FRACCIONES

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?

La fracción está formada por una parte que es el numerador y por otra que se llama denominador.

El denominador nos indica las partes en que vamos a dividir una cantidad

El numerador nos indica las partes que tomamos La fracción es una manera de representar la división,

dónde el numerador es el dividendo y el denominador el divisor.

Ejemplo: 2/6 2 6

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal.

1/2 = 0,5 Y 2/4 = 0,5 Las fracciones equivalentes representan la

misma parte de una cantidad. Si las representamos en la recta numérica,

corresponden al mismo punto. 1/2 0_________________._________________1 2/4

Representemos las fracciones equivalentes             y           

Vemos que ambas fracciones representan la misma parte.

1/2

2/4

fracciones equivalentes: amplificar.

Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción.

Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

Ejemplo: Amplifiquemos la fracción 2/3 por 6 para obtener una fracción equivalente.

2 x 6 12 3 x 6 18 Luego las fracciones 2/3 y 12/18 son equivalentes. Se puede decir que 2 12 3 18

=

fracciones equivalentes: amplificar.

¿Cómo conseguir fracciones por ampliación? Ejemplo: 2/3 2x2 , 2x3 ,2x4 , 2x5 , ...... 4 , 6 , 8 , 10 , ......

3x2 3x3 3x4 3x5 6 9 12 15

Todas estas fracciones son equivalentes a 2/3. Puedes conseguir infinitas fracciones equivalentes al multiplicar numerador y denominador por los infinitos números Naturales

fracciones equivalentes: simplificar

Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción.

Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

Ejemplo: Simplifiquemos la fracción 9/12 por 3 para obtener una fracción equivalente.

9 : 3 3 12 : 3 4 Luego las fracciones 9/12 y 3/4 son equivalentes. Es decir 9 3 12 4

=

fracciones equivalentes: simplificar

¿Cómo conseguir todas las fracciones equivalentes a una por la simplificación?

Vamos a realizar simplificaciones sucesivas hasta encontrar aquella que no se puede simplificar más.

Ejemplo: 18/24 (aplicamos los criterios de divisibilidad por los números primos)

18:2 9 9:3 3 ya no podemos seguir simplificando 24:2 12 12:3 4Así 9/12 y ¾ son fracciones equivalentes a 18/24. 18 9 3 24 12 4Cuando una fracción no se puede reducir más, es decir, que no

encontramos ningún número que pueda dividir a numerador y denominador, esta fracción se llama irreducible

= =

Fracciones equivalentes: ¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes? 

1- La fracción es una manera de representar la división de dos números. Así 4/5 es lo mismo que 4:5

Por tanto dos fracciones serán equivalentes si tienen el mismo valor al hacer la división:

Ejemplo: 1 1:2= 0,5 y 5 5:10= 0,5 1 5 2 10 2 10

2- Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de una por el denominador de la otra se obtiene la misma cantidad. Ejemplo

2 y 6 2 x 15 = 30 luego 2 6 son equivalentes 5 15 6 x 5 = 30 5 15

3 y 4 3 x 9 = 27 luego 3 4 no son equivalentes 8 9 4 x 8 = 32 8 9

=

=

=

<Comparar fracciones

Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor.

Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador. Ejemplo

3 y 5 5 > 3 5 > 3 8 8 8 8 Para comparar fracciones con igual

numerador, basta con comparar los denominadores para definir cuál es mayor o menor.

Resulta mayor la que tiene menor denominador. Resulta menor la que tiene mayor denominador.

7 y 7 9 >8 7 > 7 8 9 8 9

5/8

3/8

7/8

7/9

Comparar fracciones

Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común.

Ejemplo: Comparemos las fracciones 2/3 y 3/4 Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un

denominador común, a través de la amplificación. La fracción 2/3 la amplificaremos por 4 y la fracción 3/4 la

amplificaremos por 3, obteniéndose respectivamente, 8/12 y  9/12 . 2 x 4 88 y 3 x 3 9 como tienen el mismo denominador 3 x 4 12 4 x 3 12 Como 9 > 8, la fracción mayor es 9/12 o sea 3/4 > 2/3  Como ves para hallar las fracciones equivalentes, con el mismo

denominador, hemos ampliado la fracción por el denominador de la otra fracción

Cuando son muchas fracciones diferentes hay que aplicar el mínimo común múltiplo.

SUMA DE FRACCIONES

Para sumar fracciones de igual denominador obtendremos otra fracción, con el mismo denominador y como numerador la suma de los numeradores

Ejemplo 2/8 + 3/8 = 5/8

5/8

2/8 3/8

RESTA DE FRACCIONES

Para restar fracciones de igual denominador se obtendrá otra fracción, de igual denominador y como numerador la resta de los numeradores. (siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo)

Ejemplo: 6/7 – 2/7 = 4/7

6/7 está pintado de amarillo, se le quita 2/7 que son los dos recuadros con la cruz, nos queda 4/7 que son los pintados que nos quedan.

4/7

2/7 6/7

SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

1. BUSCAR DENOMINADOR COMÚN. Trabajaremos igual que con la comparación de fracciones de distinto

denominador. Buscaremos fracciones, equivalentes a las que nos den, que tengan el mismo

denominador. Para ello haremos la amplificación de cada fracción por el denominador de la

otra fracción. Para terminar sumaremos las fracciones equivalentes con el mismo

denominador Ejemplo; 3/5 + 7/6 3 x 6 18 y 7 x 5 35 5 x 6 30 6 x 5 30 3 7 18 35 18+35 53 5 6 30 30 30 30

= = =+ +

RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

1. BUSCAR DENOMINADOR COMÚN. Trabajaremos igual que con la comparación de fracciones de distinto denominador.

Importante que el minuendo sea mayor que el sustraendo Buscaremos fracciones, equivalentes a las que nos den, que tengan el mismo

denominador. Para ello haremos la amplificación de cada fracción por el denominador de la otra

fracción. Para terminar restaremos las fracciones equivalentes con el mismo denominador

Ejemplo: 8/3 – 2/4

8 x 4 32 y 2 x 3 6

3 x 4 12 4 x 3 12

8 2 32 6 32-6 26

3 4 12 12 12 12= = =- -

SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

2.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.Cuando tenemos fracciones de distinto denominador y queremos sumar

podemos hacerlo de la siguiente manera: Buscar fracciones equivalentes a las que nos dan con el mismo denominador.

Buscaremos los múltiplos de los denominadores. Hallaremos los múltiplos comunes a los denominadores. Elegiremos el primer múltiplo común que será el m.c.m. y lo

utilizaremos como denominador común Hallaremos los numeradores correspondientes para que sean

fracciones equivalentes. Sumaremos los numeradores y como denominador el elegido

SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

Ejemplo: 2/6 + 4/10 + 8/5 Múltiplos de 6= 6,12,18,24,30,... Múltiplos de 10= 10,20,30,40,50,... Múltiplos de 5= 5,10,15,20,25,30,... Múltiplos comunes a (6,10,5)= 30,60,,,, una vez conseguido el primero los

otros se consiguen multiplicando por 1,2,3,4,... m.c.m. (6,10,5)= 30 tomaremos 30 como denominador común

2 10 4 12 8 48 (serán las fracciones equivalentes)

6 30 10 30 5 30

2x30=6x10 4x30=10x12 8x30=5x48 2 4 8 10 12 48 70 (si simplificamos por 10 tendremos 7/3)

6 10 5 30 30 30 30

= = =

= =+ + + +

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO

La descomposición factorial de un número en factores primos significa buscar los números primos que multiplicados entre si nos de cómo resultado dicho número.

Para obtener la descomposición iremos haciendo divisiones sucesivas de ese número por los números primos conocidos de menor a mayor (2,3,5,7,11,.) hasta encontrar en el cociente el 1. Estas divisiones deben ser exactas (resto 0) por lo que aplicamos los criterios de divisibilidad.

Ejemplo: 20 20:2=10 10:2=5 5:5=1 20 2 20 2 0 10 2 10 2 0 5 5 5 5 0 1 1

Así 20=2x2x5=22x5 como ves elegimos los divisores de las divisionesComo factores

m.C.M de dos o más números por descomposición factorial

El m.c.M. de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números

¿Cómo se consigue? 1. Se realiza la descomposición factorial en factores primos de los números2. Se eligen los factores primos comunes y no comunes con el mayor

exponente3. Se realiza la multiplicación de dichos factoresEjemplo: m.c.M. (16, 10, 24) 16 2 10 2 24 2 8 2 5 5 12 2 4 2 1 6 2 2 2 3 3 1 1 16= 2x2x2x2=24 10= 2x5 m.c.m. (16,10,24)=24x3x5=240 24= 2x2x2x3=23x3

SUMA o RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.(por descomposición factorial)1. Descomponer los denominadores en factores primos.

2. El m.c.m. de los denominadores (factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente). Será el denominador común.

3. Hallar los numeradores para que sean fracciones equivalentes.

4. Sumar o restar los numeradores según sea la operación, como denominador el m.c.m.

Ejemplo: 3/12 + 7/10

12= 2x2x3 = 22x3 m.c.m.(12,10)= 22x3x5=60

10= 2x5

3 7 15 42 57

12 10 60 60 60= =+ +