Fisica Cuantica y Atomo de Hidrogeno

5/12/2018 Fisica Cuantica y Atomo de Hidrogeno - slidepdf.com

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Física Cuántica.Átomo de Hidrogeno.

Profesor: Justo López SarriónAlumnos: Alfredo Aranda Núñez

Paulina Jáuregui CantillanaFecha entrega: 03/10/11

Universidad de Santiago de ChileFacultad de CienciasIngeniería Física



Introducción.

Para conciliar las predicciones de la mecánica cuántica a nivel microscópico con las predicciones de lamecánica clásica a nivel macroscópico, Niels Bohr introdujo el principio de correspondencia dentro de lateoría cuántica. Dicho principio postula algunos de los argumentos de continuidad deben ser aplicados allímite clásico de los sistemas cuánticos a medida que los valores de la constante de Planck se aproximan a

cero.

Figura 1. Modelos atómicos clásicos y modelo atómico cuántico.

En la mecánica cuántica, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, un electrón no puede estarnunca en reposo; siempre debe tener una energía cinética distinta de cero, un resultado que no se encuentra enla mecánica clásica. Por ejemplo, si consideramos algo más grande que un electrón, tal como una pelota defútbol, el principio de incertidumbre predice que no puede tener una energía cinética igual a cero, pero laincertidumbre en la energía cinética es tan pequeña, que la pelota de fútbol puede parecer que estuviese enreposo, y por esta razón parece obedecer a la mecánica clásica. En general, si grandes energías y grandesobjetos (en comparación con el tamaño y los niveles de energía de un electrón) son considerados en lamecánica cuántica, los resultados parecerán obedecer a la mecánica clásica.

El primer estudio asociado a la mecánica cuántica es el átomo de hidrógeno. Es el átomo más simpleexistente y el único que admite una solución analítica exacta desde el punto de vista de la mecánica cuántica.El átomo de hidrógeno, es conocido también como átomo monoelectrónico, debido a que está formado por unprotón que se encuentra en el núcleo del átomo y que contiene más del 99% de la masa del átomo, y un sóloelectrón que "orbita" alrededor de dicho núcleo.Cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrogeno, ésta nos entrega distintos tipos deinformación, tales como, especificar los posibles estados energéticos del electrón e identificar lascorrespondientes funciones de onda del electrón asociadas con cada estado energético.Los orbitales de los átomos hidrogenoides se identifican mediante tres números cuánticos: n, l, y m. Las reglasque restringen los valores de los números cuánticos y sus energías explican la configuración electrónica de losátomos y la conformación de la tabla periódica. En el modelo de Schrödinger se describe la probabilidad depresencia en una región delimitada del espacio. Esta zona de probabilidad se conoce como orbital. El modeloactual del átomo se basa en la mecánica cuántica ondulatoria, la cual está fundamentada por cuatro números

cuánticos, mediante los cuales puede describirse un electrón en el átomo.Como el electrón no tiene una posición definida en el átomo, comienzan a parecer términos tales comodensidad electrónica o nube de carga electrónica. Donde las regiones con alta densidad electrónicarepresentan una probabilidad alta de localizar al electrón, mientras que en regiones de baja densidad, laprobabilidad de encontrarlo es menor.

La motivación para esta investigación fue estudiar el nacimiento de la teoría de la mecánica cuántica dado quehabían modelos atómicos que la teoría de la mecánica clásica no podía explicar, como es el caso de laspredicciones de encontrar y predecir la dinámica de los electrones en un átomo. Además conocer el

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_microsc%C3%B3pico

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_macrosc%C3%B3pico

http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohr

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_correspondencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre_de_Heisenberg

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre_de_Heisenberg

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_correspondencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohr

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_macrosc%C3%B3pico

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_microsc%C3%B3pico



surgimiento de la ecuación de Schrödinger y ésta aplicada al modelo atómico más sencillo, el átomo dehidrogeno. También estudiar el origen de la configuración electrónica a partir de los números cuánticos quenacían de la solución tridimensional de la ecuación de Schrödinger. Finalmente se queria estudiar laaplicación que tenían las funciones especiales en dicha solución y como ellas influían en determinar laprobabilidad de encontrar el estado del electrón.

Función de onda.

En mecánica cuántica, una función de onda ( , ) x t es una forma de representar el estado físico de unsistema de partículas. Usualmente es una función compleja, de cuadrado integrable y univaluada de las

coordenadas espaciales de cada una de las partículas2

( , ) x t .

Las propiedades mencionadas de la función de onda permiten interpretarla como una función de cuadrado

integrable2 3

( ) ( , )v

p x v x t d x . Que es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en x en

el instante t. La ecuación de Schrödinger proporciona una ecuación determinista para explicar la evolucióntemporal de la función de onda y, por tanto, del estado físico del sistema en el intervalo comprendido entre

dos medidas.Históricamente el nombre función de onda se refiere a que el concepto fue desarrollado en el marco de laprimera física cuántica, donde se interpretaba que las partículas podían ser representadas mediante una ondafísica que se propaga en el espacio. En la formulación moderna, la función de onda se interpreta como unobjeto mucho más abstracto, que representa un elemento de un cierto espacio de Hilbert de dimensión infinitaque agrupa a los posibles estados del sistema.

Para obtener la información se deben relacionar cuantitativamente ( , ) x t con las cantidades que describen

la partícula asociada. Debe existir una relación entre una medida de la intensidad de ( , ) x t en la región de

coordenada x al tiempo t y la probabilidad por unidad de longitud, o densidad de probabilidad, ( , ) p x t de

encontrar a la partícula en esa región y en ese instante. Una asociacion entre ( , ) x t y ( , ) p x t fuepropuesta por Born en 1926: si, al tiempo t , se efectúa una medida para ubicar a la partícula asociada con la

función de onda ( , ) x t , entonces la probabilidad ( , ) p x t dx de que el valor de la coordenada se encuentreentre x y x dx es

( , ) ( , ) ( , ) p x t dx x t x t dx (1)

Donde ( , ) x t es el complejo conjugado de ( , ) x t .

Una justificación de ( , ) ( , ) x t x t se da en el siguiente argumento, considerando cada función solución

de la ecuación de Schrödinger

2 2

22

v i x t

(2)

2 2

22

v i x t

(3)

Ahora multiplicando la Ec 2 por , la Ec. 3 por y sustrayendo estas dos nuevas ecuaciones se obtiene

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrable

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimiento


http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert




http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrable

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsico




2 2 2

2 22

i x x t

(4)

Resolviendo la Ec. 42

2

dx i

x x x t

(5)

Integrando entre1

x y 2 x , encontramos que

2 2

11

2

x x

x x

idx

x x t

(6)

Sea la función de onda para la partícula libre. Entonces ( )i Kx t e y ( )i Kx t

e . Derivando

respecto a x se obtiene que ( )i Kx t iKe iK

x

y ( )i Kx t

iKe iK x

. Sustituyendo

estas ecuaciones en la Ec. 6 se obtiene

2

2

1

1

x x

x x

K dxt

(7)

Además se tiene queK p

v

, donde v es la velocidad de la partícula. En consecuencia,

2

1 2

1

x

x x x x x

v v dxt

(8)

El flujo de probabilidad ( , )S x t es la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula asociada con la

función de onda ( , ) x t pase por el punto x. El postulado de flujo de probabilidad dice que

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

2

i x t x t S x t x t x t

x x

(10)

Entonces la Ec. 6 se transforma en una ecuación de validez general para la conservación de la probabilidad enmecánica cuántica. Esto se considera como justificación del postulado, en donde la Ec. 6 y 8 son análogas alas ecuaciones de conservación en una dimensión de líquidos en movimiento.

Obtención de la ecuación de Schrödinger a partir de un postulado clásico.

Considerando un electrón de masa reducida que se mueve bajo la influencia del potencial de Coulomb2

2 2 2

0

( , , )4

zev x y z

x y z

en el vacío, se tiene que, según el modelo clásico:

2 2 21( ) ( , , )

2x y zP P P v x y z E

(11)



Donde 2 2 21( )

2x y zP P P

representa la energía cinética del sistema y E la energía total.

Sustituyendo las cantidades dinámicas P y E por sus diferentes operadores diferenciales asociados

( p i y E it

), se tiene que:

21( ) ( , , )

2i v x y z i

t

(12)

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene lo siguiente:

22

( , , )2

v x y z it

(13)

Que es una ecuación de operadores. Tiene significado cuando se le aplica cualquier función de onda( , , , ) x y z t , en el sentido de que se obtienen resultados idénticos después de efectuar las operaciones

indicadas en cada uno de los lados de la ecuación. Es decir la Ec. 13 implica:

22

( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , )2

x y z t v x y z x y z t i x y z t t

(14)

Donde ( , , , ) x y z t es cualquier función de onda. Por supuesto la Ec. 14 es la ecuación de Schrödinger.

Para obtener estos operadores diferenciales ( p i x

y E i

t

) a partir de conceptos clásicos se

efectúa lo siguiente:Tenemos la función de onda para una partícula libre

( , ) cos( ) sin( ) x t kx t i kx t (14.a)

Si diferenciamos respecto a x tenemos

( , )

cos( ) sin( ) x t

ik kx t i kx t x

Como p

k , entonces

( , )( , )

x t pi x t

x

Que puede escribirse como

( , ) ( , )i x t p x t x

Por lo tanto se tiene que

p i x



Lo cual indica que existe una asociación entre la cantidad dinámica p y el operador diferencial i x

.

Similarmente, para el caso de E derivamos la Ec. 14.a respecto a t obteniendo lo siguiente

( , ) cos( ) sin( ) x t i kx t i kx t x

Como E

, esto se puede escribir

( , ) ( , ) E x t i x t x


E i x

Lo cual indica que existe una asociación entre la cantidad dinámica E y el operador diferencial i x

.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

La ecuación de Schrödinger es una ecuación en derivadas parciales para en función de x, y, z y t . Latécnica normal para resolverla es proponer soluciones que sean el producto de una función de x, y, z por unafunción de t , esto es, soluciones que tengan la forma

( , , , ) ( , , ) ( ) x y z t x y z t (15)

Estas soluciones solo serán posibles si la energía potencial solo es función de x, y, z.Al sustituir la Ec. 15 en la Ec. 14, suponiendo que ( , , )v v x y z se obtiene

22 ( )

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )2

t t x y z v x y z x y z t i x y z

t

(16)

Multiplicando la Ec. (16) por1

( , , ) ( ) x y z t se obtiene

221 1 ( )

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) 2 ( )

t

x y z v x y z x y z i x y z t t

(17)

El lado izquierdo de la ecuación solo depende de las variables espaciales y el lado derecho solo depende de lavariable temporal. Ya que ( , , ) x y z y t son variables independientes, ambos miembros son iguales a una

cantidad que no dependa ni de ( , , ) x y z ni de t . Así ambos miembros deben ser iguales a la misma constanteG de separación. Esto es,



2

21( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) 2 x y z v x y z x y z G

x y z

(18)

Y1 ( )

( )

t i G

t t

(19)

La Ec. 19 queda definida por:

( )( ) 0

d t iGt

dt

(20)

Donde es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes y cuya solución es

( )

iGt

t e

(21)

Se puede verificar esta solución derivando respecto a t y sustituyendo en la Ec. 20.

La función ( )t es una función compleja oscilatoria del tiempo

( ) cos( ) ( )

iG

t G Gt e t isen t

(22)

O bien2 2

( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )G G G G

t t isen t t isen t h h

(23)

Donde su frecuencia esG

f h

. Pero según los postulados de Broglie-Einstein E

f h

, donde E es la

energía total de la partícula correspondiente a ( )t (función de onda). Por lo tanto se obtiene que la constante

G debe ser igual a E .Tomando esto en cuenta, se puede escribir la Ec. 18 en la forma

22

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )2

x y z v x y z x y z E x y z

(24)

Colocando G E en la Ec. 21, se puede escribir la solución general de la ecuación de Schrödinger como

( , , , ) ( , , )

iE

t

x y z t x y z e

(25)

Donde ( , , ) x y z es una solución a la Ec. 24, la que recibe el nombre de ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo.Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden para en función de ( , , ) x y z . No contiene números

imaginarios y, en consecuencia, sus soluciones ( , , ) x y z no son necesariamente funciones complejas. Las

soluciones de ( , , ) x y z reciben el nombre de funciones propias o eingenfunciones.

Solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.Planteamiento del problema.



Considerar un electrón de masa reducida que se mueve bajo la influencia del potencial de Coulomb2

0

( )4

zev r

r (en coordenadas esféricas) en el vacío. Donde

mM

m M

es la masa reducida del

sistema, con m = masa del electrón y M = masa del protón.

Figura 2. Sistema modelo del átomo de hidrogeno.

Recordar que el átomo de hidrogeno es Z=1, es decir, solo presenta un electrón y su núcleo atómico. Parapredecir el comportamiento de dicho electrón se utilizará la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo que determina la probabilidad, por medio de la función de onda, de encontrar al electrón en un orbitaldeterminado. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en coordenadas esférica, es

22

( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )2

r v r r E r

(26)

Con2

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

(Laplaciano en coordenadas

esféricas).

Condiciones del problema.No existen condiciones iniciales puesto que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no dependedel tiempo.Como condición de contorno se tiene que ( , , ) 0r a , donde a es el radio del núcleo del átomo,puesto que la función de onda se anula en el núcleo del átomo, es decir, el electrón no puede estar ahí.

Una de las facilidades de trabajar en coordenadas esféricas es que el potencial ( )v v r depende solo de lacoordenada radial, lo que ayuda al resolver la Ec. 26 por el método de separación de variables.Reescribiendo la Ec. 26

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin2 sin sinr v E r r r r r

(27)

La supuesta solución para esta ecuación es la siguiente

( , , ) ( ) ( ) ( )r R r (28)

Reemplazando la Ec. 28 en la Ec. 27



2 2

2

2 2 2 2 2sin

2 sin sin

R R Rr vR ER

r r r r r

Multiplicando esta ecuación por2 2

2

2 sin

( ) ( ) ( )

r

R r

se obtiene

2 2 2 2 2 22

2 2 2

sin 1 sin 2 sin 2 sinsin

R r r r v E

R r r

(29)

Ordenando la Ec.29 y cambiando las derivadas parciales por derivadas totales (ya que cada variable( ), ( ), ( ) R r depende solo de una coordenada) se obtiene

2 2 2 2

2

2 2

sin ( ) 1 ( ) sin ( ) 2 sinsin ( ) 0

( ) ( ) ( )

d dR r d d d r r E v r

R r dr dr d d d

(30)

Despejando la ecuación anterior queda lo siguiente

2 2 2 2

2

2 2

1 ( ) sin ( ) sin ( ) 2 sinsin ( )

( ) ( ) ( )

d d dR r d d r r E v r

d R r dr dr d d

Puesto que el miembro izquierdo solo depende de y el derecho solo de R y , ambos deben ser igual a

una constante denotada por 2m . De este modo se obtiene

22

2

( )( )

d m

d

(31)

Y

2 2 2

2 2

2

sin ( ) sin ( ) 2 sinsin ( )

( ) ( )

d dR r d d r r E v r m

R r dr dr d d

,

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2sin se obtiene

2

2 2

2 2

1 ( ) 1 ( ) 2sin ( )

( ) ( )sin sin

d dR r d d mr r E v r

R r dr dr d d

Despejando,

2

2 2

2 2

1 ( ) 2 1 ( )( ) sin

( ) sin ( ) sin

d dR r m d d r r E v r

R r dr dr d d

Utilizando el mismo argumento anterior, ambos ecuaciones deben ser igual a una constante denotada por ,en donde se obtienen las siguientes dos ecuaciones



2

2

1 ( )( ) sin ( )

sin sin

m d d

d d

(32)

Y

2

2 2 2

1 ( ) 2 ( )( ) ( )

d dR r R r r R r E v r

r dr dr r

(33)

-Ahora el problema se ha reducido a resolver tres ecuaciones diferenciales ordinarias, Ec. 31, 32 y 33, dondetambién se verifica el supuesto de que ( , , ) ( ) ( ) ( )r R r El método de resolución para la Ec. 31 es bastante sencillo, puesto que es una ecuación diferencial ordinariade segundo orden con coeficientes constantes, su solución es

( )ime (34)

Las funciones deben ser funciones uniformes para todos los valores de sus variables. Debe ser así puesto queson cantidades mensurables que describen el comportamiento de una partícula con realidad física. Dicho loanterior es necesario que la función propia sea uniforme. En consecuencia, ( ) debe ser uniforme. Sedebe exigir, dada también la simetría del problema, que ´

(0) (2 ) Esto es

1 cos 2 2m isen m

Lo cual se cumple si

1, 2, 3...m (35)

Es decir que m es un entero. Por lo tanto el conjunto de funciones propias aceptables para la Ec. 31 son

( )im

m e (36)

Donde m toma los valores especificados en la Ec. 35. Se ha indicado el número cuántico m como subíndicepara indicar la forma de la solución particular.

-Para resolver la Ec. 32 se debe hacer el cambio el variable cos , arreglando la ecuación queda

2( )

sin ( ) sin 0sin

d d m

d d

(37)

Tenemos que2 2 2

cos cos 1 sen , despejando2

sen se obtiene que2 2

1sen . Ahora diferenciando se tiene que sd en d . Luego

sd d d d

end d d d

. Reemplazando esto último en la Ec. 37 se obtiene

22

sin sin sin 0sin

d d m

d d

(38)



Reemplazando y derivando se obtiene los siguiente

2 22

2 21 2 0

1

d d m

d d

(39)

Existe una función llamada función asociada de Legendre que tiene la siguiente estructura

2 22

2 21 2 ( 1) 0

1

d y dy m x x y l l

dx dx x

(40)

Si compramos la Ec. 39 con la Ec. 40 nos damos cuenta que necesariamente toma el valor ( 1)l l y

que además esta ecuación tiene solución en serie de potencia solo sí 1 . Además l es uno de los enteros

, 1, 2, 3...l m m m m (41)

Por lo tanto la solución de la Ec. 39 es

( ) ( )m

lP (42)

Donde ( )m

lP se les conoce como los polinomios asociados de Legendre y tiene la forma

2 22

1( ) ( ) 1 1

!2

m m m ll

m

l l m l

d P

l d

.

Ahora sustituyendo cos en la Ec. 42 se tiene

, ( ) (cos )

m

m l lP

(43)

La solución de la Ec. 28 tiene la siguiente forma

( , , ) ( ) (cos )im m

lr R r Ne P (44)

Pero ( , ) (cos )m im m

l lY e P es la ecuación de armónicos esféricos. Reemplazando en la Ec. 44

( , , ) ( ) ( , )m

lr R r NY (45)

Donde N es una constante de normalización.

Existen varias normalizaciones utilizadas para las funciones de armónicos esféricos. En física y sismologíaestas funciones son generalmente definidas como

( , ) (cos )m m im m

l l lY A e P

Donde(2 1)( )

4 ( )

m

l

l l m A

l m

, estas funciones están ortonormalizadas según



2 1

* '*

' ' '

0 1

(cos ) ( , ) ( , )m m

l l ll mmd d Y Y

Por lo tanto

(2 1)( )

4 ( )

m

l

l l m N A

l m

(46)

-Por último, reordenando la Ec. 33

2 2

2 2 2

2 2( ) ( 1) 0

2

d R dR R E v r l l

dr r dr r

(47)

Con2

2( ) ( ) ( 1)

2v r V r l l

r y condición de contorno (0) 0 R .

En el caso de que E sea negativa, es decir, estados ligados, la Ec. 47 puede simplificarse de acuerdo a lasiguiente relación

2 4

2 2

0(4 )2

n

Z e E

n

(48)

Y el siguiente cambio de variable2

22

nr x

e Z en donde

2

2

2d e Z d

dr n dx

y

2 2 4 2 2

2 2 4 2

4d e Z d

dr n dx

La Ec. 48 es el espectro de energía del átomo de hidrogeno.

Reemplazando lo anterior en la Ec. 47 se obtiene lo siguiente

2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2

2 4 2 2 4 2 2 4 2 4 24 8 4 4 ( 1) 0e Z d R e Z dR Z e e Z e Z R l l

n dx n x dx n n x n x

Simplificando,

2

2

( 1)2 0

4

d R dR x l l x R n

dx dx x

(49)

Existe una función especial llamada función asociada de Laguerre que es ortogonal respecto a la función peso2m v x

, la función es

2

2

1 ( )( 1 2 ) 02 4

d y dy m x v v m x m v n ydx dx x

(50)

Cuya solución, físicamente aceptable, es 2( ) ( )

x

v m

nmv n y x e x L x

, donde ( )m

n L x son los polinomios

asociados de Laguerre cuya forma es



( )!

m nm x x n m

n n

x d L x e e x

n dx

(51)

Haciendo los siguientes cambios de variable a la Ec. 50 2 1m l , 1n n l y v l se transformaen lo siguiente

2

2

( 1)2 0

4

d y dy x l l x y n

dx dx x

(52)

Como se puede apreciar la Ec. 52 es la misma que la Ec. 49, por lo tanto la solución de la Ec. 33 es

2 121

( ) ( )

x

l l

nl n l R x Ne x L x

(53)

Se define2

0

0 2

4a

e

que es el denominado radio de Bohr, que corresponde a la órbita más pequeña del

electrón, cuyo valor es 100 0,529 10a x m

.

Reemplazando0

2 Z x r

na en la Ec. 53 se obtiene finalmente

0 2 1

1

0 0

2 2( )

l Z r

na l

nl n l

Z Z R r Ne r L r

na na

(54)

Donde

3

0

( 1)! 2

2 [( )!]

n l Z N

n n l na

que es la constante de normalización de los polinomios asociados de

Laguerre.

Por lo tanto se tiene que la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

( , , ) ( ) ( ) ( )nlm nlm nl lm mr N R r (55)

Con , ,n l m números cuánticos.

0 2 1

1

0 0

2 2( , , ) ( , )

l Z r

na l m

nlm nlm n l l

Z Z r A e r L r Y

na na

(56)

Donde la Ec. 56 es la solución final de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Con ( , ) (cos )m im m

l lY e P y

3

0

( 1)! 2 (2 1)( )

2 [( )!] 4 ( )nlm

n l Z l l m A

n n l na l m

.

Además se tiene2 4

2 2

0(4 )2

n

Z e E

n

que solo depende del número cuántico n . A esto se le llama la

energía cuantizada, ya que tiene solo valores distintos para 1,2,3,4...n De aquí se obtiene que



2

113, 6 [ ] E eV

n , donde para 1n la energía coincide con la energía de ionización de átomo de

hidrogeno.

Expresando más claramente los números cuánticos:1,2,3,4...n

0,1, 2,3, 4,..., 1l n (Orbitales ( ), ( ), ( ), ( ),s sharp p principal d difuse f fundamental etc )

. 1,...,0,..., 1,m l l l l

Para cada valor de n existen n valores posibles para l , para cada valor de l existen (2 1)l valores

posibles para m y para cada valor de n existe un total de 2n funciones propias degeneradas.

A continuación entregamos las funciones propias para estados ligados correspondientes a los tres primerosvalores de n .

0

0

0

0

0

3/ 2

100

0

3/ 2

2

200

0 0

3/ 2

2

210

0 0

3/ 2

2

21 1

0 0

3/ 22

32

300 20 0 0

1

12

4 2

1cos

4 2

1sin

8

127 18 2

81 3

Zr

a

Zr

a

Zr

a

Zr

a i

Zr

a

Z e

a

Z Z r e

a a

Z Z re

a a

Z Z re e

a a

Z Z Z r r e

a a a

0

0

0

0

3/ 2

3

31 1

0 0 0

3/ 22

32 2

320 2

0 0

3/ 22

32

32 1 2

0 0

3/ 22

32 2 2

32 2 2

0 0

16 sin

81

13cos 1

81 6

1sin cos

81

1 sin162

Zr

a i

Zr

a

Zr

a i

Zr

a i

Z Z Z r re e

a a a

Z Z r e

a a

Z Z r re e

a a

Z Z r re ea a

Finalmente se tiene que la solución general del problema es

( , , )niE

t

lmn lmn lmn A r e

(57)

Es decir,



0

12 1

1

0 1 0 0

2 2( , )

nl Z iE n l r t

na l m

lmn lmn n l l

l m l n

Z Z A e r L r Y e

na na

(58)

En donde

3

0

( 1)! 2 (2 1)( )

2 [( )!] 4 ( )lmn

n l Z l l m A

n n l na l m

De la Ec. 58 podemos observar que la solución general de la ecuación de Schrödinger depende de los tresnúmeros cuánticos, en donde cada combinación descifra un estado del electrón. Esta solución tambiéndepende de la función asociada de Laguerre y los armónicos esféricos. Como se verá posteriormente, la parteradial de la solución de la ecuación determina la distribución de la probabilidad de encontrar el electrón en unradio determinado. La parte angular se verá que determina el orbital probable del electrón. Para el caso, en el

átomo de hidrogeno, n=1, l=0 y m=0 la función de onda asociada es 0

3/213,6

100

0

1Zr i

t a Z

e ea

.

Se tiene que el espectro de energía de energía del átomo de hidrogeno a partir de la Ec. 48 es

Figura 3. Diagrama de energía para el átomo de hidrogeno.

Densidad de probabilidad para el átomo de hidrogeno.

Las funciones propias están normalizadas, esto es,

2

2

0 0 0

* ( , , ) ( , , ) sin 1nlm nlmr r r drd d

(59)

Donde 2sinr drd d es el elemento de volumen del sistema de coordenadas esféricas y la integral se

extiende a todo el espacio.Además se tiene que

2

2

' ' '

0 0 0

* ( , , ) ( , , ) sin 0n l m nlmr r r drd d

(60)

Excepto cuando 'n n , 'l l y 'm m . Y * * * *

nlm nlm nl lm m nl lm m R R

Considerando en primer lugar la densidad radial de probabilidad ( )nlP r dada por



2

* 2

0 0

( ) ( , , ) ( , , ) sinnl nlm nlm

P r dr r r r drd d

Es decir,

2

2 * * *

0 0( ) sinnl nl nl lm m lm mP r dr r R R dr d d

(61)

La integral sobre * *

lm m lm m es igual a la unidad ya que ambas están normalizadas. De Este modo

2 *( )nl nl nl

P r dr r R R dr


22( )nl nlP r r R (62)

* 2( , , ) ( , , ) sinnlm nlmr r r drd d es la probabilidad de encontrar un electrón en el elemento de

volumen2

sinr drd d . La probabilidad ( )nlP r dr es la probabilidad de encontrar un electrón entre r yr dr .El valor de expectación del electrón, que es la coordenada radial del electrón para caracterizar el radio dondeprobablemente se encuentre entre dos cascarones esféricos, es

2

* 2

0 0 0 0

( ) ( , , ) ( , , ) sinnl nl nlm nlm

r P r dr r r r r drd d

(63)

Resolviendo la integral de la Ec. 63 se tiene que

2

0

2

111 1

2nl

l ln ar

Z n

(64)

Por ejemplo para el orbital 1s ( 1n y 0l ) se tiene que 0,8nlr Å, es decir, que el electrón se

encuentra a 0,8 Å promedio del núcleo. Lo mismo para los orbitales 2 ,2 ,3 ...s p s etc. Además para el

orbital 1s tenemos que

22

10 10( ) ( )P r r R r (65)

Ahora la probabilidad de hallar al electrón dentro de la esfera de radio R es

22

10 10

0

( ) ( )

R

f r r R r dr (66)

Esta última ecuación de puede interpretar como la suma de las probabilidades de hallar al electrón en capasesféricas que se extienden desde el núcleo hasta la esfera de radio R.Desarrollando a partir de la Ec. 54 se tiene que,



0 0

2 2 22

10 2

0 00

( ) 1 (1 2 2 )

r R R

a a R R f r r e dr e

a a

(67)

Si hacemos que0

R a , ósea, el radio de Bohr tenemos que la probabilidad de encontrar al electrón es 0,323

o del 32,3%. Análogamente, este procedimiento se puede hacer para cualquier radio y para todos los orbitales2 ,2 ,3 ...s p s etc.

A continuación se mostraran las distribuciones de probabilidad ( )nl

P r para el número cuántico n= 0, 1n

y para 2n a partir de la Ec. 62. (Gráficos realizados en el software maple 13).

Figura 4. Distribución para n =1 y l =0 Figura 5. Distribución para n =2 y l =1





Como se puede apreciar los números cuánticos nlm determinan completamente el comportamiento

tridimensional de *

nlm nlm , es decir, la probabilidad de hallar un electrón.

Ahora se procederá al estudio de la dependencia angular de las funciones de densidad de probabilidad

* * * *

nlm nlm nl lm m nl lm m R R ,

de aquí se obtiene que

*1

im im

m m e e (68)

De aquí se obtiene que la densidad de probabilidad no depende de . El comportamiento de *

nlm nlm queda

bien especificado por *

nl nl R R y *

lm lm , este último es el factor de modulación que depende de la dirección.

La forma de *lm lm se puede representar usando los diagramas polares. El origen del cada diagrama

corresponde a 0r , que es el núcleo del átomo, y el eje z se toma a lo largo de la dirección a partir del cualse mide el ángulo .A continuación se presentaran los diagramas polares que corresponden a la probabilidad de la órbita delelectrón.

Figura 10. Diagrama polar para 1,2,3n y l =0



Figura 11. Diagrama polar para 2n , l =1 y 1, 0,1m

Figura 12. Diagrama polar para 3n , l =2 y 2, 1,0,1, 2m

Figura 13. Diagrama polar para 4n , l =3 y 3, 2, 1, 0,1, 2,3m respectivamente.

A continuación se presentará un esquema se los orbitales de electrón de acuerdo a sus números cuánticos yniveles de energía.



Figura 14. Diagrama polar para 1,2,3,4n y sus correspondientes l .

Impulso angular orbital.

El momento angular orbital, tal como el que tiene un sistema de dos partículas que gira una alrededor de laotra, se puede transformar a un operador L mediante su expresión clásica:

( ) L i r (69)

Usando coordenadas cartesianas las tres componentes del momento angular se expresan en el espacio deHilbert usual para las funciones de onda, como:

( ) x L i y z

z y

, ( )

y L i z x

x z

y ( )

z L i x y y x

En coordenadas angulares esféricas el cuadrado del momento angular y la componente Z se expresan como

22 2

2 2

1 1( (sin ) )

sin sin L

y z

L i

Se puede demostrar, usando el valor de expectación de L , es decir,

2

* 2

0 0 0

( , , ) ( , , ) sin z nlm z nlm L r L r r drd d

(70)

Que

z L m (71)



http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas





Y2 2

( 1) L l l (72)

En donde se puede apreciar que el impulso angular orbital depende de los números cuánticos m y l .

Figura 15. Proyecciones del impulso angular orbital del electrón.

El spin del electrón.

El espín del electrón se observó por vez primera en el experimento de Stern y Gerlach. El espín proporcionauna medida del momento angular intrínseco de toda partícula. En contraste con la mecánica clásica, donde elmomento angular se asocia a la rotación de un objeto extenso, el espín es un fenómeno exclusivamentecuántico, que no se puede relacionar de forma directa con una rotación en el espacio. Como propiedad cuántica, el espín presenta una serie de cualidades que lo distinguen del momento angularclásico:

El valor de espín está cuantizado, lo que significa que no pueden encontrarse partículas con cualquier

valor del espín, sino que el espín de una partícula siempre es un múltiplo entero de2

.

En concreto, cuando se realiza una medición del espín en diferentes direcciones, sólo se obtienen unaserie de valores posibles, que son sus posibles proyecciones sobre esa dirección. Por ejemplo, laproyección del momento angular de espín de un electrón, si se mide en una dirección particular dada

por un campo magnético externo, puede resultar únicamente en los valores2

o bien2

.

Además, la magnitud total del espín es única para cada tipo de partícula elemental. Para los

electrones, los protones y los neutrones, esta magnitud es ( 1)s s , siendo1

2s . Esto

contrasta con el caso clásico donde el momento angular de un cuerpo alrededor de su eje puedeasumir diferentes valores según la rotación sea más o menos rápida.


z sS m (73)

Donde1

2sm (orientación hacia arriba) o

1

2sm (orientación hacia abajo) es el spin del electrón.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Stern_y_Gerlach

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor

http://es.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Neutr%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Neutr%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor


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http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Stern_y_Gerlach

http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn



Figura 16. Spin del electrón.

Tabla Periódica

En la tabla periódica cada elemento está representado por un símbolo químico y un número atómico, así loselementos con propiedades físicas y químicas similares, se encuentran en la misma columna. La interpretación de la tabla periódica se basa en la información acerca del ordenamiento de acuerdo con la

energía de las subcapas llenas más externas de los átomos multielectrónicos.

Figura 16. Tabla periódica de los elementos.

La información deseada puede obtenerse de los resultados de los cálculos de Hartree, de donde se obtiene elordenamiento de acuerdo con la energía de las subcapas llenas más externas.A partir del análisis de las líneas espectrales emitidas se pueden conocer los números cuánticos n y l delestado de una partícula. Esto permite identificar las subcapa exterior de energía máxima que se encuentrallena cuando el átomo está en su estado base, o estado propio. Al efectuar este análisis para un número grandede elementos se encuentra que, salvo de desviaciones pequeña el orden de la subcapa conforme a la energía esseñalada en la siguiente tabla.



Números cuánticos n, l Designación de subcapas Capacidad de subcapas 2(2l+1) - - -- - -

6,2 6d 105,3 5f 147,0 7s 2

6,1 6p 65,2 5d 104,3 4f 146,0 6s 25,1 5p 64,2 4d 105,0 5s 24,1 4p 63,2 3d 104,0 4s 23,1 3p 6

3,0 3s 22,1 2p 62,0 2s 21,0 1s 2

Tabla 1. Designación de números cuánticos de acuerdo al nivel energético.

La primera columna identifica la subcapa por los números n y l, la siguiente columna hace lo mismo exceptoque n y l están expresados en la notación espectroscópica, en donde el número indica el valor de n y la letra elvalor de l. La tercera columna da el valor de 2(2l+1) que es el números de estados cuánticos que son posiblespara el valor l característico de la subcapa, así los valores señalados expresa el número máximo de electronesque pueden ocupar la capa sin violar el principio de exclusión.

La teoría de Hartree predice que la energía de la subcapa se vuelve más negativa conforme disminuyen losvalores de n y l. La subcapa 1s que es la única subcapa en la capa n=1 tiene la energía más baja, las dossubcapas de la capa n=2 son ambas de mayor energía y de estas, la subcapa 2s tiene una energía menor que lasubcapa 2p. En la capa n=3 las subcapas 3s, 3p y 3d también se encuentran ordenadas por energía de acuerdoa la teoría Hartree. Sin embargo, la energía de la subcapa 4s en realidad es más baja que la correspondiente a

la subcapa 3d ya que la dependencia en l de la energía nl E de las subcapas puede ser más importante que la

dependencia en n, con valores grandes de n en capas externas.Así dada una n, la subcapa externa con menor l tendrá la menor energía, dada una l la subcapa externa con lamenor n tendrá la menor energía.La energía de cualquier subcapa p es siempre mayor que las de las subcapas s o d que le anteceden cuandoestas últimas se están llenando y que, en estas circunstancias la energía de cualquier subcapa s es de mayorque la de la subcapa p que le precede.En consecuencia, la diferencia en energía entre estas subcapas debe ser grande cuando se están llenando paran fija, la energía de la subcapa aumenta al aumentar l y la subcapa s es siempre la primera en ocuparse alllenar una nueva capa.Cuando se añade un electrón a una subcapa p llena y va a la subcapa inmediatamente superior en energía, quesiempre es una subcapa s, este electrón será el primero en una nueva capa.

Energía en aumento.(Menos negativa)

Energía mínima.(Más negativa)



Bibliografía.

1- Fundamentos de mecánica cuántica, Sídney Borowitz, primera edición, Editorial Reverté, S.A.

2- Fundamentos de física moderna, Robert M. Eisberg, primera edición, Editorial LIMUSA, México.

3- Física cuántica, Robert Eisberg, segunda edición, Editorial LIMUSA, México.

4- Introducción a la física cuántica, L.L. Goldin y G.I. Nóvikova, primera edición, Editorial Mir Moscú.

5- Física cuántica, Onotre Rojo Asenjo, segunda edición Editorial Eva V. Chesneau

6- Fórmulas y tablas de matemática aplicada, Spiegel Murray y Abellanas Lorenzo, primera edición.

Editorial McGraw. Hill.

7- Ecuaciones diferenciales, George F. Simmons, segunda edición, Editorial McGraw. Hill.

8- Quantum mechanics, Schiff L. I., primera edicion, Editorial McGraw. Hill.

9- Principios de la mecánica cuántica, Dirac, primera edición, Editorial P.A.M

Fisica Cuantica y Atomo de Hidrogeno

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