Estadistica No Parametrica 1-2016

7/25/2019 Estadistica No Parametrica 1-2016

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ESTADISTICA NO PARAMETRICA


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No se requiere de lossupuestos paramtricos

Se puede usar paravariables no numricas.

Clculos fciles,originados por tamaosde muestra pequeos.

Son convenientes

cuando no se conoce ladistribucin de lapoblacin.

Utilizan menor informacinde la variable.

Es menos potente que los

resultados obtenidos en losmtodos paramtricos.

VENTAJASDESVENTAJAS

ESTADSTICA NO PARAMTRICA


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ESTADISTICA

Test de hiptesis

Paramtricos: hiptesis sobre losparmetros que definen la pobla-cin (por ej., pobl. Normales, ytests sobre la media o la desv.tpica).

No paramtricos: no serefieren a parmetros dela poblacin; se aplicantpicamente cuando noconocemos la distribucin

de la poblacin, o cuando sudistribucin es no normal.


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CULES SON LAS SUPOSICIONES DE LA ESTADSTICANO PARAMTRICA?

Para realizar anlisis no paramtricos, debe partirse de lassiguientes consideraciones:

La mayora de estos anlisis no requieren de supuestos acerca

de la forma de la distribucin poblacional. Aceptandistribuciones no normales.

Las variables no necesariamente deben estar medidas en unnivel por intervalo o de razn, pueden analizar datos nominales

u ordinales.

Si se quiere aplicar anlisis no paramtrica a datos porintervalos o razn, stos deben ser resumidos a categoras

discretas (intervalos). Las variables deben ser categoras.


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Algunas Pruebas o Mtodos No Paramtricas:

Prueba Chi-Cuadrado. Prueba de Signos Prueba de Rangos Signados de Wilcoxon,

Prueba de Mann y Whitney

Prueba de KruskalWallis Prueba de Correlacin Prueba de KolgomorovSmirnov


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Distribucin Ji-Cuadrada o Chi-cuadrada o X2?.

Es una prueba til para variables categricas yestadstica, es aplicable cuando la variable nominalest compuesto por dos o ms categoras. Tiene dosaplicaciones:

1. La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada.

2. La prueba Chi-cuadrada de asociacin.

Ambas pruebas se utilizan para determinar si lasfrecuencias observadas (O) en las categoras difierensignificativamente de las frecuencias esperadas (E).


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Es una prueba estadstica para evaluar hiptesisacerca de la relacin entre dos variables categricas.

Smbolo: X2

Hiptesis a probar: Correlaciones

Variables

involucradas:

Dos variables (la prueba Chi-cuadrada no

considera relaciones causales).Nivel de medicin delas variables

Nominal u ordinal (o intervalos o razn reducidasa ordinales)

Procedimiento Chi-cuadrada se calcula por medio de una tabla

de contingencia o tabulacin cruzada, que esuna tabla de dos dimensiones y cada dimensincontiene una variable. A su vez, cada variable sesubdivide en dos o ms categoras.


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Total de Fila x Total de ColumnaF. Esperada=

Total General

CARACTERSTICAS1. La Distribucin X2 se lee con grados de libertad G.L =

(N de filas - 1)(N de columnas - 1).2. No tiene valores negativos. El valor mnimo es 0.3. Todas las curvas son asimtricas4. Cuando aumentan los grados de libertad las curvas son

menos elevadas y ms extendidas a la derecha.

5. Se utiliza para variables medidas en escala nominal uordinal.

6. Las frmulas son:


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Prueba de hiptesis:Determinar si las variables del estudio son independientes o no entre ellas

H0: No existe relacin entre las variables del estudio

H1: Existe relacin entre las variables del estudio

Si

X2obtenido X2crtico entoncesvariables no son independientes; esdecir existe una relacin entre las variables

X2obtenido X2crtico entonces se rechaza la hiptesis nula (H0), ypor lo tanto se acepta la hiptesis alterna (H1).


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Establezca la Ho a ser probada; por ejemplo,Ho: 1 = 2 = 0,5

Especifique el nivel de significancia , por ejemplo:= 0.5

Haga una tabla de frecuencias obtenidasDeduzca las frecuencias esperadas a partir de Ho:Calcule el grado de libertad: Producto de (categoras - 1)Calcule el valor de X2 a partir de las frecuencias obtenidas yfrecuencias esperadas.Mediante la tabla de X2 obtenga el valor terico.Compara dichos valores.

Establezca la conclusin con respecto a Ho:Rechaza Ho si valor de tabla > Valor calculado no estn relacionadas

Acepta Ho si valor de tabla < Valor calculado estn relacionadas

Paso N 1

Paso N 2

Paso N 3

Paso N 4


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Chi Cuadrado : Pruebas de Bondad de Ajuste

Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a unaforma de distribucin particular planteada como hiptesis. Si el ajuste es

razonablemente cercano, puede concluirse que si existe la forma de distribucinplanteada como hiptesis.

Prueba chi-cuadradadonde k: Nmero de categoras o clases

k-m-1: grados de libertad donde m es el nmero de parmetros a estimar.

EJERCICIO:Juan Prez, director de Mercadeo de Alden de Jurez, tiene la responsabilidad decontrolar el nivel de existencias para cuatro tipos de automviles vendidos por lafirma. En el pasado, ha ordenado nuevos automviles bajo la premisa de que loscuatro tipos son igualmente populares y la demanda de cada tipo es la misma. Sin

embargo, recientemente las existencias se han vuelto ms difciles de controlar, yJuan considera que debera probar su hiptesis respecto a una demanda uniforme.Sus hiptesis son:

H0: La demanda es uniforme para los cuatro tipos de autos.H1: La demanda no es uniforme para los cuatro tipos de autos.


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Muestra la expectativa uniforme para una muestra de 48 autos vendidosdurante el ltimo mes

Registro de Ventas de Alden de Jurez

Tipo de auto Ventas observadas Ventas esperadasKia 15 12Fiesta 11 12Focus 10 12Clio 12 12

Debido a que no hay parmetros que estimarse el nmero de grados delibertad es k-1 = 3 grados de libertad.

Si Juan deseara probar al nivel del 5%, se encontrara, como se muestra

Regla de decisin: "815.72

.815.72

" siRechazarsirechazarNo

Como 1.17 < 7.815, la hiptesis de que la demanda no es uniforme no se rechaza.


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Ejemplo 1. Variable, categora y tabla de contingencia 2x2:

Sean las variables TIPO CUENTA (Corriente y Vista) yCLIENTE (Premiun y Vip). La tabla de contingencia otabulacin cruzada es:

CLIENTE

PREMIUN VIP

Corriente

TIPOCUENTA

Vista

20 30

40 25


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Variable

Categora

CLIENTE

PREMIUN VIP

Corriente

TIPOCUENTA

Vista

20 30

40 25


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Ejemplo 2. Estudio de Tabla de contingencia 3x2:

Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educacinprimaria y secundaria y a los cuales se aplica un instrumento

que mide el aprendizaje de la matemtica, en las dimensionesde aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal.Variables:

APRENDIZAJE categoras: Conceptual, Procedimental, Actitudinal.NIVEL DE EDUCACIN categoras:Primaria, Secundaria.

NIVEL DE EDUCACIN

Primaria Secundaria

APRENDIZAJEConceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100

190 280

170 120

TABLA DE CONTINGENCIA


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Tabla de frecuencias observadas (O):

NIVEL DE EDUCACIN TOTAL

Primaria Secundaria

APRENDIZAJEConceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100 280

190 280 470

170 120 290

TOTAL 540 500 1040

Chi-cuadrada es una comparacin entre las tablas de

frecuencias observadas y la denominada tabla defrecuencias esperadas (la tabla que esperaramosencontrar si las variables fueran estadsticamenteindependientes o no estuvieran relacionadas).


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La frecuencia esperadade cada celda, casilla o recuadro, se

calcula mediante la siguiente frmula aplicada a la tabla defrecuencias observadas:N= es el nmero total de frecuencias observadas.E= (marginal del regln)(marginal de columna) / N.

NIVEL DE EDUCACIN

Marginalde filas

Primaria Secundaria

APRENDIZAJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

(280)(540)/1040 (280)(500)/1040 280

(470)(540)/1040 (470)( 500)/1040 470

(290)(540)/1040 (290)(500)/1040 290

marginal de columnas 540 500 1040

Tabla de frecuencias esperadas (E):


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Frecuencia observada:


Primaria Secundaria

APRENDIZAJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

145,4 134,6 280244,0 226,0 470

150,6 139,4 290

TOTAL 540 500 1040


Primaria secundaria

APRENDIZAJE

Conceptual

Procedimental

Actitudinal

180 100 280190 280 470

170 120 290

TOTAL 540 500 1040

Frecuencia esperada:

Donde:O: frecuencia observada

en cada celdaE: frecuencia esperada

en cada celda

EO2


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E

EOX

2

2

Celda O E O-E (O-E)2 (O-E)2 / E

Conceptual/Primaria 180 145,4 34,6 1197,16 8,23Procedimental/ Primaria 190 244,4 -54,4 2959,36 12,11

Actitudinal / Primaria 170 150,6 19,4 376,36 2,50

Conceptual / Secundaria 100 134,6 -34,6 1197,16 8,69

Procedimental /Secundaria 280 226,0 54,0 2916,00 12,80

Actitudinal / Secundaria 120 139,4 -19,4 376,36 2,70

X2 = 47,33

Para saber si el valor de X2es o no significativo, debemos

calcular los grados de libertad.

G.L. = (N de filas - 1)(N de columnas - 1).


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Para el ejemplo: N de filas = 3 y N de columnas = 2; entoncesG.L. = (3-1)(2-1) = 2.

Luego, acudimos a la tabla de distribucin de Chi-cuadrado, eligiendo nuestro nivel de confianza (= 0,05 = 0,01).

Si el valor obtenido de X2es igual o superior al valor de latabla,decimos que las variables estn relacionadas o noson independientes.

Aplicacin:Para el nivel de confianza de =0,05y g.l.= 2, el X2de tablaes 5,9915(ver tabla).

X2Obtenido =47,33X2Crtico = 5,9915 tabla


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Prueba de hiptesis:

H0: No existe relacin entre el aprendizaje y los

niveles de educacin.

H1: Existe relacin entre el aprendizaje y niveles deeducacin.

X2obtenido X2crtico entonces se rechaza lahiptesis nula (H0), y por lo tanto se acepta la hiptesisalterna (H1).

X2obtenido X2crtico entonces variables no sonindependientes; es decir existe una relacin entre

Aprendizaje y los niveles educativos


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Una fabrica est pensando en implantar uno de los tres sistemas de calificacionespara el desempeo: (1) todas las calificaciones son aprobados-reprobado; (2) todaslas calificaciones estn en el sistema 4.0 y (3) 90% de las calificaciones estn en elsistema 4.0 y 10% son a aprobados-reprobado. Se realiza una encuesta paradeterminar si existe una relacin entre el rea de laboral de cada trabajador y supreferencia para algn sistema de calificacin. Se elige una muestra aleatoria de200 trabajadores del rea operaciones, 200 administrativos, y 100 de produccin.Se pregunta a cada trabajador cul de los tres sistemas de calificaciones prefieren.Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

Sistema Calificacin Desempeo

Aprobado-reprobado 4,0 4,0 y aprobado-reprobado

Produccin 26 55 19

Administrativos 24 118 58

Operaciones 20 112 68

a). Cul es la hiptesis nula e hiptesis alterna?

c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,01.

Ejercicio:


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Un investigador cree que, durante los ltimos aos, la composicintnica de la ciudad donde vive ha cambiado. Las cifras ms actuales(reunidas hace unos cuntos aos) muestran que los habitantes de

dicha ciudad presentan la siguiente composicin tnica: 53% noruegos,32% suecos, 8% irlandeses, 5% alemanes y 2% italianos. Para verificaresta idea, este cientfico social obtiene una muestra aleatoria de 750habitantes, con los resultados que se presentan en la siguiente tabla:

Pases Noruegos Suecos Irlandeses Alemanes Italianos

frecuencia 399 193 63 82 13

a). Cul es la hiptesis nula e hiptesis alternativa?c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,01.

Ejercicio:


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Debido a la inflacin, el gobierno est considerando la imposicin de un controlde precios y salarios. Un economista del gobierno, interesado en determinar siexiste una relacin entre el empleo y la actitud hacia este control, rene lossiguientes datos. Los datos muestran, para cada tipo de empleo, el nmero deindividuos en la muestra que estn a favoro contrade los controles.

a). Cul es la hiptesis nula?

b). Cul es la hiptesis alterna?

c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,03.

Ejercicio:

Actitud hacia el control de precios y salarios

A favor En contra

Obreros 90 60

Empresarios 100 150

Profesionales 110 90

EJERCICIO


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EJERCICIO


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La Prueba Ude Mann-Whitney

Es la contraparte de la prueba t para muestras

independientes. Prueba la hiptesis de que la mediana

de las dos poblaciones son iguales contra que no lo

son.

Si Ho es cierta, el promedio de los rangos para los dos

grupos muestrales debe ser aproximadamente igual.

Se utiliza para saber si dos muestrasindependientes provienen de poblaciones quedifieren en su ubicacin (tendencia central).


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Ordenacinpor rango

Ordenar por rangos todos los elementos quedeben probarse, en orden creciente

Smbolos

n1= nmero de elementos de la muestra 1

n2= nmero de elementos de la muestra 2

R1= suma de los rangos de los elementos dela muestra 1

R2 = suma de los rangos de los elementos dela muestra 2

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Estadstico U U= n1 n2 +n1 (n1+ 1) R12

Una medida de la diferencia entre las observacionesordenadas por rangos de las dos muestras

Media delEstadstico

U= n1 n22

u= n1 n2 (n1+ n2 + 1)12

Clculo delerror estndar

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Prueba de Suma de Rangos:La Prueba Ude Mann-Whitney

Formulacinde la hiptesis

Ho: Me1 = Me2 Hiptesis nula, no haydiferencia entre las dos poblaciones, por lo

cual tienen la misma mediana

H1: Me1 Me2 Hiptesis alternativa, hay unadiferencia entre las dos poblaciones, por locual tienen medianas diferentes

= nivel de significanciaLmites de laregin deaceptacin

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Prueba de Suma de Rangos:La Prueba Ude Mann-Whitney

Eleccin de laDistribucin

Interpretacin

de resultados

Si el estadstico muestral U cae dentro de laregin de aceptacin es valida la hiptesis nula

de que no hay diferencia y concluiremos quelas distribuciones son iguales

En caso de que algn n sea mayor de 20, sepuede aproximar con la distribucin normal.

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La Prueba de Wilcoxon con signo

Una prueba que utiliza direccin y magnitud, propuestaen 1945 por Frank Wilcoxon, se llama ahoracomnmente prueba de rango con signo deWilcoxon.

Esta prueba se aplica en el caso de una distribucincontinua simtrica.

Utiliza las magnitudes de las diferencias entre lasmediciones y un parmetro de ubicacin segn unahiptesis, en lugar de los signos de las diferenciaswww.leondariobello.com

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Suposiciones

La muestra es aleatoria

La variable es continua

La poblacin se distribuye simtricamente

alrededor de su media

La escala de medicin es al menos de

intervalo

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Hiptesis

a) Ho: = o

Ha: o

b) Ho: o

Ha: < o

b) Ho: o

Ha: > o

Estas son las hiptesis que pueden probarse paraalguna media de poblacin no conocida o


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Pasos para la prueba de Wilcoxon consigno

1. Restar la media hipottica ode cadaobservacin

Di= xi- o

Se elimina cualquier diferencia que de

cmo resultado cero.Tener en cuenta que se reduce el tamao

de n.


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2. Ordenar las diferencias de menor amayor sin importar el signo (slo elvalor absoluto).

Si dos o ms son iguales asignar a cadavalor la media de la posicin que ocupa

en la lista.


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3. Asignar: A las diferencias positivas se les asigna

como W+

A las diferencias negativas se lesasigna como W-

Sumar cada grupo

El menor valor de los dos anteriores seasigna como W.


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4. Comparar los valores obtenidos con losvalores crticos en la tabla (0.05, 0.025 y0.01)

N es el nmero de diferencias halladas, sintomar en cuenta las que son iguales a

cero.


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Ejemplo

En un experimento para medir la efectividad deun medicamento para dormir, basndose enlas horas de sueo de los pacientes, unsiclogo seleccion aleatoriamente 10pacientes a los cuales se les suministr elmedicamento y luego un placebo.

La siguiente tabla muestra las horas de sueode cada paciente con la sustanciasuministrada, as como las diferencias,rangos y conclusin.


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Paciente

Horas de sueo

Diferencia

Rango

(Ignorando el signo)Droga Placebo

1 6.1 5.2 0.9 3.5*2 7.0 7.9 -0.9 3.5*

3 8.2 3.9 4.3 10

4 7.6 4.7 2.9 7

5 6.5 5.3 1.2 56 8.4 5.4 3.0 8

7 6.9 4.2 2.7 6

8 6.7 6.1 0.6 2

9 7.4 3.8 3.6 910 5.8 6.3 -0.5 1

W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5


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Ho: la efectividad de la droga es mayor que la delplacebo

Ha: la efectividad de la droga es menor a la delplacebo.

* Los rangos 3ro y 4to han sido promediados

W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5

Como W = 4.5, con una significacin de 0.025 sepuede afirmar que el medicamento s es efectivo.

V l ti d T l b d l d d l i l d d Wil


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N

Nivel de significacin para prueba de una cola

.025 .01 .005

Nivel de significacin para prueba de dos colas.05 .02 .01

6 0 --------- --------

7 2 0 --------

8 4 2 0

9 6 3 210 8 5 3

11 11 7 5

12 14 10 7

13 17 13 10

14 21 16 13

15 25 20 16

16 30 24 20

17 35 28 23

18 40 33 28

19 46 38 32

20 52 43 38

Valores crticos de T en la prueba de rangos sealados de los pares igualados de Wilcoxon


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Utilizando Paquete Estadstico SPSS

Rangos

8a

6.31 50.50

2b

2.25 4.50

0c

10

Rangos

negativ os

Rangos

positivos

EmpatesTotal

horas de sueo con

el placebo - horas de

sueo con la droga

N Rangopromedio Suma derangos

horas de sueo con el placebo < horas de sueo con la drog aa.

horas de sueo con el placebo > horas de sueo con la drog ab.

horas de sueo con el placebo = horas de sueo con la drog ac.

Analizar Pruebas no paramtricas 2 muestras relacionadas

Utili d P t E t d ti


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Utilizando Paquete EstadsticoSPSS

Estadsticos de contrasteb

-2.346a

.019

Z

Asy mp. Sig. (2-tailed)

horas de sueo con el placebo- horas de sueo con la droga

Basado en los rangos positivosa.

Prueba de los rang os con signo de Wilcoxonb.


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Prueba de la Suma de Rangosde Wilcoxon

Para comparar dos grupos

Equivalente no paramtrico de la pruebaT.

Consiste de 3 pasos bsicos


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Paso 1

Asignar rangos ascendentemente para

cada grupo

Si se dan valores iguales promediar susrangos


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Paso 2

Sume los rangos en el grupo con el tamao

de muestra ms pequeo.

Si los dos grupos tienen el mismo tamao,se debe elegir uno.

W = suma de todos los rangos en el grupo

con el tamao de muestra ms pequeo.


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Paso 3 Compare esta suma con el valor hallado en la

tabla de Wilcoxon. Hallar la fila correspondiente al tamao del grupo

con la muestra ms pequea (n). Si el valor de W es menor que el hallado en la

tabla, se rechaza la hiptesis nula, es decir, haydiferencias significativas.

Ho: No existen diferencias significativas entre

medias

Ha: Existen diferencias significativas entre medias


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Ejemplo

Se afirma que un estudiante universitario de ltimo aopuede aumentar su calificacin en el rea del campo deespecialidad del examen de registro de graduados en almenos 50 puntos si de antemano se le proporcionan

problemas de muestra. Para probar esta afirmacin, sedividen 20 estudiantes del ltimo ao en 10 pares demodo que cada par tenga casi el mismo promedio depuntos de calidad general en sus primeros aos en la

universidad. Los problemas y respuestas de muestra seproporcionan al azar a un miembro de cada par unasemana antes del examen. Se registran las siguientescalificaciones del examen:


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ParCon problemas de

muestraSin problemas de

muestradi did0 Rangos

1 531 509 22 -28 5

2 621 540 81 31 6

3 663 688 -25 -75 9

4 579 502 77 27 3.5

5 451 424 27 -23 2

6 660 683 -23 -73 8

7 591 568 23 -27 3.5

8 719 748 -29 -79 10

9 543 530 13 -37 7

10 575 524 51 1 1

Pruebe la hiptesis nula en el nivel de significancia de 0.05 de que losproblemas aumentan las calificaciones en 50 puntos contra la hiptesisalternativa de que el aumento es menor a 50 puntos.


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En este caso d0= 50, por lo que se procedea calcular las diferencias entre lasmuestras y luego restarles el valor de 50.

Para n=10 la tabla muestra que la regincrtica es w+ 11.

w+ = 6 + 3.5 + 1 = 10.5


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Decisin y Conclusin:Como 10.5 es menor que 11 se rechaza

Ho y se concluye con un = 0.05 que

los problemas de muestra, enpromedio, no aumentan lascalificaciones de registro de graduadosen 50 puntos.


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La Prueba DeWILCOXON Para MuestrasGrandes

Estadstico Z

Media delEstadstico

w= n(n+1)4

u= n(n+1)(2n +1)24

Clculo delerror estndar

24

)12)(1(

4

)1(

nnn

nnW

z

PRUEBA DE WILCOXON CON


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PRUEBA DE WILCOXON CONMUESTRAS GRANDES

Se debe de realizar una aproximacion a lanormal, con la media y la desviacion tipicadefinida por las siguientes expresiones:

= n(n + 1)

4

En la expresion anterior n es el tamao dela muestra.


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DESVIACION ESTANDAR

A partir de las expresiones anteriores

deducimos la expresion para Z curva normal

tipificada para esta prueba y seria asi:

24

)12)(1(

nnn


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Valor tipificado

24

)12)(1(4

)1(

nnn

nnW

z

Estadistica No Parametrica 1-2016

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