P - 1Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

1. Si se tiene

∼ p q ≡ {(∼ p → q) → p} ∧ ∼ q,

reduzca

E =((p ↔ ∼ q) ∼ p) (q → p).

A) ∼ p B) ∼ p ∨ q

C) q ∧ ∼ p D) q ∧ p

2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencia

de igual ancho de clase.

Ii fi

[ - ⟩ x

[44 - ⟩ 2y

[ - ⟩ 10

[ - 59⟩ 3y

[ - ⟩ 2x

Si una de las modas es 53, calcule su varianza aproximada.

A) 40,8 B) 42,4

C) 43,6 D) 44,2

3. Se tiene dos urnas; cada una contiene fichas rojas y

azules. En la primera urna hay 3 rojas y 6 azules, mientras

que en la segunda hay 6 rojas y 3 azules. De cada una

se extrajeron 3 fichas, una a una y sin reposición. Si la

primera ficha extraída de cada urna fue roja, ¿cuál es

la probabilidad de que la última ficha extraída de cada

urna también sea roja?

A) 5/144 B) 5/96

C) 3/8 D) 5/32

4. Resuelva la desigualdad

log5

2

23

358

0x

x− +

<

y halle la suma de los números enteros que la verifiquen.

A) 2 B) 4

C) 6 D) 8

5. Halle la suma de valores de m para que el sistema sea

compatible determinado.

x y m

ax by m

a x b y m

+ =

+ =

+ =

2

2 2 3 ; a ≠ b

A) 1 B) –1

C) a+b D) – a

6. Sea Mx x

xx( ) ;=+ +

≤2

4 20

4 2 .

Determine M M* ( )27

1

−+ .

Considere que M* es función inversa de M.

A) − 37

B) − 47

C) − 17

D) − 57

Quinto grado de secundaria

Tema

P

Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - HuachoP - 2

7. Sea la recurrencia

xn = 2 · xn –1+2 ; x1=1;

además xn+1 – xn = a · 2n – b.

Calcule a+b.

A) 5 B) 3

C) 4 D) 1

8. Indique la representación gráfica de las inecuaciones

x y

x y

y x

x y

+ ≥+ ≤≥ −≥ ≥

3

8

3

0 0;

A) B)

C) D)

9. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en

las siguientes proposiciones.

I. Tres puntos en el espacio siempre determinan un

plano. ( )

II. Si dos rectas están contenidas en planos paralelos,

entonces dichas rectas siempre son paralelas. ( )

III. La intersección de dos planos puede ser un punto.

( )

IV. Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha

recta es paralela a todas las rectas contenidas en di-

cho plano. ( )

A) FVVV

B) FFFF

C) VFVF

D) VVVV

10. Si PA es perpendicular al plano que contiene a la

semicircunferencia, además OP=5 y BC=6, halle la medi-

da del ángulo que forman OP BC�� ��

y .

P

AAO

CC

BB

A) 30º B) 37º

C) 45º D) 53º

11. En un tetraedro regular ABCD, M es un punto medio

de AD y G es baricentro de la cara BCD; además se traza

la altura del tetraedro DH que interseca a GM en N.

Calcule GNMN

.

A) 1 B) 1/2

C) 1/3 D) 2/3

12. Del gráfico, AB = 4 y AC = CD = 5. Calcule el volumen

del sólido generado por la región ABDC al girar 360º

respecto de BD��

.

A B

D

C

360º

A) 24p

B) 48p

C) 96p

D) 144p    

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012

P - 3Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

13. Del gráfico, OABC es un cuadrado y T es punto de

tangencia. Calcule la ecuación general de L��

.

L

O

AT

B

C

Y

X

A) 4x – 3y = 0

B) 3x – 4y = 0

C) 4x – 3y – 12 = 0

D) 3x – 4y – 12 = 0

14. Si tan ,θ = 23

calcule el valor de sensen

.θα

αθ θ

A C

M

B

A) 2 135

B) 135

C) 2 1313

D) 2 139

15. Si 02

< <θ π, además tan

sen sen

cos cos,θ

α α

α α= −

−

2 4

2 4

calcule secq.

A) 2

B) 2

C) 3

D) 4

16. En el gráfico, CM – BM = 4 y AB = 2. Calcule CM+BM.

A) 10

B) 8

C) 7

D) 6

A B

M

C

45º

17. Calcule el valor de

sen cos

tan.

p p

p6 3

6

A) 3

12 B)

34

C) 3 D) 32

18. Si π

θ π2< < y se cumple que

tan2q+cos260º = 1,

calcule 7 2sec .θ+

A) − 32

B) 112

C) − 52

D) 4

19. De la igualdad

sen cossen

,x x

x+

+=

1 21

calcule el valor de (senx – cosx)2.

A) 1 B) 1

2

C) 2 D) 12

Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - HuachoP - 4

20. Si se cumple que

tan

sen sen

cos,4

2

412 2 3

xx x

x+ = −( )

calcule cos6x.

A) 14

B) 12

C) 34

D) 32

21. Si x ∈ ⟨0; 2p⟩, calcule la suma de soluciones de la

ecuación

sen3x + cos3x+2cosx = 0.

A) 194p

B) 52p

C) 4p D) 132p

22. Calcule el valor de

sen250º+sen270º – cos50ºcos70º.

A) 5/4 B) 5/3

C) 3/4 D) 1

23. Si x e y ∈ R+, además 06

< <θ π,

sen cosθ θx y

= ∧ cos sen sen4

4

4

4 3 397 2θ θ θ

x y x y xy+ =

+,

entonces xy

yx

+ se encuentra en el intervalo

A) ⟨3; 4⟩. B) 72

92

; .

C) 52

72

; . D) 92

112

; .

24. Halle el número de soluciones de la ecuación

sen cos sen ,52

52

3xx

x= si x ∈ [0; 2p].

A) 2 B) 3

C) 6 D) 7

25. Si sen2x+2tanx = 3, ¿a qué será igual sen2x – 2tanx?

A) 1

B) 1/2

C) –1

D) –1/2