ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del...

12
© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidró geno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga eléctrica y culómbica. 1. Ley de co ulomb: a. En el sistema cgs en unidades de (1) b. En el sistema int ernacio nal: donde Q = coulomb (2) , o = permitividad al vacío = 8.85 X 10 -12 C 2 N -1 cm -1 1C = 2.9979 X 10 9 esu o statcoulomb r = metros F = Newt ons 2. Ó (3) B. Ecuación de Schröedinger: (4) Ecuación con seis coordenadas (electrón y núcleo y la energía es la energía total del sistema (traslación y movimiento relativo). 1. La energía potencial es: (5)

Transcript of ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del...

Page 1: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

ATOMO DE HIDROGENO

I. Atomo de hidrógenoA. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga eléctrica y

culómbica.1. Ley de coulomb:

a. En el sistema cgs

en unidades de (1)

b. En el sistema internacional:

donde Q = coulomb (2)

,o = permitividad al vacío = 8.85 X 10-12

C2 N-1cm-1

1C = 2.9979 X 109esu o statcoulomb

r = metros

F = Newtons

2. Ó (3)

B. Ecuación de Schröedinger:

(4)Ecuación con seis coordenadas (electrón y núcleo y la energía es la energía total del sistema(traslación y movimiento relativo).

1. La energía potencial es:

(5)

Page 2: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 21

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

2. La ecuación de Schröedinger se puede reescribir:

(6)

3. Por los mismos argumentos del rotor rígido y del oscilador armónico:

(7)

Se puede interpretar como la ecuación de onda de una partícula de masa : sometida a unpotencial V(r) y E es la energía asociada al movimiento relativo.

C. Solución de la ecuación de Schröedinger.

1. Separación de variables: (8)

2. Ya resueltas anteriormente:a. Oscilador armónico

(9)

b. Rotor rígido

(10)

3. Función radial:

(11)

4. Soluciones:

a. (12)

b. m es el número cuántico del momento angular orbital que representan lasorientaciones respecto a un campo.

Page 3: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 22

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

c. Soluciones de Legendre para el rotor rígido:

(13)

(14)

d. l es el número cuántico azimutal

e. Como la ecuación radial es igual a la ecuación de 1 del rotor rígido, entonces ambasecuaciones deben ser iguales a la misma constante y entonces el valor de $ es elmismo para ambas ecuaciones. Por lo tanto:

(15)

donde:

y (16)

Sustituyendo en la ecuación radial, 0operando y simplificando:

(17)

1. Para E < 0 tenemos un potencial atractivo, estados enlazados o “bound states”

2. Si la energía cinét ica es mayor que el potencial de ionización, la energía espositiva E > 0 y entonces tenemos un continuo.

f. Para resolver la parte radial debemos hacer una serie de potencias y determinar loscoeficientes como se hizo para el oscilador armónico y para el rotor rígido usandofórmula de recursión.

donde el contador (k) se asocia al

número cuántico l por: n = l + k + 1.Por condición de frontera también se cuantiza la energía y se obtiene que la soluciónsatisfactoria es:

donde: y n = 1, 2, 3, ......(18)

D. Para el átomo de hidrógeno las siguientes condiciones se cumplen:

1. z = 1 ya que (19)

Page 4: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 23

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

Entonces,

2. donde (20)

los niveles de energía se representan:

. Observaciones:

1. y no es función de m ni l Eelec < Eelectrón libre

2. Espectro atómico: (21)

3. Número cuántico principal n asociado al tamaño del orbital. Energía cinética del electrónes función de la constante R.

4. El grado de degeneración es igual a n2

5. El número de orientaciones del momentum angular es igual a 2l + 16. Número de nodos radiales es igual a: n - l - 17. Número de máximos n - l

F. Estados energéticos: degeneración - n2 = 4

n l m n, l, m

1 0 0 1 0 0

2 0 0 2 0 0

2 1 0 2 1 0

2 1 +1 2 1 +1

2 1 -1 2 1 -1

1. número cuántico del momentum angular orbital (l)-

Page 5: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 24

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

a. cuantiza los estados o valores permitidos del momentum angular orbital (L2 = l (l +1) S2)

b. magnitud: donde l = 0, 1, 2, 3 .... n - 1 (22)

c. Se asocia a la geometría del orbital.

2. número cuántico magnético (m)a. cuantiza la orientación del momentum angular respecto a eje externo en presencia de

campo magnético (H o B)

b. Lz = m S donde m = 0, ±1, ±2, ±3 ..... ± l (23)

c. número de orientaciones de momento angular son (2 l + 1) [Efecto Zeeman enpresencia de campo magnético con energías diferentes].

d. Posibles valores de 2 :

(24)

G. Funciones de onda: función de onda espacial para un electrón.(25)

1. (26)

2. (27)

3. Normalizadas:

a. (28)

b. (29)

c. (30)

d. por lo tanto:

(31)

Page 6: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 25

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

H. Función de onda y distribución de probabilidad de la nube electrónica. Se analiza R(r) y luego1(2) y M(N) para orientación1. Funciones radiales: Rn,l (r) normalizadas.

(32)

(33)

2. R puede ser positivo o negativo (amplitud de la onda puede ser positiva o negativa). Paral = 0 la función R es máxima en r = 0 [penetración al núcleo].

I. Principio de Incertidumbre - el electrón no está a una distancia fija y está distribuído endiferentes formas geométricas.

J. Superficies de contorno de densidad de probabilidad constante a una fracción grande deprobabilidad (0.90) :*Qn,l,m*

2. La forma de representar el orbital en una superficie queencierra el 90% de probabilidad de encontrar el electrón.

1. *R(r)*2 (densidad de probabilidad) para un valor fijo de 1 y M

a. r = 0 para el 1s; la energía potencial mínima está cerca del núcleo.r 6 4 tiene un valor pequeño pero finito y esto quiere decir que el átomo no tienetamaño definido (# de nodos radiales son: (n - l - 1)

b. Función de distribución radial para el orbital tipo s = (probabilidad por unidad de volumen) (volumen delcascarón)

Cierto solo para orbital tipo s ya que la densidad deprobabilidad es constante para todos los ángulos. Por lotanto:

(34)

Page 7: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 26

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

c. Radio mas probable:

y resulta que r = a0(35)

K. Para los orbitales p y d la densidad de probabilidad se divide la capa en volumen diferencialcon coordenadas r entre r y r + dr, 2 entre 2 y 2 +d 2 y N entre N y N + dN . Seconsideran las aportaciones a la probabilidad de P(r ºr + dr) integrando a través de todo elespacio los diferenciales que envuelven d 2 y dN.

1. [función de distribución radial]

(36)

(37)

2. el número de máximos es (n - l ) y este se encuentra en (38)

Dan un estimado de la extensión de la nube electrónica donde:

. Por lo tanto Ens < Enp ya que el elect rón

pasa una pequeña parte del tiempo cerca del núcleo (Efecto de penetración).

L. Valor de expectación:

(39)

M. Dependencia angular de los orbitales tipo hidrógenico:1. Tipo s: No dependen de 2 ni N y su variación angular o forma geométrica se puede

representar de distintas formas.

a. Coordenadas planares polares (r,2)

b. Coordenadas polares *M(N) 1(2)* (valor absoluto)*

c. Densidad de puntos es índice de la densidad de probabilidad relativa.** No se debe pensar que el electrón es una nube difusa de carga que tiene esa

geometría. La probabilidad de encontrar el electrón dentro de esta superficie no esuniforme ya que ésta depende de la distancia radial.

Page 8: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 27

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

d. Superficie o curvas de densidad de probabilidad: superficie o mapa de contorno - sehacen una serie de medidas de la posición del electrón, el 90% está dentro de lasuperficie y así se puede determinar el tamaño del orbital.

(40)El resultado de esta operación es r = 1.41 D

2. Orbitales tipo p (l = 1)a. Signo de la función puede cambiar con los ángulos.

1. n = 2 l = 1 m = 0 2P0 = 2Pz

(41)

No depende de el ángulo N. Q es un máximo cuando 2 = 0 y 2 = B y Q = 0 (esun mínimo) cuando

Se le llama nodo.

2. Representación geométrica:

a. Coordenadas polares planares: (42)

b. Coordenadas esféricas polares 1(2) M(N): dos esferas con centro en el ejede z. Los signos de los lóbulos son iguales.

c. Coordenadas esféricas polares *1(2)*2 * M(N)*2 (ver dibujos). Los signosde los lóbulos son iguales.

3. Geometría - superficie de contorno de igual densidad de probabilidad. Densidadde probabilidad con valor constante.

(43)

a. Si y = 0 para construir la gráfica en xz se rota la gráfica y se obtiene unaelipsoide.

b. n = 2 l = 1 m = ± 1

(44)

Page 9: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 28

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

1. Forma real: (45)

a. La función 2P+1 y 2P-1 tienen la misma forma o distribución espacial. Ambasson independientes de N. La densidad de probabilidad es simétrica conrespecto al eje de z y el mínimo es en 2 = 0 y el máximo es en:

b. Por la geometría se construye una combinación lineal usando las dosfunciones:

(45)

(46)

La combinación lineal de la ecuación (45) y la (46) puede representarse como:

(47)

(48)

ya que:

(49)

Page 10: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

QUIMICA 4042 Resumen de Mecánica Cuántica Página 29

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

(50)

N. ESPÍN ELECTRÓNICOAl aplicar la relatividad a la mecánica cuántica surge el espín del electrón. Dirac (1928)desarrolla otro postulado de la mecánica cuántica.1. Definición: Es un momento angular intrínsico del electrón y de algunas partículas

elementales adicionales al momento angular orbital. No tiene analogía clásica.

2. Surgen nuevos números cuánticos de espín: s y ms que obedecen las relaciones:

(51-2)

donde ms = -s, -s + 1 ..... s -1, s Ejemplo: s = ½ ms = - ½ , + ½

3. Una part ícula elemental solo puede tener un valor de s, medio entero o entero. Protones,neutrones o electrones son ejemplos de partículas que t ienen espín.

4. Se postulan dos funciones de espín: " y $ donde ms = + ½ para " y ms = - ½ para $.Q(r,2,N) " = Q1s " Q(r,2,N) $ = Q1s $ función espín-orbital (53)

5. El espín no tiene efecto en la energía excepto en presencia de un campo magnético.Nuevamente duplica la degeneración de los estados.

Page 11: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

ATOMO DE HELIO

II. Atomo de HelioA. Hamiltoneano para resolver la ecuación de Schöedinger

(1)

B. El problema de tres cuerpos no se ha podido resolver exactamente.

C. Aproximaciones: Eliminar el término de repulsión del hamiltoneano para He.

(2)

Por lo tanto: (3)

D. Ecuación de Schöedinger aproximada:

(4)

(5)

(6)

Como ,1 y ,2 son hamiltoneanos de hidrógeno con carga z = 2, sabemos que M1 y M2 y E1

y E2 son las energías de hidrógeno con z =2. Entonces:

(7)

(8)

Etotal = E1 + E2 = - 108.8 eV Eexptl = -79.0 eV para un 30% de error

E. Principio de Variación (9)

1. Cambiar función de prueba con z = carga efectiva para corregir el error.

2. Añadir el espín " y $ para corregir el error:

(10)

Page 12: ATOMO DE HIDROGENO - uprh.edu · ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga el éctrica y culómbica.

© 1997 - 2001 I. Nieves Martínez

F. Funciones de prueba para dos electrones pueden expresarse:"(1)$(2) $(1)"(2) "(1)$(2) $(1) "(2) (11)Estas funciones no son válidas ya que distinguen entre los electrones. Los electrones sonidénticos unos a otros y no hay manera experimental de distinguir cuál tiene ms = + ½ o unms = - ½. Debido al principio de incertidumbre no se pueden distinguir. Por esta razón lasfunciones de espín apropiadas para dos electrones deben escogerse entre las que siguen:

(12)

(13)

(14)

La ecuación (11) y la (12) no cambian signo al intercambiar electrones, por lo tanto consimétricas con respecto a intercambio electrónico. La ecuación (13) si cambia de signo alintercambiar electrones entonces es anti-simétrica con respecto a intercambio.

G. PRINCIPIO DE PAULI: (1940 - basado en relatividad cuántica)1. fermión - partícula con número de espín igual a un medio entero

2. bosón - partícula con número de espín igual a un estero.

3. Principio de Pauli: “La función de onda espacio-espín de un sistema de fermionesidénticos debe ser anti-simétrica con respecto a intercambio de todas sus coordenadas(espacio-espín) de cualquiera dos part ículas. Para un sistema de bosones idénticos, lafuncion de onda completa debe ser simétrica con respecto a intercambio.’

H. Función de onda de prueba espacio-espín para estado raso es:

(15)

Intercambio de electrones convierte Q en -Q

(16)