a Ley de Newton: masa × aceleracion =∑

fuerzas.

La ecuacion del movimiento es la EDO de 2o orden

x ′′ = F (x) = −dU

dx(x).

Variable auxiliar: v = x ′ (es la velocidad).

La EDO de 2o orden se convierte en el SNLA 2D de 1er orden{x ′ = v

v ′ = F (x) = −dUdx (x)

cuyo croquis se dibuja en el espacio de fases (x , v) ∈ R2.


Teorıa

Ejemplos de fuerzas conservativas

1 La fuerza de recuperacion de un muelle:

U(x) = kx2/2⇒ F (x) = −dU

dx(x) = −kx ,

donde k > 0 es la constante de Hooke.

2 El oscilador de Duffing-Van der Pol:

U(x) = kx2/2 + cx4/4⇒ F (x) = −dU

dx(x) = −kx − cx3,

donde k , c ∈ R son parametros.

3 La fuerza que actua sobre un pendulo normalizado:

U(x) = 1− cos x ⇒ F (x) = −dU

dx(x) = − sin x ,

(Aquı, m = g = l = 1.)


Teorıa

Posiciones de equilibrio

Las coordenadas (x , v) determinan posicion y velocidad.

Las derivadas (x ′, v ′) determinan velocidad y aceleracion.

Una posicion x? es una posicion de equilibrio cuando la funcionconstante x(t) ≡ x? es una solucion de la EDO de 2o orden.

Y en tal caso, (x?, v? = 0) es un PEQ del SNLA 2D.

Buscamos los puntos donde se anulan ambas derivadas:

x ′ = v = 0

v ′ = −dUdx (x) = 0

}⇒{

x? es un punto crıtico de U,v? = 0 (partıcula en reposo)

Idea clave: Las PEQs son los puntos crıticos del potencial.


Teorıa

Conservacion de la energıa mecanica

Energıa mecanica:

E = E (x , v) = v2/2 + U(x).

Calculamos la derivada temporal de la energıa mecanica:

dE

dt= v v ′ + x ′

dU

dx(x) = vF (x)− vF (x) ≡ 0.

Por tanto, la energıa mecanica es una cantidad conservadacuando la fuerza que actua sobre la partıcula es conservativa.


Teorıa

Consecuencias fısicas de la conservacion

1 La particula pierde/gana energıa cinetica (y velocidad en valorabsoluto) cuando gana/pierde energıa potencial.

2 |v | es (localmente) maxima/mınima cuando la partıcula pasapor un mınimo/maximo local del potencial.

3 Si la partıcula x = x(t) tiene energıa E0, entonces

E (x(t), x ′(t)) ≡ E0 ⇒ U(x(t)) = E0 −(x ′(t)

)2/2 ≤ E0,

luego la partıcula no puede escapar del intervalo de la region

S(E0) := {x ∈ R : U(x) ≤ E0}

en el que esta inicialmente situada. Es decir, la partıcula estaatrapada en un pozo de potencial (potential well).


Teorıa

Ejemplo de pozo de potencial

El movimiento de una partıcula con energıa E0 queda confinada enel intervalo [a, b]:


Teorıa

Material para frikis

La web XKCD mezcla humor, matematicas y otras cosas. Contienemas de 2300 publicaciones (y subiendo). La publicacion 681 es:

https://xkcd.com/

https://xkcd.com/681/


Teorıa

SLH asociado

Sea x? un punto crıtico del potencial U(x).

La matriz del SLH asociado al PEQ P = (x?, 0) es

A(x?) =

(∂x ′

∂x (x?, 0) ∂x ′

∂v (x?, 0)∂v ′

∂x (x?, 0) ∂v ′

∂v (x?, 0)

)=

(0 1

−d2Udx2 (x?) 0

).

Distinguiremos tres tipos de puntos crıticos:

1 Maximos locales no degenerados: dUdx (x?) = 0 y d2U

dx2 (x?) < 0;

2 Mınimos locales no degenerados: dUdx (x?) = 0 y d2U

dx2 (x?) > 0;

3 El resto: dUdx (x?) = d2U

dx2 (x?) = 0, que no estudiaremos.


Teorıa

¿Que pasa en los maximos no degenerados?

Notacion: p? =√−d2U

dx2 (x?)⇒ A(x?) =

(0 1p2? 0

).

Polinomio caracterıstico: Q(λ) = λ2 − p2? = (λ− p?)(λ+ p?).

VAPs: λs = −p? < 0 y λu = p? > 0.

VEPs: v s =

(1−p?

)y vu =

(1p?

).

Conclusiones:

1 El PEQ P = (x?, 0) es una silla no lineal inestable no repulsor;2 Su CI estable C s(P) tiene pendiente λs = −p? < 0 en P; y3 Su CI inestable C u(P) tiene pendiente λu = p? > 0 en P.


Teorıa

¿Que pasa en los mınimos no degenerados?

Notacion: β? =√

d2Udx2 (x?) > 0⇒ A(x?) =

(0 1−β2

? 0

).

Polinomio caracterıstico: Q(λ) = λ2 + β2? .

VAPs: λ± = ±β?i.

Conclusiones:

1 P = (x?, 0) es un centro no lineal (horario) estable no atractor;2 Todas las soluciones cerca de P = (x?, 0) son periodicas;3 Si T = T (x0) es el periodo de las pequenas oscilaciones

cuando la partıcula parte de una posicion x(0) = x0 ≈ x? convelocidad nula: x ′(0) = 0, entonces

limx0→x?

T (x0) = 2π/β?.


Teorıa

Curvas de nivel, sentido & separatrices

Las orbitas del SNLA estan contenidas en las curvas de nivel

C (E0) ={

(x , v) ∈ R2 : v2/2 + U(x) = E0

}={

(x , v) ∈ R2 : v = ±√

2(E0 − U(x))}.

La raız cuadrada solo esta bien definida cuando U(x) ≤ E0 yel signo ± que la precede implica que todas las curvas de nivelson simetricas respecto al eje horizontal.

El signo de la velocidad x ′(t) = v(t) determina el sentido en elque se recorren las curvas de nivel. Hacia la derecha/izquierdamientras estan en el semiplano superior/inferior.

Las separatrices son las curvas de nivel cuya energıa coincidecon el valor del potencial en alguno de sus maximos locales.


Teorıa

Grafica del potencial y croquis del SNLA 2D

Si depositamos una bolita imaginaria sobre la grafica de U(x)y la dejamos ir con velocidad inicial v = 0, entonces:

Ganara velocidad mientras se desliza grafica abajo;Perdera velocidad cuando llegue a una zona en que deberemontar grafica arriba; yNunca superara la altura a la que empezo.

Nuestras partıculas se comportan de forma “similar” a laproyeccion de esa bolita sobre el eje horizontal.

Importante: |v | es (localmente) maxima/mınima cuando lapartıcula pasa por un mınimo/maximo local del potencial.


Teorıa

Primer ejemplo: El pendulo simple normalizado

Potencial:

U(x) = 1− cos x .

Mınimo en x? = 0.

Maximo en x? = ±π.

Curvas de nivel:

v2

2+ U(x) ≡ E0 ≥ 0.

Separatriz:

v2

2+ U(x) = U(π) = 2.


Teorıa

Mas ejemplos: Potencial cuadratico, cubico y cuartico


Teorıa

Periodo de las oscilaciones no pequenas (1a parte)

Sea E0 una energıa y [a, b] un intervalo de posiciones tales que

U(a) = E0 = U(b),dU

dx(a) < 0,

dU

dx(b) > 0,

y U(x) < E0 para todo x ∈ (a, b).

Sea x = x(t) una trayectoria tal que

x(0) = a, x ′(0) = 0.

La partıcula repite las siguientes acciones de forma cıclica:

1 Se mueve hacia la derecha hasta llegar al extremo x(T2 ) = b;

2 Se mueve hacia la izquierda hasta volver al extremo x(T ) = a.

Para obtener T basta calcular el tiempo que la partıculainvierte en realizar la primera accion y multiplicar por dos.


Teorıa

Periodo de las oscilaciones no pequenas (2a parte)

La energıa mecanica se conserva:

E (x , x ′) = (x ′)2/2 + U(x) ≡ E (a, 0) = 02/2 + U(a) = E0.

Despejando la derivada x ′, obtenemos que

dx

dt= x ′ = ±

√2(E0 − U(x)

)⇒ dt = ± dx√

2(E0 − U(x)

) .Si la partıcula va desde a hasta b, el signo correcto es +.

Integrando la relacion anterior en el intervalo t ∈ [0,T/2] o,equivalentemente, en el intervalo x ∈ [a, b], vemos que

T (E0) = T = 2

∫ T/2

0dt = 2

∫ b

a

dx√2(E0 − U(x)

) .


Teorıa

Periodo del muelle

Potencial: U(x) = kx2/2.

Fijado un nivel de energıa E0 > 0, el intervalo [a, b] es

a = −√

2E0/k, b =√

2E0/k .

Por tanto, el periodo de la oscilacion de energıa E0 es

T (E0) = 2

∫ b

a

dx√2(E0 − kx2/2

) = 4

∫ b

0

dx√2(E0 − kx2/2

)=

4√2E0

∫ b

0

dx√1− kx2/2E0

=4√k

∫ 1

0

ds√1− s2

=4√k

∫ π/2

0dθ =

2π√k. (¡No depende de la energıa!)

¿Conoceis una forma mas facil de calcular este periodo?


Teorıa

Simetrıa & reversibilidad

Si la fuerza es una funcion impar y x(t) es una trayectoria,entonces x(t) = −x(t) tambien lo es:

x ′′(t) = −x ′′(t) = −F (x(t)) = F (−x(t)) = F (x(t)).

Conclusion: El movimiento es simetrico respecto al origen si lafuerza es impar.

Si x(t) es una trayectoria, entonces x(t) = x(−t) tambien:

x ′′(t) = (−1)2x ′′(−t) = F (x(−t)) = F (x(t)).

El movimiento es reversible. Al ver un video de la partıcula nosabemos si lo estamos viendo hacia adelante o hacia atras.

Pregunta: ¿Cual de estas dos propiedades fallara al tener encuenta la friccion?


Problemas

Indice

1 Introduccion

2 Teorıa

3 Problemas


Problemas

Un problema con un potencial cubico

Consideramos el sistema conservativo que proviene del potencial

U(x) = x3/3− x2/2.

a) Calcular sus PEQs y determinar la estabilidad de cada uno.

b) Dibujar su croquis global.

c) ¿Puede escapar la partıcula a mas (o menos) infinito?

d) ¿Para que valores de la energıa existen soluciones acotadas?


Problemas

Un problema con un potencial cuartico

Consideramos el sistema conservativo que proviene del potencial

U(x) = (x2 − 1)2.

a) Calcular sus PEQs y determinar la estabilidad de cada uno.

b) Dibujar su croquis global.

c) ¿Puede escapar la partıcula a mas (o menos) infinito?

d) ¿Para que valores de la energıa existen soluciones acotadas?

e) Escribir la formula del periodo T (E0) de las solucionesperiodicas de energıa E0 = 1/4.Advertencia: ¡No calculeis la correspondiente integral!


Problemas

Otro problema con un potencial cuartico

Un sistema conservativo proviene del potencial U(x) = −(x2− 1)2.

a) ¿Que energıa tienen sus centros? ¿Y sus sillas? ¿Y su separatriz?

b) ¿Que energıas tienen las partıculas que oscilan?

c) ¿Que energıas tienen las partıculas que nunca cambian de sentido?

d) ¿Que energıas tienen las partıculas que cambian de sentido unaunica vez?

e) Una partıcula x(t) parte de la posicion inicial x(0) = 0 convelocidad inicial x ′(0) = v0. Calcular la velocidad v0 para la cual

limt→−∞

x(t) = −1, limt→+∞

x(t) = 1.

f) Sea x(t) una partıcula con energıa E0 = −1/4. Si parte de laposicion x(0) = 0, ¿en que intervalo [a, b] oscila? Y si parte de laposicion x(0) = 2, ¿en que intervalo [c ,+∞) se mueve?


Problemas

Mas problemas: ¿Como afecta la friccion?

La EDO de 2o orden que modela el movimiento de la partıcula conun termino de friccion proporcional a la velocidad es

x ′′ = F (x)− µx ′ = −dU

dx(x)− µx ′,

donde µ > 0 es el coeficiente de friccion.

a) ¿Que relacion hay entre puntos crıticos del potencial y PEQs?

b) ¿Que relacion hay entre el tipo de punto crıtico y laestabilidad de la correspondiente PEQ?

c) Calcular la derivada temporal de la energıa mecanica.

d) ¿Tiene oscilaciones periodicas un sistema con friccion?

e) Dibujar un croquis global aproximado para cada uno de lospotenciales de los problemas anteriores.

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