1compensacion Adelanto LGR

Índice

Diseño de sistemas de control mediante LGR

INTRODUCCION

Parámetros de desempeño

Compensación del sistema

Compensación en serie y compensación mediante realimentación (o en paralelo).

CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO

Enfoque del lugar geométrico de las raíces para el diseño de un sistema de control.

Efectos de la adición de polos.

Efectos de la adición de ceros.

Adición de polos

Adición de ceros

COMPENSACIÓN DE ADELANTO

Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque del lugar geométrico de las

raíces.

Ejemplos

Diseño de sistemas de control mediante LGR

INTRODUCCION

El objetivo de esta sección es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de

sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo, mediante el método del

lugar geométrico de raíces.

La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las

especificaciones determinadas.

Parámetros de desempeño

Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas y los requerimientos impuestos

sobre el sistema de control se detallan como los parámetros de desempeño que por lo general se

refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta.

Por lo general, los parámetros de desempeño no deben ser más rigurosos de lo necesario para

efectuar la tarea definida. Si la precisión de una operación en estado estable es de importancia vital

para determinado sistema de control, no debemos solicitar parámetros de desempeño más rígidas de

lo necesario sobre la respuesta transitoria, dado que tales especificaciones requerirían de

componentes costosos. Notar que la parte más importante de un sistema de control es el

planteamiento preciso de los parámetros de desempeño a fin de producir un sistema de control

óptimo para el propósito determinado.

Compensación del sistema

En muchas ocasiones es necesario modificar el sistema (modificando la estructura o incorporando

dispositivos o componentes adicionales) a fin de alterar el comportamiento general, de modo que el

sistema se comporte como se requiere.

Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación.

Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador.

El compensador modifica el desempeño con déficit del sistema original.

Compensación en serie y compensación mediante realimentación (o en paralelo).

En las figuras siguientes muestran los esquemas de compensación que se suelen utilizar para los

sistemas de control realimentados

Figura N° 1. Diagrama de bloques de un sistema de control en serie

En la figura anterior se muestra el compensador Gc (s) en serie con la planta. Este esquema se

denomina compensación en serie.

Otra forma de alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las señales de algunos

elementos y la colocación de un compensador en la trayectoria de realimentación interna resultante,

como se aprecia en la figura. Esta compensación se denomina compensación mediante

realimentación o compensación en paralelo

Figura N° 2. Diagrama de bloques de un sistema de control en paralelo

La elección entre la compensación en serie y la compensación mediante realimentación depende de

la naturaleza de las señales del sistema, los niveles de potencia en los diferentes puntos, los

componentes disponibles, la experiencia del diseñador, las consideraciones económicas, etcétera

Al analizar los compensadores, se va utilizar términos como red de adelanto, red de atraso, y red de

atraso-adelanto, cada uno de estos con sus características especificas. Un compensador que tenga la

característica de una red de adelanto, una red de atraso, o una red de atraso-adelanto se denomina

compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atraso-adelanto,

respectivamente.

Cuando se necesita un compensador para cumplir las especificaciones de desempeño, el diseñador

debe planear un dispositivo físico que tenga prescrita la función de transferencia del compensador.

Entre los muchos tipos de compensadores, los de mayor uso son los compensadores de adelanto, los

de atraso, los de atraso-adelanto y los de realimentación de velocidad (tacómetros). En esta sección

limitaremos nuestro análisis a estos tipos. Los compensadores de adelanto, de atraso y de atraso-

adelanto pueden ser dispositivos electrónicos (tales como circuitos que usen amplificadores

operacionales), redes RC (eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o una combinación de

ellas).

En el diseño real de un sistema de control, el que se use un compensador electrónico, neumático o

hidráulico debe decidirse parcialmente con base en la naturaleza de la planta que se controla.

CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO

Al desarrollar un sistema de control, sabemos que la modificación adecuada de la dinámica de la

planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones de desempeño. Sin embargo, tal

vez esto no sea posible en muchas situaciones prácticas, debido a que la planta esté fija y no pueda

modificarse. En este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija, es

decir la del compensador

Por tanto, los problemas de diseño son aquellos que implican la mejora del desempeño de un

sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de control se

reduce al diseño de un filtro cuyas características tiendan a compensar las características

inconvenientes o inalterables de la planta.

En las secciones siguientes consideraremos específicamente el diseño de compensadores de

adelanto, de compensadores de atraso y de compensadores de atraso-adelanto. En estos diseños

colocamos un compensador en serie con la función de transferencia inalterable G(s) para obtener

un comportamiento conveniente. A continuación, el problema principal consiste en la elección

apropiada de los polos y los ceros del compensador Gc (s) para alterar el lugar geométrico de las

raíces (o la respuesta en frecuencia) con el propósito de cumplir las especificaciones de desempeño

Enfoque del lugar geométrico de las raíces para el diseño de un sistema de control.

El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite determinar las

ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en

lazo abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de cero al infinito

En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica que el desempeño

deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia.

Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere de un ajuste diferente al de la ganancia,

debemos modificar los lugares geométricos de las raíces originales insertando un compensador

conveniente. Una vez comprendidos los efectos de la adición de los polos y/o ceros sobre el lugar

geométrico de las raíces, podemos determinar con facilidad las ubicaciones de los polos y los ceros

del compensador que volverán a dar una forma conveniente al lugar geométrico de las raíces.

En esencia, en el diseño realizado mediante el método del lugar geométrico de las raíces, los lugares

geométricos de las raíces del sistema se vuelven a construir mediante el uso de un compensador, a

fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada. (A menudo

se especifican el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia no amortiguada natural de un

par de polos dominantes en lazo cerrado).

Efectos de la adición de polos.

La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar

geométrico de las raíces a la derecha, además:

Tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema

Tiende aumentar el tiempo de asentamiento de la respuesta.

(Recuerde que la adición de los controles integrales añade un polo en el origen, con lo cual el

sistema se vuelve menos estable.)

En la figura siguiente se muestra el LGR de un sistema con un polo

Figura N° 3, Lugar geométrico de raíces de un sistema

En las figuras siguientes se da el mismo sistema con un polo adicional y con dos polos adicionales,

en ellas se puede apreciar el efecto de adición de a un sistema.

Figura N° 4. Lugar geométrico de raíces con 1 y 2 polos adicionales

Efectos de la adición de ceros.

La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar

geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema:

Tiende a ser más estable

Acelera el asentamiento de la respuesta.

(Físicamente, la adición de un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa significa

agregar al sistema un control derivativo. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión

al sistema y acelerar la respuesta transitoria.)

En la figura siguiente se muestra el LGR para un sistema

Figura N° 5. Lugar geométrico de raíces de un sistema

El efecto de añadir un cero al LGR del sistema anterior se muestra en la figura siguiente, para dos

valores de ceros, se puede notar q el sistema tiende a ser estable para todos los valores de ganancias

Figura N° 5. Lugar geométrico de raíces de un sistema con adición de 1 y 2 ceros

Ejemplo

Dado el sistema G(s) de lazo abierto añadir diferentes polos y ceros y ver el comportamiento del

lugar geométrico de raíces, diagramas de bode y respuesta en el tiempo.

G (s )= 4s (s+2)

Solución

La función de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado del sistema son:

G (s )= 4s (s+2)

= 4s2+2 s

C(s)R(s)

= G (s )1+G ( s)

=

4s2+2 s

1+ 4s2+2 s

= 4s2+2 s+4

Adición de polos

Si al sistema le agregamos un polo s=−5. La función de transferencia de lazo abierto y cerrado del

sistema quedaran:

Gc (s)G (s )= 1(s+5)

4s(s+2)

= 4s3+7 s2+10 s

C(s)R(s)

=Gc (s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4s3+7 s2+10 s

1+ 4s3+7 s2+10 s

= 4s3+7 s2+10 s+4

Si al sistema le agregamos un polo s=−10. La función de transferencia de lazo abierto y cerrado

del sistema quedaran:

Gc (s)G (s )= 1(s+10)

4s(s+2)

= 4s3+12 s2+20 s

C(s)R(s)

=Gc(s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4s3+12 s2+20 s

1+ 4s3+12 s2+20 s

= 4s3+12 s2+20 s+4



Gc (s)G (s )= 1(s+20)

4s(s+2)

= 4s3+22 s2+40s

C(s)R(s)

=Gc(s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4s3+22 s2+40 s

1+ 4s3+22 s2+40 s

= 4s3+22 s2+40 s+4

La grafica de los lugares de raíces correspondientes a las FT de lazo abierto se muestra en la figura

siguiente:

-20 -15 -10 -5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

100.240.460.640.780.87

0.93

0.97

0.992

0.240.460.640.780.870.93

0.97

0.992

2.557.51012.51517.520

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura N°

Los diagramas de bode correspondientes a las FT de lazo abierto.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

La grafica de respuesta en el tiempo correspondiente a las FT de lazo cerrado se muestran en la

figura siguiente:

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura N°

Adición de ceros

La función de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado del sistema son:

G (s )= 4s (s+2)

= 4s2+2 s

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s)=

4s2+2 s

1+ 4s2+2 s

= 4s2+2 s+4

Si al sistema le agregamos un polo s=−5. La función de transferencia de lazo abierto y cerrado del

sistema quedaran:

Gc (s)G (s )=(s+5) 4s(s+2)

=4 s+20s2+2 s

C(s)R(s)

=Gc(s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4 s+20s2+2 s

1+ 4 s+20s2+2 s

= 4 s+20s2+6 s+20



G (s )=¿(s+10) 4s (s+2)

=4 s+40s2+2 s

C(s)R(s)

=Gc (s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4 s+40s2+2 s

1+ 4 s+40s2+2 s

= 4 s+40s2+6 s+40



G (s )=¿(s+20) 4s (s+2)

=4 s+80s2+2 s

C(s)R(s)

=Gc(s)G ( s)

1+Gc(s)G (s )=

4 s+80s2+2 s

1+ 4 s+80s2+2 s

= 4 s+80s2+6 s+80

La grafica de los lugares de raíces correspondientes a las FT de lazo abierto se muestra en la figura

siguiente:

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

200.220.440.620.760.850.92

0.965

0.992

0.220.440.620.760.850.92

0.965

0.992

1020304050

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura Nº

Los diagramas de bode correspondientes a las FT de lazo abierto.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura Nº

La grafica de respuesta en el tiempo correspondiente a las FT de lazo cerrado se muestran en la

figura siguiente:

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura Nº

COMPENSACIÓN DE ADELANTO

Se utiliza para mejorar la respuesta transitoria readaptando el lugar geométrico de las raíces

del sistema original. El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geométrico de

las raíces, mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no

influir en la parte readaptada por el cero.

Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo (o analógico),

tales como redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas

de amortiguadores mecánicos. En la práctica, suelen usarse compensadores que involucran

amplificadores operacionales.

En la figura siguiente se muestra el circuito de un compensador electrónico

Figura N° 6. Circuito electrónico de un compensador en adelanto

La función de transferencia se puede determinar considerando la teoría de funcionamiento del

amplificador operacional.

Para el amplificador operacional de la salida está dada:

E0(s)=−R4

R3E s(s )

Para el primer operacional la salida:

E s(s )=−Z2

Z1Ei(s)

Donde:

Z2 Impedancia de realimentación

Z1 Impedancia de entrada

Se puede hallarZ1:

1Z1

= 1R1

+sC1=1+sC1 R1

R1

Z1=R1

1+sC1 R1

Se puede hallar Z2:

1Z2

= 1R2

+sC2=1+sC2 R2

R2

Z2=R2

1+sC2 R2

Por lo tanto

E s(s )=−Z2

Z1=

R2

1+s C2 R2

R1

1+sC1 R1

E i(s )=R2

R1

1+sC1 R1

1+sC2 R2Ei(s)

La salida del operacional estará dada por:

E0=−R4

R3E s=

−R4

R5¿

E0(s)=R4

R3

R2

R1

1+sC 1 R1

1+sC 2 R2Ei(s)

La función de transferencia del circuito:

E0 ( s )Ei(s)

=R4

R3

R2

R1

1+sC1 R1

C1 R1C1 R1

1+s C2 R2

C2 R2C2 R2

=R4 C1

R3C2

s+ 1C1 R1

s+ 1C2 R2

E0 ( s )Ei(s)

=R4C1

R3C2

s+ 1C1 R1

s+ 1C2 R2

=K c

s+ 1T

s+ 1αT

Donde:

K c=R4 C1

R3 C2

1T

= 1C1 R1

1

αT= 1

C2 R2

De donde podemos obtener:

α=C2 R2

C1 R1

En función del valor de α tendremos:

Red de adelanto α <1 (polo a la izquierda del cero)

Red de atraso α >1 (polo a la derecha del cero)

Por lo tanto tendremos dos casos que se pueden apreciar en las figuras siguientes correspondientes a

una de de adelanto y atraso respectivamente:

Figura N° 7. Ubicación de polos y ceros en función del valor de α

Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque del lugar geométrico de las

raíces.

El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se dan las

especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como:

Factor de amortiguamiento relativo

Frecuencia natural no amortiguada

O los parámetros:

Sobrepaso máximo

Tiempo de levantamiento

Tiempo de asentamiento.

Dado un sistema original sea inestable para todos los valores de ganancia o estable pero con

características inconvenientes de la respuesta transitoria. Este problema se soluciona insertando un

compensador de adelanto apropiado en cascada con la función de transferencia de la trayectoria

directa, con lo cual el LGR del sistema con el compensador tendrá los polos dominantes en lazo

cerrado en las posiciones deseadas en el plano complejo. El diagrama de bloques correspondiente al

sistema con el compensador se muestra en la figura siguiente.

Figura N° 8. Diagrama de bloques de un sistema compensado

El procedimiento de diseño del compensador se puede dar de la siguiente manera:

1.- Graficar el lugar de raíces del sistema (diagramas de bode, respuesta en el tiempo)

2.- A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para los polos

dominantes en lazo cerrado

2.- En el grafico del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o

no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes.

Si no, calcule la deficiencia de ángulo ϕ. Este ángulo debe ser una contribución del compensador de

adelanto para que el nuevo lugar geométrico de las raíces pase por las ubicaciones deseadas para los

polos dominantes en lazo cerrado.

3.- Suponga que el compensador de adelanto Gc (s) es: (0<α<1)

Gc (s)=K c

s+ 1T

s+ 1αT

Donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo ϕ.

K c se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

4.-Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor

de α , un valor más grande de ϕ por lo general produce un valor más grande de K v , lo cual es

conveniente.

Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar el enfoque de la

respuesta en frecuencia.

5.- Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de

magnitud

6.- Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones

de desempeño, si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita el procedimiento

de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones

Ejemplo 1

Dada la función de transferencia de lazo abierto de un sistema

G (s )= 4s (s+2)

Se desea modificar los polos en lazo cerrado para obtener una frecuencia natural no amortiguada

ωn=4 rad /seg y un factor de amortiguamiento relativo ξ=0.5

Solución

La función de transferencia de lazo abierto del sistema es:

G (s )= 4s (s+2)

= 4s2+2 s

La grafica del lugar geométrico de raíces de los polos de lazo cerrado a partir del sistema de lazo

abierto es mostrada en la figura siguiente:

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

System: sysGain: 1Pole: -1 + 1.73iDamping: 0.5Overshoot (%): 16.3Frequency (rad/sec): 2

0.080.170.280.380.50.64

0.8

0.94

0.080.170.280.380.50.64

0.8

0.94

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura Nº 9 LGR del sistema

Los diagramas de Bode correspondientes al sistema no compensado, se muestra en la figura

siguiente.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 51.8 deg (at 1.57 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Figura Nº 10 Diagramas de Bode del sistema

El diagrama de bloques de lazo cerrado para el sistema es mostrado en la figura Nº 10:

Figura Nº 10 Diagrama de bloques de lazo cerrado del sistema

La función de transferencia de lazo cerrado correspondiente es:

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s)=

4s (s+2)

1+ 4s (s+2)

=

4s(s+2)

s2+2 s+4s(s+2)

C(s)R(s)

= 4s2+2 s+4

= 4(s+1+ j √3)(s+1− j √3)

La respuesta ante una entrada escalón unitaria del sistema con realimentación unitaria es:

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura Nº 11 Respuesta en el tiempo del sistema con realimentación

La ubicación de los polos de lazo cerrado del sistema es:

s=−1± j √3

Los polos expresados en función del factor de amortiguamiento relativo (ξ ) y la frecuencia natural

no amortiguada (ωn) son:

s=−ξ ωn ± jωn √1−ξ2

De donde obtenemos factor de amortiguamiento relativo (ξ ) y la frecuencia natural no amortiguada

(ωn) para los polos de lazo cerrado del sistema:

−ξ ωn=−1

De donde:

ξ= 1ωn

Remplazando el valor determinado:

j ωn√1−ξ2= j √3

ωn √1−( 1ωn )

2

=ωn √ ωn2−1

ωn2 =√ωn

2−1=√3

ωn2−1=3

ωn2=4

ωn=2

De donde obtenemos:

ξ=0.5

ωn=2 rad /seg

Estos valores se pueden apreciar en la figura del LGR del sistema.

La constante de error estática de velocidad (K ¿¿ v)¿:

K v=lims →0

sG (s )=lims → 0

s 4s(s+2)

K v=42=2

K v=2

El diagrama de bloques del sistema compensado se muestra en la figura siguiente:

Figura Nº 12

La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es:

Gc (s)G (s )=K c

s+ 1T

s+ 1αT

4s(s+2)

Para el ejemplo, las especificaciones de desempeño repetidas a continuación son:

ωn=4 rad /seg

ξ=0.5

Los polos de lazo cerrado deseados del sistema compensado, pueden ser hallados a partir de las

especificaciones de desempeño:

sd=−ξ ωn ±+ j ωn√1−ξ2

sd=−(0.5 )(4)±+ j 4 √1−0.52

sd=−2.0000 ± j 3.4641

Se pude concluir que el LGR del sistema no pasa por el polo deseado. A partir de la determinación

de los polos deseados para el sistema compensado se encuentra la suma de todas las contribuciones

angulares de los ceros y polos de lazo abierto del sistema original a la ubicación de uno de los polos

deseados en lazo cerrado, se determina el ángulo ϕ necesario que se debe agregar para que la suma

total de los ángulos sea igual a ± 180 (2 l+1 ) .

El compensador de adelanto debe contribuir con este ángulo ϕ. (Si el ángulo ϕ es suficientemente

grande, tal vez se requiera de dos o más redes de adelanto.)

El sistema actual G(s)

G (s )= 4s (s+2)

= 4s2+2 s

Determinamos la contribución angular del sistema G(s) al polo en lazo cerrado deseado; a partir

del grafico:

Figura Nº 12

∠ 4s (s+2)|sd=−2+ j 2√3

=−α−β=−120−90=−210

Podemos determinar el valor de ϕ de la ecuación:

ϕ−α−β=ϕ−120−90=ϕ−210=−180

De donde se puede hallar la deficiencia angular:

ϕ=30

El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto,

existe muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones.

Una de las formas (bisectriz) es que en el plano complejo ubique el polo deseado (P) y trace una

línea horizontal a través de él (línea AP), unir el polo deseado con el origen (recta PO).

Bisecte el ángulo formado por las líneas AP y PO (ángulo APO) y dibuje las líneas PC y PD de

modo que formen un ángulo de ϕ2=15 ° con la línea bisectriz PB.

Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan las ubicaciones necesarias del

polo y del cero respectivamente de la red de adelanto. Los pasos anteriores se pueden apreciar en la

figura Nº 13 siguiente:

Figura Nº 13

Por lo que ϕ2=15, ángulo entre las líneas PC y PB (ángulo CPB), la intersección del eje real con la

línea PC nos da ubicación del polo; y ϕ2=15 ángulo entre la línea PB y PD (ángulo BPD), la

intersección con el eje real con la línea PD nos da la ubicación del cero.

Por geometría podemos determinar la ubicación de las intersecciones del eje real con las líneas PC y

PD, que dan el polo y cero respectivamente, las cuales son:

Po lo :s=−5.4641

Cero : s=−2.9282

Por lo tanto de la función de transferencia del compensador es:

Gc (s )=K c

s+ 1T

s+ 1αT

=K cs+2.9282s+5.4641

Donde:

1T

=2.9282

1αT

=5.4641

Se puede determinar:

T=0.3415

α=0.5359

Por lo que la función de transferencia del sistema compensado estará dada por:

Gc (s)G (s )=K c

s+ 1T

s+ 1αT

G ( s)=K c(s+2.9282)(s+5.4641)

4s (s+2)

Gc (s )G (s )=K (s+2.9282 )s (s+2 ) ( s+5.4641 )

Donde K=4 K c

La ganancia K se calcula a partir de la condición de magnitud, evaluada en el polo deseado:

|Gc (s )G ( s)|s=−2± j 2√3=|K ( s+2.9282 )s (s+2 ) ( s+5.4641 )|s=−2± j2√3

=1

¿|K (−2+ j2√3+2.9282 )(−2+ j2√3) (−2+ j2√3+2 ) (−2+ j 2√3+5.4641 )|=|K 0.9282+ j3.4641

−17.5692− j65.5691|=1

K=|−17.5692− j 65.5691||0.9282+ j 3.4641|

=67.88213.5863

=18.9282

A partir del valor K=18.9282, obtenemos el valor de K c (K=4 K c):

K c=18.9282

4=4.7321

Por lo tanto la función de transferencia del sistema compensado es:

Gc (s )G (s )=18.9282 (s+2.9282 )s ( s+2 ) (s+5.4641 )

= 18.9282 s+55.4256s3+7.4641 s2+10.9282 s

La función de transferencia de lazo cerrado:

C(s)R(s)

=Gc (s )G (s )

1+Gc ( s) G ( s )=

18.9282 s+55.4256s3+7.4641 s2+10.9282 s

1+ 18.9282 s+55.4256s3+7.4641 s2+10.9282 s

=18.9282 (s+2.9282 )

s3+7.4641 s2+10.9282 s+18.9282 s+55.4256

C(s)R(s)

= 18.9282 s+55.4256s3+7.4641 s2+29.8564 s+55.4256

El LGR del sistema compensado se muestra en la figura Nº 6 el cual pasa por el polo deseado.

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-15

-10

-5

0

5

10

15

0.040.0850.130.190.260.38

0.52

0.8

2

4

6

8

10

12

14

2

4

6

8

10

12

14

System: sysGain: 1.04Pole: -2 + 3.56iDamping: 0.49Overshoot (%): 17.1Frequency (rad/sec): 4.08

0.040.0850.130.190.260.38

0.52

0.8

Figura Nº 6

En la figura siguiente se muestran el LGR de sistema no compensado y del compensado.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-15

-10

-5

0

5

10

15

0.8

0.040.0850.130.190.260.38

0.52

0.8

2

4

6

8

10

12

14

2

4

6

8

10

12

14

0.040.0850.130.190.260.38

0.52

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura Nº 7

Las funciones de transferencia de lazo cerrado del sistema no compensado y del sistema

compensado son:

C(s)R(s)

= 4s2+2 s+4

C(s)R(s)

= 18.9282 s+55.4256s3+7.4641 s2+29.8564 s+55.4256

La respuesta de una entrada escalón unitaria al sistema y al sistema compensado se ve en la grafica

siguiente:

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura Nº 8

Verificación de especificaciones de desempeño

Ejemplo 2

Considere un sistema con una planta inestable, como el de la figura

Usando el enfoque del lugar geométrico de las raíces, diseñe un controlador proporcional derivativo

tal que:

Factor de amortiguamiento relativo del sistema en lazo cerrado sea ξ=0.7

Frecuencia natural no amortiguada sea ωn=0.5 rad / seg .

Solución

La función de transferencia de lazo abierto del sistema es:

G (s )= 110000 ( s2−1.1772 )

= 0.0001s2−1.1772

El grafico del lugar de raíces del sistema se muestra en la figura siguiente:

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

System: sysGain: 2.35e+004Pole: -0 + 1.08iDamping: 0Overshoot (%): 100Frequency (rad/sec): 1.08

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura Nº 9

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema será:

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s)=

0.0001( s2−1.1772 )

1+ 0.0001( s2−1.1772 )

= 0.0001s2−1.1771

= 0.0001(s+1.0849)(s−1.0849)

El controlador proporcional derivativo tiene una función de transferencia:

E(s)U (s)

=K p(1+T d s)

La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado

Gc (s )G(s)=K p(1+Td s) 0.0001( s2−1.1772 )

El sistema compensado tiene una función de transferencia tal que tiene dos polos en:

s=1.0850 s=−1.0850

Cero en:

s= 1T d

A partir de las especificaciones de desempeño el sistema compensado debe tener:

ξ=0.7

ωn=0.5

Determinamos los polos de lazo cerrado del sistema compensado deben estar en:

s1,2=−ξ ωn± jωn √1−ξ2

Para nuestro ejemplo:

s1,2=−(0.7 ) (0.5 ) ± j ( 0.5 ) √1−( 0.7 )2=−0.35 ± j 0.3570

s1,2=−0.35± j0.3570

En la siguiente grafica se muestra el polo deseado de lazo cerrado ( s1=−0.35+ j 0.3570 ) y los

polos de lazo abierto del sistema, a partir de este grafico hallamos la deficiencia angular.

Figura Nº 10

Por lo tanto la condición de ángulo del sistema al polo deseado es:

G(s)= 0.0001(s2−1.1772 )|s=−0.35+ j 0.3570

=−166.0295−25.9065=−191.936

Por lo tanto la deficiencia angular al polo deseado de lazo cerrado es:

¿−191.913+φ=−180

φ=11.936

Lo que significa que el cero debe contribuir con φ=11.936°, ángulo con lo cual se determina la

ubicación del cero:

Gc (s )G (s )=K p (1+T d s ) 0.0001( s2−1.1772 )|s=−0.35+ j 0.3570

=φ−α−β−180=¿

K p (1+T d s ) 0.0001( s2−1.1772 )|s=−0.35+ j 0.3570

=φ−α−β=180

Del gráfico siguiente podemos observar:

Figura Nº 11

Del grafico podemos obtener la siguiente relación:

tan (11.936 )=0.3570x

x= (0.3570 )tan (11.939 )

=1.6888

La ubicación del cero será

s= x+0.35=2.0388

Si la función de transferencia del compensador es:

Gc (s )=K p (1+T d s )=K p T d(s+ 1T d

)

El cero del compensador:

s=−1T d

=−2.0384

Donde el valor de T d=0.4906

Por lo tanto la función de transferencia del compensador:

Gc (s )=K p T d(s+ 1T d )=K

p(0.4906)(s+2.0384)

El valor de K p, lo obtenemos a partir de la condición de magnitud aplicada a la función de

transferencia de lazo abierto al sistema compensado en el polo dominante.

Gc (s )G (s )=|K p(0.4906)(s+2.0384)0.0001

( s2−1.1772 )|s=−0.35+ j 0.3570

=1

De donde

K p=| (s2−1.1772 )0.0001 (0.4906 ) ( s+2.0384 )|s=−0.35+ j 0.3570

=| (−0.35+ j0.3570)2−1.17720.0001 (0.4906 ) ((−0.35+ j0.3570)+2.0384 )|

K p=1.2083

8.4664 e−005=14272

La función de transferencia del compensador será:

Gc (s )=K p T d(s+ 1T d )p

=7001.8432 (s+2.0384 )

La función de transferencia de LA del sistema compensado queda:

Gc (s )G (s )=K p (1+T d s ) 0.0001( s2−1.1772 )

=14273(1+0.4906 s) 0.0001( s2−1.1772 )

Gc (s )G (s )=1.4273(1+0.4906 s)(s2−1.1772 )

=0.7002 s+1.4273s2−1.1772

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema compensado será:

C(s)R(s)

=Gc (s )G (s )

1+Gc ( s) G ( s )=

0.7002 s+1.4273s2−1.1772

1+ 0.7002 s+1.4273s2−1.1772

= 0.7002 s+1.4273s2+0.7002 s+0.2501

El grafico de lugar de raíces del sistema compensado se muestra en la figura siguiente, donde se

puede apreciar que satisfacen las especificaciones de desempeño exigidas.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.997

0.40.660.820.90.9450.974

0.99

0.997

12345678

0.40.660.820.90.9450.974

0.99

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura Nº

Las funciones de transferencia de lazo cerrado del sistema y del sistema compensado son:

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s)= 0.0001

s2−1.1771

C(s)R(s)

=Gc (s )G (s )

1+Gc ( s) G ( s )= 0.7002 s+1.4273

s2+0.7002 s+0.2501

La respuesta de una entrada escalón unitaria al sistema y al sistema compensado respectivamente se

ve en la graficas siguientes:

0 5 10 150

100

200

300

400

500

600Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura Nº

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura Nº

Ejemplo 3

Considere un modelo para un sistema de control de un vehículo espacial, como el que aparece en la

figura. Diseñe un compensador de adelanto tal que el factor de amortiguamiento relativo ξ y la

frecuencia natural no amortiguada ωn de los polos dominantes en lazo cerrado sean 0.5 y

2 rad /seg, respectivamente.

Solución

…

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