Introduzione: propriet` a siche dei uidiI uidi sono materiali caratterizzati, rispetto ai solidi, dalla facilit` con cui a si deformano. Inoltre, mentre un corpo solido ha una sua congurazione indisturbata ben denita, in assenza di forze esterne, un corpo uido non ha in generale una congurazione preferenziale da assumere come congurazione di riferimento. Inoltre un corpo solido cambia la sua congurazione e quindi la posizione relativa dei suoi elementi, di una quantit` tanto pi` pica u cola quanto pi` piccola ` la forza applicata e ritorna poi alla congurazione u e originale se la forza viene rimossa (corpo eleastico) o mantiene una piccola deformazione residua (corpo plastico) Per un corpo uido il cambio di posizione relativa dei suoi elementi pu` o essere molto rilevante anche per forze applicate tendenzialmente nulle. Si consideri a tal ne la forza di taglio applicata a un cubo di materiale solido e a un cubo di materiale uido contenuto tra due lastre piane come nella gura da cui appare che il uido continua a deformarsi

F PSfrag replacements

F

Alcuni materiali come lacqua e laria sono chiaramente identicabili come uidi, altri di struttura pi` complessa, come ad esempio una gelatina o u la pece, possono avere comportamento misto, cio` comportarsi in parte come e solidi e in parte come uidi. Per lo studio della dinamica, la dierenza di comportamento tra un liquido e un gas non ha un carattere cos sostanziale come quello tra uidi e solidi, se non per variazioni di densit` e compressibila it` che in ogni caso, come vedremo, hanno una notevole inuenza sul campo a uidodinamico. Le dierenze di comportamento tra solidi, liquidi e gas dipendono essenzialmente dalla struttura e della interazione molecolare proprie di questi

7

Introduzione materiali. Per i solidi si ha una struttura o assetto molecolare ordinato (ad esempio un reticolo cristallino) con la presenza di forze intermolecolari molto rilevanti. Per i gas la distanza molecolare ` molto pi` grande che e u per i solidi e la struttura ` totalmente disordinata con forze intermolecolari e molto deboli. Per i liquidi mentre le distanze molecolari sono dello stesso ordine di grandezza che per i solidi (la densit` ` paragonabile) la struttura ae molecolare ` solo parzialmente ordinata e le forze intermolecolari sono molto e pi` deboli. Ne risulta una mobilit` molto alta simile a quella dei gas, ma esu a sendo la densit` analoga a quella dei solidi, la compressibilit` ` relativamente a ae modesta. Considerando landamento qualititativo della forza che una molecola esercita su unaltra in funzione della loro distanza (vedi gura) Forza intermolecolare

Repulsione

PSfrag replacements

Distanza Attrazione d0 si ha una posizione di equilibrio per distanza d0 . Per solidi e liquidi la distanza intermolecolare ` dellordine di d0 . Per i gas la distanza ` e e 10 d0 e quindi le forze intermolecolari sono praticamente trascurabili, come si ipotizza nella teoria cinetica dei gas si suppone che le forze intermolecolari siano trascrabili. Quindi lassetto molecolare (struttura, distanze e forze scambiate) ha un ruolo molto importante nel denire il comportamento del materiale, ma pu` o essere totalmente ignorato sia per solidi che per uidi, se si assume lipotesi di mezzo continuo cio` se si considera la materia distribuita su tutto il volume e e non concentrata localmente dove sono presenti le molecole. Infatti la scala macroscopica di interesse per un campo uidodinamico ` di molti ordini di grandezza maggiore della scala microscopica che misura e le distanze fra le molecole. Quantichiamo questi concetti con una rapida stima numerica. Supponiamo di eettuare una misura di densit` locale e a quindi consideriamo uno strumento con un sensore di dimensioni molto limitate ad esempio 103 cm: ne risulta un volume di 109 cm3 . Per laria in

8

Introduzione condizioni normali di pressione e temperatura si ha, per la legge di Avogadro, un numero di molecole di 3 1019 per cm3 . Quindi nel volume del sensore risultano presenti 3 1010 molecole: un numero abbastanza alto da considerare il valore medio per unit` di volume, che da la misura della a densit` locale, stabile rispetto a piccole variazioni del volume del sensore. a Densit` a misurata

PSfrag replacements valore locale

Attrazione

Volume sensore

Ovviamente se si andasse a considerare volumi molto pi` piccoli, tali da u avere allinterno solo poche molecole, si rileverebbero drastiche variazioni di densit` per piccole variazioni del volume del sensore, o in tempi successivi a a parit` di volume di misura considerato.Nella gura si pu` vedere schematia o camente leetto delle dimensioni del volume del sensore sul valore della densit` misurata. In particolare, per valori molto grandi di tale volume si a osserva una variazione continua dovuta alla variazione spaziale di densit` a nel campo. Nel caso di gas molto rarefatti, allinterno del volume di misura potrebbero essere presenti solo poche molecole e quindi non si riuscirebbe a denire un valore medio stabile. In questo caso infatti non si pu` assumere il uido o come un mezzo continuo. In conclusione se ` valida lipotesi di mezzo si pu` attribuire un signie o cato ben defnito al valore locale di una propriet` del uido, come la densit`, a a che potr` essere ottenuta come funzione continua della posizione e del tema po. In tal mdo si potr` costruire un sistema di equazioni che governa il a moto e che sar` in gran parte indipendente dal tipo di uido che considea riamo e quindi dalla sua particolare struttura molecolare. Solo tramite le relazioni costitutive si reintroducono alcune informazioni che tengono conto del comportamento specico del uido in esame. Unanaloga trattazione ` presa in considerazione per lo studio dei corpi e solidi. Una particolare attenzione ` per` necessaria nellimpostazione delle e o

9

Introduzione equazioni per i uidi in quanto sono caratterizzati, come prima accennato da una continua deformabilit` e dallassenza di una congurazione di a riferimento.

10

Capitolo 1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa1.1 Corpi e congurazioni

Deniamo un corpo deformabile B come insieme di particelle o punti materiali P . Una mappa continua e biunivoca di questo insieme nello spazio euclideo E, d` luogo ad una congurazione del corpo B a D = k(B) con x = k(P ) ed essendo la mappa continua e biunivoca e quindi invertibile (1.1.2) (1.1.1)

B = k 1 (D)

e

P = k 1 (x)

(1.1.3)

cio` il punto x di E ` il posto occupato dalla particella P , mentre P ` la e e e particella il cui posto in E ` x. Analogamente per B e D. Figurativamente: e

11

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

B P

k D x

1.2

Moto e descrizione materiale

Il moto del corpo B ` dato da una famiglia di successive congurazioni con e parametro il tempo t x = (P, t) con P = 1 (x, t) (1.2.1)

per ogni istante t, la mappa del moto d` la posizione attuale x dei punti a materiali P di B. Se si applica la mappa x a tutto il corpo D = (B, t) con B = 1 (D, t) (1.2.2)

ove D ` la congurazione di B al tempo t. e

(P, t) B P (P, )

E x(t) D(t)

12

D( ) x( )

Descrizione referenziale

1.3

Non si deve confondere il corpo B con le sue congurazioni spaziali D. Lo stesso corpo B pu` infatti assumere innite diverse congurazioni. La o descrizione (1.2.1) si denisce descrizione materiale del moto, in quanto impiega come variabili indipendenti i punti materiali P e il tempo t.

1.3

Descrizione referenziale

Il corpo ` in eetti disponibile allosservazione solo attraverso una delle sue e congurazioni e quindi pu` essere conveniente assumere una di queste come o congurazione di riferimento per individuare e specicare i punti materiali di B. Tale congurazione di riferimento pu` essere una congurazione occupata o dal corpo a un certo istante, anche se ci` non ` strettamente necessario. o e Consideriamo la congurazione data da X = k(P ) con P = k 1 (X) (1.3.1)

come congurazione di riferimento. Il moto del corpo si pu` quindi descrivere con o x = (P, t) = (k 1 (X), t) = k (X, t) (1.3.2)

dove k indica la mappa di moto con riferimento alla congurazione Dr = k(B). Questa si denisce come descrizione referenziale in quanto assume come variabili indipendenti le coordinate della posizione X del punto materiale P nella congurazione di riferimento Dr . Il vettore posizione X = Xi e(i) denisce quindi la posizione di P nella congurazione di riferimento

k(P ) B P

X

Dr

x( ) D( )

Lespressione (1.3.1) denisce una famiglia di successive congurazioni deformate rispetto alla congurazione di riferimento.

13

x(t) D(t)

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

Un riferimento particolarmente adottato ` quello della congurazione del e corpo per t = 0: la descrizione referenziale si chiama allora Lagrangiana. Data una quantit` scalare o tensoriale A funzione del tempo e dello spazio a A(P, t) A(X, t); la derivata di A rispetto al tempo seguendo il moto della particella materiale ` data da e A= A t P

A t

(1.3.3)X

In particolare la derivata prima e seconda della posizione, danno la velocit` e laccelerazione: a

u=

(P, t) t

(P, t) a = P

2 (P, t) t2

(P, t) P

(1.3.4)

nella descrizione materiale e

u=

k (X, t) t

k (X, t) a = X

2 k (X, t) t2

k (X, t) (1.3.5) X

nella descrizione referenziale. La descrizione materiale e referenziale sembrano le pi` naturali per studiu are la dinamica dei uidi in quanto si segue il moto della particella materiale cui sono applicate le forze. La dierenza tra le due descrizioni ` di scarsa rile evanza per lo studio dei uidi per` in alcuni settori della meccanica (per es. o meccanica analitica, analisi di sistemi discreti) si usa distinguere le particelle non con la posizione da loro occupata ad un certo tempo (descrizione referenziale), ma con il proprio nome o numero (ad es. n particelle xi , i = 1 . . . n); in altri settori invece (per es. moto del corpo rigido) si usa la descrizione referenziale.

1.4

Descrizione spaziale

Pu` essere conveniente per lo studio di particelle uide, che si deformano o rapidamente (...) non si sa da dove vengono e dove vanno, adottare una descrizione spaziale in cui si considera cosa succede al momento attuale davanti ai nostri occhi (Ruscelli). Questa descrizione spaziale chiamata Euleriana (ma introdotta in eetti da Brilli e DLambirete) considera la congurazione attuale D del corpo B, cio` assume come variabili indipendenti x e t. Vi ` e e quindi una sola descrizione spaziale, mentre come si ` visto ci sono innite e possibili descrizioni referenziali.

14

Descrizione spaziale

1.4

x(t)

D(t)

Ogni funzione F (X, t) pu` essere sostituita da una funzione f nelle vario abili x , t , che ha lo stesso valore per X e x corrispondenti nella mappa del moto, cio` e F (X, t) = F 1 (x, t), t f (x, t) = f [k (X, t), t] k (1.4.1)

La descrizione spaziale, cinematicamente conveniente, presenta dei problemi per lo studio della dinamica dei uidi in quanto le leggi della dinamica si riferiscono ovviamente al corpo B e non alla regione di spazio D che il corpo occupa momentaneamente. Per questo ` necessario considerare anche una descrizione referenziale o e materiale, per ambedue le quali ` pi` semplice impostare lo studio della die u namica, evitando contorti ragionamenti che sarebbero necessari con la sola descrizione spaziale. Una qualunque quantit` scalare o tensoriale A pu` esa o sere quindi espressa in funzione delle variabili x e t, in particolare la velocit` a e laccelerazione u = u(x, t) a = a(x, t) (1.4.2)

Se consideriamo la funzione f (x, t) e vogliamo la derivata rispetto al tempo della f (x, t) come propriet` della particella in esame e quindi seguendo il a moto della particella, basandosi sulla uguaglianza (1.4.1) e sulla denizione (1.3.3) otteniamo in descrizione referenziale F (X, t) F = t e in descrizione spaziale f (k (X, t), t) f = t (1.4.4)X

(1.4.3)X

15

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa La (1.4.4) ricordando la (1.3.2) si pu` esprimere o

f f f + f k = + ui (1.4.5) f = t t xi per la (1.3.5). La (1.4.5) si denisce derivata materiale, cio` la derivata e rispetto al tempo seguendo il moto della particella, e si pu` indicare per o comodit` con un simbolo diverso, cio` ripetendo la (1.4.5) a e Df f f (1.4.6) = + ui Dt t xi Avendo ora a disposizione le diverse descrizioni del moto, cio` quele la spaziale e almeno una tra materiale e referenziale vediamo ora di ricavare le equazioni che governano la dinamica dei uidi cio` le equazioni e di conservazione della massa, della quantit` di moto e dellenergia. a

1.5

Massa e densit` di massa a

Deniamo innanzitutto la massa M del corpo B o di una parte di esso che indicheremo Bn , come M (Bn ) =k(B)n )

(k(P ))dV =D

k (x)dV

(1.5.1)

con D = k(Bn ) e x = k(P ). La densit` di massa (k(P )), indicata anche a con k (x), esiste ed ` continua sul volume k(Bn ) e si denisce localmente e come il valore limite del rapporto k = lim M (Bn ) V (k(Bn )) (1.5.2)

n

con Bn+1 Bn e quindi V (k(Bn )) 0 per n . La parte di corpo Bn ha la stessa massa M (B) per tutte le sue congurazioni k1 , k2 . . . ., etc essendo la massa una propriet` di Bn e non della forma a che esso assume nello spazio quindi M (Bn ) =k1 (Bn )

k1 (x)dV1 =k2 (Bn )

k2 (x)dV2

(1.5.3)

Vediamo che relazione c` fra k1 e k2 cio` fra la densit` di massa in due e e a congurazioni diverse. Se si assume k1 (Bn ) come congurazione di riferimento e si indica con X k1 (Bn ) il vettore posizione in questa congurazione; se inoltre J e lo Jacobiano della trasformazione x = (X) che mappa k1 (Bn ) in k2 (Bn ) e tale trasformazione ` continua e biunivoca quindi invertibile con e J ovunque = 0, si ha ricordando la (A.19.10) k1 (X)dV1 =k1 (Bn ) k1 (Bn )

k2 ((X))J(X)dV1

(1.5.4)

16

Conservazione della massa cio` in ogni luogo e k1 (X) = k2 ((X)) J(X)

1.7

(1.5.5)

Quindi il campo di densit` di massa su una congurazione di Bn detera mina quello in tutte le altre congurazioni assunte da Bn ed in particolare in quelle assunte durante il moto come si vedr` nei paragra successivi. a

1.6

Conservazione della massa

Per il primo postulato della Meccanica di Newton la massa (a velocit` molto a inferiori a quelle della luce, quali si considerano qui) ` indipendente dal e tempo. Se quindi segniamo una parte Bn del corpo B attraverso una serie di congurazioni successive nel tempo, la massa di Bn non varier` a M (Bn ) =(Bn ,t)

(x, t)dV

(1.6.1)

dove lintegrale ` ora esteso alla congurazione corrente (Bn , t) che ` in e e funzione del tempo. Il postulato della costanza della massa, cio` la sua e indipendenza dal tempo, si pu` esprimere con o d M (Bn ) = dt (x, t)dV = 0(Bn ,t)

(1.6.2)

Per giungere alla formulazione della equazione di conservazione della massa, si deve ora vedere come fare la derivata rispetto al tempo di un integrale esteso a un volume che ` funzione del tempo, nella descrizione e spaziale.

1.7

Teorema del trasporto di Reynolds

Prendiamo una congurazione di riferimento, per esempio quella che assume il corpo al tempo t0 Dn = k(Bn ) = (Bn , t0 ) che ` alla base della descrizione referenziale lagrangiana del moto. Esprime iamo lintegrale della funzione generica f (x, t) in questa descrizione, cio` e nelle variabili X, t d dt d dt

f (x, t)dV =(Bn ,t)

f [k (X, t), t] J(X, t)dV0(Bn ,t0 )

(1.7.1)

dove J(X, t) ` lo Jacobiano della trasformazione che mappa la congurazione e di riferimento (Bn , t0 ) nella congurazione attuale (Bn , t) e per la (A.19.8)

17

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

dV = JdV0 Inoltre valgono le relazioni

x = (P, t)

X = (P, t0 ) x= 1

P = 1 (X, t0 ) (1.7.2) (X, t0 ), t = k (X, t)

Ora lintegrale ` esteso a un volume che non ` pi` variabile nel tempo e e e u quindi possiamo scambiare le operazioni di derivazione e integrazione d dt d {f [k (X, t), t] J(X, t)} dV0 dt

f (x, t)dV =(Bn ,t) (Bn ,t0 )

(1.7.3)

e ricordando la (1.4.6) =(Bn ,t0 )

f f + ui t xi

J +f

dJ dV0 dt

(1.7.4)

Si deve ora esprimere la derivata rispetto al tempo dello Jacobiano che per la (A.19.7) ` data da e J = det xi Xj (1.7.5)

Vediamo la derivata del singolo termine della matrice d dt xi Xj = ui dxi = Xj dt Xj (1.7.6)

essendo Xj indipendente dal tempo. Considerando ora che ui ` funzione di xk si pu` scrivere e o ui Xj ui x1 ui x2 ui x3 + + x1 Xj x2 Xj x3 Xj (1.7.7) = ui xk xk Xj

=

La derivata del determinante (1.7.5) ` data dalla somma di tre determie

18

Teorema del trasporto di Reynolds

1.7

nanti delle matrici in ciascuna delle quali una riga ` derivata. Il primo di e essi ` dato da e ui xk xk X1 x2 X1 ui xk xk X2 x2 X2 ui xk xk X3 x2 X3 (1.7.8)

x3 x3 x3 X1 X2 X3 e analogamente, cambiando riga, gli altri due. Il primo determinante (1.7.8) u1 d` un contributo = 0 solo per k = 1, che, mettendo in evidenza a , ` e x1 u1 u1 u1 dato da J. Per k = 2 e k = 3 si hanno rispettivamente e che x1 x2 x3 moltiplicano determinanti di matrici con due righe uguali e quindi nulli. Procedendo analogamente per gli altri due determinanti si ottiene dJ dt u1 u2 u3 + + x1 x2 x3 ui J div uJ xi

=

J= (1.7.9)

=

Ritornando ora allintegrale (1.7.4) si ha d dt f f ui + ui J + f J dV0 t xi xi (1.7.10) =(Bn ,t0 )

f (x, t)dV(Bn ,t)

=(Bn ,t0 )

f f ui + t xi

JdV0

che ` possibile ora riesprimere nella congurazione attuale (Bn , t) per la e (1.7.1) d dt f (x, t)dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

f f ui + t xi

dV

(1.7.11)

La (1.7.11) d` la relazione conclusiva del teorema del trasporto di Reynolds. a Altre forme si possono ricavare, applicando ad esempio il teorema di Green f ui alla parte dellintegrale , per cui si ottiene xi d dt f (x, t)dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

f dV + t

f u ndS(Bn ,t)

(1.7.12)

19

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

dove con (Bn , t) si ` indicato il contorno della (Bn , t). e Unaltra forma si pu` ricavare a partire dalla (1.7.11) ricordando leo spressione della derivata materiale

d dt

f (x, t)dV(Bn ,t)

=(Bn ,t)

f f ui + t xi

+f

ui dV xi (1.7.13)

=(Bn ,t)

Df + f div u dV Dt

1.8

Equazione di Conservazione della Massa

Si pu` ora tornare alla formulazione della conservazione della massa in cono gurazioni successive assunte nel tempo dal corpo Bn , espressa dalla (1.6.2). se a questa si applica il risultato del teorema di trasporto di Reynolds (1.7.11) con f (x) (x, t) si ottiene M (Bn ) =(B n ,t)

ui + t xi

dV = 0

(1.8.1)

ed essendo la (1.8.1) valida per un volume di integrazione arbitrario, deve essere ovunque nullo lintegrando cio` e ui + + t xi t u = 0 (1.8.2)

che ` lequazione di conservazione della massa in forma dierenziale, detta e anche equazione di continuit`. Partendo dalla forma (1.7.13) si ottiene in a modo analogo D ui D + = + Dt xi Dt u=0 (1.8.3)

da cui si vede immediatamente che per = cost., ipotesi di uido incompressibile, la (1.8.3) si riduce alla u div u = 0 (1.8.4)

Utilizzando lequazione di continuit` si pu` ricavare unulteriore forma a o del teorema del trasporto di Reynolds molto conveniente. Assumendo f = F per la (1.7.13)

20

Deformazione locale

1.9

d dt

(F )dV(Bn ,t)

=(Bn ,t)

D(F ) + F div u dV Dt D + div u Dt dV(1.8.5)

= =

DF +F Dt (Bn ,t) DF dV (Bn ,t) Dt

ricordando la (1.8.3). Prima di passare alle altre equazioni di conservazione della quantit` di a moto e della energia che governano il moto dei uidi, ` necessario dare e ulteriori informazioni sulla cinematica della particella ed in particolare sulla deformazione locale, in funzione della quale saranno espresse le forze di contatto.

1.9

Deformazione locale

In descrizione referenziale la mappa di moto ` data da e x = k (X, t) (1.9.1)

dove k d` la trasposizione dei punti materiali dalla loro posizione X nella a congurazione K(B) di riferimento, alla loro attuale posizione x al tempo t. Il gradiente di k (X, t) d` la deformazione locale F a F Fk (X, t) = k (X, t) (1.9.2)

denita come tensore gradiente di trasposizione. Una volta scelti i sistemi di coordinate nella congurazione di riferimento ed in quella attuale, le componenti di F sono le nove derivate parziali delle componenti xi rispetto alle componenti Xj , cio` e Fij = xi ei ej Xj (1.9.3)

F rappresenta lapprossimazione lineare della mappa k (X, t) k (X, t) k (X0 , t) = F (X0 , t)(X X0 ) + 0(X X0 )2 (1.9.4)

infatti la trasposizione k (X, t) ` approssimata da F (X0 , t) nellintorno di e X0 a meno di un errore dellordine 0(X X0 ). I concetti di trasposizione e di deformazione locale presuppongono una congurazione di riferimento, come si ` visto per la formulazione delle (1.9.1) e (1.9.4).

21

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

Nello studio della uidodinamica non vi ` in generale una congurazione e di carattere particolare (come per i solidi la congurazione indeformata) che possa essere utile assumere come riferimento. Ad esempio non ` conveniente e assumere la congurazione al tempo t0 , prima adottata, ma piuttosto la congurazione attuale, anche se questa ` continuamente variabile nel tempo. e Si ha allora una particolare descrizione referenziale detta descrizione relativa. In questa descrizione consideriamo oltre alla congurazione attuale data da x = (X, t) (1.9.5)

anche la congurazione al tempo immediatamente successivo a t ( = t + con 0) = (X, ) Esprimendo la (1.9.6) nella descrizione relativa = 1 (x, t), t (x, ) ove t indica la trasposizione relativa e ovviamente per = t t (x, t) = x da t (x, ) = (x, ) e per = t t (x, ) = x(x, t) (1.9.10) (1.9.9) (1.9.8) (1.9.7) (1.9.6)

La derivata rispetto al tempo della trasposizione relativa (1.9.7) ` data e

Analogamente alla denizione (1.9.2), la deformazione locale relativa ` e data da F t (x, ) = e per = t F t (x, t) = I da Ft = F t (x, ) = (x t (x, )) (1.9.13) = x ( t (x, )) (1.9.12) t (x, ) x t (x, t) = i e i)e j) xj ( ( (1.9.11)

La derivata rispetto al tempo della deformazione locale relativa ` data e

22

Analisi del moto relativo ponendo ora = t per la (1.9.10) ui e i)e j) F t = [ Ft (x, )] =t = x x(x, t) = xj ( (

1.10

(1.9.14)

denominato tensore gradiente di velocit`, che corrisponde al tensore gradia ente di spostamento adottato nella meccanica dei solidi per lo studio della deformazione. Vedremo che questo ` il tensore pi` appropriato per descrie u ui vere la deformazione nei uidi. Si pu` provare che o sono le componenti di xj un tensore del secondo ordine con la regola del quoziente (A.11.1) in quanto vale nellintorno di un punto 0 dui = che tramite ui dxj xj (1.9.15)

ui mette in relazione le tre componenti del vettore dui con le xj tre componenti del vettore dxj .

1.10

Analisi del moto relativo

ui si pu` scrivere per la (A.7.10) come somma di una parte o xj simmetrica e di una antisimmetrica Il tensore ui xj 1 2 uj ui + xj xi 1 2 uj ui xj xi

=

+

(1.10.1) (1.10.2)

= eij + ij

avendo indicato con eij la parte simmetrica e con ij la parte antisimmetrica. Per la (1.9.15) nellintorno del punto 0 vale la dui = (eij + ij )dxj (1.10.3)

Si ` visto in precedenza (A.8) che se ij ` un tensore antisimmetrico e e e dxj ` il vettore posizione il termine ij dxj esprime una velocit` di rotazione e a di corpo rigido con velocit` angolare , che per la (A.8.3) vale a 1 k = ijk ij = 2 (1.10.4) 1 1 = ijk 2 2 uj ui xj xi

23

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

e permutando opportunamente gli indici i e j si ottiene uj 1 k = ijk 2 xi cio` e 1 1 = rot u 2 2 ricordando che rot u = ijk (1.10.6) (1.10.5)

uj e . xi (k) Il vettore si chiama vorticit` e il tensore ij tensore di velocit` angolare a a o di spin. ui Se il moto ` di traslazione con velocit` u = u(t) allora e a = 0, cio` il e xj tensore gradiente di velocit` ` nullo. ae Quindi se il moto della particella di uido ` dato da una traslazione pi` e u una rotazione di corpo rigido (cio` deformazione nulla), la parte simmetrica e del tensore (1.10.1) eij ` nulla. Per tale motivo eij si chiama tensore della e velocit` di deformazione o di stretching. Vediamo di interpretare sicamente a il tensore eij descrivendo il comportamento dellintorno di 0 durante il moto. Consideriamo in particolare nella congurazione attuale (al tempo t), assunta come congurazione di riferimento, i due segmenti OP e OQ uscenti da 0, di lunghezza ds e formanti tra loro un angolo . Seguiamo il loro comportamento nel moto e quindi nella congurazione D (al tempo ). Per OQ coincidente con OP , cio` = 0 si ottiene: e 1 d dxi dxj (ds) = eij ds dt ds ds (1.10.7)

dxi con componente i-esima del vettore unitario tangente a 0P . La (1.10.6) ds dice che la velocit` di variazione della lunghezza di 0P , in rapporto alla sua a lunghezza ` legata ala sua direzione tramite il tensore eij . In particolare se e 0P ` parallelo allasse 01 cio` e e dxi = i1 ds si ha 1 d (ds1 ) = e11 ds1 dt (1.10.8) dxj = j1 ds

e quindi e11 d` una velocit` di deformazione di allungamento puro (pure a a stretching).

24

Analisi del moto relativo

1.10

Se 0P e 0Q formano tra loro un angolo = 0, derivando la (1.10.6) si ottiene d()12 = 2e12 dt

(1.10.9)

quindi e12 rappresenta la met` della velocit` di variazione dellangolo fra a a due segmenti inizialmente orientati come gli assi 01 e 02 cio` rappresenta e una velocit` di deformazione di scorrimento puro (pure shear). a In conclusione eij ha un signicato cinematico ben preciso in quanto d` a le componenti della velocit` di deformazione. a Siccome eij ` un tensore simmetrico ` possibile, come si vedr` nellApe e a pendice A, individuare tre direzioni principali, tra loro ortogonali e i relativi valori principali del tensore. Se si prendono le direzioni principali come terna di assi del riferimento, il tensore assume forma diagonale, con eij = 0 solo per i = j, e quindi si ha solo deformazione di allungamento puro lungo le tre direzioni principali. In base alla (1.10.2) si ha quindi che latto di moto nella congurazione attuale al tempo t si pu` decomporre oltre che in una o velocit` di traslazione uniforme, nella somma di una velocit` di allungamena a to puro lungo i tre assi principali e di una velocit` angolare di corpo rigido a del riferimento individuato da questi tre assi. Questo ` noto come teorema e di decomposizione di CauchyStokes. In generale avremo quindi, gurativamente, per la particella uida una evoluzione come in gura se il moto ` e rotazionale e

e una evoluzione come in gura

25

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

se il moto ` irrotazionale (ij = 0) e

1.11

Alcuni esempi di moto relativo

Il tensore velocit` di deformazione ` lineare nel campo di velocit`: possia e a amo quindi sovrapporre due campi di velocit` ottenendo un terzo campo il a cui tensore velocit` di deformazione ` dato dalla somma dei corrispondenti a e tensori dei primi due. Scelta una terna di assi 0123, se per esempio ui = C1 x1 si ha u2 = 0 u3 = 0 (1.11.1)

u1 ui = C1 e le altre componenti di sono tutte nulle. Si ha solo x1 xj allungamento nella direzione 01. Se anche u2 = C2 x2 u3 = C3 x3 (1.11.2)

si ha allungamento puro anche nelle direzioni 02, 03. In tal caso il tensore gradiente di velocit` vale a u1 x1 ui = xj 0 0 0 u2 x2 0 0 0 u3 x3 = C1 0 0 0 C2 0 0 0 C3 (1.11.3)

ed essendo simmetrico vi ` solo la parte tensore velocit` di deformazione eij e a mentre il tensore velocit` angolare ij ` nullo. Gli assi principali coincidono a e ovviamente con gli assi 01, 02, 03. Se si considerano direzioni non coincidenti

26

Alcuni esempi di moto relativo

1.11

con gli assi principali si ha anche scorrimento, cio` possono essere diverse e da zero le componenti fuori diagonale. Se consideriamo le componenti in un sistema di assi ruotato 01, 02, 03 rispetto a quello originale, per la (A.7.1) epq = lip ljq eij Ad esempio nel caso piano e12 = l11 l12 e11 + l21 l22 e22 ed essendo per un angolo = 45 tra i due riferimenti 1 l11 = 2 si ottiene 1 1 1 (1.11.5) e12 = e11 + e22 = (C2 C1 ) 2 2 2 ricordando che lij rappresenta il coseno dellangolo tra il vecchio asse 0i e il nuovo 0j ( A.1). 1 l12 = 2 1 l21 = 2 1 l22 = 2 (1.11.4)

2

2 1 1

La (1.11.5) mostra che si ha scorrimento, cio` variazione di angolo tra e due segmenti per direzioni non coincidenti con gli assi principali. Facciamo ora un altro esempio: analizziamo il campo di velocit` dato da a (1.11.6) u1 per il quale la sola componente del tensore eij diversa da zero ` e . x2 ui = Cx2 u2 = 0 u3 = 0

2 u1

O

1

27

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

E questo un campo di velocit` molto comune in uidodinamica: ad esempio a strato limite, mixing e in generale usso di shear. Il tensore gradiente di velocit` ` dato da: ae 0 ui = xj 0 0 u1 x1 0 0 0 0 0 = 0 C 0 0 0 0 0 0 0 (1.11.7)

che decomponiamo in una parte simmetrica e in una antisimmetrica secondo la (1.10.1). Si ottiene 1 u1 2 x2 0 0 1 u1 2 x2 0 0

0 ui = xj 1 u1 2 x2 0

0 0 0 ij =

0 1 u1 2 x2 0

0 0 0 (1.11.8)

Dal tensore velocit` angolare ij ricaviamo il vettore velocit` angolare a a 1 k = ijk ij 2 con 1 2 1 u1 1 u1 + 2 x2 2 x2 1 u1 2 x2

3 =

=

(1.11.9)

2 = 1 = 0 1 u1 ) d` lentit` della veloca a 2 x2 it` di rotazione di corpo rigido che risulta essere in senso orario in quanto a negativa. Per il tensore velocit` di deformazione eij ricaviamo gli assi principali a con relativi allungamenti principali, considerando il sistema (A.9.2) ed imponendo la condizione (A.9.3). Nel caso in esame si ha per gli invarianti dati dalla (A.9.6) Il vettore velocit` angolare = (0, 0, a 1 u1 2 x2 1 u1 2 x2 1 = C2 4

I1 = I3 = 0

I2 =

Lequazione caratteristica del tensore (A.9.5) diviene quindi 1 3 C 2 = 0 4 (1.11.10)

28

Alcuni esempi di moto relativo con radici

1.11

1 = C 2 che sono gli autovalori (allungamenti principali) del sistema considerato. Ricaviamo ora i corrispondenti autovettori (assi principali). Il sistema (A.9.3) insieme con la condizione (A.9.7) danno rispettivamente =0 1 per = + C 2 1 per = C 2 per = 0 1 a1 = 2 1 a1 = 2 a1 = 0 1 a2 = 2 1 a2 = 2 a2 = 0 a3 = 0 a3 = 0 a3 = 1

che sono le componenti su 01, 02, 03 dei 3 assi principali 1 1 , ,0 2 2 1 1 , , 0 2 2

(01) (02)

(03) (0, 0, 1)

2 (02) (01) 45 11 In corrispondenza di (01) si ha allungamento C, in corrispondenza a 2 si ha 1 C ed inne in corrispondenza di (03) si ha allungamento (02) 2 nullo. In corrispondenza degli assi di riferimento (01), (02) originali, si ha scorrimento che per quanto visto precedentemente, per un angolo di 45 vale per la (1.11.5) e12 = 1 1 1 C C 2 2 2 1 = C 2

valore gi` noto inizialmente dalla (1.11.8). a I contributi del moto di deformazione e di quello di rotazione si combinano per dare il moto di scorrimento (1.11.6) da cui siamo partiti, come si

29

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

pu` vericare facilmente dalla gura in cui si considera il moto dei punti di o una circonferenza di raggio unitario nel piano 01, 02.

(02) (01) (02)

O

(01)

vel. rotazione vel. deformazione vel. risultanteQuindi il moto si pu` decomporre in ciascun punto in una dilatazione o lungo i 3 assi principali tra loro ortogonali e in una rotazione rigida della terna composta da di questi tre assi, oltre che in una traslazione uniforme in questo caso assente, come previsto dal teorema di CauchyStokes.

1.12

Traiettorie, Linee di corrente, Linee di fumo

In base alle descrizioni del moto illustrate in 1.2, 1.3, 1.4, si possono individuare nello spazio occupato dal uido delle linee con particolare signicato sico. La linea descritta nello spazio dalla particella materiale P , lungo il suo moto, si chiama traiettoria di P , che ` data in descrizione referenziale da e x = k (X, t) (1.12.1)

Nota la velocit`, che ` la derivata della posizione rispetto al tempo, a e seguendo una certa particella u= x t =X

k (X, t) t

= k X

(1.12.2)

si pu` determinare la linea tracciata dalla particella, risolvendo il sistema di o equazioni dierenziali: dxi = ui dt (1.12.3)

30

Traiettorie, Linee di corrente, Linee di fumo con la condizione iniziale per t = t0 = 0 Esempio: per il campo di velocit` dato dalle a xi = Xi

1.12

(1.12.4)

x1 x2 u2 = u3 = 0 (1.12.5) 1+t 1 + 2t integrando le (1.12.3) tra t0 e t con la condizione iniziale (1.12.4) si ottiene u1 = x1 = X1 (1 + t) x2 = X2 (1 + 2t)1/2 x3 = X3 (1.12.6) Le linee che per un dato tempo t sono ovunque tangenti al campo di velocit` si chiamano linee di corrente, e sono date dalla soluzione del sistema a di equazioni dierenziali dxi = ui (1.12.7) d con parametro arbitrario lungo le curve (in particolare se misura la lunghezza lungo la curva d` luogo a un vettore tangente unitario (A.19.3)). Le (1.12.7) a si integrano a partire da una certa condizione iniziale data da xi = xi0 per =0 Esempio: per il campo di velocit` descritto dalle (1.12.5), integrando a le (1.12.7) da xi0 a xi e da 0 ad corrispondentemente, considerando t come parametro si ottengono

x1 = x10 e 1+t

x2 = x20 e 1+2t

x3 = x30

(1.12.8)

che assumono diversi valori al variare di t e xi0 .

Oltre alle traiettorie e le linee di corrente si possono denire altre linee di interesse sico, le linee di fumo (streaklines) nel seguente modo: la linea di fumo passante per x0 al tempo t, rappresenta le posizioni al tempo t delle particelle che a un tempo precedente t sono passate per x0 . Tali linee si possono osservare sperimentalmente se del fumo ad esempio viene iniettato continuamente in aria nella posizione x0 , mediante una fotograa al tempo t. Se il moto ` descritta dalla e x = k (X, t) e

31

1

Cinematica dei corpi deformabili. Conservazione della massa

X = 1 (x0 , t) k allora

con t

x = k 1 (x0 , ), t k

(1.12.9)

Esempio: per il campo di velocit` descritto dalle (1.12.5) dalle traiettoa rie (1.12.5) si ha per le particelle che hanno occupato la posizione x0 al tempo

x10 = X1 (1 + ) da cui si ricavano

x20 = X2 (1 + 2 )

x30 = X3 (1.12.10)

x10 x20 X2 = X3 = x30 1+ 1 + 2 che sostituite nelle equazioni delle traiettorie (2.12.6) danno X1 = x10 (1 + t) 1+ x20 (1 + 2t) 1 + 2

x1 =

x2 =

x3 = x30

(1.12.11) che sono le equazioni delle linee di fumo per il campo di velocit` considerato. a Se il campo di velocit` ` stazionario, traiettorie, linee di corrente e linee ae di fumo coincidono.

Bibliograa1. Aris, R., Vector, Tensors, and the Basic Equation of Fluid Mechanics, Prentice Hall, 1962. 2. Slattery, J.C., Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua, McGraw-Hill, 1972. 3. Truesdell, C., Toupin, R.A., The Classical Field Theories, in Handbuck der Physik (Flgge S., Ed.), Springer-Verlag, 1960. u 4. Truesdell, C., A First Course in Rational Continuum Mechanics, vol. I, Academic Press, 1977. 5. Lai, W.H., Rubin, D., Krempl, E., Introduction to Continuum Machanics, Pergamon Press, 1978.

32

Bibliograa

1.12

6. Chorin, A.J., Marsden, J.E., A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer verlag, 1979. 7. Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. 8. Pau-Chang, L., Introduction to the Mechanics of Viscous Fluids, Hemisphere Publ. Co., McGraw Hill, 1977. 9. Kundu P.K., Fluid Mechanics, Academic Press, 1990.

33

Capitolo 2

Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a2.1 Forze

Le forze che agiscono su un elemento Bn del corpo B sono essenzialmente di due tipi: a) forze di massa che agiscono direttamente sul volume di Bn , attraverso una interazione a grande distanza. Un esempio sono le forze di gravit` e le forze elettromagnetiche. Tali forze agenti su Bn si possono a esprimere mediante lintegrale f dV(Bn ,t)

(2.1.1)

con f forza per unit` di massa; a b) forze di contatto che agiscono sul volume di Bn , attraverso la supercie di contorno. Se lelemento di uido considerato ha una porzione di supercie libera, cio` di contorno per il uido, le forze di contatto e possono essere date ad esempio da una pressione applicata su questa supercie o da una forza tangenziale. Se lelemento di volume ` interno e al uido, le forze di contatto sono quelle esercitate sulla supercie dal materiale circostante. Indicando la forza di contatto per unit` di a area con t(n) dove con n si indica la normale uscente localmente dalla supercie, si ha t(n) = lim F A0 A

34

Conservazione della quantit` di moto a agente sulla porzione I di Bn con t(n) = t(n)

2.2

(2.1.2)

che esprime il lemma di Cauchy. La forza totale esercitata sul volume attraverso la sua supercie ` data da e t(n) dS(Bn ,t)

(2.1.3)

F

II

n I A Bn

2.2

Conservazione della quantit` di moto a

Il principio di conservazione della quantit` di moto della meccanica di Newa ton esprime luguaglianza della variazione nel tempo della quantit` di moto a con la somma delle forze, dei due tipi sopra visti, applicate al volume di uido considerato. Essendo la quantit` di moto a udV(Bn ,t)

(2.2.1)

Lequazione di conservazione della quantit` di moto (o prima legge di a Eulero) si esprime in forma vettoriale, mediante le (2.1.1), (2.1.3), (2.2.1) d dt udV =(Bn ,t) (Bn ,t)

f dV +(Bn ,t)

t(n) dS

(2.2.2)

per il teorema di trasporto di Reynolds nella forma (1.8.5) il primo termine della (2.2.2) diviene d dt Dui dV = Dt ui ui uj + t xj

ui dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

dV (2.2.3)

(Bn ,t)

35

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a Cerchiamo ora di analizzare lintegrale delle forze di contatto (2.1.3) e di esprimerlo in modo pi` appropriato. u Supponiamo che nelleq. (2.2.2) la congurazione (Bn , t) abbia dimensione caratteristica d. Il volume ` quindi proporzionale a d3 e larea della e supercie (Bn , t) di contorno ` proporzionale a d2 . Dividendo la (2.2.2) e per d2 e considerando il limite per d 0 si ottiene 1 d2

d0

lim

t(n) S = 0(Bn ,t)

(2.2.4)

cio` le forze di contatto per unit` di area, o tensioni, sono localmente in e a equilibrio.

2.3

Il tensore delle tensioni

Il vettore tensione t(n) relativo a un elemento di supercie, ` associato al vete tore normale alla supercie tramite il tensore delle tensioni Tij che esprime una trasformazione lineare tra le due classi di vettori t(n) e n

t(n)i = Tij nj che ricordando la (A.7.15) si pu` scrivere: o

(2.3.1)

t(n) = T n

(2.3.2)

Per avere uninterpretazione sica del tensore delle tensioni, seguiamo la dimostrazione di Cauchy. Consideriamo il tetraedro (Fig. 2.2) con tre facce parallele ai piani coordinati del sistema con origine in 0 e la quarta faccia con normale n = ni e(i) . Se dA ` larea della faccia obliqua, le altre facce assi 0i sono date da e

dAi = ni dA

(2.3.3)

con normale uscente e(i) e quindi la tensione ` t(i) per la (2.1.2) mentre e t(i) corrisponde a normale uscente +e(i) .

36

Il tensore delle tensioni

2.4

3

n

2 O

1Applicando lequilibrio locale (2.2.4) al tetraedro di Fig. 2.2 con dimensione caratteristica d tendente a zero si ha t(n) dA t(1) dA1 t(2) dA2 t(3) dA3 = 0 e per la (2.3.3) t(n) = t(1) n1 + t(2) n2 + t(3) n3 (2.3.5) (2.3.4)

che dimostra che le tensioni in un punto 0 relative a 3 piani tra loro indipendenti (come quelli coordinati su cui ` costruito il tetraedro in Fig. 2.2) e determinano la tensione per qualunque supercie passante per quel punto. Se indichiamo con Tij la componente i-esima del vettore t(j) e con t(n)i la componente i-esima di t(n) ), possiamo riscrivere la (2.3.5) in termini di componenti t(n)i = Tij nj (2.3.6)

ove Tij associando le componenti del vettore t(n) alle componenti del vettore n da esso indipendente, per la regola del quoziente (A.11.1), sono le componenti di un tensore del secondo ordine. Lo stato delle tensioni in questo punto, la cui posizione ` x, ` complee e tamente individuato dalle nove componenti del tensore Tij (x) e quindi in generale la (2.3.1) si scrive t(x, n) = T (x) n (2.3.7)

che, essendo una relazione tensoriale, ` valida per una qualunque rotazione e degli assi coordinati, limitandosi qui a sistemi di coordinate cartesiane.

37

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a

2.4

Conservazione della quantit` di moto in forma a dierenziale

Se si sostituisce la (2.3.1) nella (2.2.2), tenendo conto della (2.2.3) si ottiene (Bn ,t)

Dui dV = Dt

fi dV +(Bn ,t) (Bn ,t)

Tij nj dS

(2.4.1)

e applicando allintegrale superciale il teorema di Green nella forma (A.15.2) Tij nj dS =(Bn ,t) (Bn ,t)

Tij,j dV

(2.4.2)

Essendo ora tutti i termini dellequazione costituiti da integrali estesi allo stesso volume, peraltro scelto arbitrariamente, lequazione (2.4.1) pu` o essere soddisfatta solo se ` nullo lintegrando: e Dui = fi + Tij,j (2.4.3) Dt nota anche come equazione di Cauchy. Adottando per il teorema di trasporto di Reynolds la seconda forma riportata in (2.2.3) si ha Tij ui ui uj + = fi + t xj xj che si pu` scrivere o ui = fi + (Tij ui uj )j (2.4.5) t Ricordando che laccelerazione ` la derivata materiale della velocit`, e a la (2.4.3) diviene in forma vettoriale a = f + T (2.4.6) (2.4.4)

2.5

Conservazione del momento della quantit` di a moto

Se si assume che tutte le coppie applicate alla particella di uido derivano da momenti di forze macroscopiche (uidi non-polari) allora si pu` ricavare o dalla (2.2.2) lequazione di conservazione del momento della quantit` di moto a (o seconda legge del moto di Eulero) d dt

(x u)dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

(x f )dV +(Bn ,t)

x t(n) dS (2.5.1)

38

Conservazione del momento della quantit` di moto a

2.5

da cui si pu` dedurre la condizione di simmetria per il tensore delle tensioni o T nel caso considerato di uidi non-polari. Applicando al primo integrale e ricordando la (A.12.4) d dt (x u)dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

(x a)dV

(2.5.2)

essendo u u = 0. Lultimo integrale della (2.5.1) scritto per la componente i-esima, diviene per il teorema di Green e ricordando la (2.3.1)

ijk xj t(n)k dS =(Bn ,t) (Bn ,t)

ijk xj Tkl nl dS = (2.5.3)

ijk (xj Tkl )l dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

(ijk xj Tkl,l + ijk Tkj ) dV

essendo ijk,l = 0 e xj,l = jl . Ritornando alla forma vettoriale si ha x((Bn ,t)

T )dV +(Bn ,t)

ijk Tkj e(1) dV

(2.5.4)

Sostituendo le (2.5.2) e (2.5.4) nella (2.5.1) e raggruppando alcuni termini si ottiene

x (a f (Bn ,t)

T )dV (Bn ,t)

ijk Tkj e(i) dV = 0

(2.5.5)

dove il primo integrale per la (2.4.5) ` nullo. Essendo arbitrario il volume e di integrazione, perch sia soddisfatta la (2.5.5) deve essere e ijk Tkj e(i) = 0 (2.5.6)

cio` devono essere indipendentemente uguali a zero tutte tre le componenti e del vettore (2.5.6) e quindi T32 T23 = 0 cio` e Tkj = Tjk (2.5.7) T13 T31 = 0 T21 T12 = 0

che ` la condizione di simmetria del tensore T . e Nel caso di uidi non polari si pu` quindi assumere il tensore delle teno sioni simmetrico, e con tale assunzione non c` pi` bisogno di considere u are lequazione di conservazione del momento della quantit` di moto come a

39

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a equazione indipendente. Essendo T simmetrico vi sono tre direzioni principali fra loro ortogonali, rispetto alle quali il tensore assume forma diagonale, con i termini sulla diagonale dati dalle tensioni principali.

2.6

Fluidi polari

Si chiamano uidi polari quei uidi la cui microstruttura ` meccanicamente e importante. Per esempio: sospensioni gas-solido, liquido solido, uidi con particelle cariche elettricamente soggetti a campi elettromagnetici esterni, etc. La microstruttura del uido pu` essere meccanicamente importante o anche se molto piccola, quando le dimensioni caratteristiche del problema sono dello stesso ordine di grandezza della microstruttura. Es.: strati sottili di lubricanti, ussi superciali, etc. In tutti questi casi una particella costituente la microstruttura pu` ruotare indipendentemente dal uido o circostante se ad essa viene direttamente applicata una coppia. Pertanto nello studio dei uidi polari si introduce una variabile cinematica che d` la a velocit` angolare della particella indipendentemente dal campo di velocit` a a circostante ed inoltre il tensore delle tensioni non ` pi` simmetrico come per e u i uidi non-polari. Si possono quindi introdurre coppie per unit` di massa q a applicate direttamente al volume (analoghe alle forze f ) e tensioni di coppia c(n) agenti attraverso il contatto tramite la supercie di contorno (analoghe a t(n) ). Analogamente a quanto detto per t(n) in 2.3, si pu` denire il tensore o C tale che c(n) = C n (2.6.1)

Lequazione di conservazione del momento della quantit` di moto si scrive a d dt

[l + (x u)] dV =(Bn ,t) (Bn ,t)

(q+xf )dV +(Bn ,t)

c(n) + x t(n) dS

(2.6.2) dove l ` il momento della quantit` di moto intrinseco delle particelle cose a tituenti la microstruttura. Ricordando la (2.5.2) e raggruppando i termini in modo da far apparire la (2.4.5) si ottiene, procedendo come in 2.5, Dl dV + Dt (2.6.3) (q +(Bn ,t)

x (a f (Bn ,t)

T )dV +(Bn ,t)

C + ijk Tkj e(i) dV = 0

40

Fluidi polari

2.7

essendo per la (2.4.5) il primo integrale nullo ed essendo arbitrario il volume di integrazione, perch sia soddisfatta la (2.6.4) deve essere e Dl = q + Dt C + ijk Tkj e(i) (2.6.4)

che si riduce alla (2.5.6) per l, q, C nulli cio` per uidi non-polari. e Nei uidi polari quindi il tensore delle tensioni non ` simmetrico ed ` e e necessario considerare lequazione di conservazione del momento della quantit` di moto per ricavare le componenti della quantit` di moto intrinseco l. a a Il uido polare, caratterizzato cinematicamente da un campo di velocit` del a continuo e da un campo di velocit` angolare della microstruttura tra loro a indipendenti, si pu` studiare associando a ciascuna particella materiale P , o introdotta in 1.1, una terna rigida ortonormale costituita dai 3 direttori d(k) , che soddisfano la d(k) d(e) = kl (2.6.5)

B

P d(k)

Il moto del corpo B ` dato non solo dalla (1.2.1), ma dallinsieme delle e due relazioni x = (P, t) (2.6.6) d(k) = k (P, t) oltre che dalla (2.6.5). Ciascuna particella materiale ` perci` una copia e o innitesima di un corpo rigido con 6 gradi di libert`: 3 di posizione e 3 di a orientamento. E questo un particolare esempio di Continuo di Cosserat, nel quale alla particella materiale possono essere associati gradi di libert` di a vario genere.

41

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a

2.7

Comportamento dei uidi

Finora non si ` ancora specicato nullo sul tipo di uido che consideriamo e e nel suo comportamento durante il moto. Le equazioni di conservazione di massa, quantit` di moto e momento della quantit` di moto sono valide a a in generale indipendentemente dal tipo di uido considerato. Da un punto di vista matematico, si sono introdotte nel sistema di equazioni le seguenti incognite: le 3 componenti ui del vettore velocit`, le 6 componenti Tij (per a uidi non polari) del tensore delle tensioni e la densit` , supponendo nota a la forza di massa f . Corrispondentemente si hanno a disposizione solo 4 equazioni, escludendo per uidi non polari lequazione di conservazione del momento di quantit` di moto, e cio`: le 3 componenti dellequazione veta e toriale della conservazione di quantit` di moto e lequazione scalare della a conservazione della massa. E quindi necessario fornire ulteriori informazioni sul comportamento del uido: in particolare sulla dipendenza delle forze di contatto (e quindi Tij ) dal moto del corpo (e quindi ui ). Tali relazioni tra forze di contatto e moto, dette equazioni costitutive, sono basate sui seguenti assiomi, introdotti da Noll: principio di determinismo: la tensione in un corpo ` determinata dalla e storia del moto che il corpo ha avuto no al tempo t, e non ` quindi e inuenzata dal moto futuro del corpo principio di eetto locale: il moto del uido al di fuori di un intorno abbastanza piccolo di una particella materiale P , pu` essere ignorato o nel determinare la tensione in quel punto. Cio` il moto di una parte del e corpo non ha eetto sulla tensione in unaltra parte del corpo stesso. principio di indierenza al sistema di riferimento della risposta del materiale: le equazioni costitutive devono risultare invarianti per cambi del sistema di riferimento e quindi dellosservatore.

2.8

Relazioni costitutive

Gli assiomi illustrati in 2.7 si possono utilizzare nel modo seguente per la costruzione delle relazioni costitutive dei uidi. Si pu` soddisfare il principio di determinismo assumendo che il tensore o Tij dipende solo dallo stato attuale di moto del uido. Vedremo in seguito come considerare la eventuale dipendenza dalla storia passata. Il principio di eetto locale ` soddisfatto se si assume che Tij in un punto dipende solo e dalla velocit` e dal tensore gradiente di velocit` in quel punto, oltre che a a

42

Relazioni costitutive

2.8

dai valori locali delle variabili di stato termodinamico, che preciseremo nel cap. 3. Tij = H ui , ui , stato termodinamico xj (2.8.1)

ui ` dato da una parte simmetrica e xj di velocit` di deformazione e da una parte antisimmetrica di velocit` di a a rotazione di corpo rigido (1.10.2) Come noto, dal 1.10, il tensore ui = eij + ij xj (2.8.2)

Il principio di indierenza dal sistema di riferimento impone che Tij possa dipendere solo da eij . Consideriamo infatti un primo osservatore in un sistema di riferimento sso con il laboratorio ed un secondo osservatore in un sistema di riferimento che trasla e ruota insieme al uido per cui, rispetto a questo riferimento, il uido ha u = 0, ij = 0. Assumendo valida la (2.8.1) il primo osservatore troverebbe una dipendenza di Tij da ui e ij , il secondo no. Dovendo essere il comportamento del materiale lo stesso per ambedue gli osservatori, si deduce che Tij = H(eij , stato termodinamico) (2.8.3)

cio` dipende solo dalla parte simmetrica del tensore gradiente di velocit`. e a Si pu` inoltre vericare sperimentalmente che un uido a riposo presenta o una particolare condizione di tensione: la tensione t(n) in un punto relativa ad unarea dS, ` sempre diretta secondo la normale n allarea stessa, ed ha e un valore indipendente dallorientamento dellarea stessa. Ci` signica che o t(n) = T n = pn e quindi in forma indiciale Tij nj = pni = pij nj cio` ` sempre vericata per ogni n la relazione (A.9.2) ee (Tij + pij )nj = 0 (2.8.5) (2.8.4)

quindi ogni direzione ` una direzione principale del tensore (cio` il tensore e e ` sferico) e il suo valore principale p ` detto pressione idrostatica. Quindi e e per un uido a riposo Tij = pij (2.8.6)

La pressione idrostatica p, per un uido compressibile a riposo si pu` o identicare con la pressione termodinamica.

43

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a Si accenna inne alla possibile dipendenza di Tij dal passato, oltre che dallo stato attuale di moto, sopra considerato. Si pu` in tal caso tener conto o della storia temporale della deformazione mediante una funzione memoria M(t s), ove t ` il tempo attuale e s ` un tempo precedente s t. La e e funzione memoria pu` essere ad esempio data da un esponenziale negativo o in (t s), tale per cui la storia recente risulta pi` importante di quella u remota. La Tij (t) si pu` allora esprimere in funzione di M con relazione o analoga alla (2.8.3)

t

Tij (t) = H

M(t s)eij (s)dS, stato termodinamico

(2.8.7)

2.9

Fluidi Stokesiani e Newtoniani

Si dice Stokesiano un uido che verica le seguenti ipotesi: a) Tij ` una funzione continua del tensore eij e dello stato termodinamico e locale b) a riposo la tensione ` data dalla pressione idrostatica cio` Tij = pij e e c) ` isotropo, cio` non ha direzioni preferenziali e quindi la relazione e e funzionale tra tensioni e deformazioni ` indipendente dallorientamento e d) ` omogeneo, cio` non dipende esplicitamente da x, ma tramite la e e variazione di eij e delle variabili termodinamiche con la posizione. Sotto tali ipotesi la relazione costitutiva si pu` esprimere in generale o mediante una relazione tensoriale del tipo: Tij = Aij + Aijkl ekl + Aijklmn ekl emn + . . . (2.9.1)

dove A , A , A sono, per lipotesi c), tensori isotropi del tipo considerato in A.10 ed inoltre, per lipotesi d), possono dipendere dallo stato termodinamico ma non direttamente dalla posizione. Se si assume che siano prevalenti i primi due termini della (2.9.1), cio` e Tij ` una funzione lineare di eij , si ha la sotto-classe dei Fluidi Newtoniani, e che qui di seguito consideriamo. Ricordando dal A.10 che i tensori isotropi del 2 ordine sono dati da ij per una costante scalare e quelli del 4 ordine da una combinazione lineare dei prodotti ij kl, il jk, e ik jl, si pu` scrivere: o

44

Pressione e tensione normale media

2.10

Tij

= A0 ij + A1 ij kl ekl + A2 il jk ekl + A3 ik jl ekl = A0 ij + A1 ij ekk + (A2 + A3 )eij = (A0 + A1 ekk )ij + A4 eij (2.9.3) (2.9.2)

Se si assumono per le ipotesi b) e d) A0 = p A1 = A4 = 2 (2.9.4)

dove p ` la pressione termodinamica e , sono coecienti di viscosit`, e a solitamente funzioni della temperatura, si ha Tij = (p + ekk )ij + 2eij (2.9.5)

che in assenza di moto verica lipotesi b). La (2.9.5) ` la relazione costitue tiva per un uido Newtoniano. Per uidi Stokesiani, pi` in generale, si deve considerare anche il terzo u termine della (2.9.1) e si hanno relazioni costitutive del tipo Tij = pij + eij + eik ekj (2.9.6)

2.10

Pressione e tensione normale media

Se si considera il tensore tensione viscosa ij la (2.9.5) si scrive Tij = pij + ij con ij = ekk ij + 2eij (2.10.2) (2.10.1)

La somma dei 3 valori sulla diagonale principale (traccia del tensore) per il tensore Tij ` data da: e

Tii = 3p + ij ed il valore medio

con

ij = (3 + 2)ekk

Tii 2 = p + + ekk 3 3

(2.10.3)

45

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a Per tensioni viscose nulle, cio` in assenza di moto o nellipotesi di uido e perfetto 1 1 p (2.10.4) p = Tij (T11 + T22 + T33 ) = 3 3 cio` la pressione termodinamica ` uguale alla tensione normale media p. e e Ci` ` ancora valido se (vedi (2.10.3)) si considera (Stokes) oe 2 = (2.10.5) 3 che ` una relazione molto particolare tra i due coecienti di viscosit`, valida e a in generale solo per gas monoatomici a bassa densit`, oppure per le (1.10.1), a (1.8.4) ekk = 0 (2.10.6)

cio` per uidi incompressibili ( = cost.)., In tal caso per` p, perdendo il suo e o signicato termodinamico, mantiene solo quello di tensione normale media. In generale per` dalla (2.10.3) o pp= 2 + ekk 3 (2.10.7)

dove + 2 ` il coeciente di viscosit` di massa (bulk viscosity) che e a 3 lega la tensione viscosa alla velocit` di variazione di volume. Ricordando a la (1.8.3) 2 pp= + 3 1 D Dt (2.10.8)

Si noti che lipotesi (2.10.5) annulla la viscosit` di massa, che pu` avere a o ha uninuenza rilevante.

2.11

Equazioni di Navier Stokes

Le relazioni costitutive illustrate nei paragra precedenti danno quelle ulteriori informazioni sul comportamento del uido, necessarie per la determinazione delle incognite (infatti laggiunta delle sei componenti (2.9.5) porta ad un bilancio tra numero di equazioni e numero di incognite. Le espressioni (2.9.5) di Tij si possono anche sostituire nelle equazioni di conservazione della quantit` di moto, ottenendo un sistema ad un numero a minore di equazioni anche se pi` complesse. u Considerando le (2.4.3) si calcola mediante la (2.9.5) Tij p = ij + xj xj xj uk xk xj 1 2 uj ui + xj xi

ij +

2

(2.11.1)

46

Condizioni al contorno

2.12

assumendo = cost. e = cost. si pu` ottenere una forma pi` compatta o u Tij p = + ( + ) xj xi xi sostituendo in (2.4.3) si ha Dui p + ( + ) = fi t xi xi uk xk 2 ui xj xj uk xk + 2 ui xj xj (2.11.2)

+

(2.11.3)

o in forma vettoriale a = fi grad p + ( + )grad div u + 2

u

(2.11.4)

che ` nota come equazione di Navier Stokes. e Se il uido ` incompressibile uk,k = 0 per la (1.8.4) e la (2.11.3) diviene e Dui p 2 ui = fi + Dt xi xj xj (2.11.5)

2.12

Condizioni al contorno

Il caso di contorno che separa il uido da un solido ` di particolare importane za nei problemi di uidodinamica. In generale il uido aderisce alle pareti solide con le quali viene a contatto per cui ui = Ui ovvero (Urel )i = ui Ui = 0 (2.12.1)

dove Ui ` la velocit` della parete solida. Alla relazione vettoriale (2.12.1) e a corrispondono le condizioni scalari urel n = 0 urel t = 0 con n, t normale e tangente al contorno nel caso piano indicato in Fig. 2.4. (2.12.2)

n

t

47

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantit` di moto a Per valori della densit` del uido molto piccoli, vi pu` essere una nona o aderenza completa allinterfaccia uido-solido cio` e urel t = 0 (2.12.3) queste condizioni si indicano col nome di slip conditions. La condizione di impermeabilit` della interfaccia solidouido, rimane sempre valida, a meno a di particolari condizioni di porosit` delle pareti con iniezione o sezione di a uido, per le quali urel n = 0 (2.12.4)

queste condizioni sono di particolare importanza per problemi di rareddamento di pareti, di distacco di strato limite, etc. Molto importante nei problemi di uidodinamica ` anche il caso di cone torno libero, cio` di interfaccia tra due uidi non miscibili tra loro, ad es. e liquidoliquido, liquidogas. In tal caso la congurazione geometrica del contorno libero, dipende dalla soluzione del campo di velocit` e di presa sione, e viene quindi denita insieme con questi. Denominando con (+) e (-) i due uidi, come nello schema di Fig. 2.5, si pu` scrivere come condizione o allinterfaccia [Tij nj ]+ = Hni (2.12.5)

dove [ ]+ indica la dierenza dei valori alla interfaccia della quantit` in a parentesi, ` la tensione superciale e e 1 1 + (2.12.6) R1 R2 con R1 e R2 raggi di curvatura della supercie di interfaccia in due piani ortogonali contenenti n. H=

n +

Nel caso di tensioni viscose trascurabili Tij nj = pni la (2.12.5) si riduce alla [p]+ = H (2.12.7)

48

Bibliograa che d` la congurazione di una supercie libera tra due uidi a a pressione ` in questo caso uniforme in ciascuno dei due uidi e e pressione costante lungo linterfaccia. Nel caso che anche la tensione superciale sia trascurabile, dalla (2.12.6) una condizione al contorno per la pressione alla libera (p)+ = (p)

2.12 riposo: la il salto di si ottiene supercie

(2.12.8)

Altre possibili condizioni al contorno per il campo uidodinamico verranno esaminate nello studio dei singoli problemi.

Bibliograa1. Slattery, J.C., Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua, McGraw-Hill, 1972. 2. Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. 3. Lai, W.H., Rubin, D., Krempl, E., Introduction to Continuum Mechanics, Pergamon Press, 1978. 4. Aris, R., Vector, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall, 1962. 5. Cowin, S.C., The Theory of Polar Fluids, Advances in Applied Mechanics, no. 12, Academic Press, 1972.

49

Capitolo 3

Termodinamica dei continui. Conservazione dellEnergia. Produzione di Entropia3.1 Equilibrio e non-equilibrio termodinamico

La termodinamica classica tratta generalmente stati di equilibrio o condizioni quasi statiche per le quali cio` non c` moto, non ci sono variazioni e e macroscopiche delle variabili considerate (es. temperatura) e in generale non ci sono forze applicate. Si assume cio` che il uido in condizioni di equilibe rio, ad esempio in un recipiente, abbia nel suo complesso un valore unico delle grandezze termodinamiche (pressione, temperatura, energia interna, entropia, . . . ) e che tra queste grandezze globali esistano delle relazioni come I e II principio. Se come ` necessario, nella descrizione di questi prine cipi, si considerano delle trasformazioni del uido, queste devono essere date da una successione di stati di equilibrio, per poter consentire la denizione delle variabili di stato termodinamico che sono denite allequilibrio. Per queste ragioni la termodinamica classica ` chiamata termostatica da alcuni e autori. I uidi, trattati nei precedenti capitoli come continui deformabili, hanno forze applicate, si muovono, presentano una variazione continua delle grandezze meccaniche che li caratterizzano (velocit`, densit` di massa, etc.), a a sono cio` chiaramente in condizioni di non-equilibrio termodinamico. Le ree lazioni della termodinamica classica non sono quindi sucienti per il loro studio, ma ` necessario estendere alle variabili di stato termodinamico il e concetto di campo adottato nora per le variabili meccaniche. Si passa dal recipiente con grandezze termodinamiche globali della termostatica ad un campo di tali grandezze, dove queste possono variare con continuit`. a Per ciascuna particella materiale, delle dimensioni di quelle considerate per la validit` della ipotesi di continuo, si pu` assumere un equilibrio locale a o

50

Energia Interna ed Entropia

3.2

termodinamico, che ci consente di denire le grandezze termodinamiche nel modo abituale, attraverso i concetti della meccanica statistica di equilibrio. Come visto per le grandezze meccaniche il campo di una qualsiasi variabile termodinamica si deve poter esprimere in funzione di x e t o di X e t a seconda del tipo di descrizione scelta. Questa estensione corrisponde a quella dalla meccanica del punto alla meccanica dei continui deformabili, operata da tempo per lo studio del moto dei uidi.

3.2

Energia Interna ed Entropia

Lenergia interna per unit` di massa U , che tiene conto dellenergia cinetia ca a livello microscopico (vedi App.3.A), viene assunta come variabile termodinamica primaria e potrebbe essere data, per quanto detto alla ne del paragrafo precedente, da U = g(x, t) = g[k , (X, t), t] = gk (X, t) cio` per ogni X e ogni t in funzione della mappa di moto gk , esattamente e come una variabile di tipo meccanico. In eetti lenergia interna, come variabile termodinamica, si pu` deo terminare indipendentemente da luogo, tempo, moto, per ogni particella materiale X; in funzione di: a) substato termodinamico: individuato da variabili di carattere mecca1 nico, per esempio la densit` , o il volume specico v = , per un a uido monocomponente; b) la variabile scalare entropia per unit` di massa S, dimensionalmente a indipendente dalle variabili di substato (M, L, T ), che tiene conto della storia termica della particella. Lintroduzione della variabile entropia consente di determinare lenergia interna indipendentemente dal moto della particella mediante la U = U (, S, X) (3.2.1)

che si chiama equazione calorica di stato e rappresenta una equazione costitutiva per lenergia interna. Se il uido ` termodinamicamente omogeneo, cio` la relazione funzionale e e ` la stessa per ogni particella X del uido, la (3.2.1) diviene e U = U (, S) (3.2.2)

Ovviamente ed S, che individuano lo stato termodinamico, saranno:

51

3

Termodinamica dei continui

S = S(x, t)

= (x, t)

e quindi U ` funzione dello stato termodinamico, e solo attraverso di esso e dello spazio e del tempo, cio` assume lo stesso valore, a pari valore di ad S, e indipendentemente dal percorso seguito dalla particella materiale in esame. Rappresentiamo lequazione calorica di stato (3.2.2) nel diagramma di Gibbs (g. 3.1)

U

A B

2 S2 , 2

1

S1 , 1 SLa relazione funzionale (3.2.2) ` rappresentata dalla supercie in gura, e unica per ogni uido termodinamicamente omogeneo. Se la particella X va dallo stato S1 , 1 al tempo t1 , allo stato S2 , 2 al tempo t2 , si ha una variazione di S e e corrispondentemente di U con il tempo. Il moto di X ` mappato in una curva sulla supercie energia. Se due moti diversi A e B, e portano allo stesso stato nale, la variazione di energia interna ` la stessa, e quindi U ` una funzione di stato e il suo dierenziale dU ` un dierenziale e e esatto. Nota U si possono denire: la temperatura = U S (3.2.3)

che misura la sensitivit` dellenergia interna a cambi di entropia a la pressione p= U v (3.2.4)

52

Energia Interna ed Entropia

3.2

che misura la sensitivit` dellenergia interna a cambi di volume specia co. Per una variazione dello stato termodinamico della particella X si ha dU = cio` e dU = dS pdv (3.2.6) U S dS +v

U v

dvS

(3.2.5)

nota come relazione di Gibbs. La temperatura e la pressione denite dalle (3.2.3) e (3.2.4), sono anchesse funzioni dello stato termodinamico come la U , e quindi si possono esprimere mediante le equazioni di stato = (S, ) p = p(S, )

(3.2.7) (3.2.8)

La variazione dU per una certa X espressa dalla (3.2.5) vale per qualunque percorso sulla supercie energia, in particolare per una curva su cui ` mappae to il moto reale della particella. In tal caso la variazione nel tempo, seguendo il moto, si esprime ( 1.4) mediante la derivata materiale (A.4.6) DU DS Dv = p Dt Dt Dt Per variazioni arbitrarie, cio` non seguendo il moto, si ha e nel tempo S v U = p t t t o nello spazio U S v = p (3.2.11) xi xi xi Se il uido non ` termodinamicamente omogeneo, cio` vale la U = e e U (S, , X) si ha rispettivamente: U t U xi S v U Xk p + t t Xk t S v U Xk p + xi xi Xk xi (3.2.10) (3.2.9)

= =

53

3

Termodinamica dei continui

dove gli ultimi termini danno la variazione dovuta alla non omogeneit` a termodinamica del uido, e sono nulli per uidi omogenei. Si assume che le relazioni fondamentali (3.2.2), (3.2.7), (3.2.8) che danno le equazioni di stato siano regolari, dierenziabili ad ogni ordine e invertibili per consentire di esprimere ogni variabile termodinamica in funzione delle altre. In particolare si utilizzeranno le

S = S(, ) = (, p)

(3.2.12) (3.2.13)

3.3

Conservazione dellenergia

Consideriamo ancora la parte di corpo Bn e la congurazione (Bn , t) che assume durante il moto. Facciamo quindi un bilancio denergia per Bn , cio` e per il uido contenuto in (Bn , t). Nel 2.2 per esprimere la conservazione della quantit` di moto, si ` visto che agiscono su Bn a e le forze di massa(Bn ,t)

f dV t(n) dS(Bn ,t)

e le forze di contatto

ambedue queste forze compiono un lavoro nellunit` di tempo, che va cona siderato nel bilancio di energia: f udV +(Bn ,t) (Bn ,t)

t(n) udS

Analogamente si pu` considerare il calore trasmesso allinterno, direto tamente al volume di uido (es. radiazione), indicando con Q il calore trasmesso per unit` di massa, a QdV(Bn ,t)

e quello trasmesso allinterno tramite la supercie di contorno hds(Bn ,t)

Questi contributi danno luogo ad una variazione nel tempo dellenergia nelle due forme di energia cinetica macroscopica e microscopica (o energia interna, vedi App.3.A) della particella di uido Bn

54

Equazione di Bernoulli

3.4

d dt

1 U + ui ui dV 2 (Bn ,t)

Riunendo i vari termini, lequazione di conservazione dellenergia risulta essere d dt 1 U + ui ui dV 2 (Bn ,t)

=(Bn ,t)

ui fi dV +(Bn ,t)

ui Tij nj ds (3.3.1)

+(Bn ,t)

hds +(Bn ,t)

QdV

Applicando il teorema di Green (A.15.2) agli integrali di supercie e il teorema di trasporto di Reynolds (1.8.5) al primo termine della (3.3.1), introducendo inoltre il vettore usso di calore entrante q = qi e(i) , tale che h = qi ni , si ottiene D Dt 1 U + ui ui 2 ui Tij qi + Q dV = 0 (3.3.2) xj xi

(Bn ,t)

ui fi

cio`, essendo (Bn , t) scelto arbitrariamente, deve essere, perch la (3.3.2) e e sia soddisfatta D Dt 1 U + ui ui 2 = ui fi + ui Tij qi + Q xj xi (3.3.3)

o in forma vettoriale D Dt 1 U + |u|2 2

= (u f ) + div (u T ) div q + Q

(3.3.4)

che ` la forma dierenziale dellequazione di conservazione dellenergia toe tale.

3.4

Equazione di Bernoulli

Se si sostituisce la (2.10.1) nel termine della (3.3.3) ui Tij xj pui ij ui ij + xj xj (3.4.1) = p ui ij ui p ui + xi xi xj

=

55

3

Termodinamica dei continui Per lequazione di conservazione della massa (1.8.3) ui 1 D D1/ = = xi Dt Dt (3.4.2)

mentre dalla denizione di derivata materiale (1.4.6) ui Dp p p = xi Dt t (3.4.3)

Sostituendo le (3.4.2) e (3.4.3) nella (3.4.1) si ottiene ui Tij Dp/ Dp p ui ij = + + xj Dt Dt t xj Se la forza f ` conservativa, per cui e fi = cio` in base alla (1.4.6) e fi ui = ui D + = xi Dt t (3.4.5) xi (3.4.4)

dove, se si assume che il potenziale della forza non dipenda dal tempo, = 0. t Sostituendo le (3.4.4) e (3.4.5) in (3.3.3) e raggruppando i termini del D( ) tipo si ha Dt D Dt 1 p U + ui ui + + 2 = Q + ui ij qi p + xj xi t

che ` una forma utile, perch facilmente integrabile, sotto le particolari e e ipotesi: a) campo di pressione stazionario cio` e p =0 t qi =0 xi

b) calore trasmesso nullo, nelle due forme descritte, cio` Q = 0, e c) lavoro delle forze viscose nullo, cio` e Con queste ipotesi infatti D Dt 1 p U + ui ui + + 2 =0 ui ij =0 xj

56

Altre forme dellequazione dellenergia e quindi 1 p H = U + ui ui + + = cost 2

3.5

(3.4.6)

per una particella materiale lungo il suo moto. Se il moto ` stazionario H e si mantiene costante lungo le linee di corrente. Il fatto che H ` costante lungo una linea di corrente per moto stazionario e di un uido non conducente e non viscoso (tale per cui sono rispettate le ipotesi a), b), e c)) ` noto come teorema di Bernoulli. Chiameremo in e generale equazioni alla Bernoulli la (3.4.6) e altre forme integrate di tipo analogo che ricaveremo in seguito.

3.5

Altre forme dellequazione dellenergia

A partire dalla (3.3.3) sviluppando le derivate dei prodotti (ui ui ) e (ui Tij ), aggregando i termini che compaiono nellequazione di conservazione della quantit` di moto (2.4.3) per i quali vale la a Tij D ui fi ui = 0 Dt xj

che rappresenta un bilancio dellenergia meccanica, si ottiene una forma pi` u semplice dellequazione di conservazione dellenergia (termica) DU ui qi = Tij + Q Dt xi xi

sostituendo Tij con la (2.10.1) ui DU ui qi = p + ij + Q Dt xi xj xi

e tenendo conto della conservazione di massa (3.4.2) si ottiene DU D1/ +p Dt Dt = ij ui qi + Q xj xi (3.5.1)

Se si introduce lentalpia h = u + p/ da cui Dh DU 1 Dp D1/ = + +p Dt Dt Dt Dt e sostituendo nel primo termine della (3.5.1) Dh Dp ui qi = ij + Q Dt Dt xj xi (3.5.2)

che ` lequazione dellenergia in forma entalpica. Introducendo h, lequazione e di Bernoulli (3.4.6) si scrive

57

3

Termodinamica dei continui

1 H = h + ui ui + = cost 2

3.6

Bilancio di entropia

Se si introduce la variazione di entropia mediante la relazione di Gibbs nella forma (3.2.9) nellequazione dellenergia (3.5.1) si ha DS qi ui + Q = ij Dt xj xi (3.6.1)

Dividendo per e sostituendo qi 1 qi qi = + 2 xi xi xi la (3.6.1) diviene ij ui DS qi qi Q = 2 + Dt xj xi xi (3.6.2)

Ripassando a una forma integrale mediante lapplicazione del teorema di Green e del trasporto di Reynolds in senso inverso a quanto fatto nora d dt qi ni ds + ij ui qi 2 xj xi

SdV(Bn ,t)

= (Bn ,t)

dV

(Bn ,t)

(3.6.3) Q + dV (Bn ,t) che esprime il bilancio di entropia per la parte di corpo Bn , con il seguente signicato sico dei termini dellequazione (3.6.3) d dt SdV(Bn ,t)

variazione dellentropia nel tempo usso di entropia attraverso la supercie di

qi ni ds (Bn ,t) contorno

ij ui qi 2 dV = P produzione locale di en xj xi (Bn ,t) tropia dovuta a gradienti di temperatura e di velocit` (nellunit` di a a tempo) Q dV sorgente di entropia dovuta a calore trasmesso diretta(Bn ,t) mente al volume di uido

58

Relazione costitutiva per il usso di calore qi

3.7

Portando a primo membro i termini di usso e sorgente di entropia, si ha la seguente forma del bilancio di entropia d dt qi ni dS Q dV = P

SdV +(Bn ,t) (Bn ,t)

(Bn ,t)

(3.6.4)

A questo punto si pu` procedere in due modi sostanzialmente diversi: o 1. Assumere come valido il 2 principio della termodinamica, in particolare nella forma di diseguaglianza di Clausius-Duhem per la quale dalla (3.6.3) deriva che deve essere P0 e da questa assunzione ricavare le relazioni tra ij e cio` le relazioni costitutive di ij e qi e e (3.6.5) ui e tra qi e xj xi

cio` le relazioni costitutive e xi di ij e qi tali che verichino sempre la (3.6.5) oppure:

2. Ricavare mediante considerazioni di tipo logico-meccanico ( 2.7) le relazioni costitutive, come gi` fatto per Tij nel 2.8, e dedurre, dalla a loro sostituzione nel termine produzione di entropia, che P 0 sempre, da cui risulta come conseguenza la disuguaglianza di Clausius-Duhem e quindi il secondo principio della termodinamica. Qui seguiremo il procedimento schematizzato al punto 2. A tale scopo, prima di valutare il termine P ` necessario ricavare la relazione costitutiva e per il usso termico qi , essendo quella per ij data dalla (2.10.2).

3.7

Relazione costitutiva per il usso di calore qi

Gli assiomi illustrati nel 2.7 si possono utilizzare nel modo seguente: il principio di determinismo si pu` soddisfare assumendo che il vettore o qi dipende solo dalla distribuzione attuale di temperatura nel uido; il principio di azione locale ` soddisfatto se si assume che qi in un punto e dipende solo dalla temperatura in quel punto e dal suo gradiente Entrambi questi principi sono soddisfatti se si assume qi = H , xi (3.7.1)

59

3

Termodinamica dei continui

Un cambiamento di riferimento opera nella stessa maniera sui vettori qi , mentre , essendo uno scalare ` di per s` indierente a un cambio e e e xi di riferimento. Quindi la relazione (3.7.1) per soddisfare il principio di indierenza al sistema di riferimento pu` essere espressa in generale mediante o una relazione tensoriale del tipo (vedi 2.9) qi = A + Aij + Aijk ... xi xj xj xk (3.7.2)

dove i tensori A , A , A dipendono da e sono isotropi se il materiale ` e isotropo. In tali condizioni, limitandosi ai primi due termini di (3.7.2) e ricordando la forma dei tensori isotropi del secondo ordine si ha qi = A() + B()ij = C()ij xi xj xi

che coincide con la legge di Fourier abitualmente espressa nella forma qi = K() xi (3.7.3)

dove il segno negativo tiene conto del fatto che il calore uisce da parti del corpo a maggiore a parti a minore.

3.8

Produzione di entropia

Se si sostituiscono le equazioni costitutive di ij (2.10.2) e di qi (3.7.3) nella espressione della produzione locale di entropia nellunit` di tempo e per a unit` di volume che dalla (3.6.5) risulta essere a ij ui qi 2 xj xi (3.8.1)

si pu` dedurre che questo termine ` sempre positivo. Infatti il primo tero e mine, proveniente dal lavoro delle tensioni viscose, ricordando la (1.10.2) si esprime: ij (eij + ij ) nellipotesi di uido non-polare, per il quale ij ` un tensore simmetrico, e essendo ij antisimmetrico, si verica facilmente che ij ij = 0 e pertanto rimane solo il contributo del termine ij eij = (ekk ij + 2eij ) eij

60

Produzione di entropia dove si ` sostituita la (2.10.2). Si pu` notare che e o ij eij = ekk eii + 2eij eij

3.9

(3.8.2)

` dato da una somma di termini quadratici ed ` pertanto sempre positivo e e in valore. Dal punto di vista sico ci` corrisponde ad una dissipazione delo la energia meccanica data dal lavoro delle tensioni viscose, a cui consegue sempre un aumento di entropia. La (3.8.2) si pu` esprimere mediante gli invarianti scalari I1 , I2 del teno sore velocit` di deformazione (A.9.6) con a2 eij eij = I1 2I2

eii = I1

da cui2 ij eij = ( + 2) I1 4I2 0

(3.8.3)

` il simbolo con cui spesso si indica questo termine, sempre positivo, di e dissipazione viscosa. Il secondo termine della (3.8.1), proveniente dal calore di conduzione, ricordando la (3.7.3) si esprime qi k() =+ 2 0 2 x xi xi i

anche questo termine ` dato da una somma di termini quadratici ed ` pertane e to sempre positivo in valore. Risulta quindi dimostrato che, per le relazioni costitutive adottate, il termine di produzione locale di entropia ` sempre e positivo, per cui dalla (3.6.4) risulta d dt qi ni dS Q dV 0

SdV +(Bn ,t) (Bn ,t)

(Bn ,t)

(3.8.4)

che corrisponde alla diseguaglianza di Clausius-Duhem e quindi al secondo principio delle termodinamica classica. Se si assume che viscosit` e cona ducibilit` termica sono trascurabili (Ip. uido perfetto), ne consegue che il a termine P = 0 per cui nella (3.8.4) vale il segno uguale. Si dice in tale caso che il processo ` reversibile, se anche Q = 0 lentropia della parte di corpo e Bn rimane costante durante il moto, cio` dalla forma dierenziale (3.6.2) si e ottiene DS =0 Dt che corrisponde ad unevoluzione isentropica.

61

3

Termodinamica dei continui

3.9

Equazione dellenergia in termini di temperatura

Se si vuole assumere come variabile la temperatura di pi` diretto interesse u nei problemi uidodinamici, a partire dalla relazione costitutiva (3.2.12), si esprime il dierenziale esatto dS come dS = S d +v

S v

dv

che sostituita nella relazione di Gibbs (3.2.6) d` a dU = S d + v

S v

p dv

Ricordando la denizione di calori specici a volume e pressione costante cv = S cp = v

S

(3.9.1)p

e considerando la variazione di U nel tempo seguendo il moto della particella (3.2.9) si ottiene DU D = cv + Dt Dt p p v

Dv Dt

(3.9.2)

dove si ` anche sostituita la relazione di Maxwell e S v ricavata in App. 3.B. Dalla (3.9.2) D1/ D DU + p = cv + Dt Dt Dt p v

=

p

v

D1/ Dt

che sostituita nella equazione di conservazione dellenergia nella forma (3.5.1) d` a cv D ui = Dt xi p v

qi ui + ij + Q xi xj

dove si ` anche tenuto conto della (3.4.2). e Per uido incompressibile, sostituendo la (3.7.3) e la (3.8.3) si ottiene la formulazione pi` comunemente usata u D =+ k + + Q Dt xi xi Se si parte dalla equazione di conservazione dellenergia in termini di entalpia (3.5.2) e procedendo analogamente, ma esprimendo cv

62

Le equazioni globali della termodinamica classica

3.10

dS =

S

d +p

S p

dp

e sostituendo, tenendo conto di (3.9.1)

dh = dS + vdp = S d +p

(3.9.3) S p v dp + vdp

= cp d + 1

v

vdpp

(3.9.4)

dove si anche sostituita laltra relazione di Maxwell ricavata in App.3.B S p =

v

p

Considerando a partire dalla (3.9.4) la variazione di h nel tempo e inserendola nella (3.5.2) si ha D = Dt v v Dp ui qi + ij + Q Dt xj xi

cp

p

e denendo il coeciente di espansione termica = 1 v v

p

cp

D Dp = + + k + Q Dt Dt xi xi

(3.9.5)

3.10

Le equazioni globali della termodinamica classica

Le equazioni della termodinamica classica si possono ottenere dalla precedente trattazione ipotizzando uno stato di equilibrio termodinamico, caratterizzato dalla assenza, a livello macroscopico, di moto e di variazione spaziale delle variabili considerate.

63

3

Termodinamica dei continui

Sotto questa ipotesi, riesprimendo la (3.5.1) in forma integrale ed eliminando i termini nulli, si ottiene mediante una doppia integrazione nel tempo e su un volume v sso nel tempot1 t0

d dt

t1

U dVv

dt +t0

p

d dt

1 dV v

t1

dt =t0 v

QdV

dt (3.10.1)

Denendo le grandezze globalit1

U=v

U dV

V=v

dV

Q=t0 v

QdV dt (3.10.2)

si ha per una variazione t nel tempo, cio` per t1 = t0 + t e U + pV = Q (3.10.3)

che ` lespressione comunemente adottata per il primo principio della tere modinamica. Procedendo analogamente a partire dalla (3.6.3) denendo S=v

SdV

(3.10.4)

si ottiene Q =0 (3.10.5) Se si considera la possibilit` che i termini della (3.6.3) contenenti graa dienti e quindi il termine produzione di entropia P, denito in (3.6.5) non siano nulli (pur in contrasto con lipotesi base di equilibrio termodinamico) e ricordando che P, se non ` nullo, ` sempre positivo per la (3.8.4) si ha e e S Q 0 (3.10.6) cio` la diseguaglianza di Clausius-Duhem, che rappresenta analiticamente e il secondo principio della termodinamica, e corrisponde alla forma integrale (3.8.4) prima ricavata nel caso pi` generale. u S

Bibliograa1. Truesdell, C., Toupin R.A., The Classical Field Theories, in Handbuch der Physik (ed. S. Flgge), vol. 3/1, Springer Verlag, 1960. u 2. Slattery, J.C., Momentum, Energy and Mass Transfer in Continua, McGraw-Hill, 1972.

64

Bibliograa

3.10

3. Vincenti , W.G., Kruger, C.H., Introduction to Physical Gas Dynamics, John Wiley & Sons, 1965. 4. Serrin, J., Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, in Handbuch der Physik (ed. S. Flgge), vol. 8/1, Springer Verlag, 1959. u 5. Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. 6. De Groot, S.R., Mazur, P., Non-Equilibrium Thermodynamics, NorthHolland Publishing Co., 1962. 7. Ziegler, H., An Introduction to Thermodynamics, North-Holland Publishing Co., 1977. 8. Prigogine, Introduction to thermodinamics of irreversible processes, Interscience Publ., 1955.

Appendice 3.A - Energia Interna U a livello microscopicoSi consideri una particella materiale P del continuo, composta a livello microscopico di N molecole uguali di massa m. La massa totale di P ` e H = N m. Le N molecole sono indicate con un numero con = 1, . . . , N (descrizione materiale) e per le velocit` si assume: a u ( ) = u + u ( ) con u ( u u( ) ) (3.A.1)

velocit` della -esima molecola a velocit` media dinsieme per la particella pateriale P (cio` la velocit` a e a che si ` nora considerata) e velocit` di agitazione termica della -esima molecola a

da queste denizioni risulta: 1 u= NN N

u ( )=1

(3.A.2)

u( )=0=1

(3.A.3)

Lenergia cinetica della particella si esprime conN

E==1

1 m [u ( ) u ( )] = 2

N =1

1 m |u|2 + |u ( )|2 + 2u u ( ) 2

(3.A.4)

65

3

Termodinamica dei continui Tenendo conto solo dellenergia cinetica traslazionale per la (3.A.3) 1 N m|u|2 + 2N =1

E =

1 m|u ( )2 | 2 (3.A.5)

1 M |u|2 + M U 2 avendo denito lenergia interna U per unit` di massa con a =N

U==1

1 m|u ( )|2 2 Nm

(3.A.6)

che d` una misura dellenergia cinetica a livello microscopico, una volta a detratta lenergia cinetica dinsieme della particella P. Lenergia per unit` di volume da considerare nella (3.3.1) ` data da a e E = V 1 2 |u| + U 2 (3.A.7)

Appendice 3.B - Relazioni di MaxwellSi ricordano brevemente le relazioni di Maxwell e la loro derivazione a partire dalle diverse funzioni termodinamiche di stato. Se si considera lenergia interna U si ha per la relazione di Gibbs dU = dS pdv che essendo un dierenziale esatto soddisfa la condizione v =s

(3.B.1)

p s

(3.B.2)v

Se si considera lentalpia h = U + pV si ha

dh = dU + pdV + V dp = dS + V dp per la (3.B.1) e quindi per la medesima condizione p =s

(3.B.3)

V s

(3.B.4)p

66

Bibliograa

3.10

Se si considera lenergia libera di Helmohltz denita come A = U dS si ha

dA = dU dS Sd = pdV Sd e quindi p =v

(3.B.5)

S V

(3.B.6)

Se si considera lenergia libera di Gibbs (o entalpia libera) denita come G = h S si ha dG = dU + pdV + V dp dS Sd e per la (3.B.1) = V dp Sd da cui V =p

(3.B.7)

S p

(3.B.8)

Le (3.B.2), (3.B.4), (3.B.6), (3.B.8) sono note come relazioni di Maxwell.

67

Capitolo 4

Sistema completo di equazioni per la soluzione di campi uidodinamici4.1 Equazioni

Si richiamano qui le equazioni, nella loro forma pi` generale, ricavate nei u capitoli precedenti. Per comodit` di lettura si rinumerano le equazioni a Equazione di conservazione della massa: ui + =0 t xi Equazione di conservazione della quantit` di moto: a Tij ui ui uj + = fi + t xj xj

(4.1.1)

(4.1.2)

e si assume per Tij la relazione costitutiva valida per uidi newtoniani Tij = pij + ij = (p + ekk )ij + 2eij e si sostituisce nella (4.1.2), si ottiene per e costanti (4.1.3)

p uk 2 ui ui ui uj + = fi + ( + ) + t xj xi xi xk xj xj

(4.1.4)

68

Equazioni Equazione di conservazione dellenergia1 D DU +p Dt Dt

4.2

= ij

ui qi DS + Q = xj xi Dt

(4.1.5)

con qi usso di calore che pu` essere dato dalla relazione costitutiva o (Fourier) qi = K xi (4.1.6)

nella variabile si pu` esprimere nella forma o cv D ui = Dt xi p v

qi ui + ij + Q xi xj

(4.1.7)

oppure a partire dalla forma entalpica cp con 1 V V S S v (4.1.9) D Dp qi ui = + ij + Q Dt Dt xi xj (4.1.8)

=

cp = p

cv = p

Equazione calorica di stato U = U (S, ) o sue equivalenti = (S, ), p = p(S; ), U = U (, ) Relazioni termodinamiche per i coecienti di conduzione termica e viscosit` a k = k(S, ) = (S, ) = (S, ) Se si assumono come incognite le variabili p, ui , , , considerando come gi` sostituite le relazioni (4.1.9) e (4.1.11), si hanno a disposizione le equazioni (4.1.1), a (4.1.4), (4.1.7 o 4.1.8) e (4.1.10). Si hanno cio` 6 incognite e 6 equazioni e e il sistema pertanto ` chiuso. e (4.1.11) (4.1.10)

69

4 Sistema completo di equazioni per la soluzione di campi uidodinamici

4.2

Metodi di soluzione

Il sistema completo di equazioni descritto nel paragrafo precedente ` risolvie bile analiticamente solo in alcuni casi particolari molto semplici e con ipotesi molto restrittive. Vedremo in seguito alcune di queste soluzioni esatte. In generale si pu` risolvere il sistema con metodi numerici, ma, dao ta la sua complessit`, anche questi presentano molte dicolt` e limiti di a a vario genere. E quindi necessario, anche se si adottano soluzioni numeriche, provvedere a semplicazioni del sistema generale, trascurando ove possibile i termini meno importanti, a seconda del caso in esame, e individuando le condizioni limite per le quali le equazioni si possono semplicare in modo signicativo. Lo studio dei campi uidodinamici si aronta in generale attraverso una composizione di questi casi limite (es. usso potenziale + strato limite + urto, . . . ) o mediante soluzioni numeriche del sistema completo, che tengano per` conto della esistenza locale di tali condizioni. Alle volte ` suciente o e trovare una soluzione per una particolare condizione limite e per una particolare zona del campo e non ` necessario n` ricomporla con altre, n` arontare e e e soluzioni pi` complesse. Le condizioni limite cui si ` sopra accennato sono u e pi` facilmente individuabili mediante unanalisi dimensionale delle equazioni u del sistema.

4.3

Forma adimensionale delle equazioni

Le equazioni in tale forma, con lintroduzione dei gruppi o parametri adimensionali, hanno una notevole importanza in quanto facilitano:

a) la semplicazione matematica delle equazioni. La soppressione di alcuni termini pu` anche modicare il tipo di equazione come si vedr` o a in seguito (es. da ellittica a parabolica) b) la corretta similitudine sperimentale, cio` la conduzione di esperimenti e validi per diverse condizioni siche, ma a parit` di valore del o dei a parametri adimensionali pi` rilevanti nel caso sico in esame; u c) laccuratezza delle soluzioni numeri