Escorial 2006

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Introduccin a lastensegridades

Francisco Santos Leal

http://personales.unican.es/santosf

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Introduccin a lastensegridades

teora de la rigidez

Francisco Santos Leal

http://personales.unican.es/santosf

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Qu es una tensegridad?

Tensegrity = tension + integrity

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El nombre lo acu Buckminster-

Fuller para referirse a las estructuras

en equilibrio del escultor Kenneth

Snelson:

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Definiciones de tensegridad

islands of compression in an ocean of tension(Kenneth

Snelson)

continuous tension, discontinuous compression structures

(Buckminster-Fuller)

A tensegrity system is a stable self-equilibratedstate

comprising a discontinuous set of compressed elements inside

a continuum of tensioned components(R. Motro, Tensegrity.

Structural systems for the future, Kogan Page Science,London, 2003).

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islands of compression in an ocean of tension

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islands of compression in an ocean of tension

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Definiciones de tensegridad.

Miguel de Guzmn introdujo su propia definicin, unpoco ms general:

``Consideramos una configuracin geomtrica

constituida por un nmero finito de puntos y por

unos cuantos segmentos que unen estos puntos.

Una estructura de tensegridadconsiste en asignar

vectores a los puntos, en las direcciones de los

segmentos que concurren en ellos de forma que:

(a) La resultante en cada punto es nula.

(b) Para cada segmento, la suma de los vectores

asignados a sus extremos es cero.

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Lo cual incluye, por ejemplo, islands of tension in an ocean of

compression

El opuesto de una tensegridad es

tambin una tensegridad.

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Lo cual incluye, por ejemplo, islands of tension in an ocean of

compression

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Tensegridad y teora de la rigidez.

Lo que Guzmn llama tensegridad es lo que en teorade la rigidez se conoce como self-stressed framework

(armazn auto-tensionado). Pero:

Si no eres muy ambicioso, puederesultar un verdadero placer darte

cuenta de que lo que estabas

haciendo ya haba sido descubierto. Al

menos, eso indica que ibas por el

buen camino.

(I. M. Gelfand)

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Tensegridad y teora de la rigidez.

Lo que Guzmn llama tensegridad es lo que en teorade la rigidez se conoce como self-stressed framework

(armazn auto-tensionado). Pero:

Si no eres muy ambicioso, puede resultar unverdadero placer darte cuenta de que lo que

estabas haciendo ya haba sido descubierto.

Al menos, eso indica que ibas por el buen

camino.

(I. M. Gelfand)

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Esta charla:

0. Qu es la tensegridad?

1. Rigidez, rigidez infinitesimal, rigidez genrica, y

autotensiones (rigidez esttica).

2. Breve historia de la rigidez.

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Definiciones: Un grafo geomtricoo armazn es unconjunto finito de puntos (en el plano, en el espacio,en Rn) junto con algunos segmentos que unenparejas de dichos puntos (vrtices o nodos yaristas o ejes). En principio, admitimos que lasaristas se corten entre s y a los puntos de corte nolos consideramos ``vrtices (salvo que as loqueramos).

Un armazn es rgidosi no existe una maneracontinua de mover sus vrtices que mantengaconstante la longitud de las aristas en todo momento

(salvo los movimientos rgidos; rotaciones ytraslaciones). En caso contrario decimos que esflexible.

Rigidez

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armazn rgido armazn flexible,

con dos grados de libertad

Un ejemplo, en el plano

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8 vrtices, 8 aristas

13 - 8 = 5

dimensiones libres

2 x 8 - 3 = 13

dimensiones de movimiento

Conclusin:hay cinco

grados de libertad

Cuntos grados de libertad?

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13 - 10 = 3

dimensiones libres

2 x 8 - 3 = 13


Conclusin:hay tres

grados de libertad


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13 - 12 = 1

dimensin libre

2 x 8 - 3 = 13


Conclusin:hay un

grado de libertad?


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13 - 12 = 1

dimensin libre

2 x 8 - 3 = 13


??????


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Casos degenerados

Rgido, aunque no debera

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Rigidez infinitesimal

Como la rigidez a secas es demasiado

complicada de analizar, en una primera

aproximacin uno estudia una versin

linealizada o infinitesimal del problema.

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Rigidez infinitesimal

Definicin: Un armazn es infinitesimalmente flexiblesi es

posible asignar velocidades instantneas a los vrtices de

modo que la longitud de las aristas permanezca estable (es

decir, que la primera derivada de la longitud sea cero). En caso

contrario es infinitesimalmente rgido.

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rgido rgido, pero flexible

infinitesimalmente flexibe

El mismo grafo abstracto puede

producir distintos tipos de armazones

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La matriz de rigidez infinitesimal

Estudiar la rigidez infinitesimal de un armazn Gcon n vrticesp1,pn!R

2y m aristas (pi1,pj1), , (pim,pjm) no es ms que un

problema de lgebra lineal. Se tiene la siguiente aplicacin lineal:

L: (R2)n -----> Rm

(v1,,vn) |-----> ((pik-pjk).(vik-vjk))k=1,,m

G es infinitesimalmente rgido Ker(L) tiene dimensin 3

(slo los movimientos rgidos)

De hecho:Grados de libertad (infinitesimales) de G= dim(Ker L) - 3

(nota: todo esto vale para armazones en

dimensin d, cambiando 3 por (d+1)d/2)

velocidad infinitesimal elongaciones que producen

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Rigidez combinatoria

Definicin: Un grafo(abstracto) es un conjunto finito V(tpicamente, el conjunto {1,2,,n}) junto con una familia Ede

parejas de elementos de V.

Nota: Un armaznse define formalmente como una realizacin

geomtrica de un grafo. Es decir, un armazn consta de un grafo

G=(V,E) junto con una aplicacin p: V--->R

2

que dice dondecolocar los vrtices.

Pregunta: dado un grafo abstracto Gqu podemos decir

del conjunto de realizaciones de Gque dan armazones

rgidos? Y de los infinitesimalmente rgidos?

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Respuesta(s):

1) Infinitesimalmente rgido => rgido (porque toda flexin continuainduce una flexin infinitesimal en el instante cero).

2) Todo grafo es o bien casi siempre infinitesimalmente rgido o

casi siempre infinitesimalmente flexible (para cada dimensin

d). Esto es as porque la rigidez infinitesimal depende slo del rango de lamatriz M, de tamao (dn x m), cuyos coeficientes son precisamente las

coordenadas de la realizacin, colocadas de la manera indicada por el grafo.

3) Los grafos casi siempre infinitesimalmente flexibles tambin

son casi siempre flexibles (la demostracin no es elemental). El

recproco se sigue del apartado (1).

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Definicin: un grafo (abstracto) G=(V,E) es genricamente rgidoen dimensin dsi es rgido (equivalentemente,

infinitesimalmente rgido) en casi todas sus realizaciones en Rd.

Nota: toda pregunta sobre un grafo abstracto es,por definicin,

una pregunta combinatoria. Sin embargo, no es obvio como

decidir si un grafo Ges genricamente rgido en una cierta

dimensin dcon mtodos puramente combinatorios!

En dimensin pequea s es posible hacerlo:

Genricamente rgido en dimensin 1 conexo

Genricamente rgido en dimensin 2 propiedad de Laman

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La propiedad de Laman

Teorema (Laman, 1970): un grafo G=(V, E) es genricamente libre

en dim. 2 si, y slo si, para todo subconjunto S de kvrtices

(k=0,,n)el grafo restringido a S tiene a lo ms 2k- 3 aristas.

Problema abierto: caracterizar combinatoriamente

los grafos genricamente rgidos en dimensin 3.Por ejemplo, no se conoce ningn algoritmo

polinmico para decidir esto (nota: la propiedad de

Laman se puede comprobar en tiempo nm)

Caracteriza los grafos gen. rgidos en dimensin 2.

Es m fcil enunciarla como caracterizacin de los grafos libres

o independientes, es decir, aqullos en los que

N de grados de libertad = 2n - 3 - n de aristas.

Esto caracteriza los grafos (gen.) rgidos porque un grafo G=(V, E) con n

vrtices es genricamente rgidoen dimensin dos si, y slo si, contiene un

subgrafo con 2n-3 aristas y genricamente libre.

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Algunos grafos de Laman

Grafo de Laman:tiene exactamente 2n- 3 aristas y todosubconjunto de 2k-3 aristas es incidente a al menos kvrtices.

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Resumen

Rigidez a secas:problema geomtrico, cuya solucin involucrageometra algebraica y anlisis (ecuaciones diferenciales).

Rigidez infinitesimal:problema algebraico(ms concretamente,

de lgebra lineal).

Rigidez genrica:problema combinatorio, aunque en dimensinmayor que 2 slo lo sabemos resolver con mtodos algebro-

geomtricos: calcular el determinante de la matriz Ltomando

coeficientes aleatorios o coeficientes paramtricos (usando

mtodos simblicos en el ltimo caso)

Los dos primeros se refieren a un armazno

grafo geomtrico. El ltimo a un grafo abstracto.

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Y qu tiene esto que ver con las

tensegridades?

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Autotensin

Definicin: llamaremos autotensino tensin en equilibrioen unarmazn lo que Guzmn llama tensegridad: una asignacin de

vectores a los vrtices, en las direcciones de los segmentos que

concurren en ellos de forma que:

(1) La resultante en

cada punto es nula.

(2) Para cada

segmento, la suma

de los vectores

asignados a sus

extremos es cero.

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Autotensin

Observacin: con

esta descripcin las

autotensiones de

un armazn forman

un espacio vectorial.

Tendrn que ver

con la rigidez

infinitesimal?

Por la condicin (2) dar una autotensin es lo mismo que asignar unnmero t(e) a cada arista (positivo=tensin hacia dentro,

negativo=presin hacia fuera).

Por (1), dichas presiones/tensiones se cancelan unas a otras (equilibrio)

en cada vrtice).

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Autotensin

Por supuesto!: una autotensin en un armazn con vrticesV={v1,,vn} y aristas V={e1,,em} es un elemento en el ncleo

de esta otraaplicacin lineal:

T: Rm -----> (R2)n

(t1,,tm) |-----> ((pl-pk) tkl)k=1,,n

donde la suma recorre todos los vecinos del vrtice k, y tkl=tlkes

la tensin asignada a la arista k-sima.

Observacin:Tno es ms que la aplicacin dual

(matriz traspuesta) de la aplicacin de rigidez

L: (R2)n-----> Rm del armazn!

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Autotensin

Por tanto, tanto la rigidez infinitesimal como la existencia de unaautotensin dependen nicamente del rango de la matriz de

rigidezM: (R2)n-----> Rm del armazn:

Infinitesimalmente rgido rango = 2n-3

2n- 3 - r= grados de libertad infinitesimales

Libre de autotensin r = m

m- r= dimensin del espacio de autotensiones

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Conclusin

El estudio de las tensegridades de un armazndado (con sus posiciones) es equivalente al

estudio de su rigidez infinitesimal, es decir, el

estudio de cierta aplicacin lineal.

Ms complicado es el estudio de, dado un

modelo combinatorio del armazn (un grafo)decidir en qu posiciones (armazn) admite una

tensegridad, si es que las hay.

(Form-finding methods).

Esto pasa primero por estudiar la rigidez genrica

del grafo, lo cual en dimensin tres (y superior)no se sabe hacer de manera satisfactoria.

Este es el problema que interesaba a Miguel de Guzmn.

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Breve historia de

la rigidezla teora de

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1) La conjetura de Euler

3) Maxwell. Autotensiones y diagramas recprocos

2) Mecanismos artculados (linkages)

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1. La conjetura de Euler

Conjetura: Una figura espacial cerrada no

admite cambios, salvo que la rompamos.

Euler, 1766

Es decir: un poliedro cerrado de dimensin tres no se

puede deformar sin deformar alguna de sus caras.

Y en particular: el armazn formado por los vrtices y

aristas de un poliedro cerrado de caras triangularesno

posee ninguna flexin.

Hemos tardado ms de 200 aos en resolverla!

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Primeros pasos: Teorema de Cauchy

Teorema: Si hay una isometra entre las superficies

de dos poliedros cerrados estrictamente convexos,

entonces dichos poliedros son congruentes.

Cauchy, 1813

En particular: el armazn formado por los vrtices y

aristas de un poliedro cerrado estrictamente convexo y

de caras triangularesno posee ninguna flexin.

La demostracin de Cauchy no era del todo correcta; la

primera demostracin que hoy consideramos correcta es

de 1934 (Steinitz-Rademacher)

Es decir, prueba la conjetura de Euler (y ms) para poliedros estrictamente convexos

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Un ejemplo alentador: Bricard

Teorema: La conjetura de Euler es cierta para

todo poliedro (convexo o no) con la estructura de

un octaedro. Sin embargo, hay realizaciones del

grafodel octaedro que admiten flexiones.

R. Bricard, 1897

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Seguimos avanzando: Alexandrov

Teorema: Si triangulamos las caras de un

poliedro convexo (permitiendo aadir vrtices

partiendo aristas, pero no vrtices en el

interior de las caras) el armazn subyacente

es infinitesimalmente rgido.A. D. Alexandrov, 1950

(en cierto modo, en el Teorema de Cauchy

se puede eliminar el estrictamente)

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Ya casi estamos: Gluck

Teorema: Toda superficie polidrica cerrada

y simplemente conexa en R3es genrica-

mentergida.

H. Gluck, 1975

Simplemente conexa homeomorfa a una esfera

no tiene agujeros

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o eso pensbamos: Connelly

Teorema: Existen poliedros (no convexos)

cerrados (y simplemente conexos, y y con

caras triangulares) flexibles.

Connelly, 1977

El poliedro flexible ms

pequeo que existe.

Tiene 14 caras, 21

aristas, y 9 vrtices.

Construido por Steffen

en 1995 (el original de

Connelly tana delorden de 30 caras).

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Pero la cosa contina (unos aos)

Conjetura: En toda flexin continua de un

poliedro cerrado, se mantiene constante el

volumen encerrado por el mismo.

conjetura del fuelle, Connelly, 1978,

en su contribucin al ICM de Helsinki.

Esta conjetura sresult ser cierta (I. Sabitov 1995,

Connelly-Sabitov-Walz, 1997). Lo que se demuestra es

que el volumen encerrado por un poliedro (flexible o no)

es un nmero entero sobre el anillo generado por los

cuadrados de las longitudes de las aristas.

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2. Mecanismos articulados

(linkages)

Consideramos armazones flexibles (planos o

espaciales) con un solo grado de libertad. Nos

preguntamos qu trayectoria sigue un puntoconcreto del armazn.

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James Watt y el movimiento paralelo (1784)

Para transformar el movimientolineal (pistn) en movimiento

circular (eje de las ruedas) Watt

ide un mecanismo que, aunque

no era exacto, produca mcho

mayor rendimiento que todos los

anteriores. Lo llam el mecanismo

del movimiento paralelo.

"Though I am not over anxious after

fame, yet I am more proud of the parallel

motion than of any other mechanical

invention I have ever made.

James Watt (a su hijo)

Chebyshev (1821-1894), entre otros, estuvo

muy interesado en mejorar el mecanismo de

Watt, o en encontrar uno que fuera exacto.

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Peaucellier (1864) y Lipkin (1971)

Peaucellier en Francia y Lipkin en Rusia

descubrieron independientemente unmecanismo que convierte el movimiento circular

en lineal de manera exacta(adems de ser capaz deinvertir magnitudes, o dibujar arcos de circunferencia de radio

arbitrariamente grande; se basa en el concepto de inversinrespecto a un crculo de la geometra proyectiva)

"The perfect parallel motion of

Peaucellier looks so simple, and movesso easily that people who see it at work

almost universally express astonishment

that it waited so long to be discovered.

J. J. Sylvester, 1874

"No! I have not had nearly enough of it - it is the

most beautiful thing I have ever seen in my life."

Sir William Thomson (Lord Kelvin)

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Teorema de universalidad (Kempe)

Teorema (Kempe, 1876):

cualquiercurva algebraica

en el plano se puede

trazar (quiz a trozos) con

un mecanismo adecuado.

(por ejemplo, existe un mecanismo

articulado que imita tu firma)

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Un problema reciente relacionado:

la regla del carpintero

Una regla de carpintero

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y su generalizacin matemtica:

Una curva poligonal sin autointersecciones.

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Durante un par de dcadas estuvo abierto el problema de si

toda curva poligonal sin autointersecciones puede abrirse de

manera continua. Finalmente, en 2001, se encontraron dos

demostraciones diferentes (Connelly-Demaine-Rote, Streinu).Las dos demuestran, de hecho, que el movimiento de apertura

es expansivo (la distancia entre cada pareja de puntos crece

montonamente durante el movimiento).

El enunciado anlogo en dimensin 3 es falso:

El estudio de estos

problemas en mecanismos

articulados de dimensin tres

est muy de moda, por su

relacin con biologa

molecular (reconfiguracingeomtrica de grandes

molculas orgnicas).

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3. Autotensiones, levantamientos y

diagramas recprocos (Maxwell)Maxwell (1864) estudi el espacio lineal formado por las

autotensiones de un armazn y demostr que:

Teorema:si un armaznA de dimensin 2es la proyeccin

ortogonal del 1-esqueleto de un poliedro, entonces:

1) Admite una autotensin.(El valor de la tensin en cada arista

est relacionado con el ngulo didrico que dicha arista tiene en

el levantamiento).

2) Admite un armazn recproco B, (cuyo grafo es el dual

geomtrico del primero, con caras de uno en byeccin con

vrtices del otro, y con aristas de uno en biyeccin con y

ortogonales a las del otro).

Adems, el armazn recproco Btambin admite una autotensin,

que es recproca de la de A.

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Un armazn plano con una autotensin, y surecproco con la autotensin recproca.

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La reciprocidad de Maxwell funciona incluso si uno(o ambos) de los armazones tienen cruces de aristas.

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El teorema de Maxwell explica por qu el grafo de un prisma es

infinitesimalmente flexible si (y slo si) los dos tringulos estn en

posicin perspectiva.

Posicin perspectiva es proyeccin de un poliedro (prisma)

admite una autotensin

rango(T) < n. de aristas = 9 rango(L) < 9 = 2 n- 3

flexin infinitesimal

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Invariancia proyectivade la rigidez infinitesimal

(es decir, de las tensegridades)

Puesto que ser proyeccin de es un invariante proyectivo, el

teorema de Maxwell tambin hace intuir que la rigidez infinitesimal

(no as la rigidez a secas) es un invariante proyectivo:

Teorema(Roth y Whiteley, 1981): si dos armazones son

proyectivamente equivalentes, sus espacios de

autotensiones, ergo sus espacios de flexiones

infinitesimales, son isomorfos.

Esto fue redescubierto (como conjetura, y demostradoen algunos casos particulares) por Miguel de Guzmn.

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Si no eres muy ambicioso, puede resultar un

verdadero placer darte cuenta de que lo que

estabas haciendo ya haba sido descubierto.

Al menos, eso indica que

ibas por el buen camino.

(I. M. Gelfand)

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Referencia recomendada:

Counting on frameworks (Mathematics to aid

the design of rigid structures), Jack E. Graver,

The Mathematical Association of America, 2001.

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