ESERCITAZIONI - Paolo Casini · SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI ESERCITAZIONI a cura di P. Casini Testi...

SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI

ESERCITAZIONI

a cura di P. Casini

Testi consigliati:

1. P. Casini, M. Vasta, Scienza delle Costruzioni, CittàStudi (UTET università), 2011.

2. C. Comi, L. Corradi Dell’Acqua: Introduzione alla meccanica strutturale, McGraw-

Hill, 2007.

3. E. Viola: Complementi ed esercizi di Scienza delle Costruzioni, Voll. 1, 2, Pitagora

Ing. Energetica SdC - Sistemi di Travi - PCasini

2

Con riferimento al sistema isostatico mostrato figura si chiede di:

• Calcolare le reazioni vincolari.

• Tracciare i diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione.

• Calcolo delle reazioni vincolari

ΣX = 0 ⇒ XA= 0

D

C

E

B

A

M

XA

YA YD

l

Y

X

l l l

π/4

D

C

E

B

A

M

2CD ;BCBEAB ll ====

l l l

l

Esercizio 1.1

1. Sistemi staticamente determinati:

Esercizi svolti


3

ΣY = 0 ⇒ YA+YD = 0

ΣMA = 0 ⇒ M + 3lYD = 0 ⇒ YD = -M/3l

⇒ YA = M/3l

• Riepilogo delle reazioni vincolari

• Verifiche

ΣY = 0 ⇒ M/3l - M/3l = 0 �

ΣME = 0 ⇒ M – (M/3l)l – (M/3l)(2 l) = 0 �

• Caratteristiche della Sollecitazione)

• Tratto AB

l

D

C

E

B

A

M

M/3l

l l

l

Y

X

M/3l

M z

B

z

D

C

E

A

l

l l l

M/3l M/3l

z

z


4

N(z) + M/3l = 0 N(z) = -M/3l

T(z) = 0 T(z) = 0

ΣMS1 =0 M(z) = 0

• z = 0 ⇒ S1 ≡ A N(0) = NA = -M/3l

T(0) = TA = 0

M(0) = MA = 0

• z = l ⇒ S1 ≡ B- N(l) = NB- = -M/3l

T(l) = TB- = 0

M(l) = MB- = 0

• Nodo B

Equilibrio del Nodo B

NB+ = 0

TB+ = M/3l

MB+ = 0

• Tratto BE

N(z) = 0 N(z) = 0

T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l

ΣMS1 =0 M(z) = (M/3l)z

• z = 0 ⇒ S2 ≡ B+ N(0) = NB+ = 0

B-

B+

B

M/3l

MB+

TB+

NB+

M/3l

NB+

TB+

MB+

B+

B-

B

M/3l

M/3l

M/3l

M/3l

A

S1

M/3

z

T(z)

N(z)

M(z)

M/3l

B+ S2

z

T(z)

M(z)

N(z)


5

T(0) = TB+ = M/3l

M(0) = MB+ = 0

• z = l ⇒ S2 ≡ E- N(l) = NE- = 0

T(l) = TE- = M/3l

M(l) = ME- = M/3

• Nodo E

Equilibrio del Nodo E

NE+ = 0

TE+ = M/3l

ME+ = -(2/3)M

• Tratto EC

N(z) = 0 N(z) = 0

T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l

ΣMS3 =0 M(z) =-(2/3)M + (M/3l)z

• z = 0 ⇒ S3 ≡ E+ N(0) = NE+ = 0

T(0) = TE+ = M/3l

M/3l

M/3

E-

NE+

M/3l

TE+

ME+ M/3

M

E TE+

ME+

E+

M/3

M/3l

2M/3

M/3l

E-

M/3l

M/3

M

E

M/3l

2M/3

E+

T(z)

M(z)

N(z)

M/3l

2M/3

E+

z

S3


6

M(0) = ME+ = -(2/3)M

• z = l ⇒ S3 ≡ C- N(l) = NC- = 0

T(l) = TC- = M/3l

M(l) = MC- = -M/3

• Nodo C

• Tratto CD

N(z) -2

2

3l

M = 0 N(z) = 2

6l

M

T(z) -2

2

3l

M = 0 T(z) = 2

6l

M

ΣMS4 =0 M(z) = zl6

2

3

MM+−

• z = 0 ⇒ S4 ≡ C+ N(0) = NC+ = 26l

M

T(0) = TC+ = 26l

M

M(0) = MC+ = -M/3

• z = l 2 ⇒ S4 ≡ D N( 2l ) = ND =

26l

M

T( 2l ) = TD = 26l

M

M( 2l ) = MD = 0

M/3l

M/3

C-

M/3l

M/3

M/3l

M/3 C

M/3

C+

M/3l

M/3

C+

M/3l

z

N(z) T(z)

M(z)

S4


7

• Diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione

π/4

C

B A

l== BCAB

q

l

l

+

-

26l

Ml3

M

N

+

+

26l

M

l3

MT

3

M

3

M

M3

2 M

Esercizio 1.2


8


ΣX = 0 ⇒ RA 2

2= 0 ⇒ RA = 0

ΣY = 0 ⇒ YC - ql = 0 ⇒ YC = ql

ΣMC = 0 ⇒ (ql)(l/2) + MC = 0 ⇒ MC = -2

2ql


• Verifiche

ΣY = -ql +ql = 0 �

ΣMA = 22

2

2ql

qll

ql −+− = 0 �

C

B A

l

l

(1/2)ql2

ql

q

l/2 l/2

ql

C

B A

l

l

MC

YC

RA

q

l/2 l/2

ql

Y

X


9

• Caratteristiche della Sollecitazione

• Tratto AB

N(z) = 0

T(z) = - qz

M(z) = - (1/2)qz2

• z = 0 ⇒ S1 ≡ A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = 0

M(0) = MA = 0

• z = l ⇒ S1 ≡ B- N(l) = NB- = 0

T(l) = TB- = -ql

M(l) = MB- = -(1/2)ql2

• Nodo B

C

B A

l

l

(1/2)ql2

ql

q

z

z

q

z/2 z/2

qz

z T(z)

M(z)

N(z)

S1 A

ql2/2

B- B

ql

ql2/2 ql2/2

ql

ql

ql2/2

B+


10

• Tratto BC

N(z) = - ql

T(z) = 0

M(z) = - (1/2)ql2


ql2/2

B+ ql

z

S1

T(z)

N(z)

M(z)

C

B A

T

-

ql

C

A

N -

ql

B

C

B A

M

2

2ql


11


• Equilibrio asta BD

-XB = 0

YD – YB = 0

MD + XBl +YBl = 0

XB = 0

YB = YD

MD = -YBl

• Equilibrio asta ABC

XA = 0

YA + YB – ql/2 = 0

YBl – (ql/2)[l+ (2/3)l] = 0

XA = 0 XB = 0

YB = (5/6)ql YA = -ql/3

YD = (5/6)ql

MD = -(5/6)ql2

π/4

2BD ;BCAB ll ===

l l

l

D

C A B

q

l

Esercizio 1.3

l l

(2/3)l l/3

XA

YA YB XB

MD

YB

XB

YD

Y

X

2

ql


12


• Verifiche

ΣY = 0 ⇒ 026

5

3=−+−

qlqlql �

ΣMB = 0 ⇒ 03

2

26

5

6

5

3

2

=−−+ lql

qllql

lql

�


(2/3)l

l

l l

D

C A B

q

(5/6)ql

(1/3)ql

(5/6)ql2

z

z z

l

l l

2

ql

(2/3)l l/3

(5/6)ql2

(5/6)ql (1/3)ql

(5/6)ql

(5/6)ql

l

l l

l/3

(1/3)ql (5/6)ql2

(5/6)ql

2

ql


13

• Tratto AB

N(z) = 0

T(z) = - (1/3)ql

M(z) = -(1/3)ql z

• z = 0 ⇒ S1 ≡ A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = -(1/3)ql

M(0) = MA = 0

• z = l ⇒ S1 ≡ B- N(l) = NB- = 0

T(l) = TB- = -(1/3)ql

M(l) = MB- = -(1/3)ql2

• Nodo B


NB+ = 0

TB+ = ql/2

MB+ = -ql2/3

A S1

z

T(z)

M(z)

N(z)

(1/3)ql

ql/3

ql2/3 B-

NB+

ql/3

TB+

MB+ ql2/3

B

TB+

MB+

B+

(5/6)ql

ql/3

ql2/3 B-

ql/3

ql/2

ql2/3 ql2/3

B

ql/2

ql2/3

B+

(5/6)ql


14

• Tratto BC

La legge di variazione del carico distribuito nel sistema

di riferimento locale è zl

qzq =)( . Le equazioni di

Equilibrio del tratto B+S2 comportano (vedi Fig.):

N(z) = 0

T(z) = 2

ql-

l

qz

2

2

M(z) = 623

32 qzz

qlql−+−

• z = 0 ⇒ S2 ≡ B+ N(0) = NB+ = 0

T(0) = TB+ = (1/2)ql

M(0) = MB+ = -(1/3)ql2

• z = l ⇒ S2 ≡ C N(l) = NC = 0

T(l) = TC = 0

M(l) = MC = 0

• Tratto BD

N(z) +2

2

6

5ql = 0 N(z) = - 2

12

5ql

T(z) +2

2

6

5ql = 0 T(z) = - 2

12

5ql

ΣMS3 =0 M(z) = - 212

5ql z

• z = 0 ⇒ S3 ≡ B N(0) = NB = - 212

5ql

T(0) = TB = - 212

5ql

M(0) = MB = 0

• z = l 2 ⇒ S3 ≡ D N( 2l ) = ND = - 212

5ql

T( 2l ) = TD = - 212

5ql

M( 2l ) = MD = - 2

6

5ql

B

(5/6)ql

z

N(z) T(z)

M(z)

S3

B+

ql/2

ql2/3

z

T(z)

M(z)

N(z)

S2

(2/3)z z/3

l

qz

2

2


15


D

C A B

2

12

5ql

- N

T

D

C

A

B

2

12

5ql

-

+

- 3

ql

2

ql

M

D

C

A B

2

6

5ql

3

2ql


16


Il sistema assegnato è staticamente determinato (la dimostrazione si lascia per esercizio).

Come prima cosa conviene scom-

porre il carico distribuito in una

componente perpendicolare e in

una componente parallela alla di-

rezione AC. Si osserva poi che

l’asta EC è sottoposta unicamente

a forza normale; pertanto le rea-

zioni vincolari delle cerniere C ed

E devono essere parallele alla dire-

zione EC.

l l l

l A

B C

D E

π/4

π/4

2p

2p

pCosp =

4 2

π

pnSp =

4i 2π

Esercizio 1.4


17

• Equilibrio corpo ABCD

CE

2

0

R2

2−− ∫

l

pdx = 0

CE

2

0

R2

2+− ∫

l

pdx +YA+YD= 0

lpxdx

l

2R2

2

CE

2

0

+− ∫ + YDl = 0

RCE = - 22 pl

YD = 6pl YA = -2pl

l

CER

CER

2

2

CER

2

2

CER

CER

2

2

CER

2

2

l l

A B

D

C

YA

YD

CER

CER

2

2

CER

2

2

p

p

Y

X


18


• Verifiche

ΣX = 0 ⇒ 02

2

0

=+− ∫l

pdxpl �

ΣY = 0 ⇒ 0262

2

0

=−−+− ∫l

pdxplplpl �

ΣMD = 0 ⇒ 0222

2

0

222=−−+ ∫

l

pldxplplpl �

22pl

pl2

pl2

l l

A B

D

C

2pl

6pl

p

p

l

22pl

pl2

pl2

22pl

pl2

pl2

C

E


19


• NODO B

22pl

pl2

pl2

22pl

pl2

pl2

C

E

z

22pl

pl2

pl2A B

D

C

2pl

6pl

p

p

z

z z

NB

III

TB

III

MB

III

NB

I

TB

I

MB

1

MB

II

NB

II

TB

II

NB

III

TB

III

MB

III

BIII B

I

NB

I

TB

I

MB

I

NB

II

TB

II

MB

II

BII

B


20

• Tratto AB

N(z) = pz

T(z) = -2pl - pz

M(z) = -2pl z - (1/2)pz2

• z = 0 ⇒ S1 ≡ A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = -2pl

M(0) = MA = 0

• z = l ⇒ S1 ≡ BI N(l) = NB

I = pl

T(l) = TB

I = -3pl

M(l) = MB

I = -(5/2)pl

2

• Tratto DB

N(z) = -6pl

T(z) = 0

M(z) = 0

• z = 0 ⇒ S2 ≡ D N(0) = ND = -6pl

T(0) = TD = 0

M(0) = MD = 0

• z = l ⇒ S2 ≡ BII N(l) = NB

II = -6pl

T(l) = TB

II = 0

M(l) = MB

II = 0

T(z)

M(z)

N(z)

p

z/2 z/2

pz

z

S1 A

pz

2pl

D

S2

6pl

z

T(z)

N(z)

M(z)


21

• Nodo B


NB

III = pl

TB

III = 3pl

MB

III = -(5/2) pl

2

NB

III

TB

III

MB

III

BIII

BI

pl

3pl

(5/2)pl 2

NB

III

TB

III

MB

III

pl

3pl

(5/2)pl 2

6pl

B

BII

6pl

pl

3pl

(5/2)pl 2 BIII B

I

pl

3pl

(5/2)pl 2

pl

3pl

(5/2)pl 2

pl

3pl

(5/2)pl 2

6pl

B

BII

6pl


22

• Tratto BC

N(z) = pl + pz

T(z) = 3pl - pz

M(z) = -(5/2)pl2 +3pl z - (1/2)pz

2

• z = 0 ⇒ S3 ≡ B

III N(0) = NB

III = -pl

T(0) = TB

III = 3pl

M(0) = MB

III = -(5/2)pl

2

• z = l ⇒ S3 ≡ C N(l) = NC = 2pl

T(l) = TC = 2pl

M(l) = MC = 0

• Tratto CE

N(z) = 22pl

T(z) = 0

M(z) = 0

T(z)

M(z)

N(z)

p

z/2 z/2

pz

z

S3

BIII

pz (5/2)pl 2

3pl

pl


23

• Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

A B C

D E

N +

-

+

6pl

2pl

22pl

A

B C

D E

T +

-

2pl 3pl

2pl

3pl

A B C

D E

M

2

2

5pl

ESERCITAZIONI - Paolo Casini · SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI ESERCITAZIONI a cura di P. Casini Testi...

Documents

Transcript of ESERCITAZIONI - Paolo Casini · SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI ESERCITAZIONI a cura di P. Casini Testi...