როგორ მოვემზადოთ 2013 წლის ერთიანი...

როგორ მოვემზადოთ 2013 წლის ერთიანი

ეროვნული გამოცდებისთვის

მ ა თ ე მ ა ტ ი კ ა

თბილისი

2

სარჩევი

შესავალი -------------------------------------------------------------------------------------- 3

საგამოცდო პროგრამა ---------------------------------------------------------------------- 4

ალგებრა ------------------------------------------------------------------------------ 5

პლანიმეტრია ------------------------------------------------------------------------- 8

სტერეომეტრია ------------------------------------------------------------------------- 11

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა ------------------------------- 13

ზომის ერთეულები ----------------------------------------------------------------- 13

საგამოცდო დავალების ნიმუშები -------------------------------------------------------- 15

I ვარიანტი -------------------------------------------------------------------------- 15

II ვარიანტი -------------------------------------------------------------------------- 27

I ვარიანტის შეფასების სქემა -------------------------------------------------------------- 38

პასუხები ------------------------------------------------------------------------------------- 49

პასუხების ფურცელი ----------------------------------------------------------------------- 50

3

შესავალი

2012 წელს საქართველოში ჩატარდა ერთიანი ეროვნული გამოცდები. აბიტურიენტები

უმაღლეს სასწავლებლებში გამოცდების შედეგების მიხედვით ჩაირიცხნენ. შვიდი წერითი

გამოცდიდან ერთ-ერთი გამოცდა მათემატიკაში ჩატარდა.

მათემატიკის გამოცდა მიზნად ისახავდა საგამოცდო პროგრამაში ასახული მასალის

ცოდნისა და ამ ცოდნის პრაქტიკული გამოყენების უნარის შემოწმებას. წერითი ნამუშევრები

გასწორდა ცენტრალიზებულად, შეფასების უნიფიცირებული კრიტერიუმებით.

ქვემოთ გთავაზობთ 2012 წლის საგამოცდო ტესტის ვარიანტებს პირველი ვარიანტის

შეფასების სქემასთან ერთად.

2012 წლის ეროვნული გამოცდის მათემატიკის ტესტი შედგებოდა 40 ამოცანისგან.

აქედან პირველი 30 ამოცანიდან თითოეულს თან ახლდა 4 სავარაუდო პასუხი, რომელთაგან

მხოლოდ ერთი იყო სწორი. ტესტის ამ ნაწილში თითოეული ამოცანა ფასდებოდა 1 ან 0

ქულით. 1 ქულა იწერებოდა სწორი პასუხის მითითებისთვის. ოცდამეთერთმეტე ამოცანიდან

მეორმოცეს ჩათვლით ამოცანები ღია ტიპის იყო. აღნიშნულ ამოცანებში დადებითი შეფასების

მისაღებად საკმარისი არ იყო მხოლოდ სწორი პასუხის მითითება - აუცილებელია ამოცანის

ამოხსნის სრული გზის ჩაწერაც. ღია ტიპის ამოცანებიდან პირველი ოთხი ამოცანა

ფასდებოდა 2 ქულით, შემდეგი სამი ამოცანა - 3 ქულით, ხოლო ბოლო სამი ამოცანა - 4

ქულით. საგამოცდო ტესტის მაქსიმალური ქულა იყო 59. მინიმალური კომპეტენციის

გადასალახად აბიტურიენტს უნდა მოეგროვებინა არანაკლებ 15 ქულისა (ტესტის

მაქსიმალური შესაძლო ქულის 25%-ზე მეტი).

2013 წლის ეროვნული გამოცდების მათემატიკის ტესტის ფორმატში არ არის

დაგეგმილი ცვლილებების შეტანა.

იმედი გვაქვს, კრებული დაეხმარება აბიტურიენტებს უკეთ მოემზადონ მათემატიკის

გამოცდისთვის.

გთხოვთ, თქვენი შენიშვნები და წინადადებები გამოგზავნოთ მისამართზე:

თბილისი, 0186

მინდელის ქ. 9

გამოცდების ეროვნული ცენტრის მათემატიკის ჯგუფი

4

საგამოცდო პროგრამა

საგამოცდო პროგრამა მათემატიკაში შედგენილია შეფასებისა და გამოცდების

ეროვნული ცენტრის მათემატიკის ჯგუფისა და ცენტრთან არსებული საკონსულტაციო

საბჭოს მიერ, რომლის შემადგენლობაში შედიოდნენ წარმომადგენლები უმაღლესი

სასწავლებლებიდან და კვლევითი ინსტიტუტებიდან.

საგამოცდო პროგრამა ეფუძნება მათემატიკის ეროვნულ სასწავლო გეგმას.

საგამოცდო პროგრამის მარცხენა სვეტში (საკითხთა ჩამონათვალი) მოცემულია იმ

მათემატიკური ცნებების, განმარტებებისა და თეორემების ნუსხა, რომელთა ცოდნა მოეთ-

ხოვება აბიტურიენტს. მათი დაზუსტება ხდება პროგრამის მარჯვენა სვეტში (მოთხოვნები და

დაზუსტება), სადაც მითითებულია, რა დონეზე მოეთხოვება აბიტურიენტს შესაბამისი

საკითხის ცოდნა. თუ მარჯვენა სვეტი ცარიელია, მაშინ აბიტურიენტს შესაბამისი ცნების ან

თეორემის მხოლოდ ცოდნა და გამოყენება მოეთხოვება.

5

2013 წლის საგამოცდო პროგრამა მათემატიკაში

ალგებრა

N საკითხთა ჩამონათვალი მოთხოვნები და დაზუსტება

1 სიმრავლეები. ოპერაციები

სიმრავლეებზე.

სიმრავლეთა თანაკვეთა, გაერთიანება, სიმრავლის

დამატება; ვენის დიაგრამები.

2 ნატურალური რიცხვები.

მარტივი და შედგენილი რიცხვე-

ბი.

გამყოფი და ჯერადი.

არითმეტიკული მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებ-

ზე.

რიცხვის დაშლა მარტივ მამრავლებად.

რამდენიმე რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფისა და

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა.

2-ზე, 3-ზე, 5-ზე, 9-ზე და 10-ზე გაყოფადობის ნიშ-

ნები.

ნაშთიანი გაყოფა.

3 მთელი რიცხვები. არითმეტიკული მოქმედებები მთელ რიცხვებზე.

4 რაციონალური რიცხვები.

წილადები და ათწილადები.

რაციონალური რიცხვების შედარება და არითმეტი-

კული მოქმედებები რაციონალურ რიცხვებზე.

მთელი რიცხვებისა და ათწილადების დამრგვალება.

5 ირაციონალური რიცხვები.

ნამდვილი რიცხვები.

ნამდვილი რიცხვების შედარება და არითმეტიკული

მოქმედებები მათზე.

6 რიცხვითი ღერძი. წერტილის კოორდინატი. ნამდვილი რიცხვის შესაბა-

მისი წერტილის გამოსახვა რიცხვით ღერძზე.

7 რიცხვითი შუალედები. რიცხვითი შუალედების გაერთიანება და თანაკვეთა.

8 რიცხვის მოდული. რიცხვის მოდულის გეომეტრიული აზრი.

9 ნატურალური რიცხვების

წარმოდგენა სხვადასხვა

პოზიციურ სისტემაში.

ათობით პოზიციურ სისტემაში მოცემული რიცხვების

ჩაწერა ორობითში და პირიქით.

10 პროპორცია. პროპორციის ძირითადი თვისება, პროპორციის უცნო-

ბი წევრის პოვნა, რიცხვის დაყოფა მოცემული

შეფარდებით. პირდაპირპროპორციული და

უკუპროპორციული დამოკიდებულება სიდიდეებს

შორის.

11 რიცხვის პროცენტი და ნაწილი. რიცხვის პროცენტისა და ნაწილის პოვნა.

რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით ან ნაწილით.

ორი რიცხვის ფარდობის პროცენტული გამოსახვა.

12 რამდენიმე რიცხვის არითმეტი-

კული საშუალო.

13 ხარისხი ნატურალური და

მთელი მაჩვენებლით.

ნამრავლის, ფარდობისა და ხარისხის ახარისხება.

ტოლფუძიანი ხარისხების ნამრავლი და შეფარდება.

14 ერთწევრი და მრავალწევრი. მრავალწევრების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება.

15 შემოკლებული გამრავლების

ფორმულები.

2 2 2( ) 2a b a ab b , 2 2a b a b a b ,

2 2 3 3a b a ab b a b ,

32233 33)( babbaaba .

6

16 მრავალწევრის დაშლა

მამრავლებად.

საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა,

დაჯგუფების ხერხი, მამრავლებად დაშლა

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების

გამოყენებით.

17 რაციონალური გამოსახულება. მოქმედებები რაციონალურ გამოსახულებებზე.

18 n ური ხარისხის ფესვი,

არითმეტიკული ფესვი.

არითმეტიკული ფესვის თვისებები.

19 რაციონალურმაჩვენებლიანი

ხარისხი.

რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის თვისებები.

20 ალგებრული გამოსახულება. ალგებრული გამოსახულების გარდაქმნა და მისი

რიცხვითი მნიშვნელობების გამოთვლა.

21 რიცხვის ლოგარითმი. ძირითადი ლოგარითმული იგივეობა.

ნამრავლის, შეფარდებისა და ხარისხის ლოგარითმი.

ლოგარითმში ფუძის შეცვლის ფორმულა.

22 მართკუთხა კოორდინატთა

სისტემა სიბრტყესა და სივრცეში.

წერტილის კოორდინატები. ნამდვილ რიცხვთა წყვი-

ლის და სამეულის გამოსახვა შესაბამისად საკოორ-

დინატო სიბრტყესა და საკოორდინატო სივრცეში. ორ

წერტილს შორის მანძილის გამოსათვლელი

ფორმულა.

23 ფუნქცია. ფუნქციის გრაფიკი.

ფუნქციათა კომპოზიცია.

ფუნქციის განსაზღვრის არე.

ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე.

ფუნქციის ზრდადობა, კლებადობა, ლუწობა, კენტობა,

პერიოდულობა. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი

მნიშვნელობა. ფუნქციათა კომპოზიცია. პარამეტრის

შემცველი ფუნქციები.

ფუნქციის მოცემა ცხრილის, ფორმულისა და

გრაფიკის საშუალებით.

ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა არგუმენტის

მოცემული მნიშვნელობისთვის.

24 კუთხის გრადუსული და

რადიანული ზომა.

კავშირი კუთხის რადიანულ და გრადუსულ ზომებს

შორის.

25 ტრიგონომეტრიული ფუნქციები:

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.

სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის:

მნიშვნელობები 3

0, , , , , ,6 4 3 2 2

არგუმენტებისთვის;

ნიშნები მეოთხედების მიხედვით;

პერიოდულობა, ლუწობა და კენტობა.

ძირითადი დამოკიდებულებები ერთი და იმავე

არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის.

დაყვანის ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების

გამოსათვლელი ფორმულები ორი არგუმენტის ჯამისა

და სხვაობისათვის.

7

26 განტოლება, განტოლებათა

სისტემა.

განტოლებისა და განტოლებათა სისტემის ამონახ-

სნისა და ამონახსნთა სიმრავლის ცნებები. ტოლფასი

განტოლებები და განტოლებათა სისტემები.

27 ერთუცნობიანი წრფივი განტო-

ლებები.

წრფივი განტოლების ამოხსნა.

28 ერთუცნობიანი კვადრატული

განტოლებები.

დისკრიმინანტი.

კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

ვიეტის თეორემა. ვიეტის თეორემის შებრუნებული

თეორემა.

29 კვადრატული სამწევრი. კვადრატული სამწევრის ფესვები.

კვადრატული სამწევრის დაშლა წრფივ მამრავლებად.

30 ორუცნობიანი ალგებრულ

განტოლებათა სისტემები.

ისეთი ორუცნობიანი ალგებრულ განტოლებათა სის-

ტემის ამოხსნა, რომელშიც ერთი განტოლება წრფივია,

ხოლო მეორე განტოლების ხარისხი არ აღემატება ორს.

31 ამოცანები განტოლებისა და

განტოლებათა სისტემის

შედგენაზე.

ამოცანების ამოხსნა განტოლებისა და განტოლებათა

სისტემის გამოყენებით.

32 რიცხვითი უტოლობები. რიცხვითი უტოლობების თვისებები.

33 უტოლობა, უტოლობათა

სისტემა.

უტოლობისა და უტოლობათა სისტემის ამონახსნისა

და ამონახსნთა სიმრავლის ცნებები. ორუცნობიანი

წრფივი უტოლობისა და უტოლობათა სისტემის ამო-

ნახსნის წარმოდგენა საკოორდინატო სიბრტყეზე.

ტოლფასი უტოლობები.

34 ერთუცნობიანი უტოლობები და

უტოლობათა სისტემები.

ერთუცნობიანი წრფივი, კვადრატული და რაციო-

ნალური უტოლობების და უტოლობათა სისტემების

ამოხსნა.

35 წრფივი, კვადრატული,

ხარისხოვანი, მაჩვენებლიანი,

ლოგარითმული,

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

და მათი გრაფიკები.

y kx b , 2y ax bx c , 3y x , y x , k

yx

,

xy a , logay x , siny x , cosy x , tgy x

ფუნქციების განსაზღვრის არე, მნიშვნელობათა

სიმრავლე, ზრდადობისა და კლებადობის

შუალედები.

36 ირაციონალური განტოლებები. ერთუცნობიან წრფივ და კვადრატულ განტოლებებზე

დაყვანადი ირაციონალური განტოლების ამოხსნა.

37 მაჩვენებლიანი განტოლებები და

უტოლობები.

მაჩვენებლიანი განტოლებებისა და უტოლობების


38 ლოგარითმული განტოლებები

და უტოლობები.

ლოგარითმული (არაცვლადფუძიანი) განტოლებებისა

და უტოლობების ამოხსნა.

39 ტრიგონომეტრიული

განტოლებები.

sin x a , cos x a , tg x a სახის განტოლებების


40 რიცხვითი მიმდევრობა. მიმდევრობის n ური წევრის ფორმულის მიხედვით

მიმდევრობის წევრების პოვნა.

8

41 არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესიის n ური წევრისა და

პირველი n წევრის ჯამის გამოსათვლელი


42 გეომეტრიული პროგრესია. გეომეტრიული პროგრესიის n ური წევრისა და

პირველი n წევრის ჯამის გამოსათვლელი


43 კომბინატორიკის ელემენტები. გადანაცვლებათა რიცხვი;

ჯუფდებათა რიცხვი;

წყობათა რიცხვი.

გეომეტრია

პლანიმეტრია


1 წერტილი, წრფე.

სხივი, მონაკვეთი, ტეხილი.

2 მონაკვეთის სიგრძე, ტეხილის

სიგრძე.

3 კუთხე, კუთხის გრადუსული ზომა,

მართი, მახვილი, ბლაგვი და

გაშლილი კუთხეები.

4 კუთხის ბისექტრისა. კუთხის ბისექტრისის თვისება.

5 მონაკვეთის შუამართობი. მონაკვეთის შუამართობის თვისება.

6 მოსაზღვრე და ვერტიკალური

კუთხეები.

მოსაზღვრე კუთხეების ჯამი.

ვერტიკალური კუთხეების ტოლობა.

7 წრფეთა პარალელობა. ორი წრფის

მესამე წრფით გადაკვეთისას

მიღებული კუთხეები.

ორი პარალელური წრფის მესამეთი გადაკვეთისას

მიღებული კუთხეების თვისებები.

წრფეთა პარალელობის ნიშნები.

8 კუთხე ორ წრფეს შორის. წრფეთა

მართობულობა. მართობი,

დახრილი და გეგმილი. მანძილი

წერტილიდან წრფემდე.

9 მრავალკუთხედი და მისი

ელემენტები: გვერდი, წვერო,

კუთხე, დიაგონალი.

მრავალკუთხედის პერიმეტრი.

10 ამოზნექილი მრავალკუთხედი. ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი.

11 სამკუთხედი და მისი ელემენტები:

გვერდი, კუთხე, წვერო, მედიანა,

ბისექტრისა, სიმაღლე.

9

12 სამკუთხედის კუთხეები. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სამკუთხედის გარე

კუთხის თვისება.

13 სამკუთხედების ტოლობა. სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები.

14 სამკუთხედის უტოლობა.

15 დამოკიდებულებანი სამკუთხედის

გვერდებსა და კუთხეებს შორის.

სამკუთხედში დიდი გვერდის (კუთხის) პირდაპირ

დიდი კუთხე (გვერდი) ძევს.

16 სამკუთხედის მედიანა. სამკუთხედის მედიანების თვისება (სამკუთხედის

სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება და თი-

თოეული მათგანი გადაკვეთის წერტილით 2:1 შე-

ფარდებით იყოფა წვეროს მხრიდან).

17 სამკუთხედის ბისექტრისა. სამკუთხედის ბისექტრისის თვისება (სამკუთხედის

კუთხის ბისექტრისა ამ კუთხის მოპირდაპირე

გვერდს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ

მონაკვეთებად ყოფს).

18 სამკუთხედის კერძო სახეები:

მართკუთხა, მახვილკუთხა,

ბლაგვკუთხა, ტოლფერდა,

ტოლგვერდა სამკუთხედები.

19 ტოლფერდა სამკუთხედი. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები

(ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მდებარე

კუთხეები ტოლია;

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძისადმი გავლებული

მედიანა, ბისექტრისა და სიმაღლე ერთმანეთს

ემთხვევა).

20 მართკუთხა სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები.

მართკუთხა სამკუთხედში 30 -იანი კუთხის მო-

პირდაპირე კათეტის თვისება.

მართკუთხა სამკუთხედში კუთხეებსა და გვერდებს

შორის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები.

თანაფარდობები ჰიპოტენუზაზე დაშვებულ სიმაღ-

ლეს, კათეტებს, კათეტების გეგმილებსა და ჰი-

პოტენუზას შორის (2 2 2, ,c c c ch a b a ca b cb ,

ch ab ).

21 პითაგორას თეორემა.

22 თალესის თეორემა.

23 სამკუთხედის შუახაზი. სამკუთხედის შუახაზის თვისებები.

24 სამკუთხედების მსგავსება. სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები.

მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრებისა და ფარ-

თობების შეფარდება.

25 სინუსების თეორემა.

26 კოსინუსების თეორემა.

27 სამკუთხედების ამოხსნა.

10

28 პარალელოგრამი. პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხეების თვი-

სებები.

პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებები

(პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის

წერტილი პარალელოგრამის სიმეტრიის ცენტრია;

პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძეების

კვადრატების ჯამი მისი გვერდების სიგრძეების

კვადრატების ჯამის ტოლია).

29 რომბი. რომბის დიაგონალების თვისებები.

30 მართკუთხედი, კვადრატი. მართკუთხედის დიაგონალების ტოლობა.

31 ტრაპეცია და მისი ელემენტები:

ფუძე, ფერდი, სიმაღლე. ტრაპეციის

შუახაზი.

ტრაპეციის შუახაზის თვისებები.

32 ტრაპეციის კერძო სახეები:

ტოლფერდა ტრაპეცია, მართკუთხა

ტრაპეცია.

33 ტოლფერდა ტრაპეცია. ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები.

34 ბრტყელი ფიგურის ფართობი. ბრტყელი ფიგურის ფართობი მისი შემადგენელი

ნაწილების ფართობების ჯამის ტოლია;

35 კვადრატის, მართკუთხედის,

სამკუთხედის, პარალელოგრამისა

და ტრაპეციის ფართობი.

კვადრატის, მართკუთხედის, სამკუთხედის, პარა-

ლელოგრამის და ტრაპეციის ფართობების გამოსათ-

ვლელი ფორმულები.

36 წრეწირი, წრე და მათი ელემენტები:

ცენტრი, რადიუსი, დიამეტრი,

ქორდა, რკალი, სექტორი, სეგმენტი.

რკალის გრადუსული და რადიანული ზომა.

რიცხვი .

წრეწირის და მისი რკალის სიგრძის გამო-

სათვლელი ფორმულები.

ქორდის მართობული დიამეტრის თვისება.

37 ცენტრალური და ჩახაზული

კუთხეები.

ერთსა და იმავე რკალზე დაყრდნობილი ჩახაზული

და ცენტრალური კუთხეების სიდიდეებს შორის

ურთიერთდამოკიდებულება.

38 წრეწირის მხები და მკვეთი. წრეწირის მხების თვისება.

წერტილიდან წრეწირისადმი გავლებული ორი მხე-

ბი მონაკვეთის ტოლობა.

ურთიერთგადამკვეთი ქორდების თვისებები.

წრეწირისადმი ერთი წერტილიდან გავლებული

მხებისა და მკვეთის თვისებები.

39 სამკუთხედში ჩახაზული და

სამკუთხედზე შემოხაზული

წრეწირები.

სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრის

მდებარეობა;

სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრის

მდებარეობა.

სამკუთხედში ჩახაზული და სამკუთხედზე

შემოხაზული წრეწირების რადიუსების გამოთვლა

(მაგალითად, ფორმულებით:2

, ,4 2sin

S abc ar R R

a b c S A

).

11

40 წესიერი მრავალკუთხედები.

წესიერ მრავალკუთხედებში

ჩახაზული და შემოხაზული

წრეწირები.

წესიერი მრავალკუთხედის გვერდსა და მასში

ჩახაზული და შემოხაზული წრეწირის რადიუსებს

შორის დამოკიდებულება

( ,180 180

2 tg 2sin

a ar R

n n

).

41 წესიერი მრავალკუთხედების

ფართობი.

წესიერი მრავალკუთხედის ფართობის გამოსათ-

ვლელი ფორმულები მასში ჩახაზული, მასზე

შემოხაზული წრეწირების რადიუსებისა და

მრავალკუთხედის გვერდის საშუალებით.

42 წრიული სექტორისა და წრის

ფართობი.

წრიული სექტორის და წრის ფართობის გამოსათ-

ვლელი ფორმულები.

43 გეომეტრიული გარდაქმნები

სიბრტყეზე.

ცენტრული სიმეტრია. სიმეტრიის ცენტრი.

ფიგურის სიმეტრიულობა წერტილის მიმართ.

ღერძული სიმეტრია. სიმეტრიის ღერძი. ფიგურის

სიმეტრიულობა ღერძის მიმართ.

პარალელური გადატანა. ჰომოთეტია. მობრუნება

წერტილის გარშემო.

სტერეომეტრია


1 წერტილი, წრფე და სიბრტყე

სივრცეში.

2 წრფეთა ურთიერთგანლაგება


ურთიერთგადამკვეთი, პარალელური და

აცდენილი წრფეები. წრფეთა პარალელობის ნიშანი.

3 წერტილის, წრფის, მონაკვეთის

ორთოგონალური დაგეგმილება

სიბრტყეზე.

4 წრფისა და სიბრტყის

მართობულობა.

წრფისა და სიბრტყის ურთიერთმართობულობის

ნიშანი.

5 წრფისა და სიბრტყის პარალელობა. წრფისა და სიბრტყის პარალელობის ნიშანი.

6 სიბრტყეთა პარალელობა. ორი სიბრტყის პარალელობის ნიშანი.

7 კუთხე სიბრტყეებს შორის.

8 სიბრტყეთა მართობულობა. ორი სიბრტყის მართობულობის ნიშანი.

9 მონაკვეთი, მართობი და დახრილი.

მანძილი წერტილიდან

სიბრტყემდე.

სამი მართობის თეორემა.

10 კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის.

11 ორწახნაგა კუთხე. ორწახნაგა

კუთხის ზომა.

12 მრავალწახნაგა და მისი

ელემენტები (წვერო, წიბო,

წახნაგი).

12

13 პრიზმა და მისი ელემენტები

(ფუძე, გვერდითი წახნაგი,

გვერდითი წიბო, სიმაღლე,

დიაგონალი).

14 პრიზმის კერძო სახეები (მართი

პრიზმა, წესიერი პრიზმა, მართი

პარალელეპიპედი, მართკუთხა

პარალელეპიპედი, კუბი).

მართი პრიზმის დიაგონალური

კვეთა.

15 პირამიდა და მისი ელემენტები

(წვერო, გვერდითი წიბო, ფუძე,

გვერდითი წახნაგი, სიმაღლე).

16 წესიერი პირამიდა. აპოთემა.

17 ცილინდრი და მისი ელემენტები

(რადიუსი, მსახველი, ფუძეები,

სიმაღლე, ცილინდრის ღერძი).

ცილინდრის ღერძული კვეთა.

18 კონუსი და მისი ელემენტები

(წვერო, ფუძე, მსახველი, სიმაღლე).

კონუსის ღერძული კვეთა.

19 ბირთვი, სფერო და მათი

ელემენტები (ცენტრი, რადიუსი,

დიამეტრი).

20 ბირთვის მხები სიბრტყე. ბირთვის

კვეთა სიბრტყით.

21 სხეულის მოცულობა და

ზედაპირის ფართობი.

სხეულის მოცულობა მისი შემადგენელი ნაწილების

მოცულობათა ჯამის ტოლია;

კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართი

პრიზმის, პირამიდის, ცილინდრისა და კონუსის

გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობისა და

მოცულობის გამოთვლა.

სფეროს ზედაპირის ფართობისა და ბირთვის მოცუ-

ლობის გამოთვლა.

22 კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპე-

დის, მართი პრიზმის, პირამიდის,

ცილინდრისა და კონუსის

შლილები.

ამ ფიგურების აღდგენა მათი შლილების

საშუალებით.

23 ვექტორები სიბრტყესა და


ვექტორები და მათზე განსაზღვრული ოპერაციები:

შეკრება, სკალარზე გამრავლება. ვექტორთა

სკალარული ნამრავლი. კუთხე ორ ვექტორს შორის.

ვექტორის სიგრძე.

ვექტორებისა და მათზე მოქმედებების გამოსახვა

კოორდინატებში.

13

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა


1 მონაცემების თვალსაჩინოდ

წარმოდგენის ხერხები.

წერტილოვანი, ხაზოვანი, სვეტოვანი და წრიული

დიაგრამები. მასშტაბი. სკალა.

2 მონაცემთა რიცხვითი

მახასიათებლები.

სიხშირე, ფარდობითი სიხშირე, საშუალო, მედიანა,

მოდა, გაბნევის დიაპაზონი, საშუალო კვადრატული

გადახრა.

3 ალბათობის თეორიის

ელემენტები.

ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე; ხდომილობა;

ოპერაციები ხდომილობებზე; არათავსებადი ხდომილო-

ბები; საწინააღმდეგო ხდომილობა; დამოუკიდებელი

ხდომილობები.

ალბათობის კლასიკური განსაზღვრება. ხდომილობის

ალბათობის გამოთვლა.

ხდომილობათა ჯამის ალბათობის გამოთვლა:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B .

საწინააღმდეგო ხდომილობის ალბათობის გამოთვლა:

1 ( )P A P A ;

დამოუკიდებელ ხდომილობათა ნამრავლის ალბათობის

გამოთვლა: ( ) ( ) ( )P A B P A P B .

გეომეტრიული ალბათობა (მონაკვეთსა და ბრტყელ

ფიგურაზე).

ზომის ერთეულები


1 სიგრძის ერთეულები. მილიმეტრი (მმ), სანტიმეტრი (სმ), დეციმეტრი (დმ),

მეტრი (მ), კილომეტრი (კმ).

კავშირი სიგრძის ერთეულებს შორის.

2 ფართობის ერთეულები.

კვადრატული მილიმეტრი (მმ2, კვადრატული

სანტიმეტრი (სმ2), კვადრატული დეციმეტრი (დმ2),

კვადრატული მეტრი (მ2), ჰექტარი (ჰა), კვადრატული

კილომეტრი (კმ2).

კავშირი ფართობის ერთეულებს შორის.

3 მოცულობის ერთეულები. კუბური მილიმეტრი (მმ3), კუბური სანტიმეტრი (სმ3),

კუბური დეციმეტრი (დმ3), ლიტრი (ლ),

კუბური მეტრი (მ3).

კავშირი მოცულობის ერთეულებს შორის.

14

4 მასის ერთეულები. გრამი (გ), კილოგრამი (კგ), ცენტნერი (ც), ტონა (ტ).

კავშირი მასის ერთეულებს შორის.

5 დროის ერთეულები. წამი (წმ), წუთი (წთ), საათი (სთ).

კავშირი დროის ერთეულებს შორის.

6 სიჩქარის ერთეულები. მეტრი წამში (მ/წმ), მეტრი წუთში (მ/წთ),

კილომეტრი საათში (კმ/სთ).

კავშირი სიჩქარის ერთეულებს შორის.

15

საგამოცდო დავალებების ნიმუშები

I ვარიანტი

ამოცანა 1 1 ქულა

იპოვეთ 2 22p pq q გამოსახულების მნიშვნელობა, თუ 23p და 3q .


იპოვეთ n , თუ 3,56 10 3560n .


ოქროსა და ვერცხლის შენადნობი შეიცავს 1,6 გ ოქროსა და 2,4 გ ვერცხლს. რამდენ პროცენტ

ვერცხლს შეიცავს შენადნობი?

ა) 25% ბ) 48% გ) 60% დ) 64%

ა) 200 ბ) 300 გ) 400 დ) 500

ა) 2 ბ) 3 გ) 4 დ) 5

16


იპოვეთ ABC სამკუთხედის AB და AC გვერდების შუაწერტილების შემაერთებელი

მონაკვეთის სიგრძე, თუ 3BC .

ა) 1 ბ) 1,5 გ) 2,5 დ) 3


ტოლფერდა ტრაპეციაში უდიდესი და უმცირესი კუთხის სიდიდეთა შეფარდება 3-ის

ტოლია. რას უდრის ამ ტრაპეციის უმცირესი კუთხის სიდიდე?


ABCD კვადრატის გვერდი 8-ის ტოლია. მასში ჩახაზულია APQ

სამკუთხედი ისე, რომ P და Q წერტილები შესაბამისად BC და

C D გვერდებზე მდებარეობს. იპოვეთ PQ გვერდის სიგრძე, თუ

3, 4BP DQ .

ა) 22,5 ბ) 30 გ) 45 დ) 60

ა) 30 ბ) 6 გ) 7 დ) 41

17


იპოვეთ უდიდესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც ნაკლებია 3 52 -ზე.


ქვემოთ ჩამოთვლილი ტოლობებიდან რომელია ყოველთვის ჭეშმარიტი, თუ , , ,a b c d

არანულოვანი რიცხვებია და a c

b d ?

ა) a b c d

b d

ბ)

a c

d b გ)

b c

a d დ)

abc bcd

d a


იპოვეთ A და B სიმრავლეების თანაკვეთა, თუ { 3; 1; 0; 2; 5; 9}A და { 10; 1; 0; 5; 11}B .

ა)

ბ) { 1; 0; 5}

გ) { 3; 1; 0; 2; 5; 9}

დ) { 10; 3; 1; 0; 2; 5; 9; 11}

ა) 2 ბ) 3 გ) 4 დ) 5

18


იპოვეთ k , თუ კვადრატული სამწევრი 2 5x kx იშლება ნამრავლად 1x x c , სადაც k

და c უცნობი რიცხვებია.


პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძეებია 6 და 12. ერთ-ერთი დიაგონალი შუაზე ყოფს

პარალელოგრამის კუთხეს. იპოვეთ ამ პარალელოგრამის პერიმეტრი.


რა ღირს ტაქსით 10 კმ მანძილის გავლა, თუ ტაქსით მგზავრობისას პირველი 1

4კმ-ის გავლის

საფასური ერთი ლარია, ხოლო ყოველი შემდეგი გავლილი 1

4კმ-ის ღირებულება 20 თეთრია?

ა) 8 ლარი

ბ) 8 ლარი და 80 თეთრი

გ) 9 ლარი

დ) 9 ლარი და 60 თეთრი

ა) 0 ბ) 5 გ) 6 დ) 2

ა) 24 3 ბ) 12 5 გ) 36 დ) 16 2

19


რამდენჯერ მეტია ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ამავე ცილინდრის ღერძული

კვეთის ფართობზე?

ა) 4 -ჯერ ბ) 2 -ჯერ გ) 1

ჯერ დ) ჯერ


a პარამეტრის რა მნიშვნელობისათვის ექნება

2 1

2 3

x და

1 1

8 5 5x x a

განტოლებებს ამონახსნთა ტოლი სიმრავლეები?

ა) 3 ბ) 3 გ) 9 დ) 9


ნატურალურ a რიცხვს მარჯვნიდან მიუწერეს ციფრი 2. იპოვეთ მიღებული რიცხვი.

ა) 2

10a

ბ) 10 2a გ) 2a დ) 10 2a

20


ქვემოთ ჩამოთვლილი უტოლობებიდან რომელია მცდარი, თუ , 0a b c b და 0a b c ?

ა) c a b ბ) ab bc გ) ac bc დ) ac ab


სურათზე გამოსახულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა.

სურათზე დაყრდნობით იპოვეთ B წერტილის კოორდინატები,

თუ E წერტილი მდებარეობს BC მონაკვეთზე და

BAC OEC .

ა) 3; 6 ბ) 6; 6 გ) 6; 8 დ) 6; 9


ალბათობა იმისა, რომ გიორგი და ლია ჩააბარებენ მათემატიკის გამოცდას, შესაბამისად, 0,3-ის

და 0,4-ის ტოლია. ცნობილია, რომ ეს ხდომილობები დამოუკიდებელი ხდომილობებია. რისი

ტოლია ალბათობა იმისა, რომ ერთი მათგანი მაინც ჩააბარებს მათემატიკის გამოცდას?

ა) 0,58 ბ) 0,28 გ) 0,5 დ) 0,7

21


ქვემოთ ჩამოთვლილი ფუნქციებიდან რომელია ლუწი ფუნქცია?

ა) 3y x

ბ) 2 5y x x

გ) 2logy x

დ) | | 3y x

ამოცანა 20

1 ქულა

პარალელოგრამის დიაგონალები 10-ის და 12-ის ტოლია, ხოლო მათ შორის კუთხე 30 -ს

უდრის. იპოვეთ პარალელოგრამის დიდი გვერდის სიგრძე.


ABCD ოთხკუთხედის წვეროები მდებარეობს წრეწირზე

(იხ. სურათი). იპოვეთ BCA -ს გრადუსული ზომა, თუ

ცნობილია, რომ 50BAC და 80ADC .

ა) 15 ბ) 30 გ) 50 დ) 65

ა) 61 ბ) 31 გ) 61 15 6 დ) 61 30 3

22


სურათზე დაყრდნობით დაადგინეთ, ქვემოთ ჩამოთვლი-

ლი უტოლობებიდან რომლის ამონახსნთა სიმრავლეა

გამოსახული Oxy საკოორდინატო სიბრტყეზე დაშტრიხუ-

ლი არის სახით.

ა) 7 3 21y x

ბ) 7 3 21y x

გ) 3 7 21y x

დ) 3 7 21y x


ამოხსენით უტოლობა 1

5.3x


იპოვეთ კუთხე 1; 3a

და 1; 3b

ვექტორებს შორის.

ა) 180 ბ) 60 გ) 120 დ) 150

ა) 16 5; ბ) 3; 16 5 გ) ; 3 დ) ; 3 16 5;

23


თუ L და M ერთმანეთისაგან განსხვავებული პარალელური სიბრტყეებია, ხოლო N სიბრტყე

L და M სიბრტყეებს შესაბამისად a და b წრფეებზე კვეთს, მაშინ

ა) a და b პარალელური წრფეებია

ბ) a და b აცდენილი წრფეებია

გ) a და b წრფეები M სიბრტყეზე მდებარე წერტილში გადაიკვეთება

დ) a და b წრფეები N სიბრტყეზე მდებარე წერტილში გადაიკვეთება


რას უდრის 10loga

b, თუ 10log 2a და 10log 3b ?

ა) 2 ბ) 3 გ) 2

3 დ) 10

2log

3


ABCDEF წესიერი ექვსკუთხედის ფართობი 6-ის ტოლია. რას უდრის ACE სამკუთხედის

ფართობი?

ა) 3 ბ) 6 3 1 გ) 3

3 12

დ) 4

24


1 ქულა

ნატურალურ რიცხვთა 1 2, , , na a a მიმდევრობის წევრები აკმაყოფილებენ ტოლობას

1 2 1k ka a , სადაც 1k . იპოვეთ ამ მიმდევრობის მეორე წევრი, თუ ცნობილია, რომ

მიმდევრობა შეიცავს მხოლოდ ერთ ლუწ რიცხვს, რომელიც 12-ის ტოლია.

ა) 11 ბ) 12 გ) 25 დ) 51


იპოვეთ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრული 2( ) 1 sin cosf x x x ფუნქციის

უმცირესი მნიშვნელობა.


კონუსის ფუძის ცენტრიდან მსახველზე დაშვებული OC მართობი

მსახველს შუაზე ყოფს. იპოვეთ ამ კონუსის გვერდითი ზედაპირის

Fფართობი, თუ OC მონაკვეთის სიგრძე 3 სმ-ის ტოლია. K


გიას აქვს 2 თეთრიანი და 5 თეთრიანი მონეტები, სულ 28 მონეტა. მათი ჯამური

ღირებულებაა 89 თეთრი. სულ რამდენი 2 თეთრიანი მონეტა აქვს გიას?

ა) 1 ბ) 0 გ) 3 დ) 1

ა) 18 2 სმ 2 ბ) 9 3 სმ 2 გ) 24 2 სმ 2 დ) 24 3 სმ 2

25


ამოხსენით კვადრატული უტოლობა 2 11 4 0x x .


მართკუთხედის წვეროები მდებარეობენ 6 სმ რადიუსის მქონე წრეწირზე. მართკუთხედის

ერთ-ერთი გვერდი წრეწირის რადიუსის ტოლია. იპოვეთ მართკუთხედის მეორე გვერდი.


იპოვეთ y kx b განტოლების k და b პარამეტრების მნიშვნელობები, თუ ცნობილია, რომ ამ

განტოლებით განსაზღვრული წრფე Oxy მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის ღერძებს

გადაკვეთს (5; 0) და (0; 3) წერტილებში.


სურათზე მოცემულ ABCDEF წესიერ ექვსკუთხედს და DGHE

კვადრატს საერთო DE გვერდი აქვს. იპოვეთ წესიერი

ექვსკუთხედის ფართობი, თუ 2PQ , სადაც P წესიერი

ექვსკუთხედის ცენტრია, ხოლო Q - კვადრატის ცენტრი.


სამი რიცხვითი მონაცემის მედიანა უმცირეს მონაცემზე 5-ით მეტია, ხოლო უდიდეს

მონაცემზე 9-ით ნაკლები. რამდენით მეტია ამ მონაცემების საშუალო მათ მედიანაზე?

26


ამოხსენით განტოლება

2 2log ( 6) log ( 10) 4x x .


სურათზე გამოსახულია წესიერი სამკუთხა პირამიდის შლილი

სიბრტყეზე. იპოვეთ პირამიდის BMK ფუძეზე დაშვებული

სიმაღლის სიგრძე, თუ 4BC და 90CAB .


ველოსიპედისტი ყოველ წუთში 500 მეტრით ჩამორჩება მოტოციკლისტს, ამიტომ 52 კმ-ს

გავლას 2 საათითა და 42 წუთით მეტ დროს ანდომებს ვიდრე მოტოციკლისტი. იპოვეთ

ველოსიპედისტისა და მოტოციკლისტის სიჩქარეები, თუ ველოსიპედისტი და

მოტოციკლისტი მთელი გზის განმავლობაში მოძრაობდნენ მუდმივი სიჩქარით.


a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისათვის ( 5; 2) შუალედიდან განვიხილოთ Oxy

მართკუთხა საკოორდინატო სიბრტყეში 5 2 0

2

2

a y

ax

უტოლობათა სისტემის ამონახსენთა

სიმრავლით განსაზღვრული ფიგურა. იპოვეთ ამ ფიგურების ფართობებს შორის უდიდესი და

დაადგინეთ a -ს მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მიიღწევა ეს უდიდესი ფართობი.

27

II ვარიანტი


299 1


იპოვეთ n , თუ 45,6 10 0,456n .


კლასის მოსწავლეებს შორის 11 გოგონა და 14 ბიჭია. კლასის მოსწავლეების რამდენ პროცენტს

შეადგენენ გოგონები?

ა) 11

14% ბ) 44 % გ)

550

7% დ) 4, 4%

ა) 9800 ბ) 9900 გ) 990 დ) 980

ა) -3 ბ) -2 გ) -1 დ) 2

28


იპოვეთ ტრაპეციის შუახაზის სიგრძე, თუ მისი ფუძეების სიგრძეებია 3 და 4.

ა) 6 ბ) 2 3 გ) 3,5 დ) 3,7


პარალელოგრამის დიაგონალი მის ორ გვერდთან ადგენს 27 და 46 კუთხეებს. რისი ტოლია

პარალელოგრამის ბლაგვი კუთხე?


უჯრედებიან ფურცელზე, რომლის თითოეული უჯრა 1

ერთეულის ტოლი გვერდის მქონე კვადრატს წარმოადგენს,

დახაზულია ABC სამკუთხედი. სამკუთხედის წვეროები

უჯრების წვეროებში მდებარეობს (იხ. სურათი). სურათზე

დაყრდნობით იპოვეთ ABC სამკუთხედის პერიმეტრი.

ა) 5 13 40 ;

ბ) 10 15 ;

გ) 5 2 13 ;

დ) 15.

ა) 73 ბ) 127 გ) 137 დ) 107

29


იპოვეთ უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც მეტია 3 65 -ზე.


თუ , ,a b c არანულოვანი რიცხვებია და a c

b x , მაშინ x

ა) ab

c ბ)

ac

b გ)

bc

a დ) abc


იპოვეთ A და B სიმრავლეების გაერთიანება, თუ { 3; 1; 0; 2; 5; 9}A და

{ 10; 1; 0; 5; 11}B .

ა) { 10; 1; 0; 5; 11}

ბ) { 1; 0; 5}

გ) { 10; 3; 1; 0; 2; 5; 9; 11}

დ)

ა) 2 ბ) 3 გ) 4 დ) 5

30


იპოვეთ k , თუ კვადრატული სამწევრი 2 5x x k იშლება ნამრავლად 1x x c , სადაც k

და c უცნობი რიცხვებია.


ABC ტოლფერდა სამკუთხედში AB BC და 40B . CA სხივზე აღებულია K წერტილი

ისე, რომ BC CK . იპოვეთ ABK კუთხის სიდიდე.


რა უმცირესი თანხაა საკმარისი თეატრის 17 ბილეთის ერთდროულად შესაძენად, თუ

თეატრის ერთი ბილეთი 2 ლარი და 40 თეთრი ღირს, ხოლო ყოველი ოთხი ბილეთის

შეძენისას მეხუთე ბილეთი უფასოდ გადმოგეცემათ?

ა) 40 ლარი და 80 თეთრი

ბ) 28 ლარი და 80 თეთრი

გ) 31 ლარი და 20 თეთრი

დ) 33 ლარი და 60 თეთრი

ა) 5 ბ) 4 გ) 6 დ) 2

ა) 20 ბ) 15 გ) 25 დ) 30

31


ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის შლილი არის კვადრატი, რომლის გვერდი

a -ს ტოლია. რისი ტოლია ცილინდრის ფუძის რადიუსი?

ა) a ბ) 2

a

გ)

a

დ) a


a პარამეტრის რა მნიშვნელობისათვის ექნება

2 1

2 3

x და

1 1

8 5 5x x a

განტოლებებს ამონახსნთა ტოლი სიმრავლეები?

ა) 3 ბ) 3 გ) 9 დ) 9


ნატურალური a რიცხვი 1-ით ბოლოვდება. ამ a რიცხვს ბოლო ციფრი ჩამოაშორეს. იპოვეთ

მიღებული რიცხვი.

ა) 1

10a

ბ) 1

10a

გ) 1a დ) 10( 1)a

32


ქვემოთ ჩამოთვლილი უტოლობებიდან რომელია ჭეშმარიტი, თუ 0a b c , , 0a b c b ?

ა) c a b ბ) ab c გ) ac b დ) bc a


კვადრატის მოპირდაპირე წვეროების კოორდინატებია (9; 3) და (5; 0) . იპოვეთ ამ კვადრატის

გვერდის სიგრძე.


ალბათობა იმისა, რომ გია ტესტის მეათე ამოცანაში სწორ პასუხს შემოხაზავს, 0,7 -ის ტოლია.

დათო ამავე ამოცანაში სწორ პასუხს 0,4 -ის ტოლი ალბათობით შემოხაზავს. ცნობილია, რომ

ეს ხდომილობები დამოუკიდებელი ხდომილობებია. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ამ

ამოცანაში გია სწორ პასუხს შემოხაზავს, დათო კი - მცდარს?


ქვემოთ ჩამოთვლილი ფუნქციებიდან რომელია კენტი ფუნქცია?

ა) 2logy x

ბ) 2 5y x

გ) 3y x x

დ) 1

3y

x

ა) 3 ბ) 4 გ) 5

2 დ) 4 2

ა) 0,28 ბ) 0,3 გ) 0,42 დ) 1,1

33


1 ქულა

პარალელოგრამის დიაგონალი გვერდებთან ადგენს 30 და 45 კუთხეებს. იპოვეთ

პარალელოგრამის დიდი გვერდი, თუ მცირე გვერდი 6 -ის ტოლია.


წრეწირის AB და CD ქორდები იკვეთება M წერტილში.

70 , 80ADC ACB (იხ. სურათი). რისი ტოლია AMC ,

თუ CD წარმოადგენს ACB კუთხის ბისექტრისას?


სურათზე დაყრდნობით დადგინეთ, ქვემოთ

ჩამოთვლილი უტოლობებიდან რომლის ამონახ-

სნთა სიმრავლეა გამოსახული Oxy საკოორდინატო

სიბრტყეზე დაშტრიხული არის სახით.

ა) 2 5 10x y

ბ) 2 5 10x y

გ) 5 2 10x y

დ) 5 2 10x y

ა) 3 6 ბ) 6 2 გ) 6 3

2 დ) 6 3

ა) 90 ბ) 120 გ) 140 დ) 110

34


ამოხსენით უტოლობა 1

3.7 x


იპოვეთ x , თუ (3 ; 1)a x x

და (5; 3)b

ვექტორებს შორის კუთხე 90 -ის ტოლია.

ა) 3 ბ) 1

2 გ)

2

3 დ) 6


თუ a და b ურთიერთგადამკვეთი წრფეები L სიბრტყის გარეთ მდებარეობს და ამ სიბრტყის

პარალელურია, ხოლო M სიბრტყე გადის a და b წრფეებზე, მაშინ

ა) L და M სიბრტყეების თანაკვეთა ემთხვევა a წრფის მართობულ გეგმილს L

სიბრტყეზე

ბ) L და M სიბრტყეების თანაკვეთა შეიცავს a და b წრფეების თანაკვეთის

წერტილის მართობულ გეგმილს L სიბრტყეზე

გ) L და M სიბრტყეების თანაკვეთა წარმოადგენს L სიბრტყეზე b წრფის

მართობული გეგმილის პარალელურ წრფეს

დ) L და M სიბრტყეები არ იკვეთება


რას უდრის 10loga

b, თუ 10log 2a და 10log 3b ?

ა) 2 ბ) 3 გ) 2

3 დ) 10

2log

3

ა) ; 20 3 7; ბ) 20 3; 7 გ) ; 7 დ) 20 3;

35


სურათზე გამოსახული წესიერი რვაკუთხედის AB და

CD დიაგონალების გაგრძელებები P წერტილში

იკვეთება. იპოვეთ APC კუთხის სიდიდე.


1 ქულა

ნატურალურ რიცხვთა 1 2, , , na a a მიმდევრობის წევრები აკმაყოფილებენ ტოლობას

1 2 1k ka a , სადაც 1k . იპოვეთ ამ მიმდევრობის მეორე წევრი, თუ ცნობილია, რომ

მიმდევრობა შეიცავს მხოლოდ ერთ ლუწ რიცხვს, რომელიც 12-ის ტოლია.

ა) 11 ბ) 12 გ) 25 დ) 51


იპოვეთ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრული 2( ) sin cosf x x x ფუნქციის

უდიდესი მნიშვნელობა.


კონუსის ფუძის ცენტრიდან მსახველზე დაშვებული OC მართობი

მსახველს შუაზე ყოფს. იპოვეთ ამ კონუსის მოცულობა, თუ OC

მონაკვეთის სიგრძე 3 სმ-ის ტოლია. K

ა) 15 ბ) 22,5 გ) 30 დ) 45

ა) 1 ბ) 2 გ) 3 დ) 2

ა) 18 2 სმ 3 ბ) 9 3 სმ 3 გ) 24 2 სმ 3 დ) 24 3 სმ 3

36


ხატვის წრისთვის შეიძინეს ორი სახის სახატავი ალბომი, სულ 32 ცალი. მათი საერთო

ღირებულება 77 ლარია. რამდენი პირველი სახის სახატავი ალბომი შეუძენიათ ხატვის

წრისთვის, თუ პირველი სახის სახატავი ალბომის ღირებულება 2 ლარია, ხოლო მეორე სახის

სახატავი ალბომისა კი - 3 ლარი?




ABC მართკუთხა სამკუთხედში D წერტილი AB ჰიპოტენუზის შუაწერტილს წარმოადგენს.

იპოვეთ AC კათეტის სიგრძე, თუ 5CB და 4,5CD .






ABCDEF წესიერ ექვსკუთხედს და DGHE კვადრატს საერთო DE

გვერდი აქვს. იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხედის

ფართობი, თუ 2PQ , სადაც P წესიერი ექვსკუთხედის ცენტრია,

ხოლო Q - კვადრატის ცენტრი.

37


სამი რიცხვითი მონაცემიდან პირველის შეფარდება მეორესთან 2 -ის ტოლია. მეორე

მონაცემი მესამეზე 4 -ით ნაკლებია. იპოვეთ ამ მონაცემების მედიანა, თუ მათი საშუალო 8-ის

ტოლია.


3 ქულა


3 3log ( 2) log ( 4) 1x x .


სურათზე გამოსახულია წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის

შლილი სიბრტყეზე. იპოვეთ ამ პირამიდის სიმაღლე, თუ

6DC , ხოლო 120CAB .


მატარებელი წინასწარ გათვალისწინებული მუდმივი სიჩქარით მოძრაობდა, როდესაც გზის

ერთ-ერთ მონაკვეთზე მოულოდნელად 12 წუთით გააჩერეს. მოძრაობის გაგრძელების შემდეგ

მემანქანემ მატარებლის სიჩქარე გათვალისწინებულთან შედარებით 20 კმ/სთ-ით გაზარდა და

დარჩენილ 99 კმ-იან მონაკვეთში აანაზღაურა დაკარგული დრო. რა სიჩქარით მოძრაობდა

მატარებელი გაჩერებამდე?


a პარამეტრის თითოეული დადებითი მნიშვნელობისათვის განვიხილოთ Oxy მართკუთხა

საკოორდინატო სიბრტყეში 2 2

2 | | 0

0

ay

x a

უტოლობათა სისტემის ამონახსენთა სიმრავლით

განსაზღვრული ფიგურა. იპოვეთ ამ ფიგურების პერიმეტრებს შორის უმცირესი და

დაადგინეთ a -ს მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მიიღწევა ეს უმცირესი პერიმეტრი.

38

I ვარიანტის შეფასების სქემა


გიას აქვს 2 თეთრიანებისაგან და 5 თეთრიანებისაგან შემდგარი 28 მონეტა, რომელთა ჯამური

ღირებულებაა 89 თეთრი. სულ რამდენი 2 თეთრიანი მონეტა აქვს გიას?

ამოხსნა

x -ით აღვნიშნოთ ორთეთრიანი მონეტების რაოდენობა, მაშინ ხუთთეთრიანი მონეტების

რაოდენობაა 28 .x ყველა ორთეთრიანი მონეტის ჯამური ღირებულებაა 2x , ხოლო ყველა

ხუთთეთრიანი მონეტის ჯამური ღირებულებაა 5(28 )x .

ამოცანის პირობის თანახმად 2 5(28 ) 89x x . გამარტივების შედეგად ვღებულობთ

3 51 17x x .

პასუხი: 17

ამოხსნის ეტაპები

ა) საჭირო ცვლადების (მაგ. ,x y ) შემოტანა და მათ შორის რაიმე კავშირის დამყარება (მაგ.

28x y ტოლობის ან გამოსახულებების: 28 x ან 2x და 5y დაწერა)

ან

ერთი ცვლადის შემცველი განტოლების შედგენა (მაგ. 2 5(28 ) 89x x ან 5 2(28 ) 89y y );

ბ) პასუხი.

შეფასების სქემა

1 ქულა: ა.

2 ქულა: ა, ბ.

39




2 11 4 0

121 4 4 105

11 105

2

x x

D

x

ამიტომ 2 11 4 0x x კვადრატული უტოლობის ამონახსნთა სიმრავლეა

11 105 11 105,

2 2

პასუხი: 11 105 11 105

,2 2


ა) გამოთვალა დისკრიმინანტი: 105D ;



1 ქულა - ა.

2 ქულა - ა, ბ.

40


მართკუთხედის წვეროები მდებარეობენ 6 სმ რადიუსის მქონე წრეწირზე. მართკუთხედის

ერთ-ერთი გვერდი წრეწირის რადიუსის ტოლია. იპოვეთ მართკუთხედის მეორე გვერდი.

ამოხსნა 1

წრეწირის O ცენტრი მართკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთის

წერტილზე მდებარეობს, ამიტომ 2 12AC r სმ ( r - წრეწირის

რადიუსია).

თუ 6AB r , მაშინ 2 2 6 3BC AC BC სმ.

პასუხი. 6 3 სმ

ამოხსნა 2

თუ AB r , მაშინ ABO სამკუთხედი ტოლგვერდაა: AB AO BO r . ამიტომ 60OAB და

60 6 3BC AB tg სმ.


ა) გამოთვალა AC დიაგონალი, ან მიუთითა, რომ OAB სამკუთხედი ტოლგვერდაა

(მაგ. მიუთითა 60BAO ან 30BCA );





41






ამოცანის პირობის თანახმად გვექნება 5 0k b და 0k+b=3. საიდანაც მივიღებთ

3b და 3

5k .

პასუხი: 3b და 3

5k .


ა) დაწერა b -ს და k -ს დამაკავშირებელი განტოლება;

ბ) დაწერა 3b ;

გ) გამოთვალა 3

5k .


1 ქულა - ა ან ბ ან გ.

2 ქულა - ბ, გ.

42


სურათზე მოცემულ ABCDEF წესიერ ექვსკუთხედს და DGHE

კვადრატს საერთო DE გვერდი აქვს. იპოვეთ წესიერი

ექვსკუთხედის ფართობი, თუ 2PQ , სადაც P წესიერი

ექვსკუთხედის ცენტრია, ხოლო Q - კვადრატის ცენტრი.


აღვნიშნოთ წესიერი ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძე a -თი. მაშინ

PR მანძილი ექვსკუთხედის ცენტრიდან DE გვერდამდე ტოლია

3

2

a, ხოლო QR მანძილი კვადრატის ცენტრიდან კვადრატის DE

გვერდამდე ტოლია 2a . ამიტომ

3 132

2 2 2

aa aPQ PR QR

, საიდანაც 4

2 3 13 1

a

.

გამოვთვალოთ წესიერი ექვსკუთხედის ფართობი გვერდის დახმარებით:

223 3

6 3 1 3 12 3 2 32

S a

პასუხი: 12 3 2 3 .

ამოსხნის ეტაპები

ა) გამოსახა PR მონაკვეთის სიგრძე ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძის საშუალებით,

ან დაწერა წესიერი ექვსკუთხდის გვერდის საშუალებით მისი ფართობის

გამოსათვლელი ფორმულა;

ბ) გამოთვალა ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძე;

გ) პასუხი.



2 ქულა - ბ.

3 ქულა - ა, ბ, გ.

43


სამი რიცხვითი მონაცემის მედიანა უმცირეს მონაცემზე 5-ით მეტი, ხოლო უდიდეს

მონაცემზე 9-ით ნაკლებია. რამდენით მეტია ამ მონაცემების საშუალო მათ მედიანაზე?


ვთქვათ, ამ მოცემული სამი რიცხვის მედიანაა x . მაშინ უმცირესი მონაცემია 5x , ხოლო

უდიდესი მონაცემია 9x . რადგან საშუალო 5 9

3

x x x -ის ტოლია, ამიტომ

საშუალოსა და მედიანის სხვაობა ტოლია 5 9 4

3 3

x x xx

.

პასუხი: 4

3.


ა) შემოიტანა ცვლადი და მისი საშუალებით გამოსახა სამივე რიცხვითი მონაცემი (მაგ.

5, , 9x x x );

ბ) ცვლადის საშუალებით გამოთვალა საშუალო (მაგ.5 9

3

x x x );

გ) პასუხი.



2 ქულა - ა, ბ.

3 ქულა - ა, ბ, გ.

44



2 2log ( 6) log ( 10) 4x x .


დავადგინოთ განტოლების დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლე

6 06

10 0

xx

x

.

22log ( 6) 10 4 ( 6) 10 16 4 76 0x x x x x x .

4 76 804

D .

1 2 4 5x , 2 2 4 5x .

აღნიშნული ფესვებიდან მხოლოდ 2x მდებარეობს დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლეში.

პასუხი: 2 4 5


ა) 6x ან მისი ტოლფასი უტოლობის ან უტოლობათა სისტემის დაწერა;

ბ) 2log ( 6) 10 4x x ტოლობის ან 2 4 76 0x x კვადრატული განტოლების (ან მისი

ტოლფასი კვადრატული განტოლების) დაწერა;

გ) 1 2 4 5x , 2 2 4 5x ფესვების პოვნა;

დ) პასუხი.


1 ქულა - ა ან ბ.

2 ქულა - ა, ბ, ან გ.

3 ქულა - ბ, გ, დ.

45


სურათზე გამოსახულია წესიერი სამკუთხა პირამიდის შლილი

სიბრტყეზე. იპოვეთ პირამიდის BMK ფუძეზე დაშვებული

სიმაღლის სიგრძე, თუ 4BC და 90CAB .


მოცემული შლილიდან ავაგოთ წესიერი სამკუთხა ABMK პირამიდა

(C წვერო B -ს შეუთავსდება). საძიებელია BMK ფუძეზე

დაშვებული AO სიმაღლის სიგრძე (იხ. სურათი). პირობის თანახმად

გვექნება 2 22

BCAB . მაშინ

2 2 2 32 2 cos30 16 1 8 2 3

2BK AB AB

,

ხოლო 2

2 22 1 8sin 60 2 3

3 3 3BO BK BK

.

2 28 1 38

8 2 33 3

AO AB BO

.

1 32 2

3AO

.

პასუხი: 2 6(1 3)1 3

2 23 3

AO


ა) ააგო წესიერი სამკუთხა პირამიდის ნახაზი და მიუთითა საძიებელი AO სიმაღლე;

ბ) გამოთვალა AB (ან 2AB ) ან დაწერა 2

BCAB

(

22

2

BCAB ) ან მიუთითა, რომ 30KAB ;

გ) გამოთვალა (ან გამოსახა BC-ს საშუალებით) BK ან 2BK ან პირამიდის აპოთემა;

დ) გამოთვალა BO ან 2BO ან დაწერა კავშირი BO -სა და BC-ს შორის; ან გამოთვალა (ან

გამოსახა BC-ს საშუალებით) BMK ფუძეში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი;

ე) პასუხი.


1 ქულა - ა ან ბ.

2 ქულა - ა, ბ ან გ.

3 ქულა - დ.

4 ქულა - დ, ე.

46


ველოსიპედისტი ყოველ წუთში 500 მეტრით ჩამორჩება მოტოციკლისტს, ამიტომ 52 კმ-ს

გავლას 2 საათითა და 42 წუთით მეტ დროს ანდომებს ვიდრე მოტოციკლისტი. იპოვეთ

ველოსიპედისტისა და მოტოციკლისტის სიჩქარეები, თუ ველოსიპედისტი და მოტო-

ციკლისტი მთელი გზის განმავლობაში მოძრაობდნენ მუდმივი სიჩქარით.


ვთქვათ ველოსიპედისტი საათში x კმ-ს, ხოლო მოტოციკლისტი y კმ-ს გადის. მაშინ ყოველ

წუთში ველოსიპედისტი 100

6

xმეტრს, ხოლო მოტოციკლისტი

100

6

yმეტრს გაივლის. ამოცანის

პირობის თანახმად 100 100

5006 6

y x .

52კმ-ს გავლას ველოსიპედისტი 52

x საათს, ხოლო მოტოციკლისტი

52

y საათს ანდომებს.

ამიტომ 52 52 42

2 2,760x y

.

ამოვხსნათ განტოლებათა სისტემა

2

530306 6

52 52 52( ) 2,7 9 270 5200 02,7

y xy xy x

y x xy x xx y

ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნებია 40 130

,3 3

x y და 130 40

,3 3

x y . ამოცანის

პირობებს აკმაყოფილებს მხოლოდ პირველი ამონახსნი.

პასუხი:40

3კმ/სთ,

130

3კმ/სთ.


ა) საჭირო უცნობების შემოტანა და მათი დამაკავშირებელი რაიმე განტოლების შედგენა (მაგ.

100 100500

6 6

y x ),

ან სიჩქარის საშუალებით მოცემულ მანძილის გავლაზე დახარჯული დროის გამოსახვა

(მაგ. 52 / x ),

ან სიჩქარეების გამოსახვა ერთი ცვლადის საშუალებით (მაგ., x კმ/სთ და ( 30x )კმ/სთ, ან

x მ/წთ და ( 500x )მ/წთ);

ან ველოსიპედისტისა და მოტოციკლისტის მოძრაობის დროთა გამოსახვა ერთი ცვლადის

საშუალებით (მაგ., t სთ და ( 2, 7t )სთ, ან t წთ და ( 162t )წთ);

ბ) განტოლებათა სისტემის შედგენა;

გ) ერთი ცვლადის შემცველი კვადრატული განტოლების მიღება ერთ-ერთი საძიებელი

უცნობის მიმართ;


47



2 ქულა: ბ.

3 ქულა: გ.

4 ქულა: გ, დ.


a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისათვის ( 5; 2) შუალედიდან განვიხილოთ Oxy

მართკუთხა საკოორდინატო სიბრტყეში

5 2 0

2

2

a y

ax

უტოლობათა სისტემის ამონახსენთა

სიმრავლით განსაზღვრული ფიგურა. იპოვეთ ამ ფიგურების ფართობებს შორის უდიდესი და

დაადგინეთ a -ს მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მიიღწევა ეს უდიდესი ფართობი.


55 2 02

2 22 2

aa y y

a ax x

5 5

2 22 2

2 2

a ay

a ax

Oxy მართკუთხა საკოორდინატო სიბრტყეში უკანასკნელი სისტემის ამონახსენთა სიმრავლე

წარმოადგენს მართკუთხედს, რომლის გვერდებია 5a და 2 a . აღნიშნული მართკუთხედის

ფართობია

2( ) 5 2 3 10S a a a a a .

აღნიშნული კვადრატული სამწევრი უდიდეს მნიშვნელობას აღწევს, როცა 3 3

2 2a

.

3 49

2 4S

.

პასუხი: 49 3

,4 2

S a .

48


ა) სისტემის ერთ-ერთი უტოლობის ამოხსნა (მაგ.5 5

2 2

a ay

ან

2 2

2 2

a ax

);

ბ) მითითება, რომ უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლეა მართკუთხედი, რომლის გვერდებია

5a და 2 a ,

ან ნახაზის წარმოდგენა კოორდინატების მითითებით,

ან ფართობის გამოსახვა a პარამეტრის საშუალებით: 2( ) 5 2 3 10S a a a a a ;

გ) პარაბოლის წვეროს აბსცისის გამოსათვლელი ფორმულის დაწერა 3 3

2 2a

,

ან აღნიშვნა, რომ მოცემული პერიმეტრის მართკუთხედებს შორის უდიდესი ფართობი

გააჩნია კვადრატს და 5 2a a განტოლების შედგენა;


შეფასების სქემა.

1 ქულა: ა, ან ბ, ან გ.


3 ქულა: ა, ბ, გ.

4 ქულა: ბ, გ, დ.

49

პასუხები

I ვარიანტი I I ვარიანტი

1 გ ა

2 ბ ბ

3 გ ბ

4 ბ გ

5 გ დ

6 დ ა

7 ბ დ

8 ა გ

9 ბ გ

10 გ ბ

11 ბ ბ

12 ბ დ

13 დ ბ

14 დ დ

15 დ ა

16 ბ გ

17 გ გ

18 ა გ

19 დ გ

20 დ ბ

21 ბ დ

22 ა ა

23 დ ბ

24 გ დ

25 ა დ

26 ა ა

27 ა ბ

28 გ გ

29 ა დ

30 ა ა

31 17 19

32 11 105 11 105

;2 2

9 89 9 89;

2 2

33 6 3 სმ 2 14

34 3

; 35

k b 3

; 35

k b

35 12 3 2 3 12 2 3 3

36 4/3 9

50

37 4 5 2 2 3 1

38 2 6(1 3)

3

43 3

39 40

3კმ/სთ;

130

3კმ/სთ 90კმ/სთ

40 max

3 49;

2 4a S 8 2; 2P a

პასუხების ფურცელი

აბიტურიენტებს გამოცდაზე დაურიგდებათ ტესტურ დავალებათა რვეული და

პასუხების ფურცელი. ტესტურ დავალებათა რვეულში მოცემული იქნება ამოცანათა

პირობები და დატოვებული იქნება თავისუფალი ადგილი შავი სამუშაოსათვის, რომელიც

აბიტურიენტმა თავისი შეხედულებისამებრ შეიძლება გამოიყენოს. აბიტურიენტის

ნამუშევრის ეს ნაწილი არ შეფასდება.

აბიტურიენტმა სწორი პასუხები და ამოხსნები უნდა გადაიტანოს პასუხების ფურცელში.

ოცდამეთერთმეტე ამოცანიდან მეორმოცეს ჩათვლით აბიტურიენტმა პასუხების ფურცელში

ამ ამოცანებისათვის განკუთვნილ ადგილზე უნდა ჩაწეროს ამოცანის ამოხსნა. ამოხსნაში

ნათლად უნდა ჩანდეს ამოცანის ამოხსნის გზა.

როგორ მოვემზადოთ 2013 წლის ერთიანი...

Documents

Transcript of როგორ მოვემზადოთ 2013 წლის ერთიანი...