Capitulo VI casini - UNC

Cátedra I Estadística II Autor I Rosanna Casini

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Objetivos

Se pretende que, después de haber estudiado este Capítulo, el alumno esté en condiciones de:

• Entender los componentes del método clásico de series de tiempo. • Utilizar el método de mínimos cuadrados en series de comportamiento

lineal y no lineal. • Aislar las componentes del método clásico en series con periodicidad

inferior al año. • Utilizar los métodos de suavizado exponencial y promedios móviles. • Utilizar los modelos autorregresivos. • Realizar pronósticos de series de tiempo con diferentes métodos.

Contenidos

1. Introducción. 2. La importancia de los pronósticos. 3. Factores componentes del modelo clásico multiplicativo de series de tiempo.

3.1. Ajuste de tendencia y aislamiento de componentes en series de perio dicidad anual: Método de mínimos cuadrados, tendencias no lineales. 3.1.1. Componente tendencial. Método de mínimos cuadrados. 3.1.2. Tendencias no lineales.

3.2. Serie de periodicidad inferior al año. 3.2.1. Componente estacional. 3.2.2. Componente cíclica. 3.2.3. Componente irregular.

4. Suavizado de series temporales anuales. 4.1. Método de promedios móviles. 4.2. Suavizado exponencial.

5. Modelos autorregresivos. 6. Análisis residual.


280


281

1. Introducción

En el capítulo anterior, hemos trabajado con modelos de regresión que, entre otras aplicaciones, permiten predecir el comportamiento de una variable (dependiente) en función de otra u otras variables (explicativas o independientes).

Existen otros tipos de modelos que persiguen el mismo objetivo: predecir el comportamiento de una variable de interés, pero que en lugar de buscar otra u otras variables que permitan hacerlo, suponen que es la propia “historia” de la variable en estudio la que posibilitará realizar la predicción. Se trata de algo así como pararse en un momento del tiempo (presente) y “mirar hacia atrás” cómo se comportó la variable en cuestión, suponiendo que ese comportamiento en el pasado permitirá predecir adecuadamente lo que ocurrirá en el futuro. Este tipo de análisis se realiza mediante las llamadas series de tiempo, series cronológicas o series temporales.

En gran número de situaciones, el análisis de series de tiempo resulta una herramienta útil para la toma de decisiones administrativas. Esta técnica, que como dijimos, permite realizar pronósticos (en particular de negocios) basándose en información histórica y utilizando diversas herramientas desarrolladas en capítulos anteriores; principalmente el análisis de regresión.

A continuación se incluyen dos gráficos, uno con datos anuales (Figura 1) y el otro con datos cuatrimestrales (Figura 2), que ilustran cómo suelen presentarse los datos correspondientes a una serie temporal.

Figura 1:

Evolución de los ingresos por ventas desde 1980 hasta 1999

0

100

200

300

400

500

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

años

ingr

eso

INGRESO (Y)

Figura 2:

Evolución de los ingresos por ventas desde 1980 hasta 1999


282

EVOLUCION DEL GASTO CUATRIMESTRAL DURANTE TRES AÑOS

0

100

200300

400

500

600

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

cuatrimestre

gast

oGASTO

Como se observa en las figuras anteriores, la trayectoria de la serie temporal no es regular, ni es posible, en general, descubrir a simple vista cuál es el comportamiento a largo plazo o sus fluctuaciones en el corto plazo, y por lo tanto, es necesario realizar diversos tipos de tratamientos a los datos de la serie a fin de hacer posible un análisis de su comportamiento y la predicción de su trayectoria en el futuro. Podemos clasificar el tratamiento de las series en: métodos por descomposición, que permiten explicar el comportamiento de la variable con el propósito de proporcionar medios necesarios para predecir sucesos futuros, basándose en las observaciones pasadas y presentes de la misma y, los modelados llamados causales que basándose en características de la variable permiten definir un modelo que reproduce de alguna manera los valores de la serie con el menor error posible y bajo determinadas condiciones estadísticas, con la finalidad de predecir valores futuros de la variable. En este capítulo estudiaremos básicamente los métodos de descomposición (también llamado método clásico) y su aplicación en series de datos anuales y en series con datos de sub-períodos inferiores al año. También estudiaremos algunos métodos llamados de “suavizado” como los de promedios móviles y suavizado exponencial. Por último, y como una breve introducción a otro tipo de modelos de análisis que van más allá del objetivo de este curso, desarrollaremos el análisis de las series mediante algunos modelos autorregresivos y estudiaremos su aplicación para realizar pronósticos.

2. La importancia de los pronósticos

Sabemos que las empresas comerciales deben planear ventas, producción, inversión, distribución, entre otras actividades necesarias para su funcionamiento; el gobierno debe planear insumos y gastos para realizar sus funciones rutinarias y para influir en la actividad agregada de modo de asegurar el progreso económico de la nación. Es así que una acción económica o comercial emprendida hoy, se basa en un plan de ayer y en las expectativas de mañana. Los planes para el futuro no pueden hacerse sin pronosticar hechos y las relaciones o efectos que tendrán. Además debemos tener en cuenta que la pronosticación no sólo puede hacerse para una línea determinada de actividad de manera independiente, el pronóstico de un tipo de hecho también puede hacerse sobre la base de otros pronósticos. Por ejemplo una firma individual puede basar su pronóstico de ventas, en el pronóstico de ventas de

Evolución del gasto cuatrimestral durante tres años


283

toda la industria; los pronósticos del ingreso nacional son usados por el gobierno para estimar el futuro ingreso fiscal. Hemos afirmado en el párrafo introductorio que uno de los objetivos básicos del análisis de series de tiempo es la pronosticación. Podemos intuir fácilmente que pronosticar es, mucho más que proyectar mecánicamente una serie en el futuro sobre la base de la observación del pasado. Es por ello que un buen pronóstico requiere una combinación de teoría económica, conocimientos estadísticos y familiaridad con información relevante. De esta forma el método analítico de pronósticos supone el análisis detallado de fuerzas causales que operan sobre la variable que se predice, lo que implica adoptar el tratamiento que permita lograr el objetivo antes mencionado. Los métodos que aquí estudiamos para pronosticar los valores futuros de una serie temporal, suelen complementarse con otro tipo de enfoques, tales como el método de escenarios, la consulta a expertos, entre otros, que van más allá de los objetivos de este curso, pero que los estudiantes pueden consultar para profundizar sus conocimientos al respecto1/.

Como dijimos, cuando trabajamos con una variable recopilada a través del tiempo, estamos en presencia de una Serie de Tiempo. Ejemplos de variables de la naturaleza mencionada existen en todas las disciplinas y en particular en el ámbito de las Ciencias Económicas tienen importantes aplicaciones, debido a la necesidad de efectuar pronósticos que permitan organizar actividades o estrategias futuras revisando datos históricos. Uno de los métodos existentes es el clásico, también llamado por descomposición. Lo primero que debemos realizar es el gráfico poligonal para observar el comportamiento de la variable que, seguramente presenta picos u oscilaciones provocadas por el efecto de múltiples factores (Figuras 1 y 2). El método que desarrollamos en esta unidad, se basa en el criterio que los valores de la variable “y” están determinados por el efecto de cuatro componentes denomi- nados: tendencial, estacional, cíclico e irregular. Estos componentes se relacionan matemáticamente mediante un modelo que puede ser aditivo en cuyo caso se supone que hay independencia entre ellos o bien multiplicativo, para el cual se supone que hay interacción o dependencia entre los componentes. Esta situación puede expresarse como:

t t t t ty T S C I= + + + Modelo Aditivo

. .t t t t ty T S C I= Modelo Multiplicativo

El significado que se le atribuye a los cuatro componentes está referido a su efecto sobre la variable. Tendencial: Es el componente que determina el comportamiento general de la serie y muestra como la variable evoluciona a través del tiempo. Actúa en períodos largos de

1/ Johnson, G. y Scholes, K.: Dirección Estratégica- Prentice may- Madrid 2001 (Cap. 3).


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tiempo, considerándose en general más de dos años. Por ejemplo si analizamos las ventas de una empresa a través del tiempo, el componente tendencial o tendencia se manifiesta en el comportamiento creciente o decreciente de las ventas en el largo plazo. Estacional: Bajo esta denominación incorporamos aquellas variaciones provocadas por efectos llamados estacionales. es decir aquéllos que se producen en períodos cortos y en forma recurrente año tras año. Se denominan de esta forma porque se lo asocia a las estaciones provocadas por factores climáticos, aunque esto no necesariamente es así para todas las variables. En definitiva la variable presenta un comportamiento en el corto plazo que año tras año se repite en la misma época. Un ejemplo de la incidencia del componente estacional lo observamos en las ventas de artículos de regalería en períodos próximos a las fiestas navideñas en países con predominio de religión católica. Cuando las fluctuaciones son regulares, pero se repiten con una periodicidad mayor que un año, se incluyen dentro del componente cíclico que se define a continuación.

Cíclico: Incluye el efecto de los factores que generan cambios en períodos largos y suele asociarse con los ciclos económicos. Se considera que los cambios observados en los ciclos responden a cuatro etapas: expansión, prosperidad, recesión y depresión. Por ejemplo los ciclos ganaderos. Irregular: Se determina por efecto de todos los factores no considerados anteriormente. Actúa en el corto plazo y puede ser considerado como permanente o excepcional. En el primer caso se trata de variaciones ocurridas en cada momento del tiempo provocadas por múltiples factores no considerados en los demás componentes, pero que casi siempre actúan sobre la variable desviándola de los valores que serían exactamente predecibles si sólo actuaran los otros factores. Es excepcional cuando se trata de aquellas variaciones motivadas por situaciones accidentales o catastróficas imposibles de controlar, tales como, terremotos, inundaciones, etc. Las características más relevantes se resumen en el cuadro siguiente2/:

Cuadro 1: Factores de una serie de tiempo Componente

ó factor Clasificación del

componente Definición Razón de

influencia Duración

Tendencia

Estacional

Cíclico

Irregular

Sistemático

Sistemático

Sistemático

No Sistemático

Patrón de movimiento global. Variaciones recurrentes que ocurren en período inferior a un año. Oscilación repetitiva.

Fluctuación residual.

Cambios en tecnología, población, riqueza, valores. Condiciones climáticas, hábitos y costumbres sociales y o religiosas. Interacción de múltiples factores que influyen en la economía. Situaciones extraordinarias o cotidianas no provocadas, ni controladas por el hombre.

Varios años Largo plazo. Dentro de 12 meses. Con repetición. De 2 a 10 años, con diferente intensidad en un ciclo completo. Corta duración. Sin repetición.

2/ Berenson, Levine y Krehbiel (pág. 597).


285

3.1. Ajuste de tendencia y aislamiento de componentes en series con periodi-

cidad anual: Método de mínimos cuadrados, tendencias no lineales

En las series anuales como ya hemos mencionado se refleja solamente la influencia de los componentes tendencial y cíclico, quedando como residuo, si estos componentes son aislados, el irregular, ya que los movimientos estacionales requieren la existencia de datos con periodicidad menor al año (mensuales, trimestrales, diarios, etc.). Para su tratamiento sugerimos la consideración de los aspectos que se detallan a continuación: Si la serie está expresada en unidades monetarias es conveniente eliminar el efecto de la inflación, es decir deflactar los valores de la variable para expresarlos en unidades homogéneas. Luego, y esto es válido para cualquier tipo de series, es necesario codificar el tiempo, a fin de que a cada observación le corresponda un número, en general correlativo, lo cual facilitará la realización de operaciones. Los métodos que estudiaremos en este punto se conocen como “métodos de ajuste” de la serie mediante una expresión analítica, y están muy vinculados a los estudiados en el capítulo anterior (Regresión), caracterizándose porque la variable independiente es el tiempo en lugar de cualquier otra variable explicativa. Luego de tratados estos métodos de ajuste, explicaremos los métodos llamados de “suavizado” que persiguen otros objetivos en el análisis de la serie. 3.1.1. Componente tendencial. Método de mínimos cuadrados

Para analizar el componente tendencial podemos aplicar el Método de Ajustamiento de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se busca la expresión analítica de la función que mejor ajusta a los datos observados, de modo tal que permita minimizar la suma de cuadrados del error. Observando el diagrama de dispersión, encontramos diversos tipos de comportamiento, como ser el que corresponde a una función lineal, cuadrática exponencial o potencial, funciones que en adelante se clasifican en lineal y no lineal. Esos casos, los abordaremos por aplicación del Método de Mínimos Cuadrados. Función Lineal:

Si de la observación del gráfico se sugiere un comportamiento lineal de la tendencia en el largo plazo, es posible con el mismo planteo del capítulo anterior, sugerir que los valores de y en cada momento t son una función lineal de x (tiempo) más una componente aleatoria que resume el resto de los componentes.

1t o ty xβ β ε= + +

Aplicando el método de mínimos cuadrados, se puede obtener la “recta estimada”:

0 1ˆty b b x= +

Los valores de 0 1 y b b , tal como se explicara en el capítulo anterior se obtienen a

partir de minimizar la suma de cuadrados de los “errores” (desviaciones con respecto a la recta estimada)


286

SCE = Σe2 = ( )2ˆi iy y∑ − � mínimo.

f(b0, b1) = [ iy∑ - (b0 + b1xi)]2 � mínimo

Teniendo en cuenta que una función presenta un mínimo en el punto en que su derivada primera es igual a cero, se trata de encontrar el punto de coordenadas (b0, b1) resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surge al igualar a cero las derivadas primeras respecto de b0 y b1

3/.

∂ f(b0, b1)/ ∂ (b0) = -2 [∑ yi - nb0 + b1 ∑ xi ]

∂ f(b0, b1)/ ∂ (b1) = -2 [∑ yi xi – b0 ∑ xi + b1 ∑ xi2 ]

Igualando a 0 las derivadas:

-2 [∑ yi - nb0 + b1∑ xi] = 0 -2 [∑ yi xi - b0 ∑ xi + b1 ∑ xi

2 ] = 0

De estas ecuaciones, se obtiene el siguiente sistema (haciendo traspaso de términos a fin de que queden todas las incógnitas del mismo lado de las ecuaciones- lado derecho en este caso-):

∑ yi = nb0 + b1 ∑ xi ∑ yi xi = b0 ∑ xi + b1∑ xi

2

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquiera de los métodos conocidos, obtenemos las siguientes fórmulas para calcular el valor de los coeficientes de la ecuación lineal:

1 1 11

2 2

1 1

( )

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n y x y xb

n x x

= = =

= =

−∑ ∑ ∑=

−∑ ∑ (1)

1 11

n n

i ii i

o

y xb b

n n

= =∑ ∑

= − (2)

3/ La verificación de las condiciones de segundo orden, necesarias para que se trate de un mínimo

y no de un máximo las dejamos a cargo del estudiante.


287

Veamos el siguiente ejemplo: Una cooperativa de comercialización de un grupo de agricultores quiere medir las variaciones en la cosecha de trigo de sus miembros durante un periodo de 8 años. En Tabla 1 mostramos los datos: Tabla 1:

Año X: Años (Codificada)4/ Y: Cosecha Tn (x 10000)

1979 -7 7,5 1980 -5 7,8 1981 -3 8,2 1982 -1 8,2 1983 1 8,4 1984 3 8,5 1985 5 8,7 1986 7 9,1 Total 66,4

En la Tabla 2 mostramos las columnas con los cálculos necesarios para aplicar las fórmulas de cálculo de los coeficientes:

4/ Este ejemplo fue desarrollado con esta codificación ordenada cada dos códigos desde -7 a 7.

Habitualmente se codifica de 1 en adelante pero el tratamiento es equivalente.


288

Tabla 2:

Año X: Años (Codificada)

Y: Cosecha Tn (x 10000)

2X XY

1979 -7 7,5 49 -52,5 1980 -5 7,8 25 -39 1981 -3 8,2 9 -24,6 1982 -1 8,2 1 -8,2 1983 1 8,4 1 8,4 1984 3 8,5 9 25,5 1985 5 8,7 25 43,5 1986 7 9,1 49 63,7 Total 66,4 168 16,8

Reemplazando en las fórmulas (1) y (2), la ecuación de la recta resulta:

ˆ 7, 4 0,2t ty x= +

La Tabla 3, contiene los datos procesados con SPSS de donde obtenemos los coeficientes de la ecuación, b0 y b1. Tabla 3:

Coefficients a

7,400 ,090 82,246 ,000

,200 ,018 ,977 11,225 ,000

(Constant)

TIEMPO

CODIFICADO

Mod

el1

B Std. Error

Unstandardized

Coefficients

Beta

Standardi

zed

Coefficien

ts

t Sig.

Dependent Variable: VAR00002a.

Para evaluar la “bondad” del ajuste lineal, lo cual permitirá conocer la confianza que nos inspira el modelo lineal planteado para estudiar el componente tendencial, es posible recurrir, al igual que en el caso de la regresión estudiado en el Capítulo anterior, al coeficiente de determinación general (r2), que para nuestro ejemplo, es igual a 0,9545. Con este valor, es posible afirmar que la ecuación lineal representa adecuadamente el componente tendencial de esta serie. En otros términos el volumen de trigo cosechado tiene un comportamiento lineal a través del tiempo.

Recordemos que la fórmula del coeficiente de determinación general es:

22 i i

2

i i

ˆ(y y )1

(y y )r

∑ −= −∑ −

(3)

b0

b1 r


289

Obtenemos r2 mediante aplicación de la fórmula (3), o bien observando los valores procesados en Tabla 2. Los valores estimados de y, simbolizados como y , los obtendremos reemplazan-

do en la ecuación: ˆ 7, 4 0,2t ty x= + , x t por los valores de la variable tiempo

codificada, los resultados son mostrados en Tabla 4.

En la Figura 3 observamos el comportamiento de la variable en un gráfico de línea o poligonal que contiene la función lineal resultante del ajuste que realizamos aplicando el Método de Mínimos Cuadrados, y los valores de la variable cosecha de trigo en toneladas realmente relevados. Figura 3:

Evolución de la cosecha de trigo en valores reales y ajustados

7

7,5

8

8,5

9

9,5

1 2 3 4 5 6 7 8

Cosecha

Ajuste lineal

3.1.2. Tendencias no lineales Si el gráfico sugiere que la tendencia puede ser de un tipo no lineal, existen varias alternativas de ajuste. Por ejemplo, puede tratarse de una forma similar a un polinomio de segundo grado, a una curva exponencial, logarítmica u otra. Analizaremos los casos de función polinómica de segundo grado y de una exponencial.

Una función polinómica de segundo grado es de la forma:

2

0 1 2y b x b xb= + +

Donde:

b0 : Intersección estimada con el eje y b1 : efecto lineal estimado sobre y b2 : efecto curvilíneo estimado sobre y Aplicando el método de mínimos cuadrados igual que en el caso lineal (solo que ahora hay que estimar tres parámetros):


290

2

1 21 1 1

2 3

1 21 1 1 1

2 2 3 4

1 21 1 1 1

n n n

i o i ii i i

n n n n

i i o i i ii i i i

n n n n

i i o i u ii i i i

y nb b x b x

y x b x b x b x

y x b x b x b x

= = =

= = = =

= = = =

= + +∑ ∑ ∑ = + +∑ ∑ ∑ ∑ = + +∑ ∑ ∑ ∑

Resolviendo el sistema por cualquiera de los métodos conocidos para ello, obtenemos los coeficientes de la ecuación cuadrática. (No es necesario que el estudiante memorice las fórmulas, debe saber aplicarlas o interpretarlas a partir de una salida de computadora). Para el tratamiento con un paquete estadístico, este modelo debe ser considerado como una regresión múltiple en el que y es la variable dependiente, x una variable independiente y x2 otra variable independiente, tal como se observa en el ejemplo que sigue.

Los valores hipotéticos del Ingreso Anual de una importante empresa de produc- ción y venta de bebidas gaseosas, en los últimos 20 años se transcriben en la Tabla 4. Tabla 4:

Ingreso deflactado a precios de 1990

Código Tiempo (X) Ingreso (Y) Código Tiempo (X) Ingreso (Y) 1 1980 255 12 1991 325 2 1981 189 13 1992 328 3 1982 278 14 1993 338 4 1983 289 15 1994 359 5 1984 299 16 1995 324 6 1985 356 17 1996 316 7 1986 389 18 1997 387 8 1987 295 19 1998 298 9 1988 287 20 1999 278 10 1989 299 11 1990 320

La salida de computación para la función cuadrática se muestra en la Tabla 5. Tabla 5:

219,771 27,369 8,030 ,000

18,396 6,002 3,065 ,007

-,714 ,278 -2,572 ,020

(Constant)

CÓDIGO DE X

XCUAD

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

t Sig.

La función cuadrática es:

2y 219,77 18,40x 0,71 x= + −

COEFICIENTES


291

La gráfica del ajuste se muestra en la Figura 4 que se transcribe después de realizar el ajuste exponencial a los datos del ingreso. Reemplazamos por los valores de “x” y, el cuadrado de “x” en la función cuadrática obteniendo los valores estimados de “ y ”, para calcular por diferencia el residuo o error. La variable error, como se analizó en la unidad de regresión, es útil para calcular el error estándar estimado y el coeficiente de determinación r2 y de esa forma analizar la bondad del ajuste realizado con la función cuadrática. La salida de computación para el análisis mencionado se encuentra en la Tabla 6. Tabla 6:

Model Summary b

,648a ,420 ,351 36,7872Model1

R R SquareAdjusted R

SquareStd. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), XCUAD, CÓDIGO DE Xa.

Dependent Variable: INGRESO 1980 - 1999b.

Observando la salida de SPSS, el Coeficiente de determinación general es 0,42 por lo que interpretamos que el ajuste es relativamente bueno.

Función exponencial:

Si el comportamiento de la serie muestra una tendencia exponencial en su evolución, es posible aplicar este tipo de modelos, donde la función tiene la característica que, al tomar logaritmos en ambos miembros, toma la estructura lineal, lo que hace su tratamiento similar al caso lineal ya visto.

A fin de ejemplificar este comportamiento: Continuando con el análisis de la variable ingreso que se muestra en la Tabla 4 hemos codificado “la variable x” con numeración correlativa, tomamos el logaritmo de la función y aplicamos propiedades, quedando la función exponencial y su linealización de la siguiente forma:

10

x10

xlnblnbyln

bby

+=

=

ˆ

ˆ

xbby '1

'0

' +=ˆ

En la función vemos que la variable dependiente es el logaritmo de la variable ingreso, simbolizada como “ 'y ” y los coeficientes b’0 y b’1 son los logaritmos de los coeficientes de la función exponencial.

Luego, ajustamos la función lineal por el Método de Mínimos Cuadrados antes descripto, y por último, tomamos el antilogaritmo de los coeficientes de la ecuación lineal con lo que obtenemos la función exponencial definida al comienzo.

En el ejemplo se tomó el logaritmo natural de la variable ingreso, lo que se observa en Tabla 7.


292

Tabla 7:

Cod. Ln (Y) Cod. Ln (Y) 1 5.54 11 5.77 2 5.24 12 5.78 3 5.63 13 5.79 4 5.67 14 5.82 5 5.70 15 5.88 6 5.87 16 5.78 7 5.96 17 5.76 8 5.69 18 5.96 9 5.66 19 5.70 10 5.70 20 5.63

La ecuación resultante del ajuste realizado por MC, es:

ln (y) = ln (b0) + ln (b1). x

ln (y) = 5,597 + 0,01237. x Obtenemos los coeficientes, aplicando las fórmulas (1) y (2).

La función exponencial que surge al tomar el antilogaritmo de los valores estimados de b’0 y b’1,, es:

x269, 6.11, 01y =

La salida de computación que mostramos en Tabla 8 contiene el análisis de correlación y los coeficientes de la ecuación lineal.

Tabla 8:

Model Summary b

,460a ,212 ,168 ,1450Model1



Predictors: (Constant), CÓDIGO DE Xa.

Dependent Variable: LNINGb.

5,597 ,067 83,120 ,000

1,237E-02 ,006 2,201 ,041

(Constant)

CÓDIGO DE X

Model1

B Std. Error


t Sig.

El coeficiente de determinación r2 = 0,21 indica que el ajuste es malo, compara- tivamente para estos datos, ajusta con menor margen de error la función cuadrática.

Resumiendo los resultados de los ajustes cuadrático y exponencial para los datos de ingreso en Tablas 9 y 10, concluimos que, de las funciones aplicadas para el ajuste, la mejor es la Función Cuadrática, no obstante, sería conveniente aplicar otros métodos para lograr un modelo que reproduzca aún mas los verdaderos valores de la variable, es decir un modelo que asegure menores residuos (Diferencia entre los valores observados y los estimados por la función).


293

En Tabla 10 transcribimos el valor estimado de la variable ingreso calculada con la Función Cuadrática, en la tercer columna de la tabla y tomando el antilogaritmo de y , en la columna 5, mostramos el valor estimado de la variable ingreso por

aplicación de la Función Exponencial. También en columnas 4 y 6 visualizamos los residuos para ambas funciones. Tabla 9:

Función r2

Cuadrática 0.41 Exponencial 0.21

Tabla 10:

(1) Código De x

(2) Ingreso y

(3)

y Función

cuadrática

(4)

ˆy y− Función

cuadrática

(5)

y Función

exponencial

(6) Residuos

ˆy y− Función

exponencial 1 255 237,45 17,55 272,92 -17,92 2 189 253,71 -64,71 276,32 -87,32 3 278 268,53 9,47 279,76 -1,76 4 289 281,93 7,07 283,24 5,76 5 299 293,90 5,10 286,77 12,23 6 356 304,44 51,56 290,34 65,66 7 389 313,55 75,45 293,95 95,05 8 295 321,23 -26,23 297,61 -2,61 9 287 327,49 -40,49 301,31 -14,31 10 299 332,32 -33,32 305,06 -6,06 11 320 335,72 -15,72 308,86 11,14 12 325 337,69 -12,69 312,70 12,30 13 328 338,23 -10,23 316,60 11,40 14 338 337,34 0,66 320,54 17,46 15 359 335,03 23,97 324,53 34,47 16 324 331,29 -7,29 328,56 -4,56 17 316 326,12 -10,12 332,65 -16,65 18 387 319,52 67,48 336,79 50,21 19 298 311,49 -13,49 340,99 -42,99 20 278 302,04 -24,04 345,23 -67,23

Figura 4:

Evolución del ingreso desde 1980 hasta 1999 - Valores reales, ajuste

cuadrático y exponencial

INGRESO (1980 - 1999)

100

150

200

250

300

350

400

450

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

TIEMPO CODIFICADO

ING

RE

SO Serie1

Serie3

Serie4


294

Si observamos el gráfico de la Figura 4, vemos que la serie presenta un comportamiento con tendencia no marcada, y ciertos picos u oscilaciones que hacen difícil la reproducción de sus valores de modo que se logre bajo error con funciones del tipo utilizado para el ejemplo, precisamente en los picos el error o residuo es considerablemente importante. Esto nos permite concluir que para esta serie es necesario aplicar otros métodos, por ejemplo modelos autorregresivos o de promedios móviles.

Se sugiere resolver las siguientes actividades que fueron tomadas del libro de Berenson, Levine y Krehbiel:

Actividad 1:

Los siguientes datos representan los depósitos totales (en millones de dólares) para uno de los bancos más grandes de Estados Unidos, J.P. Morgan, durante un período de 19 años de 1979 a 1997.

Depósitos totales (en millones de dólares) para J.P Morgan (1979-1997)

Año Depósitos Año Depósitos 1979 30,279 1989 39,158 1980 35,594 1990 37,557 1981 36,024 1991 36,976 1982 37,910 1992 32,519 1983 38,070 1993 40,402 1984 38,760 1994 43,085 1985 39,845 1995 46,438 1986 42,960 1996 52,724 1987 43,987 1997 58,879 1988 42,469

Fuente: Moody's Handbook of Common Stocks, 1989, 1998.

(a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Asuste una ecuación de tendencia lineal a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (c) Ajuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (d) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (e) ¿Qué modelo parece el más adecuado? Actividad 2: Los datos de la siguiente tabla representan los ingresos de operación netos anuales reales (en miles de millones de dólares corrientes) de Coca-Cola Company durante un periodo de 24 años, de 1975 a 1998.

Ingresos de operación reales de Coca-Cola Company (1975-1998)

Año Ingresos Año Ingresos Año Ingresos 1975 2.9 1983 6.6 1991 11.6 1976 3.1 1984 7.2 1992 13.0 1977 3.6 1985 7.9 1993 14.0 1978 4.3 1986 7.0 1994 16.2 1979 4.5 1987 7.7 1995 18.0 1980 5.3 1988 8.3 1996 18.5 1981 5.5 1989 9.0 1997 18.9 1982 5.9 1990 10.2 1998 18.8

Fuente: Moody's Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reimpreso con permiso de Financial Information Services, una división de Financial Comunica- tions Company, Inc. Y Standard and Porr's Corp., Nueva York: MacGraw-Hill,


295

Inc., abril de 1999. (a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Asuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (c) ¿Cuáles son los pronósticos de tendencia para 1999 y 2000? (d) Forme una nueva tabla de “ingresos operativos ajustados” (es decir, actua-

les) multiplicando cada ingreso real por la cantidad 100.0 ,IPC

obtenida de los

valores correspondientes del IPC desplegado en el problema 11.12 de la página 619 del libro de Berenson, Levine y Krehbiel. Estos ingresos operativos actuales están en miles de millones de dólares corrientes de 1982 a 1984.

(e) Grafique la serie de datos revisados en un diagrama. (f) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (g) Ajuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (h) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los

resultados en el diagrama. (i) Utilice los modelos ajustados en (f), (g) y (h); ¿cuáles son los pronósticos

de tendencia anual de los ingresos operativos actuales para 1999 y 2000? (j) Compare los resultados de los pronósticos en (c) con los obtenidos en (i).

Analice. (k) ¿Qué conclusiones se obtienen respecto a las tendencias de los ingresos

operativos actuales y reales? 3.2. Serie de periodicidad inferior al año Estas series son formadas por valores de la variable correspondientes a períodos de tiempo inferiores al año, como por ejemplo: datos mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales o semestrales, o incluso semanales, diarios u horarios (este es el caso de series de consumo de energía para el estudio de las horas pico, etc.). El tratamiento de las mismas en cuanto al componente tendencial es igual que para el caso de la serie anual. Ahora, al considerar períodos cortos, en el comportamiento de la variable influyen los cuatro componentes: tendencial, cíclico, estacional e irregular. Cuando el modelo que se utiliza es el multiplicativo, dado que el producto de los componentes se iguala a los valores observados de la serie, este producto debe estar expresado en las unidades correspondientes (las mismas en que se expresa la variable Y), de manera que si la tendencia se expresa en esas unidades, los demás componentes será índices o coeficientes que modifican el valor de la tendencia. Si así no fuera, estaríamos multiplicando por ejemplo “pesos” (si la variable es monetaria, se trata de los pesos expresados en la tendencia), por “pesos” correspondientes al ciclo, por “pesos” correspondientes al componente estacional y por “pesos”para el irregular y entonces tendríamos pesos a la cuarta potencia). Si en cambio se trata del modelo aditivo, todos los componentes se expresan en las mismas unidades porque se suman (se supone que actúan en forma independiente). Como estamos trabajando con el modelo multiplicativo, y ahora nos ocupamos de series que pueden contener estacionalidad, se trata de estudiar cómo se aísla este componente, que se expresa en índices. Además, explicaremos cómo se obtienen los índices que representan al componente irregular. Además, estudiaremos un tema muy importante cual es la metodología para aplicar los índices estacionales para afectar una variable estimada (incorporar estacionalidad a una predicción) o quitar el efecto estacional sobre la variable observada (desestacionalizar).


296

3.2.1. Componente estacional Para estudiar el componente estacional utilizamos el método de razón a promedio móvil. El fundamento del método se origina en el hecho de que el promedio móvil permite suavizar los picos que se producen en el corto plazo aislando su efecto y generando valores que presentan sólo un comportamiento tendencial. El factor estacional influye en períodos bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales o semestrales, provocando oscilaciones en cada sub-período que luego se repiten año tras año. En definitiva, este método basado en el modelo multiplicativo permite determinar los índices que explican aquellas oscilaciones que se producen en el corto plazo. Los pasos a seguir para aplicar el método son: (recomendamos seguir el ejemplo que está planteado a continuación para comprender mejor cada uno de estos pasos) a- Aislar el efecto de los componentes estacional e irregular, mediante los promedios

móviles. Los promedios se van tomando de a tantos valores como elementos tiene el sub. período. El primer promedio toma los datos necesarios a partir del primero de la serie, el segundo a partir del segundo, y así sucesivamente. Por ejemplo, si la serie es bimestral se toman promedios de a 6 períodos: del primero al sexto (primer promedio móvil); del segundo al séptimo (segundo promedio móvil) así sucesivamente. Si fuera trimestral se toman promedios de a 4, si es cuatrimestral de a 3. Es decir, el número de datos comprendidos en cada promedio es la cantidad de veces que el sub-período está comprendido en el año. Como se reemplaza cada valor de la variable por un promedio de las observaciones correspondientes a todo un año, naturalmente desaparecen las fluctuaciones estacionales y las irregulares. De manera que logramos una columna con los valores de la variable sin efecto estacional (S), y sin efecto irregular (I), la que puede designarse como T.C, la variable con efecto tendencial y cíclico. Hay un pequeño problema para asignar a qué período corresponde cada uno de los promedios obtenidos: si se trata de un número impar de datos, el promedio se asigna al dato central (por ejemplo si son cuatrimestres, en un año hay tres, y el promedio de los tres primeros cuatrimestres se asigna al segundo). Pero, cuando la serie tiene una cantidad par de elementos en el sub. Período, el promedio no corresponde a ningún período en particular, sino que está ubicado entre dos sub-períodos; entonces debemos tomar los promedios móvil “centrados”, esto es, recalcular los promedios móviles tomando de a pares y entonces al centralizar los valores se pueden asignar a un período en particular.

b- Obtener el índice de los componentes estacional e irregular mediante el cociente:

100 . .100yx S I

TC=

Índice que refleja el efecto Estacional e Irregular porque si el modelo original establecía que:

. .t t t t ty T S C I= , al dividir por TC quedan los componentes estacional e irregular

(S.I.) que suelen multiplicarse por 100 para que queden expresados como porcentajes.

c- Obtener el Índice de Estacionalidad. Para aislar el efecto estacional del irregular,

podemos tomar promedio de los índices antes calculados, ordenados por sub- período de menor a mayor de acuerdo a su magnitud.


297

El promedio puede ser la media aritmética, la mediana o la trimedia, según que existan o no valores extremos de la variable. En general se prefiere la mediana, porque la media puede estar afectada por algún valor muy alejado del resto. Esos promedios serían los índices estacionales, porque del producto S.I. hemos eliminado la irregularidad al promediar. Luego, como es deseable que la media anual de todos los índices estacionales sea igual a 100 y si bien al calcular de esta manera los índices la media suele ser cercana a ese valor, se requiere un ajuste para que sea exactamente igual a 100. Para ello, mediante una regla de tres simple se hace igual a 100 la media deseada y se recalcula cada uno de los índices obtenidos anteriormente. Es conveniente graficar mediante una poligonal, los índices de modo que para cada sub-período podamos observar como se producen las variaciones por la influencia del componente Estacional.

A continuación desarrollaremos mediante un ejemplo el aislamiento de los cuatro componentes en una serie de periodicidad cuatrimestral.


298

Los gastos de la Empresa “Asterisco S.A.” correspondientes a 36 períodos cuatrimestrales y los respectivos códigos se muestran en Tabla 11.

Tabla 11:

Código Cuatrimestre Gasto 1 1 268 2 2 205 3 3 198 4 1 215 5 2 189 6 3 142 7 1 235 8 2 196 9 3 165 10 1 276 11 2 225 12 3 189 13 1 256 14 2 223 15 3 203 16 1 289 17 2 256 18 3 225 19 1 315 20 2 289 21 3 245 22 1 289 23 2 317 24 3 287 25 1 320 26 2 300 27 3 276 28 1 475 29 2 356 30 3 300 31 1 402 32 2 389 33 3 346 34 1 568 35 2 489 36 3 356

Realizando la regresión lineal simple entre “el código” y la variable “y”, obtendremos los coeficientes “b0 y b1” de la ecuación de la recta, siendo:


299

ˆ 154, 55 7, 07y x= +

Luego analizaremos el coeficiente de determinación para observar la importancia o magnitud relativa del error en la regresión o ajuste realizado, siendo:

r2= 0.64

Lo que significa que el ajuste lineal es bastante bueno para estos datos (en general, cuando se trata de una serie que presenta fluctuaciones estacionales, el ajuste no puede ser muy alto, por los desvíos respecto de la línea estimada de cada observación en particular; por eso decimos que 0,64 es un valor aceptable).

Para facilitar la realización de este análisis es conveniente que utilicemos las salidas de computación, por ejemplo EXCEL, lo que mostramos en Tabla 12. No obstante la realización manual de los cálculos es mediante aplicación de las fórmulas (1) ,(2) y (3).

Tabla 12:

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación 0,80

Coeficiente de determinación R2 0,64

Error típico 56,75

Observaciones 36,00

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 154,55 19,32 8,00 0,00

Variable X 1 7,07 0,91 7,77 0,00

El gráfico del tendencia estimada para la variable gasto se muestra en Figura 5.

Figura 5:

CURVA DE REGRESIÓN AJUSTADA

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35 40

CÓDIGO TIEMPO (X)

ING

RE

SO

(Y

)

Y

Pronósticopara Y

En Tabla 13 mostramos los cálculos para aislar el componente estacional, que contiene lo siguiente:

- Columna 1: el código de la variable tiempo.

- Columna 2: el cuatrimestre de cada año.

- Columna 3: la variable que se analiza: el Gasto.


300

- Columna 4: promedio móvil calculado tomando el valor del gasto de a tres cifras y centralizado en el segundo sub-período. Con esto eliminamos el efecto estacional e irregular quedando TC(efecto tendencial y cíclico).

- Columna 5: mediante el cociente de columna 3 y 4, obtenemos la columna 5, donde se observa la tasa de efecto estacional e irregular.

- Columna 6: multiplicamos la tasa por cien de modo de obtener el índice que refleja el efecto conjunto de los componentes estacional e irregular.

Tabla 13:

Code (1)

Cuatrimestre (2)

Gastos (3)

Prom.Movil: T.C. (4)

Tasa: S.I. (5)

SI* 100 (6)

1 1 268 2 2 205 223.67 0.9165 91.65 3 3 198 206.00 0.9612 96.12 4 1 215 200.67 1.0714 107.14 5 2 189 182.00 1.0385 103.85 6 3 142 188.67 0.7527 75.27 7 1 235 191.00 1.2304 123.04 8 2 196 198.67 0.9866 98.66 9 3 165 212.33 0.7771 77.71 10 1 276 222.00 1.2432 124.32 11 2 225 230.00 0.9783 97.83 12 3 189 223.33 0.8463 84.63 13 1 256 222.67 1.1497 114.97 14 2 223 227.33 0.9809 98.09 15 3 203 238.33 0.8517 85.17 16 1 289 249.33 1.1591 115.91 17 2 256 256.67 0.9974 99.74 18 3 225 265.33 0.8480 84.80 19 1 315 276.33 1.1399 113.99 20 2 289 283.00 1.0212 102.12 21 3 245 274.33 0.8931 89.31 22 1 289 283.67 1.0188 101.88 23 2 317 297.67 1.0649 106.49 24 3 287 308.00 0.9318 93.18 25 1 320 302.33 1.0584 105.84 26 2 300 298.67 1.0045 100.45 27 3 276 350.33 0.7878 78.78 28 1 475 369.00 1.2873 128.73 29 2 356 377.00 0.9443 94.43 30 3 300 352.67 0.8507 85.07 31 1 402 363.67 1.1054 110.54 32 2 389 379.00 1.0264 102.64 33 3 346 434.33 0.7966 79.66 34 1 568 467.67 1.2145 121.45 35 2 489 471.00 1.0382 103.82 36 3 356

Por último en Tabla 14, ordenamos los valores de la columna 6 de mayor a menor por cuatrimestre y calculamos la mediana para cada cuatrimestre. Luego ajustamos los valores de la mediana, multiplicando cada valor de la mediana por un coeficiente (300/299,27), a partir de lo cual la suma de los tres cuatrimestres es 300 (o sea la media anual de los tres índices cuatrimestrales es igual a 100). De esta forma hemos construido los índices que muestran el efecto del componente estacional, también llamados Índices de estacionalidad.


301

Tabla 14:

Cuatrimestre 1 Cuatrimestre 2 Cuatrimestre 3 91,65

101,88 94,43 75.27 105,84 97,83 77.71 107,14 98,09 78.78 110,54 98,66 79.66 113,99 99,74 84.63 114,97 100,45 84.80 115,91 102,12 85.07 121,45 102,64 85.17 123,04 103,82 89.31 124,32 103,85 93.18 128,73 106,49 96.12 114,97 100,09 84.80 MEDIANA 115,02 100,14 84.84 S (AJUST)

El gráfico de los índices de estacionalidad para cada cuatrimestre se muestra en Figura 6. Figura 6:

ÍNDICES DE ESTACIONALIDAD

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3

CUATRIMESTRE

ÍND

ICE

Serie1

Serie2

Los índices de estacionalidad se utilizan en la realización de pronósticos para corregir valores estimados, o bien desestacionalizar valores reales. Por ejemplo, si tomamos el primer cuatrimestre del segundo año, el valor de “y” es 215. - Si pretendemos quitar el efecto estacional haremos lo siguiente:

y.100/S = 215.100/115.02 = 186.92

Esto es lo que hemos mencionado como desestacionalizar la serie. Puesto que el índice estacional del primer cuatrimestre es mayor que 100, significa que el valor de 215 está “inflado” por el efecto estacional; al quitarlo, dividiendo por el índice, resulta 186.92.


302

- Si en cambio, dado que tenemos datos observados correspondientes a 36 cuatrimestres (12 años), supongamos que se quiere “predecir” el valor de y para el siguiente cuatrimestre (primero del año 13). Estimamos ese valor reemplazando en la ecuación de tendencia x por 37:

37y =154,55+7,07.37 = 416,14

hemos estimado el valor de y sobre la línea de tendencia. Ahora, para aproxi- marnos a lo que esperamos ocurra en el primer cuatrimestre del año 13, lo afectaremos por estacionalidad; le incorporamos la estacionalidad multiplicando por el índice correspondiente a ese cuatrimestre.

Siendo: 37y 416,14= , el valor afectado por estacionalidad es:

37y .S /100 = 416,14 . 115,02/100 = 478,641

Vemos que el valor estimado utilizando el componente tendencial es corregido por efecto estacional con índice de valor superior a 100 para el primer cuatrimestre, lo que provoca un aumento en el valor estimado y genera un resultado que se espera será más próximo al verdadero valor de “y” en ese período. Esto es afectar por estacionalidad.

Observación importante: cuando el número de sub-períodos en el año es par (por ejemplo trimestres que son cuatro, o meses que son 12), antes de calcular la columna 5 de la tabla (tasa SI), es necesario “centrar” los promedios móviles, tal como se explicó más arriba. Esto porque los promedios móviles obtenidos no corresponden a ningún sub-período, sino que se ubican entre dos. Por ejemplo si se promedian los cuatro primeros trimestres, el promedio móvil se ubica entre el segundo y el tercero; el siguiente entre el tercero y el cuarto, y así sucesivamente. Para hacerlos corresponder a un trimestre en particular, se deben promediar de a dos: así el promedio de los dos primeros promedios obtenidos, corresponderá al tercer trimestre, el segundo al cuarto, etc. 3.2.2. Componente cíclico

Este componente afecta el comportamiento de la serie en el largo plazo, mostrando el efecto de ciclos atribuidos a la actividad de que se trate, por ejemplo en variables económicas los cambios cíclicos afectan a las variables provocando oscilaciones referidas al momento del proceso, las que generalmente se sintetizan en: depresión, recuperación, prosperidad y contracción. Los ciclos han sido ampliamente estudiados en economía y pueden ser (incluso superponerse) de distinta longitud: ciclos cortos, de dos años, ciclos medios, de cinco o seis años de duración y ciclos largos o aún muy largos de varias decenas de años de duración.

Cuando una serie no es muy larga, es posible que el componente cíclico se confunda con la tendencia: un movimiento ascendente de la serie no se sabe si corresponde a una tendencia ascendente o a un período ascendente de un ciclo que luego caerá.

Por eso algunos autores llaman al componente “Tendencia-ciclo” y no distinguen entre uno y otro.

El método residual permite determinar los índices del componente cíclico.

Este método consiste en lo siguiente:

1) En primer lugar deben obtenerse los valores estimados para cada uno de los períodos de la serie, siendo posibles dos situaciones:


303

- En datos correspondientes a períodos menores al año, se afecta por estacionalidad y entonces se obtienen los valores estimados con efecto tendencial y estacional:

- En datos anuales no se requiere afectar por estacionalidad, directamente se trabaja con los valores estimados de la variable “y”:

sts y

100

Iy .ˆ. =

2) Se realiza el cociente entre los valores reales (observados) y los estimados (afectados o no por estacionalidad según corresponda) y se multiplica por 100.

sty

y

.ˆ .100

3) El cociente realizado, incluye los componentes restantes: cíclico e irregular; se toman entonces promedios móviles de 3 ó 5 datos según la cantidad de observaciones de la serie, con lo cual se eliminan las irregularidades de manera que se obtienen los índices del componente cíclico, que luego se utilizan para describir este componente en los períodos estudiados. Esto es así porque siempre al tomar promedios móviles de cualquier longitud, se elimina la componente irregular que actúa por definición solo en el corto plazo.

Continuando con los datos del ejemplo anterior, se transcribe en Tabla 15 el cálculo del componente Cíclico para lo cual aplicamos los pasos antes descriptos.

Tabla 15:

y

Gasto Estimado

TxSy

Gasto estimado ajustado por

estacionalidad

y

Gastos reales .

.100ˆt s

yCI

y=

C

161.62 185.90 268 144.17 168.69 168.93 205 121.35 175.76 149.11 198 132.78 119.99 182.83 210.29 215 102.24 108.15 189.90 190.17 189 99.39 103.90 196.97 167.11 142 84.97 95.89 204.04 234.69 235 100.13 93.27 211.11 211.41 196 92.71 94.70 218.18 185.10 165 89.14 97.05 225.25 259.08 276 106.53 95.63 232.32 232.65 225 96.71 95.15 239.39 203.10 189 93.06 94.89 246.46 283.48 256 90.31 91.95 253.53 253.88 223 87.84 91.38 260.60 221.09 203 91.82 91.38 267.67 307.87 289 93.87 92.14 274.74 275.12 256 93.05 93.53 281.81 239.09 225 94.11 94.67 288.88 332.27 315 94.80 94.95 295.95 296.36 289 97.52 92.55 303.02 257.08 245 95.30 93.69 310.09 356.67 289 81.03 95.60 317.16 317.60 317 99.81 92.89 324.23 275.08 287 104.33 91.54 331.30 381.06 320 83.98 94.17 338.37 338.84 300 88.54 97.63 345.44 293.07 276 94.18 96.54 352.51 405.46 475 117.15 99.03 359.58 360.08 356 98.87 100.03 366.65 311.07 300 96.44 101.60 373.72 429.85 402 93.52 99.20


304

380.79 381.32 389 102.01 104.43 387.86 329.06 346 105.15 109.44 394.93 454.25 568 125.04 111.25 402.00 402.56 489 121.47 409.07 347.05 356 102.58

La gráfica que describe los índices del componente cíclico para el período analizado, se muestra en la Figura 7, en ella vemos que no abarca todas las etapas de un ciclo, podríamos considerar que la Figura muestra las etapas de: contrac- ción, depresión y recuperación, y que para lograr un ciclo completo seguramente requiere de una mayor cantidad de períodos. Podemos concluir que un ciclo puede desarrollarse en forma completa en series de largo plazo, entendiendo por tal más de cuarenta sub-períodos. Figura 7:

Grafico del Componente cíclio - Variable Ingreso

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

0 10 20 30 40

período

indi

ces

3.2.3. Componente irregular Este componente se determina por el método residual y luego de aislar las demás. Después de obtener los índices del componente cíclico se realiza el cociente entre los valores C.I./C y se obtiene I. Valor que multiplicado por 100 determina el índice que explica el efecto del componente irregular. El estudio de los efectos irregulares, que no son controlables, requiere de otros méto- dos que no contemplamos en este curso. Con el método clásico desarrollado en este capítulo, solo estamos en condiciones de aislar cada uno de los componentes y utilizar la tendencia y la estacionalidad para predecir valores futuros de la variable. Otros métodos más avanzados, permiten modelar todos los componentes de la serie y realizar mejores predicciones sobre todo en el corto plazo.

Una observación general: es conveniente resolver las actividades de este capítulo utilizando planillas de cálculo (Excel u otra), las que facilitan de manera significativa la resolución de todos los ejercicios.


305

Actividad 3:

La información que se presenta en el siguiente cuadro corresponde a las ventas trimestrales de una empresa de automóviles, en miles de pesos:

Año Trimestre Ventas

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

III IV

I II III IV

I II III IV

I II III IV

I II III IV

I II III IV

I II III IV

I II III IV

I II

398 352

283 454 392 345

274 392 290 210

218 382 382 340

298 452 423 372

336 468 387 309

264 399 408 396

389 604 579 513

510 661

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Tiempo

187

270

353

435

518

601

684

Vent

as

Ventas trimestrales


306

a) ¿Qué tendencia a largo plazo observa en esta serie? Encuentre la recta de

tendencia por el método de mínimos cuadrados. b) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres, y encuentre los

valores de Ventas del año 1995 con variación estacional eliminada. c) Calcule las variaciones cíclicas e irregulares. d) Realice una predicción de las Ventas para el año 2002 aplicando la recta de

mínimos cuadrados y los índices de estacionalidad. e) Realice un pequeño informe sobre el análisis realizado a los datos. Actividad 4:

Las ventas trimestrales, en unidades de producto, de una empresa que vende equipos de computación fueron:

Año – Trimestre Unidades vendidas

1996 – I II III IV






42 26 37 44 56 44 51 57 43 36 38 45 53 38 46 50 83 64 84 87 97 82 93 99


307

1 4 7 10 13 16 19 22 25

Tiempo

22

36

49

63

76

89

103

Vtas

en

unid

ades

Ventas en unidades

a) Encuentre la recta de tendencia a largo plazo.

b) Determine los índices estacionales para los cuatro trimestres. c) Encuentre los valores de unidades vendidas con las variaciones estaciona-

les eliminadas, para los trimestres de 2001. d) Calcule las variaciones cíclicas e irregulares. e) Determine las ventas trimestrales predichas para 2002, con base en la

recta de tendencia y en los índices estacionales Actividad 5:

La siguiente tabla muestra información referida a exportaciones de la industria alimentaria durante un período de 7 años (en miles de U$S ):

Trimestre Año Exportaciones I – 94 II – 94 III – 94 IV – 94 I – 95 II – 95 III – 95 IV – 95 I – 96 II – 96 III – 96 IV – 96 I – 97 II – 97 III – 97 IV – 97 I – 98 II – 98 III – 98 IV – 98 I – 99 II – 99 III – 99 IV – 99 I – 00 II – 00 III – 00 IV – 00

5310 5490 4900 3500 3100 3300 3200 2600 2400 2500 2500 2300 2100 2200 2100 1700 1500 1600 1400 1200 1000 1300 1200 800 600 700 700 400


308

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Tiempo

146

1545

2945

4345

5745

Exp

orta

cion

es

Exportaciones

Se proponen tres modelos para reflejar el comportamiento de la variable:

1) Lineal Yt = a + b t Yt = 4474,68 - 156,87 t; R2 = 0,879

2) Cuadrático Yt = a + b t + c t2

Yt = 5291,01 - 320,14 t + 5,63 t2; R2 = 0,938

3) Exponencial Yt = a bt

Yt = 5710,28 ( 0,92 )t; R2 = 0,945

a) ¿Cuál de los tres modelos refleja mejor la tendencia a largo plazo de la serie? ¿Por qué?

b) Estime la tendencia para el segundo trimestre de 1998. c) Prediga (con tendencia y estacionalidad) las exportaciones para el segundo

trimestre del 2001. Utilizando los índices de estacionalidad:

I II III IV

90.28 106.23 109.29 94.20

Se sugiere resolver los siguientes ejercicios del libro de Berenson, Levine y Krheibel:

Actividad 6:

Los datos de la tabla siguiente representan el índice Standard & Poor's de precios de las acciones al final de cada trimestre de 1994 a 1998.

Índice trimestral Standard & Poor's para precios de acciones

Año Trimestre 1994 1995 1996 1997 1998

1 445.77 500.71 645.50 757.12 1.101.75 2 444.27 544.75 670.63 885.14 1.133.84 3 462.69 584.41 687.31 947.28 1.017.01 4 459.27 615.93 740.74 970.43 1.229.23

Fuente: Standard & Poor's Current Statistics, enero de 1998, 29. Reimpreso con permiso de Financial Information Services, una división de Financial Communications Company, Inc., y Yahoo.com, 24 de junio de 1999.

(a) Grafique los datos en un diagrama.


309

(b) Desarrolle una ecuación de tendencia exponencial con componentes trimestrales que represente el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo. (1) ¿Cuál es el valor ajustado de la serie en el tercer trimestre de 1998? (2) ¿Cuál es el valor ajustado de la serie en el cuarto trimestre de 1998? (3) ¿Cuáles son los pronósticos para los cuatro trimestres de 1999 y 2000? (4) Interprete la tasa de crecimiento trimestral compuesta. (5) Interprete el "multiplicador" del segundo trimestre.

Actividad 7:

Los datos en la siguiente tabla son ingresos trimestrales (en millones de dólares) de Toys R Us, del primer trimestre de 1992 al tercer trimestre de 1998.

Ingresos trimestrales para Toys R Us en millones de dólares (1992-1998)

Año Trimestre 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 1,026 1,172 1,286 1,462 1,493 1,646 1,924 2 1,056 1,249 1,317 1,452 1,614 1,736 1,989 3 1,182 1,346 1,449 1,631 1,715 1,883 2,142 4 2,861 3,402 3,893 4,200 4,605 4,668 2,861

Fuente: Standard & Poor's Stock Reports, noviembre de 1998. Nueva York: McGraw-Hill, Inc.

(a) ¿Cree que los ingresos de Toys R Us están sujetos a una variación estacional? Explique.

(b) Grafique los datos en un diagrama. ¿Apoya este diagrama su respuesta en (a)?

(c) Desarrolle una ecuación de tendencia exponencial con componentes trimestrales que represente el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo. (1) Interprete la tasa de crecimiento trimestral compuesta. (2) Interprete los multiplicadores trimestrales. (3) ¿Cuál es el valor pronosticado para el cuarto trimestre de 1998? (4) ¿Cuáles son los pronósticos para todos los trimestres de 1999?

Actividad 8: Los siguientes datos representan los cargos mensuales por tarjetas de crédito (en millones de dólares) para una tarjeta conocida que otorga un gran banco. El nombre no se revela a petición del banco.

Cargos por tarjetas de crédito en millones de dólares

Año Mes 1997 1998 1999 Enero 31.9 39.4 45.0 Febrero 27.0 36.2 39.6 Marzo 31.3 40.5 Abril 31.0 44.6 Mayo 39.4 46.8 Junio 40.7 44.7 Julio 42.3 52.2 Agosto 49.5 54.0 Septiembre 45.0 48.8 Octubre 50.0 55.8 Noviembre 50.9 58.7 Diciembre 58.5 63.4

Fuente: Datos reales recopilado por uno de los autores.

(a) Construya una gráfica de la serie de tiempo. (b) Describa el patrón mensual que es evidente en los datos. (c) En general, ¿diría que la cantidad global en dólares que corresponde a los

cargos de la tarjeta de crédito del banco aumenta o disminuye? Explique.


310

(d) Observe que los cargos de diciembre de 1998 fueron de 63 millones de dólares, pero en febrero de 1999 no llenaron a 40 millones de dólares. ¿El cierre total de febrero correspondió a lo que se esperaba?

(e) Desarrolle una ecuación de tendencia exponencial con componentes mensuales que represente el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo.

(f) Interprete la tasa de crecimiento mensual compuesta. (g) Interprete el "multiplicador" de enero. (h) ¿Cuál es el valor pronosticado para marzo de 1999? (i) ¿Cuál es el valor pronosticado para abril de 1999? (j) ¿En qué beneficia al banco este tipo de análisis de series de tiempo?

En series cuyo comportamiento se caracteriza por fuertes variaciones entre períodos, se dificulta la obtención de una idea visual de tendencia global a largo plazo, es conveniente utilizar métodos que suavizando las variaciones permiten modelar el comportamiento con cierto margen de aproximación a los valores reales. El margen de aproximación se llama error y es la diferencia entre el valor observado y el predicho por el modelo. Los métodos más sencillos de análisis para estas series son el de promedios móviles y suavizado exponencial. Estos métodos de suavizado no proporcionan una expresión analítica (recta, parábola, etc.) como los estudiados en el punto anterior, no son muy útiles para pronosticar valores futuros de la variable, pero sí para modelar el comportamiento de las series. 4.1. Método de promedios móviles

Consiste en promediar de manera consecutiva una cantidad L de valores de la serie (como lo hicimos para aislar el componente estacional). Esa cantidad L debe ser un número entero y si es posible se hará corresponder a la duración promedio estimada de un ciclo o un múltiplo de éste en la serie. Por lo tanto los promedios móviles para un período de longitud L consisten en una serie de medias aritméticas calculadas en el tiempo para sub-períodos consecutivos de longitud L5. Cuando el valor asignado a L es impar el promedio móvil está centrado en el año del medio entre los usados para calcularlo. Además ningún promedio móvil puede obtenerse para los primeros ni para los últimos (L – 1)/2 años de la serie (se “pierden” algunos datos). Mediante un ejemplo veremos cómo se aplica6/:

5/ Berenson y Levine. 6/ Ejemplo tomado de M. BERENSON, D. LEVINE “ESTADÍSTICA BÁSICA EN ADMINISTRACIÓN”,

Sexta edición. Pag. 863.


311

Los datos que se transcriben en Tabla 16 corresponden a ventas de Fábrica de la empresa General Motors Corporation para el período 1970–1992.

Se pretende con ellos mostrar la aplicación del método de promedios móvil para suavizar la serie, utilizando diversos períodos de longitud “L”.

Tabla 16:

Venta de Fábrica (en millones de unidades) de General Motors Corp. (1970 – 1992)

Año Ventas de fábrica Año Ventas de fábrica 1970 5.3 1982 6.2 1971 7.8 1983 7.8 1972 7.8 1984 8.3 1973 8.7 1985 9.3 1974 6.7 1986 8.6 1975 6.6 1987 7.8 1976 8.6 1988 8.1 1977 9.1 1989 7.9 1978 9.5 1990 7.5 1979 9.0 1991 7.0 1980 7.1 1992 7.2 1981 6.8

Para realizar el análisis por este método se debe:

a- Definir “L”. b- Sumar sucesivamente “L” valores para obtener el total móvil de cada año. c- Dividir el total móvil por “L” para obtener el promedio móvil de cada año. d- Graficar . Generalmente se prueba con distintos valores de L para seleccionar aquel que permita una mejor descripción de la serie.


312

Para el ejemplo se toman tres valores de “L”, 3, 5, y 7, los resultados se trascriben en la Tabla 17. Tabla 17:

Año Ventas de fábrica

Total móvil de 3 años

Promedio móvil (L = 3)



1970 5,3 1971 7,8 20,9 6,97 1972 7,8 24,3 8,10 7,26 1973 8,7 23,2 7,73 7,52 7,36 1974 6,7 22,0 7,33 7,68 7,90 1975 6,6 21,9 7,30 7,94 8,14 1976 8,6 24,3 8,10 8,10 8,31 1977 9,1 27,2 9,07 8,56 8,09 1978 9,5 27,6 9,20 8,66 8,10 1979 9,0 25,6 8,53 8,30 8,04 1980 7,1 22,9 7,63 7,72 7,93 1981 6,8 20,1 6,70 7,38 7,81 1982 6,2 20,8 6,93 7,24 7,79 1983 7,8 22,3 7,43 7,68 7,73 1984 8,3 25,4 8,47 8,04 7,83 1985 9,3 26,2 8,73 8,36 8,01 1986 8,6 25,7 8,57 8,42 8,26 1987 7,8 24,5 8,17 8,34 8,21 1988 8,1 23,8 7,93 7,98 8,03 1989 7,9 23,5 7,83 7,66 7,73 1990 7,5 22,4 7,47 7,54 1991 7,0 21,7 7,23 1992 7,2

Observamos que para los datos el mejor suavizado se logra para L = 3, dado que segura menor magnitud de error o distancia entre el valor observado y el resultante de los promedios móviles.

El gráfico de la Figura 8, permite obtener igual conclusión.

Figura 8:

VENTAS DE FÁBRICA MÉTDODO DE PROMEDIOS MÓVILES

4

5

6

7

8

9

10

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

TIEMPO

VA

RIA

BLE

VE

NT

AS

VENTAS DEFÁBRICA

PM L=5

PM L= 7

PM L = 3


313

4.2. Suavizado exponencial

El Método de suavizado exponencial es uno de los casos especiales de modelos de promedios móviles integrados autorregresivos designados como ARIMA y desarrollados por Box y Jenkins, modelos que no desarrollamos en este curso, por corresponder a un nivel más avanzado del estudio de series temporales. El suavizado exponencial consiste en suavizar los valores de la variable mediante un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de tiempo. Es aconsejable en series de comportamiento llamado estacionario, lo que significa una serie con tendencia estable y confusa a largo plazo. Respecto del método de promedios móviles, el suavizado exponencial toma en cuenta para cada cálculo o pronóstico todos los valores de la serie correspondientes a períodos anteriores, ponderando con mayor peso los períodos más recientes7/. La expresión analítica de la función que permite obtener un valor para el período i-ésimo, es:

Ei = WYi + (1 – W)Ei-1 (4) Donde: Ei : valor de la serie suavizada exponencialmente para el período i-ésimo Ei-1 : valor de la serie suavizada exponencialmente para el período i-1 Yi : valor observado de la serie de tiempo en el período i W : coeficiente de suavizado. El coeficiente de suavizado, W, se selecciona subjetivamente y asume un valor entre cero y uno, indicándose empíricamente la conveniencia de valores cercanos a cero para suavizar series en las que se pretende eliminar el efecto del componente cíclico, y cercanos a uno si se pretende pronosticar.

Continuando con el ejemplo anterior de las ventas de fábrica de Tabla 16, aplicando el procedimiento mencionado obtenemos los resultados que se transcriben en la Tabla 18.

Tabla 18:

Año Ventas de fábrica

S. Exp (w=0,75)

S. Exp (w=0,50)

S. Exp (w=0,25)

1970 5,3 5,30 5,30 5,30

1971 7,8 7,18 6,55 5,93

1972 7,8 7,64 7,18 6,39

1973 8,7 8,44 7,94 6,97

1974 6,7 7,13 7,32 6,90

1975 6,6 6,73 6,96 6,83

1976 8,6 8,13 7,78 7,27

1977 9,1 8,86 8,44 7,73

1978 9,5 9,34 8,97 8,17

1979 9,0 9,08 8,98 8,38

1980 7,1 7,60 8,04 8,06

1981 6,8 7,00 7,42 7,74

1982 6,2 6,40 6,81 7,36

7/ Revisar: M. Berenson, D. Levine T. Krehbiel. Cap. 11, pag. 602.


314

1983 7,8 7,45 7,31 7,47

1984 8,3 8,09 7,80 7,68

1985 9,3 9,00 8,55 8,08

1986 8,6 8,70 8,58 8,21

1987 7,8 8,02 8,19 8,11

1988 8,1 8,08 8,14 8,11

1989 7,9 7,95 8,02 8,05

1990 7,5 7,61 7,76 7,92

1991 7,0 7,15 7,38 7,69

1992 7,2 7,19 7,29 7,57 Aplicando la fórmula (4)

E1971 = (0,75) (7,8) + (1 – 0,75) ( 5,3 ) = 7,18

E1972 = (0,75) (7,8) + (1 – 0,75) (7,18) = 7,64

E1971 = (0,50) (7,8) + (1 – 0,50) (5,3 ) = 6,55

E1972 = (0,50) (7,8) + (1 – 0,50) (6,55) = 7,18

Las poligonales correspondientes a los valores suavizados de la variable se muestran en el gráfico de Figura 9, donde visualizamos que la mejor aproximación se logra para W = 0,75. Figura 9:

VENTAS DE FÁBRICA. MÉTDOD DE SUAVIZADO EXPONENCIAL

4

5

6

7

8

9

10

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

TIEMPO

VE

NT

AS

VENTAS DEFÁBRICA

S. EXP. ( W = 0,75)

S. EXP (W = 0,50)

S. EXP. (W = 0,25)

Observamos que una mayor aproximación se logra con W = 0,75, no obstante es bueno determinar el valor de los residuos, es decir la diferencia entre los valores reales y los pronosticados por el método, concluyendo que el mejor suavizado es el que produce menores valores residuales. Se suelen promediar los valores absolutos de estos residuos, con lo cual se obtiene una medida de la “bondad” del suavizado independiente del número de datos utilizados, y que permite comparar diversos métodos de suavizado de series.


315

Actividad 9:

A continuación se muestra una serie referida al número de empleados (en miles) de una compañía petrolera:

Año Número de empleados

Año Número de empleados

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

1,45 1,55 1,61 1,60 1,74 1,92 1,95 2,04 2,06 1,80

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

1,73 1,77 1,90 1,82 1,65 1,73 1,88 2,00 2,08 1,88

a) Ajuste un promedio móvil de 3 años y de 7 años a estos datos. b) ¿Cuál de los dos suavizados ajusta mejor los datos y por qué?

Serie original Serie suavizada

0 3 5 8 11 13 16 18 21

Caso

1,42

1,59

1,76

1,94

2,11

Núm

ero

de e

mpl

eado

s

de 3 añosMedia Movil



0 3 6 9 12 15 18 21

Caso

1,42

1,59

1,76

1,94

2,11

Núm

ero

de e

mpl

eado

s

de 7 añosMedia Movil



316

Se sugiere resolver los siguientes Ejercicios del libro de Berenson, Levine y Krehbiel8/:

Actividad 10:

Los siguientes datos representan la mediana del ingreso de las familias en Estados Unidos (en dólares constantes de 1996) para todas las razas, blancos, negros e hispanos, durante un periodo de 17 años, de 1980 a 1996.

Mediana del ingreso familiar (en dólares constantes de 1996) en EUA (1980-1996)

Año Todas las Razas Blancos Negros Hispanos 1980 33,763 35,620 20,521 26,025 1981 33,215 35,094 19,693 26,643 1982 33,105 34,657 19,642 24,910 1983 32,900 34,502 19,579 25,057 1984 33,849 35,709 20,343 25,660 1985 34,439 36,320 21,609 25,467 1986 35,642 37,471 21,588 26,272 1987 35,994 37,924 21,646 26,706 1988 36,108 38,172 21,760 27,002 1989 36,575 38,473 22,881 27,737 1990 35,945 37,492 22,420 26,806 1991 34,705 36,367 21,665 26,140 1992 34,261 36,020 20,974 25,271 1993 33,922 35,788 21,209 24,850 1994 34,158 36,026 22,261 24,796 1995 35,082 36,822 23,054 23,535 1996 35,492 37,161 23,482 24,906

Fuente: Statistical Abstract of the United States, 118a. Ed., 1996, U.S. Department of Commerce, Bureau of Census, 468.

Conteste lo siguiente para cada uno de los cuatro conjuntos de datos (todas las razas, blancos, negros e hispanos).

(a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en

el diagrama. (c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización

exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama. (d) ¿Cuál es el pronóstico de suavización exponencial para la tendencia en

1997? (e) Repita (c) con una constante de suavización W = 0.25. (f) A partir de los resultados de (e), ¿cuál es el pronóstico de suavización

exponencial para la tendencia en 1997? (g) Compare los resultados de (d) y (f). (h) Vaya a la biblioteca y registre el valor real para 1997 de una tabla

disponible del U.S. Department of Comerse. Compare los datos obtenidos con el pronóstico que hizo en (d) y (f). Analice.

(i) ¿Qué conclusiones obtiene respecto a la tendencia en la mediana del ingreso familiar para cada uno de los tres grupos y todas las razas combinadas para el período de 1980 a 1996?

Actividad 11:

Por más de una década, Nuevo México ha tenido el superávit más alto en la balanza de pagos per cápita que cualquier otro estado en el país. Esto se ha logrado gracias a que el estado recibe un fondo de gobierno de alto nivel a través de programas patrocinados principalmente por el Department of Defense, el Department of the Interior y el Department of Transportation. Además, los pagos de impuestos federales per cápita de los residentes de Nuevo

8/ M. Berenson, D. Levine T. Krehbiel. Cap. 11, pág. 606: 608.


317

México son mucho más bajos que el promedio. Los siguientes datos te presentan la balanza de pagos per cápita (en dólares constantes de 1995), es decir, la diferencia entre el gasto federal per cápita en Nuevo México y los pagos federales per cápita del estado durante el periodo de 15 años, de 1981 a 1995.

Balanza de pagos per cápita en Nuevo México (en dólares constantes de 1995) para 1981-1995

Año fiscal

Balanza de pagos per cápita

(en dólares)

Gasto Federal per cápita

(en dólares)

Impuestos federales per cápita

(en dólares) 1981 2,961 6,212 3,251 1982 2,913 5,983 3,069 1983 2,426 5,853 3,427 1984 2,881 6,309 3,428 1985 2,919 6,414 3,495 1986 3,218 6,670 3,452 1987 3,322 6,635 3,313 1988 4,336 7,461 3,125 1989 3,496 6,578 3,083 1990 3,545 6,653 3,108 1991 3,462 6,739 3,277 1992 3,632 7,079 3,447 1993 3,709 7,272 3,563 1994 3,343 6,915 3,572 1995 3,300 6,935 3,635

Fuente: D. P. Moynihan, M. E. Friar, H. B. Leonard y J. H. Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995, publicación conjunta de The John F. Kennedy School of Govermment, Harvard University y the Office of Senator Daniel Patgrick Moyniham, 30 de septiembre de 1996, 73.

Conteste lo siguiente para cada una de las tres series de tiempo:

(a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en

el diagrama. (c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización

exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama. (d) ¿Cuál es el pronóstico de suavización exponencial para la tendencia en

1996? (e) Repita (c) con un coeficiente de suavización W = 0.25. (f) A partir de los resultados de (e), ¿cuál es el pronóstico de suavización

exponencial para la tendencia en 1996? (g) Compare los resultados de (d) y (f). (h) Vaya a la biblioteca y registre el valor de 1996 de alguna tabla disponible.

Compare ese valor con los pronósticos hechos en (d) y (f). Analice. (i) ¿Qué conclusiones puede obtener respecto al gasto federal, los impuestos

federales y la balanza de pagos per cápita en Nuevo México entre 1981 y 1995?

Esta metodología de análisis de series temporales forma parte de los modelos desarrollados por Box y Jenkins (1970) ya citados, para explicar la estructura y prever la evolución de una serie que observamos a lo largo del tiempo.

La variable de interés puede ser de diferente tipo es decir, macroeconómica, microeco- nómica, física o social; el tema es construir un modelo útil para pronosticar valores de la serie con el mínimo error posible.


318

De esta forma los modelos se clasifican en univariables o de regresión dinámica, los primeros se basan en la idea de que las condiciones futuras serán análogas a las pasadas y son utilizados para pronosticar valores en corto plazo, mientras que los modelos de regresión dinámica consideran la evolución de otras variables relacionadas con la que se pretende prever. En el enfoque UNIVARIABLE, los modelos desarrollados por los autores antes mencionados, son AR (autorregresivo), ARMA (autorregresivo de media móvil), ARIMA (autorregresivo integrado de media móvil), entre otros. No abordaremos los dos últimos modelos citados precedentemente, por no responder a las expectativas de este curso y debido a la complejidad de los mismos en el tratamiento matemático de las funciones, mientras que, a continuación analizaremos el modelo autorregresivo. Modelos autorregresivos Estos modelos surgen de imponer una dependencia lineal entre las variables del proceso, similar a una ecuación de regresión, pero tomando como variable independiente la misma Y solo que “rezagada” en uno o más períodos. Observen la diferencia con los modelos de ajuste planteados al comienzo de este capítulo, donde la dependencia se establece entre la variable tiempo (x) y la variable de interés (Y); ahora la variable dependiente es la misma Y rezagada, se está suponiendo que el comportamiento de la variable de interés en los períodos anteriores permite predecir lo que sucederá con ella en el futuro. La forma de dependencia más simple es relacionar Yi con Yi-1, linealmente mediante la ecuación de autorregresión:

i1i10i YAAY δ++= −

donde A0 y A1 son constantes a determinar y iδ es un residuo análogo al error de

regresión (con distribución normal, E( iδ )=0, V( iδ )= 2σ , constante y Cov( iδ , ki +δ )=0).

Este proceso lo denominamos autorregresivo de orden uno, representado como AR(1). Ahora bien, si relacionamos los valores con dos períodos de separación, tendremos un autoregresivo de orden dos, AR(2) y así sucesivamente podemos formar autorregresivos de orden p imponiendo la correlación entre los valores de la serie de tiempo con p períodos de separación. El modelo es:

ipi1i10i ApYYAAY δ++++= −− ...

Los parámetros Aj para j = 0, ..., p son estimados por aj para j = 0, ..., p, por lo tanto el modelo ajustado es:

ipi1i10i apYYaaY δ++++= −− ...ˆ

Desarrollemos el siguiente ejemplo:

Considerando los datos de la Tabla 16, calculamos el valor real de los valores de ventas de fábrica utilizando un índice deflactor para calcular el coeficiente de deflactación. Esto se muestra en la siguiente tabla:


319

Tabla 19:

Año Ventas de fábrica Coeficiente de deflactación

Valor real de las ventas de fábrica

1970 5,3 1,821 9,65

1971 7,8 1,761 13,73

1972 7,8 1,647 12,85

1973 8,7 1,534 13,34

1974 6,7 1,377 9,23

1975 6,6 1,214 8,01

1976 8,6 1,100 9,46

1977 9,1 1,033 9,40

1978 9,5 1,004 9,54

1979 9,0 0,957 8,61

1980 7,1 0,931 6,61

1981 6,8 0,920 6,26

1982 6,2 0,873 5,41

1983 7,8 0,839 6,54

1984 8,3 0,799 6,63

1985 9,3 0,769 7,15

1986 8,6 0,737 6,34

1987 7,8 0,715 5,58

1988 8,1 0,707 5,72

1989 7,9 0,692 5,46

1990 7,5 0,673 5,05

1991 7,0 0,649 4,54

1992 7,2 0,641 4,62 Aplicamos para los datos deflactados de la serie de ventas de fábrica, un modelo autoregresivo de orden dos9/:

i2i21i10i yayaay δ+++= −−ˆ

Hacemos la regresión considerando los valores de la serie deflactada, como variable dependiente, y los valores de la misma la serie retrasada uno y dos períodos como variables independientes.

Utilizando la salida de SPSS de Tabla 20, que resulta de procesar los datos mediante una regresión basada en dos períodos de retardo.

La ecuación resultante es:

1 21, 074 0,861 0, 0513ˆi i iy y y− −= + −

El coeficiente de determinación ajustado asume el valor 0.804, lo que muestra un ajuste bueno, y si analizamos la significancia de cada variable independiente vemos que la variable correspondiente al segundo retraso no es significativa para rechazar la hipótesis de que el coeficiente o parámetro de segundo orden es cero. Esto nos permite eliminar ese retardo y trabajar con un autorregresivo de orden uno.

9/ Metodología explicada en: Capítulo 11, pág. 630, Estadística para Administración. Berenson,

Levine y Krehbiel. Segunda Edición, Edit. Prentice Hall.


320

Por otra parte en la prueba F vemos que la hipótesis de que todos los parámetros o coeficientes Ai, para i = 1, 2. son nulos, es fuertemente rechazada, por lo que establecemos que la variable “y” puede ser explicada de esta forma. Tabla 20:

Model Summary

,908a ,824 ,804 1,0964

Model1



Predictors: (Constant), VALORES2, VALORES1a.

Coefficients a

1,074 ,799 1,344 ,196

,861 ,166 ,953 5,187 ,000

-5,127E-02 ,171 -,055 -,299 ,768

(Constant)

VALORES1

VALORES2

Model1

B Std. Error


Beta

Standardized

Coefficients

t Sig.

Dependent Variable: VENTASDEa.

ANOVAb

101,056 2 50,528 42,031 ,000a

21,639 18 1,202

122,696 20

Regression

Residual

Total

Model1

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), VALORES2, VALORES1a.

Dependent Variable: VENTASDEb.

Figura 10:

GRÁFICO DE VALORES REALES Y PRONÓSTICO DE AUTORREGRESIVO DE ORDEN DOS

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

PERÍODO

VA

RIA

BLE

Valores Deflactados

AR(2) PRONÓSTICO

En la Figura 10 observamos la gráfica del ajuste.


321

Sugerimos resolver los siguientes ejercicios del libro de Berenson, Levine y Krehbiel:

Actividad 12:

Con referencia a los datos de la Actividad 1 que representan los depósitos totales (en millones de dólares) en J.P. Morgan durante el periodo de 19 años, de 1979 a 1997: (a) Ajuste un modelo autorregresivo de tercer orden a los datos de depósitos

totales y pruebe la significancia del parámetro de tercer orden. (Use α=0.05).

(b) Ajuste un modelo autorregresivo de segundo orden a los datos de depósitos totales y pruebe la significancia del parámetro de segundo orden. (Use α=0.05).

(c) Ajuste un modelo aiitorregresivo de primer orden a los datos de depósitos totales y pruebe la significancia del parámetro de primer orden. (Use α=0.05).

(d) Si es apropiado, proporcione pronósticos anuales de los depósitos totales de 1998 a 2001.

Actividad 13:

Con referencia a la Actividad 2 que representa los ingresos operativos netos actuales (en miles de millones de dólares corrientes) de Coca-Cola Company durante 24 años, de 1975 a 1998:

(a) Ajuste un modelo autorregresivo de tercer orden a los ingresos actuales y pruebe la sianificancia del parámetro de tercer orden. (Use α=0.05).

(b) Si es necesario, ajuste un modelo autorregresivo de segundo orden a los ingresos actuales y pruebe la significancia del parámetro de segundo orden. (Use α=0.05).

(c) Si es necesario, ajuste un modelo autorregresivo de primer orden a los ingresos actuales y pruebe la significancia del parámetro de primer orden. (Use α=0.05).

(d) Si es adecuado, proporcione pronósticos anuales de los ingresos actuales para 1998 y 2000.

Cuando en una serie se aplican diferentes métodos de análisis debemos seleccionar aquel que permita un pronóstico más acertado, para ello debemos revisar el comportamiento de los residuos que surgen al aplicar métodos alternativos.

Por ejemplo si a los datos de la serie de ventas reales, le aplicamos el método de mínimos cuadrados y obtenemos los valores estimados para una función cuadrá- tica, para una exponencial y para un modelo autorregresivo de segundo orden, podemos realizar comparaciones. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Tabla 21:

Valor deflactado Pre_cuad Pre _ lny Pre_autorr 9,65 12,58 12,10

13,73 11,99 11,57 12,85 11,42 11,07 12,41 13,34 10,87 10,58 11,44 9,23 10,35 10,12 11,91 8,01 9,85 9,68 8,34 9,46 9,37 9,26 7,50 9,40 8,92 8,85 8,81


322

9,54 8,48 8,47 8,69 8,61 8,07 8,10 8,81 6,61 7,69 7,74 8,00 6,26 7,32 7,41 6,33 5,41 6,98 7,08 6,12 6,54 6,66 6,77 5,42 6,63 6,36 6,48 6,43 7,15 6,08 6,19 6,45 6,34 5,83 5,92 6,90 5,58 5,60 5,67 6,17 5,72 5,39 5,42 5,56 5,46 5,21 5,18 5,72 5,05 5,04 4,96 5,49 4,54 4,90 4,74 5,14 4,62 4,79 4,53 4,73

Figura 11:

VALORES DE VENTAS DE FÁBRICA DEFLACTADOS

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

VALORES REALESDE VENTAS

VALORESESTIMADOS PORAUTORREG.

VALORESESTIMADOS PORCUADR

VALORESESTIMADOS POREXPONENCIAL

- Calculamos los residuos de la forma vista en el Capítulo anterior, es decir mediante la diferencia entre el valor observado de “y” y el valor estimado por la función de ajuste aplicada (modelo). En la siguiente tabla vemos los residuos para cada función aplicada a la serie de ventas de fábrica:

Tabla 22:

Res_cuad Res_lny Res_autorg -2,92 -0,226 1,75 0,171 1,43 0,149 0,441 2,47 0,232 1,903 -1,12 -0,092 -2,682 -1,84 -0,189 -0,331 0,09 0,022 1,960 0,48 0,060 0,587 1,05 0,119 0,851 0,54 0,062 -0,197 -1,07 -0,158 -1,394 -1,06 -0,169 -0,072


323

-1,56 -0,268 -0,709 -0,11 -0,034 1,126 0,27 0,023 0,196 1,07 0,144 0,704 0,51 0,067 -0,560 -0,02 -0,015 -0,587 0,33 0,055 0,169 0,26 0,053 -0,256 0,01 0,019 -0,437 -0,37 -0,043 -0,605

-0,168 0,019 -0,107

En la gráfica de los residuos debemos observar un comportamiento aleatorio. Si en cambio, el comportamiento de los residuos responde a un patrón, ello es un indicador de que el modelo no es adecuado porque no se han considerado variaciones debidas a algún factor; por ejemplo, cíclico, estacional, si la serie es de periodicidad inferior al año, o tendencial para el caso de observar un comportamiento creciente o decreciente considerablemente marcado. En las Figuras 12, 13 y 14, observamos el comportamiento de los residuos para los modelos propuestos en el ejemplo de la serie de ventas de fábrica, donde concluimos que el modelo más adecuado sería el autorregresivo, dado que los residuos de la Figura 14 muestran un comportamiento aleatorio. Figura 12:

COMPORTAMIENTO DE LOS RESIDUOS LOGRADOS POR APLICAC IÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25

rescuad

Figura 13:

Comportamiento de los residuos función logarítmica

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0 5 10 15 20 25

reslny


324

Figura 14:

Comportamiento de los residuos del modelo autorregr esivo

-3,000

-2,000

-1,000

0,000

1,000

2,000

3,000

0 5 10 15

Valores predichos

Res

iduo

sresautorg

Además del análisis gráfico de los residuos, existen métodos adecuados para realizar las comparaciones. En caso de tratarse de modelos de regresión, ya hemos visto que el Coeficiente de Determinación permite comparar la bondad del ajuste (un mayor r2 indica un mejor ajuste de los datos). Cuando se han utilizado otros métodos, a veces no es posible calcular el coeficiente de determinación, entonces se sugieren otras medidas para evaluar el ajuste. Veremos algunas de ellas: a- Suma de cuadrados del error:

2ˆ( )i iSCE y y= ∑ −

Para nuestro ejemplo:

SCEfc = 32,51 (Función cuadrática). SCEfl = 0,38 (Función exponencial). SCEar = 21,64 (Modelo autorregresivo).

Este método tiene la desventaja de que en caso de existir algunas diferencias importantes, el modelo puede ser desechado por efecto de valores individuales, lo que se observa en el ejemplo propuesto para el modelo autorregresivo donde por el efecto individual de pocos valores muy diferentes la suma de cuadrados asume un valor alto y hace que el modelo no sea considerado adecuado, no obstante es una medida que asume valor cero si el ajuste es perfecto y se aleja de esta cifra en la medida que el modelo no se aproxima a los valores reales. También es viable hacer un análisis desde esta perspectiva mediante el coeficiente de determinación general, tal como menciona- mos más arriba.

b- Desviación absoluta media:

1

ˆn

i ii

y yDAM

n

=−∑

=

Para los datos del ejemplo analizado, los valores de la DAM se muestran en la Tabla 23:

Tabla 23:

Dam para la función cuadrática

Dam para la función exponencial

Dam para el modelo autorregresivo

0,891 0,1039 0,7508


325

Esta medida asume valor cero si el modelo ajusta perfectamente y las diferencias entre los valores reales de la variable “y” y los estimados por el modelo no existen y asume valores altos en la medida que las diferencias sean importantes. En el análisis comparativo será mejor modelo el que asegure menor valor para esta medida.

Para el ejemplo el valor más bajo de la DAM le corresponde al modelo autorregresivo.

Esta medida tiene la ventaja de poder aplicarse a cualquier tipo de tratamiento de los datos (de regresión o suavizados). c- Principio de Parsimonia:

Este principio establece que debe elegirse aquel modelo que permita una mejor inter- pretación del análisis de datos, es decir, el que sea mas sencillo y adecuado. Esto significa que, en una comparación de varios modelos, si la diferencia entre la bondad del ajuste entre algunos de ellos no es muy importante, conviene elegir el más sencillo. Con esta idea hemos desarrollado métodos que permiten estudiar una variable a través del tiempo y mediante un estudio comparativo basado en los residuos hemos propuesto una forma de seleccionar el más adecuado. Por último, una vez seleccio- nado el modelo de análisis, este es utilizado para hacer pronósticos de la variable en función del tiempo, objetivo principal de estudios de esta naturaleza.

Capitulo VI casini - UNC

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