Ηαλγοριθμικήτέχνητωναποφάσεωνlegacy.cup.gr/Files/files/ALGORITHMIKH_TEXNH.pdf ·...

Εισαγωγή

Η αλγοριθμική τέχνη των αποφάσεων

Φανταστείτε ότι ψάχνετε ένα διαmicroέρισmicroα στο Σαν Φρανσίσκο ndash microάλλον τηχειρότερη αmicroερικανική πόλη όπου θα microπορούσατε να ψάχνετε διαmicroέρισmicroα Ηάνθηση του κλάδου των νέων τεχνολογιών και η αυστηρή πολεοδοmicroική νοmicroο-θεσία που θέτει περιορισmicroούς στην κατασκευή νέων κτιρίων έχουν συνωmicroοτή-σει για να κάνουν την πόλη εξίσου ακριβή microε τη Νέα Υόρκη και κατά πολλούςπιο ανταγωνιστική Νέες αγγελίες ανεβαίνουν και κατεβαίνουν microέσα σε λίγαλεπτά στα ελεύθερα σπίτια γίνεται συνωστισmicroός υποψήφιων ενοικιαστών καισυχνά τα κλειδιά καταλήγουν στα χέρια όποιου microπορέσει να χώσει πρώτος σταχέρια του ιδιοκτήτη microια επιταγή ως προκαταβολή

Μια τέτοια ξέφρενη αγορά αφήνει λίγα περιθώρια σε κάποιον να συλλέξειπληροφορίες και να τις αξιολογήσει όπως υποτίθεται ότι θα έκανε ένας ορθολο-γικός καταναλωτής Σε αντίθεση φερrsquo ειπείν microε τους πελάτες ενός εmicroπορικούκέντρου ή microε όσους κάνουν αγορές microέσω του ∆ιαδικτύου οι οποίοι microπορούννα συγκρίνουν microεταξύ τους τις διάφορες επιλογές πριν καταλήξουν σε κάποιααπόφαση οι επίδοξοι κάτοικοι του Σαν Φρανσίσκο πρέπει να αποφασίσουνάmicroεσα είτε να πάρουν το διαmicroέρισmicroα που βλέπουν εκείνη τη στιγmicroή απαρνού-microενοι όλα τα υπόλοιπα είτε να φύγουν και να το εγκαταλείψουν οριστικά

Ας υποθέσουmicroε προς στιγmicroήν χάριν απλότητας ότι το microόνο που microας ενδια-φέρει είναι να microεγιστοποιήσουmicroε την πιθανότητα να εξασφαλίσουmicroε το καλύ-τερο διαθέσιmicroο διαmicroέρισmicroα Στόχος microας είναι να περιορίσουmicroε στο απολύτωςελάχιστο τη δίδυmicroη microεταmicroέλεια εν είδει Σκύλλας και Χάρυβδης laquoεκείνου πουαφήσαmicroε να χαθείraquo και laquoτης πέτρας που δεν σηκώσαmicroεraquo Ευθύς εξαρχής αντι-microετωπίζουmicroε το εξής δίληmicromicroα Πώς microπορούmicroε να ξέρουmicroε ότι κάποιο διαmicroέ-ρισmicroα είναι πράγmicroατι το καλύτερο χωρίς να διαθέτουmicroε κάποια κριτήρια microεβάση τα οποία να αξιολογούmicroε Και πώς microπορούmicroε να καταλήξουmicroε σε αυτάτα κριτήρια χωρίς να δούmicroε (και να χάσουmicroε) κάποια διαmicroερίσmicroατα Όσες

xi

xii Εισαγωγή

περισσότερες πληροφορίες συλλέξουmicroε τόσο πιο καλά θα αναγνωρίσουmicroε τησωστή ευκαιρία όταν τη δούmicroε ndash αλλά και τόσο πιο πιθανό είναι να την έχουmicroεήδη αφήσει να microας ξεφύγει

Εποmicroένως τι κάνουmicroε Πώς microπορούmicroε να πάρουmicroε microια εmicroπεριστατωmicroένηαπόφαση όταν η ίδια η πράξη της συλλογής των απαραίτητων πληροφοριώνυποσκάπτει την επιθυmicroητή έκβαση Πρόκειται για microια πολύ δύσκολη κατά-σταση στα όρια του παράδοξου

Αν τους τεθεί ένα τέτοιου είδους πρόβληmicroα οι περισσότεροι άνθρωποι θαπουν microε βάση τη διαίσθησή τους κάτι του τύπου ότι χρειάζεται microια ισορροπίαανάmicroεσα στο να laquoκοιτάξουmicroεraquo και να laquoορmicroήσουmicroεraquo ndash ότι πρέπει κανείς να δειαρκετά διαmicroερίσmicroατα για να διαmicroορφώσει κάποια κριτήρια και στη συνέχειανα πάρει όποιο διαmicroέρισmicroα ικανοποιεί αυτά τα κριτήρια Αυτή η έννοια τηςισορροπίας είναι πράγmicroατι σωστή Αυτό που δεν microπορούν να πουν microε βεβαιό-τητα οι περισσότεροι άνθρωποι είναι ποια είναι αυτή η ισορροπία Ευτυχώςυπάρχει απάντηση

Τριάντα επτά τοις εκατόΑν θέλουmicroε να έχουmicroε τις καλύτερες πιθανότητες να αποκτήσουmicroε το καλύ-

τερο διαmicroέρισmicroα πρέπει να ξοδέψουmicroε το 37της αναζήτησης διαmicroερίσmicroατος(11 microέρες αν διαθέτουmicroε έναν microήνα για την αναζήτηση) εξετάζοντας διάφορεςεπιλογές χωρίς να δεσmicroευόmicroαστε Πρέπει να αφήσουmicroε το microπλοκ επιταγών στοσπίτι σε αυτή τη φάση απλώς laquoβαθmicroονοmicroούmicroεraquo Μετά από αυτό το σηmicroείοόmicroως πρέπει να είmicroαστε έτοιmicroοι να δεσmicroευτούmicroε αmicroέσως ndashmicroε κάποια προκα-ταβολή ή ότι άλλο χρειαστείndash στο πρώτο διαmicroέρισmicroα που θα δούmicroε και θαείναι καλύτερο απrsquo όσα θα έχουmicroε δει προηγουmicroένως ∆εν πρόκειται απλώςγια έναν διαισθητικά ικανοποιητικό συmicroβιβασmicroό microεταξύ του να κοιτάmicroε καιτου να ορmicroάmicroε Είναι αποδεδειγμένα η βέλτιστη λύση

Ο λόγος που το γνωρίζουmicroε είναι ότι η εύρεση διαmicroερίσmicroατος ανήκει σε microιακατηγορία microαθηmicroατικών προβληmicroάτων που ονοmicroάζονται προβλήmicroατα laquoβέλτι-στης διακοπήςraquo Ο κανόνας του 37 ορίζει microια απλή διαδοχή βηmicroάτων ndashαυτόπου οι επιστήmicroονες υπολογιστών ονοmicroάζουν laquoαλγόριθmicroοraquondash για την επίλυσηαυτών των προβληmicroάτων Και η αναζήτηση διαmicroερίσmicroατος είναι microία microόνοαπό τις περιπτώσεις όπου εmicroφανίζεται η βέλτιστη διακοπή στην καθηmicroερινήζωή Η αποδοχή ή η αποποίηση διαδοχικών επιλογών είναι ένα σχήmicroα πουεmicroφανίζεται επανειληmicromicroένα στη ζωή microε ελαφρά διαφορετικές ενσαρκώσειςΠόσες φορές να κάνουmicroε τον γύρο του τετραγώνου πριν να παρκάρουmicroε Πό-σο να παίξουmicroε microε τη φωτιά σε ένα ριψοκίνδυνο επιχειρηmicroατικό εγχείρηmicroαπριν ρευστοποιήσουmicroε τη συmicromicroετοχή microας Πόσο να περιmicroένουmicroε microια καλύτε-ρη προσφορά για ένα σπίτι ή αυτοκίνητο

Το ίδιο ερώτηmicroα εmicroφανίζεται και σε microια ακόmicroη πιο φορτισmicroένη περίστασητην αναζήτηση συντρόφου Η βέλτιστη διακοπή είναι η επιστήmicroη της σειρια-κής microονογαmicroίας

Εισαγωγή xiii

Υπάρχουν απλοί αλγόριθmicroοι που προσφέρουν λύσεις όχι microόνο για την ανα-ζήτηση διαmicroερίσmicroατος αλλά και για όλες αυτές τις καταστάσεις της ζωής όπουβρισκόmicroαστε αντιmicroέτωποι microε το ερώτηmicroα της βέλτιστης διακοπής Οι άνθρω-ποι παλεύουν καθηmicroερινά microε αυτά τα ζητήmicroατα ndashαν και σίγουρα οι ποιητέςέχουν ξοδέψει περισσότερο microελάνι για τα βάσανα του έρωτα παρά για τηνταλαιπωρία του παρκαρίσmicroατοςndash και σε κάποιες περιπτώσεις η microάχη αυτήσυνοδεύεται από microεγάλο άγχος Το άγχος όmicroως είναι περιττό Μαθηmicroατικάτουλάχιστον τα προβλήmicroατα αυτά έχουν λυθεί

Όλοι οι αγχωmicroένοι ενοικιαστές οδηγοί και microνηστήρες που βλέπουmicroε γύρωmicroας κάθε microέρα ουσιαστικά ανακαλύπτουν εκ νέου τον τροχό ∆εν χρειάζονταιψυχαναλυτή χρειάζονται έναν αλγόριθmicroο Ο ψυχαναλυτής τούς λέει να βρουντη σωστή βολική ισορροπία microεταξύ αυθορmicroητισmicroού και υπερανάλυσης

Ο αλγόριθmicroος τους λέει ότι η ισορροπία είναι τριάντα επτά τοις εκατό

˛

Υπάρχει ένα ιδιαίτερο σύνολο προβληmicroάτων που αντιmicroετωπίζουν όλοι οι άν-θρωποι προβλήmicroατα που απορρέουν άmicroεσα από το γεγονός ότι η ζωή microας δια-δραmicroατίζεται σε πεπερασmicroένο χώρο και χρόνο Τι θα πρέπει να κάνουmicroε καιτι να αφήσουmicroε ανολοκλήρωτο σε microια microέρα ή σε microια δεκαετία Πόση ακα-ταστασία θα πρέπει να αποδεχτούmicroε ndash και πόση τάξη είναι υπερβολική Ποιαισορροπία microεταξύ νέων και αγαπημένων εmicroπειριών microάς προσφέρει microεγαλύτε-ρη ικανοποίηση στη ζωή

Αν και αυτά τα προβλήmicroατα φαίνεται να αφορούν microόνο τους ανθρώπουςαυτό δεν ισχύει Εδώ και πάνω από microισό αιώνα οι επιστήmicroονες υπολογιστώνπαλεύουν microε τα ισοδύναmicroα των καθηmicroερινών αυτών διληmicromicroάτων (και σε πολ-λές περιπτώσεις τα λύνουν) Πώς θα πρέπει να κατανείmicroει την laquoπροσοχήraquo τουένας επεξεργαστής ώστε να εκτελέσει όλα όσα του ζητάει ο χρήστης microε τηνελάχιστη επιβάρυνση και στον ελάχιστο χρόνο Πότε πρέπει να microεταβεί απότη microια εργασία στην άλλη και πόσες εργασίες πρέπει κατrsquo αρχήν να αναλάβειΠοιος είναι ο καλύτερος τρόπος να χρησιmicroοποιήσει την πεπερασmicroένη microνήmicroηπου διαθέτει Πρέπει να συλλέξει περισσότερα δεδοmicroένα ή να ενεργήσει βά-σει των δεδοmicroένων που ήδη διαθέτει Το να αδράξουmicroε τη microέρα microπορεί ναείναι δύσκολο για εmicroάς τους ανθρώπους αλλά οι υπολογιστές γύρω microας αδρά-χνουν τα χιλιοστά του δευτερολέπτου microε microεγάλη ευκολία Και έχουmicroε πολλάνα microάθουmicroε από τον τρόπο που το κάνουν

Το να συζητάει κανείς για αλγορίθmicroους microε πεδίο εφαρmicroογής την ανθρώ-πινη ζωή ίσως να ακούγεται αλλόκοτο Για πολλούς η λέξη laquoαλγόριθmicroοςraquoπαραπέmicroπει στις microυστηριώδεις και ακατάληπτες microηχανορραφίες των microεγάλωνδεδοmicroένων των microεγάλων κυβερνήσεων και των microεγάλων επιχειρήσεων παρό-τι αποτελούν ολοένα και περισσότερο microέρος της υποδοmicroής του σύγχρονου κό-

xiv Εισαγωγή

σmicroου δεν είναι σε καmicroία περίπτωση πηγή πρακτικής σοφίας ή συmicroβουλών γιατα ανθρώπινα ζητήmicroατα Ένας αλγόριθmicroος όmicroως είναι απλώς microια ακολου-θία βηmicroάτων που χρησιmicroοποιούνται για την επίλυση ενός προβλήmicroατος και οιαλγόριθmicroοι είναι κάτι πολύ ευρύτερο ndashκαι πολύ παλαιότεροndash από τους υπο-λογιστές Πολύ πριν να χρησιmicroοποιηθούν για πρώτη φορά από τις microηχανές οιαλγόριθmicroοι χρησιmicroοποιούνταν από τους ανθρώπους

Η λέξη laquoαλγόριθmicroοςraquo προέρχεται από το όνοmicroα του Πέρση microαθηmicroατικούΑλ Χουαρίζmicroι συγγραφέα ενός βιβλίου του ένατου αιώνα πάνω σε τεχνικέςγια την εκτέλεση microαθηmicroατικών υπολογισmicroών microε το χέρι (Το βιβλίο του είχετίτλοΑλ-τζαμπρ ουάλ μουκαμπάλα1 ndash και από τη λέξη laquoαλ-τζαmicroπρraquo του τίτλουαυτού προέρχεται η λέξη laquoάλγεβραraquo) Οι πρώτοι γνωστοί microαθηmicroατικοί αλγό-ριθmicroοι ωστόσο είναι προγενέστεροι ακόmicroη και του έργου του Αλ Χουαρίζmicroιmicroια σουmicroερική πήλινη πινακίδα τεσσάρων χιλιάδων ετών που βρέθηκε κοντάστη Βαγδάτη περιγράφει microια microέθοδο για microακρά διαίρεση2

Οι αλγόριθmicroοι όmicroως δεν περιορίζονται στα microαθηmicroατικά Όταν παρασκευά-ζουmicroε ψωmicroί βάσει microιας συνταγής ακολουθούmicroε έναν αλγόριθmicroο Όταν πλέ-κουmicroε ένα πουλόβερ βάσει κάποιου microοτίβου ακολουθούmicroε έναν αλγόριθmicroοΌταν λαξεύουmicroε microια αιχmicroηρή ακmicroή σε ένα κοmicromicroάτι πυριτόλιθο microε microια συγκε-κριmicroένη ακολουθία χτυπηmicroάτων microε την άκρη ενός ελαφοκέρατου3 ndashένα κρί-σιmicroο βήmicroα για την κατασκευή κοφτερών λίθινων εργαλείωνndash ακολουθούmicroεέναν αλγόριθmicroο Οι αλγόριθmicroοι αποτελούν microέρος της τεχνολογίας του ανθρώ-που ήδη από τη Εποχή του Λίθου

˛

Σε αυτό το βιβλίο εξετάζουmicroε την ιδέα της σχεδίασης αλγορίθμων για αν-θρώπους ndash δηλαδή την αναζήτηση καλύτερων λύσεων για τις προκλήσεις πουαντιmicroετωπίζουν καθηmicroερινά οι άνθρωποι Η θεώρηση της καθηmicroερινής ζωήςαπό τη σκοπιά της επιστήmicroης υπολογιστών έχει διάφορες συνέπειες σε πολ-λά επίπεδα Σε πιο άmicroεσο επίπεδο microας προσφέρει πρακτικές συγκεκριmicroένεςπροτάσεις για το πώς να λύνουmicroε συγκεκριmicroένα προβλήmicroατα Η βέλτιστη δια-κοπή microάς λέει πότε πρέπει να κοιτάmicroε και πότε να ορmicroάmicroε Το ισοζύγιο εξερεύ-νησηςεκmicroετάλλευσης microας λέει πώς να βρίσκουmicroε την ισορροπία microεταξύ τηςδοκιmicroής νέων πραγmicroάτων και της απόλαυσης των αγαπηmicroένων microας Η θεωρίαταξινόmicroησης microας λέει πώς (και αν πρέπει) να τακτοποιούmicroε το γραφείο microας Ηθεωρία πρόχειρης αποθήκευσης microάς λέει πώς να γεmicroίζουmicroε τις ντουλάπες microαςΗ θεωρία χρονοπρογραmicromicroατισmicroού microάς λέει πώς να γεmicroίζουmicroε τον χρόνο microας

Στο επόmicroενο επίπεδο η επιστήmicroη υπολογιστών microάς προσφέρει ένα λεξιλό-γιο για να κατανοήσουmicroε τις βαθύτερες αρχές που διέπουν καθένα από αυτά

Εισαγωγή xv

τα πεδία Όπως το έχει θέσει ο Καρλ Σέιγκαν laquoΗ επιστήmicroη είναι πολύ περισ-σότερο ένας τρόπος σκέψης παρά ένα σώmicroα γνώσεωνraquo4 Ακόmicroη και στις περι-πτώσεις όπου η ζωή είναι τόσο χαοτική που δεν microπορούmicroε να προσδοκούmicroεmicroια ακριβή αριθmicroητική ανάλυση ή microια άmicroεση απάντηση η χρήση των ιδεώνκαι των εννοιών που έχουν microορφοποιηθεί microέσα από τις απλούστερες microορφέςαυτών των προβληmicroάτων microάς προσφέρει έναν τρόπο να κατανοούmicroε τα βασικάζητήmicroατα και να προχωράmicroε

Σε ευρύτερο επίπεδο παρατηρώντας τα πράγmicroατα από τη σκοπιά της επι-στήmicroης υπολογιστών microπορούmicroε να αντλήσουmicroε διδάγmicroατα για τη φύση τουανθρώπινου νου για το νόηmicroα του ορθολογισmicroού και για το αρχαιότερο όλωντων ερωτηmicroάτων πώς πρέπει να ζούmicroε Η θεώρηση της νόησης ως microέσου επί-λυσης των θεmicroελιωδών υπολογιστικών προβληmicroάτων που θέτει το περιβάλλονmicroας microπορεί να αλλάξει εντελώς τον τρόπο microε τον οποίο αντιλαmicroβανόmicroαστε τονανθρώπινο ορθολογισmicroό5

Η ιδέα ότι η microελέτη του εσωτερικού τρόπου λειτουργίας των υπολογιστώνmicroπορεί να microας αποκαλύψει πώς να σκεφτόmicroαστε και να αποφασίζουmicroε τι ναπιστεύουmicroε και πώς να φερόmicroαστε microπορεί να φαίνεται σε πολλούς όχι microόνουπερβολικά απλουστευτική αλλά πραγmicroατική πλάνη Ακόmicroα και αν η επιστή-microη υπολογιστών είχε κάτι να microας πει για το πώς πρέπει να σκεφτόmicroαστε και ναπράττουmicroε θέλουmicroε άραγε να ακούσουmicroε Όταν βλέπουmicroε την τεχνητή νοη-microοσύνη και τα ροmicroπότ της επιστηmicroονικής φαντασίας έχουmicroε την αίσθηση πωςκανείς microας δεν θα ήθελε microια ζωή σαν τη δική τους

Εν microέρει αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όταν σκεπτόmicroαστε τους υπολο-γιστές τους σκεπτόmicroαστε ως ψυχρά microηχανιστικά αιτιοκρατικά συστήmicroαταmicroηχανές που εφαρmicroόζουν αυστηρή επαγωγική λογική που παίρνουν αποφά-σεις απαριθmicroώντας εξαντλητικά τις δυνατές επιλογές και προσδιορίζουν τηναπολύτως σωστή απάντηση ανεξάρτητα από το πόσο χρόνο και πόση προ-σπάθεια θα πρέπει να καταβάλουν Πράγmicroατι ο άνθρωπος που φαντάστηκεπρώτος τους υπολογιστές είχε ουσιαστικά κάτι τέτοιο στο microυαλό του Ο ΆλανΤιούρινγκ όρισε την έννοια του υπολογισmicroού ως το ανάλογο ενός ανθρώπουmicroαθηmicroατικού6 που εκτελεί προσεκτικά τα βήmicroατα ενός microακροσκελούς υπολο-γισmicroού ο οποίος καταλήγει σε microια αναmicroφίβολα σωστή απάντηση

Ίσως λοιπόν να προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι στην πραγmicroατικότητα οισύγχρονοι υπολογιστές δεν κάνουν αυτό όταν αντιmicroετωπίζουν ένα δύσκολοπρόβληmicroα Η απλή αριθmicroητική δεν αποτελεί βέβαια ιδιαίτερη πρόκληση γιαέναν σύγχρονο υπολογιστή Αντιθέτως αυτά που συνιστούν πλέον τις microεγαλύ-τερες προκλήσεις για την επιστήmicroη υπολογιστών είναι εργασίες όπως η συνο-microιλία microε ανθρώπους η επιδιόρθωση ενός αλλοιωmicroένου αρχείου ή η νίκη σεmicroια παρτίδα Go ndash προβλήmicroατα όπου οι κανόνες δεν είναι ξεκάθαροι ένα microέ-ρος της απαιτούmicroενης πληροφορίας λείπει ή η εύρεση της απόλυτα σωστής

xvi Εισαγωγή

απάντησης θα απαιτούσε να εξεταστεί ένα αστρονοmicroικά microεγάλο πλήθος δυνα-τοτήτων Και οι αλγόριθmicroοι που έχουν αναπτύξει οι ερευνητές για την επίλυσητων δυσκολότερων κατηγοριών προβληmicroάτων έχουν αποmicroακρύνει τους υπο-λογιστές από την αυστηρή προσήλωση στους εξαντλητικούς υπολογισmicroούς Ηαντιmicroετώπιση ρεαλιστικών προβληmicroάτων απαιτεί ευελιξία στη χρήση τυχαιό-τητας ισορροπία microεταξύ χρόνου και ακρίβειας και εφαρmicroογή προσεγγίσεων

Καθώς οι υπολογιστές προσαρmicroόζονται καλύτερα στα ρεαλιστικά προβλή-microατα προσφέρουν όχι microόνο αλγορίθmicroους τους οποίους microπορούν να δανειστούνοι άνθρωποι για τη δική τους ζωή αλλά και ένα καλύτερο υπόδειγmicroα αναφοράςmicroε το οποίο microπορεί να συγκριθεί η ανθρώπινη νόηση Τις τελευταίες δύο δεκα-ετίες τα συmicroπεριφορικά οικονοmicroικά έχουν αφηγηθεί microια πολύ συγκεκριmicroένηιστορία σχετικά microε τους ανθρώπους ότι είmicroαστε ανορθολογιστές και επιρρε-πείς σε λάθη7 κυρίως λόγω του ατελούς ιδιόmicroορφου laquoυλισmicroικούraquo (hardware)του εγκεφάλου Αν και αυτή η ιστορία αυτο-υποτίmicroησης γίνεται σταδιακά ολο-ένα και πιο οικεία παραmicroένουν ορισmicroένα βασανιστικά ερωτήmicroατα Γιατί τατετράχρονα παιδιά για παράδειγmicroα εξακολουθούν να είναι καλύτερα από υπε-ρυπολογιστές εκατοmicromicroυρίων δολαρίων σε πλήθος νοητικών εργασιών microεταξύτων οποίων η όραση η γλώσσα και οι αιτιακοί συλλογισmicroοί

Οι λύσεις που δίνει η επιστήmicroη υπολογιστών στα καθηmicroερινά προβλήmicroα-τα αφηγούνται microια διαφορετική ιστορία για τον ανθρώπινο νου Η ζωή είναιγεmicroάτη προβλήmicroατα τα οποία είναι απλώς δύσκολα Και τα λάθη που κάνουνοι άνθρωποι συχνά αποκαλύπτουν περισσότερα για τις εγγενείς δυσκολίες τουπροβλήmicroατος παρά για τη σφαλερότητα του ανθρώπινου εγκεφάλου Η αλγο-ριθmicroική θεώρηση του κόσmicroου η κατανόηση των θεmicroελιωδών δοmicroών των προ-βληmicroάτων που αντιmicroετωπίζουmicroε και των ιδιοτήτων των λύσεών τους microπορείνα microας βοηθήσει να αντιληφθούmicroε πόσο καλοί είmicroαστε στην πραγmicroατικότητακαι να καταλάβουmicroε καλύτερα τα λάθη που κάνουmicroε

Στην πραγmicroατικότητα οι άνθρωποι βρίσκονται διαρκώς αντιmicroέτωποι microεmicroερικές από τις δυσκολότερες περιπτώσεις των προβληmicroάτων που microελετούνοι επιστήmicroονες υπολογιστών Συχνά οι άνθρωποι πρέπει να παίρνουν απο-φάσεις υπό συνθήκες αβεβαιότητας χρονικών περιορισmicroών και microερικής πλη-ροφορίας σε έναν γρήγορα microεταβαλλόmicroενο κόσmicroο Για microερικές από αυτές τιςπεριπτώσεις ούτε η τελευταία λέξη της επιστήmicroης υπολογιστών δεν έχει επι-νοήσει ακόmicroα αποδοτικούς αλγορίθmicroους που να καταλήγουν πάντα στη σωστήαπόφαση Για ορισmicroένες καταστάσεις φαίνεται ότι τέτοιου είδους αλγόριθmicroοιίσως να microην υπάρχουν καν

Ακόmicroη όmicroως και εκεί όπου δεν έχουν βρεθεί τέλειοι αλγόριθmicroοι η microακρο-χρόνια microάχη microεταξύ γενεών επιστηmicroόνων υπολογιστών και των πιο δυσεπί-λυτων ρεαλιστικών προβληmicroάτων έχει αποφέρει microια σειρά από γενικές αρχέςΑυτά τα διδάγmicroατα που έχουν κατακτηθεί microε κόπο δεν συmicroφωνούν microε τον τρό-

Εισαγωγή xvii

πο που αντιλαmicroβανόmicroαστε τον ορθολογισmicroό και δεν microοιάζουν καθόλου microε τιςαυστηρές συνταγές ενός microαθηmicroατικού που προσπαθεί να εντάξει τον κόσmicroοσε ένα ξεκάθαρο τυπικό πλαίσιο Λένε Μην εξετάζετε πάντα όλες σας τιςεπιλογές Μην επιλέγετε αναγκαστικά την έκβαση που φαίνεται να είναι ηκαλύτερη κάθε φορά Ανακατέψτε τα πράγmicroατα καmicroιά φορά Ταξιδέψτε microελίγες αποσκευές Αφήστε τα πράγmicroατα να περιmicroένουν Εmicroπιστευτείτε τα έν-στικτά σας και microη σκέφτεστε πάρα πολύ Χαλαρώστε Στρίψτε ένα κέρmicroα Νασυγχωρείτε αλλά να microην ξεχνάτε Προς τον εαυτό σας να είστε αληθινοί

Μια ζωή στηριγmicroένη στη σοφία της επιστήmicroης υπολογιστών ίσως να microηνείναι τόσο άσχηmicroη τελικά Και σε αντίθεση microε τις περισσότερες συmicroβουλέςστηρίζεται σε αποδείξεις

˛

Ακριβώς όπως η σχεδίαση αλγορίθmicroων για τους υπολογιστές ήταν αρχικά ένααντικείmicroενο που βρισκόταν στο microεταίχmicroιο microεταξύ διαφόρων επιστηmicroονικώνπεδίων ndashένα παράξενο υβρίδιο microαθηmicroατικών και microηχανικήςndash έτσι και η σχε-δίαση αλγορίθmicroων για τους ανθρώπους είναι ένα ζήτηmicroα που δεν ανήκει εκφύσεως σε κάποιον συγκεκριmicroένο επιστηmicroονικό κλάδο Σήmicroερα η σχεδίασηαλγορίθmicroων αντλεί ιδέες όχι microόνο από την επιστήmicroη υπολογιστών τα microαθη-microατικά και τη microηχανική αλλά και από συγγενικά πεδία όπως η στατιστική καιη επιχειρησιακή έρευνα Και καθώς εξετάζουmicroε microε ποιον τρόπο οι αλγόριθmicroοιπου έχουν σχεδιαστεί για microηχανές microπορεί να σχετίζονται microε τον ανθρώπινονου θα πρέπει επίσης να στρέφουmicroε το βλέmicromicroα microας στη γνωσιακή επιστήmicroητην ψυχολογία τα οικονοmicroικά και άλλες επιστήmicroες

Οι γράφοντες είmicroαστε εξοικειωmicroένοι microε αυτό το διεπιστηmicroονικό περιβάλ-λον Ο Μπράιαν σπούδασε επιστήmicroη υπολογιστών και φιλοσοφία ενώ στησυνέχεια ακολούθησε microεταπτυχιακές σπουδές στην αγγλική γλώσσα και microιακαριέρα όπου συνδυάζονται και τα τρία Ο Τοmicro σπούδασε ψυχολογία και στα-τιστική και στη συνέχεια έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήmicroιο της Καλιφόρ-νιας στο Μπέρκλεϋ όπου περνάει τον περισσότερο χρόνο του microελετώντας τησχέση microεταξύ ανθρώπινης νόησης και υπολογισmicroού Κανείς όmicroως δεν microπορείνα είναι ειδικός σε όλα τα πεδία που σχετίζονται microε τη σχεδίαση καλύτερωναλγορίθmicroων για τους ανθρώπους Έτσι στο πλαίσιο της αναζήτησής microας γιατους αλγορίθmicroους που πρέπει να ακολουθούmicroε στη ζωή microας microιλήσαmicroε microε τουςανθρώπους που επινόησαν microερικούς από τους γνωστότερους αλγορίθmicroους τωντελευταίων πενήντα ετών Και ρωτήσαmicroε αυτούς κάποιους από τους ευφυέ-στερους ανθρώπους στον κόσmicroο πώς επηρέασε η έρευνά τους τον τρόπο microετον οποίο προσεγγίζουν τη ζωή τους ndash από την εύρεση συζύγου microέχρι τον τρό-πο που τακτοποιούν τις κάλτσες τους

xviii Εισαγωγή

Στις σελίδες που ακολουθούν ξεκινά το ταξίδι microας σε microερικές από τις microεγα-λύτερες προκλήσεις που αντιmicroετωπίζουν τόσο οι υπολογιστές όσο και οι άν-θρωποι πώς να διαχειρίζονται τον πεπερασmicroένο χώρο τον πεπερασmicroένο χρό-νο την περιορισmicroένη προσοχή τους άγνωστους αγνώστους τις ατελείς πλη-ροφορίες και ένα απρόβλεπτο microέλλον πώς να το κάνουν microε χάρη και αυτοπε-ποίθηση και πώς να το κάνουν ζώντας microαζί microε άλλους που προσπαθούν όλοινα κάνουν ταυτόχρονα το ίδιο Θα microάθουmicroε για τη θεmicroελιώδη microαθηmicroατικήδοmicroή αυτών των προβληmicroάτων και για το πώς είναι σχεδιασmicroένοι οι υπολογι-στές ndashmicroερικές φορές διαφορετικά απrsquo ότι φανταζόmicroαστεndash ώστε να τα κατα-φέρνουν όσο το δυνατόν καλύτερα Και θα microάθουmicroε για το πώς λειτουργεί ονους για τους ιδιαίτερους αλλά θεmicroελιωδώς συναφείς τρόπους microε τους οποίουςαντιmicroετωπίζει τα ίδια σύνολα προβληmicroάτων και αντεπεξέρχεται στους ίδιουςπεριορισmicroούς Στην ουσία αυτό που microπορούmicroε να αποκοmicroίσουmicroε δεν είναιmicroόνο ένα σύνολο από συγκεκριmicroένα συmicroπεράσmicroατα για τα προβλήmicroατα πουmicroας περιβάλλουν όχι microόνο ένας νέος τρόπος θεώρησης των κοmicroψών δοmicroώνπου κρύβονται πίσω ακόmicroα και από τα πιο δύσκολα ανθρώπινα διλήmicromicroαταόχι microόνο η αναγνώριση ότι τα βάσανα των ανθρώπων και των υπολογιστώνσχετίζονται στενά microεταξύ τους αλλά κάτι ακόmicroα βαθύτερο ένα νέο λεξιλόγιογια τον κόσmicroο που microας περιβάλλει και microια ευκαιρία να microάθουmicroε κάτι πραγmicroα-τικά καινούργιο για τον εαυτό microας

1 Βέλτιστη διακοπή

Πότε σταματάμε να ψάχνουμε

Μολονότι όλοι οι χριστιανοί ξεκινούν τα γαmicroήλια προσκλητήρια δηλώνονταςεπισήmicroως ότι ο γάmicroος τους οφείλεται σε ειδική θεία πρόνοια εγώ ως φιλόσο-φος θα ήθελα να microιλήσω λεπτοmicroερέστερα για αυτό

Γιοχάννες Κέπλερ1

Αν από κάθε άλλον προτιmicroάς τον κ Μάρτιν αν νοmicroίζεις ότι είναι ο πιο ευχά-ριστος άνθρωπος microε τον οποίο έχεις κάνει παρέα γιατί διστάζεις

Τζέϊν Ωστιν Έμμα

Είναι τόσο συνηθισmicroένο φαινόmicroενο που οι σύmicroβουλοι προσανατολισmicroού σταπανεπιστήmicroια έχουν καθιερώσει ειδική αργκό για να το περιγράψουν laquoχωρι-σmicroός της γαλοπούλαςraquo2 Τα microέχρι πρότινος ερωτευmicroένα ζευγάρια λυκειόπαι-δων ξανασmicroίγουν επιστρέφοντας στην πόλη τους για την Ηmicroέρα των Ευχαρι-στιών την πρώτη τους χρονιά στο πανεπιστήmicroιο και τέσσερις microέρες αργότεραεπιστρέφουν στην πανεπιστηmicroιούπολη έχοντας χωρίσει

Γεmicroάτος άγχος οΜπράιαν πήγε ως πρωτοετής φοιτητής στον δικό του σύmicro-βουλο προσανατολισmicroού στο πανεπιστήmicroιο Η φιλενάδα που είχε από το λύ-κειο είχε πάει σε διαφορετικό πανεπιστήmicroιο αρκετές πολιτείες microακριά και ηαπόσταση τους δυσκόλευε Τους βασάνιζε επίσης ένα πιο περίεργο και πιοφιλοσοφικό ερώτηmicroα Πόσο καλή ήταν η σχέση τους ∆εν microπορούσαν νατη συγκρίνουν microε άλλες σχέσεις για να την αξιολογήσουν Ο σύmicroβουλος τουΜπράιαν κατάλαβε πως επρόκειτο για το συνηθισmicroένο δίληmicromicroα των πρωτοε-τών και η συmicroβουλή του ήταν απρόσmicroενα απαθής laquoΣυγκέντρωσε δεδοmicroέναraquo

1

2 Η αλγοριθμική τέχνη των αποφάσεων

Είναι προφανές ότι η σειριακή microονογαmicroία θέτει εκ φύσεως όσους τηνεφαρmicroόζουν αντιmicroέτωπους microε ένα θεmicroελιώδες αναπόφευκτο πρόβληmicroα Πό-τε έχουν συναντήσει αρκετούς ανθρώπους ώστε να γνωρίζουν ποιο είναι τοκαλύτερο ταίρι τους Και αν η συγκέντρωση δεδοmicroένων έχει σαν συνέπεια ναχάσουν το συγκεκριmicroένο ταίρι Φαίνεται να είναι το απόλυτο Catch-22lowast τηςκαρδιάς

Όπως είδαmicroε το συγκεκριmicroένο Catch-22 αυτή η κραυγή αγωνίας του γεmicroά-του άγχος πρωτοετούς φοιτητή είναι ένα πρόβληmicroα laquoβέλτιστης διακοπήςraquoόπως ονοmicroάζεται στη γλώσσα των microαθηmicroατικών και microάλιστα microπορεί να έχειαπάντηση 37

Βέβαια όλα εξαρτώνται από τις παραδοχές που είmicroαστε διατεθειmicroένοι νακάνουmicroε για τον έρωτα

Το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως

Σε όλα τα προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής το κρίσιmicroο δίληmicromicroα δεν είναι ποιαδυνατότητα να επιλέξουμε αλλά πόσες από τις εναλλακτικές δυνατότητες πρέ-πει κατrsquo αρχάς να εξετάσουμε3 Τα προβλήmicroατα αυτά δεν αφορούν microόνο τουςεραστές και τους ενοικιαστές αλλά και τους οδηγούς τους ιδιοκτήτες ακινή-των τους ληστές και πολλούς άλλους

Ο κανόνας του 37dagger προέρχεται από τον διασηmicroότερο γρίφο βέλτιστηςδιακοπής που είναι γνωστός ως laquoπρόβληmicroα της γραmicromicroατέωςraquo4 Είναι παρό-microοιος microε το δίληmicromicroα των κυνηγών διαmicroερισmicroάτων το οποίο εξετάσαmicroε νωρί-τερα Φανταστείτε ότι εξετάζουmicroε microέσω συνεντεύξεων ένα σύνολο από υπο-ψήφιες για microια θέση γραmicromicroατέως και στόχος microας είναι να microεγιστοποιήσουmicroετην πιθανότητα να προσλάβουmicroε την καλύτερη υποψήφια από αυτή τη laquoδεξα-microενήraquo Παρότι δεν έχουmicroε ιδέα πώς να βαθmicroολογήσουmicroε την κάθε υποψήφιαmicroπορούmicroε να αποφανθούmicroε εύκολα ποια προτιmicroάmicroε (Ένας microαθηmicroατικός θαέλεγε ίσως ότι έχουmicroε πρόσβαση microόνο στα τακτικά αριθmicroητικά ndashτη σχετικήκατάταξη της κάθε υποψήφιας ως προς τις υπόλοιπεςndash και όχι στα απόλυτααριθmicroητικά τις βαθmicroολογίες των υποψηφίων βάσει κάποιας γενικής κλίmicroα-κας) Οι υποψήφιες προσέρχονται για συνέντευξη microε τυχαία σειρά η microία microετάτην άλλη Μπορούmicroε να αποφασίσουmicroε να προσφέρουmicroε τη θέση σε κάποιαυποψήφια οποιαδήποτε στιγmicroή είναι εγγυηmicroένο ότι θα δεχτεί τη θέση οπό-

lowastΣτΜ Catch-22 είναι microια παράδοξη κατάσταση από την οποία είναι αδύνατο να ξεφύγεικανείς λόγω αντιφατικών κανόνων Ο όρος πρωτοχρησιmicroοποιήθηκε από τον Γιόζεφ Χέλερστο microυθιστόρηmicroα Catch-22 που εκδόθηκε το 1961

daggerΟι αλγόριθmicroοι που αναφέρονται στο βιβλίο υποδεικνύονται microε έντονα στοιχεία

1 Βέλτιστη διακοπή 3

τε η αναζήτηση θα τερmicroατιστεί Αν όmicroως εξετάσουmicroε κάποια υποψήφια καιαποφασίσουmicroε να microην την προσλάβουmicroε την έχουmicroε χάσει για πάντα

Πολλοί πιστεύουν ότι το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως εmicroφανίστηκε για πρώ-τη φορά σε έντυπη microορφή ndashχωρίς ρητή αναφορά σε γραmicromicroατείςndash στο τεύχοςΦεβρουαρίου του 1960 του Scientic American ως ένας από τους διάφορουςγρίφους που δηmicroοσιεύονταν στην πολύ δηmicroοφιλή στήλη ψυχαγωγικών microαθη-microατικών του Μάρτιν Γκάρντνερ5 Αλλά η προέλευση του προβλήmicroατος είναιαπρόσmicroενα microυστηριώδης6 Η αρχική microας έρευνα αρχικά απέδωσε microόνο εικασί-ες αλλά στη συνέχεια microετατράπηκε αναπάντεχα σε χειρωνακτική δουλειά ντε-τέκτιβ ένα οδικό ταξίδι στο αρχείο εγγράφων του Γκάρντνερ στο Στάνφορντόπου καταλήξαmicroε να ανασύρουmicroε κιβώτια microε την αλληλογραφία του Γκάρ-ντνερ στα microέσα του προηγούmicroενου αιώνα Όταν διαβάζεις την αλληλογραφίακάποιου είναι κάπως σαν να κρυφακούς microια τηλεφωνική συνοmicroιλία ακούς microό-νο τη microία πλευρά της συνοmicroιλίας και πρέπει να συmicroπεράνεις την άλλη Στηνπερίπτωσή microας είχαmicroε microόνο τις απαντήσεις που είχε λάβει ο Γκάρντνερ στηδική του έρευνα για την προέλευση του προβλήmicroατος κάπου πενήντα χρό-νια πριν Όσο περισσότερο διαβάζαmicroε τόσο πιο microπερδεmicroένη και συγκεχυmicroένηγινόταν η ιστορία

Ο microαθηmicroατικός τουΧάρβαρντΦρέντρικΜόστελλερ θυmicroόταν ότι είχε ακού-σει για το πρόβληmicroα το 1955 από τον συνάδελφό του Άντριου Γκλήζον ο οποί-ος είχε ακούσει για αυτό από κάποιον άλλο7 Ο Λήο Μόσερ από το Πανεπι-στήmicroιο της Αλmicroπέρτα έγραψε ότι είχε διαβάσει για το πρόβληmicroα σε laquoκάποιεςσηmicroειώσειςraquo του Ρ Ε Γκάσκελ της Boeing ο οποίος το απέδιδε σε κάποιονσυνάδελφό του Ο Ρότζερ Πίνκχαmicro από το Πανεπιστήmicroιο Ράτζερς έγραψε ότιάκουσε για πρώτη φορά για το πρόβληmicroα το 1955 από τον microαθηmicroατικό τουΠανεπιστηmicroίου Ντιουκ Τζ Σαίνφηλντ laquoκαι νοmicroίζω ότι είπε πως είχε ακούσειτο πρόβληmicroα από κάποιον από το Μίσιγκανraquo8

Ο laquoκάποιος από τοΜίσιγκανraquo ήταν σχεδόν σίγουρα κάποιος ονόmicroατι Μέρ-ριλ Φλαντ Αν και λίγοι microη microαθηmicroατικοί τον έχουν ακουστά ο Φλαντ εί-χε σηmicroαντική επίδραση στην επιστήmicroη υπολογιστών9 Είναι αυτός που έκανεευρύτερα γνωστό το πρόβληmicroα του περιοδεύοντος πωλητή (το οποίο θα εξετά-σουmicroε λεπτοmicroερέστερα στο Κεφάλαιο 8) διατύπωσε το δίληmicromicroα του φυλακι-σmicroένου (το οποίο θα εξετάσουmicroε στο Κεφάλαιο 11) και πιθανόν επινόησε τονόρο laquosoftwareraquo (λογισmicroικό) Στον Φλαντ αποδίδεται η πρώτη καταγεγραmicro-microένη ανακάλυψη του κανόνα του 37 το 1958 ενώ ο ίδιος ισχυρίζεται ότιmicroελετούσε το πρόβληmicroα από το 1949 ndash αλλά παραπέmicroπει σε διάφορους άλ-λους microαθηmicroατικούς10

Απrsquo όπου και να προήλθε το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως αποδείχθηκε σχε-δόν τέλειος microαθηmicroατικός γρίφος απλό στην περιγραφή του διαβολικό στηνεπίλυση microε συνοπτική απάντηση και πολύ ενδιαφέροντα παρεπόmicroενα Έτσι


εξαπλώθηκε σαν πυρκαγιά στους microαθηmicroατικούς κύκλους της δεκαετίας του1950 διαδιδόmicroενο από στόmicroα σε στόmicroα και το 1960 χάρις στη στήλη του Γκάρ-ντνερ συνεπήρε τη φαντασία του ευρέος κοινού Μέχρι τη δεκαετία του 1980το πρόβληmicroα microαζί microε τις παραλλαγές του είχε αναλυθεί σε τέτοιο βαθmicroό πουκατέληξε να microελετάται σε άρθρα ως ιδιαίτερη γνωστική υποπεριοχή

Όσον αφορά τώρα τις laquoγραmicromicroατείςraquo είναι γοητευτικό να παρακολουθείκανείς κάθε πολιτισmicroό να βάζει το δικό του ανθρωπολογικό αποτύπωmicroα σετυπικά συστήmicroατα Για παράδειγmicroα θεωρούmicroε ότι οι microορφές των κοmicromicroατιώνστο σκάκι ανάγονται στη microεσαιωνική Ευρώπη αλλά στην πραγmicroατικότητατο παιχνίδι έχει τις ρίζες του στην Ινδία του όγδοου αιώνα laquoΕξευρωπαΐστη-κεraquo αδέξια τον δέκατο πέmicroπτο αιώνα οπότε οι σάχηδες έγιναν βασιλιάδεςοι βεζίρηδες microετατράπηκαν σε βασίλισσες και οι ελέφαντες έγιναν αξιωmicroατι-κοί Αντίστοιχα τα προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής έλαβαν διάφορες ενσαρ-κώσεις καθεmicroία από τις οποίες αντανακλούσε τα ενδιαφέροντα της εκάστοτεεποχής Τον δέκατο ένατο αιώνα αυτού του είδους τα προβλήmicroατα διατυπώθη-καν microε βάση λοταρίες και γυναίκες που επιλέγουν microνηστήρες στις αρχές τουεικοστού αιώνα microε βάση microοτοσυκλετιστές που κάνουν διακοπές και αναζητούνξενοδοχεία καθώς και επίδοξους microνηστήρες που επιλέγουν γυναίκες και στογραφειοκρατικό και ανδροκρατικό κλίmicroα των microέσων του εικοστού αιώνα microεβάση άνδρες-αφεντικά που επιλέγουν γυναίκες-βοηθούς Η πρώτη ρητή ανα-φορά στο συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα microε την ονοmicroασία laquoπρόβληmicroα της γραmicromicroα-τέωςraquo φαίνεται πως βρίσκεται σε ένα άρθρο του 196411 και κάπου στην πορείαη ονοmicroασία αυτή καθιερώθηκε

Από πού προκύπτει το 37

Όταν ψάχνουmicroε για γραmicromicroατέα υπάρχουν δύο τρόποι που microπορούmicroε να απο-τύχουmicroε είτε να σταmicroατήσουmicroε την αναζήτηση νωρίς είτε να τη σταmicroατή-σουmicroε αργά Αν σταmicroατήσουmicroε πολύ νωρίς δεν θα ανακαλύψουmicroε την καλύ-τερη υποψήφια Αν σταmicroατήσουmicroε πολύ αργά περιmicroένουmicroε να εmicroφανιστεί microιακαλύτερη υποψήφια που δεν υπάρχει Η βέλτιστη στρατηγική απαιτεί ασφα-λώς την εύρεση της κατάλληλης ισορροπίας microεταξύ των δύο microια ακροβασίαmicroεταξύ υπερβολικής και ανεπαρκούς αναζήτησης

Αν ο στόχος microας είναι να βρούmicroε την απολύτως καλύτερη υποψήφια χωρίςνα συmicroβιβαζόmicroαστε microε τίποτα λιγότερο είναι προφανές ότι καθώς εξελίσσεταιη διαδικασία των συνεντεύξεων δεν θα πρέπει καν να σκεφτούmicroε να προσλά-βουmicroε κάποια υποψήφια που δεν είναι η καλύτερη απrsquo όσες έχουmicroε δει microέ-χρι στιγmicroής12 Ωστόσο δεν αρκεί να είναι κάποια υποψήφια η καλύτερη microέχριστιγmicroής για να της προσφέρουmicroε τη θέση η πρώτη πρώτη υποψήφια για παρά-δειγmicroα θα είναι ασφαλώς η καλύτερη microέχρι στιγmicroής εξ ορισmicroού Γενικότερα


είναι εύλογο ότι ο ρυθmicroός microε τον οποίο συναντάmicroε laquoκαλύτερες microέχρι στιγmicroήςraquoυποψήφιες θα microειώνεται καθώς προχωρούν οι συνεντεύξεις Για παράδειγmicroαη δεύτερη υποψήφια έχει πιθανότητα 50 να είναι η καλύτερη που έχουmicroε δειmicroέχρις στιγmicroής αλλά η πέmicroπτη υποψήφια έχει πιθανότητα microόνο 1 στις 5 να εί-ναι η καλύτερη microέχρι στιγmicroής η έκτη έχει πιθανότητα 1 στις 6 κοκ Συνεπώςοι καλύτερες microέχρι στιγmicroής υποψήφιες θα γίνονται όλο και πιο εντυπωσιακέςκαθώς προχωρά η αναζήτηση (αφού και πάλι εξ ορισmicroού θα είναι καλύτερεςαπrsquo όλες όσες προηγήθηκαν) ndash αλλά θα γίνονται επίσης όλο και πιο σπάνιες

Άρα ξέρουmicroε ότι το να προσλάβουmicroε την πρώτη καλύτερη microέχρι στιγmicroήςυποψήφια που θα συναντήσουmicroε (που είναι απλώς η πρώτη πρώτη υποψήφια)είναι βιαστικό Αν οι υποψήφιες είναι εκατό φαίνεται επίσης βεβιασmicroένο ναπροσφέρουmicroε τη θέση στην επόμενη που θα είναι η καλύτερη microέχρι στιγmicroήςαπλώς επειδή είναι καλύτερη από την πρώτη Άρα πώς προχωράmicroε

∆ιαισθητικά microπορούmicroε να σκεφτούmicroε microερικές δυνατές στρατηγικές Γιαπαράδειγmicroα να προσφέρουmicroε τη θέση την τρίτη φορά που κάποια υποψήφιαθα υπερτερεί απrsquo όλες όσες έχουmicroε δει ndash ή ίσως την τέταρτη φορά Ή ίσως ναπροσλάβουmicroε την υποψήφια που θα εmicroφανιστεί αmicroέσως microετά από microια microακράlaquoπερίοδο ξηρασίαςraquo ndash microια microεγάλη ακολουθία κακών υποψηφίων

Ωστόσο καmicroία από τις σχετικά εύλογες αυτές στρατηγικές δεν είναι η βέλ-τιστη Η βέλτιστη λύση έχει τη microορφή ενός κανόνα που θα ονοmicroάζουmicroε laquoκοι-τάmicroε και microετά ορmicroάmicroεraquo Καθορίζουmicroε ένα συγκεκριmicroένο χρονικό διάστηmicroακατά το οποίο θα laquoκοιτάmicroεraquo ndashδηλαδή θα διερευνούmicroε τις εναλλακτικές επιλο-γές microας συγκεντρώνοντας δεδοmicroέναndash χωρίς να επιλέξουmicroε καmicroία υποψήφιαόσο και να microας εντυπωσιάσει Μετά από αυτό το σηmicroείο περνάmicroε στη φάσηόπου laquoορmicroάmicroεraquo είmicroαστε έτοιmicroοι να επιλέξουmicroε ακαριαία οποιαδήποτε υπο-ψήφια επισκιάσει την καλύτερη από τις υποψήφιες που είδαmicroε στη φάση όπουκοιτούσαmicroε

Μπορούmicroε να καταλάβουmicroε πώς προκύπτει ο κανόνας laquoκοιτάmicroε και microετάορmicroάmicroεraquo εξετάζοντας πώς εξελίσσεται το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως όταν τοσύνολο των υποψηφίων είναι microικρό Αν υπάρχει microόνο microία υποψήφια το πρό-βληmicroα λύνεται εύκολα ndash την προσλαmicroβάνουmicroε Αν οι υποψήφιες είναι δύοέχουmicroε 50 πιθανότητα επιτυχίας ότι και αν κάνουmicroε Μπορούmicroε είτε ναπροσλάβουmicroε την πρώτη υποψήφια (η οποία θα είναι η καλύτερη τις microισέςφορές) είτε να απορρίψουmicroε την πρώτη και να προσλάβουmicroε αναγκαστικά τηδεύτερη (η οποία θα είναι επίσης η καλύτερη τις microισές φορές)

Αν προστεθεί και τρίτη υποψήφια τα πράγmicroατα γίνονται ξαφνικά ενδια-φέροντα Αν κάνουmicroε την πρόσληψη στην τύχη η πιθανότητα είναι 1 στις3 δηλαδή 33 Όταν οι υποψήφιες ήταν δύο δεν microπορούσαmicroε να πετύχου-microε τίποτα καλύτερο από το τυχαίο όταν είναι τρεις microήπως άραγε microπορούmicroεΑποδεικνύεται ότι microπορούmicroε και όλα εξαρτώνται από το τι θα κάνουmicroε microε τη


δεύτερη υποψήφια Όταν εξετάζουmicroε την πρώτη υποψήφια δεν έχουmicroε καmicroίαπληροφορία ndash θα φαίνεται πάντα να είναι η καλύτερη microέχρι στιγmicroής Ότανεξετάζουmicroε την τρίτη υποψήφια δεν έχουmicroε καmicroία δυνατότητα αυτενέργειαςndash είmicroαστε αναγκασmicroένοι να της προσφέρουmicroε τη θέση αφού έχουmicroε απορρί-ψει τις άλλες δύο Όταν όmicroως εξετάζουmicroε τη δεύτερη υποψήφια έχουmicroε λίγοκαι από τα δύο γνωρίζουmicroε αν είναι καλύτερη ή χειρότερη από την πρώτηκαι έχουmicroε την ελευθερία να την προσλάβουmicroε ή να την απορρίψουmicroε Τι θασυmicroβεί αν απλώς την προσλάβουmicroε αν είναι καλύτερη από την πρώτη υπο-ψήφια και την απορρίψουmicroε αν δεν είναι Όπως αποδεικνύεται αυτή είναιη καλύτερη δυνατή στρατηγική στην περίπτωση τριών υποψηφίων microε αυτήτη στρατηγική microπορούmicroε αναπάντεχα να έχουmicroε εξίσου καλά αποτελέσmicroαταmicroε την περίπτωση των δύο υποψηφίων δηλαδή να επιλέξουmicroε την καλύτερηυποψήφια τις microισές φορέςlowast

Αν απαριθmicroήσουmicroε τα πιθανά σενάρια στην περίπτωση που οι υποψήφιεςείναι τέσσερις θα διαπιστώσουmicroε ότι θα πρέπει και πάλι να ξεκινήσουmicroε ναlaquoορmicroάmicroεraquo από τη δεύτερη κιόλας υποψήφια εάν οι υποψήφιες είναι πέντε δενθα πρέπει να laquoορmicroήσουmicroεraquo πριν από την τρίτη υποψήφια

Καθώς η δεξαmicroενή των υποψηφίων microεγαλώνει το ακριβές σηmicroείο microετάβα-σης από τη φάση όπου κοιτάmicroε στη φάση όπου ορmicroάmicroε σταθεροποιείται στο37 της δεξαmicroενήςdagger εξ ου και ο κανόνας του 3713 κοιτάmicroε το πρώτο 37των υποψηφίων χωρίς να επιλέξουmicroε καmicroία και κατόπιν είmicroαστε έτοιmicroοι ναορmicroήσουmicroε σε όποια είναι καλύτερη από όλες όσες έχουmicroε δει microέχρι στιγmicroής

Αποδεικνύεται ότι ακολουθώντας αυτή τη βέλτιστη στρατηγική έχουmicroε πιθα-νότητα 37 να προσλάβουmicroε την καλύτερη υποψήφια microία από τις περίεργεςmicroαθηmicroατικές συmicromicroετρίες του προβλήmicroατος είναι ότι το ποσοστό που εκφράζειτην ίδια τη στρατηγική συmicroπίπτει ακριβώς microε την πιθανότητα επιτυχίας της14

Στον Πίνακα 11 παρουσιάζεται η βέλτιστη στρατηγική για το πρόβληmicroα τηςγραmicromicroατέως για διάφορους αριθmicroούς υποψηφίων όπου φαίνεται πώς η πιθα-νότητα επιτυχίας ndashόπως και το σηmicroείο microετάβασης από τη φάση όπου κοιτάmicroε

lowastΜε αυτή τη στρατηγική έχουmicroε κίνδυνο 33 να απορρίψουmicroε την καλύτερη υποψήφια και16 να microην τη συναντήσουmicroε ποτέ Αναλυτικότερα υπάρχουν έξι δυνατές διατάξεις τωντριών υποψηφίων κατά σειρά laquoποιότηταςraquo 1-2-3 1-3-2 2-1-3 2-3-1 3-1-2 και 3-2-1 Ηστρατηγική laquoκοιτάmicroε την πρώτη υποψήφια και microετά ορmicroάmicroε σε όποια την ξεπερνάraquo θα είναιεπιτυχηmicroένη σε τρεις από τις έξι περιπτώσεις (2-1-3 2-3-1 3-1-2) και αποτυχηmicroένη στις υπό-λοιπες τρεις ndash δύο φορές επειδή θα είmicroαστε υπερβολικά επιλεκτικοί (1-2-3 1-3-2) και microίαεπειδή θα είmicroαστε ανεπαρκώς επιλεκτικοί (3-2-1)

daggerΣτην πραγmicroατικότητα ελάχιστα κάτω από 37 Για να ακριβολογούmicroε το microαθηmicroατικά βέλτι-στο κλάσmicroα υποψηφίων που πρέπει να κοιτάξουmicroε είναι 1e ndash η ίδια microαθηmicroατική σταθερά eίση microε 271828 που εmicroφανίζεται στους υπολογισmicroούς ανατοκισmicroού ∆εν χρειάζεται όmicroωςνα γνωρίζει κανείς το e microε ακρίβεια δώδεκα δεκαδικών ψηφίων οποιοδήποτε ποσοστό microεταξύ35 και 40 δίνει βαθmicroό επιτυχίας πολύ κοντά στον microέγιστο Για περισσότερες microαθηmicroατικέςλεπτοmicroέρειες βλ τις σηmicroειώσεις στο τέλος του βιβλίου


Πλήθοςυποψηφίων

Προσλαmicroβάνουmicroε τηνκαλύτερη υποψήφια microετά από

Πιθανότητα ναπροσλάβουmicroε την καλύτερη

3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681

Πίνακας 11 Πώς επιλέγουmicroε γραmicromicroατέα microε βέλτιστο τρόπο

στη φάση όπου ορmicroάmicroεndash συγκλίνει στο 37 καθώς αυξάνεται το πλήθος τωνυποψηφίων

Πιθανότητα αποτυχίας 63 όταν εφαρmicroόζουmicroε την καλύτερη δυνατή στρα-τηγική είναι κάπως απογοητευτικό αποτέλεσmicroα Ακόmicroα και αν ενεργήσουmicroεmicroε τον βέλτιστο τρόπο στο πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως τις περισσότερες φορέςθα αποτύχουmicroε ndash δηλαδή δεν θα προσλάβουmicroε την απολύτως καλύτερη απότη δεξαmicroενή των υποψηφίων Αυτά είναι άσχηmicroα νέα για όσους από microας θεω-ρούν τον έρωτα ως αναζήτηση του laquomicroοναδικούraquo Ας δούmicroε όmicroως και τη θετικήπλευρά ∆ιαισθητικά θα περιmicroέναmicroε ότι η πιθανότητά microας να επιλέξουmicroε τηναπολύτως καλύτερη υποψήφια θα πρέπει να microειώνεται συνεχώς καθώς microεγα-λώνει η δεξαmicroενή των υποψηφίων Αν προσλαmicroβάναmicroε κάποια στην τύχη γιαπαράδειγmicroα τότε σε microια δεξαmicroενή εκατό υποψηφίων θα είχαmicroε πιθανότηταεπιτυχίας 1 ενώ σε microια δεξαmicroενή ενός εκατοmicromicroυρίου υποψηφίων θα είχαmicroεπιθανότητα 00001 Παραδόξως όmicroως η microαθηmicroατική ανάλυση του προβλή-microατος της γραmicromicroατέως δεν αλλάζει Αν εφαρmicroόσουmicroε τη βέλτιστη διακοπή ηπιθανότητα να βρούmicroε την απολύτως καλύτερη υποψήφια σε microια δεξαmicroενήεκατό υποψηφίων είναι 37 Και σε microια δεξαmicroενή ενός εκατοmicromicroυρίου είτε τοπιστεύετε είτε όχι η πιθανότητα είναι και πάλι 37 Συνεπώς όσο microεγαλώνειη δεξαmicroενή των υποψηφίων τόσο πιο πολύτιmicroη γίνεται η γνώση του βέλτιστουαλγορίθmicroου Αν και πράγmicroατι είναι microάλλον απίθανο να βρούmicroε τη βελόνα τιςπερισσότερες φορές ωστόσο η βέλτιστη διακοπή είναι η καλύτερη άmicroυνά microαςαπέναντι στα άχυρα όσο πολλά και αν είναι


Το άλmicroα των ερωτευmicroένωνlowast

Το πάθος ανάmicroεσα στα δύο φύλα έχει παραmicroείνει ανά τους αιώνες τόσο σταθε-ρό ώστε microπορεί να θεωρηθεί σε αλγεβρική γλώσσα δεδοmicroένη ποσότητα

Τόμας Μάλθους15

Παντρεύτηκα τον πρώτο άντρα που φίλησα Όταν το λέω αυτό στα παιδιά microουτους έρχεται να κάνουν εmicroετό

Μπάρμπαρα Μπους16

Πριν γίνει καθηγητής επιχειρησιακής έρευνας στο Κάρνεγκι Μέλλον ο ΜάικλΤρικ ήταν ένας microεταπτυχιακός φοιτητής που αναζητούσε τον έρωτα laquoΞαφνι-κά συνειδητοποίησα ότι το πρόβληmicroα έχει microελετηθεί είναι το πρόβληmicroα τηςγραmicromicroατέως Υπήρχε microια ldquoκενή θέσηrdquo που ήθελα να συmicroπληρωθεί [και] κά-ποιες υποψήφιες και στόχος microου ήταν να επιλέξω την καλύτερη υποψήφιαγια τη θέσηraquo17 Έτσι έκανε τους υπολογισmicroούς ∆εν γνώριζε πόσες γυναίκεςmicroπορούσε να περιmicroένει ότι θα γνωρίσει στη ζωή του αλλά ο κανόνας του 37είναι κάπως ελαστικός microπορεί να εφαρmicroοστεί είτε στο πλήθος των υποψη-φίων είτε στον χρόνο της αναζήτησης18 Θεωρώντας ότι η αναζήτησή του θαδιαρκούσε από τα δεκαοκτώ microέχρι τα σαράντα του χρόνια από τον κανόνατου 37 προέκυψε ότι το χρονικό σηmicroείο microετάβασης από τη φάση όπου έπρε-πε microόνο να κοιτάει στη φάση όπου έπρεπε να ορmicroήσει ήταν η ηλικία των 261ετών19 Αριθmicroός που κατά σύmicroπτωση συνέπιπτε ακριβώς microε την ηλικία τουΤρικ εκείνη τη χρονική περίοδο Έτσι όταν γνώρισε microια γυναίκα microε την οποίαταίριαζε καλύτερα από όλες εκείνες microε τις οποίες είχε δεσmicroό στο παρελθόνήξερε ακριβώς τι έπρεπε να κάνει laquo∆εν ήξερα αν ήταν Τέλεια (οι παραδοχέςτου microοντέλου δεν microου επιτρέπουν να το διαπιστώσω) αλλά δεν υπήρχε αmicroφι-βολία ότι πληρούσε τις προϋποθέσεις για αυτό το βήmicroα του αλγορίθmicroου Έτσιτης έκανα πρόταση γάmicroουraquo γράφει

laquoΚαι την απέρριψεraquoΟι microαθηmicroατικοί αντιmicroετωπίζουν προβλήmicroατα microε την έρωτα τουλάχιστον

από τον δέκατο έβδοmicroο αιώνα Οι βασικοί λόγοι για τους οποίους θυmicroόmicroαστεσήmicroερα τον θρυλικό αστρονόmicroο Γιοχάννες Κέπλερ είναι ότι ανακάλυψε πως οιτροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές και υπήρξε microαζί microε τον Γαλιλαίο καιτον Νεύτωνα καθοριστικός συντελεστής της laquoκοπερνίκειας επανάστασηςraquo η

lowastΣτΜ laquoΆλmicroα των ερωτευmicroένωνraquo (loverrsquos leap) ονοmicroάζεται κάποιο δυσπρόσιτο σηmicroείο microεαπότοmicroη εδαφική κλίση όπου διατρέχει κανείς τον κίνδυνο να σκοτωθεί πέφτοντας ή πηδών-τας ηθεληmicroένα


οποία ανέτρεψε την αντίληψη της ανθρωπότητας για τη θέση της στο σύmicroπανΟ Κέπλερ είχε όmicroως και γήινες ανησυχίες Μετά τον θάνατο της πρώτης τουσυζύγου το 1611 ο Κέπλερ επιδόθηκε σε microια microακρά και κοπιαστική αναζήτη-ση νέας συζύγου φλερτάροντας συνολικά έντεκα γυναίκες20 Από τις τέσσεριςπρώτες στον Κέπλερ άρεσε περισσότερο η τέταρτη (laquoλόγω της ψηλής κορmicroο-στασιάς της και του αθλητικού κορmicroιού τηςraquo) αλλά δεν σταmicroάτησε την αναζή-τηση laquoΤο ζήτηmicroα θα είχε τακτοποιηθείraquo έγραψε ο Κέπλερ laquoαν η αγάπη και ηλογική δεν microου επέβαλαν microια πέmicroπτη γυναίκα Αυτή microε κέρδισε microε την αγάπητης την ταπεινή της αφοσίωση τη φροντίδα που έδειχνε για το νοικοκυριό τησυνέπειά της και την αγάπη που έδινε στα θετά της παιδιάraquo

laquoΠαρrsquo όλα αυτά όmicroωςraquo έγραψε laquoσυνέχισαraquoΟι φίλοι και οι συγγενείς του Κέπλερ συνέχιζαν να του κάνουν νέες γνω-

ριmicroίες και εκείνος συνέχιζε να ψάχνει αλλά microε microισή καρδιά Οι σκέψεις τουείχαν κολλήσει στον αριθmicroό πέντε Ύστερα από συνολικά έντεκα φλερτ απο-φάσισε να microη συνεχίσει άλλο την αναζήτηση laquoΕνώ ετοιmicroαζόmicroουν να ταξιδέ-ψω στο Ρέγκενσmicroπουργκ επέστρεψα στην πέmicroπτη γυναίκα της αποκάλυψα τοενδιαφέρον microου και microε δέχτηκεraquo Ο Κέπλερ και η Σουζάννα Ρόυττινγκερ παν-τρεύτηκαν και απέκτησαν microαζί έξι παιδιά πέρα από τα παιδιά του Κέπλερ απότον πρώτο γάmicroο Στις βιογραφίες του Κέπλερ το υπόλοιπο της οικογενειακήςζωής του περιγράφεται ως εξαιρετικά γαλήνιο και ευτυχισmicroένο

Όπως διαπίστωσαν ndashmicroε αντίθετους τρόπουςndash από πρώτο χέρι ο Κέπλερ καιο Τρικ το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως υπεραπλουστεύει την αναζήτηση τουέρωτα Στο κλασικό πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως οι υποψήφιες αποδέχονταιπάντα τη θέση οπότε δεν υπάρχει η περίπτωση της απόρριψης που βίωσε οΤρικ Και αντίθετα microε τη στρατηγική που ακολούθησε ο Κέπλερ δεν microπορούννα απορριφθούν προσωρινά και να laquoανακληθούνraquo αργότερα

Τις δεκαετίες που ακολούθησαν microετά την αρχική παρουσίαση του προβλή-microατος της γραmicromicroατέως microελετήθηκε ένα ευρύ φάσmicroα παραλλαγών του βασικούσεναρίου και υπολογίστηκαν στρατηγικές βέλτιστης διακοπής υπό διάφορεςσυνθήκες Η περίπτωση για παράδειγmicroα όπου υπάρχει δυνατότητα απόρρι-ψης microιας πρότασης έχει microια απλή microαθηmicroατική λύση κάνουmicroε προτάσεις απόνωρίς και συχνά21 Αν έχουmicroε φερrsquo ειπείν πιθανότητα 50 να απορριφθού-microε τότε microε το ίδιο είδος microαθηmicroατικής ανάλυσης που οδήγησε στον κανόνα του37 προκύπτει ότι πρέπει να αρχίσουmicroε να κάνουmicroε προσφορές ύστερα απότο ένα τέταρτο microόλις της αναζήτησής microας Αν απορριφθούmicroε συνεχίζουmicroε νακάνουmicroε προσφορές σε όλα τα καλύτερα microέχρι στιγmicroής άτοmicroα που βλέπουmicroεmicroέχρις ότου κάποιο να δεχτεί Με αυτή τη στρατηγική η πιθανότητα καθο-λικής επιτυχίας ndashδηλαδή η πιθανότητα να κάνουmicroε πρόταση στην καλύτερηαπό τη δεξαmicroενή των υποψηφίων και η πρότασή microας να γίνει δεκτήndash θα εί-ναι επίσης 25 Όχι φοβερά κακές πιθανότητες ίσως για microια κατάσταση που


συνδυάζει το εmicroπόδιο της απόρριψης microε τη γενική εξαρχής δυσκολία του καθο-ρισmicroού κριτηρίων

Ο Κέπλερ από την πλευρά του στηλίτευσε laquoτις ανησυχίες και τις αmicroφι-βολίεςraquo που τον ώθησαν να συνεχίσει να ψάχνει laquo∆εν υπήρχε άραγε κάποιοςάλλος τρόπος να microείνει η ανήσυχη καρδιά microου ικανοποιηmicroένη microε τη microοίρατηςraquo παραπονέθηκε σε microια επιστολή προς microια στενή του φίλη laquoπαρά microόνοσυνειδητοποιώντας πόσο αδύνατο είναι να εκπληρωθούν τόσες πολλές άλλεςεπιθυmicroίεςraquo Και σε αυτή την περίπτωση η θεωρία της βέλτιστης διακοπήςπροσφέρει microια δόση παρηγοριάς Οι ανησυχίες και οι αmicroφιβολίες αντί να εί-ναι σηmicroάδια ηθικού ή ψυχολογικού εκφυλισmicroού αποτελούν τελικά microέρος τηςκαλύτερης στρατηγικής στις περιπτώσεις όπου υπάρχουν δεύτερες ευκαιρίεςΑν microπορούmicroε να ανακαλέσουmicroε προηγούmicroενες υποψήφιες ο βέλτιστος αλγό-ριθmicroος διαφοροποιείται κάπως από τον γνωστό microας κανόνα laquoκοιτάmicroε και microετάορmicroάmicroεraquo έχουmicroε microεγαλύτερη περίοδο όπου δεν αναλαmicroβάνουmicroε δέσmicroευσηκαι εναλλακτικό σχέδιο

Για παράδειγmicroα υποθέστε ότι microια άmicroεση πρόταση γίνεται πάντα δεκτήαλλά οι καθυστερηmicroένες προτάσεις απορρίπτονται τις microισές φορές Σε αυτήτην περίπτωση τα microαθηmicroατικά λένε ότι θα πρέπει να συνεχίσουmicroε να κοι-τάmicroε χωρίς να δεσmicroευόmicroαστε microέχρι να φτάσουmicroε στο 61 των υποψηφίωνκαι ύστερα να ορmicroήσουmicroε microόνο αν κάποια από το υπόλοιπο 39 της δεξαmicroε-νής των υποψηφίων αποδειχθεί η καλύτερη microέχρι στιγmicroής22 Αν παραmicroένου-microε εργένηδες αφότου έχουmicroε εξετάσει όλες τις δυνατότητες ndashόπως συνέβη microετον Κέπλερndash τότε επιστρέφουmicroε στην καλύτερη υποψήφια που microας διέφυγεΗ συmicromicroετρία microεταξύ στρατηγικής και έκβασης ισχύει και σε αυτή την περί-πτωση η πιθανότητα να καταλήξουmicroε microε την καλύτερη υποψήφια σε τέτοιεςκαταστάσεις όπου υπάρχουν δεύτερες ευκαιρίες είναι επίσης 61

Για τον Κέπλερ η διαφορά microεταξύ πραγmicroατικότητας και κλασικού προβλή-microατος της γραmicromicroατέως οδήγησε σε αίσια έκβαση Μάλιστα η παραλλαγή τουκλασικού προβλήmicroατος λειτούργησε καλά και για τον Τρικ Μετά την απόρρι-ψη ολοκλήρωσε τις σπουδές του και βρήκε δουλειά στη Γερmicroανία Εκεί όπωςαναφέρει laquoγνώρισα τυχαία microια όmicroορφη γυναίκα την ερωτεύτηκα συγκατοί-κησα microαζί της ύστερα από τρεις εβδοmicroάδες [και] την προσκάλεσα να microείνει γιαldquoλίγοrdquo στις ΗΠΑraquo Συmicroφώνησε ndash και έξι χρόνια αργότερα παντρεύτηκαν

Πλήρης πληροφορία αναγνωρίζουmicroε ότι κάτι είναι καλόmicroόλις το δούmicroε

Στο πρώτο σύνολο παραλλαγών που εξετάσαmicroε ndashαπόρριψη και ανάκλησηndashείχαν τροποποιηθεί οι παραδοχές του κλασικού προβλήmicroατος της γραmicromicroατέως


σύmicroφωνα microε τις οποίες οι έγκαιρες προτάσεις γίνονται πάντα δεκτές και οικαθυστερηmicroένες ποτέ Σε αυτές τις παραλλαγές η καλύτερη προσέγγιση παρέ-microεινε ίδια microε την αρχική κοιτάmicroε για κάποιο διάστηmicroα χωρίς να αναλαmicroβά-νουmicroε δέσmicroευση και microετά είmicroαστε έτοιmicroοι να ορmicroήσουmicroε

Υπάρχει όmicroως microια ακόmicroη πιο θεmicroελιώδης παραδοχή η οποία θα microπορού-σε να αναιρεθεί στο πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως Συγκεκριmicroένα θεωρούmicroε ότιδεν γνωρίζουmicroε τίποτα για τις υποψήφιες παρά microόνο πώς να τις συγκρίνουmicroεmicroεταξύ τους ∆εν έχουmicroε καmicroία αντικειmicroενική ή προϋπάρχουσα αίσθηση σχε-τικά microε το τι καθιστά καλή ή κακή microια υποψήφια επιπλέον όταν συγκρίνουmicroεδύο υποψήφιες ξέρουmicroε ποια είναι η καλύτερη αλλά όχι πόσο καλύτερη είναιΑυτός ακριβώς είναι ο λόγος που υπάρχει αναγκαστικά η φάση όπου laquoκοι-τάmicroεraquo κατά την οποία κινδυνεύουmicroε να προσπεράσουmicroε κάποια εξαιρετικήυποψήφια που θα εmicroφανιστεί νωρίς ενόσω εmicroείς θα ρυθmicroίζουmicroε τις προσδο-κίες και τα κριτήριά microας Οι microαθηmicroατικοί αποκαλούν αυτού του είδους ταπροβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής laquoπαιχνίδια χωρίς πληροφορίαraquo

Αυτή η κατάσταση προφανώς διαφέρει ριζικά από τις περισσότερες περι-πτώσεις αναζήτησης διαmicroερίσmicroατος συντρόφου ή ακόmicroη και γραmicromicroατέως Αςυποθέσουmicroε αντιθέτως ότι διαθέτουmicroε κάποιου είδους αντικειmicroενικό κριτή-ριο ndash για παράδειγmicroα ότι κάθε γραmicromicroατέας έχει δώσει microια εξέταση δακτυ-λογράφησης όπου οι υποψήφιες κατατάσσονται βαθmicroολογικά σε εκατοστηmicroό-ρια όπως είναι οι εξετάσεις SAT GRE και LSAT ∆ηλαδή η βαθmicroολογία κάθευποψήφιας εκφράζει την κατάταξή της microεταξύ όλων των δακτυλογράφων πουσυmicromicroετείχαν στην εξέταση microια δακτυλογράφος στο 51ο εκατοστηmicroόριο εί-ναι λίγο πάνω από τον microέσο όρο microια δακτυλογράφος στο 75ο εκατοστηmicroόριοείναι καλύτερη από το 75 όσων συmicromicroετείχαν στην εξέταση κοκ

Ας υποθέσουmicroε ότι η δεξαmicroενή των υποψηφίων microας είναι αντιπροσωπευτι-κή του γενικού πληθυσmicroού και δεν είναι microε κανένα τρόπο στρεβλωmicroένη ή microητυχαία Επιπλέον ας υποθέσουmicroε ότι αποφασίζουmicroε πως η ταχύτητα δακτυ-λογράφησης είναι το microόνο που microετράει για τις υποψήφιές microας Σε αυτή τηνπερίπτωση έχουmicroε αυτό που οι microαθηmicroατικοί αποκαλούν laquoπλήρη πληροφο-ρίαraquo και τα πάντα αλλάζουν Όπως αναφέρεται στο σηmicroαντικό άρθρο πουδηmicroοσιεύτηκε το 1966 πάνω στο συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα laquoδεν χρειάζεται νασυγκεντρώσει κανείς εmicroπειρία για να καθορίσει κάποια κριτήρια και microερικέςφορές microπορεί να γίνει αmicroέσως microια επωφελής επιλογήraquo23 Με άλλα λόγια αν ηπρώτη υποψήφια που θα αξιολογήσουmicroε τύχει να βρίσκεται στο 95ο εκατοστη-microόριο το γνωρίζουmicroε αmicroέσως και microπορούmicroε microε σιγουριά να την προσλάβουmicroεεπιτόπου ndash υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι θεωρούmicroε πως δεν υπάρχει στηδεξαmicroενή κάποια υποψήφια που βρίσκεται στο 96ο εκατοστηmicroόριο

Και εκεί είναι το πρόβληmicroα Αν στόχος microας είναι και πάλι να προσλά-βουmicroε microόνο το απολύτως καλύτερο άτοmicroο για τη δουλειά θα πρέπει να σταθ-


microίσουmicroε την πιθανότητα να υπάρχει στη δεξαmicroενή κάποια ικανότερη υποψή-φια Ωστόσο το γεγονός ότι διαθέτουmicroε πλήρη πληροφορία microάς προσφέρειόλα όσα χρειαζόmicroαστε για να υπολογίσουmicroε απευθείας τη σχετική πιθανότη-τα Για παράδειγmicroα η πιθανότητα η επόmicroενη υποψήφια να βρίσκεται στο 96οή σε ανώτερο εκατοστηmicroόριο θα είναι πάντα 1 στις 20 Εποmicroένως η απόφα-ση να σταmicroατήσουmicroε ή όχι εξαρτάται αποκλειστικά από το πόσες υποψήφιεςαποmicroένουν να δούmicroε Πλήρης πληροφορία σηmicroαίνει ότι δεν χρειάζεται να κοι-τάξουmicroε πριν ορmicroήσουmicroε Μπορούmicroε αντrsquo αυτού να χρησιmicroοποιήσουmicroε τονκανόνα του κατωφλίου όπου προσφέρουmicroε αmicroέσως τη θέση σε κάποια υπο-ψήφια εάν βρίσκεται από κάποιο συγκεκριmicroένο εκατοστηmicroόριο και πάνω24

Για να καθορίσουmicroε αυτό το κατώφλι δεν χρειάζεται να εξετάσουmicroε κάποιααρχική οmicroάδα υποψηφίων ndash πρέπει όmicroως να γνωρίζουmicroε οπωσδήποτε πόσεςυποψήφιες αποmicroένουν για να εξετάσουmicroε

Όπως προκύπτει από τη microαθηmicroατική ανάλυση αν αποmicroένουν πολλές υπο-ψήφιες στη δεξαmicroενή θα πρέπει να απορρίψουmicroε ακόmicroη και microια πολύ καλήυποψήφια ελπίζοντας ότι θα βρούmicroε κάποια ακόmicroη καλύτερη ndash καθώς όmicroωςοι επιλογές microας λιγοστεύουν θα πρέπει να είmicroαστε έτοιmicroοι να προσλάβουmicroεοποιαδήποτε υποψήφια είναι απλώς καλύτερη από τον microέσο όρο Πρόκειταιγια ένα γνωστό αν και όχι ιδιαίτερα εmicroπνευσmicroένο microήνυmicroα όταν υπάρχουνλίγες επιλογές χαmicroηλώνουmicroε τις απαιτήσεις microας Εξίσου ευνόητο είναι καιτο αντίστροφο αν υπάρχουν πολλά ψάρια στη θάλασσα θέτουmicroε υψηλότερεςαπαιτήσεις Το σηmicroαντικό είναι πως και στις δύο περιπτώσεις τα microαθηmicroατικάmicroάς λένε ακριβώς πόσο υψηλότερες

Ο καλύτερος τρόπος για να καταλάβουmicroε τα αριθmicroητικά microεγέθη στη συγ-κεκριmicroένη παραλλαγή του προβλήmicroατος είναι να ξεκινήσουmicroε από το τέλοςκαι να σκεφτούmicroε αντίστροφα Αν έχουmicroε φτάσει στην τελευταία υποψήφιαασφαλώς είmicroαστε αναγκασmicroένοι να την επιλέξουmicroε Όταν όmicroως εξετάζουmicroετην προτελευταία υποψήφια το ερώτηmicroα είναι το εξής βρίσκεται από το 50οεκατοστηmicroόριο και πάνω Αν ναι την προσλαmicroβάνουmicroε αν όχι αξίζει να πον-τάρουmicroε στην τελευταία υποψήφια αφού η πιθανότητα να βρίσκεται αυτή απότο 50ο εκατοστηmicroόριο και πάνω είναι εξ ορισmicroού 50 Αντίστοιχα θα πρέπεινα επιλέξουmicroε την τρίτη από το τέλος υποψήφια αν βρίσκεται από το 69ο εκα-τοστηmicroόριο και πάνω την τέταρτη από το τέλος αν βρίσκεται από το 78ο εκατο-στηmicroόριο και πάνω κοκ όντας πιο επιλεκτικοί όσο περισσότερες υποψήφιεςαποmicroένουν Σε κάθε περίπτωση δεν προσλαmicroβάνουmicroε ποτέ κάποια υποψήφιαπου βρίσκεται κάτω από τον microέσο όρο παρά microόνο αν έχουν εξαντληθεί όλεςmicroας οι επιλογές (Και αφού ο στόχος microας παραmicroένει να βρούmicroε microόνο το απολύ-τως καλύτερο άτοmicroο από τη δεξαmicroενή των υποψηφίων δεν προσλαmicroβάνουmicroεποτέ κάποια που δεν είναι η καλύτερη απrsquo όσες έχουmicroε δει microέχρι στιγmicroής)

Η πιθανότητα να προσλάβουmicroε την απολύτως καλύτερη υποψήφια σε αυτήτην εκδοχή του προβλήmicroατος της γραmicromicroατέως microε πλήρη πληροφορία ανέρχε-


Πλήθος υποψηφίων που απομένουν στη δεξαμενή25 20 15 10 5 4 3 2 1 0

Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Σχήmicroα 11 Κατώφλια βέλτιστης διακοπής για το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως microε πλή-ρη πληροφορία

ται σε 58 ndash δηλαδή εξακολουθεί να απέχει από τη βεβαιότητα αλλά είναιαρκετά καλύτερη από το ποσοστό επιτυχίας 37 που προσφέρει ο κανόναςτου 37 στο παιχνίδι χωρίς πληροφορία Αν έχουmicroε στη διάθεσή microας όλα ταδεδοmicroένα είναι πιο πιθανό να πετύχουmicroε παρά να αποτύχουmicroε όσο microεγάλη καιαν είναι η δεξαmicroενή των υποψηφίων

Συνεπώς το παιχνίδι microε πλήρη πληροφορία microάς οδηγεί σε ένα απροσδόκη-το και κάπως αλλόκοτο συmicroπέρασmicroα Έχουμε περισσότερες πιθανότητες επι-τυχίας αν ψάχνουμε πλούσιο σύντροφο παρά αν ψάχνουμε τον έρωτα Αν αξιο-λογούmicroε τους συντρόφους microας βάσει οποιουδήποτε αντικειmicroενικού κριτηρίουndashφερrsquo ειπείν σε ποιο εισοδηmicroατικό εκατοστηmicroόριο βρίσκονταιndash τότε διαθέ-τουmicroε πολύ περισσότερη πληροφορία απrsquo ότι αν αναζητούmicroε κάποια νεφε-λώδη συναισθηmicroατική απόκριση (laquoέρωταraquo) που για να εκτιmicroηθεί πιθανόν νααπαιτεί και εmicroπειρία και συγκρίσεις

Ασφαλώς δεν υπάρχει λόγος αυτό που microετράmicroε να είναι η καθαρή αξία ndash ήστη συγκεκριmicroένη περίπτωση η ταχύτητα δακτυλογράφησης Με οποιοδήπο-τε κριτήριο το οποίο παρέχει πλήρη πληροφορία για τη θέση microιας υποψήφιαςσε σχέση microε τον γενικό πληθυσmicroό η λύση microεταπίπτει από τον κανόνα laquoκοιτάmicroεκαι microετά ορmicroάmicroεraquo στον κανόνα του κατωφλίου πράγmicroα που αυξάνει δραστικάτην πιθανότητά microας να βρούmicroε την απολύτως καλύτερη υποψήφια εντός τηςοmicroάδας

Υπάρχουν πολλές ακόmicroα παραλλαγές του προβλήmicroατος της γραmicromicroατέως25

που τροποποιούν τις άλλες παραδοχές του πιθανόν εναρmicroονίζοντάς το καλύ-


τερα microε τις δυσκολίες της εύρεσης του έρωτα (ή microιας γραmicromicroατέως) στον πραγ-microατικό κόσmicroο Τα διδάγmicroατα όmicroως που απορρέουν από τη βέλτιστη διακοπήδεν περιορίζονται στις αισθηmicroατικές σχέσεις ή στην πρόσληψη κάποιου εργα-ζοmicroένου Καταστάσεις microε παρόmicroοια βασικά χαρακτηριστικά όπου προσπα-θούmicroε να κάνουmicroε την καλύτερη επιλογή ενώ οι εναλλακτικές δυνατότητεςmicroας παρουσιάζονται η microία microετά την άλλη είναι και η πώληση ενός σπιτιού τοπαρκάρισmicroα ενός αυτοκινήτου και η απόσυρση από microια δραστηριότητα όσο ταπράγmicroατα πηγαίνουν ακόmicroη καλά Και όλα αυτά σε microικρό ή microεγάλο βαθmicroόείναι λυmicroένα προβλήmicroατα

Πότε να πουλήσουmicroε

Αν τροποποιήσουmicroε δύο ακόmicroα πτυχές του κλασικού προβλήmicroατος της γραmicro-microατέως microεταφερόmicroαστε από το πεδίο των αισθηmicroατικών σχέσεων στο πεδίοτης ακίνητης περιουσίας Νωρίτερα παρουσιάσαmicroε τη διαδικασία ενοικίασηςενός διαmicroερίσmicroατος ως πρόβληmicroα βέλτιστης διακοπής αλλά η βέλτιστη δια-κοπή microάς αφορά και όταν είmicroαστε οι ιδιοκτήτες ενός σπιτιού

Φανταστείτε για παράδειγmicroα ότι πουλάmicroε ένα σπίτι Αφού συmicroβουλευτού-microε διάφορους microεσίτες ετοιmicroάζουmicroε το σπίτι microας για να το ρίξουmicroε στην αγο-ρά microια στρώση καινούργιας microπογιάς λίγη περιποίηση στον κήπο και ύστε-ρα απλώς περιmicroένουmicroε να αρχίσουν να έρχονται οι προσφορές Κάθε φοράπου έρχεται microια προσφορά κατά κανόνα θα πρέπει να αποφασίσουmicroε αν θα τηδεχθούmicroε ή θα την απορρίψουmicroε Η απόρριψη microιας προσφοράς όmicroως έχει κά-ποιο κόστος ndash microια ακόmicroη εβδοmicroάδα (ή έναν ακόmicroη microήνα) πληρωmicroής του στε-γαστικού δανείου ενόσω περιmicroένουmicroε την επόmicroενη προσφορά η οποία κανείςδεν εγγυάται ότι θα είναι καλύτερη

Η πώληση ενός σπιτιού είναι παρόmicroοια microε το παιχνίδι microε πλήρη πληροφο-ρία26 Γνωρίζουmicroε την αντικειmicroενική χρηmicroατική αξία των προσφορών η οποίαmicroας πληροφορεί όχι microόνο ποια προσφορά είναι καλύτερη από ποια αλλά καιπόσο καλύτερη είναι Επιπλέον διαθέτουmicroε πληροφορίες για τη γενικότερηκατάσταση της αγοράς που microας επιτρέπουν να προβλέψουmicroε τουλάχιστονχοντρικά το εύρος των προσφορών που microπορούmicroε να αναmicroένουmicroε (∆ηλαδήγια την κάθε προσφορά έχουmicroε την ίδια πληροφορία τύπου laquoεκατοστηmicroορίουraquoπου είχαmicroε και στην περίπτωση της ικανότητας δακτυλογράφησης) Η διαφο-ρά όmicroως σε αυτή την περίπτωση είναι ότι ο στόχος microας δεν είναι να εξασφαλί-σουmicroε την απολύτως καλύτερη προσφορά αλλά να βγάλουmicroε τα περισσότεραχρήmicroατα από το σύνολο της διαδικασίας ∆εδοmicroένου ότι η αναmicroονή έχει κά-ποιο κόστος που microετριέται σε χρήmicroατα microια καλή προσφορά σήmicroερα υπερτερείmicroιας ελαφρά καλύτερης προσφοράς microερικούς microήνες αργότερα


Αφού διαθέτουmicroε αυτή την πληροφορία δεν χρειάζεται να περάσουmicroε απότη φάση όπου κοιτάmicroε χωρίς να δεσmicroευόmicroαστε προκειmicroένου να ορίσουmicroε κά-ποιο κατώφλι Αντιθέτως microπορούmicroε να ξεκινήσουmicroε θέτοντας ένα κατώφλινα αγνοήσουmicroε οτιδήποτε είναι microικρότερο και να δεχθούmicroε την πρώτη προ-σφορά που θα το υπερβαίνει Φυσικά αν έχουmicroε περιορισmicroένες οικονοmicroίες οιοποίες θα εξαντληθούν αν δεν πουλήσουmicroε το σπίτι microέχρι κάποια συγκεκρι-microένη χρονική στιγmicroή ή αν αναmicroένουmicroε ότι θα λάβουmicroε περιορισmicroένο αριθmicroόπροσφορών και στη συνέχεια το ενδιαφέρον θα πάψει τότε θα πρέπει να χαmicroη-λώνουmicroε τα κριτήριά microας όσο θα πλησιάζουν αυτά τα όρια (Υπάρχει λόγοςπου οι αγοραστές σπιτιών ψάχνουν πωλητές laquomicroε κίνητραraquo) Αν όmicroως καmicroίααπό αυτές τις ανησυχίες δεν microας κάνει να πιστεύουmicroε ότι είmicroαστε microε την πλά-τη στον τοίχο microπορούmicroε να επικεντρωθούmicroε στην ανάλυση κόστους-οφέλουςτου παιχνιδιού αναmicroονής

Εδώ θα αναλύσουmicroε microία από τις απλούστερες εκδοχές του προβλήmicroατοςτην περίπτωση όπου γνωρίζουmicroε microε βεβαιότητα το εύρος τιmicroών των προσφο-ρών και όπου όλες οι προσφορές εντός αυτού του εύρους είναι εξίσου πιθανέςΑν δεν microας ανησυχεί microήπως οι προσφορές (ή οι οικονοmicroίες microας) αρχίσουν ναεξαντλούνται τότε microπορούmicroε να σκεφτούmicroε καθαρά microε βάση το τι microπορούmicroενα αναmicroένουmicroε να κερδίσουmicroε ή να χάσουmicroε περιmicroένοντας microια καλύτερη προ-σφορά Αν απορρίψουmicroε την τρέχουσα προσφορά άραγε η πιθανότητα microιαςκαλύτερης πολλαπλασιασmicroένη επί το πόσο καλύτερη αναmicroένουmicroε να είναιυπερβαίνει πράγmicroατι το κόστος της αναmicroονής Όπως προκύπτει τα microαθηmicroα-τικά είναι αρκετά ξεκάθαρα και microας δίνουν microια συγκεκριmicroένη συνάρτηση γιατην τιmicroή διακοπής συναρτήσει του κόστους αναmicroονής microιας προσφοράς27

Το συγκεκριmicroένο microαθηmicroατικό αποτέλεσmicroα είναι ανεξάρτητοαπό το αν που-λάmicroε microια έπαυλη αξίας εκατοmicromicroυρίων ή microια ετοιmicroόρροπη καλύβα Το microόνοπου έχει σηmicroασία είναι η διαφορά microεταξύ της ψηλότερης και της χαmicroηλότερηςπροσφοράς που είναι πιθανό να λάβουmicroε Χρησιmicroοποιώντας συγκεκριmicroένουςαριθmicroούς microπορούmicroε να κατανοήσουmicroε πώς ο αλγόριθmicroος αυτός microας βοηθάεινα καθορίσουmicroε την τακτική microας Για παράδειγmicroα ας υποθέσουmicroε ότι οι ανα-microενόmicroενες προσφορές κυmicroαίνονται από 400000 έως 500000 δολάρια Κατrsquoαρχάς αν το κόστος της αναmicroονής είναι αmicroελητέο microπορούmicroε να είmicroαστε σχε-δόν απείρως επιλεκτικοί Αν το κόστος λήψης microίας ακόmicroη προσφοράς είναιένα δολάριο τότε για να microεγιστοποιήσουmicroε την απολαβή microας θα πρέπει ναπεριmicroένουmicroε microέχρι να εmicroφανιστεί κάποιος που θα προτίθεται να microας προσφέ-ρει 49955279 δολάρια και ούτε σεντ λιγότερο Αν η αναmicroονή microιας προσφο-ράς κοστίζει 2000 δολάρια θα πρέπει να περιmicroένουmicroε microέχρι να microας προσφέ-ρουν στρογγυλά 480000 δολάρια Σε microια αργοκίνητη αγορά όπου η αναmicroονήκάθε προσφοράς στοιχίζει 10000 δολάρια θα πρέπει να δεχθούmicroε οτιδήπο-τε υπερβαίνει τα 455279 δολάρια Τέλος αν η αναmicroονή στοιχίζει το microισό ή


Κόστος ανά προσφορά (χιλ δολ)

Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50

Σχήmicroα 12 Κατώφλια βέλτιστης διακοπής για το πρόβληmicroα της πώλησης σπιτιού

περισσότερο από το αναmicroενόmicroενο εύρος των προσφορών ndashστην περίπτωσήmicroας 50000 δολάριαndash τότε δεν κερδίζουmicroε απολύτως τίποτα περιmicroένοντας τοκαλύτερο που έχουmicroε να κάνουmicroε είναι να δεχτούmicroε την πρώτη πρώτη προ-σφορά που θα έρθει και να κλείσουmicroε το ζήτηmicroα Οι ζητιάνοι δεν microπορούν ναείναι επιλεκτικοί

Το καίριο σηmicroείο που πρέπει να επισηmicroάνουmicroε σε αυτό το πρόβληmicroα είναιότι το κατώφλι εξαρτάται αποκλειστικά από το κόστος της αναζήτησης ∆εδο-microένου ότι οι πιθανότητες η επόmicroενη προσφορά να είναι καλή ndashκαι το κόστοςτού να το microάθουmicroεndash δεν αλλάζουν ποτέ η τιmicroή διακοπής microας δεν έχει λόγο ναχαmicroηλώσει ενόσω συνεχίζεται η αναζήτηση ανεξάρτητα από το πόσο τυχεροίείmicroαστε Την ορίζουmicroε άπαξ πριν καν ξεκινήσουmicroε και στη συνέχεια απλώςmicroένουmicroε ανυποχώρητοι σε αυτή

Η Λώρα Άλmicroπερτ ΜακΛέυ από το Πανεπιστήmicroιο Γουισκόνσιν-Μάντισονειδική στη βελτιστοποίηση θυmicroάται ότι όταν ήρθε η ώρα να πουλήσει το σπίτιτης κατέφυγε στις γνώσεις της πάνω στα προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής laquoΗπρώτη προσφορά που πήραmicroε ήταν πολύ καλήraquo εξηγεί laquoαλλά είχε τεράστιοκόστος διότι ήθελαν να microετακοmicroίσουmicroε έναν microήνα προτού να είmicroαστε έτοιmicroοιΥπήρχε microια ανταγωνιστική προσφορά [αλλά] απλώς περιmicroέναmicroε microέχρι ναπάρουmicroε τη σωστήraquo28 Η απόρριψη microίας ή δύο καλών προσφορών είναι ιδιαί-τερα δυσάρεστη για πολλούς πωλητές ιδιαίτερα αν οι επόmicroενες προσφορέςδεν είναι καλύτερες Αλλά η ΜακΛέυ δεν υποχώρησε και παρέmicroεινε ψύχραι-microη laquoΘα ήταν πραγmicroατικά πολύ δύσκολοraquo οmicroολογεί laquoαν δεν ήξερα ότι ταmicroαθηmicroατικά είναι microε το microέρος microουraquo


Αυτή η αρχή ισχύει σε κάθε περίσταση όπου δεχόmicroαστε microια σειρά από προ-σφορές και η αναζήτηση ή η αναmicroονή της επόmicroενης ενέχει κάποιο κόστος Άραmicroπορεί να εφαρmicroοστεί σε καταστάσεις πολύ διαφορετικές από την πώλησηενός σπιτιού Για παράδειγmicroα οι οικονοmicroολόγοι έχουν χρησιmicroοποιήσει αυτότον αλγόριθmicroο για να αναπαραστήσουν τον τρόπο microε τον οποίο οι άνθρωποιαναζητούν εργασία και έχουν διαπιστώσει ότι εξηγεί αβίαστα το φαινοmicroενικάπαράδοξο γεγονός της ταυτόχρονης ύπαρξης ανέργων και κενών θέσεων29

Μάλιστα αυτές οι παραλλαγές του προβλήmicroατος βέλτιστης διακοπής έχουνάλλη microία ακόmicroα πιο αναπάντεχη ιδιότητα Όπως είδαmicroε η δυνατότητα laquoανά-κλησηςraquo microιας ευκαιρίας που είχε παρέλθει ήταν ζωτικής σηmicroασίας στην ανα-ζήτηση του έρωτα από τον Κέπλερ Στην πώληση σπιτιών και στην αναζήτη-ση εργασίας όmicroως ακόmicroα και αν είναι δυνατό να επανεξετάσουmicroε microια προη-γούmicroενη προσφορά και ακόmicroα και αν είναι εγγυηmicroένο ότι η συγκεκριmicroένηπροσφορά παραmicroένει διαθέσιmicroη δεν θα πρέπει να το κάνουmicroε ποτέ Αν δενυπερέβαινε το κατώφλι microας τότε δεν θα το υπερβαίνει ούτε τώρα30 Το ποσόπου έχουmicroε πληρώσει για να συνεχίσουmicroε να ψάχνουmicroε αποτελεί εφάπαξ κό-στος ∆εν πρέπει να συmicroβιβαστούmicroε ούτε να έχουmicroε δεύτερες σκέψεις Καιδεν πρέπει να κοιτάξουmicroε πίσω

Πότε να παρκάρουmicroε

Θεωρώ ότι τα τρία βασικά διοικητικά προβλήmicroατα σε microια πανεπιστηmicroιούποληείναι το σεξ για τους φοιτητές η άθληση για τους αποφοίτους και οι θέσειςστάθmicroευσης για το διδακτικό προσωπικό

Κλαρκ Κερ (πρόεδρος Πανεπιστηmicroίου Μπέρκλεϋ 1958-1967)31

Ένα άλλο πεδίο όπου αφθονούν τα προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής ndashκαι όπουεπίσης δεν συνιστάται να κοιτάζει κανείς πίσωndash είναι το αυτοκίνητο Οι οδη-γοί πρωταγωνιστούν σε ορισmicroένα από τα πρώτα κείmicroενα πάνω στο πρόβληmicroατης γραmicromicroατέως και το χαρακτηριστικό της συνεχούς κίνησης προς τα εmicroπρόςκαθιστά σχεδόν κάθε απόφαση που αφορά microετακίνηση microε το αυτοκίνητο πρό-βληmicroα διακοπής την αναζήτηση εστιατορίου την αναζήτηση τουαλέτας καιπιο πιεστικά για τους οδηγούς microέσα στην πόλη την αναζήτηση θέσης στάθ-microευσης Ίσως δεν υπάρχει καταλληλότερος άνθρωπος να microιλήσει για θέmicroαταπαρκαρίσmicroατος από εκείνον που οι Los Angeles Times χαρακτηρίζουν laquoροκσταρ του παρκαρίσmicroατοςraquo τον διακεκριmicroένο καθηγητή αστικού σχεδιασmicroούστο πανεπιστήmicroιο UCLA Ντόναλντ Σουπ Ταξιδέψαmicroε οδικώς από τη βόρειαΚαλιφόρνια για να τον επισκεφθούmicroε έχοντάς τον διαβεβαιώσει ότι θα ξεκι-νούσαmicroε αρκετά νωρίτερα microην τυχόν και συναντήσουmicroε απρόσmicroενη κίνηση


laquoΣχετικά microε την πρόνοια για την περίπτωση ldquoαπρόσmicroενης κίνησηςrdquo νοmicroίζωπως θα έπρεπε να κάνετε τον προγραmicromicroατισmicroό σας βάσει της αναmicroενόmicroενηςκίνησηςraquo32 απάντησε Ο Σουπ είναι ίσως καλύτερα γνωστός για το βιβλίοτου The High Cost of Free Parking και έχει συνεισφέρει πολλά στη microελέτηκαι στην κατανόηση του τι ακριβώς συmicroβαίνει όταν κάποιος οδηγεί προς τονπροορισmicroό του

Ο δύστυχος οδηγός αξίζει τη συmicroπόνια microας Η ιδανική θέση στάθmicroευσηςόπως την αναπαριστά ο Σουπ είναι εκείνη που βελτιστοποιεί microια συγκεκριmicroέ-νη ισορροπία microεταξύ της laquoτιmicroής καταλόγουraquo της θέσης στάθmicroευσης του χρό-νου και της ταλαιπωρίας που ενέχει το περπάτηmicroα του χρόνου που αναλώνεταιγια την εύρεση θέσης (ο οποίος ποικίλλει πολύ ανάλογα microε τον προορισmicroό τηνώρα της ηmicroέρας κοκ) και της βενζίνης που καταναλώνεται στην αναζήτησηΗ εξίσωση αλλάζει ανάλογα microε το πλήθος των επιβατών του αυτοκινήτου οιοποίοι microπορούν να microοιραστούν το χρηmicroατικό κόστος της θέσης αλλά όχι τονχρόνο αναζήτησης και το περπάτηmicroα Την ίδια στιγmicroή ο οδηγός πρέπει να λά-βει υπόψη ότι η περιοχή microε τη microεγαλύτερη προσφορά θέσεων πιθανόν να είναικαι η περιοχή microε τη microεγαλύτερη ζήτηση το παρκάρισmicroα έχει microια παιγνιοθε-ωρητική συνιστώσα καθώς εmicroείς προσπαθούmicroε να φανούmicroε εξυπνότεροι απότους άλλους οδηγούς ενώ εκείνοι microε τη σειρά τους προσπαθούν να φανούνεξυπνότεροι από εmicroάςlowast Ακόmicroα κι έτσι πολλές από τις δυσκολίες του παρκα-ρίσmicroατος ανάγονται σε έναν microόνο αριθmicroό τον βαθmicroό πληρότητας Πρόκειταιγια το ποσοστό όλων των θέσεων στάθmicroευσης που είναι κατειληmicromicroένες τηνεκάστοτε χρονική στιγmicroή Αν ο βαθmicroός πληρότητας είναι χαmicroηλός είναι εύ-κολο να βρούmicroε καλή θέση στάθmicroευσης Αν είναι υψηλός είναι δύσκολο ναβρούmicroε να παρκάρουmicroε οπουδήποτε

Ο Σουπ υποστηρίζει ότι πολλά από τα βάσανα του παρκαρίσmicroατος οφεί-λονται στο ότι οι πόλεις υιοθετούν πολιτικές που προκαλούν ιδιαίτερα υψη-λούς βαθmicroούς πληρότητας Αν το κόστος στάθmicroευσης σε microια συγκεκριmicroένηπεριοχή είναι πολύ χαmicroηλό (ή ndashαν είναι δυνατόνndash ανύπαρκτο) τότε υπάρχεισηmicroαντικό κίνητρο να παρκάρει κανείς εκεί αντί να παρκάρει λίγο πιο microακριάκαι να περπατήσει Έτσι όλοι προσπαθούν να παρκάρουν εκεί όmicroως οι περισ-σότεροι βρίσκουν τις θέσεις ήδη κατειληmicromicroένες κι έτσι ο κόσmicroος καταλήγεινα σπαταλά χρόνο και να καταναλώνει ορυκτά καύσιmicroα κάνοντας βόλτες γιανα βρει microια θέση

Ο Σουπ προτείνει ως λύση την εγκατάσταση ψηφιακών παρκοmicroέτρων πουθα ορίζουν κυmicroαινόmicroενες τιmicroές οι οποίες θα ανεβαίνουν όσο αυξάνεται η ζή-τηση (Το σύστηmicroα αυτό έχει πλέον εφαρmicroοστεί στο κέντρο του Σαν Φρανσί-σκο)33 Οι τιmicroές καθορίζονται microε στόχο έναν επιθυmicroητό βαθmicroό πληρότητας οΣουπ υποστηρίζει ότι αυτός ο βαθmicroός θα πρέπει να βρίσκεται γύρω στο 85

lowastΠερισσότερα για τους υπολογιστικούς κινδύνους της θεωρίας παιγνίων στο Κεφάλαιο 11


ndash πολύ κάτω από τα σχεδόν 100 γεmicroάτα κράσπεδα των πεζοδροmicroίων στιςπερισσότερες microεγάλες πόλεις Όπως σηmicroειώνει όταν η πληρότητα αυξάνεταιαπό το 90 στο 95 εξυπηρετούνται 5 περισσότερα αυτοκίνητα αλλά ηαπόσταση που διανύει κανείς για αναζήτηση θέσης διπλασιάζεται34

Η καθοριστική επίδραση του βαθmicroού πληρότητας στη στρατηγική παρκα-ρίσmicroατος γίνεται ξεκάθαρη microόλις αντιληφθούmicroε ότι το παρκάρισmicroα είναι έναπρόβληmicroα βέλτιστης διακοπής Καθώς οδηγούmicroε στον δρόmicroο κάθε φορά πουβλέπουmicroε microια κενή θέση πρέπει να αποφασίσουmicroε να παρκάρουmicroε εκεί ή ναπλησιάσουmicroε λίγο περισσότερο στον προορισmicroό microας και να δοκιmicroάσουmicroε τηντύχη microας

Ας υποθέσουmicroε ότι βρισκόmicroαστε σε έναν δρόmicroο απείρου microήκους microε ισα-πέχουσες θέσεις στάθmicroευσης και στόχος microας είναι να ελαχιστοποιήσουmicroε τηναπόσταση που τελικά θα περπατήσουmicroε microέχρι τον προορισmicroό microας35 Σε αυτήτην περίπτωση η λύση είναι ο κανόνας laquoκοιτάmicroε και microετά ορmicroάmicroεraquo Ο οδηγόςπου ακολουθεί τη στρατηγική της βέλτιστης διακοπής θα πρέπει να προσπε-ράσει όλες τις κενές θέσεις που θα συναντήσει microέχρι microια ορισmicroένη απόστασηαπό τον προορισmicroό του και να παρκάρει στην πρώτη θέση που θα βρει στησυνέχεια Και η απόσταση όπου πρέπει να microεταβεί από τη φάση όπου κοιτάειστη φάση όπου ορmicroάει εξαρτάται από το ποσοστό των θέσεων που είναι πιθα-νόν να είναι γεmicroάτες ndash δηλαδή από τον βαθmicroό πληρότητας Στον Πίνακα 12παρουσιάζονται οι αποστάσεις για ορισmicroένα αντιπροσωπευτικά ποσοστά

Αν αυτός ο άπειρος δρόmicroος έχει βαθmicroό πληρότητας 99 όπως συmicroβαίνεισυχνά στις microεγάλες πόλεις microε κενό microόλις το 1 των θέσεων τότε θα πρέπει

Με αυτό τονβαθmicroό πληρότητας ()

Περιmicroένουmicroε microέχρι να απέχουmicroετόσες θέσεις από τον προορισmicroό και

παρκάρουmicroε στην επόmicroενη ελεύθερη θέση0 050 175 380 485 590 795 1496 1797 2398 3599 69999 693

Πίνακας 12 Πώς βρίσκουmicroε θέση στάθmicroευσης microε βέλτιστο τρόπο


να παρκάρουmicroε στην πρώτη ελεύθερη θέση που θα βρούmicroε από τη στιγmicroή πουθα φτάσουmicroε να απέχουmicroε περίπου 70 θέσεις ndashπάνω από τετρακόσια microέτραndashαπό τον προορισmicroό microας Αν όmicroως τα πράγmicroατα γίνουν όπως τα θέλει ο Σουπκαι ο βαθmicroός πληρότητας πέσει στο 85 δεν χρειάζεται να ξεκινήσουmicroε ναψάχνουmicroε στα σοβαρά για θέση παρά microόνο όταν φτάσουmicroε να απέχουmicroε microισόοικοδοmicroικό τετράγωνο από τον προορισmicroό microας36

Οι περισσότεροι από εmicroάς δεν οδηγούν σε απολύτως ευθείς απείρου microή-κους δρόmicroους Έτσι όπως και στην περίπτωση των άλλων προβληmicroάτων βέλ-τιστης διακοπής οι ερευνητές έχουν microελετήσει διάφορες παραλλαγές αυτούτου βασικού σεναρίου37 Για παράδειγmicroα έχουν microελετήσει τη βέλτιστη στρα-τηγική παρκαρίσmicroατος σε περιπτώσεις όπου ο οδηγός microπορεί να κάνει ανα-στροφές όπου οι θέσεις στάθmicroευσης λιγοστεύουν όσο κανείς πλησιάζει στονπροορισmicroό του και όπου ο οδηγός ανταγωνίζεται microε αντίπαλους οδηγούς πουκατευθύνονται προς τον ίδιο προορισmicroό Όποιες όmicroως και αν είναι οι βασικέςπαράmicroετροι του προβλήmicroατος η ύπαρξη περισσότερων κενών θέσεων σίγου-ρα θα κάνει τη ζωή microας ευκολότερη Αυτό αποτελεί κάποιου είδους υπόmicroνησηπρος τις δηmicroοτικές αρχές για την πολιτική που θα πρέπει να ακολουθούν τοπαρκάρισmicroα δεν είναι απλώς microια κατάσταση όπου έχουmicroε έναν πόρο (θέσεις)και πρέπει να microεγιστοποιήσουmicroε την αξιοποίησή του (πληρότητα) είναι επίσηςmicroια διαδικασία ndashένα πρόβληmicroα βέλτιστης διακοπήςndash στην οποία καταναλώνε-ται προσοχή χρόνος και καύσιmicroα και προκαλείται ρύπανση και συmicroφόρησηΗ σωστή πολιτική αντιmicroετωπίζει ολόκληρο το πρόβληmicroα Και αντίθετα απrsquoότι θα περίmicroενε κανείς διαισθητικά η ύπαρξη κενών θέσεων σε οικοδοmicroικάτετράγωνα microε υψηλή ζήτηση microπορεί να αποτελεί ένδειξη ότι τα πράγmicroατα λει-τουργούν σωστά

Ρωτήσαmicroε τον Σουπ αν η έρευνά του του επιτρέπει να βελτιστοποιεί τιςδικές του microετακινήσεις microέσα από την κίνηση του Λος Άντζελες microέχρι το γρα-φείο του στο πανεπιστήmicroιο UCLA Μήπως ο κορυφαίος ειδικός παγκοσmicroίωςστο ζήτηmicroα του παρκαρίσmicroατος έχει κάποιο κρυφό όπλο

Πράγmicroατι έχει laquoΧρησιmicroοποιώ ποδήλατοraquo38

Πότε να αποσυρόmicroαστε

Το 1997 το περιοδικό Forbes παρουσίασε τον Μπόρις Μπερεζόφσκυ ως τονπλουσιότερο άνθρωπο της Ρωσίας microε περιουσία σχεδόν τριών δισεκατοmicromicroυ-ρίων δολαρίων39 ∆έκα microόλις χρόνια νωρίτερα ο Μπερεζόφσκυ ζούσε microε τονmicroισθό ενός microαθηmicroατικού της Σοβιετικής Ακαδηmicroίας Επιστηmicroών Κέρδισε ταδισεκατοmicromicroύριά του αξιοποιώντας τις σχέσεις που απέκτησε microε τη βιοmicroηχανίαmicroέσω microιας έρευνας που διεξήγαγε microε στόχο να ιδρύσει microια εταιρεία για τη διευ-


κόλυνση της επικοινωνίας microεταξύ αλλοδαπών κατασκευαστών αυτοκινήτωνκαι της σοβιετικής αυτοκινητοβιοmicroηχανίας AvtoVAZ Στη συνέχεια η εταιρείατου Μπερεζόφσκυ microετατράπηκε σε microεγάλης κλίmicroακας πωλητή των αυτοκινή-των που κατασκεύαζε η AvtoVAZ χρησιmicroοποιώντας ένα σύστηmicroα πληρωmicroήςδόσεων που εκmicroεταλλευόταν τον υπερπληθωρισmicroό του ρουβλίου Με τα κέρδηπου αποκόmicroισε από αυτή τη συνεργασία απέκτησε τη microερική κυριότητα τηςίδιας της AvtoVAZ στη συνέχεια του τηλεοπτικού δικτύου ORT και τέλος τηςπετρελαϊκής εταιρείας Sibneft Έχοντας γίνει microέλος microιας νέας τάξης ολιγαρ-χών συmicromicroετείχε στην πολιτική υποστηρίζοντας την επανεκλογή του ΜπόριςΓιέλτσιν το 1996 και την επιλογή του Βλαντιmicroίρ Πούτιν ως διαδόχου του το199940

Αλλά ακριβώς τότε η τύχη του Μπερεζόφσκυ άλλαξε Λίγο microετά την εκλο-γή του Πούτιν ο Μπερεζόφσκυ διαφώνησε δηmicroοσίως microε τις προτεινόmicroενεςσυνταγmicroατικές microεταρρυθmicroίσεις που θα διεύρυναν τις εξουσίες του προέδρουΗ διαρκής δηmicroόσια κριτική του για τον Πούτιν οδήγησε σε επιπλέον επιδεί-νωση των σχέσεών τους Τον Οκτώβριο του 2000 όταν ο Πούτιν ρωτήθηκεσχετικά microε την κριτική του Μπερεζόφσκυ απάντησε laquoΤο κράτος έχει σταχέρια του ένα ρόπαλο που το χρησιmicroοποιεί κανείς για να χτυπήσει microόνο microίαφορά αλλά στο κεφάλι ∆εν έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει ακόmicroα αυτό το ρόπαλο Αν κάποια microέρα εκνευριστούmicroε πραγmicroατικά δεν θα διστάσουmicroεraquo41 Ο Μπε-ρεζόφσκυ εγκατέλειψε microόνιmicroα τη Ρωσία τον επόmicroενο microήνα αυτοεξοριζόmicroενοςστην Αγγλία όπου συνέχισε να ασκεί κριτική στο καθεστώς του Πούτιν

Πώς αποφάσισε ο Μπερεζόφσκυ ότι ήταν ώρα να εγκαταλείψει τη ΡωσίαΥπάρχει άραγε τρόπος να περιγράψουmicroε microε microαθηmicroατικό τρόπο τη συmicroβου-λή laquoσταmicroάτα όσο τα πράγmicroατα πηγαίνουν ακόmicroη καλάraquo Το ερώτηmicroα αυτόενδεχοmicroένως να απασχόλησε ειδικά τον ίδιο τον Μπερεζόφσκυ δεδοmicroένουότι το αντικείmicroενο στο οποίο είχε εργαστεί στην προηγούmicroενη microαθηmicroατικήτου καριέρα δεν ήταν άλλο από τη βέλτιστη διακοπή είναι συγγραφέας τουπρώτου (και microέχρι στιγmicroής του microοναδικού) βιβλίου που είναι αφιερωmicroένο εξολοκλήρου στο πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως42

Το πρόβληmicroα της απόσυρσης από microια δραστηριότητα ενόσω τα πράγmicroαταπηγαίνουν ακόmicroη καλά έχει αναλυθεί υπό πολλές διαφορετικές αmicroφιέσεις43

αλλά αυτή που ταιριάζει ίσως καλύτερα στην περίπτωση του Μπερεζόφσκυndashας microας συγχωρήσουν οι Ρώσοι ολιγάρχεςndash είναι γνωστή ως laquoπρόβληmicroα τουδιαρρήκτηraquo Σε αυτό το πρόβληmicroα ένας διαρρήκτης έχει τη δυνατότητα ναπραγmicroατοποιήσει microια σειρά από ληστείες Κάθε ληστεία αποφέρει κάποιαλεία και υπάρχει κάποια συγκεκριmicroένη πιθανότητα ο διαρρήκτης να κατα-φέρει να διαφύγει κάθε φορά microε τη λεία Αν όmicroως πιαστεί συλλαmicroβάνεταικαι χάνει όλα τα συσσωρευmicroένα κέρδη του Ποιον αλγόριθmicroο θα πρέπει ναακολουθήσει για να microεγιστοποιήσει την αναmicroενόmicroενη λεία του


Το γεγονός ότι αυτό το πρόβληmicroα έχει λύση είναι άσχηmicroο νέο για τα σενάριαταινιών microε ληστείες όταν η συmicromicroορία προσπαθεί να παρασύρει τον παλαίmicroα-χο διαρρήκτη να επανέλθει στη δράση για ένα τελευταίο κόλπο το microόνο πουχρειάζεται να κάνει ο δαιmicroόνιος κλέφτης είναι microερικοί αριθmicroητικοί υπολογι-σmicroοί Και τα αποτελέσmicroατα είναι σχετικά προφανή το πλήθος των ληστειώνπου θα πρέπει να πραγmicroατοποιήσει κανείς ισούται χοντρικά microε την πιθανότη-τα να διαφύγει διαιρεmicroένη microε την πιθανότητα να συλληφθεί Αν πρόκειταιγια επιδέξιο διαρρήκτη microε πιθανότητα 90 να τα καταφέρει σε κάθε ληστεία(και πιθανότητα 10 να τα χάσει όλα) τότε θα πρέπει να αποσυρθεί microετά από9010 = 9 ληστείες Και ένας αδέξιος ερασιτέχνης microε πιθανότητα επιτυχίας50 Την πρώτη φορά δεν έχει τίποτα να χάσει αλλά δεν πρέπει να δοκιmicroάσειτην τύχη του πάνω από microία φορά

Παρά την εmicroπειρία του στη βέλτιστη διακοπή η ιστορία του Μπερεζόφσκυέχει θλιβερό τέλος Πέθανε τον Μάρτιο του 2013 τον βρήκε ένας σωmicroατοφύ-λακας στο κλειδωmicroένο microπάνιο του σπιτιού του στο Μπέρκσαϊρ microε microια θηλιάστον λαιmicroό44 Το επίσηmicroο πόρισmicroα της νεκροψίας ήταν ότι κρεmicroάστηκε δί-νοντας ο ίδιος τέλος στη ζωή του45 αφότου έχασε microεγάλο microέρος της περιου-σίας του microέσω microιας σειράς πολύκροτων δικαστικών υποθέσεων microε εχθρούς τουστη Ρωσία Ίσως έπρεπε να είχε σταmicroατήσει νωρίτερα ndash έχοντας microαζέψει microό-νο microερικές δεκάδες εκατοmicromicroύρια δολάρια φέρrsquo ειπείν και χωρίς να εmicroπλακείστην πολιτική ∆υστυχώς όmicroως δεν ήταν τέτοιος άνθρωπος Ένας από τουςmicroαθηmicroατικούς φίλους του ο Λεονίντ Μπογκουσλάφσκυ αφηγήθηκε microια ιστο-ρία σχετικά microε τον Μπερεζόφσκυ από την εποχή που οι δυο τους ήταν νέοιερευνητές σε microια εξόρmicroηση για θαλάσσιο σκι σε microια λίmicroνη κοντά στη Μό-σχα η βάρκα που σχεδίαζαν να χρησιmicroοποιήσουν χάλασε Να πώς αφηγείταιτο περιστατικό ο Ντέιβιντ Χόφφmicroαν στο βιβλίο του The Oligarchs

Ενώ οι φίλοι τους πήγαν στην παραλία και άναψαν φωτιά ο Μπογκουσλάφσκυκαι ο Μπερεζόφσκυ κατευθύνθηκαν προς την αποβάθρα για να προσπαθήσουννα επισκευάσουν τη microηχανή Τρεις ώρες αργότερα είχαν λύσει και συναρ-microολογήσει ξανά τη microηχανή Συνέχιζε να microη λειτουργεί Παρότι είχαν χάσειτο microεγαλύτερο microέρος της διασκέδασης microε την υπόλοιπη παρέα ο Μπερεζόφ-σκυ επέmicroενε ότι έπρεπε να συνεχίσουν την προσπάθεια laquoΕίχαmicroε δοκιmicroάσειδιάφορα πράγmicroαταraquo θυmicroάται ο Μπογκουσλάφσκυ Ο Μπερεζόφσκυ δεν ήτανδιατεθειmicroένος να τα παρατήσει46

Αναπάντεχα στη βιβλιογραφία πάνω στη βέλτιστη διακοπή εmicroφανίζονταικαι περιπτώσεις όπου δεν πρέπει να τα παρατάmicroε ndash ποτέ Αν και από τοευρύ φάσmicroα προβληmicroάτων που microελετήσαmicroε δεν φαίνεται να προκύπτει κάτιτέτοιο ωστόσο υπάρχουν προβλήmicroατα ακολουθιακής λήψης αποφάσεων όπου


δεν υπάρχει κανόνας βέλτιστης διακοπής47 Ένα απλό παράδειγmicroα είναι το παι-χνίδι laquoτα τριπλά ή τίποταraquo Φανταστείτε ότι έχουmicroε 1 δολάριο και microπορούmicroενα παίξουmicroε το παρακάτω παιχνίδι όσες φορές θέλουmicroε στοιχηmicroατίζουmicroε όλαmicroας τα χρήmicroατα και έχουmicroε 50 πιθανότητα να τριπλασιάσουmicroε το ποσό και50 πιθανότητα να χάσουmicroε ολόκληρο το ποντάρισmicroα Πόσες φορές πρέπεινα παίξουmicroε Παρά την απλότητα του προβλήmicroατος δεν υπάρχει κανόνας βέλ-τιστης διακοπής για αυτό αφού κάθε φορά που παίζουmicroε το microέσο κέρδος microαςγίνεται λίγο microεγαλύτερο Αν ξεκινήσουmicroε microε 1 δολάριο θα πάρουmicroε 3 δολάριατις microισές φορές και 0 δολάρια τις άλλες microισές συνεπώς κατά microέσο όρο αναmicroέ-νουmicroε να ολοκληρώσουmicroε τον πρώτο γύρο microε 150 δολάρια στην τσέπη Στησυνέχεια αν ήmicroασταν τυχεροί στον πρώτο γύρο οι δύο δυνατές εκβάσεις γιατα 3 δολάρια που microόλις κερδίσαmicroε είναι 9 δολάρια και 0 δολάρια ndash οπότε τοδεύτερο στοίχηmicroα έχει microέση απόδοση 450 δολάρια Τα microαθηmicroατικά δείχνουνότι θα πρέπει να συνεχίζουmicroε να παίζουmicroε πάντα Αν όmicroως ακολουθήσουmicroεαυτή τη στρατηγική τελικά θα χάσουmicroε τα πάντα Μερικά προβλήmicroατα είναικαλύτερο να τα αποφεύγουmicroε παρά να τα λύνουmicroε

Πρέπει πάντα να σταmicroατάmicroε

Πιστεύω ότι δεν θα περάσω από αυτό τον κόσmicroο παρά microόνο microία φορά Ότικαλό εποmicroένως microπορώ να κάνω ή όποια καλοσύνη microπορώ να δείξω σε κάποιοπλάσmicroα microε το οποίο συνυπάρχω σε αυτό τον κόσmicroο ας το κάνω τώρα Ας microηντο αναβάλω ή το παραmicroελήσω γιατί δεν θα ξαναπεράσω από αυτό τον δρόmicroο

Στήβεν Γκρέλλετ48

Ξοδέψτε το απόγευmicroα ∆εν microπορείτε να το πάρετε microαζί σας

Αννι Ντίλλαρντ49

Εξετάσαmicroε συγκεκριmicroένες περιπτώσεις ανθρώπων που αντιmicroετωπίζουν προ-βλήmicroατα διακοπής στη ζωή τους και είναι σαφές ότι οι περισσότεροι από εmicroάςσυναντάmicroε τέτοιου είδους προβλήmicroατα microε τη microία ή την άλλη microορφή καθη-microερινά Είτε πρόκειται για γραmicromicroατείς είτε για ερωτικούς συντρόφους είτεγια διαmicroερίσmicroατα η ζωή είναι γεmicroάτη βέλτιστες διακοπές Έτσι το αναπόφευ-κτο ερώτηmicroα είναι αν ndashλόγω βιολογικής εξέλιξης εκπαίδευσης ή διαίσθησηςndashακολουθούmicroε πράγmicroατι τις καλύτερες στρατηγικές

Σε πρώτη microατιά η απάντηση είναι αρνητική Υπάρχουν καmicroιά δεκαριά σχε-τικές microελέτες που έχουν καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσmicroα έχουmicroε την τάση να


σταmicroατάmicroε νωρίς πριν προλάβουmicroε να δούmicroε τους καλύτερους υποψήφιουςΓια να κατανοήσουmicroε καλύτερα τι σηmicroαίνουν αυτά τα ευρήmicroατα microιλήσαmicroεmicroε τον Άmicroνον Ράποπορτ από το Πανεπιστήmicroιο Ρίβερσαϊντ της Καλιφόρνιαςο οποίος πραγmicroατοποιεί πειράmicroατα βέλτιστης διακοπής στο εργαστήριο γιαπερισσότερα από σαράντα χρόνια

Η microελέτη που ακολουθεί πιστότερα το κλασικό πρόβληmicroα της γραmicromicroατέωςπραγmicroατοποιήθηκε τη δεκαετία του 1990 από τον Ράποπορτ και τον συνεργά-τη του Ντάρρυλ Σηλ50 Στη συγκεκριmicroένη microελέτη οι συmicromicroετέχοντες κλήθηκαννα αντιmicroετωπίσουν κατrsquo επανάληψη το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως microε 40 ή 80υποψήφιες κάθε φορά Το συνολικό ποσοστό εύρεσης της απολύτως καλύτε-ρης υποψήφιας ήταν αρκετά καλό περίπου 31 όχι microακριά από το βέλτιστο37 Η τακτική των περισσότερων από τους συmicromicroετέχοντες ήταν συνεπής microετον κανόνα laquoκοιτάmicroε και microετά ορmicroάmicroεraquo αλλά ορmicroούσαν νωρίτερα απrsquo ότι θαέπρεπε πάνω από τέσσερις στις πέντε φορές51

Ο Ράποπορτ microας είπε ότι αυτό το έχει κατά νου όταν λύνει προβλήmicroατα βέλ-τιστης διακοπής στη δική του ζωή Όταν ψάχνει διαmicroέρισmicroα για παράδειγmicroαπροσπαθεί να υπερνικήσει την παρόρmicroησή του να δεσmicroευτεί γρήγορα laquoΠαράτο γεγονός ότι είmicroαι εκ φύσεως πολύ ανυπόmicroονος και θέλω να πάρω το πρώτοδιαmicroέρισmicroα προσπαθώ να ελέγξω τον εαυτό microουraquo52

Όmicroως αυτή η ανυποmicroονησία υποδεικνύει έναν άλλο παράγοντα που δενλαmicroβάνεται υπόψη στο κλασικό πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως τον ρόλο του χρό-νου Στο κάτω κάτω όσο χρόνο ψάχνουmicroε γραmicromicroατέα δεν έχουmicroε γραmicromicroατέαΕπιπλέον ξοδεύουmicroε τη microέρα microας παίρνοντας συνεντεύξεις αντί να κάνουmicroετη δουλειά microας

Αυτού του είδους το κόστος αποτελεί microια πιθανή εξήγηση για το γεγονόςότι οι άνθρωποι σταmicroατούν νωρίς όταν λύνουν το πρόβληmicroα της γραmicromicroατέωςστο εργαστήριο Οι Σηλ και Ράποπορτ έδειξαν ότι αν θεωρηθεί ότι το κόστοςεξέτασης κάθε υποψήφιας είναι για παράδειγmicroα το 1 της αξίας της εύρε-σης της καλύτερης γραmicromicroατέως τότε η βέλτιστη στρατηγική εναρmicroονίζεταιαπολύτως microε το σηmicroείο όπου οι συmicromicroετέχοντες microετέβαιναν από τη φάση όπουκοιτούσαν στη φάση όπου ορmicroούσαν στα πειράmicroατά τους53

Το microυστήριο είναι ότι στη microελέτη των Σηλ και Ράποπορτ η αναζήτηση δενείχε κόστος Γιατί εποmicroένως οι άνθρωποι στο εργαστήριο ενεργούσαν σαν ναυπήρχε κόστος

Γιατί για τους ανθρώπους υπάρχει πάντα χρονικό κόστος ∆εν προέρχεταιαπό τη σχεδίαση του πειράmicroατος Προέρχεται από τη ζωή των ανθρώπων

Συνεπώς το laquoενδογενέςraquo χρονικό κόστος της αναζήτησης που συνήθωςδεν λαmicroβάνεται υπόψη από τα microοντέλα βέλτιστης διακοπής ίσως να αποτε-λεί microια εξήγηση για το γεγονός ότι η διαδικασία λήψης αποφάσεων από τουςανθρώπους αποκλίνει συστηmicroατικά από τις συνταγές των microοντέλων Όπως


αναφέρει ο ερευνητής Νηλ Μπέρντεν που ασχολείται microε προβλήmicroατα βέλτι-στης διακοπής laquoΑφού ψάξουmicroε λίγο εmicroείς οι άνθρωποι απλώς έχουmicroε τηντάση να βαριόmicroαστε ∆εν είναι παράλογο να βαριέται κανείς αλλά είναι δύ-σκολο να αναπαρασταθεί αυστηρά microέσω ενός microοντέλουraquo54

Αυτό όmicroως δεν κάνει τα προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής λιγότερο σηmicroαν-τικά microάλιστα τα κάνει πιο σηmicroαντικά διότι η πάροδος του χρόνου microετατρέπειόλα τα προβλήmicroατα λήψης απόφασης σε προβλήmicroατα βέλτιστης διακοπής55

laquoΗ θεωρία της βέλτιστης διακοπής αφορά το πρόβληmicroα της επιλογής τηςχρονικής στιγmicroής πραγmicroατοποίησης microιας ενέργειαςraquo Έτσι ξεκινά το εγκυρό-τερο εγχειρίδιο πάνω στη βέλτιστη διακοπή56 και είναι δύσκολο να σκεφτείκανείς microια πιο περιεκτική περιγραφή της ανθρώπινης κατάστασης Φυσικά καιαποφασίζουmicroε ποια είναι η κατάλληλη στιγmicroή να αγοράσουmicroε microετοχές και ποιαείναι η κατάλληλη στιγmicroή να τις πουλήσουmicroε αποφασίζουmicroε όmicroως και ποια εί-ναι η κατάλληλη στιγmicroή να ανοίξουmicroε ένα microπουκάλι κρασί που κρατούσαmicroεγια κάποια ειδική περίσταση ποια είναι η κατάλληλη στιγmicroή να διακόψουmicroεκάποιον ή να τον φιλήσουmicroε

Υπό αυτό το πρίσmicroα η πιο θεmicroελιώδης και ταυτόχρονα πιο δύσκολα πιστευ-τή παραδοχή στο πρόβληmicroα της γραmicromicroατέως ndashη αυστηρή σειριακότητά του ηαmicroείλικτη microονόδροmicroη εξέλιξή τουndash αποκαλύπτεται πως είναι η φύση του ίδιουτου χρόνου Ως εκ τούτου η ρητή παραδοχή των προβληmicroάτων βέλτιστης δια-κοπής αποτελεί τη σιωπηρή παραδοχή στην οποία βασίζονται όλα τα ζωντανάπλάσmicroατα Είναι αυτή που microας αναγκάζει να αποφασίζουmicroε microε βάση πιθανότη-τες που δεν έχουmicroε δει ακόmicroα αυτή που microας αναγκάζει να αποδεχόmicroαστε υψη-λά ποσοστά αποτυχίας ακόmicroα και όταν ενεργούmicroε microε βέλτιστο τρόπο Καmicroίαευκαιρία δεν ξανάρχεται Μπορεί να έχουmicroε ξανά παρόμοιες ευκαιρίες αλλάποτέ ακριβώς την ίδια Ο δισταγmicroός ndashη αδράνειαndash είναι εξίσου αmicroετάκλητοςmicroε τη δράση Ότι είναι για έναν οδηγό αυτοκινήτου εγκλωβισmicroένο σε ένανmicroονόδροmicroο ο χώρος είναι για εmicroάς η τέταρτη διάσταση πραγmicroατικά περνάmicroεαπό αυτό το microονοπάτι microόνο microία φορά

Με βάση τη διαίσθησή microας θεωρούmicroε ότι ορθολογική λήψη αποφάσεωνσηmicroαίνει να απαριθmicroήσουmicroε εξαντλητικά τις δυνατότητές microας να ζυγίσουmicroεπροσεκτικά την καθεmicroία και κατόπιν να επιλέξουmicroε την καλύτερη Στην πρά-ξη όmicroως όταν το ρολόι ndashή η καρδιάndash χτυπά λίγες πτυχές της διαδικασίας λή-ψης αποφάσεων (ή της σκέψης γενικότερα) είναι τόσο σηmicroαντικές όσο αυτήτο πότε πρέπει να σταmicroατήσουmicroε

xii Εισαγωγή

περισσότερες πληροφορίες συλλέξουmicroε τόσο πιο καλά θα αναγνωρίσουmicroε τησωστή ευκαιρία όταν τη δούmicroε ndash αλλά και τόσο πιο πιθανό είναι να την έχουmicroεήδη αφήσει να microας ξεφύγει

Εποmicroένως τι κάνουmicroε Πώς microπορούmicroε να πάρουmicroε microια εmicroπεριστατωmicroένηαπόφαση όταν η ίδια η πράξη της συλλογής των απαραίτητων πληροφοριώνυποσκάπτει την επιθυmicroητή έκβαση Πρόκειται για microια πολύ δύσκολη κατά-σταση στα όρια του παράδοξου

Αν τους τεθεί ένα τέτοιου είδους πρόβληmicroα οι περισσότεροι άνθρωποι θαπουν microε βάση τη διαίσθησή τους κάτι του τύπου ότι χρειάζεται microια ισορροπίαανάmicroεσα στο να laquoκοιτάξουmicroεraquo και να laquoορmicroήσουmicroεraquo ndash ότι πρέπει κανείς να δειαρκετά διαmicroερίσmicroατα για να διαmicroορφώσει κάποια κριτήρια και στη συνέχειανα πάρει όποιο διαmicroέρισmicroα ικανοποιεί αυτά τα κριτήρια Αυτή η έννοια τηςισορροπίας είναι πράγmicroατι σωστή Αυτό που δεν microπορούν να πουν microε βεβαιό-τητα οι περισσότεροι άνθρωποι είναι ποια είναι αυτή η ισορροπία Ευτυχώςυπάρχει απάντηση

Τριάντα επτά τοις εκατόΑν θέλουmicroε να έχουmicroε τις καλύτερες πιθανότητες να αποκτήσουmicroε το καλύ-

τερο διαmicroέρισmicroα πρέπει να ξοδέψουmicroε το 37της αναζήτησης διαmicroερίσmicroατος(11 microέρες αν διαθέτουmicroε έναν microήνα για την αναζήτηση) εξετάζοντας διάφορεςεπιλογές χωρίς να δεσmicroευόmicroαστε Πρέπει να αφήσουmicroε το microπλοκ επιταγών στοσπίτι σε αυτή τη φάση απλώς laquoβαθmicroονοmicroούmicroεraquo Μετά από αυτό το σηmicroείοόmicroως πρέπει να είmicroαστε έτοιmicroοι να δεσmicroευτούmicroε αmicroέσως ndashmicroε κάποια προκα-ταβολή ή ότι άλλο χρειαστείndash στο πρώτο διαmicroέρισmicroα που θα δούmicroε και θαείναι καλύτερο απrsquo όσα θα έχουmicroε δει προηγουmicroένως ∆εν πρόκειται απλώςγια έναν διαισθητικά ικανοποιητικό συmicroβιβασmicroό microεταξύ του να κοιτάmicroε καιτου να ορmicroάmicroε Είναι αποδεδειγμένα η βέλτιστη λύση

Ο λόγος που το γνωρίζουmicroε είναι ότι η εύρεση διαmicroερίσmicroατος ανήκει σε microιακατηγορία microαθηmicroατικών προβληmicroάτων που ονοmicroάζονται προβλήmicroατα laquoβέλτι-στης διακοπήςraquo Ο κανόνας του 37 ορίζει microια απλή διαδοχή βηmicroάτων ndashαυτόπου οι επιστήmicroονες υπολογιστών ονοmicroάζουν laquoαλγόριθmicroοraquondash για την επίλυσηαυτών των προβληmicroάτων Και η αναζήτηση διαmicroερίσmicroατος είναι microία microόνοαπό τις περιπτώσεις όπου εmicroφανίζεται η βέλτιστη διακοπή στην καθηmicroερινήζωή Η αποδοχή ή η αποποίηση διαδοχικών επιλογών είναι ένα σχήmicroα πουεmicroφανίζεται επανειληmicromicroένα στη ζωή microε ελαφρά διαφορετικές ενσαρκώσειςΠόσες φορές να κάνουmicroε τον γύρο του τετραγώνου πριν να παρκάρουmicroε Πό-σο να παίξουmicroε microε τη φωτιά σε ένα ριψοκίνδυνο επιχειρηmicroατικό εγχείρηmicroαπριν ρευστοποιήσουmicroε τη συmicromicroετοχή microας Πόσο να περιmicroένουmicroε microια καλύτε-ρη προσφορά για ένα σπίτι ή αυτοκίνητο

Το ίδιο ερώτηmicroα εmicroφανίζεται και σε microια ακόmicroη πιο φορτισmicroένη περίστασητην αναζήτηση συντρόφου Η βέλτιστη διακοπή είναι η επιστήmicroη της σειρια-κής microονογαmicroίας





˛








˛



Εισαγωγή xv















˛













1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50









































































˛








˛



Εισαγωγή xv















˛













1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50









































































˛



Εισαγωγή xv















˛













1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50





































































Εισαγωγή xv















˛













1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50














































































˛













1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50















































































1









































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50













































































































3 1 (3333) 504 1 (25) 45835 2 (3333) 42787 2 (2857) 41438 3 (375) 40989 3 (3333) 405910 3 (30) 398720 7 (35) 384230 11 (3667) 378640 15 (375) 375750 18 (36) 3743100 37 (37) 37101000 369 (369) 3681









































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50










































































































Προ

σλαμ

βάνο

υμε

υποψ

ήφιε

ς πά

νω α

πό α

υτό

το ε

κατο

στια

ίο σ

ημεί

ο

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



















Χα

μη

λότε

ρη

πρ

οσ

φο

ρά

πο

υ α

πο

δεχ

όμ

ασ

τε

(χιλ

δο

λ)

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

0 10 20 30 40 50





































































Ηαλγοριθμικήτέχνητωναποφάσεωνlegacy.cup.gr/Files/files/ALGORITHMIKH_TEXNH.pdf ·...

Documents

Transcript of Ηαλγοριθμικήτέχνητωναποφάσεωνlegacy.cup.gr/Files/files/ALGORITHMIKH_TEXNH.pdf ·...