Atomo Hidrogeno

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Atomo Hidrogeno

Transcript of Atomo Hidrogeno

  • 1Lic. Hctor Valdivia M. 1

    ESTRUCTURAATMICA

    TOMO DE HIDRTOMO DE HIDRGENOGENO

    Lic. Hctor Valdivia M. 2

    Tabla 1: Observables Fsicos y sus operadores cunticos (single particle)

    Observable Observable Operador OperadorNombre Smbolo Smbolo OperacinPosicin

    Momentum

    Energa Cintica TEnerga Potencial

    Energa Total E

    Momentum Angular lxlylz

    Lic. Hctor Valdivia M. 3

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (3D)dinger (3D)

    Solucin General

    Ecuacin Independiente del tiempo

    Ecuacin en coordenadas cartesianas

    2 2 2 22 2 22 V Em x y z r

    Dependiente del tiempo

    Lic. Hctor Valdivia M. 4

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (2D)dinger (2D)

    Regin Interna 2 2 22 22 V Em x y

    r

    Analizar el caso de una partcula libre en una caja 2D dedimensiones Lx y Ly

    2 2 2

    2 22E

    m x y

    Sea , x yx y x y 222 2

    2 21 1

    2 2yx

    x y

    dd Em dx m dy

    22

    2

    22

    2

    12

    12

    xx

    x

    yy

    y

    x y

    d Em dx

    dE

    m dy

    E E E

    con

  • 2Lic. Hctor Valdivia M. 5

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (2D)dinger (2D)

    22

    Luego , con2 2

    yy xxx y

    x y

    pn pnx y x y Asen x sen y E

    L L m m

    Eje x2

    22

    2

    22

    2

    2

    220

    2xx

    x xx x

    x x

    d m pkEk Em

    kdx m

    Sol: 1,2,3...xx x x x xx

    nx A sen k x A sen x n

    L Anlogamente en el Eje y

    22 2

    Sol: 1,2,3...

    con2 2

    yy y y

    y

    yyy

    ny A se

    p

    n y

    kE

    m m

    nL

    222 2 2 22 2 2 2

    x y 22 2 si L =L 2Luego

    2yx

    x yx y

    nnEm

    L E n n nmLL

    nL

    Lic. Hctor Valdivia M. 6

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (2D)dinger (2D)Funcin de OndaEnerga nx ny n2 degeneracin

    1 1 2 No hay (estado base)

    E12=E21= 5E0/2 2 1 5 Doble (1er estadoexcitado)

    1 2 5E22= 8E0/2 2 2 8 No hay (2do estado exci)E13=E31= 10E0/2 1 3 10 Doble (3er estado

    excitado)3 1 10

    Use la normalizacin para hallar A del ejemplo anterior

    Analizar el caso de una partcula libre en una caja 3D dedimensiones Lx Ly y Lz

    Parte matemtica

    2 2

    0 1 1 2 hE = E =m L

    Asen x sen yL L

    x y x,y = x y

    Asen 2x L sen y L Asen x L sen 2y L Asen 2x L sen 2y L Asen x L sen 3y L Asen 3x L sen y L

    Lic. Hctor Valdivia M. 7

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (3D)dinger (3D)Ecuacin en coordenadas esfricas

    2 222 2 2 2 21 1 12 r sen V Em r r r r sen r sen

    r

    potencial esfricamentesimtri =Vc Vo rrcondicin: fuerzas centrales conservativas

    Como consecuencia de esta condicin:

    1. El Momentum Angular LL es constante.

    2. Es imposible especificar simultneamente dos de las trescomponentes del Momentum Angular LL

    3. Una componente del Momentum Angular LL est cuantizada

    4. La energa total E est cuantizada.

    Debido alprincipio de

    incertidumbre

    Lic. Hctor Valdivia M. 8

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdinger (3D)dinger (3D)

    La parte angular es:

    La parte radial es:

    2 2 22 22r 1 d dR- r + V r -E r = - l l+12mR r dr dr 2m

    Una Solucin es: = R r Y , 2 2 2 2 22 22 2 2r 1 d dR 1 Y 1 Y- r + V-E r = + sen

    = - l l+1

    2mR r dr dr 2m Ysen

    Ysen 2m

    2 2 22 21 Y 1 Y+ sen = - l l+1

    2m Ysen

    Ysen 2m

  • 3Lic. Hctor Valdivia M. 9

    Y(,) se conoce como ARMNICOS ESFRICOS: Y , =lmlEcuaciEcuacin de Schrn de Schrdingerdinger (3D)(3D)

    22-11

    1

    1

    0

    031

    120

    020lml lmlY lml lmlY

    12

    1 3c o s

    2

    1 32 2

    is e n e

    21 5 3 c o s 14

    1 32 2

    is e n e

    1 1 52 2

    isen co s e

    2 21 1 54 2

    is e n e

    21 7 5 cos 3 cos4

    Lic. Hctor Valdivia M. 10

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdingerdinger (3D)(3D)

    3

    3

    042

    331lml lmlY lml lmlY

    21 21 5 18 isen cos e 2 21 1 0 5

    4 2isen co s e

    3 31 3 58

    is e n e

    Grficos de armnicos esfricos

    Lic. Hctor Valdivia M. 11

    EcuaciEcuacin de Schrn de Schrdingerdinger (3D)(3D)

    0 0, 1, 2, 3,....lim le m

    Suponga una solucin de la forma Y(, ) = () (), y obtengala forma explcita de (). Use como constante paraseparar variables en la ecuacin diferencial.

    Sugerencia: use la condicin de frontera ()= (+2).

    2lm

    Compruebe que la condicin de normalizacin de los armnicos es

    2 20 0

    , 1lmlY sen d d

    Reemp. la solucin propuesta en la parte angular de la ec. deschrdinger...

    Parte matemtica

    Lic. Hctor Valdivia M. 12

    CuantizaciCuantizacin del Espacion del EspacioSe llama as cuando se tiene que la componentede LL respecto de un eje arbitrario (eje Z) estcuantizada:

    1 0,1, 2,...l l l L zL 0, 1, 2,..,l lm m l

    Se cumple que: c o s 1lm

    l l

    |L| y Lz toman valores discretos potencial esfricamentesimtri = Vc Vo rrcondicin:

  • 4Lic. Hctor Valdivia M. 13

    CuantizaciCuantizacinn deldel EspacioEspacioHalle y grafique |L|, y Lz en 2D y 3D, si l=2:

    62 , , 0, , 2z

    LL

    Precesin de L

    alrededor del ejeZ

    Lic. Hctor Valdivia M. 14

    Ntese que la ecuacin de autovalores permite hallar lafuncin de onda

    CuantizaciCuantizacin del Espacion del Espacio

    F f

    Usualmente, con excepciones las constantes de movimientoclsicas son observables ntidas (satisfacen (*))

    Particularmente el momentum angular L de una partcula encoordenadas cartesianas es:

    x z y

    y x z

    z y x

    L yp zp y zi z y

    L r p L zp xp z xi x z

    L xp yp x yi y x

    v

    xy

    z

    r

    R

    Parte matemtica

    Lic. Hctor Valdivia M. 15

    Halle Lx, Ly y Lz en coordenadas esfricas

    CuantizaciCuantizacin del Espacion del Espacio

    Sug: Recuerde que: cos

    cos

    z r

    y rsen senx rsen

    2 2 2

    1/ 22 2 2cos

    r x y zz

    z x y zr

    ytg

    x

    r

    z z r z z

    cot cosxL i sen

    cos cotyL i sen z

    L i

    Parte matemtica

    Lic. Hctor Valdivia M. 16

    Ntese que Lz es ntida, y reemplazando en (*), se halla la funcinde onda (r,,) y Lz

    CuantizaciCuantizacin del Espacion del Espacio ,Lzizi L Ae donde A A r

    satisface la condicin de frontera (r,,)= (r,,+2), luego 2 21

    L L Lz z zi i iz lAe Ae e L m

    Muestre que Lx y Lz NO pueden ser ntidas simultneamente parael mismo estado . Para ello vale la forma de anterior y ademsdebe cumplirse que LLx= Lx, lo que implica que =0 Lx=Lz=0

    Sug: Reemp. Lx y elegir =0 para simplificar; luego use el resultadoanterior

    Parte matemtica

  • 5Lic. Hctor Valdivia M. 17

    |L| es ntida,CuantizaciCuantizacin del Espacion del Espacio

    2 2 2 2x y zL L L L Reemp. por las ec. anteriores

    2 22 2 2

    2 2cot cosL ec

    2 2

    22 2 22 2cot cosL ec L

    222

    2 2z z z

    lL L L

    mi i

    222 2 2

    2 cot coslm ec L

    La solucin de esta ec. son los polinomios asociados de Legendre

    cos 1lmlP l l con autovalores Finalmente, el factor angular de la funcin de onda es:

    0 cos ,l l lim m ml le P Y Armnicos Esfricos

    Parte matemtica

    Lic. Hctor Valdivia M. 18

    tomo de Hidrtomo de Hidrgenogeno

    M m eM

    r

    Sistema real Sistema modelo

    Lic. Hctor Valdivia M. 19

    tomo de Hidrtomo de HidrgenogenoEc. De Schrdinger en coordenadas esfricas

    Ec. De Schrdinger radial

    2 2 22

    2 2 2 2 20

    1 1 1 e

    - r + sen

    - = E

    2 r r r r sen

    r sen 4 r

    2 2 222 20

    dR r1 d e- r + l l +1 - -E R r = 02

    r dr dr 2r 4 r

    Lic. Hctor Valdivia M. 20

    tomo de Hidrtomo de HidrgenogenoSolucin Radial

    La energa est cuantizaday depende del nmeroprincipal nn

    2

    20

    04

    ema

    2 1n

    0

    2rL es el polinomio de Laguerrenal

    l

  • 6Lic. Hctor Valdivia M. 21

    tomo de Hidrtomo de Hidrgenogeno

    Lic. Hctor Valdivia M. 22

    Lic. Hctor Valdivia M. 23

    tomo de Hidrtomo de HidrgenogenoLa onda de materia radial efectiva es g r = rR rPues la ecuacin de onda radial se convierte en:

    2 2 22 e f fd g U r g r E g rd r

    Con potencial efectivo Ueff:

    2 2

    2 2

    12 2

    L l lU r U r

    r r

    P(r)dr es la probabilidad de encontrar el electrn en cualquierparte de la capa esfrica de radio r y grosor dr:

    2 22P r g r r R r Densidad de Probabilidadradial para cualquierestado

    Lic. Hctor Valdivia M. 24

    tomo de Hidrtomo de HidrgenogenoLa condicin de Normalizacin es:

    0

    1 P r dr

    0

    r r P r d r

    Para el electrn en el estado base del hidrgeno 100. Calcule :a) La probabilidad de que se encuentre mas all del radio de

    Bohrb) La distancia media del electrn al ncleoc) La distancia ms probable del electrn al ncleo

    0

    0

    2 /2 230

    4) 5r aa

    a P r e d r ea

    02 /33 00

    4) r ab r r e d ra

    03 2 /21 3

    0

    4) zr asd d z

    c P r r edr dr a

    Parte matemtica

    Distancia media deun electrn al ncleo

  • 7Lic. Hctor Valdivia M. 25

    NotaciNotacin Espectroscn Espectroscpicapican Smbolocapa l

    ml Smbolosub-capa

    Not.espectr

    Degeneracin

    1 K 0 0 s 1s 12 L 0

    10-1,0,1

    Sp

    2s2p

    4

    3 M 012

    0-1,0,1-