Estabilidad y lgr

Sistemas de control TI-2233

Estabilidad, Lugar Geométrico de la raíces

7ª clase

Sistemas de control Estabilidad

– Estabilidad de un sistema• Un sistema es estable si la respuesta del sistema al

impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es críticamente o marginalmente estable. Una magnitud infinita hace a el sistema inestable.

))...((

))...(()(

1

1

n

m

psps

zszsKsG

++++=

∑=

−=

=n

i

tpi

ieKty

sUsGsY

1

)(

)()()(


– Notas:• Si los todos los polos de la función de transferencia

están en el lado izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable.

• Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje imaginario del plano-s.

• En el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son importante, los zeros son irrelevantes.

• Los polos de un sistema son las raíces obtenidas de el denominador de la función de transferencia cuando es igualado a cero. Polinomio característico.

• El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo abierto.


– Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzEl polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa.

Si

es la función de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si el polinomio d(s), conocido como el polinomio característico del sistema, es Hurwitz.

)()(

)(sdsn

sH =


Criterio de Routh-Hurwitz

Sirve para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no.

1. Considere el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma

donde los coeficientes son números reales.

Se supone que es decir a(s) no tiene raíces en s=0.

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene raíces puramente imaginarias, o que tienen parte real positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

nnnn asasasasa ++++= −

−1

110)(

naaa ,,, 10

,0≠na


Criterio de Routh-Hurwitz3. Si todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y

diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

10

11

212

43214

43213

43212

75311

6420

gs

fs

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

−

−

−

−


Criterio de Routh-Hurwitzdonde

Se continua de esta forma hasta que la n-ésima fila del arreglo ha sido completada.

,,

,,,

,,,

1

31312

1

21211

1

41713

1

31512

1

21311

1

70613

1

50412

1

30211

ccbbc

dccbbc

d

bbaab

cbbaab

cbbaab

c

aaaaa

ba

aaaab

aaaaa

b

−=−=

−=−=−=

−=−=−=


Criterio de Routh-HurwitzEl criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de a(s) con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.

Entonces, el polinomio a(s) es Hurwitz si y solo si y todos los coeficientes en la primera columna del arreglo son positivos.

,0,0 >≠ ii aa



ejemplo: 0156116 234 =++++ ssss

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s


Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz1. El primer elemento de una fila es cero, y es el único

elemento de la fila, o los demás elementos de la fila son diferentes de cero.

En este caso, el cero es reemplazado por un número positivo muy pequeño ε y se continua con el cálculo del arreglo.

Si el signo del coeficiente arriba del cero (ε) en el arreglo es el mismo que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de raíces imaginarias. En caso contrario, esto es, si el signo del coeficiente arriba del cero (ε) es diferente que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 raíces con parte real positiva.



ejemplo: 02623 234 =++++ ssss

2

066

20

63

221

0

1

2

3

4

εε

ε−

→

s

s

s

s

s


Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz2. Si todos los coeficientes de una fila son cero, entonces el

polinomio a(s) tiene raíces de igual magnitud y opuestas en el plano-s, esto es, 2 raíces de igual magnitud y de signo contrario, o 2 raíces imaginarias conjugadas.

En este caso, el arreglo de los coeficientes puede ser completado formando un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las raíces de igual magnitud y opuestas en el plano s corresponden a las raíces del polinomio auxiliar.



ejemplo:

Polinomio auxiliar au(s)

Fila de ceros

Se remplaza la fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar.

01287242 23456 =++++++ ssssss

00

1233

822

12741

3

4

5

6

s

s

s

s

sss

sau

sssau

612)(

1233)(

3

24

+=∂

∂++=



ejemplo: 01287242 23456 =++++++ ssssss

12

90

12

6/012/0

1233

822

12741

23

0

1

2

3

4

5

6

−

s

s

s

s

s

s

s


Criterio de Routh-HurwitzEl criterio de Routh-Hurwitz también puede usarse para estudiar la estabilidad relativa de un sistema; esto es, si el sistema es estable, qué tan cerca está de ser inestable.

Nos interesa saber en este caso si el polinomio a(s) tiene raíces a la derecha de la línea s=-σ, donde σ es una constante. Para ello hacemos la substitución

en a(s) y aplicamos el criterio de Routh-hurwitz al polinomio

El número de cambios de signo en la primera columna del arreglo construido para es igual al número de raíces de a(s) a la derecha de la línea s=-σ.

σ−=∧ss

).(∧sa

).(∧sa



Ejemplo:

Hallar el valor de K para

)2(3

)1(

)()(1

)(

)(

)(

,1

1)(,

2

1)(

2 ++++=

+=

+=

+=

Kss

sK

sHsKG

sKG

sV

sY

Ks

sHs

sG

2

3

21

0

1

2

+

+

K

K

s

s

s

04)2(3 23 =++++ sKKss


Lugar Geométrico de la raíces (Root-locus)

Utilizando los polos de la función de transferencia, el lugar geométrico de las raíces es el gráfico en el plano-s de la ubicación de los polos conforme K varia desde cero a infinito. El root-locus complementario es desde menos infinito a cero. Ejemplo:

K )(sG

)(sH

+-

V(s) Y(s)

)3(4

)3(

)()(1

)(

)(

)(

,3

1)(,

1

1)(

2 ++++=

+=

+=

+=

Kss

sK

sHsKG

sKG

sV

sY

Ks

sHs

sG


Lugar Geométrico de la raíces (Root-locus)

Ejemplo (cont.):

KK

p −±−=+−±−

= 122

)3(41642,1


Construcción root-locus

Si

a lazo cerrado

La ecuación característica debe ser igualada a cero

)(),( SHsG

=+ )()(1

)(

sHsKG

sKG

ππ

ksHsKG

ksHsKG

sHsKG

sHsKGsHsKG

2)()(

)12()()(

1)()(

1)()(0)()(1

=∠+=∠

=−=⇒=+

Si K>0, k=±1, ±2,…

Si K<0, k=±1, ±2,…


Construcción root-locus

Podemos re-escribir

Obteniendo entonces:

Debemos hacer lo

mismo con los ángulos

1)()(

))...((

))...(()()(

1

1

1

1

=+

+=

++++=

∏

∏

=

=n

ii

m

ii

n

m

ps

zsKsHsKG

psps

zszsKsHsKG

º360º180)()()()(11

kpszssHsKGn

ii

m

ii ±=

+∠−+∠=∠ ∑∑

==


Pasos para construir root-locus

Ejemplo:

– Paso 1: Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros a lazo abierto se debe dibujar estos sobre el plano-s.

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

-1-2-3-4-5

jω

-σ



– Paso 2:Utilizando la condición de ángulo se determina que parte del eje real pertenece al root-locus. Supondremos raíces dentro de los intervalos en el plano-s.

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

-1-2-3-4-5 s1

jω

-σXXXX 0

º180º00º0º180º0)()(:11

1 −=−−−−=+∠−+∠ ∑∑==

n

ii

m

ii pszss



– Paso 3: Considerando que la función de transferencia a lazo abierto tiene n polos y m zeros y que para los sistemas n>m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan en los polos y deben dirigirse a los zeros, como hay menos zeros que polos, estas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asíntotas. El Número de asíntotas es:

NA=n-m

La ubicación del punto de partida

Y el ángulo de salida es:

A

m

ij

n

jj

A N

zp

NsHsGcerossHsGPolos

A

∑ −∑ −−∑ − ==== 11

)()()()()()(σ

)1(,,2,1,0;º180)12( −== −AN

qA Nq

Aφ

Esta ecuación es positiva, me equivoque en clase


Pasos para construir root-locus)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

º180;º60;º60

3333.1

314

321

34

33)421(

==−=−=−==

=−=∑ ∑−−−−−

AAA

A

AN

φφφσ


Pasos para construir root-locus– Paso 4: Puntos de ruptura

sR1=-0.43; sR2=-1.6; sR3=-3,3+0,68j; sR4=-3,3-0,68j

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

0)(

)()(

1)(

==

−==

sRsR dssdp

dsdK

sHsGspK


Pasos para construir root-locus– Paso 5: Dibujar

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG


Pasos para construir root-locus– Paso 6: el punto en el cual el root locus corta el eje

imaginario. Se puede hallar usando el criterio de Routh-Hurwitz.

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG


Pasos para construir root-locus– Paso 6: Se cálcula el valor de K para que una fila completa

sean puros ceros. En este caso la fila es s1 y el valor de K=9.65. Tomaremos el polinomio auxiliar y despejaremos el valor de s.

Entonces los puntos donde el LGR cruza el eje imaginario es ±1.5888j.

)4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

js

sKsbsau

5888.1

95.2847857.113)( 221

±=+=+=


Resultado final )4)(2)(1(

)3()()(

++++=

ssss

ssHsG

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.333-6

-4

-2

0

2

4

6

System: sysGain: 9.63Pole: -6.28e-005 + 1.59iDamping: 3.96e-005Overshoot (%): 100Frequency (rad/sec): 1.59

60º

-60

Ejercicio de Lugar Geométrico de las Raíces

Universidad Simón BolívarSede del Litoral

Sistema de Control TI-2233Miguel Rodríguez [email protected]

EjercicioDibuje el LGR del siguiente función de transferencia a lazo abierto

1º paso, representar los polos y zeros

Miguel Rodríguez 31

)5)(1(

10

56

10)(

2 +++=

+++=

ss

s

ss

ssG

xxo-1-5-10

Ejercicio2º paso: Hallar donde existe el LGR, se procede de derecha a izquierda a contar los polos y zeros, y cuando la suma sea impar en ese intervalo si existe el LGR, si es par No existe el LGR.


xxo-1-5-10

Número imparNúmero ParNúmero impar

Ejercicio3º paso: Hallar las asíntotas, los ángulos de las asíntotas y los puntos de partidas.


xxo-1-5-10

∑ ∑ =−−−−=−=

=−=−=

=−=−=

4)10()51(

0,º180º180)12(

112##

zerospolos

qN

q

ZerosPolosN

A

AA

A

σ

φ

Solo hay una Asíntotaq es solamente 0, porque NA=1El punto de partida se encuentra en el lado derecho.

Ejercicio4º paso: Hallar los puntos de rupturas, como los polos deben ir a los zeros, y solo tenemos un cero y está después de los dos polos el LGR debe alejarse del eje real para poder llegar al zero en -10 y al zero en –inf.


xxo-1-5-10

5261.4;2761.0

0)10(

10348

)10(

)10)(56()10)(62()(

10

56

)(

1)(

21

2

2

2

2

2

−==

=+

−+=+

++−++−=∂

∂+

++=−==

ss

s

ss

s

ssss

s

sp

s

ss

sGspK

Ejercicio5º paso: Dibujar el LGR, debemos alejarnos,

En realidad con esta técnica se dibuja un croquis del LGR, para hallar los verdaderos puntos donde el sistema es críticamente amortiguado, que son los lugares donde el LGR se separa del eje real se debe usar la EC a lazo cerrado.


xxo-1-5-10

º

4.52

EjercicioValores de K para que el sistema sea críticamente amortiguado:

Comparando la EC con la respuesta ideal

De la primera ecuación tenemos K=2α-6 y sustituyendo en la segunda.


)105()6(

)10(

)(1

)(

)(

)(2 KsKs

sK

sKG

sKG

sV

sY

+++++=

+=

=+=+

++=++++

2

222

)105(

2)6(

2)105()6(

αα

αα

K

K

ssKsKs

4164.27;5836.0

71.16;29.3

05520

)62(105

21

21

2

2

====

=+−⇒

=−+

KK

αααα

αα

EjercicioAsí el LGR queda definido como:


xxo-1-5-10

º

-16.70 -3.29

º

EjercicioUsando un programa matemático:


Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

System: sysGain: 27.4Pole: -16.7 - 2.44e-007iDamping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 16.7

System: sysGain: 0.584Pole: -3.29 - 3.86e-008iDamping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 3.29

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