Fizika2_pr1

7/18/2019 Fizika2_pr1

http://slidepdf.com/reader/full/fizika2pr1 1/23

PERIODI!KO GIBANJE I

ELASTI!

NOST

Monday, March 14, 2011

7/18/2019 Fizika2_pr1


OSCILACIJE - OPIS

! Tijelo mase m, nalazi se na povr"ini bez trenja,pri# vr"$eno za oprugu zanemarive mase koja se mozesabijati i rastezati

! Sila opruge je jedina horizontalna sila koja djeluje na

tijelo! Sila podloge i gravitacijska sila se poni"tavaju!! Ishodi"te O = ravnote%ni polo%aj opruge

! pomak x = udaljenost tijela od O, ali i istezanje opruge! akceleracija tijela

! pomak tijela iz polo%aja ravnote%e sila opruge ga

%eli vratiti natrag!POVRATNA SILA!

! oscilacije se mogu pojaviti samo ukoliko postojipovratna sila koja sustav poku"ava vratiti u ravnote%nostanje

a x = F

x m


7/18/2019 Fizika2_pr1


Amplituda, period, frekvencija i kutna frekvencija

Amplituda, A, maksimalan iznos pomaka iz ravnote%nog polo%aja. A je

uvijek pozitivna.

Period, T , je vrijeme potrebno za jedan ciklus gibanja & od polo%aja A do

polo%aja ! A i natrag do A. T je uvijek pozitivan.

Frekvencija , f , je broj ciklusa u jedinici vremena. SI jedinica je hertz: 1

hertz = Hz = 1 ciklus/s = 1 s!1. Ime je dobila po njema #kom fizi#aru

Heinrichu Hertzu & 1857!1894 ', pioniru u istra %ivanju elektromagnetskih

valova.

Kutna frekvencija, !, je 2( ) frekvencija: ! = 2( f

Vrijedi sljede$e: f =1

T , ! = 2" f =

2"

T


7/18/2019 Fizika2_pr1


JEDNOSTAVNO HARMONIJSKO TITRANJE

najjednostavnije oscilacijsko gibanjenastupa kada je povratna sila F x proporcionalna pomaku x & Hookeovzakon '

sa svake strane ravnote%nog polo%aja F x i x

F x = !kx = ma

x

a x =d2 x

dt 2 =

!

k

m x

Jednostavno harmonijsko titranje

Harmonijski oscilator & H.O. '


7/18/2019 Fizika2_pr1


VEZA IZMEDU JEDNOSTAVNOG HARMONIJSKOGTITRANJA I KRU"NOG GIBANJA

Zanima nas matemati#ka formulacija jednostavnog harmonijskogtitranja, tj. x! t "!

a x nije konstatno, ve$ je proporcionalno x pa nam formule koje smonau#ili za gibanje s konstantnim ubrzanjem ne poma %u

Tvrdnja: gibanje tijela pri# vr"$enog za oprugu i sjene kuglice suidenti # ni ukoliko je amplituda titranja tijela jednaka polumjeru diska i

frekevencija titranja jednaka kutnoj frekvenciji rotacije diska


7/18/2019 Fizika2_pr1


Promatramo gibanje projekcije to#ke Q na os x

x = Acos! ,

aQ = "

2 A,

a x = #aQ cos! = #"

2 Acos!

a x =

#" 2 x

a x =

d2 x

dt 2 = !

k

m x

Tijelo na opruzi

Dakle, kutna frekvencijajednostavnog harmonijskog titranjamase pri# vr$ene za oprugu je:

! =

k

m


7/18/2019 Fizika2_pr1


f =!

2" =

1

2"

k

m

T = 2" k

m

Frekvencija i period jednostavnog harmonijskog titranja:

Va %no! Kod JHT frekvencija titranjane ovisi o amplitudi!

Primjer: zvu#na vilju"ka


7/18/2019 Fizika2_pr1


Pomak, brzina i akceleracija kod jednostavnog harmonijskog titranja:

x = Acos!

U trenutku t = 0 fazor OQ zatvara kut " s osi x, tada $e u nekom kasnijem

trenutku $ taj kut biti"

=!$ +"

Pomak kod JHT:

Period JHT:

x = Acos ! t +" ( )

! T = k

mT = 2" # T = 2" k

m

Konstanta # zove se fazni kut! Ona odre* uje na kojempolo%aju se nalazi to#ka u trenutku $ = 0.

U trenutku$

= 0, x

0

= Acos!


7/18/2019 Fizika2_pr1


Primjeri: x = Acos ! t +" ( ), ! =

k

m


7/18/2019 Fizika2_pr1


x = Acos ! t +" ( )

v x =

dx

dt = #! Asin ! t +" ( )

a x =

dv x

dt =d

2 x

dt 2 = #! 2 Acos ! t +" ( )

a x = #!

2 x = #

k

m x

! polo%aj

! brzina

! akceleracija

Brzina oscilira izme* u vrijednosti !! A i +! A Akceleracija oscilira izme* u vrijednosti !!2 A i +!2 A

Formule


7/18/2019 Fizika2_pr1


Kako na $i kut" i amplitudu A?

Poznati su po#etni polo%aj i brzina x0 i %0 x

v0 x = !" Asin#

v0 x

x0

=!" Asin# Acos#

= !" tan#

# = arctan ! v

0 x

" x0

$ % &

' ( )

A = x0

2

+

v0 x

" x0


7/18/2019 Fizika2_pr1


ENERGIJA U JEDNOSTAVNOM HARMONIJSKOMTITRANJU

E =1

2mv

x

2+

1

2kx

2= const.

u trenutku $ = 0, % x = 0, x = A:

E =1

2mv

x

2+1

2kx

2=1

2kA

2 ukupna energija H.O.

& zakon o#uvanja energije '

E =1

2mv

x

2+1

2kx

2=1

2m !" Asin " t +# ( )$% &'

2

+1

2k Acos " t +# ( )$% &'

2

=

=1

2kA

2sin

2 " t +# ( )+1

2kA

2cos

2 " t +# ( )

=1

2

kA2

izvod:


7/18/2019 Fizika2_pr1


iz ukupne energije H.O.: v x

= ±k

m A

2! x

2, v

max =

k

m A = " A

zna #enje E, K i U kod H.O.:

graf energije:


7/18/2019 Fizika2_pr1


PRIMJERI JEDNOSTAVNOG HARMONIJSKOGTITRANJA

Vertikalno J.H.G.

ravnote%ni polo%ajako je tijelo x iznad polo%aja ravnote%e

k !l = mg

F tot = k !l " x( )+ "mg( ) = "kx

Gibanje je J.H.T.

! =

k

m


7/18/2019 Fizika2_pr1


Kutno J.H.G

Mehani#ki sat prikazuje to#no vrijeme pomo$u balansnog kota #a

! kota # momenta tromosti I & oko svoje osi '! opruga djeluje na kota # povratnim momentom $

! = "#$

! = I % & = I d

2

$ dt 2

"#$ = I % tj. d

2$

dt 2 = "

#

I $

Ove jednad%be odgovaraju jednad%bama H.O. gdje " ima ulogu x,a % /I ima ulogu k/ &

! ="

I # f =

1

2$

"

I

% = &cos ! t +' ( )

frekvencija J.H.G.

gibanje


7/18/2019 Fizika2_pr1


Vibracije molekula

! r0 ravnote%na udaljenost dva atoma ! r < r 0 atomi se odbijaju, r > r 0 atomi se privla #e! Van der Waalsova interakcija ! potencijalna energija:

U =U 0

R0

r

! " #

$ % &

12

' 2 R

0

r

! " #

$ % &

6(

)*

+

,-

F r = !

dU

dr=U

0

12 R0

12

r13

! 26 R

0

6

r7

"

#

$%

&

' = 12U

0

R0

R0

r

( ) *

+ , - 13

! R

0

r

( ) *

+ , -

7"

#

$%

&

'r < R

0! F > 0

r > R0! F < 0


7/18/2019 Fizika2_pr1


Neka je x pomak iz ravnote%nog polo%aja, x = r ' R0

F r = 12

U 0

R0

R0

R0 + x

! " #

$ % &

13

' R

0

R0 + x

! " #

$ % &

7(

)

*

*

+

,

-

-

= 12U

0

R0

1

1+ x R0

( )

13 '

1

1+ x R0

( )

7

(

)

*

*

+

,

-

-F x

! "kx NEMA oblik Hookeovog zakona!

Ali, ako se ograni#imo na samo male amplitude titranja:

1+ un( ) = 1+ nu +

n n !1( )2!

u2+

n n !1( ) n ! 2( )3!

u3+ ...

1

1+ x R0( )

13 = 1+ x R

0( )!13

" 1+ !13( ) x

R0

1

1+ x R0( )

7 = 1+ x R0( )!7

" 1+ !7( ) x

R0

F r = 12

U 0

R0

1+ !13( ) x

R0

" # $

% & ' ! 1+ !7( )

x

R0

" # $

% & '

(

)*

+

,- = !

72U 0

R0

2

" # $

% & ' x

F x = !kx

k =72U

0

R0

2


7/18/2019 Fizika2_pr1


JEDNOSTAVNO (MATEMATI!KO) NJIHALO

Matemati#ko njihalo: idealizirani model, to#kastamasa koja visi na neelasti#noj niti & bez mase '

Pomak x je du% luka koji to#ka opisuje za vrijemenjihanja, x = L"

Povratna sila: F ! =

"mgsin!

Za male oscilacije vrijedi aproksimacija sin" ( "& npr. ako je " = 0.01 rad & oko 6º ', sin " = 0.0998,razlika je 0.02+'

F ! = "mg! = "

mg L

x

! =k

m=

mg L

m=

g

L, f =

1

2"

g

L

T =1

f

= 2" L

g

frekvencija period

frekvencija

period nema ovisnosti o

masi!


7/18/2019 Fizika2_pr1


FIZI!KO NJIHALO

Fizi#ko njihalo: stvarno njihalo s tijelom kona #nihdimenzija! Za male oscilacije vrijedi jednakaaproksimacija kao i za matemati#ko njihalo!U ravnote%nom polo%aju centar mase nalazi se naispod hvati"ta.Udaljenost od hvati"ta do CM je d , momenttromosti tijela oko osi rotacije koja prolazi krozhvati"te je I , masa tijela je &.

Zakretni moment je: ! g = " mg( ) d sin# ( )

Aproksimacija malog kuta: ! g = "

mg( )# Jednad%ba gibanja: ! g" = I # g

! mgd ( )" = I # g = I d 2"

dt 2

d 2"

dt 2 = !

mgd

I "

! =mgd

I

T = 2" I

mgd

frekvencija

period


7/18/2019 Fizika2_pr1


GU#ENE OSCILACIJE

Realne situacije, u kojima postoje disipativne sile!Npr. trenje ! amplituda titranja se smanjuje u

vremenuOvo smanjenje se naziva prigu"eno titranje

H.O. s trenjem koje je proporcionalno brzini:

Jednad%ba gibanja:

Rje"enje:

F x = !kx ! bv

x"

!kx ! bv x = ma

x tj. - kx - b

dt

dx= m

d 2 x

dt 2

x = Ae! b 2m( )t

cos "# t +$ ( )

"# =k

m! b

2

4m2


7/18/2019 Fizika2_pr1


Razlike u odnosu na O.H.T.:a ' amplituda nije konstantna, smanjuje se s vremenom zbog #lana

b ' frekvencija nije vi"e nego ima dodatni #lan

e! b 2m( )t

! = k m !" = k m # b24m

2( )

Razlikujemo 3 slu#aja:

1. kada je

KRITI,NO GU-ENJE

2. kada je

NADKRITI,NO GU-ENJE

3. kada je

PODKRITI,NO GU-ENJE

k m = b2

4m2

! "# = 0

b = 2 km( )

b > 2 km

b < 2 km

Energija kod gu"enog titranja: E = 1 2mv

x

2+1 2kx

2

d E

dt

= mv x

dv x

dt

+ kx d x

dt

= ... = !bv x

2


7/18/2019 Fizika2_pr1


PRISILNE OSCILACIJE I REZONANCIJA

Realan sustav & s prigu"enjem ' na njega djelujemo vanjskom pobudom

frekvencije ! d !U slu#aju kada je ! d . !’ amplituda se pove$ava u ovisnosti o b

& jakosti prigu"enja '!

A = F max

k ! m" d

2( )2

+ b2"

d

2

pobuda: F = F max

cos! d t


http://localhost/Users/Zed/Desktop/tacoma.flv

http://localhost/Users/Zed/Desktop/tacoma.flv

7/18/2019 Fizika2_pr1


ELASTI!NOST

Sile izme* u atoma umolekuli dr%e atomezajedno

Sila koja deformirakruto tijelo

F = Y !l

l0

A

Youngov modul

# l ! produljenje l 0 ! izvorna duljina A ! povr"ina

Fizika2_pr1

Documents

Transcript of Fizika2_pr1