Lattice Boltzmann: metodi cinetici per la fluidodinamica · fluidodinamica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI...

Lattice‐Boltzmann: metodi cinetici per lafluidodinamica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDIDI CASSINO E DEL LAZIO MERIDIONALE

‐

fluidodinamica

Università di Cassino

26 giugno 2015

Prof. Stefano Ubertini

XXX CORSO DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE, MECCANICA E BIOMECCANICA

FLUIDODINAMICA

• Fluidodinamica = studio della dinamica dei fluidi

• Osservazione = fluido come mezzo continuo caratterizzato da proprietà cinematiche (velocità) e termodinamiche

Università di Cassino26 Giugno 2015

Il Metodo LBMProf. Stefano Ubertini

2

e termodinamiche• Problema fluidodinamico = risoluzione di equazioni (modello matematico) per determinare le proprietà del fluido (velocità, pressione, densità e temperatura) in funzione dello spazio e del tempo.

IPOTESI DEL CONTINUO

• Ipotesi del continuo = fluido come un continuo– Le proprietà intensive del fluido (densità, temperatura, pressione, velocità) definite ad una scala di lunghezze infinitesima ⇒ variano con continuità da un punto ad un altro.

• Fluidi = composti da un numero elevato (pur • Fluidi = composti da un numero elevato (pur sempre discreto) di molecole che possono collidere tra loro o con corpi solidi.– La natura molecolare, discreta, del fluido viene ignorata.

– Kn=λ/L<<1 (libero cammino medio / lunghezza caratteristica)



3

MODELLO MATEMATICO

• Principi fisici (imposta la condizione di continuo deformabile)– principio di conservazione della massa (equazione di continuità);

– secondo principio della dinamica (bilancio della – secondo principio della dinamica (bilancio della quantità di moto);

– primo principio della termodinamica (conservazione dell'energia).

• Equazioni di “bilancio” dette equazioni di Navier-Stokes



4

MODELLO MATEMATICO



5

SIMULAZIONE FLUIDODINAMICA (CFD)

MODELLO MATEMATICO

(EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI)

OSSERVAZIONE: PRINCIPI FISICI

APPROSSIMAZIONE DISCRETA (SPAZIO E TEMPO)

(DIFFERENZE FINITE, VOLUMI FINITI, ELEMENTI FINITI)

RISOLUZIONE NUMERICA



6

MODELLAZIONI FLUIDI

MACROSCOPICOMACROSCOPICO MICROSCOPICOMICROSCOPICO

INSIEME DI

MOLECOLEINSIEME DI

MOLECOLE

DINAMICA

MOLECOLARE

IPOTESI DEL

CONTINUO

EQUAZIONI

NAVIER-STOKES



7

MOLECULAR DYNAMICS

• Dinamica molecolare = N molecole interagenti l’una con l’altra si muovo all’interno del dominio

• Assunzione=molecole puntiformi ⇒ leggi della puntiformi ⇒ leggi della dinamica

N~Numero di Avogadro=6,023x1023( )

NiFdt

vmd

vdt

dx

i

ii

ii

,......,1:,=

=



8

DINAMICA ESATTA NECESSARIA?

• Abbiamo bisogno di conoscere la dinamica esatta di ogni molecola per descrivere il comportamento di un fluido?Assolutamente NOAssolutamente NO

• Le varabili fisiche a cui siamo interessati • Le varabili fisiche a cui siamo interessati risultano dalla mediamedia del comportamento di un grande numero di molecolegrande numero di molecole

• Similitudine dinamica: Re ⇒ due fluidi differenti a parità di Re si comportano “macroscopicamente” allo stesso modo



9

MODELLAZIONI FLUIDI

MACROSCOPICOMACROSCOPICO MICROSCOPICOMICROSCOPICO

INSIEME DI

MOLECOLE

MESOSCOPICOMESOSCOPICO

INSIEME DI

MOLECOLE

INSIEME DI

MOLECOLE

DINAMICA

MOLECOLARE

NO DETTAGLI

STATISTICA

TEORIA CINETICA

EQ. BOLTZMANN

IPOTESI DEL

CONTINUO

EQUAZIONI

NAVIER-STOKES



10

FILOSOFIA METODI CINETICI

o Risolvere il campo fluidodinamico macroscopico con un approccio mesoscopico (tra micro and macro) cinetico mesoscopico (tra micro and macro) cinetico cheche “preserva” i preserva” i

principi di conservazioneprincipi di conservazione

Approccio statistico (proprietà=media statistica)

),,( tcxffrr

=

Funzione distribuzione o popolazione = Probabilità di trovare una molecola attorno alla posizione dello spazio x al tempo t con una certa velocità c



11

BOLTZMANN EQUATION (BE)

o 1872: Equazione di Boltzmann (evoluzione di f in termini delle interazioni microscopiche)

Qfcft =∇⋅+∂

• La densità delle particelle in una certa posizione dello spazio varia perché le particelle interagiscono: operatore di collisione

• Velocità delle particelle ≠ Velocità fluido

( ) ),,(:,,,,: tcxffBEtxuTPNSrrr

=ρ



12

LATTICE BOLTZMANN EQUATION

NiQfcf iiiit ,0==∇⋅+∂

Spazio delle velocità Spazio delle velocità ridotto ad un numero discretonumero discreto: in ogni punto dello spazio le particelle possono muoversi solo lungo alcune direzioni

“Real” microdynamics Fictive microdynamics on a lattice“Real” microdynamics Fictive microdynamics on a lattice

2D 9-bit model (D2Q9)



13

DISCRETIZZAZIONE SPAZIO VELOCITÀ

La scelta non è arbitraria!!



14

MODELLI “LATTICE”


Spazio delle velocità Spazio delle velocità ridotto ad un numero discretonumero discreto: in ogni punto dello spazio le particelle possono muoversi solo lungo alcune direzioni

o Ci sono molti differenti schemi per problemi 2D e 3D

o Magic speeds!: 2D→9 velocities (D2Q9) N

S

EW

NW NE

SW SE

3D →19 velocities (D3Q19)



15


OPERATORE DI COLLISIONE

o L’operatore di collisone descrive l’interazione tra le molecole e la probabilità che due o più particelle si trovino nell’intorno della stessa posizione allo stesso istante tistante t

o Lo stesso Boltzmann partì non solo dall’assunzione che la collisione fosse binaria localizzata ⇒ Q=Q(f,f) ma anche dalla non-correlazione tra due molecole che collidono (“caos” molecolare)



16

COLLISIONE – EQUILIBRIO LOCALE

( )La collisione definisce il “rilassamento” all’equilibrio“rilassamento” all’equilibrio

EQUILIBRIO LOCALEEQUILIBRIO LOCALE⇒ feq

Annulla l’operatore di collisione Q(feq,feq)=0

( )uffeq ,ρ→

feq è una funzione delle grandezze macroscopiche in modo da conservare conservare

massa, quantità di moto e energia massa, quantità di moto e energia ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ distribuzione Maxwelldistribuzione Maxwell--

BoltzmannBoltzmann



17

FROM LBE TO BGK

Operatore di collisione

1 ( )1

Qi f( ) ⇒ Aij fi − fieq( )

j=1

n

∑

ijij δτ

A1

→ ( )eq

iiiit ffτ

fcf −−=∇⋅+∂1

BGKBGK (Bhatnagar-Gross-Krook) [PHYS.REV. 94, 511, 1954]: Relaxation to equilibrium on a single time-scale τ



18

COLLISIONE – EQUILIBRIO LOCALE

EQUILIBRIO LOCALEEQUILIBRIO LOCALE⇒ feq

Nel 1860 Maxwell dimostrò statisticamente che un sistema collisionale nonsoggetto a forze esterne è all’equilibrio spazialmente omogeneo con distribuzione sulle velocità del tipo:

−−=

RTRTf

eq

2

u)(eexp

2

2

π

ρ

T

RTRT 22π



19

DISTRIBUZIONE MAXWELL-BOLTZMANN

0.0025

0.003

0.0035

0.004

Fra

cti

on

of

Mo

lec

ule

s

98 K

198 K

298 K

398 K

498 K

598 K

−−=

RTRTf

eq

2

u)(eexp

2

2

π

ρ

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 500 1000 1500 2000

Speed (m/s)

Fra

cti

on

of

Mo

lec

ule

s

598 K



20

MODELLO D2Q9

21 sc/=β

Distribuzioni di equilibrio: espansione al 2° ordine nellavelocità di Maxwell-Boltzmann:

( )[ ]

−⋅+⋅+= 22

21 uucucwf iii

eq

i

rrrr ββρ

w

4/9 i = 0

= 1/9 i = 1, 3, 5, 7

Set of discrete speeds ci (D2Q9):

( )[ ] ( )( )[ ] ( )

=−+

=−=

8,4254cos2

4,021cos

ii

iici ππ

πr

3

1=sc

weighting factor iw = 1/9 i = 1, 3, 5, 7

1/36 i = 2, 4, 6, 8



21

MODELLI D3….

( )[ ]

−⋅+⋅+= 22

21 uucucwf iii

eq

i

rrrr ββρ



22

DA BGK A NAVIER-STOKES

f1

f2

f3

f5f6

f7 f8

f0

nfff ,....,, 21

f4

uTPv

,,,ρ



23

DA BGK A NAVIER-STOKES

o Si dimostra con l’espansione di Chapman-Enskong che si possono derivare le equazioni di Navier-Stokes a partire da LBGK fino al 2° ordine in Kn (e Ma)

o Come calcoliamo le variabili macroscopiche a partire dalle f?:

∑∑∫ ===i

eq

i

i

C

iffcdfρ

eq∑∑∫ ===111r

τυ 2

sc=

i

i

eq

i

i

i

C

cfcfcdcfui∑∑∫ ===

ρρρ

111r

o La pressione si ottiene dall’equazione di stato

2

scddP ⋅= ρ

o LBGK standard: Navier-Stokes isoterme e pocopoco--comprimibilicomprimibili 1<<Ma



24

( )eq

iiiii ffτ

ttxftttcxf −

∆−=−∆+∆+ ),(),(

BGK DISCRETA

1° COLLISION

ict

x=

∆

∆( )eq

iiiit ffτ

fcf −−=∇⋅+∂1

1° COLLISION

( ) ( )ttxftttcxfiii ∆+=∆+∆+ ,, * rrr

2° STREAMING

( ) ( )[ ] τ/,,),(),(*txftxfttxfttxf

eq

iiii

rrrr−∆−=∆+



25

ict

x=

∆

∆

STANDARD BGKN

S

EW

NW NE

SW SE



26

STANDARD BGK

9-speed model (D2Q9) 7-speed model (D2Q7)



27

BGK DISCRETA E’ MODELLO

( )τ

),(),(),(),(

txftxfttxftttcxf i

eq

iiii

−∆=−∆+∆+

1<<Ma

∆−=

2

2 tcs τυ

∑=i

ifρ

i

i

cfui∑=

ρ

1r



28

COSTRUZIONE DEL CODICE

• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1⇒c=1

( )2

13

21

Re2 −

=−∆

==ττυ

uL

tc

uLuL

s

ict

x=

∆

∆

τk

eq

kkkk

fftxftcxf

−=−++ ),()1,(

22



29


• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia



30

MODELLO DI VELOCITÀ

2

13

6 5

i,ji+1,j

i-1,j+1i+1,j+1

i-1,j

i,j+1

47 8

i+1,j

i+1,j-1i-1,j-1

i-1,j

i,j-1



31



• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio

( ) ( )8,....,0

),(2

3),(

2

9),(31),(,

22

=

−•+•+=

k

jiujiucjiucjiwjif kkk

eq

k

rρ



32



• Inizializzo il campo fluidodinamico (in f, ρ, u)• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione



33

FASE DI COLLISIONE

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )jitjiftjif

tjiftjif k

eq

kkk ,

,,,,,,1,,* ∀

−+=+

τ

i-1,j+1i+1,j+1

i,j-1

i,ji+1,j

i+1,j-1i-1,j-1

i-1,j

i,j-1

Locale!!!i

j



34



• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming



35

FASE DI STREAMING

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]1,,1,1,1

1,,1,1,

1,,1,,1

1,,1,1,

1,,1,,1

*

5

*

4

*

33

*

22

*

11

4

+=+++

+=+−

+=+−

+=++

+=++

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif 2

4

13

6 5

7 8

i-1,j+1i+1,j+1

i,j+1

( )[ ] ( )[ ]M

1,,1,1,15 5+=+++ tjiftjif

i,ji+1,j

i+1,j-1i-1,j-1

i-1,j

i,j-1



36

FASE DI STREAMING

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]1,1,11,,

1,1,1,,

1,,11,,

1,1,1,,

1,,11,,

*

5

*

4

*

33

*

22

*

11

4

+−−=+

+−=+

++=+

+−=+

+−=+

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

i-1,j+1i+1,j+1

i,j+1

2

4

13

6 5

7 8

Università di Napoli Federico II22 Aprile 2008


37

( )[ ] ( )[ ]M

1,1,11,,5 5+−−=+ tjiftjif

i,ji+1,j

i+1,j-1i-1,j-1

i-1,j

i,j-1



• Inizializzo il campo fluidodinamico

Università di Napoli Federico II22 Aprile 2008


38

• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming• Calcolo grandezze fluidodinamiche P,ρ,ux,uy

CAMPO FLUIDO

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]1,,1,,

11,,

1,,1,,

8

0

,

8

0

++

=+

+=+

∑

∑

=

=

tjifctji

tjiu

tjiftji

k

kxkx

k

k

ρ

ρ

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]3

1,,1,,

1,,1,,

11,,

1,,

8

0

,

0

+=+

++

=+

+

∑=

=

tjitjiP

tjifctji

tjiu

tji

k

kyky

k

ρ

ρ

ρ



39



• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming• Calcolo grandezze fluidodinamiche P,ρ,ux,uy



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CONDIZIONI AL CONTORNO

• Una delle principali difficoltà nella risoluzione numerica di problemi di flusso di fluidi è il trattamento delle condizioni al contorno

• In genere note in funzione di pressione e velocità ⇒ per le f?velocità ⇒ per le f?

• Un vantaggio per LBM è la semplicità delle condizioni al contorno.

• La più nota (anche se non la più utilizzata) è la condizione bounce-back (più spesso la half-way bounce-back)



41

CONDIZIONI AL CONTORNOBOUNCE BACK

i,j i+1,j

i-1,j+1i+1,j+1

i-1,j

i,j+1 2

4

13

6 5

7 8

• Collisione calcolata con u

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]1,,1,,

1,,1,,

1,,1,,

*

86

*

75

*

42

+=+

+=+

+=+

tjiftjif

tjiftjif

tjiftjif

• Collisione calcolata con uwall• Osserviamo che al tempo successivo le popolazioni che erano entrate nel nodo di parete torneranno verso i nodi da cui provenivano ⇒ sono stati respinti indietro dal muro ⇒ da qui il nome “bounce-back”



42

oo D2D2--Q9 Q9 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒SQUARE LATTICE SPACINGSQUARE LATTICE SPACING

ON Solid Body

GRIGLIA REGOLARE

Grid points

OFF



43

BOUNDARY CURVI

• Trattamento dei boundary curvi con misto interpolazioni/bounce-back



44

FLUSSO CILINDRO



45

RISULTATI



46

INFITTIMENTO

• LBM utilizza griglie cartesiane ⇒ infittimento della griglia utilizzando griglie regolari via via più piccole⇒ passaggio coarse-fine con interpolazioni



47

GRID REFINEMENT

• Infittimento nelle zone di interesse



48

RISULTATI



49

RISULTATI



50

RISULTATI



51

GRIGLIE AUTOADATTATIVE



52

MODELLI DI COLLISIONE AVANZATI

• Schema BGK: unico parametro di rilassamento τ ⇒instabilità numerica ad alti Re e con alti gradienti di pressione/velocità

• Maggiore stabilità (alti Re)– Multiple-relaxation (MRT)– Multiple-relaxation (MRT)

– Entropici (teorema H)

– Positivity enforcing (tecnica numerica)

( ) ( )∑=

−⇒b

j

eq

iiiji ffAfQ1



53

ENTROPICO

• Basato sul teorema H di Boltzmann: il sistema evolve verso la massima entropia ⇒ l’equilibrio locale è individuato dal minimo della funzione H≡-S

( ) ( ) ( )[ ] ( )=−+⇒= ∫ :min,,ln,, α fHfffHHcdtcxftcxfHeq

( ) ( )[ ]

−∆=

∆+−∆++=∆+

2

11

,,),(),(

2

αβυ

αβ

tc

ttxfttxftxfttxf

s

i

eq

iii

rrrr



54

FIXUP: POSITIVITY ENFORCING

( ) ( )[ ]

i

i

eq

i

eq

iii

fttxfftxf

ttxfttxftxfttxf

110),(00),(

/,,),(),(

−>⇒>∆+⇒>>

∆+−∆++=∆+

τ

τ

rr

rrrr

• Correzione locale di instabilità

( ) ( )[ ] effi

eq

iii

i

eff

ttxfttxftxfttxf

f

τ

ττ

/,,),(),(

11;min

∆+−∆++=∆+

−=

rrrr



55

TURBOLENZA

• Turbulence modeled via a modified relaxation time

turbeff

111+=

τττ

( ) ( )[ ]

ijij

s

tturb

s

turb

effi

eq

iii

turbeff

SSLc

CSmag

k

c

Ck

ttxfttxfttxfttxf

22

1

/,,),(),(

2

22=⇒+=⇒−

∆+−∆+∆+=∆+

τε

τε

τ

τττ

µ

rrrr



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VANTAGGI E APPLICAZIONI

� Semplice (propag. e collisione) ⇒ basso costocomputazionale

� Propagazione lineare e non-linearità locale nello spazio

� Condizioni al contorno semplici� Condizioni al contorno semplici

�� Facilità nella parallelizzazioneFacilità nella parallelizzazione

� Aerodinamica (POWERFLOW)

� Flussi multifase

� Flussi in mezzi porosi

� Microfluidica



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AERODINAMICA – AEROACUSTICA -UNDERHOOD

• Powerflow: codice commerciale distribuito da EXA corporation www.exa.com

• LBM+refinement+boundary+fixup+turbo …..



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