Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranje

1 / 24

Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranjedr. Tomaž Kolšek

Formulacija krivulj in površin za Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranjeračunalniško podprto 3D modeliranje

Nastopno predavanje za pridobitev naziva docent na Fakulteti za strojništvo, Univerza v Ljubljani

dr. Tomaž Kolšek

2 / 24


Zgradba predavanjaZgradba predavanja

•Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površinpopisov krivulj in površin

•Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranjePričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje

•Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBSFormulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

•Popis površinPopis površin

•Povzetek in nadaljnji študijPovzetek in nadaljnji študij

Poglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površinPoglavje 1: Uvod in kratek zgodovinski oris razvoja sodobnih popisov krivulj in površin

3 / 24


Področja uporabe krivulj in površinPodročja uporabe krivulj in površin

•Fizika, inženirske aplikacije, računalniška grafikaFizika, inženirske aplikacije, računalniška grafika•Interpolacija podatkovnih množicInterpolacija podatkovnih množic

Rač. grafika: idelava virtualnih 3D modelov, izdelava Rač. grafika: idelava virtualnih 3D modelov, izdelava animacijskih poti virtualnih objektovanimacijskih poti virtualnih objektov


4 / 24


ZačetkiZačetki

•Najstarejši znani začetki segajo v čas Rimljanov (gradnja ladij)Najstarejši znani začetki segajo v čas Rimljanov (gradnja ladij)•Prve risbe se pojavijo šele okoli 1600 v AnglijiPrve risbe se pojavijo šele okoli 1600 v Angliji•Beseda “spline” označuje leseni trak, primerno fiksiran in obteženBeseda “spline” označuje leseni trak, primerno fiksiran in obtežen


5 / 24


Izvor sodobnega zapisaIzvor sodobnega zapisa

•Paul de Faget de Casteljau, matematik, Citroen,Paul de Faget de Casteljau, matematik, Citroen, neobjavljena delaneobjavljena dela•Piere Beziere, inženir strojništva in elektrotehnike, Renault,Piere Beziere, inženir strojništva in elektrotehnike, Renault, objava objava leta 1966 v reviji Automatismeleta 1966 v reviji Automatisme


6 / 24


Fizikalna osnova za popis “lepe” krivuljeFizikalna osnova za popis “lepe” krivulje

•Lastnosti “lepih” krivulj: zveznost, intuitiven potek, sposobnost Lastnosti “lepih” krivulj: zveznost, intuitiven potek, sposobnost interpolacije z minimalno ukrivljenostjo, …interpolacije z minimalno ukrivljenostjo, …•Lastnosti materialnega trakuLastnosti materialnega traku

Poglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranjePoglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje

7 / 24


Pričakovane lastnosti krivulj za 3D Pričakovane lastnosti krivulj za 3D modeliranjemodeliranje

•Zveznost 0-tega, 1. in 2. redaZveznost 0-tega, 1. in 2. reda•Sposobnost enostavnega preoblikovanja, lokalne in globalne Sposobnost enostavnega preoblikovanja, lokalne in globalne kontrolekontrole•Ohranjevanje oblike pri geometrijskih transformacijahOhranjevanje oblike pri geometrijskih transformacijah•Univerzalnost popisa za vse vrste standardnih oblik (ravne črte, Univerzalnost popisa za vse vrste standardnih oblik (ravne črte, krožni loki, stožnice, polinomi; pri površinah pa standardne ploskve)krožni loki, stožnice, polinomi; pri površinah pa standardne ploskve)•Sposobnost interpolacije skozi podane množice točkSposobnost interpolacije skozi podane množice točk•Težnja po zmanjševanju variacije pri interpolacijiTežnja po zmanjševanju variacije pri interpolaciji

Poglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranjePoglavje 2: Pričakovane lastnosti krivulj in površin za 3D modeliranje

8 / 24


Kubične parametrične krivuljeKubične parametrične krivulje

Poglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBSPoglavje 3: Formulacija Bezierjeve krivulje in razširitev v NURBS

9 / 24


Uvedba Bernsteinovih polinomovUvedba Bernsteinovih polinomov


10 / 24


Geometrijska interpretacija zapisaGeometrijska interpretacija zapisa

Pojem kontrolnega poligona P0, P1, P2, P3krivulja se začne v točki P0 in konča v točki P3Krivulja je v točki P0 tangentna na P0-P1 terv točki P3 tangentna na P2-P3Krivulja se točkama P2 in P3 samo približaKrivulja je definirana na intervalu parametra t od 0.0 do 1.0


11 / 24


Primer določitve poteka Bezierjeve krivuljePrimer določitve poteka Bezierjeve krivulje


12 / 24


Razširitev Bezierjeve krivulje v B-zlepekRazširitev Bezierjeve krivulje v B-zlepek

Pomanjkljivosti Bezierjevih krivulj: premajhno število kontrolnih točk, ne-lokalnostPomanjkljivosti Bezierjevih krivulj: premajhno število kontrolnih točk, ne-lokalnostLastnosti B-zlepkov: Lastnosti B-zlepkov: odsekoma kubična krivulja na posameznih odsekihodsekoma kubična krivulja na posameznih odsekihDoseganje lastnosti sovpadanja začetne in končne točke ter kotrolnega poligona.Doseganje lastnosti sovpadanja začetne in končne točke ter kotrolnega poligona.Definirana na intervalu t = 0.0 … N odsekovDefinirana na intervalu t = 0.0 … N odsekovPojem vozliščnega vektorjaPojem vozliščnega vektorjaUvedba specialnih povezovalnih funkcijUvedba specialnih povezovalnih funkcij


13 / 24


Delovanje povezovalnih funkcijDelovanje povezovalnih funkcij


14 / 24


Vpliv vozliščnega vektorja na obliko B-zlepkaVpliv vozliščnega vektorja na obliko B-zlepka

Kratnost kontrolnih točk (vpliv na začetku in na sredini)Kratnost kontrolnih točk (vpliv na začetku in na sredini)Reparametrizacija: Uvedba neenakomernega naraščanja vrednosti parametra v Reparametrizacija: Uvedba neenakomernega naraščanja vrednosti parametra v vozlih (non-uniform B-spline)vozlih (non-uniform B-spline)


15 / 24


Omogočanje lokalne kontroleOmogočanje lokalne kontrole

Vpliv premikanja kontrolnih točk na potek krivuljeVpliv premikanja kontrolnih točk na potek krivulje


16 / 24


Povečanje kontrole krivulj: NURBSPovečanje kontrole krivulj: NURBS

Pomanjkljivosti B-zlepkov: Pomanjkljivosti B-zlepkov: •težave pri natančnem popisu standardnih krivulj, kot je npr. krožni loktežave pri natančnem popisu standardnih krivulj, kot je npr. krožni lok•Premajhna lokalna kontrolaPremajhna lokalna kontrola

Uvedba dodatnega parametra w (weight = utež)Uvedba dodatnega parametra w (weight = utež)


17 / 24


NURBSNURBS

Zmožnost natančnega popisovanja krožnic in drugih stožnicZmožnost natančnega popisovanja krožnic in drugih stožnic


18 / 24


Popis površinPopis površin

Razširitev par. krivulj (enoparameterske tvorbe) v površine (dvoparameterske tvorbe)Razširitev par. krivulj (enoparameterske tvorbe) v površine (dvoparameterske tvorbe)

Poglavje 4: Popis površinPoglavje 4: Popis površin

19 / 24


Površina NURBSPovršina NURBS

Število kontrolnih točk je m x n, v vsaki je mogoča lokalna kontrolaŠtevilo kontrolnih točk je m x n, v vsaki je mogoča lokalna kontrola


20 / 24


Interpolacija površin z robnimi krivuljamiInterpolacija površin z robnimi krivuljami

Vodilo: želja po inuitivnemu načinu oblikovanja površin s pomočjo robnih krivulj.Vodilo: želja po inuitivnemu načinu oblikovanja površin s pomočjo robnih krivulj.


21 / 24


Prema površinaPrema površina

Linearna Interpolacija med dvema “paralelnima” prostorskima krivuljamaLinearna Interpolacija med dvema “paralelnima” prostorskima krivuljama


22 / 24


Coons-ova površinaCoons-ova površina

Bilinearna Interpolacija med štirimi “ortogonalnimi” prostorskimi krivuljamiBilinearna Interpolacija med štirimi “ortogonalnimi” prostorskimi krivuljami


23 / 24


Gordon-ova površinaGordon-ova površina

Posplošitev Coons-ove površine: namesto linearnih povezovalnih funkcij uporabimo Posplošitev Coons-ove površine: namesto linearnih povezovalnih funkcij uporabimo polinome višjega redapolinome višjega reda


24 / 24


Povzetek in nadaljnji študijPovzetek in nadaljnji študij

•Potreba po popisovanju krivulj in površin s posebnimi lasnostmiPotreba po popisovanju krivulj in površin s posebnimi lasnostmi•Osnovna matematična tvorba je Bezierjeva krivuljaOsnovna matematična tvorba je Bezierjeva krivulja•Omejitve Bezierjeve krivulje narekujejo razširitev v NURBSOmejitve Bezierjeve krivulje narekujejo razširitev v NURBS•Spreminjanje položaja kontrolnih točk pomeni intuitivno spremembo krivulje oz. Spreminjanje položaja kontrolnih točk pomeni intuitivno spremembo krivulje oz. površinepovršine•Pogosto uporabljana tehnika za izdelava površin je interpolacija z roboviPogosto uporabljana tehnika za izdelava površin je interpolacija z robovi

Dodatna literatura:Dodatna literatura:-G. Farin: Curves and Surfaces in CAGD, 5. izdaja, 2002G. Farin: Curves and Surfaces in CAGD, 5. izdaja, 2002-A. H. Watt, Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison A. H. Watt, Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison WesleyWesley Publishing Company, 1989.Publishing Company, 1989.-L. Pegl in W. Tiller, The NURBS book, Springer Verlag New York, 1995.L. Pegl in W. Tiller, The NURBS book, Springer Verlag New York, 1995.-J. Petrišič, Interpolacija, Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, 1999.J. Petrišič, Interpolacija, Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, 1999.

Poglavje 5: Povzetek in nadaljnji študijPoglavje 5: Povzetek in nadaljnji študij

Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranje

Documents

Transcript of Formulacija krivulj in površin za računalniško podprto 3D modeliranje