Erko Jakobson (Tartu Uumllikool) 2011

E-kursuse Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused (LOFY01004)

materjalid

Aine maht 3 EAP

Erko Jakobson (Tartu Uumllikool) 2011

2

Sisukord

Sissejuhatus5

Aine sissejuhatus5

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed8

11 Motildeotildedetavad suurused 8

12 Potildehi- ja tuletatud suurused9

13 Suuruse dimensioon 10

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid 12

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI14

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik16

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost 16

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted 21

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide21

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused 24

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud29

231 Keskvaumlaumlrtus29

Keskvaumlaumlrtuse omadusi32

Keskmiste kasutamisest 33

232 Dispersioon ja ruuthaumllve 34

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused45

241 Uumlhtlane jaotus 45

242 Kolmnurkjaotus46

243 Eksponentjaotus 47

244 Normaaljaotus 49

245 Arkussiinusjaotus52

25 Juhuslike jaotuste summa55

251 Kahe jaotuse summa jaotus55

252 Keskne piirteoreem 59

3

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus 63

31 Suumlstemaatilised vead63

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang 64

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest 64

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest 65

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon 66

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus69

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus70

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus 71

333 Liitmaumlaumlramatus72

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel73

35 Ekse74

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv 75

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv75

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv 76

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus 77

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral 84

4 Motildeotildetmise mudel 88

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral 90

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium 91

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate sisendsuuruse korral 94

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon94

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotildeltuvusega sisendsuuruste korral95

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise kohta98

5 Maumlaumlramatuse allikad 107

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus107

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus 107

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus107

4

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused107

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus108

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus108

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus109

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus 109

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod) 109

4 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine115

41Motildeotildetevahendid115

42 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused 120

421 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus120

422 Motildeotildetevahendi taumlpsus121

423 Stabiilsus ja triiv121

424 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime122

425 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid 122

43 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid122

431 Kalibreerimine ja justeerimine122

432 Tuumluumlbikinnitus 125

433 Taatlus126

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused127

Lisa 2 Vihtide lubatud vead 128

5

Sissejuhatus

Aine sissejuhatus

Motildeotildetmine on olnud maailma infrastruktuuri uumlks oluline osa juba iidsetest aegadest alates Kotildeik teaduse tehnika kaubanduse riikliku kontrolli jne vallas tehtud jaumlreldused ja otsused tuginevad andmetele mis on saadud motildeotildetmiste potildehjal Otildeigete otsuste langetamiseks peavad motildeotildetetulemused olema piisavalt usaldusvaumlaumlrsed Eriti oluline on see valdkondades mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset Naumliteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse maumlaumlramise ja kontsentratsiooni motildeotildetmise ebataumlpsed tulemused votildeivad potildehjustada vaumlga totildesiseid tagajaumlrgi

Motildeotildetetulemuse usaldatavuse totildestmise huvides tuleks motildeotildetmine laumlbi viia kompetentses laboris kus kasutatakse kalibreeritud motildeotildetevahendeid ja aktsepteeritud motildeotildetemeetodeid Motildeotildetesuurus peab seejuures olema tellija ja taumlitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt taumlpselt maumlaumlratletud ning saadav motildeotildetetulemus koos maumlaumlramatusega tuleb esitada uumlldtunnustatud motildeotildetuumlhikutes

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum mille eesmaumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmist nimetatakse metroloogiaks

Kotildervalseisjale paistab motildeotildetmine votilderdlemisi lihtsa toiminguna eriti veel siis kui see teostatakse taumlpselt kindlaksmaumlaumlratud motildeotildeteprotseduuri kohaselt Probleemid tekivad aga tavaliselt siis kui on vaja hinnata saadud motildeotildetetulemuse usaldatavust

Kursuse eesmaumlrgiks on tutvustada motildeotildetmisteooria aluseid otildepetada uumlliotildepilast motildeotildetma fuumluumlsikalisi suurusi hindama motildeotildetmistulemuse usaldatavust samuti tutvustada katsetulemuste toumloumltlemise aluseid

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane

1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid

2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavaid jaotusseaduseid

3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamise paremaid praktikaid

4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmete motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste ning muude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust ning selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ning oskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mudelit ning seda rakendada

6

Hindamismeetodid

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam Kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) annavad 10 test (otildepivaumlljundid 1 2 4) annab 20 grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) 10 ning eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) 60 koondhindest Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse ossa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlstitust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele hindele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile (A = gt90 jne)

Potildehikirjandus

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements (Les Kirkup Bob Frenkel 2006 Cambridge University Press)

MMM esialgne loenguplaan 2011 kevad

1 Sissejuhatus aine tutvustus loengukursuse uumllesehitus ning tutvustus

2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusnaumlited

3 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed Motildeotildetmisteooria laumlhted Motildeotildetmise potildehivaumlide Juhuslike suuruste jaotusseadused Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Keskvaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtuse omadusi Keskmiste kasutamisest Dispersioon ja ruuthaumllve

4 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused Uumlhtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus Arkussiinusjaotus Juhuslike jaotuste summa Kahe jaotuse summa jaotus Keskne piirteoreem

5 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus Suumlstemaatilised vead Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Motildeotildetemaumlaumlramatus A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus Liitmaumlaumlramatus

6 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel Ekse Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupitoumloumlde planeerimine

7

11 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus Motildeotildetevahendi taumlpsus Stabiilsus ja triiv Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

12 Maumlaumlramatuse allikad Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus Motildeotildeteobjektust tulenev maumlaumlramatus

13 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid Kalibreerimine ja justeerimine Tuumluumlbikinnitus Taatlus

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus jne

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisaldavad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdamine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte arvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaator ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendimatriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehed on arvutamiseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnata

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetemaumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuajee pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grupitoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

Moodle

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loomine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumlde esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

Tagasiside

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengus uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt selleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimaluste piires arvesse votildetta

8

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seos ed

11 Motildeotildedetavad suurused

Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid uumlmbritseva maailma esemed ained ja naumlhtused ning nende omadused Nii votildeib selleks olla meid uumlmbritsev ruum mille omaduseks on tema ulatus Viimast votildeib iseloomustada mitmel viisil ning uumlheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus Samal ajal on reaalse fuumluumlsikalise ruumi ulatus uumlsna keeruline omadus mida ei saa motildene juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega Ruumi taumlielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) votildei kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk pindala maht jne Seega votildeib ruumi iseloomustada mitme suuruse jaumlrgi

Igasugused suumlndmused ja naumlhtused reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt Nende toimumise kestus on omadus mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg

Fuumluumlsikast on teada et keha seisab paigal votildei liigub uumlhtlaselt ja sirgjooneliselt kui puudub temale motildejuv vaumllisjotildeud Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass

Aine votildei keha paljud omadused sotildeltuvad suurel maumlaumlral tema kuumutusastmest mida votildeib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega Praktikas kasutatakse aga aine votildei keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termoduumlnaamiline temperatuur

Seega suurused iseloomustavad meid uumlmbritseva keskkonna esemeid aineid naumlhtusi ja protsesse ning nende omadusi

Uumllaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon

Suurus on naumlhtuse keha votildei aine oluline omadus mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt uumlheselt maumlaumlrata

Esitatud motildeiste suurus votildeib taumlhendada

1 suurust uumlldiselt st fuumluumlsikalist suurust nagu

pikkus mass temperatuur takistus ainehulga kontsentratsioon jne

2 votildei mingit konkreetset suurust nagu

teatud varda pikkus teatud keha mass teatud keha temperatuur antud tingimustel antud traadi elektriline takistus etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne

Olenevalt puumlstitatud uumllesandest valitakse suumlsteemi votildei objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see mis on kotildeige olulisem Nii naumliteks laumlhtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajaumlrjekorras selle objekti massist sest antud uumllesande puhul on just see suurus kotildeige maumlaumlravam

Suurusi mida saab uumlksteise suhtes jaumlrjestada kvantitatiivse kasvu alusel nimetatakse sama liiki suurusteks Samaliigilisteks suurusteks on naumliteks toumlouml soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus laius paksus ja uumlmbermotildeotildet

9

Galileo Galilei on oumlelnud Motildeotildeda mis on motildeotildedetav ja tee motildeotildedetavaks see mis ei ole veel motildeotildedetav Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee motildeotildetmise ennetavast taumlhtsusest kaasaegsetes uuringutes

Motildeotildetmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse motildeotildetesuuruseks Votildeib kasutada ka motildeistet motildeotildedetav suurus Naumliteks motildeotildetesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rotildehk 20 degC juures Ristkuumlliku pindala motildeotildetmisel on motildeotildetesuuruseks pindala mille motildeotildetetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius motildeotildetmise potildehjal

Esimene samm motildeotildetmise sooritamisel on motildeotildetesuuruse taumlpne kindlaksmaumlaumlramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel Praktikas sotildeltub motildeotildetesuuruse defineerimise viis ja taumliuslikkus vajalikust motildeotildetetaumlpsusest Motildeotildetesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse motildeotildetmisega seotud praktilise eesmaumlrgi jaoks niivotilderd uumlksikasjalikult et motildeotildetesuurusel oleks uumlhene vaumlaumlrtus

Naumlide 11 Kalapeol lubatakse et kotildeige suurema kala puumluumldja auhinnaks on selle kala suuruse jagu kulda Siin pole aga maumlrgitud kas motildeeldakse selle kala massi votildei ruumala Arvestades et erinevus on ligi 20 kordne tuleks kasutada korrektsemat definitsiooni

Motildeotildetesuuruse maumlaumlratlus votildeib vajaduse korral sisaldada ka notildeudeid teiste motildeotildetesuuruste kohta Naumliteks pikkusotsmotildeotildedu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka motildeotildeteobjekti ja keskkonna temperatuuri aga ka rotildehu niiskuse jms vaumlaumlrtuste vahemiku maumlaumlramine mille puhul see pikkus kehtib

Motildeotildetesuuruse puudulik defineerimine annab alati motildeotildetetulemuse maumlaumlramatusse lisakomponendi mis votildeib notildeutava motildeotildetetaumlpsusega votilderreldes sageli kuumlllaltki oluliseks osutuda

12 Potildehi- ja tuletatud suurused

Loodusnaumlhtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi nagu pikkus aeg kiirus kiirendus jotildeud jne Fuumluumlsikavalemid vaumlljendavad seoseid nende suuruste vahel Selgub et enamasti on votildeimalik mingit suurust vaumlljendada teiste suuruste kaudu mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost Neid suurusi nimetataksegi potildehisuurusteks (ka baassuurusteks) Seega potildehisuurus on uumlks suurustest mida mingis suuruste suumlsteemis kaumlsitletakse leppeliselt uumlksteisest sotildeltumatuna

Potildehisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne kuid piiratud praktiliste kaalutlustega Potildehisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi Tuletatud suurus on seega niisugune suurus mis on mingis suuruste suumlsteemis defineeritud suumlsteemi potildehisuuruste funktsioonina Naumliteks suuruste suumlsteemis mille potildehisuurusteks on pikkus mass ja aeg on keha liikumise kiirus tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena st funktsiooniga

v = lt (11)

kus v ndash keha liikumise kiirus l ndash teepikkus ja t ndash keha poolt teepikkuse laumlbimiseks kulunud ajavahemik

Kehale motildejuv jotildeud on samuti tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena st funktsiooniga

F = ma (12)

10

kus F ndash jotildeud m ndash keha mass ja a ndash jotildeu F motildejust tingitud keha kiirendus

Mistahes tuletatud suuruse mingis suumlsteemis saame seega avaldada potildehisuuruste kaudu jaumlrgmise uumlldistatud valemi abil

prod=

=n

ii

iAQ1

αξ (13)

kus Q ndash tuletatud suurus ξ [hii] ndashtegur Ai ndash potildehisuurus ja αi ndash positiivne votildei negatiivne taumlis- votildei murdarv

Potildehisuuruse Ai all votildeivad esitatud valemis (13) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused Naumliteks sotildeltuvuses F = ma (vt valem (12)) on mass potildehisuurus kiirendus aga tuletatud suurus

Praktikas kasutatakse valemi (13) asemel ka suurustele kohaselt valitud uumlhikute vaumlaumlrtustevahelisi seoseid Tegurid nendes valemites sotildeltuvad siis juba valitud uumlhikutest

Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte aineid naumlhtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste suumlsteemidesse Seega on suuruste suumlsteem kogum omavaheliste sotildeltuvustega maumlaumlratletud suurusi Suuruste suumlsteemi taumlhistamiseks kasutatakse uumlldiselt potildehisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitaumlhti

Mehaanikas kuuluvad potildehisuuruste hulka pikkus mass ja aeg ning need maumlrgitakse uumlldistatult taumlhtedega L (ladk longitudo ndash pikkus) M (ladk massa ndash mass) ja T (ladk tempus ndash aeg) Selle jaumlrgi tuleb suuruste suumlsteemi taumlhiseks LMT

Suumlsteem taumlhisega LMT1θNJ on aga kogum potildehi- ja tuletatud suurustest milles potildehisuurused on pikkus ndash L mass ndash M aeg ndash T elektrivoolu tugevus ndash I termoduumlnaamiline temperatuur ndash θ aine hulk ndash N ja valgustugevus ndash J

Suurusi taumlhistatakse ladina votildei kreeka taumlhestiku taumlhtedega Taumlhis on alati uumlhetaumlheline Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega mis votildeivad ka viidata objektidele mis pole suurused Suuruse taumlhised kirjutatakse alati kaldkirjas

13 Suuruse dimensioon

Taumlhistades valitud suuruste suumlsteemis potildehisuurusi ladina taumlhestiku jaumlrjestikuste suurte taumlhtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks uumlldistatud valemit (13) milles tegur ξ =1 on votildeetud votilderdseks uumlhega saame maumlaumlrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga

dimQ = Aα Bβ Cγ (14)

kus A B C ndash potildehisuuruste A B C dimensioonid ja αβ γ ndash dimensioonide astmenaumlitajad mis on positiivsed votildei negatiivsed ratsionaalarvud (taumlis- votildei murdarvud)

Naumliteks LMT suumlsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni maumlaumlrata jaumlrgmise valemiga

dimQ = Lα Mβ Tγ (15)

11

kus L M T - taumlhised mis taumlhistavad potildehisuuruste pikkus mass ja aeg dimensioone ja α β γ ndash

dimensioonide astmenaumlitajad

Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt taumlhistatakse suuruse Q dimensioon taumlhisega dim Q Seega suuruse dimensioon on avaldis mis vaumlljendab suumlsteemi kuuluvat suurust selle suumlsteemi potildehisuurusi taumlhistavate tegurite astmete korrutisena

Kui tuletatud suurus valemis (14) ei sotildeltu motildenest kotildenealloleva suuruste suumlsteemi potildehisuurusest siis oumleldakse et selle tuletatud suuruse dimensioon sotildeltumatu potildehisuuruse suhtes on uumlks Votildeib ka juhtuda et tuletatud suurus ei sotildeltu uumlhestki valitud suuruste suumlsteemi potildehisuurusest Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste suumlsteemis suuruseks dimensiooniga uumlks Kasutatakse ka motildeistet dimensioonita suurus mis viitab dimensiooni astmenaumlitajale null

Suuruse dimensioon on palju uumlldisem motildeiste kui naumlhtub seda suurust iseloomustavast uumlldistatud valemist (14) Nii votildeivad uumlhte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused milledel on erinev omaduslik kuumllg ja ka erinev suurustevaheline seos Naumliteks jotildeu F poolt tehtud toumlouml mis on maumlaumlratud valemiga

W = F l (16)

kus W ndash toumlouml F ndash jotildeud ja l ndash teepikkus

ja liikuva keha kineetiline energia mis maumlaumlratud valemiga

E = mv2 2 (17)

kus E ndash kineetiline energia m ndash keha mass ja v ndash keha kiirus omavad uumlhesugust dimensiooni st dimW = dimE = L2MT-2

Dimensioonidega votildeib teha matemaatilisi tehteid korrutamine jagamine astendamine ja juurimine Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma motildetet Potildehisuuruse astmenaumlitaja enda suhtes on votilderdne uumlhega

Potildehi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud suumlsteemis moodustab dimensioonisuumlsteemi mille baasiks on potildehisuuruste dimensioonid Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste suumlsteemis LMTIθNJ uumlldiselt maumlaumlratav seosest

dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (18)

Naumliteks jotildeu F dimensioon suumlsteemis LMTIθNJ on dimF = LMT-2 Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste suumlsteemist Naumliteks ε0 ndash vaakumi dielektriline laumlbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste suumlsteemis on dimensiooniga uumlks aga suumlsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon dimε0 = L-3M-1T4I2

Eelpoolkirjeldatu potildehjal tekib ka kuumlsimus kas tuletatud suuruse dimensiooni votildeib alati kaumlsitleda kui selle suuruse valemi (14) kohast potildehisuurustest sotildeltuvuse vaumlljendit olenemata sellest missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks

Kui iga tuletatud suuruse maumlaumlratlus seostaks teda vahetult potildehisuurustega siis votildeib puumlstitatud kuumlsimusele vastata jaatavalt Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning potildehi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see vaumlga pikk) vahepealseid suuruste maumlaumlratlusi Naumliteks on rotildehk maumlaumlratud jotildeuga mis motildejub uumlhele pinnauumlhikule Jotildeud on omakorda vaumlljendatud massi ja kiirenduse korrutisena (vt valem (12)) pindala aga kahe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena

12

kiirendus on kiiruse tuletis aja jaumlrgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja jaumlrgi Seda ahelat votildeib antud juhul vaumlljendada jaumlrgmise dimensioonide reaga

dimp = dimF dimA-1 = M dima L-2 = M dimv T-1 L-2 =

= MLT -1 T-1 L-2= L-1MT-2 (19)

Seega rotildehu dimensioonivalem omandas kuju mille jaumlrgi on raske naumlha seost potildehisuurustega Vaevalt otildennestub leida ratsionaalset seletust sellele et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut Seega kui defineeritakse vahepealseid suurusi votildeib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenaumlitajate liitmise ja lahutamise teel valem (14) lotildepuks votildetta hoopis kummalise kuju

Toome naumliteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni dim C = L-2 M-1 T4 I2

Dimensioonivalemite piiratud sisust kotildeneleb ka see asjaolu et mitmel juhul on erisugustel suurustel uumlhesugune dimensioon Seda ei tohi mingil juhul totildelgendada niimoodi et neil on uumlhesugune fuumluumlsikaline olemus Eriti kaumlib see nende suuruste kohta mis ei oma dimensiooni Naumliteks votildeiks tuua niisugused suurused nagu tasanurk ruuminurk hotildeotilderdetegur suhteline pikenemine Machi arv murdumisnaumlitaja moolosa (ainehulga osa) ja massiosa Motildenel erijuhul votildeimaldab dimensioonivalemite uumlhtelangemine oletada seost eri suuruste vahel votildei nende allumist uumlldistele seaduspaumlrasustele

Nii naumliteks rotildehu ja energia ruumtiheduse dimensioonide uumlhtelangemine peegeldub faktis et ideaalgaasi rotildehk on votilderdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega Niisuguseid naumliteid on siiski vaumlhe ja seega votildeib vaumlita et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega eriti potildehisuurustega

Dimensioonivalemi muutumatus antud suumlsteemi piires notildeuab et iga erinevaid suurusi seostava votilderduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid uumlhesugused Seepaumlrast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul kui see vaumlljendab meid huvitavate suuruste sotildeltuvust teistest suurustest kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide uumlhtelangemist Kui dimensioonid ei uumlhti on tuletamisel paumlris kindlasti tehtud viga ning votilderdus ei kehti Kuid motildeistagi ei taga dimensioonide uumlhtivus veel saadud votilderrandi otildeigsust

Kokkuvotildettes votildeib oumlelda et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost potildehisuurustega ja sotildeltub nende valikust Nagu maumlrkis Max Planck kuumlsimus meelevaldse suuruse totildeelisest dimensioonist ei oma rohkem motildetet kui kuumlsimus mistahes eseme totildeelisest nimetusest Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analuumluumls humanitaarteadustes kunstis spordis kvaliteedihinnangutes jms kus potildehisuuruste nomenklatuur ei ole maumlaumlratletud veel efektiivset kasutamist

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid

Motildeotildetmiste juures on vaumlga oluline motildeotildetuumlhiku valik Potildehimotildetteliselt votildeiks uumlhikuks valida uumlkskotildeik millise sama liiki fuumluumlsikalise suuruse vaumlaumlrtuse ja seejaumlrel motildeotildeta mitu korda on motildeotildedetav objekt meie uumlhikust suurem votildei vaumliksem Vanasti seda ka tehti

Esimesed motildeotildetuumlhikud tekkisid koos inimuumlhiskonna arenguga

bull pikkusuumlhikud kasutati erinevate kehaosade pikkusi ndash vaks kuumluumlnar jalg

13

bull massiuumlhikud igapaumlevases elus kasutatavad esemed jne Uumlhtsed riiklikud motildeotildetuumlhikud votildeeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babuumlloonias Naumliteks Egiptuses kasutati pikkusuumlhikuna vaarao kuumluumlnart (kaugus kuumluumlnarnukist vaumlljasirutatud sotildermeotsteni) Egiptlased oskasid ka motildeotildetuumlhikuid tuletada Naumliteks pindala motildeotildetsid nad ruutuumlhikutes Kordsed uumlhikud votildeeti kasutusele Babuumlloonias Ajauumlhikud tund minut ja sekund paumlrinevad samuti vanast Babuumllooniast Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid uumlhikuid eriti pikkuse pindala massi ja ruumala motildeotildetmiseks Selline uumlhikute mitmekesisus on mingil maumlaumlral saumlilinud taumlnapaumlevani

Naumlide 12 Te kotildeik teate massiuumlhikut tonn Kui mitu kilogrammi vastab uumlhele tonnile Kas 9072 kg 1000 kg votildei 1016 kg Vastus sotildeltub teie asukohariigist

bull nn meetersuumlsteemi tonn = 1000 kg bull Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg bull Ameerikas (luumlhike) tonn = 2000 naela = 9072 kg

Naumlide 13 Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuuumlhikut gallon aga

bull Inglismaal 1 gallon = 454609 liitrit bull Ameerikas 1 gallon = 378543 liitrit

Naumlide 14 Laialdaselt kasutatakse mahuuumlhikut barrel (totildelkes vaat tuumlnn) aga tuleb eristada nn kuiva barrelit ja naftabarrelit

bull kuiv barrel = 115628 liitrit bull naftabarrel = 158988 liitrit

Suure hulga erisuguste uumlhikute puhul on probleemiks nendest uumlhikutest arusaamine Kui igal inimesel oleksid omad uumlhikud millega ta motildeotildeteobjekte votilderdleb siis oleks teistel inimestel vaumlga raske neid motildeotildetetulemusi kasutada Sellepaumlrast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped uumlhikuteks valitavate suuruste osas Taumlnapaumleva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema uumllemaailmsed st tuleks valida sellised uumlhikud mis kehtiksid kotildeikides maades Taumlnapaumleval enim levinud motildeotildetuumlhikute suumlsteem on SI (prantsuse keeles Systegraveme International drsquoUniteacutes totildelkes ldquorahvusvaheline uumlhikute suumlsteemrdquo) See votildeeti kasutusele 1960 aastal XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Motildeotildetude Peakonverentsil

Demo Vanade ja vaumlhemlevinud motildeotildetuumlhikute loend - Vikipeedia vaba entsuumlklopeedia

14

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI

SI suumlsteemi potildehiuumlhikuteks on

L Pikkusuumlhik m M massiuumlhik kg T ajauumlhik s I voolutugevuse uumlhik A Θ temperatuuri uumlhik K N ainehulga uumlhik mol J valgustugevuse uumlhik cd

Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud on defineeritud tabelis 1

Tabel 1 Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud

Dimensiooni taumlhis

SI uumlhik Definitsioon

L m Pikkusuumlhik meeter on teepikkus mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 s jooksul

M kg Massiuumlhik kilogramm votilderdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga

T s Ajauumlhik sekund on tseesium-133 aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele uumlleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus

I A Voolutugevuse uumlhik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lotildepmata pikas paralleelses ja taumlhtsusetult vaumlikse uumlmara ristlotildeikega sirgjuhtmes tekitab nende juhtmete vahel jotildeu 2middot10-7 N juhtme jooksva meetri kohta

Θ K Temperatuuri uumlhik kelvin on 127316 osa vee kolmikpunkti termoduumlnaamilisest temperatuurist

N mol Mool on suumlsteemi ainehulk mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0012 kilogrammis suumlsiniku isotoobis 12C Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tuumluumlp olema taumlpsustatud Need votildeivad olla aatomid molekulid ioonid elektronid mingid teised osakesed votildei kindla koosseisuga grupid neist osakestest

J cd Kandela on valgustugevus mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540middot1012

Hz kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1683 Wsr

Enne SI suumlsteemi loomist oli fuumluumlsikute hulgas enamlevinuks CGS suumlsteem mille potildehiuumlhikuteks on

bull L pikkusuumlhik cm bull M massiuumlhik g bull T ajauumlhik s

15

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri Θ uumlhik K (kelvin) ainehulga N uumlhik mol (mool) ja valgusvoo Φ uumlhik lm (luumen)

Lisaks potildehiuumlhikutele kasutatakse veel tuletatud uumlhikuid Fuumluumlsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ndash fuumluumlsika valemeid Need seosed ja seaduspaumlrasused on aluseks ka potildehindash ja tuletatud uumlhikute vaheliste seoste maumlaumlramisel

Naumlide 15 Juhti laumlbinud laeng Q on arvutatav juhti laumlbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t SI suumlsteemis motildeotildedetakse voolu amprites ja aega sekundites Laengu uumlhikuks saame nuumluumld [Q]SI = A s = C

Taumlispikkade tuletatud uumlhikute kasutamine igapaumlevaelus on suhteliselt kohmakas seetotildettu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud uumlhikutele antud oma erinimetus ja -taumlhis Eelmises naumlites toodud SI suumlsteemi laengu uumlhikut kutsutakse kuloniks Erinimetusega tuletatud uumlhikute taumlhised on toodud tabelis 2

Tabel 2 Motildened erinimetusega tuletatud motildeotildetuumlhikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Taumlhis Motildeotildetuumlhik Uumlhiku nimetus SI dimensioonvalem

sagedus f Hz herts dim f = T-1

jotildeud kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rotildehk meh pinge p Pa paskal dim p = L-1M T-2

toumlouml soojus energia A J džaul dim A = L2M T-2

votildeimsus P W vatt dim P = L2M T-3

valgusvoog Φ lm luumen dim Φ = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx lux dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk φ rad radiaan dim φ = 1

ruuminurk Ω sr steradiaan dim Ω = 1

elektriline takistus R Ω oom dim R = 1 L2MT-3I-2

Naumlide 16 Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub jaumlrgmiselt

dimU = L2 M T-3 I-1

SI suumlsteemi potildehiuumlhikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge uumlhikuks SI suumlsteemis

[U]SI = m2 kg s-3 A-1

16

Seda uumlhikut nimetatakse voldiks

Naumlide 17 Eespool naumlgime et laeng Q avaldub valemiga Q = I t SI suumlsteemi uumlhikuks saime [Q]SI = A s = C Dimensioonvalemiks votildeime seega kirjutada dimQ = T I

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik

Motildeotildedetavate suuruste vaumlaumlrtus votildeib olla kord suur ja kord vaumlike Seetotildettu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega uumlhikuid sama liiki fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmiseks

Naumlide 18 Pikkuse motildeotildetmiseks kasutatakse tollrsquoi jalgrsquoa jardrsquoi miilirsquoi mere miilrsquoi

bull toll 1rsquorsquo = 00254 m bull 1 jalg = 03048 m = 12rsquorsquo bull 1 jard = 09144 m = 3 jalga = 36rsquorsquo bull miil = 1 609344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360rsquorsquo bull meremiil 1 nam = 1 850 m = 2 025 jardi = 6 080 jalga = 72 900rsquorsquo

Oleks hea kui uumlhtedelt uumlhikutelt teistele uumlleminek oleks votildeimalikult lihtne Niisugusteks motildeotildetuumlhikuteks said meetermotildeotildedustiku uumlhikud mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791 aasta kevadel ldquokotildeikideks aegadeks kotildeigile inimestele kotildeigi riikide jaoksrdquo Meetermotildeotildedustiku ehk kuumlmnendsuumlsteemi oluliseks omaduseks on see et uumlhe ja sama suuruse erinevad motildeotildetuumlhikud suhtuvad uumlksteisesse nagu kuumlmne taumlisarvulised astmed Kasutatavate kuumlmnendliidete selgitus on toodud tabelis 4 Hoolimata meetermotildeotildedustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades taumlnaseni kohalikku suumlsteemi (Inglismaa USA)

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost

meeter ndash pr k megravetre kr k metron ndash motildeotildet

Prantsusmaal on meetermotildeotildedustik kohustuslik aastast 1840 Aastal 1875 kirjutasid 17 riiki alla meetrikonventsioonile Selle alusel otsustati valmistada meetri ja kilogrammi etalonid ja kutsuda iga kuue aasta jaumlrel kokku kaalude ja motildeotildetude peakonverents otsuste vastuvotildetmiseks ning edaspidise toumlouml arendamiseks metroloogia alal Esimene konverents toimus aastal 1889

Briti impeeriumis ja USA-s seadustati meetermotildeotildedustik 1897 NSVL-s 1925 Eestis 1929

Meetermotildeotildedustiku potildehiuumlhikute ajaloost Prantsusmaa rahvuskogu dekreet kuulutas 1791 seaduslikuks pikkusuumlhikuks uumlhe kuumlmnemiljondiku Pariisi veerandmeridiaani pikkusest Prantsuse TA erikomisjon korraldas 1792ndash1799 meridiaanikaare pikkuse motildeotildetmise Dunkerquersquoist Barcelonani 1799 valmistati plaatinast lihtne latikujuline esimene meetri etalon nn arhiivimeeter seda saumlilitatakse Prantsuse Riigiarhiivis Hiljem selgus et puhtast plaatinast valmistatud etalon on vaumlhestabiilne [vaumlhese jaumlikusega suure soojuspaisumisega] ning et selle pikkus on 009 mm (hilisemate arvutuste jaumlrgi 02 mm) votilderra vaumliksem definitsiooniga maumlaumlratud pikkusest Seepaumlrast korrigeeriti meetrit ja valmistati aastatel 1875ndash1879 plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist 31 uut X-kujulise ristlotildeikega etaloni pikkusega 102 cm Iga etalon paiknes rullikutel ja meeter oli taumlhistatud kahe kriipsuga Uutest etalonidest taumlpseima (selle pikkus uumlhtis kotildeige taumlpsemalt arhiivimeetri pikkusega) kinnitas kaalude ja motildeotildetude I peakonverents 1889 a meetri

17

rahvusvaheliseks prototuumluumlbiks Uumllejaumlaumlnud etalonid jaotati loosiga rahvusvahelise meetrikonventsiooniga uumlhinenud riikide vahel

Samas on selge et motildeotildetetehnika arenedes votildeib metallist (votildei mistahes muust materjalist) etaloni ja selle prototuumluumlpide suhtes selguda uumlha enam puudusi Ei ole ka kindel etaloni fuumluumlsiline saumlilimine

Selgus veel et etaloni looduslik alus Pariisi meridiaan ei ole konstantne Planeet Maa kui geoiidi kuju muutub Kuu ja Paumlikese kuumllgetotildembe motildejul Etalonide taasvalmistamise seisukohast on otstarbekas defineerida pikkusuumlhik mingi sobivama loodusliku konstandi kui Pariisi meridiaan kaudu Praegusel tehnoloogilisel tasemel peetakse sobivaimateks konstantideks valguse lainepikkusi ja valguse leviku kiirust vaakumis

1960 a kinnitas kaalude ja motildeotildetude XI peakonverents meetri uue definitsiooni meeter votilderdub kruumlptooni isotoobi tasemete 2p10 ja 5d5 vahelisel siirdel vaakuumis kiirguva valguse 1 650 76373 lainepikkusega

Definitsiooni uuendas kaalude ja motildeotildetude XVII peakonverents 1983 a meeter votilderdub vahemaaga mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 sekundiga (so valguse kiirusega)

Kaaluuumlhik defineeriti esmalt grammina (massi nimetati tol ajal kaaluks kaalu asemel tarvitati motildeistet raskusjotildeud) Grammi esmaseks etaloniks oli 1 cm3 puhast vett jaumlauml sulamistemperatuuril Mitmel potildehjusel [peamiselt miniatuursusest tingitud suurest suhtelisest ebataumlpsusest] veenduti uumlsna kiiresti grammi ebasobivuses

Jaumlrgnevalt defineeriti kilogramm kaaluuumlhikuna kui 1 liitri puhta vee kaal 4 ordmC juures Esimene kilogrammi etalon (arhiivikilogramm) valmistati 1799 a plaatinast seda saumlilitatakse (koos arhiivimeetriga) Prantsuse Riigiarhiivis

Seoses meetri korrigeerimisega oleks olnud vaja korrigeerida ka liitrit esialgu seda ei tehtud mistotildettu liiter ning dm3 ei langenud motildeni aeg kokku Kilogramm defineeriti jaumltkuvalt liitri kaudu Seejaumlrel korrigeeriti ka liitrit mistotildettu praegu langevad liiter ja dm3 jaumllle kokku

Aastal 1899 valmistati plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist silindrikujulised (laumlbimotildeotildet ja kotildergus ca 39 mm) arhiivikilogrammi koopiad millest taumlpseimat saumlilitatakse rahvusvahelise etalonina (prototuumluumlbina) Pariisi laumlhedal Sevresrsquos Rahvusvahelises Kaalude ja Motildeotildetude Buumlroos

Hilisematel motildeotildetmistel selgus et 1 dm3 puhta vee kaal temperatuuril 4 ordmC on 0999972 kg Seega kerkis kuumlsimus kas muuta kilogrammi definitsiooni ja valmistada uus etalon votildei lugeda kilogrammiks juba valminud etaloni massi Uus definitsioon taumlhendanuks paljude kasutuses olevate konstantide korrigeerimist ja sellega seonduvaid segadusi Lihtsam oli jaumlaumlda olemasoleva kilogrammi juurde Uut looduslikku konstanti analoogselt pikkusuumlhikuga pole massi jaoks leitud Praegusel hetkel on massi 1 kg etaloniks rahvusvahelise kilogrammi etaloni mass (ilma loodusliku vasteta)

Ajauumlhiku sekund defineerimisel laumlhtuti juba Babuumlloonias vaumlljakujunenud oumloumlpaumlevasest kellakasutusest mille jaumlrgi oumloumlpaumlev jaguneb tundideks minutiteks ja sekunditeks

Aastani 1956 defineeriti sekund kui 186400 osa keskmisest paumlikeseoumloumlpaumlevast (86400 = 246060)

NB Peale paumlikeseoumloumlpaumleva on veel taumlheoumloumlpaumlev mis on pisut luumlhem kuna taumlhtedelt vaadatuna teeb Maa aastas uumlhe poumloumlrde rohkem

sekund ndash lad k secundus ndash teine

18

Astronoomiatehnika arenedes selgus et troopiline aasta luumlheneb sajandis ca 05 s [totildeusu-motildeotildena totildettu ookean ldquoloksubrdquo mis analoogselt hotildeotilderdumisega aeglustab Maa liikumist kiiruse vaumlhenemise totildettu vaumlheneb tsentrifugaaljotildeud ja vaumlheneb PaumlikendashMaa kaugus vaumliksem orbiit laumlbitakse kiiremini] Kuna aasta osutus olevat aja t funktsiooniks siis leiti lahendus aasta defineerimises uumlhel konkreetsel ajahetkel Selleks hetkeks valiti 31 detsembri 1899 keskpaumlev Sekund defineeriti kui 131 556 9259747 osa troopilisest aastast 31121899 kell 1200 See definitsioon kehtis 1956ndash1967 (Troopiliseks aastaks nimetatakse ajavahemikku Paumlikese keskpunkti kahe jaumlrjestikuse kevadpunktist laumlbimineku vahel)

Aatomifuumluumlsika areng votildeimaldas veelgi paremat looduslikule konstandile tuginevat sekundi definitsiooni

sekund on votilderdne aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele siirdele vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodiga

Tabel 3 Kuumlmnendliited kordsete motildeotildetuumlhikute moodustamiseks

Aste Nimetus Taumlhis Aste Nimetus Taumlhis 1024 jotta Y 10-24 jokto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 eksa E 10-18 atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 piko p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 mikro micro 103 kilo k 10-3 milli m 102 hekto h 10-2 senti c 101 deka da 10-1 detsi d

Uumllesanne 11 Mitu mikronit vastab uumlhele kilomeetrile

1 microm = 10-6 m = 10-6 middot (10-3 km) = 10-9 km seega 1 km = 109 microm

Uumllesanne 12 Mitu kilomeetrit on uumlks sentimeeter

1 km = 1000 m = 1000 middot (100 cm) = 100000 cm

Uumllesanne 13 Uumlks akadeemiline tund (45 minutit) on ligikaudu votilderdne uumlhe mikrosajandiga Kui suur on nende erinevus protsentides Uumlhes (troopilises) aastas on 365244 oumloumlpaumleva

Avaldame motildelemad suurused potildehiuumlhiku sekund kaudu

45 min = 45 middot (60 s) = 2700 s

1 microsaj = 10-6 saj = 10-6 middot (102 a) = 10-4 a = 10-4 middot (365244 middot 24 middot 60 middot 60 s) asymp 3156 s

Nende suuruste erinevus on 41414403156

27003156==

minus

19

Uumllesanne 14 Astronoomilist aega motildeotildedetakse Maa poumloumlrlemise jaumlrgi aatomiaega aga sellest sotildeltumatult Kuna Maa poumloumlrleb aeglustuvalt (potildehjuseks on Kuu kuumllgetotildembejotildeust tingitud totildeusu-motildeotildenalainete sumbumine) kasvab uumlhe oumloumlpaumleva pikkus aatomiajas motildeotildedetuna aastas uumlhe mikrosekundi votilderra Leidke kui suur on erinevus aatomikella ja bdquoastronoomilise kellaldquo naumlitude vahel paumlrast 20 sajandi moumloumldumist

20 saj = 20 middot (100 a) = 2000 a

1 + 2 + 3 + 1998 + 1999 + 2000 = 1000 middot (2000 + 1) = 2001000 = 2001 middot 106

2001 middot 106 micros =2001 middot 106 middot (10-6 s) asymp 2 s

Uumllesanne 15 Kuld on uumlks suurima tihedusega metalle uumlhe kuupsentimeetri kulla mass on 1932 grammi Sotildermuse mass on 4 grammi Kui suure kuldlehe saaks sellest valtsida kui lehe paksus on uumlks mikromeeter

V = mρ = 4g1932gcm3 asymp 0207 cm3 S = Vh = 0207 cm31 microm = 0207 cm3(10-6 m) = 0207 cm3(10-6 (102 cm) = = 2070 cm2 = 207 dm2

Uumllesanne 16 Mitu suumllda on uumlks yard (1 kilomeeter (km) = 1000 meetrit = 468 710 suumllda 1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit)

1 yard = 9144 mm = 09144 m = 09144 middot 10-3 km = 09144 middot 10-3 (4687 suumllda) asymp asymp 0429 suumllda

Uumllesanne 17 Auto mille algkiirus oli 30 penikoormat tunnis sotildeidab maumlest alla kiirendusega 05 suumllda ruutsekundis Maumle pikkus on 900 yardi Leidke auto kiirus maumle all uumlhikutes kilomeetrit tunnis

1 penikoorem = 880 fathomit = 1760 yardi = 754 suumllda 2 jalga = 1 km 609 m

1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit

v0 = 30 penikoormath = 30 middot (1609 m) (3600 s) = 134 ms

754 suumllda 2 jalga = 754 suumllda + 23 middot 09144 m = 1609 m

754 suumllda = 1609 m ndash 06 m = 16084 m

1 suumlld = 16084 m 754 = 213 m

a = 05 suumlldas2 = 05 middot 213 ms2 = 106 ms2

s = 900 yardi = 900 middot 09144 m = 823 m

s = v0t + at22 at2 + 2v0t ndash 2s = 0

20

s728122

787826

0612

823061841344132

2

842 2200

=plusmnminus

=

=sdot

sdotsdot+sdotplusmnsdotminus=

+plusmnminus=

t

a

asvvt

v = v0 + at

v = 134 ms + 106 ms2middot287 s = 438 ms = h

km7157

h

3600

1000

km843 =sdot

21

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide

Igasugune motildeotildetmine suhteskaalat kasutades taumlhendab tundmatu suuruse votilderdlemist sama liiki maumlaumlratletud suurusega mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse vaumlaumlrtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana votildei kordsena Fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmisel on maumlaumlratletud suuruseks loomulikult selle suuruse uumlhik Uumlhikutena tuleks eelistada SI uumlhikuid sest need on kogu maailmas laialt kasutusel ning Motildeotildeteseadusega on nad Eestis kuulutatud kohustuslikeks motildeotildetuumlhikuteks Seega votildeib fuumluumlsikalise suuruse korral iseloomustada votilderdlemise protseduuri (motildeotildetmist) ja selle tulemusena saadavat mingi motildeotildetesuuruse Xi arvvaumlaumlrtust Xi suhtega Xi[Xi] kus i on indeks mille abil eraldame samas motildeotildeteprotsessis esinevaid motildeotildetesuurusi

Naumlide 21 Vedeliku mass motildeotildedetakse kaalumise meetodil koos mahutiga siis votilderdlemise protseduuri ning saadavat arvvaumlaumlrtust saab iseloomustada suhtega (X1 + X3)[X1] kus X1 taumlhistab materjali ja X3 mahuti massi

Naumlide 22 Kui eriti vaumlikeste objektide joonmotildeotildetmete motildeotildetmisel suurendatakse objekti kujutist mikroskoobi abil siis tulemust votildeib kirjeldada suhtega X4bullX2[X2] kus X2 taumlhistab joonmotildeotildedet ja X4 vastavat suurendustegurit Toodud suhtes peaksid olema uumlhikuteks tegelikult[X1 + X3] ja [X4bullX2] kuid kuna liita saab ainult sama liiki suurusi ning suurendustegur on suurus mille dimensioon on uumlks siis oleme uumlhikuteks valinud vastavalt [X1] ja [X2]

Jaumltkame naumlidet 21 Kui laumlhtuda oletusest et motildeotildetesuurusele X1 + X3 saame anda kindla arvvaumlaumlrtuse (X1 + X3)[X1] ning piirduda ainult aditiivsete motildejuritega mille koosmotildeju arvestab juhuslik liidetav X5 siis on motildeotildetmise votilderrand jaumlrgmine

[ ] [ ]1

5

1

31X

X

X

XXX +

+= (21)

See votilderrand iseloomustab votilderdlemise protseduuri ja arvvaumlaumlrtuse saamist ideaalsetes tingimustes Tegelikkuses ei ole votildeimalik votilderrandi (21) liikmeid eristada

Ideaalolukorras omab votilderrandi (21) esimene liige kindlat arvvaumlaumlrtust teine liige on aga juhuslik Saadavat summaarset arvvaumlaumlrtust X ei saa antud juhul kuidagi iseloomustada ainult uumlhe arvuga Seda votildeib iseloomustada matemaatilise mudeli (maatriks) abil ning esitada dokumentaalselt eksperimentaalsete andmete kogumina kas tabeli graafiku sotildeltuvuse jne kujul mis on uumlhtlasi ka arvvaumlaumlrtuse X hinnanguks

Naumlide 23 Motildeotildetesuuruse X1 + X3 n-kordsel (antud juhul 100-kordsel) sotildeltumatul motildeotildetmisel numbernaumlidikuga massimotildeotildetevahendi abil fikseeriti naumliduseadisel jaumlrgmised diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi mis on toodud tabelis 21

22

Tabel 21 Motildeotildetmisel saadud diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi nende esinemiste arv mi totildeenaumlosus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi)

x i m i P(x i) F(x i) 1 2 3 4 3580 1 001 001 3581 2 002 003 3582 4 004 007 3583 10 01 017 3584 21 021 038 3585 23 023 061 3586 19 019 08 3587 12 012 092 3588 5 005 097 3589 2 002 099 3590 1 001 1

Iga i-ndas arvvaumlaumlrtus esines motildeotildetmistel mi korda Tekib kuumlsimus bdquoMissugune nendest arvvaumlaumlrtustest tuleks antud n-kordsel motildeotildetmisel votildetta motildeotildetetulemuse aluseksldquo

Antud juhul mitte uumlkski arvvaumlaumlrtus tabeli esimeses tulbas uumlksikuna votildettes ei iseloomusta motildeotildetevahendi abil saadud motildeotildetetulemust tervikuna Seda iseloomustab antud juhul kogu saadud arvvaumlaumlrtuste kogum koos uumlksikute arvvaumlaumlrtuste esinemise sagedusega Votildettes iga i-nda arvvaumlaumlrtuse suhtelise esinemise sageduse min selle lugemi esinemise totildeenaumlosuseks P(xi) saame taumlita tabeli kolmanda veeru Votilderreldes tabeli esimese veeruga annab kolmas veerg meile antud motildeotildetevahendi abil saadud ja tabeli kujul esitatud diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotuse Selle totildeenaumlosusjaotuse votildeime avaldada ka graafiliselt jaotusspektrina joonis 21

0

005

01

015

02

025

3580 3581 3582 3583 3584 3585 3586 3587 3588 3589 3590

x i

P(x

i)

Joonis 21 Diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotus

Liidame kotildeik need kolmandas veerus olevad arvvaumlaumlrtuste esinemise totildeenaumlosused mille korral arvvaumlaumlrtused xi on vaumliksemad vaadeldavast arvvaumlaumlrtusest xk Tabeli esimese veeru arvvaumlaumlrtustega votilderreldes annavad neljanda veeru arvvaumlaumlrtused meile motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumlrtuste esinemise jaotusfunktsiooni tabeli kujul Graafiliselt on see toodud joonisel 22

23

0

02

04

06

08

1

12

3579 3581 3583 3585 3587 3589 3591

x i

F(x

i)

Joonis 22 Diskreetsete arvvaumlaumltuste jaotusfunktsioon

Jooniselt 22 on naumlha et motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumltuste esinemise jaotusfunktsioon on katkev taumlpsemini treppfunktsioon Katkevuspunktides on motildeotildetevahendi lugemite votildeimalikud vaumlaumlrtused ning nendes punktides jaotusfunktsioon kasvab huumlppeliselt kusjuures huumlppe motildeotildetmeks on totildeenaumlosus et esineb katkevuspunktist vaumliksemaid arvvaumlaumlrtusi

Seega numbernaumliduseadisega motildeotildetevahendite korral kirjeldavad totildeenaumlosusjaotus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi) taumlielikult saadavat diskreetset arvvaumlaumlrtust xi

Jaumltkame nuumluumld motildeotildetmise votilderrandi 21 analuumluumlsi Oletame et me teame mahuti massi X3 eelnevatest motildeotildetmistest votildei saadakse see taumliendavate uuringute potildehjal Vastavalt meie laumlhenemisviisile oleme andnud suurusele X3 kindla vaumlaumlrtuse ja juhuslikud komponendid uumlle kandnud suurusesse X5 Seega on suurusel X5 juhuslik iseloom mis taumlhendab et tema vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik kindlaks teha Siit jaumlreldame et motildeotildetesuuruse X1 vaumlaumlrtust on votildeimatu taumlpselt kindlaks teha votilderrandi (21) potildehjal tuletatud valemi

[ ] 3511 XXXXX minusminussdot= (22)

abil Seda isegi siis kui laumlhtume ideaalolukorral kehtivast oletusest et suurusel X3 on kindel vaumlaumlrtus Toonitame veelkord et votilderrand (22) ei peegelda tegelikku motildeotildeteprotsessi st et me praktikas ei saa eristada juhuslikku suurust X5 vaadeldavast motildeotildetesuurusest X1

Kokkuvotildetteks ndash motildeotildetmise kordamisel tuleb suuruse arvvaumlaumlrtus X tingituna motildeotildetesuuruse iseloomust igal motildeotildetmisel erinev Seega praktilise motildeotildetmise kogemuse potildehjal votildeime vaumlita et mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning seega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes et saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti juhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kirjeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muutuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mis kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

24

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreetseteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettemaumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 muumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused grammides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildepmatu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumliteks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tulemust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on avaldatav valemiga

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk = (23)

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

(24)

Esimene omadus taumlhendab et esinemistotildeenaumlosus ei saa olla negatiivne ega ka mitte suurem kui uumlks Teine omadus taumlhendab et kotildeigi elementaarsuumlndmuste esinemistotildeenaumlosuste summa on uumlks st on 100 kindel et toimub mingi realisatsioon kotildeigi elementaarsuumlndmuste hulgast ja kotildeik teised votildeimalused on votildeimatud

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16 visatakse 4 silma p = 16 visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmus visatakse 1 votildei 4 silma p = 26 visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46 visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus on toodud joonisel 23 Totildeenaumlosus erineb nullist ainult maumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole maumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

25

Joonis 23 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatiivne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

sumle

=ki

ipkF )( (25)

st jaotusfunktsioon naumlitab kui suur on totildeenaumlosus et juhuslik suurus xi on vaumliksem kui xk Naumliteks taumlringuviske puhul taumlhendab jaotusfunktsioon kohal 4 totildeenaumlosust visata taumlringuga silmade arv 1 2 3 votildei 4 st tema vaumlaumlrtuseks on 16 + 16 + 16 + 16 = 46

Joonisel 24 on toodud temperatuuri motildeotildetmise totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon (joon)

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

Joonis 24 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotuse omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla negatiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa samuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

26

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vaumlaumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlndmuse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele (26)

Pideva suuruse korral votildeib vaumlaumlrtused x1 ja x2 votildetta votildeimalikult teineteise laumlhedusest Siit tuleneb et

kui votildetta x1 rarr x2 siis [ ] 0)()(lim 1221

=minusrarr

xFxFxx

Seega saame vaumlita et pideva suuruse korral

on mingi konkreetse vaumlaumlrtuse totildeenaumlosus votilderdne nulliga Naumliteks totildeenaumlosus et uumlhe motildeotildetesilindri maht on taumlpselt 1 liiter on null Seega on motildeistlik vaadata pidevate suuruste korral hoopis totildeenaumlosust et suumlndmus satuks vahemikku [x1 x2]

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

dx

xdFxf

)()( = (27)

Teistpidi on jaotusfunktsioon maumlaumlratud integraal jaotustihedusest

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF (28)

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfunktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli lihtsustab valemite 27 ja 28 kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vaumlga keeruliste uumllesannete lahendamist

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist on toodud joonisel 25

1

Joonis 25 Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

Valemist 27 saame et

dxxfxdFdp sdot== )()( (29)

seega suurus dp on ristkuumlliku pindala motildeotildetmetega dx ja f(x) Funktsiooni f(x) pindala vahemikus (a b) on seega maumlaumlratud integraal

27

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

(210)

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabel Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6 b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9 c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

a Vastavalt esinemiste totildeenaumlosusele on kahe taumlringuviske summaks votildeimalik saada 536 asymp 13 juhtudest

b Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vaumliksem kui 9 on 3036 asymp 83

c Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vahemikus [38] on

2636 ndash 136 = 2536 asymp 69

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine pooldumist kirjeldav tihedusfunktsioon Palju kulub aega et esialgsest Cs ainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

28

( )

19843614614

614)010ln(010)exp(990)exp(1

)exp(1)exp(

)exp(1

)exp(1

)()(

)exp(1

)(

01

010101

010

0

0

00000

00

00

1

1

1

1

=sdot=sdot=

minus==minusrArr=minusrArr=minusminus

minusminus=minus=

=minussdotminus=minus==

minus=

int int

tt

tttttt

tttt

tttt

dtttt

dttftF

ttt

tf

t

tt

t

Seega oleks esialgsest ainehulgast 198 aasta paumlrast alles 1

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri tsuumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

ning tema jaotusfunktsioon on 10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

Totildeestame kotildeigepealt jaotustihedusele vastava jaotusfunktsiooni Vaatame ainult piirkonda 0 lt x lt 1 sest kuna arkussiinusjaotus on nullist erinev ainult piirkonnas (0 1) on tema jaotusfunktsioon F(x) = 0 piirkonnas x le 0 ja F(x) = 1 piirkonnas x ge 1

( )[ ] int

intint

intint

int

=minus

sdot==

=rArr=minus

=minus

=

sdot=rArr=rArr==sdotminus

=minus

=

===leinfinminus

)arcsin(1

1)arcsin(2)arcsin(

2

)0()0()0(1

12

1

11

2)1(

1

)1(

1

)()()(

20

02

02

2

00

ydyy

xy

xxxdyyx

dx

x

dyydxyxxydxxx

dxxx

dxxfxFxXP

x

xx

xx

x

ππ

ππ

ππ

29

Nuumluumld tuleb teha uumllesande lahendamiseks muutujavahetus et sobituda arkussiinusjaotuse valemiga

Vaatame paare x1 = 0 t1 = 20

x2 = 1 t2 = 24

Vastav uumlleminekuvalem on ilmselt 420minus

=t

x

Teeme tabeli meid huvitavatest temperatuuridest vastavatest x-i vaumlaumlrtustest ning tihedusfunktsiooni vaumlaumlrtustest

t x F(x) 205 18 023 21 frac14 033 23 frac34 067 235 78 077

Seega on vahemikus 21 degC kuni 23 degC ruumi temperatuur 067 ndash 033 = 34 ajast Alla 205 degC votildei uumlle 235 degC on 023 + (1 ndash 077) = 46 On huvitav maumlrkida et tsuumlkliliste temperatuurimuutuste korral puumlsib temperatuur kotildeige kauem vahemiku ekstreempunktide laumlheduses ja kotildeige luumlhemat aega ettenaumlhtud temperatuuril See omadus naumlhtub jaotustiheduse graafikust ja on intuitiivselt motildeistetav vaadeldes siinuskotildevera kulgu

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaatekohalt Jaotusseadus votildeimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga suumlndmuse totildeenaumlosust Jaotusseaduse potildehikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaalne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamasti aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlielikku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadusi Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendamisel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadused

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel suurt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood momendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik funktsioon entroopia jmt

231 Keskvaumlaumlrtus

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakteristik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhistused on

30

m mx m[x] x ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

sum=

=n

kkk pxm

1

(211)

kus )( kk xXPp ==

Kui votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on loenduv siis

suminfin

=

=1k

kk pxm (212)

kusjuures eeldatakse et summa paremal koondub (on lotildeplik) Kui summa ei koondu siis harilikult keskvaumlaumlrtust juhuslikule suurusele ei omistata

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) ja votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on kogu reaaltelg keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

int+infin

infinminus

= dxxxfm )( (213)

eeldusel et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt)

Maumlrkus Valem keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langeb kokku valemiga varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhega Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatiline moment

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (214)

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

31

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

See on lotildeigu [a b] keskpunkt

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r (215)

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut (f integraal x jaumlrgi rajades [ )infin1 olgu votilderdne uumlhega) On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1 Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r vaumlaumlrtuste korral joonisel 26

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

Joonis 26 Astmejaotuse jaotusfunktsioon

Arvutame astmejaotuse keskvaumlaumlrtuse

infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus== intint1

21

1

1

1

2

1)1()( r

r

xr

rdxxrdxrxfxm

Naumleme et keskvaumlaumlrtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse 02gtminusr ehk 2gtr kehtimine ndash vastasel juhul ei koonduks uumlmarsulgudes olev avaldis lotildepmatuses nulliks vaid oleks lotildepmata suur Kui see tingimus on taumlidetud siis saame

32

22

1gt

minusminus

= rr

rm (216)

Seega keskvaumlaumlrtus on alati suurem uumlhest (pole ka midagi imestada kuna kogu jaotuse kandja asub punktist uumlks paremal) ja kasvab piiramatult kui r laumlheneb kahele paremalt (joonis 27)

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

Joonis 27 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Oluline asi millele selle naumlitega taumlhelepanu juhime on asjaolu et lotildepmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslotildepmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskvaumlaumlrtus eksisteerida Selle (keskvaumlaumlrtuse) olemasoluks on vajalik et jaotustihedus laumlheneks nullile piisavalt kiiresti kui

infinplusmnrarrx Lotildepliku kandja puhul sellist probleemi ei teki

Keskvaumlaumlrtuse omadusi

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on see konstant ise

[ ] ccm =

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlmboli ette

[ ] [ ]XcmcXm =

Totildeestatakse see pideval juhul nii

33

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

Analoogiline on totildeestus diskreetse juhusliku suuruse korral

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtuseid kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrtuseid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeetilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

Naumlide 27 Suvel maumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel lahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle raumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva Mitu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

Vastus nihketa hinnang oleks mediaan ehk 156 paumleva Aritmeetilist keskmist saab arvutada ainult suve alguseks Eestisse tagasi jotildeudnud lindude raumlnnet arvesse votildettes see oleks 154 paumleva kuid see ei arvesta votildeimalusega et kadunud 2 lindu siiski kunagi naumliteks suvel siiski jotildeudsid tagasi Ka annaks aritmeetiline keskmine selgelt nihutatud hinnangu juhul kui motildeni lindudest saabuks juba suumlgisel miskipaumlrast Eestisse tagasi

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis seda naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotildergpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vaumlhemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) leitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on eesmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hulgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad keskvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemikku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korrelatsioonikordaja) maumlaumlramisele

Naumlide 28 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast ja 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55000 EEK Keskmine palk selles firmas on

34

1000010

5500050009=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalgaga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firmas on

320005

4000390004=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

Seega sotildeltuvalt palkade jaotusest votildeib olla keskmine palk mediaanpalgast nii suurem kui ka vaumliksem Eesti keskmisena on siiski keskmine palk mediaanpalgast maumlrgatavalt kotildergem seda tingib uumlhelt poolt miinimumpalk millest vaumliksemat palka ei ole votildeimalik maksta samuti totildesiasi et meil on teatud hulk inimesi kes saavad uumllisuuri palkasid Toon siin internetist leitud Eesti keskmise ja mediaanpalga naumlited need on illustratiivsed ja ei pretendeeri kindlale totildeele 2008 aasta III kvartalis oli keskmine kuupalk 12 512 krooni samas kui 2008 aasta II kvartalis oli mediaanpalk 9 897 krooni

232 Dispersioon ja ruuthaumllve

Teades juhusliku suuruse keskvaumlaumlrtust ei saa veel otsustada milliseid vaumlaumlrtusi juhuslik suurus votildeib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskvaumlaumlrtuse uumlmber Kui jaotustihedus on haumlsti kitsas kui juhusliku suuruse hajuvus on vaumlike siis on keskvaumlaumlrtusest kuumlll et iseloomustada juhuslikku suurust Kui aga jaotustihedus on lai ja lame Meil on tarvis suurust mis votildeimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse bdquokitsustldquo votildei bdquohajuvustldquo Selliseks suuruseks on dispersioon

Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse haumllbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse

[ ]Xmxii minus=ε (217)

Pole raske veenduda et haumllbe keskvaumlaumlrtus on votilderdne nulliga Totildeepoolest

01

=sum=

n

iiε

See on seletatav sellega et votildeimalikud haumllbed on erinevate maumlrkidega ja summaarselt kompenseeruvad Jaumlrelikult ei iseloomusta haumllve hajuvust Tsentreerimine taumlhendab geomeetriliselt seda et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]Xm

Dispersioon

Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust

[ ] [ ] [ ]( )[ ]22 XmXmmXDD minus==equiv ε (218)

35

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega on dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse maumlaumlra iseloomustajaks

Teised levinumad taumlhised dispersioonile on veel 2σ (dispersioon on siin taumlhistatud kui standardhaumllbe ruut) Kaumlesolevas kursuses kasutame dispersioonile taumlhist D

ja kui tahame rotildehutada votildei esile tuua millise juhuliku suurusega on tegu siis taumlhist D(X)

Vastavalt definitsioonile (218) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem

( )sum minus=i

ii pmxD 2 (219)

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealisatsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suuruse korral annab (22)

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2 (220)

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus= (221)

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku suuruse ruudust X2 Kotildeige lihtsam on seda valemit totildeestada esitades valemeis (219) javotildei (220) ruutavaldise uumlmarsulgudes kujul

222 2)( mxmxmx +minus=minus

Vaatame detailsemalt (221) totildeestust pideva juhusliku suuruse juhul (220)

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

mis ongi valem (221) Uumlhtlasi oleme ka saanud ilmutatud esituse juhusliku suuruse ruudu keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks

[ ] )(22 dxxfxXm intinfin

infinminus

= (222)

36

Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetemaumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumllvet

D=σ (223)

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve

Lahendamiseks teeme kotildeigepealt tabeli

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse laumlhtudes valemist (211)

532161

1

=sdot== sum=

n

kkk pxm

Laumlhtudes valemist (219) saame

( ) 9225176

12 asympsdot=minus= sumi

ii pmxD

Laumlhtudes Steineri valemist (221) saame

[ ] 9222512171553691 222 =minusasympminus=minus= mXmD

Taumlringuviske standardhaumllve on

711922)()( === xDxσ

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

37

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime juba varem

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi (ehk x2 keskvaumlaumlrtuse)

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+

minus++

=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1)()(

ababxDx

minusasymp

minus==σ

Naumlide 211 Astmejaotuse dispersioon ning standardhaumllve

Olgu jaotustiheduseks astmejaotus (215) Dispersiooni arvutuseks kasutame valemit (221)

Keskvaumlaumlrtus m on teada valemist (216) seega on vaja leida [ ]2Xm kasutades selleks seost (222) ja jaotustihedust (215)

[ ] 1

3

1)1(

1

13

1

2

1

22infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus=minus

= intint rr

r xr

rdxxrdx

x

rxXm

Siin uumlmarsulg annab lotildepliku tulemuse vaid siis kui on taumlidetud tingimus 3gtr Sel juhul annab uumlmarsulg uumllemise raja juures nulli ning saame lotildeplikult

[ ]312

minusminus

=r

rXm

Seega saame astmejaotuse dispersiooni jaoks

38

2

2

)2)(3(

1

2

1

3

1)(

minusminusminus

=

minusminus

minusminusminus

=equivrr

r

r

r

r

rrDD

Ning astmejaotuse standardhaumllbe jaoks

2)2)(3(

1)(

minusminusminus

==rr

rrDσ

Selle dispersiooni graafik parameetri r funktsioonina on toodud joonisel 28

3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

55

0

σ r( )

103 r

Joonis 28 Astmejaotuse standardhaumllve

Naumleme et standardhaumllve laumlheneb kiiresti lotildepmatusele kui parameeter r laumlheneb kolmele Ja vastupidi parameetri kasvades laumlheneb standardhaumllve kiiresti nullile

See naumlide demonstreerib seda totildesiasja et ndash sarnaselt keskvaumlaumlrtusele ndash vajab lotildepmatu maumlaumlramispiirkonnaga juhuslik suurus standardhaumllbe lotildeplikkuseks (st eksisteerimiseks) kuumlllalt kiiret totildeenaumlosustiheduse nullile laumlhenemist protsessis plusmninfinrarrx Jaotustiheduse nullile laumlhenemise kiiruse maumlaumlrab kaumlesolevas naumlites parameeter r ndash mida suurem see on seda kiirem on )(xf nullile laumlhenemine (vt joonis 27) Nagu naumleme on standardhaumllbe eksisteerimiseks tarvilik suurem nullile laumlhenemise kiirus ( 3gtr ) kui oli tarvilik keskvaumlaumlrtuse olemasoluks (seal oli tarvilik 2gtr ) See tulemus on uumlsna uumlldine lotildepmatu kandjaga jaotustiheduse korral on tingimused standardhaumllbe eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskvaumlaumlrtusele

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardhaumllbe omadused

39

Vaatleme dispersiooni potildehiomadusi mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse puhul

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null Konstandi dispersioon on votilderdne nulliga

[ ] 0=cD

Totildeestuseks teisendame

[ ] [ [ ] ] [ ] 00)( 2 ==minus= mcmcmcD

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

Vaatame maumlaumlranguid (219) ja (220) Diskreetsel juhul (219) on summa all ainult positiivsed suurused ja positiivsete suuruste summa on positiivne Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus mil summa koosneb vaid uumlhest liikmest mis on parasjagu null

Analoogiline on totildeestus pideval juhul (220) integraal positiivsest funktsioonist on positiivne Ka siin on piiril erijuhuks uumlhteainsasse punkti cX = lokaliseeritud jaotus mida kirjeldab delta-funktsioon

)()( cxxf minus= δ

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

[ ] [ ]XDccXD 2=

Keskvaumlaumlrtuse omaduste potildehjal

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]XDcXmXcm

XcmcXmcXmcXmcXD222

22

)(

)())((

=minus=

=minus=minus=

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses olevad juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

kus [ ]

[ ] [ ]YDXD

yxmr

)()( εε sdot= on korrelatsioonitegur (sellest taumlpsemalt edaspidi)

Totildeestuseks teisendame kasutades keskvaumlaumlrtuse aditiivsuse omadust

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ])()()(2)(

))()(()(22

22

YDXDxyxxm

yxmYXmYXmYXD

+=+plusmn

=plusmn=plusmnminusplusmn=plusmn

εεεε

εε

sest [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]YDXDrYmYXmXmyxm sdot=minusminus= ))(()()( εε

40

Sotildeltumatute tundmatute erijuhul (r asymp 0) on [ ] 0)()( =yxm εε

Erijuhul kus uumlks liidetav on konstant on

[ ] [ ]XDcXD =+

Standardhaumllve (ruutkeskmine haumllve)

Dispersiooni ruutjuurt

D=σ (223)

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

41

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus m b standardhaumllve σ c totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σ d totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui keskvaumlaumlrtus e mediaan

0 05 1 15 20

05

1

15

2

y x( )

y1

y1

x 16 168

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

6158

542

541

4)()(

520

52

0

4

==sdot

=sdot==== intintinfin

infinminus

xdx

xdxxxfxm

667238

616

642

641

4)()(

620

62

0

522 asymp==

sdot=sdot==== intint

infin

infinminus

xdx

xdxxfxxm

1070616672))(()( 222 =minus=minus= xmxmD

3301070 asymp== Dσ

27133061 =minus=minusσm

93133061 =+=+σm

16016

6216271

)(4

===minusσmF

42

87016

91316931

)(4

===+σmF

71710160870)( ==minus=plusmnσmp

4141016

661661

)(4

====mF

Arvutame mediaani

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

43

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus= kus

parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvaumlaumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Kasutame arvutuses poolestusaja poumloumlrdvaumlaumlrtust 01 t=λ

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

Siin on otstarbekas arvutada algmomendid ning neid kasutada keskvaumlaumlrtuse ja dispersiooni leidmiseks

[ ] dtttdttttm kkk )exp()exp(00

λλλλ minussdotsdot=minussdot= intintinfininfin

Rakendame integraali arvutamisel parameetri jaumlrgi diferentseerimise votildetet

intintinfininfin

minus

minus=minus

000

)exp()exp( dttdt

ddttt

k

k λλ

Kuna viimase integraali vaumlaumlrtus on

λλ

1)exp(

0

=minusintinfin

dtt

siis saame

[ ]λλ

λ1

kk

d

dtm

minussdot=

Votildettes siin k = 0 1 2 saame kerge vaevaga

[ ] 11

00 =

minussdot=λλ

λd

dtm

seega normeering uumlhele on kehtiv nagu peabki

[ ] 0

11 11

td

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

44

[ ] 202

22 2

21t

d

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

Seega on eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja dispersioon vastavalt

[ ] 0ttm = ja

[ ] [ ] 20

20

20

22 2 ttttmtmD =minus=minus=

Standardhaumllve on siit

0tD ==σ

Niisiis on eksponentjaotuse korral keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve arvuliselt votilderdsed

Leiame nuumluumld mediaani

3043690690690

690)50ln(

50)exp(50)exp(1)(

0 asympsdot=sdot==rArrminus==minus

=minusrArr=minusminus=

ttt

tttF

λλ

λλ

Seega on tseesiumi pooldumise keskvaumlaumlrtus 43 aastat aga mediaan 30 aastat

45

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaot usseadused

241 Uumlhtlane jaotus

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel lotildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

Seega on uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (224)

Joonisel 29 on toodud uumlhtlase jaotuse jaotustiheduse graafik

Joonis 29 Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

( )( )2)(2)(22

111 222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega (joonis 29) siis on ka loomulik et keskvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

Suumlmmeetriatelg

46

[ ]

3)(3

))((

)(3

3

111

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxXm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

[ ]12

)(

23

222222 abbababa

mXmDminus

=

+minus

++=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1 ababD

minusasymp

minus==σ

Standardhaumllbe ulatus (so intervalli [ ]σσ +minus mm ulatus) on naumlidatud joonisel 29 kahepoolse noolega Standardhaumllbe vaumlaumlrtusest on ka naumlha et kahekordsele standardhaumllbele vastav intervall [ ]σσ 22 +minus mm sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse muutumispiirkonna [a b] Teiste sotildenadega andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks standardhaumllvet keskvaumlaumlrtusest saavutame et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda totildeenaumlosusega 1 (eeldusel et jaotus ikka on uumlhtlane)

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadmetel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 2265 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mingisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum eeldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

Ka analoogmotildeotildeteseadme resolutsioonist tingitud maumlaumlramatust votildeib kaumlsitleda samamoodi kui digitaalsetel seadmetel Siiski on analoogseadmetel votildeimalik seda maumlaumlramatust vaumlhendada Naumliteks on joonlaua resolutsioon 1 mm kuid terava silmaga motildeotildetja suudab jagada millimeetri veel pooleks Sellisel juhul alluks resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus ikka uumlhtlasele jaotusele kuid oleks motildeotildetetulemuse 2835 mm

Teine uumlhtlase jaotuse naumlide on Brauni osakeste levimine Vedeliku anumasse uumlhte punkti pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma ning on selles anumas pika aja paumlrast (aeg infin) uumlhtlaselt jaotunud Sellel potildehjusel on piimaga kohvi uumlhtlaselt pruun

242 Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmmeetriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf (225)

ning mille jaotustihedus on toodud joonisel 210

47

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

Joonis 210 Kolmnurkjaotuse jaotustihedus

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotus on suumlmmeetriline siis ilmselt tema keskvaumlaumlrtus 12

20)( =

+=xm

ja tema ruudu keskvaumlaumlrtus on

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

ja dispersioon ning standardhaumllve on

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

Hiljem vaatame seda kolmnurkjaotust seoses keskse piirteoreemiga

243 Eksponentjaotus

Eksponentjaotus sai laumlbi arvutatud radioaktiivse aine pooldumist kirjeldavas naumlites

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

48

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

Joonis 211 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja jaotusfunktsioon

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusele Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pikk on keskmise lambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi eluiga on 5000 tundi Teha naumlidisarvutus Mathcadis (lambi_eluigamcd)

49

244 Normaaljaotus

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jaotusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaalteljele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus ( )infininfinminus

Naumlide 210 Gaasi molekuli x-telje suunaline kiirus allub normaaljaotusele kus keskvaumlaumlrtus on a = 0 (makroskoopiliselt puumlsib gaas paigal) ning standardhaumllve on proportsionaalne ruutjuurega temperatuurist

Naumlide 211 Uumlhemotildeotildetmelisse lotildeputu ulatusega vedeliku anumasse (lotildepmatult pikk kapillaartoru) uumlhte punkti x0 ajahetkel t = 0 pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma nende jaotus ajahetkel t gt 0 on kirjeldatav normaaljaotusega parameetritega a = t0 ning σ2 ~ t Seega standardhaumllve ajas jaumlrjest suureneb votilderdeliselt ruutjuurega ajast Seega kui valada lotildepmatult suures tassis kohvile piima ei saa mitte kunagi uumlhtlaselt pruuni segu vaid ainult piimatilk tasapisi segunedes musta kohviga

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotuseks ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf (226)

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja 0gtσ on fikseeritud positiivne reaalarv Antud loengukursuse raames me ei totildeesta vaid ainult konstateerime et parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

Jaotustiheduse maumlaumlramispiirkond on kogu reaaltelg R (st argument x votildeib omandada vaumlaumlrtusi kogu reaalteljel)

Normaaljaotuse tiheduse graafik on parameetrite 2=a 1=σσσσ korral toodud joonisel 212

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

Joonis 212 Normaaljaotuse jaotustihedus

50

Parameetri a muutumisel joone asend muutub x-telje suhtes a kasvades jaotus nihkub paremale (toimub kujundi x-telje sihiline paralleelluumlke) Mida suurem on a seda paremal paikneb kotildever (joonis 213)

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

Joonis 213 Erinevad normaaljaotused σ = 1 korral a = ndash2 (kotildever f3(x)) a = 0 (kotildever f2(x)) ja a = 2 (kotildever f1(x))

Kui parameeter σ kasvab siis kahanevad funktsiooni vaumlaumlrtused ja joon muutub lamedamaks ndash kotildever surutakse kokku y-telje suunas Kui σ kahaneb siis muutub joon teravatipulisemaks ndash kotildever venitatakse vaumllja y-telje suunas (joonis 214)

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

Joonis 214 Normaaljaotus (a = 0) erinevate σ-de korral f1(x ) ndash σ = 1 f2(x) ndash σ = 2 ja f03(x) ndash σ = 03

51

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik muumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljaotuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse (226) integreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2)exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ (227)

Siin erf(x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete lahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm(x a σ) ning jaotusfunktsioon kohal x funktsiooniga pnorm(x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus arvutatav kaumlsuga normdist(x a σ 0) ning jaotusfunktsioon kaumlsuga normdist(x a σ 1)

Naumlide 212 Arvutame vaumllja totildeenaumlosuse et normaaljaotuse puhul satuks suumlndmus intervalli (a plusmn σ) (a plusmn 2σ) (a plusmn 3σ) Kuna need totildeenaumlosused ei sotildeltu jaotuse parameetritest siis valime votildeimalikult lihtsad parameetrid naumliteks a = 0 ja σ = 1 Leiame Excelrsquoi abil meid huvitavad jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused

Normdist(ndash3 0 1 1) = 000135 Normdist(ndash2 0 1 1) = 00228 Normdist(ndash1 0 1 1) = 0159 Normdist(1 0 1 1) = 0841 Normdist(2 0 1 1) = 09772 Normdist(3 0 1 1) = 099865

Tegelikult piisaks ka neist ainult esimese kolme arvutamisest sest normaaljaotus on suumlmmeetriline ning seega on totildeenaumlosus et toimub suumlndmus x lt a ndash z votilderdne totildeenaumlosusega et toimub suumlndmus x gt a + z

P(a plusmn 3σ) = 099865 ndash 000135 = 09973 = 9973

P(a plusmn 3σ) = 1 ndash 2(000135) = 09973 = 9973 P(a plusmn 2σ) = 1 ndash 2(00228) = 09545 = 9545 P(a plusmn 1σ) = 1 ndash 2(0159) = 06827 = 6827

Seega satub vahemikku plusmn 1σ ligikaudu 68 vahemikku plusmn 2σ ligikaudu 95 ja vahemikku plusmn 3σ ligikaudu 997 suumlndmustest

52

245 Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

10

)arcsin(2)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π (228)

Arkussiinusjaotuse jaotusfunktsiooni arvutuskaumlik sai toodud varasemalt ruumi temperatuurikontrolli suumlsteemi naumlites

Arkussiinusjaotuse keskvaumlaumlrtus on m = 05 ning dispersioon on 8

1=σ

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

Joonis 215 Arkussiinusjaotuse jaotustihedus ning jaotusfunktsioon

53

Naumlide 213 Kolmnurkjaotust votildeib defineerida ka jaumlrgnevalt piirkondades x lt 0 ning x gt b on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [0 b] on tema vaumlaumlrtus uumlhtlaselt kasvav (f(x) = cx) Arvuta koefitsient c jaotusfunktsioon keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning standardhaumllve Leia totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (m plusmn σ) (m plusmn 2σ) Joonista graafik ning kanna sellele keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning viiruta piirkond (m plusmn 2σ)

Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

2

2

0

2

0

21

2

)(

2 bc

bc

xcdxcxdxcx b

b

=rArrequivsdot=sdot=sdot=sdot intintinfin

infinminus

Seega on selle kolmnurkjaotuse jaotustihedus

lele=

mujal0

02

)( 2bx

b

xxf

Leiame nuumluumld jaotusfunktsiooni

2

2

02

2

022

22)(

b

x

b

xdx

b

xdx

b

xxF x

xx

==== intintinfinminus

Arvutame nuumluumld keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

bbb

bx

bdxx

bdx

b

xxm

bbb

6703

2

3

2

3

2222

3

0

3

20

22

02

asymp==

=== intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

[ ] 24

222 2

0

4

20

32

02

22 bx

bdxx

bdx

b

xxXm

bbb

=

=== intint

Nuumluumld saame

[ ]1818

89

3

2

2

2222222 bbbbb

mXmD =minus

=

minus=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

bb

D 24018

asymp==σ

Arvutame mediaani kasutades jaotusfunktsiooni

bbxb

xxF 7105050)(

2

2

asympsdot=rArr==

Leiame jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused meid huvitavates punktides

54

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

151)480670(18

2

3

22

910)240670(183

2

430)240670(183

2

190)480670(18

2

3

22

=+asymp+=+

=+asymp+=+

=minusasympminus=minus

=minusasympminus=minus

σ

σ

σ

σ

1)151()2(

8280910)910()(

1850430)430()(

0360190)190()2(

2

2

2

==+

==asymp+

==asympminus

==asympminus

bFmF

bFmF

bFmF

bFmF

σσ

σ

σ

P(m plusmn σ) = 0828 ndash 0185 = 0643 = 643

P(m plusmn 2σ) = 1 ndash 0036 = 0964 = 964

55

25 Juhuslike jaotuste summa

251 Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega mingist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatakse hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetmise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga jagatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on selge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotusest Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alles jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

Vaatame uuesti naumlidet kus me vaatasime kahe taumlringuviske summat (2 loeng) Saime jaumlrgmise jaotustabeli

Tabel 22 Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

Joonis 216 Kahe taumlringuviske keskvaumlaumlrtuse jaotustihedus (punane) taustaks uumlhe taumlringuviske jaotustihedus (sinine)

56

Nii tabelist kui ka jooniselt naumleme et kuigi motildelemad taumlringuvisked olid diskreetsest uumlhtlasest jaotusest on nende summa ja keskvaumlaumlrtuse jaotus kolmnurga kujuline seega erinev summeeritavate jaotusest

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustiheduse leidmiseks konvolutsiooni integraali

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()( (229)

Tutvume selle integraali arvutamisega naumlidete varal liites kokku kaks uumlhesugust jaotust

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peavad tema motildelemad komponendid olema nullist

erinevad Esimene integraal on nullist erinev ainult piirkonnas [ ]10=τ Teine integraal on nullist erinev ainult piirkonnas

[ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingimust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

[ ][ ]

minus=

tt 1

10τ

Kuna τ sotildeltub t vaumlaumlrtusest siis integreerime tuumlkkide kaupa

1 0)(0 =rArrlt tyt

2 tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(10 τττττ

3 21 ltlt t Selles piirkonnas on radasid kotildeige raskem ette kujutada Integreerimise alumise raja maumlaumlrab teine tingimus ehk τ = t ndash 1 uumllemise aga esimene tingimus ehk τ = 1

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(21 1

1

1

1

τττ

57

4 0)(2 =rArrgt tyt

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus on maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

Antud funktsioon on toodud jaumlrgneval graafikul ning on identne eelmises loengus toodud kolmnurkjaotusega

Kahe jaotuse konvolutsiooni saab leida ka graafiliselt Jaumlrgnevatel joonistel on toodud konvolutsiooni graafilise arvutamise naumlide juba arvutatud uumlhtlaste jaotuste liitmisest Osutub et konvolutsiooni integraal kohal t on votilderdne funktsioonide x(τ) ja h(t ndash τ) kattuvuspiirkonna pindalaga

58

Naumlide 215 Leiame konvolutsiooni integraali kahest eksponentjaotusest

gt

==minus

mujal0

0)()(

xexgxf

x

intintinfin

infinminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=minussdot= dyeedyyxgyfxgf yxy )()()())((

Leiame jaumllle tingimused kus konvolutsiooni integraali motildelemad komponendid oleksid nullist

erinevad Esimene tingimus on et [ )0 infin=y Teine tingimus on et

[ [ [ ))0)0 xyyxyx infinminus=rArrinfinminus=+minusrArrinfin=minus

Vaadates neid motildelemaid tingimusi on selge et alumiseks piiriks on 0 ja uumllemiseks on x

[ ]xy 0=

Hakkame nuumluumld konvolutsiooni integraali arvutama

59

intint

intint

minusminusminus

minusminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=sdotsdot=sdot=

=sdot=minussdot=

xxx

x

y

xy

xyxy

exdyedye

ee

dyeedyyxgyfxgf

00

0

)(

1

)()())((

Alloleval joonisel on toodud nii eksponentjaotuse graafik kui ka kahe eksponentjaotuse konvolutsiooni graafik

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

11

0

exp xminus( )

x exp xminus( )sdot

100 x

252 Keskne piirteoreem

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildeltuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste)

summa sum=

=n

iiXX

1 jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on liidetavate arv n seda

vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid suuruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreemi potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildeplik dispersioon)

Matemaatiline keskse piirteoreemi definitsioon

Olgu X1 X2 juhuslikud suurused sum=

=n

iin XS

1 Kui infinlt= )( nXDσ siis

60

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro (230)

kus )( nXm=micro

Selle teoreemi kehtides on selge et ka Sn on ise normaaljaotusega sest konstandi lahutamine ning jagamine konstandiga ei muuda jaotuse kuju vaid ainult parameetreid

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piirteoreemi Selleks tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude generaatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus (0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingimust et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid eelmises loengus lahendatud kolmnurkjaotusele eksponentjaotusele ning parabooljaotusele

1 Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul ltlt

=mujal0

102)(

yyyf Eelmises

loengus saime et sellise jaotuse keskvaumlaumlrtus on 32)( =ym ning standardhaumllve on

181=σ

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on xxdxxF xx

==sdot= int 0

0

1)(

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on 2

02

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

Kuna F(y) = F(x) siis xy =2 jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur

uumlhtlasest jaotusest

)10(Uxy ==

2 Vaatame eksponentjaotust mis on defineeritud kujul gtsdotminussdot

=mujal0

0exp()(

yyyf

λλ

Eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus on λ1)( =ym ning standardhaumllve on λσ 1=

61

Eksponentjaotuse jaotusfunktsioon on )exp(1)( yyF sdotminusminus= λ

Kuna F(y) = F(x) siis

λλ

λλ

))10(1ln()1ln(

)1ln(

)exp(1)(

Uxy

xy

xyyF

minusminus=

minusminus=

minusminus=sdot

=sdotminusminus=

3 Vaatame parabooljaotust mis on defineeritud kujul

ltsdot=

mujal0

12

3)(

2 yyyf

Parabooljaotuse keskvaumlaumlrtus on suumlmmeetria kaalutlustel 0)( =ym arvutame y2 keskvaumlaumlrtuse ning siis standardhaumllbe

5

3

10

3

10

3

52

3

2

3)( 1

1

51

1

42 =+=sdot== minus

minusint

ydyyym

5

3

5

30

5

3)( 2 =rArr=minus= σyD

Parabooljaotuse jaotusfunktsioon on

intinfinminus

minus

+=+===

yy yyy

dyyyF2

1

2

1

222

3)(

33

1

32

Kuna F(y) = F(x) siis

33

3

1)10(212

2

1)(

minussdot=minus=

=+

=

Uxy

xy

yF

Nuumluumld motildetleme teoreetiliselt laumlbi kuidas piirteoreemi (230) uurida Taumlhistame summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n-ga Genereerime n numbrit ning arvutame nende summa ning teoreemis antud suuruse Zn Saadud uumlksikut numbrit vaadates ei saa me aga teha mingisugust jaumlreldust selle kohta

62

millisest jaotusest ta paumlrineb Jaotuse motildeistmiseks tuleb suurust Zn arvutada palju kordi alles seejaumlrel saame leida Zn histogrammi ning votilderrelda seda normaaljaotusega parameetritega N(01)

Demo keskne_piirteoreem_v2mcd

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest jaotustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotildeige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Sellest hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste summat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kinnitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

Naumlide 216 Genereeri arkussiinusjaotus 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ votildettes aluseks uumlhtlase jaotuse U(01)

Lahendus

2

2

)10(sin

2

)10()arcsin(

)10()arcsin(2

)(

sdot=

sdot=

=sdot

=

Uy

Uy

Uy

yF

π

ππ

63

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt (tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eksperimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildeteviga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti Votildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhuslikust komponendist

31 Suumlstemaatilised vead

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi on votildeimalik piisavalt taumlpselt maumlaumlrata

Naumliteks

bull testri 0 votildeib olla paigast aumlra bull keha massi maumlaumlramisel uumllesluumlkkejotildeu arvestamata jaumltmine bull termomeetri skaala votildeib olla nihkes

Votildeimaluse korral tuleb seda liiki vead kindlasti kotildervaldada votildei aumlaumlrmisel juhul arvesse votildetta parandite abil Teadaoleva (aditiivse) suumlstemaatilise vea arvestamisel saame

motildeotildetmistulemuse parandatud vaumlaumlrtuseks qxx +=~ kus q on aditiivsest suumlstemaatilisest

veast tingitud parand Aditiivne viga ei sotildeltu motildeotildetmistulemuse vaumlaumlrtusest

Motildenikord votildeib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga st veaga mis kasvab votilderdeliselt motildeotildetmistulemuse kasvuga Sellisel juhul tuleb parandatud motildeotildetmistulemuse saamiseks

motildeotildetmistulemus parandusteguriga laumlbi korrutada xQx sdot=~ kus Q on multiplikatiivset

suumlstemaatilist haumllvet arvestav parandustegur

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse kalibreerimisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel kust saab leida vajaliku vaumlaumlrtuse parandi (votildei parandusteguri) jaoks

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mitte

Siia alla kaumlivad kotildeik riistavead Need on potildehjustatud ebataumlpsest gradueerimisest Nagu edaspidi naumleme on siin sisuliselt tegu B-tuumluumlpi (motildeiste taumlpsustame edaspidi) motildeotildetemaumlaumlramatusega ja seda viga saab iseloomustada motildeotildetemaumlaumlramatuse abil Potildehimotildetteliselt aga saab sellisest suumlstemaatilisest veast ka vabaneda kui kontrollida motildeotildeteriista motildene teise tunduvalt taumlpsema motildeotildeteriistaga ja koostada vastava parandite tabeli

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata Sellised vead votildeivad esineda juhtudel kui kasutatakse uut motildeotildetmismeetodit votildei kui on tegemist aumlaumlrmiselt keeruliste motildeotildetmistega Kui vea olemaolu on motildeotildetjale teadmata siis selline viga jaumlaumlb motildeotildedetud suuruse vaumlaumlrtusesse paratamatult sisse

Teadmata suumlstemaatiline viga votildeib esineda ka kuumlllalt lihtsatel juhtudel Olgu naumliteks vaja maumlaumlrata mingi materjali elektrijuhtivust Selleks motildeotildedetagu sellest materjalist tehtud traadi takistust Kui traadis on mingi varjatud materjalidefekt (pragu ebahomogeenne koht) siis takistuse vaumlaumlrtus tuleb suumlstemaatiliselt vale

Teadmata suumlstemaatilisest veast saab vabaneda randomiseerimise teel milleks puumluumltakse suumlstemaatiline haumllve muuta osaliselt votildei taumlielikult juhuslikuks Traadi naumlite puhul tuleks

64

motildeotildeta paljude traadituumlkkide takistus ja leida nende keskvaumlaumlrtus Kui aga viga on vaumlga suur siis ei ole randomiseerimist vajagi piisab kui fikseerime vigase traadi (mille takistus osutus naumliteks uumllejaumlaumlnutest erinevaks 10 korda) ja jaumltame selle edasisest motildeotildetmisest kotildervale

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistilin e hinnang

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel alati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest teguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

Uumlkskotildeik kui hoolikalt me ka ei motildeotildedaks uumlht ja sama detaili me saame erinevatel sotildeltumatutel motildeotildetmistel erineva tulemuse See erinevus votildeib olla vaumlga vaumlike kuid ta on potildehimotildetteliselt alati olemas Peamised juhuslikkuse allikad on vaumllised tegurid motildeotildedetava objekti enda muutlikkus ja motildeotildetmisi teostava isiku oskused ja kogemustepagas Seetotildettu on motildeotildedetav suurus juhuslik suurus X ja iga motildeotildetmistulemus (iga uumlksikmotildeotildetmine) on selle juhusliku suuruse realisatsioon x

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt X juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(31)

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildettes (NB idealiseeritud eeldusel et muid veaallikaid ndash suumlstemaatilist viga teadmata viga vms ndash ei esine)

lim tNN xx =infinrarr (32)

Et motildeotildetmisi on alati lotildeplik hulk (N alati lotildeplik) ning reaalsetel motildeotildetmistel idealiseeritud eeldused (ei esine suumlstemaatilist viga teadmata viga jne) ei kehti siis tegelikult me ei saa kunagi teada totildeelist

motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtust ja me peame alati piirduma ligikaudse statistilise hinnanguga Nx See statistiline hinnang votildeetakse motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks

65

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel maumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni (219)

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsemad kui viimased siis pi = 1N seega

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ (33)

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nimetatakse empiiriliseks dispersiooniks

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

(34)

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seoseid

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

kus d on juba eespool selles punktis defineeritud uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildeelist dispersiooni otildeigesti kuna (esmavaatlusel votildeib-olla motildenevotilderra ootamatult) suurus 2

Nσ alahindab

dispersiooni Suurte N-de korral ei ole suurt erinevust millist dispersioonihinnangut kasutada vaumlikeste puhul (N lt 10) aga kuumlll Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispersiooni hindamisel valemit (34) mida nimetame suuruse X empiiriliseks dispersiooniks Kehtib

2 dsN asymp (35)

(Tegemist on muidugi d hinnanguga mis on seda parem mida suurem on N)

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=

sum= (36)

66

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise sum=

=N

kkN X

NX

1

1 arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11 (37)

Seega Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus langeb kokku uumlksiksuuruse keskvaumlaumlrtusega

Dispersioon on aga (ilma totildeestuseta)

[ ]N

dXD N =

ning jaumlreldusena

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ (38)

Seega

Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

See on vaumlga taumlhtis ja fundamentaalne tulemus mida kasutatakse laialdaselt fuumluumlsikalistel motildeotildetmistel Nimelt ndash kotildeigepealt tehakse N motildeotildetmist Seejaumlrel leitakse motildeotildetmistulemuste aritmeetiline keskmine

1

1

mxN

xN

iiN asymp= sum

=

(39)

mis vastavalt valemi (37) tulemustele votildeetaksegi motildeotildedetava suuruse m hinnanguks Eelneva potildehjal on see usaldusvaumlaumlrsem kui uumlksikmotildeotildetmised ja motildeotildetmiste arvu suurenemisel aritmeetiline keskmine erineb uumlha vaumlhem motildeotildedetava suuruse tegelikust keskmisest vaumlaumlrtusest kusjuures see erinevuse suurus on hinnatav valemiga aritmeetilise keskmise standardhaumllbele (38)

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbe arvutamiseks mitte valemit (38) vaid hoopis valemit (36) st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

67

Naumlide 31 Taumlppiskaalude kasutamisel annab iga motildeotildetmine veidi erineva tulemuse seoses erinevate vibratsioonidega Nende vibratsioonide vaumlhendamiseks on motildened laborid ehitatud eriprojekti jaumlrgi votildettes kasutusele mitmeid lahendusi Naumliteks Fuumluumlsika Instituudis on keldris labor mille toumloumllaud on massiivsest mitmetonnisest raudplaadist see asetseb vedrudel mis toetuvad muust majast eraldatud vundamendile

Kuna vibratsioonide sagedus on suur votilderreldes motildeotildetmiste sagedusega siis ei motildeotildetmised omavahel sotildeltuvad ning aritmeetilise keskmise standardhaumllbe leidmiseks votildeib kasutada valemit (38)

Naumlide 32 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik on toodud joonisel (31) On selgesti naumlha et keskmise temperatuuri leidmiseks tehtud motildeotildeteseeria aritmeetiline keskmine ei lange kokku ruumi temperatuuri tegeliku keskmise vaumlaumlrtusega Tulemus ei paraneks kui motildeotildetmisi oleks teostatud sama aja jooksul kuid 100 korda tihedamalt

Aeg

Temperatuur

Joonis 31 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik ning motildeotildeteseeria ruumi keskmise temperatuuri maumlaumlramiseks

Naumlidete 1 ja 2 potildehjal votildeib jaumlreldada et vaumlga oluline on motildeotildetesuuruses esineda votildeiva suumlstemaatilise muutlikkuse sagedus ndash kui see on suurem kui motildeotildetmiste sagedus siis votildeib kasutada valemit (38) aga kui see sagedus on oluliselt vaumliksem kui motildeotildetmiste sagedus siis peab piirduma valemiga (36) Selle demonstreerimiseks votildeib joonistada siinusgraafiku ning kanda sellele kaks motildeotildeteseeriat ndash uumlks mille ulatus on murdosa votildenkeperioodist (nagu joonis 31) ning teine mille ulatus on mitmeid votildenkeperioode

Naumlide 33 Olgu pliiatsitehases pliiatsiautomaadi poolt toodetavate pliiatsite pikkus X Kui taumlpne ka ei oleks masin ka temale on omane eksimine (eksimine on inimlik rArr eksimine on masinlik) ja lotildeppkokkuvotildettes pliiatsite pikkused veidi erinevad uumlksteisest Teiste sotildenadega X on juhuslik suurus Me tahame hinnata

(1) milline on keskmine pliiatsi pikkus mida see masin produtseerib

68

(2) milline on uumlksiku pliiatsi pikkuse standardhaumllve

(3) kui oleme hinnanud pliiatsi keskmise pikkuse siis milline on selle keskmise hinnangu enese standardhaumllve

Votildetame peoga pliiatseid ja saame valimi (juhuslikult) 30 pliiatsist N = 30 Motildeotildedame nad aumlra olgu

motildeotildetmisoperatsioon ise taumlpne ja tulemused olgu ix Nuumluumld

a) arvutame aritmeetilise keskmise Nx valemist (39) See annab meile (hinnangulise)

vastuse kuumlsimusele (1) olgu konkreetselt Nx = 1980 mm

b) arvutame empiirilise standardhaumllbe Ns (36) See annab vastuse kuumlsimusele (2)

Olgu konkreetselt Ns = 1 mm Seejuures eeldusel et pliiatsite pikkuse jaotus on

normaalne asub 67 totildeenaumlosusega uumlksikpliiatsi pikkus vahemikus [ ]NNNN sxsx +minus =

[197199] mm ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus [ ]NNNN sxsx 22 +minus = [196200] mm

c) lotildepuks arvutame keskmise pikkuse enese hajuvuse valemist (38) See annab vastuse

kuumlsimusele (3) Konkreetse numbrilise vaumlaumlrtuse Ns = 1 mm korral saame

[ ] 1804851301 ==== NsXu NN mm

Eeldame et pliiatsite pikkuse jaotus on suumlmmeetriline siis valimi maht 30 lubab meid juba eeldada et aritmeetilise keskvaumlaumlrtuse jaotust votildeib vastavalt kesksele piirteoreemile laumlhendada normaaljaotusega seega asub 67 totildeenaumlosusega pliiatsite keskmine pikkus vahemikus

[ ]2198819730

30

=

+minus NN

NN

sx

sx mm

ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus

[ ]4198619730

2

30

2=

+minus NN

NN

sx

sx mm

69

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus

Niisiis meil pole teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus (kui oleks siis poleks motildeotildetmised tarvilikud) ning seda totildeelist vaumlaumlrtust ei anna ka suure arvu kordusmotildeotildetmiste keskmistamine Maksimum mida saab notildeuda on motildeotildetmistest leitud motildeotildedetava suuruse mingi arvatav parim hinnang ndash naumliteks kordusmotildeotildetmistel on selleks aritmeetiline keskmine ndash ning teatav intervall selle parima hinnangu uumlmber millesse etteantud usaldusnivooga kuulub motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus Seega motildeotildetmistulemuseks ei ole mitte punkt arvsirgel vaid motildeotildetmistulemuseks on lotildeplik lotildeik reaalteljel mis maumlaumlrab motildeotildedetava suuruse votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni Olukorda illustreerib joonis 32

Joonis 32 Suuruse parim hinnang totildeeline vaumlaumlrtus ning motildeotildetemaumlaumlramatus

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja lotildepp-punktiga xmin ja xmax Tavalisem ja levinum

on siiski anda lotildeigu keskpunkt milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang Nx ning lotildeigu poollaius u(x) Seda poollaiust u(x) nimetatakse motildeotildetemaumlaumlramatuseks (motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis u on tulnud ingliskeelsest terminist uncertainty)

Motildeotildetemaumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on lotildeigu poollaius u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetemaumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus usaldusintervalli [ ])()( xuxxux NN +minus satub Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu Nx u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eeskirjad parima hinnangu Nx motildeotildetemaumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus maumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus nenenene viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsioon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetemaumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast teadaolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmistulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda maumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatiliste motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildeib osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votildeimalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemusel olla uumlsna suur maumlaumlramatus

70

Motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetemaumlaumlramatus kannab nime

Liitmaumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi maumlaumlramatus

Kasutatakse veel ka standardmaumlaumlramatuse motildeistet Standardmaumlaumlramatus on standardhaumllbe kujul vaumlljendatud motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus

Maumlaumlramatuse komponentide A ja B gruppi jagamise eesmaumlrgiks on nende hindamise kahe erineva viisi rotildehutamine mitte aga erineval viisil saadud komponentide iseloomu erinevuse naumlitamine Motildelemad hinnangud potildehinevad totildeenaumlosusjaotusel ja motildelemal viisil saadud maumlaumlramatuse komponendid esitatakse dispersioonhinnangu votildei standardmaumlaumlramatuse (standardhaumllbe hinnangu) abil Potildehiline ja oluline erinevus on selles et A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus saadakse vahetult motildeotildetmistulemustest nende statistilise toumloumltluse tulemusel kuna B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse leidmisel kasutatakse kaudsel viisil hangitudteadaolevat totildeenaumlosuslikku informatsiooni (Naumliteks on teada et motildeotildeteriista vea jaotust votildeib kaumlsitleda uumlhtlase seaduse kohaselt)

Jaumlrgnevas vaatleme A- ja B-tuumluumlpi maumlaumlramatusi ning liitmaumlaumlramatust laumlhemalt

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendades kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele poole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllistingimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Naumlide 34 Stomatoloogiakabinetis kaalutakse hambakulda Kabinet paikneb vanas majas kus potilderand pisut kotildeigub kui seda moumloumlda kotildendida Tundlikke kaale on raske tasakaalustada Iga motildeotildetmine annab isesuguse tulemuse

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse statistilisel hindamisel

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Au

Niisiis tehakse N motildeotildetmist ja leitakse aritmeetiline keskmine (mis uumlhtlasi votildeetakse ka motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks kui seda ei ole vaja taumliendavalt korrigeerida teadaoleva suurusega suumlstemaatilise vea totildettu)

121

N

x

N

xxxxx

N

ii

NNt

sum==

+++=asymp

K

71

Seejaumlrel hinnatakse motildeotildedetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllve valemitega (36) omavahel sotildeltuvate motildeotildetesuuruste korral ning valemiga (38) omavahel sotildeltumatute motildeotildetesuuruste korral

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev maumlaumlramatus mis ei

ole statistiliselt vaumlhendatav B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Bu

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildetevahend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt teisele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja samal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduvad motildeotildetmised tema suurust ei kahanda Kaumlesoleva kursuses seomegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse konkreetse riistaveaga

Naumlide 35 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 33) potildehiviga (ehk riistaviga) on mm050=∆o St eeldatakse et motildeotildeteriistast tingitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel ∆x = x ndash xt jaumlaumlb

piiridesse

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

Joonis 33 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motildeotildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale (Toodud joonisel on see 01 mm Praktikumis kasutakse kaks korda taumlpsemat riista potildehiveaga 005 mm)

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik viga ei vaumllju neist piirest

Uumlldiselt eeldatakse et (konkreetse) motildeotildeteriista viga on jaotunud uumlhtlaselt lotildeigul [ ]oo ∆+∆minus so

motildeotildeteriista vea jaotustihedus on uumlhtlane jaotus keskvaumlaumlrtusega nullis (lotildeigu otspunktid on seetotildettu

oa ∆minus= ja ob ∆= ) ning standardhaumllbega

580323

1o

o ∆=∆

=minus

=ab

σ

See standardhaumllve votildeetaksegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

72

5803

oo ∆=

∆=Bu

333 Liitmaumlaumlramatus

Motildeotildetmistulemuse standardmaumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitmaumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis saadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2 (310)

Eeldatakse et A ja B tuumluumlpi maumlaumlramatuse maumlaumlravadpotildehjustavad juhuslikud suurused mis on vastastikku korreleerimatud (sotildeltumatud) ndash ainult sel juhul kehtib dispersioonide liitumise seadus

Keerulisemate motildeotildetmiste korral votildeib meil olla tegu mitme A-tuumluumlpi komponendiga 21 AA uu hellip

ning mitme B-tuumluumlpi komponendiga 21 BB uu hellip Sel juhul

22

21

2A2

2A1C ++++= BB uuuuu

Naumlide 36 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust N = 100 korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks

mm 64876=Nx ja tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == Nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

Jaumlrelikult koond- ehk liitmaumlaumlramatuseks saame mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siin oleme arvesse votildetnud juhusliku haumllbe ja motildeotildeteriista ebataumlpsuse kuid arvesse votildetmata jaumltnud suumlstemaatilise haumllbe

Tulemus esitatakse sageli kujul

mm )0530(64876=x votildei

mm )53(64876=x

votildei

mm 053064876 plusmn=x

Kahjuks pole eelnevatest kirjaviisidest votildeimalik uumlheselt aru saada kas tegemist on maumlaumlramatusega standardmaumlaumlramatuse tasemel laiendmaumlaumlramatusega votildei hoopis motildeotildeteriista veaga Mitmetimotildeistmise vaumlltimiseks esitame antud kursuse raames motildeotildetetulemust kujul

73

( ) mm0530mm 64876 xux == Muidugi votildeib kasutada veelgi taumliuslikumat kirjaviisi tulemuste esitamiseks

mm 64876=x

100=N

68=p

mm 0530C =u

( ) mm 0440A =xu normaaljaotus

mm 0290B =u uumlhtlane jaotus

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatus e arvutamisel

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uumlsna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjutamisel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal (taumlhendnumbrite hulk e taumlhendusega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus) Tulemused esitatakse uumlmardatult Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 ja 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati et arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suumlstemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise reegel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber oleks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagades nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulemuse

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid peale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samuti uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbriteks

Naumlide 37 10 400 5 taumlhendnumbrit

104middot102 3 taumlhendnumbrit

10 40000 7 taumlhendnumbrit

001040 4 taumlhendnumbrit

Motildeotildetemaumlaumlramatus esitatakse kas uumlhe votildei kahe taumlhendnumbriga ISO standardi alusel esitatakse maumlaumlramatus taumlppismotildeotildetmistel kahe taumlhendnumbri taumlpsusega ja tavamotildeotildetmistel uumlhe taumlhendnumbri taumlpsusega Kui arvutustel tuleb motildeotildetemaumlaumlramatus pikem siis uumlmardatakse tulemus vastavalt kas kahe votildei uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks Uumlmardatakse ainult lotildepptulemust vahetulemuste uumlmardamisel votildeiks alles jaumltta vaumlhemalt kolm taumlhendnumbrit sest lahenduse algstaadiumis tehtud uumlmardamise viga votildeib arvutamise kaumligus votildeimenduda

74

Naumlide 38

Arvutatud uc 23751 23751 023751 00023751

uc kahe taumlhendnumbriga 24middot103 24 024 00024

uc uumlhe taumlhendnumbriga 2middot104 2middot101 02 0002 Motildeotildetmistulemus esitatakse alati maumlaumlramatuse viimase koha taumlpsusega

Naumlide 39 Olgu motildeotildedetud suurus x= 733565023 ja arvutatud motildeotildetemaumlaumlramatus uC = 00382765

Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 0038 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 73357 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 73358(38) votildei x = 73358(0038)

Naumlide 310 Olgu motildeotildedetud x = 1003476 ja uC = 05246 Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 05 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 1003 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 1003(5) votildei x = 1003(05)

35 Ekse

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmselgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekkinud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisega kaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellistel juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mil naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumlidu kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemused mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemus erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste protokolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane maumlrge

75

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv

Oletame et me arvutame keskvaumlaumlrtust m(x) valimi suurus on n Kasutame uuesti dispersiooni defineerimisel kasutatud suurust haumllve ehk tsentreeritud juhuslik suurus ehk jaumlaumlkvaumlaumlrtus (217)

)21()( nixmxii =minus=ε (311)

Kehtib seos

01

=sum=

n

iiε (312)

Seda seost on kerge totildeestada kasutades keskvaumlaumlrtuse m(x) definitsiooni

Kuna jaumlaumlkvaumlaumlrtused on omavahel seotud valemi (312) kaudu ei ole nad sotildeltumatud Kui meil on teada n ndash 1 jaumlaumlkvaumlaumlrtust siis n-s jaumlaumlkvaumlaumlrtus on arvutatav seosest (312) Seetotildettu oumleldakse et n jaumlaumlkvaumlaumlrtust omavad vabadusastmete arvu ν

1minus= nυ (313)

Kui aga n sotildeltumatut motildeotildedist on vaumlhimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge totildeusu kui ka algordinaadi maumlaumlramiseks siis on vastavate standardmaumlaumlramatuste vabadusastmete arv 2minus= nυ Analoogselt kui vaumlhimruutude meetodil hinnatakse m parameetrit n andmepunkti alusel siis on iga parameetri vabadusastmete arv mnminus=υ

Kasutades suurust ν saame esitada juhusliku suuruse X empiirilise standardhaumllbe (36) kujul

υ

sum=

minus=

N

i

Ni

N

xxs 1

2)( (314)

See valem on uumlldisem kuna ei sotildeltu sellest mitut parameetrit m valimist suurusega n on leitud

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv

On totildeestatud et maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus on

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu (315)

See ligikaudne votilderdsus laumlheb votilderdsuseks normaaljaotuse erijuhul Samas polegi meil enamasti vaja mitte taumlpset vaumlaumlrtust vaid piisab ka maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatuse suurusjaumlrgulisest hinnangust milleks on valem (315) igati sobiv

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 10

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

76

2

2

2 )(21

)(2

minus

=asymp

s

su

su

sν (316)

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi maumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on maumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Valemist (316) saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt esitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase

jaotuse standardmaumlaumlramatus on 0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu degC Siit saame et

144020

02890

)(

))((==

tu

tuu ning vabadusastmete arv on ( ) 241440

2

1 2 == minusν

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete ar v

Liitmaumlaumlramatuse (310) vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutada kuumlll aga votildeib leida efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaite valemit

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitmaumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv arvutatult valemist (317) ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise efektiivsete vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tulemus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuks 6

Naumlide 313 (Jaumltkame naumlidet 36)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

77

ning koondmaumlaumlramatuseks

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siit algab naumlite uus osa

Leiame nuumluumld komponentide vabadusastmed

991A =minus= nν

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv on lotildepmatu nagu naumlitasime naumlites 1 Efektiivne vabadusastmete arv on vastavalt valemile (317)

20842080290

990440

0530

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

Seega saime metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlrama tus

Nii m(x) kui ka uN on motildelemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt votildettes ei totildeeline keskvaumlaumlrtus ega aritmeetilise keskmise totildeeline standardhaumllve (kuigi nad on nendele suurustele laumlhedased sest nende hajuvus on vaumlike) Inglise teadlane Student alias WS Gosset totildeestas

Kui X on normaalne juhuslik suurus siis juhuslik suurus

[ ]

( )N

N

xu

XmxT

minus= (318)

allub jaotusele tihedusega

22

11 11)(

N

NN N

tCts

minus

minusminus

minus+= (319)

Siin 1minusNC on normeerimistegur Jaotust (319) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti

jaotuseks Studenti jaotus erinevate 1minusN vaumlaumlrtuste korral on toodud joonisel 34 millelt on ka naumlha kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades laumlheneb standardiseeritud normaaljaotusele

78

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

Joonis 34 Uumlhe kahe viie ja kuumlmne vabadusastmega Studenti jaotus )(1 xsNminus ning

standardiseeritud normaaljaotus )(xf

Studenti jaotuse oluline omadus on et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon )(1 tsNminus sotildeltub vaid uumlhest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) 1minusN ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Selles motildettes on tegu universaalfunktsiooniga mis iseloomustab suvaliste uumlhesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa uumlldisi omadusi

Otsene jaumlreldus asjaolust et juhuslik suurus (318) allub Studenti jaotusele on et usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

[ ] )()()()( 11 pxuptxxxuptxP NNNNNN =+ltltminus minusminus (320)

Siin suurus )(1 ptNminus on (Studenti) t-kordaja ndash parandustegur etteantud usaldusnivoo p ja 1minusN

vabadusastme korral t-kordaja on samuti ainult uumlhest parameetrist N sotildeltuv universaalne

usaldusnivoo funktsioon mis on leitav Studenti jaotusest Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p

vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult Studenti t-kordaja tabuleeritud vaumlaumlrtused on toodud lisas 1 Mathcadis

on t-kordaja leidmiseks funktsioon

+

ν2

1 pqt Excelis funktsioon ( )ν1 pTINV minus

Valemit (320) nimetatakse Studenti testiks

Suurte N -ide korral laumlheb Studenti jaotus uumlle standardiseeritud normaaljaotuseks Tabelis 1 toodud

Studenti t-kordaja tabelist on naumlha et naumliteks 304)95(2 rarrt ja 094)7399(9 rarrt jne Erinevus

on oluline alas 30ltN ja vaumlga oluline alas 10ltN

79

Tabel 31 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja

soovitavast usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(I) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

80

Kuigi liitmaumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse y maumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitmaumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutatakse nn laiendmaumlaumlramatust taumlhisega U Laiendmaumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitmaumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate maumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendmaumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendmaumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastmete arv

Laiendmaumlaumlramatus U saadakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot= (321)

Kattetegus valemis (321) on arv mida kasutatakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendmaumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule [ ]UyUy +minus etteantud usaldatavustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 votildei 99 Et saada vaumlaumlrtust kattetegurile kp mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p vajame detailseid teadmisi motildeotildetetulemuse ja tema totildeenaumlosusjaotuse kohta

Oletame et keskse piirteoreemi eeldused on enam-vaumlhem taumlidetud st et liitmaumlaumlramatuses u(y) ei domineeri sisendsuuruse standardmaumlaumlramatuse komponent mis on saadud vaumlikesest arvust motildeotildedistest A-tuumluumlpi hindamismeetodit kasutades votildei komponent mis tugineb eeldatud jaotusele mis ei ole normaaljaotus (B-tuumluumlpi hindamismeetod) Sellest oletusest jaumlreldub et motildeistlik esimene laumlhend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine Kui esimene eeldus ei kehti st on vaumlike arv motildeotildediseid siis on motildeistlik arvutada efektiivsete vabadusastmete arv ning kasutada Studenti jaotust Kui teine eeldus ei kehti st domineerib normaaljaotusest erinev jaotus siis tuleks leida jaotusfunktsioon ning sealt arvutada katteteguri vaumlaumlrtus Motildeningad ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivad kp vaumlaumlrtused on toodud tabelis 32

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

81

Naumlide 314 Metallsilindri motildeotildetmine (jaumltkame naumliteid 36 ja 313)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

Leiame Studenti t-kordaja vaumlaumlrtuse vabadusastmete arvule 208 usaldusnivool 95 tabelist 31 Tabelis on vabadusastmete arvule 100 vastav t-kordaja 1984 ning lotildepmatu vabadusastmete arvu korral 1960 Vabadusastmete arvu 208 korral votildeime votildetta t-kordaja vaumlaumlrtuseks vahepealse vaumlaumlrtuse ehk k095 = 197 Nuumluumld saame metallsilindri pikkuse laiendmaumlaumlramatuseks

mm100mm10440mm 0530971)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Seega on metallsilindri keskmine pikkus mm 6576=Nx ning laiendmaumlaumlramatus mm100)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 315 Laua pikkust motildeotildedeti 5 korda joonlauaga resolutsiooniga 5 mm Kotildeik motildeotildetmised andsid laua pikkuseks 185 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 185 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on null sest motildeotildetmistulemustes puudus varieeruvus

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud joonlaua resolutsioonist mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm44112

mm 5

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on votilderdne B-tuumluumlpi maumlaumlramatusega Laiendmaumlaumlramatuse leidmisel tuleb samuti arvestada uumlhtlase jaotusega tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1645 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm2mm36882mm 4416451)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 185=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm2)( =nxU (usaldusnivool

95 )

Naumlide 316 Laua pikkust motildeotildedeti 2 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Motildeotildetmistulemusteks olid 1847 mm ning 1851 Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 1849 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

82

( )mm20

122020

1

)( 221

2

=sdot+

=minus

minus==

sum=

NN

xxsu

N

i

Ni

NA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 200mm 200500144020 2222 rarr=+=+= BAC uuu

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses domineerib A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponent Maumlletame et uumlhtlasest jaotusest votildeetud kahe motildeotildedise keskvaumlaumlrtus on kirjeldatav kolmnurkjaotusena tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1902 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm40mm38040mm 2009021)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 9184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm40)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 317 Laua pikkust motildeotildedeti 100 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Laua pikkuse motildeotildetmise aritmeetiline keskmine oli 184872 mm empiiriline standardhaumllve oli 018 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on 184872 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

mm0180100

180===

N

suA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 0230mm 023050014400180 2222 rarr=+=+= BAC uuu

83

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses on A-tuumluumlpi ja B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponendid suurusjaumlrgus sama kaaluga A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel on vabadusastmete arv 99 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel lotildepmatu Arvutame vaumllja koondmaumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

26392630230

990180

0230

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1984 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm0460mm045630mm 02309841)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 872184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm0460)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete sama lauda motildeotildedeti 3 korda neist naumlites 315 vaumlikese resolutsiooniga joonlauaga naumlites 316 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 2 korda ning naumlites 317 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 100 korda Saadud keskvaumlaumlrtused koos laiendmaumlaumlramatuse vahemikuga on toodud alloleval joonisel Kooskotildela tulemuste vahel on vaumlga hea kuigi maumlaumlramatused on mitu suurusjaumlrku erinevad

182

183

184

185

186

187

188

84

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuu ruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui esinevad vaumliksed haumllbed

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 1012 = 10201

valime x = 10 δx= 01 siis 102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suurust X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrtused m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetemaumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vastava Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

ehk

YYY δ+= (322)

kus

( )21xxYY = ja 22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part= (323)

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

( )[ ]22 )( YmYu δ= (324)

kus [ ]m taumlhistab matemaatilist ootust nagu varemgi Valem (324) eeldab et haumllbe Yδ keskvaumlaumlrtus on null

[ ] 0=Ymδ

See eeldus on rangelt votildettes taumlidetud vaid siis kui

[ ] 0=ixmδ so kui [ ] ii xXm = (325)

Ligikaudu see nii ongi ja sel juhul on (324) kasutamine otildeigustatud Pannes Yδ avaldise (323) valemisse (324) saame

85

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

part

part+

part

part=

2

22

2121

2

11

2

22

11

2 2)( xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ymx

x

Yx

x

YmYm δδδδδδδ

Kui motildeotildetevigade keskvaumlaumlrtused on nullid (nagu eeldab valem (325)) siis on keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

seega saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (326)

Korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel on defineeritud jaumlrgmiselt

sum sum

sum

= =

=

minusminus

minusminus=

N N

k

N

yx

yyxx

yyxxr

1k 1k

22k

1kkk

)()(

))(( (327)

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemust Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera mass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepikkus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne nulliga ning valem (326) lihtsustub

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (328)

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (329)

Naumlide 319 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m (uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist

6

ruumala 3D

MM

πρ == (330)

Tiheduse ja tema maumlaumlramatuse arvutamiseks on kotildeigepealt vaja leida diameetri ning massi keskvaumlaumlrtused ning standardmaumlaumlramatused

Kera diameeter olgu motildeotildedetud 10=N korda nihikuga mille potildehiviga mm050o =∆

Diameetri keskvaumlaumlrtuseks saime

( ) mm1702010

11021 =+++= dddd N

86

Diameetri A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks saime

mm0220)110(10

)()()(

210

21 =

minussdotminus++minus

=NN

A

ddddDu

ning diameetri B -tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on

mm028903)( =∆= oB Du

Diameetri koondmotildeotildetemaumlaumlramatus on

mm03630)02890()0220())(())(()( 2222 =+=+= DuDuDu BAC

Massi kaalusime uumlhekordselt neljanda klassi kaaludega Mass osutus votilderdseks jaumlrgmiste vihtide masside summaga

g 2415 g)050102220( =++++=micro

Igal vihil on vastavalt standardile maumlaumlramatus kusjuures votildeime siin eeldada et vihid on omavahel sotildeltumatud Samuti on ka kaalul oma maumlaumlramatus Kaalu potildehiviga on mg50 ja neljanda klassi

vihtide potildehivead on vastava tabeli jaumlrgi 20 6 6 1 ja 1 mg Vastavalt valemile (329) on massi maumlaumlramatus arvutatav

mg5313

554

3

1

3

1

3

6

3

6

3

20

3

50)(

222222

==

+

+

+

+

+

=MuB

Kuna kordsed massi motildeotildetmised annaksid siin kogu aeg uumlhe ja sama tulemuse siis loeme massi A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse nulliks

g 0032 mg531)()(C === MuMu B

Nuumluumld on meil olemas info tiheduse ning tema maumlaumlramatuse arvutamiseks kasutades valemeid (329) ja (330)

( ) 333

621517020

152466ruumala cm

g

D

MM====

ππρ

Leiame vajalikud tuletised

MDM

ρπ

ρ==

partpart

3

16

DD

M

D

M

D

ρππ

ρ 3183644

minus=

minus=

minussdot=

partpart

87

( )33

223

22

3

22

22

22

22

22

03100055606215005400013306215

17020

036303

1524

03206215

)(3)(

)(3

)()()()(

cm

g

cm

g

cm

g

cm

g

D

Du

M

Mu

DuD

MuM

DuD

MuM

u

=sdot=minus+sdot=

=

sdotminus+

sdot=

sdotminus+

sdot=

=

minus+

=

partpart

+

partpart

=

ρ

ρρρρρ

Kuidas ei tohi vaumlljundsuurust arvutada Kui prooviksime siin arvutada erinevatele motildeotildetmistele vastavad tiheduse vaumlaumlrtused laumlhtudes uumlldvalemist (330) so i -nda motildeotildetmise korral leiaksime suuruse

3)(

6

i

ii d

microπ

ρ =

ja seejaumlrel leiaksime uumlksiktiheduste iρ aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhaumllbe

(tiheduse A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse iseloomustajana) siis laumlheks suur osa massi maumlaumlramisega seotud motildeotildetemaumlaumlramatusest lihtsalt kaotsi Sellist viga aga ei tohi teha

88

4 Motildeotildetmise mudel

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub alati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutatakse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega teiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnanguid saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumliteks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildeltuvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

Uumlldistatud kujul on motildeotildetmise mudel esitatud joonisel 41 Toodud mudelis on vaumlljundsuurus Y motildeotildeteuumllesandega ette naumlhtud motildeotildetesuurus mis sotildeltub sisendsuurustest Xi (i = 1 2 N) Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahendamise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsiooni f abil kujul

)( 21 Ni XXXXfY = (41)

Joonis 41 Motildeotildetmise mudel

Sisendsuurusi Xi seoses (41) tuleb alati vaadelda kui motildeotildetesuurusi mis votildeivad omakorda sotildeltuda teistest suurustest sealhulgas ka suumlstemaatilisi efekte kotildervaldavatest paranditest ja konstantidest Seetotildettu motildeotildetesuuruse Y funktsionaalne sotildeltuvus f votildeib kujuneda uumlsna komplitseerituks mida ei saa alati taumlpselt kirjeldada Veelgi enam sotildeltuvus f votildeib olla vaid eksperimentaalselt maumlaumlratav votildei eksisteerida algoritmina mida saab hinnata ainult arvuliselt Seega peab funktsiooni f totildelgendama laiemalt kui puhast matemaatilist funktsiooni Taumlhtis on et funktsioon sisaldaks kotildeik motildeotildetesuurused parandid konstandid jne mis annavad panuse motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemusse Kui tulemused naumlitavad et sotildeltuvus f ei modelleeri motildeotildetetoimingut vajaliku taumlpsusega tuleb funktsioonile f lisada taumliendavaid sisendsuurusi Votildeib tekkida isegi vajadus sellise sisendsuuruse jaumlrele mis kajastab motildeotildetesuurust Y motildejutava naumlhtuse taumliendavat uurimist

Naumlide 41 Pikkusotsmotildeotildedu pikkuse motildeotildetmine Motildeotildetevahendiks on pikkuskomparaator ja motildeotildetmisel votilderreldakse motildeotildedetava otsmotildeotildedu pikkust l etalonotsmotildeotildedu pikkusega lE Komparaatorilt saadud motildeotildediseks on kahe otsmotildeotildedu pikkuste vahe δl

X1

X2

Xi

XN

f Y

89

Antud juhul on motildeotildetesuuruseks otsmotildeotildedu pikkus l mis otseselt sotildeltub etalonotsmotildeotildedu pikkusest lE ja motildeotildetmise tulemusel komparaatorilt saadud motildeotildedisest δl Peale selle peame arvestama veel parandeid mis tulenevad sellest et motildelema otsmotildeotildedu materjalide joonpaisumistegurid αE ja α on erinevad ning pikkuse motildeotildetmise hetkel etaloni ja motildeotildedetava pikkusotsmotildeotildedu temperatuuride vaumlaumlrtused haumllbivad normaaltemperatuurist vastavalt θE ja θ votilderra Pikkus l on seega funktsionaalses sotildeltuvuses kuuest sisendsuurusest Seose (41) kohane motildeotildetmise mudel on antud juhul

)( θθααδ EEE llfl =

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

( )

αθδθα

+++

=1

1 lll EEE

kus suuruse lE vaumlaumlrtuse saame etaloni kalibreerimistunnistusest suuruste δl θE ja θ vaumlaumlrtused saame motildeotildetmise protsessi kaumligus ning suuruste αE ja α vaumlaumlrtused nimetatud otsmotildeotildetude spetsifikatsioonidest votildei sobivast kaumlsiraamatust

Kasutades motildeotildetesuuruse l motildeotildetmise teisi meetodeid votildeime seda motildeotildetmist modelleerida teistsuguste matemaatiliste avaldistega Naumliteks kasutades motildeotildetmisel nihikut on motildeotildetmise mudel

)( nlfl =

kus ln on nihiku naumlit

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

nll =

Seega uumlhe ja sama suuruse motildeotildetmisel on votildeimalik kasutada erinevaid motildeotildetmise mudeleid sotildeltuvalt valitud motildeotildetemeetodist

Naumlide 42 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust tingitud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesluumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasakaalus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumalade erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad

bull vihtide mass mv bull vihtide tihedus ρv bull kaalutava metallituumlki tihedus ρm bull otildehu tihedus ρotilde bull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

90

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetavad naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku temperatuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemiks

)( RHTPfotilde =ρ

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse maumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

t

sv =

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsustada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmiste mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

12

1

tt

dssNv

minus+sdot

=

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit vaumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles maumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumlldjuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetemaumlaumlramatuste hindamist

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Peatuumlkis 38 tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Jaumltkame sotildeltumatute suuruste erijuhu uumlldistamist valemist (328)

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (42)

Sama valem on summa maumlrgi all kirja pandav kujul

91

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu (43)

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (44)

Selle valemi uumlldisemat kuju kus esineb ka uumlksteisest sotildeltuvaid sisendsuuruseid vaatame hiljem

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kritee rium

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekkida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liige on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et maumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi maumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitmaumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et tegemist on ebaolulise maumlaumlramatuse komponendiga Mingi maumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

(45)

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

Kuna liitmaumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide maumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

(46)

kus u(xi) on suvaline maumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus (45)

Tingimuse (46) kontrollimine on uumlldiselt palju lihtsam sest tingimus (45) eeldab juba et koondmaumlaumlramatus on arvutatud ning siis jaumlaumlb uumlle ainult konstateerida milline liige oli ebaoluline

Naumlide 44 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi kotildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulemused

a = 802 mm u(a) = 003 mm υ(a) = 5 b = 4253 mm u(b) = 004 mm υ(b) = 6 c = 17211 mm u(c) = 005 mm υ(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus 1 arvestamata taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

92

Ruumala on

33 cm70558mm58705111725342028 ==sdotsdot=sdotsdot= cbaV

ruumala maumlaumlramatus on

( ) ( ) ( )cm227000387070558003870

000290000940003740

11172050

5342040

028030

)()()()(

3

222

222

222

=sdot=sdot=

=++sdot=

=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

V

V

V

c

cu

b

bu

a

auVVu

Ruumala efektiivne vabadusastmete arv on

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

571526393224

001013013393224

7290

6940

5743

873

7000290

6000940

5003740

003870

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

444

4

444

4

444

4

4

444

4

44

rArr==++

=

=

++

=

=

++

=

=

+

+

=

=

sdot

+

sdot

+

sdot

sdot=

cc

cu

bb

bu

aa

auV

Vu

cc

cuV

bb

buV

aa

auV

V

VVu

V

ννν

ννν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm580cm2270572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Lahendus 2 arvestades taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

Leiame kotildeik maumlaumlramatuse komponendid

93

003740028

030)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVa

auVau

a

V

0009405342

040)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVb

buVbu

b

V

00029011172

050)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVc

cuVcu

c

V

Naumleme et kotildeige suurem maumlaumlramatuse komponent on seotud suuruse a-ga

Rakendame nuumluumld valemit (46)

30220003740000940

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

bub

V

30080003740000290

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

cub

V

Seega selgus et nii b kui ka c maumlaumlramatused on taumlhtsusetud ning nendega ei pea arvestama

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse

3cm220000374070558028030)(

)( =sdot=sdot=sdot= Va

auVVu

Ruumala maumlaumlramatus sotildeltub ainult komponendist a seega on ka ruumala vabadusastmete arv votilderdne komponendi a vabadusastmete arvuga

5)()( == aV νν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm570cm2200572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Kokkuvotildete kui votilderrelda lahendusi 1 ja 2 siis vastuste erinevus on vaumlga vaumlike 001 cm3 ehk ca 2 See erinevus on maumlrgatavalt vaumliksem kui maumlaumlramatuse maumlaumlramatus mis vabadusastmete arvu 5 juures on uumlle 30 Seega votildeib oumlelda et motildelemad vastused on otildeiged kuid teise lahenduse puhul oli vaumlhem arvutamist

Taumlhtsusetu komponendi kriteerium osutub eriti praktiliseks juhul kui on vaja otsustada milliste maumlaumlramatuse komponentidega tuleb arvestada ning millistega mitte

94

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate si sendsuuruse korral

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on N suuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

(410)

kus m(x) ja m(y) on vastavad keskvaumlaumlrtused

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()( (411)

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st x kasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud Joonisel (42) on toodud erinevate punktipilvede kohta kaumlivad korrelatsioonid

Joonis 42 Erinevate seoste vahelised korrelatsioonid

Naumlide 45 Naumlited sotildeltuvatest suurustest

95

bull Inimese pikkus ning kehamass on omavahel sotildeltuvad kuigi mitte paumlris uumlks-uumlhele

bull Ilmajaama erinevatel kotildergustel motildeotildedetud tuule kiiruse vaumlaumlrtused on omavahel tugevasti positiivselt korreleeruvad

bull Negatiivselt korreleeruvad suuruseid on temperatuur ning suhteline otildehu niiskus ndash kui suletud suumlsteemis temperatuuri totildesta siis suhteline otildehu niiskus kahaneb ning vastupidi

bull Uuringud on naumlidanud et on negatiivne korrelatsioon televiisori vaatamisele kulunud aja ning hinnete vahel st mida rohkem vaatad televiisorit seda kehvemad hinded

bull Haridustaseme ning vanglas oldud aja vahel on negatiivne korrelatsioon st mida madalam haridustase seda pikem on vanglas oldud aeg Sama vaumlite teine sotildenastus uumltleb et nendel inimestel kes on vanglas pikemalt olnud on madalam haridustase

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsient vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei negatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa y varieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotilde ltuvusega sisendsuuruste korral

Jaumltkame peatuumlkis 38 alustatud motildeotildetemaumlaumlramatusega kuid jaumltame aumlra eelduse et tegemist on sotildeltumatute suurustega

Toome uuesti valemi (326) motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu arvutamise kohta

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (412)

ning korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()( (413)

Uumlldistatult on valem (412) N sotildeltumatu sisendsuuruse korral (sama valem mis (44))

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (414)

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisanduvad valemisse (414) korrelatsiooni liikmed

96

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

siin kahekordse summamaumlrgiga summeeritakse kotildeikide liikmepaaride omavahelistest korrelatsioonidest tulenevad maumlaumlramatuse komponendid seega kui on N komponenti siis

korrelatsiooni liikmeid on 2

)1( minussdot NN Tavaliselt on arvestatav korrelatsioon siiski ainult motildene

uumlksiku komponendi vahel ning uumllejaumlaumlnud korrelatsioonid on votilderdsed nulliga

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused on A = 5 B = 7 C = 12 standardmaumlaumlramatused on u(A) = 03) u(B) = 05) u(C) = 04) parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02 r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardmaumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

Lahendus

Leiame D standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

71050)(1

50401501301

)()()()()(1

222222

22

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Du

CuC

DBu

B

DAu

A

DXu

x

DDu

N

ii

i

Leiame D standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame D standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

97

Suuruse D maumlaumlramatuse arvutuses naumlgime et korrelatsioonist tingitud liige votildeib olla oluline ning on votildeimalus et korrelatsiooni totildettu tuleb koondmaumlaumlramatus vaumliksem kui ilma korrelatsiooni arvestamata

Leiame E standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

Leiame E standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

D

A

DCAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame E standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

Seega naumlgime suuruste D ja E standardmaumlaumlramatuste arvutusest et korrelatsioonide arvestamine votildeib liitmaumlaumlramatust nii suurendada kui vaumlhendada sotildeltudes nii osatuletiste maumlrkidest kui ka korrelatsiooni maumlrkidest

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadides Kuna info paumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos on jaumlrgmine

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsienti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17 F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failis bdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

98

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise ko hta

Kordame uumlle potildehivalemid

Efektiivne vabadusastmete arv on

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

N sotildeltumatu sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()( (44)

N sotildeltuva sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte protsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

ltltsdotsdot+

sdotsdot

=mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

Leia bull koefitsient c bull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1) bull keskvaumlaumlrtus bull mediaan bull standardhaumllve bull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

Lahendus

Alustuseks tuleks seda funktsiooni lihtsustada

33325

8

)7(7321

xcxcxxxcx

xsdot+=sdot+=sdotsdot+

sdotsdot

Koefitsiendi c leiame laumlhtudes normeerimistingimusest

34714

1)7(4

)7()7( 10

41

0

3 minus=rArr=+rArrequivsdot+

=sdot+=sdot+int cccx

cdxxc

99

Asendades c vaumlaumlrtuse funktsiooni saame jaotustiheduseks

ltltsdot

=mujal0

104)(

3 xxxf

Jaotusfunktsioon kohal x1 on

410

4

0

31

11

444)( x

xdxxxF xx

=sdot=sdot= int

Keskvaumlaumlrtus on

8054

544)( 1

0

5

0

31

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

Mediaan on x-i vaumlaumlrtus mille korral jaotusfunktsioon on votilderdne 05-ga

8405050)( 4411 ==rArrequiv= medxxxF

Standardhaumllbe arvutamiseks leiame kotildeigepealt x2 keskvaumlaumlrtuse

667064

644)( 1

0

6

0

322 1

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

( ) 16306406670)()()( 22 =minus=minus= xmxmxs

NB selle koha peal on oluline et x2 keskvaumlaumlrtus leitakse vaumlhemalt kolme tuumlvinumbriga muidu on uumlmardamise viga liiga suur

Totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07) on arvutatav jaotusfunktsioonide vahena nendes punktides

240070)30()70()7030( 4 =minus=minus+=ltltminus FFxP

Siin F(ndash03) on votilderdne nulliga seetotildettu et kuna piirkonnas (ndashinfin 0) on jaotustihedus votilderdne nulliga siis on ka jaotusfunktsioon selles piirkonnas votilderdne nulliga

100

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga mille kalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia bull klotsi massi parim hinnang bull klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi liitmaumlaumlramatus bull klotsi massi vabadusastmete arv bull klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus

Teeme tabeli kus on motildeotildetmistulemused motildeotildetmistulemuste erinevus keskvaumlaumlrtusest ning selle ruut

nr x x ndash m(x) (x ndash m(x))2 1 455 ndash01 001 2 459 03 009 3 458 02 004 4 452 -04 016 5 456 0 0 sum 2280 0 030 keskmine 456

Klotsi massi parim hinnang on tema aritmeetiline keskmine

645)( =xm g

Klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse arvutamiseks leiame kotildeigepealt standardhaumllbe

2704300

1

))(()( 1

2

==minus

minus=

sum=

N

xmxxs

N

ii

g

1205

270)()( ===

N

xsxuA g

Klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus kujuneb tema kalibreerimisel hinnatud maumlaumlramatusest ning resolutsioonist Kalibreerimisel saadi laiendmaumlaumlramatuseks 03 g katteteguriga 2 seega kalibreerimise standardmaumlaumlramatus on 03 2 = 015 g

150000800225012

10150)(

2

2 =+=

+=xuB g

Seega selgus et resolutsiooni maumlaumlramatus oli ebaoluline

Klotsi massi liitmaumlaumlramatus on

101

190022501440150120)()()( 2222 =+=+=+= xuxuxu BAC g

Klotsi massi vabadusastmete arv on

25125150

4

120190

)()(

)()(

44

4

44

4

rArr=

infin+

=

+

=

B

B

A

A

C

xuxu

xux

νν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvu 25 jaoks on vastavalt tabelile

0622595 =k

Klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

390190062)()( =sdot=sdot= xukxU C g

102

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml paksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja masside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlga kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse keskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondmaumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondmaumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondmaumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

4

2 HdV

sdotsdot=

π

Leia bull jaumlauml tiheduse parim hinnang bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

Lahendus

Jaumlauml tiheduse parim hinnang on

322 cm

g9290

420964

36644=

sdotsdotsdot

=sdotsdot

sdot==

ππρ

Hd

m

V

m

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata on

cm

g5420583092902120002012609290

420

49

964

1202

366

1309290

)()(2)()(

3

222

222

1

=sdot=++sdot=

=

+

sdot+

sdot=

=

+

sdot+

sdot=H

Hu

d

du

m

muu ρρ

Puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu maumlaumlramatus osutus ebaoluliseks

Korrelatsioon on ainult massi ning pikkuse vahel teised korrelatsioonid votildeib votildetta nulliks Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatuse korrelatsiooni arvestav komponent on

cm

g2680

420

49

366

130929091

)()(9502

)()()(2)(

2

322

22

minus=sdotsdotsdotminus=minus

sdotsdotsdotsdot=

=sdotsdotpartpart

sdotpartpart

sdotsdot=

H

Hu

m

mu

HumuHm

Hmru

ρ

ρρρ

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus on korrelatsiooni arvestades

( ) ( ) cm

g160026026802940)()()(

3

22

21 ==minus=+= ρρρ uuu

Seega korrelatsiooni arvestamine vaumlhendas maumlaumlramatust uumlle 3-e korra

103

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetud veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm veekihi paksus on 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metalljoonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest10 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardmaumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus Leiame alustuseks akvaariumi ruumala

33 dm30436523cm36523304173818302320 ==sdotsdot=sdotsdot= hbaV

Leiame nuumluumld kotildeigi kolme kuumllje standardmaumlaumlramatused ning vastavad vabadusastmete arvud

cm063010

cm20)( ==auA

cm05803

cm10)( ==auB

( ) ( ) cm086005800630)()()( 2222 =+=+= auauau BAC

3133147390630

08609

0580

110

06300860

)()(

)()( 4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effauau

aua

νν

ν

( ) ( ) cm111005800950058010

30)()()( 222

222 =+=+

=+= bububu BAC

1681686190950

11109

0580

110

0950

1110

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effbubu

bub

νν

ν

( ) ( ) cm126005801120058020

50)()()( 222

222 =+=+

=+= huhuhu BAC

30430601191120

126019

0580

120

1120

1260

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effhuhu

huh

νν

ν

Leiame osatuletised

a

Vhb

a

V=sdot=

partpart

b

Vha

b

V=sdot=

partpart

h

Vba

h

V=sdot=

partpart

Leiame akvaariumi ruumala standardmaumlaumlramatuse

104

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

3

222

222

2222

22

22

2

22

22

22

1

22

cm1530066023304

003300037000430233041738

1260

1830

1110

2320

086023304

)()()()()()(

)()()()()(

=sdot=

=++sdot=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

+

+

=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

h

hu

b

bu

a

auVhu

h

Vbu

b

Vau

a

V

huh

Vbu

b

Vau

a

VXu

x

VVu

N

ii

i

Leiame nuumluumld ruumala efektiivsete vabadusastmete arvu

710871

3000330

1600370

3100430

00660

)(

)(444

4

1

4

4

==++

==

sum=

n

i i

i

VVu

Vu

ν

ν

Seega on ruumala motildeotildetmise efektiivsete vabadusastmete arv νR = 71

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 50 ja usaldusnivool 95 k5095 = 201 kohal ν = 100 ja usaldusnivool 95 k10095 = 1984 seega kohal ν = 71 ja usaldusnivool 95 votildeime votildetta kordajaks k5095 = 200 seega on akvaariumi ruumala laiendmaumlaumlramatus U(V) usaldusnivool 95

333 m310m306002m153)()( dcckVuVU ==sdot=sdot=

Seega on akvaariumi ruumala 3dm3023=V ning tema laiendmaumlaumlramatus 3m310)( dVU =

105

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

αcos2R

IE =

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskmiseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna vaheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus

Leiame kotildeigepealt valgustatuse E keskvaumlaumlrtuse

( ) 222 m

W60386

2

3

m1

W100cos =sdot== α

R

IE

Leiame nuumluumld motildeotildedetud suuruste standardhaumllbed

W1513

W2)(W100 === IuI

m0095000000903

m0010

10

m030)(m1

22

=+=

+

== RuR

0101031803

1)(630 =

sdot=

deg==deg=

παπα u

Leiame nuumluumld osatuletised

W100

11cos

12

sdot=sdot==partpart

EI

ERI

Eα

m1

22cos

23

minussdot=

minussdot=

minus=

partpart

ER

ER

I

R

Eα

3

1)30tan(

cos

sinsin

2

minussdot=degminussdot=

minussdot=

minus=

partpart

EEER

IE

αα

αα

Paneme nuumluumld standardmaumlaumlramatused ning osatuletised valemisse (44) Kuna igas osatuletiste liikmes on sees komponent E siis toome selle ette

106

222

222

m

W9910230

m

W686000034000036100001320

m

W686

010103

100950

1

2151

100

1)(

=sdot=++sdot=

=

sdot

minus+

sdotminus

+

sdotsdot= EEu

Seega on valgustatuse standardmaumlaumlramatus 20 Wm2

Leiame nuumluumld erinevate maumlaumlramatuse komponentide efektiivsed vabadusastmete arvud kasutades valemit (317)

Valgusti intensiivsuse maumlaumlramatus ning nurga motildeotildetmise maumlaumlramatus on B-tuumluumlpi maumlaumlramatused seega nende vabadusastmete arvu votildeib votildetta lotildepmatuks Kauguse motildeotildetmine sisaldas nii A- kui ka B-tuumluumlpi maumlaumlramatust leiame nuumluumld kauguse motildeotildetmise vabadusastmete arvu

90

900950

00950

)(

)(4

4

1

4

4

=

infin+

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Leiame nuumluumld valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

1931915290190

02309

005809

019001150

0230

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

==sdot=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Seega on valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arv νR = 19

Leiame nuumluumld valgustatuse laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 19 ja usaldusnivool 95 k1995 = 209 seega on valgustatuse laiendmaumlaumlramatus U(E) usaldusnivool 95

222 m

W24

m

W1594092

m

W991)()( ==sdot=sdot= kEuEU

Seega on valgustatus 2m

W686=E ning tema laiendmaumlaumlramatus

2m

W24)( =EU

107

5 Maumlaumlramatuse allikad

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud m aumlaumlramatus

Numbernaumlidikuga motildeotildetevahendi abil saadud naumlidu (motildeotildedise) maumlaumlramatuse uumlheks allikaks on naumlidiku lahutusvotildeime Isegi kui korduvnaumlidud on identsed ei ole kordustaumlpsust iseloomustav maumlaumlramatus null sest sisendsignaalil on piirkond milles see motildeotildetevahendi naumlidik esitab uumlhe ja sama naumlidu Kui naumlidiku lahutusvotildeime on δx milleks on naumlidu muutus (numbersamm) kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu votilderra siis sisendsignaal mis annab naumlidu x votildeib votilderdse totildeenaumlosusega jaumlaumlda vahemikku [x ndash δx2 x + δx2] Sisendsignaal on seega kirjeldatav ristkuumllikjaotusega mille laius on δx ja standardhaumllve on σ(x) = δx radic12 See taumlhendab et iga naumlidu x standardmaumlaumlramatus on u(x) = σ(x) = 029 δx Naumliteks numbernaumlidikuga voltmeetril mille naumlidiku vaumlikseim taumlhendusega naumlit on 1 mV on naumlidiku lahutusvotildeime δx = 1 mV totildettu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 mV

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatu s

Naumlidiku lahutusvotildeimega analoogset maumlaumlramatust votildeib potildehjustada ka motildeotildetevahendi suikeulatus milleks on motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse (stiimuli) kasvamise votildei kahanemise maksimaalne piirkond δx ilma et muutuks motildeotildetevahendi naumlit Ettenaumlgelik motildeotildetja taumlheldab motildeotildetesuuruse jaumlrgnevate vaumlaumlrtuste kasvamise votildei kahanemise suunda ja teeb sellest tulenevalt vastava paranduse Kuid suikeulatuse suund pole alati jaumllgitav sest motildeotildetevahendis votildeib mingi tasakaalupunkti uumlmber esineda ka peidetud motildeotildetehaumllbeid ning saadav naumlit (motildeotildedis) sotildeltub suunast millega see punkt lotildepuks saavutati Motildeotildetevahendi suikeulatust suurendatakse motildenikord sihilikult vaumlltimaks naumlidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral Kui suikeulatusest tingituna on votildeimalikud motildeotildetevahendi naumlidud vahemikus [x ndash δx2 x + δx2] siis meelevaldse naumlidu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus

Ka andmetoumloumltlusega seotud arvvaumlaumlrtuste (motildeotildediste motildeotildetetulemuste) uumlmardamine votildei nende murdosa aumlrajaumltmine votildeib olla maumlaumlramatuse allikaks sest uumlmardatud arv esitab motildeotildetesuuruse arvvaumlaumlrtust alati ligikaudselt Mida rohkem on arvul taumlhendusega kohti seda suurem on suhteline taumlpsus Motildenikord on potildehjust taumlhenduslike kohtade arvu vaumlhendada uumlmardamise teel Etteantud uumlmardamissammu δx korral on meelevaldne arvvaumlaumlrtus x vahemikus [ x ndash δx2 x + δx2] ning standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused

Mudelisse sisestatud sisendsuuruse hinnang x ei pruugi olla maumlaumlratud antud motildeotildetmisega vaid votildeib olla saadud mujalt Sageli on sellel vaumlaumlrtusel ka mingil viisil hinnatud maumlaumlramatus See votildeib olla antud standard- votildei laiendmaumlaumlramatusena Kui maumlaumlramatus on antud vahemiku poollaiusena st laiendmaumlaumlramatusena U millel on etteantud usaldatavustase siis on sellega antud ka katteteguri k vaumlaumlrtus Sel juhul on hinnangu x standardmaumlaumlramatus u(x) avaldatav seosest u(x) = U(x)k Alternatiivselt votildeib olla antud sisendsuuruse hinnangu x uumllemine ja alumine rajavaumlaumlrtus (naumliteks

108

vahemik (b a) aga info maumlaumlramatuse kohta votildeib puududa Viimasel juhul peaks nende rajavaumlaumlrtuste kasutajad rakendama oma teadmisi hindamaks maumlaumlramatust laumlhtudes sisendsuuruse iseloomust allika usaldusvaumlaumlrsusest motildeotildetepraktikas selliste suuruste jaoks kasutatavatest maumlaumlramatustest jne Lisainfo puudumisel eeldatakse tavaliselt tegemist on uumlhtlase jaotusega uumllemise ja alumise rajavaumlaumlrtuse vahel standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic12 Kui aga on alust arvata et rajade laumlhedased vaumlaumlrtused on vahemiku keskosaga votilderreldes vaumlhemtotildeenaumlolised on lihtsuse motildettes tihti potildehjendatud kasutada kolmnurkjaotust standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic24

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus

Kui sisendsuuruse X hinnangu x maumlaumlramatus on antud eksperimentaalse standardhaumllbe ja teatud arvu korrutisena st laiendmaumlaumlramatusena U siis votildeib standardmaumlaumlramatuse u(x) vaumlaumlrtuseks votildetta laiendmaumlaumlramatuse U ja katteteguri k jagatise u = Uk See olukord on tavaline kui andmed on votildeetud tootja spetsifikatsioonist kalibreerimistunnistuselt kaumlsiraamatust votildei motildenest muust allikast Naumliteks kui kalibreerimistunnistusel on kirjas et 200 g kirjevaumlaumlrtusega etalonvihi mass m200 = 19999993 g on esitatud laiendmaumlaumlramatusega U = 066 mg kolme standardhaumllbe tasemel siis selle etalonvihi massi standardmaumlaumlramatus on u(m200) = Uk = (066 mg)3 = 022 mg

Hinnagu x maumlaumlramatus ei pruugi tingimata olla esitatud standardhaumllbe mingil kordsel kujul nagu eespool mainitud Selle asemel votildeib suuruse hinnangu maumlaumlramatus olla antud naumliteks 90 95 votildei 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena Kui pole teisiti taumlpsustatud siis votildeib eeldada et vahemiku arvutamisel kasutati normaaljaotust ja x standardmaumlaumlramatuse votildeib taastada jagades esitatud jaotuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga Sel juhul teguri kp vaumlaumlrtused mis vastavad eeltoodud kolmele vahemikule on 164 1960 ja 2576 Naumliteks on kalibreerimistunnistusel kirjas et 10 Ω kirjega etalontakisti takistus 23 degC juures on RE = 10000584 Ω plusmn 152 microΩ usaldusnivool 99 Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmaumlaumlramatuseks u(RE) = (152 microΩ)258 = 59 microΩ

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus

Sageli motildeotildedetakse suurusi kontrollitavatel toumloumltingimustel eeldades et need tingimused motildeotildeteprotseduuri sooritamise jooksul ei muutu Naumliteks votildeib objekti panna motildeotildetmiseks otildelivanni mille temperatuuri hoitakse kindlates piirides termostaadi abil Otildeli temperatuuri vannis votildeib motildeotildeta objekti iga motildeotildetmise ajal Kui aga temperatuur vannis perioodiliselt muutub ei tarvitse objekti hetkeline temperatuur votilderduda otildeli temperatuuriga Otildeli temperatuuri maumlaumlramatuse arvutamine peaks sel juhul algama otildeli temperatuuri teadaolevast votildei eeldatavast muutumistsuumlklist vannis Temperatuuri muutumist votildeib motildeotildeta tundliku termopaariga varustatud termomeetri abil ning kui see pole votildeimalik siis votildeib temperatuuri laumlhendi tsuumlklile tuletada reguleerimisprotsessi iseloomustavate uumlldiste teadmiste potildehjal Analoogne olukord on ka motildeotildeteprotseduuri teostamisel notildeutavate toumloumltingimuste taumlitmiseks motildeotildeteruumis uumlmbritseva otildehu temperatuuri reguleerimisel ja hoidmisel Niisugustel juhtudel votildeib motildeotildetesuuruse motildeotildetmise mudelisse sisestatava temperatuuri X hinnangu x standardmaumlaumlramatuse u(x) hindamine toimuda arvestades temperatuurikontrolli suumlsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsuumlklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust

109

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus

Kotildeige raskemini hinnatav maumlaumlramatuse komponent tuleneb motildeotildetemeetodist eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest vaumliksema maumlaumlramatusega tulemusi Totildeenaumloliselt on olemas ka teisi seni tundmatuid votildei mingil viisil seni veel motildeotildetepraktikas mittekasutatavaid meetodeid mis annavad samavotilderd kehtivaid kuid suumlstemaatiliselt erinevaid tulemusi See viib aprioorse totildeenaumlosusjaotuseni Isegi kui meetodist tulenev maumlaumlramatus osutub valdavaks komponendiks piirdub kogu info selle maumlaumlramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega fuumluumlsikalise maailma kohta Sama motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hindamine erinevatel meetoditel kas samas votildei eri laborites votildei ka samal meetodil eri laborites votildeib sageli anda vaumlga vaumlaumlrtuslikku infot motildeotildetemeetodi kohta Motildeotildetemeetodi kohta tehtud hinnangute usaldusvaumlaumlrsuse kontrollimiseks ja suumlstemaatiliste efektide (motildeotildetehaumllvete ) vaumlljaselgitamiseks on uumlldiselt kasulik teostada toumloumletalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus

Paljude motildeotildeteprotseduuride korral eriti aga motildeotildetevahendite kalibreerimisel leiab aset tundmatu objekti votilderdlus tuntud laumlhedaste karakteristikutega etaloniga et motildeotildeta votildei kalibreerida tundmatut objekti Niisuguste objektide naumlitena votildeib mainida kaaluvihtide votildei takistite komplekte pikkusotsmotildeotildete termomeetreid ja suure puhtusega aineid Antud juhul ei ole kasutatavad motildeotildetemeetodid enamasti ebasoodsalt motildejutatud motildejuritest tekitatud efektidest kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad uumlhesugusel (sageli ennustataval) viisil efektidest esilekutsutud muutustele

Motildenes praktilises motildeotildetesituatsioonis on aga objekti valikul ja selle kaumlsitlemisel siiski palju suurem osa Enamasti kehtib see looduslike materjalide keemilise analuumluumlsi korral Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (toumloumletalonist etalonainest votildei sertifitseeritud etalonainest) on looduslikud materjalid sageli mittehomogeensed Nimetatud mittehomogeensus kutsub esile tavaliselt kaks taumliendavat maumlaumlramatuse komponenti Esimese hindamiseks on vaja maumlaumlrata kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analuumluumlsitavat laumlhtematerjali Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis maumlaumlrata ulatus mil maumlaumlral votilderreldava tundmatu objekti mitteanaluumluumlsitavad koostisosad motildejutavad motildeotildetmise tulemust

Motildenel juhul teeb eksperimendi hoolikas kavandamine votildeimalikuks objekti valikust tingitud maumlaumlramatuse hindamise Tavaliselt on siiski motildeotildeteobjektist tuleneva maumlaumlramatuse hindamiseks vajalikud motildeotildetja (analuumluumlsija) kogemustest ammutatud oskused ja teadmised ning kogu hetkel kaumlttesaadav info selle tundmatu motildeotildeteobjekti kohta

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitl us (kaalutud keskmiste meetod)

Uumlhe ja sama suuruse Yi mitmel erineval viisil (meetodil) votildei erinevates laborites motildeotildetmisel saadud tulemuste yj (j = 1 2 J) liitmaumlaumlramatused u(yj) votildeivad uumlksteisest oluliselt erineda Votildettes kotildeik saadud motildeotildetetulemused aluseks motildeotildetesuuruse Yi vaumlaumlrtuse parima hinnangu saamiseks on eriti vaumlikese motildeotildetetulemuste arvu (J = 2 3 votildei 4) korral otildeiglase hinnangu saamiseks potildehjust arvestada vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi rohkem kui suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi Seega on erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks sobiv kasutada kaalutud keskmist

110

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10 (51)

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

Et anda vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemustele suuremat kaalu kui tulemustele millel on suurem maumlaumlramatus valime motildeotildetetulemuste kaalud poumloumlrdvotilderdelisteks dispersioonidega st antud juhul liitmaumlaumlramatuste ruutude poumloumlrdvaumlaumlrtustega saades

)(

12

jj yu

g = (52)

Laumlhtudes seosest (52) saame kaalutud keskmise y0 liitmaumlaumlramatuse u(y0) arvutada votilderdusest

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)( (53)

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderdlusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elektronkaaluga Motildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitmaumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitmaumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

Motildeotildetetulemuste m1 ja m2 kaalud g1 ja g2 on valemi (52) jaumlrgi

22

121 mg100

mg)10(

1

)(

1 minus===mu

g

22

222 mg25

mg)20(

1

)(

1 minus===mu

g

Kaalutud keskmine on seose (51) jaumlrgi

004162125

52250

25100

005222500392100

25100

005222500392100

1

10 ==

+sdot+sdot

=+

sdot+sdot=

sdot

=

sum

sum

=

=J

jj

J

jjj

g

mg

m g

Kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatuse saame votilderdusest (53)

g0000089mg0890mg125

1

25100

11)(

2

1

0 ===+

==minus

=sum

J

jjg

mu

Antud juhul on motildeotildetesuuruse m0 vaumlaumlrtuse parim hinnang

111

m0 = 200416 g standardmaumlaumlramatusega g000009)( 0 =mu

Nagu naumlitest selgub ei motildejusta suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m2 = 20052 g lotildepptulemust

m0 = 20042 g kuigi palju Lihtne aritmeetiline keskmine g00462=m oleks siiski antud olukorras maumlrksa halvem keha massi hinnang kui vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m1 = 20039 g uumlksinda

Kotildeik senitehtu on tehniline arvutamine Nuumluumld vaatame antud naumlidet sisulise kuumllje pealt Teeme joonise kanname sinna nii motildeotildetetulemused kui ka standardmaumlaumlramatused ning kaalutud keskmise koos standardmaumlaumlramatusega ning aritmeetilise keskmise (allolev joonis) Naumleme et kogu see tehtud arvutus ei oma fuumluumlsikalist motildetet kuna votildeime uumlsna kindlalt vaumlita et uumlks motildeotildetmistest ei saa olla otildeige sest nende standardmaumlaumlramatused ei kattu ja isegi kaks korda laiemad ehk 95 usaldusnivool olevad laiendmaumlaumlramatused ei kattu Seega tuleb kaalutud keskmise arvutamise asemel hakata uurima kummas motildeotildetemeetodis votildeiks viga olla

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

Joonis Mustaga on toodud motildelema motildeotildetmise tulemus koos liitmaumlaumlramatusega punane pidev joon on kaalutud keskmine punased katkendjooned on kaalutud keskmine plusmn kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatus sinine joon on motildelema motildeotildetmise aritmeetiline keskmine

Naumlide 52 Nihikuga eseme pikkuse motildeotildetmine Nihiku laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on vastavalt kalibreerimistunnistusele 0084 mm Uumllesandeks on purskkaevus oleva raudtoru laumlbimotildeotildedu motildeotildetmine Vee ja seega ka toru temperatuur on 5 degC Toru motildeotildedeti 9-st erinevast kohast Toru laumlbimotildeotildeduks saadi keskmiselt 125124 mm ning standardmaumlaumlramatuseks saadi 0048 mm Mis oleks selle toru laumlbimotildeotildeduks temperatuuril 21 degC ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

112

Motildeotildetetulemus l20 sotildeltub meil temperatuuril 5 degC votildeetud nihiku naumlidust l5 ning raua soojuspaisumis-tegurist CFe seega on motildeotildetmise mudel

)( 521 FeClfl =

ning vastav valem on

)1(55521 TCllTCll FeFe ∆sdot+sdot=sdot∆sdot+= (54)

Wikipedia andmetel on raua soojuspaisumistegur temperatuuri 25 degC piirkonnas CFe = 118 microm m-1 K-1 Kuna tundub et tegemist on vaumlga vaumlikese efektiga vaatame kogu soojuspaisumise efekti kui uumlhte maumlaumlramatuse komponenti ehk CFe = 0 u(CFe) = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1

Leiame osatuletised

100018881)521(1081111 6

5

21 ==minussdotsdot+=∆sdot+=partpart minusTC

l

lFe

0022)521(1251240521 =minussdot=∆sdot=

partpart

TlC

l

Fe

m K

Eeldame et temperatuuri motildeotildetmise viga on teist jaumlrku vaumlike suurus sest kui me eeldame et kogu temperatuuri muutusest tingitud efekt on vaumlheoluline siis pole oluline ka taumlpne temperatuuri muutus ise

Leiame standardmaumlaumlramatused

mm01609

0480)( 5 ==luA

Kuna nihiku laiendmaumlaumlramatus on antud usaldusnivool 95 siis selleks et saada standardmaumlaumlramatust tuleb see laumlbi jagada koefitsiendiga k Sellistel puhkudel eeldatakse et kalibreerimisel oli vabadusastmete arv kuumlllalt suur ning Studenti koefitsient oli ligikaudu k = 2 Seega saame et

mm04202

0840)( 5 ==luB

Nihiku naumlidu koondstandardmaumlaumlramatus temperatuuril 5 degC on seega

mm04470microm74417642564216)()()( 225

25

25 ==+=+=+= lululu BAC (55)

siin vahearvutustes kasutasime uumlhikuid microm

Leiame nuumluumld toru laumlbimotildeotildedu standardmaumlaumlramatuse temperatuuril 21 degC

113

( ) ( )

( ) ( ) mm05100505500447000236

mm044701 Kmmm00118Km0022

)()()(

22

2211

52

2

5

212

2

2121

==+=

=sdot+sdotsdotsdotsdot=

=

partpart

+

partpart

=

minusminus

lul

lCu

C

llu Fe

Fe

(56)

Tingimus (45) ei ole taumlidetud sest 0023600506 = 047 gt 03 Seega osutus soojuspaisumine siiski piisavalt oluliseks ehk toodud taumlpsuse juures tuleb seda arvestada

Leiame nuumluumld koefitsiendi k laiendmaumlaumlramatuse arvutamiseks A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv oli 8 ning uumllejaumlaumlnud maumlaumlramatuse komponendid omavad lotildepmatult suurt vabadusastmete arvu Nihiku koondmaumlaumlramatuse arvutusest (48) on naumlha et potildehilise osa andis B-tuumluumlpi maumlaumlramatus lotildepmatult suure vabadusastmete arvuga seega on ka efektiivsete vabadusastmete arv suur seega votildeime votildetta koefitsiendi k vaumlaumlrtuseks k = 196 asymp 2

Eeltoodud arutelu kinnituseks arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu

82501600510

80420

80160023600510

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

effyu

yu

ν

ν

mm10005102)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 12512 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 010 mm

Lahendus 2

Votildetame kogu soojuspaisumise efekti toru laumlbimotildeotildedu arvutuses arvesse ehk CFe = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1 kuna tema motildeju on arvatavasti vaumlga vaumlike jaumltame temast tingitud maumlaumlramatuse arvesse votildetmata ehk u(CFe) = 0

Arvutame valemi (47) potildehjal vaumllja toru laumlbimotildeotildedu temperatuuril 21 degC

mm1481250240124125125124016011801241255521 =+=sdotsdot+=sdot∆sdot+= lTCll Fe

Maumlaumlramatuse arvutusel on valemis (48) u(CFe) = 0 seega on

( ) ( )

( ) mm044004370

043701 00022

)()()(

2

22

52

2

5

212

2

2121

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

= lul

lCu

C

llu Fe

Fe

Laiendmaumlaumlramatuse arvutuses on analoogilisel potildehjusel eelmise lahendusega koefitsient k = 2 ehk laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

114

mm088004402)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 125148 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 0088 mm

Motildelemal meetodil saadud toru laumlbimotildeotildedud koos laiendmaumlaumlramatustega on toodud alloleval joonisel

12500

12505

12510

12515

12520

12525

0 05 1 15 2 25

115

6 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimi ne

61Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid on tehnilised vahendid millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette naumlhtud motildeotildetmiseks

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedud bull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihid bull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takistussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid) 3 motildeotildetemuundurid 4 abimotildeotildetevahendid 5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Motildeotildedud on seadeldised mingi fuumluumlsikalise suuruse reprodutseerimiseks Naumlide kaaluvihid

Motildeotildeteriist on motildeotildetevahend mis votildeimaldab saada motildeotildeteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul Naumlide osutmotildeotildeteriistad klaas-vedelik termomeetrid

Motildeotildetemuundur on ette naumlhtud motildeotildeteinfo saamiseks muundamiseks edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks kuna puudub naumliduseadis Naumlide motildeotildetevotildeimendid Motildeotildetemuundurite eriliigiks on andurid esmase motildeotildeteinfo saamiseks Naumlide termopaar niiskusmotildeotildetja mahtuvuslik andur

Abimotildeotildetevahendid on seadmed millega kontrollitakse motildeotildeteriista toumloumltingimusi fuumluumlsikalisi motildejureid jne Naumliteks kuivelemendi elektromotoorjotildeu maumlaumlramise toumloumls kasutatakse normaalelementi elektromotoorjotildeu standardi reprodutseerimiseks motildeotildetmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga

Motildeotildetesuumlsteem on mitmest eelpoolmainitud motildeotildetevahendist koostatud seadeldis

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonna bull motildeotildetediapasooni bull tundlikkuse bull motildeotildetevea jne

611 Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Motildeotildetetulemus sotildeltub peale motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse muu juhusliku muutuse mingil maumlaumlral ka motildeotildetetingimustest Motildeotildetevahendi kalibreerimistulemused kehtivad kalibreerimistunnistuses esitatud maumlaumlramatusega ainult siis kui motildeotildetevahendile motildejuvad suurused nagu temperatuur otildehuniiskus otildehurotildehk motildeotildetevahendi kaldenurk horisontaalasendist haumlirevaumlljad jms on kalibreerimisel kehtinud piirides

116

Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi kirjeldatakse motildeotildetevahendi naumlidule motildejuvate suuruste vaumlaumlrtuste abil Motildejuvate suurustena ehk motildejuritena vaadeldakse ainult neid suurusi mille motildeju motildeotildetetulemusele on praktiliselt votildeimalik maumlrgata ja kindlaks teha Naumliteks pikkusmotildeotildetevahenditega motildeotildetmisel on temperatuur motildejuv suurus otildehurotildehk aga vaumlhemotildejuv suurus Iga motildeotildetevahendi kohta on normdokumentidega tavaliselt kindlaks maumlaumlratud neli erinevat kasutamistingimuste piirkonda Need on

1 Normaaltingimused on tingimused mis kehtestatakse motildeotildetevahendi metroloogiliseks kontrolliks votildei motildeotildetetulemuste vastastikuseks votilderdlemiseks Leppetingimused on kotildeige soodsamad motildeotildetetingimused ja need hotildelmavad tavaliselt arvessevotildeetud motildejurite nimivaumlaumlrtusi votildei nimipiirkondi Universaalseid normaaltingimusi ei ole need kehtestatakse individuaalselt igale motildeotildeteriistale (temperatuuri- niiskuse- otildehurotildehu- toitepinge vahemik jne) Naumliteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23000 plusmn 0005) degC Tavalistel seadmetel on see 20 degC votildei 23 degC uumlmbruses plusmn 01 kuni plusmn 5 degC

2 Toumloumltingimused on motildeotildetevahendi kasutamistingimused mille korral motildeotildetevahendi metroloogilised omadused on eeldatavalt etteantud piirides Viimased on tavaliselt kirjeldatud motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis Tavaliselt vaumlljendavad toumloumltingimused motildeotildetesuuruste ja motildejurite etteantud vaumlaumlrtusi votildei nende hulka

3 Piirtingimused on tingimused mille iseloomustavate suuruste motildejule motildeotildetevahend peab vastu pidama riketeta ja metroloogiliste omaduste halvenemiseta tema edasisel kasutamisel toumloumltingimustel Motildeotildetevahendi saumlilitamise transportimise ja kasutamise piirtingimused votildeivad uumlksteisest erineda Piirtingimused votildeivad sisaldada motildeotildetesuuruste ja motildejurite piirvaumlaumlrtusi

4 Saumlilitamise tingimused on tingimused mis ei kahjusta motildeotildetevahendit ka pika aja jooksul

Kolme esimese tingimustepiirkonna omavahelisi suhteid iseloomustab joonis 61 Saumlilitamise tingimused reglementeeritakse motildeotildetevahendi toumloumltingimustest sotildeltumatult Nad ei ole kunagi piirtingimustest laiemad ega normaaltingimustest kitsamad aga toumloumltingimustest votildeivad nad olla kitsamad votildei laiemad olenevalt konkreetse motildeotildetevahendi omadustest

Standard ISO 1 on kehtestanud toumloumlstuslike pikkusmotildeotildetmiste valdkonnas universaalseks normaaltemperatuuriks 20 degC Motildeotildetevahendite spetsifikatsioonidest naumlhtub et normaaltemperatuuri piirkonnad sisaldavad reeglina universaalse normaaltemperatuuri vaumlaumlrtuse Tuumluumlpilised normaaltemperatuuri piirkonnad on 18 degC 22 degC ja 15 degC 25 degC

117

Joonis 61 Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi iseloomustavate piirkondade suhted

612 Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis maumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samuti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteliikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga xoo ∆∆ Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud

viga normaaltingimustel Absoluutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotildedetav suurus satub intervalli [ ]oo ∆+∆minus Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

Naumlide 61 Esimeses praktikumi toumloumls kasutatava nihiku absoluutpotildehiviga on 005 mm

Naumlide 62 Kaaluvihid klassifitseeritakse viide taumlpsusklassi Kasutatud klassile vastavad absoluutpotildehivea vaumlaumlrtused leitakse vihtide komplekti tehnilisest dokumentatsioonist

Naumlide 63 Olgu meil keha kaalumiseks vaja kolme vihti ndash 1 kg 50 g ja 2 g Kasutades selle keha kaalumiseks 3 klassi vihte saame potildehiveaks

mg41215360312m∆ 222o ==++=

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse jaoks saame mg 273

412B ==u

Kaaludes sama keha 4 klassi vihtidega saame potildehiveaks

mg12415300630120m∆ 222o ==++=

Maumlrkus Kaalumisel tuleks alati kasutada votildeimalikult vaumlhe st votildeimalikult suuri vihte Viimase vaumlite illustreerimiseks arvuta ise kaaluvihtide viga juhu jaoks kus keha kaalumiseks kasutati 21 50 g-list ja uumlhte 2 g-list vihti

118

2 Suhtpotildehiviga 100ooo

tx

xx

∆=equiv δδ Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme

esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vaumlaumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritolu seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena KЛACC

3 Taandpotildehiviga 100norm

ooo x

xx

∆=equiv γγ Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel

see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on kantud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne Kasutusel on taumlpsusklasside rida

n10)0605040352025101( sdot kus 2101 minusminus=n

Naumlide 64 Oletame et motildeotildetsime voltmeetriga alalispinge vaumlaumlrtuseks V2587=U Voltmeetri

klass olgu 05 ja skaala ulatus V1000=skU Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist

absoluutpotildehivea 100

skoo

UU

γ=∆ ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V923100

100050

31003

∆ oo =sdot

sdot=

sdot== sk

B

UUu

γ

4 Konstandid e ja f kujul e f taandpotildehivea arvutamiseks valemist

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

Naumlide 65 Oletame et motildeotildetsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivvaumlaumlrtuseks V08015naumlit =U Olgu voltmeetri taumlpsusklass esitatud kujul 005 002 ja oletame et kasutasime

voltmeetri piirkonda skU = 20 V Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist absoluutpotildehivea

V 01130100

201

08015

20020050

100sko

o =sdot

minussdot+==∆

UU

γ

ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V006503

01130

3

∆oB ===

Uu

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildeteriista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lugeda mis veaga on tegemist

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasutatakse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

D2rdg 250 +=Taumlpsus

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade puhul kotildeige levinum

119

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi absoluutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha kaks uumlhikut

Oletame et saime multimeetriga motildeotildetes pinge vaumlaumlrtuseks U = 625 V Siis absoluutpotildehiviga

V040V020V0160V020V256100

250∆o asymp+=+sdot=

120

62 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

621 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus

Vaumlga paljude motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides on esitatud motildeotildetevahendite kostekarakteristika mida nimetatakse ka vaumlljundkarakteristikaks Kostekarakteristika on motildeotildetevahendi sisendi ehk stiimuli ja sellele vastava vaumlljundi ehk koste vaheline sotildeltuvus maumlaumlratletud tingimustel Naumlitena votildeib nimetada termopaari elektromotoorjotildeudu temperatuuri funktsioonina Stiimuli ja koste vahelist sotildeltuvust votildeib vaumlljendada algebralise votilderrandi tabeli votildei graafiku kujul

Samuti on motildeotildetevahendi uumlhe metroloogilise omadusena spetsifikatsioonis tavaliselt toodud motildeotildetevahendi tundlikkus mis on koste muutuse ja selle tekitanud stiimuli muutuse suhe st

X

xT

∆∆

=

kus T ndash motildeotildetevahendi tundlikkus

∆x ndash motildeotildetevahendi naumlidu (motildeotildedise) muutus

∆X ndash motildeotildetesuuruse muutus

Tundlikkuse naumlitena votildeib tuua 1 microm jaotisevaumlaumlrtusega mikromotildeotildeturi (uumllekanne 10001) mille tundlikkus on 1 mm 0001 mm kohta sest motildeotildetesuuruse muutus 0001 mm votilderra tekitab naumlidikus viida nihke ehk lugemi muutuse 1 mm

Motildeotildetevahendi tundlikkusega on tihedalt seotud kostelaumlvi Kostelaumlvi on stiimuli suurim muutus mis ei tekita koste maumlrgatavat muutust eeldusel et stiimul muutub aeglaselt ja monotoonselt Motildeotildetevahendite kostelaumlvi votildeib sotildeltuda naumliteks sisemisest votildei vaumllisest muumlrast liikuvate osade vahelisest hotildeotilderdumisest aga ka stiimuli vaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi naumlidu votildetmisel on vaumlga taumlhtis naumlidiku lahutusvotildeime st naumlidikult saadavate naumlitude vaumlikseim erinevus mida on votildeimalik motildettekalt eristada Numbernaumliduga naumlidiku korral on selleks naumlidu muutus kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu (numbersammu) votilderra Skaala ja viidaga varustatud naumlidikuga motildeotildeteriistade korral maumlaumlrab lahutusvotildeime potildehiliselt skaalajaotuse pikkus Uumlldiselt on motildeotildeteriistadel tunnetatav naumlidu muutus mis on vaumlhemalt 15 skaalajaotuse pikkusest

Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste hulka kuulub ka suikeulatus st maksimaalne piirkond milles sisendit ehk stiimulit votildeib motildelemas suunas muuta ilma et muutuks vaumlljund ehk koste Motildeotildetesuuruste vaumlaumlrtusteks mille juures maumlaumlratakse motildeotildetevahendi suikeulatus valitakse tavaliselt motildeotildetepiirkonna alumise ja uumllemise piirvaumlaumlrtuse laumlhedased vaumlaumlrtused vahel ka motildeotildetepiirkonna keskmine vaumlaumlrtus Motildeotildetepiirkonna suikeulatust potildehjustavad hotildeotilderdumine surnud kaumlik elastsed motildejud huumlsterees jms Suikeulatus ei ole alati konstantne eriti liikuvate osade vahelise hotildeotilderdumise votildei hotildeotilderdeteguri muutuse totildettu Tavaliselt maumlrgitakse motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides et suikeulatus on vaumliksem teatud piirvaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi reageerimisvotildeimet motildeotildedetavale suurusele iseloomustab kosteaeg See on ajavahemik hetkest millal sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni millal vaumlljund ehk koste jotildeuab ja jaumlaumlb etteantud piiridesse oma puumlsiva lotildeppvaumlaumlrtuse uumlmbruses Naumliteks termomeeter huumlgromeeter

121

Eristatakse ka veel motildeotildetevahendi reageerimisaega milleks on ajavahemik hetkest mil sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni mil vaumlljund ehk koste jotildeuab etteantud leppevaumlaumlrtuseni Naumliteks gaasianaluumlsaatori reageerimisaeg t10 vastab tasemele 10 gaasikontsentratsiooni lotildeppvaumlaumlrtusest naumlidikul

Motildeningad motildeotildetevahendid ei ole neutraalsed motildeotildedetava objekti votildei motildeotildetesuuruse suhtes ja votildeivad neid moonutada Seega iseloomustab motildeotildetevahendeid ka niisugune omadus nagu moonutusvabadus See on motildeotildetevahendi votildeime mitte motildejutada motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust Naumliteks votilderdotildelgne kaal on moonutusvaba aga takistustermomeeter mis soojendab ainet mille temperatuuri motildeotildetmiseks ta on ette naumlhtud ei ole moonutusvaba

622 Motildeotildetevahendi taumlpsus

Motildeotildetevahendite uumlheks kotildeige taumlhtsamaks omaduseks on taumlpsus Taumlpsus on motildeotildetevahendi votildeime anda motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele laumlhedasi kosteid Sellest maumlaumlratlusest ilmneb et motildeotildetevahendi taumlpsus on kvalitatiivne motildeiste sest ta on naumlidu ja motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse kokkulangevuse naumlitaja

Kvantitatiivselt hinnatakse motildeotildetevahendi taumlpsust motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe abil See on ka motildeotildetevahendi naumlidu ja sisendsuuruse vaumlaumlrtuse vahe Selles taumlhenduses kasutatakse ka motildeistet naumliduviga mis viitab mittesoovitud kotildervalekaldele Kuna aga motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik teada peame praktikas motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse asemel kasutama selle mingit leppevaumlaumlrtust Hinnangu motildeotildetevahendi suumlstemaatilisele naumliduhaumllbele saame motildeotildetevahendi kalibreerimisel kusjuures leppevaumlaumlrtuseks on etaloniga realiseeritud suuruse vaumlaumlrtus Motildeotildedu puhul on suumlstemaatiliseks naumliduhaumllbeks sellele omistatud kirjevaumlaumlrtuse kotildervalekalle vaumlaumlrtusest mille saame motildeotildedu kalibreerimisel Motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe votildeib esitada ka suhtelise naumliduhaumllbe kujul st motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe ja vastava leppevaumlaumlrtuse suhtena

Nagu varem oleme totildedenud esineb praktilistel motildeotildetmistel paraku alati motildeotildetetingimuste juhuslikke muutusi mis potildehjustavad juhuslikke muutusi saadud motildeotildedistes Osa neist tulenevad vaumllismotildejudest teine osa aga motildeotildetevahendi omadustest Motildejude eristamine notildeuaks vaumlga mahukaid uurimisi Kotildeikide juhuslike motildejude minimeerimiseks kordame motildeotildetmist korduvustingimustel ja keskmistame tulemuse Selle ja kasutatud suuruse leppevaumlaumlrtuse vahe annabki meile suumlstemaatilise naumliduhaumllbe hinnangu Motildeotildetevahendi votildeimet anda naumlite mis on vabad suumlstemaatilisest naumliduhaumllbest kirjeldatakse motildeotildetevahendi otildeigsusega

623 Stabiilsus ja triiv

Kasutaja seisukohast on taumlhtis et motildeotildetevahend saumlilitaks oma metroloogilised omadused ajaliselt muutumatutena Seda motildeotildetevahendi omadust nimetatakse stabiilsuseks Stabiilsust votildeib iseloomustada naumliteks aja kaudu mille jooksul metroloogilised omadused muutuvad etteantud maumlaumlral votildei omaduse muutuse kaudu etteantud ajavahemiku jooksul Kui motildeistet motildeotildetevahendi stabiilsus kasutatakse mingi teise suuruse kui aja suhtes tuleb see kasutusviis eraldi aumlra maumlrkida Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste aeglast ajalist muutumist nimetatakse triiviks Triivi potildehjuseid votildeib olla mitmeid naumliteks rauast kaaluvihi roostetamine mistotildettu tema mass langeb samuti votildeib takistustraadi pind reageerida motildene otildehu koostisosaga ning seelaumlbi votildeib tema takistus ajapikku muutuda Kui seadmel on liikuvaid osasid nagu naumliteks tiivikanemomeetril siis temas olev maumlaumlre votildeib vananeda ning hotildeotilderdetakistus votildeib hakata vaumlhehaaval suurenema

122

624 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime

Et hinnata motildeotildetevahendi votildeimet anda laumlhedasi kosteid kui motildeotildetmine toimub samadel tingimustel ja sama stiimuli korduval rakendamisel tuleb seda motildeotildetevahendit katsetada korduvustingimustel Kuna motildeotildetevahendi naumlidu korduvusvotildeimet saab kvantitatiivselt vaumlljendada naumlitude (motildeotildediste) jaotuskarakteristikute abil siis nende katsete tulemusel saab leida korduvusstandardhaumllbe hinnangu sr (vajadusel saab selle kohta taumlpsemalt lugeda raamatust Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused Laaneots ja Mathiesen)

625 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

Kotildeikide motildeotildetevahendi metroloogilistest omadustest tulenevate efektide motildeju motildeotildetevahendile votildeetakse arvesse naumliduhaumllbe piiride (piirvea veapiiride) maumlaumlramisel Viimase all motildeeldakse motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis kasutamisjuhendis otildeigusaktis votildei motildenes muus dokumendis lubatud naumliduhaumllbe piirvaumlaumlrtust Tavakasutuses votildeime uumlldiselt oletada et motildeotildetevahendi kasutamisel saadud juhuslik naumliduhaumllve ei uumlleta motildeotildetevahendile etteantud naumliduhaumllbe piire

Motildenes metroloogia valdkonnas kasutatakse ka terminit motildeotildetevahendi naumlidu taandhaumllve (taandviga) Selle motildeiste all motildeeldakse naumliduhaumllbe piiri ja mingi antud motildeotildetevahendi jaoks kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtuse suhet Kui see kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtus on motildeotildetevahendi skaalanaumlidiku uumllemine piir siis maumlaumlrab naumlidu taandhaumllve protsentides tavaliselt motildeotildetevahendi taumlpsusklassi Naumliteks motildeotildetevahendi naumlidu lubatud taandhaumllbe 01 korral votildeib sellele motildeotildetevahendile omistada taumlpsusklassi 01

Tingituna motildeotildetevahendi konstruktsioonist votildei teatud kasutamisalast ei pruugi positiivsed ja negatiivsed naumliduhaumllbed olla votilderdsed Seepaumlrast votildeib moodustada ka erinevad naumliduhaumllbe piirid Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid maumlaumlratakse tavaliselt kindlaks kooskotildelastuste ettekirjutuste riigi poolt allkirjastatud lepingute (Euroopa Liidu juhised) aga ka kalibreerimis- votildei taatluseeskirjade alusel Taatluseeskirjad ja nende kehtivus on tavaliselt normitud neid vaumlljaandva riigi tasandil Kvantitatiivselt esitatakse naumliduhaumllbe suumlmmeetrilised piirid tavaliselt kas konstantsetena motildeotildetesuuruse uumlhikutes motildeotildetevahendi kogu motildeotildetepiirkonna ulatuses st ∆ = a votildei naumliduga proportsionaalsetena st ∆ = bx votildei eelneva kahe summana st ∆ = a + bx

63 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid

631 Kalibreerimine ja justeerimine

Motildeotildetevahend kalibreeritakse motildeotildetetulemuse seostatuse saavutamiseks Kalibreerimine on menetlus mis fikseeritud tingimustel maumlaumlrab kindlaks seose motildeotildetevahendi poolt esitatud vaumlaumlrtuse (naumlidu motildeotildedise) ja etaloni abil realiseeritud suuruse vastava vaumlaumlrtuse vahel

Motildeistet kalibreerimine ei tohi segi ajada motildeistega justeerimine Viimane on tegevus mille eesmaumlrgiks on motildeotildetevahendi viimine kasutamiseks sobivasse toumloumlrežiimi Justeerimine notildeuab seega tehnilist vahelesegamist mille tulemusena votildeib muutuda motildeotildetevahendi kostekarakteristika Naumliteks kaaluviht justeeritakse ettenaumlhtud kirjevaumlaumlrtuseni mahaviilimise votildei pliihaavli juurdelisamisega mis taumlhendab kaaluvihi massi muutmist kirjevaumlaumlrtuse laumlhedusse Teise naumlitena votildeib nimetada takistusmotildeotildedu justeerimist leppevaumlaumlrtuseni traadi pikkuse muutmisega ja balanssiiri (ankru) justeerimist soovitud votildenkesageduseni spiraalvedru jaumlikuse muutmisega Motildeotildetevahendit saab justeerida ka tema votilderdlemisel taumlpsema motildeotildedu votildei motildeotildetevahendiga paigutades selleks

123

motildeotildetevahendisse motildeotildetesignaali muutva luumlli Justeerimise kaumligus rakendatakse reguleerimisvotildeimalusi mis ei tarvitse olla kaumlttesaadavad tavakasutajale

Justeerimist mille kaumligus rakendatakse ainult motildeotildetevahendi kasutajale ettenaumlhtud reguleerimisvotildeimalusi nimetatakse motildeotildetevahendi seadmiseks Naumliteks motildeotildetepiirkonnaga uumlle 25 mm kruviku korral on enne motildeotildetetoimingu algust tarvis kruviku komplektis oleva seademotildeotildedu abil saumlttida paika nullnaumlit Motildeningate teiste motildeotildetevahendite korral taumlhendab seadmine motildeotildetevahendi alg- ja lotildeppnaumlidu reguleerimist Motildeotildetevahendil mida seadistatakse mingis naumliduseadise votildei skaala kindlas punktis toimub reguleerimine motildeotildetevahendi komplektis oleva seademotildeotildedu sertifitseeritud etalonaine votildei muu kindlalt maumlaumlratletud objekti jaumlrgi nii et naumlit oleks votildeimalikult laumlhedane seadeobjekti kirjevaumlaumlrtusele (nimivaumlaumlrtusele)

Enne kalibreerimisele asumist tuleb kontrollida kas tellimus naumleb ette motildeotildetevahendi eelnevat justeerimist votildei mitte Kui justeerimisvajadus on ilmne aga ei kajastu tellimuses tuleb kuumlsimus kooskotildelastada tellijaga Potildehjuseks on see et justeerimisega muudetakse motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi mille katkematu jaumllgimine votildeib olla oluline motildeotildetevahendi valdajale Valdaja votildeib naumliteks kasutada motildeotildetevahendit etalonina votildei kontrollmotildeotildeduna

Kalibreerimise maumlaumlratlusest johtub et erinevalt motildeotildetevahendi justeerimisest ei toimu kalibreerimisel tehnilist vahelesegamist Naumlidikuga motildeotildetevahendi kalibreerimisel tehakse kindlaks naumlidu ja motildeotildetesuuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve motildeotildetude korral aga motildeotildedu kirjevaumlaumlrtuse ja leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve Kalibreerimisega on tegu ka siis kui maumlaumlratakse naumliteks pingemotildeotildeturi skaalategur votildei tehakse kindlaks skaalaga varustatud ampermeetri naumlitude ja voolutugevuse leppevaumlaumlrtuste vahelised motildeotildetehaumllbed Kalibreerimismenetluse erijuhtumiks on tingskaalaga varustatud motildeotildetevahendi gradueerimine st motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtustele vastavate skaalamaumlrkide vahel ka ainult kindlate potildehimaumlrkide asetuse maumlaumlramine naumlituril

Kalibreerimisel saadud motildeotildetevahendi sisendsuuruse (motildeotildetesuuruse stiimulite) ja vaumlljundsuuruste (motildeotildediste kostete) vahelise sotildeltuvuse votildeib esitada tabeli graafiku votildei valemi abil Kalibreerimisel saadud arvuline tulemus ndash naumliduhaumllbe hinnang koos selle hinnangu maumlaumlramatusega ndash votildeimaldab kindlaks maumlaumlrata motildeotildetevahendi naumlidule vastava naumliduparandi mis on votilderdne naumliduhaumllbe hinnanguga kuid on vastandmaumlrgiga Kalibreerimistulemus esitatakse vastavas dokumendis mida nimetatakse kalibreerimistunnistuseks votildei ndasharuandeks

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et kalibreerimisel maumlaumlratakse kindlaks motildeotildetevahendilt saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu (naumlidu motildeotildedise) ja selle suuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline sotildeltuvus Seega on kalibreerimine kotildeige olulisem metroloogilise kontrolli liik Kalibreerimisel votildeib maumlaumlrata ka teisi motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi naumliteks hinnata motildejurite toimet naumlidule jne

Naumlide 68 Millise taumlpsusega peab olema valmistatud pendliga kella pendli pikkus et ta ei valetaks uumlhe kuu (30 p) paumlrast rohkem kui uumlhe

minuti Pendli valem on g

lT π2=

Lahendus Avaldame pendli pikkuse l funktsioonina perioodist T ning konstantidest π ja g

124

2

2

2

2

442

πππ

sdotsdot

=rArr=sdot

rArr=gT

lg

lT

g

lT

Pendli pikkus peaks olema

mm4053248m248405304

8066591

4 2

2

2

2

==sdot

sdot=

sdotsdot

=ππ

gTl

Leiame nuumluumld pendli pikkuse tuletise perioodi jaumlrgi

T

lgT

T

l 2

4

22

=sdotsdot

=partpart

π

Pendli perioodi erinevust uumlhest sekundist taumlhistame ∆T-ga vaumlikest pendli pikkuse erinevus taumlhistame ∆l-ga seega

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

Arvutame nuumluumld vaumllja suhte ∆TT

∆T = 1 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit seega

0000231043200

1asymp=

∆T

T

Pendli pikkuse erinevus otildeigest vaumlaumlrtusest votildeib siis olla maksimaalselt

mm011043200

1mm24822 =sdotsdot=

∆sdot=∆

T

Tll

Seega peab olema kella pendli pikkus 248405 mm plusmn 0011 mm et kell ei eksiks uumlhe kuu jooksul rohkem kui uumlhe minuti

Naumlide 69 Jaumltkame pendli uumllesannet Vanaisa seinakell on aegade algusest saadik maha jaumlaumlnud ligikaudu 5 minutit igas kuus Kuidas seda kella justeerida et kell hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Lahendus

Seose pendli pikkuse ja kella ebataumlpsuse vahel leidsime juba eelmises naumlites kasutame seda et leida pendli pikkuse ebataumlpsus

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

∆T = 5 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit l = 248405 mm seega

mm057043200

52482 =sdot=

∆sdot=∆

T

Tll

125

Kuna kell jaumlaumlb maha siis jaumlrelikult kaumlib kell liiga aeglaselt seega on pendel liiga pikk jaumlrelikult tuleb pendlit luumlhemaks teha Seega on meil vaja pendli pikkust luumlhendada ligikaudu 006 mm votilderra Tekib kuumlsimus et kuidas uumlldse motildeotildeta pendli pikkust Mehaanika teadmistest laumlhtuvalt votildeime votildetta pendli pikkuseks vahemaa pendli votildenkumistelje ning pendlisuumlsteemi masskeskme vahel Siit saab ka juba idee pendli pikkuse muutmiseks ndash tuleb nihutada pendli masskeset Naumliteks laumlhtudes pildil oleva kella pendli kujust ndash pendli pommi uumllemisse otsa (et masskeset teljele laumlhemale viia) tuleb kinnitada uumlks lisaraskus Selle lisaraskuse massi hindamiseks on tarvis teada pendli massi ning tema kaugust votildenkumisteljest Oletame et oleme hinnanud pommi massiks 200 grammi ning joonlauaga motildeotildetnud et kaugus pendli votildenkumistelje ning planeeritud lisamassi asukoha vahel on 190 mm Kasutame nuumluumld masskeskme arvutamise valemit (mis on identne aritmeetilise keskmise arvutamise valemiga)

lisamasslisamasspendelpendelkogukeskmine mlmlml sdot+sdot=sdot

( ) lisamasslisamasspendelpendellisamasspendelkeskmine mlmlmml sdot+sdot=+sdot

pendelkeskminependelpendellisamasslisamasslisamasskeskmine mlmlmlml sdotminussdot=sdotminussdot

Avaldame nuumluumld suuruse mlisamass

( )

20190248

0570200

lisamasskeskmine

keskminependelpendellisamass =

minussdot

=minus

minussdotsdot=

ll

llmm g

Seega peab pendlile lisama 02 g-se lisaraskuse et ta hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Totildeenaumloliselt ei olnud pendli massi hinnang 200 g kuigi taumlpne seega kell ei kaumli ikka taumlpselt Kui nuumluumld uuesti leida kui palju kell valetab on saadud tulemusest votildeimalik vaumllja arvutada pendli mass ning selle kaudu taumlpsem lisamassi raskus

632 Tuumluumlbikinnitus

Tuumluumlbikinnitus on toiming mille kaumligus tehakse motildeotildetevahendi dokumentatsiooni ja tuumluumlbihindamise tulemuste alusel kindlaks kas antud tuumluumlpi motildeotildetevahendiga motildeotildetmisel votildeib eeldada etteantud taumlpsuse saumlilimist kindlaksmaumlaumlratud ajavahemiku jooksul Kotildeneallolev motildeotildetevahend peab olema gradueeritud seaduslikes uumlhikutes Tuumluumlbikinnituse tulemusena vaumlljastatakse tuumluumlbikinnitustunnistus See sisaldab motildeotildetevahendi antud tuumluumlbi metroloogiliste omaduste ning vajadusel lisatingimuste piirangute ja taumlhtaegade kirjelduse Tuumluumlbikirjeldus on kohustuslik motildeotildetevahenditele millele eri otildeigusaktis on kehtestatud taatluskohustus

Tuumluumlbikinnituse teostaja on tavaliselt riigi poolt seadusega maumlaumlratud riigiasutus (Eestis on selleks asutuseks Tehnilise Jaumlrelevalve Inspektsioon) Tuumluumlbikinnituse aluseks on tuumluumlbihindamine st uumlhe votildei mitme sama tuumluumlpi motildeotildetevahendi suumlstemaatiline vaatlus ja katsetamine dokumenteeritud notildeuete potildehjal Tuumluumlbihindamine toimub omaette asutuses milleks votildeib olla vastava motildeotildeteliigi alal akrediteeritud motildeotildetelabor Tuumluumlbihindamise tulemused dokumenteeritakse tuumluumlbihindamise aruandes

Tuumluumlbikinnitus antakse reeglina motildeotildetevahendile mille metroloogilised ja kasutusomadused vastavad kas Rahvusvahelise Legaalmetroloogia Organisatsiooni dokumentide OIML D ning soovituste OIML R votildei Euroopa Liidu direktiivides kehtestatud notildeuetele Kui motildeotildetevahend pole nimetatud dokumentides kajastatud siis on tuumluumlbikinnituse aluseks rahvusvaheliste standardimisorganisatsioonide (Rahvusvaheline Standardimisorganisatsioon ndash ISO Rahvusvaheline

126

Elektrotehnikakomisjon ndash IEC Euroopa Standardikomitee ndash CEN Euroopa Elektrotehnika Standardikomitee ndash CENELEC) standardite notildeuded

Motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituse taotlejaks votildeib olla motildeotildetevahendite valmistaja votildei tema volitatud esindaja votildei importija kes esitab vastava taotluse koos tuumluumlbihindamise aruandega kompetentsele riigiorganile (tuumluumlbikinnituse teostajale) See vaumlljastab notildeuetele vastavuse korral motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnitustunnistuse ja annab otildeiguse kanda motildeotildetevahendile tuumluumlbikinnitusmaumlrk

633 Taatlus

Taatlus on taatluseeskirjadele vastav menetlus mis hotildelmab motildeotildetevahendi vastavuse kontrollimist motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituses toodud metroloogilistele omadustele ja motildeotildetevahendi sellekohast maumlrgistamist otildeiguspaumldeva taatlusasutuse poolt Kontrollimisega selgitatakse kas motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjade notildeuetele eelkotildeige taatlushaumllbe piiride osas Maumlrgistamisega kinnitatakse vastavust Taatluseeskiri on paumldeva organi poolt kehtestatud kohustuslik tegutsemisreeglistik kindlat liiki votildei tuumluumlpi motildeotildetevahendite taatlemiseks Taatlus loob eelduse oletada et taatluskehtivusaja jooksul motildeotildetevahendi kasutamisel tema naumliduhaumllve jaumlaumlb lubatud piiridesse

Siinkohal meenutame et motildeotildetevahendi taatlust notildeutakse motildeotildetevahendi kasutamisel taatluskohustuslikus valdkonnas ning et taadelda saab ainult tuumluumlbikinnitust omavaid motildeotildetevahendeid Taatlus on liigitatud esma- kordus- ja erakorraliseks taatluseks Motildeotildetevahendi esmataatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas taatlusprotsessi seni mittelaumlbiteinud motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas motildeotildetevahend vastab jaumltkuvalt taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatlusele kuuluvad taatluskohustuslikes valdkondades kasutusel votildei kasutusvalmis olevad motildeotildetevahendid kindlate ajavahemike (taatluskehtivusaeg) jaumlrel Taatluskehtivusaja jooksul tuleb taatluskohustuslikku motildeotildetevahendit erakorraliselt taadelda juhul kui on totildeestatud et motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjas votildei tuumluumlbikinnituses fikseeritud notildeuetele ja paumlrast motildeotildetevahendi remonti Erakorralise taatluse algatab ja korraldab tavaliselt jaumlrelvalvet teostav vastav volitatud juriidiline isik aga seda votildeib notildeuda ka motildeotildetevahendi valdaja

Vastandina kalibreerimisele justeeritakse taatluse kaumligus vajaduse korral motildeotildetevahendit et viia naumliduhaumllve taatlushaumllbe piiridesse Taatluse tulemus dokumenteeritakse taatlusprotokollis mis peab sisaldama taatluse laumlbinud motildeotildetevahendi(te) identifikatsiooni ja viidet kasutatud taatluseeskirjale Kui taatluse kaumligus ilmneb et taatluskohustuslik motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjade notildeuetele tuleb see vastavalt maumlrgistada ja vaumlljastada taatlusnotildeuetele mittevastavuse protokoll

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et taatlus annab motildeotildetevahendi kasutamiskotildelblikkuse kohta vastuse jah votildei ei kalibreerimine aga seose kasutatud leppevaumlaumlrtuse ja motildeotildetevahendi naumlidu vahel jaumlttes otsuse langetamise motildeotildetevahendi sobivuse kohta antud motildeotildetmiseks motildeotildetevahendi kasutajale

127

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused

Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja soovitavast

usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(II) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

128

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menet luste kogum mille eesm aumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmi st nimetatakse metroloogiaks

MMM ndash Motildeotildetmise definitsioon

3

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutat avaid

jaotusseaduseid3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetem aumlaumlramatuse

hindamise paremaid praktikaid4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmet e

motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste n ingmuude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust n ing selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ningoskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kont rolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mude lit ningseda rakendada

MMM - Otildepivaumlljundid

4

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam

Koondhinde moodustavadbull kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) ndash 10 bull test (otildepivaumlljundid 1 2 4) ndash 20 bull grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) ndash 10 bull eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) ndash 60 bull preemiapunktid ndash xx

Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse os sa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlst itust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust

Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele h indele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile(A = gt90 jne)

MMM - Hindamismeetodid

5

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameet rit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildet e-maumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuaje e pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grup itoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

MMM - Hindamismeetodid

6

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements(Les Kirkup Bob Frenkel 2006Cambridge University Press )

MMM - Potildehikirjandus

7

1 2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildete tulemustening nende usaldusvahemiku hindamine praktilisedarvutusnaumlited

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml (4 aprill 2011)

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupit oumloumldeplaneerimine

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus j ne

MMM ndash Loenguplaan (detailsem plaan Moodles)

8

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loom ine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumld e esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

httpsmoodleutee

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused (LOFY01004)

Aine votildeti on ldquo mootemaaramatus rdquo

MMM ndash Moodle

9

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengu s uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt se lleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimalu ste piires arvesse votildetta samuti on Moodles anonuumluumlmse tagasiside koht

MMM ndash Tagasiside

10

Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende

usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid

11

Pideva juhusliku suuruse jaotustiheduseks f(x) nimetatakse funktsiooni mis kirjeldab suhtelist totildeenaumlosust sell e juhusliku suuruse esinemiseks mingis punktis x Totildeenaumlosus et juhuslik suurus langeb etteantud vahemikku [ a b] on votilderdne integraaliga jaotustihedusest f(x) radadega a-st b-ni

Jaotustihedus on normeeritud st integraal uumlle kogu ja otustiheduse maumlaumlramispiirkonna on votilderdne uumlhega

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Jaotustihedus

int sdot=b

a

dxxfbap )()(

1

12

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutata kse aritmeetilist keskmist

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Keskvaumlaumlrtus

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

13

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f (x) standardhaumllbeks nimetatakse arvu

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutat akse empiirilist standardhaumllvet

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Standardhaumllve

intinfin

infinminus

minus= dxxfxmxx )())(()( 2σ

1

))((1

2

minus

minus

=sum=

N

xmxs

N

ii

N

14

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [ a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel l otildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimis tingimus siis

Seega on uumlhtlase jaotusejaotustihedus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

lele

minus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

Suumlmmeetriatelg

15

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega siis on ka loomulik et kes kvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

16

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jao tusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaaltel jele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus (ndash infin infin)

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja σ gt 0 on fikseeritud positiivne reaalarv Parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσ

axxf

a = 0 σ = 1

17

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik m uumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne Paljude sotildeltumatute juhuslike suuruste keskvaumlaumlrtuse jaotus laumlheneb normaa ljaotusele sotildeltumata nende juhuslike suuruste endi jaotusest

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

a = 2 σ = 1

18

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse xt vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetevead

19

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja l otildepp-punktiga xminja xmax Tavalisem ja levinum on siiski anda lotildeigu keskpunk t milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang m(x) ning motildeotildetem aumlaumlramatus u(x)

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

20

Motildeotildetem aumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on motildeotildetem aumlaumlramatus u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetem aumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus satub usaldusintervalli [ m(x) plusmn u(x)] Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu m(x) u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eesk irjad parima hinnangu m(x) motildeotildetem aumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

21

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

23

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

24

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus

=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

25

Naumlide 11 Taumlppiskaaludega kaalumine

Naumlide 12 Kontrollitud temperatuuriga ruumitemperatuuri ajaline kaumlik

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

Aeg

Temperatuur

26

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

27

Naumlide 13 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 1 5) potildehiviga (ehk riistaviga) on St eeldatakse et motildeotildeteriistast tin gitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel jaumlaumlb piiridesse

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik v iga ei vaumllju neist piirest

Joonis 15 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motilde otildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

28

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlauml rtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

Naumlide 14 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus C

u u uC A B= +2 2

29

Selleks et saada infot sellele kursusele registree runute varasematest teadmistest on Moodles avatud tasemetest Eksami arv estuses laumlheb see test arvesse kui arvestuslik test ndash testi taumlitmise l (ka siis kui kotildeik vastused on valed) laumlheb kirja arvestatud mittetaumlitm isel mittearvestatud Test sulgub 14022011 kell 0000

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

naumliteks kui lahendate tahvlil uumllesannet siis o leks hea kui Te ei seletaks mitte ainult seda kuidas miski kaumlib ja mi da teha tuleb vaid et seletaksite juurde MIKS see nii on votildei millest misk i tuletatud on

Tasemetesti tulemuste analuumluumls

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Tagasiside

3

Taumlhendnumbrite hulk ehk tuumlvinumbrite hulk ehk taumlhendus ega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid pe ale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samut i uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbrite ks

Naumlide 15 10 400 5 taumlhendnumbrit104bull102 3 taumlhendnumbrit10 40000 7 taumlhendnumbrit001040 4 taumlhendnumbrit

Aga ldquokuus miljardit (6 000 000 000) aastat tagasirdquo

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Taumlhendnumbrid

4

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uuml sna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjuta misel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal Tulemused esitatakse uumlma rdatult

Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 j a 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati e t arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suuml stemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus

Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise ree gel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber ole ks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagade s nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulem use

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlmardamine

5

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekki nud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisegakaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellist el juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mi l naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumli du kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Ekse

6

A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arv on

Kus n on motildeotildetmiste arv

B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu votildeib fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumi raames votildetta alati lotildepmatult suu reks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

1minus= nυ

7

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus ui(y) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

Naumlide 16 Jaumltkame metallsilindri motildeotildetmise naumlidet M etallsilindri pikkust motildeotildedeti n = 100 korda

Arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu metallsilin dri pikkusekoondm aumlaumlramatusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

mm 0440)(A == nxuu

mm 0290B =u

mm 0530=Cu

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

9

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndashkattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

10

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

11

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

12

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

997

95

68

13

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

14

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti testVabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

15

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

16

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

17

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

18

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

19

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge U voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = UIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

20

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

21

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

22

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

23

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 99 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

24

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

25

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

26

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

27

Kodune test sulgub 20022011 kell 2355 Nuumluumldsest on tulemused olulised st punkte annavad ainult otildeiged vastused Vale vastuse puhul Moodle uumltleb seda ning laseb vastust korrigeerida kuid votildetab 20 selle kuumlsimuse punktidest maha Seega on votildeimalik i gale kuumlsimusele vastata maksimaalselt 5 korda Vastuste korrigeerimin e on votildeimalik kuumlll ainult arvutusuumllesannete juures

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Kursuse kaumligus tuleb taumlita ca 12 kodust testi Testi d sulguvad puumlhapaumleva otildehtul kell 2355 ning testi jaumlrgi teha ei saa sest me analuumluumlsime neid toumlid jaumlrgmises loengus

Iga test annab maksimaalselt 10 punkti (vahest votildeib olla ka preemiapunkte)

Uumlksikust testist positiivse hinde saamine votildei uumlldse testi taumlitmine ei ole kohustuslikud kuid motildejutavad aine koondhinnet

Kodustest testidest kogutud punktid liidetakse kotildeik kokku ning jagatakse laumlbi testide arvuga Saadav tulemus on ko ondhinde arvestusse minevate punktide arv Kui saadav tulemus on vaumliksem kui 5 siis taumlhendab see automaatselt ainest laumlbikukkum ist

MMM ndash koduste testide olulisus edasijotildeudmisel

3

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

4

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

5

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

6

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge V voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = VIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

7

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

9

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

10

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 95 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

11

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

12

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

13

Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikudmotildeotildetuumlhikute vahelised seosed

MMM

14

Motildeotildetmisteooria laumlhted

MMM

Mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning se ega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes e t saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti j uhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kir jeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muu tuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mi s kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

15

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreets eteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettem aumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 m uumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused gra mmides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildep matu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumlite ks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tul emust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on av aldatav valemiga

MMM ndash jaotusseadused

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk =

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

16

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16visatakse 4 silma p = 16visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmusvisatakse 1 votildei 4 silma p = 26visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

MMM ndash jaotusseadused

17

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Totildeenaumlosus erineb nullist ainult m aumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole m aumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

MMM ndash jaotusseadused

18

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatii vne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

MMM ndash jaotusseadused

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

sumle

=ki

ipkF )(

19

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotu se omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla nega tiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa s amuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vauml aumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlnd muse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [ x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

MMM ndash jaotusseadused

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele

20

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

Teistpidi on jaotusfunktsioon m aumlaumlratud integraal jaotustihedusest

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfun ktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli li htsustab nende valemite kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vauml ga keeruliste uumllesannete lahendamist

MMM ndash jaotusseadused

dx

xdFxf

)()( =

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF

21

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

MMM ndash jaotusseadused

1

dxxfxdFdp sdot== )()(

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

2222

Integraalid Tuletised

int +=

+

1

1

a

xdxx

aa

int +=minus Cxdxx ln1

int +minussdot= Cxxxdxx ln)ln(

int +minus= Cxdxx )cos()sin(

int += Cxdxx )sin()cos(

1minussdot= nn xnxdx

d

int += Cxdxx )exp()exp( )exp()exp( xxdx

d=

xx

dx

d 1)ln( =

)cos()sin( xxdx

d=

)sin()cos( xxdx

dminus=

int intint plusmn=plusmn dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

int intsdot=sdot dxxfcdxxfc )()(

23

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

MMM ndash jaotusseadused

24

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus-arv totildeenaumlosus funktsioon

2 11 1 136 1363 12 21 2 236 3364 13 22 31 3 336 6365 14 23 32 41 4 436 10366 15 24 33 42 51 5 536 15367 16 25 34 43 52 61 6 636 21368 26 35 44 53 62 5 536 26369 36 45 54 63 4 436 303610 46 55 64 3 336 333611 56 65 2 236 353612 66 1 136 1

MMM ndash jaotusseadused

25

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

26

Kodune test sulgub 27022011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine p ooldumist kirjeldav jaotusfunktsioon Palju kulub aega et esi algsest Csainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

MMM ndash jaotusseadused

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

4

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri t suumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi tem peratuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ru umi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on

ning tema jaotusfunktsioon on

MMM ndash jaotusseadused

10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxfπ

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

5

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus is eloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaate kohalt

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaal ne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamast i aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlieli kku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadu si Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendam isel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadus ed

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja di spersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel su urt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood mo mendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik fu nktsioon entroopia jmt

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud

6

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakterist ik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhi stused on

m mx m[x] ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

x

7

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) nimetatakse arvu

Valemid keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langevad kokku val emitega varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhe ga Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatilin e moment

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

sum=

=n

kkk pxm

1

)( kk xXPp ==

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

8

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

Suumlmmeetriatelg

9

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

10

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

Kas keskvaumlaumlrtus m(x) = 6 tundub realistlik

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

63

27

3

2

3

03

3

2

33

2

3

2

03

200

3

20

)()()()()(

333

0

33

0

2

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

=sdot=minus

sdot=

==

=+sdot+=sdot+sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

xdxxdxxxdxxdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

11

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Kontrollime selle jaotustiheduse vastavust normeerimis tingimusele

Seega polegi tegemist jaotustihedusega

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

132

9

3

2

2

03

3

2

23

2

3

2

03

200

3

20

)()()()(

223

0

23

0

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

ne=sdot=minus

sdot=

==

=++=++=

=++=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

dxxdxdxxdx

dxxfdxxfdxxfdxxf

12

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

13

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

22

1gt

minusminus

= rr

rm

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

14

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on se e konstant ise

m[c] = c

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlm boli ette

m[cX] = cm [X]

Totildeestame homogeensuse tingimuse pideva juhu jaoks

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

15

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtusei d kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrt useid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeet ilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

16

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis sed a naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotilde rgpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vauml hemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) l eitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on e esmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hu lgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad kes kvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemi kku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korre latsioonikordaja) maumlaumlramisele

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

17

Naumlide 26 Suvel m aumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel l ahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle r aumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva M itu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

18

Naumlide 27 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast j a 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55 000 EEK Keskmine palk selles firmas on

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalga ga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firm as on

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

1000010

5500050009=

+sdot=m

320005

4000390004=

+sdot=m

19

Juhusliku suuruse dispersiooniks D (ka σ2) nimetatakse suurust

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega o n dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse m aumlaumlra iseloomustajaks

Vastavalt definitsioonile on diskreetse juhusliku su uruse dispersiooni arvutusvalem

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealis atsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suu ruse korral on dispersiooni arvutusvalem

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

( )sum minus=i

ii pmxD 2

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2

20

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku s uuruse ruudust X2

Totildeestame Steineri valemi pideva juhu jaoks

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m(X) ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus=

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

21

Dispersiooni ruutjuurt

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks e hk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioo n on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga st andardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetem aumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumll vet

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

D=σ

22

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning dispersioon

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse

Dispersioon potildehivalemi potildehjal

Dispersioon Steineri valemist

Standardhaumllve

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

536

121)(

1

=sdot==sum=

n

kkk pxxm

( ) 9225176

1)( 2 asympsdot=minus=sum

iii pmxxD

[ ] 92225121715536

91)( 222 =minusasympminus=minus= mXmxD

711922)()( === xDxσ

23

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit Le iame esmalt x2

keskvaumlaumlrtuse

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

24

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Vastavalt Steineri valemile on uumlhtlase jaotuse dispe rsioon

ning uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

2)(

baxm

+=

3)(

222 baba

xm++

=

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+minus++

=minus=

25770

23

1

23)()(

abababxDx

minusasymp

minus=

sdot

minus==σ

25

Naumlide 211 Astmejaotuse standardhaumllve

vaadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

26

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardh aumllbe omadused

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse ehk konstandi dispersioon o n null

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses oleva d juhuslikudsuurused siis

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

[ ] [ ]XDccXD 2=

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

27

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus mb standardhaumllve σc totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σd totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui ke skvaumlaumlrtuse mediaan

Leiame praegu ainult mediaani uumllejaumlaumlnud lahendust v aadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

28

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

e mediaan

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

29

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjelda b valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvauml aumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Proovi kodus ise lahendada kontrolli konspektist lah endust

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

30

Uumlhtlane jaotus

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioon ist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadme tel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 226 5 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mi ngisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum e eldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud m aumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

31

Eelmise naumldala numbrite pakkumise ning suumlnnikuupaumleva viimase numbri kuumlsitluse tulemused

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vaba_numbersuumlnnipaumlevuumlhtlane

32

Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmme etriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotuson suumlmmeetriline siis ilmselt on tema keskvaumlaumlrtus

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

12

20=

+=m

33

Kolmnurkjaotus

Kolmnurkjaotuse ruudu keskvaumlaumlrtus on

ja kolmnurkjaotuse dispersioon ning standardhaumllve on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

12

20)( =

+=xm

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

34

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

35

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

36

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

37

Kodune test sulgub 06032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

4

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

5

Normaaljaotus

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

6

Normaaljaotus

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljao tuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse in tegreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

Siin erf( x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete l ahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2 )exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ

7

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

8

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

normdist(179 1800 07 1) = 0076563726 = 766

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

9

Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash arkussiinusjao tus

10)arcsin(2

)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

10

Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega ming ist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatak se hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetm ise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga j agatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on sel ge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotuse st Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alle s jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

MMM ndash jaotuste summa

11

Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

MMM ndash jaotuste summa

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

12

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustihed use leidmisekskonvolutsiooni integraali

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

13

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peav ad tema motildelemad komponendid olema nullist erinevad

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingim ust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ]10=τ [ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

14

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

0)(01 =rArrlt tyt

tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(102 τττττ

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(213 1

1

1

1

τττ

0)(24 =rArrgt tyt

15

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus o n maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

16

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildel tuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste) summa

jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on li idetavate arv n seda vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid su uruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreem i potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildepli k dispersioon)

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

sum=

=n

iiXX

1

17

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

Kotildeigepealt tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude gene raatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus ( 0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingi must et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid kolmnurkjaotusele eksponentjaotuse le ning parabooljaotusele

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

18

Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on

Kuna F(y) = F(x) siis y2 = x jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

ltlt

=mujal0

102)(

yyyf

)10(1)( 0

0

UxxdxxF xx

===sdot= int

20

2

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

)10(Uxy ==

19

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

1 Genereerime mingist jaotusest suure hulga arve Arv utame suuruse Zn ning teeme Zn esinemissagedusest graafiku tulemus peaks olema sarnane sellele jaotusele endale

2 Genereerime uuesti arvud mingist jaotusest ning arvuta me nendest arvudest n arvu jaoks Zn vaumlaumlrtused Tehes Znesinemissagedusest graafiku naumleme milline on sell e jaotuse narvu aritmeetilise keskmise jaotus

Maumlngime Mathcadi demoga ldquoKeskne piirteoreem_v3mcdrdquo

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro

20

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavat e vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest ja otustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotilde ige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Selle st hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste s ummat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kin nitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

21

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildete viga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti V otildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhusl ikust komponendist

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi o n votildeimalik piisavalt taumlpselt m aumlaumlrata (nt testri null votildeib olla paigast aumlra jms)

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mit te (nt ebataumlpnegradueerimine)

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata

Juhuslikud vead

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel a lati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest t eguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

23

Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xtX juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildette s

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

lim tNN xx =infinrarr

24

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel m aumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsema d kui viimased siis pi = 1N seega

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nime tatakse empiiriliseks dispersiooniks

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

25

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seo seid

kus d on uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildee list dispersiooni otildeigesti kuna suurus σN

2 alahindab dispersiooni Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispers iooni hindamisel suuruse X empiirilist dispersiooni

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ [ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=sum=

26

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

27

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

28

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

29

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

30

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

31

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

32

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

33

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

34

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

35

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

36

Kodune test sulgub 13032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (viimane korraline loeng on 23 mai)

30 mai

13 juuni

Jaumlreleksam

27 juuni

Taumliendav votildeimalus

20112012 kevadsemester

MMM ndash tagasiside

3

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

4

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

5

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

6

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

7

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

8

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

9

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

10

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

11

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistu lemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutu stes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

Kolmekordse standardhaumllbe kriteeriumit ekse leidmiseks o n motildetet kasutada juhul kui motildeotildetmiste arv on vaumlhemalt N = 11

MMM ndash Ekse

12

On totildeestatud et m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus on

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 10

Naumlide Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtus on m(l) = 18045 mm koondm aumlaumlramatus on u(l) = 12789 mm ning vabadusastmete arvon ν = 8

Seega koondm aumlaumlramatuse kolmanda tuumlvinumbri esitamine ei oma mingit motildetet kuna ka teine tuumlvinumber ei pruugi otildeige olla

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu

mm3204

)(

82

)())(( ==

sdotasymp

lululuu

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 10 100 1000 10000

vabadusastmete arv

u(s

)s

ν21)(

asymps

su

14

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on m aumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Uumllal toodud valemist saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt e sitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

2

2

2 )(

2

1

)(22

1)(minus

=asymprArrasymps

su

su

s

s

suν

ν

15

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardm aumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomee tri naumlidu standardm aumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase jaotu se standardm aumlaumlramatus on

Siit saame et temperatuuri m aumlaumlramatuse suhteline m aumlaumlramatus on

ning vabadusastmete arv on

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu

144020

02890)())((

==tu

tuu

( ) 2414402

1 2 == minusν

16

Kui m aumlaumlramatus esitatakse ainult uumlhe tuumlvinumbri taumlpsusega siis votildeib lahutusvotildeimest tingitud vabadusastmete arv olla uumlsna vaumlike

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

1

10

100

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maumlaumlramatuse tuumlvinumber

Vab

adus

astm

ete

arv

17

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

18

Naumlide Keha kineetiline energia on arvutatav valemis t

Eelnevalt on teada et keha mass on 1000 g koondm aumlaumlramatusega 50 g vabadusastmete arvuga 5 ning keha kiirus on 20 0 ms kiiruse koondm aumlaumlramatus on 10 ms ning vabadusastmete arv on 8

Leia keha kineetilise energia koondm aumlaumlramatus ning efektiivne vabadusastmete arv

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

2

2vmE

sdot=

19

Welch-Satterthwaitersquo valem efektiivsete vabadusastme te arvu leidmiseks kehtib kui kotildeik sisendsuurused on laumlhend atavad normaaljaotusega Probleem tekib aga siis kui tahta arvutada liitm aumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu kui A-t uumluumlpi maumlaumlramatus on laumlhendatav normaaljaotusele sest motildeotildetm iste arv on piisavalt suur kuid B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on saadud uumlhtlasest jaotusest

Ideaalse Gaussi puhul oleks 95 usaldusnivool katte teguriks 196 aga uumlhtlase jaotuse puhul 168 Nende uumlhendjaotuse puhul peaks kattetegur jaumlaumlma nende kahe juhu vahele seega ikka vaumliksem kui 196 Studenti testi kattetegur aga laumlheneb vabadusastmete arvu suurenedes normaaljaotusele seega on alati vaumlhemalt 196 Seega kasutades Welch-Satterthwaite valemit uumlhtlase jaotuse ga sisendite puhul hindame katteteguri vaumlaumlrtust veidi uumlle see ag a pole keelatud

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

20

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndash

kattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

21

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

22

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

23

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studentijaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

24

)()( yukyU sdot=

997

95

68

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

25

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

26

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

27

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete

MMM ndash Laiendm aumlaumlramatus

182

183

184

185

186

187

188

28

Tuletame motildeotildetem aumlaumlramatuse valemi kahe sisendsuuruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui e sinevad vaumliksed haumllbed

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 101 2 = 10201

valime x = 10 δx = 01 siis

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

29

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suuru st X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrt used m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetem aumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vasta va Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

30

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

YYY δ+=

( )21 xxYY =

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ= [ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

31

Uumlhendades need kaks valemit saame

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

32

Keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st on votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

seega saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

33

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemu st Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera m ass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepik kus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne n ulliga ningmaumlaumlramatuse valem lihtsustub

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

34

Millised paarid on omavahel sotildeltumatud millised sotilde ltuvad

puude pikkus ndash puude laumlbimotildeotildet

puude pikkus ndash paumlikese kotildergus kraadides

puude laumlbimotildeotildet ndash puude vanus

puude laumlbimotildeotildet ndash maapinna temperatuur

ruumi temperatuur ndash ruumi niiskus

inimese jalanumber ndash pikkus

merevee temperatuur Hurghadas ndash lume paksus Haanjas

MMM ndash Sotildeltumatud ning sotildeltuvad suurused

35

MMM naumldalate plaan

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetem aumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine kontrolltoumloumlks valmistumine

9 KONTROLLTOumlOuml

MMM ndash Jaumlrgmiste naumldalate plaan

36

Kodune test sulgub 20032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis on kattetegur

ndash Milleks Studenti test

ndash Mille jaumlrgi maumlaumlrata jaotuse tuumluumlpi

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

4

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

5

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse m aumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsust ada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

t

sv =

6

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmist e mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit v aumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles m aumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumll djuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetem aumlaumlramatuste hindamist

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

12

1

tt

dssN

t

sv

minus+sdot

==

7

Metoodika ldquoAnemomeetrite kalibreerimine TUuml Katsekojatuuletunneliga ja poumloumlrdnoole-etalonigardquo

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

8

Eelmine loeng tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetem aumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Uumlldistame saadud valemit

Sama valem on summa m aumlrgi all kirja pandav kujul

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltumatute sisendite korral

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

9

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekk ida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liig e on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et m aumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi m aumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitm aumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et t egemist on ebaolulise m aumlaumlramatuse komponendiga Mingi m aumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

10

Kuna liitm aumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide m aumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

kus u(xi) on suvaline m aumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus

Seega kui leida kotildeige suurem m aumlaumlramatuse komponent ning votilderrelda teisi m aumlaumlramatuse komponente sellega siis kui motildeni kompone ndi suurus on votilderreldes kotildeige suurema komponendiga 30 votildei vaumlhem siis on tegemist taumlhtsusetu komponendiga mille votildei b arvutuste lihtsustamise huvides jaumltta arvestamata

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

11

Naumlide 43 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi k otildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulem used

a = 802 mm u(a) = 003 mm ν(a) = 5b = 4253 mm u(b) = 004 mm ν(b) = 6c = 17211 mm u(c) = 005 mm ν(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

12

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on Nsuuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()(

13

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st xkasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsie nt vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei ne gatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa yvarieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

14

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()(

15

Jaumltkame eelmises loengus tuletatud motildeotildetem aumlaumlramatusega kahe sisendsuuruse korral kuid jaumltame aumlra eelduse et tege mist on sotildeltumatute suurustega

Uumlldistatult on maumlaumlramatuse valem N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisand uvad valemisse korrelatsiooni liikmed

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sumsumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu

16

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardm aumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

17

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Lahendus Leiame D standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

18

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sumsum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

19

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

20

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part=sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

21

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

E

A

ECAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

22

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

23

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

24

Motildeningaid naumlpunaumliteid praktikumi aruannete vormistam isest Mathcadis

bull Praktikumi aruande eesm aumlrk on tulemusi arusaadavalt esitadaeesmaumlrgiks peaks olema tulemuste laumlbipaistvus

bull Toumloumld tuleb kommenteerida ndash lugejal ei tohi kuskil te kkida kuumlsimust et ldquomiks siin nii tehtirdquo

bull Kotildeigi motildeotildetmiste mudeli sisendsuuruste motildeotildetem aumlaumlramatused tuleb protokollis esitada

bull Hea toon on esitada kotildeigi motildeotildetmiste mudeli komponen tide osa koondm aumlaumlramatuses

bull Aruanne peaks olema struktureeritud st peaks olema lih tsalt arusaadav kus uumlks arvutus lotildepeb ning teine algab

bull Enne aruande esitamist tuleks see ise laumlbi lugeda ni ng votildeimalusel lasta ka kellelgi teisel see laumlbi lugeda

MMM ndash Praktikumide toumloumlde vormistamine

25

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Kontrolltoumlouml annab 20 aine koondhindest

Eksamile paumlaumlsemiseks peab kontrolltoumloumls saama vaumlhemalt 50 punktidest

Tuleb ka kontrolltoumlouml jaumlreltoumlouml selle aja lepime kokkunaumldal paumlrast kontrolltoumloumld 11 aprillil

Positiivset sooritust uumlmber teha ei saa

Jaumlreltoumloumls saadud punktid korrutatakse laumlbi koefitsiend iga 08(ei kehti potildehjendatud vabandajate kohta)

26

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

27

Kodune test sulgub 27032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis asjad on vabadusastmed mille jaoks neid vaja o n

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

4

MMM ndash Naumlidiskontrolltoumlouml

Kuumlsimused-kommentaarid naumlidiskontrolltoumlouml kohta

5

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadid es Kuna infopaumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos o n jaumlrgmine

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsi enti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17

F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failisbdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

6

Kodune test sulgub 03042011 kell 2355

Seekord saab toumloumld esitada lotildepmatult palju kordi arves se laumlheb parim tulemus

MMM ndash Kodune toumlouml

7

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte pro tsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

Leia

bull koefitsient cbull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1)bull keskvaumlaumlrtusbull mediaanbull standardhaumllvebull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

MMM ndash Harjutusuumllesanded

ltltsdotsdot+

sdot

sdot=

mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

8

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga millekalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia

bull klotsi massi parim hinnangbull klotsi massi A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi B-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi liitm aumlaumlramatusbull klotsi massi vabadusastmete arvbull klotsi massi laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

9

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml pa ksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja ma sside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlg a kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse k eskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondm aumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondm aumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondm aumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

Leia

bull jaumlauml tiheduse parim hinnangbull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatabull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

MMM ndash Harjutusuumllesanded

4

2 HdV

sdotsdot=π

10

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetu d veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm ve ekihi paksuson 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metallj oonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest1 0 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardm aumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

11

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskm iseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna v aheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

αcos2R

IE =

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml aeg

Neljapaumlev 1404 kell 1615 ndash 1800 ruum 410

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 30 mai kell 1215 ndash 1400 ruum 416 30 mai kell 1415 ndash 1600 ruum 160

06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

Statistika

Keskmine hinne 139Standardhaumllve 40Laumlbikukkujaid 17

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

4

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

y = 01834x + 25747R2 = 02161

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80

Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

5

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

FuumluumlsikaKeemiaMaterjaliteadusKeskkonnatehnoloogiaHT

6

1 Kirjuta tiheduse ( ρ = m V) dimensioonvalem

2 Esita ajauumlhik viis naumldalat kilotundides

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

7

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida) ndash hea vastus

Maumlaumlratavad vead ndash nende esinemine on teada ning ka v ea ulatus on maumlaumlratav Naumliteks tekib mingi motildejuri arvestamata jaumltmisel arv utustes votildei aparatuuri skaala nihke totildettu (pole null korrektselt paigas) Kuna saab maumlaumlrata vea ulatuse on votildeimalik kasutada parandeid (naumliteks kasu tatakse enne motildeotildetmist algnaumlidu erinevust nullist hiljem motildeotildetmistulemuse p arandamiseks) (aparatuuri kalibreerimine)

Vead mille olemasolu on teada kuid suurus pole ki ndlalt maumlaumlratav Naumliteks motildeotildeteriistade ja aparatuuri vead Votildeib oumlelda ka et B-tuumluumlpi vead Motildeotildeteriistade vead loetakse uumlhtlase jaotuse alla kaumlivaks ei teat a kui kaugel motildeotildetmistulemusest on totildeeline vaumlaumlrtus kuid teatakse mis piirkonda see votildeiks jaumlaumlda Mida parema lahutusvotildeimega ning vaumliksema potildeh iveaga on aparatuur seda vaumliksem tuleb B-tuumluumlpi maumlaumlramatus Taumlpsem apara tuur vaumlhendab vigu

Vead mille olemasolu ja suurus on teadmata Sellist eks on naumliteks aparatuuri defektid votildei keskkonnaga seotud tegurid mida ei os ata arvestada Aparatuuri defektide avastamiseks kasutada erinevaid aparaate votilderrelda tulemusi alati hoolikalt laumlbi motildeelda et mis tegurid votildeivad tulemu si motildejutada

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

8

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 1

bull Vaumlltida saab siis kui kasutada koguaeg uusi motildeotildeteri istu (sest neilpole vigu teada)

bull Kolmandaks ndash vead mille olemasolus ei saa kindel ol la saab ainulteeldada et nad on olemas Tuleb motildeotildetmisi sooritada mitu korda etjotildeuda totildeelisele vaumlaumlrtusele keskvaumlaumlrtusega votildeimalikult laumlhedale

bull Teadmata vigu saab vaumlltida tehes rohkem motildeotildetmisi keskmistadesjaumlttes vaumllja suured kotildervalekalded keskmisest (eksed)

bull Motildened vead saab kaotada kui teha suurem arv motildeotildetmisi Kasutada toumloumltavaid motildeotildetevahendeid Motildeotildetmised sooritada selle ks sobilikus keskkonnas (motildettetu on motildeotildeta tuulekiirust tormi ajal kui motildeotildeteriist asub kinnises ruumis)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

9

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 2

bull Suumlstemaatilised vead on vead mis esinevad pidevalt ja nende olemasolust ollakse teadlikud

bull Vigade vaumlltimiseks tuleb kasutada votildeimalikult palju mehhaniseeritud ja digitaliseeritud motildeotildeteriistu

bull Suumlstemaatilised vead jaotatakse potildehiviga ja suhtel ine viga Potildehiviga on antud motildeotildeteriistaga motildeotildetmisel tehtud viga see o leneb motildeotildeteriista motildeotildete taumlpsusest Suhteline viga on motildeotildetj a enda poolt tehtud viga votildei viga mille potildehjustasid mingisuguse d vaumllised jotildeud naumliteks m uumlra segas helikiiruse motildeotildetmist Suhteline viga votildeib olla ka ldquonaumlpuvigardquo ndash vajutasi d kalkulaatorilvalet klahvi votildei unustasid uumlhikud teisendamata

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

10

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt 3 ning x gt 4 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [3 4] kirjeldab se da ruutfunktsioon f(x) = cx2 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [3 4] c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (35 7)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

11

5 Praktikumis motildeotildedeti laua pikkust 5 korda ning saadi jaumlrgmised vaumlaumlrtused l = 1544 1546 1543 1543 1544 mm Kasutatava motildeotildedulindi potildehiviga on 1 mm Leia

a laua pikkuse hinnangb laua pikkuse hinnangu A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusc laua pikkuse hinnangu B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus c laua pikkuse hinnangu liitm aumlaumlramatus

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

12

6 Kehamassi indeks BMI on defineeritud kui kehakaal M jagatud pikkuse l ruuduga 10 tudengi motildeotildetmistulemustest saadi jaumlrgmised keskvaumlaumlrtuse koondm aumlaumlramatuse ning vabadusastmete arvu tulemused m(M) = 72 kg u(M) = 8 kg υ(M) = 34 m(l) = 172 cm u(l) = 9 cm υ(l) = 70 Korrelatsioon tudengite kehakaalu ning pikkuse vahel oli r(M l) = 077 Leia

a Kehamassi indeksi BMI parim hinnangb BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatac BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

13

Arktika kliima statistiline analuumluuml sToumlouml seisneb ERA-40 jaumlrelanaluumluumlsi mudeli 44 aasta and mebaasi temperatuuri ning niiskuse vertikaalsete profiilide sta tistilisel analuumluumlsil Arktikas Toumlouml eesm aumlrk on otildeppida kasutama programmi GrADS ning tutvuda andmeanaluumluumlsi lihtsamate meetoditeg a

Toumlouml jaumltkuks magistrantuuris suuremate globaalsete ilmam udelite andmete valideerimisega Arktikas kasutades votilderdluseks 2007 aastal laumlbi Arktika triivinud laeval TARA tehtud motildeotildetmisi

Juhendaja Erko Jakobson

MMM ndash Vaba bakalaureuse teema

14

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml viimase versiooni esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-failina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

15

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

16

Koduseks toumloumlks on grupi moodustamine ning grupitoumlouml tee ma vaumlljamotildetlemine kuid punkte selle eest ei saa

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml tulemused keskmine tulemus oli uumlsna hea maksimumpunkte ei tulnud kuid laumlbikukkujaid oli ka ainult uumlks Esines ka motildeningaid tuumluumlpvigasid mis vajavad selgit amist

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt ndash1 ning x gt 1 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [ndash1 1] kirjeldab s eda funktsioon f(x) = cx4 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [1 2] (motildeeldud oli vahemik [ndash1 1])c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (0 15)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

4

6 6 Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgmise d keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Korrelatsioon 2 m ja 10 m tuule kiiruste vahel oli r(v2 v10) = 078

Parameeter ZZ on defineeritud kui 2 m ning 10 m tuule kiiruste korrutis

Leia a Parameetri ZZ parim hinnang (05p)b Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata (2p)c Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades (2p)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

5

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml VIIMASE VERSIOONI esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-f ailina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

6

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

7

Vaatame konspektis uumlle teema ldquoMaumlaumlramatuse allikadrdquo

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

8

59 Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod)

Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks on sobiv kasutada kaalutud keskmist

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10

)(1

2j

j yug =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

9

Naumlide Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgm ised keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Leia 2 m ja 10 m tuule kiiruse kaalutud keskmine nin g vastav standardm aumlaumlramatus

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

10

Naumlide Rahvusvahelise votilderdlusmotildeotildetmise kaumligus on 10 er inevat laborit kalibreerinud uumlhte ja sama motildeotildetevahendit samades motildeotilde tepunktides ning sarnastel keskkonnatingimustel Kalibreerimispara ndid koos laiendm aumlaumlramatustega usaldusnivool 95 on toodud allolevas tabelis Mis tuleks votildetta kalibreerimisparandi parimaks hinnanguks ning selle laiendm aumlaumlramatuseks milliste laborite motildeotildetetulemused lugeda korrektseteks ning millised ebakorrektseteks

Labor parand Laiendmaumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

11

Labor parand Laiendm aumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

Keskmine 0266Standardhaumllve 0049

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

12

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

aritm keskm

aritm keskm - 2stdev

aritmkeskm + 2stdev

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

Kaal keskm

Kaal keskm - U

Kaal keskm + U

14

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed Kaal keskm

Kaal keskm2 Kaal keskm2 - U2

Kaal keskm2 + U2

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

15

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderd lusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elek tronkaalugaMotildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitm aumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitm aumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

16

Naumlide 51

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

17

Kodune test sulgub 24042011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

OtildeIS tagasiside

ldquoStatistika puudub (Otildepetamise ja ainekursuste hindami se periood 0205201122052011 statistika naumlhtav alates 2 8062011)rdquo

Koduse testi analuumluumls

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedudbull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihidbull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takis tussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid)3 motildeotildetemuundurid4 abimotildeotildetevahendid5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonnabull motildeotildetediapasoonibull tundlikkusebull motildeotildetevea jne

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis m aumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samu ti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteli ikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga ∆0

2 Suhtpotildehiviga δ0

3 Taandpotildehiviga γ0

4 Konstandid e ja f

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

6

1 Absoluutpotildehiviga ∆0 Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel Absol uutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotilde detav suurus satub intervalli (ndash ∆0 ∆0) Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

7

2 Suhtpotildehiviga

Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vauml aumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritol u seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena K ЛACC

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100oo

naumlitx

∆=δ

8

3 Taandpotildehiviga

Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on ka ntud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100norm

oo x

∆=γ

9

4 Konstandid e ja f kujul ef taandpotildehivea arvutamiseks valemist

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildete riista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lu geda mis veaga on tegemist

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

10

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasuta takse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade pu hul kotildeige levinum

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi abso luutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha k aks uumlhikut

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

D2rdg 250 +=Taumlpsus

11

Loe ise konspektist lk 120 ndash 126

MMM ndash Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

12

MMM ndash Pendli naumlide

13

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

14

Kodune test sulgub 01052011 kell 2355

Tegemist on viimase koduse testiga

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Loengute ajakava

9 mai ndash Kuumllaline Metroserdist eksami uumllesehituse tut vustamine grupitoumloumlde esitamine

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

Taumlnase loengu uumllesehitus

1 Kodune test tagasiside

2 Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

3 Grupitoumloumld uumlldine tagasiside

4 Grupitoumloumlde esitamine

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildedulindi taumlpsus

ldquoThe precision of our rules is within 02mmm (conform to ECII)rdquo

Kui joonlaudadel votildei motildeotildedulintidel pole taumlpsusklass i antud siis parema puudumisel tulekski eeldada et need vastavad ECII standardile

Motildeotildetes 30 m pika motildeotildedulindiga 24 m pikkust koridori on motildeotildedulindi veaks 48 mm motildeotildetes sama lindiga 30 cm pikkust pab erilehte on motildeotildedulindi veaks 006 mm

Kes leiab ja postitab esimesena foorumisse ECI ja E CIII klassi motildeotildedulindi taumlpsushinnangu viite saab preemiapunkte

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Senini oleme laumlhtunud olukorrast kus olemasolevatest andmetest laumlhtuvalt tuleb hinnata motildeotildetem aumlaumlramatust

Poumloumlrduumllesanne oleks selline kus antakse ette soovit ud motildeotildetem aumlaumlramatus ning sellest laumlhtuvalt planeeritakse milli ste motildeotildetevahenditega motildeotildeta ning mitu kordusmotildeotildetmist soori tada

motildeotildetmiste_planeeriminemcd

MMM ndash Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

6

bull Grupp 18 Kitarri haumlaumllestamine

bull Grupp 14 CD andmerajad

bull Grupp 1 Kaumlekoti rotildehk otildelale

bull Grupp 5 Kopsumaht

bull Grupp 24 Lift

bull Grupp 11 Emajotildee temperatuur

bull Grupp 4 Aumlmbri mahutavus

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

AS Metrosert teadus- ja arendusdivisjoni juht Toomas Kuuml barsepp

MMM ndash kuumllaline

3

Loengute ajakava

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

4

MMM ndash maumlaumlramatuse vaumlhendamise nipp

5

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

6

Naumlidiseksam on Moodles uumlleval Viimane uumllesanne tule b uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

Koduste testide tagasiside

Maumlrkus 100 motildeotildetmise praktikumi toumlouml kohta

MMM ndash Naumlidiseksam

7

bull Grupp 19 Koridori pindala

bull Grupp 6 Patareide mahutavus

bull Grupp 9 OtildeIS uumlleslaadimise aeg

bull Grupp 15 Kuumluumlnlad

bull Grupp 10 Ajataju test

bull Grupp 22 NaHCO3 lahustumine

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

1 eksamist

2 grupitoumloumlde laumlbivaatamine

3 tuumlnni uumllesanne

4 tagasisides esitatud kuumlsimused

5 konsultatsioon

MMM ndash Loengu uumllesehitus

3

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

Erandkorras saab eksamit teha juba teisipaumleval 2405 kell 1015 ndash 1200 ruumis 207

Naumlidiseksami 2 varianti on Moodles uumlleval Viimane uumll esanne tuleb uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

MMM ndash Tagasiside

4

Toumloumlde esitamisel votildeiks faili nimi olla votildeimalikult informatiivne

bull millega on tegu motildeistetavalt nii toumlouml esitaja kui ka vastuvotildetja jaoks

bull jaumlrjekorra number et oleks uumlheselt aru saada milline on viimane versioon

MMM ndash Grupitoumloumld

5

bull Grupp 27 Porgandbull Grupp 28 Plaumlhviga pikkusbull Grupp 21 Korruse kotildergusbull Grupp 13 Soolalahuse tihedusbull Grupp 12 Raha pindtihedusbull Grupp 26 Inimkotilderva tundlikkusbull Grupp 07 Rosinadbull Grupp 08 Kaltsiumkloriidi moolide arvbull Grupp 23 Fuajee pikkusbull Grupp 30 Laua pindala prillidegabull Grupp 16 Pulss ja hinge kinnihoidminebull Grupp 02 Kaumlelaba pikkusbull Grupp 03 Riisitera motildeotildetminebull Grupp 20 Laibameetodbull Grupp 25 Piima massbull Grupp 17 Snikers

MMM ndash Grupitoumloumld

6

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

7

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kuidas arvutada vabadusastmeid WelchndashSatterthwaitei valemiga kui motildeni m aumlaumlramatuse komponent sisaldab korrelatsioonikordajat Oma toumloumls jaumltsin selle liikme lihtsalt arvestamata kuid pole kindel kas see on otildeigustatud (konspektis on mainitud ainult seda et sisendsuurused peavad olema sotildeltumatud jaumlrelikult oleks pidanud ka korreleeruvad sisendsuurused vabadusastmete arvutamisel aumlra jaumltma)

kuidas arvestada regressioonisirge totildeusu ja vabaliikm e maumlaumlramatuste arvutamisel motildeotildetevahendist tingitud B-tuuml uumlpi maumlaumlramatusi Totildeenaumlosusteooria ja statistika konspekti s on kirjas standardhaumllbe arvutamise valemid ning need standardhaumll bed on maumlaumlramatuse arvutamisel laumlbi korrutatud Studenti t-kordaj aga See nagu viitaks sellele et arvutatud standardhaumllve (A- tuumluumlpi maumlaumlramatus) on votildeetud votilderdseks liitm aumlaumlramatusega ning B-maumlaumlramatus on arvestamata jaumletud

MMM ndash Tagasiside

88

Estimation of intercept and slope (KampF p63)

We donrsquot prove that coefficients a and bare as follows

n

ss

ns

D

yxyxnb

D

xyxxya

xxnD

aver

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iii

=

minus=

sdotminussdot

=

sdotsdotminussdot

=

minussdot=

sum

sum sum sum

sum sum sum sum

sum sum

=

= = =

= = = =

= =

21

2

1 1 1

1 1 1 1

2

1

2

1

2

ε

y = -00004x + 09376Rsup2 = 05902

074

076

078

080

082

084

086

088

090

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Korrelatsioon r

Jaamade vaheline kaugus (km)

Sadestatava vee W korrelatsioon sotildeltuvalt jaamade vaheliselt kaugusest r

D

nss

D

xss

b

n

ii

a

sdot=

sdot=sum=1

2

9

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kui vaumlljundsuuruse arvutamisel on kasutatud mingi ka he korreleeruva sisendsuuruse alusel koostatud regressioon isirge totildeusu siis kas vaumlljundsuuruse vabadusastmete arvutamisel votilde ib totildeusu maumlaumlramatuse komponendi vabadusastmete arvuks votildetta ne nde sisendsuuruste motildeotildetmiste arvu miinus kaks (st kui vas tavate sisendsuuruste motildeotildetmiste arv on N siis regressioonisirg e totildeusu maumlaumlramatuse komponent jagatakse W -S valemis laumlbi (N-2)ga)

konspekti lotildepus on toodud naumlide kaalutud keskmiste arvutamisest Kas sama suuruse erinevate m aumlaumlramatuste kattumise votilderdlemisel arvestatakse vaid nende standardm aumlaumlramatusi

kas vaumlljundsuuruse m aumlaumlramatust (arvutatakse osatuletiste ja asjadega) nimetatakse B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuseks

MMM ndash Tagasiside

10

Kuumlsige kotildeige kohta mis on jaumlaumlnud segaseks eksamil kuumlsin juba mina

MMM ndash Konsultatsioon

2

Sisukord

Sissejuhatus5

Aine sissejuhatus5

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed8

11 Motildeotildedetavad suurused 8

12 Potildehi- ja tuletatud suurused9

13 Suuruse dimensioon 10

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid 12

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI14

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik16

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost 16

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted 21

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide21

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused 24

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud29

231 Keskvaumlaumlrtus29

Keskvaumlaumlrtuse omadusi32

Keskmiste kasutamisest 33

232 Dispersioon ja ruuthaumllve 34

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused45

241 Uumlhtlane jaotus 45

242 Kolmnurkjaotus46

243 Eksponentjaotus 47

244 Normaaljaotus 49

245 Arkussiinusjaotus52

25 Juhuslike jaotuste summa55

251 Kahe jaotuse summa jaotus55

252 Keskne piirteoreem 59

3

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus 63

31 Suumlstemaatilised vead63

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang 64

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest 64

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest 65

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon 66

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus69

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus70

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus 71

333 Liitmaumlaumlramatus72

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel73

35 Ekse74

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv 75

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv75

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv 76

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus 77

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral 84

4 Motildeotildetmise mudel 88

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral 90

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium 91

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate sisendsuuruse korral 94

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon94

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotildeltuvusega sisendsuuruste korral95

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise kohta98

5 Maumlaumlramatuse allikad 107

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus107

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus 107

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus107

4

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused107

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus108

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus108

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus109

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus 109

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod) 109

4 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine115

41Motildeotildetevahendid115

42 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused 120

421 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus120

422 Motildeotildetevahendi taumlpsus121

423 Stabiilsus ja triiv121

424 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime122

425 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid 122

43 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid122

431 Kalibreerimine ja justeerimine122

432 Tuumluumlbikinnitus 125

433 Taatlus126

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused127

Lisa 2 Vihtide lubatud vead 128

5

Sissejuhatus

Aine sissejuhatus

Motildeotildetmine on olnud maailma infrastruktuuri uumlks oluline osa juba iidsetest aegadest alates Kotildeik teaduse tehnika kaubanduse riikliku kontrolli jne vallas tehtud jaumlreldused ja otsused tuginevad andmetele mis on saadud motildeotildetmiste potildehjal Otildeigete otsuste langetamiseks peavad motildeotildetetulemused olema piisavalt usaldusvaumlaumlrsed Eriti oluline on see valdkondades mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset Naumliteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse maumlaumlramise ja kontsentratsiooni motildeotildetmise ebataumlpsed tulemused votildeivad potildehjustada vaumlga totildesiseid tagajaumlrgi

Motildeotildetetulemuse usaldatavuse totildestmise huvides tuleks motildeotildetmine laumlbi viia kompetentses laboris kus kasutatakse kalibreeritud motildeotildetevahendeid ja aktsepteeritud motildeotildetemeetodeid Motildeotildetesuurus peab seejuures olema tellija ja taumlitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt taumlpselt maumlaumlratletud ning saadav motildeotildetetulemus koos maumlaumlramatusega tuleb esitada uumlldtunnustatud motildeotildetuumlhikutes

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum mille eesmaumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmist nimetatakse metroloogiaks

Kotildervalseisjale paistab motildeotildetmine votilderdlemisi lihtsa toiminguna eriti veel siis kui see teostatakse taumlpselt kindlaksmaumlaumlratud motildeotildeteprotseduuri kohaselt Probleemid tekivad aga tavaliselt siis kui on vaja hinnata saadud motildeotildetetulemuse usaldatavust

Kursuse eesmaumlrgiks on tutvustada motildeotildetmisteooria aluseid otildepetada uumlliotildepilast motildeotildetma fuumluumlsikalisi suurusi hindama motildeotildetmistulemuse usaldatavust samuti tutvustada katsetulemuste toumloumltlemise aluseid

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane

1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid

2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavaid jaotusseaduseid

3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamise paremaid praktikaid

4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmete motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste ning muude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust ning selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ning oskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mudelit ning seda rakendada

6

Hindamismeetodid

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam Kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) annavad 10 test (otildepivaumlljundid 1 2 4) annab 20 grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) 10 ning eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) 60 koondhindest Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse ossa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlstitust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele hindele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile (A = gt90 jne)

Potildehikirjandus

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements (Les Kirkup Bob Frenkel 2006 Cambridge University Press)

MMM esialgne loenguplaan 2011 kevad

1 Sissejuhatus aine tutvustus loengukursuse uumllesehitus ning tutvustus

2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusnaumlited

3 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed Motildeotildetmisteooria laumlhted Motildeotildetmise potildehivaumlide Juhuslike suuruste jaotusseadused Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Keskvaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtuse omadusi Keskmiste kasutamisest Dispersioon ja ruuthaumllve

4 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused Uumlhtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus Arkussiinusjaotus Juhuslike jaotuste summa Kahe jaotuse summa jaotus Keskne piirteoreem

5 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus Suumlstemaatilised vead Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Motildeotildetemaumlaumlramatus A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus Liitmaumlaumlramatus

6 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel Ekse Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupitoumloumlde planeerimine

7

11 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus Motildeotildetevahendi taumlpsus Stabiilsus ja triiv Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

12 Maumlaumlramatuse allikad Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus Motildeotildeteobjektust tulenev maumlaumlramatus

13 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid Kalibreerimine ja justeerimine Tuumluumlbikinnitus Taatlus

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus jne

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisaldavad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdamine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte arvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaator ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendimatriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehed on arvutamiseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnata

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetemaumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuajee pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grupitoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

Moodle

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loomine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumlde esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

Tagasiside

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengus uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt selleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimaluste piires arvesse votildetta

8

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seos ed

11 Motildeotildedetavad suurused

Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid uumlmbritseva maailma esemed ained ja naumlhtused ning nende omadused Nii votildeib selleks olla meid uumlmbritsev ruum mille omaduseks on tema ulatus Viimast votildeib iseloomustada mitmel viisil ning uumlheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus Samal ajal on reaalse fuumluumlsikalise ruumi ulatus uumlsna keeruline omadus mida ei saa motildene juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega Ruumi taumlielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) votildei kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk pindala maht jne Seega votildeib ruumi iseloomustada mitme suuruse jaumlrgi

Igasugused suumlndmused ja naumlhtused reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt Nende toimumise kestus on omadus mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg

Fuumluumlsikast on teada et keha seisab paigal votildei liigub uumlhtlaselt ja sirgjooneliselt kui puudub temale motildejuv vaumllisjotildeud Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass

Aine votildei keha paljud omadused sotildeltuvad suurel maumlaumlral tema kuumutusastmest mida votildeib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega Praktikas kasutatakse aga aine votildei keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termoduumlnaamiline temperatuur

Seega suurused iseloomustavad meid uumlmbritseva keskkonna esemeid aineid naumlhtusi ja protsesse ning nende omadusi

Uumllaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon

Suurus on naumlhtuse keha votildei aine oluline omadus mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt uumlheselt maumlaumlrata

Esitatud motildeiste suurus votildeib taumlhendada

1 suurust uumlldiselt st fuumluumlsikalist suurust nagu

pikkus mass temperatuur takistus ainehulga kontsentratsioon jne

2 votildei mingit konkreetset suurust nagu

teatud varda pikkus teatud keha mass teatud keha temperatuur antud tingimustel antud traadi elektriline takistus etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne

Olenevalt puumlstitatud uumllesandest valitakse suumlsteemi votildei objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see mis on kotildeige olulisem Nii naumliteks laumlhtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajaumlrjekorras selle objekti massist sest antud uumllesande puhul on just see suurus kotildeige maumlaumlravam

Suurusi mida saab uumlksteise suhtes jaumlrjestada kvantitatiivse kasvu alusel nimetatakse sama liiki suurusteks Samaliigilisteks suurusteks on naumliteks toumlouml soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus laius paksus ja uumlmbermotildeotildet

9

Galileo Galilei on oumlelnud Motildeotildeda mis on motildeotildedetav ja tee motildeotildedetavaks see mis ei ole veel motildeotildedetav Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee motildeotildetmise ennetavast taumlhtsusest kaasaegsetes uuringutes

Motildeotildetmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse motildeotildetesuuruseks Votildeib kasutada ka motildeistet motildeotildedetav suurus Naumliteks motildeotildetesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rotildehk 20 degC juures Ristkuumlliku pindala motildeotildetmisel on motildeotildetesuuruseks pindala mille motildeotildetetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius motildeotildetmise potildehjal

Esimene samm motildeotildetmise sooritamisel on motildeotildetesuuruse taumlpne kindlaksmaumlaumlramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel Praktikas sotildeltub motildeotildetesuuruse defineerimise viis ja taumliuslikkus vajalikust motildeotildetetaumlpsusest Motildeotildetesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse motildeotildetmisega seotud praktilise eesmaumlrgi jaoks niivotilderd uumlksikasjalikult et motildeotildetesuurusel oleks uumlhene vaumlaumlrtus

Naumlide 11 Kalapeol lubatakse et kotildeige suurema kala puumluumldja auhinnaks on selle kala suuruse jagu kulda Siin pole aga maumlrgitud kas motildeeldakse selle kala massi votildei ruumala Arvestades et erinevus on ligi 20 kordne tuleks kasutada korrektsemat definitsiooni

Motildeotildetesuuruse maumlaumlratlus votildeib vajaduse korral sisaldada ka notildeudeid teiste motildeotildetesuuruste kohta Naumliteks pikkusotsmotildeotildedu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka motildeotildeteobjekti ja keskkonna temperatuuri aga ka rotildehu niiskuse jms vaumlaumlrtuste vahemiku maumlaumlramine mille puhul see pikkus kehtib

Motildeotildetesuuruse puudulik defineerimine annab alati motildeotildetetulemuse maumlaumlramatusse lisakomponendi mis votildeib notildeutava motildeotildetetaumlpsusega votilderreldes sageli kuumlllaltki oluliseks osutuda

12 Potildehi- ja tuletatud suurused

Loodusnaumlhtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi nagu pikkus aeg kiirus kiirendus jotildeud jne Fuumluumlsikavalemid vaumlljendavad seoseid nende suuruste vahel Selgub et enamasti on votildeimalik mingit suurust vaumlljendada teiste suuruste kaudu mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost Neid suurusi nimetataksegi potildehisuurusteks (ka baassuurusteks) Seega potildehisuurus on uumlks suurustest mida mingis suuruste suumlsteemis kaumlsitletakse leppeliselt uumlksteisest sotildeltumatuna

Potildehisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne kuid piiratud praktiliste kaalutlustega Potildehisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi Tuletatud suurus on seega niisugune suurus mis on mingis suuruste suumlsteemis defineeritud suumlsteemi potildehisuuruste funktsioonina Naumliteks suuruste suumlsteemis mille potildehisuurusteks on pikkus mass ja aeg on keha liikumise kiirus tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena st funktsiooniga

v = lt (11)

kus v ndash keha liikumise kiirus l ndash teepikkus ja t ndash keha poolt teepikkuse laumlbimiseks kulunud ajavahemik

Kehale motildejuv jotildeud on samuti tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena st funktsiooniga

F = ma (12)

10

kus F ndash jotildeud m ndash keha mass ja a ndash jotildeu F motildejust tingitud keha kiirendus

Mistahes tuletatud suuruse mingis suumlsteemis saame seega avaldada potildehisuuruste kaudu jaumlrgmise uumlldistatud valemi abil

prod=

=n

ii

iAQ1

αξ (13)

kus Q ndash tuletatud suurus ξ [hii] ndashtegur Ai ndash potildehisuurus ja αi ndash positiivne votildei negatiivne taumlis- votildei murdarv

Potildehisuuruse Ai all votildeivad esitatud valemis (13) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused Naumliteks sotildeltuvuses F = ma (vt valem (12)) on mass potildehisuurus kiirendus aga tuletatud suurus

Praktikas kasutatakse valemi (13) asemel ka suurustele kohaselt valitud uumlhikute vaumlaumlrtustevahelisi seoseid Tegurid nendes valemites sotildeltuvad siis juba valitud uumlhikutest

Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte aineid naumlhtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste suumlsteemidesse Seega on suuruste suumlsteem kogum omavaheliste sotildeltuvustega maumlaumlratletud suurusi Suuruste suumlsteemi taumlhistamiseks kasutatakse uumlldiselt potildehisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitaumlhti

Mehaanikas kuuluvad potildehisuuruste hulka pikkus mass ja aeg ning need maumlrgitakse uumlldistatult taumlhtedega L (ladk longitudo ndash pikkus) M (ladk massa ndash mass) ja T (ladk tempus ndash aeg) Selle jaumlrgi tuleb suuruste suumlsteemi taumlhiseks LMT

Suumlsteem taumlhisega LMT1θNJ on aga kogum potildehi- ja tuletatud suurustest milles potildehisuurused on pikkus ndash L mass ndash M aeg ndash T elektrivoolu tugevus ndash I termoduumlnaamiline temperatuur ndash θ aine hulk ndash N ja valgustugevus ndash J

Suurusi taumlhistatakse ladina votildei kreeka taumlhestiku taumlhtedega Taumlhis on alati uumlhetaumlheline Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega mis votildeivad ka viidata objektidele mis pole suurused Suuruse taumlhised kirjutatakse alati kaldkirjas

13 Suuruse dimensioon

Taumlhistades valitud suuruste suumlsteemis potildehisuurusi ladina taumlhestiku jaumlrjestikuste suurte taumlhtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks uumlldistatud valemit (13) milles tegur ξ =1 on votildeetud votilderdseks uumlhega saame maumlaumlrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga

dimQ = Aα Bβ Cγ (14)

kus A B C ndash potildehisuuruste A B C dimensioonid ja αβ γ ndash dimensioonide astmenaumlitajad mis on positiivsed votildei negatiivsed ratsionaalarvud (taumlis- votildei murdarvud)

Naumliteks LMT suumlsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni maumlaumlrata jaumlrgmise valemiga

dimQ = Lα Mβ Tγ (15)

11

kus L M T - taumlhised mis taumlhistavad potildehisuuruste pikkus mass ja aeg dimensioone ja α β γ ndash

dimensioonide astmenaumlitajad

Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt taumlhistatakse suuruse Q dimensioon taumlhisega dim Q Seega suuruse dimensioon on avaldis mis vaumlljendab suumlsteemi kuuluvat suurust selle suumlsteemi potildehisuurusi taumlhistavate tegurite astmete korrutisena

Kui tuletatud suurus valemis (14) ei sotildeltu motildenest kotildenealloleva suuruste suumlsteemi potildehisuurusest siis oumleldakse et selle tuletatud suuruse dimensioon sotildeltumatu potildehisuuruse suhtes on uumlks Votildeib ka juhtuda et tuletatud suurus ei sotildeltu uumlhestki valitud suuruste suumlsteemi potildehisuurusest Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste suumlsteemis suuruseks dimensiooniga uumlks Kasutatakse ka motildeistet dimensioonita suurus mis viitab dimensiooni astmenaumlitajale null

Suuruse dimensioon on palju uumlldisem motildeiste kui naumlhtub seda suurust iseloomustavast uumlldistatud valemist (14) Nii votildeivad uumlhte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused milledel on erinev omaduslik kuumllg ja ka erinev suurustevaheline seos Naumliteks jotildeu F poolt tehtud toumlouml mis on maumlaumlratud valemiga

W = F l (16)

kus W ndash toumlouml F ndash jotildeud ja l ndash teepikkus

ja liikuva keha kineetiline energia mis maumlaumlratud valemiga

E = mv2 2 (17)

kus E ndash kineetiline energia m ndash keha mass ja v ndash keha kiirus omavad uumlhesugust dimensiooni st dimW = dimE = L2MT-2

Dimensioonidega votildeib teha matemaatilisi tehteid korrutamine jagamine astendamine ja juurimine Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma motildetet Potildehisuuruse astmenaumlitaja enda suhtes on votilderdne uumlhega

Potildehi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud suumlsteemis moodustab dimensioonisuumlsteemi mille baasiks on potildehisuuruste dimensioonid Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste suumlsteemis LMTIθNJ uumlldiselt maumlaumlratav seosest

dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (18)

Naumliteks jotildeu F dimensioon suumlsteemis LMTIθNJ on dimF = LMT-2 Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste suumlsteemist Naumliteks ε0 ndash vaakumi dielektriline laumlbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste suumlsteemis on dimensiooniga uumlks aga suumlsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon dimε0 = L-3M-1T4I2

Eelpoolkirjeldatu potildehjal tekib ka kuumlsimus kas tuletatud suuruse dimensiooni votildeib alati kaumlsitleda kui selle suuruse valemi (14) kohast potildehisuurustest sotildeltuvuse vaumlljendit olenemata sellest missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks

Kui iga tuletatud suuruse maumlaumlratlus seostaks teda vahetult potildehisuurustega siis votildeib puumlstitatud kuumlsimusele vastata jaatavalt Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning potildehi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see vaumlga pikk) vahepealseid suuruste maumlaumlratlusi Naumliteks on rotildehk maumlaumlratud jotildeuga mis motildejub uumlhele pinnauumlhikule Jotildeud on omakorda vaumlljendatud massi ja kiirenduse korrutisena (vt valem (12)) pindala aga kahe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena

12

kiirendus on kiiruse tuletis aja jaumlrgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja jaumlrgi Seda ahelat votildeib antud juhul vaumlljendada jaumlrgmise dimensioonide reaga

dimp = dimF dimA-1 = M dima L-2 = M dimv T-1 L-2 =

= MLT -1 T-1 L-2= L-1MT-2 (19)

Seega rotildehu dimensioonivalem omandas kuju mille jaumlrgi on raske naumlha seost potildehisuurustega Vaevalt otildennestub leida ratsionaalset seletust sellele et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut Seega kui defineeritakse vahepealseid suurusi votildeib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenaumlitajate liitmise ja lahutamise teel valem (14) lotildepuks votildetta hoopis kummalise kuju

Toome naumliteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni dim C = L-2 M-1 T4 I2

Dimensioonivalemite piiratud sisust kotildeneleb ka see asjaolu et mitmel juhul on erisugustel suurustel uumlhesugune dimensioon Seda ei tohi mingil juhul totildelgendada niimoodi et neil on uumlhesugune fuumluumlsikaline olemus Eriti kaumlib see nende suuruste kohta mis ei oma dimensiooni Naumliteks votildeiks tuua niisugused suurused nagu tasanurk ruuminurk hotildeotilderdetegur suhteline pikenemine Machi arv murdumisnaumlitaja moolosa (ainehulga osa) ja massiosa Motildenel erijuhul votildeimaldab dimensioonivalemite uumlhtelangemine oletada seost eri suuruste vahel votildei nende allumist uumlldistele seaduspaumlrasustele

Nii naumliteks rotildehu ja energia ruumtiheduse dimensioonide uumlhtelangemine peegeldub faktis et ideaalgaasi rotildehk on votilderdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega Niisuguseid naumliteid on siiski vaumlhe ja seega votildeib vaumlita et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega eriti potildehisuurustega

Dimensioonivalemi muutumatus antud suumlsteemi piires notildeuab et iga erinevaid suurusi seostava votilderduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid uumlhesugused Seepaumlrast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul kui see vaumlljendab meid huvitavate suuruste sotildeltuvust teistest suurustest kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide uumlhtelangemist Kui dimensioonid ei uumlhti on tuletamisel paumlris kindlasti tehtud viga ning votilderdus ei kehti Kuid motildeistagi ei taga dimensioonide uumlhtivus veel saadud votilderrandi otildeigsust

Kokkuvotildettes votildeib oumlelda et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost potildehisuurustega ja sotildeltub nende valikust Nagu maumlrkis Max Planck kuumlsimus meelevaldse suuruse totildeelisest dimensioonist ei oma rohkem motildetet kui kuumlsimus mistahes eseme totildeelisest nimetusest Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analuumluumls humanitaarteadustes kunstis spordis kvaliteedihinnangutes jms kus potildehisuuruste nomenklatuur ei ole maumlaumlratletud veel efektiivset kasutamist

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid

Motildeotildetmiste juures on vaumlga oluline motildeotildetuumlhiku valik Potildehimotildetteliselt votildeiks uumlhikuks valida uumlkskotildeik millise sama liiki fuumluumlsikalise suuruse vaumlaumlrtuse ja seejaumlrel motildeotildeta mitu korda on motildeotildedetav objekt meie uumlhikust suurem votildei vaumliksem Vanasti seda ka tehti

Esimesed motildeotildetuumlhikud tekkisid koos inimuumlhiskonna arenguga

bull pikkusuumlhikud kasutati erinevate kehaosade pikkusi ndash vaks kuumluumlnar jalg

13

bull massiuumlhikud igapaumlevases elus kasutatavad esemed jne Uumlhtsed riiklikud motildeotildetuumlhikud votildeeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babuumlloonias Naumliteks Egiptuses kasutati pikkusuumlhikuna vaarao kuumluumlnart (kaugus kuumluumlnarnukist vaumlljasirutatud sotildermeotsteni) Egiptlased oskasid ka motildeotildetuumlhikuid tuletada Naumliteks pindala motildeotildetsid nad ruutuumlhikutes Kordsed uumlhikud votildeeti kasutusele Babuumlloonias Ajauumlhikud tund minut ja sekund paumlrinevad samuti vanast Babuumllooniast Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid uumlhikuid eriti pikkuse pindala massi ja ruumala motildeotildetmiseks Selline uumlhikute mitmekesisus on mingil maumlaumlral saumlilinud taumlnapaumlevani

Naumlide 12 Te kotildeik teate massiuumlhikut tonn Kui mitu kilogrammi vastab uumlhele tonnile Kas 9072 kg 1000 kg votildei 1016 kg Vastus sotildeltub teie asukohariigist

bull nn meetersuumlsteemi tonn = 1000 kg bull Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg bull Ameerikas (luumlhike) tonn = 2000 naela = 9072 kg

Naumlide 13 Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuuumlhikut gallon aga

bull Inglismaal 1 gallon = 454609 liitrit bull Ameerikas 1 gallon = 378543 liitrit

Naumlide 14 Laialdaselt kasutatakse mahuuumlhikut barrel (totildelkes vaat tuumlnn) aga tuleb eristada nn kuiva barrelit ja naftabarrelit

bull kuiv barrel = 115628 liitrit bull naftabarrel = 158988 liitrit

Suure hulga erisuguste uumlhikute puhul on probleemiks nendest uumlhikutest arusaamine Kui igal inimesel oleksid omad uumlhikud millega ta motildeotildeteobjekte votilderdleb siis oleks teistel inimestel vaumlga raske neid motildeotildetetulemusi kasutada Sellepaumlrast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped uumlhikuteks valitavate suuruste osas Taumlnapaumleva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema uumllemaailmsed st tuleks valida sellised uumlhikud mis kehtiksid kotildeikides maades Taumlnapaumleval enim levinud motildeotildetuumlhikute suumlsteem on SI (prantsuse keeles Systegraveme International drsquoUniteacutes totildelkes ldquorahvusvaheline uumlhikute suumlsteemrdquo) See votildeeti kasutusele 1960 aastal XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Motildeotildetude Peakonverentsil

Demo Vanade ja vaumlhemlevinud motildeotildetuumlhikute loend - Vikipeedia vaba entsuumlklopeedia

14

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI

SI suumlsteemi potildehiuumlhikuteks on

L Pikkusuumlhik m M massiuumlhik kg T ajauumlhik s I voolutugevuse uumlhik A Θ temperatuuri uumlhik K N ainehulga uumlhik mol J valgustugevuse uumlhik cd

Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud on defineeritud tabelis 1

Tabel 1 Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud

Dimensiooni taumlhis

SI uumlhik Definitsioon

L m Pikkusuumlhik meeter on teepikkus mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 s jooksul

M kg Massiuumlhik kilogramm votilderdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga

T s Ajauumlhik sekund on tseesium-133 aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele uumlleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus

I A Voolutugevuse uumlhik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lotildepmata pikas paralleelses ja taumlhtsusetult vaumlikse uumlmara ristlotildeikega sirgjuhtmes tekitab nende juhtmete vahel jotildeu 2middot10-7 N juhtme jooksva meetri kohta

Θ K Temperatuuri uumlhik kelvin on 127316 osa vee kolmikpunkti termoduumlnaamilisest temperatuurist

N mol Mool on suumlsteemi ainehulk mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0012 kilogrammis suumlsiniku isotoobis 12C Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tuumluumlp olema taumlpsustatud Need votildeivad olla aatomid molekulid ioonid elektronid mingid teised osakesed votildei kindla koosseisuga grupid neist osakestest

J cd Kandela on valgustugevus mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540middot1012

Hz kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1683 Wsr

Enne SI suumlsteemi loomist oli fuumluumlsikute hulgas enamlevinuks CGS suumlsteem mille potildehiuumlhikuteks on

bull L pikkusuumlhik cm bull M massiuumlhik g bull T ajauumlhik s

15

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri Θ uumlhik K (kelvin) ainehulga N uumlhik mol (mool) ja valgusvoo Φ uumlhik lm (luumen)

Lisaks potildehiuumlhikutele kasutatakse veel tuletatud uumlhikuid Fuumluumlsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ndash fuumluumlsika valemeid Need seosed ja seaduspaumlrasused on aluseks ka potildehindash ja tuletatud uumlhikute vaheliste seoste maumlaumlramisel

Naumlide 15 Juhti laumlbinud laeng Q on arvutatav juhti laumlbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t SI suumlsteemis motildeotildedetakse voolu amprites ja aega sekundites Laengu uumlhikuks saame nuumluumld [Q]SI = A s = C

Taumlispikkade tuletatud uumlhikute kasutamine igapaumlevaelus on suhteliselt kohmakas seetotildettu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud uumlhikutele antud oma erinimetus ja -taumlhis Eelmises naumlites toodud SI suumlsteemi laengu uumlhikut kutsutakse kuloniks Erinimetusega tuletatud uumlhikute taumlhised on toodud tabelis 2

Tabel 2 Motildened erinimetusega tuletatud motildeotildetuumlhikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Taumlhis Motildeotildetuumlhik Uumlhiku nimetus SI dimensioonvalem

sagedus f Hz herts dim f = T-1

jotildeud kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rotildehk meh pinge p Pa paskal dim p = L-1M T-2

toumlouml soojus energia A J džaul dim A = L2M T-2

votildeimsus P W vatt dim P = L2M T-3

valgusvoog Φ lm luumen dim Φ = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx lux dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk φ rad radiaan dim φ = 1

ruuminurk Ω sr steradiaan dim Ω = 1

elektriline takistus R Ω oom dim R = 1 L2MT-3I-2

Naumlide 16 Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub jaumlrgmiselt

dimU = L2 M T-3 I-1

SI suumlsteemi potildehiuumlhikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge uumlhikuks SI suumlsteemis

[U]SI = m2 kg s-3 A-1

16

Seda uumlhikut nimetatakse voldiks

Naumlide 17 Eespool naumlgime et laeng Q avaldub valemiga Q = I t SI suumlsteemi uumlhikuks saime [Q]SI = A s = C Dimensioonvalemiks votildeime seega kirjutada dimQ = T I

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik

Motildeotildedetavate suuruste vaumlaumlrtus votildeib olla kord suur ja kord vaumlike Seetotildettu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega uumlhikuid sama liiki fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmiseks

Naumlide 18 Pikkuse motildeotildetmiseks kasutatakse tollrsquoi jalgrsquoa jardrsquoi miilirsquoi mere miilrsquoi

bull toll 1rsquorsquo = 00254 m bull 1 jalg = 03048 m = 12rsquorsquo bull 1 jard = 09144 m = 3 jalga = 36rsquorsquo bull miil = 1 609344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360rsquorsquo bull meremiil 1 nam = 1 850 m = 2 025 jardi = 6 080 jalga = 72 900rsquorsquo

Oleks hea kui uumlhtedelt uumlhikutelt teistele uumlleminek oleks votildeimalikult lihtne Niisugusteks motildeotildetuumlhikuteks said meetermotildeotildedustiku uumlhikud mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791 aasta kevadel ldquokotildeikideks aegadeks kotildeigile inimestele kotildeigi riikide jaoksrdquo Meetermotildeotildedustiku ehk kuumlmnendsuumlsteemi oluliseks omaduseks on see et uumlhe ja sama suuruse erinevad motildeotildetuumlhikud suhtuvad uumlksteisesse nagu kuumlmne taumlisarvulised astmed Kasutatavate kuumlmnendliidete selgitus on toodud tabelis 4 Hoolimata meetermotildeotildedustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades taumlnaseni kohalikku suumlsteemi (Inglismaa USA)

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost

meeter ndash pr k megravetre kr k metron ndash motildeotildet

Prantsusmaal on meetermotildeotildedustik kohustuslik aastast 1840 Aastal 1875 kirjutasid 17 riiki alla meetrikonventsioonile Selle alusel otsustati valmistada meetri ja kilogrammi etalonid ja kutsuda iga kuue aasta jaumlrel kokku kaalude ja motildeotildetude peakonverents otsuste vastuvotildetmiseks ning edaspidise toumlouml arendamiseks metroloogia alal Esimene konverents toimus aastal 1889

Briti impeeriumis ja USA-s seadustati meetermotildeotildedustik 1897 NSVL-s 1925 Eestis 1929

Meetermotildeotildedustiku potildehiuumlhikute ajaloost Prantsusmaa rahvuskogu dekreet kuulutas 1791 seaduslikuks pikkusuumlhikuks uumlhe kuumlmnemiljondiku Pariisi veerandmeridiaani pikkusest Prantsuse TA erikomisjon korraldas 1792ndash1799 meridiaanikaare pikkuse motildeotildetmise Dunkerquersquoist Barcelonani 1799 valmistati plaatinast lihtne latikujuline esimene meetri etalon nn arhiivimeeter seda saumlilitatakse Prantsuse Riigiarhiivis Hiljem selgus et puhtast plaatinast valmistatud etalon on vaumlhestabiilne [vaumlhese jaumlikusega suure soojuspaisumisega] ning et selle pikkus on 009 mm (hilisemate arvutuste jaumlrgi 02 mm) votilderra vaumliksem definitsiooniga maumlaumlratud pikkusest Seepaumlrast korrigeeriti meetrit ja valmistati aastatel 1875ndash1879 plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist 31 uut X-kujulise ristlotildeikega etaloni pikkusega 102 cm Iga etalon paiknes rullikutel ja meeter oli taumlhistatud kahe kriipsuga Uutest etalonidest taumlpseima (selle pikkus uumlhtis kotildeige taumlpsemalt arhiivimeetri pikkusega) kinnitas kaalude ja motildeotildetude I peakonverents 1889 a meetri

17

rahvusvaheliseks prototuumluumlbiks Uumllejaumlaumlnud etalonid jaotati loosiga rahvusvahelise meetrikonventsiooniga uumlhinenud riikide vahel

Samas on selge et motildeotildetetehnika arenedes votildeib metallist (votildei mistahes muust materjalist) etaloni ja selle prototuumluumlpide suhtes selguda uumlha enam puudusi Ei ole ka kindel etaloni fuumluumlsiline saumlilimine

Selgus veel et etaloni looduslik alus Pariisi meridiaan ei ole konstantne Planeet Maa kui geoiidi kuju muutub Kuu ja Paumlikese kuumllgetotildembe motildejul Etalonide taasvalmistamise seisukohast on otstarbekas defineerida pikkusuumlhik mingi sobivama loodusliku konstandi kui Pariisi meridiaan kaudu Praegusel tehnoloogilisel tasemel peetakse sobivaimateks konstantideks valguse lainepikkusi ja valguse leviku kiirust vaakumis

1960 a kinnitas kaalude ja motildeotildetude XI peakonverents meetri uue definitsiooni meeter votilderdub kruumlptooni isotoobi tasemete 2p10 ja 5d5 vahelisel siirdel vaakuumis kiirguva valguse 1 650 76373 lainepikkusega

Definitsiooni uuendas kaalude ja motildeotildetude XVII peakonverents 1983 a meeter votilderdub vahemaaga mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 sekundiga (so valguse kiirusega)

Kaaluuumlhik defineeriti esmalt grammina (massi nimetati tol ajal kaaluks kaalu asemel tarvitati motildeistet raskusjotildeud) Grammi esmaseks etaloniks oli 1 cm3 puhast vett jaumlauml sulamistemperatuuril Mitmel potildehjusel [peamiselt miniatuursusest tingitud suurest suhtelisest ebataumlpsusest] veenduti uumlsna kiiresti grammi ebasobivuses

Jaumlrgnevalt defineeriti kilogramm kaaluuumlhikuna kui 1 liitri puhta vee kaal 4 ordmC juures Esimene kilogrammi etalon (arhiivikilogramm) valmistati 1799 a plaatinast seda saumlilitatakse (koos arhiivimeetriga) Prantsuse Riigiarhiivis

Seoses meetri korrigeerimisega oleks olnud vaja korrigeerida ka liitrit esialgu seda ei tehtud mistotildettu liiter ning dm3 ei langenud motildeni aeg kokku Kilogramm defineeriti jaumltkuvalt liitri kaudu Seejaumlrel korrigeeriti ka liitrit mistotildettu praegu langevad liiter ja dm3 jaumllle kokku

Aastal 1899 valmistati plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist silindrikujulised (laumlbimotildeotildet ja kotildergus ca 39 mm) arhiivikilogrammi koopiad millest taumlpseimat saumlilitatakse rahvusvahelise etalonina (prototuumluumlbina) Pariisi laumlhedal Sevresrsquos Rahvusvahelises Kaalude ja Motildeotildetude Buumlroos

Hilisematel motildeotildetmistel selgus et 1 dm3 puhta vee kaal temperatuuril 4 ordmC on 0999972 kg Seega kerkis kuumlsimus kas muuta kilogrammi definitsiooni ja valmistada uus etalon votildei lugeda kilogrammiks juba valminud etaloni massi Uus definitsioon taumlhendanuks paljude kasutuses olevate konstantide korrigeerimist ja sellega seonduvaid segadusi Lihtsam oli jaumlaumlda olemasoleva kilogrammi juurde Uut looduslikku konstanti analoogselt pikkusuumlhikuga pole massi jaoks leitud Praegusel hetkel on massi 1 kg etaloniks rahvusvahelise kilogrammi etaloni mass (ilma loodusliku vasteta)

Ajauumlhiku sekund defineerimisel laumlhtuti juba Babuumlloonias vaumlljakujunenud oumloumlpaumlevasest kellakasutusest mille jaumlrgi oumloumlpaumlev jaguneb tundideks minutiteks ja sekunditeks

Aastani 1956 defineeriti sekund kui 186400 osa keskmisest paumlikeseoumloumlpaumlevast (86400 = 246060)

NB Peale paumlikeseoumloumlpaumleva on veel taumlheoumloumlpaumlev mis on pisut luumlhem kuna taumlhtedelt vaadatuna teeb Maa aastas uumlhe poumloumlrde rohkem

sekund ndash lad k secundus ndash teine

18

Astronoomiatehnika arenedes selgus et troopiline aasta luumlheneb sajandis ca 05 s [totildeusu-motildeotildena totildettu ookean ldquoloksubrdquo mis analoogselt hotildeotilderdumisega aeglustab Maa liikumist kiiruse vaumlhenemise totildettu vaumlheneb tsentrifugaaljotildeud ja vaumlheneb PaumlikendashMaa kaugus vaumliksem orbiit laumlbitakse kiiremini] Kuna aasta osutus olevat aja t funktsiooniks siis leiti lahendus aasta defineerimises uumlhel konkreetsel ajahetkel Selleks hetkeks valiti 31 detsembri 1899 keskpaumlev Sekund defineeriti kui 131 556 9259747 osa troopilisest aastast 31121899 kell 1200 See definitsioon kehtis 1956ndash1967 (Troopiliseks aastaks nimetatakse ajavahemikku Paumlikese keskpunkti kahe jaumlrjestikuse kevadpunktist laumlbimineku vahel)

Aatomifuumluumlsika areng votildeimaldas veelgi paremat looduslikule konstandile tuginevat sekundi definitsiooni

sekund on votilderdne aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele siirdele vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodiga

Tabel 3 Kuumlmnendliited kordsete motildeotildetuumlhikute moodustamiseks

Aste Nimetus Taumlhis Aste Nimetus Taumlhis 1024 jotta Y 10-24 jokto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 eksa E 10-18 atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 piko p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 mikro micro 103 kilo k 10-3 milli m 102 hekto h 10-2 senti c 101 deka da 10-1 detsi d

Uumllesanne 11 Mitu mikronit vastab uumlhele kilomeetrile

1 microm = 10-6 m = 10-6 middot (10-3 km) = 10-9 km seega 1 km = 109 microm

Uumllesanne 12 Mitu kilomeetrit on uumlks sentimeeter

1 km = 1000 m = 1000 middot (100 cm) = 100000 cm

Uumllesanne 13 Uumlks akadeemiline tund (45 minutit) on ligikaudu votilderdne uumlhe mikrosajandiga Kui suur on nende erinevus protsentides Uumlhes (troopilises) aastas on 365244 oumloumlpaumleva

Avaldame motildelemad suurused potildehiuumlhiku sekund kaudu

45 min = 45 middot (60 s) = 2700 s

1 microsaj = 10-6 saj = 10-6 middot (102 a) = 10-4 a = 10-4 middot (365244 middot 24 middot 60 middot 60 s) asymp 3156 s

Nende suuruste erinevus on 41414403156

27003156==

minus

19

Uumllesanne 14 Astronoomilist aega motildeotildedetakse Maa poumloumlrlemise jaumlrgi aatomiaega aga sellest sotildeltumatult Kuna Maa poumloumlrleb aeglustuvalt (potildehjuseks on Kuu kuumllgetotildembejotildeust tingitud totildeusu-motildeotildenalainete sumbumine) kasvab uumlhe oumloumlpaumleva pikkus aatomiajas motildeotildedetuna aastas uumlhe mikrosekundi votilderra Leidke kui suur on erinevus aatomikella ja bdquoastronoomilise kellaldquo naumlitude vahel paumlrast 20 sajandi moumloumldumist

20 saj = 20 middot (100 a) = 2000 a

1 + 2 + 3 + 1998 + 1999 + 2000 = 1000 middot (2000 + 1) = 2001000 = 2001 middot 106

2001 middot 106 micros =2001 middot 106 middot (10-6 s) asymp 2 s

Uumllesanne 15 Kuld on uumlks suurima tihedusega metalle uumlhe kuupsentimeetri kulla mass on 1932 grammi Sotildermuse mass on 4 grammi Kui suure kuldlehe saaks sellest valtsida kui lehe paksus on uumlks mikromeeter

V = mρ = 4g1932gcm3 asymp 0207 cm3 S = Vh = 0207 cm31 microm = 0207 cm3(10-6 m) = 0207 cm3(10-6 (102 cm) = = 2070 cm2 = 207 dm2

Uumllesanne 16 Mitu suumllda on uumlks yard (1 kilomeeter (km) = 1000 meetrit = 468 710 suumllda 1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit)

1 yard = 9144 mm = 09144 m = 09144 middot 10-3 km = 09144 middot 10-3 (4687 suumllda) asymp asymp 0429 suumllda

Uumllesanne 17 Auto mille algkiirus oli 30 penikoormat tunnis sotildeidab maumlest alla kiirendusega 05 suumllda ruutsekundis Maumle pikkus on 900 yardi Leidke auto kiirus maumle all uumlhikutes kilomeetrit tunnis

1 penikoorem = 880 fathomit = 1760 yardi = 754 suumllda 2 jalga = 1 km 609 m

1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit

v0 = 30 penikoormath = 30 middot (1609 m) (3600 s) = 134 ms

754 suumllda 2 jalga = 754 suumllda + 23 middot 09144 m = 1609 m

754 suumllda = 1609 m ndash 06 m = 16084 m

1 suumlld = 16084 m 754 = 213 m

a = 05 suumlldas2 = 05 middot 213 ms2 = 106 ms2

s = 900 yardi = 900 middot 09144 m = 823 m

s = v0t + at22 at2 + 2v0t ndash 2s = 0

20

s728122

787826

0612

823061841344132

2

842 2200

=plusmnminus

=

=sdot

sdotsdot+sdotplusmnsdotminus=

+plusmnminus=

t

a

asvvt

v = v0 + at

v = 134 ms + 106 ms2middot287 s = 438 ms = h

km7157

h

3600

1000

km843 =sdot

21

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide

Igasugune motildeotildetmine suhteskaalat kasutades taumlhendab tundmatu suuruse votilderdlemist sama liiki maumlaumlratletud suurusega mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse vaumlaumlrtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana votildei kordsena Fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmisel on maumlaumlratletud suuruseks loomulikult selle suuruse uumlhik Uumlhikutena tuleks eelistada SI uumlhikuid sest need on kogu maailmas laialt kasutusel ning Motildeotildeteseadusega on nad Eestis kuulutatud kohustuslikeks motildeotildetuumlhikuteks Seega votildeib fuumluumlsikalise suuruse korral iseloomustada votilderdlemise protseduuri (motildeotildetmist) ja selle tulemusena saadavat mingi motildeotildetesuuruse Xi arvvaumlaumlrtust Xi suhtega Xi[Xi] kus i on indeks mille abil eraldame samas motildeotildeteprotsessis esinevaid motildeotildetesuurusi

Naumlide 21 Vedeliku mass motildeotildedetakse kaalumise meetodil koos mahutiga siis votilderdlemise protseduuri ning saadavat arvvaumlaumlrtust saab iseloomustada suhtega (X1 + X3)[X1] kus X1 taumlhistab materjali ja X3 mahuti massi

Naumlide 22 Kui eriti vaumlikeste objektide joonmotildeotildetmete motildeotildetmisel suurendatakse objekti kujutist mikroskoobi abil siis tulemust votildeib kirjeldada suhtega X4bullX2[X2] kus X2 taumlhistab joonmotildeotildedet ja X4 vastavat suurendustegurit Toodud suhtes peaksid olema uumlhikuteks tegelikult[X1 + X3] ja [X4bullX2] kuid kuna liita saab ainult sama liiki suurusi ning suurendustegur on suurus mille dimensioon on uumlks siis oleme uumlhikuteks valinud vastavalt [X1] ja [X2]

Jaumltkame naumlidet 21 Kui laumlhtuda oletusest et motildeotildetesuurusele X1 + X3 saame anda kindla arvvaumlaumlrtuse (X1 + X3)[X1] ning piirduda ainult aditiivsete motildejuritega mille koosmotildeju arvestab juhuslik liidetav X5 siis on motildeotildetmise votilderrand jaumlrgmine

[ ] [ ]1

5

1

31X

X

X

XXX +

+= (21)

See votilderrand iseloomustab votilderdlemise protseduuri ja arvvaumlaumlrtuse saamist ideaalsetes tingimustes Tegelikkuses ei ole votildeimalik votilderrandi (21) liikmeid eristada

Ideaalolukorras omab votilderrandi (21) esimene liige kindlat arvvaumlaumlrtust teine liige on aga juhuslik Saadavat summaarset arvvaumlaumlrtust X ei saa antud juhul kuidagi iseloomustada ainult uumlhe arvuga Seda votildeib iseloomustada matemaatilise mudeli (maatriks) abil ning esitada dokumentaalselt eksperimentaalsete andmete kogumina kas tabeli graafiku sotildeltuvuse jne kujul mis on uumlhtlasi ka arvvaumlaumlrtuse X hinnanguks

Naumlide 23 Motildeotildetesuuruse X1 + X3 n-kordsel (antud juhul 100-kordsel) sotildeltumatul motildeotildetmisel numbernaumlidikuga massimotildeotildetevahendi abil fikseeriti naumliduseadisel jaumlrgmised diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi mis on toodud tabelis 21

22

Tabel 21 Motildeotildetmisel saadud diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi nende esinemiste arv mi totildeenaumlosus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi)

x i m i P(x i) F(x i) 1 2 3 4 3580 1 001 001 3581 2 002 003 3582 4 004 007 3583 10 01 017 3584 21 021 038 3585 23 023 061 3586 19 019 08 3587 12 012 092 3588 5 005 097 3589 2 002 099 3590 1 001 1

Iga i-ndas arvvaumlaumlrtus esines motildeotildetmistel mi korda Tekib kuumlsimus bdquoMissugune nendest arvvaumlaumlrtustest tuleks antud n-kordsel motildeotildetmisel votildetta motildeotildetetulemuse aluseksldquo

Antud juhul mitte uumlkski arvvaumlaumlrtus tabeli esimeses tulbas uumlksikuna votildettes ei iseloomusta motildeotildetevahendi abil saadud motildeotildetetulemust tervikuna Seda iseloomustab antud juhul kogu saadud arvvaumlaumlrtuste kogum koos uumlksikute arvvaumlaumlrtuste esinemise sagedusega Votildettes iga i-nda arvvaumlaumlrtuse suhtelise esinemise sageduse min selle lugemi esinemise totildeenaumlosuseks P(xi) saame taumlita tabeli kolmanda veeru Votilderreldes tabeli esimese veeruga annab kolmas veerg meile antud motildeotildetevahendi abil saadud ja tabeli kujul esitatud diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotuse Selle totildeenaumlosusjaotuse votildeime avaldada ka graafiliselt jaotusspektrina joonis 21

0

005

01

015

02

025

3580 3581 3582 3583 3584 3585 3586 3587 3588 3589 3590

x i

P(x

i)

Joonis 21 Diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotus

Liidame kotildeik need kolmandas veerus olevad arvvaumlaumlrtuste esinemise totildeenaumlosused mille korral arvvaumlaumlrtused xi on vaumliksemad vaadeldavast arvvaumlaumlrtusest xk Tabeli esimese veeru arvvaumlaumlrtustega votilderreldes annavad neljanda veeru arvvaumlaumlrtused meile motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumlrtuste esinemise jaotusfunktsiooni tabeli kujul Graafiliselt on see toodud joonisel 22

23

0

02

04

06

08

1

12

3579 3581 3583 3585 3587 3589 3591

x i

F(x

i)

Joonis 22 Diskreetsete arvvaumlaumltuste jaotusfunktsioon

Jooniselt 22 on naumlha et motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumltuste esinemise jaotusfunktsioon on katkev taumlpsemini treppfunktsioon Katkevuspunktides on motildeotildetevahendi lugemite votildeimalikud vaumlaumlrtused ning nendes punktides jaotusfunktsioon kasvab huumlppeliselt kusjuures huumlppe motildeotildetmeks on totildeenaumlosus et esineb katkevuspunktist vaumliksemaid arvvaumlaumlrtusi

Seega numbernaumliduseadisega motildeotildetevahendite korral kirjeldavad totildeenaumlosusjaotus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi) taumlielikult saadavat diskreetset arvvaumlaumlrtust xi

Jaumltkame nuumluumld motildeotildetmise votilderrandi 21 analuumluumlsi Oletame et me teame mahuti massi X3 eelnevatest motildeotildetmistest votildei saadakse see taumliendavate uuringute potildehjal Vastavalt meie laumlhenemisviisile oleme andnud suurusele X3 kindla vaumlaumlrtuse ja juhuslikud komponendid uumlle kandnud suurusesse X5 Seega on suurusel X5 juhuslik iseloom mis taumlhendab et tema vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik kindlaks teha Siit jaumlreldame et motildeotildetesuuruse X1 vaumlaumlrtust on votildeimatu taumlpselt kindlaks teha votilderrandi (21) potildehjal tuletatud valemi

[ ] 3511 XXXXX minusminussdot= (22)

abil Seda isegi siis kui laumlhtume ideaalolukorral kehtivast oletusest et suurusel X3 on kindel vaumlaumlrtus Toonitame veelkord et votilderrand (22) ei peegelda tegelikku motildeotildeteprotsessi st et me praktikas ei saa eristada juhuslikku suurust X5 vaadeldavast motildeotildetesuurusest X1

Kokkuvotildetteks ndash motildeotildetmise kordamisel tuleb suuruse arvvaumlaumlrtus X tingituna motildeotildetesuuruse iseloomust igal motildeotildetmisel erinev Seega praktilise motildeotildetmise kogemuse potildehjal votildeime vaumlita et mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning seega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes et saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti juhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kirjeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muutuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mis kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

24

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreetseteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettemaumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 muumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused grammides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildepmatu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumliteks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tulemust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on avaldatav valemiga

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk = (23)

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

(24)

Esimene omadus taumlhendab et esinemistotildeenaumlosus ei saa olla negatiivne ega ka mitte suurem kui uumlks Teine omadus taumlhendab et kotildeigi elementaarsuumlndmuste esinemistotildeenaumlosuste summa on uumlks st on 100 kindel et toimub mingi realisatsioon kotildeigi elementaarsuumlndmuste hulgast ja kotildeik teised votildeimalused on votildeimatud

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16 visatakse 4 silma p = 16 visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmus visatakse 1 votildei 4 silma p = 26 visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46 visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus on toodud joonisel 23 Totildeenaumlosus erineb nullist ainult maumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole maumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

25

Joonis 23 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatiivne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

sumle

=ki

ipkF )( (25)

st jaotusfunktsioon naumlitab kui suur on totildeenaumlosus et juhuslik suurus xi on vaumliksem kui xk Naumliteks taumlringuviske puhul taumlhendab jaotusfunktsioon kohal 4 totildeenaumlosust visata taumlringuga silmade arv 1 2 3 votildei 4 st tema vaumlaumlrtuseks on 16 + 16 + 16 + 16 = 46

Joonisel 24 on toodud temperatuuri motildeotildetmise totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon (joon)

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

Joonis 24 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotuse omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla negatiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa samuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

26

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vaumlaumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlndmuse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele (26)

Pideva suuruse korral votildeib vaumlaumlrtused x1 ja x2 votildetta votildeimalikult teineteise laumlhedusest Siit tuleneb et

kui votildetta x1 rarr x2 siis [ ] 0)()(lim 1221

=minusrarr

xFxFxx

Seega saame vaumlita et pideva suuruse korral

on mingi konkreetse vaumlaumlrtuse totildeenaumlosus votilderdne nulliga Naumliteks totildeenaumlosus et uumlhe motildeotildetesilindri maht on taumlpselt 1 liiter on null Seega on motildeistlik vaadata pidevate suuruste korral hoopis totildeenaumlosust et suumlndmus satuks vahemikku [x1 x2]

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

dx

xdFxf

)()( = (27)

Teistpidi on jaotusfunktsioon maumlaumlratud integraal jaotustihedusest

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF (28)

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfunktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli lihtsustab valemite 27 ja 28 kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vaumlga keeruliste uumllesannete lahendamist

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist on toodud joonisel 25

1

Joonis 25 Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

Valemist 27 saame et

dxxfxdFdp sdot== )()( (29)

seega suurus dp on ristkuumlliku pindala motildeotildetmetega dx ja f(x) Funktsiooni f(x) pindala vahemikus (a b) on seega maumlaumlratud integraal

27

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

(210)

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabel Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6 b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9 c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

a Vastavalt esinemiste totildeenaumlosusele on kahe taumlringuviske summaks votildeimalik saada 536 asymp 13 juhtudest

b Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vaumliksem kui 9 on 3036 asymp 83

c Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vahemikus [38] on

2636 ndash 136 = 2536 asymp 69

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine pooldumist kirjeldav tihedusfunktsioon Palju kulub aega et esialgsest Cs ainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

28

( )

19843614614

614)010ln(010)exp(990)exp(1

)exp(1)exp(

)exp(1

)exp(1

)()(

)exp(1

)(

01

010101

010

0

0

00000

00

00

1

1

1

1

=sdot=sdot=

minus==minusrArr=minusrArr=minusminus

minusminus=minus=

=minussdotminus=minus==

minus=

int int

tt

tttttt

tttt

tttt

dtttt

dttftF

ttt

tf

t

tt

t

Seega oleks esialgsest ainehulgast 198 aasta paumlrast alles 1

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri tsuumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

ning tema jaotusfunktsioon on 10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

Totildeestame kotildeigepealt jaotustihedusele vastava jaotusfunktsiooni Vaatame ainult piirkonda 0 lt x lt 1 sest kuna arkussiinusjaotus on nullist erinev ainult piirkonnas (0 1) on tema jaotusfunktsioon F(x) = 0 piirkonnas x le 0 ja F(x) = 1 piirkonnas x ge 1

( )[ ] int

intint

intint

int

=minus

sdot==

=rArr=minus

=minus

=

sdot=rArr=rArr==sdotminus

=minus

=

===leinfinminus

)arcsin(1

1)arcsin(2)arcsin(

2

)0()0()0(1

12

1

11

2)1(

1

)1(

1

)()()(

20

02

02

2

00

ydyy

xy

xxxdyyx

dx

x

dyydxyxxydxxx

dxxx

dxxfxFxXP

x

xx

xx

x

ππ

ππ

ππ

29

Nuumluumld tuleb teha uumllesande lahendamiseks muutujavahetus et sobituda arkussiinusjaotuse valemiga

Vaatame paare x1 = 0 t1 = 20

x2 = 1 t2 = 24

Vastav uumlleminekuvalem on ilmselt 420minus

=t

x

Teeme tabeli meid huvitavatest temperatuuridest vastavatest x-i vaumlaumlrtustest ning tihedusfunktsiooni vaumlaumlrtustest

t x F(x) 205 18 023 21 frac14 033 23 frac34 067 235 78 077

Seega on vahemikus 21 degC kuni 23 degC ruumi temperatuur 067 ndash 033 = 34 ajast Alla 205 degC votildei uumlle 235 degC on 023 + (1 ndash 077) = 46 On huvitav maumlrkida et tsuumlkliliste temperatuurimuutuste korral puumlsib temperatuur kotildeige kauem vahemiku ekstreempunktide laumlheduses ja kotildeige luumlhemat aega ettenaumlhtud temperatuuril See omadus naumlhtub jaotustiheduse graafikust ja on intuitiivselt motildeistetav vaadeldes siinuskotildevera kulgu

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaatekohalt Jaotusseadus votildeimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga suumlndmuse totildeenaumlosust Jaotusseaduse potildehikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaalne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamasti aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlielikku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadusi Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendamisel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadused

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel suurt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood momendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik funktsioon entroopia jmt

231 Keskvaumlaumlrtus

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakteristik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhistused on

30

m mx m[x] x ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

sum=

=n

kkk pxm

1

(211)

kus )( kk xXPp ==

Kui votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on loenduv siis

suminfin

=

=1k

kk pxm (212)

kusjuures eeldatakse et summa paremal koondub (on lotildeplik) Kui summa ei koondu siis harilikult keskvaumlaumlrtust juhuslikule suurusele ei omistata

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) ja votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on kogu reaaltelg keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

int+infin

infinminus

= dxxxfm )( (213)

eeldusel et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt)

Maumlrkus Valem keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langeb kokku valemiga varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhega Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatiline moment

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (214)

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

31

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

See on lotildeigu [a b] keskpunkt

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r (215)

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut (f integraal x jaumlrgi rajades [ )infin1 olgu votilderdne uumlhega) On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1 Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r vaumlaumlrtuste korral joonisel 26

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

Joonis 26 Astmejaotuse jaotusfunktsioon

Arvutame astmejaotuse keskvaumlaumlrtuse

infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus== intint1

21

1

1

1

2

1)1()( r

r

xr

rdxxrdxrxfxm

Naumleme et keskvaumlaumlrtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse 02gtminusr ehk 2gtr kehtimine ndash vastasel juhul ei koonduks uumlmarsulgudes olev avaldis lotildepmatuses nulliks vaid oleks lotildepmata suur Kui see tingimus on taumlidetud siis saame

32

22

1gt

minusminus

= rr

rm (216)

Seega keskvaumlaumlrtus on alati suurem uumlhest (pole ka midagi imestada kuna kogu jaotuse kandja asub punktist uumlks paremal) ja kasvab piiramatult kui r laumlheneb kahele paremalt (joonis 27)

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

Joonis 27 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Oluline asi millele selle naumlitega taumlhelepanu juhime on asjaolu et lotildepmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslotildepmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskvaumlaumlrtus eksisteerida Selle (keskvaumlaumlrtuse) olemasoluks on vajalik et jaotustihedus laumlheneks nullile piisavalt kiiresti kui

infinplusmnrarrx Lotildepliku kandja puhul sellist probleemi ei teki

Keskvaumlaumlrtuse omadusi

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on see konstant ise

[ ] ccm =

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlmboli ette

[ ] [ ]XcmcXm =

Totildeestatakse see pideval juhul nii

33

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

Analoogiline on totildeestus diskreetse juhusliku suuruse korral

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtuseid kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrtuseid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeetilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

Naumlide 27 Suvel maumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel lahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle raumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva Mitu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

Vastus nihketa hinnang oleks mediaan ehk 156 paumleva Aritmeetilist keskmist saab arvutada ainult suve alguseks Eestisse tagasi jotildeudnud lindude raumlnnet arvesse votildettes see oleks 154 paumleva kuid see ei arvesta votildeimalusega et kadunud 2 lindu siiski kunagi naumliteks suvel siiski jotildeudsid tagasi Ka annaks aritmeetiline keskmine selgelt nihutatud hinnangu juhul kui motildeni lindudest saabuks juba suumlgisel miskipaumlrast Eestisse tagasi

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis seda naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotildergpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vaumlhemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) leitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on eesmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hulgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad keskvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemikku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korrelatsioonikordaja) maumlaumlramisele

Naumlide 28 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast ja 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55000 EEK Keskmine palk selles firmas on

34

1000010

5500050009=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalgaga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firmas on

320005

4000390004=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

Seega sotildeltuvalt palkade jaotusest votildeib olla keskmine palk mediaanpalgast nii suurem kui ka vaumliksem Eesti keskmisena on siiski keskmine palk mediaanpalgast maumlrgatavalt kotildergem seda tingib uumlhelt poolt miinimumpalk millest vaumliksemat palka ei ole votildeimalik maksta samuti totildesiasi et meil on teatud hulk inimesi kes saavad uumllisuuri palkasid Toon siin internetist leitud Eesti keskmise ja mediaanpalga naumlited need on illustratiivsed ja ei pretendeeri kindlale totildeele 2008 aasta III kvartalis oli keskmine kuupalk 12 512 krooni samas kui 2008 aasta II kvartalis oli mediaanpalk 9 897 krooni

232 Dispersioon ja ruuthaumllve

Teades juhusliku suuruse keskvaumlaumlrtust ei saa veel otsustada milliseid vaumlaumlrtusi juhuslik suurus votildeib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskvaumlaumlrtuse uumlmber Kui jaotustihedus on haumlsti kitsas kui juhusliku suuruse hajuvus on vaumlike siis on keskvaumlaumlrtusest kuumlll et iseloomustada juhuslikku suurust Kui aga jaotustihedus on lai ja lame Meil on tarvis suurust mis votildeimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse bdquokitsustldquo votildei bdquohajuvustldquo Selliseks suuruseks on dispersioon

Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse haumllbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse

[ ]Xmxii minus=ε (217)

Pole raske veenduda et haumllbe keskvaumlaumlrtus on votilderdne nulliga Totildeepoolest

01

=sum=

n

iiε

See on seletatav sellega et votildeimalikud haumllbed on erinevate maumlrkidega ja summaarselt kompenseeruvad Jaumlrelikult ei iseloomusta haumllve hajuvust Tsentreerimine taumlhendab geomeetriliselt seda et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]Xm

Dispersioon

Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust

[ ] [ ] [ ]( )[ ]22 XmXmmXDD minus==equiv ε (218)

35

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega on dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse maumlaumlra iseloomustajaks

Teised levinumad taumlhised dispersioonile on veel 2σ (dispersioon on siin taumlhistatud kui standardhaumllbe ruut) Kaumlesolevas kursuses kasutame dispersioonile taumlhist D

ja kui tahame rotildehutada votildei esile tuua millise juhuliku suurusega on tegu siis taumlhist D(X)

Vastavalt definitsioonile (218) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem

( )sum minus=i

ii pmxD 2 (219)

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealisatsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suuruse korral annab (22)

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2 (220)

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus= (221)

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku suuruse ruudust X2 Kotildeige lihtsam on seda valemit totildeestada esitades valemeis (219) javotildei (220) ruutavaldise uumlmarsulgudes kujul

222 2)( mxmxmx +minus=minus

Vaatame detailsemalt (221) totildeestust pideva juhusliku suuruse juhul (220)

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

mis ongi valem (221) Uumlhtlasi oleme ka saanud ilmutatud esituse juhusliku suuruse ruudu keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks

[ ] )(22 dxxfxXm intinfin

infinminus

= (222)

36

Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetemaumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumllvet

D=σ (223)

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve

Lahendamiseks teeme kotildeigepealt tabeli

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse laumlhtudes valemist (211)

532161

1

=sdot== sum=

n

kkk pxm

Laumlhtudes valemist (219) saame

( ) 9225176

12 asympsdot=minus= sumi

ii pmxD

Laumlhtudes Steineri valemist (221) saame

[ ] 9222512171553691 222 =minusasympminus=minus= mXmD

Taumlringuviske standardhaumllve on

711922)()( === xDxσ

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

37

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime juba varem

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi (ehk x2 keskvaumlaumlrtuse)

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+

minus++

=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1)()(

ababxDx

minusasymp

minus==σ

Naumlide 211 Astmejaotuse dispersioon ning standardhaumllve

Olgu jaotustiheduseks astmejaotus (215) Dispersiooni arvutuseks kasutame valemit (221)

Keskvaumlaumlrtus m on teada valemist (216) seega on vaja leida [ ]2Xm kasutades selleks seost (222) ja jaotustihedust (215)

[ ] 1

3

1)1(

1

13

1

2

1

22infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus=minus

= intint rr

r xr

rdxxrdx

x

rxXm

Siin uumlmarsulg annab lotildepliku tulemuse vaid siis kui on taumlidetud tingimus 3gtr Sel juhul annab uumlmarsulg uumllemise raja juures nulli ning saame lotildeplikult

[ ]312

minusminus

=r

rXm

Seega saame astmejaotuse dispersiooni jaoks

38

2

2

)2)(3(

1

2

1

3

1)(

minusminusminus

=

minusminus

minusminusminus

=equivrr

r

r

r

r

rrDD

Ning astmejaotuse standardhaumllbe jaoks

2)2)(3(

1)(

minusminusminus

==rr

rrDσ

Selle dispersiooni graafik parameetri r funktsioonina on toodud joonisel 28

3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

55

0

σ r( )

103 r

Joonis 28 Astmejaotuse standardhaumllve

Naumleme et standardhaumllve laumlheneb kiiresti lotildepmatusele kui parameeter r laumlheneb kolmele Ja vastupidi parameetri kasvades laumlheneb standardhaumllve kiiresti nullile

See naumlide demonstreerib seda totildesiasja et ndash sarnaselt keskvaumlaumlrtusele ndash vajab lotildepmatu maumlaumlramispiirkonnaga juhuslik suurus standardhaumllbe lotildeplikkuseks (st eksisteerimiseks) kuumlllalt kiiret totildeenaumlosustiheduse nullile laumlhenemist protsessis plusmninfinrarrx Jaotustiheduse nullile laumlhenemise kiiruse maumlaumlrab kaumlesolevas naumlites parameeter r ndash mida suurem see on seda kiirem on )(xf nullile laumlhenemine (vt joonis 27) Nagu naumleme on standardhaumllbe eksisteerimiseks tarvilik suurem nullile laumlhenemise kiirus ( 3gtr ) kui oli tarvilik keskvaumlaumlrtuse olemasoluks (seal oli tarvilik 2gtr ) See tulemus on uumlsna uumlldine lotildepmatu kandjaga jaotustiheduse korral on tingimused standardhaumllbe eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskvaumlaumlrtusele

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardhaumllbe omadused

39

Vaatleme dispersiooni potildehiomadusi mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse puhul

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null Konstandi dispersioon on votilderdne nulliga

[ ] 0=cD

Totildeestuseks teisendame

[ ] [ [ ] ] [ ] 00)( 2 ==minus= mcmcmcD

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

Vaatame maumlaumlranguid (219) ja (220) Diskreetsel juhul (219) on summa all ainult positiivsed suurused ja positiivsete suuruste summa on positiivne Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus mil summa koosneb vaid uumlhest liikmest mis on parasjagu null

Analoogiline on totildeestus pideval juhul (220) integraal positiivsest funktsioonist on positiivne Ka siin on piiril erijuhuks uumlhteainsasse punkti cX = lokaliseeritud jaotus mida kirjeldab delta-funktsioon

)()( cxxf minus= δ

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

[ ] [ ]XDccXD 2=

Keskvaumlaumlrtuse omaduste potildehjal

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]XDcXmXcm

XcmcXmcXmcXmcXD222

22

)(

)())((

=minus=

=minus=minus=

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses olevad juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

kus [ ]

[ ] [ ]YDXD

yxmr

)()( εε sdot= on korrelatsioonitegur (sellest taumlpsemalt edaspidi)

Totildeestuseks teisendame kasutades keskvaumlaumlrtuse aditiivsuse omadust

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ])()()(2)(

))()(()(22

22

YDXDxyxxm

yxmYXmYXmYXD

+=+plusmn

=plusmn=plusmnminusplusmn=plusmn

εεεε

εε

sest [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]YDXDrYmYXmXmyxm sdot=minusminus= ))(()()( εε

40

Sotildeltumatute tundmatute erijuhul (r asymp 0) on [ ] 0)()( =yxm εε

Erijuhul kus uumlks liidetav on konstant on

[ ] [ ]XDcXD =+

Standardhaumllve (ruutkeskmine haumllve)

Dispersiooni ruutjuurt

D=σ (223)

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

41

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus m b standardhaumllve σ c totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σ d totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui keskvaumlaumlrtus e mediaan

0 05 1 15 20

05

1

15

2

y x( )

y1

y1

x 16 168

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

6158

542

541

4)()(

520

52

0

4

==sdot

=sdot==== intintinfin

infinminus

xdx

xdxxxfxm

667238

616

642

641

4)()(

620

62

0

522 asymp==

sdot=sdot==== intint

infin

infinminus

xdx

xdxxfxxm

1070616672))(()( 222 =minus=minus= xmxmD

3301070 asymp== Dσ

27133061 =minus=minusσm

93133061 =+=+σm

16016

6216271

)(4

===minusσmF

42

87016

91316931

)(4

===+σmF

71710160870)( ==minus=plusmnσmp

4141016

661661

)(4

====mF

Arvutame mediaani

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

43

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus= kus

parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvaumlaumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Kasutame arvutuses poolestusaja poumloumlrdvaumlaumlrtust 01 t=λ

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

Siin on otstarbekas arvutada algmomendid ning neid kasutada keskvaumlaumlrtuse ja dispersiooni leidmiseks

[ ] dtttdttttm kkk )exp()exp(00

λλλλ minussdotsdot=minussdot= intintinfininfin

Rakendame integraali arvutamisel parameetri jaumlrgi diferentseerimise votildetet

intintinfininfin

minus

minus=minus

000

)exp()exp( dttdt

ddttt

k

k λλ

Kuna viimase integraali vaumlaumlrtus on

λλ

1)exp(

0

=minusintinfin

dtt

siis saame

[ ]λλ

λ1

kk

d

dtm

minussdot=

Votildettes siin k = 0 1 2 saame kerge vaevaga

[ ] 11

00 =

minussdot=λλ

λd

dtm

seega normeering uumlhele on kehtiv nagu peabki

[ ] 0

11 11

td

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

44

[ ] 202

22 2

21t

d

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

Seega on eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja dispersioon vastavalt

[ ] 0ttm = ja

[ ] [ ] 20

20

20

22 2 ttttmtmD =minus=minus=

Standardhaumllve on siit

0tD ==σ

Niisiis on eksponentjaotuse korral keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve arvuliselt votilderdsed

Leiame nuumluumld mediaani

3043690690690

690)50ln(

50)exp(50)exp(1)(

0 asympsdot=sdot==rArrminus==minus

=minusrArr=minusminus=

ttt

tttF

λλ

λλ

Seega on tseesiumi pooldumise keskvaumlaumlrtus 43 aastat aga mediaan 30 aastat

45

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaot usseadused

241 Uumlhtlane jaotus

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel lotildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

Seega on uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (224)

Joonisel 29 on toodud uumlhtlase jaotuse jaotustiheduse graafik

Joonis 29 Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

( )( )2)(2)(22

111 222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega (joonis 29) siis on ka loomulik et keskvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

Suumlmmeetriatelg

46

[ ]

3)(3

))((

)(3

3

111

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxXm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

[ ]12

)(

23

222222 abbababa

mXmDminus

=

+minus

++=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1 ababD

minusasymp

minus==σ

Standardhaumllbe ulatus (so intervalli [ ]σσ +minus mm ulatus) on naumlidatud joonisel 29 kahepoolse noolega Standardhaumllbe vaumlaumlrtusest on ka naumlha et kahekordsele standardhaumllbele vastav intervall [ ]σσ 22 +minus mm sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse muutumispiirkonna [a b] Teiste sotildenadega andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks standardhaumllvet keskvaumlaumlrtusest saavutame et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda totildeenaumlosusega 1 (eeldusel et jaotus ikka on uumlhtlane)

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadmetel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 2265 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mingisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum eeldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

Ka analoogmotildeotildeteseadme resolutsioonist tingitud maumlaumlramatust votildeib kaumlsitleda samamoodi kui digitaalsetel seadmetel Siiski on analoogseadmetel votildeimalik seda maumlaumlramatust vaumlhendada Naumliteks on joonlaua resolutsioon 1 mm kuid terava silmaga motildeotildetja suudab jagada millimeetri veel pooleks Sellisel juhul alluks resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus ikka uumlhtlasele jaotusele kuid oleks motildeotildetetulemuse 2835 mm

Teine uumlhtlase jaotuse naumlide on Brauni osakeste levimine Vedeliku anumasse uumlhte punkti pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma ning on selles anumas pika aja paumlrast (aeg infin) uumlhtlaselt jaotunud Sellel potildehjusel on piimaga kohvi uumlhtlaselt pruun

242 Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmmeetriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf (225)

ning mille jaotustihedus on toodud joonisel 210

47

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

Joonis 210 Kolmnurkjaotuse jaotustihedus

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotus on suumlmmeetriline siis ilmselt tema keskvaumlaumlrtus 12

20)( =

+=xm

ja tema ruudu keskvaumlaumlrtus on

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

ja dispersioon ning standardhaumllve on

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

Hiljem vaatame seda kolmnurkjaotust seoses keskse piirteoreemiga

243 Eksponentjaotus

Eksponentjaotus sai laumlbi arvutatud radioaktiivse aine pooldumist kirjeldavas naumlites

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

48

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

Joonis 211 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja jaotusfunktsioon

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusele Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pikk on keskmise lambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi eluiga on 5000 tundi Teha naumlidisarvutus Mathcadis (lambi_eluigamcd)

49

244 Normaaljaotus

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jaotusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaalteljele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus ( )infininfinminus

Naumlide 210 Gaasi molekuli x-telje suunaline kiirus allub normaaljaotusele kus keskvaumlaumlrtus on a = 0 (makroskoopiliselt puumlsib gaas paigal) ning standardhaumllve on proportsionaalne ruutjuurega temperatuurist

Naumlide 211 Uumlhemotildeotildetmelisse lotildeputu ulatusega vedeliku anumasse (lotildepmatult pikk kapillaartoru) uumlhte punkti x0 ajahetkel t = 0 pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma nende jaotus ajahetkel t gt 0 on kirjeldatav normaaljaotusega parameetritega a = t0 ning σ2 ~ t Seega standardhaumllve ajas jaumlrjest suureneb votilderdeliselt ruutjuurega ajast Seega kui valada lotildepmatult suures tassis kohvile piima ei saa mitte kunagi uumlhtlaselt pruuni segu vaid ainult piimatilk tasapisi segunedes musta kohviga

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotuseks ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf (226)

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja 0gtσ on fikseeritud positiivne reaalarv Antud loengukursuse raames me ei totildeesta vaid ainult konstateerime et parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

Jaotustiheduse maumlaumlramispiirkond on kogu reaaltelg R (st argument x votildeib omandada vaumlaumlrtusi kogu reaalteljel)

Normaaljaotuse tiheduse graafik on parameetrite 2=a 1=σσσσ korral toodud joonisel 212

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

Joonis 212 Normaaljaotuse jaotustihedus

50

Parameetri a muutumisel joone asend muutub x-telje suhtes a kasvades jaotus nihkub paremale (toimub kujundi x-telje sihiline paralleelluumlke) Mida suurem on a seda paremal paikneb kotildever (joonis 213)

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

Joonis 213 Erinevad normaaljaotused σ = 1 korral a = ndash2 (kotildever f3(x)) a = 0 (kotildever f2(x)) ja a = 2 (kotildever f1(x))

Kui parameeter σ kasvab siis kahanevad funktsiooni vaumlaumlrtused ja joon muutub lamedamaks ndash kotildever surutakse kokku y-telje suunas Kui σ kahaneb siis muutub joon teravatipulisemaks ndash kotildever venitatakse vaumllja y-telje suunas (joonis 214)

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

Joonis 214 Normaaljaotus (a = 0) erinevate σ-de korral f1(x ) ndash σ = 1 f2(x) ndash σ = 2 ja f03(x) ndash σ = 03

51

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik muumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljaotuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse (226) integreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2)exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ (227)

Siin erf(x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete lahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm(x a σ) ning jaotusfunktsioon kohal x funktsiooniga pnorm(x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus arvutatav kaumlsuga normdist(x a σ 0) ning jaotusfunktsioon kaumlsuga normdist(x a σ 1)

Naumlide 212 Arvutame vaumllja totildeenaumlosuse et normaaljaotuse puhul satuks suumlndmus intervalli (a plusmn σ) (a plusmn 2σ) (a plusmn 3σ) Kuna need totildeenaumlosused ei sotildeltu jaotuse parameetritest siis valime votildeimalikult lihtsad parameetrid naumliteks a = 0 ja σ = 1 Leiame Excelrsquoi abil meid huvitavad jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused

Normdist(ndash3 0 1 1) = 000135 Normdist(ndash2 0 1 1) = 00228 Normdist(ndash1 0 1 1) = 0159 Normdist(1 0 1 1) = 0841 Normdist(2 0 1 1) = 09772 Normdist(3 0 1 1) = 099865

Tegelikult piisaks ka neist ainult esimese kolme arvutamisest sest normaaljaotus on suumlmmeetriline ning seega on totildeenaumlosus et toimub suumlndmus x lt a ndash z votilderdne totildeenaumlosusega et toimub suumlndmus x gt a + z

P(a plusmn 3σ) = 099865 ndash 000135 = 09973 = 9973

P(a plusmn 3σ) = 1 ndash 2(000135) = 09973 = 9973 P(a plusmn 2σ) = 1 ndash 2(00228) = 09545 = 9545 P(a plusmn 1σ) = 1 ndash 2(0159) = 06827 = 6827

Seega satub vahemikku plusmn 1σ ligikaudu 68 vahemikku plusmn 2σ ligikaudu 95 ja vahemikku plusmn 3σ ligikaudu 997 suumlndmustest

52

245 Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

10

)arcsin(2)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π (228)

Arkussiinusjaotuse jaotusfunktsiooni arvutuskaumlik sai toodud varasemalt ruumi temperatuurikontrolli suumlsteemi naumlites

Arkussiinusjaotuse keskvaumlaumlrtus on m = 05 ning dispersioon on 8

1=σ

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

Joonis 215 Arkussiinusjaotuse jaotustihedus ning jaotusfunktsioon

53

Naumlide 213 Kolmnurkjaotust votildeib defineerida ka jaumlrgnevalt piirkondades x lt 0 ning x gt b on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [0 b] on tema vaumlaumlrtus uumlhtlaselt kasvav (f(x) = cx) Arvuta koefitsient c jaotusfunktsioon keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning standardhaumllve Leia totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (m plusmn σ) (m plusmn 2σ) Joonista graafik ning kanna sellele keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning viiruta piirkond (m plusmn 2σ)

Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

2

2

0

2

0

21

2

)(

2 bc

bc

xcdxcxdxcx b

b

=rArrequivsdot=sdot=sdot=sdot intintinfin

infinminus

Seega on selle kolmnurkjaotuse jaotustihedus

lele=

mujal0

02

)( 2bx

b

xxf

Leiame nuumluumld jaotusfunktsiooni

2

2

02

2

022

22)(

b

x

b

xdx

b

xdx

b

xxF x

xx

==== intintinfinminus

Arvutame nuumluumld keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

bbb

bx

bdxx

bdx

b

xxm

bbb

6703

2

3

2

3

2222

3

0

3

20

22

02

asymp==

=== intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

[ ] 24

222 2

0

4

20

32

02

22 bx

bdxx

bdx

b

xxXm

bbb

=

=== intint

Nuumluumld saame

[ ]1818

89

3

2

2

2222222 bbbbb

mXmD =minus

=

minus=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

bb

D 24018

asymp==σ

Arvutame mediaani kasutades jaotusfunktsiooni

bbxb

xxF 7105050)(

2

2

asympsdot=rArr==

Leiame jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused meid huvitavates punktides

54

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

151)480670(18

2

3

22

910)240670(183

2

430)240670(183

2

190)480670(18

2

3

22

=+asymp+=+

=+asymp+=+

=minusasympminus=minus

=minusasympminus=minus

σ

σ

σ

σ

1)151()2(

8280910)910()(

1850430)430()(

0360190)190()2(

2

2

2

==+

==asymp+

==asympminus

==asympminus

bFmF

bFmF

bFmF

bFmF

σσ

σ

σ

P(m plusmn σ) = 0828 ndash 0185 = 0643 = 643

P(m plusmn 2σ) = 1 ndash 0036 = 0964 = 964

55

25 Juhuslike jaotuste summa

251 Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega mingist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatakse hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetmise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga jagatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on selge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotusest Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alles jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

Vaatame uuesti naumlidet kus me vaatasime kahe taumlringuviske summat (2 loeng) Saime jaumlrgmise jaotustabeli

Tabel 22 Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

Joonis 216 Kahe taumlringuviske keskvaumlaumlrtuse jaotustihedus (punane) taustaks uumlhe taumlringuviske jaotustihedus (sinine)

56

Nii tabelist kui ka jooniselt naumleme et kuigi motildelemad taumlringuvisked olid diskreetsest uumlhtlasest jaotusest on nende summa ja keskvaumlaumlrtuse jaotus kolmnurga kujuline seega erinev summeeritavate jaotusest

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustiheduse leidmiseks konvolutsiooni integraali

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()( (229)

Tutvume selle integraali arvutamisega naumlidete varal liites kokku kaks uumlhesugust jaotust

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peavad tema motildelemad komponendid olema nullist

erinevad Esimene integraal on nullist erinev ainult piirkonnas [ ]10=τ Teine integraal on nullist erinev ainult piirkonnas

[ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingimust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

[ ][ ]

minus=

tt 1

10τ

Kuna τ sotildeltub t vaumlaumlrtusest siis integreerime tuumlkkide kaupa

1 0)(0 =rArrlt tyt

2 tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(10 τττττ

3 21 ltlt t Selles piirkonnas on radasid kotildeige raskem ette kujutada Integreerimise alumise raja maumlaumlrab teine tingimus ehk τ = t ndash 1 uumllemise aga esimene tingimus ehk τ = 1

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(21 1

1

1

1

τττ

57

4 0)(2 =rArrgt tyt

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus on maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

Antud funktsioon on toodud jaumlrgneval graafikul ning on identne eelmises loengus toodud kolmnurkjaotusega

Kahe jaotuse konvolutsiooni saab leida ka graafiliselt Jaumlrgnevatel joonistel on toodud konvolutsiooni graafilise arvutamise naumlide juba arvutatud uumlhtlaste jaotuste liitmisest Osutub et konvolutsiooni integraal kohal t on votilderdne funktsioonide x(τ) ja h(t ndash τ) kattuvuspiirkonna pindalaga

58

Naumlide 215 Leiame konvolutsiooni integraali kahest eksponentjaotusest

gt

==minus

mujal0

0)()(

xexgxf

x

intintinfin

infinminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=minussdot= dyeedyyxgyfxgf yxy )()()())((

Leiame jaumllle tingimused kus konvolutsiooni integraali motildelemad komponendid oleksid nullist

erinevad Esimene tingimus on et [ )0 infin=y Teine tingimus on et

[ [ [ ))0)0 xyyxyx infinminus=rArrinfinminus=+minusrArrinfin=minus

Vaadates neid motildelemaid tingimusi on selge et alumiseks piiriks on 0 ja uumllemiseks on x

[ ]xy 0=

Hakkame nuumluumld konvolutsiooni integraali arvutama

59

intint

intint

minusminusminus

minusminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=sdotsdot=sdot=

=sdot=minussdot=

xxx

x

y

xy

xyxy

exdyedye

ee

dyeedyyxgyfxgf

00

0

)(

1

)()())((

Alloleval joonisel on toodud nii eksponentjaotuse graafik kui ka kahe eksponentjaotuse konvolutsiooni graafik

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

11

0

exp xminus( )

x exp xminus( )sdot

100 x

252 Keskne piirteoreem

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildeltuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste)

summa sum=

=n

iiXX

1 jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on liidetavate arv n seda

vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid suuruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreemi potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildeplik dispersioon)

Matemaatiline keskse piirteoreemi definitsioon

Olgu X1 X2 juhuslikud suurused sum=

=n

iin XS

1 Kui infinlt= )( nXDσ siis

60

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro (230)

kus )( nXm=micro

Selle teoreemi kehtides on selge et ka Sn on ise normaaljaotusega sest konstandi lahutamine ning jagamine konstandiga ei muuda jaotuse kuju vaid ainult parameetreid

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piirteoreemi Selleks tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude generaatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus (0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingimust et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid eelmises loengus lahendatud kolmnurkjaotusele eksponentjaotusele ning parabooljaotusele

1 Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul ltlt

=mujal0

102)(

yyyf Eelmises

loengus saime et sellise jaotuse keskvaumlaumlrtus on 32)( =ym ning standardhaumllve on

181=σ

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on xxdxxF xx

==sdot= int 0

0

1)(

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on 2

02

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

Kuna F(y) = F(x) siis xy =2 jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur

uumlhtlasest jaotusest

)10(Uxy ==

2 Vaatame eksponentjaotust mis on defineeritud kujul gtsdotminussdot

=mujal0

0exp()(

yyyf

λλ

Eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus on λ1)( =ym ning standardhaumllve on λσ 1=

61

Eksponentjaotuse jaotusfunktsioon on )exp(1)( yyF sdotminusminus= λ

Kuna F(y) = F(x) siis

λλ

λλ

))10(1ln()1ln(

)1ln(

)exp(1)(

Uxy

xy

xyyF

minusminus=

minusminus=

minusminus=sdot

=sdotminusminus=

3 Vaatame parabooljaotust mis on defineeritud kujul

ltsdot=

mujal0

12

3)(

2 yyyf

Parabooljaotuse keskvaumlaumlrtus on suumlmmeetria kaalutlustel 0)( =ym arvutame y2 keskvaumlaumlrtuse ning siis standardhaumllbe

5

3

10

3

10

3

52

3

2

3)( 1

1

51

1

42 =+=sdot== minus

minusint

ydyyym

5

3

5

30

5

3)( 2 =rArr=minus= σyD

Parabooljaotuse jaotusfunktsioon on

intinfinminus

minus

+=+===

yy yyy

dyyyF2

1

2

1

222

3)(

33

1

32

Kuna F(y) = F(x) siis

33

3

1)10(212

2

1)(

minussdot=minus=

=+

=

Uxy

xy

yF

Nuumluumld motildetleme teoreetiliselt laumlbi kuidas piirteoreemi (230) uurida Taumlhistame summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n-ga Genereerime n numbrit ning arvutame nende summa ning teoreemis antud suuruse Zn Saadud uumlksikut numbrit vaadates ei saa me aga teha mingisugust jaumlreldust selle kohta

62

millisest jaotusest ta paumlrineb Jaotuse motildeistmiseks tuleb suurust Zn arvutada palju kordi alles seejaumlrel saame leida Zn histogrammi ning votilderrelda seda normaaljaotusega parameetritega N(01)

Demo keskne_piirteoreem_v2mcd

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest jaotustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotildeige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Sellest hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste summat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kinnitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

Naumlide 216 Genereeri arkussiinusjaotus 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ votildettes aluseks uumlhtlase jaotuse U(01)

Lahendus

2

2

)10(sin

2

)10()arcsin(

)10()arcsin(2

)(

sdot=

sdot=

=sdot

=

Uy

Uy

Uy

yF

π

ππ

63

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt (tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eksperimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildeteviga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti Votildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhuslikust komponendist

31 Suumlstemaatilised vead

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi on votildeimalik piisavalt taumlpselt maumlaumlrata

Naumliteks

bull testri 0 votildeib olla paigast aumlra bull keha massi maumlaumlramisel uumllesluumlkkejotildeu arvestamata jaumltmine bull termomeetri skaala votildeib olla nihkes

Votildeimaluse korral tuleb seda liiki vead kindlasti kotildervaldada votildei aumlaumlrmisel juhul arvesse votildetta parandite abil Teadaoleva (aditiivse) suumlstemaatilise vea arvestamisel saame

motildeotildetmistulemuse parandatud vaumlaumlrtuseks qxx +=~ kus q on aditiivsest suumlstemaatilisest

veast tingitud parand Aditiivne viga ei sotildeltu motildeotildetmistulemuse vaumlaumlrtusest

Motildenikord votildeib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga st veaga mis kasvab votilderdeliselt motildeotildetmistulemuse kasvuga Sellisel juhul tuleb parandatud motildeotildetmistulemuse saamiseks

motildeotildetmistulemus parandusteguriga laumlbi korrutada xQx sdot=~ kus Q on multiplikatiivset

suumlstemaatilist haumllvet arvestav parandustegur

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse kalibreerimisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel kust saab leida vajaliku vaumlaumlrtuse parandi (votildei parandusteguri) jaoks

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mitte

Siia alla kaumlivad kotildeik riistavead Need on potildehjustatud ebataumlpsest gradueerimisest Nagu edaspidi naumleme on siin sisuliselt tegu B-tuumluumlpi (motildeiste taumlpsustame edaspidi) motildeotildetemaumlaumlramatusega ja seda viga saab iseloomustada motildeotildetemaumlaumlramatuse abil Potildehimotildetteliselt aga saab sellisest suumlstemaatilisest veast ka vabaneda kui kontrollida motildeotildeteriista motildene teise tunduvalt taumlpsema motildeotildeteriistaga ja koostada vastava parandite tabeli

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata Sellised vead votildeivad esineda juhtudel kui kasutatakse uut motildeotildetmismeetodit votildei kui on tegemist aumlaumlrmiselt keeruliste motildeotildetmistega Kui vea olemaolu on motildeotildetjale teadmata siis selline viga jaumlaumlb motildeotildedetud suuruse vaumlaumlrtusesse paratamatult sisse

Teadmata suumlstemaatiline viga votildeib esineda ka kuumlllalt lihtsatel juhtudel Olgu naumliteks vaja maumlaumlrata mingi materjali elektrijuhtivust Selleks motildeotildedetagu sellest materjalist tehtud traadi takistust Kui traadis on mingi varjatud materjalidefekt (pragu ebahomogeenne koht) siis takistuse vaumlaumlrtus tuleb suumlstemaatiliselt vale

Teadmata suumlstemaatilisest veast saab vabaneda randomiseerimise teel milleks puumluumltakse suumlstemaatiline haumllve muuta osaliselt votildei taumlielikult juhuslikuks Traadi naumlite puhul tuleks

64

motildeotildeta paljude traadituumlkkide takistus ja leida nende keskvaumlaumlrtus Kui aga viga on vaumlga suur siis ei ole randomiseerimist vajagi piisab kui fikseerime vigase traadi (mille takistus osutus naumliteks uumllejaumlaumlnutest erinevaks 10 korda) ja jaumltame selle edasisest motildeotildetmisest kotildervale

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistilin e hinnang

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel alati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest teguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

Uumlkskotildeik kui hoolikalt me ka ei motildeotildedaks uumlht ja sama detaili me saame erinevatel sotildeltumatutel motildeotildetmistel erineva tulemuse See erinevus votildeib olla vaumlga vaumlike kuid ta on potildehimotildetteliselt alati olemas Peamised juhuslikkuse allikad on vaumllised tegurid motildeotildedetava objekti enda muutlikkus ja motildeotildetmisi teostava isiku oskused ja kogemustepagas Seetotildettu on motildeotildedetav suurus juhuslik suurus X ja iga motildeotildetmistulemus (iga uumlksikmotildeotildetmine) on selle juhusliku suuruse realisatsioon x

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt X juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(31)

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildettes (NB idealiseeritud eeldusel et muid veaallikaid ndash suumlstemaatilist viga teadmata viga vms ndash ei esine)

lim tNN xx =infinrarr (32)

Et motildeotildetmisi on alati lotildeplik hulk (N alati lotildeplik) ning reaalsetel motildeotildetmistel idealiseeritud eeldused (ei esine suumlstemaatilist viga teadmata viga jne) ei kehti siis tegelikult me ei saa kunagi teada totildeelist

motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtust ja me peame alati piirduma ligikaudse statistilise hinnanguga Nx See statistiline hinnang votildeetakse motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks

65

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel maumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni (219)

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsemad kui viimased siis pi = 1N seega

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ (33)

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nimetatakse empiiriliseks dispersiooniks

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

(34)

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seoseid

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

kus d on juba eespool selles punktis defineeritud uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildeelist dispersiooni otildeigesti kuna (esmavaatlusel votildeib-olla motildenevotilderra ootamatult) suurus 2

Nσ alahindab

dispersiooni Suurte N-de korral ei ole suurt erinevust millist dispersioonihinnangut kasutada vaumlikeste puhul (N lt 10) aga kuumlll Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispersiooni hindamisel valemit (34) mida nimetame suuruse X empiiriliseks dispersiooniks Kehtib

2 dsN asymp (35)

(Tegemist on muidugi d hinnanguga mis on seda parem mida suurem on N)

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=

sum= (36)

66

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise sum=

=N

kkN X

NX

1

1 arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11 (37)

Seega Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus langeb kokku uumlksiksuuruse keskvaumlaumlrtusega

Dispersioon on aga (ilma totildeestuseta)

[ ]N

dXD N =

ning jaumlreldusena

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ (38)

Seega

Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

See on vaumlga taumlhtis ja fundamentaalne tulemus mida kasutatakse laialdaselt fuumluumlsikalistel motildeotildetmistel Nimelt ndash kotildeigepealt tehakse N motildeotildetmist Seejaumlrel leitakse motildeotildetmistulemuste aritmeetiline keskmine

1

1

mxN

xN

iiN asymp= sum

=

(39)

mis vastavalt valemi (37) tulemustele votildeetaksegi motildeotildedetava suuruse m hinnanguks Eelneva potildehjal on see usaldusvaumlaumlrsem kui uumlksikmotildeotildetmised ja motildeotildetmiste arvu suurenemisel aritmeetiline keskmine erineb uumlha vaumlhem motildeotildedetava suuruse tegelikust keskmisest vaumlaumlrtusest kusjuures see erinevuse suurus on hinnatav valemiga aritmeetilise keskmise standardhaumllbele (38)

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbe arvutamiseks mitte valemit (38) vaid hoopis valemit (36) st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

67

Naumlide 31 Taumlppiskaalude kasutamisel annab iga motildeotildetmine veidi erineva tulemuse seoses erinevate vibratsioonidega Nende vibratsioonide vaumlhendamiseks on motildened laborid ehitatud eriprojekti jaumlrgi votildettes kasutusele mitmeid lahendusi Naumliteks Fuumluumlsika Instituudis on keldris labor mille toumloumllaud on massiivsest mitmetonnisest raudplaadist see asetseb vedrudel mis toetuvad muust majast eraldatud vundamendile

Kuna vibratsioonide sagedus on suur votilderreldes motildeotildetmiste sagedusega siis ei motildeotildetmised omavahel sotildeltuvad ning aritmeetilise keskmise standardhaumllbe leidmiseks votildeib kasutada valemit (38)

Naumlide 32 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik on toodud joonisel (31) On selgesti naumlha et keskmise temperatuuri leidmiseks tehtud motildeotildeteseeria aritmeetiline keskmine ei lange kokku ruumi temperatuuri tegeliku keskmise vaumlaumlrtusega Tulemus ei paraneks kui motildeotildetmisi oleks teostatud sama aja jooksul kuid 100 korda tihedamalt

Aeg

Temperatuur

Joonis 31 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik ning motildeotildeteseeria ruumi keskmise temperatuuri maumlaumlramiseks

Naumlidete 1 ja 2 potildehjal votildeib jaumlreldada et vaumlga oluline on motildeotildetesuuruses esineda votildeiva suumlstemaatilise muutlikkuse sagedus ndash kui see on suurem kui motildeotildetmiste sagedus siis votildeib kasutada valemit (38) aga kui see sagedus on oluliselt vaumliksem kui motildeotildetmiste sagedus siis peab piirduma valemiga (36) Selle demonstreerimiseks votildeib joonistada siinusgraafiku ning kanda sellele kaks motildeotildeteseeriat ndash uumlks mille ulatus on murdosa votildenkeperioodist (nagu joonis 31) ning teine mille ulatus on mitmeid votildenkeperioode

Naumlide 33 Olgu pliiatsitehases pliiatsiautomaadi poolt toodetavate pliiatsite pikkus X Kui taumlpne ka ei oleks masin ka temale on omane eksimine (eksimine on inimlik rArr eksimine on masinlik) ja lotildeppkokkuvotildettes pliiatsite pikkused veidi erinevad uumlksteisest Teiste sotildenadega X on juhuslik suurus Me tahame hinnata

(1) milline on keskmine pliiatsi pikkus mida see masin produtseerib

68

(2) milline on uumlksiku pliiatsi pikkuse standardhaumllve

(3) kui oleme hinnanud pliiatsi keskmise pikkuse siis milline on selle keskmise hinnangu enese standardhaumllve

Votildetame peoga pliiatseid ja saame valimi (juhuslikult) 30 pliiatsist N = 30 Motildeotildedame nad aumlra olgu

motildeotildetmisoperatsioon ise taumlpne ja tulemused olgu ix Nuumluumld

a) arvutame aritmeetilise keskmise Nx valemist (39) See annab meile (hinnangulise)

vastuse kuumlsimusele (1) olgu konkreetselt Nx = 1980 mm

b) arvutame empiirilise standardhaumllbe Ns (36) See annab vastuse kuumlsimusele (2)

Olgu konkreetselt Ns = 1 mm Seejuures eeldusel et pliiatsite pikkuse jaotus on

normaalne asub 67 totildeenaumlosusega uumlksikpliiatsi pikkus vahemikus [ ]NNNN sxsx +minus =

[197199] mm ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus [ ]NNNN sxsx 22 +minus = [196200] mm

c) lotildepuks arvutame keskmise pikkuse enese hajuvuse valemist (38) See annab vastuse

kuumlsimusele (3) Konkreetse numbrilise vaumlaumlrtuse Ns = 1 mm korral saame

[ ] 1804851301 ==== NsXu NN mm

Eeldame et pliiatsite pikkuse jaotus on suumlmmeetriline siis valimi maht 30 lubab meid juba eeldada et aritmeetilise keskvaumlaumlrtuse jaotust votildeib vastavalt kesksele piirteoreemile laumlhendada normaaljaotusega seega asub 67 totildeenaumlosusega pliiatsite keskmine pikkus vahemikus

[ ]2198819730

30

=

+minus NN

NN

sx

sx mm

ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus

[ ]4198619730

2

30

2=

+minus NN

NN

sx

sx mm

69

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus

Niisiis meil pole teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus (kui oleks siis poleks motildeotildetmised tarvilikud) ning seda totildeelist vaumlaumlrtust ei anna ka suure arvu kordusmotildeotildetmiste keskmistamine Maksimum mida saab notildeuda on motildeotildetmistest leitud motildeotildedetava suuruse mingi arvatav parim hinnang ndash naumliteks kordusmotildeotildetmistel on selleks aritmeetiline keskmine ndash ning teatav intervall selle parima hinnangu uumlmber millesse etteantud usaldusnivooga kuulub motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus Seega motildeotildetmistulemuseks ei ole mitte punkt arvsirgel vaid motildeotildetmistulemuseks on lotildeplik lotildeik reaalteljel mis maumlaumlrab motildeotildedetava suuruse votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni Olukorda illustreerib joonis 32

Joonis 32 Suuruse parim hinnang totildeeline vaumlaumlrtus ning motildeotildetemaumlaumlramatus

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja lotildepp-punktiga xmin ja xmax Tavalisem ja levinum

on siiski anda lotildeigu keskpunkt milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang Nx ning lotildeigu poollaius u(x) Seda poollaiust u(x) nimetatakse motildeotildetemaumlaumlramatuseks (motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis u on tulnud ingliskeelsest terminist uncertainty)

Motildeotildetemaumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on lotildeigu poollaius u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetemaumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus usaldusintervalli [ ])()( xuxxux NN +minus satub Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu Nx u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eeskirjad parima hinnangu Nx motildeotildetemaumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus maumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus nenenene viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsioon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetemaumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast teadaolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmistulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda maumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatiliste motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildeib osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votildeimalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemusel olla uumlsna suur maumlaumlramatus

70

Motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetemaumlaumlramatus kannab nime

Liitmaumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi maumlaumlramatus

Kasutatakse veel ka standardmaumlaumlramatuse motildeistet Standardmaumlaumlramatus on standardhaumllbe kujul vaumlljendatud motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus

Maumlaumlramatuse komponentide A ja B gruppi jagamise eesmaumlrgiks on nende hindamise kahe erineva viisi rotildehutamine mitte aga erineval viisil saadud komponentide iseloomu erinevuse naumlitamine Motildelemad hinnangud potildehinevad totildeenaumlosusjaotusel ja motildelemal viisil saadud maumlaumlramatuse komponendid esitatakse dispersioonhinnangu votildei standardmaumlaumlramatuse (standardhaumllbe hinnangu) abil Potildehiline ja oluline erinevus on selles et A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus saadakse vahetult motildeotildetmistulemustest nende statistilise toumloumltluse tulemusel kuna B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse leidmisel kasutatakse kaudsel viisil hangitudteadaolevat totildeenaumlosuslikku informatsiooni (Naumliteks on teada et motildeotildeteriista vea jaotust votildeib kaumlsitleda uumlhtlase seaduse kohaselt)

Jaumlrgnevas vaatleme A- ja B-tuumluumlpi maumlaumlramatusi ning liitmaumlaumlramatust laumlhemalt

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendades kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele poole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllistingimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Naumlide 34 Stomatoloogiakabinetis kaalutakse hambakulda Kabinet paikneb vanas majas kus potilderand pisut kotildeigub kui seda moumloumlda kotildendida Tundlikke kaale on raske tasakaalustada Iga motildeotildetmine annab isesuguse tulemuse

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse statistilisel hindamisel

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Au

Niisiis tehakse N motildeotildetmist ja leitakse aritmeetiline keskmine (mis uumlhtlasi votildeetakse ka motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks kui seda ei ole vaja taumliendavalt korrigeerida teadaoleva suurusega suumlstemaatilise vea totildettu)

121

N

x

N

xxxxx

N

ii

NNt

sum==

+++=asymp

K

71

Seejaumlrel hinnatakse motildeotildedetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllve valemitega (36) omavahel sotildeltuvate motildeotildetesuuruste korral ning valemiga (38) omavahel sotildeltumatute motildeotildetesuuruste korral

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev maumlaumlramatus mis ei

ole statistiliselt vaumlhendatav B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Bu

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildetevahend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt teisele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja samal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduvad motildeotildetmised tema suurust ei kahanda Kaumlesoleva kursuses seomegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse konkreetse riistaveaga

Naumlide 35 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 33) potildehiviga (ehk riistaviga) on mm050=∆o St eeldatakse et motildeotildeteriistast tingitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel ∆x = x ndash xt jaumlaumlb

piiridesse

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

Joonis 33 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motildeotildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale (Toodud joonisel on see 01 mm Praktikumis kasutakse kaks korda taumlpsemat riista potildehiveaga 005 mm)

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik viga ei vaumllju neist piirest

Uumlldiselt eeldatakse et (konkreetse) motildeotildeteriista viga on jaotunud uumlhtlaselt lotildeigul [ ]oo ∆+∆minus so

motildeotildeteriista vea jaotustihedus on uumlhtlane jaotus keskvaumlaumlrtusega nullis (lotildeigu otspunktid on seetotildettu

oa ∆minus= ja ob ∆= ) ning standardhaumllbega

580323

1o

o ∆=∆

=minus

=ab

σ

See standardhaumllve votildeetaksegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

72

5803

oo ∆=

∆=Bu

333 Liitmaumlaumlramatus

Motildeotildetmistulemuse standardmaumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitmaumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis saadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2 (310)

Eeldatakse et A ja B tuumluumlpi maumlaumlramatuse maumlaumlravadpotildehjustavad juhuslikud suurused mis on vastastikku korreleerimatud (sotildeltumatud) ndash ainult sel juhul kehtib dispersioonide liitumise seadus

Keerulisemate motildeotildetmiste korral votildeib meil olla tegu mitme A-tuumluumlpi komponendiga 21 AA uu hellip

ning mitme B-tuumluumlpi komponendiga 21 BB uu hellip Sel juhul

22

21

2A2

2A1C ++++= BB uuuuu

Naumlide 36 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust N = 100 korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks

mm 64876=Nx ja tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == Nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

Jaumlrelikult koond- ehk liitmaumlaumlramatuseks saame mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siin oleme arvesse votildetnud juhusliku haumllbe ja motildeotildeteriista ebataumlpsuse kuid arvesse votildetmata jaumltnud suumlstemaatilise haumllbe

Tulemus esitatakse sageli kujul

mm )0530(64876=x votildei

mm )53(64876=x

votildei

mm 053064876 plusmn=x

Kahjuks pole eelnevatest kirjaviisidest votildeimalik uumlheselt aru saada kas tegemist on maumlaumlramatusega standardmaumlaumlramatuse tasemel laiendmaumlaumlramatusega votildei hoopis motildeotildeteriista veaga Mitmetimotildeistmise vaumlltimiseks esitame antud kursuse raames motildeotildetetulemust kujul

73

( ) mm0530mm 64876 xux == Muidugi votildeib kasutada veelgi taumliuslikumat kirjaviisi tulemuste esitamiseks

mm 64876=x

100=N

68=p

mm 0530C =u

( ) mm 0440A =xu normaaljaotus

mm 0290B =u uumlhtlane jaotus

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatus e arvutamisel

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uumlsna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjutamisel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal (taumlhendnumbrite hulk e taumlhendusega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus) Tulemused esitatakse uumlmardatult Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 ja 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati et arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suumlstemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise reegel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber oleks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagades nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulemuse

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid peale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samuti uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbriteks

Naumlide 37 10 400 5 taumlhendnumbrit

104middot102 3 taumlhendnumbrit

10 40000 7 taumlhendnumbrit

001040 4 taumlhendnumbrit

Motildeotildetemaumlaumlramatus esitatakse kas uumlhe votildei kahe taumlhendnumbriga ISO standardi alusel esitatakse maumlaumlramatus taumlppismotildeotildetmistel kahe taumlhendnumbri taumlpsusega ja tavamotildeotildetmistel uumlhe taumlhendnumbri taumlpsusega Kui arvutustel tuleb motildeotildetemaumlaumlramatus pikem siis uumlmardatakse tulemus vastavalt kas kahe votildei uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks Uumlmardatakse ainult lotildepptulemust vahetulemuste uumlmardamisel votildeiks alles jaumltta vaumlhemalt kolm taumlhendnumbrit sest lahenduse algstaadiumis tehtud uumlmardamise viga votildeib arvutamise kaumligus votildeimenduda

74

Naumlide 38

Arvutatud uc 23751 23751 023751 00023751

uc kahe taumlhendnumbriga 24middot103 24 024 00024

uc uumlhe taumlhendnumbriga 2middot104 2middot101 02 0002 Motildeotildetmistulemus esitatakse alati maumlaumlramatuse viimase koha taumlpsusega

Naumlide 39 Olgu motildeotildedetud suurus x= 733565023 ja arvutatud motildeotildetemaumlaumlramatus uC = 00382765

Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 0038 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 73357 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 73358(38) votildei x = 73358(0038)

Naumlide 310 Olgu motildeotildedetud x = 1003476 ja uC = 05246 Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 05 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 1003 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 1003(5) votildei x = 1003(05)

35 Ekse

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmselgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekkinud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisega kaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellistel juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mil naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumlidu kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemused mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemus erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste protokolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane maumlrge

75

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv

Oletame et me arvutame keskvaumlaumlrtust m(x) valimi suurus on n Kasutame uuesti dispersiooni defineerimisel kasutatud suurust haumllve ehk tsentreeritud juhuslik suurus ehk jaumlaumlkvaumlaumlrtus (217)

)21()( nixmxii =minus=ε (311)

Kehtib seos

01

=sum=

n

iiε (312)

Seda seost on kerge totildeestada kasutades keskvaumlaumlrtuse m(x) definitsiooni

Kuna jaumlaumlkvaumlaumlrtused on omavahel seotud valemi (312) kaudu ei ole nad sotildeltumatud Kui meil on teada n ndash 1 jaumlaumlkvaumlaumlrtust siis n-s jaumlaumlkvaumlaumlrtus on arvutatav seosest (312) Seetotildettu oumleldakse et n jaumlaumlkvaumlaumlrtust omavad vabadusastmete arvu ν

1minus= nυ (313)

Kui aga n sotildeltumatut motildeotildedist on vaumlhimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge totildeusu kui ka algordinaadi maumlaumlramiseks siis on vastavate standardmaumlaumlramatuste vabadusastmete arv 2minus= nυ Analoogselt kui vaumlhimruutude meetodil hinnatakse m parameetrit n andmepunkti alusel siis on iga parameetri vabadusastmete arv mnminus=υ

Kasutades suurust ν saame esitada juhusliku suuruse X empiirilise standardhaumllbe (36) kujul

υ

sum=

minus=

N

i

Ni

N

xxs 1

2)( (314)

See valem on uumlldisem kuna ei sotildeltu sellest mitut parameetrit m valimist suurusega n on leitud

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv

On totildeestatud et maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus on

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu (315)

See ligikaudne votilderdsus laumlheb votilderdsuseks normaaljaotuse erijuhul Samas polegi meil enamasti vaja mitte taumlpset vaumlaumlrtust vaid piisab ka maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatuse suurusjaumlrgulisest hinnangust milleks on valem (315) igati sobiv

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 10

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

76

2

2

2 )(21

)(2

minus

=asymp

s

su

su

sν (316)

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi maumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on maumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Valemist (316) saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt esitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase

jaotuse standardmaumlaumlramatus on 0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu degC Siit saame et

144020

02890

)(

))((==

tu

tuu ning vabadusastmete arv on ( ) 241440

2

1 2 == minusν

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete ar v

Liitmaumlaumlramatuse (310) vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutada kuumlll aga votildeib leida efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaite valemit

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitmaumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv arvutatult valemist (317) ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise efektiivsete vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tulemus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuks 6

Naumlide 313 (Jaumltkame naumlidet 36)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

77

ning koondmaumlaumlramatuseks

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siit algab naumlite uus osa

Leiame nuumluumld komponentide vabadusastmed

991A =minus= nν

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv on lotildepmatu nagu naumlitasime naumlites 1 Efektiivne vabadusastmete arv on vastavalt valemile (317)

20842080290

990440

0530

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

Seega saime metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlrama tus

Nii m(x) kui ka uN on motildelemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt votildettes ei totildeeline keskvaumlaumlrtus ega aritmeetilise keskmise totildeeline standardhaumllve (kuigi nad on nendele suurustele laumlhedased sest nende hajuvus on vaumlike) Inglise teadlane Student alias WS Gosset totildeestas

Kui X on normaalne juhuslik suurus siis juhuslik suurus

[ ]

( )N

N

xu

XmxT

minus= (318)

allub jaotusele tihedusega

22

11 11)(

N

NN N

tCts

minus

minusminus

minus+= (319)

Siin 1minusNC on normeerimistegur Jaotust (319) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti

jaotuseks Studenti jaotus erinevate 1minusN vaumlaumlrtuste korral on toodud joonisel 34 millelt on ka naumlha kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades laumlheneb standardiseeritud normaaljaotusele

78

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

Joonis 34 Uumlhe kahe viie ja kuumlmne vabadusastmega Studenti jaotus )(1 xsNminus ning

standardiseeritud normaaljaotus )(xf

Studenti jaotuse oluline omadus on et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon )(1 tsNminus sotildeltub vaid uumlhest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) 1minusN ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Selles motildettes on tegu universaalfunktsiooniga mis iseloomustab suvaliste uumlhesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa uumlldisi omadusi

Otsene jaumlreldus asjaolust et juhuslik suurus (318) allub Studenti jaotusele on et usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

[ ] )()()()( 11 pxuptxxxuptxP NNNNNN =+ltltminus minusminus (320)

Siin suurus )(1 ptNminus on (Studenti) t-kordaja ndash parandustegur etteantud usaldusnivoo p ja 1minusN

vabadusastme korral t-kordaja on samuti ainult uumlhest parameetrist N sotildeltuv universaalne

usaldusnivoo funktsioon mis on leitav Studenti jaotusest Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p

vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult Studenti t-kordaja tabuleeritud vaumlaumlrtused on toodud lisas 1 Mathcadis

on t-kordaja leidmiseks funktsioon

+

ν2

1 pqt Excelis funktsioon ( )ν1 pTINV minus

Valemit (320) nimetatakse Studenti testiks

Suurte N -ide korral laumlheb Studenti jaotus uumlle standardiseeritud normaaljaotuseks Tabelis 1 toodud

Studenti t-kordaja tabelist on naumlha et naumliteks 304)95(2 rarrt ja 094)7399(9 rarrt jne Erinevus

on oluline alas 30ltN ja vaumlga oluline alas 10ltN

79

Tabel 31 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja

soovitavast usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(I) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

80

Kuigi liitmaumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse y maumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitmaumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutatakse nn laiendmaumlaumlramatust taumlhisega U Laiendmaumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitmaumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate maumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendmaumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendmaumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastmete arv

Laiendmaumlaumlramatus U saadakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot= (321)

Kattetegus valemis (321) on arv mida kasutatakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendmaumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule [ ]UyUy +minus etteantud usaldatavustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 votildei 99 Et saada vaumlaumlrtust kattetegurile kp mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p vajame detailseid teadmisi motildeotildetetulemuse ja tema totildeenaumlosusjaotuse kohta

Oletame et keskse piirteoreemi eeldused on enam-vaumlhem taumlidetud st et liitmaumlaumlramatuses u(y) ei domineeri sisendsuuruse standardmaumlaumlramatuse komponent mis on saadud vaumlikesest arvust motildeotildedistest A-tuumluumlpi hindamismeetodit kasutades votildei komponent mis tugineb eeldatud jaotusele mis ei ole normaaljaotus (B-tuumluumlpi hindamismeetod) Sellest oletusest jaumlreldub et motildeistlik esimene laumlhend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine Kui esimene eeldus ei kehti st on vaumlike arv motildeotildediseid siis on motildeistlik arvutada efektiivsete vabadusastmete arv ning kasutada Studenti jaotust Kui teine eeldus ei kehti st domineerib normaaljaotusest erinev jaotus siis tuleks leida jaotusfunktsioon ning sealt arvutada katteteguri vaumlaumlrtus Motildeningad ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivad kp vaumlaumlrtused on toodud tabelis 32

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

81

Naumlide 314 Metallsilindri motildeotildetmine (jaumltkame naumliteid 36 ja 313)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

Leiame Studenti t-kordaja vaumlaumlrtuse vabadusastmete arvule 208 usaldusnivool 95 tabelist 31 Tabelis on vabadusastmete arvule 100 vastav t-kordaja 1984 ning lotildepmatu vabadusastmete arvu korral 1960 Vabadusastmete arvu 208 korral votildeime votildetta t-kordaja vaumlaumlrtuseks vahepealse vaumlaumlrtuse ehk k095 = 197 Nuumluumld saame metallsilindri pikkuse laiendmaumlaumlramatuseks

mm100mm10440mm 0530971)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Seega on metallsilindri keskmine pikkus mm 6576=Nx ning laiendmaumlaumlramatus mm100)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 315 Laua pikkust motildeotildedeti 5 korda joonlauaga resolutsiooniga 5 mm Kotildeik motildeotildetmised andsid laua pikkuseks 185 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 185 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on null sest motildeotildetmistulemustes puudus varieeruvus

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud joonlaua resolutsioonist mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm44112

mm 5

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on votilderdne B-tuumluumlpi maumlaumlramatusega Laiendmaumlaumlramatuse leidmisel tuleb samuti arvestada uumlhtlase jaotusega tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1645 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm2mm36882mm 4416451)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 185=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm2)( =nxU (usaldusnivool

95 )

Naumlide 316 Laua pikkust motildeotildedeti 2 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Motildeotildetmistulemusteks olid 1847 mm ning 1851 Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 1849 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

82

( )mm20

122020

1

)( 221

2

=sdot+

=minus

minus==

sum=

NN

xxsu

N

i

Ni

NA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 200mm 200500144020 2222 rarr=+=+= BAC uuu

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses domineerib A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponent Maumlletame et uumlhtlasest jaotusest votildeetud kahe motildeotildedise keskvaumlaumlrtus on kirjeldatav kolmnurkjaotusena tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1902 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm40mm38040mm 2009021)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 9184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm40)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 317 Laua pikkust motildeotildedeti 100 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Laua pikkuse motildeotildetmise aritmeetiline keskmine oli 184872 mm empiiriline standardhaumllve oli 018 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on 184872 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

mm0180100

180===

N

suA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 0230mm 023050014400180 2222 rarr=+=+= BAC uuu

83

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses on A-tuumluumlpi ja B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponendid suurusjaumlrgus sama kaaluga A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel on vabadusastmete arv 99 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel lotildepmatu Arvutame vaumllja koondmaumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

26392630230

990180

0230

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1984 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm0460mm045630mm 02309841)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 872184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm0460)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete sama lauda motildeotildedeti 3 korda neist naumlites 315 vaumlikese resolutsiooniga joonlauaga naumlites 316 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 2 korda ning naumlites 317 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 100 korda Saadud keskvaumlaumlrtused koos laiendmaumlaumlramatuse vahemikuga on toodud alloleval joonisel Kooskotildela tulemuste vahel on vaumlga hea kuigi maumlaumlramatused on mitu suurusjaumlrku erinevad

182

183

184

185

186

187

188

84

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuu ruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui esinevad vaumliksed haumllbed

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 1012 = 10201

valime x = 10 δx= 01 siis 102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suurust X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrtused m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetemaumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vastava Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

ehk

YYY δ+= (322)

kus

( )21xxYY = ja 22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part= (323)

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

( )[ ]22 )( YmYu δ= (324)

kus [ ]m taumlhistab matemaatilist ootust nagu varemgi Valem (324) eeldab et haumllbe Yδ keskvaumlaumlrtus on null

[ ] 0=Ymδ

See eeldus on rangelt votildettes taumlidetud vaid siis kui

[ ] 0=ixmδ so kui [ ] ii xXm = (325)

Ligikaudu see nii ongi ja sel juhul on (324) kasutamine otildeigustatud Pannes Yδ avaldise (323) valemisse (324) saame

85

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

part

part+

part

part=

2

22

2121

2

11

2

22

11

2 2)( xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ymx

x

Yx

x

YmYm δδδδδδδ

Kui motildeotildetevigade keskvaumlaumlrtused on nullid (nagu eeldab valem (325)) siis on keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

seega saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (326)

Korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel on defineeritud jaumlrgmiselt

sum sum

sum

= =

=

minusminus

minusminus=

N N

k

N

yx

yyxx

yyxxr

1k 1k

22k

1kkk

)()(

))(( (327)

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemust Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera mass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepikkus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne nulliga ning valem (326) lihtsustub

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (328)

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (329)

Naumlide 319 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m (uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist

6

ruumala 3D

MM

πρ == (330)

Tiheduse ja tema maumlaumlramatuse arvutamiseks on kotildeigepealt vaja leida diameetri ning massi keskvaumlaumlrtused ning standardmaumlaumlramatused

Kera diameeter olgu motildeotildedetud 10=N korda nihikuga mille potildehiviga mm050o =∆

Diameetri keskvaumlaumlrtuseks saime

( ) mm1702010

11021 =+++= dddd N

86

Diameetri A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks saime

mm0220)110(10

)()()(

210

21 =

minussdotminus++minus

=NN

A

ddddDu

ning diameetri B -tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on

mm028903)( =∆= oB Du

Diameetri koondmotildeotildetemaumlaumlramatus on

mm03630)02890()0220())(())(()( 2222 =+=+= DuDuDu BAC

Massi kaalusime uumlhekordselt neljanda klassi kaaludega Mass osutus votilderdseks jaumlrgmiste vihtide masside summaga

g 2415 g)050102220( =++++=micro

Igal vihil on vastavalt standardile maumlaumlramatus kusjuures votildeime siin eeldada et vihid on omavahel sotildeltumatud Samuti on ka kaalul oma maumlaumlramatus Kaalu potildehiviga on mg50 ja neljanda klassi

vihtide potildehivead on vastava tabeli jaumlrgi 20 6 6 1 ja 1 mg Vastavalt valemile (329) on massi maumlaumlramatus arvutatav

mg5313

554

3

1

3

1

3

6

3

6

3

20

3

50)(

222222

==

+

+

+

+

+

=MuB

Kuna kordsed massi motildeotildetmised annaksid siin kogu aeg uumlhe ja sama tulemuse siis loeme massi A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse nulliks

g 0032 mg531)()(C === MuMu B

Nuumluumld on meil olemas info tiheduse ning tema maumlaumlramatuse arvutamiseks kasutades valemeid (329) ja (330)

( ) 333

621517020

152466ruumala cm

g

D

MM====

ππρ

Leiame vajalikud tuletised

MDM

ρπ

ρ==

partpart

3

16

DD

M

D

M

D

ρππ

ρ 3183644

minus=

minus=

minussdot=

partpart

87

( )33

223

22

3

22

22

22

22

22

03100055606215005400013306215

17020

036303

1524

03206215

)(3)(

)(3

)()()()(

cm

g

cm

g

cm

g

cm

g

D

Du

M

Mu

DuD

MuM

DuD

MuM

u

=sdot=minus+sdot=

=

sdotminus+

sdot=

sdotminus+

sdot=

=

minus+

=

partpart

+

partpart

=

ρ

ρρρρρ

Kuidas ei tohi vaumlljundsuurust arvutada Kui prooviksime siin arvutada erinevatele motildeotildetmistele vastavad tiheduse vaumlaumlrtused laumlhtudes uumlldvalemist (330) so i -nda motildeotildetmise korral leiaksime suuruse

3)(

6

i

ii d

microπ

ρ =

ja seejaumlrel leiaksime uumlksiktiheduste iρ aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhaumllbe

(tiheduse A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse iseloomustajana) siis laumlheks suur osa massi maumlaumlramisega seotud motildeotildetemaumlaumlramatusest lihtsalt kaotsi Sellist viga aga ei tohi teha

88

4 Motildeotildetmise mudel

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub alati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutatakse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega teiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnanguid saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumliteks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildeltuvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

Uumlldistatud kujul on motildeotildetmise mudel esitatud joonisel 41 Toodud mudelis on vaumlljundsuurus Y motildeotildeteuumllesandega ette naumlhtud motildeotildetesuurus mis sotildeltub sisendsuurustest Xi (i = 1 2 N) Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahendamise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsiooni f abil kujul

)( 21 Ni XXXXfY = (41)

Joonis 41 Motildeotildetmise mudel

Sisendsuurusi Xi seoses (41) tuleb alati vaadelda kui motildeotildetesuurusi mis votildeivad omakorda sotildeltuda teistest suurustest sealhulgas ka suumlstemaatilisi efekte kotildervaldavatest paranditest ja konstantidest Seetotildettu motildeotildetesuuruse Y funktsionaalne sotildeltuvus f votildeib kujuneda uumlsna komplitseerituks mida ei saa alati taumlpselt kirjeldada Veelgi enam sotildeltuvus f votildeib olla vaid eksperimentaalselt maumlaumlratav votildei eksisteerida algoritmina mida saab hinnata ainult arvuliselt Seega peab funktsiooni f totildelgendama laiemalt kui puhast matemaatilist funktsiooni Taumlhtis on et funktsioon sisaldaks kotildeik motildeotildetesuurused parandid konstandid jne mis annavad panuse motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemusse Kui tulemused naumlitavad et sotildeltuvus f ei modelleeri motildeotildetetoimingut vajaliku taumlpsusega tuleb funktsioonile f lisada taumliendavaid sisendsuurusi Votildeib tekkida isegi vajadus sellise sisendsuuruse jaumlrele mis kajastab motildeotildetesuurust Y motildejutava naumlhtuse taumliendavat uurimist

Naumlide 41 Pikkusotsmotildeotildedu pikkuse motildeotildetmine Motildeotildetevahendiks on pikkuskomparaator ja motildeotildetmisel votilderreldakse motildeotildedetava otsmotildeotildedu pikkust l etalonotsmotildeotildedu pikkusega lE Komparaatorilt saadud motildeotildediseks on kahe otsmotildeotildedu pikkuste vahe δl

X1

X2

Xi

XN

f Y

89

Antud juhul on motildeotildetesuuruseks otsmotildeotildedu pikkus l mis otseselt sotildeltub etalonotsmotildeotildedu pikkusest lE ja motildeotildetmise tulemusel komparaatorilt saadud motildeotildedisest δl Peale selle peame arvestama veel parandeid mis tulenevad sellest et motildelema otsmotildeotildedu materjalide joonpaisumistegurid αE ja α on erinevad ning pikkuse motildeotildetmise hetkel etaloni ja motildeotildedetava pikkusotsmotildeotildedu temperatuuride vaumlaumlrtused haumllbivad normaaltemperatuurist vastavalt θE ja θ votilderra Pikkus l on seega funktsionaalses sotildeltuvuses kuuest sisendsuurusest Seose (41) kohane motildeotildetmise mudel on antud juhul

)( θθααδ EEE llfl =

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

( )

αθδθα

+++

=1

1 lll EEE

kus suuruse lE vaumlaumlrtuse saame etaloni kalibreerimistunnistusest suuruste δl θE ja θ vaumlaumlrtused saame motildeotildetmise protsessi kaumligus ning suuruste αE ja α vaumlaumlrtused nimetatud otsmotildeotildetude spetsifikatsioonidest votildei sobivast kaumlsiraamatust

Kasutades motildeotildetesuuruse l motildeotildetmise teisi meetodeid votildeime seda motildeotildetmist modelleerida teistsuguste matemaatiliste avaldistega Naumliteks kasutades motildeotildetmisel nihikut on motildeotildetmise mudel

)( nlfl =

kus ln on nihiku naumlit

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

nll =

Seega uumlhe ja sama suuruse motildeotildetmisel on votildeimalik kasutada erinevaid motildeotildetmise mudeleid sotildeltuvalt valitud motildeotildetemeetodist

Naumlide 42 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust tingitud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesluumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasakaalus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumalade erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad

bull vihtide mass mv bull vihtide tihedus ρv bull kaalutava metallituumlki tihedus ρm bull otildehu tihedus ρotilde bull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

90

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetavad naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku temperatuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemiks

)( RHTPfotilde =ρ

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse maumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

t

sv =

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsustada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmiste mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

12

1

tt

dssNv

minus+sdot

=

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit vaumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles maumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumlldjuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetemaumlaumlramatuste hindamist

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Peatuumlkis 38 tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Jaumltkame sotildeltumatute suuruste erijuhu uumlldistamist valemist (328)

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (42)

Sama valem on summa maumlrgi all kirja pandav kujul

91

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu (43)

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (44)

Selle valemi uumlldisemat kuju kus esineb ka uumlksteisest sotildeltuvaid sisendsuuruseid vaatame hiljem

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kritee rium

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekkida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liige on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et maumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi maumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitmaumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et tegemist on ebaolulise maumlaumlramatuse komponendiga Mingi maumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

(45)

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

Kuna liitmaumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide maumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

(46)

kus u(xi) on suvaline maumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus (45)

Tingimuse (46) kontrollimine on uumlldiselt palju lihtsam sest tingimus (45) eeldab juba et koondmaumlaumlramatus on arvutatud ning siis jaumlaumlb uumlle ainult konstateerida milline liige oli ebaoluline

Naumlide 44 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi kotildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulemused

a = 802 mm u(a) = 003 mm υ(a) = 5 b = 4253 mm u(b) = 004 mm υ(b) = 6 c = 17211 mm u(c) = 005 mm υ(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus 1 arvestamata taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

92

Ruumala on

33 cm70558mm58705111725342028 ==sdotsdot=sdotsdot= cbaV

ruumala maumlaumlramatus on

( ) ( ) ( )cm227000387070558003870

000290000940003740

11172050

5342040

028030

)()()()(

3

222

222

222

=sdot=sdot=

=++sdot=

=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

V

V

V

c

cu

b

bu

a

auVVu

Ruumala efektiivne vabadusastmete arv on

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

571526393224

001013013393224

7290

6940

5743

873

7000290

6000940

5003740

003870

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

444

4

444

4

444

4

4

444

4

44

rArr==++

=

=

++

=

=

++

=

=

+

+

=

=

sdot

+

sdot

+

sdot

sdot=

cc

cu

bb

bu

aa

auV

Vu

cc

cuV

bb

buV

aa

auV

V

VVu

V

ννν

ννν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm580cm2270572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Lahendus 2 arvestades taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

Leiame kotildeik maumlaumlramatuse komponendid

93

003740028

030)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVa

auVau

a

V

0009405342

040)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVb

buVbu

b

V

00029011172

050)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVc

cuVcu

c

V

Naumleme et kotildeige suurem maumlaumlramatuse komponent on seotud suuruse a-ga

Rakendame nuumluumld valemit (46)

30220003740000940

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

bub

V

30080003740000290

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

cub

V

Seega selgus et nii b kui ka c maumlaumlramatused on taumlhtsusetud ning nendega ei pea arvestama

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse

3cm220000374070558028030)(

)( =sdot=sdot=sdot= Va

auVVu

Ruumala maumlaumlramatus sotildeltub ainult komponendist a seega on ka ruumala vabadusastmete arv votilderdne komponendi a vabadusastmete arvuga

5)()( == aV νν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm570cm2200572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Kokkuvotildete kui votilderrelda lahendusi 1 ja 2 siis vastuste erinevus on vaumlga vaumlike 001 cm3 ehk ca 2 See erinevus on maumlrgatavalt vaumliksem kui maumlaumlramatuse maumlaumlramatus mis vabadusastmete arvu 5 juures on uumlle 30 Seega votildeib oumlelda et motildelemad vastused on otildeiged kuid teise lahenduse puhul oli vaumlhem arvutamist

Taumlhtsusetu komponendi kriteerium osutub eriti praktiliseks juhul kui on vaja otsustada milliste maumlaumlramatuse komponentidega tuleb arvestada ning millistega mitte

94

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate si sendsuuruse korral

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on N suuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

(410)

kus m(x) ja m(y) on vastavad keskvaumlaumlrtused

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()( (411)

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st x kasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud Joonisel (42) on toodud erinevate punktipilvede kohta kaumlivad korrelatsioonid

Joonis 42 Erinevate seoste vahelised korrelatsioonid

Naumlide 45 Naumlited sotildeltuvatest suurustest

95

bull Inimese pikkus ning kehamass on omavahel sotildeltuvad kuigi mitte paumlris uumlks-uumlhele

bull Ilmajaama erinevatel kotildergustel motildeotildedetud tuule kiiruse vaumlaumlrtused on omavahel tugevasti positiivselt korreleeruvad

bull Negatiivselt korreleeruvad suuruseid on temperatuur ning suhteline otildehu niiskus ndash kui suletud suumlsteemis temperatuuri totildesta siis suhteline otildehu niiskus kahaneb ning vastupidi

bull Uuringud on naumlidanud et on negatiivne korrelatsioon televiisori vaatamisele kulunud aja ning hinnete vahel st mida rohkem vaatad televiisorit seda kehvemad hinded

bull Haridustaseme ning vanglas oldud aja vahel on negatiivne korrelatsioon st mida madalam haridustase seda pikem on vanglas oldud aeg Sama vaumlite teine sotildenastus uumltleb et nendel inimestel kes on vanglas pikemalt olnud on madalam haridustase

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsient vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei negatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa y varieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotilde ltuvusega sisendsuuruste korral

Jaumltkame peatuumlkis 38 alustatud motildeotildetemaumlaumlramatusega kuid jaumltame aumlra eelduse et tegemist on sotildeltumatute suurustega

Toome uuesti valemi (326) motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu arvutamise kohta

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (412)

ning korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()( (413)

Uumlldistatult on valem (412) N sotildeltumatu sisendsuuruse korral (sama valem mis (44))

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (414)

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisanduvad valemisse (414) korrelatsiooni liikmed

96

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

siin kahekordse summamaumlrgiga summeeritakse kotildeikide liikmepaaride omavahelistest korrelatsioonidest tulenevad maumlaumlramatuse komponendid seega kui on N komponenti siis

korrelatsiooni liikmeid on 2

)1( minussdot NN Tavaliselt on arvestatav korrelatsioon siiski ainult motildene

uumlksiku komponendi vahel ning uumllejaumlaumlnud korrelatsioonid on votilderdsed nulliga

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused on A = 5 B = 7 C = 12 standardmaumlaumlramatused on u(A) = 03) u(B) = 05) u(C) = 04) parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02 r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardmaumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

Lahendus

Leiame D standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

71050)(1

50401501301

)()()()()(1

222222

22

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Du

CuC

DBu

B

DAu

A

DXu

x

DDu

N

ii

i

Leiame D standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame D standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

97

Suuruse D maumlaumlramatuse arvutuses naumlgime et korrelatsioonist tingitud liige votildeib olla oluline ning on votildeimalus et korrelatsiooni totildettu tuleb koondmaumlaumlramatus vaumliksem kui ilma korrelatsiooni arvestamata

Leiame E standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

Leiame E standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

D

A

DCAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame E standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

Seega naumlgime suuruste D ja E standardmaumlaumlramatuste arvutusest et korrelatsioonide arvestamine votildeib liitmaumlaumlramatust nii suurendada kui vaumlhendada sotildeltudes nii osatuletiste maumlrkidest kui ka korrelatsiooni maumlrkidest

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadides Kuna info paumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos on jaumlrgmine

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsienti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17 F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failis bdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

98

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise ko hta

Kordame uumlle potildehivalemid

Efektiivne vabadusastmete arv on

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

N sotildeltumatu sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()( (44)

N sotildeltuva sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte protsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

ltltsdotsdot+

sdotsdot

=mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

Leia bull koefitsient c bull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1) bull keskvaumlaumlrtus bull mediaan bull standardhaumllve bull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

Lahendus

Alustuseks tuleks seda funktsiooni lihtsustada

33325

8

)7(7321

xcxcxxxcx

xsdot+=sdot+=sdotsdot+

sdotsdot

Koefitsiendi c leiame laumlhtudes normeerimistingimusest

34714

1)7(4

)7()7( 10

41

0

3 minus=rArr=+rArrequivsdot+

=sdot+=sdot+int cccx

cdxxc

99

Asendades c vaumlaumlrtuse funktsiooni saame jaotustiheduseks

ltltsdot

=mujal0

104)(

3 xxxf

Jaotusfunktsioon kohal x1 on

410

4

0

31

11

444)( x

xdxxxF xx

=sdot=sdot= int

Keskvaumlaumlrtus on

8054

544)( 1

0

5

0

31

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

Mediaan on x-i vaumlaumlrtus mille korral jaotusfunktsioon on votilderdne 05-ga

8405050)( 4411 ==rArrequiv= medxxxF

Standardhaumllbe arvutamiseks leiame kotildeigepealt x2 keskvaumlaumlrtuse

667064

644)( 1

0

6

0

322 1

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

( ) 16306406670)()()( 22 =minus=minus= xmxmxs

NB selle koha peal on oluline et x2 keskvaumlaumlrtus leitakse vaumlhemalt kolme tuumlvinumbriga muidu on uumlmardamise viga liiga suur

Totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07) on arvutatav jaotusfunktsioonide vahena nendes punktides

240070)30()70()7030( 4 =minus=minus+=ltltminus FFxP

Siin F(ndash03) on votilderdne nulliga seetotildettu et kuna piirkonnas (ndashinfin 0) on jaotustihedus votilderdne nulliga siis on ka jaotusfunktsioon selles piirkonnas votilderdne nulliga

100

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga mille kalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia bull klotsi massi parim hinnang bull klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi liitmaumlaumlramatus bull klotsi massi vabadusastmete arv bull klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus

Teeme tabeli kus on motildeotildetmistulemused motildeotildetmistulemuste erinevus keskvaumlaumlrtusest ning selle ruut

nr x x ndash m(x) (x ndash m(x))2 1 455 ndash01 001 2 459 03 009 3 458 02 004 4 452 -04 016 5 456 0 0 sum 2280 0 030 keskmine 456

Klotsi massi parim hinnang on tema aritmeetiline keskmine

645)( =xm g

Klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse arvutamiseks leiame kotildeigepealt standardhaumllbe

2704300

1

))(()( 1

2

==minus

minus=

sum=

N

xmxxs

N

ii

g

1205

270)()( ===

N

xsxuA g

Klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus kujuneb tema kalibreerimisel hinnatud maumlaumlramatusest ning resolutsioonist Kalibreerimisel saadi laiendmaumlaumlramatuseks 03 g katteteguriga 2 seega kalibreerimise standardmaumlaumlramatus on 03 2 = 015 g

150000800225012

10150)(

2

2 =+=

+=xuB g

Seega selgus et resolutsiooni maumlaumlramatus oli ebaoluline

Klotsi massi liitmaumlaumlramatus on

101

190022501440150120)()()( 2222 =+=+=+= xuxuxu BAC g

Klotsi massi vabadusastmete arv on

25125150

4

120190

)()(

)()(

44

4

44

4

rArr=

infin+

=

+

=

B

B

A

A

C

xuxu

xux

νν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvu 25 jaoks on vastavalt tabelile

0622595 =k

Klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

390190062)()( =sdot=sdot= xukxU C g

102

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml paksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja masside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlga kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse keskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondmaumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondmaumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondmaumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

4

2 HdV

sdotsdot=

π

Leia bull jaumlauml tiheduse parim hinnang bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

Lahendus

Jaumlauml tiheduse parim hinnang on

322 cm

g9290

420964

36644=

sdotsdotsdot

=sdotsdot

sdot==

ππρ

Hd

m

V

m

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata on

cm

g5420583092902120002012609290

420

49

964

1202

366

1309290

)()(2)()(

3

222

222

1

=sdot=++sdot=

=

+

sdot+

sdot=

=

+

sdot+

sdot=H

Hu

d

du

m

muu ρρ

Puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu maumlaumlramatus osutus ebaoluliseks

Korrelatsioon on ainult massi ning pikkuse vahel teised korrelatsioonid votildeib votildetta nulliks Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatuse korrelatsiooni arvestav komponent on

cm

g2680

420

49

366

130929091

)()(9502

)()()(2)(

2

322

22

minus=sdotsdotsdotminus=minus

sdotsdotsdotsdot=

=sdotsdotpartpart

sdotpartpart

sdotsdot=

H

Hu

m

mu

HumuHm

Hmru

ρ

ρρρ

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus on korrelatsiooni arvestades

( ) ( ) cm

g160026026802940)()()(

3

22

21 ==minus=+= ρρρ uuu

Seega korrelatsiooni arvestamine vaumlhendas maumlaumlramatust uumlle 3-e korra

103

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetud veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm veekihi paksus on 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metalljoonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest10 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardmaumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus Leiame alustuseks akvaariumi ruumala

33 dm30436523cm36523304173818302320 ==sdotsdot=sdotsdot= hbaV

Leiame nuumluumld kotildeigi kolme kuumllje standardmaumlaumlramatused ning vastavad vabadusastmete arvud

cm063010

cm20)( ==auA

cm05803

cm10)( ==auB

( ) ( ) cm086005800630)()()( 2222 =+=+= auauau BAC

3133147390630

08609

0580

110

06300860

)()(

)()( 4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effauau

aua

νν

ν

( ) ( ) cm111005800950058010

30)()()( 222

222 =+=+

=+= bububu BAC

1681686190950

11109

0580

110

0950

1110

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effbubu

bub

νν

ν

( ) ( ) cm126005801120058020

50)()()( 222

222 =+=+

=+= huhuhu BAC

30430601191120

126019

0580

120

1120

1260

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effhuhu

huh

νν

ν

Leiame osatuletised

a

Vhb

a

V=sdot=

partpart

b

Vha

b

V=sdot=

partpart

h

Vba

h

V=sdot=

partpart

Leiame akvaariumi ruumala standardmaumlaumlramatuse

104

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

3

222

222

2222

22

22

2

22

22

22

1

22

cm1530066023304

003300037000430233041738

1260

1830

1110

2320

086023304

)()()()()()(

)()()()()(

=sdot=

=++sdot=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

+

+

=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

h

hu

b

bu

a

auVhu

h

Vbu

b

Vau

a

V

huh

Vbu

b

Vau

a

VXu

x

VVu

N

ii

i

Leiame nuumluumld ruumala efektiivsete vabadusastmete arvu

710871

3000330

1600370

3100430

00660

)(

)(444

4

1

4

4

==++

==

sum=

n

i i

i

VVu

Vu

ν

ν

Seega on ruumala motildeotildetmise efektiivsete vabadusastmete arv νR = 71

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 50 ja usaldusnivool 95 k5095 = 201 kohal ν = 100 ja usaldusnivool 95 k10095 = 1984 seega kohal ν = 71 ja usaldusnivool 95 votildeime votildetta kordajaks k5095 = 200 seega on akvaariumi ruumala laiendmaumlaumlramatus U(V) usaldusnivool 95

333 m310m306002m153)()( dcckVuVU ==sdot=sdot=

Seega on akvaariumi ruumala 3dm3023=V ning tema laiendmaumlaumlramatus 3m310)( dVU =

105

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

αcos2R

IE =

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskmiseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna vaheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus

Leiame kotildeigepealt valgustatuse E keskvaumlaumlrtuse

( ) 222 m

W60386

2

3

m1

W100cos =sdot== α

R

IE

Leiame nuumluumld motildeotildedetud suuruste standardhaumllbed

W1513

W2)(W100 === IuI

m0095000000903

m0010

10

m030)(m1

22

=+=

+

== RuR

0101031803

1)(630 =

sdot=

deg==deg=

παπα u

Leiame nuumluumld osatuletised

W100

11cos

12

sdot=sdot==partpart

EI

ERI

Eα

m1

22cos

23

minussdot=

minussdot=

minus=

partpart

ER

ER

I

R

Eα

3

1)30tan(

cos

sinsin

2

minussdot=degminussdot=

minussdot=

minus=

partpart

EEER

IE

αα

αα

Paneme nuumluumld standardmaumlaumlramatused ning osatuletised valemisse (44) Kuna igas osatuletiste liikmes on sees komponent E siis toome selle ette

106

222

222

m

W9910230

m

W686000034000036100001320

m

W686

010103

100950

1

2151

100

1)(

=sdot=++sdot=

=

sdot

minus+

sdotminus

+

sdotsdot= EEu

Seega on valgustatuse standardmaumlaumlramatus 20 Wm2

Leiame nuumluumld erinevate maumlaumlramatuse komponentide efektiivsed vabadusastmete arvud kasutades valemit (317)

Valgusti intensiivsuse maumlaumlramatus ning nurga motildeotildetmise maumlaumlramatus on B-tuumluumlpi maumlaumlramatused seega nende vabadusastmete arvu votildeib votildetta lotildepmatuks Kauguse motildeotildetmine sisaldas nii A- kui ka B-tuumluumlpi maumlaumlramatust leiame nuumluumld kauguse motildeotildetmise vabadusastmete arvu

90

900950

00950

)(

)(4

4

1

4

4

=

infin+

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Leiame nuumluumld valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

1931915290190

02309

005809

019001150

0230

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

==sdot=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Seega on valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arv νR = 19

Leiame nuumluumld valgustatuse laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 19 ja usaldusnivool 95 k1995 = 209 seega on valgustatuse laiendmaumlaumlramatus U(E) usaldusnivool 95

222 m

W24

m

W1594092

m

W991)()( ==sdot=sdot= kEuEU

Seega on valgustatus 2m

W686=E ning tema laiendmaumlaumlramatus

2m

W24)( =EU

107

5 Maumlaumlramatuse allikad

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud m aumlaumlramatus

Numbernaumlidikuga motildeotildetevahendi abil saadud naumlidu (motildeotildedise) maumlaumlramatuse uumlheks allikaks on naumlidiku lahutusvotildeime Isegi kui korduvnaumlidud on identsed ei ole kordustaumlpsust iseloomustav maumlaumlramatus null sest sisendsignaalil on piirkond milles see motildeotildetevahendi naumlidik esitab uumlhe ja sama naumlidu Kui naumlidiku lahutusvotildeime on δx milleks on naumlidu muutus (numbersamm) kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu votilderra siis sisendsignaal mis annab naumlidu x votildeib votilderdse totildeenaumlosusega jaumlaumlda vahemikku [x ndash δx2 x + δx2] Sisendsignaal on seega kirjeldatav ristkuumllikjaotusega mille laius on δx ja standardhaumllve on σ(x) = δx radic12 See taumlhendab et iga naumlidu x standardmaumlaumlramatus on u(x) = σ(x) = 029 δx Naumliteks numbernaumlidikuga voltmeetril mille naumlidiku vaumlikseim taumlhendusega naumlit on 1 mV on naumlidiku lahutusvotildeime δx = 1 mV totildettu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 mV

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatu s

Naumlidiku lahutusvotildeimega analoogset maumlaumlramatust votildeib potildehjustada ka motildeotildetevahendi suikeulatus milleks on motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse (stiimuli) kasvamise votildei kahanemise maksimaalne piirkond δx ilma et muutuks motildeotildetevahendi naumlit Ettenaumlgelik motildeotildetja taumlheldab motildeotildetesuuruse jaumlrgnevate vaumlaumlrtuste kasvamise votildei kahanemise suunda ja teeb sellest tulenevalt vastava paranduse Kuid suikeulatuse suund pole alati jaumllgitav sest motildeotildetevahendis votildeib mingi tasakaalupunkti uumlmber esineda ka peidetud motildeotildetehaumllbeid ning saadav naumlit (motildeotildedis) sotildeltub suunast millega see punkt lotildepuks saavutati Motildeotildetevahendi suikeulatust suurendatakse motildenikord sihilikult vaumlltimaks naumlidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral Kui suikeulatusest tingituna on votildeimalikud motildeotildetevahendi naumlidud vahemikus [x ndash δx2 x + δx2] siis meelevaldse naumlidu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus

Ka andmetoumloumltlusega seotud arvvaumlaumlrtuste (motildeotildediste motildeotildetetulemuste) uumlmardamine votildei nende murdosa aumlrajaumltmine votildeib olla maumlaumlramatuse allikaks sest uumlmardatud arv esitab motildeotildetesuuruse arvvaumlaumlrtust alati ligikaudselt Mida rohkem on arvul taumlhendusega kohti seda suurem on suhteline taumlpsus Motildenikord on potildehjust taumlhenduslike kohtade arvu vaumlhendada uumlmardamise teel Etteantud uumlmardamissammu δx korral on meelevaldne arvvaumlaumlrtus x vahemikus [ x ndash δx2 x + δx2] ning standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused

Mudelisse sisestatud sisendsuuruse hinnang x ei pruugi olla maumlaumlratud antud motildeotildetmisega vaid votildeib olla saadud mujalt Sageli on sellel vaumlaumlrtusel ka mingil viisil hinnatud maumlaumlramatus See votildeib olla antud standard- votildei laiendmaumlaumlramatusena Kui maumlaumlramatus on antud vahemiku poollaiusena st laiendmaumlaumlramatusena U millel on etteantud usaldatavustase siis on sellega antud ka katteteguri k vaumlaumlrtus Sel juhul on hinnangu x standardmaumlaumlramatus u(x) avaldatav seosest u(x) = U(x)k Alternatiivselt votildeib olla antud sisendsuuruse hinnangu x uumllemine ja alumine rajavaumlaumlrtus (naumliteks

108

vahemik (b a) aga info maumlaumlramatuse kohta votildeib puududa Viimasel juhul peaks nende rajavaumlaumlrtuste kasutajad rakendama oma teadmisi hindamaks maumlaumlramatust laumlhtudes sisendsuuruse iseloomust allika usaldusvaumlaumlrsusest motildeotildetepraktikas selliste suuruste jaoks kasutatavatest maumlaumlramatustest jne Lisainfo puudumisel eeldatakse tavaliselt tegemist on uumlhtlase jaotusega uumllemise ja alumise rajavaumlaumlrtuse vahel standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic12 Kui aga on alust arvata et rajade laumlhedased vaumlaumlrtused on vahemiku keskosaga votilderreldes vaumlhemtotildeenaumlolised on lihtsuse motildettes tihti potildehjendatud kasutada kolmnurkjaotust standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic24

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus

Kui sisendsuuruse X hinnangu x maumlaumlramatus on antud eksperimentaalse standardhaumllbe ja teatud arvu korrutisena st laiendmaumlaumlramatusena U siis votildeib standardmaumlaumlramatuse u(x) vaumlaumlrtuseks votildetta laiendmaumlaumlramatuse U ja katteteguri k jagatise u = Uk See olukord on tavaline kui andmed on votildeetud tootja spetsifikatsioonist kalibreerimistunnistuselt kaumlsiraamatust votildei motildenest muust allikast Naumliteks kui kalibreerimistunnistusel on kirjas et 200 g kirjevaumlaumlrtusega etalonvihi mass m200 = 19999993 g on esitatud laiendmaumlaumlramatusega U = 066 mg kolme standardhaumllbe tasemel siis selle etalonvihi massi standardmaumlaumlramatus on u(m200) = Uk = (066 mg)3 = 022 mg

Hinnagu x maumlaumlramatus ei pruugi tingimata olla esitatud standardhaumllbe mingil kordsel kujul nagu eespool mainitud Selle asemel votildeib suuruse hinnangu maumlaumlramatus olla antud naumliteks 90 95 votildei 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena Kui pole teisiti taumlpsustatud siis votildeib eeldada et vahemiku arvutamisel kasutati normaaljaotust ja x standardmaumlaumlramatuse votildeib taastada jagades esitatud jaotuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga Sel juhul teguri kp vaumlaumlrtused mis vastavad eeltoodud kolmele vahemikule on 164 1960 ja 2576 Naumliteks on kalibreerimistunnistusel kirjas et 10 Ω kirjega etalontakisti takistus 23 degC juures on RE = 10000584 Ω plusmn 152 microΩ usaldusnivool 99 Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmaumlaumlramatuseks u(RE) = (152 microΩ)258 = 59 microΩ

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus

Sageli motildeotildedetakse suurusi kontrollitavatel toumloumltingimustel eeldades et need tingimused motildeotildeteprotseduuri sooritamise jooksul ei muutu Naumliteks votildeib objekti panna motildeotildetmiseks otildelivanni mille temperatuuri hoitakse kindlates piirides termostaadi abil Otildeli temperatuuri vannis votildeib motildeotildeta objekti iga motildeotildetmise ajal Kui aga temperatuur vannis perioodiliselt muutub ei tarvitse objekti hetkeline temperatuur votilderduda otildeli temperatuuriga Otildeli temperatuuri maumlaumlramatuse arvutamine peaks sel juhul algama otildeli temperatuuri teadaolevast votildei eeldatavast muutumistsuumlklist vannis Temperatuuri muutumist votildeib motildeotildeta tundliku termopaariga varustatud termomeetri abil ning kui see pole votildeimalik siis votildeib temperatuuri laumlhendi tsuumlklile tuletada reguleerimisprotsessi iseloomustavate uumlldiste teadmiste potildehjal Analoogne olukord on ka motildeotildeteprotseduuri teostamisel notildeutavate toumloumltingimuste taumlitmiseks motildeotildeteruumis uumlmbritseva otildehu temperatuuri reguleerimisel ja hoidmisel Niisugustel juhtudel votildeib motildeotildetesuuruse motildeotildetmise mudelisse sisestatava temperatuuri X hinnangu x standardmaumlaumlramatuse u(x) hindamine toimuda arvestades temperatuurikontrolli suumlsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsuumlklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust

109

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus

Kotildeige raskemini hinnatav maumlaumlramatuse komponent tuleneb motildeotildetemeetodist eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest vaumliksema maumlaumlramatusega tulemusi Totildeenaumloliselt on olemas ka teisi seni tundmatuid votildei mingil viisil seni veel motildeotildetepraktikas mittekasutatavaid meetodeid mis annavad samavotilderd kehtivaid kuid suumlstemaatiliselt erinevaid tulemusi See viib aprioorse totildeenaumlosusjaotuseni Isegi kui meetodist tulenev maumlaumlramatus osutub valdavaks komponendiks piirdub kogu info selle maumlaumlramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega fuumluumlsikalise maailma kohta Sama motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hindamine erinevatel meetoditel kas samas votildei eri laborites votildei ka samal meetodil eri laborites votildeib sageli anda vaumlga vaumlaumlrtuslikku infot motildeotildetemeetodi kohta Motildeotildetemeetodi kohta tehtud hinnangute usaldusvaumlaumlrsuse kontrollimiseks ja suumlstemaatiliste efektide (motildeotildetehaumllvete ) vaumlljaselgitamiseks on uumlldiselt kasulik teostada toumloumletalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus

Paljude motildeotildeteprotseduuride korral eriti aga motildeotildetevahendite kalibreerimisel leiab aset tundmatu objekti votilderdlus tuntud laumlhedaste karakteristikutega etaloniga et motildeotildeta votildei kalibreerida tundmatut objekti Niisuguste objektide naumlitena votildeib mainida kaaluvihtide votildei takistite komplekte pikkusotsmotildeotildete termomeetreid ja suure puhtusega aineid Antud juhul ei ole kasutatavad motildeotildetemeetodid enamasti ebasoodsalt motildejutatud motildejuritest tekitatud efektidest kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad uumlhesugusel (sageli ennustataval) viisil efektidest esilekutsutud muutustele

Motildenes praktilises motildeotildetesituatsioonis on aga objekti valikul ja selle kaumlsitlemisel siiski palju suurem osa Enamasti kehtib see looduslike materjalide keemilise analuumluumlsi korral Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (toumloumletalonist etalonainest votildei sertifitseeritud etalonainest) on looduslikud materjalid sageli mittehomogeensed Nimetatud mittehomogeensus kutsub esile tavaliselt kaks taumliendavat maumlaumlramatuse komponenti Esimese hindamiseks on vaja maumlaumlrata kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analuumluumlsitavat laumlhtematerjali Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis maumlaumlrata ulatus mil maumlaumlral votilderreldava tundmatu objekti mitteanaluumluumlsitavad koostisosad motildejutavad motildeotildetmise tulemust

Motildenel juhul teeb eksperimendi hoolikas kavandamine votildeimalikuks objekti valikust tingitud maumlaumlramatuse hindamise Tavaliselt on siiski motildeotildeteobjektist tuleneva maumlaumlramatuse hindamiseks vajalikud motildeotildetja (analuumluumlsija) kogemustest ammutatud oskused ja teadmised ning kogu hetkel kaumlttesaadav info selle tundmatu motildeotildeteobjekti kohta

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitl us (kaalutud keskmiste meetod)

Uumlhe ja sama suuruse Yi mitmel erineval viisil (meetodil) votildei erinevates laborites motildeotildetmisel saadud tulemuste yj (j = 1 2 J) liitmaumlaumlramatused u(yj) votildeivad uumlksteisest oluliselt erineda Votildettes kotildeik saadud motildeotildetetulemused aluseks motildeotildetesuuruse Yi vaumlaumlrtuse parima hinnangu saamiseks on eriti vaumlikese motildeotildetetulemuste arvu (J = 2 3 votildei 4) korral otildeiglase hinnangu saamiseks potildehjust arvestada vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi rohkem kui suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi Seega on erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks sobiv kasutada kaalutud keskmist

110

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10 (51)

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

Et anda vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemustele suuremat kaalu kui tulemustele millel on suurem maumlaumlramatus valime motildeotildetetulemuste kaalud poumloumlrdvotilderdelisteks dispersioonidega st antud juhul liitmaumlaumlramatuste ruutude poumloumlrdvaumlaumlrtustega saades

)(

12

jj yu

g = (52)

Laumlhtudes seosest (52) saame kaalutud keskmise y0 liitmaumlaumlramatuse u(y0) arvutada votilderdusest

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)( (53)

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderdlusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elektronkaaluga Motildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitmaumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitmaumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

Motildeotildetetulemuste m1 ja m2 kaalud g1 ja g2 on valemi (52) jaumlrgi

22

121 mg100

mg)10(

1

)(

1 minus===mu

g

22

222 mg25

mg)20(

1

)(

1 minus===mu

g

Kaalutud keskmine on seose (51) jaumlrgi

004162125

52250

25100

005222500392100

25100

005222500392100

1

10 ==

+sdot+sdot

=+

sdot+sdot=

sdot

=

sum

sum

=

=J

jj

J

jjj

g

mg

m g

Kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatuse saame votilderdusest (53)

g0000089mg0890mg125

1

25100

11)(

2

1

0 ===+

==minus

=sum

J

jjg

mu

Antud juhul on motildeotildetesuuruse m0 vaumlaumlrtuse parim hinnang

111

m0 = 200416 g standardmaumlaumlramatusega g000009)( 0 =mu

Nagu naumlitest selgub ei motildejusta suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m2 = 20052 g lotildepptulemust

m0 = 20042 g kuigi palju Lihtne aritmeetiline keskmine g00462=m oleks siiski antud olukorras maumlrksa halvem keha massi hinnang kui vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m1 = 20039 g uumlksinda

Kotildeik senitehtu on tehniline arvutamine Nuumluumld vaatame antud naumlidet sisulise kuumllje pealt Teeme joonise kanname sinna nii motildeotildetetulemused kui ka standardmaumlaumlramatused ning kaalutud keskmise koos standardmaumlaumlramatusega ning aritmeetilise keskmise (allolev joonis) Naumleme et kogu see tehtud arvutus ei oma fuumluumlsikalist motildetet kuna votildeime uumlsna kindlalt vaumlita et uumlks motildeotildetmistest ei saa olla otildeige sest nende standardmaumlaumlramatused ei kattu ja isegi kaks korda laiemad ehk 95 usaldusnivool olevad laiendmaumlaumlramatused ei kattu Seega tuleb kaalutud keskmise arvutamise asemel hakata uurima kummas motildeotildetemeetodis votildeiks viga olla

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

Joonis Mustaga on toodud motildelema motildeotildetmise tulemus koos liitmaumlaumlramatusega punane pidev joon on kaalutud keskmine punased katkendjooned on kaalutud keskmine plusmn kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatus sinine joon on motildelema motildeotildetmise aritmeetiline keskmine

Naumlide 52 Nihikuga eseme pikkuse motildeotildetmine Nihiku laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on vastavalt kalibreerimistunnistusele 0084 mm Uumllesandeks on purskkaevus oleva raudtoru laumlbimotildeotildedu motildeotildetmine Vee ja seega ka toru temperatuur on 5 degC Toru motildeotildedeti 9-st erinevast kohast Toru laumlbimotildeotildeduks saadi keskmiselt 125124 mm ning standardmaumlaumlramatuseks saadi 0048 mm Mis oleks selle toru laumlbimotildeotildeduks temperatuuril 21 degC ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

112

Motildeotildetetulemus l20 sotildeltub meil temperatuuril 5 degC votildeetud nihiku naumlidust l5 ning raua soojuspaisumis-tegurist CFe seega on motildeotildetmise mudel

)( 521 FeClfl =

ning vastav valem on

)1(55521 TCllTCll FeFe ∆sdot+sdot=sdot∆sdot+= (54)

Wikipedia andmetel on raua soojuspaisumistegur temperatuuri 25 degC piirkonnas CFe = 118 microm m-1 K-1 Kuna tundub et tegemist on vaumlga vaumlikese efektiga vaatame kogu soojuspaisumise efekti kui uumlhte maumlaumlramatuse komponenti ehk CFe = 0 u(CFe) = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1

Leiame osatuletised

100018881)521(1081111 6

5

21 ==minussdotsdot+=∆sdot+=partpart minusTC

l

lFe

0022)521(1251240521 =minussdot=∆sdot=

partpart

TlC

l

Fe

m K

Eeldame et temperatuuri motildeotildetmise viga on teist jaumlrku vaumlike suurus sest kui me eeldame et kogu temperatuuri muutusest tingitud efekt on vaumlheoluline siis pole oluline ka taumlpne temperatuuri muutus ise

Leiame standardmaumlaumlramatused

mm01609

0480)( 5 ==luA

Kuna nihiku laiendmaumlaumlramatus on antud usaldusnivool 95 siis selleks et saada standardmaumlaumlramatust tuleb see laumlbi jagada koefitsiendiga k Sellistel puhkudel eeldatakse et kalibreerimisel oli vabadusastmete arv kuumlllalt suur ning Studenti koefitsient oli ligikaudu k = 2 Seega saame et

mm04202

0840)( 5 ==luB

Nihiku naumlidu koondstandardmaumlaumlramatus temperatuuril 5 degC on seega

mm04470microm74417642564216)()()( 225

25

25 ==+=+=+= lululu BAC (55)

siin vahearvutustes kasutasime uumlhikuid microm

Leiame nuumluumld toru laumlbimotildeotildedu standardmaumlaumlramatuse temperatuuril 21 degC

113

( ) ( )

( ) ( ) mm05100505500447000236

mm044701 Kmmm00118Km0022

)()()(

22

2211

52

2

5

212

2

2121

==+=

=sdot+sdotsdotsdotsdot=

=

partpart

+

partpart

=

minusminus

lul

lCu

C

llu Fe

Fe

(56)

Tingimus (45) ei ole taumlidetud sest 0023600506 = 047 gt 03 Seega osutus soojuspaisumine siiski piisavalt oluliseks ehk toodud taumlpsuse juures tuleb seda arvestada

Leiame nuumluumld koefitsiendi k laiendmaumlaumlramatuse arvutamiseks A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv oli 8 ning uumllejaumlaumlnud maumlaumlramatuse komponendid omavad lotildepmatult suurt vabadusastmete arvu Nihiku koondmaumlaumlramatuse arvutusest (48) on naumlha et potildehilise osa andis B-tuumluumlpi maumlaumlramatus lotildepmatult suure vabadusastmete arvuga seega on ka efektiivsete vabadusastmete arv suur seega votildeime votildetta koefitsiendi k vaumlaumlrtuseks k = 196 asymp 2

Eeltoodud arutelu kinnituseks arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu

82501600510

80420

80160023600510

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

effyu

yu

ν

ν

mm10005102)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 12512 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 010 mm

Lahendus 2

Votildetame kogu soojuspaisumise efekti toru laumlbimotildeotildedu arvutuses arvesse ehk CFe = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1 kuna tema motildeju on arvatavasti vaumlga vaumlike jaumltame temast tingitud maumlaumlramatuse arvesse votildetmata ehk u(CFe) = 0

Arvutame valemi (47) potildehjal vaumllja toru laumlbimotildeotildedu temperatuuril 21 degC

mm1481250240124125125124016011801241255521 =+=sdotsdot+=sdot∆sdot+= lTCll Fe

Maumlaumlramatuse arvutusel on valemis (48) u(CFe) = 0 seega on

( ) ( )

( ) mm044004370

043701 00022

)()()(

2

22

52

2

5

212

2

2121

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

= lul

lCu

C

llu Fe

Fe

Laiendmaumlaumlramatuse arvutuses on analoogilisel potildehjusel eelmise lahendusega koefitsient k = 2 ehk laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

114

mm088004402)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 125148 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 0088 mm

Motildelemal meetodil saadud toru laumlbimotildeotildedud koos laiendmaumlaumlramatustega on toodud alloleval joonisel

12500

12505

12510

12515

12520

12525

0 05 1 15 2 25

115

6 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimi ne

61Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid on tehnilised vahendid millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette naumlhtud motildeotildetmiseks

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedud bull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihid bull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takistussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid) 3 motildeotildetemuundurid 4 abimotildeotildetevahendid 5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Motildeotildedud on seadeldised mingi fuumluumlsikalise suuruse reprodutseerimiseks Naumlide kaaluvihid

Motildeotildeteriist on motildeotildetevahend mis votildeimaldab saada motildeotildeteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul Naumlide osutmotildeotildeteriistad klaas-vedelik termomeetrid

Motildeotildetemuundur on ette naumlhtud motildeotildeteinfo saamiseks muundamiseks edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks kuna puudub naumliduseadis Naumlide motildeotildetevotildeimendid Motildeotildetemuundurite eriliigiks on andurid esmase motildeotildeteinfo saamiseks Naumlide termopaar niiskusmotildeotildetja mahtuvuslik andur

Abimotildeotildetevahendid on seadmed millega kontrollitakse motildeotildeteriista toumloumltingimusi fuumluumlsikalisi motildejureid jne Naumliteks kuivelemendi elektromotoorjotildeu maumlaumlramise toumloumls kasutatakse normaalelementi elektromotoorjotildeu standardi reprodutseerimiseks motildeotildetmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga

Motildeotildetesuumlsteem on mitmest eelpoolmainitud motildeotildetevahendist koostatud seadeldis

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonna bull motildeotildetediapasooni bull tundlikkuse bull motildeotildetevea jne

611 Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Motildeotildetetulemus sotildeltub peale motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse muu juhusliku muutuse mingil maumlaumlral ka motildeotildetetingimustest Motildeotildetevahendi kalibreerimistulemused kehtivad kalibreerimistunnistuses esitatud maumlaumlramatusega ainult siis kui motildeotildetevahendile motildejuvad suurused nagu temperatuur otildehuniiskus otildehurotildehk motildeotildetevahendi kaldenurk horisontaalasendist haumlirevaumlljad jms on kalibreerimisel kehtinud piirides

116

Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi kirjeldatakse motildeotildetevahendi naumlidule motildejuvate suuruste vaumlaumlrtuste abil Motildejuvate suurustena ehk motildejuritena vaadeldakse ainult neid suurusi mille motildeju motildeotildetetulemusele on praktiliselt votildeimalik maumlrgata ja kindlaks teha Naumliteks pikkusmotildeotildetevahenditega motildeotildetmisel on temperatuur motildejuv suurus otildehurotildehk aga vaumlhemotildejuv suurus Iga motildeotildetevahendi kohta on normdokumentidega tavaliselt kindlaks maumlaumlratud neli erinevat kasutamistingimuste piirkonda Need on

1 Normaaltingimused on tingimused mis kehtestatakse motildeotildetevahendi metroloogiliseks kontrolliks votildei motildeotildetetulemuste vastastikuseks votilderdlemiseks Leppetingimused on kotildeige soodsamad motildeotildetetingimused ja need hotildelmavad tavaliselt arvessevotildeetud motildejurite nimivaumlaumlrtusi votildei nimipiirkondi Universaalseid normaaltingimusi ei ole need kehtestatakse individuaalselt igale motildeotildeteriistale (temperatuuri- niiskuse- otildehurotildehu- toitepinge vahemik jne) Naumliteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23000 plusmn 0005) degC Tavalistel seadmetel on see 20 degC votildei 23 degC uumlmbruses plusmn 01 kuni plusmn 5 degC

2 Toumloumltingimused on motildeotildetevahendi kasutamistingimused mille korral motildeotildetevahendi metroloogilised omadused on eeldatavalt etteantud piirides Viimased on tavaliselt kirjeldatud motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis Tavaliselt vaumlljendavad toumloumltingimused motildeotildetesuuruste ja motildejurite etteantud vaumlaumlrtusi votildei nende hulka

3 Piirtingimused on tingimused mille iseloomustavate suuruste motildejule motildeotildetevahend peab vastu pidama riketeta ja metroloogiliste omaduste halvenemiseta tema edasisel kasutamisel toumloumltingimustel Motildeotildetevahendi saumlilitamise transportimise ja kasutamise piirtingimused votildeivad uumlksteisest erineda Piirtingimused votildeivad sisaldada motildeotildetesuuruste ja motildejurite piirvaumlaumlrtusi

4 Saumlilitamise tingimused on tingimused mis ei kahjusta motildeotildetevahendit ka pika aja jooksul

Kolme esimese tingimustepiirkonna omavahelisi suhteid iseloomustab joonis 61 Saumlilitamise tingimused reglementeeritakse motildeotildetevahendi toumloumltingimustest sotildeltumatult Nad ei ole kunagi piirtingimustest laiemad ega normaaltingimustest kitsamad aga toumloumltingimustest votildeivad nad olla kitsamad votildei laiemad olenevalt konkreetse motildeotildetevahendi omadustest

Standard ISO 1 on kehtestanud toumloumlstuslike pikkusmotildeotildetmiste valdkonnas universaalseks normaaltemperatuuriks 20 degC Motildeotildetevahendite spetsifikatsioonidest naumlhtub et normaaltemperatuuri piirkonnad sisaldavad reeglina universaalse normaaltemperatuuri vaumlaumlrtuse Tuumluumlpilised normaaltemperatuuri piirkonnad on 18 degC 22 degC ja 15 degC 25 degC

117

Joonis 61 Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi iseloomustavate piirkondade suhted

612 Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis maumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samuti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteliikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga xoo ∆∆ Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud

viga normaaltingimustel Absoluutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotildedetav suurus satub intervalli [ ]oo ∆+∆minus Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

Naumlide 61 Esimeses praktikumi toumloumls kasutatava nihiku absoluutpotildehiviga on 005 mm

Naumlide 62 Kaaluvihid klassifitseeritakse viide taumlpsusklassi Kasutatud klassile vastavad absoluutpotildehivea vaumlaumlrtused leitakse vihtide komplekti tehnilisest dokumentatsioonist

Naumlide 63 Olgu meil keha kaalumiseks vaja kolme vihti ndash 1 kg 50 g ja 2 g Kasutades selle keha kaalumiseks 3 klassi vihte saame potildehiveaks

mg41215360312m∆ 222o ==++=

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse jaoks saame mg 273

412B ==u

Kaaludes sama keha 4 klassi vihtidega saame potildehiveaks

mg12415300630120m∆ 222o ==++=

Maumlrkus Kaalumisel tuleks alati kasutada votildeimalikult vaumlhe st votildeimalikult suuri vihte Viimase vaumlite illustreerimiseks arvuta ise kaaluvihtide viga juhu jaoks kus keha kaalumiseks kasutati 21 50 g-list ja uumlhte 2 g-list vihti

118

2 Suhtpotildehiviga 100ooo

tx

xx

∆=equiv δδ Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme

esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vaumlaumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritolu seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena KЛACC

3 Taandpotildehiviga 100norm

ooo x

xx

∆=equiv γγ Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel

see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on kantud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne Kasutusel on taumlpsusklasside rida

n10)0605040352025101( sdot kus 2101 minusminus=n

Naumlide 64 Oletame et motildeotildetsime voltmeetriga alalispinge vaumlaumlrtuseks V2587=U Voltmeetri

klass olgu 05 ja skaala ulatus V1000=skU Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist

absoluutpotildehivea 100

skoo

UU

γ=∆ ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V923100

100050

31003

∆ oo =sdot

sdot=

sdot== sk

B

UUu

γ

4 Konstandid e ja f kujul e f taandpotildehivea arvutamiseks valemist

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

Naumlide 65 Oletame et motildeotildetsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivvaumlaumlrtuseks V08015naumlit =U Olgu voltmeetri taumlpsusklass esitatud kujul 005 002 ja oletame et kasutasime

voltmeetri piirkonda skU = 20 V Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist absoluutpotildehivea

V 01130100

201

08015

20020050

100sko

o =sdot

minussdot+==∆

UU

γ

ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V006503

01130

3

∆oB ===

Uu

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildeteriista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lugeda mis veaga on tegemist

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasutatakse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

D2rdg 250 +=Taumlpsus

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade puhul kotildeige levinum

119

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi absoluutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha kaks uumlhikut

Oletame et saime multimeetriga motildeotildetes pinge vaumlaumlrtuseks U = 625 V Siis absoluutpotildehiviga

V040V020V0160V020V256100

250∆o asymp+=+sdot=

120

62 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

621 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus

Vaumlga paljude motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides on esitatud motildeotildetevahendite kostekarakteristika mida nimetatakse ka vaumlljundkarakteristikaks Kostekarakteristika on motildeotildetevahendi sisendi ehk stiimuli ja sellele vastava vaumlljundi ehk koste vaheline sotildeltuvus maumlaumlratletud tingimustel Naumlitena votildeib nimetada termopaari elektromotoorjotildeudu temperatuuri funktsioonina Stiimuli ja koste vahelist sotildeltuvust votildeib vaumlljendada algebralise votilderrandi tabeli votildei graafiku kujul

Samuti on motildeotildetevahendi uumlhe metroloogilise omadusena spetsifikatsioonis tavaliselt toodud motildeotildetevahendi tundlikkus mis on koste muutuse ja selle tekitanud stiimuli muutuse suhe st

X

xT

∆∆

=

kus T ndash motildeotildetevahendi tundlikkus

∆x ndash motildeotildetevahendi naumlidu (motildeotildedise) muutus

∆X ndash motildeotildetesuuruse muutus

Tundlikkuse naumlitena votildeib tuua 1 microm jaotisevaumlaumlrtusega mikromotildeotildeturi (uumllekanne 10001) mille tundlikkus on 1 mm 0001 mm kohta sest motildeotildetesuuruse muutus 0001 mm votilderra tekitab naumlidikus viida nihke ehk lugemi muutuse 1 mm

Motildeotildetevahendi tundlikkusega on tihedalt seotud kostelaumlvi Kostelaumlvi on stiimuli suurim muutus mis ei tekita koste maumlrgatavat muutust eeldusel et stiimul muutub aeglaselt ja monotoonselt Motildeotildetevahendite kostelaumlvi votildeib sotildeltuda naumliteks sisemisest votildei vaumllisest muumlrast liikuvate osade vahelisest hotildeotilderdumisest aga ka stiimuli vaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi naumlidu votildetmisel on vaumlga taumlhtis naumlidiku lahutusvotildeime st naumlidikult saadavate naumlitude vaumlikseim erinevus mida on votildeimalik motildettekalt eristada Numbernaumliduga naumlidiku korral on selleks naumlidu muutus kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu (numbersammu) votilderra Skaala ja viidaga varustatud naumlidikuga motildeotildeteriistade korral maumlaumlrab lahutusvotildeime potildehiliselt skaalajaotuse pikkus Uumlldiselt on motildeotildeteriistadel tunnetatav naumlidu muutus mis on vaumlhemalt 15 skaalajaotuse pikkusest

Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste hulka kuulub ka suikeulatus st maksimaalne piirkond milles sisendit ehk stiimulit votildeib motildelemas suunas muuta ilma et muutuks vaumlljund ehk koste Motildeotildetesuuruste vaumlaumlrtusteks mille juures maumlaumlratakse motildeotildetevahendi suikeulatus valitakse tavaliselt motildeotildetepiirkonna alumise ja uumllemise piirvaumlaumlrtuse laumlhedased vaumlaumlrtused vahel ka motildeotildetepiirkonna keskmine vaumlaumlrtus Motildeotildetepiirkonna suikeulatust potildehjustavad hotildeotilderdumine surnud kaumlik elastsed motildejud huumlsterees jms Suikeulatus ei ole alati konstantne eriti liikuvate osade vahelise hotildeotilderdumise votildei hotildeotilderdeteguri muutuse totildettu Tavaliselt maumlrgitakse motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides et suikeulatus on vaumliksem teatud piirvaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi reageerimisvotildeimet motildeotildedetavale suurusele iseloomustab kosteaeg See on ajavahemik hetkest millal sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni millal vaumlljund ehk koste jotildeuab ja jaumlaumlb etteantud piiridesse oma puumlsiva lotildeppvaumlaumlrtuse uumlmbruses Naumliteks termomeeter huumlgromeeter

121

Eristatakse ka veel motildeotildetevahendi reageerimisaega milleks on ajavahemik hetkest mil sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni mil vaumlljund ehk koste jotildeuab etteantud leppevaumlaumlrtuseni Naumliteks gaasianaluumlsaatori reageerimisaeg t10 vastab tasemele 10 gaasikontsentratsiooni lotildeppvaumlaumlrtusest naumlidikul

Motildeningad motildeotildetevahendid ei ole neutraalsed motildeotildedetava objekti votildei motildeotildetesuuruse suhtes ja votildeivad neid moonutada Seega iseloomustab motildeotildetevahendeid ka niisugune omadus nagu moonutusvabadus See on motildeotildetevahendi votildeime mitte motildejutada motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust Naumliteks votilderdotildelgne kaal on moonutusvaba aga takistustermomeeter mis soojendab ainet mille temperatuuri motildeotildetmiseks ta on ette naumlhtud ei ole moonutusvaba

622 Motildeotildetevahendi taumlpsus

Motildeotildetevahendite uumlheks kotildeige taumlhtsamaks omaduseks on taumlpsus Taumlpsus on motildeotildetevahendi votildeime anda motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele laumlhedasi kosteid Sellest maumlaumlratlusest ilmneb et motildeotildetevahendi taumlpsus on kvalitatiivne motildeiste sest ta on naumlidu ja motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse kokkulangevuse naumlitaja

Kvantitatiivselt hinnatakse motildeotildetevahendi taumlpsust motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe abil See on ka motildeotildetevahendi naumlidu ja sisendsuuruse vaumlaumlrtuse vahe Selles taumlhenduses kasutatakse ka motildeistet naumliduviga mis viitab mittesoovitud kotildervalekaldele Kuna aga motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik teada peame praktikas motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse asemel kasutama selle mingit leppevaumlaumlrtust Hinnangu motildeotildetevahendi suumlstemaatilisele naumliduhaumllbele saame motildeotildetevahendi kalibreerimisel kusjuures leppevaumlaumlrtuseks on etaloniga realiseeritud suuruse vaumlaumlrtus Motildeotildedu puhul on suumlstemaatiliseks naumliduhaumllbeks sellele omistatud kirjevaumlaumlrtuse kotildervalekalle vaumlaumlrtusest mille saame motildeotildedu kalibreerimisel Motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe votildeib esitada ka suhtelise naumliduhaumllbe kujul st motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe ja vastava leppevaumlaumlrtuse suhtena

Nagu varem oleme totildedenud esineb praktilistel motildeotildetmistel paraku alati motildeotildetetingimuste juhuslikke muutusi mis potildehjustavad juhuslikke muutusi saadud motildeotildedistes Osa neist tulenevad vaumllismotildejudest teine osa aga motildeotildetevahendi omadustest Motildejude eristamine notildeuaks vaumlga mahukaid uurimisi Kotildeikide juhuslike motildejude minimeerimiseks kordame motildeotildetmist korduvustingimustel ja keskmistame tulemuse Selle ja kasutatud suuruse leppevaumlaumlrtuse vahe annabki meile suumlstemaatilise naumliduhaumllbe hinnangu Motildeotildetevahendi votildeimet anda naumlite mis on vabad suumlstemaatilisest naumliduhaumllbest kirjeldatakse motildeotildetevahendi otildeigsusega

623 Stabiilsus ja triiv

Kasutaja seisukohast on taumlhtis et motildeotildetevahend saumlilitaks oma metroloogilised omadused ajaliselt muutumatutena Seda motildeotildetevahendi omadust nimetatakse stabiilsuseks Stabiilsust votildeib iseloomustada naumliteks aja kaudu mille jooksul metroloogilised omadused muutuvad etteantud maumlaumlral votildei omaduse muutuse kaudu etteantud ajavahemiku jooksul Kui motildeistet motildeotildetevahendi stabiilsus kasutatakse mingi teise suuruse kui aja suhtes tuleb see kasutusviis eraldi aumlra maumlrkida Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste aeglast ajalist muutumist nimetatakse triiviks Triivi potildehjuseid votildeib olla mitmeid naumliteks rauast kaaluvihi roostetamine mistotildettu tema mass langeb samuti votildeib takistustraadi pind reageerida motildene otildehu koostisosaga ning seelaumlbi votildeib tema takistus ajapikku muutuda Kui seadmel on liikuvaid osasid nagu naumliteks tiivikanemomeetril siis temas olev maumlaumlre votildeib vananeda ning hotildeotilderdetakistus votildeib hakata vaumlhehaaval suurenema

122

624 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime

Et hinnata motildeotildetevahendi votildeimet anda laumlhedasi kosteid kui motildeotildetmine toimub samadel tingimustel ja sama stiimuli korduval rakendamisel tuleb seda motildeotildetevahendit katsetada korduvustingimustel Kuna motildeotildetevahendi naumlidu korduvusvotildeimet saab kvantitatiivselt vaumlljendada naumlitude (motildeotildediste) jaotuskarakteristikute abil siis nende katsete tulemusel saab leida korduvusstandardhaumllbe hinnangu sr (vajadusel saab selle kohta taumlpsemalt lugeda raamatust Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused Laaneots ja Mathiesen)

625 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

Kotildeikide motildeotildetevahendi metroloogilistest omadustest tulenevate efektide motildeju motildeotildetevahendile votildeetakse arvesse naumliduhaumllbe piiride (piirvea veapiiride) maumlaumlramisel Viimase all motildeeldakse motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis kasutamisjuhendis otildeigusaktis votildei motildenes muus dokumendis lubatud naumliduhaumllbe piirvaumlaumlrtust Tavakasutuses votildeime uumlldiselt oletada et motildeotildetevahendi kasutamisel saadud juhuslik naumliduhaumllve ei uumlleta motildeotildetevahendile etteantud naumliduhaumllbe piire

Motildenes metroloogia valdkonnas kasutatakse ka terminit motildeotildetevahendi naumlidu taandhaumllve (taandviga) Selle motildeiste all motildeeldakse naumliduhaumllbe piiri ja mingi antud motildeotildetevahendi jaoks kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtuse suhet Kui see kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtus on motildeotildetevahendi skaalanaumlidiku uumllemine piir siis maumlaumlrab naumlidu taandhaumllve protsentides tavaliselt motildeotildetevahendi taumlpsusklassi Naumliteks motildeotildetevahendi naumlidu lubatud taandhaumllbe 01 korral votildeib sellele motildeotildetevahendile omistada taumlpsusklassi 01

Tingituna motildeotildetevahendi konstruktsioonist votildei teatud kasutamisalast ei pruugi positiivsed ja negatiivsed naumliduhaumllbed olla votilderdsed Seepaumlrast votildeib moodustada ka erinevad naumliduhaumllbe piirid Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid maumlaumlratakse tavaliselt kindlaks kooskotildelastuste ettekirjutuste riigi poolt allkirjastatud lepingute (Euroopa Liidu juhised) aga ka kalibreerimis- votildei taatluseeskirjade alusel Taatluseeskirjad ja nende kehtivus on tavaliselt normitud neid vaumlljaandva riigi tasandil Kvantitatiivselt esitatakse naumliduhaumllbe suumlmmeetrilised piirid tavaliselt kas konstantsetena motildeotildetesuuruse uumlhikutes motildeotildetevahendi kogu motildeotildetepiirkonna ulatuses st ∆ = a votildei naumliduga proportsionaalsetena st ∆ = bx votildei eelneva kahe summana st ∆ = a + bx

63 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid

631 Kalibreerimine ja justeerimine

Motildeotildetevahend kalibreeritakse motildeotildetetulemuse seostatuse saavutamiseks Kalibreerimine on menetlus mis fikseeritud tingimustel maumlaumlrab kindlaks seose motildeotildetevahendi poolt esitatud vaumlaumlrtuse (naumlidu motildeotildedise) ja etaloni abil realiseeritud suuruse vastava vaumlaumlrtuse vahel

Motildeistet kalibreerimine ei tohi segi ajada motildeistega justeerimine Viimane on tegevus mille eesmaumlrgiks on motildeotildetevahendi viimine kasutamiseks sobivasse toumloumlrežiimi Justeerimine notildeuab seega tehnilist vahelesegamist mille tulemusena votildeib muutuda motildeotildetevahendi kostekarakteristika Naumliteks kaaluviht justeeritakse ettenaumlhtud kirjevaumlaumlrtuseni mahaviilimise votildei pliihaavli juurdelisamisega mis taumlhendab kaaluvihi massi muutmist kirjevaumlaumlrtuse laumlhedusse Teise naumlitena votildeib nimetada takistusmotildeotildedu justeerimist leppevaumlaumlrtuseni traadi pikkuse muutmisega ja balanssiiri (ankru) justeerimist soovitud votildenkesageduseni spiraalvedru jaumlikuse muutmisega Motildeotildetevahendit saab justeerida ka tema votilderdlemisel taumlpsema motildeotildedu votildei motildeotildetevahendiga paigutades selleks

123

motildeotildetevahendisse motildeotildetesignaali muutva luumlli Justeerimise kaumligus rakendatakse reguleerimisvotildeimalusi mis ei tarvitse olla kaumlttesaadavad tavakasutajale

Justeerimist mille kaumligus rakendatakse ainult motildeotildetevahendi kasutajale ettenaumlhtud reguleerimisvotildeimalusi nimetatakse motildeotildetevahendi seadmiseks Naumliteks motildeotildetepiirkonnaga uumlle 25 mm kruviku korral on enne motildeotildetetoimingu algust tarvis kruviku komplektis oleva seademotildeotildedu abil saumlttida paika nullnaumlit Motildeningate teiste motildeotildetevahendite korral taumlhendab seadmine motildeotildetevahendi alg- ja lotildeppnaumlidu reguleerimist Motildeotildetevahendil mida seadistatakse mingis naumliduseadise votildei skaala kindlas punktis toimub reguleerimine motildeotildetevahendi komplektis oleva seademotildeotildedu sertifitseeritud etalonaine votildei muu kindlalt maumlaumlratletud objekti jaumlrgi nii et naumlit oleks votildeimalikult laumlhedane seadeobjekti kirjevaumlaumlrtusele (nimivaumlaumlrtusele)

Enne kalibreerimisele asumist tuleb kontrollida kas tellimus naumleb ette motildeotildetevahendi eelnevat justeerimist votildei mitte Kui justeerimisvajadus on ilmne aga ei kajastu tellimuses tuleb kuumlsimus kooskotildelastada tellijaga Potildehjuseks on see et justeerimisega muudetakse motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi mille katkematu jaumllgimine votildeib olla oluline motildeotildetevahendi valdajale Valdaja votildeib naumliteks kasutada motildeotildetevahendit etalonina votildei kontrollmotildeotildeduna

Kalibreerimise maumlaumlratlusest johtub et erinevalt motildeotildetevahendi justeerimisest ei toimu kalibreerimisel tehnilist vahelesegamist Naumlidikuga motildeotildetevahendi kalibreerimisel tehakse kindlaks naumlidu ja motildeotildetesuuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve motildeotildetude korral aga motildeotildedu kirjevaumlaumlrtuse ja leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve Kalibreerimisega on tegu ka siis kui maumlaumlratakse naumliteks pingemotildeotildeturi skaalategur votildei tehakse kindlaks skaalaga varustatud ampermeetri naumlitude ja voolutugevuse leppevaumlaumlrtuste vahelised motildeotildetehaumllbed Kalibreerimismenetluse erijuhtumiks on tingskaalaga varustatud motildeotildetevahendi gradueerimine st motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtustele vastavate skaalamaumlrkide vahel ka ainult kindlate potildehimaumlrkide asetuse maumlaumlramine naumlituril

Kalibreerimisel saadud motildeotildetevahendi sisendsuuruse (motildeotildetesuuruse stiimulite) ja vaumlljundsuuruste (motildeotildediste kostete) vahelise sotildeltuvuse votildeib esitada tabeli graafiku votildei valemi abil Kalibreerimisel saadud arvuline tulemus ndash naumliduhaumllbe hinnang koos selle hinnangu maumlaumlramatusega ndash votildeimaldab kindlaks maumlaumlrata motildeotildetevahendi naumlidule vastava naumliduparandi mis on votilderdne naumliduhaumllbe hinnanguga kuid on vastandmaumlrgiga Kalibreerimistulemus esitatakse vastavas dokumendis mida nimetatakse kalibreerimistunnistuseks votildei ndasharuandeks

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et kalibreerimisel maumlaumlratakse kindlaks motildeotildetevahendilt saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu (naumlidu motildeotildedise) ja selle suuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline sotildeltuvus Seega on kalibreerimine kotildeige olulisem metroloogilise kontrolli liik Kalibreerimisel votildeib maumlaumlrata ka teisi motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi naumliteks hinnata motildejurite toimet naumlidule jne

Naumlide 68 Millise taumlpsusega peab olema valmistatud pendliga kella pendli pikkus et ta ei valetaks uumlhe kuu (30 p) paumlrast rohkem kui uumlhe

minuti Pendli valem on g

lT π2=

Lahendus Avaldame pendli pikkuse l funktsioonina perioodist T ning konstantidest π ja g

124

2

2

2

2

442

πππ

sdotsdot

=rArr=sdot

rArr=gT

lg

lT

g

lT

Pendli pikkus peaks olema

mm4053248m248405304

8066591

4 2

2

2

2

==sdot

sdot=

sdotsdot

=ππ

gTl

Leiame nuumluumld pendli pikkuse tuletise perioodi jaumlrgi

T

lgT

T

l 2

4

22

=sdotsdot

=partpart

π

Pendli perioodi erinevust uumlhest sekundist taumlhistame ∆T-ga vaumlikest pendli pikkuse erinevus taumlhistame ∆l-ga seega

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

Arvutame nuumluumld vaumllja suhte ∆TT

∆T = 1 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit seega

0000231043200

1asymp=

∆T

T

Pendli pikkuse erinevus otildeigest vaumlaumlrtusest votildeib siis olla maksimaalselt

mm011043200

1mm24822 =sdotsdot=

∆sdot=∆

T

Tll

Seega peab olema kella pendli pikkus 248405 mm plusmn 0011 mm et kell ei eksiks uumlhe kuu jooksul rohkem kui uumlhe minuti

Naumlide 69 Jaumltkame pendli uumllesannet Vanaisa seinakell on aegade algusest saadik maha jaumlaumlnud ligikaudu 5 minutit igas kuus Kuidas seda kella justeerida et kell hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Lahendus

Seose pendli pikkuse ja kella ebataumlpsuse vahel leidsime juba eelmises naumlites kasutame seda et leida pendli pikkuse ebataumlpsus

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

∆T = 5 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit l = 248405 mm seega

mm057043200

52482 =sdot=

∆sdot=∆

T

Tll

125

Kuna kell jaumlaumlb maha siis jaumlrelikult kaumlib kell liiga aeglaselt seega on pendel liiga pikk jaumlrelikult tuleb pendlit luumlhemaks teha Seega on meil vaja pendli pikkust luumlhendada ligikaudu 006 mm votilderra Tekib kuumlsimus et kuidas uumlldse motildeotildeta pendli pikkust Mehaanika teadmistest laumlhtuvalt votildeime votildetta pendli pikkuseks vahemaa pendli votildenkumistelje ning pendlisuumlsteemi masskeskme vahel Siit saab ka juba idee pendli pikkuse muutmiseks ndash tuleb nihutada pendli masskeset Naumliteks laumlhtudes pildil oleva kella pendli kujust ndash pendli pommi uumllemisse otsa (et masskeset teljele laumlhemale viia) tuleb kinnitada uumlks lisaraskus Selle lisaraskuse massi hindamiseks on tarvis teada pendli massi ning tema kaugust votildenkumisteljest Oletame et oleme hinnanud pommi massiks 200 grammi ning joonlauaga motildeotildetnud et kaugus pendli votildenkumistelje ning planeeritud lisamassi asukoha vahel on 190 mm Kasutame nuumluumld masskeskme arvutamise valemit (mis on identne aritmeetilise keskmise arvutamise valemiga)

lisamasslisamasspendelpendelkogukeskmine mlmlml sdot+sdot=sdot

( ) lisamasslisamasspendelpendellisamasspendelkeskmine mlmlmml sdot+sdot=+sdot

pendelkeskminependelpendellisamasslisamasslisamasskeskmine mlmlmlml sdotminussdot=sdotminussdot

Avaldame nuumluumld suuruse mlisamass

( )

20190248

0570200

lisamasskeskmine

keskminependelpendellisamass =

minussdot

=minus

minussdotsdot=

ll

llmm g

Seega peab pendlile lisama 02 g-se lisaraskuse et ta hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Totildeenaumloliselt ei olnud pendli massi hinnang 200 g kuigi taumlpne seega kell ei kaumli ikka taumlpselt Kui nuumluumld uuesti leida kui palju kell valetab on saadud tulemusest votildeimalik vaumllja arvutada pendli mass ning selle kaudu taumlpsem lisamassi raskus

632 Tuumluumlbikinnitus

Tuumluumlbikinnitus on toiming mille kaumligus tehakse motildeotildetevahendi dokumentatsiooni ja tuumluumlbihindamise tulemuste alusel kindlaks kas antud tuumluumlpi motildeotildetevahendiga motildeotildetmisel votildeib eeldada etteantud taumlpsuse saumlilimist kindlaksmaumlaumlratud ajavahemiku jooksul Kotildeneallolev motildeotildetevahend peab olema gradueeritud seaduslikes uumlhikutes Tuumluumlbikinnituse tulemusena vaumlljastatakse tuumluumlbikinnitustunnistus See sisaldab motildeotildetevahendi antud tuumluumlbi metroloogiliste omaduste ning vajadusel lisatingimuste piirangute ja taumlhtaegade kirjelduse Tuumluumlbikirjeldus on kohustuslik motildeotildetevahenditele millele eri otildeigusaktis on kehtestatud taatluskohustus

Tuumluumlbikinnituse teostaja on tavaliselt riigi poolt seadusega maumlaumlratud riigiasutus (Eestis on selleks asutuseks Tehnilise Jaumlrelevalve Inspektsioon) Tuumluumlbikinnituse aluseks on tuumluumlbihindamine st uumlhe votildei mitme sama tuumluumlpi motildeotildetevahendi suumlstemaatiline vaatlus ja katsetamine dokumenteeritud notildeuete potildehjal Tuumluumlbihindamine toimub omaette asutuses milleks votildeib olla vastava motildeotildeteliigi alal akrediteeritud motildeotildetelabor Tuumluumlbihindamise tulemused dokumenteeritakse tuumluumlbihindamise aruandes

Tuumluumlbikinnitus antakse reeglina motildeotildetevahendile mille metroloogilised ja kasutusomadused vastavad kas Rahvusvahelise Legaalmetroloogia Organisatsiooni dokumentide OIML D ning soovituste OIML R votildei Euroopa Liidu direktiivides kehtestatud notildeuetele Kui motildeotildetevahend pole nimetatud dokumentides kajastatud siis on tuumluumlbikinnituse aluseks rahvusvaheliste standardimisorganisatsioonide (Rahvusvaheline Standardimisorganisatsioon ndash ISO Rahvusvaheline

126

Elektrotehnikakomisjon ndash IEC Euroopa Standardikomitee ndash CEN Euroopa Elektrotehnika Standardikomitee ndash CENELEC) standardite notildeuded

Motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituse taotlejaks votildeib olla motildeotildetevahendite valmistaja votildei tema volitatud esindaja votildei importija kes esitab vastava taotluse koos tuumluumlbihindamise aruandega kompetentsele riigiorganile (tuumluumlbikinnituse teostajale) See vaumlljastab notildeuetele vastavuse korral motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnitustunnistuse ja annab otildeiguse kanda motildeotildetevahendile tuumluumlbikinnitusmaumlrk

633 Taatlus

Taatlus on taatluseeskirjadele vastav menetlus mis hotildelmab motildeotildetevahendi vastavuse kontrollimist motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituses toodud metroloogilistele omadustele ja motildeotildetevahendi sellekohast maumlrgistamist otildeiguspaumldeva taatlusasutuse poolt Kontrollimisega selgitatakse kas motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjade notildeuetele eelkotildeige taatlushaumllbe piiride osas Maumlrgistamisega kinnitatakse vastavust Taatluseeskiri on paumldeva organi poolt kehtestatud kohustuslik tegutsemisreeglistik kindlat liiki votildei tuumluumlpi motildeotildetevahendite taatlemiseks Taatlus loob eelduse oletada et taatluskehtivusaja jooksul motildeotildetevahendi kasutamisel tema naumliduhaumllve jaumlaumlb lubatud piiridesse

Siinkohal meenutame et motildeotildetevahendi taatlust notildeutakse motildeotildetevahendi kasutamisel taatluskohustuslikus valdkonnas ning et taadelda saab ainult tuumluumlbikinnitust omavaid motildeotildetevahendeid Taatlus on liigitatud esma- kordus- ja erakorraliseks taatluseks Motildeotildetevahendi esmataatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas taatlusprotsessi seni mittelaumlbiteinud motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas motildeotildetevahend vastab jaumltkuvalt taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatlusele kuuluvad taatluskohustuslikes valdkondades kasutusel votildei kasutusvalmis olevad motildeotildetevahendid kindlate ajavahemike (taatluskehtivusaeg) jaumlrel Taatluskehtivusaja jooksul tuleb taatluskohustuslikku motildeotildetevahendit erakorraliselt taadelda juhul kui on totildeestatud et motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjas votildei tuumluumlbikinnituses fikseeritud notildeuetele ja paumlrast motildeotildetevahendi remonti Erakorralise taatluse algatab ja korraldab tavaliselt jaumlrelvalvet teostav vastav volitatud juriidiline isik aga seda votildeib notildeuda ka motildeotildetevahendi valdaja

Vastandina kalibreerimisele justeeritakse taatluse kaumligus vajaduse korral motildeotildetevahendit et viia naumliduhaumllve taatlushaumllbe piiridesse Taatluse tulemus dokumenteeritakse taatlusprotokollis mis peab sisaldama taatluse laumlbinud motildeotildetevahendi(te) identifikatsiooni ja viidet kasutatud taatluseeskirjale Kui taatluse kaumligus ilmneb et taatluskohustuslik motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjade notildeuetele tuleb see vastavalt maumlrgistada ja vaumlljastada taatlusnotildeuetele mittevastavuse protokoll

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et taatlus annab motildeotildetevahendi kasutamiskotildelblikkuse kohta vastuse jah votildei ei kalibreerimine aga seose kasutatud leppevaumlaumlrtuse ja motildeotildetevahendi naumlidu vahel jaumlttes otsuse langetamise motildeotildetevahendi sobivuse kohta antud motildeotildetmiseks motildeotildetevahendi kasutajale

127

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused

Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja soovitavast

usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(II) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

128

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menet luste kogum mille eesm aumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmi st nimetatakse metroloogiaks

MMM ndash Motildeotildetmise definitsioon

3

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutat avaid

jaotusseaduseid3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetem aumlaumlramatuse

hindamise paremaid praktikaid4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmet e

motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste n ingmuude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust n ing selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ningoskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kont rolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mude lit ningseda rakendada

MMM - Otildepivaumlljundid

4

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam

Koondhinde moodustavadbull kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) ndash 10 bull test (otildepivaumlljundid 1 2 4) ndash 20 bull grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) ndash 10 bull eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) ndash 60 bull preemiapunktid ndash xx

Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse os sa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlst itust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust

Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele h indele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile(A = gt90 jne)

MMM - Hindamismeetodid

5

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameet rit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildet e-maumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuaje e pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grup itoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

MMM - Hindamismeetodid

6

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements(Les Kirkup Bob Frenkel 2006Cambridge University Press )

MMM - Potildehikirjandus

7

1 2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildete tulemustening nende usaldusvahemiku hindamine praktilisedarvutusnaumlited

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml (4 aprill 2011)

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupit oumloumldeplaneerimine

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus j ne

MMM ndash Loenguplaan (detailsem plaan Moodles)

8

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loom ine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumld e esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

httpsmoodleutee

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused (LOFY01004)

Aine votildeti on ldquo mootemaaramatus rdquo

MMM ndash Moodle

9

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengu s uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt se lleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimalu ste piires arvesse votildetta samuti on Moodles anonuumluumlmse tagasiside koht

MMM ndash Tagasiside

10

Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende

usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid

11

Pideva juhusliku suuruse jaotustiheduseks f(x) nimetatakse funktsiooni mis kirjeldab suhtelist totildeenaumlosust sell e juhusliku suuruse esinemiseks mingis punktis x Totildeenaumlosus et juhuslik suurus langeb etteantud vahemikku [ a b] on votilderdne integraaliga jaotustihedusest f(x) radadega a-st b-ni

Jaotustihedus on normeeritud st integraal uumlle kogu ja otustiheduse maumlaumlramispiirkonna on votilderdne uumlhega

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Jaotustihedus

int sdot=b

a

dxxfbap )()(

1

12

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutata kse aritmeetilist keskmist

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Keskvaumlaumlrtus

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

13

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f (x) standardhaumllbeks nimetatakse arvu

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutat akse empiirilist standardhaumllvet

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Standardhaumllve

intinfin

infinminus

minus= dxxfxmxx )())(()( 2σ

1

))((1

2

minus

minus

=sum=

N

xmxs

N

ii

N

14

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [ a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel l otildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimis tingimus siis

Seega on uumlhtlase jaotusejaotustihedus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

lele

minus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

Suumlmmeetriatelg

15

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega siis on ka loomulik et kes kvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

16

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jao tusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaaltel jele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus (ndash infin infin)

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja σ gt 0 on fikseeritud positiivne reaalarv Parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσ

axxf

a = 0 σ = 1

17

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik m uumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne Paljude sotildeltumatute juhuslike suuruste keskvaumlaumlrtuse jaotus laumlheneb normaa ljaotusele sotildeltumata nende juhuslike suuruste endi jaotusest

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

a = 2 σ = 1

18

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse xt vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetevead

19

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja l otildepp-punktiga xminja xmax Tavalisem ja levinum on siiski anda lotildeigu keskpunk t milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang m(x) ning motildeotildetem aumlaumlramatus u(x)

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

20

Motildeotildetem aumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on motildeotildetem aumlaumlramatus u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetem aumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus satub usaldusintervalli [ m(x) plusmn u(x)] Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu m(x) u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eesk irjad parima hinnangu m(x) motildeotildetem aumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

21

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

23

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

24

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus

=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

25

Naumlide 11 Taumlppiskaaludega kaalumine

Naumlide 12 Kontrollitud temperatuuriga ruumitemperatuuri ajaline kaumlik

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

Aeg

Temperatuur

26

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

27

Naumlide 13 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 1 5) potildehiviga (ehk riistaviga) on St eeldatakse et motildeotildeteriistast tin gitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel jaumlaumlb piiridesse

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik v iga ei vaumllju neist piirest

Joonis 15 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motilde otildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

28

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlauml rtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

Naumlide 14 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus C

u u uC A B= +2 2

29

Selleks et saada infot sellele kursusele registree runute varasematest teadmistest on Moodles avatud tasemetest Eksami arv estuses laumlheb see test arvesse kui arvestuslik test ndash testi taumlitmise l (ka siis kui kotildeik vastused on valed) laumlheb kirja arvestatud mittetaumlitm isel mittearvestatud Test sulgub 14022011 kell 0000

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

naumliteks kui lahendate tahvlil uumllesannet siis o leks hea kui Te ei seletaks mitte ainult seda kuidas miski kaumlib ja mi da teha tuleb vaid et seletaksite juurde MIKS see nii on votildei millest misk i tuletatud on

Tasemetesti tulemuste analuumluumls

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Tagasiside

3

Taumlhendnumbrite hulk ehk tuumlvinumbrite hulk ehk taumlhendus ega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid pe ale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samut i uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbrite ks

Naumlide 15 10 400 5 taumlhendnumbrit104bull102 3 taumlhendnumbrit10 40000 7 taumlhendnumbrit001040 4 taumlhendnumbrit

Aga ldquokuus miljardit (6 000 000 000) aastat tagasirdquo

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Taumlhendnumbrid

4

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uuml sna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjuta misel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal Tulemused esitatakse uumlma rdatult

Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 j a 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati e t arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suuml stemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus

Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise ree gel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber ole ks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagade s nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulem use

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlmardamine

5

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekki nud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisegakaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellist el juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mi l naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumli du kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Ekse

6

A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arv on

Kus n on motildeotildetmiste arv

B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu votildeib fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumi raames votildetta alati lotildepmatult suu reks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

1minus= nυ

7

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus ui(y) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

Naumlide 16 Jaumltkame metallsilindri motildeotildetmise naumlidet M etallsilindri pikkust motildeotildedeti n = 100 korda

Arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu metallsilin dri pikkusekoondm aumlaumlramatusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

mm 0440)(A == nxuu

mm 0290B =u

mm 0530=Cu

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

9

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndashkattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

10

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

11

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

12

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

997

95

68

13

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

14

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti testVabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

15

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

16

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

17

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

18

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

19

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge U voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = UIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

20

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

21

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

22

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

23

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 99 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

24

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

25

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

26

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

27

Kodune test sulgub 20022011 kell 2355 Nuumluumldsest on tulemused olulised st punkte annavad ainult otildeiged vastused Vale vastuse puhul Moodle uumltleb seda ning laseb vastust korrigeerida kuid votildetab 20 selle kuumlsimuse punktidest maha Seega on votildeimalik i gale kuumlsimusele vastata maksimaalselt 5 korda Vastuste korrigeerimin e on votildeimalik kuumlll ainult arvutusuumllesannete juures

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Kursuse kaumligus tuleb taumlita ca 12 kodust testi Testi d sulguvad puumlhapaumleva otildehtul kell 2355 ning testi jaumlrgi teha ei saa sest me analuumluumlsime neid toumlid jaumlrgmises loengus

Iga test annab maksimaalselt 10 punkti (vahest votildeib olla ka preemiapunkte)

Uumlksikust testist positiivse hinde saamine votildei uumlldse testi taumlitmine ei ole kohustuslikud kuid motildejutavad aine koondhinnet

Kodustest testidest kogutud punktid liidetakse kotildeik kokku ning jagatakse laumlbi testide arvuga Saadav tulemus on ko ondhinde arvestusse minevate punktide arv Kui saadav tulemus on vaumliksem kui 5 siis taumlhendab see automaatselt ainest laumlbikukkum ist

MMM ndash koduste testide olulisus edasijotildeudmisel

3

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

4

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

5

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

6

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge V voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = VIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

7

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

9

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

10

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 95 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

11

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

12

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

13

Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikudmotildeotildetuumlhikute vahelised seosed

MMM

14

Motildeotildetmisteooria laumlhted

MMM

Mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning se ega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes e t saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti j uhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kir jeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muu tuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mi s kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

15

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreets eteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettem aumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 m uumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused gra mmides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildep matu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumlite ks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tul emust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on av aldatav valemiga

MMM ndash jaotusseadused

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk =

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

16

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16visatakse 4 silma p = 16visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmusvisatakse 1 votildei 4 silma p = 26visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

MMM ndash jaotusseadused

17

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Totildeenaumlosus erineb nullist ainult m aumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole m aumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

MMM ndash jaotusseadused

18

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatii vne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

MMM ndash jaotusseadused

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

sumle

=ki

ipkF )(

19

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotu se omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla nega tiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa s amuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vauml aumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlnd muse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [ x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

MMM ndash jaotusseadused

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele

20

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

Teistpidi on jaotusfunktsioon m aumlaumlratud integraal jaotustihedusest

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfun ktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli li htsustab nende valemite kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vauml ga keeruliste uumllesannete lahendamist

MMM ndash jaotusseadused

dx

xdFxf

)()( =

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF

21

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

MMM ndash jaotusseadused

1

dxxfxdFdp sdot== )()(

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

2222

Integraalid Tuletised

int +=

+

1

1

a

xdxx

aa

int +=minus Cxdxx ln1

int +minussdot= Cxxxdxx ln)ln(

int +minus= Cxdxx )cos()sin(

int += Cxdxx )sin()cos(

1minussdot= nn xnxdx

d

int += Cxdxx )exp()exp( )exp()exp( xxdx

d=

xx

dx

d 1)ln( =

)cos()sin( xxdx

d=

)sin()cos( xxdx

dminus=

int intint plusmn=plusmn dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

int intsdot=sdot dxxfcdxxfc )()(

23

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

MMM ndash jaotusseadused

24

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus-arv totildeenaumlosus funktsioon

2 11 1 136 1363 12 21 2 236 3364 13 22 31 3 336 6365 14 23 32 41 4 436 10366 15 24 33 42 51 5 536 15367 16 25 34 43 52 61 6 636 21368 26 35 44 53 62 5 536 26369 36 45 54 63 4 436 303610 46 55 64 3 336 333611 56 65 2 236 353612 66 1 136 1

MMM ndash jaotusseadused

25

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

26

Kodune test sulgub 27022011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine p ooldumist kirjeldav jaotusfunktsioon Palju kulub aega et esi algsest Csainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

MMM ndash jaotusseadused

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

4

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri t suumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi tem peratuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ru umi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on

ning tema jaotusfunktsioon on

MMM ndash jaotusseadused

10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxfπ

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

5

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus is eloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaate kohalt

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaal ne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamast i aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlieli kku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadu si Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendam isel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadus ed

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja di spersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel su urt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood mo mendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik fu nktsioon entroopia jmt

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud

6

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakterist ik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhi stused on

m mx m[x] ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

x

7

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) nimetatakse arvu

Valemid keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langevad kokku val emitega varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhe ga Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatilin e moment

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

sum=

=n

kkk pxm

1

)( kk xXPp ==

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

8

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

Suumlmmeetriatelg

9

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

10

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

Kas keskvaumlaumlrtus m(x) = 6 tundub realistlik

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

63

27

3

2

3

03

3

2

33

2

3

2

03

200

3

20

)()()()()(

333

0

33

0

2

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

=sdot=minus

sdot=

==

=+sdot+=sdot+sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

xdxxdxxxdxxdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

11

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Kontrollime selle jaotustiheduse vastavust normeerimis tingimusele

Seega polegi tegemist jaotustihedusega

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

132

9

3

2

2

03

3

2

23

2

3

2

03

200

3

20

)()()()(

223

0

23

0

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

ne=sdot=minus

sdot=

==

=++=++=

=++=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

dxxdxdxxdx

dxxfdxxfdxxfdxxf

12

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

13

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

22

1gt

minusminus

= rr

rm

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

14

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on se e konstant ise

m[c] = c

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlm boli ette

m[cX] = cm [X]

Totildeestame homogeensuse tingimuse pideva juhu jaoks

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

15

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtusei d kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrt useid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeet ilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

16

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis sed a naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotilde rgpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vauml hemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) l eitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on e esmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hu lgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad kes kvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemi kku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korre latsioonikordaja) maumlaumlramisele

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

17

Naumlide 26 Suvel m aumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel l ahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle r aumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva M itu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

18

Naumlide 27 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast j a 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55 000 EEK Keskmine palk selles firmas on

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalga ga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firm as on

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

1000010

5500050009=

+sdot=m

320005

4000390004=

+sdot=m

19

Juhusliku suuruse dispersiooniks D (ka σ2) nimetatakse suurust

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega o n dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse m aumlaumlra iseloomustajaks

Vastavalt definitsioonile on diskreetse juhusliku su uruse dispersiooni arvutusvalem

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealis atsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suu ruse korral on dispersiooni arvutusvalem

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

( )sum minus=i

ii pmxD 2

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2

20

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku s uuruse ruudust X2

Totildeestame Steineri valemi pideva juhu jaoks

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m(X) ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus=

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

21

Dispersiooni ruutjuurt

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks e hk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioo n on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga st andardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetem aumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumll vet

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

D=σ

22

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning dispersioon

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse

Dispersioon potildehivalemi potildehjal

Dispersioon Steineri valemist

Standardhaumllve

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

536

121)(

1

=sdot==sum=

n

kkk pxxm

( ) 9225176

1)( 2 asympsdot=minus=sum

iii pmxxD

[ ] 92225121715536

91)( 222 =minusasympminus=minus= mXmxD

711922)()( === xDxσ

23

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit Le iame esmalt x2

keskvaumlaumlrtuse

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

24

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Vastavalt Steineri valemile on uumlhtlase jaotuse dispe rsioon

ning uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

2)(

baxm

+=

3)(

222 baba

xm++

=

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+minus++

=minus=

25770

23

1

23)()(

abababxDx

minusasymp

minus=

sdot

minus==σ

25

Naumlide 211 Astmejaotuse standardhaumllve

vaadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

26

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardh aumllbe omadused

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse ehk konstandi dispersioon o n null

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses oleva d juhuslikudsuurused siis

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

[ ] [ ]XDccXD 2=

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

27

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus mb standardhaumllve σc totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σd totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui ke skvaumlaumlrtuse mediaan

Leiame praegu ainult mediaani uumllejaumlaumlnud lahendust v aadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

28

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

e mediaan

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

29

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjelda b valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvauml aumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Proovi kodus ise lahendada kontrolli konspektist lah endust

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

30

Uumlhtlane jaotus

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioon ist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadme tel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 226 5 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mi ngisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum e eldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud m aumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

31

Eelmise naumldala numbrite pakkumise ning suumlnnikuupaumleva viimase numbri kuumlsitluse tulemused

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vaba_numbersuumlnnipaumlevuumlhtlane

32

Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmme etriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotuson suumlmmeetriline siis ilmselt on tema keskvaumlaumlrtus

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

12

20=

+=m

33

Kolmnurkjaotus

Kolmnurkjaotuse ruudu keskvaumlaumlrtus on

ja kolmnurkjaotuse dispersioon ning standardhaumllve on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

12

20)( =

+=xm

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

34

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

35

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

36

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

37

Kodune test sulgub 06032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

4

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

5

Normaaljaotus

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

6

Normaaljaotus

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljao tuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse in tegreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

Siin erf( x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete l ahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2 )exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ

7

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

8

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

normdist(179 1800 07 1) = 0076563726 = 766

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

9

Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash arkussiinusjao tus

10)arcsin(2

)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

10

Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega ming ist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatak se hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetm ise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga j agatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on sel ge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotuse st Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alle s jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

MMM ndash jaotuste summa

11

Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

MMM ndash jaotuste summa

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

12

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustihed use leidmisekskonvolutsiooni integraali

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

13

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peav ad tema motildelemad komponendid olema nullist erinevad

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingim ust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ]10=τ [ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

14

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

0)(01 =rArrlt tyt

tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(102 τττττ

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(213 1

1

1

1

τττ

0)(24 =rArrgt tyt

15

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus o n maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

16

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildel tuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste) summa

jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on li idetavate arv n seda vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid su uruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreem i potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildepli k dispersioon)

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

sum=

=n

iiXX

1

17

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

Kotildeigepealt tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude gene raatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus ( 0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingi must et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid kolmnurkjaotusele eksponentjaotuse le ning parabooljaotusele

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

18

Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on

Kuna F(y) = F(x) siis y2 = x jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

ltlt

=mujal0

102)(

yyyf

)10(1)( 0

0

UxxdxxF xx

===sdot= int

20

2

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

)10(Uxy ==

19

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

1 Genereerime mingist jaotusest suure hulga arve Arv utame suuruse Zn ning teeme Zn esinemissagedusest graafiku tulemus peaks olema sarnane sellele jaotusele endale

2 Genereerime uuesti arvud mingist jaotusest ning arvuta me nendest arvudest n arvu jaoks Zn vaumlaumlrtused Tehes Znesinemissagedusest graafiku naumleme milline on sell e jaotuse narvu aritmeetilise keskmise jaotus

Maumlngime Mathcadi demoga ldquoKeskne piirteoreem_v3mcdrdquo

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro

20

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavat e vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest ja otustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotilde ige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Selle st hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste s ummat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kin nitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

21

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildete viga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti V otildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhusl ikust komponendist

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi o n votildeimalik piisavalt taumlpselt m aumlaumlrata (nt testri null votildeib olla paigast aumlra jms)

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mit te (nt ebataumlpnegradueerimine)

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata

Juhuslikud vead

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel a lati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest t eguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

23

Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xtX juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildette s

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

lim tNN xx =infinrarr

24

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel m aumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsema d kui viimased siis pi = 1N seega

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nime tatakse empiiriliseks dispersiooniks

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

25

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seo seid

kus d on uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildee list dispersiooni otildeigesti kuna suurus σN

2 alahindab dispersiooni Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispers iooni hindamisel suuruse X empiirilist dispersiooni

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ [ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=sum=

26

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

27

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

28

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

29

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

30

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

31

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

32

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

33

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

34

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

35

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

36

Kodune test sulgub 13032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (viimane korraline loeng on 23 mai)

30 mai

13 juuni

Jaumlreleksam

27 juuni

Taumliendav votildeimalus

20112012 kevadsemester

MMM ndash tagasiside

3

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

4

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

5

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

6

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

7

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

8

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

9

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

10

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

11

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistu lemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutu stes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

Kolmekordse standardhaumllbe kriteeriumit ekse leidmiseks o n motildetet kasutada juhul kui motildeotildetmiste arv on vaumlhemalt N = 11

MMM ndash Ekse

12

On totildeestatud et m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus on

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 10

Naumlide Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtus on m(l) = 18045 mm koondm aumlaumlramatus on u(l) = 12789 mm ning vabadusastmete arvon ν = 8

Seega koondm aumlaumlramatuse kolmanda tuumlvinumbri esitamine ei oma mingit motildetet kuna ka teine tuumlvinumber ei pruugi otildeige olla

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu

mm3204

)(

82

)())(( ==

sdotasymp

lululuu

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 10 100 1000 10000

vabadusastmete arv

u(s

)s

ν21)(

asymps

su

14

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on m aumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Uumllal toodud valemist saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt e sitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

2

2

2 )(

2

1

)(22

1)(minus

=asymprArrasymps

su

su

s

s

suν

ν

15

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardm aumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomee tri naumlidu standardm aumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase jaotu se standardm aumlaumlramatus on

Siit saame et temperatuuri m aumlaumlramatuse suhteline m aumlaumlramatus on

ning vabadusastmete arv on

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu

144020

02890)())((

==tu

tuu

( ) 2414402

1 2 == minusν

16

Kui m aumlaumlramatus esitatakse ainult uumlhe tuumlvinumbri taumlpsusega siis votildeib lahutusvotildeimest tingitud vabadusastmete arv olla uumlsna vaumlike

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

1

10

100

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maumlaumlramatuse tuumlvinumber

Vab

adus

astm

ete

arv

17

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

18

Naumlide Keha kineetiline energia on arvutatav valemis t

Eelnevalt on teada et keha mass on 1000 g koondm aumlaumlramatusega 50 g vabadusastmete arvuga 5 ning keha kiirus on 20 0 ms kiiruse koondm aumlaumlramatus on 10 ms ning vabadusastmete arv on 8

Leia keha kineetilise energia koondm aumlaumlramatus ning efektiivne vabadusastmete arv

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

2

2vmE

sdot=

19

Welch-Satterthwaitersquo valem efektiivsete vabadusastme te arvu leidmiseks kehtib kui kotildeik sisendsuurused on laumlhend atavad normaaljaotusega Probleem tekib aga siis kui tahta arvutada liitm aumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu kui A-t uumluumlpi maumlaumlramatus on laumlhendatav normaaljaotusele sest motildeotildetm iste arv on piisavalt suur kuid B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on saadud uumlhtlasest jaotusest

Ideaalse Gaussi puhul oleks 95 usaldusnivool katte teguriks 196 aga uumlhtlase jaotuse puhul 168 Nende uumlhendjaotuse puhul peaks kattetegur jaumlaumlma nende kahe juhu vahele seega ikka vaumliksem kui 196 Studenti testi kattetegur aga laumlheneb vabadusastmete arvu suurenedes normaaljaotusele seega on alati vaumlhemalt 196 Seega kasutades Welch-Satterthwaite valemit uumlhtlase jaotuse ga sisendite puhul hindame katteteguri vaumlaumlrtust veidi uumlle see ag a pole keelatud

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

20

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndash

kattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

21

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

22

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

23

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studentijaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

24

)()( yukyU sdot=

997

95

68

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

25

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

26

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

27

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete

MMM ndash Laiendm aumlaumlramatus

182

183

184

185

186

187

188

28

Tuletame motildeotildetem aumlaumlramatuse valemi kahe sisendsuuruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui e sinevad vaumliksed haumllbed

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 101 2 = 10201

valime x = 10 δx = 01 siis

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

29

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suuru st X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrt used m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetem aumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vasta va Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

30

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

YYY δ+=

( )21 xxYY =

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ= [ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

31

Uumlhendades need kaks valemit saame

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

32

Keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st on votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

seega saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

33

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemu st Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera m ass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepik kus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne n ulliga ningmaumlaumlramatuse valem lihtsustub

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

34

Millised paarid on omavahel sotildeltumatud millised sotilde ltuvad

puude pikkus ndash puude laumlbimotildeotildet

puude pikkus ndash paumlikese kotildergus kraadides

puude laumlbimotildeotildet ndash puude vanus

puude laumlbimotildeotildet ndash maapinna temperatuur

ruumi temperatuur ndash ruumi niiskus

inimese jalanumber ndash pikkus

merevee temperatuur Hurghadas ndash lume paksus Haanjas

MMM ndash Sotildeltumatud ning sotildeltuvad suurused

35

MMM naumldalate plaan

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetem aumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine kontrolltoumloumlks valmistumine

9 KONTROLLTOumlOuml

MMM ndash Jaumlrgmiste naumldalate plaan

36

Kodune test sulgub 20032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis on kattetegur

ndash Milleks Studenti test

ndash Mille jaumlrgi maumlaumlrata jaotuse tuumluumlpi

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

4

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

5

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse m aumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsust ada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

t

sv =

6

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmist e mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit v aumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles m aumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumll djuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetem aumlaumlramatuste hindamist

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

12

1

tt

dssN

t

sv

minus+sdot

==

7

Metoodika ldquoAnemomeetrite kalibreerimine TUuml Katsekojatuuletunneliga ja poumloumlrdnoole-etalonigardquo

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

8

Eelmine loeng tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetem aumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Uumlldistame saadud valemit

Sama valem on summa m aumlrgi all kirja pandav kujul

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltumatute sisendite korral

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

9

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekk ida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liig e on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et m aumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi m aumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitm aumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et t egemist on ebaolulise m aumlaumlramatuse komponendiga Mingi m aumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

10

Kuna liitm aumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide m aumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

kus u(xi) on suvaline m aumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus

Seega kui leida kotildeige suurem m aumlaumlramatuse komponent ning votilderrelda teisi m aumlaumlramatuse komponente sellega siis kui motildeni kompone ndi suurus on votilderreldes kotildeige suurema komponendiga 30 votildei vaumlhem siis on tegemist taumlhtsusetu komponendiga mille votildei b arvutuste lihtsustamise huvides jaumltta arvestamata

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

11

Naumlide 43 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi k otildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulem used

a = 802 mm u(a) = 003 mm ν(a) = 5b = 4253 mm u(b) = 004 mm ν(b) = 6c = 17211 mm u(c) = 005 mm ν(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

12

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on Nsuuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()(

13

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st xkasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsie nt vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei ne gatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa yvarieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

14

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()(

15

Jaumltkame eelmises loengus tuletatud motildeotildetem aumlaumlramatusega kahe sisendsuuruse korral kuid jaumltame aumlra eelduse et tege mist on sotildeltumatute suurustega

Uumlldistatult on maumlaumlramatuse valem N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisand uvad valemisse korrelatsiooni liikmed

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sumsumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu

16

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardm aumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

17

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Lahendus Leiame D standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

18

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sumsum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

19

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

20

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part=sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

21

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

E

A

ECAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

22

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

23

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

24

Motildeningaid naumlpunaumliteid praktikumi aruannete vormistam isest Mathcadis

bull Praktikumi aruande eesm aumlrk on tulemusi arusaadavalt esitadaeesmaumlrgiks peaks olema tulemuste laumlbipaistvus

bull Toumloumld tuleb kommenteerida ndash lugejal ei tohi kuskil te kkida kuumlsimust et ldquomiks siin nii tehtirdquo

bull Kotildeigi motildeotildetmiste mudeli sisendsuuruste motildeotildetem aumlaumlramatused tuleb protokollis esitada

bull Hea toon on esitada kotildeigi motildeotildetmiste mudeli komponen tide osa koondm aumlaumlramatuses

bull Aruanne peaks olema struktureeritud st peaks olema lih tsalt arusaadav kus uumlks arvutus lotildepeb ning teine algab

bull Enne aruande esitamist tuleks see ise laumlbi lugeda ni ng votildeimalusel lasta ka kellelgi teisel see laumlbi lugeda

MMM ndash Praktikumide toumloumlde vormistamine

25

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Kontrolltoumlouml annab 20 aine koondhindest

Eksamile paumlaumlsemiseks peab kontrolltoumloumls saama vaumlhemalt 50 punktidest

Tuleb ka kontrolltoumlouml jaumlreltoumlouml selle aja lepime kokkunaumldal paumlrast kontrolltoumloumld 11 aprillil

Positiivset sooritust uumlmber teha ei saa

Jaumlreltoumloumls saadud punktid korrutatakse laumlbi koefitsiend iga 08(ei kehti potildehjendatud vabandajate kohta)

26

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

27

Kodune test sulgub 27032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis asjad on vabadusastmed mille jaoks neid vaja o n

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

4

MMM ndash Naumlidiskontrolltoumlouml

Kuumlsimused-kommentaarid naumlidiskontrolltoumlouml kohta

5

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadid es Kuna infopaumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos o n jaumlrgmine

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsi enti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17

F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failisbdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

6

Kodune test sulgub 03042011 kell 2355

Seekord saab toumloumld esitada lotildepmatult palju kordi arves se laumlheb parim tulemus

MMM ndash Kodune toumlouml

7

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte pro tsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

Leia

bull koefitsient cbull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1)bull keskvaumlaumlrtusbull mediaanbull standardhaumllvebull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

MMM ndash Harjutusuumllesanded

ltltsdotsdot+

sdot

sdot=

mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

8

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga millekalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia

bull klotsi massi parim hinnangbull klotsi massi A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi B-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi liitm aumlaumlramatusbull klotsi massi vabadusastmete arvbull klotsi massi laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

9

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml pa ksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja ma sside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlg a kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse k eskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondm aumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondm aumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondm aumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

Leia

bull jaumlauml tiheduse parim hinnangbull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatabull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

MMM ndash Harjutusuumllesanded

4

2 HdV

sdotsdot=π

10

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetu d veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm ve ekihi paksuson 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metallj oonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest1 0 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardm aumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

11

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskm iseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna v aheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

αcos2R

IE =

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml aeg

Neljapaumlev 1404 kell 1615 ndash 1800 ruum 410

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 30 mai kell 1215 ndash 1400 ruum 416 30 mai kell 1415 ndash 1600 ruum 160

06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

Statistika

Keskmine hinne 139Standardhaumllve 40Laumlbikukkujaid 17

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

4

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

y = 01834x + 25747R2 = 02161

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80

Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

5

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

FuumluumlsikaKeemiaMaterjaliteadusKeskkonnatehnoloogiaHT

6

1 Kirjuta tiheduse ( ρ = m V) dimensioonvalem

2 Esita ajauumlhik viis naumldalat kilotundides

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

7

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida) ndash hea vastus

Maumlaumlratavad vead ndash nende esinemine on teada ning ka v ea ulatus on maumlaumlratav Naumliteks tekib mingi motildejuri arvestamata jaumltmisel arv utustes votildei aparatuuri skaala nihke totildettu (pole null korrektselt paigas) Kuna saab maumlaumlrata vea ulatuse on votildeimalik kasutada parandeid (naumliteks kasu tatakse enne motildeotildetmist algnaumlidu erinevust nullist hiljem motildeotildetmistulemuse p arandamiseks) (aparatuuri kalibreerimine)

Vead mille olemasolu on teada kuid suurus pole ki ndlalt maumlaumlratav Naumliteks motildeotildeteriistade ja aparatuuri vead Votildeib oumlelda ka et B-tuumluumlpi vead Motildeotildeteriistade vead loetakse uumlhtlase jaotuse alla kaumlivaks ei teat a kui kaugel motildeotildetmistulemusest on totildeeline vaumlaumlrtus kuid teatakse mis piirkonda see votildeiks jaumlaumlda Mida parema lahutusvotildeimega ning vaumliksema potildeh iveaga on aparatuur seda vaumliksem tuleb B-tuumluumlpi maumlaumlramatus Taumlpsem apara tuur vaumlhendab vigu

Vead mille olemasolu ja suurus on teadmata Sellist eks on naumliteks aparatuuri defektid votildei keskkonnaga seotud tegurid mida ei os ata arvestada Aparatuuri defektide avastamiseks kasutada erinevaid aparaate votilderrelda tulemusi alati hoolikalt laumlbi motildeelda et mis tegurid votildeivad tulemu si motildejutada

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

8

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 1

bull Vaumlltida saab siis kui kasutada koguaeg uusi motildeotildeteri istu (sest neilpole vigu teada)

bull Kolmandaks ndash vead mille olemasolus ei saa kindel ol la saab ainulteeldada et nad on olemas Tuleb motildeotildetmisi sooritada mitu korda etjotildeuda totildeelisele vaumlaumlrtusele keskvaumlaumlrtusega votildeimalikult laumlhedale

bull Teadmata vigu saab vaumlltida tehes rohkem motildeotildetmisi keskmistadesjaumlttes vaumllja suured kotildervalekalded keskmisest (eksed)

bull Motildened vead saab kaotada kui teha suurem arv motildeotildetmisi Kasutada toumloumltavaid motildeotildetevahendeid Motildeotildetmised sooritada selle ks sobilikus keskkonnas (motildettetu on motildeotildeta tuulekiirust tormi ajal kui motildeotildeteriist asub kinnises ruumis)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

9

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 2

bull Suumlstemaatilised vead on vead mis esinevad pidevalt ja nende olemasolust ollakse teadlikud

bull Vigade vaumlltimiseks tuleb kasutada votildeimalikult palju mehhaniseeritud ja digitaliseeritud motildeotildeteriistu

bull Suumlstemaatilised vead jaotatakse potildehiviga ja suhtel ine viga Potildehiviga on antud motildeotildeteriistaga motildeotildetmisel tehtud viga see o leneb motildeotildeteriista motildeotildete taumlpsusest Suhteline viga on motildeotildetj a enda poolt tehtud viga votildei viga mille potildehjustasid mingisuguse d vaumllised jotildeud naumliteks m uumlra segas helikiiruse motildeotildetmist Suhteline viga votildeib olla ka ldquonaumlpuvigardquo ndash vajutasi d kalkulaatorilvalet klahvi votildei unustasid uumlhikud teisendamata

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

10

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt 3 ning x gt 4 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [3 4] kirjeldab se da ruutfunktsioon f(x) = cx2 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [3 4] c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (35 7)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

11

5 Praktikumis motildeotildedeti laua pikkust 5 korda ning saadi jaumlrgmised vaumlaumlrtused l = 1544 1546 1543 1543 1544 mm Kasutatava motildeotildedulindi potildehiviga on 1 mm Leia

a laua pikkuse hinnangb laua pikkuse hinnangu A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusc laua pikkuse hinnangu B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus c laua pikkuse hinnangu liitm aumlaumlramatus

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

12

6 Kehamassi indeks BMI on defineeritud kui kehakaal M jagatud pikkuse l ruuduga 10 tudengi motildeotildetmistulemustest saadi jaumlrgmised keskvaumlaumlrtuse koondm aumlaumlramatuse ning vabadusastmete arvu tulemused m(M) = 72 kg u(M) = 8 kg υ(M) = 34 m(l) = 172 cm u(l) = 9 cm υ(l) = 70 Korrelatsioon tudengite kehakaalu ning pikkuse vahel oli r(M l) = 077 Leia

a Kehamassi indeksi BMI parim hinnangb BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatac BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

13

Arktika kliima statistiline analuumluuml sToumlouml seisneb ERA-40 jaumlrelanaluumluumlsi mudeli 44 aasta and mebaasi temperatuuri ning niiskuse vertikaalsete profiilide sta tistilisel analuumluumlsil Arktikas Toumlouml eesm aumlrk on otildeppida kasutama programmi GrADS ning tutvuda andmeanaluumluumlsi lihtsamate meetoditeg a

Toumlouml jaumltkuks magistrantuuris suuremate globaalsete ilmam udelite andmete valideerimisega Arktikas kasutades votilderdluseks 2007 aastal laumlbi Arktika triivinud laeval TARA tehtud motildeotildetmisi

Juhendaja Erko Jakobson

MMM ndash Vaba bakalaureuse teema

14

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml viimase versiooni esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-failina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

15

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

16

Koduseks toumloumlks on grupi moodustamine ning grupitoumlouml tee ma vaumlljamotildetlemine kuid punkte selle eest ei saa

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml tulemused keskmine tulemus oli uumlsna hea maksimumpunkte ei tulnud kuid laumlbikukkujaid oli ka ainult uumlks Esines ka motildeningaid tuumluumlpvigasid mis vajavad selgit amist

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt ndash1 ning x gt 1 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [ndash1 1] kirjeldab s eda funktsioon f(x) = cx4 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [1 2] (motildeeldud oli vahemik [ndash1 1])c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (0 15)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

4

6 6 Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgmise d keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Korrelatsioon 2 m ja 10 m tuule kiiruste vahel oli r(v2 v10) = 078

Parameeter ZZ on defineeritud kui 2 m ning 10 m tuule kiiruste korrutis

Leia a Parameetri ZZ parim hinnang (05p)b Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata (2p)c Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades (2p)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

5

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml VIIMASE VERSIOONI esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-f ailina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

6

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

7

Vaatame konspektis uumlle teema ldquoMaumlaumlramatuse allikadrdquo

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

8

59 Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod)

Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks on sobiv kasutada kaalutud keskmist

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10

)(1

2j

j yug =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

9

Naumlide Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgm ised keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Leia 2 m ja 10 m tuule kiiruse kaalutud keskmine nin g vastav standardm aumlaumlramatus

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

10

Naumlide Rahvusvahelise votilderdlusmotildeotildetmise kaumligus on 10 er inevat laborit kalibreerinud uumlhte ja sama motildeotildetevahendit samades motildeotilde tepunktides ning sarnastel keskkonnatingimustel Kalibreerimispara ndid koos laiendm aumlaumlramatustega usaldusnivool 95 on toodud allolevas tabelis Mis tuleks votildetta kalibreerimisparandi parimaks hinnanguks ning selle laiendm aumlaumlramatuseks milliste laborite motildeotildetetulemused lugeda korrektseteks ning millised ebakorrektseteks

Labor parand Laiendmaumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

11

Labor parand Laiendm aumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

Keskmine 0266Standardhaumllve 0049

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

12

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

aritm keskm

aritm keskm - 2stdev

aritmkeskm + 2stdev

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

Kaal keskm

Kaal keskm - U

Kaal keskm + U

14

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed Kaal keskm

Kaal keskm2 Kaal keskm2 - U2

Kaal keskm2 + U2

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

15

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderd lusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elek tronkaalugaMotildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitm aumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitm aumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

16

Naumlide 51

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

17

Kodune test sulgub 24042011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

OtildeIS tagasiside

ldquoStatistika puudub (Otildepetamise ja ainekursuste hindami se periood 0205201122052011 statistika naumlhtav alates 2 8062011)rdquo

Koduse testi analuumluumls

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedudbull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihidbull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takis tussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid)3 motildeotildetemuundurid4 abimotildeotildetevahendid5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonnabull motildeotildetediapasoonibull tundlikkusebull motildeotildetevea jne

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis m aumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samu ti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteli ikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga ∆0

2 Suhtpotildehiviga δ0

3 Taandpotildehiviga γ0

4 Konstandid e ja f

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

6

1 Absoluutpotildehiviga ∆0 Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel Absol uutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotilde detav suurus satub intervalli (ndash ∆0 ∆0) Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

7

2 Suhtpotildehiviga

Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vauml aumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritol u seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena K ЛACC

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100oo

naumlitx

∆=δ

8

3 Taandpotildehiviga

Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on ka ntud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100norm

oo x

∆=γ

9

4 Konstandid e ja f kujul ef taandpotildehivea arvutamiseks valemist

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildete riista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lu geda mis veaga on tegemist

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

10

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasuta takse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade pu hul kotildeige levinum

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi abso luutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha k aks uumlhikut

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

D2rdg 250 +=Taumlpsus

11

Loe ise konspektist lk 120 ndash 126

MMM ndash Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

12

MMM ndash Pendli naumlide

13

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

14

Kodune test sulgub 01052011 kell 2355

Tegemist on viimase koduse testiga

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Loengute ajakava

9 mai ndash Kuumllaline Metroserdist eksami uumllesehituse tut vustamine grupitoumloumlde esitamine

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

Taumlnase loengu uumllesehitus

1 Kodune test tagasiside

2 Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

3 Grupitoumloumld uumlldine tagasiside

4 Grupitoumloumlde esitamine

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildedulindi taumlpsus

ldquoThe precision of our rules is within 02mmm (conform to ECII)rdquo

Kui joonlaudadel votildei motildeotildedulintidel pole taumlpsusklass i antud siis parema puudumisel tulekski eeldada et need vastavad ECII standardile

Motildeotildetes 30 m pika motildeotildedulindiga 24 m pikkust koridori on motildeotildedulindi veaks 48 mm motildeotildetes sama lindiga 30 cm pikkust pab erilehte on motildeotildedulindi veaks 006 mm

Kes leiab ja postitab esimesena foorumisse ECI ja E CIII klassi motildeotildedulindi taumlpsushinnangu viite saab preemiapunkte

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Senini oleme laumlhtunud olukorrast kus olemasolevatest andmetest laumlhtuvalt tuleb hinnata motildeotildetem aumlaumlramatust

Poumloumlrduumllesanne oleks selline kus antakse ette soovit ud motildeotildetem aumlaumlramatus ning sellest laumlhtuvalt planeeritakse milli ste motildeotildetevahenditega motildeotildeta ning mitu kordusmotildeotildetmist soori tada

motildeotildetmiste_planeeriminemcd

MMM ndash Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

6

bull Grupp 18 Kitarri haumlaumllestamine

bull Grupp 14 CD andmerajad

bull Grupp 1 Kaumlekoti rotildehk otildelale

bull Grupp 5 Kopsumaht

bull Grupp 24 Lift

bull Grupp 11 Emajotildee temperatuur

bull Grupp 4 Aumlmbri mahutavus

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

AS Metrosert teadus- ja arendusdivisjoni juht Toomas Kuuml barsepp

MMM ndash kuumllaline

3

Loengute ajakava

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

4

MMM ndash maumlaumlramatuse vaumlhendamise nipp

5

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

6

Naumlidiseksam on Moodles uumlleval Viimane uumllesanne tule b uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

Koduste testide tagasiside

Maumlrkus 100 motildeotildetmise praktikumi toumlouml kohta

MMM ndash Naumlidiseksam

7

bull Grupp 19 Koridori pindala

bull Grupp 6 Patareide mahutavus

bull Grupp 9 OtildeIS uumlleslaadimise aeg

bull Grupp 15 Kuumluumlnlad

bull Grupp 10 Ajataju test

bull Grupp 22 NaHCO3 lahustumine

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

1 eksamist

2 grupitoumloumlde laumlbivaatamine

3 tuumlnni uumllesanne

4 tagasisides esitatud kuumlsimused

5 konsultatsioon

MMM ndash Loengu uumllesehitus

3

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

Erandkorras saab eksamit teha juba teisipaumleval 2405 kell 1015 ndash 1200 ruumis 207

Naumlidiseksami 2 varianti on Moodles uumlleval Viimane uumll esanne tuleb uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

MMM ndash Tagasiside

4

Toumloumlde esitamisel votildeiks faili nimi olla votildeimalikult informatiivne

bull millega on tegu motildeistetavalt nii toumlouml esitaja kui ka vastuvotildetja jaoks

bull jaumlrjekorra number et oleks uumlheselt aru saada milline on viimane versioon

MMM ndash Grupitoumloumld

5

bull Grupp 27 Porgandbull Grupp 28 Plaumlhviga pikkusbull Grupp 21 Korruse kotildergusbull Grupp 13 Soolalahuse tihedusbull Grupp 12 Raha pindtihedusbull Grupp 26 Inimkotilderva tundlikkusbull Grupp 07 Rosinadbull Grupp 08 Kaltsiumkloriidi moolide arvbull Grupp 23 Fuajee pikkusbull Grupp 30 Laua pindala prillidegabull Grupp 16 Pulss ja hinge kinnihoidminebull Grupp 02 Kaumlelaba pikkusbull Grupp 03 Riisitera motildeotildetminebull Grupp 20 Laibameetodbull Grupp 25 Piima massbull Grupp 17 Snikers

MMM ndash Grupitoumloumld

6

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

7

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kuidas arvutada vabadusastmeid WelchndashSatterthwaitei valemiga kui motildeni m aumlaumlramatuse komponent sisaldab korrelatsioonikordajat Oma toumloumls jaumltsin selle liikme lihtsalt arvestamata kuid pole kindel kas see on otildeigustatud (konspektis on mainitud ainult seda et sisendsuurused peavad olema sotildeltumatud jaumlrelikult oleks pidanud ka korreleeruvad sisendsuurused vabadusastmete arvutamisel aumlra jaumltma)

kuidas arvestada regressioonisirge totildeusu ja vabaliikm e maumlaumlramatuste arvutamisel motildeotildetevahendist tingitud B-tuuml uumlpi maumlaumlramatusi Totildeenaumlosusteooria ja statistika konspekti s on kirjas standardhaumllbe arvutamise valemid ning need standardhaumll bed on maumlaumlramatuse arvutamisel laumlbi korrutatud Studenti t-kordaj aga See nagu viitaks sellele et arvutatud standardhaumllve (A- tuumluumlpi maumlaumlramatus) on votildeetud votilderdseks liitm aumlaumlramatusega ning B-maumlaumlramatus on arvestamata jaumletud

MMM ndash Tagasiside

88

Estimation of intercept and slope (KampF p63)

We donrsquot prove that coefficients a and bare as follows

n

ss

ns

D

yxyxnb

D

xyxxya

xxnD

aver

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iii

=

minus=

sdotminussdot

=

sdotsdotminussdot

=

minussdot=

sum

sum sum sum

sum sum sum sum

sum sum

=

= = =

= = = =

= =

21

2

1 1 1

1 1 1 1

2

1

2

1

2

ε

y = -00004x + 09376Rsup2 = 05902

074

076

078

080

082

084

086

088

090

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Korrelatsioon r

Jaamade vaheline kaugus (km)

Sadestatava vee W korrelatsioon sotildeltuvalt jaamade vaheliselt kaugusest r

D

nss

D

xss

b

n

ii

a

sdot=

sdot=sum=1

2

9

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kui vaumlljundsuuruse arvutamisel on kasutatud mingi ka he korreleeruva sisendsuuruse alusel koostatud regressioon isirge totildeusu siis kas vaumlljundsuuruse vabadusastmete arvutamisel votilde ib totildeusu maumlaumlramatuse komponendi vabadusastmete arvuks votildetta ne nde sisendsuuruste motildeotildetmiste arvu miinus kaks (st kui vas tavate sisendsuuruste motildeotildetmiste arv on N siis regressioonisirg e totildeusu maumlaumlramatuse komponent jagatakse W -S valemis laumlbi (N-2)ga)

konspekti lotildepus on toodud naumlide kaalutud keskmiste arvutamisest Kas sama suuruse erinevate m aumlaumlramatuste kattumise votilderdlemisel arvestatakse vaid nende standardm aumlaumlramatusi

kas vaumlljundsuuruse m aumlaumlramatust (arvutatakse osatuletiste ja asjadega) nimetatakse B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuseks

MMM ndash Tagasiside

10

Kuumlsige kotildeige kohta mis on jaumlaumlnud segaseks eksamil kuumlsin juba mina

MMM ndash Konsultatsioon

3

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus 63

31 Suumlstemaatilised vead63

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang 64

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest 64

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest 65

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon 66

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus69

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus70

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus 71

333 Liitmaumlaumlramatus72

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel73

35 Ekse74

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv 75

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv75

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv 76

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus 77

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral 84

4 Motildeotildetmise mudel 88

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral 90

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium 91

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate sisendsuuruse korral 94

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon94

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotildeltuvusega sisendsuuruste korral95

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise kohta98

5 Maumlaumlramatuse allikad 107

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus107

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus 107

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus107

4

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused107

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus108

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus108

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus109

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus 109

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod) 109

4 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine115

41Motildeotildetevahendid115

42 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused 120

421 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus120

422 Motildeotildetevahendi taumlpsus121

423 Stabiilsus ja triiv121

424 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime122

425 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid 122

43 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid122

431 Kalibreerimine ja justeerimine122

432 Tuumluumlbikinnitus 125

433 Taatlus126

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused127

Lisa 2 Vihtide lubatud vead 128

5

Sissejuhatus

Aine sissejuhatus

Motildeotildetmine on olnud maailma infrastruktuuri uumlks oluline osa juba iidsetest aegadest alates Kotildeik teaduse tehnika kaubanduse riikliku kontrolli jne vallas tehtud jaumlreldused ja otsused tuginevad andmetele mis on saadud motildeotildetmiste potildehjal Otildeigete otsuste langetamiseks peavad motildeotildetetulemused olema piisavalt usaldusvaumlaumlrsed Eriti oluline on see valdkondades mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset Naumliteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse maumlaumlramise ja kontsentratsiooni motildeotildetmise ebataumlpsed tulemused votildeivad potildehjustada vaumlga totildesiseid tagajaumlrgi

Motildeotildetetulemuse usaldatavuse totildestmise huvides tuleks motildeotildetmine laumlbi viia kompetentses laboris kus kasutatakse kalibreeritud motildeotildetevahendeid ja aktsepteeritud motildeotildetemeetodeid Motildeotildetesuurus peab seejuures olema tellija ja taumlitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt taumlpselt maumlaumlratletud ning saadav motildeotildetetulemus koos maumlaumlramatusega tuleb esitada uumlldtunnustatud motildeotildetuumlhikutes

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum mille eesmaumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmist nimetatakse metroloogiaks

Kotildervalseisjale paistab motildeotildetmine votilderdlemisi lihtsa toiminguna eriti veel siis kui see teostatakse taumlpselt kindlaksmaumlaumlratud motildeotildeteprotseduuri kohaselt Probleemid tekivad aga tavaliselt siis kui on vaja hinnata saadud motildeotildetetulemuse usaldatavust

Kursuse eesmaumlrgiks on tutvustada motildeotildetmisteooria aluseid otildepetada uumlliotildepilast motildeotildetma fuumluumlsikalisi suurusi hindama motildeotildetmistulemuse usaldatavust samuti tutvustada katsetulemuste toumloumltlemise aluseid

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane

1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid

2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavaid jaotusseaduseid

3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamise paremaid praktikaid

4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmete motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste ning muude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust ning selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ning oskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mudelit ning seda rakendada

6

Hindamismeetodid

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam Kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) annavad 10 test (otildepivaumlljundid 1 2 4) annab 20 grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) 10 ning eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) 60 koondhindest Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse ossa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlstitust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele hindele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile (A = gt90 jne)

Potildehikirjandus

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements (Les Kirkup Bob Frenkel 2006 Cambridge University Press)

MMM esialgne loenguplaan 2011 kevad

1 Sissejuhatus aine tutvustus loengukursuse uumllesehitus ning tutvustus

2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusnaumlited

3 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed Motildeotildetmisteooria laumlhted Motildeotildetmise potildehivaumlide Juhuslike suuruste jaotusseadused Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Keskvaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtuse omadusi Keskmiste kasutamisest Dispersioon ja ruuthaumllve

4 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused Uumlhtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus Arkussiinusjaotus Juhuslike jaotuste summa Kahe jaotuse summa jaotus Keskne piirteoreem

5 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus Suumlstemaatilised vead Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Motildeotildetemaumlaumlramatus A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus Liitmaumlaumlramatus

6 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel Ekse Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupitoumloumlde planeerimine

7

11 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus Motildeotildetevahendi taumlpsus Stabiilsus ja triiv Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

12 Maumlaumlramatuse allikad Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus Motildeotildeteobjektust tulenev maumlaumlramatus

13 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid Kalibreerimine ja justeerimine Tuumluumlbikinnitus Taatlus

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus jne

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisaldavad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdamine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte arvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaator ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendimatriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehed on arvutamiseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnata

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetemaumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuajee pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grupitoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

Moodle

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loomine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumlde esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

Tagasiside

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengus uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt selleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimaluste piires arvesse votildetta

8

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seos ed

11 Motildeotildedetavad suurused

Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid uumlmbritseva maailma esemed ained ja naumlhtused ning nende omadused Nii votildeib selleks olla meid uumlmbritsev ruum mille omaduseks on tema ulatus Viimast votildeib iseloomustada mitmel viisil ning uumlheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus Samal ajal on reaalse fuumluumlsikalise ruumi ulatus uumlsna keeruline omadus mida ei saa motildene juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega Ruumi taumlielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) votildei kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk pindala maht jne Seega votildeib ruumi iseloomustada mitme suuruse jaumlrgi

Igasugused suumlndmused ja naumlhtused reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt Nende toimumise kestus on omadus mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg

Fuumluumlsikast on teada et keha seisab paigal votildei liigub uumlhtlaselt ja sirgjooneliselt kui puudub temale motildejuv vaumllisjotildeud Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass

Aine votildei keha paljud omadused sotildeltuvad suurel maumlaumlral tema kuumutusastmest mida votildeib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega Praktikas kasutatakse aga aine votildei keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termoduumlnaamiline temperatuur

Seega suurused iseloomustavad meid uumlmbritseva keskkonna esemeid aineid naumlhtusi ja protsesse ning nende omadusi

Uumllaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon

Suurus on naumlhtuse keha votildei aine oluline omadus mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt uumlheselt maumlaumlrata

Esitatud motildeiste suurus votildeib taumlhendada

1 suurust uumlldiselt st fuumluumlsikalist suurust nagu

pikkus mass temperatuur takistus ainehulga kontsentratsioon jne

2 votildei mingit konkreetset suurust nagu

teatud varda pikkus teatud keha mass teatud keha temperatuur antud tingimustel antud traadi elektriline takistus etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne

Olenevalt puumlstitatud uumllesandest valitakse suumlsteemi votildei objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see mis on kotildeige olulisem Nii naumliteks laumlhtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajaumlrjekorras selle objekti massist sest antud uumllesande puhul on just see suurus kotildeige maumlaumlravam

Suurusi mida saab uumlksteise suhtes jaumlrjestada kvantitatiivse kasvu alusel nimetatakse sama liiki suurusteks Samaliigilisteks suurusteks on naumliteks toumlouml soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus laius paksus ja uumlmbermotildeotildet

9

Galileo Galilei on oumlelnud Motildeotildeda mis on motildeotildedetav ja tee motildeotildedetavaks see mis ei ole veel motildeotildedetav Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee motildeotildetmise ennetavast taumlhtsusest kaasaegsetes uuringutes

Motildeotildetmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse motildeotildetesuuruseks Votildeib kasutada ka motildeistet motildeotildedetav suurus Naumliteks motildeotildetesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rotildehk 20 degC juures Ristkuumlliku pindala motildeotildetmisel on motildeotildetesuuruseks pindala mille motildeotildetetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius motildeotildetmise potildehjal

Esimene samm motildeotildetmise sooritamisel on motildeotildetesuuruse taumlpne kindlaksmaumlaumlramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel Praktikas sotildeltub motildeotildetesuuruse defineerimise viis ja taumliuslikkus vajalikust motildeotildetetaumlpsusest Motildeotildetesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse motildeotildetmisega seotud praktilise eesmaumlrgi jaoks niivotilderd uumlksikasjalikult et motildeotildetesuurusel oleks uumlhene vaumlaumlrtus

Naumlide 11 Kalapeol lubatakse et kotildeige suurema kala puumluumldja auhinnaks on selle kala suuruse jagu kulda Siin pole aga maumlrgitud kas motildeeldakse selle kala massi votildei ruumala Arvestades et erinevus on ligi 20 kordne tuleks kasutada korrektsemat definitsiooni

Motildeotildetesuuruse maumlaumlratlus votildeib vajaduse korral sisaldada ka notildeudeid teiste motildeotildetesuuruste kohta Naumliteks pikkusotsmotildeotildedu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka motildeotildeteobjekti ja keskkonna temperatuuri aga ka rotildehu niiskuse jms vaumlaumlrtuste vahemiku maumlaumlramine mille puhul see pikkus kehtib

Motildeotildetesuuruse puudulik defineerimine annab alati motildeotildetetulemuse maumlaumlramatusse lisakomponendi mis votildeib notildeutava motildeotildetetaumlpsusega votilderreldes sageli kuumlllaltki oluliseks osutuda

12 Potildehi- ja tuletatud suurused

Loodusnaumlhtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi nagu pikkus aeg kiirus kiirendus jotildeud jne Fuumluumlsikavalemid vaumlljendavad seoseid nende suuruste vahel Selgub et enamasti on votildeimalik mingit suurust vaumlljendada teiste suuruste kaudu mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost Neid suurusi nimetataksegi potildehisuurusteks (ka baassuurusteks) Seega potildehisuurus on uumlks suurustest mida mingis suuruste suumlsteemis kaumlsitletakse leppeliselt uumlksteisest sotildeltumatuna

Potildehisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne kuid piiratud praktiliste kaalutlustega Potildehisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi Tuletatud suurus on seega niisugune suurus mis on mingis suuruste suumlsteemis defineeritud suumlsteemi potildehisuuruste funktsioonina Naumliteks suuruste suumlsteemis mille potildehisuurusteks on pikkus mass ja aeg on keha liikumise kiirus tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena st funktsiooniga

v = lt (11)

kus v ndash keha liikumise kiirus l ndash teepikkus ja t ndash keha poolt teepikkuse laumlbimiseks kulunud ajavahemik

Kehale motildejuv jotildeud on samuti tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena st funktsiooniga

F = ma (12)

10

kus F ndash jotildeud m ndash keha mass ja a ndash jotildeu F motildejust tingitud keha kiirendus

Mistahes tuletatud suuruse mingis suumlsteemis saame seega avaldada potildehisuuruste kaudu jaumlrgmise uumlldistatud valemi abil

prod=

=n

ii

iAQ1

αξ (13)

kus Q ndash tuletatud suurus ξ [hii] ndashtegur Ai ndash potildehisuurus ja αi ndash positiivne votildei negatiivne taumlis- votildei murdarv

Potildehisuuruse Ai all votildeivad esitatud valemis (13) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused Naumliteks sotildeltuvuses F = ma (vt valem (12)) on mass potildehisuurus kiirendus aga tuletatud suurus

Praktikas kasutatakse valemi (13) asemel ka suurustele kohaselt valitud uumlhikute vaumlaumlrtustevahelisi seoseid Tegurid nendes valemites sotildeltuvad siis juba valitud uumlhikutest

Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte aineid naumlhtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste suumlsteemidesse Seega on suuruste suumlsteem kogum omavaheliste sotildeltuvustega maumlaumlratletud suurusi Suuruste suumlsteemi taumlhistamiseks kasutatakse uumlldiselt potildehisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitaumlhti

Mehaanikas kuuluvad potildehisuuruste hulka pikkus mass ja aeg ning need maumlrgitakse uumlldistatult taumlhtedega L (ladk longitudo ndash pikkus) M (ladk massa ndash mass) ja T (ladk tempus ndash aeg) Selle jaumlrgi tuleb suuruste suumlsteemi taumlhiseks LMT

Suumlsteem taumlhisega LMT1θNJ on aga kogum potildehi- ja tuletatud suurustest milles potildehisuurused on pikkus ndash L mass ndash M aeg ndash T elektrivoolu tugevus ndash I termoduumlnaamiline temperatuur ndash θ aine hulk ndash N ja valgustugevus ndash J

Suurusi taumlhistatakse ladina votildei kreeka taumlhestiku taumlhtedega Taumlhis on alati uumlhetaumlheline Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega mis votildeivad ka viidata objektidele mis pole suurused Suuruse taumlhised kirjutatakse alati kaldkirjas

13 Suuruse dimensioon

Taumlhistades valitud suuruste suumlsteemis potildehisuurusi ladina taumlhestiku jaumlrjestikuste suurte taumlhtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks uumlldistatud valemit (13) milles tegur ξ =1 on votildeetud votilderdseks uumlhega saame maumlaumlrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga

dimQ = Aα Bβ Cγ (14)

kus A B C ndash potildehisuuruste A B C dimensioonid ja αβ γ ndash dimensioonide astmenaumlitajad mis on positiivsed votildei negatiivsed ratsionaalarvud (taumlis- votildei murdarvud)

Naumliteks LMT suumlsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni maumlaumlrata jaumlrgmise valemiga

dimQ = Lα Mβ Tγ (15)

11

kus L M T - taumlhised mis taumlhistavad potildehisuuruste pikkus mass ja aeg dimensioone ja α β γ ndash

dimensioonide astmenaumlitajad

Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt taumlhistatakse suuruse Q dimensioon taumlhisega dim Q Seega suuruse dimensioon on avaldis mis vaumlljendab suumlsteemi kuuluvat suurust selle suumlsteemi potildehisuurusi taumlhistavate tegurite astmete korrutisena

Kui tuletatud suurus valemis (14) ei sotildeltu motildenest kotildenealloleva suuruste suumlsteemi potildehisuurusest siis oumleldakse et selle tuletatud suuruse dimensioon sotildeltumatu potildehisuuruse suhtes on uumlks Votildeib ka juhtuda et tuletatud suurus ei sotildeltu uumlhestki valitud suuruste suumlsteemi potildehisuurusest Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste suumlsteemis suuruseks dimensiooniga uumlks Kasutatakse ka motildeistet dimensioonita suurus mis viitab dimensiooni astmenaumlitajale null

Suuruse dimensioon on palju uumlldisem motildeiste kui naumlhtub seda suurust iseloomustavast uumlldistatud valemist (14) Nii votildeivad uumlhte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused milledel on erinev omaduslik kuumllg ja ka erinev suurustevaheline seos Naumliteks jotildeu F poolt tehtud toumlouml mis on maumlaumlratud valemiga

W = F l (16)

kus W ndash toumlouml F ndash jotildeud ja l ndash teepikkus

ja liikuva keha kineetiline energia mis maumlaumlratud valemiga

E = mv2 2 (17)

kus E ndash kineetiline energia m ndash keha mass ja v ndash keha kiirus omavad uumlhesugust dimensiooni st dimW = dimE = L2MT-2

Dimensioonidega votildeib teha matemaatilisi tehteid korrutamine jagamine astendamine ja juurimine Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma motildetet Potildehisuuruse astmenaumlitaja enda suhtes on votilderdne uumlhega

Potildehi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud suumlsteemis moodustab dimensioonisuumlsteemi mille baasiks on potildehisuuruste dimensioonid Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste suumlsteemis LMTIθNJ uumlldiselt maumlaumlratav seosest

dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (18)

Naumliteks jotildeu F dimensioon suumlsteemis LMTIθNJ on dimF = LMT-2 Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste suumlsteemist Naumliteks ε0 ndash vaakumi dielektriline laumlbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste suumlsteemis on dimensiooniga uumlks aga suumlsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon dimε0 = L-3M-1T4I2

Eelpoolkirjeldatu potildehjal tekib ka kuumlsimus kas tuletatud suuruse dimensiooni votildeib alati kaumlsitleda kui selle suuruse valemi (14) kohast potildehisuurustest sotildeltuvuse vaumlljendit olenemata sellest missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks

Kui iga tuletatud suuruse maumlaumlratlus seostaks teda vahetult potildehisuurustega siis votildeib puumlstitatud kuumlsimusele vastata jaatavalt Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning potildehi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see vaumlga pikk) vahepealseid suuruste maumlaumlratlusi Naumliteks on rotildehk maumlaumlratud jotildeuga mis motildejub uumlhele pinnauumlhikule Jotildeud on omakorda vaumlljendatud massi ja kiirenduse korrutisena (vt valem (12)) pindala aga kahe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena

12

kiirendus on kiiruse tuletis aja jaumlrgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja jaumlrgi Seda ahelat votildeib antud juhul vaumlljendada jaumlrgmise dimensioonide reaga

dimp = dimF dimA-1 = M dima L-2 = M dimv T-1 L-2 =

= MLT -1 T-1 L-2= L-1MT-2 (19)

Seega rotildehu dimensioonivalem omandas kuju mille jaumlrgi on raske naumlha seost potildehisuurustega Vaevalt otildennestub leida ratsionaalset seletust sellele et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut Seega kui defineeritakse vahepealseid suurusi votildeib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenaumlitajate liitmise ja lahutamise teel valem (14) lotildepuks votildetta hoopis kummalise kuju

Toome naumliteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni dim C = L-2 M-1 T4 I2

Dimensioonivalemite piiratud sisust kotildeneleb ka see asjaolu et mitmel juhul on erisugustel suurustel uumlhesugune dimensioon Seda ei tohi mingil juhul totildelgendada niimoodi et neil on uumlhesugune fuumluumlsikaline olemus Eriti kaumlib see nende suuruste kohta mis ei oma dimensiooni Naumliteks votildeiks tuua niisugused suurused nagu tasanurk ruuminurk hotildeotilderdetegur suhteline pikenemine Machi arv murdumisnaumlitaja moolosa (ainehulga osa) ja massiosa Motildenel erijuhul votildeimaldab dimensioonivalemite uumlhtelangemine oletada seost eri suuruste vahel votildei nende allumist uumlldistele seaduspaumlrasustele

Nii naumliteks rotildehu ja energia ruumtiheduse dimensioonide uumlhtelangemine peegeldub faktis et ideaalgaasi rotildehk on votilderdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega Niisuguseid naumliteid on siiski vaumlhe ja seega votildeib vaumlita et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega eriti potildehisuurustega

Dimensioonivalemi muutumatus antud suumlsteemi piires notildeuab et iga erinevaid suurusi seostava votilderduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid uumlhesugused Seepaumlrast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul kui see vaumlljendab meid huvitavate suuruste sotildeltuvust teistest suurustest kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide uumlhtelangemist Kui dimensioonid ei uumlhti on tuletamisel paumlris kindlasti tehtud viga ning votilderdus ei kehti Kuid motildeistagi ei taga dimensioonide uumlhtivus veel saadud votilderrandi otildeigsust

Kokkuvotildettes votildeib oumlelda et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost potildehisuurustega ja sotildeltub nende valikust Nagu maumlrkis Max Planck kuumlsimus meelevaldse suuruse totildeelisest dimensioonist ei oma rohkem motildetet kui kuumlsimus mistahes eseme totildeelisest nimetusest Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analuumluumls humanitaarteadustes kunstis spordis kvaliteedihinnangutes jms kus potildehisuuruste nomenklatuur ei ole maumlaumlratletud veel efektiivset kasutamist

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid

Motildeotildetmiste juures on vaumlga oluline motildeotildetuumlhiku valik Potildehimotildetteliselt votildeiks uumlhikuks valida uumlkskotildeik millise sama liiki fuumluumlsikalise suuruse vaumlaumlrtuse ja seejaumlrel motildeotildeta mitu korda on motildeotildedetav objekt meie uumlhikust suurem votildei vaumliksem Vanasti seda ka tehti

Esimesed motildeotildetuumlhikud tekkisid koos inimuumlhiskonna arenguga

bull pikkusuumlhikud kasutati erinevate kehaosade pikkusi ndash vaks kuumluumlnar jalg

13

bull massiuumlhikud igapaumlevases elus kasutatavad esemed jne Uumlhtsed riiklikud motildeotildetuumlhikud votildeeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babuumlloonias Naumliteks Egiptuses kasutati pikkusuumlhikuna vaarao kuumluumlnart (kaugus kuumluumlnarnukist vaumlljasirutatud sotildermeotsteni) Egiptlased oskasid ka motildeotildetuumlhikuid tuletada Naumliteks pindala motildeotildetsid nad ruutuumlhikutes Kordsed uumlhikud votildeeti kasutusele Babuumlloonias Ajauumlhikud tund minut ja sekund paumlrinevad samuti vanast Babuumllooniast Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid uumlhikuid eriti pikkuse pindala massi ja ruumala motildeotildetmiseks Selline uumlhikute mitmekesisus on mingil maumlaumlral saumlilinud taumlnapaumlevani

Naumlide 12 Te kotildeik teate massiuumlhikut tonn Kui mitu kilogrammi vastab uumlhele tonnile Kas 9072 kg 1000 kg votildei 1016 kg Vastus sotildeltub teie asukohariigist

bull nn meetersuumlsteemi tonn = 1000 kg bull Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg bull Ameerikas (luumlhike) tonn = 2000 naela = 9072 kg

Naumlide 13 Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuuumlhikut gallon aga

bull Inglismaal 1 gallon = 454609 liitrit bull Ameerikas 1 gallon = 378543 liitrit

Naumlide 14 Laialdaselt kasutatakse mahuuumlhikut barrel (totildelkes vaat tuumlnn) aga tuleb eristada nn kuiva barrelit ja naftabarrelit

bull kuiv barrel = 115628 liitrit bull naftabarrel = 158988 liitrit

Suure hulga erisuguste uumlhikute puhul on probleemiks nendest uumlhikutest arusaamine Kui igal inimesel oleksid omad uumlhikud millega ta motildeotildeteobjekte votilderdleb siis oleks teistel inimestel vaumlga raske neid motildeotildetetulemusi kasutada Sellepaumlrast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped uumlhikuteks valitavate suuruste osas Taumlnapaumleva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema uumllemaailmsed st tuleks valida sellised uumlhikud mis kehtiksid kotildeikides maades Taumlnapaumleval enim levinud motildeotildetuumlhikute suumlsteem on SI (prantsuse keeles Systegraveme International drsquoUniteacutes totildelkes ldquorahvusvaheline uumlhikute suumlsteemrdquo) See votildeeti kasutusele 1960 aastal XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Motildeotildetude Peakonverentsil

Demo Vanade ja vaumlhemlevinud motildeotildetuumlhikute loend - Vikipeedia vaba entsuumlklopeedia

14

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI

SI suumlsteemi potildehiuumlhikuteks on

L Pikkusuumlhik m M massiuumlhik kg T ajauumlhik s I voolutugevuse uumlhik A Θ temperatuuri uumlhik K N ainehulga uumlhik mol J valgustugevuse uumlhik cd

Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud on defineeritud tabelis 1

Tabel 1 Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud

Dimensiooni taumlhis

SI uumlhik Definitsioon

L m Pikkusuumlhik meeter on teepikkus mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 s jooksul

M kg Massiuumlhik kilogramm votilderdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga

T s Ajauumlhik sekund on tseesium-133 aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele uumlleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus

I A Voolutugevuse uumlhik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lotildepmata pikas paralleelses ja taumlhtsusetult vaumlikse uumlmara ristlotildeikega sirgjuhtmes tekitab nende juhtmete vahel jotildeu 2middot10-7 N juhtme jooksva meetri kohta

Θ K Temperatuuri uumlhik kelvin on 127316 osa vee kolmikpunkti termoduumlnaamilisest temperatuurist

N mol Mool on suumlsteemi ainehulk mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0012 kilogrammis suumlsiniku isotoobis 12C Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tuumluumlp olema taumlpsustatud Need votildeivad olla aatomid molekulid ioonid elektronid mingid teised osakesed votildei kindla koosseisuga grupid neist osakestest

J cd Kandela on valgustugevus mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540middot1012

Hz kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1683 Wsr

Enne SI suumlsteemi loomist oli fuumluumlsikute hulgas enamlevinuks CGS suumlsteem mille potildehiuumlhikuteks on

bull L pikkusuumlhik cm bull M massiuumlhik g bull T ajauumlhik s

15

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri Θ uumlhik K (kelvin) ainehulga N uumlhik mol (mool) ja valgusvoo Φ uumlhik lm (luumen)

Lisaks potildehiuumlhikutele kasutatakse veel tuletatud uumlhikuid Fuumluumlsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ndash fuumluumlsika valemeid Need seosed ja seaduspaumlrasused on aluseks ka potildehindash ja tuletatud uumlhikute vaheliste seoste maumlaumlramisel

Naumlide 15 Juhti laumlbinud laeng Q on arvutatav juhti laumlbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t SI suumlsteemis motildeotildedetakse voolu amprites ja aega sekundites Laengu uumlhikuks saame nuumluumld [Q]SI = A s = C

Taumlispikkade tuletatud uumlhikute kasutamine igapaumlevaelus on suhteliselt kohmakas seetotildettu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud uumlhikutele antud oma erinimetus ja -taumlhis Eelmises naumlites toodud SI suumlsteemi laengu uumlhikut kutsutakse kuloniks Erinimetusega tuletatud uumlhikute taumlhised on toodud tabelis 2

Tabel 2 Motildened erinimetusega tuletatud motildeotildetuumlhikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Taumlhis Motildeotildetuumlhik Uumlhiku nimetus SI dimensioonvalem

sagedus f Hz herts dim f = T-1

jotildeud kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rotildehk meh pinge p Pa paskal dim p = L-1M T-2

toumlouml soojus energia A J džaul dim A = L2M T-2

votildeimsus P W vatt dim P = L2M T-3

valgusvoog Φ lm luumen dim Φ = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx lux dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk φ rad radiaan dim φ = 1

ruuminurk Ω sr steradiaan dim Ω = 1

elektriline takistus R Ω oom dim R = 1 L2MT-3I-2

Naumlide 16 Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub jaumlrgmiselt

dimU = L2 M T-3 I-1

SI suumlsteemi potildehiuumlhikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge uumlhikuks SI suumlsteemis

[U]SI = m2 kg s-3 A-1

16

Seda uumlhikut nimetatakse voldiks

Naumlide 17 Eespool naumlgime et laeng Q avaldub valemiga Q = I t SI suumlsteemi uumlhikuks saime [Q]SI = A s = C Dimensioonvalemiks votildeime seega kirjutada dimQ = T I

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik

Motildeotildedetavate suuruste vaumlaumlrtus votildeib olla kord suur ja kord vaumlike Seetotildettu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega uumlhikuid sama liiki fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmiseks

Naumlide 18 Pikkuse motildeotildetmiseks kasutatakse tollrsquoi jalgrsquoa jardrsquoi miilirsquoi mere miilrsquoi

bull toll 1rsquorsquo = 00254 m bull 1 jalg = 03048 m = 12rsquorsquo bull 1 jard = 09144 m = 3 jalga = 36rsquorsquo bull miil = 1 609344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360rsquorsquo bull meremiil 1 nam = 1 850 m = 2 025 jardi = 6 080 jalga = 72 900rsquorsquo

Oleks hea kui uumlhtedelt uumlhikutelt teistele uumlleminek oleks votildeimalikult lihtne Niisugusteks motildeotildetuumlhikuteks said meetermotildeotildedustiku uumlhikud mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791 aasta kevadel ldquokotildeikideks aegadeks kotildeigile inimestele kotildeigi riikide jaoksrdquo Meetermotildeotildedustiku ehk kuumlmnendsuumlsteemi oluliseks omaduseks on see et uumlhe ja sama suuruse erinevad motildeotildetuumlhikud suhtuvad uumlksteisesse nagu kuumlmne taumlisarvulised astmed Kasutatavate kuumlmnendliidete selgitus on toodud tabelis 4 Hoolimata meetermotildeotildedustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades taumlnaseni kohalikku suumlsteemi (Inglismaa USA)

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost

meeter ndash pr k megravetre kr k metron ndash motildeotildet

Prantsusmaal on meetermotildeotildedustik kohustuslik aastast 1840 Aastal 1875 kirjutasid 17 riiki alla meetrikonventsioonile Selle alusel otsustati valmistada meetri ja kilogrammi etalonid ja kutsuda iga kuue aasta jaumlrel kokku kaalude ja motildeotildetude peakonverents otsuste vastuvotildetmiseks ning edaspidise toumlouml arendamiseks metroloogia alal Esimene konverents toimus aastal 1889

Briti impeeriumis ja USA-s seadustati meetermotildeotildedustik 1897 NSVL-s 1925 Eestis 1929

Meetermotildeotildedustiku potildehiuumlhikute ajaloost Prantsusmaa rahvuskogu dekreet kuulutas 1791 seaduslikuks pikkusuumlhikuks uumlhe kuumlmnemiljondiku Pariisi veerandmeridiaani pikkusest Prantsuse TA erikomisjon korraldas 1792ndash1799 meridiaanikaare pikkuse motildeotildetmise Dunkerquersquoist Barcelonani 1799 valmistati plaatinast lihtne latikujuline esimene meetri etalon nn arhiivimeeter seda saumlilitatakse Prantsuse Riigiarhiivis Hiljem selgus et puhtast plaatinast valmistatud etalon on vaumlhestabiilne [vaumlhese jaumlikusega suure soojuspaisumisega] ning et selle pikkus on 009 mm (hilisemate arvutuste jaumlrgi 02 mm) votilderra vaumliksem definitsiooniga maumlaumlratud pikkusest Seepaumlrast korrigeeriti meetrit ja valmistati aastatel 1875ndash1879 plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist 31 uut X-kujulise ristlotildeikega etaloni pikkusega 102 cm Iga etalon paiknes rullikutel ja meeter oli taumlhistatud kahe kriipsuga Uutest etalonidest taumlpseima (selle pikkus uumlhtis kotildeige taumlpsemalt arhiivimeetri pikkusega) kinnitas kaalude ja motildeotildetude I peakonverents 1889 a meetri

17

rahvusvaheliseks prototuumluumlbiks Uumllejaumlaumlnud etalonid jaotati loosiga rahvusvahelise meetrikonventsiooniga uumlhinenud riikide vahel

Samas on selge et motildeotildetetehnika arenedes votildeib metallist (votildei mistahes muust materjalist) etaloni ja selle prototuumluumlpide suhtes selguda uumlha enam puudusi Ei ole ka kindel etaloni fuumluumlsiline saumlilimine

Selgus veel et etaloni looduslik alus Pariisi meridiaan ei ole konstantne Planeet Maa kui geoiidi kuju muutub Kuu ja Paumlikese kuumllgetotildembe motildejul Etalonide taasvalmistamise seisukohast on otstarbekas defineerida pikkusuumlhik mingi sobivama loodusliku konstandi kui Pariisi meridiaan kaudu Praegusel tehnoloogilisel tasemel peetakse sobivaimateks konstantideks valguse lainepikkusi ja valguse leviku kiirust vaakumis

1960 a kinnitas kaalude ja motildeotildetude XI peakonverents meetri uue definitsiooni meeter votilderdub kruumlptooni isotoobi tasemete 2p10 ja 5d5 vahelisel siirdel vaakuumis kiirguva valguse 1 650 76373 lainepikkusega

Definitsiooni uuendas kaalude ja motildeotildetude XVII peakonverents 1983 a meeter votilderdub vahemaaga mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 sekundiga (so valguse kiirusega)

Kaaluuumlhik defineeriti esmalt grammina (massi nimetati tol ajal kaaluks kaalu asemel tarvitati motildeistet raskusjotildeud) Grammi esmaseks etaloniks oli 1 cm3 puhast vett jaumlauml sulamistemperatuuril Mitmel potildehjusel [peamiselt miniatuursusest tingitud suurest suhtelisest ebataumlpsusest] veenduti uumlsna kiiresti grammi ebasobivuses

Jaumlrgnevalt defineeriti kilogramm kaaluuumlhikuna kui 1 liitri puhta vee kaal 4 ordmC juures Esimene kilogrammi etalon (arhiivikilogramm) valmistati 1799 a plaatinast seda saumlilitatakse (koos arhiivimeetriga) Prantsuse Riigiarhiivis

Seoses meetri korrigeerimisega oleks olnud vaja korrigeerida ka liitrit esialgu seda ei tehtud mistotildettu liiter ning dm3 ei langenud motildeni aeg kokku Kilogramm defineeriti jaumltkuvalt liitri kaudu Seejaumlrel korrigeeriti ka liitrit mistotildettu praegu langevad liiter ja dm3 jaumllle kokku

Aastal 1899 valmistati plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist silindrikujulised (laumlbimotildeotildet ja kotildergus ca 39 mm) arhiivikilogrammi koopiad millest taumlpseimat saumlilitatakse rahvusvahelise etalonina (prototuumluumlbina) Pariisi laumlhedal Sevresrsquos Rahvusvahelises Kaalude ja Motildeotildetude Buumlroos

Hilisematel motildeotildetmistel selgus et 1 dm3 puhta vee kaal temperatuuril 4 ordmC on 0999972 kg Seega kerkis kuumlsimus kas muuta kilogrammi definitsiooni ja valmistada uus etalon votildei lugeda kilogrammiks juba valminud etaloni massi Uus definitsioon taumlhendanuks paljude kasutuses olevate konstantide korrigeerimist ja sellega seonduvaid segadusi Lihtsam oli jaumlaumlda olemasoleva kilogrammi juurde Uut looduslikku konstanti analoogselt pikkusuumlhikuga pole massi jaoks leitud Praegusel hetkel on massi 1 kg etaloniks rahvusvahelise kilogrammi etaloni mass (ilma loodusliku vasteta)

Ajauumlhiku sekund defineerimisel laumlhtuti juba Babuumlloonias vaumlljakujunenud oumloumlpaumlevasest kellakasutusest mille jaumlrgi oumloumlpaumlev jaguneb tundideks minutiteks ja sekunditeks

Aastani 1956 defineeriti sekund kui 186400 osa keskmisest paumlikeseoumloumlpaumlevast (86400 = 246060)

NB Peale paumlikeseoumloumlpaumleva on veel taumlheoumloumlpaumlev mis on pisut luumlhem kuna taumlhtedelt vaadatuna teeb Maa aastas uumlhe poumloumlrde rohkem

sekund ndash lad k secundus ndash teine

18

Astronoomiatehnika arenedes selgus et troopiline aasta luumlheneb sajandis ca 05 s [totildeusu-motildeotildena totildettu ookean ldquoloksubrdquo mis analoogselt hotildeotilderdumisega aeglustab Maa liikumist kiiruse vaumlhenemise totildettu vaumlheneb tsentrifugaaljotildeud ja vaumlheneb PaumlikendashMaa kaugus vaumliksem orbiit laumlbitakse kiiremini] Kuna aasta osutus olevat aja t funktsiooniks siis leiti lahendus aasta defineerimises uumlhel konkreetsel ajahetkel Selleks hetkeks valiti 31 detsembri 1899 keskpaumlev Sekund defineeriti kui 131 556 9259747 osa troopilisest aastast 31121899 kell 1200 See definitsioon kehtis 1956ndash1967 (Troopiliseks aastaks nimetatakse ajavahemikku Paumlikese keskpunkti kahe jaumlrjestikuse kevadpunktist laumlbimineku vahel)

Aatomifuumluumlsika areng votildeimaldas veelgi paremat looduslikule konstandile tuginevat sekundi definitsiooni

sekund on votilderdne aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele siirdele vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodiga

Tabel 3 Kuumlmnendliited kordsete motildeotildetuumlhikute moodustamiseks

Aste Nimetus Taumlhis Aste Nimetus Taumlhis 1024 jotta Y 10-24 jokto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 eksa E 10-18 atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 piko p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 mikro micro 103 kilo k 10-3 milli m 102 hekto h 10-2 senti c 101 deka da 10-1 detsi d

Uumllesanne 11 Mitu mikronit vastab uumlhele kilomeetrile

1 microm = 10-6 m = 10-6 middot (10-3 km) = 10-9 km seega 1 km = 109 microm

Uumllesanne 12 Mitu kilomeetrit on uumlks sentimeeter

1 km = 1000 m = 1000 middot (100 cm) = 100000 cm

Uumllesanne 13 Uumlks akadeemiline tund (45 minutit) on ligikaudu votilderdne uumlhe mikrosajandiga Kui suur on nende erinevus protsentides Uumlhes (troopilises) aastas on 365244 oumloumlpaumleva

Avaldame motildelemad suurused potildehiuumlhiku sekund kaudu

45 min = 45 middot (60 s) = 2700 s

1 microsaj = 10-6 saj = 10-6 middot (102 a) = 10-4 a = 10-4 middot (365244 middot 24 middot 60 middot 60 s) asymp 3156 s

Nende suuruste erinevus on 41414403156

27003156==

minus

19

Uumllesanne 14 Astronoomilist aega motildeotildedetakse Maa poumloumlrlemise jaumlrgi aatomiaega aga sellest sotildeltumatult Kuna Maa poumloumlrleb aeglustuvalt (potildehjuseks on Kuu kuumllgetotildembejotildeust tingitud totildeusu-motildeotildenalainete sumbumine) kasvab uumlhe oumloumlpaumleva pikkus aatomiajas motildeotildedetuna aastas uumlhe mikrosekundi votilderra Leidke kui suur on erinevus aatomikella ja bdquoastronoomilise kellaldquo naumlitude vahel paumlrast 20 sajandi moumloumldumist

20 saj = 20 middot (100 a) = 2000 a

1 + 2 + 3 + 1998 + 1999 + 2000 = 1000 middot (2000 + 1) = 2001000 = 2001 middot 106

2001 middot 106 micros =2001 middot 106 middot (10-6 s) asymp 2 s

Uumllesanne 15 Kuld on uumlks suurima tihedusega metalle uumlhe kuupsentimeetri kulla mass on 1932 grammi Sotildermuse mass on 4 grammi Kui suure kuldlehe saaks sellest valtsida kui lehe paksus on uumlks mikromeeter

V = mρ = 4g1932gcm3 asymp 0207 cm3 S = Vh = 0207 cm31 microm = 0207 cm3(10-6 m) = 0207 cm3(10-6 (102 cm) = = 2070 cm2 = 207 dm2

Uumllesanne 16 Mitu suumllda on uumlks yard (1 kilomeeter (km) = 1000 meetrit = 468 710 suumllda 1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit)

1 yard = 9144 mm = 09144 m = 09144 middot 10-3 km = 09144 middot 10-3 (4687 suumllda) asymp asymp 0429 suumllda

Uumllesanne 17 Auto mille algkiirus oli 30 penikoormat tunnis sotildeidab maumlest alla kiirendusega 05 suumllda ruutsekundis Maumle pikkus on 900 yardi Leidke auto kiirus maumle all uumlhikutes kilomeetrit tunnis

1 penikoorem = 880 fathomit = 1760 yardi = 754 suumllda 2 jalga = 1 km 609 m

1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit

v0 = 30 penikoormath = 30 middot (1609 m) (3600 s) = 134 ms

754 suumllda 2 jalga = 754 suumllda + 23 middot 09144 m = 1609 m

754 suumllda = 1609 m ndash 06 m = 16084 m

1 suumlld = 16084 m 754 = 213 m

a = 05 suumlldas2 = 05 middot 213 ms2 = 106 ms2

s = 900 yardi = 900 middot 09144 m = 823 m

s = v0t + at22 at2 + 2v0t ndash 2s = 0

20

s728122

787826

0612

823061841344132

2

842 2200

=plusmnminus

=

=sdot

sdotsdot+sdotplusmnsdotminus=

+plusmnminus=

t

a

asvvt

v = v0 + at

v = 134 ms + 106 ms2middot287 s = 438 ms = h

km7157

h

3600

1000

km843 =sdot

21

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide

Igasugune motildeotildetmine suhteskaalat kasutades taumlhendab tundmatu suuruse votilderdlemist sama liiki maumlaumlratletud suurusega mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse vaumlaumlrtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana votildei kordsena Fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmisel on maumlaumlratletud suuruseks loomulikult selle suuruse uumlhik Uumlhikutena tuleks eelistada SI uumlhikuid sest need on kogu maailmas laialt kasutusel ning Motildeotildeteseadusega on nad Eestis kuulutatud kohustuslikeks motildeotildetuumlhikuteks Seega votildeib fuumluumlsikalise suuruse korral iseloomustada votilderdlemise protseduuri (motildeotildetmist) ja selle tulemusena saadavat mingi motildeotildetesuuruse Xi arvvaumlaumlrtust Xi suhtega Xi[Xi] kus i on indeks mille abil eraldame samas motildeotildeteprotsessis esinevaid motildeotildetesuurusi

Naumlide 21 Vedeliku mass motildeotildedetakse kaalumise meetodil koos mahutiga siis votilderdlemise protseduuri ning saadavat arvvaumlaumlrtust saab iseloomustada suhtega (X1 + X3)[X1] kus X1 taumlhistab materjali ja X3 mahuti massi

Naumlide 22 Kui eriti vaumlikeste objektide joonmotildeotildetmete motildeotildetmisel suurendatakse objekti kujutist mikroskoobi abil siis tulemust votildeib kirjeldada suhtega X4bullX2[X2] kus X2 taumlhistab joonmotildeotildedet ja X4 vastavat suurendustegurit Toodud suhtes peaksid olema uumlhikuteks tegelikult[X1 + X3] ja [X4bullX2] kuid kuna liita saab ainult sama liiki suurusi ning suurendustegur on suurus mille dimensioon on uumlks siis oleme uumlhikuteks valinud vastavalt [X1] ja [X2]

Jaumltkame naumlidet 21 Kui laumlhtuda oletusest et motildeotildetesuurusele X1 + X3 saame anda kindla arvvaumlaumlrtuse (X1 + X3)[X1] ning piirduda ainult aditiivsete motildejuritega mille koosmotildeju arvestab juhuslik liidetav X5 siis on motildeotildetmise votilderrand jaumlrgmine

[ ] [ ]1

5

1

31X

X

X

XXX +

+= (21)

See votilderrand iseloomustab votilderdlemise protseduuri ja arvvaumlaumlrtuse saamist ideaalsetes tingimustes Tegelikkuses ei ole votildeimalik votilderrandi (21) liikmeid eristada

Ideaalolukorras omab votilderrandi (21) esimene liige kindlat arvvaumlaumlrtust teine liige on aga juhuslik Saadavat summaarset arvvaumlaumlrtust X ei saa antud juhul kuidagi iseloomustada ainult uumlhe arvuga Seda votildeib iseloomustada matemaatilise mudeli (maatriks) abil ning esitada dokumentaalselt eksperimentaalsete andmete kogumina kas tabeli graafiku sotildeltuvuse jne kujul mis on uumlhtlasi ka arvvaumlaumlrtuse X hinnanguks

Naumlide 23 Motildeotildetesuuruse X1 + X3 n-kordsel (antud juhul 100-kordsel) sotildeltumatul motildeotildetmisel numbernaumlidikuga massimotildeotildetevahendi abil fikseeriti naumliduseadisel jaumlrgmised diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi mis on toodud tabelis 21

22

Tabel 21 Motildeotildetmisel saadud diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi nende esinemiste arv mi totildeenaumlosus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi)

x i m i P(x i) F(x i) 1 2 3 4 3580 1 001 001 3581 2 002 003 3582 4 004 007 3583 10 01 017 3584 21 021 038 3585 23 023 061 3586 19 019 08 3587 12 012 092 3588 5 005 097 3589 2 002 099 3590 1 001 1

Iga i-ndas arvvaumlaumlrtus esines motildeotildetmistel mi korda Tekib kuumlsimus bdquoMissugune nendest arvvaumlaumlrtustest tuleks antud n-kordsel motildeotildetmisel votildetta motildeotildetetulemuse aluseksldquo

Antud juhul mitte uumlkski arvvaumlaumlrtus tabeli esimeses tulbas uumlksikuna votildettes ei iseloomusta motildeotildetevahendi abil saadud motildeotildetetulemust tervikuna Seda iseloomustab antud juhul kogu saadud arvvaumlaumlrtuste kogum koos uumlksikute arvvaumlaumlrtuste esinemise sagedusega Votildettes iga i-nda arvvaumlaumlrtuse suhtelise esinemise sageduse min selle lugemi esinemise totildeenaumlosuseks P(xi) saame taumlita tabeli kolmanda veeru Votilderreldes tabeli esimese veeruga annab kolmas veerg meile antud motildeotildetevahendi abil saadud ja tabeli kujul esitatud diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotuse Selle totildeenaumlosusjaotuse votildeime avaldada ka graafiliselt jaotusspektrina joonis 21

0

005

01

015

02

025

3580 3581 3582 3583 3584 3585 3586 3587 3588 3589 3590

x i

P(x

i)

Joonis 21 Diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotus

Liidame kotildeik need kolmandas veerus olevad arvvaumlaumlrtuste esinemise totildeenaumlosused mille korral arvvaumlaumlrtused xi on vaumliksemad vaadeldavast arvvaumlaumlrtusest xk Tabeli esimese veeru arvvaumlaumlrtustega votilderreldes annavad neljanda veeru arvvaumlaumlrtused meile motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumlrtuste esinemise jaotusfunktsiooni tabeli kujul Graafiliselt on see toodud joonisel 22

23

0

02

04

06

08

1

12

3579 3581 3583 3585 3587 3589 3591

x i

F(x

i)

Joonis 22 Diskreetsete arvvaumlaumltuste jaotusfunktsioon

Jooniselt 22 on naumlha et motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumltuste esinemise jaotusfunktsioon on katkev taumlpsemini treppfunktsioon Katkevuspunktides on motildeotildetevahendi lugemite votildeimalikud vaumlaumlrtused ning nendes punktides jaotusfunktsioon kasvab huumlppeliselt kusjuures huumlppe motildeotildetmeks on totildeenaumlosus et esineb katkevuspunktist vaumliksemaid arvvaumlaumlrtusi

Seega numbernaumliduseadisega motildeotildetevahendite korral kirjeldavad totildeenaumlosusjaotus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi) taumlielikult saadavat diskreetset arvvaumlaumlrtust xi

Jaumltkame nuumluumld motildeotildetmise votilderrandi 21 analuumluumlsi Oletame et me teame mahuti massi X3 eelnevatest motildeotildetmistest votildei saadakse see taumliendavate uuringute potildehjal Vastavalt meie laumlhenemisviisile oleme andnud suurusele X3 kindla vaumlaumlrtuse ja juhuslikud komponendid uumlle kandnud suurusesse X5 Seega on suurusel X5 juhuslik iseloom mis taumlhendab et tema vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik kindlaks teha Siit jaumlreldame et motildeotildetesuuruse X1 vaumlaumlrtust on votildeimatu taumlpselt kindlaks teha votilderrandi (21) potildehjal tuletatud valemi

[ ] 3511 XXXXX minusminussdot= (22)

abil Seda isegi siis kui laumlhtume ideaalolukorral kehtivast oletusest et suurusel X3 on kindel vaumlaumlrtus Toonitame veelkord et votilderrand (22) ei peegelda tegelikku motildeotildeteprotsessi st et me praktikas ei saa eristada juhuslikku suurust X5 vaadeldavast motildeotildetesuurusest X1

Kokkuvotildetteks ndash motildeotildetmise kordamisel tuleb suuruse arvvaumlaumlrtus X tingituna motildeotildetesuuruse iseloomust igal motildeotildetmisel erinev Seega praktilise motildeotildetmise kogemuse potildehjal votildeime vaumlita et mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning seega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes et saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti juhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kirjeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muutuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mis kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

24

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreetseteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettemaumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 muumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused grammides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildepmatu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumliteks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tulemust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on avaldatav valemiga

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk = (23)

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

(24)

Esimene omadus taumlhendab et esinemistotildeenaumlosus ei saa olla negatiivne ega ka mitte suurem kui uumlks Teine omadus taumlhendab et kotildeigi elementaarsuumlndmuste esinemistotildeenaumlosuste summa on uumlks st on 100 kindel et toimub mingi realisatsioon kotildeigi elementaarsuumlndmuste hulgast ja kotildeik teised votildeimalused on votildeimatud

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16 visatakse 4 silma p = 16 visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmus visatakse 1 votildei 4 silma p = 26 visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46 visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus on toodud joonisel 23 Totildeenaumlosus erineb nullist ainult maumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole maumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

25

Joonis 23 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatiivne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

sumle

=ki

ipkF )( (25)

st jaotusfunktsioon naumlitab kui suur on totildeenaumlosus et juhuslik suurus xi on vaumliksem kui xk Naumliteks taumlringuviske puhul taumlhendab jaotusfunktsioon kohal 4 totildeenaumlosust visata taumlringuga silmade arv 1 2 3 votildei 4 st tema vaumlaumlrtuseks on 16 + 16 + 16 + 16 = 46

Joonisel 24 on toodud temperatuuri motildeotildetmise totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon (joon)

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

Joonis 24 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotuse omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla negatiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa samuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

26

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vaumlaumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlndmuse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele (26)

Pideva suuruse korral votildeib vaumlaumlrtused x1 ja x2 votildetta votildeimalikult teineteise laumlhedusest Siit tuleneb et

kui votildetta x1 rarr x2 siis [ ] 0)()(lim 1221

=minusrarr

xFxFxx

Seega saame vaumlita et pideva suuruse korral

on mingi konkreetse vaumlaumlrtuse totildeenaumlosus votilderdne nulliga Naumliteks totildeenaumlosus et uumlhe motildeotildetesilindri maht on taumlpselt 1 liiter on null Seega on motildeistlik vaadata pidevate suuruste korral hoopis totildeenaumlosust et suumlndmus satuks vahemikku [x1 x2]

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

dx

xdFxf

)()( = (27)

Teistpidi on jaotusfunktsioon maumlaumlratud integraal jaotustihedusest

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF (28)

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfunktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli lihtsustab valemite 27 ja 28 kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vaumlga keeruliste uumllesannete lahendamist

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist on toodud joonisel 25

1

Joonis 25 Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

Valemist 27 saame et

dxxfxdFdp sdot== )()( (29)

seega suurus dp on ristkuumlliku pindala motildeotildetmetega dx ja f(x) Funktsiooni f(x) pindala vahemikus (a b) on seega maumlaumlratud integraal

27

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

(210)

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabel Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6 b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9 c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

a Vastavalt esinemiste totildeenaumlosusele on kahe taumlringuviske summaks votildeimalik saada 536 asymp 13 juhtudest

b Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vaumliksem kui 9 on 3036 asymp 83

c Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vahemikus [38] on

2636 ndash 136 = 2536 asymp 69

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine pooldumist kirjeldav tihedusfunktsioon Palju kulub aega et esialgsest Cs ainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

28

( )

19843614614

614)010ln(010)exp(990)exp(1

)exp(1)exp(

)exp(1

)exp(1

)()(

)exp(1

)(

01

010101

010

0

0

00000

00

00

1

1

1

1

=sdot=sdot=

minus==minusrArr=minusrArr=minusminus

minusminus=minus=

=minussdotminus=minus==

minus=

int int

tt

tttttt

tttt

tttt

dtttt

dttftF

ttt

tf

t

tt

t

Seega oleks esialgsest ainehulgast 198 aasta paumlrast alles 1

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri tsuumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

ning tema jaotusfunktsioon on 10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

Totildeestame kotildeigepealt jaotustihedusele vastava jaotusfunktsiooni Vaatame ainult piirkonda 0 lt x lt 1 sest kuna arkussiinusjaotus on nullist erinev ainult piirkonnas (0 1) on tema jaotusfunktsioon F(x) = 0 piirkonnas x le 0 ja F(x) = 1 piirkonnas x ge 1

( )[ ] int

intint

intint

int

=minus

sdot==

=rArr=minus

=minus

=

sdot=rArr=rArr==sdotminus

=minus

=

===leinfinminus

)arcsin(1

1)arcsin(2)arcsin(

2

)0()0()0(1

12

1

11

2)1(

1

)1(

1

)()()(

20

02

02

2

00

ydyy

xy

xxxdyyx

dx

x

dyydxyxxydxxx

dxxx

dxxfxFxXP

x

xx

xx

x

ππ

ππ

ππ

29

Nuumluumld tuleb teha uumllesande lahendamiseks muutujavahetus et sobituda arkussiinusjaotuse valemiga

Vaatame paare x1 = 0 t1 = 20

x2 = 1 t2 = 24

Vastav uumlleminekuvalem on ilmselt 420minus

=t

x

Teeme tabeli meid huvitavatest temperatuuridest vastavatest x-i vaumlaumlrtustest ning tihedusfunktsiooni vaumlaumlrtustest

t x F(x) 205 18 023 21 frac14 033 23 frac34 067 235 78 077

Seega on vahemikus 21 degC kuni 23 degC ruumi temperatuur 067 ndash 033 = 34 ajast Alla 205 degC votildei uumlle 235 degC on 023 + (1 ndash 077) = 46 On huvitav maumlrkida et tsuumlkliliste temperatuurimuutuste korral puumlsib temperatuur kotildeige kauem vahemiku ekstreempunktide laumlheduses ja kotildeige luumlhemat aega ettenaumlhtud temperatuuril See omadus naumlhtub jaotustiheduse graafikust ja on intuitiivselt motildeistetav vaadeldes siinuskotildevera kulgu

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaatekohalt Jaotusseadus votildeimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga suumlndmuse totildeenaumlosust Jaotusseaduse potildehikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaalne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamasti aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlielikku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadusi Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendamisel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadused

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel suurt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood momendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik funktsioon entroopia jmt

231 Keskvaumlaumlrtus

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakteristik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhistused on

30

m mx m[x] x ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

sum=

=n

kkk pxm

1

(211)

kus )( kk xXPp ==

Kui votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on loenduv siis

suminfin

=

=1k

kk pxm (212)

kusjuures eeldatakse et summa paremal koondub (on lotildeplik) Kui summa ei koondu siis harilikult keskvaumlaumlrtust juhuslikule suurusele ei omistata

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) ja votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on kogu reaaltelg keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

int+infin

infinminus

= dxxxfm )( (213)

eeldusel et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt)

Maumlrkus Valem keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langeb kokku valemiga varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhega Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatiline moment

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (214)

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

31

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

See on lotildeigu [a b] keskpunkt

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r (215)

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut (f integraal x jaumlrgi rajades [ )infin1 olgu votilderdne uumlhega) On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1 Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r vaumlaumlrtuste korral joonisel 26

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

Joonis 26 Astmejaotuse jaotusfunktsioon

Arvutame astmejaotuse keskvaumlaumlrtuse

infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus== intint1

21

1

1

1

2

1)1()( r

r

xr

rdxxrdxrxfxm

Naumleme et keskvaumlaumlrtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse 02gtminusr ehk 2gtr kehtimine ndash vastasel juhul ei koonduks uumlmarsulgudes olev avaldis lotildepmatuses nulliks vaid oleks lotildepmata suur Kui see tingimus on taumlidetud siis saame

32

22

1gt

minusminus

= rr

rm (216)

Seega keskvaumlaumlrtus on alati suurem uumlhest (pole ka midagi imestada kuna kogu jaotuse kandja asub punktist uumlks paremal) ja kasvab piiramatult kui r laumlheneb kahele paremalt (joonis 27)

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

Joonis 27 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Oluline asi millele selle naumlitega taumlhelepanu juhime on asjaolu et lotildepmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslotildepmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskvaumlaumlrtus eksisteerida Selle (keskvaumlaumlrtuse) olemasoluks on vajalik et jaotustihedus laumlheneks nullile piisavalt kiiresti kui

infinplusmnrarrx Lotildepliku kandja puhul sellist probleemi ei teki

Keskvaumlaumlrtuse omadusi

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on see konstant ise

[ ] ccm =

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlmboli ette

[ ] [ ]XcmcXm =

Totildeestatakse see pideval juhul nii

33

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

Analoogiline on totildeestus diskreetse juhusliku suuruse korral

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtuseid kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrtuseid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeetilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

Naumlide 27 Suvel maumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel lahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle raumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva Mitu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

Vastus nihketa hinnang oleks mediaan ehk 156 paumleva Aritmeetilist keskmist saab arvutada ainult suve alguseks Eestisse tagasi jotildeudnud lindude raumlnnet arvesse votildettes see oleks 154 paumleva kuid see ei arvesta votildeimalusega et kadunud 2 lindu siiski kunagi naumliteks suvel siiski jotildeudsid tagasi Ka annaks aritmeetiline keskmine selgelt nihutatud hinnangu juhul kui motildeni lindudest saabuks juba suumlgisel miskipaumlrast Eestisse tagasi

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis seda naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotildergpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vaumlhemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) leitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on eesmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hulgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad keskvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemikku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korrelatsioonikordaja) maumlaumlramisele

Naumlide 28 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast ja 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55000 EEK Keskmine palk selles firmas on

34

1000010

5500050009=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalgaga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firmas on

320005

4000390004=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

Seega sotildeltuvalt palkade jaotusest votildeib olla keskmine palk mediaanpalgast nii suurem kui ka vaumliksem Eesti keskmisena on siiski keskmine palk mediaanpalgast maumlrgatavalt kotildergem seda tingib uumlhelt poolt miinimumpalk millest vaumliksemat palka ei ole votildeimalik maksta samuti totildesiasi et meil on teatud hulk inimesi kes saavad uumllisuuri palkasid Toon siin internetist leitud Eesti keskmise ja mediaanpalga naumlited need on illustratiivsed ja ei pretendeeri kindlale totildeele 2008 aasta III kvartalis oli keskmine kuupalk 12 512 krooni samas kui 2008 aasta II kvartalis oli mediaanpalk 9 897 krooni

232 Dispersioon ja ruuthaumllve

Teades juhusliku suuruse keskvaumlaumlrtust ei saa veel otsustada milliseid vaumlaumlrtusi juhuslik suurus votildeib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskvaumlaumlrtuse uumlmber Kui jaotustihedus on haumlsti kitsas kui juhusliku suuruse hajuvus on vaumlike siis on keskvaumlaumlrtusest kuumlll et iseloomustada juhuslikku suurust Kui aga jaotustihedus on lai ja lame Meil on tarvis suurust mis votildeimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse bdquokitsustldquo votildei bdquohajuvustldquo Selliseks suuruseks on dispersioon

Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse haumllbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse

[ ]Xmxii minus=ε (217)

Pole raske veenduda et haumllbe keskvaumlaumlrtus on votilderdne nulliga Totildeepoolest

01

=sum=

n

iiε

See on seletatav sellega et votildeimalikud haumllbed on erinevate maumlrkidega ja summaarselt kompenseeruvad Jaumlrelikult ei iseloomusta haumllve hajuvust Tsentreerimine taumlhendab geomeetriliselt seda et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]Xm

Dispersioon

Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust

[ ] [ ] [ ]( )[ ]22 XmXmmXDD minus==equiv ε (218)

35

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega on dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse maumlaumlra iseloomustajaks

Teised levinumad taumlhised dispersioonile on veel 2σ (dispersioon on siin taumlhistatud kui standardhaumllbe ruut) Kaumlesolevas kursuses kasutame dispersioonile taumlhist D

ja kui tahame rotildehutada votildei esile tuua millise juhuliku suurusega on tegu siis taumlhist D(X)

Vastavalt definitsioonile (218) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem

( )sum minus=i

ii pmxD 2 (219)

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealisatsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suuruse korral annab (22)

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2 (220)

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus= (221)

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku suuruse ruudust X2 Kotildeige lihtsam on seda valemit totildeestada esitades valemeis (219) javotildei (220) ruutavaldise uumlmarsulgudes kujul

222 2)( mxmxmx +minus=minus

Vaatame detailsemalt (221) totildeestust pideva juhusliku suuruse juhul (220)

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

mis ongi valem (221) Uumlhtlasi oleme ka saanud ilmutatud esituse juhusliku suuruse ruudu keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks

[ ] )(22 dxxfxXm intinfin

infinminus

= (222)

36

Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetemaumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumllvet

D=σ (223)

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve

Lahendamiseks teeme kotildeigepealt tabeli

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse laumlhtudes valemist (211)

532161

1

=sdot== sum=

n

kkk pxm

Laumlhtudes valemist (219) saame

( ) 9225176

12 asympsdot=minus= sumi

ii pmxD

Laumlhtudes Steineri valemist (221) saame

[ ] 9222512171553691 222 =minusasympminus=minus= mXmD

Taumlringuviske standardhaumllve on

711922)()( === xDxσ

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

37

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime juba varem

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi (ehk x2 keskvaumlaumlrtuse)

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+

minus++

=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1)()(

ababxDx

minusasymp

minus==σ

Naumlide 211 Astmejaotuse dispersioon ning standardhaumllve

Olgu jaotustiheduseks astmejaotus (215) Dispersiooni arvutuseks kasutame valemit (221)

Keskvaumlaumlrtus m on teada valemist (216) seega on vaja leida [ ]2Xm kasutades selleks seost (222) ja jaotustihedust (215)

[ ] 1

3

1)1(

1

13

1

2

1

22infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus=minus

= intint rr

r xr

rdxxrdx

x

rxXm

Siin uumlmarsulg annab lotildepliku tulemuse vaid siis kui on taumlidetud tingimus 3gtr Sel juhul annab uumlmarsulg uumllemise raja juures nulli ning saame lotildeplikult

[ ]312

minusminus

=r

rXm

Seega saame astmejaotuse dispersiooni jaoks

38

2

2

)2)(3(

1

2

1

3

1)(

minusminusminus

=

minusminus

minusminusminus

=equivrr

r

r

r

r

rrDD

Ning astmejaotuse standardhaumllbe jaoks

2)2)(3(

1)(

minusminusminus

==rr

rrDσ

Selle dispersiooni graafik parameetri r funktsioonina on toodud joonisel 28

3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

55

0

σ r( )

103 r

Joonis 28 Astmejaotuse standardhaumllve

Naumleme et standardhaumllve laumlheneb kiiresti lotildepmatusele kui parameeter r laumlheneb kolmele Ja vastupidi parameetri kasvades laumlheneb standardhaumllve kiiresti nullile

See naumlide demonstreerib seda totildesiasja et ndash sarnaselt keskvaumlaumlrtusele ndash vajab lotildepmatu maumlaumlramispiirkonnaga juhuslik suurus standardhaumllbe lotildeplikkuseks (st eksisteerimiseks) kuumlllalt kiiret totildeenaumlosustiheduse nullile laumlhenemist protsessis plusmninfinrarrx Jaotustiheduse nullile laumlhenemise kiiruse maumlaumlrab kaumlesolevas naumlites parameeter r ndash mida suurem see on seda kiirem on )(xf nullile laumlhenemine (vt joonis 27) Nagu naumleme on standardhaumllbe eksisteerimiseks tarvilik suurem nullile laumlhenemise kiirus ( 3gtr ) kui oli tarvilik keskvaumlaumlrtuse olemasoluks (seal oli tarvilik 2gtr ) See tulemus on uumlsna uumlldine lotildepmatu kandjaga jaotustiheduse korral on tingimused standardhaumllbe eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskvaumlaumlrtusele

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardhaumllbe omadused

39

Vaatleme dispersiooni potildehiomadusi mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse puhul

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null Konstandi dispersioon on votilderdne nulliga

[ ] 0=cD

Totildeestuseks teisendame

[ ] [ [ ] ] [ ] 00)( 2 ==minus= mcmcmcD

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

Vaatame maumlaumlranguid (219) ja (220) Diskreetsel juhul (219) on summa all ainult positiivsed suurused ja positiivsete suuruste summa on positiivne Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus mil summa koosneb vaid uumlhest liikmest mis on parasjagu null

Analoogiline on totildeestus pideval juhul (220) integraal positiivsest funktsioonist on positiivne Ka siin on piiril erijuhuks uumlhteainsasse punkti cX = lokaliseeritud jaotus mida kirjeldab delta-funktsioon

)()( cxxf minus= δ

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

[ ] [ ]XDccXD 2=

Keskvaumlaumlrtuse omaduste potildehjal

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]XDcXmXcm

XcmcXmcXmcXmcXD222

22

)(

)())((

=minus=

=minus=minus=

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses olevad juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

kus [ ]

[ ] [ ]YDXD

yxmr

)()( εε sdot= on korrelatsioonitegur (sellest taumlpsemalt edaspidi)

Totildeestuseks teisendame kasutades keskvaumlaumlrtuse aditiivsuse omadust

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ])()()(2)(

))()(()(22

22

YDXDxyxxm

yxmYXmYXmYXD

+=+plusmn

=plusmn=plusmnminusplusmn=plusmn

εεεε

εε

sest [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]YDXDrYmYXmXmyxm sdot=minusminus= ))(()()( εε

40

Sotildeltumatute tundmatute erijuhul (r asymp 0) on [ ] 0)()( =yxm εε

Erijuhul kus uumlks liidetav on konstant on

[ ] [ ]XDcXD =+

Standardhaumllve (ruutkeskmine haumllve)

Dispersiooni ruutjuurt

D=σ (223)

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

41

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus m b standardhaumllve σ c totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σ d totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui keskvaumlaumlrtus e mediaan

0 05 1 15 20

05

1

15

2

y x( )

y1

y1

x 16 168

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

6158

542

541

4)()(

520

52

0

4

==sdot

=sdot==== intintinfin

infinminus

xdx

xdxxxfxm

667238

616

642

641

4)()(

620

62

0

522 asymp==

sdot=sdot==== intint

infin

infinminus

xdx

xdxxfxxm

1070616672))(()( 222 =minus=minus= xmxmD

3301070 asymp== Dσ

27133061 =minus=minusσm

93133061 =+=+σm

16016

6216271

)(4

===minusσmF

42

87016

91316931

)(4

===+σmF

71710160870)( ==minus=plusmnσmp

4141016

661661

)(4

====mF

Arvutame mediaani

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

43

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus= kus

parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvaumlaumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Kasutame arvutuses poolestusaja poumloumlrdvaumlaumlrtust 01 t=λ

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

Siin on otstarbekas arvutada algmomendid ning neid kasutada keskvaumlaumlrtuse ja dispersiooni leidmiseks

[ ] dtttdttttm kkk )exp()exp(00

λλλλ minussdotsdot=minussdot= intintinfininfin

Rakendame integraali arvutamisel parameetri jaumlrgi diferentseerimise votildetet

intintinfininfin

minus

minus=minus

000

)exp()exp( dttdt

ddttt

k

k λλ

Kuna viimase integraali vaumlaumlrtus on

λλ

1)exp(

0

=minusintinfin

dtt

siis saame

[ ]λλ

λ1

kk

d

dtm

minussdot=

Votildettes siin k = 0 1 2 saame kerge vaevaga

[ ] 11

00 =

minussdot=λλ

λd

dtm

seega normeering uumlhele on kehtiv nagu peabki

[ ] 0

11 11

td

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

44

[ ] 202

22 2

21t

d

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

Seega on eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja dispersioon vastavalt

[ ] 0ttm = ja

[ ] [ ] 20

20

20

22 2 ttttmtmD =minus=minus=

Standardhaumllve on siit

0tD ==σ

Niisiis on eksponentjaotuse korral keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve arvuliselt votilderdsed

Leiame nuumluumld mediaani

3043690690690

690)50ln(

50)exp(50)exp(1)(

0 asympsdot=sdot==rArrminus==minus

=minusrArr=minusminus=

ttt

tttF

λλ

λλ

Seega on tseesiumi pooldumise keskvaumlaumlrtus 43 aastat aga mediaan 30 aastat

45

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaot usseadused

241 Uumlhtlane jaotus

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel lotildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

Seega on uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (224)

Joonisel 29 on toodud uumlhtlase jaotuse jaotustiheduse graafik

Joonis 29 Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

( )( )2)(2)(22

111 222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega (joonis 29) siis on ka loomulik et keskvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

Suumlmmeetriatelg

46

[ ]

3)(3

))((

)(3

3

111

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxXm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

[ ]12

)(

23

222222 abbababa

mXmDminus

=

+minus

++=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1 ababD

minusasymp

minus==σ

Standardhaumllbe ulatus (so intervalli [ ]σσ +minus mm ulatus) on naumlidatud joonisel 29 kahepoolse noolega Standardhaumllbe vaumlaumlrtusest on ka naumlha et kahekordsele standardhaumllbele vastav intervall [ ]σσ 22 +minus mm sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse muutumispiirkonna [a b] Teiste sotildenadega andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks standardhaumllvet keskvaumlaumlrtusest saavutame et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda totildeenaumlosusega 1 (eeldusel et jaotus ikka on uumlhtlane)

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadmetel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 2265 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mingisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum eeldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

Ka analoogmotildeotildeteseadme resolutsioonist tingitud maumlaumlramatust votildeib kaumlsitleda samamoodi kui digitaalsetel seadmetel Siiski on analoogseadmetel votildeimalik seda maumlaumlramatust vaumlhendada Naumliteks on joonlaua resolutsioon 1 mm kuid terava silmaga motildeotildetja suudab jagada millimeetri veel pooleks Sellisel juhul alluks resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus ikka uumlhtlasele jaotusele kuid oleks motildeotildetetulemuse 2835 mm

Teine uumlhtlase jaotuse naumlide on Brauni osakeste levimine Vedeliku anumasse uumlhte punkti pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma ning on selles anumas pika aja paumlrast (aeg infin) uumlhtlaselt jaotunud Sellel potildehjusel on piimaga kohvi uumlhtlaselt pruun

242 Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmmeetriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf (225)

ning mille jaotustihedus on toodud joonisel 210

47

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

Joonis 210 Kolmnurkjaotuse jaotustihedus

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotus on suumlmmeetriline siis ilmselt tema keskvaumlaumlrtus 12

20)( =

+=xm

ja tema ruudu keskvaumlaumlrtus on

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

ja dispersioon ning standardhaumllve on

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

Hiljem vaatame seda kolmnurkjaotust seoses keskse piirteoreemiga

243 Eksponentjaotus

Eksponentjaotus sai laumlbi arvutatud radioaktiivse aine pooldumist kirjeldavas naumlites

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

48

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

Joonis 211 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja jaotusfunktsioon

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusele Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pikk on keskmise lambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi eluiga on 5000 tundi Teha naumlidisarvutus Mathcadis (lambi_eluigamcd)

49

244 Normaaljaotus

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jaotusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaalteljele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus ( )infininfinminus

Naumlide 210 Gaasi molekuli x-telje suunaline kiirus allub normaaljaotusele kus keskvaumlaumlrtus on a = 0 (makroskoopiliselt puumlsib gaas paigal) ning standardhaumllve on proportsionaalne ruutjuurega temperatuurist

Naumlide 211 Uumlhemotildeotildetmelisse lotildeputu ulatusega vedeliku anumasse (lotildepmatult pikk kapillaartoru) uumlhte punkti x0 ajahetkel t = 0 pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma nende jaotus ajahetkel t gt 0 on kirjeldatav normaaljaotusega parameetritega a = t0 ning σ2 ~ t Seega standardhaumllve ajas jaumlrjest suureneb votilderdeliselt ruutjuurega ajast Seega kui valada lotildepmatult suures tassis kohvile piima ei saa mitte kunagi uumlhtlaselt pruuni segu vaid ainult piimatilk tasapisi segunedes musta kohviga

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotuseks ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf (226)

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja 0gtσ on fikseeritud positiivne reaalarv Antud loengukursuse raames me ei totildeesta vaid ainult konstateerime et parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

Jaotustiheduse maumlaumlramispiirkond on kogu reaaltelg R (st argument x votildeib omandada vaumlaumlrtusi kogu reaalteljel)

Normaaljaotuse tiheduse graafik on parameetrite 2=a 1=σσσσ korral toodud joonisel 212

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

Joonis 212 Normaaljaotuse jaotustihedus

50

Parameetri a muutumisel joone asend muutub x-telje suhtes a kasvades jaotus nihkub paremale (toimub kujundi x-telje sihiline paralleelluumlke) Mida suurem on a seda paremal paikneb kotildever (joonis 213)

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

Joonis 213 Erinevad normaaljaotused σ = 1 korral a = ndash2 (kotildever f3(x)) a = 0 (kotildever f2(x)) ja a = 2 (kotildever f1(x))

Kui parameeter σ kasvab siis kahanevad funktsiooni vaumlaumlrtused ja joon muutub lamedamaks ndash kotildever surutakse kokku y-telje suunas Kui σ kahaneb siis muutub joon teravatipulisemaks ndash kotildever venitatakse vaumllja y-telje suunas (joonis 214)

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

Joonis 214 Normaaljaotus (a = 0) erinevate σ-de korral f1(x ) ndash σ = 1 f2(x) ndash σ = 2 ja f03(x) ndash σ = 03

51

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik muumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljaotuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse (226) integreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2)exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ (227)

Siin erf(x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete lahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm(x a σ) ning jaotusfunktsioon kohal x funktsiooniga pnorm(x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus arvutatav kaumlsuga normdist(x a σ 0) ning jaotusfunktsioon kaumlsuga normdist(x a σ 1)

Naumlide 212 Arvutame vaumllja totildeenaumlosuse et normaaljaotuse puhul satuks suumlndmus intervalli (a plusmn σ) (a plusmn 2σ) (a plusmn 3σ) Kuna need totildeenaumlosused ei sotildeltu jaotuse parameetritest siis valime votildeimalikult lihtsad parameetrid naumliteks a = 0 ja σ = 1 Leiame Excelrsquoi abil meid huvitavad jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused

Normdist(ndash3 0 1 1) = 000135 Normdist(ndash2 0 1 1) = 00228 Normdist(ndash1 0 1 1) = 0159 Normdist(1 0 1 1) = 0841 Normdist(2 0 1 1) = 09772 Normdist(3 0 1 1) = 099865

Tegelikult piisaks ka neist ainult esimese kolme arvutamisest sest normaaljaotus on suumlmmeetriline ning seega on totildeenaumlosus et toimub suumlndmus x lt a ndash z votilderdne totildeenaumlosusega et toimub suumlndmus x gt a + z

P(a plusmn 3σ) = 099865 ndash 000135 = 09973 = 9973

P(a plusmn 3σ) = 1 ndash 2(000135) = 09973 = 9973 P(a plusmn 2σ) = 1 ndash 2(00228) = 09545 = 9545 P(a plusmn 1σ) = 1 ndash 2(0159) = 06827 = 6827

Seega satub vahemikku plusmn 1σ ligikaudu 68 vahemikku plusmn 2σ ligikaudu 95 ja vahemikku plusmn 3σ ligikaudu 997 suumlndmustest

52

245 Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

10

)arcsin(2)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π (228)

Arkussiinusjaotuse jaotusfunktsiooni arvutuskaumlik sai toodud varasemalt ruumi temperatuurikontrolli suumlsteemi naumlites

Arkussiinusjaotuse keskvaumlaumlrtus on m = 05 ning dispersioon on 8

1=σ

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

Joonis 215 Arkussiinusjaotuse jaotustihedus ning jaotusfunktsioon

53

Naumlide 213 Kolmnurkjaotust votildeib defineerida ka jaumlrgnevalt piirkondades x lt 0 ning x gt b on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [0 b] on tema vaumlaumlrtus uumlhtlaselt kasvav (f(x) = cx) Arvuta koefitsient c jaotusfunktsioon keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning standardhaumllve Leia totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (m plusmn σ) (m plusmn 2σ) Joonista graafik ning kanna sellele keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning viiruta piirkond (m plusmn 2σ)

Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

2

2

0

2

0

21

2

)(

2 bc

bc

xcdxcxdxcx b

b

=rArrequivsdot=sdot=sdot=sdot intintinfin

infinminus

Seega on selle kolmnurkjaotuse jaotustihedus

lele=

mujal0

02

)( 2bx

b

xxf

Leiame nuumluumld jaotusfunktsiooni

2

2

02

2

022

22)(

b

x

b

xdx

b

xdx

b

xxF x

xx

==== intintinfinminus

Arvutame nuumluumld keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

bbb

bx

bdxx

bdx

b

xxm

bbb

6703

2

3

2

3

2222

3

0

3

20

22

02

asymp==

=== intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

[ ] 24

222 2

0

4

20

32

02

22 bx

bdxx

bdx

b

xxXm

bbb

=

=== intint

Nuumluumld saame

[ ]1818

89

3

2

2

2222222 bbbbb

mXmD =minus

=

minus=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

bb

D 24018

asymp==σ

Arvutame mediaani kasutades jaotusfunktsiooni

bbxb

xxF 7105050)(

2

2

asympsdot=rArr==

Leiame jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused meid huvitavates punktides

54

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

151)480670(18

2

3

22

910)240670(183

2

430)240670(183

2

190)480670(18

2

3

22

=+asymp+=+

=+asymp+=+

=minusasympminus=minus

=minusasympminus=minus

σ

σ

σ

σ

1)151()2(

8280910)910()(

1850430)430()(

0360190)190()2(

2

2

2

==+

==asymp+

==asympminus

==asympminus

bFmF

bFmF

bFmF

bFmF

σσ

σ

σ

P(m plusmn σ) = 0828 ndash 0185 = 0643 = 643

P(m plusmn 2σ) = 1 ndash 0036 = 0964 = 964

55

25 Juhuslike jaotuste summa

251 Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega mingist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatakse hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetmise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga jagatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on selge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotusest Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alles jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

Vaatame uuesti naumlidet kus me vaatasime kahe taumlringuviske summat (2 loeng) Saime jaumlrgmise jaotustabeli

Tabel 22 Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

Joonis 216 Kahe taumlringuviske keskvaumlaumlrtuse jaotustihedus (punane) taustaks uumlhe taumlringuviske jaotustihedus (sinine)

56

Nii tabelist kui ka jooniselt naumleme et kuigi motildelemad taumlringuvisked olid diskreetsest uumlhtlasest jaotusest on nende summa ja keskvaumlaumlrtuse jaotus kolmnurga kujuline seega erinev summeeritavate jaotusest

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustiheduse leidmiseks konvolutsiooni integraali

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()( (229)

Tutvume selle integraali arvutamisega naumlidete varal liites kokku kaks uumlhesugust jaotust

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peavad tema motildelemad komponendid olema nullist

erinevad Esimene integraal on nullist erinev ainult piirkonnas [ ]10=τ Teine integraal on nullist erinev ainult piirkonnas

[ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingimust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

[ ][ ]

minus=

tt 1

10τ

Kuna τ sotildeltub t vaumlaumlrtusest siis integreerime tuumlkkide kaupa

1 0)(0 =rArrlt tyt

2 tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(10 τττττ

3 21 ltlt t Selles piirkonnas on radasid kotildeige raskem ette kujutada Integreerimise alumise raja maumlaumlrab teine tingimus ehk τ = t ndash 1 uumllemise aga esimene tingimus ehk τ = 1

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(21 1

1

1

1

τττ

57

4 0)(2 =rArrgt tyt

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus on maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

Antud funktsioon on toodud jaumlrgneval graafikul ning on identne eelmises loengus toodud kolmnurkjaotusega

Kahe jaotuse konvolutsiooni saab leida ka graafiliselt Jaumlrgnevatel joonistel on toodud konvolutsiooni graafilise arvutamise naumlide juba arvutatud uumlhtlaste jaotuste liitmisest Osutub et konvolutsiooni integraal kohal t on votilderdne funktsioonide x(τ) ja h(t ndash τ) kattuvuspiirkonna pindalaga

58

Naumlide 215 Leiame konvolutsiooni integraali kahest eksponentjaotusest

gt

==minus

mujal0

0)()(

xexgxf

x

intintinfin

infinminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=minussdot= dyeedyyxgyfxgf yxy )()()())((

Leiame jaumllle tingimused kus konvolutsiooni integraali motildelemad komponendid oleksid nullist

erinevad Esimene tingimus on et [ )0 infin=y Teine tingimus on et

[ [ [ ))0)0 xyyxyx infinminus=rArrinfinminus=+minusrArrinfin=minus

Vaadates neid motildelemaid tingimusi on selge et alumiseks piiriks on 0 ja uumllemiseks on x

[ ]xy 0=

Hakkame nuumluumld konvolutsiooni integraali arvutama

59

intint

intint

minusminusminus

minusminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=sdotsdot=sdot=

=sdot=minussdot=

xxx

x

y

xy

xyxy

exdyedye

ee

dyeedyyxgyfxgf

00

0

)(

1

)()())((

Alloleval joonisel on toodud nii eksponentjaotuse graafik kui ka kahe eksponentjaotuse konvolutsiooni graafik

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

11

0

exp xminus( )

x exp xminus( )sdot

100 x

252 Keskne piirteoreem

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildeltuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste)

summa sum=

=n

iiXX

1 jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on liidetavate arv n seda

vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid suuruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreemi potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildeplik dispersioon)

Matemaatiline keskse piirteoreemi definitsioon

Olgu X1 X2 juhuslikud suurused sum=

=n

iin XS

1 Kui infinlt= )( nXDσ siis

60

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro (230)

kus )( nXm=micro

Selle teoreemi kehtides on selge et ka Sn on ise normaaljaotusega sest konstandi lahutamine ning jagamine konstandiga ei muuda jaotuse kuju vaid ainult parameetreid

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piirteoreemi Selleks tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude generaatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus (0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingimust et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid eelmises loengus lahendatud kolmnurkjaotusele eksponentjaotusele ning parabooljaotusele

1 Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul ltlt

=mujal0

102)(

yyyf Eelmises

loengus saime et sellise jaotuse keskvaumlaumlrtus on 32)( =ym ning standardhaumllve on

181=σ

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on xxdxxF xx

==sdot= int 0

0

1)(

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on 2

02

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

Kuna F(y) = F(x) siis xy =2 jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur

uumlhtlasest jaotusest

)10(Uxy ==

2 Vaatame eksponentjaotust mis on defineeritud kujul gtsdotminussdot

=mujal0

0exp()(

yyyf

λλ

Eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus on λ1)( =ym ning standardhaumllve on λσ 1=

61

Eksponentjaotuse jaotusfunktsioon on )exp(1)( yyF sdotminusminus= λ

Kuna F(y) = F(x) siis

λλ

λλ

))10(1ln()1ln(

)1ln(

)exp(1)(

Uxy

xy

xyyF

minusminus=

minusminus=

minusminus=sdot

=sdotminusminus=

3 Vaatame parabooljaotust mis on defineeritud kujul

ltsdot=

mujal0

12

3)(

2 yyyf

Parabooljaotuse keskvaumlaumlrtus on suumlmmeetria kaalutlustel 0)( =ym arvutame y2 keskvaumlaumlrtuse ning siis standardhaumllbe

5

3

10

3

10

3

52

3

2

3)( 1

1

51

1

42 =+=sdot== minus

minusint

ydyyym

5

3

5

30

5

3)( 2 =rArr=minus= σyD

Parabooljaotuse jaotusfunktsioon on

intinfinminus

minus

+=+===

yy yyy

dyyyF2

1

2

1

222

3)(

33

1

32

Kuna F(y) = F(x) siis

33

3

1)10(212

2

1)(

minussdot=minus=

=+

=

Uxy

xy

yF

Nuumluumld motildetleme teoreetiliselt laumlbi kuidas piirteoreemi (230) uurida Taumlhistame summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n-ga Genereerime n numbrit ning arvutame nende summa ning teoreemis antud suuruse Zn Saadud uumlksikut numbrit vaadates ei saa me aga teha mingisugust jaumlreldust selle kohta

62

millisest jaotusest ta paumlrineb Jaotuse motildeistmiseks tuleb suurust Zn arvutada palju kordi alles seejaumlrel saame leida Zn histogrammi ning votilderrelda seda normaaljaotusega parameetritega N(01)

Demo keskne_piirteoreem_v2mcd

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest jaotustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotildeige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Sellest hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste summat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kinnitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

Naumlide 216 Genereeri arkussiinusjaotus 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ votildettes aluseks uumlhtlase jaotuse U(01)

Lahendus

2

2

)10(sin

2

)10()arcsin(

)10()arcsin(2

)(

sdot=

sdot=

=sdot

=

Uy

Uy

Uy

yF

π

ππ

63

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt (tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eksperimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildeteviga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti Votildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhuslikust komponendist

31 Suumlstemaatilised vead

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi on votildeimalik piisavalt taumlpselt maumlaumlrata

Naumliteks

bull testri 0 votildeib olla paigast aumlra bull keha massi maumlaumlramisel uumllesluumlkkejotildeu arvestamata jaumltmine bull termomeetri skaala votildeib olla nihkes

Votildeimaluse korral tuleb seda liiki vead kindlasti kotildervaldada votildei aumlaumlrmisel juhul arvesse votildetta parandite abil Teadaoleva (aditiivse) suumlstemaatilise vea arvestamisel saame

motildeotildetmistulemuse parandatud vaumlaumlrtuseks qxx +=~ kus q on aditiivsest suumlstemaatilisest

veast tingitud parand Aditiivne viga ei sotildeltu motildeotildetmistulemuse vaumlaumlrtusest

Motildenikord votildeib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga st veaga mis kasvab votilderdeliselt motildeotildetmistulemuse kasvuga Sellisel juhul tuleb parandatud motildeotildetmistulemuse saamiseks

motildeotildetmistulemus parandusteguriga laumlbi korrutada xQx sdot=~ kus Q on multiplikatiivset

suumlstemaatilist haumllvet arvestav parandustegur

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse kalibreerimisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel kust saab leida vajaliku vaumlaumlrtuse parandi (votildei parandusteguri) jaoks

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mitte

Siia alla kaumlivad kotildeik riistavead Need on potildehjustatud ebataumlpsest gradueerimisest Nagu edaspidi naumleme on siin sisuliselt tegu B-tuumluumlpi (motildeiste taumlpsustame edaspidi) motildeotildetemaumlaumlramatusega ja seda viga saab iseloomustada motildeotildetemaumlaumlramatuse abil Potildehimotildetteliselt aga saab sellisest suumlstemaatilisest veast ka vabaneda kui kontrollida motildeotildeteriista motildene teise tunduvalt taumlpsema motildeotildeteriistaga ja koostada vastava parandite tabeli

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata Sellised vead votildeivad esineda juhtudel kui kasutatakse uut motildeotildetmismeetodit votildei kui on tegemist aumlaumlrmiselt keeruliste motildeotildetmistega Kui vea olemaolu on motildeotildetjale teadmata siis selline viga jaumlaumlb motildeotildedetud suuruse vaumlaumlrtusesse paratamatult sisse

Teadmata suumlstemaatiline viga votildeib esineda ka kuumlllalt lihtsatel juhtudel Olgu naumliteks vaja maumlaumlrata mingi materjali elektrijuhtivust Selleks motildeotildedetagu sellest materjalist tehtud traadi takistust Kui traadis on mingi varjatud materjalidefekt (pragu ebahomogeenne koht) siis takistuse vaumlaumlrtus tuleb suumlstemaatiliselt vale

Teadmata suumlstemaatilisest veast saab vabaneda randomiseerimise teel milleks puumluumltakse suumlstemaatiline haumllve muuta osaliselt votildei taumlielikult juhuslikuks Traadi naumlite puhul tuleks

64

motildeotildeta paljude traadituumlkkide takistus ja leida nende keskvaumlaumlrtus Kui aga viga on vaumlga suur siis ei ole randomiseerimist vajagi piisab kui fikseerime vigase traadi (mille takistus osutus naumliteks uumllejaumlaumlnutest erinevaks 10 korda) ja jaumltame selle edasisest motildeotildetmisest kotildervale

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistilin e hinnang

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel alati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest teguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

Uumlkskotildeik kui hoolikalt me ka ei motildeotildedaks uumlht ja sama detaili me saame erinevatel sotildeltumatutel motildeotildetmistel erineva tulemuse See erinevus votildeib olla vaumlga vaumlike kuid ta on potildehimotildetteliselt alati olemas Peamised juhuslikkuse allikad on vaumllised tegurid motildeotildedetava objekti enda muutlikkus ja motildeotildetmisi teostava isiku oskused ja kogemustepagas Seetotildettu on motildeotildedetav suurus juhuslik suurus X ja iga motildeotildetmistulemus (iga uumlksikmotildeotildetmine) on selle juhusliku suuruse realisatsioon x

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt X juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(31)

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildettes (NB idealiseeritud eeldusel et muid veaallikaid ndash suumlstemaatilist viga teadmata viga vms ndash ei esine)

lim tNN xx =infinrarr (32)

Et motildeotildetmisi on alati lotildeplik hulk (N alati lotildeplik) ning reaalsetel motildeotildetmistel idealiseeritud eeldused (ei esine suumlstemaatilist viga teadmata viga jne) ei kehti siis tegelikult me ei saa kunagi teada totildeelist

motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtust ja me peame alati piirduma ligikaudse statistilise hinnanguga Nx See statistiline hinnang votildeetakse motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks

65

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel maumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni (219)

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsemad kui viimased siis pi = 1N seega

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ (33)

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nimetatakse empiiriliseks dispersiooniks

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

(34)

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seoseid

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

kus d on juba eespool selles punktis defineeritud uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildeelist dispersiooni otildeigesti kuna (esmavaatlusel votildeib-olla motildenevotilderra ootamatult) suurus 2

Nσ alahindab

dispersiooni Suurte N-de korral ei ole suurt erinevust millist dispersioonihinnangut kasutada vaumlikeste puhul (N lt 10) aga kuumlll Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispersiooni hindamisel valemit (34) mida nimetame suuruse X empiiriliseks dispersiooniks Kehtib

2 dsN asymp (35)

(Tegemist on muidugi d hinnanguga mis on seda parem mida suurem on N)

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=

sum= (36)

66

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise sum=

=N

kkN X

NX

1

1 arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11 (37)

Seega Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus langeb kokku uumlksiksuuruse keskvaumlaumlrtusega

Dispersioon on aga (ilma totildeestuseta)

[ ]N

dXD N =

ning jaumlreldusena

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ (38)

Seega

Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

See on vaumlga taumlhtis ja fundamentaalne tulemus mida kasutatakse laialdaselt fuumluumlsikalistel motildeotildetmistel Nimelt ndash kotildeigepealt tehakse N motildeotildetmist Seejaumlrel leitakse motildeotildetmistulemuste aritmeetiline keskmine

1

1

mxN

xN

iiN asymp= sum

=

(39)

mis vastavalt valemi (37) tulemustele votildeetaksegi motildeotildedetava suuruse m hinnanguks Eelneva potildehjal on see usaldusvaumlaumlrsem kui uumlksikmotildeotildetmised ja motildeotildetmiste arvu suurenemisel aritmeetiline keskmine erineb uumlha vaumlhem motildeotildedetava suuruse tegelikust keskmisest vaumlaumlrtusest kusjuures see erinevuse suurus on hinnatav valemiga aritmeetilise keskmise standardhaumllbele (38)

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbe arvutamiseks mitte valemit (38) vaid hoopis valemit (36) st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

67

Naumlide 31 Taumlppiskaalude kasutamisel annab iga motildeotildetmine veidi erineva tulemuse seoses erinevate vibratsioonidega Nende vibratsioonide vaumlhendamiseks on motildened laborid ehitatud eriprojekti jaumlrgi votildettes kasutusele mitmeid lahendusi Naumliteks Fuumluumlsika Instituudis on keldris labor mille toumloumllaud on massiivsest mitmetonnisest raudplaadist see asetseb vedrudel mis toetuvad muust majast eraldatud vundamendile

Kuna vibratsioonide sagedus on suur votilderreldes motildeotildetmiste sagedusega siis ei motildeotildetmised omavahel sotildeltuvad ning aritmeetilise keskmise standardhaumllbe leidmiseks votildeib kasutada valemit (38)

Naumlide 32 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik on toodud joonisel (31) On selgesti naumlha et keskmise temperatuuri leidmiseks tehtud motildeotildeteseeria aritmeetiline keskmine ei lange kokku ruumi temperatuuri tegeliku keskmise vaumlaumlrtusega Tulemus ei paraneks kui motildeotildetmisi oleks teostatud sama aja jooksul kuid 100 korda tihedamalt

Aeg

Temperatuur

Joonis 31 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik ning motildeotildeteseeria ruumi keskmise temperatuuri maumlaumlramiseks

Naumlidete 1 ja 2 potildehjal votildeib jaumlreldada et vaumlga oluline on motildeotildetesuuruses esineda votildeiva suumlstemaatilise muutlikkuse sagedus ndash kui see on suurem kui motildeotildetmiste sagedus siis votildeib kasutada valemit (38) aga kui see sagedus on oluliselt vaumliksem kui motildeotildetmiste sagedus siis peab piirduma valemiga (36) Selle demonstreerimiseks votildeib joonistada siinusgraafiku ning kanda sellele kaks motildeotildeteseeriat ndash uumlks mille ulatus on murdosa votildenkeperioodist (nagu joonis 31) ning teine mille ulatus on mitmeid votildenkeperioode

Naumlide 33 Olgu pliiatsitehases pliiatsiautomaadi poolt toodetavate pliiatsite pikkus X Kui taumlpne ka ei oleks masin ka temale on omane eksimine (eksimine on inimlik rArr eksimine on masinlik) ja lotildeppkokkuvotildettes pliiatsite pikkused veidi erinevad uumlksteisest Teiste sotildenadega X on juhuslik suurus Me tahame hinnata

(1) milline on keskmine pliiatsi pikkus mida see masin produtseerib

68

(2) milline on uumlksiku pliiatsi pikkuse standardhaumllve

(3) kui oleme hinnanud pliiatsi keskmise pikkuse siis milline on selle keskmise hinnangu enese standardhaumllve

Votildetame peoga pliiatseid ja saame valimi (juhuslikult) 30 pliiatsist N = 30 Motildeotildedame nad aumlra olgu

motildeotildetmisoperatsioon ise taumlpne ja tulemused olgu ix Nuumluumld

a) arvutame aritmeetilise keskmise Nx valemist (39) See annab meile (hinnangulise)

vastuse kuumlsimusele (1) olgu konkreetselt Nx = 1980 mm

b) arvutame empiirilise standardhaumllbe Ns (36) See annab vastuse kuumlsimusele (2)

Olgu konkreetselt Ns = 1 mm Seejuures eeldusel et pliiatsite pikkuse jaotus on

normaalne asub 67 totildeenaumlosusega uumlksikpliiatsi pikkus vahemikus [ ]NNNN sxsx +minus =

[197199] mm ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus [ ]NNNN sxsx 22 +minus = [196200] mm

c) lotildepuks arvutame keskmise pikkuse enese hajuvuse valemist (38) See annab vastuse

kuumlsimusele (3) Konkreetse numbrilise vaumlaumlrtuse Ns = 1 mm korral saame

[ ] 1804851301 ==== NsXu NN mm

Eeldame et pliiatsite pikkuse jaotus on suumlmmeetriline siis valimi maht 30 lubab meid juba eeldada et aritmeetilise keskvaumlaumlrtuse jaotust votildeib vastavalt kesksele piirteoreemile laumlhendada normaaljaotusega seega asub 67 totildeenaumlosusega pliiatsite keskmine pikkus vahemikus

[ ]2198819730

30

=

+minus NN

NN

sx

sx mm

ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus

[ ]4198619730

2

30

2=

+minus NN

NN

sx

sx mm

69

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus

Niisiis meil pole teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus (kui oleks siis poleks motildeotildetmised tarvilikud) ning seda totildeelist vaumlaumlrtust ei anna ka suure arvu kordusmotildeotildetmiste keskmistamine Maksimum mida saab notildeuda on motildeotildetmistest leitud motildeotildedetava suuruse mingi arvatav parim hinnang ndash naumliteks kordusmotildeotildetmistel on selleks aritmeetiline keskmine ndash ning teatav intervall selle parima hinnangu uumlmber millesse etteantud usaldusnivooga kuulub motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus Seega motildeotildetmistulemuseks ei ole mitte punkt arvsirgel vaid motildeotildetmistulemuseks on lotildeplik lotildeik reaalteljel mis maumlaumlrab motildeotildedetava suuruse votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni Olukorda illustreerib joonis 32

Joonis 32 Suuruse parim hinnang totildeeline vaumlaumlrtus ning motildeotildetemaumlaumlramatus

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja lotildepp-punktiga xmin ja xmax Tavalisem ja levinum

on siiski anda lotildeigu keskpunkt milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang Nx ning lotildeigu poollaius u(x) Seda poollaiust u(x) nimetatakse motildeotildetemaumlaumlramatuseks (motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis u on tulnud ingliskeelsest terminist uncertainty)

Motildeotildetemaumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on lotildeigu poollaius u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetemaumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus usaldusintervalli [ ])()( xuxxux NN +minus satub Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu Nx u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eeskirjad parima hinnangu Nx motildeotildetemaumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus maumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus nenenene viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsioon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetemaumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast teadaolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmistulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda maumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatiliste motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildeib osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votildeimalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemusel olla uumlsna suur maumlaumlramatus

70

Motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetemaumlaumlramatus kannab nime

Liitmaumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi maumlaumlramatus

Kasutatakse veel ka standardmaumlaumlramatuse motildeistet Standardmaumlaumlramatus on standardhaumllbe kujul vaumlljendatud motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus

Maumlaumlramatuse komponentide A ja B gruppi jagamise eesmaumlrgiks on nende hindamise kahe erineva viisi rotildehutamine mitte aga erineval viisil saadud komponentide iseloomu erinevuse naumlitamine Motildelemad hinnangud potildehinevad totildeenaumlosusjaotusel ja motildelemal viisil saadud maumlaumlramatuse komponendid esitatakse dispersioonhinnangu votildei standardmaumlaumlramatuse (standardhaumllbe hinnangu) abil Potildehiline ja oluline erinevus on selles et A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus saadakse vahetult motildeotildetmistulemustest nende statistilise toumloumltluse tulemusel kuna B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse leidmisel kasutatakse kaudsel viisil hangitudteadaolevat totildeenaumlosuslikku informatsiooni (Naumliteks on teada et motildeotildeteriista vea jaotust votildeib kaumlsitleda uumlhtlase seaduse kohaselt)

Jaumlrgnevas vaatleme A- ja B-tuumluumlpi maumlaumlramatusi ning liitmaumlaumlramatust laumlhemalt

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendades kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele poole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllistingimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Naumlide 34 Stomatoloogiakabinetis kaalutakse hambakulda Kabinet paikneb vanas majas kus potilderand pisut kotildeigub kui seda moumloumlda kotildendida Tundlikke kaale on raske tasakaalustada Iga motildeotildetmine annab isesuguse tulemuse

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse statistilisel hindamisel

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Au

Niisiis tehakse N motildeotildetmist ja leitakse aritmeetiline keskmine (mis uumlhtlasi votildeetakse ka motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks kui seda ei ole vaja taumliendavalt korrigeerida teadaoleva suurusega suumlstemaatilise vea totildettu)

121

N

x

N

xxxxx

N

ii

NNt

sum==

+++=asymp

K

71

Seejaumlrel hinnatakse motildeotildedetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllve valemitega (36) omavahel sotildeltuvate motildeotildetesuuruste korral ning valemiga (38) omavahel sotildeltumatute motildeotildetesuuruste korral

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev maumlaumlramatus mis ei

ole statistiliselt vaumlhendatav B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Bu

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildetevahend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt teisele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja samal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduvad motildeotildetmised tema suurust ei kahanda Kaumlesoleva kursuses seomegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse konkreetse riistaveaga

Naumlide 35 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 33) potildehiviga (ehk riistaviga) on mm050=∆o St eeldatakse et motildeotildeteriistast tingitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel ∆x = x ndash xt jaumlaumlb

piiridesse

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

Joonis 33 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motildeotildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale (Toodud joonisel on see 01 mm Praktikumis kasutakse kaks korda taumlpsemat riista potildehiveaga 005 mm)

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik viga ei vaumllju neist piirest

Uumlldiselt eeldatakse et (konkreetse) motildeotildeteriista viga on jaotunud uumlhtlaselt lotildeigul [ ]oo ∆+∆minus so

motildeotildeteriista vea jaotustihedus on uumlhtlane jaotus keskvaumlaumlrtusega nullis (lotildeigu otspunktid on seetotildettu

oa ∆minus= ja ob ∆= ) ning standardhaumllbega

580323

1o

o ∆=∆

=minus

=ab

σ

See standardhaumllve votildeetaksegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

72

5803

oo ∆=

∆=Bu

333 Liitmaumlaumlramatus

Motildeotildetmistulemuse standardmaumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitmaumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis saadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2 (310)

Eeldatakse et A ja B tuumluumlpi maumlaumlramatuse maumlaumlravadpotildehjustavad juhuslikud suurused mis on vastastikku korreleerimatud (sotildeltumatud) ndash ainult sel juhul kehtib dispersioonide liitumise seadus

Keerulisemate motildeotildetmiste korral votildeib meil olla tegu mitme A-tuumluumlpi komponendiga 21 AA uu hellip

ning mitme B-tuumluumlpi komponendiga 21 BB uu hellip Sel juhul

22

21

2A2

2A1C ++++= BB uuuuu

Naumlide 36 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust N = 100 korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks

mm 64876=Nx ja tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == Nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

Jaumlrelikult koond- ehk liitmaumlaumlramatuseks saame mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siin oleme arvesse votildetnud juhusliku haumllbe ja motildeotildeteriista ebataumlpsuse kuid arvesse votildetmata jaumltnud suumlstemaatilise haumllbe

Tulemus esitatakse sageli kujul

mm )0530(64876=x votildei

mm )53(64876=x

votildei

mm 053064876 plusmn=x

Kahjuks pole eelnevatest kirjaviisidest votildeimalik uumlheselt aru saada kas tegemist on maumlaumlramatusega standardmaumlaumlramatuse tasemel laiendmaumlaumlramatusega votildei hoopis motildeotildeteriista veaga Mitmetimotildeistmise vaumlltimiseks esitame antud kursuse raames motildeotildetetulemust kujul

73

( ) mm0530mm 64876 xux == Muidugi votildeib kasutada veelgi taumliuslikumat kirjaviisi tulemuste esitamiseks

mm 64876=x

100=N

68=p

mm 0530C =u

( ) mm 0440A =xu normaaljaotus

mm 0290B =u uumlhtlane jaotus

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatus e arvutamisel

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uumlsna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjutamisel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal (taumlhendnumbrite hulk e taumlhendusega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus) Tulemused esitatakse uumlmardatult Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 ja 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati et arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suumlstemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise reegel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber oleks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagades nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulemuse

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid peale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samuti uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbriteks

Naumlide 37 10 400 5 taumlhendnumbrit

104middot102 3 taumlhendnumbrit

10 40000 7 taumlhendnumbrit

001040 4 taumlhendnumbrit

Motildeotildetemaumlaumlramatus esitatakse kas uumlhe votildei kahe taumlhendnumbriga ISO standardi alusel esitatakse maumlaumlramatus taumlppismotildeotildetmistel kahe taumlhendnumbri taumlpsusega ja tavamotildeotildetmistel uumlhe taumlhendnumbri taumlpsusega Kui arvutustel tuleb motildeotildetemaumlaumlramatus pikem siis uumlmardatakse tulemus vastavalt kas kahe votildei uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks Uumlmardatakse ainult lotildepptulemust vahetulemuste uumlmardamisel votildeiks alles jaumltta vaumlhemalt kolm taumlhendnumbrit sest lahenduse algstaadiumis tehtud uumlmardamise viga votildeib arvutamise kaumligus votildeimenduda

74

Naumlide 38

Arvutatud uc 23751 23751 023751 00023751

uc kahe taumlhendnumbriga 24middot103 24 024 00024

uc uumlhe taumlhendnumbriga 2middot104 2middot101 02 0002 Motildeotildetmistulemus esitatakse alati maumlaumlramatuse viimase koha taumlpsusega

Naumlide 39 Olgu motildeotildedetud suurus x= 733565023 ja arvutatud motildeotildetemaumlaumlramatus uC = 00382765

Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 0038 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 73357 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 73358(38) votildei x = 73358(0038)

Naumlide 310 Olgu motildeotildedetud x = 1003476 ja uC = 05246 Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 05 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 1003 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 1003(5) votildei x = 1003(05)

35 Ekse

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmselgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekkinud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisega kaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellistel juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mil naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumlidu kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemused mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemus erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste protokolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane maumlrge

75

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv

Oletame et me arvutame keskvaumlaumlrtust m(x) valimi suurus on n Kasutame uuesti dispersiooni defineerimisel kasutatud suurust haumllve ehk tsentreeritud juhuslik suurus ehk jaumlaumlkvaumlaumlrtus (217)

)21()( nixmxii =minus=ε (311)

Kehtib seos

01

=sum=

n

iiε (312)

Seda seost on kerge totildeestada kasutades keskvaumlaumlrtuse m(x) definitsiooni

Kuna jaumlaumlkvaumlaumlrtused on omavahel seotud valemi (312) kaudu ei ole nad sotildeltumatud Kui meil on teada n ndash 1 jaumlaumlkvaumlaumlrtust siis n-s jaumlaumlkvaumlaumlrtus on arvutatav seosest (312) Seetotildettu oumleldakse et n jaumlaumlkvaumlaumlrtust omavad vabadusastmete arvu ν

1minus= nυ (313)

Kui aga n sotildeltumatut motildeotildedist on vaumlhimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge totildeusu kui ka algordinaadi maumlaumlramiseks siis on vastavate standardmaumlaumlramatuste vabadusastmete arv 2minus= nυ Analoogselt kui vaumlhimruutude meetodil hinnatakse m parameetrit n andmepunkti alusel siis on iga parameetri vabadusastmete arv mnminus=υ

Kasutades suurust ν saame esitada juhusliku suuruse X empiirilise standardhaumllbe (36) kujul

υ

sum=

minus=

N

i

Ni

N

xxs 1

2)( (314)

See valem on uumlldisem kuna ei sotildeltu sellest mitut parameetrit m valimist suurusega n on leitud

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv

On totildeestatud et maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus on

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu (315)

See ligikaudne votilderdsus laumlheb votilderdsuseks normaaljaotuse erijuhul Samas polegi meil enamasti vaja mitte taumlpset vaumlaumlrtust vaid piisab ka maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatuse suurusjaumlrgulisest hinnangust milleks on valem (315) igati sobiv

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 10

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

76

2

2

2 )(21

)(2

minus

=asymp

s

su

su

sν (316)

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi maumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on maumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Valemist (316) saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt esitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase

jaotuse standardmaumlaumlramatus on 0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu degC Siit saame et

144020

02890

)(

))((==

tu

tuu ning vabadusastmete arv on ( ) 241440

2

1 2 == minusν

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete ar v

Liitmaumlaumlramatuse (310) vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutada kuumlll aga votildeib leida efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaite valemit

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitmaumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv arvutatult valemist (317) ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise efektiivsete vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tulemus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuks 6

Naumlide 313 (Jaumltkame naumlidet 36)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

77

ning koondmaumlaumlramatuseks

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siit algab naumlite uus osa

Leiame nuumluumld komponentide vabadusastmed

991A =minus= nν

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv on lotildepmatu nagu naumlitasime naumlites 1 Efektiivne vabadusastmete arv on vastavalt valemile (317)

20842080290

990440

0530

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

Seega saime metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlrama tus

Nii m(x) kui ka uN on motildelemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt votildettes ei totildeeline keskvaumlaumlrtus ega aritmeetilise keskmise totildeeline standardhaumllve (kuigi nad on nendele suurustele laumlhedased sest nende hajuvus on vaumlike) Inglise teadlane Student alias WS Gosset totildeestas

Kui X on normaalne juhuslik suurus siis juhuslik suurus

[ ]

( )N

N

xu

XmxT

minus= (318)

allub jaotusele tihedusega

22

11 11)(

N

NN N

tCts

minus

minusminus

minus+= (319)

Siin 1minusNC on normeerimistegur Jaotust (319) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti

jaotuseks Studenti jaotus erinevate 1minusN vaumlaumlrtuste korral on toodud joonisel 34 millelt on ka naumlha kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades laumlheneb standardiseeritud normaaljaotusele

78

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

Joonis 34 Uumlhe kahe viie ja kuumlmne vabadusastmega Studenti jaotus )(1 xsNminus ning

standardiseeritud normaaljaotus )(xf

Studenti jaotuse oluline omadus on et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon )(1 tsNminus sotildeltub vaid uumlhest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) 1minusN ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Selles motildettes on tegu universaalfunktsiooniga mis iseloomustab suvaliste uumlhesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa uumlldisi omadusi

Otsene jaumlreldus asjaolust et juhuslik suurus (318) allub Studenti jaotusele on et usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

[ ] )()()()( 11 pxuptxxxuptxP NNNNNN =+ltltminus minusminus (320)

Siin suurus )(1 ptNminus on (Studenti) t-kordaja ndash parandustegur etteantud usaldusnivoo p ja 1minusN

vabadusastme korral t-kordaja on samuti ainult uumlhest parameetrist N sotildeltuv universaalne

usaldusnivoo funktsioon mis on leitav Studenti jaotusest Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p

vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult Studenti t-kordaja tabuleeritud vaumlaumlrtused on toodud lisas 1 Mathcadis

on t-kordaja leidmiseks funktsioon

+

ν2

1 pqt Excelis funktsioon ( )ν1 pTINV minus

Valemit (320) nimetatakse Studenti testiks

Suurte N -ide korral laumlheb Studenti jaotus uumlle standardiseeritud normaaljaotuseks Tabelis 1 toodud

Studenti t-kordaja tabelist on naumlha et naumliteks 304)95(2 rarrt ja 094)7399(9 rarrt jne Erinevus

on oluline alas 30ltN ja vaumlga oluline alas 10ltN

79

Tabel 31 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja

soovitavast usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(I) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

80

Kuigi liitmaumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse y maumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitmaumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutatakse nn laiendmaumlaumlramatust taumlhisega U Laiendmaumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitmaumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate maumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendmaumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendmaumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastmete arv

Laiendmaumlaumlramatus U saadakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot= (321)

Kattetegus valemis (321) on arv mida kasutatakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendmaumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule [ ]UyUy +minus etteantud usaldatavustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 votildei 99 Et saada vaumlaumlrtust kattetegurile kp mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p vajame detailseid teadmisi motildeotildetetulemuse ja tema totildeenaumlosusjaotuse kohta

Oletame et keskse piirteoreemi eeldused on enam-vaumlhem taumlidetud st et liitmaumlaumlramatuses u(y) ei domineeri sisendsuuruse standardmaumlaumlramatuse komponent mis on saadud vaumlikesest arvust motildeotildedistest A-tuumluumlpi hindamismeetodit kasutades votildei komponent mis tugineb eeldatud jaotusele mis ei ole normaaljaotus (B-tuumluumlpi hindamismeetod) Sellest oletusest jaumlreldub et motildeistlik esimene laumlhend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine Kui esimene eeldus ei kehti st on vaumlike arv motildeotildediseid siis on motildeistlik arvutada efektiivsete vabadusastmete arv ning kasutada Studenti jaotust Kui teine eeldus ei kehti st domineerib normaaljaotusest erinev jaotus siis tuleks leida jaotusfunktsioon ning sealt arvutada katteteguri vaumlaumlrtus Motildeningad ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivad kp vaumlaumlrtused on toodud tabelis 32

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

81

Naumlide 314 Metallsilindri motildeotildetmine (jaumltkame naumliteid 36 ja 313)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

Leiame Studenti t-kordaja vaumlaumlrtuse vabadusastmete arvule 208 usaldusnivool 95 tabelist 31 Tabelis on vabadusastmete arvule 100 vastav t-kordaja 1984 ning lotildepmatu vabadusastmete arvu korral 1960 Vabadusastmete arvu 208 korral votildeime votildetta t-kordaja vaumlaumlrtuseks vahepealse vaumlaumlrtuse ehk k095 = 197 Nuumluumld saame metallsilindri pikkuse laiendmaumlaumlramatuseks

mm100mm10440mm 0530971)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Seega on metallsilindri keskmine pikkus mm 6576=Nx ning laiendmaumlaumlramatus mm100)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 315 Laua pikkust motildeotildedeti 5 korda joonlauaga resolutsiooniga 5 mm Kotildeik motildeotildetmised andsid laua pikkuseks 185 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 185 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on null sest motildeotildetmistulemustes puudus varieeruvus

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud joonlaua resolutsioonist mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm44112

mm 5

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on votilderdne B-tuumluumlpi maumlaumlramatusega Laiendmaumlaumlramatuse leidmisel tuleb samuti arvestada uumlhtlase jaotusega tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1645 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm2mm36882mm 4416451)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 185=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm2)( =nxU (usaldusnivool

95 )

Naumlide 316 Laua pikkust motildeotildedeti 2 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Motildeotildetmistulemusteks olid 1847 mm ning 1851 Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 1849 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

82

( )mm20

122020

1

)( 221

2

=sdot+

=minus

minus==

sum=

NN

xxsu

N

i

Ni

NA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 200mm 200500144020 2222 rarr=+=+= BAC uuu

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses domineerib A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponent Maumlletame et uumlhtlasest jaotusest votildeetud kahe motildeotildedise keskvaumlaumlrtus on kirjeldatav kolmnurkjaotusena tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1902 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm40mm38040mm 2009021)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 9184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm40)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 317 Laua pikkust motildeotildedeti 100 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Laua pikkuse motildeotildetmise aritmeetiline keskmine oli 184872 mm empiiriline standardhaumllve oli 018 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on 184872 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

mm0180100

180===

N

suA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 0230mm 023050014400180 2222 rarr=+=+= BAC uuu

83

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses on A-tuumluumlpi ja B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponendid suurusjaumlrgus sama kaaluga A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel on vabadusastmete arv 99 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel lotildepmatu Arvutame vaumllja koondmaumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

26392630230

990180

0230

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1984 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm0460mm045630mm 02309841)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 872184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm0460)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete sama lauda motildeotildedeti 3 korda neist naumlites 315 vaumlikese resolutsiooniga joonlauaga naumlites 316 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 2 korda ning naumlites 317 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 100 korda Saadud keskvaumlaumlrtused koos laiendmaumlaumlramatuse vahemikuga on toodud alloleval joonisel Kooskotildela tulemuste vahel on vaumlga hea kuigi maumlaumlramatused on mitu suurusjaumlrku erinevad

182

183

184

185

186

187

188

84

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuu ruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui esinevad vaumliksed haumllbed

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 1012 = 10201

valime x = 10 δx= 01 siis 102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suurust X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrtused m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetemaumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vastava Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

ehk

YYY δ+= (322)

kus

( )21xxYY = ja 22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part= (323)

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

( )[ ]22 )( YmYu δ= (324)

kus [ ]m taumlhistab matemaatilist ootust nagu varemgi Valem (324) eeldab et haumllbe Yδ keskvaumlaumlrtus on null

[ ] 0=Ymδ

See eeldus on rangelt votildettes taumlidetud vaid siis kui

[ ] 0=ixmδ so kui [ ] ii xXm = (325)

Ligikaudu see nii ongi ja sel juhul on (324) kasutamine otildeigustatud Pannes Yδ avaldise (323) valemisse (324) saame

85

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

part

part+

part

part=

2

22

2121

2

11

2

22

11

2 2)( xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ymx

x

Yx

x

YmYm δδδδδδδ

Kui motildeotildetevigade keskvaumlaumlrtused on nullid (nagu eeldab valem (325)) siis on keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

seega saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (326)

Korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel on defineeritud jaumlrgmiselt

sum sum

sum

= =

=

minusminus

minusminus=

N N

k

N

yx

yyxx

yyxxr

1k 1k

22k

1kkk

)()(

))(( (327)

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemust Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera mass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepikkus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne nulliga ning valem (326) lihtsustub

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (328)

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (329)

Naumlide 319 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m (uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist

6

ruumala 3D

MM

πρ == (330)

Tiheduse ja tema maumlaumlramatuse arvutamiseks on kotildeigepealt vaja leida diameetri ning massi keskvaumlaumlrtused ning standardmaumlaumlramatused

Kera diameeter olgu motildeotildedetud 10=N korda nihikuga mille potildehiviga mm050o =∆

Diameetri keskvaumlaumlrtuseks saime

( ) mm1702010

11021 =+++= dddd N

86

Diameetri A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks saime

mm0220)110(10

)()()(

210

21 =

minussdotminus++minus

=NN

A

ddddDu

ning diameetri B -tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on

mm028903)( =∆= oB Du

Diameetri koondmotildeotildetemaumlaumlramatus on

mm03630)02890()0220())(())(()( 2222 =+=+= DuDuDu BAC

Massi kaalusime uumlhekordselt neljanda klassi kaaludega Mass osutus votilderdseks jaumlrgmiste vihtide masside summaga

g 2415 g)050102220( =++++=micro

Igal vihil on vastavalt standardile maumlaumlramatus kusjuures votildeime siin eeldada et vihid on omavahel sotildeltumatud Samuti on ka kaalul oma maumlaumlramatus Kaalu potildehiviga on mg50 ja neljanda klassi

vihtide potildehivead on vastava tabeli jaumlrgi 20 6 6 1 ja 1 mg Vastavalt valemile (329) on massi maumlaumlramatus arvutatav

mg5313

554

3

1

3

1

3

6

3

6

3

20

3

50)(

222222

==

+

+

+

+

+

=MuB

Kuna kordsed massi motildeotildetmised annaksid siin kogu aeg uumlhe ja sama tulemuse siis loeme massi A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse nulliks

g 0032 mg531)()(C === MuMu B

Nuumluumld on meil olemas info tiheduse ning tema maumlaumlramatuse arvutamiseks kasutades valemeid (329) ja (330)

( ) 333

621517020

152466ruumala cm

g

D

MM====

ππρ

Leiame vajalikud tuletised

MDM

ρπ

ρ==

partpart

3

16

DD

M

D

M

D

ρππ

ρ 3183644

minus=

minus=

minussdot=

partpart

87

( )33

223

22

3

22

22

22

22

22

03100055606215005400013306215

17020

036303

1524

03206215

)(3)(

)(3

)()()()(

cm

g

cm

g

cm

g

cm

g

D

Du

M

Mu

DuD

MuM

DuD

MuM

u

=sdot=minus+sdot=

=

sdotminus+

sdot=

sdotminus+

sdot=

=

minus+

=

partpart

+

partpart

=

ρ

ρρρρρ

Kuidas ei tohi vaumlljundsuurust arvutada Kui prooviksime siin arvutada erinevatele motildeotildetmistele vastavad tiheduse vaumlaumlrtused laumlhtudes uumlldvalemist (330) so i -nda motildeotildetmise korral leiaksime suuruse

3)(

6

i

ii d

microπ

ρ =

ja seejaumlrel leiaksime uumlksiktiheduste iρ aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhaumllbe

(tiheduse A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse iseloomustajana) siis laumlheks suur osa massi maumlaumlramisega seotud motildeotildetemaumlaumlramatusest lihtsalt kaotsi Sellist viga aga ei tohi teha

88

4 Motildeotildetmise mudel

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub alati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutatakse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega teiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnanguid saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumliteks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildeltuvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

Uumlldistatud kujul on motildeotildetmise mudel esitatud joonisel 41 Toodud mudelis on vaumlljundsuurus Y motildeotildeteuumllesandega ette naumlhtud motildeotildetesuurus mis sotildeltub sisendsuurustest Xi (i = 1 2 N) Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahendamise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsiooni f abil kujul

)( 21 Ni XXXXfY = (41)

Joonis 41 Motildeotildetmise mudel

Sisendsuurusi Xi seoses (41) tuleb alati vaadelda kui motildeotildetesuurusi mis votildeivad omakorda sotildeltuda teistest suurustest sealhulgas ka suumlstemaatilisi efekte kotildervaldavatest paranditest ja konstantidest Seetotildettu motildeotildetesuuruse Y funktsionaalne sotildeltuvus f votildeib kujuneda uumlsna komplitseerituks mida ei saa alati taumlpselt kirjeldada Veelgi enam sotildeltuvus f votildeib olla vaid eksperimentaalselt maumlaumlratav votildei eksisteerida algoritmina mida saab hinnata ainult arvuliselt Seega peab funktsiooni f totildelgendama laiemalt kui puhast matemaatilist funktsiooni Taumlhtis on et funktsioon sisaldaks kotildeik motildeotildetesuurused parandid konstandid jne mis annavad panuse motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemusse Kui tulemused naumlitavad et sotildeltuvus f ei modelleeri motildeotildetetoimingut vajaliku taumlpsusega tuleb funktsioonile f lisada taumliendavaid sisendsuurusi Votildeib tekkida isegi vajadus sellise sisendsuuruse jaumlrele mis kajastab motildeotildetesuurust Y motildejutava naumlhtuse taumliendavat uurimist

Naumlide 41 Pikkusotsmotildeotildedu pikkuse motildeotildetmine Motildeotildetevahendiks on pikkuskomparaator ja motildeotildetmisel votilderreldakse motildeotildedetava otsmotildeotildedu pikkust l etalonotsmotildeotildedu pikkusega lE Komparaatorilt saadud motildeotildediseks on kahe otsmotildeotildedu pikkuste vahe δl

X1

X2

Xi

XN

f Y

89

Antud juhul on motildeotildetesuuruseks otsmotildeotildedu pikkus l mis otseselt sotildeltub etalonotsmotildeotildedu pikkusest lE ja motildeotildetmise tulemusel komparaatorilt saadud motildeotildedisest δl Peale selle peame arvestama veel parandeid mis tulenevad sellest et motildelema otsmotildeotildedu materjalide joonpaisumistegurid αE ja α on erinevad ning pikkuse motildeotildetmise hetkel etaloni ja motildeotildedetava pikkusotsmotildeotildedu temperatuuride vaumlaumlrtused haumllbivad normaaltemperatuurist vastavalt θE ja θ votilderra Pikkus l on seega funktsionaalses sotildeltuvuses kuuest sisendsuurusest Seose (41) kohane motildeotildetmise mudel on antud juhul

)( θθααδ EEE llfl =

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

( )

αθδθα

+++

=1

1 lll EEE

kus suuruse lE vaumlaumlrtuse saame etaloni kalibreerimistunnistusest suuruste δl θE ja θ vaumlaumlrtused saame motildeotildetmise protsessi kaumligus ning suuruste αE ja α vaumlaumlrtused nimetatud otsmotildeotildetude spetsifikatsioonidest votildei sobivast kaumlsiraamatust

Kasutades motildeotildetesuuruse l motildeotildetmise teisi meetodeid votildeime seda motildeotildetmist modelleerida teistsuguste matemaatiliste avaldistega Naumliteks kasutades motildeotildetmisel nihikut on motildeotildetmise mudel

)( nlfl =

kus ln on nihiku naumlit

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

nll =

Seega uumlhe ja sama suuruse motildeotildetmisel on votildeimalik kasutada erinevaid motildeotildetmise mudeleid sotildeltuvalt valitud motildeotildetemeetodist

Naumlide 42 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust tingitud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesluumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasakaalus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumalade erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad

bull vihtide mass mv bull vihtide tihedus ρv bull kaalutava metallituumlki tihedus ρm bull otildehu tihedus ρotilde bull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

90

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetavad naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku temperatuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemiks

)( RHTPfotilde =ρ

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse maumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

t

sv =

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsustada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmiste mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

12

1

tt

dssNv

minus+sdot

=

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit vaumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles maumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumlldjuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetemaumlaumlramatuste hindamist

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Peatuumlkis 38 tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Jaumltkame sotildeltumatute suuruste erijuhu uumlldistamist valemist (328)

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (42)

Sama valem on summa maumlrgi all kirja pandav kujul

91

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu (43)

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (44)

Selle valemi uumlldisemat kuju kus esineb ka uumlksteisest sotildeltuvaid sisendsuuruseid vaatame hiljem

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kritee rium

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekkida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liige on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et maumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi maumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitmaumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et tegemist on ebaolulise maumlaumlramatuse komponendiga Mingi maumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

(45)

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

Kuna liitmaumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide maumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

(46)

kus u(xi) on suvaline maumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus (45)

Tingimuse (46) kontrollimine on uumlldiselt palju lihtsam sest tingimus (45) eeldab juba et koondmaumlaumlramatus on arvutatud ning siis jaumlaumlb uumlle ainult konstateerida milline liige oli ebaoluline

Naumlide 44 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi kotildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulemused

a = 802 mm u(a) = 003 mm υ(a) = 5 b = 4253 mm u(b) = 004 mm υ(b) = 6 c = 17211 mm u(c) = 005 mm υ(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus 1 arvestamata taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

92

Ruumala on

33 cm70558mm58705111725342028 ==sdotsdot=sdotsdot= cbaV

ruumala maumlaumlramatus on

( ) ( ) ( )cm227000387070558003870

000290000940003740

11172050

5342040

028030

)()()()(

3

222

222

222

=sdot=sdot=

=++sdot=

=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

V

V

V

c

cu

b

bu

a

auVVu

Ruumala efektiivne vabadusastmete arv on

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

571526393224

001013013393224

7290

6940

5743

873

7000290

6000940

5003740

003870

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

444

4

444

4

444

4

4

444

4

44

rArr==++

=

=

++

=

=

++

=

=

+

+

=

=

sdot

+

sdot

+

sdot

sdot=

cc

cu

bb

bu

aa

auV

Vu

cc

cuV

bb

buV

aa

auV

V

VVu

V

ννν

ννν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm580cm2270572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Lahendus 2 arvestades taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

Leiame kotildeik maumlaumlramatuse komponendid

93

003740028

030)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVa

auVau

a

V

0009405342

040)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVb

buVbu

b

V

00029011172

050)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVc

cuVcu

c

V

Naumleme et kotildeige suurem maumlaumlramatuse komponent on seotud suuruse a-ga

Rakendame nuumluumld valemit (46)

30220003740000940

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

bub

V

30080003740000290

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

cub

V

Seega selgus et nii b kui ka c maumlaumlramatused on taumlhtsusetud ning nendega ei pea arvestama

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse

3cm220000374070558028030)(

)( =sdot=sdot=sdot= Va

auVVu

Ruumala maumlaumlramatus sotildeltub ainult komponendist a seega on ka ruumala vabadusastmete arv votilderdne komponendi a vabadusastmete arvuga

5)()( == aV νν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm570cm2200572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Kokkuvotildete kui votilderrelda lahendusi 1 ja 2 siis vastuste erinevus on vaumlga vaumlike 001 cm3 ehk ca 2 See erinevus on maumlrgatavalt vaumliksem kui maumlaumlramatuse maumlaumlramatus mis vabadusastmete arvu 5 juures on uumlle 30 Seega votildeib oumlelda et motildelemad vastused on otildeiged kuid teise lahenduse puhul oli vaumlhem arvutamist

Taumlhtsusetu komponendi kriteerium osutub eriti praktiliseks juhul kui on vaja otsustada milliste maumlaumlramatuse komponentidega tuleb arvestada ning millistega mitte

94

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate si sendsuuruse korral

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on N suuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

(410)

kus m(x) ja m(y) on vastavad keskvaumlaumlrtused

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()( (411)

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st x kasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud Joonisel (42) on toodud erinevate punktipilvede kohta kaumlivad korrelatsioonid

Joonis 42 Erinevate seoste vahelised korrelatsioonid

Naumlide 45 Naumlited sotildeltuvatest suurustest

95

bull Inimese pikkus ning kehamass on omavahel sotildeltuvad kuigi mitte paumlris uumlks-uumlhele

bull Ilmajaama erinevatel kotildergustel motildeotildedetud tuule kiiruse vaumlaumlrtused on omavahel tugevasti positiivselt korreleeruvad

bull Negatiivselt korreleeruvad suuruseid on temperatuur ning suhteline otildehu niiskus ndash kui suletud suumlsteemis temperatuuri totildesta siis suhteline otildehu niiskus kahaneb ning vastupidi

bull Uuringud on naumlidanud et on negatiivne korrelatsioon televiisori vaatamisele kulunud aja ning hinnete vahel st mida rohkem vaatad televiisorit seda kehvemad hinded

bull Haridustaseme ning vanglas oldud aja vahel on negatiivne korrelatsioon st mida madalam haridustase seda pikem on vanglas oldud aeg Sama vaumlite teine sotildenastus uumltleb et nendel inimestel kes on vanglas pikemalt olnud on madalam haridustase

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsient vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei negatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa y varieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotilde ltuvusega sisendsuuruste korral

Jaumltkame peatuumlkis 38 alustatud motildeotildetemaumlaumlramatusega kuid jaumltame aumlra eelduse et tegemist on sotildeltumatute suurustega

Toome uuesti valemi (326) motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu arvutamise kohta

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (412)

ning korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()( (413)

Uumlldistatult on valem (412) N sotildeltumatu sisendsuuruse korral (sama valem mis (44))

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (414)

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisanduvad valemisse (414) korrelatsiooni liikmed

96

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

siin kahekordse summamaumlrgiga summeeritakse kotildeikide liikmepaaride omavahelistest korrelatsioonidest tulenevad maumlaumlramatuse komponendid seega kui on N komponenti siis

korrelatsiooni liikmeid on 2

)1( minussdot NN Tavaliselt on arvestatav korrelatsioon siiski ainult motildene

uumlksiku komponendi vahel ning uumllejaumlaumlnud korrelatsioonid on votilderdsed nulliga

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused on A = 5 B = 7 C = 12 standardmaumlaumlramatused on u(A) = 03) u(B) = 05) u(C) = 04) parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02 r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardmaumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

Lahendus

Leiame D standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

71050)(1

50401501301

)()()()()(1

222222

22

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Du

CuC

DBu

B

DAu

A

DXu

x

DDu

N

ii

i

Leiame D standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame D standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

97

Suuruse D maumlaumlramatuse arvutuses naumlgime et korrelatsioonist tingitud liige votildeib olla oluline ning on votildeimalus et korrelatsiooni totildettu tuleb koondmaumlaumlramatus vaumliksem kui ilma korrelatsiooni arvestamata

Leiame E standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

Leiame E standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

D

A

DCAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame E standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

Seega naumlgime suuruste D ja E standardmaumlaumlramatuste arvutusest et korrelatsioonide arvestamine votildeib liitmaumlaumlramatust nii suurendada kui vaumlhendada sotildeltudes nii osatuletiste maumlrkidest kui ka korrelatsiooni maumlrkidest

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadides Kuna info paumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos on jaumlrgmine

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsienti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17 F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failis bdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

98

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise ko hta

Kordame uumlle potildehivalemid

Efektiivne vabadusastmete arv on

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

N sotildeltumatu sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()( (44)

N sotildeltuva sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte protsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

ltltsdotsdot+

sdotsdot

=mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

Leia bull koefitsient c bull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1) bull keskvaumlaumlrtus bull mediaan bull standardhaumllve bull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

Lahendus

Alustuseks tuleks seda funktsiooni lihtsustada

33325

8

)7(7321

xcxcxxxcx

xsdot+=sdot+=sdotsdot+

sdotsdot

Koefitsiendi c leiame laumlhtudes normeerimistingimusest

34714

1)7(4

)7()7( 10

41

0

3 minus=rArr=+rArrequivsdot+

=sdot+=sdot+int cccx

cdxxc

99

Asendades c vaumlaumlrtuse funktsiooni saame jaotustiheduseks

ltltsdot

=mujal0

104)(

3 xxxf

Jaotusfunktsioon kohal x1 on

410

4

0

31

11

444)( x

xdxxxF xx

=sdot=sdot= int

Keskvaumlaumlrtus on

8054

544)( 1

0

5

0

31

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

Mediaan on x-i vaumlaumlrtus mille korral jaotusfunktsioon on votilderdne 05-ga

8405050)( 4411 ==rArrequiv= medxxxF

Standardhaumllbe arvutamiseks leiame kotildeigepealt x2 keskvaumlaumlrtuse

667064

644)( 1

0

6

0

322 1

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

( ) 16306406670)()()( 22 =minus=minus= xmxmxs

NB selle koha peal on oluline et x2 keskvaumlaumlrtus leitakse vaumlhemalt kolme tuumlvinumbriga muidu on uumlmardamise viga liiga suur

Totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07) on arvutatav jaotusfunktsioonide vahena nendes punktides

240070)30()70()7030( 4 =minus=minus+=ltltminus FFxP

Siin F(ndash03) on votilderdne nulliga seetotildettu et kuna piirkonnas (ndashinfin 0) on jaotustihedus votilderdne nulliga siis on ka jaotusfunktsioon selles piirkonnas votilderdne nulliga

100

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga mille kalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia bull klotsi massi parim hinnang bull klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi liitmaumlaumlramatus bull klotsi massi vabadusastmete arv bull klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus

Teeme tabeli kus on motildeotildetmistulemused motildeotildetmistulemuste erinevus keskvaumlaumlrtusest ning selle ruut

nr x x ndash m(x) (x ndash m(x))2 1 455 ndash01 001 2 459 03 009 3 458 02 004 4 452 -04 016 5 456 0 0 sum 2280 0 030 keskmine 456

Klotsi massi parim hinnang on tema aritmeetiline keskmine

645)( =xm g

Klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse arvutamiseks leiame kotildeigepealt standardhaumllbe

2704300

1

))(()( 1

2

==minus

minus=

sum=

N

xmxxs

N

ii

g

1205

270)()( ===

N

xsxuA g

Klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus kujuneb tema kalibreerimisel hinnatud maumlaumlramatusest ning resolutsioonist Kalibreerimisel saadi laiendmaumlaumlramatuseks 03 g katteteguriga 2 seega kalibreerimise standardmaumlaumlramatus on 03 2 = 015 g

150000800225012

10150)(

2

2 =+=

+=xuB g

Seega selgus et resolutsiooni maumlaumlramatus oli ebaoluline

Klotsi massi liitmaumlaumlramatus on

101

190022501440150120)()()( 2222 =+=+=+= xuxuxu BAC g

Klotsi massi vabadusastmete arv on

25125150

4

120190

)()(

)()(

44

4

44

4

rArr=

infin+

=

+

=

B

B

A

A

C

xuxu

xux

νν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvu 25 jaoks on vastavalt tabelile

0622595 =k

Klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

390190062)()( =sdot=sdot= xukxU C g

102

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml paksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja masside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlga kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse keskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondmaumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondmaumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondmaumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

4

2 HdV

sdotsdot=

π

Leia bull jaumlauml tiheduse parim hinnang bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

Lahendus

Jaumlauml tiheduse parim hinnang on

322 cm

g9290

420964

36644=

sdotsdotsdot

=sdotsdot

sdot==

ππρ

Hd

m

V

m

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata on

cm

g5420583092902120002012609290

420

49

964

1202

366

1309290

)()(2)()(

3

222

222

1

=sdot=++sdot=

=

+

sdot+

sdot=

=

+

sdot+

sdot=H

Hu

d

du

m

muu ρρ

Puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu maumlaumlramatus osutus ebaoluliseks

Korrelatsioon on ainult massi ning pikkuse vahel teised korrelatsioonid votildeib votildetta nulliks Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatuse korrelatsiooni arvestav komponent on

cm

g2680

420

49

366

130929091

)()(9502

)()()(2)(

2

322

22

minus=sdotsdotsdotminus=minus

sdotsdotsdotsdot=

=sdotsdotpartpart

sdotpartpart

sdotsdot=

H

Hu

m

mu

HumuHm

Hmru

ρ

ρρρ

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus on korrelatsiooni arvestades

( ) ( ) cm

g160026026802940)()()(

3

22

21 ==minus=+= ρρρ uuu

Seega korrelatsiooni arvestamine vaumlhendas maumlaumlramatust uumlle 3-e korra

103

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetud veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm veekihi paksus on 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metalljoonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest10 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardmaumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus Leiame alustuseks akvaariumi ruumala

33 dm30436523cm36523304173818302320 ==sdotsdot=sdotsdot= hbaV

Leiame nuumluumld kotildeigi kolme kuumllje standardmaumlaumlramatused ning vastavad vabadusastmete arvud

cm063010

cm20)( ==auA

cm05803

cm10)( ==auB

( ) ( ) cm086005800630)()()( 2222 =+=+= auauau BAC

3133147390630

08609

0580

110

06300860

)()(

)()( 4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effauau

aua

νν

ν

( ) ( ) cm111005800950058010

30)()()( 222

222 =+=+

=+= bububu BAC

1681686190950

11109

0580

110

0950

1110

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effbubu

bub

νν

ν

( ) ( ) cm126005801120058020

50)()()( 222

222 =+=+

=+= huhuhu BAC

30430601191120

126019

0580

120

1120

1260

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effhuhu

huh

νν

ν

Leiame osatuletised

a

Vhb

a

V=sdot=

partpart

b

Vha

b

V=sdot=

partpart

h

Vba

h

V=sdot=

partpart

Leiame akvaariumi ruumala standardmaumlaumlramatuse

104

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

3

222

222

2222

22

22

2

22

22

22

1

22

cm1530066023304

003300037000430233041738

1260

1830

1110

2320

086023304

)()()()()()(

)()()()()(

=sdot=

=++sdot=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

+

+

=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

h

hu

b

bu

a

auVhu

h

Vbu

b

Vau

a

V

huh

Vbu

b

Vau

a

VXu

x

VVu

N

ii

i

Leiame nuumluumld ruumala efektiivsete vabadusastmete arvu

710871

3000330

1600370

3100430

00660

)(

)(444

4

1

4

4

==++

==

sum=

n

i i

i

VVu

Vu

ν

ν

Seega on ruumala motildeotildetmise efektiivsete vabadusastmete arv νR = 71

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 50 ja usaldusnivool 95 k5095 = 201 kohal ν = 100 ja usaldusnivool 95 k10095 = 1984 seega kohal ν = 71 ja usaldusnivool 95 votildeime votildetta kordajaks k5095 = 200 seega on akvaariumi ruumala laiendmaumlaumlramatus U(V) usaldusnivool 95

333 m310m306002m153)()( dcckVuVU ==sdot=sdot=

Seega on akvaariumi ruumala 3dm3023=V ning tema laiendmaumlaumlramatus 3m310)( dVU =

105

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

αcos2R

IE =

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskmiseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna vaheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus

Leiame kotildeigepealt valgustatuse E keskvaumlaumlrtuse

( ) 222 m

W60386

2

3

m1

W100cos =sdot== α

R

IE

Leiame nuumluumld motildeotildedetud suuruste standardhaumllbed

W1513

W2)(W100 === IuI

m0095000000903

m0010

10

m030)(m1

22

=+=

+

== RuR

0101031803

1)(630 =

sdot=

deg==deg=

παπα u

Leiame nuumluumld osatuletised

W100

11cos

12

sdot=sdot==partpart

EI

ERI

Eα

m1

22cos

23

minussdot=

minussdot=

minus=

partpart

ER

ER

I

R

Eα

3

1)30tan(

cos

sinsin

2

minussdot=degminussdot=

minussdot=

minus=

partpart

EEER

IE

αα

αα

Paneme nuumluumld standardmaumlaumlramatused ning osatuletised valemisse (44) Kuna igas osatuletiste liikmes on sees komponent E siis toome selle ette

106

222

222

m

W9910230

m

W686000034000036100001320

m

W686

010103

100950

1

2151

100

1)(

=sdot=++sdot=

=

sdot

minus+

sdotminus

+

sdotsdot= EEu

Seega on valgustatuse standardmaumlaumlramatus 20 Wm2

Leiame nuumluumld erinevate maumlaumlramatuse komponentide efektiivsed vabadusastmete arvud kasutades valemit (317)

Valgusti intensiivsuse maumlaumlramatus ning nurga motildeotildetmise maumlaumlramatus on B-tuumluumlpi maumlaumlramatused seega nende vabadusastmete arvu votildeib votildetta lotildepmatuks Kauguse motildeotildetmine sisaldas nii A- kui ka B-tuumluumlpi maumlaumlramatust leiame nuumluumld kauguse motildeotildetmise vabadusastmete arvu

90

900950

00950

)(

)(4

4

1

4

4

=

infin+

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Leiame nuumluumld valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

1931915290190

02309

005809

019001150

0230

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

==sdot=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Seega on valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arv νR = 19

Leiame nuumluumld valgustatuse laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 19 ja usaldusnivool 95 k1995 = 209 seega on valgustatuse laiendmaumlaumlramatus U(E) usaldusnivool 95

222 m

W24

m

W1594092

m

W991)()( ==sdot=sdot= kEuEU

Seega on valgustatus 2m

W686=E ning tema laiendmaumlaumlramatus

2m

W24)( =EU

107

5 Maumlaumlramatuse allikad

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud m aumlaumlramatus

Numbernaumlidikuga motildeotildetevahendi abil saadud naumlidu (motildeotildedise) maumlaumlramatuse uumlheks allikaks on naumlidiku lahutusvotildeime Isegi kui korduvnaumlidud on identsed ei ole kordustaumlpsust iseloomustav maumlaumlramatus null sest sisendsignaalil on piirkond milles see motildeotildetevahendi naumlidik esitab uumlhe ja sama naumlidu Kui naumlidiku lahutusvotildeime on δx milleks on naumlidu muutus (numbersamm) kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu votilderra siis sisendsignaal mis annab naumlidu x votildeib votilderdse totildeenaumlosusega jaumlaumlda vahemikku [x ndash δx2 x + δx2] Sisendsignaal on seega kirjeldatav ristkuumllikjaotusega mille laius on δx ja standardhaumllve on σ(x) = δx radic12 See taumlhendab et iga naumlidu x standardmaumlaumlramatus on u(x) = σ(x) = 029 δx Naumliteks numbernaumlidikuga voltmeetril mille naumlidiku vaumlikseim taumlhendusega naumlit on 1 mV on naumlidiku lahutusvotildeime δx = 1 mV totildettu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 mV

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatu s

Naumlidiku lahutusvotildeimega analoogset maumlaumlramatust votildeib potildehjustada ka motildeotildetevahendi suikeulatus milleks on motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse (stiimuli) kasvamise votildei kahanemise maksimaalne piirkond δx ilma et muutuks motildeotildetevahendi naumlit Ettenaumlgelik motildeotildetja taumlheldab motildeotildetesuuruse jaumlrgnevate vaumlaumlrtuste kasvamise votildei kahanemise suunda ja teeb sellest tulenevalt vastava paranduse Kuid suikeulatuse suund pole alati jaumllgitav sest motildeotildetevahendis votildeib mingi tasakaalupunkti uumlmber esineda ka peidetud motildeotildetehaumllbeid ning saadav naumlit (motildeotildedis) sotildeltub suunast millega see punkt lotildepuks saavutati Motildeotildetevahendi suikeulatust suurendatakse motildenikord sihilikult vaumlltimaks naumlidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral Kui suikeulatusest tingituna on votildeimalikud motildeotildetevahendi naumlidud vahemikus [x ndash δx2 x + δx2] siis meelevaldse naumlidu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus

Ka andmetoumloumltlusega seotud arvvaumlaumlrtuste (motildeotildediste motildeotildetetulemuste) uumlmardamine votildei nende murdosa aumlrajaumltmine votildeib olla maumlaumlramatuse allikaks sest uumlmardatud arv esitab motildeotildetesuuruse arvvaumlaumlrtust alati ligikaudselt Mida rohkem on arvul taumlhendusega kohti seda suurem on suhteline taumlpsus Motildenikord on potildehjust taumlhenduslike kohtade arvu vaumlhendada uumlmardamise teel Etteantud uumlmardamissammu δx korral on meelevaldne arvvaumlaumlrtus x vahemikus [ x ndash δx2 x + δx2] ning standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused

Mudelisse sisestatud sisendsuuruse hinnang x ei pruugi olla maumlaumlratud antud motildeotildetmisega vaid votildeib olla saadud mujalt Sageli on sellel vaumlaumlrtusel ka mingil viisil hinnatud maumlaumlramatus See votildeib olla antud standard- votildei laiendmaumlaumlramatusena Kui maumlaumlramatus on antud vahemiku poollaiusena st laiendmaumlaumlramatusena U millel on etteantud usaldatavustase siis on sellega antud ka katteteguri k vaumlaumlrtus Sel juhul on hinnangu x standardmaumlaumlramatus u(x) avaldatav seosest u(x) = U(x)k Alternatiivselt votildeib olla antud sisendsuuruse hinnangu x uumllemine ja alumine rajavaumlaumlrtus (naumliteks

108

vahemik (b a) aga info maumlaumlramatuse kohta votildeib puududa Viimasel juhul peaks nende rajavaumlaumlrtuste kasutajad rakendama oma teadmisi hindamaks maumlaumlramatust laumlhtudes sisendsuuruse iseloomust allika usaldusvaumlaumlrsusest motildeotildetepraktikas selliste suuruste jaoks kasutatavatest maumlaumlramatustest jne Lisainfo puudumisel eeldatakse tavaliselt tegemist on uumlhtlase jaotusega uumllemise ja alumise rajavaumlaumlrtuse vahel standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic12 Kui aga on alust arvata et rajade laumlhedased vaumlaumlrtused on vahemiku keskosaga votilderreldes vaumlhemtotildeenaumlolised on lihtsuse motildettes tihti potildehjendatud kasutada kolmnurkjaotust standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic24

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus

Kui sisendsuuruse X hinnangu x maumlaumlramatus on antud eksperimentaalse standardhaumllbe ja teatud arvu korrutisena st laiendmaumlaumlramatusena U siis votildeib standardmaumlaumlramatuse u(x) vaumlaumlrtuseks votildetta laiendmaumlaumlramatuse U ja katteteguri k jagatise u = Uk See olukord on tavaline kui andmed on votildeetud tootja spetsifikatsioonist kalibreerimistunnistuselt kaumlsiraamatust votildei motildenest muust allikast Naumliteks kui kalibreerimistunnistusel on kirjas et 200 g kirjevaumlaumlrtusega etalonvihi mass m200 = 19999993 g on esitatud laiendmaumlaumlramatusega U = 066 mg kolme standardhaumllbe tasemel siis selle etalonvihi massi standardmaumlaumlramatus on u(m200) = Uk = (066 mg)3 = 022 mg

Hinnagu x maumlaumlramatus ei pruugi tingimata olla esitatud standardhaumllbe mingil kordsel kujul nagu eespool mainitud Selle asemel votildeib suuruse hinnangu maumlaumlramatus olla antud naumliteks 90 95 votildei 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena Kui pole teisiti taumlpsustatud siis votildeib eeldada et vahemiku arvutamisel kasutati normaaljaotust ja x standardmaumlaumlramatuse votildeib taastada jagades esitatud jaotuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga Sel juhul teguri kp vaumlaumlrtused mis vastavad eeltoodud kolmele vahemikule on 164 1960 ja 2576 Naumliteks on kalibreerimistunnistusel kirjas et 10 Ω kirjega etalontakisti takistus 23 degC juures on RE = 10000584 Ω plusmn 152 microΩ usaldusnivool 99 Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmaumlaumlramatuseks u(RE) = (152 microΩ)258 = 59 microΩ

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus

Sageli motildeotildedetakse suurusi kontrollitavatel toumloumltingimustel eeldades et need tingimused motildeotildeteprotseduuri sooritamise jooksul ei muutu Naumliteks votildeib objekti panna motildeotildetmiseks otildelivanni mille temperatuuri hoitakse kindlates piirides termostaadi abil Otildeli temperatuuri vannis votildeib motildeotildeta objekti iga motildeotildetmise ajal Kui aga temperatuur vannis perioodiliselt muutub ei tarvitse objekti hetkeline temperatuur votilderduda otildeli temperatuuriga Otildeli temperatuuri maumlaumlramatuse arvutamine peaks sel juhul algama otildeli temperatuuri teadaolevast votildei eeldatavast muutumistsuumlklist vannis Temperatuuri muutumist votildeib motildeotildeta tundliku termopaariga varustatud termomeetri abil ning kui see pole votildeimalik siis votildeib temperatuuri laumlhendi tsuumlklile tuletada reguleerimisprotsessi iseloomustavate uumlldiste teadmiste potildehjal Analoogne olukord on ka motildeotildeteprotseduuri teostamisel notildeutavate toumloumltingimuste taumlitmiseks motildeotildeteruumis uumlmbritseva otildehu temperatuuri reguleerimisel ja hoidmisel Niisugustel juhtudel votildeib motildeotildetesuuruse motildeotildetmise mudelisse sisestatava temperatuuri X hinnangu x standardmaumlaumlramatuse u(x) hindamine toimuda arvestades temperatuurikontrolli suumlsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsuumlklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust

109

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus

Kotildeige raskemini hinnatav maumlaumlramatuse komponent tuleneb motildeotildetemeetodist eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest vaumliksema maumlaumlramatusega tulemusi Totildeenaumloliselt on olemas ka teisi seni tundmatuid votildei mingil viisil seni veel motildeotildetepraktikas mittekasutatavaid meetodeid mis annavad samavotilderd kehtivaid kuid suumlstemaatiliselt erinevaid tulemusi See viib aprioorse totildeenaumlosusjaotuseni Isegi kui meetodist tulenev maumlaumlramatus osutub valdavaks komponendiks piirdub kogu info selle maumlaumlramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega fuumluumlsikalise maailma kohta Sama motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hindamine erinevatel meetoditel kas samas votildei eri laborites votildei ka samal meetodil eri laborites votildeib sageli anda vaumlga vaumlaumlrtuslikku infot motildeotildetemeetodi kohta Motildeotildetemeetodi kohta tehtud hinnangute usaldusvaumlaumlrsuse kontrollimiseks ja suumlstemaatiliste efektide (motildeotildetehaumllvete ) vaumlljaselgitamiseks on uumlldiselt kasulik teostada toumloumletalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus

Paljude motildeotildeteprotseduuride korral eriti aga motildeotildetevahendite kalibreerimisel leiab aset tundmatu objekti votilderdlus tuntud laumlhedaste karakteristikutega etaloniga et motildeotildeta votildei kalibreerida tundmatut objekti Niisuguste objektide naumlitena votildeib mainida kaaluvihtide votildei takistite komplekte pikkusotsmotildeotildete termomeetreid ja suure puhtusega aineid Antud juhul ei ole kasutatavad motildeotildetemeetodid enamasti ebasoodsalt motildejutatud motildejuritest tekitatud efektidest kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad uumlhesugusel (sageli ennustataval) viisil efektidest esilekutsutud muutustele

Motildenes praktilises motildeotildetesituatsioonis on aga objekti valikul ja selle kaumlsitlemisel siiski palju suurem osa Enamasti kehtib see looduslike materjalide keemilise analuumluumlsi korral Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (toumloumletalonist etalonainest votildei sertifitseeritud etalonainest) on looduslikud materjalid sageli mittehomogeensed Nimetatud mittehomogeensus kutsub esile tavaliselt kaks taumliendavat maumlaumlramatuse komponenti Esimese hindamiseks on vaja maumlaumlrata kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analuumluumlsitavat laumlhtematerjali Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis maumlaumlrata ulatus mil maumlaumlral votilderreldava tundmatu objekti mitteanaluumluumlsitavad koostisosad motildejutavad motildeotildetmise tulemust

Motildenel juhul teeb eksperimendi hoolikas kavandamine votildeimalikuks objekti valikust tingitud maumlaumlramatuse hindamise Tavaliselt on siiski motildeotildeteobjektist tuleneva maumlaumlramatuse hindamiseks vajalikud motildeotildetja (analuumluumlsija) kogemustest ammutatud oskused ja teadmised ning kogu hetkel kaumlttesaadav info selle tundmatu motildeotildeteobjekti kohta

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitl us (kaalutud keskmiste meetod)

Uumlhe ja sama suuruse Yi mitmel erineval viisil (meetodil) votildei erinevates laborites motildeotildetmisel saadud tulemuste yj (j = 1 2 J) liitmaumlaumlramatused u(yj) votildeivad uumlksteisest oluliselt erineda Votildettes kotildeik saadud motildeotildetetulemused aluseks motildeotildetesuuruse Yi vaumlaumlrtuse parima hinnangu saamiseks on eriti vaumlikese motildeotildetetulemuste arvu (J = 2 3 votildei 4) korral otildeiglase hinnangu saamiseks potildehjust arvestada vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi rohkem kui suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi Seega on erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks sobiv kasutada kaalutud keskmist

110

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10 (51)

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

Et anda vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemustele suuremat kaalu kui tulemustele millel on suurem maumlaumlramatus valime motildeotildetetulemuste kaalud poumloumlrdvotilderdelisteks dispersioonidega st antud juhul liitmaumlaumlramatuste ruutude poumloumlrdvaumlaumlrtustega saades

)(

12

jj yu

g = (52)

Laumlhtudes seosest (52) saame kaalutud keskmise y0 liitmaumlaumlramatuse u(y0) arvutada votilderdusest

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)( (53)

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderdlusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elektronkaaluga Motildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitmaumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitmaumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

Motildeotildetetulemuste m1 ja m2 kaalud g1 ja g2 on valemi (52) jaumlrgi

22

121 mg100

mg)10(

1

)(

1 minus===mu

g

22

222 mg25

mg)20(

1

)(

1 minus===mu

g

Kaalutud keskmine on seose (51) jaumlrgi

004162125

52250

25100

005222500392100

25100

005222500392100

1

10 ==

+sdot+sdot

=+

sdot+sdot=

sdot

=

sum

sum

=

=J

jj

J

jjj

g

mg

m g

Kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatuse saame votilderdusest (53)

g0000089mg0890mg125

1

25100

11)(

2

1

0 ===+

==minus

=sum

J

jjg

mu

Antud juhul on motildeotildetesuuruse m0 vaumlaumlrtuse parim hinnang

111

m0 = 200416 g standardmaumlaumlramatusega g000009)( 0 =mu

Nagu naumlitest selgub ei motildejusta suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m2 = 20052 g lotildepptulemust

m0 = 20042 g kuigi palju Lihtne aritmeetiline keskmine g00462=m oleks siiski antud olukorras maumlrksa halvem keha massi hinnang kui vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m1 = 20039 g uumlksinda

Kotildeik senitehtu on tehniline arvutamine Nuumluumld vaatame antud naumlidet sisulise kuumllje pealt Teeme joonise kanname sinna nii motildeotildetetulemused kui ka standardmaumlaumlramatused ning kaalutud keskmise koos standardmaumlaumlramatusega ning aritmeetilise keskmise (allolev joonis) Naumleme et kogu see tehtud arvutus ei oma fuumluumlsikalist motildetet kuna votildeime uumlsna kindlalt vaumlita et uumlks motildeotildetmistest ei saa olla otildeige sest nende standardmaumlaumlramatused ei kattu ja isegi kaks korda laiemad ehk 95 usaldusnivool olevad laiendmaumlaumlramatused ei kattu Seega tuleb kaalutud keskmise arvutamise asemel hakata uurima kummas motildeotildetemeetodis votildeiks viga olla

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

Joonis Mustaga on toodud motildelema motildeotildetmise tulemus koos liitmaumlaumlramatusega punane pidev joon on kaalutud keskmine punased katkendjooned on kaalutud keskmine plusmn kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatus sinine joon on motildelema motildeotildetmise aritmeetiline keskmine

Naumlide 52 Nihikuga eseme pikkuse motildeotildetmine Nihiku laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on vastavalt kalibreerimistunnistusele 0084 mm Uumllesandeks on purskkaevus oleva raudtoru laumlbimotildeotildedu motildeotildetmine Vee ja seega ka toru temperatuur on 5 degC Toru motildeotildedeti 9-st erinevast kohast Toru laumlbimotildeotildeduks saadi keskmiselt 125124 mm ning standardmaumlaumlramatuseks saadi 0048 mm Mis oleks selle toru laumlbimotildeotildeduks temperatuuril 21 degC ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

112

Motildeotildetetulemus l20 sotildeltub meil temperatuuril 5 degC votildeetud nihiku naumlidust l5 ning raua soojuspaisumis-tegurist CFe seega on motildeotildetmise mudel

)( 521 FeClfl =

ning vastav valem on

)1(55521 TCllTCll FeFe ∆sdot+sdot=sdot∆sdot+= (54)

Wikipedia andmetel on raua soojuspaisumistegur temperatuuri 25 degC piirkonnas CFe = 118 microm m-1 K-1 Kuna tundub et tegemist on vaumlga vaumlikese efektiga vaatame kogu soojuspaisumise efekti kui uumlhte maumlaumlramatuse komponenti ehk CFe = 0 u(CFe) = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1

Leiame osatuletised

100018881)521(1081111 6

5

21 ==minussdotsdot+=∆sdot+=partpart minusTC

l

lFe

0022)521(1251240521 =minussdot=∆sdot=

partpart

TlC

l

Fe

m K

Eeldame et temperatuuri motildeotildetmise viga on teist jaumlrku vaumlike suurus sest kui me eeldame et kogu temperatuuri muutusest tingitud efekt on vaumlheoluline siis pole oluline ka taumlpne temperatuuri muutus ise

Leiame standardmaumlaumlramatused

mm01609

0480)( 5 ==luA

Kuna nihiku laiendmaumlaumlramatus on antud usaldusnivool 95 siis selleks et saada standardmaumlaumlramatust tuleb see laumlbi jagada koefitsiendiga k Sellistel puhkudel eeldatakse et kalibreerimisel oli vabadusastmete arv kuumlllalt suur ning Studenti koefitsient oli ligikaudu k = 2 Seega saame et

mm04202

0840)( 5 ==luB

Nihiku naumlidu koondstandardmaumlaumlramatus temperatuuril 5 degC on seega

mm04470microm74417642564216)()()( 225

25

25 ==+=+=+= lululu BAC (55)

siin vahearvutustes kasutasime uumlhikuid microm

Leiame nuumluumld toru laumlbimotildeotildedu standardmaumlaumlramatuse temperatuuril 21 degC

113

( ) ( )

( ) ( ) mm05100505500447000236

mm044701 Kmmm00118Km0022

)()()(

22

2211

52

2

5

212

2

2121

==+=

=sdot+sdotsdotsdotsdot=

=

partpart

+

partpart

=

minusminus

lul

lCu

C

llu Fe

Fe

(56)

Tingimus (45) ei ole taumlidetud sest 0023600506 = 047 gt 03 Seega osutus soojuspaisumine siiski piisavalt oluliseks ehk toodud taumlpsuse juures tuleb seda arvestada

Leiame nuumluumld koefitsiendi k laiendmaumlaumlramatuse arvutamiseks A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv oli 8 ning uumllejaumlaumlnud maumlaumlramatuse komponendid omavad lotildepmatult suurt vabadusastmete arvu Nihiku koondmaumlaumlramatuse arvutusest (48) on naumlha et potildehilise osa andis B-tuumluumlpi maumlaumlramatus lotildepmatult suure vabadusastmete arvuga seega on ka efektiivsete vabadusastmete arv suur seega votildeime votildetta koefitsiendi k vaumlaumlrtuseks k = 196 asymp 2

Eeltoodud arutelu kinnituseks arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu

82501600510

80420

80160023600510

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

effyu

yu

ν

ν

mm10005102)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 12512 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 010 mm

Lahendus 2

Votildetame kogu soojuspaisumise efekti toru laumlbimotildeotildedu arvutuses arvesse ehk CFe = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1 kuna tema motildeju on arvatavasti vaumlga vaumlike jaumltame temast tingitud maumlaumlramatuse arvesse votildetmata ehk u(CFe) = 0

Arvutame valemi (47) potildehjal vaumllja toru laumlbimotildeotildedu temperatuuril 21 degC

mm1481250240124125125124016011801241255521 =+=sdotsdot+=sdot∆sdot+= lTCll Fe

Maumlaumlramatuse arvutusel on valemis (48) u(CFe) = 0 seega on

( ) ( )

( ) mm044004370

043701 00022

)()()(

2

22

52

2

5

212

2

2121

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

= lul

lCu

C

llu Fe

Fe

Laiendmaumlaumlramatuse arvutuses on analoogilisel potildehjusel eelmise lahendusega koefitsient k = 2 ehk laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

114

mm088004402)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 125148 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 0088 mm

Motildelemal meetodil saadud toru laumlbimotildeotildedud koos laiendmaumlaumlramatustega on toodud alloleval joonisel

12500

12505

12510

12515

12520

12525

0 05 1 15 2 25

115

6 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimi ne

61Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid on tehnilised vahendid millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette naumlhtud motildeotildetmiseks

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedud bull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihid bull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takistussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid) 3 motildeotildetemuundurid 4 abimotildeotildetevahendid 5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Motildeotildedud on seadeldised mingi fuumluumlsikalise suuruse reprodutseerimiseks Naumlide kaaluvihid

Motildeotildeteriist on motildeotildetevahend mis votildeimaldab saada motildeotildeteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul Naumlide osutmotildeotildeteriistad klaas-vedelik termomeetrid

Motildeotildetemuundur on ette naumlhtud motildeotildeteinfo saamiseks muundamiseks edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks kuna puudub naumliduseadis Naumlide motildeotildetevotildeimendid Motildeotildetemuundurite eriliigiks on andurid esmase motildeotildeteinfo saamiseks Naumlide termopaar niiskusmotildeotildetja mahtuvuslik andur

Abimotildeotildetevahendid on seadmed millega kontrollitakse motildeotildeteriista toumloumltingimusi fuumluumlsikalisi motildejureid jne Naumliteks kuivelemendi elektromotoorjotildeu maumlaumlramise toumloumls kasutatakse normaalelementi elektromotoorjotildeu standardi reprodutseerimiseks motildeotildetmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga

Motildeotildetesuumlsteem on mitmest eelpoolmainitud motildeotildetevahendist koostatud seadeldis

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonna bull motildeotildetediapasooni bull tundlikkuse bull motildeotildetevea jne

611 Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Motildeotildetetulemus sotildeltub peale motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse muu juhusliku muutuse mingil maumlaumlral ka motildeotildetetingimustest Motildeotildetevahendi kalibreerimistulemused kehtivad kalibreerimistunnistuses esitatud maumlaumlramatusega ainult siis kui motildeotildetevahendile motildejuvad suurused nagu temperatuur otildehuniiskus otildehurotildehk motildeotildetevahendi kaldenurk horisontaalasendist haumlirevaumlljad jms on kalibreerimisel kehtinud piirides

116

Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi kirjeldatakse motildeotildetevahendi naumlidule motildejuvate suuruste vaumlaumlrtuste abil Motildejuvate suurustena ehk motildejuritena vaadeldakse ainult neid suurusi mille motildeju motildeotildetetulemusele on praktiliselt votildeimalik maumlrgata ja kindlaks teha Naumliteks pikkusmotildeotildetevahenditega motildeotildetmisel on temperatuur motildejuv suurus otildehurotildehk aga vaumlhemotildejuv suurus Iga motildeotildetevahendi kohta on normdokumentidega tavaliselt kindlaks maumlaumlratud neli erinevat kasutamistingimuste piirkonda Need on

1 Normaaltingimused on tingimused mis kehtestatakse motildeotildetevahendi metroloogiliseks kontrolliks votildei motildeotildetetulemuste vastastikuseks votilderdlemiseks Leppetingimused on kotildeige soodsamad motildeotildetetingimused ja need hotildelmavad tavaliselt arvessevotildeetud motildejurite nimivaumlaumlrtusi votildei nimipiirkondi Universaalseid normaaltingimusi ei ole need kehtestatakse individuaalselt igale motildeotildeteriistale (temperatuuri- niiskuse- otildehurotildehu- toitepinge vahemik jne) Naumliteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23000 plusmn 0005) degC Tavalistel seadmetel on see 20 degC votildei 23 degC uumlmbruses plusmn 01 kuni plusmn 5 degC

2 Toumloumltingimused on motildeotildetevahendi kasutamistingimused mille korral motildeotildetevahendi metroloogilised omadused on eeldatavalt etteantud piirides Viimased on tavaliselt kirjeldatud motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis Tavaliselt vaumlljendavad toumloumltingimused motildeotildetesuuruste ja motildejurite etteantud vaumlaumlrtusi votildei nende hulka

3 Piirtingimused on tingimused mille iseloomustavate suuruste motildejule motildeotildetevahend peab vastu pidama riketeta ja metroloogiliste omaduste halvenemiseta tema edasisel kasutamisel toumloumltingimustel Motildeotildetevahendi saumlilitamise transportimise ja kasutamise piirtingimused votildeivad uumlksteisest erineda Piirtingimused votildeivad sisaldada motildeotildetesuuruste ja motildejurite piirvaumlaumlrtusi

4 Saumlilitamise tingimused on tingimused mis ei kahjusta motildeotildetevahendit ka pika aja jooksul

Kolme esimese tingimustepiirkonna omavahelisi suhteid iseloomustab joonis 61 Saumlilitamise tingimused reglementeeritakse motildeotildetevahendi toumloumltingimustest sotildeltumatult Nad ei ole kunagi piirtingimustest laiemad ega normaaltingimustest kitsamad aga toumloumltingimustest votildeivad nad olla kitsamad votildei laiemad olenevalt konkreetse motildeotildetevahendi omadustest

Standard ISO 1 on kehtestanud toumloumlstuslike pikkusmotildeotildetmiste valdkonnas universaalseks normaaltemperatuuriks 20 degC Motildeotildetevahendite spetsifikatsioonidest naumlhtub et normaaltemperatuuri piirkonnad sisaldavad reeglina universaalse normaaltemperatuuri vaumlaumlrtuse Tuumluumlpilised normaaltemperatuuri piirkonnad on 18 degC 22 degC ja 15 degC 25 degC

117

Joonis 61 Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi iseloomustavate piirkondade suhted

612 Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis maumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samuti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteliikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga xoo ∆∆ Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud

viga normaaltingimustel Absoluutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotildedetav suurus satub intervalli [ ]oo ∆+∆minus Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

Naumlide 61 Esimeses praktikumi toumloumls kasutatava nihiku absoluutpotildehiviga on 005 mm

Naumlide 62 Kaaluvihid klassifitseeritakse viide taumlpsusklassi Kasutatud klassile vastavad absoluutpotildehivea vaumlaumlrtused leitakse vihtide komplekti tehnilisest dokumentatsioonist

Naumlide 63 Olgu meil keha kaalumiseks vaja kolme vihti ndash 1 kg 50 g ja 2 g Kasutades selle keha kaalumiseks 3 klassi vihte saame potildehiveaks

mg41215360312m∆ 222o ==++=

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse jaoks saame mg 273

412B ==u

Kaaludes sama keha 4 klassi vihtidega saame potildehiveaks

mg12415300630120m∆ 222o ==++=

Maumlrkus Kaalumisel tuleks alati kasutada votildeimalikult vaumlhe st votildeimalikult suuri vihte Viimase vaumlite illustreerimiseks arvuta ise kaaluvihtide viga juhu jaoks kus keha kaalumiseks kasutati 21 50 g-list ja uumlhte 2 g-list vihti

118

2 Suhtpotildehiviga 100ooo

tx

xx

∆=equiv δδ Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme

esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vaumlaumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritolu seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena KЛACC

3 Taandpotildehiviga 100norm

ooo x

xx

∆=equiv γγ Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel

see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on kantud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne Kasutusel on taumlpsusklasside rida

n10)0605040352025101( sdot kus 2101 minusminus=n

Naumlide 64 Oletame et motildeotildetsime voltmeetriga alalispinge vaumlaumlrtuseks V2587=U Voltmeetri

klass olgu 05 ja skaala ulatus V1000=skU Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist

absoluutpotildehivea 100

skoo

UU

γ=∆ ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V923100

100050

31003

∆ oo =sdot

sdot=

sdot== sk

B

UUu

γ

4 Konstandid e ja f kujul e f taandpotildehivea arvutamiseks valemist

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

Naumlide 65 Oletame et motildeotildetsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivvaumlaumlrtuseks V08015naumlit =U Olgu voltmeetri taumlpsusklass esitatud kujul 005 002 ja oletame et kasutasime

voltmeetri piirkonda skU = 20 V Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist absoluutpotildehivea

V 01130100

201

08015

20020050

100sko

o =sdot

minussdot+==∆

UU

γ

ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V006503

01130

3

∆oB ===

Uu

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildeteriista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lugeda mis veaga on tegemist

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasutatakse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

D2rdg 250 +=Taumlpsus

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade puhul kotildeige levinum

119

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi absoluutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha kaks uumlhikut

Oletame et saime multimeetriga motildeotildetes pinge vaumlaumlrtuseks U = 625 V Siis absoluutpotildehiviga

V040V020V0160V020V256100

250∆o asymp+=+sdot=

120

62 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

621 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus

Vaumlga paljude motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides on esitatud motildeotildetevahendite kostekarakteristika mida nimetatakse ka vaumlljundkarakteristikaks Kostekarakteristika on motildeotildetevahendi sisendi ehk stiimuli ja sellele vastava vaumlljundi ehk koste vaheline sotildeltuvus maumlaumlratletud tingimustel Naumlitena votildeib nimetada termopaari elektromotoorjotildeudu temperatuuri funktsioonina Stiimuli ja koste vahelist sotildeltuvust votildeib vaumlljendada algebralise votilderrandi tabeli votildei graafiku kujul

Samuti on motildeotildetevahendi uumlhe metroloogilise omadusena spetsifikatsioonis tavaliselt toodud motildeotildetevahendi tundlikkus mis on koste muutuse ja selle tekitanud stiimuli muutuse suhe st

X

xT

∆∆

=

kus T ndash motildeotildetevahendi tundlikkus

∆x ndash motildeotildetevahendi naumlidu (motildeotildedise) muutus

∆X ndash motildeotildetesuuruse muutus

Tundlikkuse naumlitena votildeib tuua 1 microm jaotisevaumlaumlrtusega mikromotildeotildeturi (uumllekanne 10001) mille tundlikkus on 1 mm 0001 mm kohta sest motildeotildetesuuruse muutus 0001 mm votilderra tekitab naumlidikus viida nihke ehk lugemi muutuse 1 mm

Motildeotildetevahendi tundlikkusega on tihedalt seotud kostelaumlvi Kostelaumlvi on stiimuli suurim muutus mis ei tekita koste maumlrgatavat muutust eeldusel et stiimul muutub aeglaselt ja monotoonselt Motildeotildetevahendite kostelaumlvi votildeib sotildeltuda naumliteks sisemisest votildei vaumllisest muumlrast liikuvate osade vahelisest hotildeotilderdumisest aga ka stiimuli vaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi naumlidu votildetmisel on vaumlga taumlhtis naumlidiku lahutusvotildeime st naumlidikult saadavate naumlitude vaumlikseim erinevus mida on votildeimalik motildettekalt eristada Numbernaumliduga naumlidiku korral on selleks naumlidu muutus kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu (numbersammu) votilderra Skaala ja viidaga varustatud naumlidikuga motildeotildeteriistade korral maumlaumlrab lahutusvotildeime potildehiliselt skaalajaotuse pikkus Uumlldiselt on motildeotildeteriistadel tunnetatav naumlidu muutus mis on vaumlhemalt 15 skaalajaotuse pikkusest

Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste hulka kuulub ka suikeulatus st maksimaalne piirkond milles sisendit ehk stiimulit votildeib motildelemas suunas muuta ilma et muutuks vaumlljund ehk koste Motildeotildetesuuruste vaumlaumlrtusteks mille juures maumlaumlratakse motildeotildetevahendi suikeulatus valitakse tavaliselt motildeotildetepiirkonna alumise ja uumllemise piirvaumlaumlrtuse laumlhedased vaumlaumlrtused vahel ka motildeotildetepiirkonna keskmine vaumlaumlrtus Motildeotildetepiirkonna suikeulatust potildehjustavad hotildeotilderdumine surnud kaumlik elastsed motildejud huumlsterees jms Suikeulatus ei ole alati konstantne eriti liikuvate osade vahelise hotildeotilderdumise votildei hotildeotilderdeteguri muutuse totildettu Tavaliselt maumlrgitakse motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides et suikeulatus on vaumliksem teatud piirvaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi reageerimisvotildeimet motildeotildedetavale suurusele iseloomustab kosteaeg See on ajavahemik hetkest millal sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni millal vaumlljund ehk koste jotildeuab ja jaumlaumlb etteantud piiridesse oma puumlsiva lotildeppvaumlaumlrtuse uumlmbruses Naumliteks termomeeter huumlgromeeter

121

Eristatakse ka veel motildeotildetevahendi reageerimisaega milleks on ajavahemik hetkest mil sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni mil vaumlljund ehk koste jotildeuab etteantud leppevaumlaumlrtuseni Naumliteks gaasianaluumlsaatori reageerimisaeg t10 vastab tasemele 10 gaasikontsentratsiooni lotildeppvaumlaumlrtusest naumlidikul

Motildeningad motildeotildetevahendid ei ole neutraalsed motildeotildedetava objekti votildei motildeotildetesuuruse suhtes ja votildeivad neid moonutada Seega iseloomustab motildeotildetevahendeid ka niisugune omadus nagu moonutusvabadus See on motildeotildetevahendi votildeime mitte motildejutada motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust Naumliteks votilderdotildelgne kaal on moonutusvaba aga takistustermomeeter mis soojendab ainet mille temperatuuri motildeotildetmiseks ta on ette naumlhtud ei ole moonutusvaba

622 Motildeotildetevahendi taumlpsus

Motildeotildetevahendite uumlheks kotildeige taumlhtsamaks omaduseks on taumlpsus Taumlpsus on motildeotildetevahendi votildeime anda motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele laumlhedasi kosteid Sellest maumlaumlratlusest ilmneb et motildeotildetevahendi taumlpsus on kvalitatiivne motildeiste sest ta on naumlidu ja motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse kokkulangevuse naumlitaja

Kvantitatiivselt hinnatakse motildeotildetevahendi taumlpsust motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe abil See on ka motildeotildetevahendi naumlidu ja sisendsuuruse vaumlaumlrtuse vahe Selles taumlhenduses kasutatakse ka motildeistet naumliduviga mis viitab mittesoovitud kotildervalekaldele Kuna aga motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik teada peame praktikas motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse asemel kasutama selle mingit leppevaumlaumlrtust Hinnangu motildeotildetevahendi suumlstemaatilisele naumliduhaumllbele saame motildeotildetevahendi kalibreerimisel kusjuures leppevaumlaumlrtuseks on etaloniga realiseeritud suuruse vaumlaumlrtus Motildeotildedu puhul on suumlstemaatiliseks naumliduhaumllbeks sellele omistatud kirjevaumlaumlrtuse kotildervalekalle vaumlaumlrtusest mille saame motildeotildedu kalibreerimisel Motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe votildeib esitada ka suhtelise naumliduhaumllbe kujul st motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe ja vastava leppevaumlaumlrtuse suhtena

Nagu varem oleme totildedenud esineb praktilistel motildeotildetmistel paraku alati motildeotildetetingimuste juhuslikke muutusi mis potildehjustavad juhuslikke muutusi saadud motildeotildedistes Osa neist tulenevad vaumllismotildejudest teine osa aga motildeotildetevahendi omadustest Motildejude eristamine notildeuaks vaumlga mahukaid uurimisi Kotildeikide juhuslike motildejude minimeerimiseks kordame motildeotildetmist korduvustingimustel ja keskmistame tulemuse Selle ja kasutatud suuruse leppevaumlaumlrtuse vahe annabki meile suumlstemaatilise naumliduhaumllbe hinnangu Motildeotildetevahendi votildeimet anda naumlite mis on vabad suumlstemaatilisest naumliduhaumllbest kirjeldatakse motildeotildetevahendi otildeigsusega

623 Stabiilsus ja triiv

Kasutaja seisukohast on taumlhtis et motildeotildetevahend saumlilitaks oma metroloogilised omadused ajaliselt muutumatutena Seda motildeotildetevahendi omadust nimetatakse stabiilsuseks Stabiilsust votildeib iseloomustada naumliteks aja kaudu mille jooksul metroloogilised omadused muutuvad etteantud maumlaumlral votildei omaduse muutuse kaudu etteantud ajavahemiku jooksul Kui motildeistet motildeotildetevahendi stabiilsus kasutatakse mingi teise suuruse kui aja suhtes tuleb see kasutusviis eraldi aumlra maumlrkida Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste aeglast ajalist muutumist nimetatakse triiviks Triivi potildehjuseid votildeib olla mitmeid naumliteks rauast kaaluvihi roostetamine mistotildettu tema mass langeb samuti votildeib takistustraadi pind reageerida motildene otildehu koostisosaga ning seelaumlbi votildeib tema takistus ajapikku muutuda Kui seadmel on liikuvaid osasid nagu naumliteks tiivikanemomeetril siis temas olev maumlaumlre votildeib vananeda ning hotildeotilderdetakistus votildeib hakata vaumlhehaaval suurenema

122

624 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime

Et hinnata motildeotildetevahendi votildeimet anda laumlhedasi kosteid kui motildeotildetmine toimub samadel tingimustel ja sama stiimuli korduval rakendamisel tuleb seda motildeotildetevahendit katsetada korduvustingimustel Kuna motildeotildetevahendi naumlidu korduvusvotildeimet saab kvantitatiivselt vaumlljendada naumlitude (motildeotildediste) jaotuskarakteristikute abil siis nende katsete tulemusel saab leida korduvusstandardhaumllbe hinnangu sr (vajadusel saab selle kohta taumlpsemalt lugeda raamatust Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused Laaneots ja Mathiesen)

625 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

Kotildeikide motildeotildetevahendi metroloogilistest omadustest tulenevate efektide motildeju motildeotildetevahendile votildeetakse arvesse naumliduhaumllbe piiride (piirvea veapiiride) maumlaumlramisel Viimase all motildeeldakse motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis kasutamisjuhendis otildeigusaktis votildei motildenes muus dokumendis lubatud naumliduhaumllbe piirvaumlaumlrtust Tavakasutuses votildeime uumlldiselt oletada et motildeotildetevahendi kasutamisel saadud juhuslik naumliduhaumllve ei uumlleta motildeotildetevahendile etteantud naumliduhaumllbe piire

Motildenes metroloogia valdkonnas kasutatakse ka terminit motildeotildetevahendi naumlidu taandhaumllve (taandviga) Selle motildeiste all motildeeldakse naumliduhaumllbe piiri ja mingi antud motildeotildetevahendi jaoks kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtuse suhet Kui see kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtus on motildeotildetevahendi skaalanaumlidiku uumllemine piir siis maumlaumlrab naumlidu taandhaumllve protsentides tavaliselt motildeotildetevahendi taumlpsusklassi Naumliteks motildeotildetevahendi naumlidu lubatud taandhaumllbe 01 korral votildeib sellele motildeotildetevahendile omistada taumlpsusklassi 01

Tingituna motildeotildetevahendi konstruktsioonist votildei teatud kasutamisalast ei pruugi positiivsed ja negatiivsed naumliduhaumllbed olla votilderdsed Seepaumlrast votildeib moodustada ka erinevad naumliduhaumllbe piirid Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid maumlaumlratakse tavaliselt kindlaks kooskotildelastuste ettekirjutuste riigi poolt allkirjastatud lepingute (Euroopa Liidu juhised) aga ka kalibreerimis- votildei taatluseeskirjade alusel Taatluseeskirjad ja nende kehtivus on tavaliselt normitud neid vaumlljaandva riigi tasandil Kvantitatiivselt esitatakse naumliduhaumllbe suumlmmeetrilised piirid tavaliselt kas konstantsetena motildeotildetesuuruse uumlhikutes motildeotildetevahendi kogu motildeotildetepiirkonna ulatuses st ∆ = a votildei naumliduga proportsionaalsetena st ∆ = bx votildei eelneva kahe summana st ∆ = a + bx

63 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid

631 Kalibreerimine ja justeerimine

Motildeotildetevahend kalibreeritakse motildeotildetetulemuse seostatuse saavutamiseks Kalibreerimine on menetlus mis fikseeritud tingimustel maumlaumlrab kindlaks seose motildeotildetevahendi poolt esitatud vaumlaumlrtuse (naumlidu motildeotildedise) ja etaloni abil realiseeritud suuruse vastava vaumlaumlrtuse vahel

Motildeistet kalibreerimine ei tohi segi ajada motildeistega justeerimine Viimane on tegevus mille eesmaumlrgiks on motildeotildetevahendi viimine kasutamiseks sobivasse toumloumlrežiimi Justeerimine notildeuab seega tehnilist vahelesegamist mille tulemusena votildeib muutuda motildeotildetevahendi kostekarakteristika Naumliteks kaaluviht justeeritakse ettenaumlhtud kirjevaumlaumlrtuseni mahaviilimise votildei pliihaavli juurdelisamisega mis taumlhendab kaaluvihi massi muutmist kirjevaumlaumlrtuse laumlhedusse Teise naumlitena votildeib nimetada takistusmotildeotildedu justeerimist leppevaumlaumlrtuseni traadi pikkuse muutmisega ja balanssiiri (ankru) justeerimist soovitud votildenkesageduseni spiraalvedru jaumlikuse muutmisega Motildeotildetevahendit saab justeerida ka tema votilderdlemisel taumlpsema motildeotildedu votildei motildeotildetevahendiga paigutades selleks

123

motildeotildetevahendisse motildeotildetesignaali muutva luumlli Justeerimise kaumligus rakendatakse reguleerimisvotildeimalusi mis ei tarvitse olla kaumlttesaadavad tavakasutajale

Justeerimist mille kaumligus rakendatakse ainult motildeotildetevahendi kasutajale ettenaumlhtud reguleerimisvotildeimalusi nimetatakse motildeotildetevahendi seadmiseks Naumliteks motildeotildetepiirkonnaga uumlle 25 mm kruviku korral on enne motildeotildetetoimingu algust tarvis kruviku komplektis oleva seademotildeotildedu abil saumlttida paika nullnaumlit Motildeningate teiste motildeotildetevahendite korral taumlhendab seadmine motildeotildetevahendi alg- ja lotildeppnaumlidu reguleerimist Motildeotildetevahendil mida seadistatakse mingis naumliduseadise votildei skaala kindlas punktis toimub reguleerimine motildeotildetevahendi komplektis oleva seademotildeotildedu sertifitseeritud etalonaine votildei muu kindlalt maumlaumlratletud objekti jaumlrgi nii et naumlit oleks votildeimalikult laumlhedane seadeobjekti kirjevaumlaumlrtusele (nimivaumlaumlrtusele)

Enne kalibreerimisele asumist tuleb kontrollida kas tellimus naumleb ette motildeotildetevahendi eelnevat justeerimist votildei mitte Kui justeerimisvajadus on ilmne aga ei kajastu tellimuses tuleb kuumlsimus kooskotildelastada tellijaga Potildehjuseks on see et justeerimisega muudetakse motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi mille katkematu jaumllgimine votildeib olla oluline motildeotildetevahendi valdajale Valdaja votildeib naumliteks kasutada motildeotildetevahendit etalonina votildei kontrollmotildeotildeduna

Kalibreerimise maumlaumlratlusest johtub et erinevalt motildeotildetevahendi justeerimisest ei toimu kalibreerimisel tehnilist vahelesegamist Naumlidikuga motildeotildetevahendi kalibreerimisel tehakse kindlaks naumlidu ja motildeotildetesuuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve motildeotildetude korral aga motildeotildedu kirjevaumlaumlrtuse ja leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve Kalibreerimisega on tegu ka siis kui maumlaumlratakse naumliteks pingemotildeotildeturi skaalategur votildei tehakse kindlaks skaalaga varustatud ampermeetri naumlitude ja voolutugevuse leppevaumlaumlrtuste vahelised motildeotildetehaumllbed Kalibreerimismenetluse erijuhtumiks on tingskaalaga varustatud motildeotildetevahendi gradueerimine st motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtustele vastavate skaalamaumlrkide vahel ka ainult kindlate potildehimaumlrkide asetuse maumlaumlramine naumlituril

Kalibreerimisel saadud motildeotildetevahendi sisendsuuruse (motildeotildetesuuruse stiimulite) ja vaumlljundsuuruste (motildeotildediste kostete) vahelise sotildeltuvuse votildeib esitada tabeli graafiku votildei valemi abil Kalibreerimisel saadud arvuline tulemus ndash naumliduhaumllbe hinnang koos selle hinnangu maumlaumlramatusega ndash votildeimaldab kindlaks maumlaumlrata motildeotildetevahendi naumlidule vastava naumliduparandi mis on votilderdne naumliduhaumllbe hinnanguga kuid on vastandmaumlrgiga Kalibreerimistulemus esitatakse vastavas dokumendis mida nimetatakse kalibreerimistunnistuseks votildei ndasharuandeks

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et kalibreerimisel maumlaumlratakse kindlaks motildeotildetevahendilt saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu (naumlidu motildeotildedise) ja selle suuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline sotildeltuvus Seega on kalibreerimine kotildeige olulisem metroloogilise kontrolli liik Kalibreerimisel votildeib maumlaumlrata ka teisi motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi naumliteks hinnata motildejurite toimet naumlidule jne

Naumlide 68 Millise taumlpsusega peab olema valmistatud pendliga kella pendli pikkus et ta ei valetaks uumlhe kuu (30 p) paumlrast rohkem kui uumlhe

minuti Pendli valem on g

lT π2=

Lahendus Avaldame pendli pikkuse l funktsioonina perioodist T ning konstantidest π ja g

124

2

2

2

2

442

πππ

sdotsdot

=rArr=sdot

rArr=gT

lg

lT

g

lT

Pendli pikkus peaks olema

mm4053248m248405304

8066591

4 2

2

2

2

==sdot

sdot=

sdotsdot

=ππ

gTl

Leiame nuumluumld pendli pikkuse tuletise perioodi jaumlrgi

T

lgT

T

l 2

4

22

=sdotsdot

=partpart

π

Pendli perioodi erinevust uumlhest sekundist taumlhistame ∆T-ga vaumlikest pendli pikkuse erinevus taumlhistame ∆l-ga seega

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

Arvutame nuumluumld vaumllja suhte ∆TT

∆T = 1 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit seega

0000231043200

1asymp=

∆T

T

Pendli pikkuse erinevus otildeigest vaumlaumlrtusest votildeib siis olla maksimaalselt

mm011043200

1mm24822 =sdotsdot=

∆sdot=∆

T

Tll

Seega peab olema kella pendli pikkus 248405 mm plusmn 0011 mm et kell ei eksiks uumlhe kuu jooksul rohkem kui uumlhe minuti

Naumlide 69 Jaumltkame pendli uumllesannet Vanaisa seinakell on aegade algusest saadik maha jaumlaumlnud ligikaudu 5 minutit igas kuus Kuidas seda kella justeerida et kell hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Lahendus

Seose pendli pikkuse ja kella ebataumlpsuse vahel leidsime juba eelmises naumlites kasutame seda et leida pendli pikkuse ebataumlpsus

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

∆T = 5 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit l = 248405 mm seega

mm057043200

52482 =sdot=

∆sdot=∆

T

Tll

125

Kuna kell jaumlaumlb maha siis jaumlrelikult kaumlib kell liiga aeglaselt seega on pendel liiga pikk jaumlrelikult tuleb pendlit luumlhemaks teha Seega on meil vaja pendli pikkust luumlhendada ligikaudu 006 mm votilderra Tekib kuumlsimus et kuidas uumlldse motildeotildeta pendli pikkust Mehaanika teadmistest laumlhtuvalt votildeime votildetta pendli pikkuseks vahemaa pendli votildenkumistelje ning pendlisuumlsteemi masskeskme vahel Siit saab ka juba idee pendli pikkuse muutmiseks ndash tuleb nihutada pendli masskeset Naumliteks laumlhtudes pildil oleva kella pendli kujust ndash pendli pommi uumllemisse otsa (et masskeset teljele laumlhemale viia) tuleb kinnitada uumlks lisaraskus Selle lisaraskuse massi hindamiseks on tarvis teada pendli massi ning tema kaugust votildenkumisteljest Oletame et oleme hinnanud pommi massiks 200 grammi ning joonlauaga motildeotildetnud et kaugus pendli votildenkumistelje ning planeeritud lisamassi asukoha vahel on 190 mm Kasutame nuumluumld masskeskme arvutamise valemit (mis on identne aritmeetilise keskmise arvutamise valemiga)

lisamasslisamasspendelpendelkogukeskmine mlmlml sdot+sdot=sdot

( ) lisamasslisamasspendelpendellisamasspendelkeskmine mlmlmml sdot+sdot=+sdot

pendelkeskminependelpendellisamasslisamasslisamasskeskmine mlmlmlml sdotminussdot=sdotminussdot

Avaldame nuumluumld suuruse mlisamass

( )

20190248

0570200

lisamasskeskmine

keskminependelpendellisamass =

minussdot

=minus

minussdotsdot=

ll

llmm g

Seega peab pendlile lisama 02 g-se lisaraskuse et ta hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Totildeenaumloliselt ei olnud pendli massi hinnang 200 g kuigi taumlpne seega kell ei kaumli ikka taumlpselt Kui nuumluumld uuesti leida kui palju kell valetab on saadud tulemusest votildeimalik vaumllja arvutada pendli mass ning selle kaudu taumlpsem lisamassi raskus

632 Tuumluumlbikinnitus

Tuumluumlbikinnitus on toiming mille kaumligus tehakse motildeotildetevahendi dokumentatsiooni ja tuumluumlbihindamise tulemuste alusel kindlaks kas antud tuumluumlpi motildeotildetevahendiga motildeotildetmisel votildeib eeldada etteantud taumlpsuse saumlilimist kindlaksmaumlaumlratud ajavahemiku jooksul Kotildeneallolev motildeotildetevahend peab olema gradueeritud seaduslikes uumlhikutes Tuumluumlbikinnituse tulemusena vaumlljastatakse tuumluumlbikinnitustunnistus See sisaldab motildeotildetevahendi antud tuumluumlbi metroloogiliste omaduste ning vajadusel lisatingimuste piirangute ja taumlhtaegade kirjelduse Tuumluumlbikirjeldus on kohustuslik motildeotildetevahenditele millele eri otildeigusaktis on kehtestatud taatluskohustus

Tuumluumlbikinnituse teostaja on tavaliselt riigi poolt seadusega maumlaumlratud riigiasutus (Eestis on selleks asutuseks Tehnilise Jaumlrelevalve Inspektsioon) Tuumluumlbikinnituse aluseks on tuumluumlbihindamine st uumlhe votildei mitme sama tuumluumlpi motildeotildetevahendi suumlstemaatiline vaatlus ja katsetamine dokumenteeritud notildeuete potildehjal Tuumluumlbihindamine toimub omaette asutuses milleks votildeib olla vastava motildeotildeteliigi alal akrediteeritud motildeotildetelabor Tuumluumlbihindamise tulemused dokumenteeritakse tuumluumlbihindamise aruandes

Tuumluumlbikinnitus antakse reeglina motildeotildetevahendile mille metroloogilised ja kasutusomadused vastavad kas Rahvusvahelise Legaalmetroloogia Organisatsiooni dokumentide OIML D ning soovituste OIML R votildei Euroopa Liidu direktiivides kehtestatud notildeuetele Kui motildeotildetevahend pole nimetatud dokumentides kajastatud siis on tuumluumlbikinnituse aluseks rahvusvaheliste standardimisorganisatsioonide (Rahvusvaheline Standardimisorganisatsioon ndash ISO Rahvusvaheline

126

Elektrotehnikakomisjon ndash IEC Euroopa Standardikomitee ndash CEN Euroopa Elektrotehnika Standardikomitee ndash CENELEC) standardite notildeuded

Motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituse taotlejaks votildeib olla motildeotildetevahendite valmistaja votildei tema volitatud esindaja votildei importija kes esitab vastava taotluse koos tuumluumlbihindamise aruandega kompetentsele riigiorganile (tuumluumlbikinnituse teostajale) See vaumlljastab notildeuetele vastavuse korral motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnitustunnistuse ja annab otildeiguse kanda motildeotildetevahendile tuumluumlbikinnitusmaumlrk

633 Taatlus

Taatlus on taatluseeskirjadele vastav menetlus mis hotildelmab motildeotildetevahendi vastavuse kontrollimist motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituses toodud metroloogilistele omadustele ja motildeotildetevahendi sellekohast maumlrgistamist otildeiguspaumldeva taatlusasutuse poolt Kontrollimisega selgitatakse kas motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjade notildeuetele eelkotildeige taatlushaumllbe piiride osas Maumlrgistamisega kinnitatakse vastavust Taatluseeskiri on paumldeva organi poolt kehtestatud kohustuslik tegutsemisreeglistik kindlat liiki votildei tuumluumlpi motildeotildetevahendite taatlemiseks Taatlus loob eelduse oletada et taatluskehtivusaja jooksul motildeotildetevahendi kasutamisel tema naumliduhaumllve jaumlaumlb lubatud piiridesse

Siinkohal meenutame et motildeotildetevahendi taatlust notildeutakse motildeotildetevahendi kasutamisel taatluskohustuslikus valdkonnas ning et taadelda saab ainult tuumluumlbikinnitust omavaid motildeotildetevahendeid Taatlus on liigitatud esma- kordus- ja erakorraliseks taatluseks Motildeotildetevahendi esmataatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas taatlusprotsessi seni mittelaumlbiteinud motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas motildeotildetevahend vastab jaumltkuvalt taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatlusele kuuluvad taatluskohustuslikes valdkondades kasutusel votildei kasutusvalmis olevad motildeotildetevahendid kindlate ajavahemike (taatluskehtivusaeg) jaumlrel Taatluskehtivusaja jooksul tuleb taatluskohustuslikku motildeotildetevahendit erakorraliselt taadelda juhul kui on totildeestatud et motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjas votildei tuumluumlbikinnituses fikseeritud notildeuetele ja paumlrast motildeotildetevahendi remonti Erakorralise taatluse algatab ja korraldab tavaliselt jaumlrelvalvet teostav vastav volitatud juriidiline isik aga seda votildeib notildeuda ka motildeotildetevahendi valdaja

Vastandina kalibreerimisele justeeritakse taatluse kaumligus vajaduse korral motildeotildetevahendit et viia naumliduhaumllve taatlushaumllbe piiridesse Taatluse tulemus dokumenteeritakse taatlusprotokollis mis peab sisaldama taatluse laumlbinud motildeotildetevahendi(te) identifikatsiooni ja viidet kasutatud taatluseeskirjale Kui taatluse kaumligus ilmneb et taatluskohustuslik motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjade notildeuetele tuleb see vastavalt maumlrgistada ja vaumlljastada taatlusnotildeuetele mittevastavuse protokoll

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et taatlus annab motildeotildetevahendi kasutamiskotildelblikkuse kohta vastuse jah votildei ei kalibreerimine aga seose kasutatud leppevaumlaumlrtuse ja motildeotildetevahendi naumlidu vahel jaumlttes otsuse langetamise motildeotildetevahendi sobivuse kohta antud motildeotildetmiseks motildeotildetevahendi kasutajale

127

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused

Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja soovitavast

usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(II) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

128

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menet luste kogum mille eesm aumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmi st nimetatakse metroloogiaks

MMM ndash Motildeotildetmise definitsioon

3

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutat avaid

jaotusseaduseid3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetem aumlaumlramatuse

hindamise paremaid praktikaid4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmet e

motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste n ingmuude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust n ing selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ningoskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kont rolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mude lit ningseda rakendada

MMM - Otildepivaumlljundid

4

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam

Koondhinde moodustavadbull kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) ndash 10 bull test (otildepivaumlljundid 1 2 4) ndash 20 bull grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) ndash 10 bull eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) ndash 60 bull preemiapunktid ndash xx

Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse os sa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlst itust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust

Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele h indele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile(A = gt90 jne)

MMM - Hindamismeetodid

5

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameet rit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildet e-maumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuaje e pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grup itoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

MMM - Hindamismeetodid

6

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements(Les Kirkup Bob Frenkel 2006Cambridge University Press )

MMM - Potildehikirjandus

7

1 2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildete tulemustening nende usaldusvahemiku hindamine praktilisedarvutusnaumlited

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml (4 aprill 2011)

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupit oumloumldeplaneerimine

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus j ne

MMM ndash Loenguplaan (detailsem plaan Moodles)

8

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loom ine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumld e esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

httpsmoodleutee

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused (LOFY01004)

Aine votildeti on ldquo mootemaaramatus rdquo

MMM ndash Moodle

9

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengu s uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt se lleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimalu ste piires arvesse votildetta samuti on Moodles anonuumluumlmse tagasiside koht

MMM ndash Tagasiside

10

Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende

usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid

11

Pideva juhusliku suuruse jaotustiheduseks f(x) nimetatakse funktsiooni mis kirjeldab suhtelist totildeenaumlosust sell e juhusliku suuruse esinemiseks mingis punktis x Totildeenaumlosus et juhuslik suurus langeb etteantud vahemikku [ a b] on votilderdne integraaliga jaotustihedusest f(x) radadega a-st b-ni

Jaotustihedus on normeeritud st integraal uumlle kogu ja otustiheduse maumlaumlramispiirkonna on votilderdne uumlhega

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Jaotustihedus

int sdot=b

a

dxxfbap )()(

1

12

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutata kse aritmeetilist keskmist

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Keskvaumlaumlrtus

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

13

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f (x) standardhaumllbeks nimetatakse arvu

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutat akse empiirilist standardhaumllvet

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Standardhaumllve

intinfin

infinminus

minus= dxxfxmxx )())(()( 2σ

1

))((1

2

minus

minus

=sum=

N

xmxs

N

ii

N

14

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [ a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel l otildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimis tingimus siis

Seega on uumlhtlase jaotusejaotustihedus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

lele

minus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

Suumlmmeetriatelg

15

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega siis on ka loomulik et kes kvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

16

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jao tusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaaltel jele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus (ndash infin infin)

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja σ gt 0 on fikseeritud positiivne reaalarv Parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσ

axxf

a = 0 σ = 1

17

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik m uumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne Paljude sotildeltumatute juhuslike suuruste keskvaumlaumlrtuse jaotus laumlheneb normaa ljaotusele sotildeltumata nende juhuslike suuruste endi jaotusest

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

a = 2 σ = 1

18

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse xt vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetevead

19

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja l otildepp-punktiga xminja xmax Tavalisem ja levinum on siiski anda lotildeigu keskpunk t milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang m(x) ning motildeotildetem aumlaumlramatus u(x)

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

20

Motildeotildetem aumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on motildeotildetem aumlaumlramatus u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetem aumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus satub usaldusintervalli [ m(x) plusmn u(x)] Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu m(x) u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eesk irjad parima hinnangu m(x) motildeotildetem aumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

21

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

23

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

24

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus

=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

25

Naumlide 11 Taumlppiskaaludega kaalumine

Naumlide 12 Kontrollitud temperatuuriga ruumitemperatuuri ajaline kaumlik

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

Aeg

Temperatuur

26

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

27

Naumlide 13 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 1 5) potildehiviga (ehk riistaviga) on St eeldatakse et motildeotildeteriistast tin gitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel jaumlaumlb piiridesse

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik v iga ei vaumllju neist piirest

Joonis 15 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motilde otildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

28

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlauml rtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

Naumlide 14 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus C

u u uC A B= +2 2

29

Selleks et saada infot sellele kursusele registree runute varasematest teadmistest on Moodles avatud tasemetest Eksami arv estuses laumlheb see test arvesse kui arvestuslik test ndash testi taumlitmise l (ka siis kui kotildeik vastused on valed) laumlheb kirja arvestatud mittetaumlitm isel mittearvestatud Test sulgub 14022011 kell 0000

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

naumliteks kui lahendate tahvlil uumllesannet siis o leks hea kui Te ei seletaks mitte ainult seda kuidas miski kaumlib ja mi da teha tuleb vaid et seletaksite juurde MIKS see nii on votildei millest misk i tuletatud on

Tasemetesti tulemuste analuumluumls

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Tagasiside

3

Taumlhendnumbrite hulk ehk tuumlvinumbrite hulk ehk taumlhendus ega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid pe ale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samut i uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbrite ks

Naumlide 15 10 400 5 taumlhendnumbrit104bull102 3 taumlhendnumbrit10 40000 7 taumlhendnumbrit001040 4 taumlhendnumbrit

Aga ldquokuus miljardit (6 000 000 000) aastat tagasirdquo

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Taumlhendnumbrid

4

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uuml sna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjuta misel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal Tulemused esitatakse uumlma rdatult

Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 j a 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati e t arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suuml stemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus

Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise ree gel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber ole ks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagade s nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulem use

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlmardamine

5

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekki nud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisegakaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellist el juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mi l naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumli du kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Ekse

6

A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arv on

Kus n on motildeotildetmiste arv

B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu votildeib fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumi raames votildetta alati lotildepmatult suu reks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

1minus= nυ

7

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus ui(y) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

Naumlide 16 Jaumltkame metallsilindri motildeotildetmise naumlidet M etallsilindri pikkust motildeotildedeti n = 100 korda

Arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu metallsilin dri pikkusekoondm aumlaumlramatusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

mm 0440)(A == nxuu

mm 0290B =u

mm 0530=Cu

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

9

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndashkattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

10

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

11

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

12

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

997

95

68

13

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

14

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti testVabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

15

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

16

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

17

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

18

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

19

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge U voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = UIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

20

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

21

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

22

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

23

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 99 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

24

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

25

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

26

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

27

Kodune test sulgub 20022011 kell 2355 Nuumluumldsest on tulemused olulised st punkte annavad ainult otildeiged vastused Vale vastuse puhul Moodle uumltleb seda ning laseb vastust korrigeerida kuid votildetab 20 selle kuumlsimuse punktidest maha Seega on votildeimalik i gale kuumlsimusele vastata maksimaalselt 5 korda Vastuste korrigeerimin e on votildeimalik kuumlll ainult arvutusuumllesannete juures

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Kursuse kaumligus tuleb taumlita ca 12 kodust testi Testi d sulguvad puumlhapaumleva otildehtul kell 2355 ning testi jaumlrgi teha ei saa sest me analuumluumlsime neid toumlid jaumlrgmises loengus

Iga test annab maksimaalselt 10 punkti (vahest votildeib olla ka preemiapunkte)

Uumlksikust testist positiivse hinde saamine votildei uumlldse testi taumlitmine ei ole kohustuslikud kuid motildejutavad aine koondhinnet

Kodustest testidest kogutud punktid liidetakse kotildeik kokku ning jagatakse laumlbi testide arvuga Saadav tulemus on ko ondhinde arvestusse minevate punktide arv Kui saadav tulemus on vaumliksem kui 5 siis taumlhendab see automaatselt ainest laumlbikukkum ist

MMM ndash koduste testide olulisus edasijotildeudmisel

3

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

4

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

5

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

6

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge V voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = VIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

7

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

9

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

10

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 95 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

11

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

12

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

13

Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikudmotildeotildetuumlhikute vahelised seosed

MMM

14

Motildeotildetmisteooria laumlhted

MMM

Mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning se ega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes e t saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti j uhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kir jeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muu tuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mi s kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

15

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreets eteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettem aumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 m uumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused gra mmides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildep matu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumlite ks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tul emust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on av aldatav valemiga

MMM ndash jaotusseadused

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk =

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

16

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16visatakse 4 silma p = 16visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmusvisatakse 1 votildei 4 silma p = 26visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

MMM ndash jaotusseadused

17

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Totildeenaumlosus erineb nullist ainult m aumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole m aumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

MMM ndash jaotusseadused

18

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatii vne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

MMM ndash jaotusseadused

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

sumle

=ki

ipkF )(

19

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotu se omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla nega tiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa s amuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vauml aumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlnd muse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [ x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

MMM ndash jaotusseadused

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele

20

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

Teistpidi on jaotusfunktsioon m aumlaumlratud integraal jaotustihedusest

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfun ktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli li htsustab nende valemite kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vauml ga keeruliste uumllesannete lahendamist

MMM ndash jaotusseadused

dx

xdFxf

)()( =

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF

21

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

MMM ndash jaotusseadused

1

dxxfxdFdp sdot== )()(

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

2222

Integraalid Tuletised

int +=

+

1

1

a

xdxx

aa

int +=minus Cxdxx ln1

int +minussdot= Cxxxdxx ln)ln(

int +minus= Cxdxx )cos()sin(

int += Cxdxx )sin()cos(

1minussdot= nn xnxdx

d

int += Cxdxx )exp()exp( )exp()exp( xxdx

d=

xx

dx

d 1)ln( =

)cos()sin( xxdx

d=

)sin()cos( xxdx

dminus=

int intint plusmn=plusmn dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

int intsdot=sdot dxxfcdxxfc )()(

23

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

MMM ndash jaotusseadused

24

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus-arv totildeenaumlosus funktsioon

2 11 1 136 1363 12 21 2 236 3364 13 22 31 3 336 6365 14 23 32 41 4 436 10366 15 24 33 42 51 5 536 15367 16 25 34 43 52 61 6 636 21368 26 35 44 53 62 5 536 26369 36 45 54 63 4 436 303610 46 55 64 3 336 333611 56 65 2 236 353612 66 1 136 1

MMM ndash jaotusseadused

25

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

26

Kodune test sulgub 27022011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine p ooldumist kirjeldav jaotusfunktsioon Palju kulub aega et esi algsest Csainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

MMM ndash jaotusseadused

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

4

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri t suumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi tem peratuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ru umi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on

ning tema jaotusfunktsioon on

MMM ndash jaotusseadused

10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxfπ

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

5

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus is eloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaate kohalt

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaal ne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamast i aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlieli kku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadu si Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendam isel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadus ed

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja di spersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel su urt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood mo mendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik fu nktsioon entroopia jmt

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud

6

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakterist ik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhi stused on

m mx m[x] ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

x

7

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) nimetatakse arvu

Valemid keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langevad kokku val emitega varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhe ga Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatilin e moment

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

sum=

=n

kkk pxm

1

)( kk xXPp ==

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

8

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

Suumlmmeetriatelg

9

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

10

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

Kas keskvaumlaumlrtus m(x) = 6 tundub realistlik

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

63

27

3

2

3

03

3

2

33

2

3

2

03

200

3

20

)()()()()(

333

0

33

0

2

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

=sdot=minus

sdot=

==

=+sdot+=sdot+sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

xdxxdxxxdxxdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

11

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Kontrollime selle jaotustiheduse vastavust normeerimis tingimusele

Seega polegi tegemist jaotustihedusega

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

132

9

3

2

2

03

3

2

23

2

3

2

03

200

3

20

)()()()(

223

0

23

0

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

ne=sdot=minus

sdot=

==

=++=++=

=++=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

dxxdxdxxdx

dxxfdxxfdxxfdxxf

12

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

13

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

22

1gt

minusminus

= rr

rm

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

14

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on se e konstant ise

m[c] = c

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlm boli ette

m[cX] = cm [X]

Totildeestame homogeensuse tingimuse pideva juhu jaoks

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

15

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtusei d kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrt useid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeet ilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

16

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis sed a naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotilde rgpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vauml hemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) l eitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on e esmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hu lgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad kes kvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemi kku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korre latsioonikordaja) maumlaumlramisele

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

17

Naumlide 26 Suvel m aumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel l ahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle r aumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva M itu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

18

Naumlide 27 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast j a 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55 000 EEK Keskmine palk selles firmas on

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalga ga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firm as on

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

1000010

5500050009=

+sdot=m

320005

4000390004=

+sdot=m

19

Juhusliku suuruse dispersiooniks D (ka σ2) nimetatakse suurust

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega o n dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse m aumlaumlra iseloomustajaks

Vastavalt definitsioonile on diskreetse juhusliku su uruse dispersiooni arvutusvalem

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealis atsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suu ruse korral on dispersiooni arvutusvalem

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

( )sum minus=i

ii pmxD 2

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2

20

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku s uuruse ruudust X2

Totildeestame Steineri valemi pideva juhu jaoks

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m(X) ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus=

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

21

Dispersiooni ruutjuurt

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks e hk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioo n on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga st andardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetem aumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumll vet

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

D=σ

22

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning dispersioon

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse

Dispersioon potildehivalemi potildehjal

Dispersioon Steineri valemist

Standardhaumllve

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

536

121)(

1

=sdot==sum=

n

kkk pxxm

( ) 9225176

1)( 2 asympsdot=minus=sum

iii pmxxD

[ ] 92225121715536

91)( 222 =minusasympminus=minus= mXmxD

711922)()( === xDxσ

23

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit Le iame esmalt x2

keskvaumlaumlrtuse

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

24

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Vastavalt Steineri valemile on uumlhtlase jaotuse dispe rsioon

ning uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

2)(

baxm

+=

3)(

222 baba

xm++

=

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+minus++

=minus=

25770

23

1

23)()(

abababxDx

minusasymp

minus=

sdot

minus==σ

25

Naumlide 211 Astmejaotuse standardhaumllve

vaadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

26

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardh aumllbe omadused

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse ehk konstandi dispersioon o n null

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses oleva d juhuslikudsuurused siis

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

[ ] [ ]XDccXD 2=

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

27

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus mb standardhaumllve σc totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σd totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui ke skvaumlaumlrtuse mediaan

Leiame praegu ainult mediaani uumllejaumlaumlnud lahendust v aadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

28

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

e mediaan

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

29

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjelda b valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvauml aumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Proovi kodus ise lahendada kontrolli konspektist lah endust

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

30

Uumlhtlane jaotus

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioon ist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadme tel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 226 5 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mi ngisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum e eldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud m aumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

31

Eelmise naumldala numbrite pakkumise ning suumlnnikuupaumleva viimase numbri kuumlsitluse tulemused

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vaba_numbersuumlnnipaumlevuumlhtlane

32

Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmme etriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotuson suumlmmeetriline siis ilmselt on tema keskvaumlaumlrtus

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

12

20=

+=m

33

Kolmnurkjaotus

Kolmnurkjaotuse ruudu keskvaumlaumlrtus on

ja kolmnurkjaotuse dispersioon ning standardhaumllve on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

12

20)( =

+=xm

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

34

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

35

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

36

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

37

Kodune test sulgub 06032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

4

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

5

Normaaljaotus

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

6

Normaaljaotus

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljao tuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse in tegreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

Siin erf( x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete l ahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2 )exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ

7

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

8

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

normdist(179 1800 07 1) = 0076563726 = 766

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

9

Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash arkussiinusjao tus

10)arcsin(2

)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

10

Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega ming ist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatak se hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetm ise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga j agatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on sel ge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotuse st Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alle s jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

MMM ndash jaotuste summa

11

Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

MMM ndash jaotuste summa

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

12

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustihed use leidmisekskonvolutsiooni integraali

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

13

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peav ad tema motildelemad komponendid olema nullist erinevad

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingim ust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ]10=τ [ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

14

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

0)(01 =rArrlt tyt

tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(102 τττττ

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(213 1

1

1

1

τττ

0)(24 =rArrgt tyt

15

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus o n maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

16

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildel tuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste) summa

jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on li idetavate arv n seda vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid su uruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreem i potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildepli k dispersioon)

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

sum=

=n

iiXX

1

17

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

Kotildeigepealt tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude gene raatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus ( 0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingi must et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid kolmnurkjaotusele eksponentjaotuse le ning parabooljaotusele

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

18

Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on

Kuna F(y) = F(x) siis y2 = x jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

ltlt

=mujal0

102)(

yyyf

)10(1)( 0

0

UxxdxxF xx

===sdot= int

20

2

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

)10(Uxy ==

19

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

1 Genereerime mingist jaotusest suure hulga arve Arv utame suuruse Zn ning teeme Zn esinemissagedusest graafiku tulemus peaks olema sarnane sellele jaotusele endale

2 Genereerime uuesti arvud mingist jaotusest ning arvuta me nendest arvudest n arvu jaoks Zn vaumlaumlrtused Tehes Znesinemissagedusest graafiku naumleme milline on sell e jaotuse narvu aritmeetilise keskmise jaotus

Maumlngime Mathcadi demoga ldquoKeskne piirteoreem_v3mcdrdquo

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro

20

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavat e vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest ja otustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotilde ige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Selle st hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste s ummat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kin nitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

21

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildete viga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti V otildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhusl ikust komponendist

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi o n votildeimalik piisavalt taumlpselt m aumlaumlrata (nt testri null votildeib olla paigast aumlra jms)

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mit te (nt ebataumlpnegradueerimine)

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata

Juhuslikud vead

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel a lati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest t eguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

23

Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xtX juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildette s

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

lim tNN xx =infinrarr

24

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel m aumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsema d kui viimased siis pi = 1N seega

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nime tatakse empiiriliseks dispersiooniks

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

25

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seo seid

kus d on uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildee list dispersiooni otildeigesti kuna suurus σN

2 alahindab dispersiooni Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispers iooni hindamisel suuruse X empiirilist dispersiooni

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ [ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=sum=

26

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

27

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

28

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

29

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

30

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

31

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

32

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

33

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

34

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

35

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

36

Kodune test sulgub 13032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (viimane korraline loeng on 23 mai)

30 mai

13 juuni

Jaumlreleksam

27 juuni

Taumliendav votildeimalus

20112012 kevadsemester

MMM ndash tagasiside

3

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

4

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

5

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

6

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

7

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

8

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

9

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

10

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

11

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistu lemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutu stes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

Kolmekordse standardhaumllbe kriteeriumit ekse leidmiseks o n motildetet kasutada juhul kui motildeotildetmiste arv on vaumlhemalt N = 11

MMM ndash Ekse

12

On totildeestatud et m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus on

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 10

Naumlide Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtus on m(l) = 18045 mm koondm aumlaumlramatus on u(l) = 12789 mm ning vabadusastmete arvon ν = 8

Seega koondm aumlaumlramatuse kolmanda tuumlvinumbri esitamine ei oma mingit motildetet kuna ka teine tuumlvinumber ei pruugi otildeige olla

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu

mm3204

)(

82

)())(( ==

sdotasymp

lululuu

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 10 100 1000 10000

vabadusastmete arv

u(s

)s

ν21)(

asymps

su

14

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on m aumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Uumllal toodud valemist saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt e sitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

2

2

2 )(

2

1

)(22

1)(minus

=asymprArrasymps

su

su

s

s

suν

ν

15

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardm aumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomee tri naumlidu standardm aumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase jaotu se standardm aumlaumlramatus on

Siit saame et temperatuuri m aumlaumlramatuse suhteline m aumlaumlramatus on

ning vabadusastmete arv on

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu

144020

02890)())((

==tu

tuu

( ) 2414402

1 2 == minusν

16

Kui m aumlaumlramatus esitatakse ainult uumlhe tuumlvinumbri taumlpsusega siis votildeib lahutusvotildeimest tingitud vabadusastmete arv olla uumlsna vaumlike

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

1

10

100

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maumlaumlramatuse tuumlvinumber

Vab

adus

astm

ete

arv

17

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

18

Naumlide Keha kineetiline energia on arvutatav valemis t

Eelnevalt on teada et keha mass on 1000 g koondm aumlaumlramatusega 50 g vabadusastmete arvuga 5 ning keha kiirus on 20 0 ms kiiruse koondm aumlaumlramatus on 10 ms ning vabadusastmete arv on 8

Leia keha kineetilise energia koondm aumlaumlramatus ning efektiivne vabadusastmete arv

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

2

2vmE

sdot=

19

Welch-Satterthwaitersquo valem efektiivsete vabadusastme te arvu leidmiseks kehtib kui kotildeik sisendsuurused on laumlhend atavad normaaljaotusega Probleem tekib aga siis kui tahta arvutada liitm aumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu kui A-t uumluumlpi maumlaumlramatus on laumlhendatav normaaljaotusele sest motildeotildetm iste arv on piisavalt suur kuid B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on saadud uumlhtlasest jaotusest

Ideaalse Gaussi puhul oleks 95 usaldusnivool katte teguriks 196 aga uumlhtlase jaotuse puhul 168 Nende uumlhendjaotuse puhul peaks kattetegur jaumlaumlma nende kahe juhu vahele seega ikka vaumliksem kui 196 Studenti testi kattetegur aga laumlheneb vabadusastmete arvu suurenedes normaaljaotusele seega on alati vaumlhemalt 196 Seega kasutades Welch-Satterthwaite valemit uumlhtlase jaotuse ga sisendite puhul hindame katteteguri vaumlaumlrtust veidi uumlle see ag a pole keelatud

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

20

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndash

kattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

21

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

22

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

23

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studentijaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

24

)()( yukyU sdot=

997

95

68

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

25

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

26

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

27

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete

MMM ndash Laiendm aumlaumlramatus

182

183

184

185

186

187

188

28

Tuletame motildeotildetem aumlaumlramatuse valemi kahe sisendsuuruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui e sinevad vaumliksed haumllbed

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 101 2 = 10201

valime x = 10 δx = 01 siis

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

29

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suuru st X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrt used m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetem aumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vasta va Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

30

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

YYY δ+=

( )21 xxYY =

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ= [ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

31

Uumlhendades need kaks valemit saame

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

32

Keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st on votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

seega saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

33

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemu st Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera m ass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepik kus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne n ulliga ningmaumlaumlramatuse valem lihtsustub

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

34

Millised paarid on omavahel sotildeltumatud millised sotilde ltuvad

puude pikkus ndash puude laumlbimotildeotildet

puude pikkus ndash paumlikese kotildergus kraadides

puude laumlbimotildeotildet ndash puude vanus

puude laumlbimotildeotildet ndash maapinna temperatuur

ruumi temperatuur ndash ruumi niiskus

inimese jalanumber ndash pikkus

merevee temperatuur Hurghadas ndash lume paksus Haanjas

MMM ndash Sotildeltumatud ning sotildeltuvad suurused

35

MMM naumldalate plaan

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetem aumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine kontrolltoumloumlks valmistumine

9 KONTROLLTOumlOuml

MMM ndash Jaumlrgmiste naumldalate plaan

36

Kodune test sulgub 20032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis on kattetegur

ndash Milleks Studenti test

ndash Mille jaumlrgi maumlaumlrata jaotuse tuumluumlpi

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

4

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

5

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse m aumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsust ada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

t

sv =

6

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmist e mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit v aumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles m aumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumll djuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetem aumlaumlramatuste hindamist

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

12

1

tt

dssN

t

sv

minus+sdot

==

7

Metoodika ldquoAnemomeetrite kalibreerimine TUuml Katsekojatuuletunneliga ja poumloumlrdnoole-etalonigardquo

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

8

Eelmine loeng tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetem aumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Uumlldistame saadud valemit

Sama valem on summa m aumlrgi all kirja pandav kujul

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltumatute sisendite korral

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

9

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekk ida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liig e on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et m aumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi m aumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitm aumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et t egemist on ebaolulise m aumlaumlramatuse komponendiga Mingi m aumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

10

Kuna liitm aumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide m aumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

kus u(xi) on suvaline m aumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus

Seega kui leida kotildeige suurem m aumlaumlramatuse komponent ning votilderrelda teisi m aumlaumlramatuse komponente sellega siis kui motildeni kompone ndi suurus on votilderreldes kotildeige suurema komponendiga 30 votildei vaumlhem siis on tegemist taumlhtsusetu komponendiga mille votildei b arvutuste lihtsustamise huvides jaumltta arvestamata

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

11

Naumlide 43 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi k otildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulem used

a = 802 mm u(a) = 003 mm ν(a) = 5b = 4253 mm u(b) = 004 mm ν(b) = 6c = 17211 mm u(c) = 005 mm ν(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

12

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on Nsuuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()(

13

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st xkasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsie nt vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei ne gatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa yvarieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

14

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()(

15

Jaumltkame eelmises loengus tuletatud motildeotildetem aumlaumlramatusega kahe sisendsuuruse korral kuid jaumltame aumlra eelduse et tege mist on sotildeltumatute suurustega

Uumlldistatult on maumlaumlramatuse valem N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisand uvad valemisse korrelatsiooni liikmed

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sumsumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu

16

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardm aumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

17

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Lahendus Leiame D standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

18

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sumsum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

19

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

20

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part=sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

21

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

E

A

ECAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

22

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

23

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

24

Motildeningaid naumlpunaumliteid praktikumi aruannete vormistam isest Mathcadis

bull Praktikumi aruande eesm aumlrk on tulemusi arusaadavalt esitadaeesmaumlrgiks peaks olema tulemuste laumlbipaistvus

bull Toumloumld tuleb kommenteerida ndash lugejal ei tohi kuskil te kkida kuumlsimust et ldquomiks siin nii tehtirdquo

bull Kotildeigi motildeotildetmiste mudeli sisendsuuruste motildeotildetem aumlaumlramatused tuleb protokollis esitada

bull Hea toon on esitada kotildeigi motildeotildetmiste mudeli komponen tide osa koondm aumlaumlramatuses

bull Aruanne peaks olema struktureeritud st peaks olema lih tsalt arusaadav kus uumlks arvutus lotildepeb ning teine algab

bull Enne aruande esitamist tuleks see ise laumlbi lugeda ni ng votildeimalusel lasta ka kellelgi teisel see laumlbi lugeda

MMM ndash Praktikumide toumloumlde vormistamine

25

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Kontrolltoumlouml annab 20 aine koondhindest

Eksamile paumlaumlsemiseks peab kontrolltoumloumls saama vaumlhemalt 50 punktidest

Tuleb ka kontrolltoumlouml jaumlreltoumlouml selle aja lepime kokkunaumldal paumlrast kontrolltoumloumld 11 aprillil

Positiivset sooritust uumlmber teha ei saa

Jaumlreltoumloumls saadud punktid korrutatakse laumlbi koefitsiend iga 08(ei kehti potildehjendatud vabandajate kohta)

26

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

27

Kodune test sulgub 27032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis asjad on vabadusastmed mille jaoks neid vaja o n

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

4

MMM ndash Naumlidiskontrolltoumlouml

Kuumlsimused-kommentaarid naumlidiskontrolltoumlouml kohta

5

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadid es Kuna infopaumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos o n jaumlrgmine

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsi enti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17

F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failisbdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

6

Kodune test sulgub 03042011 kell 2355

Seekord saab toumloumld esitada lotildepmatult palju kordi arves se laumlheb parim tulemus

MMM ndash Kodune toumlouml

7

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte pro tsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

Leia

bull koefitsient cbull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1)bull keskvaumlaumlrtusbull mediaanbull standardhaumllvebull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

MMM ndash Harjutusuumllesanded

ltltsdotsdot+

sdot

sdot=

mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

8

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga millekalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia

bull klotsi massi parim hinnangbull klotsi massi A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi B-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi liitm aumlaumlramatusbull klotsi massi vabadusastmete arvbull klotsi massi laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

9

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml pa ksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja ma sside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlg a kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse k eskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondm aumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondm aumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondm aumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

Leia

bull jaumlauml tiheduse parim hinnangbull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatabull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

MMM ndash Harjutusuumllesanded

4

2 HdV

sdotsdot=π

10

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetu d veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm ve ekihi paksuson 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metallj oonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest1 0 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardm aumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

11

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskm iseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna v aheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

αcos2R

IE =

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml aeg

Neljapaumlev 1404 kell 1615 ndash 1800 ruum 410

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 30 mai kell 1215 ndash 1400 ruum 416 30 mai kell 1415 ndash 1600 ruum 160

06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

Statistika

Keskmine hinne 139Standardhaumllve 40Laumlbikukkujaid 17

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

4

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

y = 01834x + 25747R2 = 02161

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80

Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

5

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

FuumluumlsikaKeemiaMaterjaliteadusKeskkonnatehnoloogiaHT

6

1 Kirjuta tiheduse ( ρ = m V) dimensioonvalem

2 Esita ajauumlhik viis naumldalat kilotundides

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

7

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida) ndash hea vastus

Maumlaumlratavad vead ndash nende esinemine on teada ning ka v ea ulatus on maumlaumlratav Naumliteks tekib mingi motildejuri arvestamata jaumltmisel arv utustes votildei aparatuuri skaala nihke totildettu (pole null korrektselt paigas) Kuna saab maumlaumlrata vea ulatuse on votildeimalik kasutada parandeid (naumliteks kasu tatakse enne motildeotildetmist algnaumlidu erinevust nullist hiljem motildeotildetmistulemuse p arandamiseks) (aparatuuri kalibreerimine)

Vead mille olemasolu on teada kuid suurus pole ki ndlalt maumlaumlratav Naumliteks motildeotildeteriistade ja aparatuuri vead Votildeib oumlelda ka et B-tuumluumlpi vead Motildeotildeteriistade vead loetakse uumlhtlase jaotuse alla kaumlivaks ei teat a kui kaugel motildeotildetmistulemusest on totildeeline vaumlaumlrtus kuid teatakse mis piirkonda see votildeiks jaumlaumlda Mida parema lahutusvotildeimega ning vaumliksema potildeh iveaga on aparatuur seda vaumliksem tuleb B-tuumluumlpi maumlaumlramatus Taumlpsem apara tuur vaumlhendab vigu

Vead mille olemasolu ja suurus on teadmata Sellist eks on naumliteks aparatuuri defektid votildei keskkonnaga seotud tegurid mida ei os ata arvestada Aparatuuri defektide avastamiseks kasutada erinevaid aparaate votilderrelda tulemusi alati hoolikalt laumlbi motildeelda et mis tegurid votildeivad tulemu si motildejutada

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

8

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 1

bull Vaumlltida saab siis kui kasutada koguaeg uusi motildeotildeteri istu (sest neilpole vigu teada)

bull Kolmandaks ndash vead mille olemasolus ei saa kindel ol la saab ainulteeldada et nad on olemas Tuleb motildeotildetmisi sooritada mitu korda etjotildeuda totildeelisele vaumlaumlrtusele keskvaumlaumlrtusega votildeimalikult laumlhedale

bull Teadmata vigu saab vaumlltida tehes rohkem motildeotildetmisi keskmistadesjaumlttes vaumllja suured kotildervalekalded keskmisest (eksed)

bull Motildened vead saab kaotada kui teha suurem arv motildeotildetmisi Kasutada toumloumltavaid motildeotildetevahendeid Motildeotildetmised sooritada selle ks sobilikus keskkonnas (motildettetu on motildeotildeta tuulekiirust tormi ajal kui motildeotildeteriist asub kinnises ruumis)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

9

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 2

bull Suumlstemaatilised vead on vead mis esinevad pidevalt ja nende olemasolust ollakse teadlikud

bull Vigade vaumlltimiseks tuleb kasutada votildeimalikult palju mehhaniseeritud ja digitaliseeritud motildeotildeteriistu

bull Suumlstemaatilised vead jaotatakse potildehiviga ja suhtel ine viga Potildehiviga on antud motildeotildeteriistaga motildeotildetmisel tehtud viga see o leneb motildeotildeteriista motildeotildete taumlpsusest Suhteline viga on motildeotildetj a enda poolt tehtud viga votildei viga mille potildehjustasid mingisuguse d vaumllised jotildeud naumliteks m uumlra segas helikiiruse motildeotildetmist Suhteline viga votildeib olla ka ldquonaumlpuvigardquo ndash vajutasi d kalkulaatorilvalet klahvi votildei unustasid uumlhikud teisendamata

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

10

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt 3 ning x gt 4 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [3 4] kirjeldab se da ruutfunktsioon f(x) = cx2 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [3 4] c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (35 7)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

11

5 Praktikumis motildeotildedeti laua pikkust 5 korda ning saadi jaumlrgmised vaumlaumlrtused l = 1544 1546 1543 1543 1544 mm Kasutatava motildeotildedulindi potildehiviga on 1 mm Leia

a laua pikkuse hinnangb laua pikkuse hinnangu A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusc laua pikkuse hinnangu B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus c laua pikkuse hinnangu liitm aumlaumlramatus

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

12

6 Kehamassi indeks BMI on defineeritud kui kehakaal M jagatud pikkuse l ruuduga 10 tudengi motildeotildetmistulemustest saadi jaumlrgmised keskvaumlaumlrtuse koondm aumlaumlramatuse ning vabadusastmete arvu tulemused m(M) = 72 kg u(M) = 8 kg υ(M) = 34 m(l) = 172 cm u(l) = 9 cm υ(l) = 70 Korrelatsioon tudengite kehakaalu ning pikkuse vahel oli r(M l) = 077 Leia

a Kehamassi indeksi BMI parim hinnangb BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatac BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

13

Arktika kliima statistiline analuumluuml sToumlouml seisneb ERA-40 jaumlrelanaluumluumlsi mudeli 44 aasta and mebaasi temperatuuri ning niiskuse vertikaalsete profiilide sta tistilisel analuumluumlsil Arktikas Toumlouml eesm aumlrk on otildeppida kasutama programmi GrADS ning tutvuda andmeanaluumluumlsi lihtsamate meetoditeg a

Toumlouml jaumltkuks magistrantuuris suuremate globaalsete ilmam udelite andmete valideerimisega Arktikas kasutades votilderdluseks 2007 aastal laumlbi Arktika triivinud laeval TARA tehtud motildeotildetmisi

Juhendaja Erko Jakobson

MMM ndash Vaba bakalaureuse teema

14

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml viimase versiooni esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-failina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

15

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

16

Koduseks toumloumlks on grupi moodustamine ning grupitoumlouml tee ma vaumlljamotildetlemine kuid punkte selle eest ei saa

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml tulemused keskmine tulemus oli uumlsna hea maksimumpunkte ei tulnud kuid laumlbikukkujaid oli ka ainult uumlks Esines ka motildeningaid tuumluumlpvigasid mis vajavad selgit amist

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt ndash1 ning x gt 1 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [ndash1 1] kirjeldab s eda funktsioon f(x) = cx4 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [1 2] (motildeeldud oli vahemik [ndash1 1])c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (0 15)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

4

6 6 Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgmise d keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Korrelatsioon 2 m ja 10 m tuule kiiruste vahel oli r(v2 v10) = 078

Parameeter ZZ on defineeritud kui 2 m ning 10 m tuule kiiruste korrutis

Leia a Parameetri ZZ parim hinnang (05p)b Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata (2p)c Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades (2p)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

5

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml VIIMASE VERSIOONI esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-f ailina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

6

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

7

Vaatame konspektis uumlle teema ldquoMaumlaumlramatuse allikadrdquo

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

8

59 Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod)

Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks on sobiv kasutada kaalutud keskmist

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10

)(1

2j

j yug =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

9

Naumlide Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgm ised keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Leia 2 m ja 10 m tuule kiiruse kaalutud keskmine nin g vastav standardm aumlaumlramatus

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

10

Naumlide Rahvusvahelise votilderdlusmotildeotildetmise kaumligus on 10 er inevat laborit kalibreerinud uumlhte ja sama motildeotildetevahendit samades motildeotilde tepunktides ning sarnastel keskkonnatingimustel Kalibreerimispara ndid koos laiendm aumlaumlramatustega usaldusnivool 95 on toodud allolevas tabelis Mis tuleks votildetta kalibreerimisparandi parimaks hinnanguks ning selle laiendm aumlaumlramatuseks milliste laborite motildeotildetetulemused lugeda korrektseteks ning millised ebakorrektseteks

Labor parand Laiendmaumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

11

Labor parand Laiendm aumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

Keskmine 0266Standardhaumllve 0049

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

12

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

aritm keskm

aritm keskm - 2stdev

aritmkeskm + 2stdev

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

Kaal keskm

Kaal keskm - U

Kaal keskm + U

14

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed Kaal keskm

Kaal keskm2 Kaal keskm2 - U2

Kaal keskm2 + U2

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

15

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderd lusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elek tronkaalugaMotildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitm aumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitm aumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

16

Naumlide 51

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

17

Kodune test sulgub 24042011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

OtildeIS tagasiside

ldquoStatistika puudub (Otildepetamise ja ainekursuste hindami se periood 0205201122052011 statistika naumlhtav alates 2 8062011)rdquo

Koduse testi analuumluumls

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedudbull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihidbull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takis tussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid)3 motildeotildetemuundurid4 abimotildeotildetevahendid5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonnabull motildeotildetediapasoonibull tundlikkusebull motildeotildetevea jne

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis m aumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samu ti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteli ikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga ∆0

2 Suhtpotildehiviga δ0

3 Taandpotildehiviga γ0

4 Konstandid e ja f

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

6

1 Absoluutpotildehiviga ∆0 Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel Absol uutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotilde detav suurus satub intervalli (ndash ∆0 ∆0) Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

7

2 Suhtpotildehiviga

Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vauml aumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritol u seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena K ЛACC

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100oo

naumlitx

∆=δ

8

3 Taandpotildehiviga

Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on ka ntud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100norm

oo x

∆=γ

9

4 Konstandid e ja f kujul ef taandpotildehivea arvutamiseks valemist

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildete riista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lu geda mis veaga on tegemist

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

10

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasuta takse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade pu hul kotildeige levinum

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi abso luutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha k aks uumlhikut

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

D2rdg 250 +=Taumlpsus

11

Loe ise konspektist lk 120 ndash 126

MMM ndash Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

12

MMM ndash Pendli naumlide

13

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

14

Kodune test sulgub 01052011 kell 2355

Tegemist on viimase koduse testiga

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Loengute ajakava

9 mai ndash Kuumllaline Metroserdist eksami uumllesehituse tut vustamine grupitoumloumlde esitamine

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

Taumlnase loengu uumllesehitus

1 Kodune test tagasiside

2 Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

3 Grupitoumloumld uumlldine tagasiside

4 Grupitoumloumlde esitamine

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildedulindi taumlpsus

ldquoThe precision of our rules is within 02mmm (conform to ECII)rdquo

Kui joonlaudadel votildei motildeotildedulintidel pole taumlpsusklass i antud siis parema puudumisel tulekski eeldada et need vastavad ECII standardile

Motildeotildetes 30 m pika motildeotildedulindiga 24 m pikkust koridori on motildeotildedulindi veaks 48 mm motildeotildetes sama lindiga 30 cm pikkust pab erilehte on motildeotildedulindi veaks 006 mm

Kes leiab ja postitab esimesena foorumisse ECI ja E CIII klassi motildeotildedulindi taumlpsushinnangu viite saab preemiapunkte

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Senini oleme laumlhtunud olukorrast kus olemasolevatest andmetest laumlhtuvalt tuleb hinnata motildeotildetem aumlaumlramatust

Poumloumlrduumllesanne oleks selline kus antakse ette soovit ud motildeotildetem aumlaumlramatus ning sellest laumlhtuvalt planeeritakse milli ste motildeotildetevahenditega motildeotildeta ning mitu kordusmotildeotildetmist soori tada

motildeotildetmiste_planeeriminemcd

MMM ndash Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

6

bull Grupp 18 Kitarri haumlaumllestamine

bull Grupp 14 CD andmerajad

bull Grupp 1 Kaumlekoti rotildehk otildelale

bull Grupp 5 Kopsumaht

bull Grupp 24 Lift

bull Grupp 11 Emajotildee temperatuur

bull Grupp 4 Aumlmbri mahutavus

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

AS Metrosert teadus- ja arendusdivisjoni juht Toomas Kuuml barsepp

MMM ndash kuumllaline

3

Loengute ajakava

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

4

MMM ndash maumlaumlramatuse vaumlhendamise nipp

5

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

6

Naumlidiseksam on Moodles uumlleval Viimane uumllesanne tule b uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

Koduste testide tagasiside

Maumlrkus 100 motildeotildetmise praktikumi toumlouml kohta

MMM ndash Naumlidiseksam

7

bull Grupp 19 Koridori pindala

bull Grupp 6 Patareide mahutavus

bull Grupp 9 OtildeIS uumlleslaadimise aeg

bull Grupp 15 Kuumluumlnlad

bull Grupp 10 Ajataju test

bull Grupp 22 NaHCO3 lahustumine

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

1 eksamist

2 grupitoumloumlde laumlbivaatamine

3 tuumlnni uumllesanne

4 tagasisides esitatud kuumlsimused

5 konsultatsioon

MMM ndash Loengu uumllesehitus

3

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

Erandkorras saab eksamit teha juba teisipaumleval 2405 kell 1015 ndash 1200 ruumis 207

Naumlidiseksami 2 varianti on Moodles uumlleval Viimane uumll esanne tuleb uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

MMM ndash Tagasiside

4

Toumloumlde esitamisel votildeiks faili nimi olla votildeimalikult informatiivne

bull millega on tegu motildeistetavalt nii toumlouml esitaja kui ka vastuvotildetja jaoks

bull jaumlrjekorra number et oleks uumlheselt aru saada milline on viimane versioon

MMM ndash Grupitoumloumld

5

bull Grupp 27 Porgandbull Grupp 28 Plaumlhviga pikkusbull Grupp 21 Korruse kotildergusbull Grupp 13 Soolalahuse tihedusbull Grupp 12 Raha pindtihedusbull Grupp 26 Inimkotilderva tundlikkusbull Grupp 07 Rosinadbull Grupp 08 Kaltsiumkloriidi moolide arvbull Grupp 23 Fuajee pikkusbull Grupp 30 Laua pindala prillidegabull Grupp 16 Pulss ja hinge kinnihoidminebull Grupp 02 Kaumlelaba pikkusbull Grupp 03 Riisitera motildeotildetminebull Grupp 20 Laibameetodbull Grupp 25 Piima massbull Grupp 17 Snikers

MMM ndash Grupitoumloumld

6

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

7

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kuidas arvutada vabadusastmeid WelchndashSatterthwaitei valemiga kui motildeni m aumlaumlramatuse komponent sisaldab korrelatsioonikordajat Oma toumloumls jaumltsin selle liikme lihtsalt arvestamata kuid pole kindel kas see on otildeigustatud (konspektis on mainitud ainult seda et sisendsuurused peavad olema sotildeltumatud jaumlrelikult oleks pidanud ka korreleeruvad sisendsuurused vabadusastmete arvutamisel aumlra jaumltma)

kuidas arvestada regressioonisirge totildeusu ja vabaliikm e maumlaumlramatuste arvutamisel motildeotildetevahendist tingitud B-tuuml uumlpi maumlaumlramatusi Totildeenaumlosusteooria ja statistika konspekti s on kirjas standardhaumllbe arvutamise valemid ning need standardhaumll bed on maumlaumlramatuse arvutamisel laumlbi korrutatud Studenti t-kordaj aga See nagu viitaks sellele et arvutatud standardhaumllve (A- tuumluumlpi maumlaumlramatus) on votildeetud votilderdseks liitm aumlaumlramatusega ning B-maumlaumlramatus on arvestamata jaumletud

MMM ndash Tagasiside

88

Estimation of intercept and slope (KampF p63)

We donrsquot prove that coefficients a and bare as follows

n

ss

ns

D

yxyxnb

D

xyxxya

xxnD

aver

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iii

=

minus=

sdotminussdot

=

sdotsdotminussdot

=

minussdot=

sum

sum sum sum

sum sum sum sum

sum sum

=

= = =

= = = =

= =

21

2

1 1 1

1 1 1 1

2

1

2

1

2

ε

y = -00004x + 09376Rsup2 = 05902

074

076

078

080

082

084

086

088

090

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Korrelatsioon r

Jaamade vaheline kaugus (km)

Sadestatava vee W korrelatsioon sotildeltuvalt jaamade vaheliselt kaugusest r

D

nss

D

xss

b

n

ii

a

sdot=

sdot=sum=1

2

9

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kui vaumlljundsuuruse arvutamisel on kasutatud mingi ka he korreleeruva sisendsuuruse alusel koostatud regressioon isirge totildeusu siis kas vaumlljundsuuruse vabadusastmete arvutamisel votilde ib totildeusu maumlaumlramatuse komponendi vabadusastmete arvuks votildetta ne nde sisendsuuruste motildeotildetmiste arvu miinus kaks (st kui vas tavate sisendsuuruste motildeotildetmiste arv on N siis regressioonisirg e totildeusu maumlaumlramatuse komponent jagatakse W -S valemis laumlbi (N-2)ga)

konspekti lotildepus on toodud naumlide kaalutud keskmiste arvutamisest Kas sama suuruse erinevate m aumlaumlramatuste kattumise votilderdlemisel arvestatakse vaid nende standardm aumlaumlramatusi

kas vaumlljundsuuruse m aumlaumlramatust (arvutatakse osatuletiste ja asjadega) nimetatakse B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuseks

MMM ndash Tagasiside

10

Kuumlsige kotildeige kohta mis on jaumlaumlnud segaseks eksamil kuumlsin juba mina

MMM ndash Konsultatsioon

4

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused107

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus108

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus108

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus109

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus 109

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod) 109

4 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine115

41Motildeotildetevahendid115

42 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused 120

421 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus120

422 Motildeotildetevahendi taumlpsus121

423 Stabiilsus ja triiv121

424 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime122

425 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid 122

43 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid122

431 Kalibreerimine ja justeerimine122

432 Tuumluumlbikinnitus 125

433 Taatlus126

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused127

Lisa 2 Vihtide lubatud vead 128

5

Sissejuhatus

Aine sissejuhatus

Motildeotildetmine on olnud maailma infrastruktuuri uumlks oluline osa juba iidsetest aegadest alates Kotildeik teaduse tehnika kaubanduse riikliku kontrolli jne vallas tehtud jaumlreldused ja otsused tuginevad andmetele mis on saadud motildeotildetmiste potildehjal Otildeigete otsuste langetamiseks peavad motildeotildetetulemused olema piisavalt usaldusvaumlaumlrsed Eriti oluline on see valdkondades mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset Naumliteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse maumlaumlramise ja kontsentratsiooni motildeotildetmise ebataumlpsed tulemused votildeivad potildehjustada vaumlga totildesiseid tagajaumlrgi

Motildeotildetetulemuse usaldatavuse totildestmise huvides tuleks motildeotildetmine laumlbi viia kompetentses laboris kus kasutatakse kalibreeritud motildeotildetevahendeid ja aktsepteeritud motildeotildetemeetodeid Motildeotildetesuurus peab seejuures olema tellija ja taumlitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt taumlpselt maumlaumlratletud ning saadav motildeotildetetulemus koos maumlaumlramatusega tuleb esitada uumlldtunnustatud motildeotildetuumlhikutes

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum mille eesmaumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmist nimetatakse metroloogiaks

Kotildervalseisjale paistab motildeotildetmine votilderdlemisi lihtsa toiminguna eriti veel siis kui see teostatakse taumlpselt kindlaksmaumlaumlratud motildeotildeteprotseduuri kohaselt Probleemid tekivad aga tavaliselt siis kui on vaja hinnata saadud motildeotildetetulemuse usaldatavust

Kursuse eesmaumlrgiks on tutvustada motildeotildetmisteooria aluseid otildepetada uumlliotildepilast motildeotildetma fuumluumlsikalisi suurusi hindama motildeotildetmistulemuse usaldatavust samuti tutvustada katsetulemuste toumloumltlemise aluseid

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane

1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid

2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavaid jaotusseaduseid

3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamise paremaid praktikaid

4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmete motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste ning muude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust ning selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ning oskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mudelit ning seda rakendada

6

Hindamismeetodid

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam Kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) annavad 10 test (otildepivaumlljundid 1 2 4) annab 20 grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) 10 ning eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) 60 koondhindest Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse ossa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlstitust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele hindele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile (A = gt90 jne)

Potildehikirjandus

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements (Les Kirkup Bob Frenkel 2006 Cambridge University Press)

MMM esialgne loenguplaan 2011 kevad

1 Sissejuhatus aine tutvustus loengukursuse uumllesehitus ning tutvustus

2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusnaumlited

3 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed Motildeotildetmisteooria laumlhted Motildeotildetmise potildehivaumlide Juhuslike suuruste jaotusseadused Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Keskvaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtuse omadusi Keskmiste kasutamisest Dispersioon ja ruuthaumllve

4 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused Uumlhtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus Arkussiinusjaotus Juhuslike jaotuste summa Kahe jaotuse summa jaotus Keskne piirteoreem

5 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus Suumlstemaatilised vead Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Motildeotildetemaumlaumlramatus A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus Liitmaumlaumlramatus

6 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel Ekse Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupitoumloumlde planeerimine

7

11 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus Motildeotildetevahendi taumlpsus Stabiilsus ja triiv Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

12 Maumlaumlramatuse allikad Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus Motildeotildeteobjektust tulenev maumlaumlramatus

13 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid Kalibreerimine ja justeerimine Tuumluumlbikinnitus Taatlus

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus jne

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisaldavad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdamine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte arvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaator ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendimatriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehed on arvutamiseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnata

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetemaumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuajee pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grupitoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

Moodle

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loomine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumlde esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

Tagasiside

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengus uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt selleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimaluste piires arvesse votildetta

8

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seos ed

11 Motildeotildedetavad suurused

Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid uumlmbritseva maailma esemed ained ja naumlhtused ning nende omadused Nii votildeib selleks olla meid uumlmbritsev ruum mille omaduseks on tema ulatus Viimast votildeib iseloomustada mitmel viisil ning uumlheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus Samal ajal on reaalse fuumluumlsikalise ruumi ulatus uumlsna keeruline omadus mida ei saa motildene juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega Ruumi taumlielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) votildei kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk pindala maht jne Seega votildeib ruumi iseloomustada mitme suuruse jaumlrgi

Igasugused suumlndmused ja naumlhtused reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt Nende toimumise kestus on omadus mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg

Fuumluumlsikast on teada et keha seisab paigal votildei liigub uumlhtlaselt ja sirgjooneliselt kui puudub temale motildejuv vaumllisjotildeud Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass

Aine votildei keha paljud omadused sotildeltuvad suurel maumlaumlral tema kuumutusastmest mida votildeib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega Praktikas kasutatakse aga aine votildei keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termoduumlnaamiline temperatuur

Seega suurused iseloomustavad meid uumlmbritseva keskkonna esemeid aineid naumlhtusi ja protsesse ning nende omadusi

Uumllaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon

Suurus on naumlhtuse keha votildei aine oluline omadus mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt uumlheselt maumlaumlrata

Esitatud motildeiste suurus votildeib taumlhendada

1 suurust uumlldiselt st fuumluumlsikalist suurust nagu

pikkus mass temperatuur takistus ainehulga kontsentratsioon jne

2 votildei mingit konkreetset suurust nagu

teatud varda pikkus teatud keha mass teatud keha temperatuur antud tingimustel antud traadi elektriline takistus etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne

Olenevalt puumlstitatud uumllesandest valitakse suumlsteemi votildei objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see mis on kotildeige olulisem Nii naumliteks laumlhtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajaumlrjekorras selle objekti massist sest antud uumllesande puhul on just see suurus kotildeige maumlaumlravam

Suurusi mida saab uumlksteise suhtes jaumlrjestada kvantitatiivse kasvu alusel nimetatakse sama liiki suurusteks Samaliigilisteks suurusteks on naumliteks toumlouml soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus laius paksus ja uumlmbermotildeotildet

9

Galileo Galilei on oumlelnud Motildeotildeda mis on motildeotildedetav ja tee motildeotildedetavaks see mis ei ole veel motildeotildedetav Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee motildeotildetmise ennetavast taumlhtsusest kaasaegsetes uuringutes

Motildeotildetmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse motildeotildetesuuruseks Votildeib kasutada ka motildeistet motildeotildedetav suurus Naumliteks motildeotildetesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rotildehk 20 degC juures Ristkuumlliku pindala motildeotildetmisel on motildeotildetesuuruseks pindala mille motildeotildetetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius motildeotildetmise potildehjal

Esimene samm motildeotildetmise sooritamisel on motildeotildetesuuruse taumlpne kindlaksmaumlaumlramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel Praktikas sotildeltub motildeotildetesuuruse defineerimise viis ja taumliuslikkus vajalikust motildeotildetetaumlpsusest Motildeotildetesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse motildeotildetmisega seotud praktilise eesmaumlrgi jaoks niivotilderd uumlksikasjalikult et motildeotildetesuurusel oleks uumlhene vaumlaumlrtus

Naumlide 11 Kalapeol lubatakse et kotildeige suurema kala puumluumldja auhinnaks on selle kala suuruse jagu kulda Siin pole aga maumlrgitud kas motildeeldakse selle kala massi votildei ruumala Arvestades et erinevus on ligi 20 kordne tuleks kasutada korrektsemat definitsiooni

Motildeotildetesuuruse maumlaumlratlus votildeib vajaduse korral sisaldada ka notildeudeid teiste motildeotildetesuuruste kohta Naumliteks pikkusotsmotildeotildedu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka motildeotildeteobjekti ja keskkonna temperatuuri aga ka rotildehu niiskuse jms vaumlaumlrtuste vahemiku maumlaumlramine mille puhul see pikkus kehtib

Motildeotildetesuuruse puudulik defineerimine annab alati motildeotildetetulemuse maumlaumlramatusse lisakomponendi mis votildeib notildeutava motildeotildetetaumlpsusega votilderreldes sageli kuumlllaltki oluliseks osutuda

12 Potildehi- ja tuletatud suurused

Loodusnaumlhtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi nagu pikkus aeg kiirus kiirendus jotildeud jne Fuumluumlsikavalemid vaumlljendavad seoseid nende suuruste vahel Selgub et enamasti on votildeimalik mingit suurust vaumlljendada teiste suuruste kaudu mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost Neid suurusi nimetataksegi potildehisuurusteks (ka baassuurusteks) Seega potildehisuurus on uumlks suurustest mida mingis suuruste suumlsteemis kaumlsitletakse leppeliselt uumlksteisest sotildeltumatuna

Potildehisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne kuid piiratud praktiliste kaalutlustega Potildehisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi Tuletatud suurus on seega niisugune suurus mis on mingis suuruste suumlsteemis defineeritud suumlsteemi potildehisuuruste funktsioonina Naumliteks suuruste suumlsteemis mille potildehisuurusteks on pikkus mass ja aeg on keha liikumise kiirus tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena st funktsiooniga

v = lt (11)

kus v ndash keha liikumise kiirus l ndash teepikkus ja t ndash keha poolt teepikkuse laumlbimiseks kulunud ajavahemik

Kehale motildejuv jotildeud on samuti tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena st funktsiooniga

F = ma (12)

10

kus F ndash jotildeud m ndash keha mass ja a ndash jotildeu F motildejust tingitud keha kiirendus

Mistahes tuletatud suuruse mingis suumlsteemis saame seega avaldada potildehisuuruste kaudu jaumlrgmise uumlldistatud valemi abil

prod=

=n

ii

iAQ1

αξ (13)

kus Q ndash tuletatud suurus ξ [hii] ndashtegur Ai ndash potildehisuurus ja αi ndash positiivne votildei negatiivne taumlis- votildei murdarv

Potildehisuuruse Ai all votildeivad esitatud valemis (13) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused Naumliteks sotildeltuvuses F = ma (vt valem (12)) on mass potildehisuurus kiirendus aga tuletatud suurus

Praktikas kasutatakse valemi (13) asemel ka suurustele kohaselt valitud uumlhikute vaumlaumlrtustevahelisi seoseid Tegurid nendes valemites sotildeltuvad siis juba valitud uumlhikutest

Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte aineid naumlhtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste suumlsteemidesse Seega on suuruste suumlsteem kogum omavaheliste sotildeltuvustega maumlaumlratletud suurusi Suuruste suumlsteemi taumlhistamiseks kasutatakse uumlldiselt potildehisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitaumlhti

Mehaanikas kuuluvad potildehisuuruste hulka pikkus mass ja aeg ning need maumlrgitakse uumlldistatult taumlhtedega L (ladk longitudo ndash pikkus) M (ladk massa ndash mass) ja T (ladk tempus ndash aeg) Selle jaumlrgi tuleb suuruste suumlsteemi taumlhiseks LMT

Suumlsteem taumlhisega LMT1θNJ on aga kogum potildehi- ja tuletatud suurustest milles potildehisuurused on pikkus ndash L mass ndash M aeg ndash T elektrivoolu tugevus ndash I termoduumlnaamiline temperatuur ndash θ aine hulk ndash N ja valgustugevus ndash J

Suurusi taumlhistatakse ladina votildei kreeka taumlhestiku taumlhtedega Taumlhis on alati uumlhetaumlheline Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega mis votildeivad ka viidata objektidele mis pole suurused Suuruse taumlhised kirjutatakse alati kaldkirjas

13 Suuruse dimensioon

Taumlhistades valitud suuruste suumlsteemis potildehisuurusi ladina taumlhestiku jaumlrjestikuste suurte taumlhtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks uumlldistatud valemit (13) milles tegur ξ =1 on votildeetud votilderdseks uumlhega saame maumlaumlrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga

dimQ = Aα Bβ Cγ (14)

kus A B C ndash potildehisuuruste A B C dimensioonid ja αβ γ ndash dimensioonide astmenaumlitajad mis on positiivsed votildei negatiivsed ratsionaalarvud (taumlis- votildei murdarvud)

Naumliteks LMT suumlsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni maumlaumlrata jaumlrgmise valemiga

dimQ = Lα Mβ Tγ (15)

11

kus L M T - taumlhised mis taumlhistavad potildehisuuruste pikkus mass ja aeg dimensioone ja α β γ ndash

dimensioonide astmenaumlitajad

Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt taumlhistatakse suuruse Q dimensioon taumlhisega dim Q Seega suuruse dimensioon on avaldis mis vaumlljendab suumlsteemi kuuluvat suurust selle suumlsteemi potildehisuurusi taumlhistavate tegurite astmete korrutisena

Kui tuletatud suurus valemis (14) ei sotildeltu motildenest kotildenealloleva suuruste suumlsteemi potildehisuurusest siis oumleldakse et selle tuletatud suuruse dimensioon sotildeltumatu potildehisuuruse suhtes on uumlks Votildeib ka juhtuda et tuletatud suurus ei sotildeltu uumlhestki valitud suuruste suumlsteemi potildehisuurusest Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste suumlsteemis suuruseks dimensiooniga uumlks Kasutatakse ka motildeistet dimensioonita suurus mis viitab dimensiooni astmenaumlitajale null

Suuruse dimensioon on palju uumlldisem motildeiste kui naumlhtub seda suurust iseloomustavast uumlldistatud valemist (14) Nii votildeivad uumlhte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused milledel on erinev omaduslik kuumllg ja ka erinev suurustevaheline seos Naumliteks jotildeu F poolt tehtud toumlouml mis on maumlaumlratud valemiga

W = F l (16)

kus W ndash toumlouml F ndash jotildeud ja l ndash teepikkus

ja liikuva keha kineetiline energia mis maumlaumlratud valemiga

E = mv2 2 (17)

kus E ndash kineetiline energia m ndash keha mass ja v ndash keha kiirus omavad uumlhesugust dimensiooni st dimW = dimE = L2MT-2

Dimensioonidega votildeib teha matemaatilisi tehteid korrutamine jagamine astendamine ja juurimine Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma motildetet Potildehisuuruse astmenaumlitaja enda suhtes on votilderdne uumlhega

Potildehi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud suumlsteemis moodustab dimensioonisuumlsteemi mille baasiks on potildehisuuruste dimensioonid Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste suumlsteemis LMTIθNJ uumlldiselt maumlaumlratav seosest

dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (18)

Naumliteks jotildeu F dimensioon suumlsteemis LMTIθNJ on dimF = LMT-2 Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste suumlsteemist Naumliteks ε0 ndash vaakumi dielektriline laumlbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste suumlsteemis on dimensiooniga uumlks aga suumlsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon dimε0 = L-3M-1T4I2

Eelpoolkirjeldatu potildehjal tekib ka kuumlsimus kas tuletatud suuruse dimensiooni votildeib alati kaumlsitleda kui selle suuruse valemi (14) kohast potildehisuurustest sotildeltuvuse vaumlljendit olenemata sellest missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks

Kui iga tuletatud suuruse maumlaumlratlus seostaks teda vahetult potildehisuurustega siis votildeib puumlstitatud kuumlsimusele vastata jaatavalt Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning potildehi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see vaumlga pikk) vahepealseid suuruste maumlaumlratlusi Naumliteks on rotildehk maumlaumlratud jotildeuga mis motildejub uumlhele pinnauumlhikule Jotildeud on omakorda vaumlljendatud massi ja kiirenduse korrutisena (vt valem (12)) pindala aga kahe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena

12

kiirendus on kiiruse tuletis aja jaumlrgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja jaumlrgi Seda ahelat votildeib antud juhul vaumlljendada jaumlrgmise dimensioonide reaga

dimp = dimF dimA-1 = M dima L-2 = M dimv T-1 L-2 =

= MLT -1 T-1 L-2= L-1MT-2 (19)

Seega rotildehu dimensioonivalem omandas kuju mille jaumlrgi on raske naumlha seost potildehisuurustega Vaevalt otildennestub leida ratsionaalset seletust sellele et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut Seega kui defineeritakse vahepealseid suurusi votildeib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenaumlitajate liitmise ja lahutamise teel valem (14) lotildepuks votildetta hoopis kummalise kuju

Toome naumliteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni dim C = L-2 M-1 T4 I2

Dimensioonivalemite piiratud sisust kotildeneleb ka see asjaolu et mitmel juhul on erisugustel suurustel uumlhesugune dimensioon Seda ei tohi mingil juhul totildelgendada niimoodi et neil on uumlhesugune fuumluumlsikaline olemus Eriti kaumlib see nende suuruste kohta mis ei oma dimensiooni Naumliteks votildeiks tuua niisugused suurused nagu tasanurk ruuminurk hotildeotilderdetegur suhteline pikenemine Machi arv murdumisnaumlitaja moolosa (ainehulga osa) ja massiosa Motildenel erijuhul votildeimaldab dimensioonivalemite uumlhtelangemine oletada seost eri suuruste vahel votildei nende allumist uumlldistele seaduspaumlrasustele

Nii naumliteks rotildehu ja energia ruumtiheduse dimensioonide uumlhtelangemine peegeldub faktis et ideaalgaasi rotildehk on votilderdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega Niisuguseid naumliteid on siiski vaumlhe ja seega votildeib vaumlita et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega eriti potildehisuurustega

Dimensioonivalemi muutumatus antud suumlsteemi piires notildeuab et iga erinevaid suurusi seostava votilderduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid uumlhesugused Seepaumlrast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul kui see vaumlljendab meid huvitavate suuruste sotildeltuvust teistest suurustest kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide uumlhtelangemist Kui dimensioonid ei uumlhti on tuletamisel paumlris kindlasti tehtud viga ning votilderdus ei kehti Kuid motildeistagi ei taga dimensioonide uumlhtivus veel saadud votilderrandi otildeigsust

Kokkuvotildettes votildeib oumlelda et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost potildehisuurustega ja sotildeltub nende valikust Nagu maumlrkis Max Planck kuumlsimus meelevaldse suuruse totildeelisest dimensioonist ei oma rohkem motildetet kui kuumlsimus mistahes eseme totildeelisest nimetusest Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analuumluumls humanitaarteadustes kunstis spordis kvaliteedihinnangutes jms kus potildehisuuruste nomenklatuur ei ole maumlaumlratletud veel efektiivset kasutamist

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid

Motildeotildetmiste juures on vaumlga oluline motildeotildetuumlhiku valik Potildehimotildetteliselt votildeiks uumlhikuks valida uumlkskotildeik millise sama liiki fuumluumlsikalise suuruse vaumlaumlrtuse ja seejaumlrel motildeotildeta mitu korda on motildeotildedetav objekt meie uumlhikust suurem votildei vaumliksem Vanasti seda ka tehti

Esimesed motildeotildetuumlhikud tekkisid koos inimuumlhiskonna arenguga

bull pikkusuumlhikud kasutati erinevate kehaosade pikkusi ndash vaks kuumluumlnar jalg

13

bull massiuumlhikud igapaumlevases elus kasutatavad esemed jne Uumlhtsed riiklikud motildeotildetuumlhikud votildeeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babuumlloonias Naumliteks Egiptuses kasutati pikkusuumlhikuna vaarao kuumluumlnart (kaugus kuumluumlnarnukist vaumlljasirutatud sotildermeotsteni) Egiptlased oskasid ka motildeotildetuumlhikuid tuletada Naumliteks pindala motildeotildetsid nad ruutuumlhikutes Kordsed uumlhikud votildeeti kasutusele Babuumlloonias Ajauumlhikud tund minut ja sekund paumlrinevad samuti vanast Babuumllooniast Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid uumlhikuid eriti pikkuse pindala massi ja ruumala motildeotildetmiseks Selline uumlhikute mitmekesisus on mingil maumlaumlral saumlilinud taumlnapaumlevani

Naumlide 12 Te kotildeik teate massiuumlhikut tonn Kui mitu kilogrammi vastab uumlhele tonnile Kas 9072 kg 1000 kg votildei 1016 kg Vastus sotildeltub teie asukohariigist

bull nn meetersuumlsteemi tonn = 1000 kg bull Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg bull Ameerikas (luumlhike) tonn = 2000 naela = 9072 kg

Naumlide 13 Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuuumlhikut gallon aga

bull Inglismaal 1 gallon = 454609 liitrit bull Ameerikas 1 gallon = 378543 liitrit

Naumlide 14 Laialdaselt kasutatakse mahuuumlhikut barrel (totildelkes vaat tuumlnn) aga tuleb eristada nn kuiva barrelit ja naftabarrelit

bull kuiv barrel = 115628 liitrit bull naftabarrel = 158988 liitrit

Suure hulga erisuguste uumlhikute puhul on probleemiks nendest uumlhikutest arusaamine Kui igal inimesel oleksid omad uumlhikud millega ta motildeotildeteobjekte votilderdleb siis oleks teistel inimestel vaumlga raske neid motildeotildetetulemusi kasutada Sellepaumlrast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped uumlhikuteks valitavate suuruste osas Taumlnapaumleva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema uumllemaailmsed st tuleks valida sellised uumlhikud mis kehtiksid kotildeikides maades Taumlnapaumleval enim levinud motildeotildetuumlhikute suumlsteem on SI (prantsuse keeles Systegraveme International drsquoUniteacutes totildelkes ldquorahvusvaheline uumlhikute suumlsteemrdquo) See votildeeti kasutusele 1960 aastal XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Motildeotildetude Peakonverentsil

Demo Vanade ja vaumlhemlevinud motildeotildetuumlhikute loend - Vikipeedia vaba entsuumlklopeedia

14

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI

SI suumlsteemi potildehiuumlhikuteks on

L Pikkusuumlhik m M massiuumlhik kg T ajauumlhik s I voolutugevuse uumlhik A Θ temperatuuri uumlhik K N ainehulga uumlhik mol J valgustugevuse uumlhik cd

Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud on defineeritud tabelis 1

Tabel 1 Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud

Dimensiooni taumlhis

SI uumlhik Definitsioon

L m Pikkusuumlhik meeter on teepikkus mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 s jooksul

M kg Massiuumlhik kilogramm votilderdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga

T s Ajauumlhik sekund on tseesium-133 aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele uumlleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus

I A Voolutugevuse uumlhik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lotildepmata pikas paralleelses ja taumlhtsusetult vaumlikse uumlmara ristlotildeikega sirgjuhtmes tekitab nende juhtmete vahel jotildeu 2middot10-7 N juhtme jooksva meetri kohta

Θ K Temperatuuri uumlhik kelvin on 127316 osa vee kolmikpunkti termoduumlnaamilisest temperatuurist

N mol Mool on suumlsteemi ainehulk mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0012 kilogrammis suumlsiniku isotoobis 12C Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tuumluumlp olema taumlpsustatud Need votildeivad olla aatomid molekulid ioonid elektronid mingid teised osakesed votildei kindla koosseisuga grupid neist osakestest

J cd Kandela on valgustugevus mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540middot1012

Hz kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1683 Wsr

Enne SI suumlsteemi loomist oli fuumluumlsikute hulgas enamlevinuks CGS suumlsteem mille potildehiuumlhikuteks on

bull L pikkusuumlhik cm bull M massiuumlhik g bull T ajauumlhik s

15

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri Θ uumlhik K (kelvin) ainehulga N uumlhik mol (mool) ja valgusvoo Φ uumlhik lm (luumen)

Lisaks potildehiuumlhikutele kasutatakse veel tuletatud uumlhikuid Fuumluumlsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ndash fuumluumlsika valemeid Need seosed ja seaduspaumlrasused on aluseks ka potildehindash ja tuletatud uumlhikute vaheliste seoste maumlaumlramisel

Naumlide 15 Juhti laumlbinud laeng Q on arvutatav juhti laumlbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t SI suumlsteemis motildeotildedetakse voolu amprites ja aega sekundites Laengu uumlhikuks saame nuumluumld [Q]SI = A s = C

Taumlispikkade tuletatud uumlhikute kasutamine igapaumlevaelus on suhteliselt kohmakas seetotildettu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud uumlhikutele antud oma erinimetus ja -taumlhis Eelmises naumlites toodud SI suumlsteemi laengu uumlhikut kutsutakse kuloniks Erinimetusega tuletatud uumlhikute taumlhised on toodud tabelis 2

Tabel 2 Motildened erinimetusega tuletatud motildeotildetuumlhikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Taumlhis Motildeotildetuumlhik Uumlhiku nimetus SI dimensioonvalem

sagedus f Hz herts dim f = T-1

jotildeud kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rotildehk meh pinge p Pa paskal dim p = L-1M T-2

toumlouml soojus energia A J džaul dim A = L2M T-2

votildeimsus P W vatt dim P = L2M T-3

valgusvoog Φ lm luumen dim Φ = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx lux dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk φ rad radiaan dim φ = 1

ruuminurk Ω sr steradiaan dim Ω = 1

elektriline takistus R Ω oom dim R = 1 L2MT-3I-2

Naumlide 16 Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub jaumlrgmiselt

dimU = L2 M T-3 I-1

SI suumlsteemi potildehiuumlhikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge uumlhikuks SI suumlsteemis

[U]SI = m2 kg s-3 A-1

16

Seda uumlhikut nimetatakse voldiks

Naumlide 17 Eespool naumlgime et laeng Q avaldub valemiga Q = I t SI suumlsteemi uumlhikuks saime [Q]SI = A s = C Dimensioonvalemiks votildeime seega kirjutada dimQ = T I

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik

Motildeotildedetavate suuruste vaumlaumlrtus votildeib olla kord suur ja kord vaumlike Seetotildettu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega uumlhikuid sama liiki fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmiseks

Naumlide 18 Pikkuse motildeotildetmiseks kasutatakse tollrsquoi jalgrsquoa jardrsquoi miilirsquoi mere miilrsquoi

bull toll 1rsquorsquo = 00254 m bull 1 jalg = 03048 m = 12rsquorsquo bull 1 jard = 09144 m = 3 jalga = 36rsquorsquo bull miil = 1 609344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360rsquorsquo bull meremiil 1 nam = 1 850 m = 2 025 jardi = 6 080 jalga = 72 900rsquorsquo

Oleks hea kui uumlhtedelt uumlhikutelt teistele uumlleminek oleks votildeimalikult lihtne Niisugusteks motildeotildetuumlhikuteks said meetermotildeotildedustiku uumlhikud mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791 aasta kevadel ldquokotildeikideks aegadeks kotildeigile inimestele kotildeigi riikide jaoksrdquo Meetermotildeotildedustiku ehk kuumlmnendsuumlsteemi oluliseks omaduseks on see et uumlhe ja sama suuruse erinevad motildeotildetuumlhikud suhtuvad uumlksteisesse nagu kuumlmne taumlisarvulised astmed Kasutatavate kuumlmnendliidete selgitus on toodud tabelis 4 Hoolimata meetermotildeotildedustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades taumlnaseni kohalikku suumlsteemi (Inglismaa USA)

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost

meeter ndash pr k megravetre kr k metron ndash motildeotildet

Prantsusmaal on meetermotildeotildedustik kohustuslik aastast 1840 Aastal 1875 kirjutasid 17 riiki alla meetrikonventsioonile Selle alusel otsustati valmistada meetri ja kilogrammi etalonid ja kutsuda iga kuue aasta jaumlrel kokku kaalude ja motildeotildetude peakonverents otsuste vastuvotildetmiseks ning edaspidise toumlouml arendamiseks metroloogia alal Esimene konverents toimus aastal 1889

Briti impeeriumis ja USA-s seadustati meetermotildeotildedustik 1897 NSVL-s 1925 Eestis 1929

Meetermotildeotildedustiku potildehiuumlhikute ajaloost Prantsusmaa rahvuskogu dekreet kuulutas 1791 seaduslikuks pikkusuumlhikuks uumlhe kuumlmnemiljondiku Pariisi veerandmeridiaani pikkusest Prantsuse TA erikomisjon korraldas 1792ndash1799 meridiaanikaare pikkuse motildeotildetmise Dunkerquersquoist Barcelonani 1799 valmistati plaatinast lihtne latikujuline esimene meetri etalon nn arhiivimeeter seda saumlilitatakse Prantsuse Riigiarhiivis Hiljem selgus et puhtast plaatinast valmistatud etalon on vaumlhestabiilne [vaumlhese jaumlikusega suure soojuspaisumisega] ning et selle pikkus on 009 mm (hilisemate arvutuste jaumlrgi 02 mm) votilderra vaumliksem definitsiooniga maumlaumlratud pikkusest Seepaumlrast korrigeeriti meetrit ja valmistati aastatel 1875ndash1879 plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist 31 uut X-kujulise ristlotildeikega etaloni pikkusega 102 cm Iga etalon paiknes rullikutel ja meeter oli taumlhistatud kahe kriipsuga Uutest etalonidest taumlpseima (selle pikkus uumlhtis kotildeige taumlpsemalt arhiivimeetri pikkusega) kinnitas kaalude ja motildeotildetude I peakonverents 1889 a meetri

17

rahvusvaheliseks prototuumluumlbiks Uumllejaumlaumlnud etalonid jaotati loosiga rahvusvahelise meetrikonventsiooniga uumlhinenud riikide vahel

Samas on selge et motildeotildetetehnika arenedes votildeib metallist (votildei mistahes muust materjalist) etaloni ja selle prototuumluumlpide suhtes selguda uumlha enam puudusi Ei ole ka kindel etaloni fuumluumlsiline saumlilimine

Selgus veel et etaloni looduslik alus Pariisi meridiaan ei ole konstantne Planeet Maa kui geoiidi kuju muutub Kuu ja Paumlikese kuumllgetotildembe motildejul Etalonide taasvalmistamise seisukohast on otstarbekas defineerida pikkusuumlhik mingi sobivama loodusliku konstandi kui Pariisi meridiaan kaudu Praegusel tehnoloogilisel tasemel peetakse sobivaimateks konstantideks valguse lainepikkusi ja valguse leviku kiirust vaakumis

1960 a kinnitas kaalude ja motildeotildetude XI peakonverents meetri uue definitsiooni meeter votilderdub kruumlptooni isotoobi tasemete 2p10 ja 5d5 vahelisel siirdel vaakuumis kiirguva valguse 1 650 76373 lainepikkusega

Definitsiooni uuendas kaalude ja motildeotildetude XVII peakonverents 1983 a meeter votilderdub vahemaaga mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 sekundiga (so valguse kiirusega)

Kaaluuumlhik defineeriti esmalt grammina (massi nimetati tol ajal kaaluks kaalu asemel tarvitati motildeistet raskusjotildeud) Grammi esmaseks etaloniks oli 1 cm3 puhast vett jaumlauml sulamistemperatuuril Mitmel potildehjusel [peamiselt miniatuursusest tingitud suurest suhtelisest ebataumlpsusest] veenduti uumlsna kiiresti grammi ebasobivuses

Jaumlrgnevalt defineeriti kilogramm kaaluuumlhikuna kui 1 liitri puhta vee kaal 4 ordmC juures Esimene kilogrammi etalon (arhiivikilogramm) valmistati 1799 a plaatinast seda saumlilitatakse (koos arhiivimeetriga) Prantsuse Riigiarhiivis

Seoses meetri korrigeerimisega oleks olnud vaja korrigeerida ka liitrit esialgu seda ei tehtud mistotildettu liiter ning dm3 ei langenud motildeni aeg kokku Kilogramm defineeriti jaumltkuvalt liitri kaudu Seejaumlrel korrigeeriti ka liitrit mistotildettu praegu langevad liiter ja dm3 jaumllle kokku

Aastal 1899 valmistati plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist silindrikujulised (laumlbimotildeotildet ja kotildergus ca 39 mm) arhiivikilogrammi koopiad millest taumlpseimat saumlilitatakse rahvusvahelise etalonina (prototuumluumlbina) Pariisi laumlhedal Sevresrsquos Rahvusvahelises Kaalude ja Motildeotildetude Buumlroos

Hilisematel motildeotildetmistel selgus et 1 dm3 puhta vee kaal temperatuuril 4 ordmC on 0999972 kg Seega kerkis kuumlsimus kas muuta kilogrammi definitsiooni ja valmistada uus etalon votildei lugeda kilogrammiks juba valminud etaloni massi Uus definitsioon taumlhendanuks paljude kasutuses olevate konstantide korrigeerimist ja sellega seonduvaid segadusi Lihtsam oli jaumlaumlda olemasoleva kilogrammi juurde Uut looduslikku konstanti analoogselt pikkusuumlhikuga pole massi jaoks leitud Praegusel hetkel on massi 1 kg etaloniks rahvusvahelise kilogrammi etaloni mass (ilma loodusliku vasteta)

Ajauumlhiku sekund defineerimisel laumlhtuti juba Babuumlloonias vaumlljakujunenud oumloumlpaumlevasest kellakasutusest mille jaumlrgi oumloumlpaumlev jaguneb tundideks minutiteks ja sekunditeks

Aastani 1956 defineeriti sekund kui 186400 osa keskmisest paumlikeseoumloumlpaumlevast (86400 = 246060)

NB Peale paumlikeseoumloumlpaumleva on veel taumlheoumloumlpaumlev mis on pisut luumlhem kuna taumlhtedelt vaadatuna teeb Maa aastas uumlhe poumloumlrde rohkem

sekund ndash lad k secundus ndash teine

18

Astronoomiatehnika arenedes selgus et troopiline aasta luumlheneb sajandis ca 05 s [totildeusu-motildeotildena totildettu ookean ldquoloksubrdquo mis analoogselt hotildeotilderdumisega aeglustab Maa liikumist kiiruse vaumlhenemise totildettu vaumlheneb tsentrifugaaljotildeud ja vaumlheneb PaumlikendashMaa kaugus vaumliksem orbiit laumlbitakse kiiremini] Kuna aasta osutus olevat aja t funktsiooniks siis leiti lahendus aasta defineerimises uumlhel konkreetsel ajahetkel Selleks hetkeks valiti 31 detsembri 1899 keskpaumlev Sekund defineeriti kui 131 556 9259747 osa troopilisest aastast 31121899 kell 1200 See definitsioon kehtis 1956ndash1967 (Troopiliseks aastaks nimetatakse ajavahemikku Paumlikese keskpunkti kahe jaumlrjestikuse kevadpunktist laumlbimineku vahel)

Aatomifuumluumlsika areng votildeimaldas veelgi paremat looduslikule konstandile tuginevat sekundi definitsiooni

sekund on votilderdne aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele siirdele vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodiga

Tabel 3 Kuumlmnendliited kordsete motildeotildetuumlhikute moodustamiseks

Aste Nimetus Taumlhis Aste Nimetus Taumlhis 1024 jotta Y 10-24 jokto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 eksa E 10-18 atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 piko p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 mikro micro 103 kilo k 10-3 milli m 102 hekto h 10-2 senti c 101 deka da 10-1 detsi d

Uumllesanne 11 Mitu mikronit vastab uumlhele kilomeetrile

1 microm = 10-6 m = 10-6 middot (10-3 km) = 10-9 km seega 1 km = 109 microm

Uumllesanne 12 Mitu kilomeetrit on uumlks sentimeeter

1 km = 1000 m = 1000 middot (100 cm) = 100000 cm

Uumllesanne 13 Uumlks akadeemiline tund (45 minutit) on ligikaudu votilderdne uumlhe mikrosajandiga Kui suur on nende erinevus protsentides Uumlhes (troopilises) aastas on 365244 oumloumlpaumleva

Avaldame motildelemad suurused potildehiuumlhiku sekund kaudu

45 min = 45 middot (60 s) = 2700 s

1 microsaj = 10-6 saj = 10-6 middot (102 a) = 10-4 a = 10-4 middot (365244 middot 24 middot 60 middot 60 s) asymp 3156 s

Nende suuruste erinevus on 41414403156

27003156==

minus

19

Uumllesanne 14 Astronoomilist aega motildeotildedetakse Maa poumloumlrlemise jaumlrgi aatomiaega aga sellest sotildeltumatult Kuna Maa poumloumlrleb aeglustuvalt (potildehjuseks on Kuu kuumllgetotildembejotildeust tingitud totildeusu-motildeotildenalainete sumbumine) kasvab uumlhe oumloumlpaumleva pikkus aatomiajas motildeotildedetuna aastas uumlhe mikrosekundi votilderra Leidke kui suur on erinevus aatomikella ja bdquoastronoomilise kellaldquo naumlitude vahel paumlrast 20 sajandi moumloumldumist

20 saj = 20 middot (100 a) = 2000 a

1 + 2 + 3 + 1998 + 1999 + 2000 = 1000 middot (2000 + 1) = 2001000 = 2001 middot 106

2001 middot 106 micros =2001 middot 106 middot (10-6 s) asymp 2 s

Uumllesanne 15 Kuld on uumlks suurima tihedusega metalle uumlhe kuupsentimeetri kulla mass on 1932 grammi Sotildermuse mass on 4 grammi Kui suure kuldlehe saaks sellest valtsida kui lehe paksus on uumlks mikromeeter

V = mρ = 4g1932gcm3 asymp 0207 cm3 S = Vh = 0207 cm31 microm = 0207 cm3(10-6 m) = 0207 cm3(10-6 (102 cm) = = 2070 cm2 = 207 dm2

Uumllesanne 16 Mitu suumllda on uumlks yard (1 kilomeeter (km) = 1000 meetrit = 468 710 suumllda 1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit)

1 yard = 9144 mm = 09144 m = 09144 middot 10-3 km = 09144 middot 10-3 (4687 suumllda) asymp asymp 0429 suumllda

Uumllesanne 17 Auto mille algkiirus oli 30 penikoormat tunnis sotildeidab maumlest alla kiirendusega 05 suumllda ruutsekundis Maumle pikkus on 900 yardi Leidke auto kiirus maumle all uumlhikutes kilomeetrit tunnis

1 penikoorem = 880 fathomit = 1760 yardi = 754 suumllda 2 jalga = 1 km 609 m

1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit

v0 = 30 penikoormath = 30 middot (1609 m) (3600 s) = 134 ms

754 suumllda 2 jalga = 754 suumllda + 23 middot 09144 m = 1609 m

754 suumllda = 1609 m ndash 06 m = 16084 m

1 suumlld = 16084 m 754 = 213 m

a = 05 suumlldas2 = 05 middot 213 ms2 = 106 ms2

s = 900 yardi = 900 middot 09144 m = 823 m

s = v0t + at22 at2 + 2v0t ndash 2s = 0

20

s728122

787826

0612

823061841344132

2

842 2200

=plusmnminus

=

=sdot

sdotsdot+sdotplusmnsdotminus=

+plusmnminus=

t

a

asvvt

v = v0 + at

v = 134 ms + 106 ms2middot287 s = 438 ms = h

km7157

h

3600

1000

km843 =sdot

21

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide

Igasugune motildeotildetmine suhteskaalat kasutades taumlhendab tundmatu suuruse votilderdlemist sama liiki maumlaumlratletud suurusega mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse vaumlaumlrtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana votildei kordsena Fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmisel on maumlaumlratletud suuruseks loomulikult selle suuruse uumlhik Uumlhikutena tuleks eelistada SI uumlhikuid sest need on kogu maailmas laialt kasutusel ning Motildeotildeteseadusega on nad Eestis kuulutatud kohustuslikeks motildeotildetuumlhikuteks Seega votildeib fuumluumlsikalise suuruse korral iseloomustada votilderdlemise protseduuri (motildeotildetmist) ja selle tulemusena saadavat mingi motildeotildetesuuruse Xi arvvaumlaumlrtust Xi suhtega Xi[Xi] kus i on indeks mille abil eraldame samas motildeotildeteprotsessis esinevaid motildeotildetesuurusi

Naumlide 21 Vedeliku mass motildeotildedetakse kaalumise meetodil koos mahutiga siis votilderdlemise protseduuri ning saadavat arvvaumlaumlrtust saab iseloomustada suhtega (X1 + X3)[X1] kus X1 taumlhistab materjali ja X3 mahuti massi

Naumlide 22 Kui eriti vaumlikeste objektide joonmotildeotildetmete motildeotildetmisel suurendatakse objekti kujutist mikroskoobi abil siis tulemust votildeib kirjeldada suhtega X4bullX2[X2] kus X2 taumlhistab joonmotildeotildedet ja X4 vastavat suurendustegurit Toodud suhtes peaksid olema uumlhikuteks tegelikult[X1 + X3] ja [X4bullX2] kuid kuna liita saab ainult sama liiki suurusi ning suurendustegur on suurus mille dimensioon on uumlks siis oleme uumlhikuteks valinud vastavalt [X1] ja [X2]

Jaumltkame naumlidet 21 Kui laumlhtuda oletusest et motildeotildetesuurusele X1 + X3 saame anda kindla arvvaumlaumlrtuse (X1 + X3)[X1] ning piirduda ainult aditiivsete motildejuritega mille koosmotildeju arvestab juhuslik liidetav X5 siis on motildeotildetmise votilderrand jaumlrgmine

[ ] [ ]1

5

1

31X

X

X

XXX +

+= (21)

See votilderrand iseloomustab votilderdlemise protseduuri ja arvvaumlaumlrtuse saamist ideaalsetes tingimustes Tegelikkuses ei ole votildeimalik votilderrandi (21) liikmeid eristada

Ideaalolukorras omab votilderrandi (21) esimene liige kindlat arvvaumlaumlrtust teine liige on aga juhuslik Saadavat summaarset arvvaumlaumlrtust X ei saa antud juhul kuidagi iseloomustada ainult uumlhe arvuga Seda votildeib iseloomustada matemaatilise mudeli (maatriks) abil ning esitada dokumentaalselt eksperimentaalsete andmete kogumina kas tabeli graafiku sotildeltuvuse jne kujul mis on uumlhtlasi ka arvvaumlaumlrtuse X hinnanguks

Naumlide 23 Motildeotildetesuuruse X1 + X3 n-kordsel (antud juhul 100-kordsel) sotildeltumatul motildeotildetmisel numbernaumlidikuga massimotildeotildetevahendi abil fikseeriti naumliduseadisel jaumlrgmised diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi mis on toodud tabelis 21

22

Tabel 21 Motildeotildetmisel saadud diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi nende esinemiste arv mi totildeenaumlosus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi)

x i m i P(x i) F(x i) 1 2 3 4 3580 1 001 001 3581 2 002 003 3582 4 004 007 3583 10 01 017 3584 21 021 038 3585 23 023 061 3586 19 019 08 3587 12 012 092 3588 5 005 097 3589 2 002 099 3590 1 001 1

Iga i-ndas arvvaumlaumlrtus esines motildeotildetmistel mi korda Tekib kuumlsimus bdquoMissugune nendest arvvaumlaumlrtustest tuleks antud n-kordsel motildeotildetmisel votildetta motildeotildetetulemuse aluseksldquo

Antud juhul mitte uumlkski arvvaumlaumlrtus tabeli esimeses tulbas uumlksikuna votildettes ei iseloomusta motildeotildetevahendi abil saadud motildeotildetetulemust tervikuna Seda iseloomustab antud juhul kogu saadud arvvaumlaumlrtuste kogum koos uumlksikute arvvaumlaumlrtuste esinemise sagedusega Votildettes iga i-nda arvvaumlaumlrtuse suhtelise esinemise sageduse min selle lugemi esinemise totildeenaumlosuseks P(xi) saame taumlita tabeli kolmanda veeru Votilderreldes tabeli esimese veeruga annab kolmas veerg meile antud motildeotildetevahendi abil saadud ja tabeli kujul esitatud diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotuse Selle totildeenaumlosusjaotuse votildeime avaldada ka graafiliselt jaotusspektrina joonis 21

0

005

01

015

02

025

3580 3581 3582 3583 3584 3585 3586 3587 3588 3589 3590

x i

P(x

i)

Joonis 21 Diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotus

Liidame kotildeik need kolmandas veerus olevad arvvaumlaumlrtuste esinemise totildeenaumlosused mille korral arvvaumlaumlrtused xi on vaumliksemad vaadeldavast arvvaumlaumlrtusest xk Tabeli esimese veeru arvvaumlaumlrtustega votilderreldes annavad neljanda veeru arvvaumlaumlrtused meile motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumlrtuste esinemise jaotusfunktsiooni tabeli kujul Graafiliselt on see toodud joonisel 22

23

0

02

04

06

08

1

12

3579 3581 3583 3585 3587 3589 3591

x i

F(x

i)

Joonis 22 Diskreetsete arvvaumlaumltuste jaotusfunktsioon

Jooniselt 22 on naumlha et motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumltuste esinemise jaotusfunktsioon on katkev taumlpsemini treppfunktsioon Katkevuspunktides on motildeotildetevahendi lugemite votildeimalikud vaumlaumlrtused ning nendes punktides jaotusfunktsioon kasvab huumlppeliselt kusjuures huumlppe motildeotildetmeks on totildeenaumlosus et esineb katkevuspunktist vaumliksemaid arvvaumlaumlrtusi

Seega numbernaumliduseadisega motildeotildetevahendite korral kirjeldavad totildeenaumlosusjaotus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi) taumlielikult saadavat diskreetset arvvaumlaumlrtust xi

Jaumltkame nuumluumld motildeotildetmise votilderrandi 21 analuumluumlsi Oletame et me teame mahuti massi X3 eelnevatest motildeotildetmistest votildei saadakse see taumliendavate uuringute potildehjal Vastavalt meie laumlhenemisviisile oleme andnud suurusele X3 kindla vaumlaumlrtuse ja juhuslikud komponendid uumlle kandnud suurusesse X5 Seega on suurusel X5 juhuslik iseloom mis taumlhendab et tema vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik kindlaks teha Siit jaumlreldame et motildeotildetesuuruse X1 vaumlaumlrtust on votildeimatu taumlpselt kindlaks teha votilderrandi (21) potildehjal tuletatud valemi

[ ] 3511 XXXXX minusminussdot= (22)

abil Seda isegi siis kui laumlhtume ideaalolukorral kehtivast oletusest et suurusel X3 on kindel vaumlaumlrtus Toonitame veelkord et votilderrand (22) ei peegelda tegelikku motildeotildeteprotsessi st et me praktikas ei saa eristada juhuslikku suurust X5 vaadeldavast motildeotildetesuurusest X1

Kokkuvotildetteks ndash motildeotildetmise kordamisel tuleb suuruse arvvaumlaumlrtus X tingituna motildeotildetesuuruse iseloomust igal motildeotildetmisel erinev Seega praktilise motildeotildetmise kogemuse potildehjal votildeime vaumlita et mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning seega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes et saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti juhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kirjeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muutuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mis kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

24

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreetseteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettemaumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 muumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused grammides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildepmatu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumliteks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tulemust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on avaldatav valemiga

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk = (23)

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

(24)

Esimene omadus taumlhendab et esinemistotildeenaumlosus ei saa olla negatiivne ega ka mitte suurem kui uumlks Teine omadus taumlhendab et kotildeigi elementaarsuumlndmuste esinemistotildeenaumlosuste summa on uumlks st on 100 kindel et toimub mingi realisatsioon kotildeigi elementaarsuumlndmuste hulgast ja kotildeik teised votildeimalused on votildeimatud

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16 visatakse 4 silma p = 16 visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmus visatakse 1 votildei 4 silma p = 26 visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46 visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus on toodud joonisel 23 Totildeenaumlosus erineb nullist ainult maumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole maumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

25

Joonis 23 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatiivne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

sumle

=ki

ipkF )( (25)

st jaotusfunktsioon naumlitab kui suur on totildeenaumlosus et juhuslik suurus xi on vaumliksem kui xk Naumliteks taumlringuviske puhul taumlhendab jaotusfunktsioon kohal 4 totildeenaumlosust visata taumlringuga silmade arv 1 2 3 votildei 4 st tema vaumlaumlrtuseks on 16 + 16 + 16 + 16 = 46

Joonisel 24 on toodud temperatuuri motildeotildetmise totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon (joon)

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

Joonis 24 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotuse omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla negatiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa samuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

26

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vaumlaumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlndmuse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele (26)

Pideva suuruse korral votildeib vaumlaumlrtused x1 ja x2 votildetta votildeimalikult teineteise laumlhedusest Siit tuleneb et

kui votildetta x1 rarr x2 siis [ ] 0)()(lim 1221

=minusrarr

xFxFxx

Seega saame vaumlita et pideva suuruse korral

on mingi konkreetse vaumlaumlrtuse totildeenaumlosus votilderdne nulliga Naumliteks totildeenaumlosus et uumlhe motildeotildetesilindri maht on taumlpselt 1 liiter on null Seega on motildeistlik vaadata pidevate suuruste korral hoopis totildeenaumlosust et suumlndmus satuks vahemikku [x1 x2]

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

dx

xdFxf

)()( = (27)

Teistpidi on jaotusfunktsioon maumlaumlratud integraal jaotustihedusest

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF (28)

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfunktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli lihtsustab valemite 27 ja 28 kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vaumlga keeruliste uumllesannete lahendamist

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist on toodud joonisel 25

1

Joonis 25 Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

Valemist 27 saame et

dxxfxdFdp sdot== )()( (29)

seega suurus dp on ristkuumlliku pindala motildeotildetmetega dx ja f(x) Funktsiooni f(x) pindala vahemikus (a b) on seega maumlaumlratud integraal

27

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

(210)

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabel Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6 b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9 c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

a Vastavalt esinemiste totildeenaumlosusele on kahe taumlringuviske summaks votildeimalik saada 536 asymp 13 juhtudest

b Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vaumliksem kui 9 on 3036 asymp 83

c Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vahemikus [38] on

2636 ndash 136 = 2536 asymp 69

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine pooldumist kirjeldav tihedusfunktsioon Palju kulub aega et esialgsest Cs ainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

28

( )

19843614614

614)010ln(010)exp(990)exp(1

)exp(1)exp(

)exp(1

)exp(1

)()(

)exp(1

)(

01

010101

010

0

0

00000

00

00

1

1

1

1

=sdot=sdot=

minus==minusrArr=minusrArr=minusminus

minusminus=minus=

=minussdotminus=minus==

minus=

int int

tt

tttttt

tttt

tttt

dtttt

dttftF

ttt

tf

t

tt

t

Seega oleks esialgsest ainehulgast 198 aasta paumlrast alles 1

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri tsuumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

ning tema jaotusfunktsioon on 10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

Totildeestame kotildeigepealt jaotustihedusele vastava jaotusfunktsiooni Vaatame ainult piirkonda 0 lt x lt 1 sest kuna arkussiinusjaotus on nullist erinev ainult piirkonnas (0 1) on tema jaotusfunktsioon F(x) = 0 piirkonnas x le 0 ja F(x) = 1 piirkonnas x ge 1

( )[ ] int

intint

intint

int

=minus

sdot==

=rArr=minus

=minus

=

sdot=rArr=rArr==sdotminus

=minus

=

===leinfinminus

)arcsin(1

1)arcsin(2)arcsin(

2

)0()0()0(1

12

1

11

2)1(

1

)1(

1

)()()(

20

02

02

2

00

ydyy

xy

xxxdyyx

dx

x

dyydxyxxydxxx

dxxx

dxxfxFxXP

x

xx

xx

x

ππ

ππ

ππ

29

Nuumluumld tuleb teha uumllesande lahendamiseks muutujavahetus et sobituda arkussiinusjaotuse valemiga

Vaatame paare x1 = 0 t1 = 20

x2 = 1 t2 = 24

Vastav uumlleminekuvalem on ilmselt 420minus

=t

x

Teeme tabeli meid huvitavatest temperatuuridest vastavatest x-i vaumlaumlrtustest ning tihedusfunktsiooni vaumlaumlrtustest

t x F(x) 205 18 023 21 frac14 033 23 frac34 067 235 78 077

Seega on vahemikus 21 degC kuni 23 degC ruumi temperatuur 067 ndash 033 = 34 ajast Alla 205 degC votildei uumlle 235 degC on 023 + (1 ndash 077) = 46 On huvitav maumlrkida et tsuumlkliliste temperatuurimuutuste korral puumlsib temperatuur kotildeige kauem vahemiku ekstreempunktide laumlheduses ja kotildeige luumlhemat aega ettenaumlhtud temperatuuril See omadus naumlhtub jaotustiheduse graafikust ja on intuitiivselt motildeistetav vaadeldes siinuskotildevera kulgu

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaatekohalt Jaotusseadus votildeimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga suumlndmuse totildeenaumlosust Jaotusseaduse potildehikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaalne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamasti aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlielikku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadusi Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendamisel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadused

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel suurt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood momendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik funktsioon entroopia jmt

231 Keskvaumlaumlrtus

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakteristik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhistused on

30

m mx m[x] x ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

sum=

=n

kkk pxm

1

(211)

kus )( kk xXPp ==

Kui votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on loenduv siis

suminfin

=

=1k

kk pxm (212)

kusjuures eeldatakse et summa paremal koondub (on lotildeplik) Kui summa ei koondu siis harilikult keskvaumlaumlrtust juhuslikule suurusele ei omistata

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) ja votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on kogu reaaltelg keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

int+infin

infinminus

= dxxxfm )( (213)

eeldusel et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt)

Maumlrkus Valem keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langeb kokku valemiga varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhega Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatiline moment

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (214)

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

31

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

See on lotildeigu [a b] keskpunkt

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r (215)

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut (f integraal x jaumlrgi rajades [ )infin1 olgu votilderdne uumlhega) On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1 Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r vaumlaumlrtuste korral joonisel 26

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

Joonis 26 Astmejaotuse jaotusfunktsioon

Arvutame astmejaotuse keskvaumlaumlrtuse

infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus== intint1

21

1

1

1

2

1)1()( r

r

xr

rdxxrdxrxfxm

Naumleme et keskvaumlaumlrtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse 02gtminusr ehk 2gtr kehtimine ndash vastasel juhul ei koonduks uumlmarsulgudes olev avaldis lotildepmatuses nulliks vaid oleks lotildepmata suur Kui see tingimus on taumlidetud siis saame

32

22

1gt

minusminus

= rr

rm (216)

Seega keskvaumlaumlrtus on alati suurem uumlhest (pole ka midagi imestada kuna kogu jaotuse kandja asub punktist uumlks paremal) ja kasvab piiramatult kui r laumlheneb kahele paremalt (joonis 27)

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

Joonis 27 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Oluline asi millele selle naumlitega taumlhelepanu juhime on asjaolu et lotildepmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslotildepmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskvaumlaumlrtus eksisteerida Selle (keskvaumlaumlrtuse) olemasoluks on vajalik et jaotustihedus laumlheneks nullile piisavalt kiiresti kui

infinplusmnrarrx Lotildepliku kandja puhul sellist probleemi ei teki

Keskvaumlaumlrtuse omadusi

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on see konstant ise

[ ] ccm =

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlmboli ette

[ ] [ ]XcmcXm =

Totildeestatakse see pideval juhul nii

33

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

Analoogiline on totildeestus diskreetse juhusliku suuruse korral

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtuseid kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrtuseid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeetilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

Naumlide 27 Suvel maumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel lahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle raumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva Mitu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

Vastus nihketa hinnang oleks mediaan ehk 156 paumleva Aritmeetilist keskmist saab arvutada ainult suve alguseks Eestisse tagasi jotildeudnud lindude raumlnnet arvesse votildettes see oleks 154 paumleva kuid see ei arvesta votildeimalusega et kadunud 2 lindu siiski kunagi naumliteks suvel siiski jotildeudsid tagasi Ka annaks aritmeetiline keskmine selgelt nihutatud hinnangu juhul kui motildeni lindudest saabuks juba suumlgisel miskipaumlrast Eestisse tagasi

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis seda naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotildergpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vaumlhemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) leitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on eesmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hulgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad keskvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemikku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korrelatsioonikordaja) maumlaumlramisele

Naumlide 28 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast ja 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55000 EEK Keskmine palk selles firmas on

34

1000010

5500050009=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalgaga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firmas on

320005

4000390004=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

Seega sotildeltuvalt palkade jaotusest votildeib olla keskmine palk mediaanpalgast nii suurem kui ka vaumliksem Eesti keskmisena on siiski keskmine palk mediaanpalgast maumlrgatavalt kotildergem seda tingib uumlhelt poolt miinimumpalk millest vaumliksemat palka ei ole votildeimalik maksta samuti totildesiasi et meil on teatud hulk inimesi kes saavad uumllisuuri palkasid Toon siin internetist leitud Eesti keskmise ja mediaanpalga naumlited need on illustratiivsed ja ei pretendeeri kindlale totildeele 2008 aasta III kvartalis oli keskmine kuupalk 12 512 krooni samas kui 2008 aasta II kvartalis oli mediaanpalk 9 897 krooni

232 Dispersioon ja ruuthaumllve

Teades juhusliku suuruse keskvaumlaumlrtust ei saa veel otsustada milliseid vaumlaumlrtusi juhuslik suurus votildeib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskvaumlaumlrtuse uumlmber Kui jaotustihedus on haumlsti kitsas kui juhusliku suuruse hajuvus on vaumlike siis on keskvaumlaumlrtusest kuumlll et iseloomustada juhuslikku suurust Kui aga jaotustihedus on lai ja lame Meil on tarvis suurust mis votildeimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse bdquokitsustldquo votildei bdquohajuvustldquo Selliseks suuruseks on dispersioon

Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse haumllbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse

[ ]Xmxii minus=ε (217)

Pole raske veenduda et haumllbe keskvaumlaumlrtus on votilderdne nulliga Totildeepoolest

01

=sum=

n

iiε

See on seletatav sellega et votildeimalikud haumllbed on erinevate maumlrkidega ja summaarselt kompenseeruvad Jaumlrelikult ei iseloomusta haumllve hajuvust Tsentreerimine taumlhendab geomeetriliselt seda et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]Xm

Dispersioon

Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust

[ ] [ ] [ ]( )[ ]22 XmXmmXDD minus==equiv ε (218)

35

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega on dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse maumlaumlra iseloomustajaks

Teised levinumad taumlhised dispersioonile on veel 2σ (dispersioon on siin taumlhistatud kui standardhaumllbe ruut) Kaumlesolevas kursuses kasutame dispersioonile taumlhist D

ja kui tahame rotildehutada votildei esile tuua millise juhuliku suurusega on tegu siis taumlhist D(X)

Vastavalt definitsioonile (218) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem

( )sum minus=i

ii pmxD 2 (219)

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealisatsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suuruse korral annab (22)

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2 (220)

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus= (221)

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku suuruse ruudust X2 Kotildeige lihtsam on seda valemit totildeestada esitades valemeis (219) javotildei (220) ruutavaldise uumlmarsulgudes kujul

222 2)( mxmxmx +minus=minus

Vaatame detailsemalt (221) totildeestust pideva juhusliku suuruse juhul (220)

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

mis ongi valem (221) Uumlhtlasi oleme ka saanud ilmutatud esituse juhusliku suuruse ruudu keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks

[ ] )(22 dxxfxXm intinfin

infinminus

= (222)

36

Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetemaumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumllvet

D=σ (223)

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve

Lahendamiseks teeme kotildeigepealt tabeli

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse laumlhtudes valemist (211)

532161

1

=sdot== sum=

n

kkk pxm

Laumlhtudes valemist (219) saame

( ) 9225176

12 asympsdot=minus= sumi

ii pmxD

Laumlhtudes Steineri valemist (221) saame

[ ] 9222512171553691 222 =minusasympminus=minus= mXmD

Taumlringuviske standardhaumllve on

711922)()( === xDxσ

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

37

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime juba varem

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi (ehk x2 keskvaumlaumlrtuse)

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+

minus++

=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1)()(

ababxDx

minusasymp

minus==σ

Naumlide 211 Astmejaotuse dispersioon ning standardhaumllve

Olgu jaotustiheduseks astmejaotus (215) Dispersiooni arvutuseks kasutame valemit (221)

Keskvaumlaumlrtus m on teada valemist (216) seega on vaja leida [ ]2Xm kasutades selleks seost (222) ja jaotustihedust (215)

[ ] 1

3

1)1(

1

13

1

2

1

22infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus=minus

= intint rr

r xr

rdxxrdx

x

rxXm

Siin uumlmarsulg annab lotildepliku tulemuse vaid siis kui on taumlidetud tingimus 3gtr Sel juhul annab uumlmarsulg uumllemise raja juures nulli ning saame lotildeplikult

[ ]312

minusminus

=r

rXm

Seega saame astmejaotuse dispersiooni jaoks

38

2

2

)2)(3(

1

2

1

3

1)(

minusminusminus

=

minusminus

minusminusminus

=equivrr

r

r

r

r

rrDD

Ning astmejaotuse standardhaumllbe jaoks

2)2)(3(

1)(

minusminusminus

==rr

rrDσ

Selle dispersiooni graafik parameetri r funktsioonina on toodud joonisel 28

3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

55

0

σ r( )

103 r

Joonis 28 Astmejaotuse standardhaumllve

Naumleme et standardhaumllve laumlheneb kiiresti lotildepmatusele kui parameeter r laumlheneb kolmele Ja vastupidi parameetri kasvades laumlheneb standardhaumllve kiiresti nullile

See naumlide demonstreerib seda totildesiasja et ndash sarnaselt keskvaumlaumlrtusele ndash vajab lotildepmatu maumlaumlramispiirkonnaga juhuslik suurus standardhaumllbe lotildeplikkuseks (st eksisteerimiseks) kuumlllalt kiiret totildeenaumlosustiheduse nullile laumlhenemist protsessis plusmninfinrarrx Jaotustiheduse nullile laumlhenemise kiiruse maumlaumlrab kaumlesolevas naumlites parameeter r ndash mida suurem see on seda kiirem on )(xf nullile laumlhenemine (vt joonis 27) Nagu naumleme on standardhaumllbe eksisteerimiseks tarvilik suurem nullile laumlhenemise kiirus ( 3gtr ) kui oli tarvilik keskvaumlaumlrtuse olemasoluks (seal oli tarvilik 2gtr ) See tulemus on uumlsna uumlldine lotildepmatu kandjaga jaotustiheduse korral on tingimused standardhaumllbe eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskvaumlaumlrtusele

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardhaumllbe omadused

39

Vaatleme dispersiooni potildehiomadusi mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse puhul

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null Konstandi dispersioon on votilderdne nulliga

[ ] 0=cD

Totildeestuseks teisendame

[ ] [ [ ] ] [ ] 00)( 2 ==minus= mcmcmcD

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

Vaatame maumlaumlranguid (219) ja (220) Diskreetsel juhul (219) on summa all ainult positiivsed suurused ja positiivsete suuruste summa on positiivne Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus mil summa koosneb vaid uumlhest liikmest mis on parasjagu null

Analoogiline on totildeestus pideval juhul (220) integraal positiivsest funktsioonist on positiivne Ka siin on piiril erijuhuks uumlhteainsasse punkti cX = lokaliseeritud jaotus mida kirjeldab delta-funktsioon

)()( cxxf minus= δ

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

[ ] [ ]XDccXD 2=

Keskvaumlaumlrtuse omaduste potildehjal

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]XDcXmXcm

XcmcXmcXmcXmcXD222

22

)(

)())((

=minus=

=minus=minus=

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses olevad juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

kus [ ]

[ ] [ ]YDXD

yxmr

)()( εε sdot= on korrelatsioonitegur (sellest taumlpsemalt edaspidi)

Totildeestuseks teisendame kasutades keskvaumlaumlrtuse aditiivsuse omadust

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ])()()(2)(

))()(()(22

22

YDXDxyxxm

yxmYXmYXmYXD

+=+plusmn

=plusmn=plusmnminusplusmn=plusmn

εεεε

εε

sest [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]YDXDrYmYXmXmyxm sdot=minusminus= ))(()()( εε

40

Sotildeltumatute tundmatute erijuhul (r asymp 0) on [ ] 0)()( =yxm εε

Erijuhul kus uumlks liidetav on konstant on

[ ] [ ]XDcXD =+

Standardhaumllve (ruutkeskmine haumllve)

Dispersiooni ruutjuurt

D=σ (223)

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

41

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus m b standardhaumllve σ c totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σ d totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui keskvaumlaumlrtus e mediaan

0 05 1 15 20

05

1

15

2

y x( )

y1

y1

x 16 168

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

6158

542

541

4)()(

520

52

0

4

==sdot

=sdot==== intintinfin

infinminus

xdx

xdxxxfxm

667238

616

642

641

4)()(

620

62

0

522 asymp==

sdot=sdot==== intint

infin

infinminus

xdx

xdxxfxxm

1070616672))(()( 222 =minus=minus= xmxmD

3301070 asymp== Dσ

27133061 =minus=minusσm

93133061 =+=+σm

16016

6216271

)(4

===minusσmF

42

87016

91316931

)(4

===+σmF

71710160870)( ==minus=plusmnσmp

4141016

661661

)(4

====mF

Arvutame mediaani

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

43

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus= kus

parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvaumlaumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Kasutame arvutuses poolestusaja poumloumlrdvaumlaumlrtust 01 t=λ

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

Siin on otstarbekas arvutada algmomendid ning neid kasutada keskvaumlaumlrtuse ja dispersiooni leidmiseks

[ ] dtttdttttm kkk )exp()exp(00

λλλλ minussdotsdot=minussdot= intintinfininfin

Rakendame integraali arvutamisel parameetri jaumlrgi diferentseerimise votildetet

intintinfininfin

minus

minus=minus

000

)exp()exp( dttdt

ddttt

k

k λλ

Kuna viimase integraali vaumlaumlrtus on

λλ

1)exp(

0

=minusintinfin

dtt

siis saame

[ ]λλ

λ1

kk

d

dtm

minussdot=

Votildettes siin k = 0 1 2 saame kerge vaevaga

[ ] 11

00 =

minussdot=λλ

λd

dtm

seega normeering uumlhele on kehtiv nagu peabki

[ ] 0

11 11

td

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

44

[ ] 202

22 2

21t

d

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

Seega on eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja dispersioon vastavalt

[ ] 0ttm = ja

[ ] [ ] 20

20

20

22 2 ttttmtmD =minus=minus=

Standardhaumllve on siit

0tD ==σ

Niisiis on eksponentjaotuse korral keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve arvuliselt votilderdsed

Leiame nuumluumld mediaani

3043690690690

690)50ln(

50)exp(50)exp(1)(

0 asympsdot=sdot==rArrminus==minus

=minusrArr=minusminus=

ttt

tttF

λλ

λλ

Seega on tseesiumi pooldumise keskvaumlaumlrtus 43 aastat aga mediaan 30 aastat

45

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaot usseadused

241 Uumlhtlane jaotus

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel lotildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

Seega on uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (224)

Joonisel 29 on toodud uumlhtlase jaotuse jaotustiheduse graafik

Joonis 29 Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

( )( )2)(2)(22

111 222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega (joonis 29) siis on ka loomulik et keskvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

Suumlmmeetriatelg

46

[ ]

3)(3

))((

)(3

3

111

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxXm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

[ ]12

)(

23

222222 abbababa

mXmDminus

=

+minus

++=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1 ababD

minusasymp

minus==σ

Standardhaumllbe ulatus (so intervalli [ ]σσ +minus mm ulatus) on naumlidatud joonisel 29 kahepoolse noolega Standardhaumllbe vaumlaumlrtusest on ka naumlha et kahekordsele standardhaumllbele vastav intervall [ ]σσ 22 +minus mm sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse muutumispiirkonna [a b] Teiste sotildenadega andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks standardhaumllvet keskvaumlaumlrtusest saavutame et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda totildeenaumlosusega 1 (eeldusel et jaotus ikka on uumlhtlane)

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadmetel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 2265 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mingisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum eeldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

Ka analoogmotildeotildeteseadme resolutsioonist tingitud maumlaumlramatust votildeib kaumlsitleda samamoodi kui digitaalsetel seadmetel Siiski on analoogseadmetel votildeimalik seda maumlaumlramatust vaumlhendada Naumliteks on joonlaua resolutsioon 1 mm kuid terava silmaga motildeotildetja suudab jagada millimeetri veel pooleks Sellisel juhul alluks resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus ikka uumlhtlasele jaotusele kuid oleks motildeotildetetulemuse 2835 mm

Teine uumlhtlase jaotuse naumlide on Brauni osakeste levimine Vedeliku anumasse uumlhte punkti pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma ning on selles anumas pika aja paumlrast (aeg infin) uumlhtlaselt jaotunud Sellel potildehjusel on piimaga kohvi uumlhtlaselt pruun

242 Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmmeetriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf (225)

ning mille jaotustihedus on toodud joonisel 210

47

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

Joonis 210 Kolmnurkjaotuse jaotustihedus

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotus on suumlmmeetriline siis ilmselt tema keskvaumlaumlrtus 12

20)( =

+=xm

ja tema ruudu keskvaumlaumlrtus on

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

ja dispersioon ning standardhaumllve on

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

Hiljem vaatame seda kolmnurkjaotust seoses keskse piirteoreemiga

243 Eksponentjaotus

Eksponentjaotus sai laumlbi arvutatud radioaktiivse aine pooldumist kirjeldavas naumlites

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

48

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

Joonis 211 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja jaotusfunktsioon

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusele Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pikk on keskmise lambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi eluiga on 5000 tundi Teha naumlidisarvutus Mathcadis (lambi_eluigamcd)

49

244 Normaaljaotus

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jaotusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaalteljele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus ( )infininfinminus

Naumlide 210 Gaasi molekuli x-telje suunaline kiirus allub normaaljaotusele kus keskvaumlaumlrtus on a = 0 (makroskoopiliselt puumlsib gaas paigal) ning standardhaumllve on proportsionaalne ruutjuurega temperatuurist

Naumlide 211 Uumlhemotildeotildetmelisse lotildeputu ulatusega vedeliku anumasse (lotildepmatult pikk kapillaartoru) uumlhte punkti x0 ajahetkel t = 0 pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma nende jaotus ajahetkel t gt 0 on kirjeldatav normaaljaotusega parameetritega a = t0 ning σ2 ~ t Seega standardhaumllve ajas jaumlrjest suureneb votilderdeliselt ruutjuurega ajast Seega kui valada lotildepmatult suures tassis kohvile piima ei saa mitte kunagi uumlhtlaselt pruuni segu vaid ainult piimatilk tasapisi segunedes musta kohviga

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotuseks ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf (226)

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja 0gtσ on fikseeritud positiivne reaalarv Antud loengukursuse raames me ei totildeesta vaid ainult konstateerime et parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

Jaotustiheduse maumlaumlramispiirkond on kogu reaaltelg R (st argument x votildeib omandada vaumlaumlrtusi kogu reaalteljel)

Normaaljaotuse tiheduse graafik on parameetrite 2=a 1=σσσσ korral toodud joonisel 212

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

Joonis 212 Normaaljaotuse jaotustihedus

50

Parameetri a muutumisel joone asend muutub x-telje suhtes a kasvades jaotus nihkub paremale (toimub kujundi x-telje sihiline paralleelluumlke) Mida suurem on a seda paremal paikneb kotildever (joonis 213)

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

Joonis 213 Erinevad normaaljaotused σ = 1 korral a = ndash2 (kotildever f3(x)) a = 0 (kotildever f2(x)) ja a = 2 (kotildever f1(x))

Kui parameeter σ kasvab siis kahanevad funktsiooni vaumlaumlrtused ja joon muutub lamedamaks ndash kotildever surutakse kokku y-telje suunas Kui σ kahaneb siis muutub joon teravatipulisemaks ndash kotildever venitatakse vaumllja y-telje suunas (joonis 214)

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

Joonis 214 Normaaljaotus (a = 0) erinevate σ-de korral f1(x ) ndash σ = 1 f2(x) ndash σ = 2 ja f03(x) ndash σ = 03

51

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik muumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljaotuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse (226) integreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2)exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ (227)

Siin erf(x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete lahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm(x a σ) ning jaotusfunktsioon kohal x funktsiooniga pnorm(x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus arvutatav kaumlsuga normdist(x a σ 0) ning jaotusfunktsioon kaumlsuga normdist(x a σ 1)

Naumlide 212 Arvutame vaumllja totildeenaumlosuse et normaaljaotuse puhul satuks suumlndmus intervalli (a plusmn σ) (a plusmn 2σ) (a plusmn 3σ) Kuna need totildeenaumlosused ei sotildeltu jaotuse parameetritest siis valime votildeimalikult lihtsad parameetrid naumliteks a = 0 ja σ = 1 Leiame Excelrsquoi abil meid huvitavad jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused

Normdist(ndash3 0 1 1) = 000135 Normdist(ndash2 0 1 1) = 00228 Normdist(ndash1 0 1 1) = 0159 Normdist(1 0 1 1) = 0841 Normdist(2 0 1 1) = 09772 Normdist(3 0 1 1) = 099865

Tegelikult piisaks ka neist ainult esimese kolme arvutamisest sest normaaljaotus on suumlmmeetriline ning seega on totildeenaumlosus et toimub suumlndmus x lt a ndash z votilderdne totildeenaumlosusega et toimub suumlndmus x gt a + z

P(a plusmn 3σ) = 099865 ndash 000135 = 09973 = 9973

P(a plusmn 3σ) = 1 ndash 2(000135) = 09973 = 9973 P(a plusmn 2σ) = 1 ndash 2(00228) = 09545 = 9545 P(a plusmn 1σ) = 1 ndash 2(0159) = 06827 = 6827

Seega satub vahemikku plusmn 1σ ligikaudu 68 vahemikku plusmn 2σ ligikaudu 95 ja vahemikku plusmn 3σ ligikaudu 997 suumlndmustest

52

245 Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

10

)arcsin(2)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π (228)

Arkussiinusjaotuse jaotusfunktsiooni arvutuskaumlik sai toodud varasemalt ruumi temperatuurikontrolli suumlsteemi naumlites

Arkussiinusjaotuse keskvaumlaumlrtus on m = 05 ning dispersioon on 8

1=σ

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

Joonis 215 Arkussiinusjaotuse jaotustihedus ning jaotusfunktsioon

53

Naumlide 213 Kolmnurkjaotust votildeib defineerida ka jaumlrgnevalt piirkondades x lt 0 ning x gt b on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [0 b] on tema vaumlaumlrtus uumlhtlaselt kasvav (f(x) = cx) Arvuta koefitsient c jaotusfunktsioon keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning standardhaumllve Leia totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (m plusmn σ) (m plusmn 2σ) Joonista graafik ning kanna sellele keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning viiruta piirkond (m plusmn 2σ)

Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

2

2

0

2

0

21

2

)(

2 bc

bc

xcdxcxdxcx b

b

=rArrequivsdot=sdot=sdot=sdot intintinfin

infinminus

Seega on selle kolmnurkjaotuse jaotustihedus

lele=

mujal0

02

)( 2bx

b

xxf

Leiame nuumluumld jaotusfunktsiooni

2

2

02

2

022

22)(

b

x

b

xdx

b

xdx

b

xxF x

xx

==== intintinfinminus

Arvutame nuumluumld keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

bbb

bx

bdxx

bdx

b

xxm

bbb

6703

2

3

2

3

2222

3

0

3

20

22

02

asymp==

=== intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

[ ] 24

222 2

0

4

20

32

02

22 bx

bdxx

bdx

b

xxXm

bbb

=

=== intint

Nuumluumld saame

[ ]1818

89

3

2

2

2222222 bbbbb

mXmD =minus

=

minus=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

bb

D 24018

asymp==σ

Arvutame mediaani kasutades jaotusfunktsiooni

bbxb

xxF 7105050)(

2

2

asympsdot=rArr==

Leiame jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused meid huvitavates punktides

54

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

151)480670(18

2

3

22

910)240670(183

2

430)240670(183

2

190)480670(18

2

3

22

=+asymp+=+

=+asymp+=+

=minusasympminus=minus

=minusasympminus=minus

σ

σ

σ

σ

1)151()2(

8280910)910()(

1850430)430()(

0360190)190()2(

2

2

2

==+

==asymp+

==asympminus

==asympminus

bFmF

bFmF

bFmF

bFmF

σσ

σ

σ

P(m plusmn σ) = 0828 ndash 0185 = 0643 = 643

P(m plusmn 2σ) = 1 ndash 0036 = 0964 = 964

55

25 Juhuslike jaotuste summa

251 Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega mingist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatakse hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetmise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga jagatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on selge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotusest Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alles jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

Vaatame uuesti naumlidet kus me vaatasime kahe taumlringuviske summat (2 loeng) Saime jaumlrgmise jaotustabeli

Tabel 22 Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

Joonis 216 Kahe taumlringuviske keskvaumlaumlrtuse jaotustihedus (punane) taustaks uumlhe taumlringuviske jaotustihedus (sinine)

56

Nii tabelist kui ka jooniselt naumleme et kuigi motildelemad taumlringuvisked olid diskreetsest uumlhtlasest jaotusest on nende summa ja keskvaumlaumlrtuse jaotus kolmnurga kujuline seega erinev summeeritavate jaotusest

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustiheduse leidmiseks konvolutsiooni integraali

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()( (229)

Tutvume selle integraali arvutamisega naumlidete varal liites kokku kaks uumlhesugust jaotust

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peavad tema motildelemad komponendid olema nullist

erinevad Esimene integraal on nullist erinev ainult piirkonnas [ ]10=τ Teine integraal on nullist erinev ainult piirkonnas

[ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingimust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

[ ][ ]

minus=

tt 1

10τ

Kuna τ sotildeltub t vaumlaumlrtusest siis integreerime tuumlkkide kaupa

1 0)(0 =rArrlt tyt

2 tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(10 τττττ

3 21 ltlt t Selles piirkonnas on radasid kotildeige raskem ette kujutada Integreerimise alumise raja maumlaumlrab teine tingimus ehk τ = t ndash 1 uumllemise aga esimene tingimus ehk τ = 1

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(21 1

1

1

1

τττ

57

4 0)(2 =rArrgt tyt

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus on maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

Antud funktsioon on toodud jaumlrgneval graafikul ning on identne eelmises loengus toodud kolmnurkjaotusega

Kahe jaotuse konvolutsiooni saab leida ka graafiliselt Jaumlrgnevatel joonistel on toodud konvolutsiooni graafilise arvutamise naumlide juba arvutatud uumlhtlaste jaotuste liitmisest Osutub et konvolutsiooni integraal kohal t on votilderdne funktsioonide x(τ) ja h(t ndash τ) kattuvuspiirkonna pindalaga

58

Naumlide 215 Leiame konvolutsiooni integraali kahest eksponentjaotusest

gt

==minus

mujal0

0)()(

xexgxf

x

intintinfin

infinminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=minussdot= dyeedyyxgyfxgf yxy )()()())((

Leiame jaumllle tingimused kus konvolutsiooni integraali motildelemad komponendid oleksid nullist

erinevad Esimene tingimus on et [ )0 infin=y Teine tingimus on et

[ [ [ ))0)0 xyyxyx infinminus=rArrinfinminus=+minusrArrinfin=minus

Vaadates neid motildelemaid tingimusi on selge et alumiseks piiriks on 0 ja uumllemiseks on x

[ ]xy 0=

Hakkame nuumluumld konvolutsiooni integraali arvutama

59

intint

intint

minusminusminus

minusminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=sdotsdot=sdot=

=sdot=minussdot=

xxx

x

y

xy

xyxy

exdyedye

ee

dyeedyyxgyfxgf

00

0

)(

1

)()())((

Alloleval joonisel on toodud nii eksponentjaotuse graafik kui ka kahe eksponentjaotuse konvolutsiooni graafik

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

11

0

exp xminus( )

x exp xminus( )sdot

100 x

252 Keskne piirteoreem

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildeltuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste)

summa sum=

=n

iiXX

1 jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on liidetavate arv n seda

vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid suuruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreemi potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildeplik dispersioon)

Matemaatiline keskse piirteoreemi definitsioon

Olgu X1 X2 juhuslikud suurused sum=

=n

iin XS

1 Kui infinlt= )( nXDσ siis

60

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro (230)

kus )( nXm=micro

Selle teoreemi kehtides on selge et ka Sn on ise normaaljaotusega sest konstandi lahutamine ning jagamine konstandiga ei muuda jaotuse kuju vaid ainult parameetreid

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piirteoreemi Selleks tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude generaatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus (0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingimust et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid eelmises loengus lahendatud kolmnurkjaotusele eksponentjaotusele ning parabooljaotusele

1 Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul ltlt

=mujal0

102)(

yyyf Eelmises

loengus saime et sellise jaotuse keskvaumlaumlrtus on 32)( =ym ning standardhaumllve on

181=σ

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on xxdxxF xx

==sdot= int 0

0

1)(

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on 2

02

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

Kuna F(y) = F(x) siis xy =2 jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur

uumlhtlasest jaotusest

)10(Uxy ==

2 Vaatame eksponentjaotust mis on defineeritud kujul gtsdotminussdot

=mujal0

0exp()(

yyyf

λλ

Eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus on λ1)( =ym ning standardhaumllve on λσ 1=

61

Eksponentjaotuse jaotusfunktsioon on )exp(1)( yyF sdotminusminus= λ

Kuna F(y) = F(x) siis

λλ

λλ

))10(1ln()1ln(

)1ln(

)exp(1)(

Uxy

xy

xyyF

minusminus=

minusminus=

minusminus=sdot

=sdotminusminus=

3 Vaatame parabooljaotust mis on defineeritud kujul

ltsdot=

mujal0

12

3)(

2 yyyf

Parabooljaotuse keskvaumlaumlrtus on suumlmmeetria kaalutlustel 0)( =ym arvutame y2 keskvaumlaumlrtuse ning siis standardhaumllbe

5

3

10

3

10

3

52

3

2

3)( 1

1

51

1

42 =+=sdot== minus

minusint

ydyyym

5

3

5

30

5

3)( 2 =rArr=minus= σyD

Parabooljaotuse jaotusfunktsioon on

intinfinminus

minus

+=+===

yy yyy

dyyyF2

1

2

1

222

3)(

33

1

32

Kuna F(y) = F(x) siis

33

3

1)10(212

2

1)(

minussdot=minus=

=+

=

Uxy

xy

yF

Nuumluumld motildetleme teoreetiliselt laumlbi kuidas piirteoreemi (230) uurida Taumlhistame summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n-ga Genereerime n numbrit ning arvutame nende summa ning teoreemis antud suuruse Zn Saadud uumlksikut numbrit vaadates ei saa me aga teha mingisugust jaumlreldust selle kohta

62

millisest jaotusest ta paumlrineb Jaotuse motildeistmiseks tuleb suurust Zn arvutada palju kordi alles seejaumlrel saame leida Zn histogrammi ning votilderrelda seda normaaljaotusega parameetritega N(01)

Demo keskne_piirteoreem_v2mcd

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest jaotustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotildeige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Sellest hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste summat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kinnitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

Naumlide 216 Genereeri arkussiinusjaotus 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ votildettes aluseks uumlhtlase jaotuse U(01)

Lahendus

2

2

)10(sin

2

)10()arcsin(

)10()arcsin(2

)(

sdot=

sdot=

=sdot

=

Uy

Uy

Uy

yF

π

ππ

63

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt (tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eksperimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildeteviga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti Votildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhuslikust komponendist

31 Suumlstemaatilised vead

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi on votildeimalik piisavalt taumlpselt maumlaumlrata

Naumliteks

bull testri 0 votildeib olla paigast aumlra bull keha massi maumlaumlramisel uumllesluumlkkejotildeu arvestamata jaumltmine bull termomeetri skaala votildeib olla nihkes

Votildeimaluse korral tuleb seda liiki vead kindlasti kotildervaldada votildei aumlaumlrmisel juhul arvesse votildetta parandite abil Teadaoleva (aditiivse) suumlstemaatilise vea arvestamisel saame

motildeotildetmistulemuse parandatud vaumlaumlrtuseks qxx +=~ kus q on aditiivsest suumlstemaatilisest

veast tingitud parand Aditiivne viga ei sotildeltu motildeotildetmistulemuse vaumlaumlrtusest

Motildenikord votildeib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga st veaga mis kasvab votilderdeliselt motildeotildetmistulemuse kasvuga Sellisel juhul tuleb parandatud motildeotildetmistulemuse saamiseks

motildeotildetmistulemus parandusteguriga laumlbi korrutada xQx sdot=~ kus Q on multiplikatiivset

suumlstemaatilist haumllvet arvestav parandustegur

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse kalibreerimisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel kust saab leida vajaliku vaumlaumlrtuse parandi (votildei parandusteguri) jaoks

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mitte

Siia alla kaumlivad kotildeik riistavead Need on potildehjustatud ebataumlpsest gradueerimisest Nagu edaspidi naumleme on siin sisuliselt tegu B-tuumluumlpi (motildeiste taumlpsustame edaspidi) motildeotildetemaumlaumlramatusega ja seda viga saab iseloomustada motildeotildetemaumlaumlramatuse abil Potildehimotildetteliselt aga saab sellisest suumlstemaatilisest veast ka vabaneda kui kontrollida motildeotildeteriista motildene teise tunduvalt taumlpsema motildeotildeteriistaga ja koostada vastava parandite tabeli

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata Sellised vead votildeivad esineda juhtudel kui kasutatakse uut motildeotildetmismeetodit votildei kui on tegemist aumlaumlrmiselt keeruliste motildeotildetmistega Kui vea olemaolu on motildeotildetjale teadmata siis selline viga jaumlaumlb motildeotildedetud suuruse vaumlaumlrtusesse paratamatult sisse

Teadmata suumlstemaatiline viga votildeib esineda ka kuumlllalt lihtsatel juhtudel Olgu naumliteks vaja maumlaumlrata mingi materjali elektrijuhtivust Selleks motildeotildedetagu sellest materjalist tehtud traadi takistust Kui traadis on mingi varjatud materjalidefekt (pragu ebahomogeenne koht) siis takistuse vaumlaumlrtus tuleb suumlstemaatiliselt vale

Teadmata suumlstemaatilisest veast saab vabaneda randomiseerimise teel milleks puumluumltakse suumlstemaatiline haumllve muuta osaliselt votildei taumlielikult juhuslikuks Traadi naumlite puhul tuleks

64

motildeotildeta paljude traadituumlkkide takistus ja leida nende keskvaumlaumlrtus Kui aga viga on vaumlga suur siis ei ole randomiseerimist vajagi piisab kui fikseerime vigase traadi (mille takistus osutus naumliteks uumllejaumlaumlnutest erinevaks 10 korda) ja jaumltame selle edasisest motildeotildetmisest kotildervale

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistilin e hinnang

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel alati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest teguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

Uumlkskotildeik kui hoolikalt me ka ei motildeotildedaks uumlht ja sama detaili me saame erinevatel sotildeltumatutel motildeotildetmistel erineva tulemuse See erinevus votildeib olla vaumlga vaumlike kuid ta on potildehimotildetteliselt alati olemas Peamised juhuslikkuse allikad on vaumllised tegurid motildeotildedetava objekti enda muutlikkus ja motildeotildetmisi teostava isiku oskused ja kogemustepagas Seetotildettu on motildeotildedetav suurus juhuslik suurus X ja iga motildeotildetmistulemus (iga uumlksikmotildeotildetmine) on selle juhusliku suuruse realisatsioon x

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt X juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(31)

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildettes (NB idealiseeritud eeldusel et muid veaallikaid ndash suumlstemaatilist viga teadmata viga vms ndash ei esine)

lim tNN xx =infinrarr (32)

Et motildeotildetmisi on alati lotildeplik hulk (N alati lotildeplik) ning reaalsetel motildeotildetmistel idealiseeritud eeldused (ei esine suumlstemaatilist viga teadmata viga jne) ei kehti siis tegelikult me ei saa kunagi teada totildeelist

motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtust ja me peame alati piirduma ligikaudse statistilise hinnanguga Nx See statistiline hinnang votildeetakse motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks

65

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel maumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni (219)

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsemad kui viimased siis pi = 1N seega

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ (33)

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nimetatakse empiiriliseks dispersiooniks

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

(34)

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seoseid

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

kus d on juba eespool selles punktis defineeritud uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildeelist dispersiooni otildeigesti kuna (esmavaatlusel votildeib-olla motildenevotilderra ootamatult) suurus 2

Nσ alahindab

dispersiooni Suurte N-de korral ei ole suurt erinevust millist dispersioonihinnangut kasutada vaumlikeste puhul (N lt 10) aga kuumlll Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispersiooni hindamisel valemit (34) mida nimetame suuruse X empiiriliseks dispersiooniks Kehtib

2 dsN asymp (35)

(Tegemist on muidugi d hinnanguga mis on seda parem mida suurem on N)

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=

sum= (36)

66

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise sum=

=N

kkN X

NX

1

1 arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11 (37)

Seega Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus langeb kokku uumlksiksuuruse keskvaumlaumlrtusega

Dispersioon on aga (ilma totildeestuseta)

[ ]N

dXD N =

ning jaumlreldusena

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ (38)

Seega

Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

See on vaumlga taumlhtis ja fundamentaalne tulemus mida kasutatakse laialdaselt fuumluumlsikalistel motildeotildetmistel Nimelt ndash kotildeigepealt tehakse N motildeotildetmist Seejaumlrel leitakse motildeotildetmistulemuste aritmeetiline keskmine

1

1

mxN

xN

iiN asymp= sum

=

(39)

mis vastavalt valemi (37) tulemustele votildeetaksegi motildeotildedetava suuruse m hinnanguks Eelneva potildehjal on see usaldusvaumlaumlrsem kui uumlksikmotildeotildetmised ja motildeotildetmiste arvu suurenemisel aritmeetiline keskmine erineb uumlha vaumlhem motildeotildedetava suuruse tegelikust keskmisest vaumlaumlrtusest kusjuures see erinevuse suurus on hinnatav valemiga aritmeetilise keskmise standardhaumllbele (38)

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbe arvutamiseks mitte valemit (38) vaid hoopis valemit (36) st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

67

Naumlide 31 Taumlppiskaalude kasutamisel annab iga motildeotildetmine veidi erineva tulemuse seoses erinevate vibratsioonidega Nende vibratsioonide vaumlhendamiseks on motildened laborid ehitatud eriprojekti jaumlrgi votildettes kasutusele mitmeid lahendusi Naumliteks Fuumluumlsika Instituudis on keldris labor mille toumloumllaud on massiivsest mitmetonnisest raudplaadist see asetseb vedrudel mis toetuvad muust majast eraldatud vundamendile

Kuna vibratsioonide sagedus on suur votilderreldes motildeotildetmiste sagedusega siis ei motildeotildetmised omavahel sotildeltuvad ning aritmeetilise keskmise standardhaumllbe leidmiseks votildeib kasutada valemit (38)

Naumlide 32 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik on toodud joonisel (31) On selgesti naumlha et keskmise temperatuuri leidmiseks tehtud motildeotildeteseeria aritmeetiline keskmine ei lange kokku ruumi temperatuuri tegeliku keskmise vaumlaumlrtusega Tulemus ei paraneks kui motildeotildetmisi oleks teostatud sama aja jooksul kuid 100 korda tihedamalt

Aeg

Temperatuur

Joonis 31 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik ning motildeotildeteseeria ruumi keskmise temperatuuri maumlaumlramiseks

Naumlidete 1 ja 2 potildehjal votildeib jaumlreldada et vaumlga oluline on motildeotildetesuuruses esineda votildeiva suumlstemaatilise muutlikkuse sagedus ndash kui see on suurem kui motildeotildetmiste sagedus siis votildeib kasutada valemit (38) aga kui see sagedus on oluliselt vaumliksem kui motildeotildetmiste sagedus siis peab piirduma valemiga (36) Selle demonstreerimiseks votildeib joonistada siinusgraafiku ning kanda sellele kaks motildeotildeteseeriat ndash uumlks mille ulatus on murdosa votildenkeperioodist (nagu joonis 31) ning teine mille ulatus on mitmeid votildenkeperioode

Naumlide 33 Olgu pliiatsitehases pliiatsiautomaadi poolt toodetavate pliiatsite pikkus X Kui taumlpne ka ei oleks masin ka temale on omane eksimine (eksimine on inimlik rArr eksimine on masinlik) ja lotildeppkokkuvotildettes pliiatsite pikkused veidi erinevad uumlksteisest Teiste sotildenadega X on juhuslik suurus Me tahame hinnata

(1) milline on keskmine pliiatsi pikkus mida see masin produtseerib

68

(2) milline on uumlksiku pliiatsi pikkuse standardhaumllve

(3) kui oleme hinnanud pliiatsi keskmise pikkuse siis milline on selle keskmise hinnangu enese standardhaumllve

Votildetame peoga pliiatseid ja saame valimi (juhuslikult) 30 pliiatsist N = 30 Motildeotildedame nad aumlra olgu

motildeotildetmisoperatsioon ise taumlpne ja tulemused olgu ix Nuumluumld

a) arvutame aritmeetilise keskmise Nx valemist (39) See annab meile (hinnangulise)

vastuse kuumlsimusele (1) olgu konkreetselt Nx = 1980 mm

b) arvutame empiirilise standardhaumllbe Ns (36) See annab vastuse kuumlsimusele (2)

Olgu konkreetselt Ns = 1 mm Seejuures eeldusel et pliiatsite pikkuse jaotus on

normaalne asub 67 totildeenaumlosusega uumlksikpliiatsi pikkus vahemikus [ ]NNNN sxsx +minus =

[197199] mm ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus [ ]NNNN sxsx 22 +minus = [196200] mm

c) lotildepuks arvutame keskmise pikkuse enese hajuvuse valemist (38) See annab vastuse

kuumlsimusele (3) Konkreetse numbrilise vaumlaumlrtuse Ns = 1 mm korral saame

[ ] 1804851301 ==== NsXu NN mm

Eeldame et pliiatsite pikkuse jaotus on suumlmmeetriline siis valimi maht 30 lubab meid juba eeldada et aritmeetilise keskvaumlaumlrtuse jaotust votildeib vastavalt kesksele piirteoreemile laumlhendada normaaljaotusega seega asub 67 totildeenaumlosusega pliiatsite keskmine pikkus vahemikus

[ ]2198819730

30

=

+minus NN

NN

sx

sx mm

ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus

[ ]4198619730

2

30

2=

+minus NN

NN

sx

sx mm

69

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus

Niisiis meil pole teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus (kui oleks siis poleks motildeotildetmised tarvilikud) ning seda totildeelist vaumlaumlrtust ei anna ka suure arvu kordusmotildeotildetmiste keskmistamine Maksimum mida saab notildeuda on motildeotildetmistest leitud motildeotildedetava suuruse mingi arvatav parim hinnang ndash naumliteks kordusmotildeotildetmistel on selleks aritmeetiline keskmine ndash ning teatav intervall selle parima hinnangu uumlmber millesse etteantud usaldusnivooga kuulub motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus Seega motildeotildetmistulemuseks ei ole mitte punkt arvsirgel vaid motildeotildetmistulemuseks on lotildeplik lotildeik reaalteljel mis maumlaumlrab motildeotildedetava suuruse votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni Olukorda illustreerib joonis 32

Joonis 32 Suuruse parim hinnang totildeeline vaumlaumlrtus ning motildeotildetemaumlaumlramatus

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja lotildepp-punktiga xmin ja xmax Tavalisem ja levinum

on siiski anda lotildeigu keskpunkt milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang Nx ning lotildeigu poollaius u(x) Seda poollaiust u(x) nimetatakse motildeotildetemaumlaumlramatuseks (motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis u on tulnud ingliskeelsest terminist uncertainty)

Motildeotildetemaumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on lotildeigu poollaius u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetemaumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus usaldusintervalli [ ])()( xuxxux NN +minus satub Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu Nx u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eeskirjad parima hinnangu Nx motildeotildetemaumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus maumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus nenenene viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsioon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetemaumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast teadaolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmistulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda maumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatiliste motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildeib osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votildeimalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemusel olla uumlsna suur maumlaumlramatus

70

Motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetemaumlaumlramatus kannab nime

Liitmaumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi maumlaumlramatus

Kasutatakse veel ka standardmaumlaumlramatuse motildeistet Standardmaumlaumlramatus on standardhaumllbe kujul vaumlljendatud motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus

Maumlaumlramatuse komponentide A ja B gruppi jagamise eesmaumlrgiks on nende hindamise kahe erineva viisi rotildehutamine mitte aga erineval viisil saadud komponentide iseloomu erinevuse naumlitamine Motildelemad hinnangud potildehinevad totildeenaumlosusjaotusel ja motildelemal viisil saadud maumlaumlramatuse komponendid esitatakse dispersioonhinnangu votildei standardmaumlaumlramatuse (standardhaumllbe hinnangu) abil Potildehiline ja oluline erinevus on selles et A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus saadakse vahetult motildeotildetmistulemustest nende statistilise toumloumltluse tulemusel kuna B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse leidmisel kasutatakse kaudsel viisil hangitudteadaolevat totildeenaumlosuslikku informatsiooni (Naumliteks on teada et motildeotildeteriista vea jaotust votildeib kaumlsitleda uumlhtlase seaduse kohaselt)

Jaumlrgnevas vaatleme A- ja B-tuumluumlpi maumlaumlramatusi ning liitmaumlaumlramatust laumlhemalt

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendades kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele poole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllistingimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Naumlide 34 Stomatoloogiakabinetis kaalutakse hambakulda Kabinet paikneb vanas majas kus potilderand pisut kotildeigub kui seda moumloumlda kotildendida Tundlikke kaale on raske tasakaalustada Iga motildeotildetmine annab isesuguse tulemuse

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse statistilisel hindamisel

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Au

Niisiis tehakse N motildeotildetmist ja leitakse aritmeetiline keskmine (mis uumlhtlasi votildeetakse ka motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks kui seda ei ole vaja taumliendavalt korrigeerida teadaoleva suurusega suumlstemaatilise vea totildettu)

121

N

x

N

xxxxx

N

ii

NNt

sum==

+++=asymp

K

71

Seejaumlrel hinnatakse motildeotildedetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllve valemitega (36) omavahel sotildeltuvate motildeotildetesuuruste korral ning valemiga (38) omavahel sotildeltumatute motildeotildetesuuruste korral

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev maumlaumlramatus mis ei

ole statistiliselt vaumlhendatav B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Bu

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildetevahend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt teisele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja samal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduvad motildeotildetmised tema suurust ei kahanda Kaumlesoleva kursuses seomegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse konkreetse riistaveaga

Naumlide 35 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 33) potildehiviga (ehk riistaviga) on mm050=∆o St eeldatakse et motildeotildeteriistast tingitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel ∆x = x ndash xt jaumlaumlb

piiridesse

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

Joonis 33 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motildeotildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale (Toodud joonisel on see 01 mm Praktikumis kasutakse kaks korda taumlpsemat riista potildehiveaga 005 mm)

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik viga ei vaumllju neist piirest

Uumlldiselt eeldatakse et (konkreetse) motildeotildeteriista viga on jaotunud uumlhtlaselt lotildeigul [ ]oo ∆+∆minus so

motildeotildeteriista vea jaotustihedus on uumlhtlane jaotus keskvaumlaumlrtusega nullis (lotildeigu otspunktid on seetotildettu

oa ∆minus= ja ob ∆= ) ning standardhaumllbega

580323

1o

o ∆=∆

=minus

=ab

σ

See standardhaumllve votildeetaksegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

72

5803

oo ∆=

∆=Bu

333 Liitmaumlaumlramatus

Motildeotildetmistulemuse standardmaumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitmaumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis saadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2 (310)

Eeldatakse et A ja B tuumluumlpi maumlaumlramatuse maumlaumlravadpotildehjustavad juhuslikud suurused mis on vastastikku korreleerimatud (sotildeltumatud) ndash ainult sel juhul kehtib dispersioonide liitumise seadus

Keerulisemate motildeotildetmiste korral votildeib meil olla tegu mitme A-tuumluumlpi komponendiga 21 AA uu hellip

ning mitme B-tuumluumlpi komponendiga 21 BB uu hellip Sel juhul

22

21

2A2

2A1C ++++= BB uuuuu

Naumlide 36 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust N = 100 korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks

mm 64876=Nx ja tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == Nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

Jaumlrelikult koond- ehk liitmaumlaumlramatuseks saame mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siin oleme arvesse votildetnud juhusliku haumllbe ja motildeotildeteriista ebataumlpsuse kuid arvesse votildetmata jaumltnud suumlstemaatilise haumllbe

Tulemus esitatakse sageli kujul

mm )0530(64876=x votildei

mm )53(64876=x

votildei

mm 053064876 plusmn=x

Kahjuks pole eelnevatest kirjaviisidest votildeimalik uumlheselt aru saada kas tegemist on maumlaumlramatusega standardmaumlaumlramatuse tasemel laiendmaumlaumlramatusega votildei hoopis motildeotildeteriista veaga Mitmetimotildeistmise vaumlltimiseks esitame antud kursuse raames motildeotildetetulemust kujul

73

( ) mm0530mm 64876 xux == Muidugi votildeib kasutada veelgi taumliuslikumat kirjaviisi tulemuste esitamiseks

mm 64876=x

100=N

68=p

mm 0530C =u

( ) mm 0440A =xu normaaljaotus

mm 0290B =u uumlhtlane jaotus

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatus e arvutamisel

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uumlsna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjutamisel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal (taumlhendnumbrite hulk e taumlhendusega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus) Tulemused esitatakse uumlmardatult Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 ja 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati et arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suumlstemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise reegel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber oleks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagades nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulemuse

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid peale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samuti uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbriteks

Naumlide 37 10 400 5 taumlhendnumbrit

104middot102 3 taumlhendnumbrit

10 40000 7 taumlhendnumbrit

001040 4 taumlhendnumbrit

Motildeotildetemaumlaumlramatus esitatakse kas uumlhe votildei kahe taumlhendnumbriga ISO standardi alusel esitatakse maumlaumlramatus taumlppismotildeotildetmistel kahe taumlhendnumbri taumlpsusega ja tavamotildeotildetmistel uumlhe taumlhendnumbri taumlpsusega Kui arvutustel tuleb motildeotildetemaumlaumlramatus pikem siis uumlmardatakse tulemus vastavalt kas kahe votildei uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks Uumlmardatakse ainult lotildepptulemust vahetulemuste uumlmardamisel votildeiks alles jaumltta vaumlhemalt kolm taumlhendnumbrit sest lahenduse algstaadiumis tehtud uumlmardamise viga votildeib arvutamise kaumligus votildeimenduda

74

Naumlide 38

Arvutatud uc 23751 23751 023751 00023751

uc kahe taumlhendnumbriga 24middot103 24 024 00024

uc uumlhe taumlhendnumbriga 2middot104 2middot101 02 0002 Motildeotildetmistulemus esitatakse alati maumlaumlramatuse viimase koha taumlpsusega

Naumlide 39 Olgu motildeotildedetud suurus x= 733565023 ja arvutatud motildeotildetemaumlaumlramatus uC = 00382765

Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 0038 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 73357 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 73358(38) votildei x = 73358(0038)

Naumlide 310 Olgu motildeotildedetud x = 1003476 ja uC = 05246 Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 05 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 1003 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 1003(5) votildei x = 1003(05)

35 Ekse

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmselgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekkinud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisega kaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellistel juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mil naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumlidu kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemused mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemus erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste protokolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane maumlrge

75

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv

Oletame et me arvutame keskvaumlaumlrtust m(x) valimi suurus on n Kasutame uuesti dispersiooni defineerimisel kasutatud suurust haumllve ehk tsentreeritud juhuslik suurus ehk jaumlaumlkvaumlaumlrtus (217)

)21()( nixmxii =minus=ε (311)

Kehtib seos

01

=sum=

n

iiε (312)

Seda seost on kerge totildeestada kasutades keskvaumlaumlrtuse m(x) definitsiooni

Kuna jaumlaumlkvaumlaumlrtused on omavahel seotud valemi (312) kaudu ei ole nad sotildeltumatud Kui meil on teada n ndash 1 jaumlaumlkvaumlaumlrtust siis n-s jaumlaumlkvaumlaumlrtus on arvutatav seosest (312) Seetotildettu oumleldakse et n jaumlaumlkvaumlaumlrtust omavad vabadusastmete arvu ν

1minus= nυ (313)

Kui aga n sotildeltumatut motildeotildedist on vaumlhimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge totildeusu kui ka algordinaadi maumlaumlramiseks siis on vastavate standardmaumlaumlramatuste vabadusastmete arv 2minus= nυ Analoogselt kui vaumlhimruutude meetodil hinnatakse m parameetrit n andmepunkti alusel siis on iga parameetri vabadusastmete arv mnminus=υ

Kasutades suurust ν saame esitada juhusliku suuruse X empiirilise standardhaumllbe (36) kujul

υ

sum=

minus=

N

i

Ni

N

xxs 1

2)( (314)

See valem on uumlldisem kuna ei sotildeltu sellest mitut parameetrit m valimist suurusega n on leitud

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv

On totildeestatud et maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus on

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu (315)

See ligikaudne votilderdsus laumlheb votilderdsuseks normaaljaotuse erijuhul Samas polegi meil enamasti vaja mitte taumlpset vaumlaumlrtust vaid piisab ka maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatuse suurusjaumlrgulisest hinnangust milleks on valem (315) igati sobiv

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 10

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

76

2

2

2 )(21

)(2

minus

=asymp

s

su

su

sν (316)

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi maumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on maumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Valemist (316) saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt esitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase

jaotuse standardmaumlaumlramatus on 0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu degC Siit saame et

144020

02890

)(

))((==

tu

tuu ning vabadusastmete arv on ( ) 241440

2

1 2 == minusν

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete ar v

Liitmaumlaumlramatuse (310) vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutada kuumlll aga votildeib leida efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaite valemit

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitmaumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv arvutatult valemist (317) ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise efektiivsete vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tulemus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuks 6

Naumlide 313 (Jaumltkame naumlidet 36)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

77

ning koondmaumlaumlramatuseks

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siit algab naumlite uus osa

Leiame nuumluumld komponentide vabadusastmed

991A =minus= nν

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv on lotildepmatu nagu naumlitasime naumlites 1 Efektiivne vabadusastmete arv on vastavalt valemile (317)

20842080290

990440

0530

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

Seega saime metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlrama tus

Nii m(x) kui ka uN on motildelemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt votildettes ei totildeeline keskvaumlaumlrtus ega aritmeetilise keskmise totildeeline standardhaumllve (kuigi nad on nendele suurustele laumlhedased sest nende hajuvus on vaumlike) Inglise teadlane Student alias WS Gosset totildeestas

Kui X on normaalne juhuslik suurus siis juhuslik suurus

[ ]

( )N

N

xu

XmxT

minus= (318)

allub jaotusele tihedusega

22

11 11)(

N

NN N

tCts

minus

minusminus

minus+= (319)

Siin 1minusNC on normeerimistegur Jaotust (319) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti

jaotuseks Studenti jaotus erinevate 1minusN vaumlaumlrtuste korral on toodud joonisel 34 millelt on ka naumlha kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades laumlheneb standardiseeritud normaaljaotusele

78

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

Joonis 34 Uumlhe kahe viie ja kuumlmne vabadusastmega Studenti jaotus )(1 xsNminus ning

standardiseeritud normaaljaotus )(xf

Studenti jaotuse oluline omadus on et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon )(1 tsNminus sotildeltub vaid uumlhest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) 1minusN ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Selles motildettes on tegu universaalfunktsiooniga mis iseloomustab suvaliste uumlhesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa uumlldisi omadusi

Otsene jaumlreldus asjaolust et juhuslik suurus (318) allub Studenti jaotusele on et usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

[ ] )()()()( 11 pxuptxxxuptxP NNNNNN =+ltltminus minusminus (320)

Siin suurus )(1 ptNminus on (Studenti) t-kordaja ndash parandustegur etteantud usaldusnivoo p ja 1minusN

vabadusastme korral t-kordaja on samuti ainult uumlhest parameetrist N sotildeltuv universaalne

usaldusnivoo funktsioon mis on leitav Studenti jaotusest Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p

vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult Studenti t-kordaja tabuleeritud vaumlaumlrtused on toodud lisas 1 Mathcadis

on t-kordaja leidmiseks funktsioon

+

ν2

1 pqt Excelis funktsioon ( )ν1 pTINV minus

Valemit (320) nimetatakse Studenti testiks

Suurte N -ide korral laumlheb Studenti jaotus uumlle standardiseeritud normaaljaotuseks Tabelis 1 toodud

Studenti t-kordaja tabelist on naumlha et naumliteks 304)95(2 rarrt ja 094)7399(9 rarrt jne Erinevus

on oluline alas 30ltN ja vaumlga oluline alas 10ltN

79

Tabel 31 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja

soovitavast usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(I) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

80

Kuigi liitmaumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse y maumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitmaumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutatakse nn laiendmaumlaumlramatust taumlhisega U Laiendmaumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitmaumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate maumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendmaumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendmaumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastmete arv

Laiendmaumlaumlramatus U saadakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot= (321)

Kattetegus valemis (321) on arv mida kasutatakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendmaumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule [ ]UyUy +minus etteantud usaldatavustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 votildei 99 Et saada vaumlaumlrtust kattetegurile kp mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p vajame detailseid teadmisi motildeotildetetulemuse ja tema totildeenaumlosusjaotuse kohta

Oletame et keskse piirteoreemi eeldused on enam-vaumlhem taumlidetud st et liitmaumlaumlramatuses u(y) ei domineeri sisendsuuruse standardmaumlaumlramatuse komponent mis on saadud vaumlikesest arvust motildeotildedistest A-tuumluumlpi hindamismeetodit kasutades votildei komponent mis tugineb eeldatud jaotusele mis ei ole normaaljaotus (B-tuumluumlpi hindamismeetod) Sellest oletusest jaumlreldub et motildeistlik esimene laumlhend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine Kui esimene eeldus ei kehti st on vaumlike arv motildeotildediseid siis on motildeistlik arvutada efektiivsete vabadusastmete arv ning kasutada Studenti jaotust Kui teine eeldus ei kehti st domineerib normaaljaotusest erinev jaotus siis tuleks leida jaotusfunktsioon ning sealt arvutada katteteguri vaumlaumlrtus Motildeningad ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivad kp vaumlaumlrtused on toodud tabelis 32

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

81

Naumlide 314 Metallsilindri motildeotildetmine (jaumltkame naumliteid 36 ja 313)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

Leiame Studenti t-kordaja vaumlaumlrtuse vabadusastmete arvule 208 usaldusnivool 95 tabelist 31 Tabelis on vabadusastmete arvule 100 vastav t-kordaja 1984 ning lotildepmatu vabadusastmete arvu korral 1960 Vabadusastmete arvu 208 korral votildeime votildetta t-kordaja vaumlaumlrtuseks vahepealse vaumlaumlrtuse ehk k095 = 197 Nuumluumld saame metallsilindri pikkuse laiendmaumlaumlramatuseks

mm100mm10440mm 0530971)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Seega on metallsilindri keskmine pikkus mm 6576=Nx ning laiendmaumlaumlramatus mm100)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 315 Laua pikkust motildeotildedeti 5 korda joonlauaga resolutsiooniga 5 mm Kotildeik motildeotildetmised andsid laua pikkuseks 185 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 185 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on null sest motildeotildetmistulemustes puudus varieeruvus

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud joonlaua resolutsioonist mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm44112

mm 5

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on votilderdne B-tuumluumlpi maumlaumlramatusega Laiendmaumlaumlramatuse leidmisel tuleb samuti arvestada uumlhtlase jaotusega tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1645 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm2mm36882mm 4416451)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 185=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm2)( =nxU (usaldusnivool

95 )

Naumlide 316 Laua pikkust motildeotildedeti 2 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Motildeotildetmistulemusteks olid 1847 mm ning 1851 Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 1849 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

82

( )mm20

122020

1

)( 221

2

=sdot+

=minus

minus==

sum=

NN

xxsu

N

i

Ni

NA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 200mm 200500144020 2222 rarr=+=+= BAC uuu

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses domineerib A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponent Maumlletame et uumlhtlasest jaotusest votildeetud kahe motildeotildedise keskvaumlaumlrtus on kirjeldatav kolmnurkjaotusena tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1902 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm40mm38040mm 2009021)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 9184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm40)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 317 Laua pikkust motildeotildedeti 100 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Laua pikkuse motildeotildetmise aritmeetiline keskmine oli 184872 mm empiiriline standardhaumllve oli 018 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on 184872 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

mm0180100

180===

N

suA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 0230mm 023050014400180 2222 rarr=+=+= BAC uuu

83

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses on A-tuumluumlpi ja B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponendid suurusjaumlrgus sama kaaluga A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel on vabadusastmete arv 99 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel lotildepmatu Arvutame vaumllja koondmaumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

26392630230

990180

0230

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1984 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm0460mm045630mm 02309841)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 872184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm0460)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete sama lauda motildeotildedeti 3 korda neist naumlites 315 vaumlikese resolutsiooniga joonlauaga naumlites 316 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 2 korda ning naumlites 317 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 100 korda Saadud keskvaumlaumlrtused koos laiendmaumlaumlramatuse vahemikuga on toodud alloleval joonisel Kooskotildela tulemuste vahel on vaumlga hea kuigi maumlaumlramatused on mitu suurusjaumlrku erinevad

182

183

184

185

186

187

188

84

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuu ruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui esinevad vaumliksed haumllbed

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 1012 = 10201

valime x = 10 δx= 01 siis 102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suurust X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrtused m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetemaumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vastava Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

ehk

YYY δ+= (322)

kus

( )21xxYY = ja 22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part= (323)

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

( )[ ]22 )( YmYu δ= (324)

kus [ ]m taumlhistab matemaatilist ootust nagu varemgi Valem (324) eeldab et haumllbe Yδ keskvaumlaumlrtus on null

[ ] 0=Ymδ

See eeldus on rangelt votildettes taumlidetud vaid siis kui

[ ] 0=ixmδ so kui [ ] ii xXm = (325)

Ligikaudu see nii ongi ja sel juhul on (324) kasutamine otildeigustatud Pannes Yδ avaldise (323) valemisse (324) saame

85

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

part

part+

part

part=

2

22

2121

2

11

2

22

11

2 2)( xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ymx

x

Yx

x

YmYm δδδδδδδ

Kui motildeotildetevigade keskvaumlaumlrtused on nullid (nagu eeldab valem (325)) siis on keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

seega saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (326)

Korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel on defineeritud jaumlrgmiselt

sum sum

sum

= =

=

minusminus

minusminus=

N N

k

N

yx

yyxx

yyxxr

1k 1k

22k

1kkk

)()(

))(( (327)

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemust Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera mass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepikkus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne nulliga ning valem (326) lihtsustub

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (328)

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (329)

Naumlide 319 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m (uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist

6

ruumala 3D

MM

πρ == (330)

Tiheduse ja tema maumlaumlramatuse arvutamiseks on kotildeigepealt vaja leida diameetri ning massi keskvaumlaumlrtused ning standardmaumlaumlramatused

Kera diameeter olgu motildeotildedetud 10=N korda nihikuga mille potildehiviga mm050o =∆

Diameetri keskvaumlaumlrtuseks saime

( ) mm1702010

11021 =+++= dddd N

86

Diameetri A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks saime

mm0220)110(10

)()()(

210

21 =

minussdotminus++minus

=NN

A

ddddDu

ning diameetri B -tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on

mm028903)( =∆= oB Du

Diameetri koondmotildeotildetemaumlaumlramatus on

mm03630)02890()0220())(())(()( 2222 =+=+= DuDuDu BAC

Massi kaalusime uumlhekordselt neljanda klassi kaaludega Mass osutus votilderdseks jaumlrgmiste vihtide masside summaga

g 2415 g)050102220( =++++=micro

Igal vihil on vastavalt standardile maumlaumlramatus kusjuures votildeime siin eeldada et vihid on omavahel sotildeltumatud Samuti on ka kaalul oma maumlaumlramatus Kaalu potildehiviga on mg50 ja neljanda klassi

vihtide potildehivead on vastava tabeli jaumlrgi 20 6 6 1 ja 1 mg Vastavalt valemile (329) on massi maumlaumlramatus arvutatav

mg5313

554

3

1

3

1

3

6

3

6

3

20

3

50)(

222222

==

+

+

+

+

+

=MuB

Kuna kordsed massi motildeotildetmised annaksid siin kogu aeg uumlhe ja sama tulemuse siis loeme massi A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse nulliks

g 0032 mg531)()(C === MuMu B

Nuumluumld on meil olemas info tiheduse ning tema maumlaumlramatuse arvutamiseks kasutades valemeid (329) ja (330)

( ) 333

621517020

152466ruumala cm

g

D

MM====

ππρ

Leiame vajalikud tuletised

MDM

ρπ

ρ==

partpart

3

16

DD

M

D

M

D

ρππ

ρ 3183644

minus=

minus=

minussdot=

partpart

87

( )33

223

22

3

22

22

22

22

22

03100055606215005400013306215

17020

036303

1524

03206215

)(3)(

)(3

)()()()(

cm

g

cm

g

cm

g

cm

g

D

Du

M

Mu

DuD

MuM

DuD

MuM

u

=sdot=minus+sdot=

=

sdotminus+

sdot=

sdotminus+

sdot=

=

minus+

=

partpart

+

partpart

=

ρ

ρρρρρ

Kuidas ei tohi vaumlljundsuurust arvutada Kui prooviksime siin arvutada erinevatele motildeotildetmistele vastavad tiheduse vaumlaumlrtused laumlhtudes uumlldvalemist (330) so i -nda motildeotildetmise korral leiaksime suuruse

3)(

6

i

ii d

microπ

ρ =

ja seejaumlrel leiaksime uumlksiktiheduste iρ aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhaumllbe

(tiheduse A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse iseloomustajana) siis laumlheks suur osa massi maumlaumlramisega seotud motildeotildetemaumlaumlramatusest lihtsalt kaotsi Sellist viga aga ei tohi teha

88

4 Motildeotildetmise mudel

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub alati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutatakse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega teiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnanguid saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumliteks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildeltuvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

Uumlldistatud kujul on motildeotildetmise mudel esitatud joonisel 41 Toodud mudelis on vaumlljundsuurus Y motildeotildeteuumllesandega ette naumlhtud motildeotildetesuurus mis sotildeltub sisendsuurustest Xi (i = 1 2 N) Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahendamise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsiooni f abil kujul

)( 21 Ni XXXXfY = (41)

Joonis 41 Motildeotildetmise mudel

Sisendsuurusi Xi seoses (41) tuleb alati vaadelda kui motildeotildetesuurusi mis votildeivad omakorda sotildeltuda teistest suurustest sealhulgas ka suumlstemaatilisi efekte kotildervaldavatest paranditest ja konstantidest Seetotildettu motildeotildetesuuruse Y funktsionaalne sotildeltuvus f votildeib kujuneda uumlsna komplitseerituks mida ei saa alati taumlpselt kirjeldada Veelgi enam sotildeltuvus f votildeib olla vaid eksperimentaalselt maumlaumlratav votildei eksisteerida algoritmina mida saab hinnata ainult arvuliselt Seega peab funktsiooni f totildelgendama laiemalt kui puhast matemaatilist funktsiooni Taumlhtis on et funktsioon sisaldaks kotildeik motildeotildetesuurused parandid konstandid jne mis annavad panuse motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemusse Kui tulemused naumlitavad et sotildeltuvus f ei modelleeri motildeotildetetoimingut vajaliku taumlpsusega tuleb funktsioonile f lisada taumliendavaid sisendsuurusi Votildeib tekkida isegi vajadus sellise sisendsuuruse jaumlrele mis kajastab motildeotildetesuurust Y motildejutava naumlhtuse taumliendavat uurimist

Naumlide 41 Pikkusotsmotildeotildedu pikkuse motildeotildetmine Motildeotildetevahendiks on pikkuskomparaator ja motildeotildetmisel votilderreldakse motildeotildedetava otsmotildeotildedu pikkust l etalonotsmotildeotildedu pikkusega lE Komparaatorilt saadud motildeotildediseks on kahe otsmotildeotildedu pikkuste vahe δl

X1

X2

Xi

XN

f Y

89

Antud juhul on motildeotildetesuuruseks otsmotildeotildedu pikkus l mis otseselt sotildeltub etalonotsmotildeotildedu pikkusest lE ja motildeotildetmise tulemusel komparaatorilt saadud motildeotildedisest δl Peale selle peame arvestama veel parandeid mis tulenevad sellest et motildelema otsmotildeotildedu materjalide joonpaisumistegurid αE ja α on erinevad ning pikkuse motildeotildetmise hetkel etaloni ja motildeotildedetava pikkusotsmotildeotildedu temperatuuride vaumlaumlrtused haumllbivad normaaltemperatuurist vastavalt θE ja θ votilderra Pikkus l on seega funktsionaalses sotildeltuvuses kuuest sisendsuurusest Seose (41) kohane motildeotildetmise mudel on antud juhul

)( θθααδ EEE llfl =

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

( )

αθδθα

+++

=1

1 lll EEE

kus suuruse lE vaumlaumlrtuse saame etaloni kalibreerimistunnistusest suuruste δl θE ja θ vaumlaumlrtused saame motildeotildetmise protsessi kaumligus ning suuruste αE ja α vaumlaumlrtused nimetatud otsmotildeotildetude spetsifikatsioonidest votildei sobivast kaumlsiraamatust

Kasutades motildeotildetesuuruse l motildeotildetmise teisi meetodeid votildeime seda motildeotildetmist modelleerida teistsuguste matemaatiliste avaldistega Naumliteks kasutades motildeotildetmisel nihikut on motildeotildetmise mudel

)( nlfl =

kus ln on nihiku naumlit

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

nll =

Seega uumlhe ja sama suuruse motildeotildetmisel on votildeimalik kasutada erinevaid motildeotildetmise mudeleid sotildeltuvalt valitud motildeotildetemeetodist

Naumlide 42 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust tingitud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesluumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasakaalus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumalade erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad

bull vihtide mass mv bull vihtide tihedus ρv bull kaalutava metallituumlki tihedus ρm bull otildehu tihedus ρotilde bull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

90

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetavad naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku temperatuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemiks

)( RHTPfotilde =ρ

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse maumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

t

sv =

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsustada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmiste mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

12

1

tt

dssNv

minus+sdot

=

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit vaumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles maumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumlldjuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetemaumlaumlramatuste hindamist

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Peatuumlkis 38 tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Jaumltkame sotildeltumatute suuruste erijuhu uumlldistamist valemist (328)

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (42)

Sama valem on summa maumlrgi all kirja pandav kujul

91

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu (43)

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (44)

Selle valemi uumlldisemat kuju kus esineb ka uumlksteisest sotildeltuvaid sisendsuuruseid vaatame hiljem

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kritee rium

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekkida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liige on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et maumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi maumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitmaumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et tegemist on ebaolulise maumlaumlramatuse komponendiga Mingi maumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

(45)

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

Kuna liitmaumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide maumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

(46)

kus u(xi) on suvaline maumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus (45)

Tingimuse (46) kontrollimine on uumlldiselt palju lihtsam sest tingimus (45) eeldab juba et koondmaumlaumlramatus on arvutatud ning siis jaumlaumlb uumlle ainult konstateerida milline liige oli ebaoluline

Naumlide 44 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi kotildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulemused

a = 802 mm u(a) = 003 mm υ(a) = 5 b = 4253 mm u(b) = 004 mm υ(b) = 6 c = 17211 mm u(c) = 005 mm υ(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus 1 arvestamata taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

92

Ruumala on

33 cm70558mm58705111725342028 ==sdotsdot=sdotsdot= cbaV

ruumala maumlaumlramatus on

( ) ( ) ( )cm227000387070558003870

000290000940003740

11172050

5342040

028030

)()()()(

3

222

222

222

=sdot=sdot=

=++sdot=

=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

V

V

V

c

cu

b

bu

a

auVVu

Ruumala efektiivne vabadusastmete arv on

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

571526393224

001013013393224

7290

6940

5743

873

7000290

6000940

5003740

003870

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

444

4

444

4

444

4

4

444

4

44

rArr==++

=

=

++

=

=

++

=

=

+

+

=

=

sdot

+

sdot

+

sdot

sdot=

cc

cu

bb

bu

aa

auV

Vu

cc

cuV

bb

buV

aa

auV

V

VVu

V

ννν

ννν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm580cm2270572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Lahendus 2 arvestades taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

Leiame kotildeik maumlaumlramatuse komponendid

93

003740028

030)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVa

auVau

a

V

0009405342

040)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVb

buVbu

b

V

00029011172

050)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVc

cuVcu

c

V

Naumleme et kotildeige suurem maumlaumlramatuse komponent on seotud suuruse a-ga

Rakendame nuumluumld valemit (46)

30220003740000940

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

bub

V

30080003740000290

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

cub

V

Seega selgus et nii b kui ka c maumlaumlramatused on taumlhtsusetud ning nendega ei pea arvestama

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse

3cm220000374070558028030)(

)( =sdot=sdot=sdot= Va

auVVu

Ruumala maumlaumlramatus sotildeltub ainult komponendist a seega on ka ruumala vabadusastmete arv votilderdne komponendi a vabadusastmete arvuga

5)()( == aV νν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm570cm2200572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Kokkuvotildete kui votilderrelda lahendusi 1 ja 2 siis vastuste erinevus on vaumlga vaumlike 001 cm3 ehk ca 2 See erinevus on maumlrgatavalt vaumliksem kui maumlaumlramatuse maumlaumlramatus mis vabadusastmete arvu 5 juures on uumlle 30 Seega votildeib oumlelda et motildelemad vastused on otildeiged kuid teise lahenduse puhul oli vaumlhem arvutamist

Taumlhtsusetu komponendi kriteerium osutub eriti praktiliseks juhul kui on vaja otsustada milliste maumlaumlramatuse komponentidega tuleb arvestada ning millistega mitte

94

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate si sendsuuruse korral

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on N suuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

(410)

kus m(x) ja m(y) on vastavad keskvaumlaumlrtused

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()( (411)

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st x kasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud Joonisel (42) on toodud erinevate punktipilvede kohta kaumlivad korrelatsioonid

Joonis 42 Erinevate seoste vahelised korrelatsioonid

Naumlide 45 Naumlited sotildeltuvatest suurustest

95

bull Inimese pikkus ning kehamass on omavahel sotildeltuvad kuigi mitte paumlris uumlks-uumlhele

bull Ilmajaama erinevatel kotildergustel motildeotildedetud tuule kiiruse vaumlaumlrtused on omavahel tugevasti positiivselt korreleeruvad

bull Negatiivselt korreleeruvad suuruseid on temperatuur ning suhteline otildehu niiskus ndash kui suletud suumlsteemis temperatuuri totildesta siis suhteline otildehu niiskus kahaneb ning vastupidi

bull Uuringud on naumlidanud et on negatiivne korrelatsioon televiisori vaatamisele kulunud aja ning hinnete vahel st mida rohkem vaatad televiisorit seda kehvemad hinded

bull Haridustaseme ning vanglas oldud aja vahel on negatiivne korrelatsioon st mida madalam haridustase seda pikem on vanglas oldud aeg Sama vaumlite teine sotildenastus uumltleb et nendel inimestel kes on vanglas pikemalt olnud on madalam haridustase

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsient vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei negatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa y varieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotilde ltuvusega sisendsuuruste korral

Jaumltkame peatuumlkis 38 alustatud motildeotildetemaumlaumlramatusega kuid jaumltame aumlra eelduse et tegemist on sotildeltumatute suurustega

Toome uuesti valemi (326) motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu arvutamise kohta

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (412)

ning korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()( (413)

Uumlldistatult on valem (412) N sotildeltumatu sisendsuuruse korral (sama valem mis (44))

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (414)

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisanduvad valemisse (414) korrelatsiooni liikmed

96

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

siin kahekordse summamaumlrgiga summeeritakse kotildeikide liikmepaaride omavahelistest korrelatsioonidest tulenevad maumlaumlramatuse komponendid seega kui on N komponenti siis

korrelatsiooni liikmeid on 2

)1( minussdot NN Tavaliselt on arvestatav korrelatsioon siiski ainult motildene

uumlksiku komponendi vahel ning uumllejaumlaumlnud korrelatsioonid on votilderdsed nulliga

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused on A = 5 B = 7 C = 12 standardmaumlaumlramatused on u(A) = 03) u(B) = 05) u(C) = 04) parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02 r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardmaumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

Lahendus

Leiame D standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

71050)(1

50401501301

)()()()()(1

222222

22

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Du

CuC

DBu

B

DAu

A

DXu

x

DDu

N

ii

i

Leiame D standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame D standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

97

Suuruse D maumlaumlramatuse arvutuses naumlgime et korrelatsioonist tingitud liige votildeib olla oluline ning on votildeimalus et korrelatsiooni totildettu tuleb koondmaumlaumlramatus vaumliksem kui ilma korrelatsiooni arvestamata

Leiame E standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

Leiame E standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

D

A

DCAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame E standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

Seega naumlgime suuruste D ja E standardmaumlaumlramatuste arvutusest et korrelatsioonide arvestamine votildeib liitmaumlaumlramatust nii suurendada kui vaumlhendada sotildeltudes nii osatuletiste maumlrkidest kui ka korrelatsiooni maumlrkidest

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadides Kuna info paumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos on jaumlrgmine

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsienti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17 F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failis bdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

98

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise ko hta

Kordame uumlle potildehivalemid

Efektiivne vabadusastmete arv on

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

N sotildeltumatu sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()( (44)

N sotildeltuva sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte protsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

ltltsdotsdot+

sdotsdot

=mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

Leia bull koefitsient c bull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1) bull keskvaumlaumlrtus bull mediaan bull standardhaumllve bull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

Lahendus

Alustuseks tuleks seda funktsiooni lihtsustada

33325

8

)7(7321

xcxcxxxcx

xsdot+=sdot+=sdotsdot+

sdotsdot

Koefitsiendi c leiame laumlhtudes normeerimistingimusest

34714

1)7(4

)7()7( 10

41

0

3 minus=rArr=+rArrequivsdot+

=sdot+=sdot+int cccx

cdxxc

99

Asendades c vaumlaumlrtuse funktsiooni saame jaotustiheduseks

ltltsdot

=mujal0

104)(

3 xxxf

Jaotusfunktsioon kohal x1 on

410

4

0

31

11

444)( x

xdxxxF xx

=sdot=sdot= int

Keskvaumlaumlrtus on

8054

544)( 1

0

5

0

31

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

Mediaan on x-i vaumlaumlrtus mille korral jaotusfunktsioon on votilderdne 05-ga

8405050)( 4411 ==rArrequiv= medxxxF

Standardhaumllbe arvutamiseks leiame kotildeigepealt x2 keskvaumlaumlrtuse

667064

644)( 1

0

6

0

322 1

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

( ) 16306406670)()()( 22 =minus=minus= xmxmxs

NB selle koha peal on oluline et x2 keskvaumlaumlrtus leitakse vaumlhemalt kolme tuumlvinumbriga muidu on uumlmardamise viga liiga suur

Totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07) on arvutatav jaotusfunktsioonide vahena nendes punktides

240070)30()70()7030( 4 =minus=minus+=ltltminus FFxP

Siin F(ndash03) on votilderdne nulliga seetotildettu et kuna piirkonnas (ndashinfin 0) on jaotustihedus votilderdne nulliga siis on ka jaotusfunktsioon selles piirkonnas votilderdne nulliga

100

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga mille kalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia bull klotsi massi parim hinnang bull klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi liitmaumlaumlramatus bull klotsi massi vabadusastmete arv bull klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus

Teeme tabeli kus on motildeotildetmistulemused motildeotildetmistulemuste erinevus keskvaumlaumlrtusest ning selle ruut

nr x x ndash m(x) (x ndash m(x))2 1 455 ndash01 001 2 459 03 009 3 458 02 004 4 452 -04 016 5 456 0 0 sum 2280 0 030 keskmine 456

Klotsi massi parim hinnang on tema aritmeetiline keskmine

645)( =xm g

Klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse arvutamiseks leiame kotildeigepealt standardhaumllbe

2704300

1

))(()( 1

2

==minus

minus=

sum=

N

xmxxs

N

ii

g

1205

270)()( ===

N

xsxuA g

Klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus kujuneb tema kalibreerimisel hinnatud maumlaumlramatusest ning resolutsioonist Kalibreerimisel saadi laiendmaumlaumlramatuseks 03 g katteteguriga 2 seega kalibreerimise standardmaumlaumlramatus on 03 2 = 015 g

150000800225012

10150)(

2

2 =+=

+=xuB g

Seega selgus et resolutsiooni maumlaumlramatus oli ebaoluline

Klotsi massi liitmaumlaumlramatus on

101

190022501440150120)()()( 2222 =+=+=+= xuxuxu BAC g

Klotsi massi vabadusastmete arv on

25125150

4

120190

)()(

)()(

44

4

44

4

rArr=

infin+

=

+

=

B

B

A

A

C

xuxu

xux

νν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvu 25 jaoks on vastavalt tabelile

0622595 =k

Klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

390190062)()( =sdot=sdot= xukxU C g

102

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml paksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja masside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlga kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse keskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondmaumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondmaumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondmaumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

4

2 HdV

sdotsdot=

π

Leia bull jaumlauml tiheduse parim hinnang bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

Lahendus

Jaumlauml tiheduse parim hinnang on

322 cm

g9290

420964

36644=

sdotsdotsdot

=sdotsdot

sdot==

ππρ

Hd

m

V

m

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata on

cm

g5420583092902120002012609290

420

49

964

1202

366

1309290

)()(2)()(

3

222

222

1

=sdot=++sdot=

=

+

sdot+

sdot=

=

+

sdot+

sdot=H

Hu

d

du

m

muu ρρ

Puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu maumlaumlramatus osutus ebaoluliseks

Korrelatsioon on ainult massi ning pikkuse vahel teised korrelatsioonid votildeib votildetta nulliks Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatuse korrelatsiooni arvestav komponent on

cm

g2680

420

49

366

130929091

)()(9502

)()()(2)(

2

322

22

minus=sdotsdotsdotminus=minus

sdotsdotsdotsdot=

=sdotsdotpartpart

sdotpartpart

sdotsdot=

H

Hu

m

mu

HumuHm

Hmru

ρ

ρρρ

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus on korrelatsiooni arvestades

( ) ( ) cm

g160026026802940)()()(

3

22

21 ==minus=+= ρρρ uuu

Seega korrelatsiooni arvestamine vaumlhendas maumlaumlramatust uumlle 3-e korra

103

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetud veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm veekihi paksus on 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metalljoonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest10 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardmaumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus Leiame alustuseks akvaariumi ruumala

33 dm30436523cm36523304173818302320 ==sdotsdot=sdotsdot= hbaV

Leiame nuumluumld kotildeigi kolme kuumllje standardmaumlaumlramatused ning vastavad vabadusastmete arvud

cm063010

cm20)( ==auA

cm05803

cm10)( ==auB

( ) ( ) cm086005800630)()()( 2222 =+=+= auauau BAC

3133147390630

08609

0580

110

06300860

)()(

)()( 4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effauau

aua

νν

ν

( ) ( ) cm111005800950058010

30)()()( 222

222 =+=+

=+= bububu BAC

1681686190950

11109

0580

110

0950

1110

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effbubu

bub

νν

ν

( ) ( ) cm126005801120058020

50)()()( 222

222 =+=+

=+= huhuhu BAC

30430601191120

126019

0580

120

1120

1260

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effhuhu

huh

νν

ν

Leiame osatuletised

a

Vhb

a

V=sdot=

partpart

b

Vha

b

V=sdot=

partpart

h

Vba

h

V=sdot=

partpart

Leiame akvaariumi ruumala standardmaumlaumlramatuse

104

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

3

222

222

2222

22

22

2

22

22

22

1

22

cm1530066023304

003300037000430233041738

1260

1830

1110

2320

086023304

)()()()()()(

)()()()()(

=sdot=

=++sdot=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

+

+

=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

h

hu

b

bu

a

auVhu

h

Vbu

b

Vau

a

V

huh

Vbu

b

Vau

a

VXu

x

VVu

N

ii

i

Leiame nuumluumld ruumala efektiivsete vabadusastmete arvu

710871

3000330

1600370

3100430

00660

)(

)(444

4

1

4

4

==++

==

sum=

n

i i

i

VVu

Vu

ν

ν

Seega on ruumala motildeotildetmise efektiivsete vabadusastmete arv νR = 71

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 50 ja usaldusnivool 95 k5095 = 201 kohal ν = 100 ja usaldusnivool 95 k10095 = 1984 seega kohal ν = 71 ja usaldusnivool 95 votildeime votildetta kordajaks k5095 = 200 seega on akvaariumi ruumala laiendmaumlaumlramatus U(V) usaldusnivool 95

333 m310m306002m153)()( dcckVuVU ==sdot=sdot=

Seega on akvaariumi ruumala 3dm3023=V ning tema laiendmaumlaumlramatus 3m310)( dVU =

105

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

αcos2R

IE =

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskmiseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna vaheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus

Leiame kotildeigepealt valgustatuse E keskvaumlaumlrtuse

( ) 222 m

W60386

2

3

m1

W100cos =sdot== α

R

IE

Leiame nuumluumld motildeotildedetud suuruste standardhaumllbed

W1513

W2)(W100 === IuI

m0095000000903

m0010

10

m030)(m1

22

=+=

+

== RuR

0101031803

1)(630 =

sdot=

deg==deg=

παπα u

Leiame nuumluumld osatuletised

W100

11cos

12

sdot=sdot==partpart

EI

ERI

Eα

m1

22cos

23

minussdot=

minussdot=

minus=

partpart

ER

ER

I

R

Eα

3

1)30tan(

cos

sinsin

2

minussdot=degminussdot=

minussdot=

minus=

partpart

EEER

IE

αα

αα

Paneme nuumluumld standardmaumlaumlramatused ning osatuletised valemisse (44) Kuna igas osatuletiste liikmes on sees komponent E siis toome selle ette

106

222

222

m

W9910230

m

W686000034000036100001320

m

W686

010103

100950

1

2151

100

1)(

=sdot=++sdot=

=

sdot

minus+

sdotminus

+

sdotsdot= EEu

Seega on valgustatuse standardmaumlaumlramatus 20 Wm2

Leiame nuumluumld erinevate maumlaumlramatuse komponentide efektiivsed vabadusastmete arvud kasutades valemit (317)

Valgusti intensiivsuse maumlaumlramatus ning nurga motildeotildetmise maumlaumlramatus on B-tuumluumlpi maumlaumlramatused seega nende vabadusastmete arvu votildeib votildetta lotildepmatuks Kauguse motildeotildetmine sisaldas nii A- kui ka B-tuumluumlpi maumlaumlramatust leiame nuumluumld kauguse motildeotildetmise vabadusastmete arvu

90

900950

00950

)(

)(4

4

1

4

4

=

infin+

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Leiame nuumluumld valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

1931915290190

02309

005809

019001150

0230

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

==sdot=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Seega on valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arv νR = 19

Leiame nuumluumld valgustatuse laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 19 ja usaldusnivool 95 k1995 = 209 seega on valgustatuse laiendmaumlaumlramatus U(E) usaldusnivool 95

222 m

W24

m

W1594092

m

W991)()( ==sdot=sdot= kEuEU

Seega on valgustatus 2m

W686=E ning tema laiendmaumlaumlramatus

2m

W24)( =EU

107

5 Maumlaumlramatuse allikad

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud m aumlaumlramatus

Numbernaumlidikuga motildeotildetevahendi abil saadud naumlidu (motildeotildedise) maumlaumlramatuse uumlheks allikaks on naumlidiku lahutusvotildeime Isegi kui korduvnaumlidud on identsed ei ole kordustaumlpsust iseloomustav maumlaumlramatus null sest sisendsignaalil on piirkond milles see motildeotildetevahendi naumlidik esitab uumlhe ja sama naumlidu Kui naumlidiku lahutusvotildeime on δx milleks on naumlidu muutus (numbersamm) kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu votilderra siis sisendsignaal mis annab naumlidu x votildeib votilderdse totildeenaumlosusega jaumlaumlda vahemikku [x ndash δx2 x + δx2] Sisendsignaal on seega kirjeldatav ristkuumllikjaotusega mille laius on δx ja standardhaumllve on σ(x) = δx radic12 See taumlhendab et iga naumlidu x standardmaumlaumlramatus on u(x) = σ(x) = 029 δx Naumliteks numbernaumlidikuga voltmeetril mille naumlidiku vaumlikseim taumlhendusega naumlit on 1 mV on naumlidiku lahutusvotildeime δx = 1 mV totildettu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 mV

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatu s

Naumlidiku lahutusvotildeimega analoogset maumlaumlramatust votildeib potildehjustada ka motildeotildetevahendi suikeulatus milleks on motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse (stiimuli) kasvamise votildei kahanemise maksimaalne piirkond δx ilma et muutuks motildeotildetevahendi naumlit Ettenaumlgelik motildeotildetja taumlheldab motildeotildetesuuruse jaumlrgnevate vaumlaumlrtuste kasvamise votildei kahanemise suunda ja teeb sellest tulenevalt vastava paranduse Kuid suikeulatuse suund pole alati jaumllgitav sest motildeotildetevahendis votildeib mingi tasakaalupunkti uumlmber esineda ka peidetud motildeotildetehaumllbeid ning saadav naumlit (motildeotildedis) sotildeltub suunast millega see punkt lotildepuks saavutati Motildeotildetevahendi suikeulatust suurendatakse motildenikord sihilikult vaumlltimaks naumlidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral Kui suikeulatusest tingituna on votildeimalikud motildeotildetevahendi naumlidud vahemikus [x ndash δx2 x + δx2] siis meelevaldse naumlidu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus

Ka andmetoumloumltlusega seotud arvvaumlaumlrtuste (motildeotildediste motildeotildetetulemuste) uumlmardamine votildei nende murdosa aumlrajaumltmine votildeib olla maumlaumlramatuse allikaks sest uumlmardatud arv esitab motildeotildetesuuruse arvvaumlaumlrtust alati ligikaudselt Mida rohkem on arvul taumlhendusega kohti seda suurem on suhteline taumlpsus Motildenikord on potildehjust taumlhenduslike kohtade arvu vaumlhendada uumlmardamise teel Etteantud uumlmardamissammu δx korral on meelevaldne arvvaumlaumlrtus x vahemikus [ x ndash δx2 x + δx2] ning standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused

Mudelisse sisestatud sisendsuuruse hinnang x ei pruugi olla maumlaumlratud antud motildeotildetmisega vaid votildeib olla saadud mujalt Sageli on sellel vaumlaumlrtusel ka mingil viisil hinnatud maumlaumlramatus See votildeib olla antud standard- votildei laiendmaumlaumlramatusena Kui maumlaumlramatus on antud vahemiku poollaiusena st laiendmaumlaumlramatusena U millel on etteantud usaldatavustase siis on sellega antud ka katteteguri k vaumlaumlrtus Sel juhul on hinnangu x standardmaumlaumlramatus u(x) avaldatav seosest u(x) = U(x)k Alternatiivselt votildeib olla antud sisendsuuruse hinnangu x uumllemine ja alumine rajavaumlaumlrtus (naumliteks

108

vahemik (b a) aga info maumlaumlramatuse kohta votildeib puududa Viimasel juhul peaks nende rajavaumlaumlrtuste kasutajad rakendama oma teadmisi hindamaks maumlaumlramatust laumlhtudes sisendsuuruse iseloomust allika usaldusvaumlaumlrsusest motildeotildetepraktikas selliste suuruste jaoks kasutatavatest maumlaumlramatustest jne Lisainfo puudumisel eeldatakse tavaliselt tegemist on uumlhtlase jaotusega uumllemise ja alumise rajavaumlaumlrtuse vahel standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic12 Kui aga on alust arvata et rajade laumlhedased vaumlaumlrtused on vahemiku keskosaga votilderreldes vaumlhemtotildeenaumlolised on lihtsuse motildettes tihti potildehjendatud kasutada kolmnurkjaotust standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic24

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus

Kui sisendsuuruse X hinnangu x maumlaumlramatus on antud eksperimentaalse standardhaumllbe ja teatud arvu korrutisena st laiendmaumlaumlramatusena U siis votildeib standardmaumlaumlramatuse u(x) vaumlaumlrtuseks votildetta laiendmaumlaumlramatuse U ja katteteguri k jagatise u = Uk See olukord on tavaline kui andmed on votildeetud tootja spetsifikatsioonist kalibreerimistunnistuselt kaumlsiraamatust votildei motildenest muust allikast Naumliteks kui kalibreerimistunnistusel on kirjas et 200 g kirjevaumlaumlrtusega etalonvihi mass m200 = 19999993 g on esitatud laiendmaumlaumlramatusega U = 066 mg kolme standardhaumllbe tasemel siis selle etalonvihi massi standardmaumlaumlramatus on u(m200) = Uk = (066 mg)3 = 022 mg

Hinnagu x maumlaumlramatus ei pruugi tingimata olla esitatud standardhaumllbe mingil kordsel kujul nagu eespool mainitud Selle asemel votildeib suuruse hinnangu maumlaumlramatus olla antud naumliteks 90 95 votildei 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena Kui pole teisiti taumlpsustatud siis votildeib eeldada et vahemiku arvutamisel kasutati normaaljaotust ja x standardmaumlaumlramatuse votildeib taastada jagades esitatud jaotuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga Sel juhul teguri kp vaumlaumlrtused mis vastavad eeltoodud kolmele vahemikule on 164 1960 ja 2576 Naumliteks on kalibreerimistunnistusel kirjas et 10 Ω kirjega etalontakisti takistus 23 degC juures on RE = 10000584 Ω plusmn 152 microΩ usaldusnivool 99 Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmaumlaumlramatuseks u(RE) = (152 microΩ)258 = 59 microΩ

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus

Sageli motildeotildedetakse suurusi kontrollitavatel toumloumltingimustel eeldades et need tingimused motildeotildeteprotseduuri sooritamise jooksul ei muutu Naumliteks votildeib objekti panna motildeotildetmiseks otildelivanni mille temperatuuri hoitakse kindlates piirides termostaadi abil Otildeli temperatuuri vannis votildeib motildeotildeta objekti iga motildeotildetmise ajal Kui aga temperatuur vannis perioodiliselt muutub ei tarvitse objekti hetkeline temperatuur votilderduda otildeli temperatuuriga Otildeli temperatuuri maumlaumlramatuse arvutamine peaks sel juhul algama otildeli temperatuuri teadaolevast votildei eeldatavast muutumistsuumlklist vannis Temperatuuri muutumist votildeib motildeotildeta tundliku termopaariga varustatud termomeetri abil ning kui see pole votildeimalik siis votildeib temperatuuri laumlhendi tsuumlklile tuletada reguleerimisprotsessi iseloomustavate uumlldiste teadmiste potildehjal Analoogne olukord on ka motildeotildeteprotseduuri teostamisel notildeutavate toumloumltingimuste taumlitmiseks motildeotildeteruumis uumlmbritseva otildehu temperatuuri reguleerimisel ja hoidmisel Niisugustel juhtudel votildeib motildeotildetesuuruse motildeotildetmise mudelisse sisestatava temperatuuri X hinnangu x standardmaumlaumlramatuse u(x) hindamine toimuda arvestades temperatuurikontrolli suumlsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsuumlklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust

109

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus

Kotildeige raskemini hinnatav maumlaumlramatuse komponent tuleneb motildeotildetemeetodist eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest vaumliksema maumlaumlramatusega tulemusi Totildeenaumloliselt on olemas ka teisi seni tundmatuid votildei mingil viisil seni veel motildeotildetepraktikas mittekasutatavaid meetodeid mis annavad samavotilderd kehtivaid kuid suumlstemaatiliselt erinevaid tulemusi See viib aprioorse totildeenaumlosusjaotuseni Isegi kui meetodist tulenev maumlaumlramatus osutub valdavaks komponendiks piirdub kogu info selle maumlaumlramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega fuumluumlsikalise maailma kohta Sama motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hindamine erinevatel meetoditel kas samas votildei eri laborites votildei ka samal meetodil eri laborites votildeib sageli anda vaumlga vaumlaumlrtuslikku infot motildeotildetemeetodi kohta Motildeotildetemeetodi kohta tehtud hinnangute usaldusvaumlaumlrsuse kontrollimiseks ja suumlstemaatiliste efektide (motildeotildetehaumllvete ) vaumlljaselgitamiseks on uumlldiselt kasulik teostada toumloumletalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus

Paljude motildeotildeteprotseduuride korral eriti aga motildeotildetevahendite kalibreerimisel leiab aset tundmatu objekti votilderdlus tuntud laumlhedaste karakteristikutega etaloniga et motildeotildeta votildei kalibreerida tundmatut objekti Niisuguste objektide naumlitena votildeib mainida kaaluvihtide votildei takistite komplekte pikkusotsmotildeotildete termomeetreid ja suure puhtusega aineid Antud juhul ei ole kasutatavad motildeotildetemeetodid enamasti ebasoodsalt motildejutatud motildejuritest tekitatud efektidest kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad uumlhesugusel (sageli ennustataval) viisil efektidest esilekutsutud muutustele

Motildenes praktilises motildeotildetesituatsioonis on aga objekti valikul ja selle kaumlsitlemisel siiski palju suurem osa Enamasti kehtib see looduslike materjalide keemilise analuumluumlsi korral Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (toumloumletalonist etalonainest votildei sertifitseeritud etalonainest) on looduslikud materjalid sageli mittehomogeensed Nimetatud mittehomogeensus kutsub esile tavaliselt kaks taumliendavat maumlaumlramatuse komponenti Esimese hindamiseks on vaja maumlaumlrata kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analuumluumlsitavat laumlhtematerjali Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis maumlaumlrata ulatus mil maumlaumlral votilderreldava tundmatu objekti mitteanaluumluumlsitavad koostisosad motildejutavad motildeotildetmise tulemust

Motildenel juhul teeb eksperimendi hoolikas kavandamine votildeimalikuks objekti valikust tingitud maumlaumlramatuse hindamise Tavaliselt on siiski motildeotildeteobjektist tuleneva maumlaumlramatuse hindamiseks vajalikud motildeotildetja (analuumluumlsija) kogemustest ammutatud oskused ja teadmised ning kogu hetkel kaumlttesaadav info selle tundmatu motildeotildeteobjekti kohta

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitl us (kaalutud keskmiste meetod)

Uumlhe ja sama suuruse Yi mitmel erineval viisil (meetodil) votildei erinevates laborites motildeotildetmisel saadud tulemuste yj (j = 1 2 J) liitmaumlaumlramatused u(yj) votildeivad uumlksteisest oluliselt erineda Votildettes kotildeik saadud motildeotildetetulemused aluseks motildeotildetesuuruse Yi vaumlaumlrtuse parima hinnangu saamiseks on eriti vaumlikese motildeotildetetulemuste arvu (J = 2 3 votildei 4) korral otildeiglase hinnangu saamiseks potildehjust arvestada vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi rohkem kui suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi Seega on erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks sobiv kasutada kaalutud keskmist

110

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10 (51)

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

Et anda vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemustele suuremat kaalu kui tulemustele millel on suurem maumlaumlramatus valime motildeotildetetulemuste kaalud poumloumlrdvotilderdelisteks dispersioonidega st antud juhul liitmaumlaumlramatuste ruutude poumloumlrdvaumlaumlrtustega saades

)(

12

jj yu

g = (52)

Laumlhtudes seosest (52) saame kaalutud keskmise y0 liitmaumlaumlramatuse u(y0) arvutada votilderdusest

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)( (53)

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderdlusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elektronkaaluga Motildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitmaumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitmaumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

Motildeotildetetulemuste m1 ja m2 kaalud g1 ja g2 on valemi (52) jaumlrgi

22

121 mg100

mg)10(

1

)(

1 minus===mu

g

22

222 mg25

mg)20(

1

)(

1 minus===mu

g

Kaalutud keskmine on seose (51) jaumlrgi

004162125

52250

25100

005222500392100

25100

005222500392100

1

10 ==

+sdot+sdot

=+

sdot+sdot=

sdot

=

sum

sum

=

=J

jj

J

jjj

g

mg

m g

Kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatuse saame votilderdusest (53)

g0000089mg0890mg125

1

25100

11)(

2

1

0 ===+

==minus

=sum

J

jjg

mu

Antud juhul on motildeotildetesuuruse m0 vaumlaumlrtuse parim hinnang

111

m0 = 200416 g standardmaumlaumlramatusega g000009)( 0 =mu

Nagu naumlitest selgub ei motildejusta suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m2 = 20052 g lotildepptulemust

m0 = 20042 g kuigi palju Lihtne aritmeetiline keskmine g00462=m oleks siiski antud olukorras maumlrksa halvem keha massi hinnang kui vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m1 = 20039 g uumlksinda

Kotildeik senitehtu on tehniline arvutamine Nuumluumld vaatame antud naumlidet sisulise kuumllje pealt Teeme joonise kanname sinna nii motildeotildetetulemused kui ka standardmaumlaumlramatused ning kaalutud keskmise koos standardmaumlaumlramatusega ning aritmeetilise keskmise (allolev joonis) Naumleme et kogu see tehtud arvutus ei oma fuumluumlsikalist motildetet kuna votildeime uumlsna kindlalt vaumlita et uumlks motildeotildetmistest ei saa olla otildeige sest nende standardmaumlaumlramatused ei kattu ja isegi kaks korda laiemad ehk 95 usaldusnivool olevad laiendmaumlaumlramatused ei kattu Seega tuleb kaalutud keskmise arvutamise asemel hakata uurima kummas motildeotildetemeetodis votildeiks viga olla

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

Joonis Mustaga on toodud motildelema motildeotildetmise tulemus koos liitmaumlaumlramatusega punane pidev joon on kaalutud keskmine punased katkendjooned on kaalutud keskmine plusmn kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatus sinine joon on motildelema motildeotildetmise aritmeetiline keskmine

Naumlide 52 Nihikuga eseme pikkuse motildeotildetmine Nihiku laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on vastavalt kalibreerimistunnistusele 0084 mm Uumllesandeks on purskkaevus oleva raudtoru laumlbimotildeotildedu motildeotildetmine Vee ja seega ka toru temperatuur on 5 degC Toru motildeotildedeti 9-st erinevast kohast Toru laumlbimotildeotildeduks saadi keskmiselt 125124 mm ning standardmaumlaumlramatuseks saadi 0048 mm Mis oleks selle toru laumlbimotildeotildeduks temperatuuril 21 degC ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

112

Motildeotildetetulemus l20 sotildeltub meil temperatuuril 5 degC votildeetud nihiku naumlidust l5 ning raua soojuspaisumis-tegurist CFe seega on motildeotildetmise mudel

)( 521 FeClfl =

ning vastav valem on

)1(55521 TCllTCll FeFe ∆sdot+sdot=sdot∆sdot+= (54)

Wikipedia andmetel on raua soojuspaisumistegur temperatuuri 25 degC piirkonnas CFe = 118 microm m-1 K-1 Kuna tundub et tegemist on vaumlga vaumlikese efektiga vaatame kogu soojuspaisumise efekti kui uumlhte maumlaumlramatuse komponenti ehk CFe = 0 u(CFe) = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1

Leiame osatuletised

100018881)521(1081111 6

5

21 ==minussdotsdot+=∆sdot+=partpart minusTC

l

lFe

0022)521(1251240521 =minussdot=∆sdot=

partpart

TlC

l

Fe

m K

Eeldame et temperatuuri motildeotildetmise viga on teist jaumlrku vaumlike suurus sest kui me eeldame et kogu temperatuuri muutusest tingitud efekt on vaumlheoluline siis pole oluline ka taumlpne temperatuuri muutus ise

Leiame standardmaumlaumlramatused

mm01609

0480)( 5 ==luA

Kuna nihiku laiendmaumlaumlramatus on antud usaldusnivool 95 siis selleks et saada standardmaumlaumlramatust tuleb see laumlbi jagada koefitsiendiga k Sellistel puhkudel eeldatakse et kalibreerimisel oli vabadusastmete arv kuumlllalt suur ning Studenti koefitsient oli ligikaudu k = 2 Seega saame et

mm04202

0840)( 5 ==luB

Nihiku naumlidu koondstandardmaumlaumlramatus temperatuuril 5 degC on seega

mm04470microm74417642564216)()()( 225

25

25 ==+=+=+= lululu BAC (55)

siin vahearvutustes kasutasime uumlhikuid microm

Leiame nuumluumld toru laumlbimotildeotildedu standardmaumlaumlramatuse temperatuuril 21 degC

113

( ) ( )

( ) ( ) mm05100505500447000236

mm044701 Kmmm00118Km0022

)()()(

22

2211

52

2

5

212

2

2121

==+=

=sdot+sdotsdotsdotsdot=

=

partpart

+

partpart

=

minusminus

lul

lCu

C

llu Fe

Fe

(56)

Tingimus (45) ei ole taumlidetud sest 0023600506 = 047 gt 03 Seega osutus soojuspaisumine siiski piisavalt oluliseks ehk toodud taumlpsuse juures tuleb seda arvestada

Leiame nuumluumld koefitsiendi k laiendmaumlaumlramatuse arvutamiseks A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv oli 8 ning uumllejaumlaumlnud maumlaumlramatuse komponendid omavad lotildepmatult suurt vabadusastmete arvu Nihiku koondmaumlaumlramatuse arvutusest (48) on naumlha et potildehilise osa andis B-tuumluumlpi maumlaumlramatus lotildepmatult suure vabadusastmete arvuga seega on ka efektiivsete vabadusastmete arv suur seega votildeime votildetta koefitsiendi k vaumlaumlrtuseks k = 196 asymp 2

Eeltoodud arutelu kinnituseks arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu

82501600510

80420

80160023600510

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

effyu

yu

ν

ν

mm10005102)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 12512 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 010 mm

Lahendus 2

Votildetame kogu soojuspaisumise efekti toru laumlbimotildeotildedu arvutuses arvesse ehk CFe = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1 kuna tema motildeju on arvatavasti vaumlga vaumlike jaumltame temast tingitud maumlaumlramatuse arvesse votildetmata ehk u(CFe) = 0

Arvutame valemi (47) potildehjal vaumllja toru laumlbimotildeotildedu temperatuuril 21 degC

mm1481250240124125125124016011801241255521 =+=sdotsdot+=sdot∆sdot+= lTCll Fe

Maumlaumlramatuse arvutusel on valemis (48) u(CFe) = 0 seega on

( ) ( )

( ) mm044004370

043701 00022

)()()(

2

22

52

2

5

212

2

2121

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

= lul

lCu

C

llu Fe

Fe

Laiendmaumlaumlramatuse arvutuses on analoogilisel potildehjusel eelmise lahendusega koefitsient k = 2 ehk laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

114

mm088004402)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 125148 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 0088 mm

Motildelemal meetodil saadud toru laumlbimotildeotildedud koos laiendmaumlaumlramatustega on toodud alloleval joonisel

12500

12505

12510

12515

12520

12525

0 05 1 15 2 25

115

6 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimi ne

61Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid on tehnilised vahendid millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette naumlhtud motildeotildetmiseks

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedud bull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihid bull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takistussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid) 3 motildeotildetemuundurid 4 abimotildeotildetevahendid 5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Motildeotildedud on seadeldised mingi fuumluumlsikalise suuruse reprodutseerimiseks Naumlide kaaluvihid

Motildeotildeteriist on motildeotildetevahend mis votildeimaldab saada motildeotildeteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul Naumlide osutmotildeotildeteriistad klaas-vedelik termomeetrid

Motildeotildetemuundur on ette naumlhtud motildeotildeteinfo saamiseks muundamiseks edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks kuna puudub naumliduseadis Naumlide motildeotildetevotildeimendid Motildeotildetemuundurite eriliigiks on andurid esmase motildeotildeteinfo saamiseks Naumlide termopaar niiskusmotildeotildetja mahtuvuslik andur

Abimotildeotildetevahendid on seadmed millega kontrollitakse motildeotildeteriista toumloumltingimusi fuumluumlsikalisi motildejureid jne Naumliteks kuivelemendi elektromotoorjotildeu maumlaumlramise toumloumls kasutatakse normaalelementi elektromotoorjotildeu standardi reprodutseerimiseks motildeotildetmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga

Motildeotildetesuumlsteem on mitmest eelpoolmainitud motildeotildetevahendist koostatud seadeldis

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonna bull motildeotildetediapasooni bull tundlikkuse bull motildeotildetevea jne

611 Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Motildeotildetetulemus sotildeltub peale motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse muu juhusliku muutuse mingil maumlaumlral ka motildeotildetetingimustest Motildeotildetevahendi kalibreerimistulemused kehtivad kalibreerimistunnistuses esitatud maumlaumlramatusega ainult siis kui motildeotildetevahendile motildejuvad suurused nagu temperatuur otildehuniiskus otildehurotildehk motildeotildetevahendi kaldenurk horisontaalasendist haumlirevaumlljad jms on kalibreerimisel kehtinud piirides

116

Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi kirjeldatakse motildeotildetevahendi naumlidule motildejuvate suuruste vaumlaumlrtuste abil Motildejuvate suurustena ehk motildejuritena vaadeldakse ainult neid suurusi mille motildeju motildeotildetetulemusele on praktiliselt votildeimalik maumlrgata ja kindlaks teha Naumliteks pikkusmotildeotildetevahenditega motildeotildetmisel on temperatuur motildejuv suurus otildehurotildehk aga vaumlhemotildejuv suurus Iga motildeotildetevahendi kohta on normdokumentidega tavaliselt kindlaks maumlaumlratud neli erinevat kasutamistingimuste piirkonda Need on

1 Normaaltingimused on tingimused mis kehtestatakse motildeotildetevahendi metroloogiliseks kontrolliks votildei motildeotildetetulemuste vastastikuseks votilderdlemiseks Leppetingimused on kotildeige soodsamad motildeotildetetingimused ja need hotildelmavad tavaliselt arvessevotildeetud motildejurite nimivaumlaumlrtusi votildei nimipiirkondi Universaalseid normaaltingimusi ei ole need kehtestatakse individuaalselt igale motildeotildeteriistale (temperatuuri- niiskuse- otildehurotildehu- toitepinge vahemik jne) Naumliteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23000 plusmn 0005) degC Tavalistel seadmetel on see 20 degC votildei 23 degC uumlmbruses plusmn 01 kuni plusmn 5 degC

2 Toumloumltingimused on motildeotildetevahendi kasutamistingimused mille korral motildeotildetevahendi metroloogilised omadused on eeldatavalt etteantud piirides Viimased on tavaliselt kirjeldatud motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis Tavaliselt vaumlljendavad toumloumltingimused motildeotildetesuuruste ja motildejurite etteantud vaumlaumlrtusi votildei nende hulka

3 Piirtingimused on tingimused mille iseloomustavate suuruste motildejule motildeotildetevahend peab vastu pidama riketeta ja metroloogiliste omaduste halvenemiseta tema edasisel kasutamisel toumloumltingimustel Motildeotildetevahendi saumlilitamise transportimise ja kasutamise piirtingimused votildeivad uumlksteisest erineda Piirtingimused votildeivad sisaldada motildeotildetesuuruste ja motildejurite piirvaumlaumlrtusi

4 Saumlilitamise tingimused on tingimused mis ei kahjusta motildeotildetevahendit ka pika aja jooksul

Kolme esimese tingimustepiirkonna omavahelisi suhteid iseloomustab joonis 61 Saumlilitamise tingimused reglementeeritakse motildeotildetevahendi toumloumltingimustest sotildeltumatult Nad ei ole kunagi piirtingimustest laiemad ega normaaltingimustest kitsamad aga toumloumltingimustest votildeivad nad olla kitsamad votildei laiemad olenevalt konkreetse motildeotildetevahendi omadustest

Standard ISO 1 on kehtestanud toumloumlstuslike pikkusmotildeotildetmiste valdkonnas universaalseks normaaltemperatuuriks 20 degC Motildeotildetevahendite spetsifikatsioonidest naumlhtub et normaaltemperatuuri piirkonnad sisaldavad reeglina universaalse normaaltemperatuuri vaumlaumlrtuse Tuumluumlpilised normaaltemperatuuri piirkonnad on 18 degC 22 degC ja 15 degC 25 degC

117

Joonis 61 Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi iseloomustavate piirkondade suhted

612 Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis maumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samuti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteliikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga xoo ∆∆ Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud

viga normaaltingimustel Absoluutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotildedetav suurus satub intervalli [ ]oo ∆+∆minus Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

Naumlide 61 Esimeses praktikumi toumloumls kasutatava nihiku absoluutpotildehiviga on 005 mm

Naumlide 62 Kaaluvihid klassifitseeritakse viide taumlpsusklassi Kasutatud klassile vastavad absoluutpotildehivea vaumlaumlrtused leitakse vihtide komplekti tehnilisest dokumentatsioonist

Naumlide 63 Olgu meil keha kaalumiseks vaja kolme vihti ndash 1 kg 50 g ja 2 g Kasutades selle keha kaalumiseks 3 klassi vihte saame potildehiveaks

mg41215360312m∆ 222o ==++=

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse jaoks saame mg 273

412B ==u

Kaaludes sama keha 4 klassi vihtidega saame potildehiveaks

mg12415300630120m∆ 222o ==++=

Maumlrkus Kaalumisel tuleks alati kasutada votildeimalikult vaumlhe st votildeimalikult suuri vihte Viimase vaumlite illustreerimiseks arvuta ise kaaluvihtide viga juhu jaoks kus keha kaalumiseks kasutati 21 50 g-list ja uumlhte 2 g-list vihti

118

2 Suhtpotildehiviga 100ooo

tx

xx

∆=equiv δδ Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme

esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vaumlaumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritolu seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena KЛACC

3 Taandpotildehiviga 100norm

ooo x

xx

∆=equiv γγ Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel

see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on kantud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne Kasutusel on taumlpsusklasside rida

n10)0605040352025101( sdot kus 2101 minusminus=n

Naumlide 64 Oletame et motildeotildetsime voltmeetriga alalispinge vaumlaumlrtuseks V2587=U Voltmeetri

klass olgu 05 ja skaala ulatus V1000=skU Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist

absoluutpotildehivea 100

skoo

UU

γ=∆ ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V923100

100050

31003

∆ oo =sdot

sdot=

sdot== sk

B

UUu

γ

4 Konstandid e ja f kujul e f taandpotildehivea arvutamiseks valemist

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

Naumlide 65 Oletame et motildeotildetsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivvaumlaumlrtuseks V08015naumlit =U Olgu voltmeetri taumlpsusklass esitatud kujul 005 002 ja oletame et kasutasime

voltmeetri piirkonda skU = 20 V Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist absoluutpotildehivea

V 01130100

201

08015

20020050

100sko

o =sdot

minussdot+==∆

UU

γ

ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V006503

01130

3

∆oB ===

Uu

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildeteriista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lugeda mis veaga on tegemist

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasutatakse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

D2rdg 250 +=Taumlpsus

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade puhul kotildeige levinum

119

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi absoluutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha kaks uumlhikut

Oletame et saime multimeetriga motildeotildetes pinge vaumlaumlrtuseks U = 625 V Siis absoluutpotildehiviga

V040V020V0160V020V256100

250∆o asymp+=+sdot=

120

62 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

621 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus

Vaumlga paljude motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides on esitatud motildeotildetevahendite kostekarakteristika mida nimetatakse ka vaumlljundkarakteristikaks Kostekarakteristika on motildeotildetevahendi sisendi ehk stiimuli ja sellele vastava vaumlljundi ehk koste vaheline sotildeltuvus maumlaumlratletud tingimustel Naumlitena votildeib nimetada termopaari elektromotoorjotildeudu temperatuuri funktsioonina Stiimuli ja koste vahelist sotildeltuvust votildeib vaumlljendada algebralise votilderrandi tabeli votildei graafiku kujul

Samuti on motildeotildetevahendi uumlhe metroloogilise omadusena spetsifikatsioonis tavaliselt toodud motildeotildetevahendi tundlikkus mis on koste muutuse ja selle tekitanud stiimuli muutuse suhe st

X

xT

∆∆

=

kus T ndash motildeotildetevahendi tundlikkus

∆x ndash motildeotildetevahendi naumlidu (motildeotildedise) muutus

∆X ndash motildeotildetesuuruse muutus

Tundlikkuse naumlitena votildeib tuua 1 microm jaotisevaumlaumlrtusega mikromotildeotildeturi (uumllekanne 10001) mille tundlikkus on 1 mm 0001 mm kohta sest motildeotildetesuuruse muutus 0001 mm votilderra tekitab naumlidikus viida nihke ehk lugemi muutuse 1 mm

Motildeotildetevahendi tundlikkusega on tihedalt seotud kostelaumlvi Kostelaumlvi on stiimuli suurim muutus mis ei tekita koste maumlrgatavat muutust eeldusel et stiimul muutub aeglaselt ja monotoonselt Motildeotildetevahendite kostelaumlvi votildeib sotildeltuda naumliteks sisemisest votildei vaumllisest muumlrast liikuvate osade vahelisest hotildeotilderdumisest aga ka stiimuli vaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi naumlidu votildetmisel on vaumlga taumlhtis naumlidiku lahutusvotildeime st naumlidikult saadavate naumlitude vaumlikseim erinevus mida on votildeimalik motildettekalt eristada Numbernaumliduga naumlidiku korral on selleks naumlidu muutus kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu (numbersammu) votilderra Skaala ja viidaga varustatud naumlidikuga motildeotildeteriistade korral maumlaumlrab lahutusvotildeime potildehiliselt skaalajaotuse pikkus Uumlldiselt on motildeotildeteriistadel tunnetatav naumlidu muutus mis on vaumlhemalt 15 skaalajaotuse pikkusest

Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste hulka kuulub ka suikeulatus st maksimaalne piirkond milles sisendit ehk stiimulit votildeib motildelemas suunas muuta ilma et muutuks vaumlljund ehk koste Motildeotildetesuuruste vaumlaumlrtusteks mille juures maumlaumlratakse motildeotildetevahendi suikeulatus valitakse tavaliselt motildeotildetepiirkonna alumise ja uumllemise piirvaumlaumlrtuse laumlhedased vaumlaumlrtused vahel ka motildeotildetepiirkonna keskmine vaumlaumlrtus Motildeotildetepiirkonna suikeulatust potildehjustavad hotildeotilderdumine surnud kaumlik elastsed motildejud huumlsterees jms Suikeulatus ei ole alati konstantne eriti liikuvate osade vahelise hotildeotilderdumise votildei hotildeotilderdeteguri muutuse totildettu Tavaliselt maumlrgitakse motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides et suikeulatus on vaumliksem teatud piirvaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi reageerimisvotildeimet motildeotildedetavale suurusele iseloomustab kosteaeg See on ajavahemik hetkest millal sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni millal vaumlljund ehk koste jotildeuab ja jaumlaumlb etteantud piiridesse oma puumlsiva lotildeppvaumlaumlrtuse uumlmbruses Naumliteks termomeeter huumlgromeeter

121

Eristatakse ka veel motildeotildetevahendi reageerimisaega milleks on ajavahemik hetkest mil sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni mil vaumlljund ehk koste jotildeuab etteantud leppevaumlaumlrtuseni Naumliteks gaasianaluumlsaatori reageerimisaeg t10 vastab tasemele 10 gaasikontsentratsiooni lotildeppvaumlaumlrtusest naumlidikul

Motildeningad motildeotildetevahendid ei ole neutraalsed motildeotildedetava objekti votildei motildeotildetesuuruse suhtes ja votildeivad neid moonutada Seega iseloomustab motildeotildetevahendeid ka niisugune omadus nagu moonutusvabadus See on motildeotildetevahendi votildeime mitte motildejutada motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust Naumliteks votilderdotildelgne kaal on moonutusvaba aga takistustermomeeter mis soojendab ainet mille temperatuuri motildeotildetmiseks ta on ette naumlhtud ei ole moonutusvaba

622 Motildeotildetevahendi taumlpsus

Motildeotildetevahendite uumlheks kotildeige taumlhtsamaks omaduseks on taumlpsus Taumlpsus on motildeotildetevahendi votildeime anda motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele laumlhedasi kosteid Sellest maumlaumlratlusest ilmneb et motildeotildetevahendi taumlpsus on kvalitatiivne motildeiste sest ta on naumlidu ja motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse kokkulangevuse naumlitaja

Kvantitatiivselt hinnatakse motildeotildetevahendi taumlpsust motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe abil See on ka motildeotildetevahendi naumlidu ja sisendsuuruse vaumlaumlrtuse vahe Selles taumlhenduses kasutatakse ka motildeistet naumliduviga mis viitab mittesoovitud kotildervalekaldele Kuna aga motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik teada peame praktikas motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse asemel kasutama selle mingit leppevaumlaumlrtust Hinnangu motildeotildetevahendi suumlstemaatilisele naumliduhaumllbele saame motildeotildetevahendi kalibreerimisel kusjuures leppevaumlaumlrtuseks on etaloniga realiseeritud suuruse vaumlaumlrtus Motildeotildedu puhul on suumlstemaatiliseks naumliduhaumllbeks sellele omistatud kirjevaumlaumlrtuse kotildervalekalle vaumlaumlrtusest mille saame motildeotildedu kalibreerimisel Motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe votildeib esitada ka suhtelise naumliduhaumllbe kujul st motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe ja vastava leppevaumlaumlrtuse suhtena

Nagu varem oleme totildedenud esineb praktilistel motildeotildetmistel paraku alati motildeotildetetingimuste juhuslikke muutusi mis potildehjustavad juhuslikke muutusi saadud motildeotildedistes Osa neist tulenevad vaumllismotildejudest teine osa aga motildeotildetevahendi omadustest Motildejude eristamine notildeuaks vaumlga mahukaid uurimisi Kotildeikide juhuslike motildejude minimeerimiseks kordame motildeotildetmist korduvustingimustel ja keskmistame tulemuse Selle ja kasutatud suuruse leppevaumlaumlrtuse vahe annabki meile suumlstemaatilise naumliduhaumllbe hinnangu Motildeotildetevahendi votildeimet anda naumlite mis on vabad suumlstemaatilisest naumliduhaumllbest kirjeldatakse motildeotildetevahendi otildeigsusega

623 Stabiilsus ja triiv

Kasutaja seisukohast on taumlhtis et motildeotildetevahend saumlilitaks oma metroloogilised omadused ajaliselt muutumatutena Seda motildeotildetevahendi omadust nimetatakse stabiilsuseks Stabiilsust votildeib iseloomustada naumliteks aja kaudu mille jooksul metroloogilised omadused muutuvad etteantud maumlaumlral votildei omaduse muutuse kaudu etteantud ajavahemiku jooksul Kui motildeistet motildeotildetevahendi stabiilsus kasutatakse mingi teise suuruse kui aja suhtes tuleb see kasutusviis eraldi aumlra maumlrkida Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste aeglast ajalist muutumist nimetatakse triiviks Triivi potildehjuseid votildeib olla mitmeid naumliteks rauast kaaluvihi roostetamine mistotildettu tema mass langeb samuti votildeib takistustraadi pind reageerida motildene otildehu koostisosaga ning seelaumlbi votildeib tema takistus ajapikku muutuda Kui seadmel on liikuvaid osasid nagu naumliteks tiivikanemomeetril siis temas olev maumlaumlre votildeib vananeda ning hotildeotilderdetakistus votildeib hakata vaumlhehaaval suurenema

122

624 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime

Et hinnata motildeotildetevahendi votildeimet anda laumlhedasi kosteid kui motildeotildetmine toimub samadel tingimustel ja sama stiimuli korduval rakendamisel tuleb seda motildeotildetevahendit katsetada korduvustingimustel Kuna motildeotildetevahendi naumlidu korduvusvotildeimet saab kvantitatiivselt vaumlljendada naumlitude (motildeotildediste) jaotuskarakteristikute abil siis nende katsete tulemusel saab leida korduvusstandardhaumllbe hinnangu sr (vajadusel saab selle kohta taumlpsemalt lugeda raamatust Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused Laaneots ja Mathiesen)

625 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

Kotildeikide motildeotildetevahendi metroloogilistest omadustest tulenevate efektide motildeju motildeotildetevahendile votildeetakse arvesse naumliduhaumllbe piiride (piirvea veapiiride) maumlaumlramisel Viimase all motildeeldakse motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis kasutamisjuhendis otildeigusaktis votildei motildenes muus dokumendis lubatud naumliduhaumllbe piirvaumlaumlrtust Tavakasutuses votildeime uumlldiselt oletada et motildeotildetevahendi kasutamisel saadud juhuslik naumliduhaumllve ei uumlleta motildeotildetevahendile etteantud naumliduhaumllbe piire

Motildenes metroloogia valdkonnas kasutatakse ka terminit motildeotildetevahendi naumlidu taandhaumllve (taandviga) Selle motildeiste all motildeeldakse naumliduhaumllbe piiri ja mingi antud motildeotildetevahendi jaoks kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtuse suhet Kui see kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtus on motildeotildetevahendi skaalanaumlidiku uumllemine piir siis maumlaumlrab naumlidu taandhaumllve protsentides tavaliselt motildeotildetevahendi taumlpsusklassi Naumliteks motildeotildetevahendi naumlidu lubatud taandhaumllbe 01 korral votildeib sellele motildeotildetevahendile omistada taumlpsusklassi 01

Tingituna motildeotildetevahendi konstruktsioonist votildei teatud kasutamisalast ei pruugi positiivsed ja negatiivsed naumliduhaumllbed olla votilderdsed Seepaumlrast votildeib moodustada ka erinevad naumliduhaumllbe piirid Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid maumlaumlratakse tavaliselt kindlaks kooskotildelastuste ettekirjutuste riigi poolt allkirjastatud lepingute (Euroopa Liidu juhised) aga ka kalibreerimis- votildei taatluseeskirjade alusel Taatluseeskirjad ja nende kehtivus on tavaliselt normitud neid vaumlljaandva riigi tasandil Kvantitatiivselt esitatakse naumliduhaumllbe suumlmmeetrilised piirid tavaliselt kas konstantsetena motildeotildetesuuruse uumlhikutes motildeotildetevahendi kogu motildeotildetepiirkonna ulatuses st ∆ = a votildei naumliduga proportsionaalsetena st ∆ = bx votildei eelneva kahe summana st ∆ = a + bx

63 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid

631 Kalibreerimine ja justeerimine

Motildeotildetevahend kalibreeritakse motildeotildetetulemuse seostatuse saavutamiseks Kalibreerimine on menetlus mis fikseeritud tingimustel maumlaumlrab kindlaks seose motildeotildetevahendi poolt esitatud vaumlaumlrtuse (naumlidu motildeotildedise) ja etaloni abil realiseeritud suuruse vastava vaumlaumlrtuse vahel

Motildeistet kalibreerimine ei tohi segi ajada motildeistega justeerimine Viimane on tegevus mille eesmaumlrgiks on motildeotildetevahendi viimine kasutamiseks sobivasse toumloumlrežiimi Justeerimine notildeuab seega tehnilist vahelesegamist mille tulemusena votildeib muutuda motildeotildetevahendi kostekarakteristika Naumliteks kaaluviht justeeritakse ettenaumlhtud kirjevaumlaumlrtuseni mahaviilimise votildei pliihaavli juurdelisamisega mis taumlhendab kaaluvihi massi muutmist kirjevaumlaumlrtuse laumlhedusse Teise naumlitena votildeib nimetada takistusmotildeotildedu justeerimist leppevaumlaumlrtuseni traadi pikkuse muutmisega ja balanssiiri (ankru) justeerimist soovitud votildenkesageduseni spiraalvedru jaumlikuse muutmisega Motildeotildetevahendit saab justeerida ka tema votilderdlemisel taumlpsema motildeotildedu votildei motildeotildetevahendiga paigutades selleks

123

motildeotildetevahendisse motildeotildetesignaali muutva luumlli Justeerimise kaumligus rakendatakse reguleerimisvotildeimalusi mis ei tarvitse olla kaumlttesaadavad tavakasutajale

Justeerimist mille kaumligus rakendatakse ainult motildeotildetevahendi kasutajale ettenaumlhtud reguleerimisvotildeimalusi nimetatakse motildeotildetevahendi seadmiseks Naumliteks motildeotildetepiirkonnaga uumlle 25 mm kruviku korral on enne motildeotildetetoimingu algust tarvis kruviku komplektis oleva seademotildeotildedu abil saumlttida paika nullnaumlit Motildeningate teiste motildeotildetevahendite korral taumlhendab seadmine motildeotildetevahendi alg- ja lotildeppnaumlidu reguleerimist Motildeotildetevahendil mida seadistatakse mingis naumliduseadise votildei skaala kindlas punktis toimub reguleerimine motildeotildetevahendi komplektis oleva seademotildeotildedu sertifitseeritud etalonaine votildei muu kindlalt maumlaumlratletud objekti jaumlrgi nii et naumlit oleks votildeimalikult laumlhedane seadeobjekti kirjevaumlaumlrtusele (nimivaumlaumlrtusele)

Enne kalibreerimisele asumist tuleb kontrollida kas tellimus naumleb ette motildeotildetevahendi eelnevat justeerimist votildei mitte Kui justeerimisvajadus on ilmne aga ei kajastu tellimuses tuleb kuumlsimus kooskotildelastada tellijaga Potildehjuseks on see et justeerimisega muudetakse motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi mille katkematu jaumllgimine votildeib olla oluline motildeotildetevahendi valdajale Valdaja votildeib naumliteks kasutada motildeotildetevahendit etalonina votildei kontrollmotildeotildeduna

Kalibreerimise maumlaumlratlusest johtub et erinevalt motildeotildetevahendi justeerimisest ei toimu kalibreerimisel tehnilist vahelesegamist Naumlidikuga motildeotildetevahendi kalibreerimisel tehakse kindlaks naumlidu ja motildeotildetesuuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve motildeotildetude korral aga motildeotildedu kirjevaumlaumlrtuse ja leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve Kalibreerimisega on tegu ka siis kui maumlaumlratakse naumliteks pingemotildeotildeturi skaalategur votildei tehakse kindlaks skaalaga varustatud ampermeetri naumlitude ja voolutugevuse leppevaumlaumlrtuste vahelised motildeotildetehaumllbed Kalibreerimismenetluse erijuhtumiks on tingskaalaga varustatud motildeotildetevahendi gradueerimine st motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtustele vastavate skaalamaumlrkide vahel ka ainult kindlate potildehimaumlrkide asetuse maumlaumlramine naumlituril

Kalibreerimisel saadud motildeotildetevahendi sisendsuuruse (motildeotildetesuuruse stiimulite) ja vaumlljundsuuruste (motildeotildediste kostete) vahelise sotildeltuvuse votildeib esitada tabeli graafiku votildei valemi abil Kalibreerimisel saadud arvuline tulemus ndash naumliduhaumllbe hinnang koos selle hinnangu maumlaumlramatusega ndash votildeimaldab kindlaks maumlaumlrata motildeotildetevahendi naumlidule vastava naumliduparandi mis on votilderdne naumliduhaumllbe hinnanguga kuid on vastandmaumlrgiga Kalibreerimistulemus esitatakse vastavas dokumendis mida nimetatakse kalibreerimistunnistuseks votildei ndasharuandeks

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et kalibreerimisel maumlaumlratakse kindlaks motildeotildetevahendilt saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu (naumlidu motildeotildedise) ja selle suuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline sotildeltuvus Seega on kalibreerimine kotildeige olulisem metroloogilise kontrolli liik Kalibreerimisel votildeib maumlaumlrata ka teisi motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi naumliteks hinnata motildejurite toimet naumlidule jne

Naumlide 68 Millise taumlpsusega peab olema valmistatud pendliga kella pendli pikkus et ta ei valetaks uumlhe kuu (30 p) paumlrast rohkem kui uumlhe

minuti Pendli valem on g

lT π2=

Lahendus Avaldame pendli pikkuse l funktsioonina perioodist T ning konstantidest π ja g

124

2

2

2

2

442

πππ

sdotsdot

=rArr=sdot

rArr=gT

lg

lT

g

lT

Pendli pikkus peaks olema

mm4053248m248405304

8066591

4 2

2

2

2

==sdot

sdot=

sdotsdot

=ππ

gTl

Leiame nuumluumld pendli pikkuse tuletise perioodi jaumlrgi

T

lgT

T

l 2

4

22

=sdotsdot

=partpart

π

Pendli perioodi erinevust uumlhest sekundist taumlhistame ∆T-ga vaumlikest pendli pikkuse erinevus taumlhistame ∆l-ga seega

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

Arvutame nuumluumld vaumllja suhte ∆TT

∆T = 1 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit seega

0000231043200

1asymp=

∆T

T

Pendli pikkuse erinevus otildeigest vaumlaumlrtusest votildeib siis olla maksimaalselt

mm011043200

1mm24822 =sdotsdot=

∆sdot=∆

T

Tll

Seega peab olema kella pendli pikkus 248405 mm plusmn 0011 mm et kell ei eksiks uumlhe kuu jooksul rohkem kui uumlhe minuti

Naumlide 69 Jaumltkame pendli uumllesannet Vanaisa seinakell on aegade algusest saadik maha jaumlaumlnud ligikaudu 5 minutit igas kuus Kuidas seda kella justeerida et kell hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Lahendus

Seose pendli pikkuse ja kella ebataumlpsuse vahel leidsime juba eelmises naumlites kasutame seda et leida pendli pikkuse ebataumlpsus

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

∆T = 5 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit l = 248405 mm seega

mm057043200

52482 =sdot=

∆sdot=∆

T

Tll

125

Kuna kell jaumlaumlb maha siis jaumlrelikult kaumlib kell liiga aeglaselt seega on pendel liiga pikk jaumlrelikult tuleb pendlit luumlhemaks teha Seega on meil vaja pendli pikkust luumlhendada ligikaudu 006 mm votilderra Tekib kuumlsimus et kuidas uumlldse motildeotildeta pendli pikkust Mehaanika teadmistest laumlhtuvalt votildeime votildetta pendli pikkuseks vahemaa pendli votildenkumistelje ning pendlisuumlsteemi masskeskme vahel Siit saab ka juba idee pendli pikkuse muutmiseks ndash tuleb nihutada pendli masskeset Naumliteks laumlhtudes pildil oleva kella pendli kujust ndash pendli pommi uumllemisse otsa (et masskeset teljele laumlhemale viia) tuleb kinnitada uumlks lisaraskus Selle lisaraskuse massi hindamiseks on tarvis teada pendli massi ning tema kaugust votildenkumisteljest Oletame et oleme hinnanud pommi massiks 200 grammi ning joonlauaga motildeotildetnud et kaugus pendli votildenkumistelje ning planeeritud lisamassi asukoha vahel on 190 mm Kasutame nuumluumld masskeskme arvutamise valemit (mis on identne aritmeetilise keskmise arvutamise valemiga)

lisamasslisamasspendelpendelkogukeskmine mlmlml sdot+sdot=sdot

( ) lisamasslisamasspendelpendellisamasspendelkeskmine mlmlmml sdot+sdot=+sdot

pendelkeskminependelpendellisamasslisamasslisamasskeskmine mlmlmlml sdotminussdot=sdotminussdot

Avaldame nuumluumld suuruse mlisamass

( )

20190248

0570200

lisamasskeskmine

keskminependelpendellisamass =

minussdot

=minus

minussdotsdot=

ll

llmm g

Seega peab pendlile lisama 02 g-se lisaraskuse et ta hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Totildeenaumloliselt ei olnud pendli massi hinnang 200 g kuigi taumlpne seega kell ei kaumli ikka taumlpselt Kui nuumluumld uuesti leida kui palju kell valetab on saadud tulemusest votildeimalik vaumllja arvutada pendli mass ning selle kaudu taumlpsem lisamassi raskus

632 Tuumluumlbikinnitus

Tuumluumlbikinnitus on toiming mille kaumligus tehakse motildeotildetevahendi dokumentatsiooni ja tuumluumlbihindamise tulemuste alusel kindlaks kas antud tuumluumlpi motildeotildetevahendiga motildeotildetmisel votildeib eeldada etteantud taumlpsuse saumlilimist kindlaksmaumlaumlratud ajavahemiku jooksul Kotildeneallolev motildeotildetevahend peab olema gradueeritud seaduslikes uumlhikutes Tuumluumlbikinnituse tulemusena vaumlljastatakse tuumluumlbikinnitustunnistus See sisaldab motildeotildetevahendi antud tuumluumlbi metroloogiliste omaduste ning vajadusel lisatingimuste piirangute ja taumlhtaegade kirjelduse Tuumluumlbikirjeldus on kohustuslik motildeotildetevahenditele millele eri otildeigusaktis on kehtestatud taatluskohustus

Tuumluumlbikinnituse teostaja on tavaliselt riigi poolt seadusega maumlaumlratud riigiasutus (Eestis on selleks asutuseks Tehnilise Jaumlrelevalve Inspektsioon) Tuumluumlbikinnituse aluseks on tuumluumlbihindamine st uumlhe votildei mitme sama tuumluumlpi motildeotildetevahendi suumlstemaatiline vaatlus ja katsetamine dokumenteeritud notildeuete potildehjal Tuumluumlbihindamine toimub omaette asutuses milleks votildeib olla vastava motildeotildeteliigi alal akrediteeritud motildeotildetelabor Tuumluumlbihindamise tulemused dokumenteeritakse tuumluumlbihindamise aruandes

Tuumluumlbikinnitus antakse reeglina motildeotildetevahendile mille metroloogilised ja kasutusomadused vastavad kas Rahvusvahelise Legaalmetroloogia Organisatsiooni dokumentide OIML D ning soovituste OIML R votildei Euroopa Liidu direktiivides kehtestatud notildeuetele Kui motildeotildetevahend pole nimetatud dokumentides kajastatud siis on tuumluumlbikinnituse aluseks rahvusvaheliste standardimisorganisatsioonide (Rahvusvaheline Standardimisorganisatsioon ndash ISO Rahvusvaheline

126

Elektrotehnikakomisjon ndash IEC Euroopa Standardikomitee ndash CEN Euroopa Elektrotehnika Standardikomitee ndash CENELEC) standardite notildeuded

Motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituse taotlejaks votildeib olla motildeotildetevahendite valmistaja votildei tema volitatud esindaja votildei importija kes esitab vastava taotluse koos tuumluumlbihindamise aruandega kompetentsele riigiorganile (tuumluumlbikinnituse teostajale) See vaumlljastab notildeuetele vastavuse korral motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnitustunnistuse ja annab otildeiguse kanda motildeotildetevahendile tuumluumlbikinnitusmaumlrk

633 Taatlus

Taatlus on taatluseeskirjadele vastav menetlus mis hotildelmab motildeotildetevahendi vastavuse kontrollimist motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituses toodud metroloogilistele omadustele ja motildeotildetevahendi sellekohast maumlrgistamist otildeiguspaumldeva taatlusasutuse poolt Kontrollimisega selgitatakse kas motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjade notildeuetele eelkotildeige taatlushaumllbe piiride osas Maumlrgistamisega kinnitatakse vastavust Taatluseeskiri on paumldeva organi poolt kehtestatud kohustuslik tegutsemisreeglistik kindlat liiki votildei tuumluumlpi motildeotildetevahendite taatlemiseks Taatlus loob eelduse oletada et taatluskehtivusaja jooksul motildeotildetevahendi kasutamisel tema naumliduhaumllve jaumlaumlb lubatud piiridesse

Siinkohal meenutame et motildeotildetevahendi taatlust notildeutakse motildeotildetevahendi kasutamisel taatluskohustuslikus valdkonnas ning et taadelda saab ainult tuumluumlbikinnitust omavaid motildeotildetevahendeid Taatlus on liigitatud esma- kordus- ja erakorraliseks taatluseks Motildeotildetevahendi esmataatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas taatlusprotsessi seni mittelaumlbiteinud motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas motildeotildetevahend vastab jaumltkuvalt taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatlusele kuuluvad taatluskohustuslikes valdkondades kasutusel votildei kasutusvalmis olevad motildeotildetevahendid kindlate ajavahemike (taatluskehtivusaeg) jaumlrel Taatluskehtivusaja jooksul tuleb taatluskohustuslikku motildeotildetevahendit erakorraliselt taadelda juhul kui on totildeestatud et motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjas votildei tuumluumlbikinnituses fikseeritud notildeuetele ja paumlrast motildeotildetevahendi remonti Erakorralise taatluse algatab ja korraldab tavaliselt jaumlrelvalvet teostav vastav volitatud juriidiline isik aga seda votildeib notildeuda ka motildeotildetevahendi valdaja

Vastandina kalibreerimisele justeeritakse taatluse kaumligus vajaduse korral motildeotildetevahendit et viia naumliduhaumllve taatlushaumllbe piiridesse Taatluse tulemus dokumenteeritakse taatlusprotokollis mis peab sisaldama taatluse laumlbinud motildeotildetevahendi(te) identifikatsiooni ja viidet kasutatud taatluseeskirjale Kui taatluse kaumligus ilmneb et taatluskohustuslik motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjade notildeuetele tuleb see vastavalt maumlrgistada ja vaumlljastada taatlusnotildeuetele mittevastavuse protokoll

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et taatlus annab motildeotildetevahendi kasutamiskotildelblikkuse kohta vastuse jah votildei ei kalibreerimine aga seose kasutatud leppevaumlaumlrtuse ja motildeotildetevahendi naumlidu vahel jaumlttes otsuse langetamise motildeotildetevahendi sobivuse kohta antud motildeotildetmiseks motildeotildetevahendi kasutajale

127

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused

Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja soovitavast

usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(II) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

128

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menet luste kogum mille eesm aumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmi st nimetatakse metroloogiaks

MMM ndash Motildeotildetmise definitsioon

3

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutat avaid

jaotusseaduseid3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetem aumlaumlramatuse

hindamise paremaid praktikaid4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmet e

motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste n ingmuude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust n ing selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ningoskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kont rolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mude lit ningseda rakendada

MMM - Otildepivaumlljundid

4

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam

Koondhinde moodustavadbull kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) ndash 10 bull test (otildepivaumlljundid 1 2 4) ndash 20 bull grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) ndash 10 bull eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) ndash 60 bull preemiapunktid ndash xx

Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse os sa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlst itust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust

Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele h indele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile(A = gt90 jne)

MMM - Hindamismeetodid

5

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameet rit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildet e-maumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuaje e pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grup itoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

MMM - Hindamismeetodid

6

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements(Les Kirkup Bob Frenkel 2006Cambridge University Press )

MMM - Potildehikirjandus

7

1 2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildete tulemustening nende usaldusvahemiku hindamine praktilisedarvutusnaumlited

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml (4 aprill 2011)

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupit oumloumldeplaneerimine

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus j ne

MMM ndash Loenguplaan (detailsem plaan Moodles)

8

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loom ine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumld e esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

httpsmoodleutee

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused (LOFY01004)

Aine votildeti on ldquo mootemaaramatus rdquo

MMM ndash Moodle

9

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengu s uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt se lleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimalu ste piires arvesse votildetta samuti on Moodles anonuumluumlmse tagasiside koht

MMM ndash Tagasiside

10

Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende

usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid

11

Pideva juhusliku suuruse jaotustiheduseks f(x) nimetatakse funktsiooni mis kirjeldab suhtelist totildeenaumlosust sell e juhusliku suuruse esinemiseks mingis punktis x Totildeenaumlosus et juhuslik suurus langeb etteantud vahemikku [ a b] on votilderdne integraaliga jaotustihedusest f(x) radadega a-st b-ni

Jaotustihedus on normeeritud st integraal uumlle kogu ja otustiheduse maumlaumlramispiirkonna on votilderdne uumlhega

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Jaotustihedus

int sdot=b

a

dxxfbap )()(

1

12

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutata kse aritmeetilist keskmist

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Keskvaumlaumlrtus

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

13

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f (x) standardhaumllbeks nimetatakse arvu

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutat akse empiirilist standardhaumllvet

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Standardhaumllve

intinfin

infinminus

minus= dxxfxmxx )())(()( 2σ

1

))((1

2

minus

minus

=sum=

N

xmxs

N

ii

N

14

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [ a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel l otildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimis tingimus siis

Seega on uumlhtlase jaotusejaotustihedus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

lele

minus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

Suumlmmeetriatelg

15

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega siis on ka loomulik et kes kvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

16

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jao tusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaaltel jele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus (ndash infin infin)

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja σ gt 0 on fikseeritud positiivne reaalarv Parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσ

axxf

a = 0 σ = 1

17

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik m uumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne Paljude sotildeltumatute juhuslike suuruste keskvaumlaumlrtuse jaotus laumlheneb normaa ljaotusele sotildeltumata nende juhuslike suuruste endi jaotusest

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

a = 2 σ = 1

18

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse xt vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetevead

19

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja l otildepp-punktiga xminja xmax Tavalisem ja levinum on siiski anda lotildeigu keskpunk t milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang m(x) ning motildeotildetem aumlaumlramatus u(x)

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

20

Motildeotildetem aumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on motildeotildetem aumlaumlramatus u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetem aumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus satub usaldusintervalli [ m(x) plusmn u(x)] Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu m(x) u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eesk irjad parima hinnangu m(x) motildeotildetem aumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

21

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

23

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

24

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus

=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

25

Naumlide 11 Taumlppiskaaludega kaalumine

Naumlide 12 Kontrollitud temperatuuriga ruumitemperatuuri ajaline kaumlik

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

Aeg

Temperatuur

26

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

27

Naumlide 13 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 1 5) potildehiviga (ehk riistaviga) on St eeldatakse et motildeotildeteriistast tin gitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel jaumlaumlb piiridesse

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik v iga ei vaumllju neist piirest

Joonis 15 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motilde otildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

28

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlauml rtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

Naumlide 14 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus C

u u uC A B= +2 2

29

Selleks et saada infot sellele kursusele registree runute varasematest teadmistest on Moodles avatud tasemetest Eksami arv estuses laumlheb see test arvesse kui arvestuslik test ndash testi taumlitmise l (ka siis kui kotildeik vastused on valed) laumlheb kirja arvestatud mittetaumlitm isel mittearvestatud Test sulgub 14022011 kell 0000

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

naumliteks kui lahendate tahvlil uumllesannet siis o leks hea kui Te ei seletaks mitte ainult seda kuidas miski kaumlib ja mi da teha tuleb vaid et seletaksite juurde MIKS see nii on votildei millest misk i tuletatud on

Tasemetesti tulemuste analuumluumls

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Tagasiside

3

Taumlhendnumbrite hulk ehk tuumlvinumbrite hulk ehk taumlhendus ega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid pe ale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samut i uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbrite ks

Naumlide 15 10 400 5 taumlhendnumbrit104bull102 3 taumlhendnumbrit10 40000 7 taumlhendnumbrit001040 4 taumlhendnumbrit

Aga ldquokuus miljardit (6 000 000 000) aastat tagasirdquo

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Taumlhendnumbrid

4

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uuml sna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjuta misel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal Tulemused esitatakse uumlma rdatult

Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 j a 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati e t arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suuml stemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus

Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise ree gel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber ole ks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagade s nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulem use

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlmardamine

5

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekki nud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisegakaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellist el juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mi l naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumli du kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Ekse

6

A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arv on

Kus n on motildeotildetmiste arv

B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu votildeib fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumi raames votildetta alati lotildepmatult suu reks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

1minus= nυ

7

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus ui(y) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

Naumlide 16 Jaumltkame metallsilindri motildeotildetmise naumlidet M etallsilindri pikkust motildeotildedeti n = 100 korda

Arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu metallsilin dri pikkusekoondm aumlaumlramatusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

mm 0440)(A == nxuu

mm 0290B =u

mm 0530=Cu

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

9

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndashkattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

10

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

11

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

12

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

997

95

68

13

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

14

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti testVabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

15

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

16

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

17

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

18

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

19

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge U voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = UIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

20

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

21

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

22

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

23

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 99 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

24

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

25

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

26

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

27

Kodune test sulgub 20022011 kell 2355 Nuumluumldsest on tulemused olulised st punkte annavad ainult otildeiged vastused Vale vastuse puhul Moodle uumltleb seda ning laseb vastust korrigeerida kuid votildetab 20 selle kuumlsimuse punktidest maha Seega on votildeimalik i gale kuumlsimusele vastata maksimaalselt 5 korda Vastuste korrigeerimin e on votildeimalik kuumlll ainult arvutusuumllesannete juures

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Kursuse kaumligus tuleb taumlita ca 12 kodust testi Testi d sulguvad puumlhapaumleva otildehtul kell 2355 ning testi jaumlrgi teha ei saa sest me analuumluumlsime neid toumlid jaumlrgmises loengus

Iga test annab maksimaalselt 10 punkti (vahest votildeib olla ka preemiapunkte)

Uumlksikust testist positiivse hinde saamine votildei uumlldse testi taumlitmine ei ole kohustuslikud kuid motildejutavad aine koondhinnet

Kodustest testidest kogutud punktid liidetakse kotildeik kokku ning jagatakse laumlbi testide arvuga Saadav tulemus on ko ondhinde arvestusse minevate punktide arv Kui saadav tulemus on vaumliksem kui 5 siis taumlhendab see automaatselt ainest laumlbikukkum ist

MMM ndash koduste testide olulisus edasijotildeudmisel

3

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

4

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

5

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

6

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge V voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = VIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

7

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

9

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

10

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 95 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

11

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

12

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

13

Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikudmotildeotildetuumlhikute vahelised seosed

MMM

14

Motildeotildetmisteooria laumlhted

MMM

Mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning se ega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes e t saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti j uhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kir jeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muu tuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mi s kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

15

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreets eteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettem aumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 m uumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused gra mmides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildep matu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumlite ks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tul emust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on av aldatav valemiga

MMM ndash jaotusseadused

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk =

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

16

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16visatakse 4 silma p = 16visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmusvisatakse 1 votildei 4 silma p = 26visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

MMM ndash jaotusseadused

17

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Totildeenaumlosus erineb nullist ainult m aumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole m aumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

MMM ndash jaotusseadused

18

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatii vne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

MMM ndash jaotusseadused

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

sumle

=ki

ipkF )(

19

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotu se omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla nega tiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa s amuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vauml aumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlnd muse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [ x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

MMM ndash jaotusseadused

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele

20

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

Teistpidi on jaotusfunktsioon m aumlaumlratud integraal jaotustihedusest

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfun ktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli li htsustab nende valemite kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vauml ga keeruliste uumllesannete lahendamist

MMM ndash jaotusseadused

dx

xdFxf

)()( =

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF

21

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

MMM ndash jaotusseadused

1

dxxfxdFdp sdot== )()(

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

2222

Integraalid Tuletised

int +=

+

1

1

a

xdxx

aa

int +=minus Cxdxx ln1

int +minussdot= Cxxxdxx ln)ln(

int +minus= Cxdxx )cos()sin(

int += Cxdxx )sin()cos(

1minussdot= nn xnxdx

d

int += Cxdxx )exp()exp( )exp()exp( xxdx

d=

xx

dx

d 1)ln( =

)cos()sin( xxdx

d=

)sin()cos( xxdx

dminus=

int intint plusmn=plusmn dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

int intsdot=sdot dxxfcdxxfc )()(

23

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

MMM ndash jaotusseadused

24

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus-arv totildeenaumlosus funktsioon

2 11 1 136 1363 12 21 2 236 3364 13 22 31 3 336 6365 14 23 32 41 4 436 10366 15 24 33 42 51 5 536 15367 16 25 34 43 52 61 6 636 21368 26 35 44 53 62 5 536 26369 36 45 54 63 4 436 303610 46 55 64 3 336 333611 56 65 2 236 353612 66 1 136 1

MMM ndash jaotusseadused

25

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

26

Kodune test sulgub 27022011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine p ooldumist kirjeldav jaotusfunktsioon Palju kulub aega et esi algsest Csainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

MMM ndash jaotusseadused

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

4

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri t suumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi tem peratuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ru umi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on

ning tema jaotusfunktsioon on

MMM ndash jaotusseadused

10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxfπ

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

5

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus is eloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaate kohalt

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaal ne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamast i aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlieli kku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadu si Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendam isel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadus ed

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja di spersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel su urt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood mo mendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik fu nktsioon entroopia jmt

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud

6

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakterist ik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhi stused on

m mx m[x] ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

x

7

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) nimetatakse arvu

Valemid keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langevad kokku val emitega varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhe ga Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatilin e moment

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

sum=

=n

kkk pxm

1

)( kk xXPp ==

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

8

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

Suumlmmeetriatelg

9

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

10

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

Kas keskvaumlaumlrtus m(x) = 6 tundub realistlik

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

63

27

3

2

3

03

3

2

33

2

3

2

03

200

3

20

)()()()()(

333

0

33

0

2

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

=sdot=minus

sdot=

==

=+sdot+=sdot+sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

xdxxdxxxdxxdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

11

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Kontrollime selle jaotustiheduse vastavust normeerimis tingimusele

Seega polegi tegemist jaotustihedusega

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

132

9

3

2

2

03

3

2

23

2

3

2

03

200

3

20

)()()()(

223

0

23

0

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

ne=sdot=minus

sdot=

==

=++=++=

=++=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

dxxdxdxxdx

dxxfdxxfdxxfdxxf

12

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

13

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

22

1gt

minusminus

= rr

rm

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

14

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on se e konstant ise

m[c] = c

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlm boli ette

m[cX] = cm [X]

Totildeestame homogeensuse tingimuse pideva juhu jaoks

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

15

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtusei d kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrt useid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeet ilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

16

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis sed a naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotilde rgpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vauml hemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) l eitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on e esmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hu lgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad kes kvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemi kku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korre latsioonikordaja) maumlaumlramisele

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

17

Naumlide 26 Suvel m aumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel l ahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle r aumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva M itu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

18

Naumlide 27 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast j a 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55 000 EEK Keskmine palk selles firmas on

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalga ga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firm as on

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

1000010

5500050009=

+sdot=m

320005

4000390004=

+sdot=m

19

Juhusliku suuruse dispersiooniks D (ka σ2) nimetatakse suurust

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega o n dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse m aumlaumlra iseloomustajaks

Vastavalt definitsioonile on diskreetse juhusliku su uruse dispersiooni arvutusvalem

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealis atsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suu ruse korral on dispersiooni arvutusvalem

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

( )sum minus=i

ii pmxD 2

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2

20

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku s uuruse ruudust X2

Totildeestame Steineri valemi pideva juhu jaoks

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m(X) ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus=

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

21

Dispersiooni ruutjuurt

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks e hk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioo n on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga st andardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetem aumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumll vet

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

D=σ

22

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning dispersioon

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse

Dispersioon potildehivalemi potildehjal

Dispersioon Steineri valemist

Standardhaumllve

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

536

121)(

1

=sdot==sum=

n

kkk pxxm

( ) 9225176

1)( 2 asympsdot=minus=sum

iii pmxxD

[ ] 92225121715536

91)( 222 =minusasympminus=minus= mXmxD

711922)()( === xDxσ

23

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit Le iame esmalt x2

keskvaumlaumlrtuse

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

24

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Vastavalt Steineri valemile on uumlhtlase jaotuse dispe rsioon

ning uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

2)(

baxm

+=

3)(

222 baba

xm++

=

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+minus++

=minus=

25770

23

1

23)()(

abababxDx

minusasymp

minus=

sdot

minus==σ

25

Naumlide 211 Astmejaotuse standardhaumllve

vaadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

26

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardh aumllbe omadused

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse ehk konstandi dispersioon o n null

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses oleva d juhuslikudsuurused siis

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

[ ] [ ]XDccXD 2=

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

27

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus mb standardhaumllve σc totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σd totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui ke skvaumlaumlrtuse mediaan

Leiame praegu ainult mediaani uumllejaumlaumlnud lahendust v aadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

28

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

e mediaan

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

29

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjelda b valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvauml aumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Proovi kodus ise lahendada kontrolli konspektist lah endust

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

30

Uumlhtlane jaotus

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioon ist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadme tel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 226 5 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mi ngisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum e eldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud m aumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

31

Eelmise naumldala numbrite pakkumise ning suumlnnikuupaumleva viimase numbri kuumlsitluse tulemused

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vaba_numbersuumlnnipaumlevuumlhtlane

32

Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmme etriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotuson suumlmmeetriline siis ilmselt on tema keskvaumlaumlrtus

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

12

20=

+=m

33

Kolmnurkjaotus

Kolmnurkjaotuse ruudu keskvaumlaumlrtus on

ja kolmnurkjaotuse dispersioon ning standardhaumllve on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

12

20)( =

+=xm

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

34

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

35

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

36

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

37

Kodune test sulgub 06032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

4

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

5

Normaaljaotus

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

6

Normaaljaotus

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljao tuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse in tegreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

Siin erf( x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete l ahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2 )exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ

7

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

8

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

normdist(179 1800 07 1) = 0076563726 = 766

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

9

Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash arkussiinusjao tus

10)arcsin(2

)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

10

Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega ming ist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatak se hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetm ise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga j agatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on sel ge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotuse st Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alle s jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

MMM ndash jaotuste summa

11

Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

MMM ndash jaotuste summa

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

12

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustihed use leidmisekskonvolutsiooni integraali

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

13

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peav ad tema motildelemad komponendid olema nullist erinevad

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingim ust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ]10=τ [ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

14

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

0)(01 =rArrlt tyt

tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(102 τττττ

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(213 1

1

1

1

τττ

0)(24 =rArrgt tyt

15

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus o n maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

16

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildel tuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste) summa

jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on li idetavate arv n seda vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid su uruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreem i potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildepli k dispersioon)

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

sum=

=n

iiXX

1

17

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

Kotildeigepealt tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude gene raatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus ( 0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingi must et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid kolmnurkjaotusele eksponentjaotuse le ning parabooljaotusele

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

18

Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on

Kuna F(y) = F(x) siis y2 = x jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

ltlt

=mujal0

102)(

yyyf

)10(1)( 0

0

UxxdxxF xx

===sdot= int

20

2

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

)10(Uxy ==

19

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

1 Genereerime mingist jaotusest suure hulga arve Arv utame suuruse Zn ning teeme Zn esinemissagedusest graafiku tulemus peaks olema sarnane sellele jaotusele endale

2 Genereerime uuesti arvud mingist jaotusest ning arvuta me nendest arvudest n arvu jaoks Zn vaumlaumlrtused Tehes Znesinemissagedusest graafiku naumleme milline on sell e jaotuse narvu aritmeetilise keskmise jaotus

Maumlngime Mathcadi demoga ldquoKeskne piirteoreem_v3mcdrdquo

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro

20

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavat e vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest ja otustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotilde ige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Selle st hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste s ummat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kin nitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

21

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildete viga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti V otildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhusl ikust komponendist

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi o n votildeimalik piisavalt taumlpselt m aumlaumlrata (nt testri null votildeib olla paigast aumlra jms)

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mit te (nt ebataumlpnegradueerimine)

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata

Juhuslikud vead

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel a lati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest t eguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

23

Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xtX juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildette s

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

lim tNN xx =infinrarr

24

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel m aumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsema d kui viimased siis pi = 1N seega

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nime tatakse empiiriliseks dispersiooniks

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

25

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seo seid

kus d on uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildee list dispersiooni otildeigesti kuna suurus σN

2 alahindab dispersiooni Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispers iooni hindamisel suuruse X empiirilist dispersiooni

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ [ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=sum=

26

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

27

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

28

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

29

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

30

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

31

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

32

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

33

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

34

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

35

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

36

Kodune test sulgub 13032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (viimane korraline loeng on 23 mai)

30 mai

13 juuni

Jaumlreleksam

27 juuni

Taumliendav votildeimalus

20112012 kevadsemester

MMM ndash tagasiside

3

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

4

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

5

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

6

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

7

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

8

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

9

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

10

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

11

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistu lemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutu stes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

Kolmekordse standardhaumllbe kriteeriumit ekse leidmiseks o n motildetet kasutada juhul kui motildeotildetmiste arv on vaumlhemalt N = 11

MMM ndash Ekse

12

On totildeestatud et m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus on

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 10

Naumlide Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtus on m(l) = 18045 mm koondm aumlaumlramatus on u(l) = 12789 mm ning vabadusastmete arvon ν = 8

Seega koondm aumlaumlramatuse kolmanda tuumlvinumbri esitamine ei oma mingit motildetet kuna ka teine tuumlvinumber ei pruugi otildeige olla

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu

mm3204

)(

82

)())(( ==

sdotasymp

lululuu

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 10 100 1000 10000

vabadusastmete arv

u(s

)s

ν21)(

asymps

su

14

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on m aumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Uumllal toodud valemist saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt e sitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

2

2

2 )(

2

1

)(22

1)(minus

=asymprArrasymps

su

su

s

s

suν

ν

15

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardm aumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomee tri naumlidu standardm aumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase jaotu se standardm aumlaumlramatus on

Siit saame et temperatuuri m aumlaumlramatuse suhteline m aumlaumlramatus on

ning vabadusastmete arv on

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu

144020

02890)())((

==tu

tuu

( ) 2414402

1 2 == minusν

16

Kui m aumlaumlramatus esitatakse ainult uumlhe tuumlvinumbri taumlpsusega siis votildeib lahutusvotildeimest tingitud vabadusastmete arv olla uumlsna vaumlike

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

1

10

100

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maumlaumlramatuse tuumlvinumber

Vab

adus

astm

ete

arv

17

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

18

Naumlide Keha kineetiline energia on arvutatav valemis t

Eelnevalt on teada et keha mass on 1000 g koondm aumlaumlramatusega 50 g vabadusastmete arvuga 5 ning keha kiirus on 20 0 ms kiiruse koondm aumlaumlramatus on 10 ms ning vabadusastmete arv on 8

Leia keha kineetilise energia koondm aumlaumlramatus ning efektiivne vabadusastmete arv

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

2

2vmE

sdot=

19

Welch-Satterthwaitersquo valem efektiivsete vabadusastme te arvu leidmiseks kehtib kui kotildeik sisendsuurused on laumlhend atavad normaaljaotusega Probleem tekib aga siis kui tahta arvutada liitm aumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu kui A-t uumluumlpi maumlaumlramatus on laumlhendatav normaaljaotusele sest motildeotildetm iste arv on piisavalt suur kuid B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on saadud uumlhtlasest jaotusest

Ideaalse Gaussi puhul oleks 95 usaldusnivool katte teguriks 196 aga uumlhtlase jaotuse puhul 168 Nende uumlhendjaotuse puhul peaks kattetegur jaumlaumlma nende kahe juhu vahele seega ikka vaumliksem kui 196 Studenti testi kattetegur aga laumlheneb vabadusastmete arvu suurenedes normaaljaotusele seega on alati vaumlhemalt 196 Seega kasutades Welch-Satterthwaite valemit uumlhtlase jaotuse ga sisendite puhul hindame katteteguri vaumlaumlrtust veidi uumlle see ag a pole keelatud

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

20

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndash

kattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

21

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

22

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

23

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studentijaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

24

)()( yukyU sdot=

997

95

68

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

25

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

26

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

27

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete

MMM ndash Laiendm aumlaumlramatus

182

183

184

185

186

187

188

28

Tuletame motildeotildetem aumlaumlramatuse valemi kahe sisendsuuruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui e sinevad vaumliksed haumllbed

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 101 2 = 10201

valime x = 10 δx = 01 siis

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

29

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suuru st X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrt used m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetem aumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vasta va Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

30

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

YYY δ+=

( )21 xxYY =

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ= [ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

31

Uumlhendades need kaks valemit saame

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

32

Keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st on votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

seega saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

33

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemu st Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera m ass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepik kus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne n ulliga ningmaumlaumlramatuse valem lihtsustub

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

34

Millised paarid on omavahel sotildeltumatud millised sotilde ltuvad

puude pikkus ndash puude laumlbimotildeotildet

puude pikkus ndash paumlikese kotildergus kraadides

puude laumlbimotildeotildet ndash puude vanus

puude laumlbimotildeotildet ndash maapinna temperatuur

ruumi temperatuur ndash ruumi niiskus

inimese jalanumber ndash pikkus

merevee temperatuur Hurghadas ndash lume paksus Haanjas

MMM ndash Sotildeltumatud ning sotildeltuvad suurused

35

MMM naumldalate plaan

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetem aumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine kontrolltoumloumlks valmistumine

9 KONTROLLTOumlOuml

MMM ndash Jaumlrgmiste naumldalate plaan

36

Kodune test sulgub 20032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis on kattetegur

ndash Milleks Studenti test

ndash Mille jaumlrgi maumlaumlrata jaotuse tuumluumlpi

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

4

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

5

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse m aumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsust ada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

t

sv =

6

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmist e mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit v aumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles m aumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumll djuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetem aumlaumlramatuste hindamist

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

12

1

tt

dssN

t

sv

minus+sdot

==

7

Metoodika ldquoAnemomeetrite kalibreerimine TUuml Katsekojatuuletunneliga ja poumloumlrdnoole-etalonigardquo

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

8

Eelmine loeng tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetem aumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Uumlldistame saadud valemit

Sama valem on summa m aumlrgi all kirja pandav kujul

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltumatute sisendite korral

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

9

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekk ida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liig e on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et m aumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi m aumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitm aumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et t egemist on ebaolulise m aumlaumlramatuse komponendiga Mingi m aumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

10

Kuna liitm aumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide m aumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

kus u(xi) on suvaline m aumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus

Seega kui leida kotildeige suurem m aumlaumlramatuse komponent ning votilderrelda teisi m aumlaumlramatuse komponente sellega siis kui motildeni kompone ndi suurus on votilderreldes kotildeige suurema komponendiga 30 votildei vaumlhem siis on tegemist taumlhtsusetu komponendiga mille votildei b arvutuste lihtsustamise huvides jaumltta arvestamata

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

11

Naumlide 43 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi k otildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulem used

a = 802 mm u(a) = 003 mm ν(a) = 5b = 4253 mm u(b) = 004 mm ν(b) = 6c = 17211 mm u(c) = 005 mm ν(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

12

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on Nsuuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()(

13

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st xkasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsie nt vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei ne gatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa yvarieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

14

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()(

15

Jaumltkame eelmises loengus tuletatud motildeotildetem aumlaumlramatusega kahe sisendsuuruse korral kuid jaumltame aumlra eelduse et tege mist on sotildeltumatute suurustega

Uumlldistatult on maumlaumlramatuse valem N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisand uvad valemisse korrelatsiooni liikmed

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sumsumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu

16

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardm aumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

17

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Lahendus Leiame D standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

18

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sumsum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

19

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

20

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part=sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

21

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

E

A

ECAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

22

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

23

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

24

Motildeningaid naumlpunaumliteid praktikumi aruannete vormistam isest Mathcadis

bull Praktikumi aruande eesm aumlrk on tulemusi arusaadavalt esitadaeesmaumlrgiks peaks olema tulemuste laumlbipaistvus

bull Toumloumld tuleb kommenteerida ndash lugejal ei tohi kuskil te kkida kuumlsimust et ldquomiks siin nii tehtirdquo

bull Kotildeigi motildeotildetmiste mudeli sisendsuuruste motildeotildetem aumlaumlramatused tuleb protokollis esitada

bull Hea toon on esitada kotildeigi motildeotildetmiste mudeli komponen tide osa koondm aumlaumlramatuses

bull Aruanne peaks olema struktureeritud st peaks olema lih tsalt arusaadav kus uumlks arvutus lotildepeb ning teine algab

bull Enne aruande esitamist tuleks see ise laumlbi lugeda ni ng votildeimalusel lasta ka kellelgi teisel see laumlbi lugeda

MMM ndash Praktikumide toumloumlde vormistamine

25

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Kontrolltoumlouml annab 20 aine koondhindest

Eksamile paumlaumlsemiseks peab kontrolltoumloumls saama vaumlhemalt 50 punktidest

Tuleb ka kontrolltoumlouml jaumlreltoumlouml selle aja lepime kokkunaumldal paumlrast kontrolltoumloumld 11 aprillil

Positiivset sooritust uumlmber teha ei saa

Jaumlreltoumloumls saadud punktid korrutatakse laumlbi koefitsiend iga 08(ei kehti potildehjendatud vabandajate kohta)

26

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

27

Kodune test sulgub 27032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis asjad on vabadusastmed mille jaoks neid vaja o n

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

4

MMM ndash Naumlidiskontrolltoumlouml

Kuumlsimused-kommentaarid naumlidiskontrolltoumlouml kohta

5

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadid es Kuna infopaumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos o n jaumlrgmine

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsi enti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17

F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failisbdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

6

Kodune test sulgub 03042011 kell 2355

Seekord saab toumloumld esitada lotildepmatult palju kordi arves se laumlheb parim tulemus

MMM ndash Kodune toumlouml

7

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte pro tsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

Leia

bull koefitsient cbull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1)bull keskvaumlaumlrtusbull mediaanbull standardhaumllvebull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

MMM ndash Harjutusuumllesanded

ltltsdotsdot+

sdot

sdot=

mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

8

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga millekalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia

bull klotsi massi parim hinnangbull klotsi massi A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi B-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi liitm aumlaumlramatusbull klotsi massi vabadusastmete arvbull klotsi massi laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

9

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml pa ksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja ma sside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlg a kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse k eskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondm aumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondm aumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondm aumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

Leia

bull jaumlauml tiheduse parim hinnangbull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatabull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

MMM ndash Harjutusuumllesanded

4

2 HdV

sdotsdot=π

10

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetu d veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm ve ekihi paksuson 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metallj oonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest1 0 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardm aumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

11

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskm iseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna v aheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

αcos2R

IE =

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml aeg

Neljapaumlev 1404 kell 1615 ndash 1800 ruum 410

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 30 mai kell 1215 ndash 1400 ruum 416 30 mai kell 1415 ndash 1600 ruum 160

06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

Statistika

Keskmine hinne 139Standardhaumllve 40Laumlbikukkujaid 17

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

4

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

y = 01834x + 25747R2 = 02161

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80

Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

5

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

FuumluumlsikaKeemiaMaterjaliteadusKeskkonnatehnoloogiaHT

6

1 Kirjuta tiheduse ( ρ = m V) dimensioonvalem

2 Esita ajauumlhik viis naumldalat kilotundides

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

7

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida) ndash hea vastus

Maumlaumlratavad vead ndash nende esinemine on teada ning ka v ea ulatus on maumlaumlratav Naumliteks tekib mingi motildejuri arvestamata jaumltmisel arv utustes votildei aparatuuri skaala nihke totildettu (pole null korrektselt paigas) Kuna saab maumlaumlrata vea ulatuse on votildeimalik kasutada parandeid (naumliteks kasu tatakse enne motildeotildetmist algnaumlidu erinevust nullist hiljem motildeotildetmistulemuse p arandamiseks) (aparatuuri kalibreerimine)

Vead mille olemasolu on teada kuid suurus pole ki ndlalt maumlaumlratav Naumliteks motildeotildeteriistade ja aparatuuri vead Votildeib oumlelda ka et B-tuumluumlpi vead Motildeotildeteriistade vead loetakse uumlhtlase jaotuse alla kaumlivaks ei teat a kui kaugel motildeotildetmistulemusest on totildeeline vaumlaumlrtus kuid teatakse mis piirkonda see votildeiks jaumlaumlda Mida parema lahutusvotildeimega ning vaumliksema potildeh iveaga on aparatuur seda vaumliksem tuleb B-tuumluumlpi maumlaumlramatus Taumlpsem apara tuur vaumlhendab vigu

Vead mille olemasolu ja suurus on teadmata Sellist eks on naumliteks aparatuuri defektid votildei keskkonnaga seotud tegurid mida ei os ata arvestada Aparatuuri defektide avastamiseks kasutada erinevaid aparaate votilderrelda tulemusi alati hoolikalt laumlbi motildeelda et mis tegurid votildeivad tulemu si motildejutada

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

8

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 1

bull Vaumlltida saab siis kui kasutada koguaeg uusi motildeotildeteri istu (sest neilpole vigu teada)

bull Kolmandaks ndash vead mille olemasolus ei saa kindel ol la saab ainulteeldada et nad on olemas Tuleb motildeotildetmisi sooritada mitu korda etjotildeuda totildeelisele vaumlaumlrtusele keskvaumlaumlrtusega votildeimalikult laumlhedale

bull Teadmata vigu saab vaumlltida tehes rohkem motildeotildetmisi keskmistadesjaumlttes vaumllja suured kotildervalekalded keskmisest (eksed)

bull Motildened vead saab kaotada kui teha suurem arv motildeotildetmisi Kasutada toumloumltavaid motildeotildetevahendeid Motildeotildetmised sooritada selle ks sobilikus keskkonnas (motildettetu on motildeotildeta tuulekiirust tormi ajal kui motildeotildeteriist asub kinnises ruumis)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

9

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 2

bull Suumlstemaatilised vead on vead mis esinevad pidevalt ja nende olemasolust ollakse teadlikud

bull Vigade vaumlltimiseks tuleb kasutada votildeimalikult palju mehhaniseeritud ja digitaliseeritud motildeotildeteriistu

bull Suumlstemaatilised vead jaotatakse potildehiviga ja suhtel ine viga Potildehiviga on antud motildeotildeteriistaga motildeotildetmisel tehtud viga see o leneb motildeotildeteriista motildeotildete taumlpsusest Suhteline viga on motildeotildetj a enda poolt tehtud viga votildei viga mille potildehjustasid mingisuguse d vaumllised jotildeud naumliteks m uumlra segas helikiiruse motildeotildetmist Suhteline viga votildeib olla ka ldquonaumlpuvigardquo ndash vajutasi d kalkulaatorilvalet klahvi votildei unustasid uumlhikud teisendamata

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

10

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt 3 ning x gt 4 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [3 4] kirjeldab se da ruutfunktsioon f(x) = cx2 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [3 4] c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (35 7)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

11

5 Praktikumis motildeotildedeti laua pikkust 5 korda ning saadi jaumlrgmised vaumlaumlrtused l = 1544 1546 1543 1543 1544 mm Kasutatava motildeotildedulindi potildehiviga on 1 mm Leia

a laua pikkuse hinnangb laua pikkuse hinnangu A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusc laua pikkuse hinnangu B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus c laua pikkuse hinnangu liitm aumlaumlramatus

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

12

6 Kehamassi indeks BMI on defineeritud kui kehakaal M jagatud pikkuse l ruuduga 10 tudengi motildeotildetmistulemustest saadi jaumlrgmised keskvaumlaumlrtuse koondm aumlaumlramatuse ning vabadusastmete arvu tulemused m(M) = 72 kg u(M) = 8 kg υ(M) = 34 m(l) = 172 cm u(l) = 9 cm υ(l) = 70 Korrelatsioon tudengite kehakaalu ning pikkuse vahel oli r(M l) = 077 Leia

a Kehamassi indeksi BMI parim hinnangb BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatac BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

13

Arktika kliima statistiline analuumluuml sToumlouml seisneb ERA-40 jaumlrelanaluumluumlsi mudeli 44 aasta and mebaasi temperatuuri ning niiskuse vertikaalsete profiilide sta tistilisel analuumluumlsil Arktikas Toumlouml eesm aumlrk on otildeppida kasutama programmi GrADS ning tutvuda andmeanaluumluumlsi lihtsamate meetoditeg a

Toumlouml jaumltkuks magistrantuuris suuremate globaalsete ilmam udelite andmete valideerimisega Arktikas kasutades votilderdluseks 2007 aastal laumlbi Arktika triivinud laeval TARA tehtud motildeotildetmisi

Juhendaja Erko Jakobson

MMM ndash Vaba bakalaureuse teema

14

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml viimase versiooni esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-failina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

15

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

16

Koduseks toumloumlks on grupi moodustamine ning grupitoumlouml tee ma vaumlljamotildetlemine kuid punkte selle eest ei saa

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml tulemused keskmine tulemus oli uumlsna hea maksimumpunkte ei tulnud kuid laumlbikukkujaid oli ka ainult uumlks Esines ka motildeningaid tuumluumlpvigasid mis vajavad selgit amist

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt ndash1 ning x gt 1 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [ndash1 1] kirjeldab s eda funktsioon f(x) = cx4 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [1 2] (motildeeldud oli vahemik [ndash1 1])c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (0 15)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

4

6 6 Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgmise d keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Korrelatsioon 2 m ja 10 m tuule kiiruste vahel oli r(v2 v10) = 078

Parameeter ZZ on defineeritud kui 2 m ning 10 m tuule kiiruste korrutis

Leia a Parameetri ZZ parim hinnang (05p)b Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata (2p)c Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades (2p)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

5

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml VIIMASE VERSIOONI esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-f ailina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

6

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

7

Vaatame konspektis uumlle teema ldquoMaumlaumlramatuse allikadrdquo

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

8

59 Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod)

Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks on sobiv kasutada kaalutud keskmist

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10

)(1

2j

j yug =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

9

Naumlide Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgm ised keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Leia 2 m ja 10 m tuule kiiruse kaalutud keskmine nin g vastav standardm aumlaumlramatus

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

10

Naumlide Rahvusvahelise votilderdlusmotildeotildetmise kaumligus on 10 er inevat laborit kalibreerinud uumlhte ja sama motildeotildetevahendit samades motildeotilde tepunktides ning sarnastel keskkonnatingimustel Kalibreerimispara ndid koos laiendm aumlaumlramatustega usaldusnivool 95 on toodud allolevas tabelis Mis tuleks votildetta kalibreerimisparandi parimaks hinnanguks ning selle laiendm aumlaumlramatuseks milliste laborite motildeotildetetulemused lugeda korrektseteks ning millised ebakorrektseteks

Labor parand Laiendmaumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

11

Labor parand Laiendm aumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

Keskmine 0266Standardhaumllve 0049

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

12

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

aritm keskm

aritm keskm - 2stdev

aritmkeskm + 2stdev

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

Kaal keskm

Kaal keskm - U

Kaal keskm + U

14

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed Kaal keskm

Kaal keskm2 Kaal keskm2 - U2

Kaal keskm2 + U2

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

15

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderd lusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elek tronkaalugaMotildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitm aumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitm aumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

16

Naumlide 51

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

17

Kodune test sulgub 24042011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

OtildeIS tagasiside

ldquoStatistika puudub (Otildepetamise ja ainekursuste hindami se periood 0205201122052011 statistika naumlhtav alates 2 8062011)rdquo

Koduse testi analuumluumls

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedudbull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihidbull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takis tussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid)3 motildeotildetemuundurid4 abimotildeotildetevahendid5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonnabull motildeotildetediapasoonibull tundlikkusebull motildeotildetevea jne

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis m aumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samu ti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteli ikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga ∆0

2 Suhtpotildehiviga δ0

3 Taandpotildehiviga γ0

4 Konstandid e ja f

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

6

1 Absoluutpotildehiviga ∆0 Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel Absol uutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotilde detav suurus satub intervalli (ndash ∆0 ∆0) Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

7

2 Suhtpotildehiviga

Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vauml aumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritol u seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena K ЛACC

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100oo

naumlitx

∆=δ

8

3 Taandpotildehiviga

Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on ka ntud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100norm

oo x

∆=γ

9

4 Konstandid e ja f kujul ef taandpotildehivea arvutamiseks valemist

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildete riista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lu geda mis veaga on tegemist

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

10

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasuta takse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade pu hul kotildeige levinum

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi abso luutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha k aks uumlhikut

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

D2rdg 250 +=Taumlpsus

11

Loe ise konspektist lk 120 ndash 126

MMM ndash Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

12

MMM ndash Pendli naumlide

13

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

14

Kodune test sulgub 01052011 kell 2355

Tegemist on viimase koduse testiga

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Loengute ajakava

9 mai ndash Kuumllaline Metroserdist eksami uumllesehituse tut vustamine grupitoumloumlde esitamine

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

Taumlnase loengu uumllesehitus

1 Kodune test tagasiside

2 Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

3 Grupitoumloumld uumlldine tagasiside

4 Grupitoumloumlde esitamine

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildedulindi taumlpsus

ldquoThe precision of our rules is within 02mmm (conform to ECII)rdquo

Kui joonlaudadel votildei motildeotildedulintidel pole taumlpsusklass i antud siis parema puudumisel tulekski eeldada et need vastavad ECII standardile

Motildeotildetes 30 m pika motildeotildedulindiga 24 m pikkust koridori on motildeotildedulindi veaks 48 mm motildeotildetes sama lindiga 30 cm pikkust pab erilehte on motildeotildedulindi veaks 006 mm

Kes leiab ja postitab esimesena foorumisse ECI ja E CIII klassi motildeotildedulindi taumlpsushinnangu viite saab preemiapunkte

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Senini oleme laumlhtunud olukorrast kus olemasolevatest andmetest laumlhtuvalt tuleb hinnata motildeotildetem aumlaumlramatust

Poumloumlrduumllesanne oleks selline kus antakse ette soovit ud motildeotildetem aumlaumlramatus ning sellest laumlhtuvalt planeeritakse milli ste motildeotildetevahenditega motildeotildeta ning mitu kordusmotildeotildetmist soori tada

motildeotildetmiste_planeeriminemcd

MMM ndash Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

6

bull Grupp 18 Kitarri haumlaumllestamine

bull Grupp 14 CD andmerajad

bull Grupp 1 Kaumlekoti rotildehk otildelale

bull Grupp 5 Kopsumaht

bull Grupp 24 Lift

bull Grupp 11 Emajotildee temperatuur

bull Grupp 4 Aumlmbri mahutavus

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

AS Metrosert teadus- ja arendusdivisjoni juht Toomas Kuuml barsepp

MMM ndash kuumllaline

3

Loengute ajakava

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

4

MMM ndash maumlaumlramatuse vaumlhendamise nipp

5

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

6

Naumlidiseksam on Moodles uumlleval Viimane uumllesanne tule b uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

Koduste testide tagasiside

Maumlrkus 100 motildeotildetmise praktikumi toumlouml kohta

MMM ndash Naumlidiseksam

7

bull Grupp 19 Koridori pindala

bull Grupp 6 Patareide mahutavus

bull Grupp 9 OtildeIS uumlleslaadimise aeg

bull Grupp 15 Kuumluumlnlad

bull Grupp 10 Ajataju test

bull Grupp 22 NaHCO3 lahustumine

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

1 eksamist

2 grupitoumloumlde laumlbivaatamine

3 tuumlnni uumllesanne

4 tagasisides esitatud kuumlsimused

5 konsultatsioon

MMM ndash Loengu uumllesehitus

3

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

Erandkorras saab eksamit teha juba teisipaumleval 2405 kell 1015 ndash 1200 ruumis 207

Naumlidiseksami 2 varianti on Moodles uumlleval Viimane uumll esanne tuleb uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

MMM ndash Tagasiside

4

Toumloumlde esitamisel votildeiks faili nimi olla votildeimalikult informatiivne

bull millega on tegu motildeistetavalt nii toumlouml esitaja kui ka vastuvotildetja jaoks

bull jaumlrjekorra number et oleks uumlheselt aru saada milline on viimane versioon

MMM ndash Grupitoumloumld

5

bull Grupp 27 Porgandbull Grupp 28 Plaumlhviga pikkusbull Grupp 21 Korruse kotildergusbull Grupp 13 Soolalahuse tihedusbull Grupp 12 Raha pindtihedusbull Grupp 26 Inimkotilderva tundlikkusbull Grupp 07 Rosinadbull Grupp 08 Kaltsiumkloriidi moolide arvbull Grupp 23 Fuajee pikkusbull Grupp 30 Laua pindala prillidegabull Grupp 16 Pulss ja hinge kinnihoidminebull Grupp 02 Kaumlelaba pikkusbull Grupp 03 Riisitera motildeotildetminebull Grupp 20 Laibameetodbull Grupp 25 Piima massbull Grupp 17 Snikers

MMM ndash Grupitoumloumld

6

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

7

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kuidas arvutada vabadusastmeid WelchndashSatterthwaitei valemiga kui motildeni m aumlaumlramatuse komponent sisaldab korrelatsioonikordajat Oma toumloumls jaumltsin selle liikme lihtsalt arvestamata kuid pole kindel kas see on otildeigustatud (konspektis on mainitud ainult seda et sisendsuurused peavad olema sotildeltumatud jaumlrelikult oleks pidanud ka korreleeruvad sisendsuurused vabadusastmete arvutamisel aumlra jaumltma)

kuidas arvestada regressioonisirge totildeusu ja vabaliikm e maumlaumlramatuste arvutamisel motildeotildetevahendist tingitud B-tuuml uumlpi maumlaumlramatusi Totildeenaumlosusteooria ja statistika konspekti s on kirjas standardhaumllbe arvutamise valemid ning need standardhaumll bed on maumlaumlramatuse arvutamisel laumlbi korrutatud Studenti t-kordaj aga See nagu viitaks sellele et arvutatud standardhaumllve (A- tuumluumlpi maumlaumlramatus) on votildeetud votilderdseks liitm aumlaumlramatusega ning B-maumlaumlramatus on arvestamata jaumletud

MMM ndash Tagasiside

88

Estimation of intercept and slope (KampF p63)

We donrsquot prove that coefficients a and bare as follows

n

ss

ns

D

yxyxnb

D

xyxxya

xxnD

aver

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iii

=

minus=

sdotminussdot

=

sdotsdotminussdot

=

minussdot=

sum

sum sum sum

sum sum sum sum

sum sum

=

= = =

= = = =

= =

21

2

1 1 1

1 1 1 1

2

1

2

1

2

ε

y = -00004x + 09376Rsup2 = 05902

074

076

078

080

082

084

086

088

090

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Korrelatsioon r

Jaamade vaheline kaugus (km)

Sadestatava vee W korrelatsioon sotildeltuvalt jaamade vaheliselt kaugusest r

D

nss

D

xss

b

n

ii

a

sdot=

sdot=sum=1

2

9

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kui vaumlljundsuuruse arvutamisel on kasutatud mingi ka he korreleeruva sisendsuuruse alusel koostatud regressioon isirge totildeusu siis kas vaumlljundsuuruse vabadusastmete arvutamisel votilde ib totildeusu maumlaumlramatuse komponendi vabadusastmete arvuks votildetta ne nde sisendsuuruste motildeotildetmiste arvu miinus kaks (st kui vas tavate sisendsuuruste motildeotildetmiste arv on N siis regressioonisirg e totildeusu maumlaumlramatuse komponent jagatakse W -S valemis laumlbi (N-2)ga)

konspekti lotildepus on toodud naumlide kaalutud keskmiste arvutamisest Kas sama suuruse erinevate m aumlaumlramatuste kattumise votilderdlemisel arvestatakse vaid nende standardm aumlaumlramatusi

kas vaumlljundsuuruse m aumlaumlramatust (arvutatakse osatuletiste ja asjadega) nimetatakse B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuseks

MMM ndash Tagasiside

10

Kuumlsige kotildeige kohta mis on jaumlaumlnud segaseks eksamil kuumlsin juba mina

MMM ndash Konsultatsioon

5

Sissejuhatus

Aine sissejuhatus

Motildeotildetmine on olnud maailma infrastruktuuri uumlks oluline osa juba iidsetest aegadest alates Kotildeik teaduse tehnika kaubanduse riikliku kontrolli jne vallas tehtud jaumlreldused ja otsused tuginevad andmetele mis on saadud motildeotildetmiste potildehjal Otildeigete otsuste langetamiseks peavad motildeotildetetulemused olema piisavalt usaldusvaumlaumlrsed Eriti oluline on see valdkondades mis puudutavad tervishoidu ja keskkonnakaitset Naumliteks elukeskkonda saastavate radioaktiivsete ainete toiduainetes kahjulike pestitsiidide ning haigusi ja epideemiaid tekitavate bakterite ja viiruste sisalduse maumlaumlramise ja kontsentratsiooni motildeotildetmise ebataumlpsed tulemused votildeivad potildehjustada vaumlga totildesiseid tagajaumlrgi

Motildeotildetetulemuse usaldatavuse totildestmise huvides tuleks motildeotildetmine laumlbi viia kompetentses laboris kus kasutatakse kalibreeritud motildeotildetevahendeid ja aktsepteeritud motildeotildetemeetodeid Motildeotildetesuurus peab seejuures olema tellija ja taumlitja omavahelise kokkuleppega eelnevalt taumlpselt maumlaumlratletud ning saadav motildeotildetetulemus koos maumlaumlramatusega tuleb esitada uumlldtunnustatud motildeotildetuumlhikutes

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menetluste kogum mille eesmaumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmist nimetatakse metroloogiaks

Kotildervalseisjale paistab motildeotildetmine votilderdlemisi lihtsa toiminguna eriti veel siis kui see teostatakse taumlpselt kindlaksmaumlaumlratud motildeotildeteprotseduuri kohaselt Probleemid tekivad aga tavaliselt siis kui on vaja hinnata saadud motildeotildetetulemuse usaldatavust

Kursuse eesmaumlrgiks on tutvustada motildeotildetmisteooria aluseid otildepetada uumlliotildepilast motildeotildetma fuumluumlsikalisi suurusi hindama motildeotildetmistulemuse usaldatavust samuti tutvustada katsetulemuste toumloumltlemise aluseid

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane

1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid

2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavaid jaotusseaduseid

3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamise paremaid praktikaid

4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmete motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste ning muude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust ning selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ning oskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mudelit ning seda rakendada

6

Hindamismeetodid

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam Kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) annavad 10 test (otildepivaumlljundid 1 2 4) annab 20 grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) 10 ning eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) 60 koondhindest Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse ossa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlstitust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele hindele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile (A = gt90 jne)

Potildehikirjandus

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements (Les Kirkup Bob Frenkel 2006 Cambridge University Press)

MMM esialgne loenguplaan 2011 kevad

1 Sissejuhatus aine tutvustus loengukursuse uumllesehitus ning tutvustus

2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusnaumlited

3 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seosed Motildeotildetmisteooria laumlhted Motildeotildetmise potildehivaumlide Juhuslike suuruste jaotusseadused Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Keskvaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtuse omadusi Keskmiste kasutamisest Dispersioon ja ruuthaumllve

4 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaotusseadused Uumlhtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus Arkussiinusjaotus Juhuslike jaotuste summa Kahe jaotuse summa jaotus Keskne piirteoreem

5 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus Suumlstemaatilised vead Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistiline hinnang Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Motildeotildetemaumlaumlramatus A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus Liitmaumlaumlramatus

6 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatuse arvutamisel Ekse Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlramatus Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupitoumloumlde planeerimine

7

11 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimine Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus Motildeotildetevahendi taumlpsus Stabiilsus ja triiv Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

12 Maumlaumlramatuse allikad Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatus Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatus Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus Motildeotildeteobjektust tulenev maumlaumlramatus

13 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid Kalibreerimine ja justeerimine Tuumluumlbikinnitus Taatlus

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus jne

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisaldavad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdamine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte arvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaator ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendimatriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehed on arvutamiseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnata

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetemaumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuajee pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grupitoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

Moodle

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loomine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumlde esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

Tagasiside

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengus uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt selleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimaluste piires arvesse votildetta

8

1 Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikud motildeotildetuumlhikute vahelised seos ed

11 Motildeotildedetavad suurused

Inimteadvuse tunnetuse objektiks on meid uumlmbritseva maailma esemed ained ja naumlhtused ning nende omadused Nii votildeib selleks olla meid uumlmbritsev ruum mille omaduseks on tema ulatus Viimast votildeib iseloomustada mitmel viisil ning uumlheks ruumi ulatust iseloomustavaks suuruseks on pikkus Samal ajal on reaalse fuumluumlsikalise ruumi ulatus uumlsna keeruline omadus mida ei saa motildene juhu jaoks piisavalt iseloomustada ainult pikkusega Ruumi taumlielikumaks kirjeldamiseks vaadeldakse tema ulatust kas mitmes suunas (koordinaadis) votildei kasutatakse lisaks pikkusele veel niisuguseid suurusi nagu nurk pindala maht jne Seega votildeib ruumi iseloomustada mitme suuruse jaumlrgi

Igasugused suumlndmused ja naumlhtused reaalses maailmas ei toimu teatavasti silmapilkselt Nende toimumise kestus on omadus mis erineb kvalitatiivselt ruumi ulatusest ning seda iseloomustatakse suurusega aeg

Fuumluumlsikast on teada et keha seisab paigal votildei liigub uumlhtlaselt ja sirgjooneliselt kui puudub temale motildejuv vaumllisjotildeud Seda keha omadust nimetatakse inertsiks ning teda iseloomustavaks suuruseks on mass

Aine votildei keha paljud omadused sotildeltuvad suurel maumlaumlral tema kuumutusastmest mida votildeib iseloomustada molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega Praktikas kasutatakse aga aine votildei keha kuumutatud oleku iseloomustamiseks suurust termoduumlnaamiline temperatuur

Seega suurused iseloomustavad meid uumlmbritseva keskkonna esemeid aineid naumlhtusi ja protsesse ning nende omadusi

Uumllaltoodust tuleneb ka suuruse definitsioon

Suurus on naumlhtuse keha votildei aine oluline omadus mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt uumlheselt maumlaumlrata

Esitatud motildeiste suurus votildeib taumlhendada

1 suurust uumlldiselt st fuumluumlsikalist suurust nagu

pikkus mass temperatuur takistus ainehulga kontsentratsioon jne

2 votildei mingit konkreetset suurust nagu

teatud varda pikkus teatud keha mass teatud keha temperatuur antud tingimustel antud traadi elektriline takistus etanooli ainehulga kontsentratsioon mingis kindlas veinis jne

Olenevalt puumlstitatud uumllesandest valitakse suumlsteemi votildei objekti (keha) paljude omaduste hulgast tihti see mis on kotildeige olulisem Nii naumliteks laumlhtutakse mingi objekti kosmosesse lennutamiseks vajaliku energia arvutamisel esmajaumlrjekorras selle objekti massist sest antud uumllesande puhul on just see suurus kotildeige maumlaumlravam

Suurusi mida saab uumlksteise suhtes jaumlrjestada kvantitatiivse kasvu alusel nimetatakse sama liiki suurusteks Samaliigilisteks suurusteks on naumliteks toumlouml soojus ja energia ning pikkuse valdkonnas pikkus laius paksus ja uumlmbermotildeotildet

9

Galileo Galilei on oumlelnud Motildeotildeda mis on motildeotildedetav ja tee motildeotildedetavaks see mis ei ole veel motildeotildedetav Sellesse lakoonilisse lausesse on siirdatud idee motildeotildetmise ennetavast taumlhtsusest kaasaegsetes uuringutes

Motildeotildetmise objektiks olevat konkreetset suurust nimetatakse motildeotildetesuuruseks Votildeib kasutada ka motildeistet motildeotildedetav suurus Naumliteks motildeotildetesuuruseks on konkreetse veeproovi veeauru rotildehk 20 degC juures Ristkuumlliku pindala motildeotildetmisel on motildeotildetesuuruseks pindala mille motildeotildetetulemus saadakse suuruste pikkus ja laius motildeotildetmise potildehjal

Esimene samm motildeotildetmise sooritamisel on motildeotildetesuuruse taumlpne kindlaksmaumlaumlramine ehk defineerimine tema kirjeldamise teel Praktikas sotildeltub motildeotildetesuuruse defineerimise viis ja taumliuslikkus vajalikust motildeotildetetaumlpsusest Motildeotildetesuurus peab olema defineeritud iga konkreetse motildeotildetmisega seotud praktilise eesmaumlrgi jaoks niivotilderd uumlksikasjalikult et motildeotildetesuurusel oleks uumlhene vaumlaumlrtus

Naumlide 11 Kalapeol lubatakse et kotildeige suurema kala puumluumldja auhinnaks on selle kala suuruse jagu kulda Siin pole aga maumlrgitud kas motildeeldakse selle kala massi votildei ruumala Arvestades et erinevus on ligi 20 kordne tuleks kasutada korrektsemat definitsiooni

Motildeotildetesuuruse maumlaumlratlus votildeib vajaduse korral sisaldada ka notildeudeid teiste motildeotildetesuuruste kohta Naumliteks pikkusotsmotildeotildedu pikkuse defineerimisel osutub vajalikuks ka motildeotildeteobjekti ja keskkonna temperatuuri aga ka rotildehu niiskuse jms vaumlaumlrtuste vahemiku maumlaumlramine mille puhul see pikkus kehtib

Motildeotildetesuuruse puudulik defineerimine annab alati motildeotildetetulemuse maumlaumlramatusse lisakomponendi mis votildeib notildeutava motildeotildetetaumlpsusega votilderreldes sageli kuumlllaltki oluliseks osutuda

12 Potildehi- ja tuletatud suurused

Loodusnaumlhtuste kirjeldamisel kasutatakse mitmeid suurusi nagu pikkus aeg kiirus kiirendus jotildeud jne Fuumluumlsikavalemid vaumlljendavad seoseid nende suuruste vahel Selgub et enamasti on votildeimalik mingit suurust vaumlljendada teiste suuruste kaudu mille vahel ei valitse otsest omavahelist seost Neid suurusi nimetataksegi potildehisuurusteks (ka baassuurusteks) Seega potildehisuurus on uumlks suurustest mida mingis suuruste suumlsteemis kaumlsitletakse leppeliselt uumlksteisest sotildeltumatuna

Potildehisuurusteks loetavate suuruste valik on teoreetiliselt meelevaldne kuid piiratud praktiliste kaalutlustega Potildehisuurusi kasutades saame nende kaudu tuletada teisi nn tuletatud suurusi Tuletatud suurus on seega niisugune suurus mis on mingis suuruste suumlsteemis defineeritud suumlsteemi potildehisuuruste funktsioonina Naumliteks suuruste suumlsteemis mille potildehisuurusteks on pikkus mass ja aeg on keha liikumise kiirus tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud pikkuse ja ajavahemiku jagatisena st funktsiooniga

v = lt (11)

kus v ndash keha liikumise kiirus l ndash teepikkus ja t ndash keha poolt teepikkuse laumlbimiseks kulunud ajavahemik

Kehale motildejuv jotildeud on samuti tuletatud suurus mis on maumlaumlratletud keha massi ja kiirenduse korrutisena st funktsiooniga

F = ma (12)

10

kus F ndash jotildeud m ndash keha mass ja a ndash jotildeu F motildejust tingitud keha kiirendus

Mistahes tuletatud suuruse mingis suumlsteemis saame seega avaldada potildehisuuruste kaudu jaumlrgmise uumlldistatud valemi abil

prod=

=n

ii

iAQ1

αξ (13)

kus Q ndash tuletatud suurus ξ [hii] ndashtegur Ai ndash potildehisuurus ja αi ndash positiivne votildei negatiivne taumlis- votildei murdarv

Potildehisuuruse Ai all votildeivad esitatud valemis (13) figureerida ka juba eelnevalt leitud tuletatud suurused Naumliteks sotildeltuvuses F = ma (vt valem (12)) on mass potildehisuurus kiirendus aga tuletatud suurus

Praktikas kasutatakse valemi (13) asemel ka suurustele kohaselt valitud uumlhikute vaumlaumlrtustevahelisi seoseid Tegurid nendes valemites sotildeltuvad siis juba valitud uumlhikutest

Selleks et paremini ja seostatult iseloomustada erinevates valdkondades objekte aineid naumlhtusi ja nende omadusi iseloomustavaid suurusi ning lihtsustada nendevahelisi seoseid on suurused kokkuleppeliselt grupeeritud vastavatesse suuruste suumlsteemidesse Seega on suuruste suumlsteem kogum omavaheliste sotildeltuvustega maumlaumlratletud suurusi Suuruste suumlsteemi taumlhistamiseks kasutatakse uumlldiselt potildehisuuruste ladinakeelsete nimetuste esitaumlhti

Mehaanikas kuuluvad potildehisuuruste hulka pikkus mass ja aeg ning need maumlrgitakse uumlldistatult taumlhtedega L (ladk longitudo ndash pikkus) M (ladk massa ndash mass) ja T (ladk tempus ndash aeg) Selle jaumlrgi tuleb suuruste suumlsteemi taumlhiseks LMT

Suumlsteem taumlhisega LMT1θNJ on aga kogum potildehi- ja tuletatud suurustest milles potildehisuurused on pikkus ndash L mass ndash M aeg ndash T elektrivoolu tugevus ndash I termoduumlnaamiline temperatuur ndash θ aine hulk ndash N ja valgustugevus ndash J

Suurusi taumlhistatakse ladina votildei kreeka taumlhestiku taumlhtedega Taumlhis on alati uumlhetaumlheline Vajaduse korral eristatakse suurusi indeksitega mis votildeivad ka viidata objektidele mis pole suurused Suuruse taumlhised kirjutatakse alati kaldkirjas

13 Suuruse dimensioon

Taumlhistades valitud suuruste suumlsteemis potildehisuurusi ladina taumlhestiku jaumlrjestikuste suurte taumlhtedega ja kasutades tuletatud suuruste saamiseks uumlldistatud valemit (13) milles tegur ξ =1 on votildeetud votilderdseks uumlhega saame maumlaumlrata mistahes tuletatud suuruse dimensiooni valemiga

dimQ = Aα Bβ Cγ (14)

kus A B C ndash potildehisuuruste A B C dimensioonid ja αβ γ ndash dimensioonide astmenaumlitajad mis on positiivsed votildei negatiivsed ratsionaalarvud (taumlis- votildei murdarvud)

Naumliteks LMT suumlsteemis saab tuletatud suuruse dimensiooni maumlaumlrata jaumlrgmise valemiga

dimQ = Lα Mβ Tγ (15)

11

kus L M T - taumlhised mis taumlhistavad potildehisuuruste pikkus mass ja aeg dimensioone ja α β γ ndash

dimensioonide astmenaumlitajad

Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt taumlhistatakse suuruse Q dimensioon taumlhisega dim Q Seega suuruse dimensioon on avaldis mis vaumlljendab suumlsteemi kuuluvat suurust selle suumlsteemi potildehisuurusi taumlhistavate tegurite astmete korrutisena

Kui tuletatud suurus valemis (14) ei sotildeltu motildenest kotildenealloleva suuruste suumlsteemi potildehisuurusest siis oumleldakse et selle tuletatud suuruse dimensioon sotildeltumatu potildehisuuruse suhtes on uumlks Votildeib ka juhtuda et tuletatud suurus ei sotildeltu uumlhestki valitud suuruste suumlsteemi potildehisuurusest Niisugust tuletatud suurust nimetatakse antud suuruste suumlsteemis suuruseks dimensiooniga uumlks Kasutatakse ka motildeistet dimensioonita suurus mis viitab dimensiooni astmenaumlitajale null

Suuruse dimensioon on palju uumlldisem motildeiste kui naumlhtub seda suurust iseloomustavast uumlldistatud valemist (14) Nii votildeivad uumlhte ja sama dimensiooni omada erinevad suurused milledel on erinev omaduslik kuumllg ja ka erinev suurustevaheline seos Naumliteks jotildeu F poolt tehtud toumlouml mis on maumlaumlratud valemiga

W = F l (16)

kus W ndash toumlouml F ndash jotildeud ja l ndash teepikkus

ja liikuva keha kineetiline energia mis maumlaumlratud valemiga

E = mv2 2 (17)

kus E ndash kineetiline energia m ndash keha mass ja v ndash keha kiirus omavad uumlhesugust dimensiooni st dimW = dimE = L2MT-2

Dimensioonidega votildeib teha matemaatilisi tehteid korrutamine jagamine astendamine ja juurimine Seevastu dimensioonide liitmine ja lahutamine ei oma motildetet Potildehisuuruse astmenaumlitaja enda suhtes on votilderdne uumlhega

Potildehi- ja tuletatud suuruste dimensioonide kogum antud suumlsteemis moodustab dimensioonisuumlsteemi mille baasiks on potildehisuuruste dimensioonid Seega on tuletatud suuruse Q dimensioon suuruste suumlsteemis LMTIθNJ uumlldiselt maumlaumlratav seosest

dimQ = LαMβTγIδθεNζJη (18)

Naumliteks jotildeu F dimensioon suumlsteemis LMTIθNJ on dimF = LMT-2 Suuruse dimensioon oleneb valitud suuruste suumlsteemist Naumliteks ε0 ndash vaakumi dielektriline laumlbitavus absoluutses elektrostaatilises suuruste suumlsteemis on dimensiooniga uumlks aga suumlsteemis LMTIθNJ on tal dimensioon dimε0 = L-3M-1T4I2

Eelpoolkirjeldatu potildehjal tekib ka kuumlsimus kas tuletatud suuruse dimensiooni votildeib alati kaumlsitleda kui selle suuruse valemi (14) kohast potildehisuurustest sotildeltuvuse vaumlljendit olenemata sellest missuguseid seadusi kasutati vaadeldava seose avaldamiseks

Kui iga tuletatud suuruse maumlaumlratlus seostaks teda vahetult potildehisuurustega siis votildeib puumlstitatud kuumlsimusele vastata jaatavalt Kuid enamasti niisugune vahetu seos puudub ning potildehi-ja tuletatud suuruste vahel on terve ahel (sageli on see vaumlga pikk) vahepealseid suuruste maumlaumlratlusi Naumliteks on rotildehk maumlaumlratud jotildeuga mis motildejub uumlhele pinnauumlhikule Jotildeud on omakorda vaumlljendatud massi ja kiirenduse korrutisena (vt valem (12)) pindala aga kahe joonsuuruse (pikkuse) korrutisena

12

kiirendus on kiiruse tuletis aja jaumlrgi ning kiirus omakorda paigutuse tuletis aja jaumlrgi Seda ahelat votildeib antud juhul vaumlljendada jaumlrgmise dimensioonide reaga

dimp = dimF dimA-1 = M dima L-2 = M dimv T-1 L-2 =

= MLT -1 T-1 L-2= L-1MT-2 (19)

Seega rotildehu dimensioonivalem omandas kuju mille jaumlrgi on raske naumlha seost potildehisuurustega Vaevalt otildennestub leida ratsionaalset seletust sellele et niisuguste staatiliste suuruste nagu mehaanikas kasutatava pinge dimensioonis on aja dimensiooni ruut Seega kui defineeritakse vahepealseid suurusi votildeib tuletatud suuruse dimensiooni moodustamisel astmenaumlitajate liitmise ja lahutamise teel valem (14) lotildepuks votildetta hoopis kummalise kuju

Toome naumliteks elektrilise mahtuvuse dimensiooni dim C = L-2 M-1 T4 I2

Dimensioonivalemite piiratud sisust kotildeneleb ka see asjaolu et mitmel juhul on erisugustel suurustel uumlhesugune dimensioon Seda ei tohi mingil juhul totildelgendada niimoodi et neil on uumlhesugune fuumluumlsikaline olemus Eriti kaumlib see nende suuruste kohta mis ei oma dimensiooni Naumliteks votildeiks tuua niisugused suurused nagu tasanurk ruuminurk hotildeotilderdetegur suhteline pikenemine Machi arv murdumisnaumlitaja moolosa (ainehulga osa) ja massiosa Motildenel erijuhul votildeimaldab dimensioonivalemite uumlhtelangemine oletada seost eri suuruste vahel votildei nende allumist uumlldistele seaduspaumlrasustele

Nii naumliteks rotildehu ja energia ruumtiheduse dimensioonide uumlhtelangemine peegeldub faktis et ideaalgaasi rotildehk on votilderdeline tema molekulide kulgeva liikumise energia ruumtihedusega Niisuguseid naumliteid on siiski vaumlhe ja seega votildeib vaumlita et enamasti ei anna dimensioonivalem ilmekat kujutlust vaadeldava suuruse seosest teiste suurustega eriti potildehisuurustega

Dimensioonivalemi muutumatus antud suumlsteemi piires notildeuab et iga erinevaid suurusi seostava votilderduse vasema ja parema osa dimensioonid oleksid uumlhesugused Seepaumlrast on vaja tuletatud suuruse jaoks saadud valemi puhul kui see vaumlljendab meid huvitavate suuruste sotildeltuvust teistest suurustest kontrollida vasema ja parema osa dimensioonide uumlhtelangemist Kui dimensioonid ei uumlhti on tuletamisel paumlris kindlasti tehtud viga ning votilderdus ei kehti Kuid motildeistagi ei taga dimensioonide uumlhtivus veel saadud votilderrandi otildeigsust

Kokkuvotildettes votildeib oumlelda et dimensioon iseloomustab suurust kvalitatiivselt Ta iseloomustab tuletatud suuruse seost potildehisuurustega ja sotildeltub nende valikust Nagu maumlrkis Max Planck kuumlsimus meelevaldse suuruse totildeelisest dimensioonist ei oma rohkem motildetet kui kuumlsimus mistahes eseme totildeelisest nimetusest Sellest tulenevalt ei leia dimensioonivalemi analuumluumls humanitaarteadustes kunstis spordis kvaliteedihinnangutes jms kus potildehisuuruste nomenklatuur ei ole maumlaumlratletud veel efektiivset kasutamist

14 Motildeotildetuumlhikud ja nende suumlsteemid

Motildeotildetmiste juures on vaumlga oluline motildeotildetuumlhiku valik Potildehimotildetteliselt votildeiks uumlhikuks valida uumlkskotildeik millise sama liiki fuumluumlsikalise suuruse vaumlaumlrtuse ja seejaumlrel motildeotildeta mitu korda on motildeotildedetav objekt meie uumlhikust suurem votildei vaumliksem Vanasti seda ka tehti

Esimesed motildeotildetuumlhikud tekkisid koos inimuumlhiskonna arenguga

bull pikkusuumlhikud kasutati erinevate kehaosade pikkusi ndash vaks kuumluumlnar jalg

13

bull massiuumlhikud igapaumlevases elus kasutatavad esemed jne Uumlhtsed riiklikud motildeotildetuumlhikud votildeeti kasutusele vanas Egiptuses ja Babuumlloonias Naumliteks Egiptuses kasutati pikkusuumlhikuna vaarao kuumluumlnart (kaugus kuumluumlnarnukist vaumlljasirutatud sotildermeotsteni) Egiptlased oskasid ka motildeotildetuumlhikuid tuletada Naumliteks pindala motildeotildetsid nad ruutuumlhikutes Kordsed uumlhikud votildeeti kasutusele Babuumlloonias Ajauumlhikud tund minut ja sekund paumlrinevad samuti vanast Babuumllooniast Materiaalse kultuuri ajalugu tunneb tohutut hulka erisuguseid uumlhikuid eriti pikkuse pindala massi ja ruumala motildeotildetmiseks Selline uumlhikute mitmekesisus on mingil maumlaumlral saumlilinud taumlnapaumlevani

Naumlide 12 Te kotildeik teate massiuumlhikut tonn Kui mitu kilogrammi vastab uumlhele tonnile Kas 9072 kg 1000 kg votildei 1016 kg Vastus sotildeltub teie asukohariigist

bull nn meetersuumlsteemi tonn = 1000 kg bull Briti (pikk) tonn = 2240 naela = 1016 kg bull Ameerikas (luumlhike) tonn = 2000 naela = 9072 kg

Naumlide 13 Nii inglased kui ameeriklased kasutavad mahuuumlhikut gallon aga

bull Inglismaal 1 gallon = 454609 liitrit bull Ameerikas 1 gallon = 378543 liitrit

Naumlide 14 Laialdaselt kasutatakse mahuuumlhikut barrel (totildelkes vaat tuumlnn) aga tuleb eristada nn kuiva barrelit ja naftabarrelit

bull kuiv barrel = 115628 liitrit bull naftabarrel = 158988 liitrit

Suure hulga erisuguste uumlhikute puhul on probleemiks nendest uumlhikutest arusaamine Kui igal inimesel oleksid omad uumlhikud millega ta motildeotildeteobjekte votilderdleb siis oleks teistel inimestel vaumlga raske neid motildeotildetetulemusi kasutada Sellepaumlrast on vajalikud inimestevahelised kokkulepped uumlhikuteks valitavate suuruste osas Taumlnapaumleva maailmas peaksid sellised kokkulepped olema uumllemaailmsed st tuleks valida sellised uumlhikud mis kehtiksid kotildeikides maades Taumlnapaumleval enim levinud motildeotildetuumlhikute suumlsteem on SI (prantsuse keeles Systegraveme International drsquoUniteacutes totildelkes ldquorahvusvaheline uumlhikute suumlsteemrdquo) See votildeeti kasutusele 1960 aastal XI Rahvusvahelisel Kaalude ja Motildeotildetude Peakonverentsil

Demo Vanade ja vaumlhemlevinud motildeotildetuumlhikute loend - Vikipeedia vaba entsuumlklopeedia

14

15 Rahvusvaheline uumlhikute suumlsteem SI

SI suumlsteemi potildehiuumlhikuteks on

L Pikkusuumlhik m M massiuumlhik kg T ajauumlhik s I voolutugevuse uumlhik A Θ temperatuuri uumlhik K N ainehulga uumlhik mol J valgustugevuse uumlhik cd

Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud on defineeritud tabelis 1

Tabel 1 Rahvusvahelise suumlsteemi potildehiuumlhikud

Dimensiooni taumlhis

SI uumlhik Definitsioon

L m Pikkusuumlhik meeter on teepikkus mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 s jooksul

M kg Massiuumlhik kilogramm votilderdub rahvusvahelise kilogrammi etaloni massiga

T s Ajauumlhik sekund on tseesium-133 aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele uumlleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestus

I A Voolutugevuse uumlhik amper on muutumatu elektrivoolu tugevus mis hoituna vaakumis teineteisest 1 m kaugusele paigutatud kahes lotildepmata pikas paralleelses ja taumlhtsusetult vaumlikse uumlmara ristlotildeikega sirgjuhtmes tekitab nende juhtmete vahel jotildeu 2middot10-7 N juhtme jooksva meetri kohta

Θ K Temperatuuri uumlhik kelvin on 127316 osa vee kolmikpunkti termoduumlnaamilisest temperatuurist

N mol Mool on suumlsteemi ainehulk mis sisaldab sama arvu elementaarseid koostisosakesi nagu on aatomeid 0012 kilogrammis suumlsiniku isotoobis 12C Mooli kasutamisel peab koostisosakeste tuumluumlp olema taumlpsustatud Need votildeivad olla aatomid molekulid ioonid elektronid mingid teised osakesed votildei kindla koosseisuga grupid neist osakestest

J cd Kandela on valgustugevus mis kiiratakse kindlas suunas monokromaatilisest allikast kiirgussagedusel 540middot1012

Hz kui allika kiirgustugevus selles suunas on 1683 Wsr

Enne SI suumlsteemi loomist oli fuumluumlsikute hulgas enamlevinuks CGS suumlsteem mille potildehiuumlhikuteks on

bull L pikkusuumlhik cm bull M massiuumlhik g bull T ajauumlhik s

15

Tegelikult tuuakse veel sisse temperatuuri Θ uumlhik K (kelvin) ainehulga N uumlhik mol (mool) ja valgusvoo Φ uumlhik lm (luumen)

Lisaks potildehiuumlhikutele kasutatakse veel tuletatud uumlhikuid Fuumluumlsikas on erinevate suuruste vahel hulk seoseid ndash fuumluumlsika valemeid Need seosed ja seaduspaumlrasused on aluseks ka potildehindash ja tuletatud uumlhikute vaheliste seoste maumlaumlramisel

Naumlide 15 Juhti laumlbinud laeng Q on arvutatav juhti laumlbiva voolu I ja aja t korrutisena Q = I t SI suumlsteemis motildeotildedetakse voolu amprites ja aega sekundites Laengu uumlhikuks saame nuumluumld [Q]SI = A s = C

Taumlispikkade tuletatud uumlhikute kasutamine igapaumlevaelus on suhteliselt kohmakas seetotildettu on mitmetele enamkasutatavatele tuletatud uumlhikutele antud oma erinimetus ja -taumlhis Eelmises naumlites toodud SI suumlsteemi laengu uumlhikut kutsutakse kuloniks Erinimetusega tuletatud uumlhikute taumlhised on toodud tabelis 2

Tabel 2 Motildened erinimetusega tuletatud motildeotildetuumlhikud ja nende dimensioonvalemid

Suurus Taumlhis Motildeotildetuumlhik Uumlhiku nimetus SI dimensioonvalem

sagedus f Hz herts dim f = T-1

jotildeud kaal F N njuuton dim F = L M T-2

rotildehk meh pinge p Pa paskal dim p = L-1M T-2

toumlouml soojus energia A J džaul dim A = L2M T-2

votildeimsus P W vatt dim P = L2M T-3

valgusvoog Φ lm luumen dim Φ = J

heledus L nt nitt dim L = L-2J

valgustatus E lx lux dim E = L-2J

neeldunud kiirguse doos D Gy grei dim D = L2T-2

nurk φ rad radiaan dim φ = 1

ruuminurk Ω sr steradiaan dim Ω = 1

elektriline takistus R Ω oom dim R = 1 L2MT-3I-2

Naumlide 16 Dimensioonvalem pinge jaoks avaldub jaumlrgmiselt

dimU = L2 M T-3 I-1

SI suumlsteemi potildehiuumlhikute asendamisel dimensioonvalemisse saame pinge uumlhikuks SI suumlsteemis

[U]SI = m2 kg s-3 A-1

16

Seda uumlhikut nimetatakse voldiks

Naumlide 17 Eespool naumlgime et laeng Q avaldub valemiga Q = I t SI suumlsteemi uumlhikuks saime [Q]SI = A s = C Dimensioonvalemiks votildeime seega kirjutada dimQ = T I

16 Suured ja vaumlikesed uumlhikud meetermotildeotildedustik

Motildeotildedetavate suuruste vaumlaumlrtus votildeib olla kord suur ja kord vaumlike Seetotildettu on otstarbekas omada ka mitmesuguse suurusega uumlhikuid sama liiki fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmiseks

Naumlide 18 Pikkuse motildeotildetmiseks kasutatakse tollrsquoi jalgrsquoa jardrsquoi miilirsquoi mere miilrsquoi

bull toll 1rsquorsquo = 00254 m bull 1 jalg = 03048 m = 12rsquorsquo bull 1 jard = 09144 m = 3 jalga = 36rsquorsquo bull miil = 1 609344 m= 1 760 jardi = 5 280 jalga = 63 360rsquorsquo bull meremiil 1 nam = 1 850 m = 2 025 jardi = 6 080 jalga = 72 900rsquorsquo

Oleks hea kui uumlhtedelt uumlhikutelt teistele uumlleminek oleks votildeimalikult lihtne Niisugusteks motildeotildetuumlhikuteks said meetermotildeotildedustiku uumlhikud mis loodi Prantsuse revolutsiooni ajal 1791 aasta kevadel ldquokotildeikideks aegadeks kotildeigile inimestele kotildeigi riikide jaoksrdquo Meetermotildeotildedustiku ehk kuumlmnendsuumlsteemi oluliseks omaduseks on see et uumlhe ja sama suuruse erinevad motildeotildetuumlhikud suhtuvad uumlksteisesse nagu kuumlmne taumlisarvulised astmed Kasutatavate kuumlmnendliidete selgitus on toodud tabelis 4 Hoolimata meetermotildeotildedustiku ilmsetest eelistest kasutatakse mitmetes maades taumlnaseni kohalikku suumlsteemi (Inglismaa USA)

17 Meetermotildeotildedustiku ajaloost

meeter ndash pr k megravetre kr k metron ndash motildeotildet

Prantsusmaal on meetermotildeotildedustik kohustuslik aastast 1840 Aastal 1875 kirjutasid 17 riiki alla meetrikonventsioonile Selle alusel otsustati valmistada meetri ja kilogrammi etalonid ja kutsuda iga kuue aasta jaumlrel kokku kaalude ja motildeotildetude peakonverents otsuste vastuvotildetmiseks ning edaspidise toumlouml arendamiseks metroloogia alal Esimene konverents toimus aastal 1889

Briti impeeriumis ja USA-s seadustati meetermotildeotildedustik 1897 NSVL-s 1925 Eestis 1929

Meetermotildeotildedustiku potildehiuumlhikute ajaloost Prantsusmaa rahvuskogu dekreet kuulutas 1791 seaduslikuks pikkusuumlhikuks uumlhe kuumlmnemiljondiku Pariisi veerandmeridiaani pikkusest Prantsuse TA erikomisjon korraldas 1792ndash1799 meridiaanikaare pikkuse motildeotildetmise Dunkerquersquoist Barcelonani 1799 valmistati plaatinast lihtne latikujuline esimene meetri etalon nn arhiivimeeter seda saumlilitatakse Prantsuse Riigiarhiivis Hiljem selgus et puhtast plaatinast valmistatud etalon on vaumlhestabiilne [vaumlhese jaumlikusega suure soojuspaisumisega] ning et selle pikkus on 009 mm (hilisemate arvutuste jaumlrgi 02 mm) votilderra vaumliksem definitsiooniga maumlaumlratud pikkusest Seepaumlrast korrigeeriti meetrit ja valmistati aastatel 1875ndash1879 plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist 31 uut X-kujulise ristlotildeikega etaloni pikkusega 102 cm Iga etalon paiknes rullikutel ja meeter oli taumlhistatud kahe kriipsuga Uutest etalonidest taumlpseima (selle pikkus uumlhtis kotildeige taumlpsemalt arhiivimeetri pikkusega) kinnitas kaalude ja motildeotildetude I peakonverents 1889 a meetri

17

rahvusvaheliseks prototuumluumlbiks Uumllejaumlaumlnud etalonid jaotati loosiga rahvusvahelise meetrikonventsiooniga uumlhinenud riikide vahel

Samas on selge et motildeotildetetehnika arenedes votildeib metallist (votildei mistahes muust materjalist) etaloni ja selle prototuumluumlpide suhtes selguda uumlha enam puudusi Ei ole ka kindel etaloni fuumluumlsiline saumlilimine

Selgus veel et etaloni looduslik alus Pariisi meridiaan ei ole konstantne Planeet Maa kui geoiidi kuju muutub Kuu ja Paumlikese kuumllgetotildembe motildejul Etalonide taasvalmistamise seisukohast on otstarbekas defineerida pikkusuumlhik mingi sobivama loodusliku konstandi kui Pariisi meridiaan kaudu Praegusel tehnoloogilisel tasemel peetakse sobivaimateks konstantideks valguse lainepikkusi ja valguse leviku kiirust vaakumis

1960 a kinnitas kaalude ja motildeotildetude XI peakonverents meetri uue definitsiooni meeter votilderdub kruumlptooni isotoobi tasemete 2p10 ja 5d5 vahelisel siirdel vaakuumis kiirguva valguse 1 650 76373 lainepikkusega

Definitsiooni uuendas kaalude ja motildeotildetude XVII peakonverents 1983 a meeter votilderdub vahemaaga mille valgus laumlbib vaakumis 1299 792 458 sekundiga (so valguse kiirusega)

Kaaluuumlhik defineeriti esmalt grammina (massi nimetati tol ajal kaaluks kaalu asemel tarvitati motildeistet raskusjotildeud) Grammi esmaseks etaloniks oli 1 cm3 puhast vett jaumlauml sulamistemperatuuril Mitmel potildehjusel [peamiselt miniatuursusest tingitud suurest suhtelisest ebataumlpsusest] veenduti uumlsna kiiresti grammi ebasobivuses

Jaumlrgnevalt defineeriti kilogramm kaaluuumlhikuna kui 1 liitri puhta vee kaal 4 ordmC juures Esimene kilogrammi etalon (arhiivikilogramm) valmistati 1799 a plaatinast seda saumlilitatakse (koos arhiivimeetriga) Prantsuse Riigiarhiivis

Seoses meetri korrigeerimisega oleks olnud vaja korrigeerida ka liitrit esialgu seda ei tehtud mistotildettu liiter ning dm3 ei langenud motildeni aeg kokku Kilogramm defineeriti jaumltkuvalt liitri kaudu Seejaumlrel korrigeeriti ka liitrit mistotildettu praegu langevad liiter ja dm3 jaumllle kokku

Aastal 1899 valmistati plaatina (90 ) ja iriidiumi (10 ) sulamist silindrikujulised (laumlbimotildeotildet ja kotildergus ca 39 mm) arhiivikilogrammi koopiad millest taumlpseimat saumlilitatakse rahvusvahelise etalonina (prototuumluumlbina) Pariisi laumlhedal Sevresrsquos Rahvusvahelises Kaalude ja Motildeotildetude Buumlroos

Hilisematel motildeotildetmistel selgus et 1 dm3 puhta vee kaal temperatuuril 4 ordmC on 0999972 kg Seega kerkis kuumlsimus kas muuta kilogrammi definitsiooni ja valmistada uus etalon votildei lugeda kilogrammiks juba valminud etaloni massi Uus definitsioon taumlhendanuks paljude kasutuses olevate konstantide korrigeerimist ja sellega seonduvaid segadusi Lihtsam oli jaumlaumlda olemasoleva kilogrammi juurde Uut looduslikku konstanti analoogselt pikkusuumlhikuga pole massi jaoks leitud Praegusel hetkel on massi 1 kg etaloniks rahvusvahelise kilogrammi etaloni mass (ilma loodusliku vasteta)

Ajauumlhiku sekund defineerimisel laumlhtuti juba Babuumlloonias vaumlljakujunenud oumloumlpaumlevasest kellakasutusest mille jaumlrgi oumloumlpaumlev jaguneb tundideks minutiteks ja sekunditeks

Aastani 1956 defineeriti sekund kui 186400 osa keskmisest paumlikeseoumloumlpaumlevast (86400 = 246060)

NB Peale paumlikeseoumloumlpaumleva on veel taumlheoumloumlpaumlev mis on pisut luumlhem kuna taumlhtedelt vaadatuna teeb Maa aastas uumlhe poumloumlrde rohkem

sekund ndash lad k secundus ndash teine

18

Astronoomiatehnika arenedes selgus et troopiline aasta luumlheneb sajandis ca 05 s [totildeusu-motildeotildena totildettu ookean ldquoloksubrdquo mis analoogselt hotildeotilderdumisega aeglustab Maa liikumist kiiruse vaumlhenemise totildettu vaumlheneb tsentrifugaaljotildeud ja vaumlheneb PaumlikendashMaa kaugus vaumliksem orbiit laumlbitakse kiiremini] Kuna aasta osutus olevat aja t funktsiooniks siis leiti lahendus aasta defineerimises uumlhel konkreetsel ajahetkel Selleks hetkeks valiti 31 detsembri 1899 keskpaumlev Sekund defineeriti kui 131 556 9259747 osa troopilisest aastast 31121899 kell 1200 See definitsioon kehtis 1956ndash1967 (Troopiliseks aastaks nimetatakse ajavahemikku Paumlikese keskpunkti kahe jaumlrjestikuse kevadpunktist laumlbimineku vahel)

Aatomifuumluumlsika areng votildeimaldas veelgi paremat looduslikule konstandile tuginevat sekundi definitsiooni

sekund on votilderdne aatomi potildehiseisundi kahe uumllipeenstruktuurinivoo vahelisele siirdele vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodiga

Tabel 3 Kuumlmnendliited kordsete motildeotildetuumlhikute moodustamiseks

Aste Nimetus Taumlhis Aste Nimetus Taumlhis 1024 jotta Y 10-24 jokto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 eksa E 10-18 atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 piko p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 mikro micro 103 kilo k 10-3 milli m 102 hekto h 10-2 senti c 101 deka da 10-1 detsi d

Uumllesanne 11 Mitu mikronit vastab uumlhele kilomeetrile

1 microm = 10-6 m = 10-6 middot (10-3 km) = 10-9 km seega 1 km = 109 microm

Uumllesanne 12 Mitu kilomeetrit on uumlks sentimeeter

1 km = 1000 m = 1000 middot (100 cm) = 100000 cm

Uumllesanne 13 Uumlks akadeemiline tund (45 minutit) on ligikaudu votilderdne uumlhe mikrosajandiga Kui suur on nende erinevus protsentides Uumlhes (troopilises) aastas on 365244 oumloumlpaumleva

Avaldame motildelemad suurused potildehiuumlhiku sekund kaudu

45 min = 45 middot (60 s) = 2700 s

1 microsaj = 10-6 saj = 10-6 middot (102 a) = 10-4 a = 10-4 middot (365244 middot 24 middot 60 middot 60 s) asymp 3156 s

Nende suuruste erinevus on 41414403156

27003156==

minus

19

Uumllesanne 14 Astronoomilist aega motildeotildedetakse Maa poumloumlrlemise jaumlrgi aatomiaega aga sellest sotildeltumatult Kuna Maa poumloumlrleb aeglustuvalt (potildehjuseks on Kuu kuumllgetotildembejotildeust tingitud totildeusu-motildeotildenalainete sumbumine) kasvab uumlhe oumloumlpaumleva pikkus aatomiajas motildeotildedetuna aastas uumlhe mikrosekundi votilderra Leidke kui suur on erinevus aatomikella ja bdquoastronoomilise kellaldquo naumlitude vahel paumlrast 20 sajandi moumloumldumist

20 saj = 20 middot (100 a) = 2000 a

1 + 2 + 3 + 1998 + 1999 + 2000 = 1000 middot (2000 + 1) = 2001000 = 2001 middot 106

2001 middot 106 micros =2001 middot 106 middot (10-6 s) asymp 2 s

Uumllesanne 15 Kuld on uumlks suurima tihedusega metalle uumlhe kuupsentimeetri kulla mass on 1932 grammi Sotildermuse mass on 4 grammi Kui suure kuldlehe saaks sellest valtsida kui lehe paksus on uumlks mikromeeter

V = mρ = 4g1932gcm3 asymp 0207 cm3 S = Vh = 0207 cm31 microm = 0207 cm3(10-6 m) = 0207 cm3(10-6 (102 cm) = = 2070 cm2 = 207 dm2

Uumllesanne 16 Mitu suumllda on uumlks yard (1 kilomeeter (km) = 1000 meetrit = 468 710 suumllda 1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit)

1 yard = 9144 mm = 09144 m = 09144 middot 10-3 km = 09144 middot 10-3 (4687 suumllda) asymp asymp 0429 suumllda

Uumllesanne 17 Auto mille algkiirus oli 30 penikoormat tunnis sotildeidab maumlest alla kiirendusega 05 suumllda ruutsekundis Maumle pikkus on 900 yardi Leidke auto kiirus maumle all uumlhikutes kilomeetrit tunnis

1 penikoorem = 880 fathomit = 1760 yardi = 754 suumllda 2 jalga = 1 km 609 m

1 yard = 3 jalga = 91 sentimeetrit 4 25 millimeetrit

v0 = 30 penikoormath = 30 middot (1609 m) (3600 s) = 134 ms

754 suumllda 2 jalga = 754 suumllda + 23 middot 09144 m = 1609 m

754 suumllda = 1609 m ndash 06 m = 16084 m

1 suumlld = 16084 m 754 = 213 m

a = 05 suumlldas2 = 05 middot 213 ms2 = 106 ms2

s = 900 yardi = 900 middot 09144 m = 823 m

s = v0t + at22 at2 + 2v0t ndash 2s = 0

20

s728122

787826

0612

823061841344132

2

842 2200

=plusmnminus

=

=sdot

sdotsdot+sdotplusmnsdotminus=

+plusmnminus=

t

a

asvvt

v = v0 + at

v = 134 ms + 106 ms2middot287 s = 438 ms = h

km7157

h

3600

1000

km843 =sdot

21

2 Motildeotildetmisteooria laumlhted

21 Motildeotildetmise potildehivaumlide

Igasugune motildeotildetmine suhteskaalat kasutades taumlhendab tundmatu suuruse votilderdlemist sama liiki maumlaumlratletud suurusega mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse vaumlaumlrtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana votildei kordsena Fuumluumlsikalise suuruse motildeotildetmisel on maumlaumlratletud suuruseks loomulikult selle suuruse uumlhik Uumlhikutena tuleks eelistada SI uumlhikuid sest need on kogu maailmas laialt kasutusel ning Motildeotildeteseadusega on nad Eestis kuulutatud kohustuslikeks motildeotildetuumlhikuteks Seega votildeib fuumluumlsikalise suuruse korral iseloomustada votilderdlemise protseduuri (motildeotildetmist) ja selle tulemusena saadavat mingi motildeotildetesuuruse Xi arvvaumlaumlrtust Xi suhtega Xi[Xi] kus i on indeks mille abil eraldame samas motildeotildeteprotsessis esinevaid motildeotildetesuurusi

Naumlide 21 Vedeliku mass motildeotildedetakse kaalumise meetodil koos mahutiga siis votilderdlemise protseduuri ning saadavat arvvaumlaumlrtust saab iseloomustada suhtega (X1 + X3)[X1] kus X1 taumlhistab materjali ja X3 mahuti massi

Naumlide 22 Kui eriti vaumlikeste objektide joonmotildeotildetmete motildeotildetmisel suurendatakse objekti kujutist mikroskoobi abil siis tulemust votildeib kirjeldada suhtega X4bullX2[X2] kus X2 taumlhistab joonmotildeotildedet ja X4 vastavat suurendustegurit Toodud suhtes peaksid olema uumlhikuteks tegelikult[X1 + X3] ja [X4bullX2] kuid kuna liita saab ainult sama liiki suurusi ning suurendustegur on suurus mille dimensioon on uumlks siis oleme uumlhikuteks valinud vastavalt [X1] ja [X2]

Jaumltkame naumlidet 21 Kui laumlhtuda oletusest et motildeotildetesuurusele X1 + X3 saame anda kindla arvvaumlaumlrtuse (X1 + X3)[X1] ning piirduda ainult aditiivsete motildejuritega mille koosmotildeju arvestab juhuslik liidetav X5 siis on motildeotildetmise votilderrand jaumlrgmine

[ ] [ ]1

5

1

31X

X

X

XXX +

+= (21)

See votilderrand iseloomustab votilderdlemise protseduuri ja arvvaumlaumlrtuse saamist ideaalsetes tingimustes Tegelikkuses ei ole votildeimalik votilderrandi (21) liikmeid eristada

Ideaalolukorras omab votilderrandi (21) esimene liige kindlat arvvaumlaumlrtust teine liige on aga juhuslik Saadavat summaarset arvvaumlaumlrtust X ei saa antud juhul kuidagi iseloomustada ainult uumlhe arvuga Seda votildeib iseloomustada matemaatilise mudeli (maatriks) abil ning esitada dokumentaalselt eksperimentaalsete andmete kogumina kas tabeli graafiku sotildeltuvuse jne kujul mis on uumlhtlasi ka arvvaumlaumlrtuse X hinnanguks

Naumlide 23 Motildeotildetesuuruse X1 + X3 n-kordsel (antud juhul 100-kordsel) sotildeltumatul motildeotildetmisel numbernaumlidikuga massimotildeotildetevahendi abil fikseeriti naumliduseadisel jaumlrgmised diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi mis on toodud tabelis 21

22

Tabel 21 Motildeotildetmisel saadud diskreetsed arvvaumlaumlrtused xi nende esinemiste arv mi totildeenaumlosus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi)

x i m i P(x i) F(x i) 1 2 3 4 3580 1 001 001 3581 2 002 003 3582 4 004 007 3583 10 01 017 3584 21 021 038 3585 23 023 061 3586 19 019 08 3587 12 012 092 3588 5 005 097 3589 2 002 099 3590 1 001 1

Iga i-ndas arvvaumlaumlrtus esines motildeotildetmistel mi korda Tekib kuumlsimus bdquoMissugune nendest arvvaumlaumlrtustest tuleks antud n-kordsel motildeotildetmisel votildetta motildeotildetetulemuse aluseksldquo

Antud juhul mitte uumlkski arvvaumlaumlrtus tabeli esimeses tulbas uumlksikuna votildettes ei iseloomusta motildeotildetevahendi abil saadud motildeotildetetulemust tervikuna Seda iseloomustab antud juhul kogu saadud arvvaumlaumlrtuste kogum koos uumlksikute arvvaumlaumlrtuste esinemise sagedusega Votildettes iga i-nda arvvaumlaumlrtuse suhtelise esinemise sageduse min selle lugemi esinemise totildeenaumlosuseks P(xi) saame taumlita tabeli kolmanda veeru Votilderreldes tabeli esimese veeruga annab kolmas veerg meile antud motildeotildetevahendi abil saadud ja tabeli kujul esitatud diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotuse Selle totildeenaumlosusjaotuse votildeime avaldada ka graafiliselt jaotusspektrina joonis 21

0

005

01

015

02

025

3580 3581 3582 3583 3584 3585 3586 3587 3588 3589 3590

x i

P(x

i)

Joonis 21 Diskreetsete arvvaumlaumlrtuste totildeenaumlosusjaotus

Liidame kotildeik need kolmandas veerus olevad arvvaumlaumlrtuste esinemise totildeenaumlosused mille korral arvvaumlaumlrtused xi on vaumliksemad vaadeldavast arvvaumlaumlrtusest xk Tabeli esimese veeru arvvaumlaumlrtustega votilderreldes annavad neljanda veeru arvvaumlaumlrtused meile motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumlrtuste esinemise jaotusfunktsiooni tabeli kujul Graafiliselt on see toodud joonisel 22

23

0

02

04

06

08

1

12

3579 3581 3583 3585 3587 3589 3591

x i

F(x

i)

Joonis 22 Diskreetsete arvvaumlaumltuste jaotusfunktsioon

Jooniselt 22 on naumlha et motildeotildetevahendi diskreetsete arvvaumlaumltuste esinemise jaotusfunktsioon on katkev taumlpsemini treppfunktsioon Katkevuspunktides on motildeotildetevahendi lugemite votildeimalikud vaumlaumlrtused ning nendes punktides jaotusfunktsioon kasvab huumlppeliselt kusjuures huumlppe motildeotildetmeks on totildeenaumlosus et esineb katkevuspunktist vaumliksemaid arvvaumlaumlrtusi

Seega numbernaumliduseadisega motildeotildetevahendite korral kirjeldavad totildeenaumlosusjaotus P(xi) ja jaotusfunktsioon F(xi) taumlielikult saadavat diskreetset arvvaumlaumlrtust xi

Jaumltkame nuumluumld motildeotildetmise votilderrandi 21 analuumluumlsi Oletame et me teame mahuti massi X3 eelnevatest motildeotildetmistest votildei saadakse see taumliendavate uuringute potildehjal Vastavalt meie laumlhenemisviisile oleme andnud suurusele X3 kindla vaumlaumlrtuse ja juhuslikud komponendid uumlle kandnud suurusesse X5 Seega on suurusel X5 juhuslik iseloom mis taumlhendab et tema vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik kindlaks teha Siit jaumlreldame et motildeotildetesuuruse X1 vaumlaumlrtust on votildeimatu taumlpselt kindlaks teha votilderrandi (21) potildehjal tuletatud valemi

[ ] 3511 XXXXX minusminussdot= (22)

abil Seda isegi siis kui laumlhtume ideaalolukorral kehtivast oletusest et suurusel X3 on kindel vaumlaumlrtus Toonitame veelkord et votilderrand (22) ei peegelda tegelikku motildeotildeteprotsessi st et me praktikas ei saa eristada juhuslikku suurust X5 vaadeldavast motildeotildetesuurusest X1

Kokkuvotildetteks ndash motildeotildetmise kordamisel tuleb suuruse arvvaumlaumlrtus X tingituna motildeotildetesuuruse iseloomust igal motildeotildetmisel erinev Seega praktilise motildeotildetmise kogemuse potildehjal votildeime vaumlita et mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning seega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes et saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti juhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kirjeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muutuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mis kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

24

22 Juhuslike suuruste jaotusseadused

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreetseteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettemaumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 muumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused grammides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildepmatu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumliteks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tulemust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on avaldatav valemiga

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk = (23)

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

(24)

Esimene omadus taumlhendab et esinemistotildeenaumlosus ei saa olla negatiivne ega ka mitte suurem kui uumlks Teine omadus taumlhendab et kotildeigi elementaarsuumlndmuste esinemistotildeenaumlosuste summa on uumlks st on 100 kindel et toimub mingi realisatsioon kotildeigi elementaarsuumlndmuste hulgast ja kotildeik teised votildeimalused on votildeimatud

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16 visatakse 4 silma p = 16 visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmus visatakse 1 votildei 4 silma p = 26 visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46 visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus on toodud joonisel 23 Totildeenaumlosus erineb nullist ainult maumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole maumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

25

Joonis 23 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatiivne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

sumle

=ki

ipkF )( (25)

st jaotusfunktsioon naumlitab kui suur on totildeenaumlosus et juhuslik suurus xi on vaumliksem kui xk Naumliteks taumlringuviske puhul taumlhendab jaotusfunktsioon kohal 4 totildeenaumlosust visata taumlringuga silmade arv 1 2 3 votildei 4 st tema vaumlaumlrtuseks on 16 + 16 + 16 + 16 = 46

Joonisel 24 on toodud temperatuuri motildeotildetmise totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon (joon)

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

Joonis 24 Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus (tulbad) ja tihedusfunktsioon

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotuse omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla negatiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa samuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

26

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vaumlaumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlndmuse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele (26)

Pideva suuruse korral votildeib vaumlaumlrtused x1 ja x2 votildetta votildeimalikult teineteise laumlhedusest Siit tuleneb et

kui votildetta x1 rarr x2 siis [ ] 0)()(lim 1221

=minusrarr

xFxFxx

Seega saame vaumlita et pideva suuruse korral

on mingi konkreetse vaumlaumlrtuse totildeenaumlosus votilderdne nulliga Naumliteks totildeenaumlosus et uumlhe motildeotildetesilindri maht on taumlpselt 1 liiter on null Seega on motildeistlik vaadata pidevate suuruste korral hoopis totildeenaumlosust et suumlndmus satuks vahemikku [x1 x2]

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

dx

xdFxf

)()( = (27)

Teistpidi on jaotusfunktsioon maumlaumlratud integraal jaotustihedusest

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF (28)

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfunktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli lihtsustab valemite 27 ja 28 kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vaumlga keeruliste uumllesannete lahendamist

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist on toodud joonisel 25

1

Joonis 25 Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

Valemist 27 saame et

dxxfxdFdp sdot== )()( (29)

seega suurus dp on ristkuumlliku pindala motildeotildetmetega dx ja f(x) Funktsiooni f(x) pindala vahemikus (a b) on seega maumlaumlratud integraal

27

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

(210)

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabel Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6 b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9 c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

a Vastavalt esinemiste totildeenaumlosusele on kahe taumlringuviske summaks votildeimalik saada 536 asymp 13 juhtudest

b Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vaumliksem kui 9 on 3036 asymp 83

c Vastavalt jaotusfunktsioonile totildeenaumlosus et summa oleks vahemikus [38] on

2636 ndash 136 = 2536 asymp 69

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine pooldumist kirjeldav tihedusfunktsioon Palju kulub aega et esialgsest Cs ainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

28

( )

19843614614

614)010ln(010)exp(990)exp(1

)exp(1)exp(

)exp(1

)exp(1

)()(

)exp(1

)(

01

010101

010

0

0

00000

00

00

1

1

1

1

=sdot=sdot=

minus==minusrArr=minusrArr=minusminus

minusminus=minus=

=minussdotminus=minus==

minus=

int int

tt

tttttt

tttt

tttt

dtttt

dttftF

ttt

tf

t

tt

t

Seega oleks esialgsest ainehulgast 198 aasta paumlrast alles 1

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri tsuumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ruumi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

ning tema jaotusfunktsioon on 10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

Totildeestame kotildeigepealt jaotustihedusele vastava jaotusfunktsiooni Vaatame ainult piirkonda 0 lt x lt 1 sest kuna arkussiinusjaotus on nullist erinev ainult piirkonnas (0 1) on tema jaotusfunktsioon F(x) = 0 piirkonnas x le 0 ja F(x) = 1 piirkonnas x ge 1

( )[ ] int

intint

intint

int

=minus

sdot==

=rArr=minus

=minus

=

sdot=rArr=rArr==sdotminus

=minus

=

===leinfinminus

)arcsin(1

1)arcsin(2)arcsin(

2

)0()0()0(1

12

1

11

2)1(

1

)1(

1

)()()(

20

02

02

2

00

ydyy

xy

xxxdyyx

dx

x

dyydxyxxydxxx

dxxx

dxxfxFxXP

x

xx

xx

x

ππ

ππ

ππ

29

Nuumluumld tuleb teha uumllesande lahendamiseks muutujavahetus et sobituda arkussiinusjaotuse valemiga

Vaatame paare x1 = 0 t1 = 20

x2 = 1 t2 = 24

Vastav uumlleminekuvalem on ilmselt 420minus

=t

x

Teeme tabeli meid huvitavatest temperatuuridest vastavatest x-i vaumlaumlrtustest ning tihedusfunktsiooni vaumlaumlrtustest

t x F(x) 205 18 023 21 frac14 033 23 frac34 067 235 78 077

Seega on vahemikus 21 degC kuni 23 degC ruumi temperatuur 067 ndash 033 = 34 ajast Alla 205 degC votildei uumlle 235 degC on 023 + (1 ndash 077) = 46 On huvitav maumlrkida et tsuumlkliliste temperatuurimuutuste korral puumlsib temperatuur kotildeige kauem vahemiku ekstreempunktide laumlheduses ja kotildeige luumlhemat aega ettenaumlhtud temperatuuril See omadus naumlhtub jaotustiheduse graafikust ja on intuitiivselt motildeistetav vaadeldes siinuskotildevera kulgu

23 Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaatekohalt Jaotusseadus votildeimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga suumlndmuse totildeenaumlosust Jaotusseaduse potildehikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaalne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamasti aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlielikku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadusi Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendamisel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadused

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja dispersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel suurt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood momendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik funktsioon entroopia jmt

231 Keskvaumlaumlrtus

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakteristik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhistused on

30

m mx m[x] x ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

sum=

=n

kkk pxm

1

(211)

kus )( kk xXPp ==

Kui votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on loenduv siis

suminfin

=

=1k

kk pxm (212)

kusjuures eeldatakse et summa paremal koondub (on lotildeplik) Kui summa ei koondu siis harilikult keskvaumlaumlrtust juhuslikule suurusele ei omistata

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) ja votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on kogu reaaltelg keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

int+infin

infinminus

= dxxxfm )( (213)

eeldusel et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt)

Maumlrkus Valem keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langeb kokku valemiga varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhega Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatiline moment

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (214)

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

31

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

See on lotildeigu [a b] keskpunkt

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r (215)

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut (f integraal x jaumlrgi rajades [ )infin1 olgu votilderdne uumlhega) On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1 Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r vaumlaumlrtuste korral joonisel 26

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

Joonis 26 Astmejaotuse jaotusfunktsioon

Arvutame astmejaotuse keskvaumlaumlrtuse

infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus== intint1

21

1

1

1

2

1)1()( r

r

xr

rdxxrdxrxfxm

Naumleme et keskvaumlaumlrtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse 02gtminusr ehk 2gtr kehtimine ndash vastasel juhul ei koonduks uumlmarsulgudes olev avaldis lotildepmatuses nulliks vaid oleks lotildepmata suur Kui see tingimus on taumlidetud siis saame

32

22

1gt

minusminus

= rr

rm (216)

Seega keskvaumlaumlrtus on alati suurem uumlhest (pole ka midagi imestada kuna kogu jaotuse kandja asub punktist uumlks paremal) ja kasvab piiramatult kui r laumlheneb kahele paremalt (joonis 27)

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

Joonis 27 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Oluline asi millele selle naumlitega taumlhelepanu juhime on asjaolu et lotildepmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslotildepmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskvaumlaumlrtus eksisteerida Selle (keskvaumlaumlrtuse) olemasoluks on vajalik et jaotustihedus laumlheneks nullile piisavalt kiiresti kui

infinplusmnrarrx Lotildepliku kandja puhul sellist probleemi ei teki

Keskvaumlaumlrtuse omadusi

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on see konstant ise

[ ] ccm =

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlmboli ette

[ ] [ ]XcmcXm =

Totildeestatakse see pideval juhul nii

33

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

Analoogiline on totildeestus diskreetse juhusliku suuruse korral

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtuseid kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrtuseid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeetilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

Naumlide 27 Suvel maumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel lahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle raumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva Mitu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

Vastus nihketa hinnang oleks mediaan ehk 156 paumleva Aritmeetilist keskmist saab arvutada ainult suve alguseks Eestisse tagasi jotildeudnud lindude raumlnnet arvesse votildettes see oleks 154 paumleva kuid see ei arvesta votildeimalusega et kadunud 2 lindu siiski kunagi naumliteks suvel siiski jotildeudsid tagasi Ka annaks aritmeetiline keskmine selgelt nihutatud hinnangu juhul kui motildeni lindudest saabuks juba suumlgisel miskipaumlrast Eestisse tagasi

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis seda naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotildergpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vaumlhemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) leitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on eesmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hulgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad keskvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemikku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korrelatsioonikordaja) maumlaumlramisele

Naumlide 28 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast ja 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55000 EEK Keskmine palk selles firmas on

34

1000010

5500050009=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalgaga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firmas on

320005

4000390004=

+sdot=m

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

Seega sotildeltuvalt palkade jaotusest votildeib olla keskmine palk mediaanpalgast nii suurem kui ka vaumliksem Eesti keskmisena on siiski keskmine palk mediaanpalgast maumlrgatavalt kotildergem seda tingib uumlhelt poolt miinimumpalk millest vaumliksemat palka ei ole votildeimalik maksta samuti totildesiasi et meil on teatud hulk inimesi kes saavad uumllisuuri palkasid Toon siin internetist leitud Eesti keskmise ja mediaanpalga naumlited need on illustratiivsed ja ei pretendeeri kindlale totildeele 2008 aasta III kvartalis oli keskmine kuupalk 12 512 krooni samas kui 2008 aasta II kvartalis oli mediaanpalk 9 897 krooni

232 Dispersioon ja ruuthaumllve

Teades juhusliku suuruse keskvaumlaumlrtust ei saa veel otsustada milliseid vaumlaumlrtusi juhuslik suurus votildeib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskvaumlaumlrtuse uumlmber Kui jaotustihedus on haumlsti kitsas kui juhusliku suuruse hajuvus on vaumlike siis on keskvaumlaumlrtusest kuumlll et iseloomustada juhuslikku suurust Kui aga jaotustihedus on lai ja lame Meil on tarvis suurust mis votildeimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse bdquokitsustldquo votildei bdquohajuvustldquo Selliseks suuruseks on dispersioon

Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse haumllbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse

[ ]Xmxii minus=ε (217)

Pole raske veenduda et haumllbe keskvaumlaumlrtus on votilderdne nulliga Totildeepoolest

01

=sum=

n

iiε

See on seletatav sellega et votildeimalikud haumllbed on erinevate maumlrkidega ja summaarselt kompenseeruvad Jaumlrelikult ei iseloomusta haumllve hajuvust Tsentreerimine taumlhendab geomeetriliselt seda et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]Xm

Dispersioon

Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust

[ ] [ ] [ ]( )[ ]22 XmXmmXDD minus==equiv ε (218)

35

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega on dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse maumlaumlra iseloomustajaks

Teised levinumad taumlhised dispersioonile on veel 2σ (dispersioon on siin taumlhistatud kui standardhaumllbe ruut) Kaumlesolevas kursuses kasutame dispersioonile taumlhist D

ja kui tahame rotildehutada votildei esile tuua millise juhuliku suurusega on tegu siis taumlhist D(X)

Vastavalt definitsioonile (218) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem

( )sum minus=i

ii pmxD 2 (219)

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealisatsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suuruse korral annab (22)

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2 (220)

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus= (221)

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku suuruse ruudust X2 Kotildeige lihtsam on seda valemit totildeestada esitades valemeis (219) javotildei (220) ruutavaldise uumlmarsulgudes kujul

222 2)( mxmxmx +minus=minus

Vaatame detailsemalt (221) totildeestust pideva juhusliku suuruse juhul (220)

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

mis ongi valem (221) Uumlhtlasi oleme ka saanud ilmutatud esituse juhusliku suuruse ruudu keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks

[ ] )(22 dxxfxXm intinfin

infinminus

= (222)

36

Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetemaumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumllvet

D=σ (223)

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve

Lahendamiseks teeme kotildeigepealt tabeli

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse laumlhtudes valemist (211)

532161

1

=sdot== sum=

n

kkk pxm

Laumlhtudes valemist (219) saame

( ) 9225176

12 asympsdot=minus= sumi

ii pmxD

Laumlhtudes Steineri valemist (221) saame

[ ] 9222512171553691 222 =minusasympminus=minus= mXmD

Taumlringuviske standardhaumllve on

711922)()( === xDxσ

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

37

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime juba varem

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi (ehk x2 keskvaumlaumlrtuse)

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+

minus++

=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1)()(

ababxDx

minusasymp

minus==σ

Naumlide 211 Astmejaotuse dispersioon ning standardhaumllve

Olgu jaotustiheduseks astmejaotus (215) Dispersiooni arvutuseks kasutame valemit (221)

Keskvaumlaumlrtus m on teada valemist (216) seega on vaja leida [ ]2Xm kasutades selleks seost (222) ja jaotustihedust (215)

[ ] 1

3

1)1(

1

13

1

2

1

22infin

minus

infinminus

infin

minusminus

=minus=minus

= intint rr

r xr

rdxxrdx

x

rxXm

Siin uumlmarsulg annab lotildepliku tulemuse vaid siis kui on taumlidetud tingimus 3gtr Sel juhul annab uumlmarsulg uumllemise raja juures nulli ning saame lotildeplikult

[ ]312

minusminus

=r

rXm

Seega saame astmejaotuse dispersiooni jaoks

38

2

2

)2)(3(

1

2

1

3

1)(

minusminusminus

=

minusminus

minusminusminus

=equivrr

r

r

r

r

rrDD

Ning astmejaotuse standardhaumllbe jaoks

2)2)(3(

1)(

minusminusminus

==rr

rrDσ

Selle dispersiooni graafik parameetri r funktsioonina on toodud joonisel 28

3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

55

0

σ r( )

103 r

Joonis 28 Astmejaotuse standardhaumllve

Naumleme et standardhaumllve laumlheneb kiiresti lotildepmatusele kui parameeter r laumlheneb kolmele Ja vastupidi parameetri kasvades laumlheneb standardhaumllve kiiresti nullile

See naumlide demonstreerib seda totildesiasja et ndash sarnaselt keskvaumlaumlrtusele ndash vajab lotildepmatu maumlaumlramispiirkonnaga juhuslik suurus standardhaumllbe lotildeplikkuseks (st eksisteerimiseks) kuumlllalt kiiret totildeenaumlosustiheduse nullile laumlhenemist protsessis plusmninfinrarrx Jaotustiheduse nullile laumlhenemise kiiruse maumlaumlrab kaumlesolevas naumlites parameeter r ndash mida suurem see on seda kiirem on )(xf nullile laumlhenemine (vt joonis 27) Nagu naumleme on standardhaumllbe eksisteerimiseks tarvilik suurem nullile laumlhenemise kiirus ( 3gtr ) kui oli tarvilik keskvaumlaumlrtuse olemasoluks (seal oli tarvilik 2gtr ) See tulemus on uumlsna uumlldine lotildepmatu kandjaga jaotustiheduse korral on tingimused standardhaumllbe eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskvaumlaumlrtusele

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardhaumllbe omadused

39

Vaatleme dispersiooni potildehiomadusi mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse puhul

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null Konstandi dispersioon on votilderdne nulliga

[ ] 0=cD

Totildeestuseks teisendame

[ ] [ [ ] ] [ ] 00)( 2 ==minus= mcmcmcD

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

Vaatame maumlaumlranguid (219) ja (220) Diskreetsel juhul (219) on summa all ainult positiivsed suurused ja positiivsete suuruste summa on positiivne Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus mil summa koosneb vaid uumlhest liikmest mis on parasjagu null

Analoogiline on totildeestus pideval juhul (220) integraal positiivsest funktsioonist on positiivne Ka siin on piiril erijuhuks uumlhteainsasse punkti cX = lokaliseeritud jaotus mida kirjeldab delta-funktsioon

)()( cxxf minus= δ

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

[ ] [ ]XDccXD 2=

Keskvaumlaumlrtuse omaduste potildehjal

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]XDcXmXcm

XcmcXmcXmcXmcXD222

22

)(

)())((

=minus=

=minus=minus=

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses olevad juhuslikud suurused siis

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

kus [ ]

[ ] [ ]YDXD

yxmr

)()( εε sdot= on korrelatsioonitegur (sellest taumlpsemalt edaspidi)

Totildeestuseks teisendame kasutades keskvaumlaumlrtuse aditiivsuse omadust

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ])()()(2)(

))()(()(22

22

YDXDxyxxm

yxmYXmYXmYXD

+=+plusmn

=plusmn=plusmnminusplusmn=plusmn

εεεε

εε

sest [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]YDXDrYmYXmXmyxm sdot=minusminus= ))(()()( εε

40

Sotildeltumatute tundmatute erijuhul (r asymp 0) on [ ] 0)()( =yxm εε

Erijuhul kus uumlks liidetav on konstant on

[ ] [ ]XDcXD =+

Standardhaumllve (ruutkeskmine haumllve)

Dispersiooni ruutjuurt

D=σ (223)

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks ehk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioon on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga standardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

41

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus m b standardhaumllve σ c totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σ d totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui keskvaumlaumlrtus e mediaan

0 05 1 15 20

05

1

15

2

y x( )

y1

y1

x 16 168

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

6158

542

541

4)()(

520

52

0

4

==sdot

=sdot==== intintinfin

infinminus

xdx

xdxxxfxm

667238

616

642

641

4)()(

620

62

0

522 asymp==

sdot=sdot==== intint

infin

infinminus

xdx

xdxxfxxm

1070616672))(()( 222 =minus=minus= xmxmD

3301070 asymp== Dσ

27133061 =minus=minusσm

93133061 =+=+σm

16016

6216271

)(4

===minusσmF

42

87016

91316931

)(4

===+σmF

71710160870)( ==minus=plusmnσmp

4141016

661661

)(4

====mF

Arvutame mediaani

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

43

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem )exp(1

)( 00

ttt

tf minus= kus

parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvaumlaumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Kasutame arvutuses poolestusaja poumloumlrdvaumlaumlrtust 01 t=λ

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

Siin on otstarbekas arvutada algmomendid ning neid kasutada keskvaumlaumlrtuse ja dispersiooni leidmiseks

[ ] dtttdttttm kkk )exp()exp(00

λλλλ minussdotsdot=minussdot= intintinfininfin

Rakendame integraali arvutamisel parameetri jaumlrgi diferentseerimise votildetet

intintinfininfin

minus

minus=minus

000

)exp()exp( dttdt

ddttt

k

k λλ

Kuna viimase integraali vaumlaumlrtus on

λλ

1)exp(

0

=minusintinfin

dtt

siis saame

[ ]λλ

λ1

kk

d

dtm

minussdot=

Votildettes siin k = 0 1 2 saame kerge vaevaga

[ ] 11

00 =

minussdot=λλ

λd

dtm

seega normeering uumlhele on kehtiv nagu peabki

[ ] 0

11 11

td

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

44

[ ] 202

22 2

21t

d

dtm ==

minussdot=λλλ

λ

Seega on eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja dispersioon vastavalt

[ ] 0ttm = ja

[ ] [ ] 20

20

20

22 2 ttttmtmD =minus=minus=

Standardhaumllve on siit

0tD ==σ

Niisiis on eksponentjaotuse korral keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve arvuliselt votilderdsed

Leiame nuumluumld mediaani

3043690690690

690)50ln(

50)exp(50)exp(1)(

0 asympsdot=sdot==rArrminus==minus

=minusrArr=minusminus=

ttt

tttF

λλ

λλ

Seega on tseesiumi pooldumise keskvaumlaumlrtus 43 aastat aga mediaan 30 aastat

45

24 Motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutatavad jaot usseadused

241 Uumlhtlane jaotus

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel lotildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

Seega on uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

lele

minus=mujal0

1

)(bxa

abxf (224)

Joonisel 29 on toodud uumlhtlase jaotuse jaotustiheduse graafik

Joonis 29 Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus

Arvutame nuumluumld uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

( )( )2)(2)(22

111 222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega (joonis 29) siis on ka loomulik et keskvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

Suumlmmeetriatelg

46

[ ]

3)(3

))((

)(3

3

111

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxXm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

Nuumluumld saame

[ ]12

)(

23

222222 abbababa

mXmDminus

=

+minus

++=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

2

577023

1 ababD

minusasymp

minus==σ

Standardhaumllbe ulatus (so intervalli [ ]σσ +minus mm ulatus) on naumlidatud joonisel 29 kahepoolse noolega Standardhaumllbe vaumlaumlrtusest on ka naumlha et kahekordsele standardhaumllbele vastav intervall [ ]σσ 22 +minus mm sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse muutumispiirkonna [a b] Teiste sotildenadega andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks standardhaumllvet keskvaumlaumlrtusest saavutame et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda totildeenaumlosusega 1 (eeldusel et jaotus ikka on uumlhtlane)

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadmetel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 2265 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mingisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum eeldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

Ka analoogmotildeotildeteseadme resolutsioonist tingitud maumlaumlramatust votildeib kaumlsitleda samamoodi kui digitaalsetel seadmetel Siiski on analoogseadmetel votildeimalik seda maumlaumlramatust vaumlhendada Naumliteks on joonlaua resolutsioon 1 mm kuid terava silmaga motildeotildetja suudab jagada millimeetri veel pooleks Sellisel juhul alluks resolutsioonist tingitud maumlaumlramatus ikka uumlhtlasele jaotusele kuid oleks motildeotildetetulemuse 2835 mm

Teine uumlhtlase jaotuse naumlide on Brauni osakeste levimine Vedeliku anumasse uumlhte punkti pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma ning on selles anumas pika aja paumlrast (aeg infin) uumlhtlaselt jaotunud Sellel potildehjusel on piimaga kohvi uumlhtlaselt pruun

242 Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmmeetriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf (225)

ning mille jaotustihedus on toodud joonisel 210

47

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

Joonis 210 Kolmnurkjaotuse jaotustihedus

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotus on suumlmmeetriline siis ilmselt tema keskvaumlaumlrtus 12

20)( =

+=xm

ja tema ruudu keskvaumlaumlrtus on

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

ja dispersioon ning standardhaumllve on

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

Hiljem vaatame seda kolmnurkjaotust seoses keskse piirteoreemiga

243 Eksponentjaotus

Eksponentjaotus sai laumlbi arvutatud radioaktiivse aine pooldumist kirjeldavas naumlites

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

48

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

Joonis 211 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja jaotusfunktsioon

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusele Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pikk on keskmise lambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi eluiga on 5000 tundi Teha naumlidisarvutus Mathcadis (lambi_eluigamcd)

49

244 Normaaljaotus

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jaotusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaalteljele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus ( )infininfinminus

Naumlide 210 Gaasi molekuli x-telje suunaline kiirus allub normaaljaotusele kus keskvaumlaumlrtus on a = 0 (makroskoopiliselt puumlsib gaas paigal) ning standardhaumllve on proportsionaalne ruutjuurega temperatuurist

Naumlide 211 Uumlhemotildeotildetmelisse lotildeputu ulatusega vedeliku anumasse (lotildepmatult pikk kapillaartoru) uumlhte punkti x0 ajahetkel t = 0 pandud Brauni osakesed hakkavad pidevalt uumlmber jaotuma nende jaotus ajahetkel t gt 0 on kirjeldatav normaaljaotusega parameetritega a = t0 ning σ2 ~ t Seega standardhaumllve ajas jaumlrjest suureneb votilderdeliselt ruutjuurega ajast Seega kui valada lotildepmatult suures tassis kohvile piima ei saa mitte kunagi uumlhtlaselt pruuni segu vaid ainult piimatilk tasapisi segunedes musta kohviga

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotuseks ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf (226)

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja 0gtσ on fikseeritud positiivne reaalarv Antud loengukursuse raames me ei totildeesta vaid ainult konstateerime et parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

Jaotustiheduse maumlaumlramispiirkond on kogu reaaltelg R (st argument x votildeib omandada vaumlaumlrtusi kogu reaalteljel)

Normaaljaotuse tiheduse graafik on parameetrite 2=a 1=σσσσ korral toodud joonisel 212

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

Joonis 212 Normaaljaotuse jaotustihedus

50

Parameetri a muutumisel joone asend muutub x-telje suhtes a kasvades jaotus nihkub paremale (toimub kujundi x-telje sihiline paralleelluumlke) Mida suurem on a seda paremal paikneb kotildever (joonis 213)

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

Joonis 213 Erinevad normaaljaotused σ = 1 korral a = ndash2 (kotildever f3(x)) a = 0 (kotildever f2(x)) ja a = 2 (kotildever f1(x))

Kui parameeter σ kasvab siis kahanevad funktsiooni vaumlaumlrtused ja joon muutub lamedamaks ndash kotildever surutakse kokku y-telje suunas Kui σ kahaneb siis muutub joon teravatipulisemaks ndash kotildever venitatakse vaumllja y-telje suunas (joonis 214)

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

Joonis 214 Normaaljaotus (a = 0) erinevate σ-de korral f1(x ) ndash σ = 1 f2(x) ndash σ = 2 ja f03(x) ndash σ = 03

51

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik muumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljaotuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse (226) integreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2)exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ (227)

Siin erf(x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete lahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm(x a σ) ning jaotusfunktsioon kohal x funktsiooniga pnorm(x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus arvutatav kaumlsuga normdist(x a σ 0) ning jaotusfunktsioon kaumlsuga normdist(x a σ 1)

Naumlide 212 Arvutame vaumllja totildeenaumlosuse et normaaljaotuse puhul satuks suumlndmus intervalli (a plusmn σ) (a plusmn 2σ) (a plusmn 3σ) Kuna need totildeenaumlosused ei sotildeltu jaotuse parameetritest siis valime votildeimalikult lihtsad parameetrid naumliteks a = 0 ja σ = 1 Leiame Excelrsquoi abil meid huvitavad jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused

Normdist(ndash3 0 1 1) = 000135 Normdist(ndash2 0 1 1) = 00228 Normdist(ndash1 0 1 1) = 0159 Normdist(1 0 1 1) = 0841 Normdist(2 0 1 1) = 09772 Normdist(3 0 1 1) = 099865

Tegelikult piisaks ka neist ainult esimese kolme arvutamisest sest normaaljaotus on suumlmmeetriline ning seega on totildeenaumlosus et toimub suumlndmus x lt a ndash z votilderdne totildeenaumlosusega et toimub suumlndmus x gt a + z

P(a plusmn 3σ) = 099865 ndash 000135 = 09973 = 9973

P(a plusmn 3σ) = 1 ndash 2(000135) = 09973 = 9973 P(a plusmn 2σ) = 1 ndash 2(00228) = 09545 = 9545 P(a plusmn 1σ) = 1 ndash 2(0159) = 06827 = 6827

Seega satub vahemikku plusmn 1σ ligikaudu 68 vahemikku plusmn 2σ ligikaudu 95 ja vahemikku plusmn 3σ ligikaudu 997 suumlndmustest

52

245 Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

10

)arcsin(2)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π (228)

Arkussiinusjaotuse jaotusfunktsiooni arvutuskaumlik sai toodud varasemalt ruumi temperatuurikontrolli suumlsteemi naumlites

Arkussiinusjaotuse keskvaumlaumlrtus on m = 05 ning dispersioon on 8

1=σ

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

Joonis 215 Arkussiinusjaotuse jaotustihedus ning jaotusfunktsioon

53

Naumlide 213 Kolmnurkjaotust votildeib defineerida ka jaumlrgnevalt piirkondades x lt 0 ning x gt b on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [0 b] on tema vaumlaumlrtus uumlhtlaselt kasvav (f(x) = cx) Arvuta koefitsient c jaotusfunktsioon keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning standardhaumllve Leia totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (m plusmn σ) (m plusmn 2σ) Joonista graafik ning kanna sellele keskvaumlaumlrtus ja mediaan ning viiruta piirkond (m plusmn 2σ)

Kuna peab kehtima normeerimistingimus siis

2

2

0

2

0

21

2

)(

2 bc

bc

xcdxcxdxcx b

b

=rArrequivsdot=sdot=sdot=sdot intintinfin

infinminus

Seega on selle kolmnurkjaotuse jaotustihedus

lele=

mujal0

02

)( 2bx

b

xxf

Leiame nuumluumld jaotusfunktsiooni

2

2

02

2

022

22)(

b

x

b

xdx

b

xdx

b

xxF x

xx

==== intintinfinminus

Arvutame nuumluumld keskvaumlaumlrtuse kasutades valemit (213)

bbb

bx

bdxx

bdx

b

xxm

bbb

6703

2

3

2

3

2222

3

0

3

20

22

02

asymp==

=== intint

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit (221) Leiame esmalt teist jaumlrku algmomendi

[ ] 24

222 2

0

4

20

32

02

22 bx

bdxx

bdx

b

xxXm

bbb

=

=== intint

Nuumluumld saame

[ ]1818

89

3

2

2

2222222 bbbbb

mXmD =minus

=

minus=minus=

Standardhaumllve tuleb siis

bb

D 24018

asymp==σ

Arvutame mediaani kasutades jaotusfunktsiooni

bbxb

xxF 7105050)(

2

2

asympsdot=rArr==

Leiame jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused meid huvitavates punktides

54

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

bbb

bm

151)480670(18

2

3

22

910)240670(183

2

430)240670(183

2

190)480670(18

2

3

22

=+asymp+=+

=+asymp+=+

=minusasympminus=minus

=minusasympminus=minus

σ

σ

σ

σ

1)151()2(

8280910)910()(

1850430)430()(

0360190)190()2(

2

2

2

==+

==asymp+

==asympminus

==asympminus

bFmF

bFmF

bFmF

bFmF

σσ

σ

σ

P(m plusmn σ) = 0828 ndash 0185 = 0643 = 643

P(m plusmn 2σ) = 1 ndash 0036 = 0964 = 964

55

25 Juhuslike jaotuste summa

251 Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega mingist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatakse hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetmise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga jagatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on selge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotusest Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alles jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

Vaatame uuesti naumlidet kus me vaatasime kahe taumlringuviske summat (2 loeng) Saime jaumlrgmise jaotustabeli

Tabel 22 Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

Joonis 216 Kahe taumlringuviske keskvaumlaumlrtuse jaotustihedus (punane) taustaks uumlhe taumlringuviske jaotustihedus (sinine)

56

Nii tabelist kui ka jooniselt naumleme et kuigi motildelemad taumlringuvisked olid diskreetsest uumlhtlasest jaotusest on nende summa ja keskvaumlaumlrtuse jaotus kolmnurga kujuline seega erinev summeeritavate jaotusest

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustiheduse leidmiseks konvolutsiooni integraali

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()( (229)

Tutvume selle integraali arvutamisega naumlidete varal liites kokku kaks uumlhesugust jaotust

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peavad tema motildelemad komponendid olema nullist

erinevad Esimene integraal on nullist erinev ainult piirkonnas [ ]10=τ Teine integraal on nullist erinev ainult piirkonnas

[ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingimust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

[ ][ ]

minus=

tt 1

10τ

Kuna τ sotildeltub t vaumlaumlrtusest siis integreerime tuumlkkide kaupa

1 0)(0 =rArrlt tyt

2 tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(10 τττττ

3 21 ltlt t Selles piirkonnas on radasid kotildeige raskem ette kujutada Integreerimise alumise raja maumlaumlrab teine tingimus ehk τ = t ndash 1 uumllemise aga esimene tingimus ehk τ = 1

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(21 1

1

1

1

τττ

57

4 0)(2 =rArrgt tyt

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus on maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

Antud funktsioon on toodud jaumlrgneval graafikul ning on identne eelmises loengus toodud kolmnurkjaotusega

Kahe jaotuse konvolutsiooni saab leida ka graafiliselt Jaumlrgnevatel joonistel on toodud konvolutsiooni graafilise arvutamise naumlide juba arvutatud uumlhtlaste jaotuste liitmisest Osutub et konvolutsiooni integraal kohal t on votilderdne funktsioonide x(τ) ja h(t ndash τ) kattuvuspiirkonna pindalaga

58

Naumlide 215 Leiame konvolutsiooni integraali kahest eksponentjaotusest

gt

==minus

mujal0

0)()(

xexgxf

x

intintinfin

infinminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=minussdot= dyeedyyxgyfxgf yxy )()()())((

Leiame jaumllle tingimused kus konvolutsiooni integraali motildelemad komponendid oleksid nullist

erinevad Esimene tingimus on et [ )0 infin=y Teine tingimus on et

[ [ [ ))0)0 xyyxyx infinminus=rArrinfinminus=+minusrArrinfin=minus

Vaadates neid motildelemaid tingimusi on selge et alumiseks piiriks on 0 ja uumllemiseks on x

[ ]xy 0=

Hakkame nuumluumld konvolutsiooni integraali arvutama

59

intint

intint

minusminusminus

minusminus

minusminusminusinfin

infinminus

sdot=sdotsdot=sdot=

=sdot=minussdot=

xxx

x

y

xy

xyxy

exdyedye

ee

dyeedyyxgyfxgf

00

0

)(

1

)()())((

Alloleval joonisel on toodud nii eksponentjaotuse graafik kui ka kahe eksponentjaotuse konvolutsiooni graafik

0 2 4 6 8 100

02

04

06

08

11

0

exp xminus( )

x exp xminus( )sdot

100 x

252 Keskne piirteoreem

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildeltuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste)

summa sum=

=n

iiXX

1 jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on liidetavate arv n seda

vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid suuruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreemi potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildeplik dispersioon)

Matemaatiline keskse piirteoreemi definitsioon

Olgu X1 X2 juhuslikud suurused sum=

=n

iin XS

1 Kui infinlt= )( nXDσ siis

60

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro (230)

kus )( nXm=micro

Selle teoreemi kehtides on selge et ka Sn on ise normaaljaotusega sest konstandi lahutamine ning jagamine konstandiga ei muuda jaotuse kuju vaid ainult parameetreid

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piirteoreemi Selleks tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude generaatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus (0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingimust et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid eelmises loengus lahendatud kolmnurkjaotusele eksponentjaotusele ning parabooljaotusele

1 Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul ltlt

=mujal0

102)(

yyyf Eelmises

loengus saime et sellise jaotuse keskvaumlaumlrtus on 32)( =ym ning standardhaumllve on

181=σ

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on xxdxxF xx

==sdot= int 0

0

1)(

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on 2

02

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

Kuna F(y) = F(x) siis xy =2 jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur

uumlhtlasest jaotusest

)10(Uxy ==

2 Vaatame eksponentjaotust mis on defineeritud kujul gtsdotminussdot

=mujal0

0exp()(

yyyf

λλ

Eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus on λ1)( =ym ning standardhaumllve on λσ 1=

61

Eksponentjaotuse jaotusfunktsioon on )exp(1)( yyF sdotminusminus= λ

Kuna F(y) = F(x) siis

λλ

λλ

))10(1ln()1ln(

)1ln(

)exp(1)(

Uxy

xy

xyyF

minusminus=

minusminus=

minusminus=sdot

=sdotminusminus=

3 Vaatame parabooljaotust mis on defineeritud kujul

ltsdot=

mujal0

12

3)(

2 yyyf

Parabooljaotuse keskvaumlaumlrtus on suumlmmeetria kaalutlustel 0)( =ym arvutame y2 keskvaumlaumlrtuse ning siis standardhaumllbe

5

3

10

3

10

3

52

3

2

3)( 1

1

51

1

42 =+=sdot== minus

minusint

ydyyym

5

3

5

30

5

3)( 2 =rArr=minus= σyD

Parabooljaotuse jaotusfunktsioon on

intinfinminus

minus

+=+===

yy yyy

dyyyF2

1

2

1

222

3)(

33

1

32

Kuna F(y) = F(x) siis

33

3

1)10(212

2

1)(

minussdot=minus=

=+

=

Uxy

xy

yF

Nuumluumld motildetleme teoreetiliselt laumlbi kuidas piirteoreemi (230) uurida Taumlhistame summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n-ga Genereerime n numbrit ning arvutame nende summa ning teoreemis antud suuruse Zn Saadud uumlksikut numbrit vaadates ei saa me aga teha mingisugust jaumlreldust selle kohta

62

millisest jaotusest ta paumlrineb Jaotuse motildeistmiseks tuleb suurust Zn arvutada palju kordi alles seejaumlrel saame leida Zn histogrammi ning votilderrelda seda normaaljaotusega parameetritega N(01)

Demo keskne_piirteoreem_v2mcd

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavate vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest jaotustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotildeige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Sellest hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste summat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kinnitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

Naumlide 216 Genereeri arkussiinusjaotus 10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxf

π

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ votildettes aluseks uumlhtlase jaotuse U(01)

Lahendus

2

2

)10(sin

2

)10()arcsin(

)10()arcsin(2

)(

sdot=

sdot=

=sdot

=

Uy

Uy

Uy

yF

π

ππ

63

3 Motildeotildetevead ja motildeotildetemaumlaumlramatus

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt (tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eksperimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildeteviga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti Votildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhuslikust komponendist

31 Suumlstemaatilised vead

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi on votildeimalik piisavalt taumlpselt maumlaumlrata

Naumliteks

bull testri 0 votildeib olla paigast aumlra bull keha massi maumlaumlramisel uumllesluumlkkejotildeu arvestamata jaumltmine bull termomeetri skaala votildeib olla nihkes

Votildeimaluse korral tuleb seda liiki vead kindlasti kotildervaldada votildei aumlaumlrmisel juhul arvesse votildetta parandite abil Teadaoleva (aditiivse) suumlstemaatilise vea arvestamisel saame

motildeotildetmistulemuse parandatud vaumlaumlrtuseks qxx +=~ kus q on aditiivsest suumlstemaatilisest

veast tingitud parand Aditiivne viga ei sotildeltu motildeotildetmistulemuse vaumlaumlrtusest

Motildenikord votildeib meil tegemist olla ka multiplikatiivse veaga st veaga mis kasvab votilderdeliselt motildeotildetmistulemuse kasvuga Sellisel juhul tuleb parandatud motildeotildetmistulemuse saamiseks

motildeotildetmistulemus parandusteguriga laumlbi korrutada xQx sdot=~ kus Q on multiplikatiivset

suumlstemaatilist haumllvet arvestav parandustegur

Nihkes skaalaga seadmete kasutamiseks lisatakse kalibreerimisel seadme dokumentatsioonile parandite tabel kust saab leida vajaliku vaumlaumlrtuse parandi (votildei parandusteguri) jaoks

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mitte

Siia alla kaumlivad kotildeik riistavead Need on potildehjustatud ebataumlpsest gradueerimisest Nagu edaspidi naumleme on siin sisuliselt tegu B-tuumluumlpi (motildeiste taumlpsustame edaspidi) motildeotildetemaumlaumlramatusega ja seda viga saab iseloomustada motildeotildetemaumlaumlramatuse abil Potildehimotildetteliselt aga saab sellisest suumlstemaatilisest veast ka vabaneda kui kontrollida motildeotildeteriista motildene teise tunduvalt taumlpsema motildeotildeteriistaga ja koostada vastava parandite tabeli

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata Sellised vead votildeivad esineda juhtudel kui kasutatakse uut motildeotildetmismeetodit votildei kui on tegemist aumlaumlrmiselt keeruliste motildeotildetmistega Kui vea olemaolu on motildeotildetjale teadmata siis selline viga jaumlaumlb motildeotildedetud suuruse vaumlaumlrtusesse paratamatult sisse

Teadmata suumlstemaatiline viga votildeib esineda ka kuumlllalt lihtsatel juhtudel Olgu naumliteks vaja maumlaumlrata mingi materjali elektrijuhtivust Selleks motildeotildedetagu sellest materjalist tehtud traadi takistust Kui traadis on mingi varjatud materjalidefekt (pragu ebahomogeenne koht) siis takistuse vaumlaumlrtus tuleb suumlstemaatiliselt vale

Teadmata suumlstemaatilisest veast saab vabaneda randomiseerimise teel milleks puumluumltakse suumlstemaatiline haumllve muuta osaliselt votildei taumlielikult juhuslikuks Traadi naumlite puhul tuleks

64

motildeotildeta paljude traadituumlkkide takistus ja leida nende keskvaumlaumlrtus Kui aga viga on vaumlga suur siis ei ole randomiseerimist vajagi piisab kui fikseerime vigase traadi (mille takistus osutus naumliteks uumllejaumlaumlnutest erinevaks 10 korda) ja jaumltame selle edasisest motildeotildetmisest kotildervale

32 Juhuslikud vead Motildeotildedetava suuruse statistilin e hinnang

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel alati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest teguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

Uumlkskotildeik kui hoolikalt me ka ei motildeotildedaks uumlht ja sama detaili me saame erinevatel sotildeltumatutel motildeotildetmistel erineva tulemuse See erinevus votildeib olla vaumlga vaumlike kuid ta on potildehimotildetteliselt alati olemas Peamised juhuslikkuse allikad on vaumllised tegurid motildeotildedetava objekti enda muutlikkus ja motildeotildetmisi teostava isiku oskused ja kogemustepagas Seetotildettu on motildeotildedetav suurus juhuslik suurus X ja iga motildeotildetmistulemus (iga uumlksikmotildeotildetmine) on selle juhusliku suuruse realisatsioon x

321 Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xt X juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(31)

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildettes (NB idealiseeritud eeldusel et muid veaallikaid ndash suumlstemaatilist viga teadmata viga vms ndash ei esine)

lim tNN xx =infinrarr (32)

Et motildeotildetmisi on alati lotildeplik hulk (N alati lotildeplik) ning reaalsetel motildeotildetmistel idealiseeritud eeldused (ei esine suumlstemaatilist viga teadmata viga jne) ei kehti siis tegelikult me ei saa kunagi teada totildeelist

motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtust ja me peame alati piirduma ligikaudse statistilise hinnanguga Nx See statistiline hinnang votildeetakse motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks

65

322 Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel maumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni (219)

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsemad kui viimased siis pi = 1N seega

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ (33)

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nimetatakse empiiriliseks dispersiooniks

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

(34)

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seoseid

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

kus d on juba eespool selles punktis defineeritud uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildeelist dispersiooni otildeigesti kuna (esmavaatlusel votildeib-olla motildenevotilderra ootamatult) suurus 2

Nσ alahindab

dispersiooni Suurte N-de korral ei ole suurt erinevust millist dispersioonihinnangut kasutada vaumlikeste puhul (N lt 10) aga kuumlll Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispersiooni hindamisel valemit (34) mida nimetame suuruse X empiiriliseks dispersiooniks Kehtib

2 dsN asymp (35)

(Tegemist on muidugi d hinnanguga mis on seda parem mida suurem on N)

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=

sum= (36)

66

323 Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise sum=

=N

kkN X

NX

1

1 arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11 (37)

Seega Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus langeb kokku uumlksiksuuruse keskvaumlaumlrtusega

Dispersioon on aga (ilma totildeestuseta)

[ ]N

dXD N =

ning jaumlreldusena

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ (38)

Seega

Uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

See on vaumlga taumlhtis ja fundamentaalne tulemus mida kasutatakse laialdaselt fuumluumlsikalistel motildeotildetmistel Nimelt ndash kotildeigepealt tehakse N motildeotildetmist Seejaumlrel leitakse motildeotildetmistulemuste aritmeetiline keskmine

1

1

mxN

xN

iiN asymp= sum

=

(39)

mis vastavalt valemi (37) tulemustele votildeetaksegi motildeotildedetava suuruse m hinnanguks Eelneva potildehjal on see usaldusvaumlaumlrsem kui uumlksikmotildeotildetmised ja motildeotildetmiste arvu suurenemisel aritmeetiline keskmine erineb uumlha vaumlhem motildeotildedetava suuruse tegelikust keskmisest vaumlaumlrtusest kusjuures see erinevuse suurus on hinnatav valemiga aritmeetilise keskmise standardhaumllbele (38)

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbe arvutamiseks mitte valemit (38) vaid hoopis valemit (36) st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumllbena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

67

Naumlide 31 Taumlppiskaalude kasutamisel annab iga motildeotildetmine veidi erineva tulemuse seoses erinevate vibratsioonidega Nende vibratsioonide vaumlhendamiseks on motildened laborid ehitatud eriprojekti jaumlrgi votildettes kasutusele mitmeid lahendusi Naumliteks Fuumluumlsika Instituudis on keldris labor mille toumloumllaud on massiivsest mitmetonnisest raudplaadist see asetseb vedrudel mis toetuvad muust majast eraldatud vundamendile

Kuna vibratsioonide sagedus on suur votilderreldes motildeotildetmiste sagedusega siis ei motildeotildetmised omavahel sotildeltuvad ning aritmeetilise keskmise standardhaumllbe leidmiseks votildeib kasutada valemit (38)

Naumlide 32 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik on toodud joonisel (31) On selgesti naumlha et keskmise temperatuuri leidmiseks tehtud motildeotildeteseeria aritmeetiline keskmine ei lange kokku ruumi temperatuuri tegeliku keskmise vaumlaumlrtusega Tulemus ei paraneks kui motildeotildetmisi oleks teostatud sama aja jooksul kuid 100 korda tihedamalt

Aeg

Temperatuur

Joonis 31 Kontrollitud temperatuuriga ruumi temperatuuri ajaline kaumlik ning motildeotildeteseeria ruumi keskmise temperatuuri maumlaumlramiseks

Naumlidete 1 ja 2 potildehjal votildeib jaumlreldada et vaumlga oluline on motildeotildetesuuruses esineda votildeiva suumlstemaatilise muutlikkuse sagedus ndash kui see on suurem kui motildeotildetmiste sagedus siis votildeib kasutada valemit (38) aga kui see sagedus on oluliselt vaumliksem kui motildeotildetmiste sagedus siis peab piirduma valemiga (36) Selle demonstreerimiseks votildeib joonistada siinusgraafiku ning kanda sellele kaks motildeotildeteseeriat ndash uumlks mille ulatus on murdosa votildenkeperioodist (nagu joonis 31) ning teine mille ulatus on mitmeid votildenkeperioode

Naumlide 33 Olgu pliiatsitehases pliiatsiautomaadi poolt toodetavate pliiatsite pikkus X Kui taumlpne ka ei oleks masin ka temale on omane eksimine (eksimine on inimlik rArr eksimine on masinlik) ja lotildeppkokkuvotildettes pliiatsite pikkused veidi erinevad uumlksteisest Teiste sotildenadega X on juhuslik suurus Me tahame hinnata

(1) milline on keskmine pliiatsi pikkus mida see masin produtseerib

68

(2) milline on uumlksiku pliiatsi pikkuse standardhaumllve

(3) kui oleme hinnanud pliiatsi keskmise pikkuse siis milline on selle keskmise hinnangu enese standardhaumllve

Votildetame peoga pliiatseid ja saame valimi (juhuslikult) 30 pliiatsist N = 30 Motildeotildedame nad aumlra olgu

motildeotildetmisoperatsioon ise taumlpne ja tulemused olgu ix Nuumluumld

a) arvutame aritmeetilise keskmise Nx valemist (39) See annab meile (hinnangulise)

vastuse kuumlsimusele (1) olgu konkreetselt Nx = 1980 mm

b) arvutame empiirilise standardhaumllbe Ns (36) See annab vastuse kuumlsimusele (2)

Olgu konkreetselt Ns = 1 mm Seejuures eeldusel et pliiatsite pikkuse jaotus on

normaalne asub 67 totildeenaumlosusega uumlksikpliiatsi pikkus vahemikus [ ]NNNN sxsx +minus =

[197199] mm ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus [ ]NNNN sxsx 22 +minus = [196200] mm

c) lotildepuks arvutame keskmise pikkuse enese hajuvuse valemist (38) See annab vastuse

kuumlsimusele (3) Konkreetse numbrilise vaumlaumlrtuse Ns = 1 mm korral saame

[ ] 1804851301 ==== NsXu NN mm

Eeldame et pliiatsite pikkuse jaotus on suumlmmeetriline siis valimi maht 30 lubab meid juba eeldada et aritmeetilise keskvaumlaumlrtuse jaotust votildeib vastavalt kesksele piirteoreemile laumlhendada normaaljaotusega seega asub 67 totildeenaumlosusega pliiatsite keskmine pikkus vahemikus

[ ]2198819730

30

=

+minus NN

NN

sx

sx mm

ja totildeenaumlosusega 95 vahemikus

[ ]4198619730

2

30

2=

+minus NN

NN

sx

sx mm

69

33 Motildeotildetemaumlaumlramatus

Niisiis meil pole teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus (kui oleks siis poleks motildeotildetmised tarvilikud) ning seda totildeelist vaumlaumlrtust ei anna ka suure arvu kordusmotildeotildetmiste keskmistamine Maksimum mida saab notildeuda on motildeotildetmistest leitud motildeotildedetava suuruse mingi arvatav parim hinnang ndash naumliteks kordusmotildeotildetmistel on selleks aritmeetiline keskmine ndash ning teatav intervall selle parima hinnangu uumlmber millesse etteantud usaldusnivooga kuulub motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus Seega motildeotildetmistulemuseks ei ole mitte punkt arvsirgel vaid motildeotildetmistulemuseks on lotildeplik lotildeik reaalteljel mis maumlaumlrab motildeotildedetava suuruse votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni Olukorda illustreerib joonis 32

Joonis 32 Suuruse parim hinnang totildeeline vaumlaumlrtus ning motildeotildetemaumlaumlramatus

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja lotildepp-punktiga xmin ja xmax Tavalisem ja levinum

on siiski anda lotildeigu keskpunkt milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang Nx ning lotildeigu poollaius u(x) Seda poollaiust u(x) nimetatakse motildeotildetemaumlaumlramatuseks (motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis u on tulnud ingliskeelsest terminist uncertainty)

Motildeotildetemaumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on lotildeigu poollaius u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetemaumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus usaldusintervalli [ ])()( xuxxux NN +minus satub Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu Nx u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eeskirjad parima hinnangu Nx motildeotildetemaumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus maumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus nenenene viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsioon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetemaumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast teadaolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmistulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda maumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatiliste motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildeib osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votildeimalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemusel olla uumlsna suur maumlaumlramatus

70

Motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi maumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetemaumlaumlramatus kannab nime

Liitmaumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi maumlaumlramatus

Kasutatakse veel ka standardmaumlaumlramatuse motildeistet Standardmaumlaumlramatus on standardhaumllbe kujul vaumlljendatud motildeotildetmistulemuse maumlaumlramatus

Maumlaumlramatuse komponentide A ja B gruppi jagamise eesmaumlrgiks on nende hindamise kahe erineva viisi rotildehutamine mitte aga erineval viisil saadud komponentide iseloomu erinevuse naumlitamine Motildelemad hinnangud potildehinevad totildeenaumlosusjaotusel ja motildelemal viisil saadud maumlaumlramatuse komponendid esitatakse dispersioonhinnangu votildei standardmaumlaumlramatuse (standardhaumllbe hinnangu) abil Potildehiline ja oluline erinevus on selles et A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus saadakse vahetult motildeotildetmistulemustest nende statistilise toumloumltluse tulemusel kuna B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse leidmisel kasutatakse kaudsel viisil hangitudteadaolevat totildeenaumlosuslikku informatsiooni (Naumliteks on teada et motildeotildeteriista vea jaotust votildeib kaumlsitleda uumlhtlase seaduse kohaselt)

Jaumlrgnevas vaatleme A- ja B-tuumluumlpi maumlaumlramatusi ning liitmaumlaumlramatust laumlhemalt

331 A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendades kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele poole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllistingimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Naumlide 34 Stomatoloogiakabinetis kaalutakse hambakulda Kabinet paikneb vanas majas kus potilderand pisut kotildeigub kui seda moumloumlda kotildendida Tundlikke kaale on raske tasakaalustada Iga motildeotildetmine annab isesuguse tulemuse

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse statistilisel hindamisel

A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Au

Niisiis tehakse N motildeotildetmist ja leitakse aritmeetiline keskmine (mis uumlhtlasi votildeetakse ka motildeotildedetava suuruse parimaks hinnanguks kui seda ei ole vaja taumliendavalt korrigeerida teadaoleva suurusega suumlstemaatilise vea totildettu)

121

N

x

N

xxxxx

N

ii

NNt

sum==

+++=asymp

K

71

Seejaumlrel hinnatakse motildeotildedetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllve valemitega (36) omavahel sotildeltuvate motildeotildetesuuruste korral ning valemiga (38) omavahel sotildeltumatute motildeotildetesuuruste korral

332 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev maumlaumlramatus mis ei

ole statistiliselt vaumlhendatav B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse taumlhis on Bu

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildetevahend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt teisele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja samal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduvad motildeotildetmised tema suurust ei kahanda Kaumlesoleva kursuses seomegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse konkreetse riistaveaga

Naumlide 35 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 33) potildehiviga (ehk riistaviga) on mm050=∆o St eeldatakse et motildeotildeteriistast tingitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel ∆x = x ndash xt jaumlaumlb

piiridesse

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

Joonis 33 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motildeotildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale (Toodud joonisel on see 01 mm Praktikumis kasutakse kaks korda taumlpsemat riista potildehiveaga 005 mm)

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik viga ei vaumllju neist piirest

Uumlldiselt eeldatakse et (konkreetse) motildeotildeteriista viga on jaotunud uumlhtlaselt lotildeigul [ ]oo ∆+∆minus so

motildeotildeteriista vea jaotustihedus on uumlhtlane jaotus keskvaumlaumlrtusega nullis (lotildeigu otspunktid on seetotildettu

oa ∆minus= ja ob ∆= ) ning standardhaumllbega

580323

1o

o ∆=∆

=minus

=ab

σ

See standardhaumllve votildeetaksegi B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

72

5803

oo ∆=

∆=Bu

333 Liitmaumlaumlramatus

Motildeotildetmistulemuse standardmaumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitmaumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis saadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2 (310)

Eeldatakse et A ja B tuumluumlpi maumlaumlramatuse maumlaumlravadpotildehjustavad juhuslikud suurused mis on vastastikku korreleerimatud (sotildeltumatud) ndash ainult sel juhul kehtib dispersioonide liitumise seadus

Keerulisemate motildeotildetmiste korral votildeib meil olla tegu mitme A-tuumluumlpi komponendiga 21 AA uu hellip

ning mitme B-tuumluumlpi komponendiga 21 BB uu hellip Sel juhul

22

21

2A2

2A1C ++++= BB uuuuu

Naumlide 36 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust N = 100 korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks

mm 64876=Nx ja tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == Nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

Jaumlrelikult koond- ehk liitmaumlaumlramatuseks saame mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siin oleme arvesse votildetnud juhusliku haumllbe ja motildeotildeteriista ebataumlpsuse kuid arvesse votildetmata jaumltnud suumlstemaatilise haumllbe

Tulemus esitatakse sageli kujul

mm )0530(64876=x votildei

mm )53(64876=x

votildei

mm 053064876 plusmn=x

Kahjuks pole eelnevatest kirjaviisidest votildeimalik uumlheselt aru saada kas tegemist on maumlaumlramatusega standardmaumlaumlramatuse tasemel laiendmaumlaumlramatusega votildei hoopis motildeotildeteriista veaga Mitmetimotildeistmise vaumlltimiseks esitame antud kursuse raames motildeotildetetulemust kujul

73

( ) mm0530mm 64876 xux == Muidugi votildeib kasutada veelgi taumliuslikumat kirjaviisi tulemuste esitamiseks

mm 64876=x

100=N

68=p

mm 0530C =u

( ) mm 0440A =xu normaaljaotus

mm 0290B =u uumlhtlane jaotus

34 Uumlmardamine ning taumlhendnumbrite hulk maumlaumlramatus e arvutamisel

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uumlsna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjutamisel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal (taumlhendnumbrite hulk e taumlhendusega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus) Tulemused esitatakse uumlmardatult Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 ja 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati et arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suumlstemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise reegel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber oleks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagades nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulemuse

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid peale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samuti uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbriteks

Naumlide 37 10 400 5 taumlhendnumbrit

104middot102 3 taumlhendnumbrit

10 40000 7 taumlhendnumbrit

001040 4 taumlhendnumbrit

Motildeotildetemaumlaumlramatus esitatakse kas uumlhe votildei kahe taumlhendnumbriga ISO standardi alusel esitatakse maumlaumlramatus taumlppismotildeotildetmistel kahe taumlhendnumbri taumlpsusega ja tavamotildeotildetmistel uumlhe taumlhendnumbri taumlpsusega Kui arvutustel tuleb motildeotildetemaumlaumlramatus pikem siis uumlmardatakse tulemus vastavalt kas kahe votildei uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks Uumlmardatakse ainult lotildepptulemust vahetulemuste uumlmardamisel votildeiks alles jaumltta vaumlhemalt kolm taumlhendnumbrit sest lahenduse algstaadiumis tehtud uumlmardamise viga votildeib arvutamise kaumligus votildeimenduda

74

Naumlide 38

Arvutatud uc 23751 23751 023751 00023751

uc kahe taumlhendnumbriga 24middot103 24 024 00024

uc uumlhe taumlhendnumbriga 2middot104 2middot101 02 0002 Motildeotildetmistulemus esitatakse alati maumlaumlramatuse viimase koha taumlpsusega

Naumlide 39 Olgu motildeotildedetud suurus x= 733565023 ja arvutatud motildeotildetemaumlaumlramatus uC = 00382765

Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 0038 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 73357 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 73358(38) votildei x = 73358(0038)

Naumlide 310 Olgu motildeotildedetud x = 1003476 ja uC = 05246 Uumlmardame motildeotildetemaumlaumlramatuse uumlhe taumlhendnumbri pikkuseks uC = 05 Seega motildeotildedetud suurus uumlmardub kujule x = 1003 Motildeotildetmistulemuse votildeime kirjutada kujul x = 1003(5) votildei x = 1003(05)

35 Ekse

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmselgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekkinud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisega kaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellistel juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mil naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumlidu kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemused mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemus erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste protokolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane maumlrge

75

36 Jaumlaumlkvaumlaumlrtused ja vabadusastmete arv

Oletame et me arvutame keskvaumlaumlrtust m(x) valimi suurus on n Kasutame uuesti dispersiooni defineerimisel kasutatud suurust haumllve ehk tsentreeritud juhuslik suurus ehk jaumlaumlkvaumlaumlrtus (217)

)21()( nixmxii =minus=ε (311)

Kehtib seos

01

=sum=

n

iiε (312)

Seda seost on kerge totildeestada kasutades keskvaumlaumlrtuse m(x) definitsiooni

Kuna jaumlaumlkvaumlaumlrtused on omavahel seotud valemi (312) kaudu ei ole nad sotildeltumatud Kui meil on teada n ndash 1 jaumlaumlkvaumlaumlrtust siis n-s jaumlaumlkvaumlaumlrtus on arvutatav seosest (312) Seetotildettu oumleldakse et n jaumlaumlkvaumlaumlrtust omavad vabadusastmete arvu ν

1minus= nυ (313)

Kui aga n sotildeltumatut motildeotildedist on vaumlhimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge totildeusu kui ka algordinaadi maumlaumlramiseks siis on vastavate standardmaumlaumlramatuste vabadusastmete arv 2minus= nυ Analoogselt kui vaumlhimruutude meetodil hinnatakse m parameetrit n andmepunkti alusel siis on iga parameetri vabadusastmete arv mnminus=υ

Kasutades suurust ν saame esitada juhusliku suuruse X empiirilise standardhaumllbe (36) kujul

υ

sum=

minus=

N

i

Ni

N

xxs 1

2)( (314)

See valem on uumlldisem kuna ei sotildeltu sellest mitut parameetrit m valimist suurusega n on leitud

361 B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv

On totildeestatud et maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus on

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu (315)

See ligikaudne votilderdsus laumlheb votilderdsuseks normaaljaotuse erijuhul Samas polegi meil enamasti vaja mitte taumlpset vaumlaumlrtust vaid piisab ka maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatuse suurusjaumlrgulisest hinnangust milleks on valem (315) igati sobiv

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu maumlaumlramatus 10

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

76

2

2

2 )(21

)(2

minus

=asymp

s

su

su

sν (316)

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi maumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on maumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Valemist (316) saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt esitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomeetri naumlidu standardmaumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase

jaotuse standardmaumlaumlramatus on 0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu degC Siit saame et

144020

02890

)(

))((==

tu

tuu ning vabadusastmete arv on ( ) 241440

2

1 2 == minusν

362 Liitmaumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete ar v

Liitmaumlaumlramatuse (310) vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutada kuumlll aga votildeib leida efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaite valemit

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitmaumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv arvutatult valemist (317) ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise efektiivsete vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tulemus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuks 6

Naumlide 313 (Jaumltkame naumlidet 36)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

Nihiku potildehivea mm050=∆ korral saame B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks

mm 02903

050

3B ==

∆== σu

77

ning koondmaumlaumlramatuseks

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Siit algab naumlite uus osa

Leiame nuumluumld komponentide vabadusastmed

991A =minus= nν

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv on lotildepmatu nagu naumlitasime naumlites 1 Efektiivne vabadusastmete arv on vastavalt valemile (317)

20842080290

990440

0530

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

Seega saime metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

37 Studenti test ning motildeotildetetulemuse laiendmaumlaumlrama tus

Nii m(x) kui ka uN on motildelemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt votildettes ei totildeeline keskvaumlaumlrtus ega aritmeetilise keskmise totildeeline standardhaumllve (kuigi nad on nendele suurustele laumlhedased sest nende hajuvus on vaumlike) Inglise teadlane Student alias WS Gosset totildeestas

Kui X on normaalne juhuslik suurus siis juhuslik suurus

[ ]

( )N

N

xu

XmxT

minus= (318)

allub jaotusele tihedusega

22

11 11)(

N

NN N

tCts

minus

minusminus

minus+= (319)

Siin 1minusNC on normeerimistegur Jaotust (319) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti

jaotuseks Studenti jaotus erinevate 1minusN vaumlaumlrtuste korral on toodud joonisel 34 millelt on ka naumlha kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades laumlheneb standardiseeritud normaaljaotusele

78

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

Joonis 34 Uumlhe kahe viie ja kuumlmne vabadusastmega Studenti jaotus )(1 xsNminus ning

standardiseeritud normaaljaotus )(xf

Studenti jaotuse oluline omadus on et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon )(1 tsNminus sotildeltub vaid uumlhest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) 1minusN ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Selles motildettes on tegu universaalfunktsiooniga mis iseloomustab suvaliste uumlhesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa uumlldisi omadusi

Otsene jaumlreldus asjaolust et juhuslik suurus (318) allub Studenti jaotusele on et usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

[ ] )()()()( 11 pxuptxxxuptxP NNNNNN =+ltltminus minusminus (320)

Siin suurus )(1 ptNminus on (Studenti) t-kordaja ndash parandustegur etteantud usaldusnivoo p ja 1minusN

vabadusastme korral t-kordaja on samuti ainult uumlhest parameetrist N sotildeltuv universaalne

usaldusnivoo funktsioon mis on leitav Studenti jaotusest Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p

vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult Studenti t-kordaja tabuleeritud vaumlaumlrtused on toodud lisas 1 Mathcadis

on t-kordaja leidmiseks funktsioon

+

ν2

1 pqt Excelis funktsioon ( )ν1 pTINV minus

Valemit (320) nimetatakse Studenti testiks

Suurte N -ide korral laumlheb Studenti jaotus uumlle standardiseeritud normaaljaotuseks Tabelis 1 toodud

Studenti t-kordaja tabelist on naumlha et naumliteks 304)95(2 rarrt ja 094)7399(9 rarrt jne Erinevus

on oluline alas 30ltN ja vaumlga oluline alas 10ltN

79

Tabel 31 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja

soovitavast usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(I) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

80

Kuigi liitmaumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse y maumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitmaumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutatakse nn laiendmaumlaumlramatust taumlhisega U Laiendmaumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitmaumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate maumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendmaumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendmaumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastmete arv

Laiendmaumlaumlramatus U saadakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot= (321)

Kattetegus valemis (321) on arv mida kasutatakse liitmaumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendmaumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule [ ]UyUy +minus etteantud usaldatavustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 votildei 99 Et saada vaumlaumlrtust kattetegurile kp mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p vajame detailseid teadmisi motildeotildetetulemuse ja tema totildeenaumlosusjaotuse kohta

Oletame et keskse piirteoreemi eeldused on enam-vaumlhem taumlidetud st et liitmaumlaumlramatuses u(y) ei domineeri sisendsuuruse standardmaumlaumlramatuse komponent mis on saadud vaumlikesest arvust motildeotildedistest A-tuumluumlpi hindamismeetodit kasutades votildei komponent mis tugineb eeldatud jaotusele mis ei ole normaaljaotus (B-tuumluumlpi hindamismeetod) Sellest oletusest jaumlreldub et motildeistlik esimene laumlhend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine Kui esimene eeldus ei kehti st on vaumlike arv motildeotildediseid siis on motildeistlik arvutada efektiivsete vabadusastmete arv ning kasutada Studenti jaotust Kui teine eeldus ei kehti st domineerib normaaljaotusest erinev jaotus siis tuleks leida jaotusfunktsioon ning sealt arvutada katteteguri vaumlaumlrtus Motildeningad ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivad kp vaumlaumlrtused on toodud tabelis 32

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studenti jaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

81

Naumlide 314 Metallsilindri motildeotildetmine (jaumltkame naumliteid 36 ja 313)

Vaatleme konkreetselt metallsilindri motildeotildetmist Oletame et motildeotildetsime metallsilindri pikkust n= 100

korda Oletame et eksperimendist saime saja motildeotildetmise keskmiseks vaumlaumlrtuseks mm 64876=Nx ja

tema standardhaumllbeks mm 0440)(A == nxuu

mm 053002900440 2222 =+=+= BAC uuu

Metallsilindri efektiivsete vabadusastmete arvuks 208

Leiame Studenti t-kordaja vaumlaumlrtuse vabadusastmete arvule 208 usaldusnivool 95 tabelist 31 Tabelis on vabadusastmete arvule 100 vastav t-kordaja 1984 ning lotildepmatu vabadusastmete arvu korral 1960 Vabadusastmete arvu 208 korral votildeime votildetta t-kordaja vaumlaumlrtuseks vahepealse vaumlaumlrtuse ehk k095 = 197 Nuumluumld saame metallsilindri pikkuse laiendmaumlaumlramatuseks

mm100mm10440mm 0530971)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Seega on metallsilindri keskmine pikkus mm 6576=Nx ning laiendmaumlaumlramatus mm100)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 315 Laua pikkust motildeotildedeti 5 korda joonlauaga resolutsiooniga 5 mm Kotildeik motildeotildetmised andsid laua pikkuseks 185 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 185 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on null sest motildeotildetmistulemustes puudus varieeruvus

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud joonlaua resolutsioonist mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm44112

mm 5

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on votilderdne B-tuumluumlpi maumlaumlramatusega Laiendmaumlaumlramatuse leidmisel tuleb samuti arvestada uumlhtlase jaotusega tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1645 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm2mm36882mm 4416451)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 185=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm2)( =nxU (usaldusnivool

95 )

Naumlide 316 Laua pikkust motildeotildedeti 2 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Motildeotildetmistulemusteks olid 1847 mm ning 1851 Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on ilmselt 1849 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

82

( )mm20

122020

1

)( 221

2

=sdot+

=minus

minus==

sum=

NN

xxsu

N

i

Ni

NA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 200mm 200500144020 2222 rarr=+=+= BAC uuu

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses domineerib A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponent Maumlletame et uumlhtlasest jaotusest votildeetud kahe motildeotildedise keskvaumlaumlrtus on kirjeldatav kolmnurkjaotusena tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1902 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm40mm38040mm 2009021)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 9184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm40)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlide 317 Laua pikkust motildeotildedeti 100 korda nihikuga potildehiveaga 005 mm Laua pikkuse motildeotildetmise aritmeetiline keskmine oli 184872 mm empiiriline standardhaumllve oli 018 mm Leida laua pikkus ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Laua pikkuse aritmeetiline keskmine on 184872 mm A-tuumluumlpi maumlaumlramatus on

mm0180100

180===

N

suA

Laua pikkuse B-tuumluumlpi maumlaumlramatus on tingitud nihiku potildehiveast mis eeldatavasti allub uumlhtlasele jaotusele

mm0144012

mm 050

12)( ==

∆=xuB

Laua pikkuse koondmaumlaumlramatus on seega

mm 0230mm 023050014400180 2222 rarr=+=+= BAC uuu

83

Naumleme et koondmaumlaumlramatuses on A-tuumluumlpi ja B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse komponendid suurusjaumlrgus sama kaaluga A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel on vabadusastmete arv 99 B-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatusel lotildepmatu Arvutame vaumllja koondmaumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

26392630230

990180

0230

)(

)(44

4

44

4

1

4

4

rarr=

infin+

=

+

==

sum= B

B

A

A

Cn

i i

i

effuu

u

yu

yu

ννν

ν

tabelist 32 saame katteteguri vaumlaumlrtuseks k095 = 1984 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

mm0460mm045630mm 02309841)( rarr=sdot=sdot= Cpn ukxU

Laua keskmine pikkus on mm 872184=Nx ning laiendmaumlaumlramatus on mm0460)( =nxU

(usaldusnivool 95 )

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete sama lauda motildeotildedeti 3 korda neist naumlites 315 vaumlikese resolutsiooniga joonlauaga naumlites 316 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 2 korda ning naumlites 317 motildeotildedeti taumlpse nihikuga 100 korda Saadud keskvaumlaumlrtused koos laiendmaumlaumlramatuse vahemikuga on toodud alloleval joonisel Kooskotildela tulemuste vahel on vaumlga hea kuigi maumlaumlramatused on mitu suurusjaumlrku erinevad

182

183

184

185

186

187

188

84

38 Motildeotildetmistulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus kahe sisendsuu ruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui esinevad vaumliksed haumllbed

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 1012 = 10201

valime x = 10 δx= 01 siis 102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suurust X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrtused m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetemaumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vastava Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

ehk

YYY δ+= (322)

kus

( )21xxYY = ja 22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part= (323)

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

( )[ ]22 )( YmYu δ= (324)

kus [ ]m taumlhistab matemaatilist ootust nagu varemgi Valem (324) eeldab et haumllbe Yδ keskvaumlaumlrtus on null

[ ] 0=Ymδ

See eeldus on rangelt votildettes taumlidetud vaid siis kui

[ ] 0=ixmδ so kui [ ] ii xXm = (325)

Ligikaudu see nii ongi ja sel juhul on (324) kasutamine otildeigustatud Pannes Yδ avaldise (323) valemisse (324) saame

85

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

part

part+

part

part=

2

22

2121

2

11

2

22

11

2 2)( xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ymx

x

Yx

x

YmYm δδδδδδδ

Kui motildeotildetevigade keskvaumlaumlrtused on nullid (nagu eeldab valem (325)) siis on keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

seega saame Y motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (326)

Korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel on defineeritud jaumlrgmiselt

sum sum

sum

= =

=

minusminus

minusminus=

N N

k

N

yx

yyxx

yyxxr

1k 1k

22k

1kkk

)()(

))(( (327)

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemust Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera mass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepikkus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne nulliga ning valem (326) lihtsustub

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (328)

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (329)

Naumlide 319 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m (uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist

6

ruumala 3D

MM

πρ == (330)

Tiheduse ja tema maumlaumlramatuse arvutamiseks on kotildeigepealt vaja leida diameetri ning massi keskvaumlaumlrtused ning standardmaumlaumlramatused

Kera diameeter olgu motildeotildedetud 10=N korda nihikuga mille potildehiviga mm050o =∆

Diameetri keskvaumlaumlrtuseks saime

( ) mm1702010

11021 =+++= dddd N

86

Diameetri A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuseks saime

mm0220)110(10

)()()(

210

21 =

minussdotminus++minus

=NN

A

ddddDu

ning diameetri B -tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatus on

mm028903)( =∆= oB Du

Diameetri koondmotildeotildetemaumlaumlramatus on

mm03630)02890()0220())(())(()( 2222 =+=+= DuDuDu BAC

Massi kaalusime uumlhekordselt neljanda klassi kaaludega Mass osutus votilderdseks jaumlrgmiste vihtide masside summaga

g 2415 g)050102220( =++++=micro

Igal vihil on vastavalt standardile maumlaumlramatus kusjuures votildeime siin eeldada et vihid on omavahel sotildeltumatud Samuti on ka kaalul oma maumlaumlramatus Kaalu potildehiviga on mg50 ja neljanda klassi

vihtide potildehivead on vastava tabeli jaumlrgi 20 6 6 1 ja 1 mg Vastavalt valemile (329) on massi maumlaumlramatus arvutatav

mg5313

554

3

1

3

1

3

6

3

6

3

20

3

50)(

222222

==

+

+

+

+

+

=MuB

Kuna kordsed massi motildeotildetmised annaksid siin kogu aeg uumlhe ja sama tulemuse siis loeme massi A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse nulliks

g 0032 mg531)()(C === MuMu B

Nuumluumld on meil olemas info tiheduse ning tema maumlaumlramatuse arvutamiseks kasutades valemeid (329) ja (330)

( ) 333

621517020

152466ruumala cm

g

D

MM====

ππρ

Leiame vajalikud tuletised

MDM

ρπ

ρ==

partpart

3

16

DD

M

D

M

D

ρππ

ρ 3183644

minus=

minus=

minussdot=

partpart

87

( )33

223

22

3

22

22

22

22

22

03100055606215005400013306215

17020

036303

1524

03206215

)(3)(

)(3

)()()()(

cm

g

cm

g

cm

g

cm

g

D

Du

M

Mu

DuD

MuM

DuD

MuM

u

=sdot=minus+sdot=

=

sdotminus+

sdot=

sdotminus+

sdot=

=

minus+

=

partpart

+

partpart

=

ρ

ρρρρρ

Kuidas ei tohi vaumlljundsuurust arvutada Kui prooviksime siin arvutada erinevatele motildeotildetmistele vastavad tiheduse vaumlaumlrtused laumlhtudes uumlldvalemist (330) so i -nda motildeotildetmise korral leiaksime suuruse

3)(

6

i

ii d

microπ

ρ =

ja seejaumlrel leiaksime uumlksiktiheduste iρ aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhaumllbe

(tiheduse A-tuumluumlpi motildeotildetemaumlaumlramatuse iseloomustajana) siis laumlheks suur osa massi maumlaumlramisega seotud motildeotildetemaumlaumlramatusest lihtsalt kaotsi Sellist viga aga ei tohi teha

88

4 Motildeotildetmise mudel

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub alati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutatakse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega teiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnanguid saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumliteks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildeltuvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

Uumlldistatud kujul on motildeotildetmise mudel esitatud joonisel 41 Toodud mudelis on vaumlljundsuurus Y motildeotildeteuumllesandega ette naumlhtud motildeotildetesuurus mis sotildeltub sisendsuurustest Xi (i = 1 2 N) Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahendamise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsiooni f abil kujul

)( 21 Ni XXXXfY = (41)

Joonis 41 Motildeotildetmise mudel

Sisendsuurusi Xi seoses (41) tuleb alati vaadelda kui motildeotildetesuurusi mis votildeivad omakorda sotildeltuda teistest suurustest sealhulgas ka suumlstemaatilisi efekte kotildervaldavatest paranditest ja konstantidest Seetotildettu motildeotildetesuuruse Y funktsionaalne sotildeltuvus f votildeib kujuneda uumlsna komplitseerituks mida ei saa alati taumlpselt kirjeldada Veelgi enam sotildeltuvus f votildeib olla vaid eksperimentaalselt maumlaumlratav votildei eksisteerida algoritmina mida saab hinnata ainult arvuliselt Seega peab funktsiooni f totildelgendama laiemalt kui puhast matemaatilist funktsiooni Taumlhtis on et funktsioon sisaldaks kotildeik motildeotildetesuurused parandid konstandid jne mis annavad panuse motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemusse Kui tulemused naumlitavad et sotildeltuvus f ei modelleeri motildeotildetetoimingut vajaliku taumlpsusega tuleb funktsioonile f lisada taumliendavaid sisendsuurusi Votildeib tekkida isegi vajadus sellise sisendsuuruse jaumlrele mis kajastab motildeotildetesuurust Y motildejutava naumlhtuse taumliendavat uurimist

Naumlide 41 Pikkusotsmotildeotildedu pikkuse motildeotildetmine Motildeotildetevahendiks on pikkuskomparaator ja motildeotildetmisel votilderreldakse motildeotildedetava otsmotildeotildedu pikkust l etalonotsmotildeotildedu pikkusega lE Komparaatorilt saadud motildeotildediseks on kahe otsmotildeotildedu pikkuste vahe δl

X1

X2

Xi

XN

f Y

89

Antud juhul on motildeotildetesuuruseks otsmotildeotildedu pikkus l mis otseselt sotildeltub etalonotsmotildeotildedu pikkusest lE ja motildeotildetmise tulemusel komparaatorilt saadud motildeotildedisest δl Peale selle peame arvestama veel parandeid mis tulenevad sellest et motildelema otsmotildeotildedu materjalide joonpaisumistegurid αE ja α on erinevad ning pikkuse motildeotildetmise hetkel etaloni ja motildeotildedetava pikkusotsmotildeotildedu temperatuuride vaumlaumlrtused haumllbivad normaaltemperatuurist vastavalt θE ja θ votilderra Pikkus l on seega funktsionaalses sotildeltuvuses kuuest sisendsuurusest Seose (41) kohane motildeotildetmise mudel on antud juhul

)( θθααδ EEE llfl =

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

( )

αθδθα

+++

=1

1 lll EEE

kus suuruse lE vaumlaumlrtuse saame etaloni kalibreerimistunnistusest suuruste δl θE ja θ vaumlaumlrtused saame motildeotildetmise protsessi kaumligus ning suuruste αE ja α vaumlaumlrtused nimetatud otsmotildeotildetude spetsifikatsioonidest votildei sobivast kaumlsiraamatust

Kasutades motildeotildetesuuruse l motildeotildetmise teisi meetodeid votildeime seda motildeotildetmist modelleerida teistsuguste matemaatiliste avaldistega Naumliteks kasutades motildeotildetmisel nihikut on motildeotildetmise mudel

)( nlfl =

kus ln on nihiku naumlit

Motildeotildetesuuruse l vaumlaumlrtus normaaltemperatuuril on kirjeldatud motildeotildetemeetodi korral arvutatav matemaatilise seosega

nll =

Seega uumlhe ja sama suuruse motildeotildetmisel on votildeimalik kasutada erinevaid motildeotildetmise mudeleid sotildeltuvalt valitud motildeotildetemeetodist

Naumlide 42 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust tingitud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesluumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasakaalus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumalade erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad

bull vihtide mass mv bull vihtide tihedus ρv bull kaalutava metallituumlki tihedus ρm bull otildehu tihedus ρotilde bull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

90

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetavad naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku temperatuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemiks

)( RHTPfotilde =ρ

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse maumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

t

sv =

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsustada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmiste mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

12

1

tt

dssNv

minus+sdot

=

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit vaumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles maumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumlldjuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetemaumlaumlramatuste hindamist

41 Motildeotildetemaumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Peatuumlkis 38 tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetemaumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Jaumltkame sotildeltumatute suuruste erijuhu uumlldistamist valemist (328)

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part= (42)

Sama valem on summa maumlrgi all kirja pandav kujul

91

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu (43)

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (44)

Selle valemi uumlldisemat kuju kus esineb ka uumlksteisest sotildeltuvaid sisendsuuruseid vaatame hiljem

411 Liitmaumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kritee rium

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekkida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liige on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et maumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi maumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitmaumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et tegemist on ebaolulise maumlaumlramatuse komponendiga Mingi maumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

(45)

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

Kuna liitmaumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide maumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

(46)

kus u(xi) on suvaline maumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus (45)

Tingimuse (46) kontrollimine on uumlldiselt palju lihtsam sest tingimus (45) eeldab juba et koondmaumlaumlramatus on arvutatud ning siis jaumlaumlb uumlle ainult konstateerida milline liige oli ebaoluline

Naumlide 44 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi kotildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulemused

a = 802 mm u(a) = 003 mm υ(a) = 5 b = 4253 mm u(b) = 004 mm υ(b) = 6 c = 17211 mm u(c) = 005 mm υ(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus 1 arvestamata taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

92

Ruumala on

33 cm70558mm58705111725342028 ==sdotsdot=sdotsdot= cbaV

ruumala maumlaumlramatus on

( ) ( ) ( )cm227000387070558003870

000290000940003740

11172050

5342040

028030

)()()()(

3

222

222

222

=sdot=sdot=

=++sdot=

=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

V

V

V

c

cu

b

bu

a

auVVu

Ruumala efektiivne vabadusastmete arv on

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

571526393224

001013013393224

7290

6940

5743

873

7000290

6000940

5003740

003870

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

444

4

444

4

444

4

4

444

4

44

rArr==++

=

=

++

=

=

++

=

=

+

+

=

=

sdot

+

sdot

+

sdot

sdot=

cc

cu

bb

bu

aa

auV

Vu

cc

cuV

bb

buV

aa

auV

V

VVu

V

ννν

ννν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm580cm2270572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Lahendus 2 arvestades taumlhtsusetu komponendi kriteeriumit

Leiame kotildeik maumlaumlramatuse komponendid

93

003740028

030)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVa

auVau

a

V

0009405342

040)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVb

buVbu

b

V

00029011172

050)()( sdot=sdot=sdot=sdot

partpart

VVc

cuVcu

c

V

Naumleme et kotildeige suurem maumlaumlramatuse komponent on seotud suuruse a-ga

Rakendame nuumluumld valemit (46)

30220003740000940

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

bub

V

30080003740000290

)(

)(lt=

sdotsdot

=sdot

partpart

sdotpartpart

V

V

aua

V

cub

V

Seega selgus et nii b kui ka c maumlaumlramatused on taumlhtsusetud ning nendega ei pea arvestama

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse

3cm220000374070558028030)(

)( =sdot=sdot=sdot= Va

auVVu

Ruumala maumlaumlramatus sotildeltub ainult komponendist a seega on ka ruumala vabadusastmete arv votilderdne komponendi a vabadusastmete arvuga

5)()( == aV νν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvuga 5 on 257 seega saame laiendmaumlaumlramatuseks

cm570cm2200572)()( 33 =sdot=sdot= VukVU

Kokkuvotildete kui votilderrelda lahendusi 1 ja 2 siis vastuste erinevus on vaumlga vaumlike 001 cm3 ehk ca 2 See erinevus on maumlrgatavalt vaumliksem kui maumlaumlramatuse maumlaumlramatus mis vabadusastmete arvu 5 juures on uumlle 30 Seega votildeib oumlelda et motildelemad vastused on otildeiged kuid teise lahenduse puhul oli vaumlhem arvutamist

Taumlhtsusetu komponendi kriteerium osutub eriti praktiliseks juhul kui on vaja otsustada milliste maumlaumlramatuse komponentidega tuleb arvestada ning millistega mitte

94

42 Motildeotildetemaumlaumlramatus omavahel sotildeltuvuses olevate si sendsuuruse korral

421 Kovariatsioon ning korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on N suuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

(410)

kus m(x) ja m(y) on vastavad keskvaumlaumlrtused

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()( (411)

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st x kasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud Joonisel (42) on toodud erinevate punktipilvede kohta kaumlivad korrelatsioonid

Joonis 42 Erinevate seoste vahelised korrelatsioonid

Naumlide 45 Naumlited sotildeltuvatest suurustest

95

bull Inimese pikkus ning kehamass on omavahel sotildeltuvad kuigi mitte paumlris uumlks-uumlhele

bull Ilmajaama erinevatel kotildergustel motildeotildedetud tuule kiiruse vaumlaumlrtused on omavahel tugevasti positiivselt korreleeruvad

bull Negatiivselt korreleeruvad suuruseid on temperatuur ning suhteline otildehu niiskus ndash kui suletud suumlsteemis temperatuuri totildesta siis suhteline otildehu niiskus kahaneb ning vastupidi

bull Uuringud on naumlidanud et on negatiivne korrelatsioon televiisori vaatamisele kulunud aja ning hinnete vahel st mida rohkem vaatad televiisorit seda kehvemad hinded

bull Haridustaseme ning vanglas oldud aja vahel on negatiivne korrelatsioon st mida madalam haridustase seda pikem on vanglas oldud aeg Sama vaumlite teine sotildenastus uumltleb et nendel inimestel kes on vanglas pikemalt olnud on madalam haridustase

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsient vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei negatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa y varieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

422 Motildeotildetetulemuse motildeotildetemaumlaumlramatus omavahelise sotilde ltuvusega sisendsuuruste korral

Jaumltkame peatuumlkis 38 alustatud motildeotildetemaumlaumlramatusega kuid jaumltame aumlra eelduse et tegemist on sotildeltumatute suurustega

Toome uuesti valemi (326) motildeotildetemaumlaumlramatuse ruudu arvutamise kohta

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part= (412)

ning korrelatsioonikordaja suuruste x ja y vahel

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()( (413)

Uumlldistatult on valem (412) N sotildeltumatu sisendsuuruse korral (sama valem mis (44))

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()( (414)

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisanduvad valemisse (414) korrelatsiooni liikmed

96

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

siin kahekordse summamaumlrgiga summeeritakse kotildeikide liikmepaaride omavahelistest korrelatsioonidest tulenevad maumlaumlramatuse komponendid seega kui on N komponenti siis

korrelatsiooni liikmeid on 2

)1( minussdot NN Tavaliselt on arvestatav korrelatsioon siiski ainult motildene

uumlksiku komponendi vahel ning uumllejaumlaumlnud korrelatsioonid on votilderdsed nulliga

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused on A = 5 B = 7 C = 12 standardmaumlaumlramatused on u(A) = 03) u(B) = 05) u(C) = 04) parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02 r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardmaumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

Lahendus

Leiame D standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

71050)(1

50401501301

)()()()()(1

222222

22

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Du

CuC

DBu

B

DAu

A

DXu

x

DDu

N

ii

i

Leiame D standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame D standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

97

Suuruse D maumlaumlramatuse arvutuses naumlgime et korrelatsioonist tingitud liige votildeib olla oluline ning on votildeimalus et korrelatsiooni totildettu tuleb koondmaumlaumlramatus vaumliksem kui ilma korrelatsiooni arvestamata

Leiame E standardmaumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata st valemi (415) esimese poole

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

Leiame E standardmaumlaumlramatuse korrelatsioonide osa st valemi (415) teise poole

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

D

A

DCAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

Leiame E standardmaumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

Seega naumlgime suuruste D ja E standardmaumlaumlramatuste arvutusest et korrelatsioonide arvestamine votildeib liitmaumlaumlramatust nii suurendada kui vaumlhendada sotildeltudes nii osatuletiste maumlrkidest kui ka korrelatsiooni maumlrkidest

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadides Kuna info paumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos on jaumlrgmine

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsienti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17 F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failis bdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

98

43 Naumlidisuumllesanded motildeotildetemaumlaumlramatuse arvutamise ko hta

Kordame uumlle potildehivalemid

Efektiivne vabadusastmete arv on

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν (317)

N sotildeltumatu sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()( (44)

N sotildeltuva sisendsuuruse liitmaumlaumlramatus on

sum sumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu (415)

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte protsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

ltltsdotsdot+

sdotsdot

=mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

Leia bull koefitsient c bull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1) bull keskvaumlaumlrtus bull mediaan bull standardhaumllve bull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

Lahendus

Alustuseks tuleks seda funktsiooni lihtsustada

33325

8

)7(7321

xcxcxxxcx

xsdot+=sdot+=sdotsdot+

sdotsdot

Koefitsiendi c leiame laumlhtudes normeerimistingimusest

34714

1)7(4

)7()7( 10

41

0

3 minus=rArr=+rArrequivsdot+

=sdot+=sdot+int cccx

cdxxc

99

Asendades c vaumlaumlrtuse funktsiooni saame jaotustiheduseks

ltltsdot

=mujal0

104)(

3 xxxf

Jaotusfunktsioon kohal x1 on

410

4

0

31

11

444)( x

xdxxxF xx

=sdot=sdot= int

Keskvaumlaumlrtus on

8054

544)( 1

0

5

0

31

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

Mediaan on x-i vaumlaumlrtus mille korral jaotusfunktsioon on votilderdne 05-ga

8405050)( 4411 ==rArrequiv= medxxxF

Standardhaumllbe arvutamiseks leiame kotildeigepealt x2 keskvaumlaumlrtuse

667064

644)( 1

0

6

0

322 1

==sdot=sdotsdot= intx

dxxxxmx

( ) 16306406670)()()( 22 =minus=minus= xmxmxs

NB selle koha peal on oluline et x2 keskvaumlaumlrtus leitakse vaumlhemalt kolme tuumlvinumbriga muidu on uumlmardamise viga liiga suur

Totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07) on arvutatav jaotusfunktsioonide vahena nendes punktides

240070)30()70()7030( 4 =minus=minus+=ltltminus FFxP

Siin F(ndash03) on votilderdne nulliga seetotildettu et kuna piirkonnas (ndashinfin 0) on jaotustihedus votilderdne nulliga siis on ka jaotusfunktsioon selles piirkonnas votilderdne nulliga

100

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga mille kalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia bull klotsi massi parim hinnang bull klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus bull klotsi massi liitmaumlaumlramatus bull klotsi massi vabadusastmete arv bull klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

Lahendus

Teeme tabeli kus on motildeotildetmistulemused motildeotildetmistulemuste erinevus keskvaumlaumlrtusest ning selle ruut

nr x x ndash m(x) (x ndash m(x))2 1 455 ndash01 001 2 459 03 009 3 458 02 004 4 452 -04 016 5 456 0 0 sum 2280 0 030 keskmine 456

Klotsi massi parim hinnang on tema aritmeetiline keskmine

645)( =xm g

Klotsi massi A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse arvutamiseks leiame kotildeigepealt standardhaumllbe

2704300

1

))(()( 1

2

==minus

minus=

sum=

N

xmxxs

N

ii

g

1205

270)()( ===

N

xsxuA g

Klotsi massi B-tuumluumlpi maumlaumlramatus kujuneb tema kalibreerimisel hinnatud maumlaumlramatusest ning resolutsioonist Kalibreerimisel saadi laiendmaumlaumlramatuseks 03 g katteteguriga 2 seega kalibreerimise standardmaumlaumlramatus on 03 2 = 015 g

150000800225012

10150)(

2

2 =+=

+=xuB g

Seega selgus et resolutsiooni maumlaumlramatus oli ebaoluline

Klotsi massi liitmaumlaumlramatus on

101

190022501440150120)()()( 2222 =+=+=+= xuxuxu BAC g

Klotsi massi vabadusastmete arv on

25125150

4

120190

)()(

)()(

44

4

44

4

rArr=

infin+

=

+

=

B

B

A

A

C

xuxu

xux

νν

ν

Studenti kattetegur usaldusnivool 95 vabadusastmete arvu 25 jaoks on vastavalt tabelile

0622595 =k

Klotsi massi laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

390190062)()( =sdot=sdot= xukxU C g

102

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml paksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja masside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlga kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse keskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondmaumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondmaumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondmaumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

4

2 HdV

sdotsdot=

π

Leia bull jaumlauml tiheduse parim hinnang bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata bull jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

Lahendus

Jaumlauml tiheduse parim hinnang on

322 cm

g9290

420964

36644=

sdotsdotsdot

=sdotsdot

sdot==

ππρ

Hd

m

V

m

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata on

cm

g5420583092902120002012609290

420

49

964

1202

366

1309290

)()(2)()(

3

222

222

1

=sdot=++sdot=

=

+

sdot+

sdot=

=

+

sdot+

sdot=H

Hu

d

du

m

muu ρρ

Puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu maumlaumlramatus osutus ebaoluliseks

Korrelatsioon on ainult massi ning pikkuse vahel teised korrelatsioonid votildeib votildetta nulliks Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatuse korrelatsiooni arvestav komponent on

cm

g2680

420

49

366

130929091

)()(9502

)()()(2)(

2

322

22

minus=sdotsdotsdotminus=minus

sdotsdotsdotsdot=

=sdotsdotpartpart

sdotpartpart

sdotsdot=

H

Hu

m

mu

HumuHm

Hmru

ρ

ρρρ

Jaumlauml tiheduse maumlaumlramatus on korrelatsiooni arvestades

( ) ( ) cm

g160026026802940)()()(

3

22

21 ==minus=+= ρρρ uuu

Seega korrelatsiooni arvestamine vaumlhendas maumlaumlramatust uumlle 3-e korra

103

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetud veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm veekihi paksus on 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metalljoonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest10 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardmaumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardmaumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus Leiame alustuseks akvaariumi ruumala

33 dm30436523cm36523304173818302320 ==sdotsdot=sdotsdot= hbaV

Leiame nuumluumld kotildeigi kolme kuumllje standardmaumlaumlramatused ning vastavad vabadusastmete arvud

cm063010

cm20)( ==auA

cm05803

cm10)( ==auB

( ) ( ) cm086005800630)()()( 2222 =+=+= auauau BAC

3133147390630

08609

0580

110

06300860

)()(

)()( 4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effauau

aua

νν

ν

( ) ( ) cm111005800950058010

30)()()( 222

222 =+=+

=+= bububu BAC

1681686190950

11109

0580

110

0950

1110

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effbubu

bub

νν

ν

( ) ( ) cm126005801120058020

50)()()( 222

222 =+=+

=+= huhuhu BAC

30430601191120

126019

0580

120

1120

1260

)()(

)()(

4

4

44

4

44

4

==sdot=sdot=

infin+

minus

=

+

=

B

B

A

A

effhuhu

huh

νν

ν

Leiame osatuletised

a

Vhb

a

V=sdot=

partpart

b

Vha

b

V=sdot=

partpart

h

Vba

h

V=sdot=

partpart

Leiame akvaariumi ruumala standardmaumlaumlramatuse

104

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

3

222

222

2222

22

22

2

22

22

22

1

22

cm1530066023304

003300037000430233041738

1260

1830

1110

2320

086023304

)()()()()()(

)()()()()(

=sdot=

=++sdot=

+

+

sdot=

=

+

+

sdot=

+

+

=

=

partpart

+

partpart

+

partpart

=

part

part= sum

=

h

hu

b

bu

a

auVhu

h

Vbu

b

Vau

a

V

huh

Vbu

b

Vau

a

VXu

x

VVu

N

ii

i

Leiame nuumluumld ruumala efektiivsete vabadusastmete arvu

710871

3000330

1600370

3100430

00660

)(

)(444

4

1

4

4

==++

==

sum=

n

i i

i

VVu

Vu

ν

ν

Seega on ruumala motildeotildetmise efektiivsete vabadusastmete arv νR = 71

Leiame nuumluumld ruumala laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 50 ja usaldusnivool 95 k5095 = 201 kohal ν = 100 ja usaldusnivool 95 k10095 = 1984 seega kohal ν = 71 ja usaldusnivool 95 votildeime votildetta kordajaks k5095 = 200 seega on akvaariumi ruumala laiendmaumlaumlramatus U(V) usaldusnivool 95

333 m310m306002m153)()( dcckVuVU ==sdot=sdot=

Seega on akvaariumi ruumala 3dm3023=V ning tema laiendmaumlaumlramatus 3m310)( dVU =

105

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

αcos2R

IE =

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskmiseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna vaheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendmaumlaumlramatusega usaldusnivool 95

Lahendus

Leiame kotildeigepealt valgustatuse E keskvaumlaumlrtuse

( ) 222 m

W60386

2

3

m1

W100cos =sdot== α

R

IE

Leiame nuumluumld motildeotildedetud suuruste standardhaumllbed

W1513

W2)(W100 === IuI

m0095000000903

m0010

10

m030)(m1

22

=+=

+

== RuR

0101031803

1)(630 =

sdot=

deg==deg=

παπα u

Leiame nuumluumld osatuletised

W100

11cos

12

sdot=sdot==partpart

EI

ERI

Eα

m1

22cos

23

minussdot=

minussdot=

minus=

partpart

ER

ER

I

R

Eα

3

1)30tan(

cos

sinsin

2

minussdot=degminussdot=

minussdot=

minus=

partpart

EEER

IE

αα

αα

Paneme nuumluumld standardmaumlaumlramatused ning osatuletised valemisse (44) Kuna igas osatuletiste liikmes on sees komponent E siis toome selle ette

106

222

222

m

W9910230

m

W686000034000036100001320

m

W686

010103

100950

1

2151

100

1)(

=sdot=++sdot=

=

sdot

minus+

sdotminus

+

sdotsdot= EEu

Seega on valgustatuse standardmaumlaumlramatus 20 Wm2

Leiame nuumluumld erinevate maumlaumlramatuse komponentide efektiivsed vabadusastmete arvud kasutades valemit (317)

Valgusti intensiivsuse maumlaumlramatus ning nurga motildeotildetmise maumlaumlramatus on B-tuumluumlpi maumlaumlramatused seega nende vabadusastmete arvu votildeib votildetta lotildepmatuks Kauguse motildeotildetmine sisaldas nii A- kui ka B-tuumluumlpi maumlaumlramatust leiame nuumluumld kauguse motildeotildetmise vabadusastmete arvu

90

900950

00950

)(

)(4

4

1

4

4

=

infin+

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Leiame nuumluumld valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arvu

1931915290190

02309

005809

019001150

0230

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

==sdot=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

Ryu

yu

ν

ν

Seega on valgustatuse efektiivsete vabadusastmete arv νR = 19

Leiame nuumluumld valgustatuse laiendmaumlaumlramatuse usaldusnivool 95 kasutades Studenti testi Tabelis 31 on Studenti t-kordaja vaumlaumlrtus kohal ν = 19 ja usaldusnivool 95 k1995 = 209 seega on valgustatuse laiendmaumlaumlramatus U(E) usaldusnivool 95

222 m

W24

m

W1594092

m

W991)()( ==sdot=sdot= kEuEU

Seega on valgustatus 2m

W686=E ning tema laiendmaumlaumlramatus

2m

W24)( =EU

107

5 Maumlaumlramatuse allikad

51 Motildeotildetevahendi naumlidiku lahutusvotildeimest tingitud m aumlaumlramatus

Numbernaumlidikuga motildeotildetevahendi abil saadud naumlidu (motildeotildedise) maumlaumlramatuse uumlheks allikaks on naumlidiku lahutusvotildeime Isegi kui korduvnaumlidud on identsed ei ole kordustaumlpsust iseloomustav maumlaumlramatus null sest sisendsignaalil on piirkond milles see motildeotildetevahendi naumlidik esitab uumlhe ja sama naumlidu Kui naumlidiku lahutusvotildeime on δx milleks on naumlidu muutus (numbersamm) kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu votilderra siis sisendsignaal mis annab naumlidu x votildeib votilderdse totildeenaumlosusega jaumlaumlda vahemikku [x ndash δx2 x + δx2] Sisendsignaal on seega kirjeldatav ristkuumllikjaotusega mille laius on δx ja standardhaumllve on σ(x) = δx radic12 See taumlhendab et iga naumlidu x standardmaumlaumlramatus on u(x) = σ(x) = 029 δx Naumliteks numbernaumlidikuga voltmeetril mille naumlidiku vaumlikseim taumlhendusega naumlit on 1 mV on naumlidiku lahutusvotildeime δx = 1 mV totildettu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 mV

52 Motildeotildetevahendi suikeulatusest tingitud maumlaumlramatu s

Naumlidiku lahutusvotildeimega analoogset maumlaumlramatust votildeib potildehjustada ka motildeotildetevahendi suikeulatus milleks on motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse (stiimuli) kasvamise votildei kahanemise maksimaalne piirkond δx ilma et muutuks motildeotildetevahendi naumlit Ettenaumlgelik motildeotildetja taumlheldab motildeotildetesuuruse jaumlrgnevate vaumlaumlrtuste kasvamise votildei kahanemise suunda ja teeb sellest tulenevalt vastava paranduse Kuid suikeulatuse suund pole alati jaumllgitav sest motildeotildetevahendis votildeib mingi tasakaalupunkti uumlmber esineda ka peidetud motildeotildetehaumllbeid ning saadav naumlit (motildeotildedis) sotildeltub suunast millega see punkt lotildepuks saavutati Motildeotildetevahendi suikeulatust suurendatakse motildenikord sihilikult vaumlltimaks naumlidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral Kui suikeulatusest tingituna on votildeimalikud motildeotildetevahendi naumlidud vahemikus [x ndash δx2 x + δx2] siis meelevaldse naumlidu x standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

53 Tulemuste uumlmardamisest tingitud maumlaumlramatus

Ka andmetoumloumltlusega seotud arvvaumlaumlrtuste (motildeotildediste motildeotildetetulemuste) uumlmardamine votildei nende murdosa aumlrajaumltmine votildeib olla maumlaumlramatuse allikaks sest uumlmardatud arv esitab motildeotildetesuuruse arvvaumlaumlrtust alati ligikaudselt Mida rohkem on arvul taumlhendusega kohti seda suurem on suhteline taumlpsus Motildenikord on potildehjust taumlhenduslike kohtade arvu vaumlhendada uumlmardamise teel Etteantud uumlmardamissammu δx korral on meelevaldne arvvaumlaumlrtus x vahemikus [ x ndash δx2 x + δx2] ning standardmaumlaumlramatus u(x) = 029 δx analoogselt lahutusvotildeimest tingitud maumlaumlramatusele

54 Mudelisse sissetoodud sisendvaumlaumlrtused ja nende maumlaumlramatused

Mudelisse sisestatud sisendsuuruse hinnang x ei pruugi olla maumlaumlratud antud motildeotildetmisega vaid votildeib olla saadud mujalt Sageli on sellel vaumlaumlrtusel ka mingil viisil hinnatud maumlaumlramatus See votildeib olla antud standard- votildei laiendmaumlaumlramatusena Kui maumlaumlramatus on antud vahemiku poollaiusena st laiendmaumlaumlramatusena U millel on etteantud usaldatavustase siis on sellega antud ka katteteguri k vaumlaumlrtus Sel juhul on hinnangu x standardmaumlaumlramatus u(x) avaldatav seosest u(x) = U(x)k Alternatiivselt votildeib olla antud sisendsuuruse hinnangu x uumllemine ja alumine rajavaumlaumlrtus (naumliteks

108

vahemik (b a) aga info maumlaumlramatuse kohta votildeib puududa Viimasel juhul peaks nende rajavaumlaumlrtuste kasutajad rakendama oma teadmisi hindamaks maumlaumlramatust laumlhtudes sisendsuuruse iseloomust allika usaldusvaumlaumlrsusest motildeotildetepraktikas selliste suuruste jaoks kasutatavatest maumlaumlramatustest jne Lisainfo puudumisel eeldatakse tavaliselt tegemist on uumlhtlase jaotusega uumllemise ja alumise rajavaumlaumlrtuse vahel standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic12 Kui aga on alust arvata et rajade laumlhedased vaumlaumlrtused on vahemiku keskosaga votilderreldes vaumlhemtotildeenaumlolised on lihtsuse motildettes tihti potildehjendatud kasutada kolmnurkjaotust standardmaumlaumlramatusega u(x) = (b ndash a)radic24

55 Dokumendist votildeetud suuruse maumlaumlramatus

Kui sisendsuuruse X hinnangu x maumlaumlramatus on antud eksperimentaalse standardhaumllbe ja teatud arvu korrutisena st laiendmaumlaumlramatusena U siis votildeib standardmaumlaumlramatuse u(x) vaumlaumlrtuseks votildetta laiendmaumlaumlramatuse U ja katteteguri k jagatise u = Uk See olukord on tavaline kui andmed on votildeetud tootja spetsifikatsioonist kalibreerimistunnistuselt kaumlsiraamatust votildei motildenest muust allikast Naumliteks kui kalibreerimistunnistusel on kirjas et 200 g kirjevaumlaumlrtusega etalonvihi mass m200 = 19999993 g on esitatud laiendmaumlaumlramatusega U = 066 mg kolme standardhaumllbe tasemel siis selle etalonvihi massi standardmaumlaumlramatus on u(m200) = Uk = (066 mg)3 = 022 mg

Hinnagu x maumlaumlramatus ei pruugi tingimata olla esitatud standardhaumllbe mingil kordsel kujul nagu eespool mainitud Selle asemel votildeib suuruse hinnangu maumlaumlramatus olla antud naumliteks 90 95 votildei 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena Kui pole teisiti taumlpsustatud siis votildeib eeldada et vahemiku arvutamisel kasutati normaaljaotust ja x standardmaumlaumlramatuse votildeib taastada jagades esitatud jaotuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga Sel juhul teguri kp vaumlaumlrtused mis vastavad eeltoodud kolmele vahemikule on 164 1960 ja 2576 Naumliteks on kalibreerimistunnistusel kirjas et 10 Ω kirjega etalontakisti takistus 23 degC juures on RE = 10000584 Ω plusmn 152 microΩ usaldusnivool 99 Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmaumlaumlramatuseks u(RE) = (152 microΩ)258 = 59 microΩ

56 Kontrollitava suuruse maumlaumlramatus

Sageli motildeotildedetakse suurusi kontrollitavatel toumloumltingimustel eeldades et need tingimused motildeotildeteprotseduuri sooritamise jooksul ei muutu Naumliteks votildeib objekti panna motildeotildetmiseks otildelivanni mille temperatuuri hoitakse kindlates piirides termostaadi abil Otildeli temperatuuri vannis votildeib motildeotildeta objekti iga motildeotildetmise ajal Kui aga temperatuur vannis perioodiliselt muutub ei tarvitse objekti hetkeline temperatuur votilderduda otildeli temperatuuriga Otildeli temperatuuri maumlaumlramatuse arvutamine peaks sel juhul algama otildeli temperatuuri teadaolevast votildei eeldatavast muutumistsuumlklist vannis Temperatuuri muutumist votildeib motildeotildeta tundliku termopaariga varustatud termomeetri abil ning kui see pole votildeimalik siis votildeib temperatuuri laumlhendi tsuumlklile tuletada reguleerimisprotsessi iseloomustavate uumlldiste teadmiste potildehjal Analoogne olukord on ka motildeotildeteprotseduuri teostamisel notildeutavate toumloumltingimuste taumlitmiseks motildeotildeteruumis uumlmbritseva otildehu temperatuuri reguleerimisel ja hoidmisel Niisugustel juhtudel votildeib motildeotildetesuuruse motildeotildetmise mudelisse sisestatava temperatuuri X hinnangu x standardmaumlaumlramatuse u(x) hindamine toimuda arvestades temperatuurikontrolli suumlsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsuumlklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust

109

57 Motildeotildetemeetodist tulenev maumlaumlramatus

Kotildeige raskemini hinnatav maumlaumlramatuse komponent tuleneb motildeotildetemeetodist eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest vaumliksema maumlaumlramatusega tulemusi Totildeenaumloliselt on olemas ka teisi seni tundmatuid votildei mingil viisil seni veel motildeotildetepraktikas mittekasutatavaid meetodeid mis annavad samavotilderd kehtivaid kuid suumlstemaatiliselt erinevaid tulemusi See viib aprioorse totildeenaumlosusjaotuseni Isegi kui meetodist tulenev maumlaumlramatus osutub valdavaks komponendiks piirdub kogu info selle maumlaumlramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega fuumluumlsikalise maailma kohta Sama motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hindamine erinevatel meetoditel kas samas votildei eri laborites votildei ka samal meetodil eri laborites votildeib sageli anda vaumlga vaumlaumlrtuslikku infot motildeotildetemeetodi kohta Motildeotildetemeetodi kohta tehtud hinnangute usaldusvaumlaumlrsuse kontrollimiseks ja suumlstemaatiliste efektide (motildeotildetehaumllvete ) vaumlljaselgitamiseks on uumlldiselt kasulik teostada toumloumletalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust

58 Motildeotildeteobjektist tulenev maumlaumlramatus

Paljude motildeotildeteprotseduuride korral eriti aga motildeotildetevahendite kalibreerimisel leiab aset tundmatu objekti votilderdlus tuntud laumlhedaste karakteristikutega etaloniga et motildeotildeta votildei kalibreerida tundmatut objekti Niisuguste objektide naumlitena votildeib mainida kaaluvihtide votildei takistite komplekte pikkusotsmotildeotildete termomeetreid ja suure puhtusega aineid Antud juhul ei ole kasutatavad motildeotildetemeetodid enamasti ebasoodsalt motildejutatud motildejuritest tekitatud efektidest kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad uumlhesugusel (sageli ennustataval) viisil efektidest esilekutsutud muutustele

Motildenes praktilises motildeotildetesituatsioonis on aga objekti valikul ja selle kaumlsitlemisel siiski palju suurem osa Enamasti kehtib see looduslike materjalide keemilise analuumluumlsi korral Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (toumloumletalonist etalonainest votildei sertifitseeritud etalonainest) on looduslikud materjalid sageli mittehomogeensed Nimetatud mittehomogeensus kutsub esile tavaliselt kaks taumliendavat maumlaumlramatuse komponenti Esimese hindamiseks on vaja maumlaumlrata kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analuumluumlsitavat laumlhtematerjali Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis maumlaumlrata ulatus mil maumlaumlral votilderreldava tundmatu objekti mitteanaluumluumlsitavad koostisosad motildejutavad motildeotildetmise tulemust

Motildenel juhul teeb eksperimendi hoolikas kavandamine votildeimalikuks objekti valikust tingitud maumlaumlramatuse hindamise Tavaliselt on siiski motildeotildeteobjektist tuleneva maumlaumlramatuse hindamiseks vajalikud motildeotildetja (analuumluumlsija) kogemustest ammutatud oskused ja teadmised ning kogu hetkel kaumlttesaadav info selle tundmatu motildeotildeteobjekti kohta

59 Erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitl us (kaalutud keskmiste meetod)

Uumlhe ja sama suuruse Yi mitmel erineval viisil (meetodil) votildei erinevates laborites motildeotildetmisel saadud tulemuste yj (j = 1 2 J) liitmaumlaumlramatused u(yj) votildeivad uumlksteisest oluliselt erineda Votildettes kotildeik saadud motildeotildetetulemused aluseks motildeotildetesuuruse Yi vaumlaumlrtuse parima hinnangu saamiseks on eriti vaumlikese motildeotildetetulemuste arvu (J = 2 3 votildei 4) korral otildeiglase hinnangu saamiseks potildehjust arvestada vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi rohkem kui suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemusi Seega on erinevate maumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks sobiv kasutada kaalutud keskmist

110

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10 (51)

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

Et anda vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemustele suuremat kaalu kui tulemustele millel on suurem maumlaumlramatus valime motildeotildetetulemuste kaalud poumloumlrdvotilderdelisteks dispersioonidega st antud juhul liitmaumlaumlramatuste ruutude poumloumlrdvaumlaumlrtustega saades

)(

12

jj yu

g = (52)

Laumlhtudes seosest (52) saame kaalutud keskmise y0 liitmaumlaumlramatuse u(y0) arvutada votilderdusest

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)( (53)

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderdlusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elektronkaaluga Motildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitmaumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitmaumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

Motildeotildetetulemuste m1 ja m2 kaalud g1 ja g2 on valemi (52) jaumlrgi

22

121 mg100

mg)10(

1

)(

1 minus===mu

g

22

222 mg25

mg)20(

1

)(

1 minus===mu

g

Kaalutud keskmine on seose (51) jaumlrgi

004162125

52250

25100

005222500392100

25100

005222500392100

1

10 ==

+sdot+sdot

=+

sdot+sdot=

sdot

=

sum

sum

=

=J

jj

J

jjj

g

mg

m g

Kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatuse saame votilderdusest (53)

g0000089mg0890mg125

1

25100

11)(

2

1

0 ===+

==minus

=sum

J

jjg

mu

Antud juhul on motildeotildetesuuruse m0 vaumlaumlrtuse parim hinnang

111

m0 = 200416 g standardmaumlaumlramatusega g000009)( 0 =mu

Nagu naumlitest selgub ei motildejusta suurema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m2 = 20052 g lotildepptulemust

m0 = 20042 g kuigi palju Lihtne aritmeetiline keskmine g00462=m oleks siiski antud olukorras maumlrksa halvem keha massi hinnang kui vaumliksema maumlaumlramatusega motildeotildetetulemus m1 = 20039 g uumlksinda

Kotildeik senitehtu on tehniline arvutamine Nuumluumld vaatame antud naumlidet sisulise kuumllje pealt Teeme joonise kanname sinna nii motildeotildetetulemused kui ka standardmaumlaumlramatused ning kaalutud keskmise koos standardmaumlaumlramatusega ning aritmeetilise keskmise (allolev joonis) Naumleme et kogu see tehtud arvutus ei oma fuumluumlsikalist motildetet kuna votildeime uumlsna kindlalt vaumlita et uumlks motildeotildetmistest ei saa olla otildeige sest nende standardmaumlaumlramatused ei kattu ja isegi kaks korda laiemad ehk 95 usaldusnivool olevad laiendmaumlaumlramatused ei kattu Seega tuleb kaalutud keskmise arvutamise asemel hakata uurima kummas motildeotildetemeetodis votildeiks viga olla

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

Joonis Mustaga on toodud motildelema motildeotildetmise tulemus koos liitmaumlaumlramatusega punane pidev joon on kaalutud keskmine punased katkendjooned on kaalutud keskmine plusmn kaalutud keskmise liitmaumlaumlramatus sinine joon on motildelema motildeotildetmise aritmeetiline keskmine

Naumlide 52 Nihikuga eseme pikkuse motildeotildetmine Nihiku laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on vastavalt kalibreerimistunnistusele 0084 mm Uumllesandeks on purskkaevus oleva raudtoru laumlbimotildeotildedu motildeotildetmine Vee ja seega ka toru temperatuur on 5 degC Toru motildeotildedeti 9-st erinevast kohast Toru laumlbimotildeotildeduks saadi keskmiselt 125124 mm ning standardmaumlaumlramatuseks saadi 0048 mm Mis oleks selle toru laumlbimotildeotildeduks temperatuuril 21 degC ning vastav laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95

112

Motildeotildetetulemus l20 sotildeltub meil temperatuuril 5 degC votildeetud nihiku naumlidust l5 ning raua soojuspaisumis-tegurist CFe seega on motildeotildetmise mudel

)( 521 FeClfl =

ning vastav valem on

)1(55521 TCllTCll FeFe ∆sdot+sdot=sdot∆sdot+= (54)

Wikipedia andmetel on raua soojuspaisumistegur temperatuuri 25 degC piirkonnas CFe = 118 microm m-1 K-1 Kuna tundub et tegemist on vaumlga vaumlikese efektiga vaatame kogu soojuspaisumise efekti kui uumlhte maumlaumlramatuse komponenti ehk CFe = 0 u(CFe) = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1

Leiame osatuletised

100018881)521(1081111 6

5

21 ==minussdotsdot+=∆sdot+=partpart minusTC

l

lFe

0022)521(1251240521 =minussdot=∆sdot=

partpart

TlC

l

Fe

m K

Eeldame et temperatuuri motildeotildetmise viga on teist jaumlrku vaumlike suurus sest kui me eeldame et kogu temperatuuri muutusest tingitud efekt on vaumlheoluline siis pole oluline ka taumlpne temperatuuri muutus ise

Leiame standardmaumlaumlramatused

mm01609

0480)( 5 ==luA

Kuna nihiku laiendmaumlaumlramatus on antud usaldusnivool 95 siis selleks et saada standardmaumlaumlramatust tuleb see laumlbi jagada koefitsiendiga k Sellistel puhkudel eeldatakse et kalibreerimisel oli vabadusastmete arv kuumlllalt suur ning Studenti koefitsient oli ligikaudu k = 2 Seega saame et

mm04202

0840)( 5 ==luB

Nihiku naumlidu koondstandardmaumlaumlramatus temperatuuril 5 degC on seega

mm04470microm74417642564216)()()( 225

25

25 ==+=+=+= lululu BAC (55)

siin vahearvutustes kasutasime uumlhikuid microm

Leiame nuumluumld toru laumlbimotildeotildedu standardmaumlaumlramatuse temperatuuril 21 degC

113

( ) ( )

( ) ( ) mm05100505500447000236

mm044701 Kmmm00118Km0022

)()()(

22

2211

52

2

5

212

2

2121

==+=

=sdot+sdotsdotsdotsdot=

=

partpart

+

partpart

=

minusminus

lul

lCu

C

llu Fe

Fe

(56)

Tingimus (45) ei ole taumlidetud sest 0023600506 = 047 gt 03 Seega osutus soojuspaisumine siiski piisavalt oluliseks ehk toodud taumlpsuse juures tuleb seda arvestada

Leiame nuumluumld koefitsiendi k laiendmaumlaumlramatuse arvutamiseks A-tuumluumlpi maumlaumlramatuse vabadusastmete arv oli 8 ning uumllejaumlaumlnud maumlaumlramatuse komponendid omavad lotildepmatult suurt vabadusastmete arvu Nihiku koondmaumlaumlramatuse arvutusest (48) on naumlha et potildehilise osa andis B-tuumluumlpi maumlaumlramatus lotildepmatult suure vabadusastmete arvuga seega on ka efektiivsete vabadusastmete arv suur seega votildeime votildetta koefitsiendi k vaumlaumlrtuseks k = 196 asymp 2

Eeltoodud arutelu kinnituseks arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu

82501600510

80420

80160023600510

)(

)(4

4

444

4

1

4

4

=sdot=

infin++

infin

==

sum=

n

i i

i

effyu

yu

ν

ν

mm10005102)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 12512 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 010 mm

Lahendus 2

Votildetame kogu soojuspaisumise efekti toru laumlbimotildeotildedu arvutuses arvesse ehk CFe = 118 microm m-1 K-1 = 00118 mm m-1 K-1 kuna tema motildeju on arvatavasti vaumlga vaumlike jaumltame temast tingitud maumlaumlramatuse arvesse votildetmata ehk u(CFe) = 0

Arvutame valemi (47) potildehjal vaumllja toru laumlbimotildeotildedu temperatuuril 21 degC

mm1481250240124125125124016011801241255521 =+=sdotsdot+=sdot∆sdot+= lTCll Fe

Maumlaumlramatuse arvutusel on valemis (48) u(CFe) = 0 seega on

( ) ( )

( ) mm044004370

043701 00022

)()()(

2

22

52

2

5

212

2

2121

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

= lul

lCu

C

llu Fe

Fe

Laiendmaumlaumlramatuse arvutuses on analoogilisel potildehjusel eelmise lahendusega koefitsient k = 2 ehk laiendmaumlaumlramatus usaldusnivool 95 on

114

mm088004402)( 21 =sdot=lU

Seega on toru laumlbimotildeotildet temperatuuril 21 degC l21 = 125148 mm laiendmaumlaumlramatusega (usaldusnivool 95 ) U(l21) = 0088 mm

Motildelemal meetodil saadud toru laumlbimotildeotildedud koos laiendmaumlaumlramatustega on toodud alloleval joonisel

12500

12505

12510

12515

12520

12525

0 05 1 15 2 25

115

6 Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeerimi ne

61Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid on tehnilised vahendid millel on normeeritud metroloogilised omadused ja mis on ette naumlhtud motildeotildetmiseks

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedud bull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihid bull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takistussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid) 3 motildeotildetemuundurid 4 abimotildeotildetevahendid 5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Motildeotildedud on seadeldised mingi fuumluumlsikalise suuruse reprodutseerimiseks Naumlide kaaluvihid

Motildeotildeteriist on motildeotildetevahend mis votildeimaldab saada motildeotildeteandmeid vaatlejale vahetult tajutaval kujul Naumlide osutmotildeotildeteriistad klaas-vedelik termomeetrid

Motildeotildetemuundur on ette naumlhtud motildeotildeteinfo saamiseks muundamiseks edastamiseks ja pole varustatud vahendiga vaatlejale vahetu info saamiseks kuna puudub naumliduseadis Naumlide motildeotildetevotildeimendid Motildeotildetemuundurite eriliigiks on andurid esmase motildeotildeteinfo saamiseks Naumlide termopaar niiskusmotildeotildetja mahtuvuslik andur

Abimotildeotildetevahendid on seadmed millega kontrollitakse motildeotildeteriista toumloumltingimusi fuumluumlsikalisi motildejureid jne Naumliteks kuivelemendi elektromotoorjotildeu maumlaumlramise toumloumls kasutatakse normaalelementi elektromotoorjotildeu standardi reprodutseerimiseks motildeotildetmised ise tehakse aga potentsiomeetri sisese pingeallikaga

Motildeotildetesuumlsteem on mitmest eelpoolmainitud motildeotildetevahendist koostatud seadeldis

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonna bull motildeotildetediapasooni bull tundlikkuse bull motildeotildetevea jne

611 Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Motildeotildetetulemus sotildeltub peale motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse muu juhusliku muutuse mingil maumlaumlral ka motildeotildetetingimustest Motildeotildetevahendi kalibreerimistulemused kehtivad kalibreerimistunnistuses esitatud maumlaumlramatusega ainult siis kui motildeotildetevahendile motildejuvad suurused nagu temperatuur otildehuniiskus otildehurotildehk motildeotildetevahendi kaldenurk horisontaalasendist haumlirevaumlljad jms on kalibreerimisel kehtinud piirides

116

Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi kirjeldatakse motildeotildetevahendi naumlidule motildejuvate suuruste vaumlaumlrtuste abil Motildejuvate suurustena ehk motildejuritena vaadeldakse ainult neid suurusi mille motildeju motildeotildetetulemusele on praktiliselt votildeimalik maumlrgata ja kindlaks teha Naumliteks pikkusmotildeotildetevahenditega motildeotildetmisel on temperatuur motildejuv suurus otildehurotildehk aga vaumlhemotildejuv suurus Iga motildeotildetevahendi kohta on normdokumentidega tavaliselt kindlaks maumlaumlratud neli erinevat kasutamistingimuste piirkonda Need on

1 Normaaltingimused on tingimused mis kehtestatakse motildeotildetevahendi metroloogiliseks kontrolliks votildei motildeotildetetulemuste vastastikuseks votilderdlemiseks Leppetingimused on kotildeige soodsamad motildeotildetetingimused ja need hotildelmavad tavaliselt arvessevotildeetud motildejurite nimivaumlaumlrtusi votildei nimipiirkondi Universaalseid normaaltingimusi ei ole need kehtestatakse individuaalselt igale motildeotildeteriistale (temperatuuri- niiskuse- otildehurotildehu- toitepinge vahemik jne) Naumliteks etalonnormaalelemendi puhul on lubatud temperatuurivahemik (23000 plusmn 0005) degC Tavalistel seadmetel on see 20 degC votildei 23 degC uumlmbruses plusmn 01 kuni plusmn 5 degC

2 Toumloumltingimused on motildeotildetevahendi kasutamistingimused mille korral motildeotildetevahendi metroloogilised omadused on eeldatavalt etteantud piirides Viimased on tavaliselt kirjeldatud motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis Tavaliselt vaumlljendavad toumloumltingimused motildeotildetesuuruste ja motildejurite etteantud vaumlaumlrtusi votildei nende hulka

3 Piirtingimused on tingimused mille iseloomustavate suuruste motildejule motildeotildetevahend peab vastu pidama riketeta ja metroloogiliste omaduste halvenemiseta tema edasisel kasutamisel toumloumltingimustel Motildeotildetevahendi saumlilitamise transportimise ja kasutamise piirtingimused votildeivad uumlksteisest erineda Piirtingimused votildeivad sisaldada motildeotildetesuuruste ja motildejurite piirvaumlaumlrtusi

4 Saumlilitamise tingimused on tingimused mis ei kahjusta motildeotildetevahendit ka pika aja jooksul

Kolme esimese tingimustepiirkonna omavahelisi suhteid iseloomustab joonis 61 Saumlilitamise tingimused reglementeeritakse motildeotildetevahendi toumloumltingimustest sotildeltumatult Nad ei ole kunagi piirtingimustest laiemad ega normaaltingimustest kitsamad aga toumloumltingimustest votildeivad nad olla kitsamad votildei laiemad olenevalt konkreetse motildeotildetevahendi omadustest

Standard ISO 1 on kehtestanud toumloumlstuslike pikkusmotildeotildetmiste valdkonnas universaalseks normaaltemperatuuriks 20 degC Motildeotildetevahendite spetsifikatsioonidest naumlhtub et normaaltemperatuuri piirkonnad sisaldavad reeglina universaalse normaaltemperatuuri vaumlaumlrtuse Tuumluumlpilised normaaltemperatuuri piirkonnad on 18 degC 22 degC ja 15 degC 25 degC

117

Joonis 61 Motildeotildetevahendi kasutamistingimusi iseloomustavate piirkondade suhted

612 Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis maumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samuti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteliikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga xoo ∆∆ Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud

viga normaaltingimustel Absoluutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotildedetav suurus satub intervalli [ ]oo ∆+∆minus Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

Naumlide 61 Esimeses praktikumi toumloumls kasutatava nihiku absoluutpotildehiviga on 005 mm

Naumlide 62 Kaaluvihid klassifitseeritakse viide taumlpsusklassi Kasutatud klassile vastavad absoluutpotildehivea vaumlaumlrtused leitakse vihtide komplekti tehnilisest dokumentatsioonist

Naumlide 63 Olgu meil keha kaalumiseks vaja kolme vihti ndash 1 kg 50 g ja 2 g Kasutades selle keha kaalumiseks 3 klassi vihte saame potildehiveaks

mg41215360312m∆ 222o ==++=

B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse jaoks saame mg 273

412B ==u

Kaaludes sama keha 4 klassi vihtidega saame potildehiveaks

mg12415300630120m∆ 222o ==++=

Maumlrkus Kaalumisel tuleks alati kasutada votildeimalikult vaumlhe st votildeimalikult suuri vihte Viimase vaumlite illustreerimiseks arvuta ise kaaluvihtide viga juhu jaoks kus keha kaalumiseks kasutati 21 50 g-list ja uumlhte 2 g-list vihti

118

2 Suhtpotildehiviga 100ooo

tx

xx

∆=equiv δδ Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme

esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vaumlaumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritolu seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena KЛACC

3 Taandpotildehiviga 100norm

ooo x

xx

∆=equiv γγ Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel

see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on kantud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne Kasutusel on taumlpsusklasside rida

n10)0605040352025101( sdot kus 2101 minusminus=n

Naumlide 64 Oletame et motildeotildetsime voltmeetriga alalispinge vaumlaumlrtuseks V2587=U Voltmeetri

klass olgu 05 ja skaala ulatus V1000=skU Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist

absoluutpotildehivea 100

skoo

UU

γ=∆ ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V923100

100050

31003

∆ oo =sdot

sdot=

sdot== sk

B

UUu

γ

4 Konstandid e ja f kujul e f taandpotildehivea arvutamiseks valemist

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

Naumlide 65 Oletame et motildeotildetsime arvvoltmeetriga vahelduvpinge efektiivvaumlaumlrtuseks V08015naumlit =U Olgu voltmeetri taumlpsusklass esitatud kujul 005 002 ja oletame et kasutasime

voltmeetri piirkonda skU = 20 V Sel juhul avaldame esmalt taandpotildehivea valemist absoluutpotildehivea

V 01130100

201

08015

20020050

100sko

o =sdot

minussdot+==∆

UU

γ

ja seejaumlrel leiame B-tuumluumlpi maumlaumlramatuse

V006503

01130

3

∆oB ===

Uu

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildeteriista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lugeda mis veaga on tegemist

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasutatakse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

D2rdg 250 +=Taumlpsus

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade puhul kotildeige levinum

119

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi absoluutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha kaks uumlhikut

Oletame et saime multimeetriga motildeotildetes pinge vaumlaumlrtuseks U = 625 V Siis absoluutpotildehiviga

V040V020V0160V020V256100

250∆o asymp+=+sdot=

120

62 Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

621 Kostekarakteristika tundlikkus kostelaumlvi lahutusvotildeime suikeulatus kosteaeg ja moonutusvabadus

Vaumlga paljude motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides on esitatud motildeotildetevahendite kostekarakteristika mida nimetatakse ka vaumlljundkarakteristikaks Kostekarakteristika on motildeotildetevahendi sisendi ehk stiimuli ja sellele vastava vaumlljundi ehk koste vaheline sotildeltuvus maumlaumlratletud tingimustel Naumlitena votildeib nimetada termopaari elektromotoorjotildeudu temperatuuri funktsioonina Stiimuli ja koste vahelist sotildeltuvust votildeib vaumlljendada algebralise votilderrandi tabeli votildei graafiku kujul

Samuti on motildeotildetevahendi uumlhe metroloogilise omadusena spetsifikatsioonis tavaliselt toodud motildeotildetevahendi tundlikkus mis on koste muutuse ja selle tekitanud stiimuli muutuse suhe st

X

xT

∆∆

=

kus T ndash motildeotildetevahendi tundlikkus

∆x ndash motildeotildetevahendi naumlidu (motildeotildedise) muutus

∆X ndash motildeotildetesuuruse muutus

Tundlikkuse naumlitena votildeib tuua 1 microm jaotisevaumlaumlrtusega mikromotildeotildeturi (uumllekanne 10001) mille tundlikkus on 1 mm 0001 mm kohta sest motildeotildetesuuruse muutus 0001 mm votilderra tekitab naumlidikus viida nihke ehk lugemi muutuse 1 mm

Motildeotildetevahendi tundlikkusega on tihedalt seotud kostelaumlvi Kostelaumlvi on stiimuli suurim muutus mis ei tekita koste maumlrgatavat muutust eeldusel et stiimul muutub aeglaselt ja monotoonselt Motildeotildetevahendite kostelaumlvi votildeib sotildeltuda naumliteks sisemisest votildei vaumllisest muumlrast liikuvate osade vahelisest hotildeotilderdumisest aga ka stiimuli vaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi naumlidu votildetmisel on vaumlga taumlhtis naumlidiku lahutusvotildeime st naumlidikult saadavate naumlitude vaumlikseim erinevus mida on votildeimalik motildettekalt eristada Numbernaumliduga naumlidiku korral on selleks naumlidu muutus kus kotildeige madalama jaumlrgu number muutub uumlhe sammu (numbersammu) votilderra Skaala ja viidaga varustatud naumlidikuga motildeotildeteriistade korral maumlaumlrab lahutusvotildeime potildehiliselt skaalajaotuse pikkus Uumlldiselt on motildeotildeteriistadel tunnetatav naumlidu muutus mis on vaumlhemalt 15 skaalajaotuse pikkusest

Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste hulka kuulub ka suikeulatus st maksimaalne piirkond milles sisendit ehk stiimulit votildeib motildelemas suunas muuta ilma et muutuks vaumlljund ehk koste Motildeotildetesuuruste vaumlaumlrtusteks mille juures maumlaumlratakse motildeotildetevahendi suikeulatus valitakse tavaliselt motildeotildetepiirkonna alumise ja uumllemise piirvaumlaumlrtuse laumlhedased vaumlaumlrtused vahel ka motildeotildetepiirkonna keskmine vaumlaumlrtus Motildeotildetepiirkonna suikeulatust potildehjustavad hotildeotilderdumine surnud kaumlik elastsed motildejud huumlsterees jms Suikeulatus ei ole alati konstantne eriti liikuvate osade vahelise hotildeotilderdumise votildei hotildeotilderdeteguri muutuse totildettu Tavaliselt maumlrgitakse motildeotildetevahendite spetsifikatsioonides et suikeulatus on vaumliksem teatud piirvaumlaumlrtusest

Motildeotildetevahendi reageerimisvotildeimet motildeotildedetavale suurusele iseloomustab kosteaeg See on ajavahemik hetkest millal sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni millal vaumlljund ehk koste jotildeuab ja jaumlaumlb etteantud piiridesse oma puumlsiva lotildeppvaumlaumlrtuse uumlmbruses Naumliteks termomeeter huumlgromeeter

121

Eristatakse ka veel motildeotildetevahendi reageerimisaega milleks on ajavahemik hetkest mil sisendit ehk stiimulit etteantud maumlaumlral jaumlrsult muudetakse hetkeni mil vaumlljund ehk koste jotildeuab etteantud leppevaumlaumlrtuseni Naumliteks gaasianaluumlsaatori reageerimisaeg t10 vastab tasemele 10 gaasikontsentratsiooni lotildeppvaumlaumlrtusest naumlidikul

Motildeningad motildeotildetevahendid ei ole neutraalsed motildeotildedetava objekti votildei motildeotildetesuuruse suhtes ja votildeivad neid moonutada Seega iseloomustab motildeotildetevahendeid ka niisugune omadus nagu moonutusvabadus See on motildeotildetevahendi votildeime mitte motildejutada motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust Naumliteks votilderdotildelgne kaal on moonutusvaba aga takistustermomeeter mis soojendab ainet mille temperatuuri motildeotildetmiseks ta on ette naumlhtud ei ole moonutusvaba

622 Motildeotildetevahendi taumlpsus

Motildeotildetevahendite uumlheks kotildeige taumlhtsamaks omaduseks on taumlpsus Taumlpsus on motildeotildetevahendi votildeime anda motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele laumlhedasi kosteid Sellest maumlaumlratlusest ilmneb et motildeotildetevahendi taumlpsus on kvalitatiivne motildeiste sest ta on naumlidu ja motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse kokkulangevuse naumlitaja

Kvantitatiivselt hinnatakse motildeotildetevahendi taumlpsust motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe abil See on ka motildeotildetevahendi naumlidu ja sisendsuuruse vaumlaumlrtuse vahe Selles taumlhenduses kasutatakse ka motildeistet naumliduviga mis viitab mittesoovitud kotildervalekaldele Kuna aga motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtust ei ole potildehimotildetteliselt votildeimalik teada peame praktikas motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse asemel kasutama selle mingit leppevaumlaumlrtust Hinnangu motildeotildetevahendi suumlstemaatilisele naumliduhaumllbele saame motildeotildetevahendi kalibreerimisel kusjuures leppevaumlaumlrtuseks on etaloniga realiseeritud suuruse vaumlaumlrtus Motildeotildedu puhul on suumlstemaatiliseks naumliduhaumllbeks sellele omistatud kirjevaumlaumlrtuse kotildervalekalle vaumlaumlrtusest mille saame motildeotildedu kalibreerimisel Motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe votildeib esitada ka suhtelise naumliduhaumllbe kujul st motildeotildetevahendi suumlstemaatilise naumliduhaumllbe ja vastava leppevaumlaumlrtuse suhtena

Nagu varem oleme totildedenud esineb praktilistel motildeotildetmistel paraku alati motildeotildetetingimuste juhuslikke muutusi mis potildehjustavad juhuslikke muutusi saadud motildeotildedistes Osa neist tulenevad vaumllismotildejudest teine osa aga motildeotildetevahendi omadustest Motildejude eristamine notildeuaks vaumlga mahukaid uurimisi Kotildeikide juhuslike motildejude minimeerimiseks kordame motildeotildetmist korduvustingimustel ja keskmistame tulemuse Selle ja kasutatud suuruse leppevaumlaumlrtuse vahe annabki meile suumlstemaatilise naumliduhaumllbe hinnangu Motildeotildetevahendi votildeimet anda naumlite mis on vabad suumlstemaatilisest naumliduhaumllbest kirjeldatakse motildeotildetevahendi otildeigsusega

623 Stabiilsus ja triiv

Kasutaja seisukohast on taumlhtis et motildeotildetevahend saumlilitaks oma metroloogilised omadused ajaliselt muutumatutena Seda motildeotildetevahendi omadust nimetatakse stabiilsuseks Stabiilsust votildeib iseloomustada naumliteks aja kaudu mille jooksul metroloogilised omadused muutuvad etteantud maumlaumlral votildei omaduse muutuse kaudu etteantud ajavahemiku jooksul Kui motildeistet motildeotildetevahendi stabiilsus kasutatakse mingi teise suuruse kui aja suhtes tuleb see kasutusviis eraldi aumlra maumlrkida Motildeotildetevahendi metroloogiliste omaduste aeglast ajalist muutumist nimetatakse triiviks Triivi potildehjuseid votildeib olla mitmeid naumliteks rauast kaaluvihi roostetamine mistotildettu tema mass langeb samuti votildeib takistustraadi pind reageerida motildene otildehu koostisosaga ning seelaumlbi votildeib tema takistus ajapikku muutuda Kui seadmel on liikuvaid osasid nagu naumliteks tiivikanemomeetril siis temas olev maumlaumlre votildeib vananeda ning hotildeotilderdetakistus votildeib hakata vaumlhehaaval suurenema

122

624 Naumlidu korduvus- ja korratavusvotildeime

Et hinnata motildeotildetevahendi votildeimet anda laumlhedasi kosteid kui motildeotildetmine toimub samadel tingimustel ja sama stiimuli korduval rakendamisel tuleb seda motildeotildetevahendit katsetada korduvustingimustel Kuna motildeotildetevahendi naumlidu korduvusvotildeimet saab kvantitatiivselt vaumlljendada naumlitude (motildeotildediste) jaotuskarakteristikute abil siis nende katsete tulemusel saab leida korduvusstandardhaumllbe hinnangu sr (vajadusel saab selle kohta taumlpsemalt lugeda raamatust Motildeotildetmised ja motildeotildetemaumlaumlramatused Laaneots ja Mathiesen)

625 Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid

Kotildeikide motildeotildetevahendi metroloogilistest omadustest tulenevate efektide motildeju motildeotildetevahendile votildeetakse arvesse naumliduhaumllbe piiride (piirvea veapiiride) maumlaumlramisel Viimase all motildeeldakse motildeotildetevahendi spetsifikatsioonis kasutamisjuhendis otildeigusaktis votildei motildenes muus dokumendis lubatud naumliduhaumllbe piirvaumlaumlrtust Tavakasutuses votildeime uumlldiselt oletada et motildeotildetevahendi kasutamisel saadud juhuslik naumliduhaumllve ei uumlleta motildeotildetevahendile etteantud naumliduhaumllbe piire

Motildenes metroloogia valdkonnas kasutatakse ka terminit motildeotildetevahendi naumlidu taandhaumllve (taandviga) Selle motildeiste all motildeeldakse naumliduhaumllbe piiri ja mingi antud motildeotildetevahendi jaoks kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtuse suhet Kui see kindlaksmaumlaumlratud vaumlaumlrtus on motildeotildetevahendi skaalanaumlidiku uumllemine piir siis maumlaumlrab naumlidu taandhaumllve protsentides tavaliselt motildeotildetevahendi taumlpsusklassi Naumliteks motildeotildetevahendi naumlidu lubatud taandhaumllbe 01 korral votildeib sellele motildeotildetevahendile omistada taumlpsusklassi 01

Tingituna motildeotildetevahendi konstruktsioonist votildei teatud kasutamisalast ei pruugi positiivsed ja negatiivsed naumliduhaumllbed olla votilderdsed Seepaumlrast votildeib moodustada ka erinevad naumliduhaumllbe piirid Motildeotildetevahendi naumliduhaumllbe piirid maumlaumlratakse tavaliselt kindlaks kooskotildelastuste ettekirjutuste riigi poolt allkirjastatud lepingute (Euroopa Liidu juhised) aga ka kalibreerimis- votildei taatluseeskirjade alusel Taatluseeskirjad ja nende kehtivus on tavaliselt normitud neid vaumlljaandva riigi tasandil Kvantitatiivselt esitatakse naumliduhaumllbe suumlmmeetrilised piirid tavaliselt kas konstantsetena motildeotildetesuuruse uumlhikutes motildeotildetevahendi kogu motildeotildetepiirkonna ulatuses st ∆ = a votildei naumliduga proportsionaalsetena st ∆ = bx votildei eelneva kahe summana st ∆ = a + bx

63 Motildeotildetevahendite metroloogilise kontrolli liigid

631 Kalibreerimine ja justeerimine

Motildeotildetevahend kalibreeritakse motildeotildetetulemuse seostatuse saavutamiseks Kalibreerimine on menetlus mis fikseeritud tingimustel maumlaumlrab kindlaks seose motildeotildetevahendi poolt esitatud vaumlaumlrtuse (naumlidu motildeotildedise) ja etaloni abil realiseeritud suuruse vastava vaumlaumlrtuse vahel

Motildeistet kalibreerimine ei tohi segi ajada motildeistega justeerimine Viimane on tegevus mille eesmaumlrgiks on motildeotildetevahendi viimine kasutamiseks sobivasse toumloumlrežiimi Justeerimine notildeuab seega tehnilist vahelesegamist mille tulemusena votildeib muutuda motildeotildetevahendi kostekarakteristika Naumliteks kaaluviht justeeritakse ettenaumlhtud kirjevaumlaumlrtuseni mahaviilimise votildei pliihaavli juurdelisamisega mis taumlhendab kaaluvihi massi muutmist kirjevaumlaumlrtuse laumlhedusse Teise naumlitena votildeib nimetada takistusmotildeotildedu justeerimist leppevaumlaumlrtuseni traadi pikkuse muutmisega ja balanssiiri (ankru) justeerimist soovitud votildenkesageduseni spiraalvedru jaumlikuse muutmisega Motildeotildetevahendit saab justeerida ka tema votilderdlemisel taumlpsema motildeotildedu votildei motildeotildetevahendiga paigutades selleks

123

motildeotildetevahendisse motildeotildetesignaali muutva luumlli Justeerimise kaumligus rakendatakse reguleerimisvotildeimalusi mis ei tarvitse olla kaumlttesaadavad tavakasutajale

Justeerimist mille kaumligus rakendatakse ainult motildeotildetevahendi kasutajale ettenaumlhtud reguleerimisvotildeimalusi nimetatakse motildeotildetevahendi seadmiseks Naumliteks motildeotildetepiirkonnaga uumlle 25 mm kruviku korral on enne motildeotildetetoimingu algust tarvis kruviku komplektis oleva seademotildeotildedu abil saumlttida paika nullnaumlit Motildeningate teiste motildeotildetevahendite korral taumlhendab seadmine motildeotildetevahendi alg- ja lotildeppnaumlidu reguleerimist Motildeotildetevahendil mida seadistatakse mingis naumliduseadise votildei skaala kindlas punktis toimub reguleerimine motildeotildetevahendi komplektis oleva seademotildeotildedu sertifitseeritud etalonaine votildei muu kindlalt maumlaumlratletud objekti jaumlrgi nii et naumlit oleks votildeimalikult laumlhedane seadeobjekti kirjevaumlaumlrtusele (nimivaumlaumlrtusele)

Enne kalibreerimisele asumist tuleb kontrollida kas tellimus naumleb ette motildeotildetevahendi eelnevat justeerimist votildei mitte Kui justeerimisvajadus on ilmne aga ei kajastu tellimuses tuleb kuumlsimus kooskotildelastada tellijaga Potildehjuseks on see et justeerimisega muudetakse motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi mille katkematu jaumllgimine votildeib olla oluline motildeotildetevahendi valdajale Valdaja votildeib naumliteks kasutada motildeotildetevahendit etalonina votildei kontrollmotildeotildeduna

Kalibreerimise maumlaumlratlusest johtub et erinevalt motildeotildetevahendi justeerimisest ei toimu kalibreerimisel tehnilist vahelesegamist Naumlidikuga motildeotildetevahendi kalibreerimisel tehakse kindlaks naumlidu ja motildeotildetesuuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve motildeotildetude korral aga motildeotildedu kirjevaumlaumlrtuse ja leppevaumlaumlrtuse vaheline motildeotildetehaumllve Kalibreerimisega on tegu ka siis kui maumlaumlratakse naumliteks pingemotildeotildeturi skaalategur votildei tehakse kindlaks skaalaga varustatud ampermeetri naumlitude ja voolutugevuse leppevaumlaumlrtuste vahelised motildeotildetehaumllbed Kalibreerimismenetluse erijuhtumiks on tingskaalaga varustatud motildeotildetevahendi gradueerimine st motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtustele vastavate skaalamaumlrkide vahel ka ainult kindlate potildehimaumlrkide asetuse maumlaumlramine naumlituril

Kalibreerimisel saadud motildeotildetevahendi sisendsuuruse (motildeotildetesuuruse stiimulite) ja vaumlljundsuuruste (motildeotildediste kostete) vahelise sotildeltuvuse votildeib esitada tabeli graafiku votildei valemi abil Kalibreerimisel saadud arvuline tulemus ndash naumliduhaumllbe hinnang koos selle hinnangu maumlaumlramatusega ndash votildeimaldab kindlaks maumlaumlrata motildeotildetevahendi naumlidule vastava naumliduparandi mis on votilderdne naumliduhaumllbe hinnanguga kuid on vastandmaumlrgiga Kalibreerimistulemus esitatakse vastavas dokumendis mida nimetatakse kalibreerimistunnistuseks votildei ndasharuandeks

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et kalibreerimisel maumlaumlratakse kindlaks motildeotildetevahendilt saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu (naumlidu motildeotildedise) ja selle suuruse leppevaumlaumlrtuse vaheline sotildeltuvus Seega on kalibreerimine kotildeige olulisem metroloogilise kontrolli liik Kalibreerimisel votildeib maumlaumlrata ka teisi motildeotildetevahendi metroloogilisi omadusi naumliteks hinnata motildejurite toimet naumlidule jne

Naumlide 68 Millise taumlpsusega peab olema valmistatud pendliga kella pendli pikkus et ta ei valetaks uumlhe kuu (30 p) paumlrast rohkem kui uumlhe

minuti Pendli valem on g

lT π2=

Lahendus Avaldame pendli pikkuse l funktsioonina perioodist T ning konstantidest π ja g

124

2

2

2

2

442

πππ

sdotsdot

=rArr=sdot

rArr=gT

lg

lT

g

lT

Pendli pikkus peaks olema

mm4053248m248405304

8066591

4 2

2

2

2

==sdot

sdot=

sdotsdot

=ππ

gTl

Leiame nuumluumld pendli pikkuse tuletise perioodi jaumlrgi

T

lgT

T

l 2

4

22

=sdotsdot

=partpart

π

Pendli perioodi erinevust uumlhest sekundist taumlhistame ∆T-ga vaumlikest pendli pikkuse erinevus taumlhistame ∆l-ga seega

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

Arvutame nuumluumld vaumllja suhte ∆TT

∆T = 1 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit seega

0000231043200

1asymp=

∆T

T

Pendli pikkuse erinevus otildeigest vaumlaumlrtusest votildeib siis olla maksimaalselt

mm011043200

1mm24822 =sdotsdot=

∆sdot=∆

T

Tll

Seega peab olema kella pendli pikkus 248405 mm plusmn 0011 mm et kell ei eksiks uumlhe kuu jooksul rohkem kui uumlhe minuti

Naumlide 69 Jaumltkame pendli uumllesannet Vanaisa seinakell on aegade algusest saadik maha jaumlaumlnud ligikaudu 5 minutit igas kuus Kuidas seda kella justeerida et kell hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Lahendus

Seose pendli pikkuse ja kella ebataumlpsuse vahel leidsime juba eelmises naumlites kasutame seda et leida pendli pikkuse ebataumlpsus

T

TlT

T

ll

∆sdot=∆sdot

partpart

=∆ 2

∆T = 5 minutit T = 30 paumleva = 30 24 tundi = 30 24 60 minutit = 43200 minutit l = 248405 mm seega

mm057043200

52482 =sdot=

∆sdot=∆

T

Tll

125

Kuna kell jaumlaumlb maha siis jaumlrelikult kaumlib kell liiga aeglaselt seega on pendel liiga pikk jaumlrelikult tuleb pendlit luumlhemaks teha Seega on meil vaja pendli pikkust luumlhendada ligikaudu 006 mm votilderra Tekib kuumlsimus et kuidas uumlldse motildeotildeta pendli pikkust Mehaanika teadmistest laumlhtuvalt votildeime votildetta pendli pikkuseks vahemaa pendli votildenkumistelje ning pendlisuumlsteemi masskeskme vahel Siit saab ka juba idee pendli pikkuse muutmiseks ndash tuleb nihutada pendli masskeset Naumliteks laumlhtudes pildil oleva kella pendli kujust ndash pendli pommi uumllemisse otsa (et masskeset teljele laumlhemale viia) tuleb kinnitada uumlks lisaraskus Selle lisaraskuse massi hindamiseks on tarvis teada pendli massi ning tema kaugust votildenkumisteljest Oletame et oleme hinnanud pommi massiks 200 grammi ning joonlauaga motildeotildetnud et kaugus pendli votildenkumistelje ning planeeritud lisamassi asukoha vahel on 190 mm Kasutame nuumluumld masskeskme arvutamise valemit (mis on identne aritmeetilise keskmise arvutamise valemiga)

lisamasslisamasspendelpendelkogukeskmine mlmlml sdot+sdot=sdot

( ) lisamasslisamasspendelpendellisamasspendelkeskmine mlmlmml sdot+sdot=+sdot

pendelkeskminependelpendellisamasslisamasslisamasskeskmine mlmlmlml sdotminussdot=sdotminussdot

Avaldame nuumluumld suuruse mlisamass

( )

20190248

0570200

lisamasskeskmine

keskminependelpendellisamass =

minussdot

=minus

minussdotsdot=

ll

llmm g

Seega peab pendlile lisama 02 g-se lisaraskuse et ta hakkaks taumlpsemalt kaumlima

Totildeenaumloliselt ei olnud pendli massi hinnang 200 g kuigi taumlpne seega kell ei kaumli ikka taumlpselt Kui nuumluumld uuesti leida kui palju kell valetab on saadud tulemusest votildeimalik vaumllja arvutada pendli mass ning selle kaudu taumlpsem lisamassi raskus

632 Tuumluumlbikinnitus

Tuumluumlbikinnitus on toiming mille kaumligus tehakse motildeotildetevahendi dokumentatsiooni ja tuumluumlbihindamise tulemuste alusel kindlaks kas antud tuumluumlpi motildeotildetevahendiga motildeotildetmisel votildeib eeldada etteantud taumlpsuse saumlilimist kindlaksmaumlaumlratud ajavahemiku jooksul Kotildeneallolev motildeotildetevahend peab olema gradueeritud seaduslikes uumlhikutes Tuumluumlbikinnituse tulemusena vaumlljastatakse tuumluumlbikinnitustunnistus See sisaldab motildeotildetevahendi antud tuumluumlbi metroloogiliste omaduste ning vajadusel lisatingimuste piirangute ja taumlhtaegade kirjelduse Tuumluumlbikirjeldus on kohustuslik motildeotildetevahenditele millele eri otildeigusaktis on kehtestatud taatluskohustus

Tuumluumlbikinnituse teostaja on tavaliselt riigi poolt seadusega maumlaumlratud riigiasutus (Eestis on selleks asutuseks Tehnilise Jaumlrelevalve Inspektsioon) Tuumluumlbikinnituse aluseks on tuumluumlbihindamine st uumlhe votildei mitme sama tuumluumlpi motildeotildetevahendi suumlstemaatiline vaatlus ja katsetamine dokumenteeritud notildeuete potildehjal Tuumluumlbihindamine toimub omaette asutuses milleks votildeib olla vastava motildeotildeteliigi alal akrediteeritud motildeotildetelabor Tuumluumlbihindamise tulemused dokumenteeritakse tuumluumlbihindamise aruandes

Tuumluumlbikinnitus antakse reeglina motildeotildetevahendile mille metroloogilised ja kasutusomadused vastavad kas Rahvusvahelise Legaalmetroloogia Organisatsiooni dokumentide OIML D ning soovituste OIML R votildei Euroopa Liidu direktiivides kehtestatud notildeuetele Kui motildeotildetevahend pole nimetatud dokumentides kajastatud siis on tuumluumlbikinnituse aluseks rahvusvaheliste standardimisorganisatsioonide (Rahvusvaheline Standardimisorganisatsioon ndash ISO Rahvusvaheline

126

Elektrotehnikakomisjon ndash IEC Euroopa Standardikomitee ndash CEN Euroopa Elektrotehnika Standardikomitee ndash CENELEC) standardite notildeuded

Motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituse taotlejaks votildeib olla motildeotildetevahendite valmistaja votildei tema volitatud esindaja votildei importija kes esitab vastava taotluse koos tuumluumlbihindamise aruandega kompetentsele riigiorganile (tuumluumlbikinnituse teostajale) See vaumlljastab notildeuetele vastavuse korral motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnitustunnistuse ja annab otildeiguse kanda motildeotildetevahendile tuumluumlbikinnitusmaumlrk

633 Taatlus

Taatlus on taatluseeskirjadele vastav menetlus mis hotildelmab motildeotildetevahendi vastavuse kontrollimist motildeotildetevahendi tuumluumlbikinnituses toodud metroloogilistele omadustele ja motildeotildetevahendi sellekohast maumlrgistamist otildeiguspaumldeva taatlusasutuse poolt Kontrollimisega selgitatakse kas motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjade notildeuetele eelkotildeige taatlushaumllbe piiride osas Maumlrgistamisega kinnitatakse vastavust Taatluseeskiri on paumldeva organi poolt kehtestatud kohustuslik tegutsemisreeglistik kindlat liiki votildei tuumluumlpi motildeotildetevahendite taatlemiseks Taatlus loob eelduse oletada et taatluskehtivusaja jooksul motildeotildetevahendi kasutamisel tema naumliduhaumllve jaumlaumlb lubatud piiridesse

Siinkohal meenutame et motildeotildetevahendi taatlust notildeutakse motildeotildetevahendi kasutamisel taatluskohustuslikus valdkonnas ning et taadelda saab ainult tuumluumlbikinnitust omavaid motildeotildetevahendeid Taatlus on liigitatud esma- kordus- ja erakorraliseks taatluseks Motildeotildetevahendi esmataatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas taatlusprotsessi seni mittelaumlbiteinud motildeotildetevahend vastab taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatluse eesmaumlrk on kindlaks teha kas motildeotildetevahend vastab jaumltkuvalt taatluseeskirjas esitatud notildeuetele ja kinnitatud tuumluumlbile Kordustaatlusele kuuluvad taatluskohustuslikes valdkondades kasutusel votildei kasutusvalmis olevad motildeotildetevahendid kindlate ajavahemike (taatluskehtivusaeg) jaumlrel Taatluskehtivusaja jooksul tuleb taatluskohustuslikku motildeotildetevahendit erakorraliselt taadelda juhul kui on totildeestatud et motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjas votildei tuumluumlbikinnituses fikseeritud notildeuetele ja paumlrast motildeotildetevahendi remonti Erakorralise taatluse algatab ja korraldab tavaliselt jaumlrelvalvet teostav vastav volitatud juriidiline isik aga seda votildeib notildeuda ka motildeotildetevahendi valdaja

Vastandina kalibreerimisele justeeritakse taatluse kaumligus vajaduse korral motildeotildetevahendit et viia naumliduhaumllve taatlushaumllbe piiridesse Taatluse tulemus dokumenteeritakse taatlusprotokollis mis peab sisaldama taatluse laumlbinud motildeotildetevahendi(te) identifikatsiooni ja viidet kasutatud taatluseeskirjale Kui taatluse kaumligus ilmneb et taatluskohustuslik motildeotildetevahend ei vasta taatluseeskirjade notildeuetele tuleb see vastavalt maumlrgistada ja vaumlljastada taatlusnotildeuetele mittevastavuse protokoll

Kokkuvotildetteks votildeib oumlelda et taatlus annab motildeotildetevahendi kasutamiskotildelblikkuse kohta vastuse jah votildei ei kalibreerimine aga seose kasutatud leppevaumlaumlrtuse ja motildeotildetevahendi naumlidu vahel jaumlttes otsuse langetamise motildeotildetevahendi sobivuse kohta antud motildeotildetmiseks motildeotildetevahendi kasutajale

127

Lisa 1 Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused

Studenti t-kordaja vaumlaumlrtused )( ptν sotildeltuvalt vabadusastmete arvust 1minus= Nν ja soovitavast

usaldusnivoost p

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

(II) Suuruse x jaoks mida kirjeldab normaaljaotus keskvaumlaumlrtusega x ja standardhaumllbega xσ

sisaldab vahemik xkx σplusmn p = 6827 9545 ja 9973 protsenti jaotusest vastavalt k = 1 2 ja 3

korral

128

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Motildeotildetmine on rahvusvaheliselt defineeritud kui menet luste kogum mille eesm aumlrgiks on motildeotildedetava suuruse vaumlaumlrtuse maumlaumlramine Teadusharu mis kaumlsitleb suuruste motildeotildetmi st nimetatakse metroloogiaks

MMM ndash Motildeotildetmise definitsioon

3

Kursuse positiivsele hindele laumlbinud uumlliotildepilane1 motildeistab metroloogia potildehitotildedesid2 oskab rakendada motildeotildeteprotseduuride juures enamkasutat avaid

jaotusseaduseid3 teab enamlevinud motildeotildetmismeetodeid ning motildeotildetem aumlaumlramatuse

hindamise paremaid praktikaid4 suudab lihtsamatel juhtudel hinnata motildeotildetmisandmet e

motildeotildeteseadmete passide ja kalibreerimistunnistuste n ingmuude kaumlttesaadavate andmete potildehjal motildeotildetetulemust n ing selle usaldusvahemikku

5 tunneb aumlra seadmetel enamkasutatavad taumlpsusklassid ningoskab neid rakendada

6 oskab kirjeldada motildeotildetevahendite metroloogilise kont rolli meetodeid

7 oskab motildeotildetmist planeerida koostada motildeotildetmiste mude lit ningseda rakendada

MMM - Otildepivaumlljundid

4

Hindamismeetoditeks on kodused toumloumld kirjalik test grupitoumlouml ning kirjalik eksam

Koondhinde moodustavadbull kodused toumloumld (otildepivaumlljundid 2 3 4 5) ndash 10 bull test (otildepivaumlljundid 1 2 4) ndash 20 bull grupitoumlouml (otildepivaumlljundid 3 4 7) ndash 10 bull eksam (otildepivaumlljundid 1 3 4 5 6) ndash 60 bull preemiapunktid ndash xx

Testis ning eksamil on uumllesande juures aumlra toodud palju punkte mingi uumllesanne annab (kui uumllesanne on jagatud mitmesse os sa siis palju punkte mingi osa annab) Grupitoumloumll hinnatakse toumlouml puumlst itust meetodi sobivust tulemuse otildeigsust ning toumlouml vormistust

Kotildeik hindamismeetodid tuleb sooritada positiivsele h indele st peab saama uumlle 50 punktidest

Koondhinne arvutatakse vastavalt praegu kehtivale -suumlsteemile(A = gt90 jne)

MMM - Hindamismeetodid

5

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

Grupitoumlouml on otildepitu praktiliseks kasutamiseks Grupi suurus on kuni 5 tudengit uumllesandega motildeotildeta mingit etteantud parameet rit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildet e-maumlaumlramatusega Naumliteks votildeiks olla fuumluumlsikahoone fuaje e pikkuse motildeotildetmine kasutades pikkusuumlhikuks saabast nr 42 Grup itoumloumlst raumlaumlgime taumlpsemalt paumlrast testi

MMM - Hindamismeetodid

6

bull Motildeotildetmise alused (Rein Laaneots Olev Mathiesen 2002 TTUuml kirjastus)

bull An Introduction to Uncertainty in Measurements(Les Kirkup Bob Frenkel 2006Cambridge University Press )

MMM - Potildehikirjandus

7

1 2 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildete tulemustening nende usaldusvahemiku hindamine praktilisedarvutusnaumlited

8 Uumllesannete lahendamine

9 KONTROLLTOumlOuml (4 aprill 2011)

10 Kontrolltoumlouml analuumluumls uumllesannete lahendamine Grupit oumloumldeplaneerimine

14 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

15 Grupitoumloumlde esitamine uumllesannete lahendamine

Lisaks kuumllaliste ettekanded Metroserdi kuumllastus j ne

MMM ndash Loenguplaan (detailsem plaan Moodles)

8

Paralleelselt loengutega toimub ka ainele e-toe loom ine Moodle keskkonnas Kotildeik esitatavad materjalid laumlhevad sinna uumlles samuti toimub selle kaudu koduste uumllesannete ning grupitoumloumld e esitamine Kotildeik loengud filmitakse uumlles ning on samuti Moodle kaudu jaumlrelvaadatavad

httpsmoodleutee

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused (LOFY01004)

Aine votildeti on ldquo mootemaaramatus rdquo

MMM ndash Moodle

9

Kotildeiksuguste aine ja loengu kohta kaumlivate kuumlsimuste jaoks on Moodles foorumid Eriti oodatud on kuumlsimused kui midagi jaumli loengus segaseks siis saab kas foorumis votildei jaumlrgmises loengu s uumlle raumlaumlkida Samuti on votildeimalik anda tagasisidet anonuumluumlmselt se lleks on ukse kotilderval uumlmbrik kuhu jaumletud motildetteteri puumluumlan ma votildeimalu ste piires arvesse votildetta samuti on Moodles anonuumluumlmse tagasiside koht

MMM ndash Tagasiside

10

Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumis notildeutav motildeotildetetulemuste ning nende

usaldusvahemiku hindamine praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid

11

Pideva juhusliku suuruse jaotustiheduseks f(x) nimetatakse funktsiooni mis kirjeldab suhtelist totildeenaumlosust sell e juhusliku suuruse esinemiseks mingis punktis x Totildeenaumlosus et juhuslik suurus langeb etteantud vahemikku [ a b] on votilderdne integraaliga jaotustihedusest f(x) radadega a-st b-ni

Jaotustihedus on normeeritud st integraal uumlle kogu ja otustiheduse maumlaumlramispiirkonna on votilderdne uumlhega

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Jaotustihedus

int sdot=b

a

dxxfbap )()(

1

12

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse arvu

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutata kse aritmeetilist keskmist

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Keskvaumlaumlrtus

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

13

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f (x) standardhaumllbeks nimetatakse arvu

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutat akse empiirilist standardhaumllvet

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Standardhaumllve

intinfin

infinminus

minus= dxxfxmxx )())(()( 2σ

1

))((1

2

minus

minus

=sum=

N

xmxs

N

ii

N

14

Pideva juhusliku suuruse X uumlhtlaseks jaotuseks (ka ristkuumllikjaotuseks) lotildeigul [ a b] nimetatakse jaotust mille jaotustihedus sellel l otildeigul on nullist erinev konstant Kuna peab kehtima normeerimis tingimus siis

Seega on uumlhtlase jaotusejaotustihedus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

abcabcxcdxcdxc b

a

b

a minus=rArrequivminussdot=sdot=sdot=sdot intint

infin

infinminus

11)(

lele

minus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

Suumlmmeetriatelg

15

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

See on lotildeigu [a b] keskpunkt Et tegemist on lotildeigu keskpunkti suhtes suumlmmeetrilise jaotusega siis on ka loomulik et kes kvaumlaumlrtus uumlhtib suumlmmeetriakeskme asukohaga

Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

16

Normaaljaotus e Gaussi jaotus on uumlks taumlhtsamaid jao tusseadusi juhuslikele suurustele mis on jaotunud kogu reaaltel jele ja votildeivad omandada vaumlaumlrtusi vahemikus (ndash infin infin)

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

Kus a on fikseeritud reaalarv (votildeib olla nii negatiivne kui positiivne aga votildeib olla ka null) ja σ gt 0 on fikseeritud positiivne reaalarv Parameeter a on normaaljaotuse keskvaumlaumlrtus ja σ on normaaljaotuse standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσ

axxf

a = 0 σ = 1

17

Paljud looduses toimuvad protsessid on kirjeldatavad normaaljaotuse abil loomulik m uumlra transpordivoo kiirus teatud vanuseruumlhma meeste naiste ja laste pikkus vererotildehk jne Paljude sotildeltumatute juhuslike suuruste keskvaumlaumlrtuse jaotus laumlheneb normaa ljaotusele sotildeltumata nende juhuslike suuruste endi jaotusest

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Normaaljaotus

4 2 0 2 4 6

01

02

03

04

f x( )

x

a = 2 σ = 1

18

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse xt vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetevead

19

Votildeimalike vaumlaumlrtuste diapasooni votildeib anda algus- ja l otildepp-punktiga xminja xmax Tavalisem ja levinum on siiski anda lotildeigu keskpunk t milleks valitakse motildeotildedetava suuruse parim hinnang m(x) ning motildeotildetem aumlaumlramatus u(x)

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

20

Motildeotildetem aumlaumlramatus on motildeotildetmistaumlpsuse motildeotildeduks mida suurem on motildeotildetem aumlaumlramatus u seda vaumliksem on motildeotildetmistaumlpsus Enamasti on motildeotildetmistel statistiline iseloom ning koos motildeotildetem aumlaumlramatusega on tarvis anda ka usaldusnivoo p(u) millega motildeotildedetav suurus satub usaldusintervalli [ m(x) plusmn u(x)] Motildeotildetmine on korrektselt sooritatud kui on leitud kolm arvu m(x) u(x) ja p(u)

Motildeotildetmisteooria uumllesandeks on potildehjendada ja anda eesk irjad parima hinnangu m(x) motildeotildetem aumlaumlramatuse u(x) ja usaldusnivoo p(u) leidmiseks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

21

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus

23

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

24

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus

=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

25

Naumlide 11 Taumlppiskaaludega kaalumine

Naumlide 12 Kontrollitud temperatuuriga ruumitemperatuuri ajaline kaumlik

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus A

Aeg

Temperatuur

26

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

27

Naumlide 13 Praktikumis kasutatava nihiku (joonis 1 5) potildehiviga (ehk riistaviga) on St eeldatakse et motildeotildeteriistast tin gitud viga uumlhekordsel motildeotildetmisel jaumlaumlb piiridesse

Valmistajatehas garanteerib et motildeotildeteriista tegelik v iga ei vaumllju neist piirest

Joonis 15 Nihik 1 ndash potildehiskaala 2 ndash noonius 3 ndash motilde otildedetav detail Nihiku potildehiviga on kantud motildeotildeteriistale

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus B

oo x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ltltminus

28

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks (combined uncertainty) Tema arvuline vaumlauml rtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

Naumlide 14 Silindri pikkuse motildeotildetmine nihikuga

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus C

u u uC A B= +2 2

29

Selleks et saada infot sellele kursusele registree runute varasematest teadmistest on Moodles avatud tasemetest Eksami arv estuses laumlheb see test arvesse kui arvestuslik test ndash testi taumlitmise l (ka siis kui kotildeik vastused on valed) laumlheb kirja arvestatud mittetaumlitm isel mittearvestatud Test sulgub 14022011 kell 0000

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

naumliteks kui lahendate tahvlil uumllesannet siis o leks hea kui Te ei seletaks mitte ainult seda kuidas miski kaumlib ja mi da teha tuleb vaid et seletaksite juurde MIKS see nii on votildei millest misk i tuletatud on

Tasemetesti tulemuste analuumluumls

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Tagasiside

3

Taumlhendnumbrite hulk ehk tuumlvinumbrite hulk ehk taumlhendus ega numbrikohtade hulk arvus on kehtivate kuumlmnendkohtade hulk arvus

Taumlhendnumbriteks arvus loetakse alati kotildeiki numbreid pe ale nulli Nulli loetakse kehtivaks kui ta asub teiste arvude vahel taumlisarvu votildei kuumlmnendmurru lotildepus Arvu alguses olevaid nulle samut i uumlmardamise teel saadud nulle arvu lotildepus ei loeta taumlhendnumbrite ks

Naumlide 15 10 400 5 taumlhendnumbrit104bull102 3 taumlhendnumbrit10 40000 7 taumlhendnumbrit001040 4 taumlhendnumbrit

Aga ldquokuus miljardit (6 000 000 000) aastat tagasirdquo

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Taumlhendnumbrid

4

Maumlaumlramatuse hinnang motildeotildetmiste vaumlikese arvu korral on uuml sna ebataumlpne seetotildettu pole vahemikhinnangu vaumlljakirjuta misel motildetet suurel taumlhendnumbrite hulgal Tulemused esitatakse uumlma rdatult

Arvude uumlmardamisel kasutatakse reeglit arvud 1 2 3 j a 4 uumlmardatakse alla 6 7 8 9 uumlles Koolis otildepetati e t arv 5 uumlmardatakse uumlles Statistiliselt tekitab selliselt uumlmardamine suuml stemaatilise vea kuna uumlmardatud arvude keskvaumlaumlrtus on suumlstemaatiliselt suurem kui uumlmardamata arvude keskvaumlaumlrtus

Suumlstemaatilisest veast on vaba jaumlrgmine uumlmardamise ree gel bdquoarvu 5 uumlmardatakse notildenda et tulemuse viimane tuumlvinumber ole ks paarisarvldquo Samuti on selle reegli eeliseks et jagade s nii uumlmardamata kui uumlmardatud tulemust kahega saame ikka otildeige tulem use

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Uumlmardamine

5

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse olgu siis lugemi sisestamisel tekki nud naumlpuvea totildettu votildergupinge kotildeikumise totildettu motildeotildetmisruumi ukse avanemisegakaasnenud tuuletotildembuse totildettu vms Sageli on sellist el juhtudel motildeistlik teha motildeotildetmistes vaumlike paus ning oodata mi l naumliteks kaalu naumlit muutub jaumllle stabiilseks Samas arvutijuhitava kaalu puhul see pole lihtne naumliteks kui arvuti salvestab kaalu naumli du kord sekundis Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistulemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutustes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Ekse

6

A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arv on

Kus n on motildeotildetmiste arv

B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu votildeib fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumi raames votildetta alati lotildepmatult suu reks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

1minus= nυ

7

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus ui(y) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

Naumlide 16 Jaumltkame metallsilindri motildeotildetmise naumlidet M etallsilindri pikkust motildeotildedeti n = 100 korda

Arvutame efektiivsete vabadusastmete arvu metallsilin dri pikkusekoondm aumlaumlramatusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Vabadusastmete arv

mm 0440)(A == nxuu

mm 0290B =u

mm 0530=Cu

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

9

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndashkattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

10

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti test

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

11

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

12

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

)()( yukyU sdot=

997

95

68

13

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Laiendm aumlaumlramatus

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

14

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Studenti testVabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

15

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

16

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

17

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

18

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

19

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge U voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = UIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

20

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

21

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

22

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

23

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 99 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

24

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

25

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

26

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

27

Kodune test sulgub 20022011 kell 2355 Nuumluumldsest on tulemused olulised st punkte annavad ainult otildeiged vastused Vale vastuse puhul Moodle uumltleb seda ning laseb vastust korrigeerida kuid votildetab 20 selle kuumlsimuse punktidest maha Seega on votildeimalik i gale kuumlsimusele vastata maksimaalselt 5 korda Vastuste korrigeerimin e on votildeimalik kuumlll ainult arvutusuumllesannete juures

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Kursuse kaumligus tuleb taumlita ca 12 kodust testi Testi d sulguvad puumlhapaumleva otildehtul kell 2355 ning testi jaumlrgi teha ei saa sest me analuumluumlsime neid toumlid jaumlrgmises loengus

Iga test annab maksimaalselt 10 punkti (vahest votildeib olla ka preemiapunkte)

Uumlksikust testist positiivse hinde saamine votildei uumlldse testi taumlitmine ei ole kohustuslikud kuid motildejutavad aine koondhinnet

Kodustest testidest kogutud punktid liidetakse kotildeik kokku ning jagatakse laumlbi testide arvuga Saadav tulemus on ko ondhinde arvestusse minevate punktide arv Kui saadav tulemus on vaumliksem kui 5 siis taumlhendab see automaatselt ainest laumlbikukkum ist

MMM ndash koduste testide olulisus edasijotildeudmisel

3

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

4

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga Metallituumlkile ning kaaluvihtidele motildejuvad raskusjotildeud ning otildehurotildehust ting itud uumllesluumlkkejotildeud Kui materjalide tihedused pole votilderdsed on sama massi juures ruumalad erinevad ning seega on ka uumllesl uumlkkejotildeud erinevad Teiste sotildenadega oumleldes ndash kui kaal on tasaka alus kuid materjalide tihedused pole votilderdsed ei ole kaalutava metallituumlki mass votilderdne vihtide masside summaga sest lisandub ruumala de erinevusest tulenev uumllesluumlkkejotildeu erinevus

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

5

Naumlide 17 Metallituumlki kaalumine votilderdotildelgse kaaluga

Paneme kirja suurused mis motildeotildetmistulemust motildejutavad bull vihtide mass mvbull vihtide tihedus ρvbull kaalutava metallituumlki tihedus ρmbull otildehu tihedus ρotildebull votilderdotildelgse kaalu tundlikkus Z

Seega

Samas pole ka siintoodud suurused otseselt motildeotildedetava d naumliteks otildehu tiheduse arvutamiseks on tarvis motildeotildeta otildehurotildehku tempera tuuri ning otildehu niiskust seega on otildehu tiheduse motildeotildetmise valemi ks

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Motildeotildetmiste mudel

)( Zmfm otildemvvm ρρρ=

)( RHTPfotilde =ρ

6

Senine teooria on kaumlinud otsemotildeotildetmiste kohta st su uruste jaoks mille vaumlaumlrtus on saadud vahetult motildeotildetmisvahendi skaa lalt votildei saadakse vahetult motildeotildeduga votilderdlemise teel

Kaudmotildeotildetmine on motildeotildetmine kus motildeotildetmistulemus leitaks e arvutuse teel (valemi abil) otsemotildeotildedetud suurustest ning kon stantidest

Naumlide 18 Elektrivoolu toumlouml leidmiseks motildeotildedame pinge V voltmeetriga voolutugevuse I ampermeetriga ja aja t sekundkellaga ning toumloumlarvutame valemist A = VIt

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

7

Kaudmotildeotildetmise puhul leitakse esmalt kotildeigi sisendsuurus te liitm aumlaumlramatused ning vabadusastmete arvud

N sotildeltumatu sisendsuuruse Y = Y(x1 x2 xN) liitm aumlaumlramatus on

Suuruse Y vabadusastmete arv arvutatakse Welch-Satterthwaitevalemi kaudu

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

)()(

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

8

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

9

Praktilised arvutusn aumlited

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Praktilised arvutus naumlited

10

Naumlide 110 Olgu meil motildeotildedetavateks suurusteks homoge ense metallkera diameeter (uumlksikmotildeotildetmise tulemus d) ja mass m(uumlksikmotildeotildetmise tulemus micro (kasutame siin kreeka taumlhte et mitte segadust tekitada keskvaumlaumlrtuse taumlhisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus valemist

Leida metalli tiheduse parim hinnang koos vastava laiendm aumlaumlramatusega 95 usaldusnivool

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

6

ruumala

mass3D

M

πρ ==

11

Naumlide 19 Detaili pikkust motildeotildedeti nihikuga 4 korda Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtuseks saadi 5743 mm (kasutades valemit 15 ) empiiriliseks standardhaumllbeks saadi 012 mm (kasutades valemit 16 ) Nihiku potildehiviga on ∆ = 01 mm Leida detaili pikkuse parim hinnang ning s elle laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

Keskvaumlaumlrtuse hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse aritmeetilist keskmist

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

(15)

Standardhaumllbe hindamiseks motildeotildetmistulemustest kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N (16)

12

Naumlide 111 Fuumluumlsikaliste motildeotildetmiste praktikumitoumlouml nr FM A-6 bdquoTeekonnapunktide vahekauguse motildeotildetmine GPSigaldquo Uurime kuidas hinnata kahe punkti vahelise kauguse m aumlaumlramatust

Kui meid huvitavad suvalised kaks punkti (koordinaat idega ϕ1 λ1 ja ϕ2 λ2) paiknevad piisavalt laumlhestikku et votildeiksime jaumltta arvestamata Maa kumeruse siis votildeime leida nende punktide vaheli se kauguse Pythagorase teoreemi alusel

GPS-seade annab lisaks punkti koordinaatidele ka olet atava taumlpsusraadiuse r Kaumlsitleme seda taumlpsusraadiust seadme veana st eeldame et esitatud koordinaatidega punkti kaugus m otildeotildetepunktist on vaumliksem kui taumlpsusraadius

MMM ndash Praktikumi baasmaterjalid ndash Kaudmotildeotildetmised

( ) ( )2

2121

221 2

cos

+sdotminus+minus=

φφλλφφRL

13

Motildeotildetmine motildeotildetuumlhikudmotildeotildetuumlhikute vahelised seosed

MMM

14

Motildeotildetmisteooria laumlhted

MMM

Mistahes suuruse motildeotildetmisel saadud arvvaumlaumlrtusel ning se ega ka motildeotildetetulemusel on juhuslik iseloom selles motildettes e t saadud vaumlaumlrtused ei uumlhti Samas aga ei ole nad ka taumliesti j uhuslikku laadi vaid erinevus jaumllgib teatud seaduspaumlrasusi mida saame kir jeldada vastava totildeenaumlosusjaotusega Motildeotildetetulemus st motildeotildetmise teel saadud motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus on seega juhuslik suurus ehk muu tuja Nimetatut votildeime formuleerida motildeotildetmise potildehivaumlitena mi s kehtib kotildeikide motildeotildeteliikide ja motildeotildetevaldkondade kohta ning millele toetub kogu motildeotildetmise teooria

15

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi diskreets eteks ja pidevateks Diskreetsed suurused saavad omada ainult ettem aumlaumlratud vaumlaumlrtuseid naumliteks taumlringuvise silmasid 1 ndash 6 m uumlndivise kulli ja kirja ning suvalise digitaalmotildeotildetevahendi naumlit (digitaalne kaal resolutsiooniga 1 gramm votildeimalikud motildeotildetetulemused gra mmides on taumlisarvud) Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks kui tema votildeimalike vaumlaumlrtuste hulk on arvtelje (lotildeplik votildei lotildep matu) vahemik Fuumluumlsikalised suurused ise on uumlldiselt pidevad naumlite ks temperatuur mass takistus jne

Elementaarsuumlndmuseks nimetatakse juhusliku katse tul emust

Diskreetse juhusliku suuruse esinemistotildeenaumlosus on av aldatav valemiga

MMM ndash jaotusseadused

hulksuumlndmusteelementaarKotildeigi

hulksuumlndmusteelementaarSoodsatepk =

1

10

equiv

lele

sumk

k

k

p

p

16

Naumlide 24 Totildeenaumlosus visata 6-tahulise suumlmmeetrilise taumlringuga

visatakse 1 silm p = 16visatakse 4 silma p = 16visatakse 8 silma p = 06 = 0 Votildeimatu suumlndmusvisatakse 1 votildei 4 silma p = 26visatakse 1 2 4 votildei 6 silma p = 46visatakse vaumlhem kui 8 silma p = 66 = 1 Kindel suumlndmus

MMM ndash jaotusseadused

17

Juhusliku diskreetse suuruse totildeenaumlosusjaotus

Totildeenaumlosus erineb nullist ainult m aumlaumlratud diskreetsetel vaumlaumlrtustel Naumliteks taumlringu viskel vaumlaumlrtus 29 ei ole m aumlaumlratud ja tema totildeenaumlosus on seega null

MMM ndash jaotusseadused

18

Diskreetsete suuruste jaotusfunktsioon ehk kumulatii vne totildeenaumlosusjaotus on defineeritud valemiga

MMM ndash jaotusseadused

Histogram

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 More

temperature

Fre

quen

cy

00

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Frequency

Cumulative

sumle

=ki

ipkF )(

19

Jaotusfunktsiooni omadused tulenevad totildeenaumlosusjaotu se omadustest Kuna totildeenaumlosusjaotuses ei saa olla nega tiivseid vaumlaumlrtuseid siis jaotusfunktsiooni vaumlaumlrtused ei saa s amuti vaumlheneda st F(x2) ge F(x1) kui x2 gt x1 Kui aga muuta x vaumlaumlrtust tema votildeimalikes piirides muutub F(x) alates 0 kuni 1 st jaotusfunktsioon rahuldab votilderratust 0 le F(x) le 1

Totildeenaumlosus et suumlndmuse vaumlaumlrtus on vaumliksem mingist vauml aumlrtusest x1 on F(x1) ja et sama vaumlaumlrtus on vaumliksem vaumlaumlrtusest x2 gt x1 on vastavalt F(x2) Sellest laumlhtuvalt votildeime vaumlita et totildeenaumlosus suumlnd muse vaumlaumlrtuse sattumiseks vahemikku [ x1 x2] on votilderdne funktsiooni F(x) vaumlaumlrtusega selle vahemiku piires

MMM ndash jaotusseadused

)()( 1221 xFxFxxxP minus=lele

20

Jaotustihedus f(x) on tuletatud jaotusfunktsioonist F(x)

Teistpidi on jaotusfunktsioon m aumlaumlratud integraal jaotustihedusest

Kuigi matemaatiliselt on jaotustihedus ja jaotusfun ktsioon uumlksteisest tuletatavad on motildelemad siiski tarvilikud sageli li htsustab nende valemite kasutamine oluliselt paljude esmapilgul vauml ga keeruliste uumllesannete lahendamist

MMM ndash jaotusseadused

dx

xdFxf

)()( =

intinfinminus

=0

)()( 0

x

dxxfxF

21

Geomeetriline interpretatsioon jaotustihedusest ja jaotusfunktsioonist

MMM ndash jaotusseadused

1

dxxfxdFdp sdot== )()(

)()()()(

)()()(

aFbFdxxfdxxf

dxxfPdbXaPbap

ab

b

a

b

a

minus=sdotminussdot=

=sdot==lele=

intint

intint

infinminusinfinminus

2222

Integraalid Tuletised

int +=

+

1

1

a

xdxx

aa

int +=minus Cxdxx ln1

int +minussdot= Cxxxdxx ln)ln(

int +minus= Cxdxx )cos()sin(

int += Cxdxx )sin()cos(

1minussdot= nn xnxdx

d

int += Cxdxx )exp()exp( )exp()exp( xxdx

d=

xx

dx

d 1)ln( =

)cos()sin( xxdx

d=

)sin()cos( xxdx

dminus=

int intint plusmn=plusmn dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

int intsdot=sdot dxxfcdxxfc )()(

23

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

MMM ndash jaotusseadused

24

Uumllesanne 21 Tee kahe taumlringuviske summa jaotustabe l Leia totildeenaumlosus et

a kahe taumlringuviske summa oleks 6b kahe taumlringuviske summa oleks vaumliksem kui 9c kahe taumlringuviske summa oleks vahemikus [38]

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus-arv totildeenaumlosus funktsioon

2 11 1 136 1363 12 21 2 236 3364 13 22 31 3 336 6365 14 23 32 41 4 436 10366 15 24 33 42 51 5 536 15367 16 25 34 43 52 61 6 636 21368 26 35 44 53 62 5 536 26369 36 45 54 63 4 436 303610 46 55 64 3 336 333611 56 65 2 236 353612 66 1 136 1

MMM ndash jaotusseadused

25

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

26

Kodune test sulgub 27022011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Uumllesanne 22 Radioaktiivse aine pooldumist kirjeldab valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia radioaktiivse aine p ooldumist kirjeldav jaotusfunktsioon Palju kulub aega et esi algsest Csainehulgast jaumlaumlks jaumlrgi ainult 1

MMM ndash jaotusseadused

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

4

Uumllesanne 23 Ruumi temperatuurikontrollisuumlsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 20 degC kuni 24 degC Temperatuuri t suumlklilise muutumise tulemuseks on arkussiinustemperatuurijaotus keskvaumlaumlrtusega 22 degC Mitu protsenti ajast on ruumi tem peratuur vahemikus 21 degC kuni 23 degC Mitu protsenti ajast on ru umi temperatuur alla 205 degC votildei uumlle 235 degC

Arkussiinusjaotuse jaotustihedus on

ning tema jaotusfunktsioon on

MMM ndash jaotusseadused

10)1(

1)( ltlt

minus= x

xxxfπ

10)arcsin(2

)( ltltsdot

= xx

xFπ

5

Eespool naumlgime et juhusliku suuruse jaotusseadus is eloomustab taumlielikult juhuslikku suurust totildeenaumlosuslikult vaate kohalt

Pideva suuruse korral on jaotustiheduse eksperimentaal ne leidmine sageli vaumlga kulukas ja toumloumlmahukas uumllesanne Enamast i aga ei olegi jaotusseadust tarvis teada (ei ole tarvis nii taumlieli kku infot) Piisab kui kasutada nn juhusliku suuruse arvkarakteristikuid mis iseloomustavad juhusliku suuruse integraalseid omadu si Ilma liialdamata votildeib oumlelda et totildeenaumlosusteooria rakendam isel praktiliste uumllesannete lahendamiseks on oluline osata kasutada juhusliku suuruse arvkarakteristikuid jaumlttes kotildervale jaotusseadus ed

Olulisemateks arvkarakteristikuteks on keskvaumlaumlrtus ja di spersioon Peale nende potildehikarakteristikute kasutatakse veel su urt hulka teisi arvkarakteristikuid nagu kvantiilid mediaan mood mo mendid asuumlmmeetriakordaja ekstsessikordaja karakteristlik fu nktsioon entroopia jmt

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud

6

Keskvaumlaumlrtus on juhusliku suuruse taumlhtsaim arvkarakterist ik mis iseloomustab juhusliku suuruse paiknemist

Juhusliku suuruse X keskvaumlaumlrtust taumlhistatakse matemaatikas ja fuumluumlsikas uumlsna mitmel erineval viisil Levinumad taumlhi stused on

m mx m[x] ltxgt ndash fuumluumlsikute hulgas

EX M[X] ndash matemaatikute hulgas

Siin taumlhis m M on votildeetud ingliskeelse sotildena mean (keskmine) esitaumlhest E aga on tulenenud prantsuskeelse sotildena espeacuterance (lootus ootus) esitaumlhest

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

x

7

Diskreetse juhusliku suuruse X = x1 x2 xn keskvaumlaumlrtuseks nimetatakse suurust (arvu)

Pideva juhusliku suuruse X mille jaotustihedus on f(x) nimetatakse arvu

Valemid keskvaumlaumlrtuse arvutamiseks langevad kokku val emitega varda massikeskme arvutamiseks kui varda mass on votilderdne uumlhe ga Teisisotildenu keskvaumlaumlrtus on uumlhikmassiga varda staatilin e moment

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

sum=

=n

kkk pxm

1

)( kk xXPp ==

int+infin

infinminus

= dxxxfm )(

8

Naumlide 25 Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on defineeritud kui

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtus on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

11

01

001

0

)()()()()(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

ab

dxab

xdxxdxab

xdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

b

a

b

a

b

a b

b

a

a

b

a b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

=+minus

sdot+=sdot+minus

sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

Suumlmmeetriatelg

9

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

10

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Arvuta selle kolmnurkjaotuse keskvaumlaumlrtus

Kas keskvaumlaumlrtus m(x) = 6 tundub realistlik

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

63

27

3

2

3

03

3

2

33

2

3

2

03

200

3

20

)()()()()(

333

0

33

0

2

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

=sdot=minus

sdot=

==

=+sdot+=sdot+sdot+sdot=

=sdot+sdot+sdot=sdot=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

xdxxdxxxdxxdxx

dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxm

11

Naumlide Defineerime uumlhe kolmnurkjaotuse jaotustiheduse

Kontrollime selle jaotustiheduse vastavust normeerimis tingimusele

Seega polegi tegemist jaotustihedusega

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lele=

mujal0

303

2)(

xxxf

132

9

3

2

2

03

3

2

23

2

3

2

03

200

3

20

)()()()(

223

0

23

0

3

0 3

3

0

0

3

0 3

0

ne=sdot=minus

sdot=

==

=++=++=

=++=

int

int int intint

int intintintinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

xdxx

dxxdxdxxdx

dxxfdxxfdxxfdxxf

12

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

Astmejaotus on

konstant r ndash 1 lugejas arvestab normeeringut On naumlha selleks et jaotus oleks positiivne peab kehtima r gt 1

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

13

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

0 1 2 3 4 5 6

05

1

15

f x 15( )

f x 20( )

f x 25( )

x

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

m r( )

r

lt

geminus=

1

1

0

1

)(x

xx

rrxf r

22

1gt

minusminus

= rr

rm

Naumlide 26 Astmejaotuse keskvaumlaumlrtus

14

Naumlitame motildened olulisemad keskvaumlaumlrtuse omadused mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral

1 Konstandi keskvaumlaumlrtus Konstandi keskvaumlaumlrtus on se e konstant ise

m[c] = c

2 Homogeensus Konstandi votildeib tuua keskvaumlaumlrtuse suumlm boli ette

m[cX] = cm [X]

Totildeestame homogeensuse tingimuse pideva juhu jaoks

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

[ ] [ ]int int+infin

infinminus

+infin

infinminus

=== XmcdxxfxcdxxfcxcXm )()(

15

Keskmiste kasutamisest

Defineerime siinkohal veel motildened keskmisi vaumlaumlrtusei d kirjeldavad juhuslike suuruste arvkarakteristikud

bull Mediaan on arv millest suuremaid ja vaumliksemaid vaumlaumlrt useid on variatsioonireas uumlhepalju

bull Mood on tunnuse kotildeige sagedamini esinev vaumlaumlrtus

bull Kaalutud keskmine on arv mis saadakse kui aritmeet ilise keskmise arvutamisel antakse erinevatele vaumlaumlrtustele erinevad kaalud Kaaluks votildeivad olla naumliteks motildeotildetetulemuste standardhaumllbed

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

16

Kui meid huvitab kotildeige tuumluumlpilisem vaumlaumlrtus siis sed a naumlitab kotildeige suurema sagedusega vaumlaumlrtus mood Mood on sageduse kotilde rgpunkt ta ei naumlita kas ja kui palju on temast suuremaid ja vauml hemaid vaumlaumlrtuseid Nominaaltunnuste korral (naumliteks rahvus elukutse) l eitakse keskmisena mood

Mediaani leidmisel ei arvestata tunnuse vaumlaumlrtusi vaid ainult suurusjaumlrjestust Mediaani kasutatakse siis kui on e esmaumlrgiks leida taumlpne andmete jaotuse keskpunkt votildei kui andmete hu lgas on ekstremaalseid vaumlaumlrtuseid mis oluliselt motildejutavad kes kvaumlaumlrtust

Keskvaumlaumlrtus sotildeltub kotildeigist tunnuse vaumlaumlrtustest kuid ta ei pruugi ise olla tunnuse vaumlaumlrtus Keskvaumlaumlrtus votildeib sattuda vahemi kku kus tunnusel on vaumlhe vaumlaumlrtuseid votildei need puuduvad hoopis Siiski kasutatakse keskvaumlaumlrtust kuumlllalt sageli sest ta on aluseks teiste statistiliste naumlitajate (naumliteks standardhaumllve korre latsioonikordaja) maumlaumlramisele

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

17

Naumlide 26 Suvel m aumlrgistatakse raadiomajakaga 9 kuldnokka et teada saada kuldnokkade keskmine raumlnde kestvus Suumlgisel l ahkusid kotildeik 9 kuldnokka Eestist kuid vaatlusperioodi lotildepuks suve alguses oli Eestisse tagasi jotildeudnud ainult 7 kuldnokka kelle r aumlnde kestvused olid vastavalt 146 152 152 154 156 159 159 paumleva M itu paumleva kestis sellel aastal keskmiselt kuldnokkade raumlnne

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

18

Naumlide 27 Oletame et uumlks firma koosneb juhatajast j a 9-st toumloumltajast Toumloumltajate kuupalk on 5000 EEK juhata kuupalk on 55 000 EEK Keskmine palk selles firmas on

Samas mediaanpalk selles firmas on 5000 EEK

Uumlks teine firma koosneb neljast insenerist kuupalga ga 39000 EEK ning koristajast kuupalgaga 4000 EEK Keskmine palk selles firm as on

Samas mediaanpalk selles firmas on 39000 EEK

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash keskvaumlaumlr tus

1000010

5500050009=

+sdot=m

320005

4000390004=

+sdot=m

19

Juhusliku suuruse dispersiooniks D (ka σ2) nimetatakse suurust

mis votildeetakse uumlheks hajuvuse karakteristikuks Seega o n dispersioon juhusliku suuruse uumlheks nn juhuslikkuse m aumlaumlra iseloomustajaks

Vastavalt definitsioonile on diskreetse juhusliku su uruse dispersiooni arvutusvalem

Niisiis tegu on totildeenaumlosustega kaalutud uumlksikrealis atsioonide haumllvete ruutude summaga Analoogiliselt pideva juhuliku suu ruse korral on dispersiooni arvutusvalem

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

( )sum minus=i

ii pmxD 2

intinfin

infinminus

minus= dxxfmxD )()( 2

20

Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada jaumlrgmist Steineri valemit

Siin esimene suurus paremal on keskvaumlaumlrtus juhusliku s uuruse ruudust X2

Totildeestame Steineri valemi pideva juhu jaoks

Siin teine integraal on X keskvaumlaumlrtus m(X) ja viimane integraal on normeerituse totildettu votilderdne uumlhega Seepaumlrast saame

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash dispersi oon

[ ] [ ] [ ]( )22 XmXmXD minus=

)()(2)(

)()2()()(

22

222

dxxfmdxxfxmdxxfx

dxxfmxmxdxxfmxD

intintint

int intinfin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

infin

infinminus

+minus=

=+minus=minus=

22222 )(2)( mdxxfxmmdxxfxD minus=+minus= intintinfin

infinminus

infin

infinminus

21

Dispersiooni ruutjuurt

nimetatakse standardhaumllbeks ruutkeskmiseks haumllbeks e hk ruuthaumllbeks

Definitsioonidest on naumlha et dispersiooni dimensioo n on votilderdne juhusliku suuruse dimensiooni (motildeotildetuumlhiku) ruuduga st andardhaumllbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon Seetotildettu kasutatakse praktikas harilikult standardhaumllvet

Motildeotildetem aumlaumlramatuste arvutamisel kasutatakse alati standardhaumll vet

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

D=σ

22

Naumlide 29 Taumlringuvisete keskvaumlaumlrtus ning dispersioon

Leiame kotildeigepealt keskvaumlaumlrtuse

Dispersioon potildehivalemi potildehjal

Dispersioon Steineri valemist

Standardhaumllve

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

x x2 x ndash m (x ndash m)2 pi

1 1 ndash25 625 16 2 4 ndash15 225 16 3 9 ndash05 025 16 4 16 05 025 16 5 25 15 225 16 6 36 25 625 16

Σ 21 91 0 175 1

536

121)(

1

=sdot==sum=

n

kkk pxxm

( ) 9225176

1)( 2 asympsdot=minus=sum

iii pmxxD

[ ] 92225121715536

91)( 222 =minusasympminus=minus= mXmxD

711922)()( === xDxσ

23

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Uumlhtlase jaotuse jaotustihedus on

Uumlhtlase jaotuse keskvaumlaumlrtuseks saime

Dispersiooni arvutamisel kasutame Steineri valemit Le iame esmalt x2

keskvaumlaumlrtuse

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

leleminus=

mujal0

1

)(bxa

abxf

( )( )2)(2)(22

111)(

222 ba

ab

abab

ab

abx

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

+=

minus+minus

=minusminus

=

minus=

minus=

minus= intint

3)(3

))((

)(3

3

111)(

222233

3222

baba

ab

babaab

ab

ab

x

abdxx

abdx

abxxm

b

a

b

a

b

a

++=

minus++minus

=minusminus

=

=

minus=

minus=

minus= intint

24

Naumlide 210 Uumlhtlase jaotuse standardhaumllve

Vastavalt Steineri valemile on uumlhtlase jaotuse dispe rsioon

ning uumlhtlase jaotuse standardhaumllve on

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

2)(

baxm

+=

3)(

222 baba

xm++

=

( )

12

)(

12

2

12

363444

23)()()(

2222222

22222

abbabababababa

bababaxmxmxD

minus=

+minus=

minusminusminus++=

=

+minus++

=minus=

25770

23

1

23)()(

abababxDx

minusasymp

minus=

sdot

minus==σ

25

Naumlide 211 Astmejaotuse standardhaumllve

vaadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

26

Dispersiooni omadusi millest tulenevad ka standardh aumllbe omadused

1 Dispersiooni mittenegatiivsus

a) Mittejuhusliku suuruse ehk konstandi dispersioon o n null

b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne

2 Ruuthomogeensus Kehtib votilderdus

3 Juhuslike suuruste summa dispersioon

Kui suurused X ja Y on sotildeltumatud juhuslikud suurused siis

Kui suurused X ja Y on omavahelises sotildeltuvuses oleva d juhuslikudsuurused siis

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

[ ] [ ]XDccXD 2=

[ ] [ ] [ ]YDXDYXD +=plusmn

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YDXDrYDXDYXD 2plusmn+=plusmn

27

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

Leia antud funktsioonil

a keskvaumlaumlrtus mb standardhaumllve σc totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vahemikus m plusmn σd totildeenaumlosus et juhuslik suurus oleks vaumliksem kui ke skvaumlaumlrtuse mediaan

Leiame praegu ainult mediaani uumllejaumlaumlnud lahendust v aadake ise konspektist

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

28

Uumllesanne 24 Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on kuupfunktsioon

e mediaan

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

ltlt

=mujal0

204)(

3

xx

xf

16441

4)()(

41

0

4

0

3

11

11 xxdx

xdxxfxF x

xx

=sdot=== intintinfinminus

681885016

)( 444

==rArr=rArr== medmedmed

med xxx

xF

29

Uumllesanne 25 Radioaktiivse aine pooldumist kirjelda b valem

kus parameeter t0 on antud aine poolestusaeg (ajaintervall mille jooksul jaumlaumlb ainet e asymp 2718 korda vaumlhemaks Tseesium 137 poolestusaeg on 43 aastat Leia Cs pooldumise keskvauml aumlrtus mediaan ja standardhaumllve

Proovi kodus ise lahendada kontrolli konspektist lah endust

MMM ndash juhusliku suuruse arvkarakteristikud ndash standard haumllve

)exp(1

)( 00

ttt

tf minus=

30

Uumlhtlane jaotus

Uumlhtlase jaotuse naumliteks on motildeotildetevahendi resolutsioon ist tingitud maumlaumlramatus seda eriti selgelt digitaalnaumliduga seadme tel Kui naumliteks digitaaltermomeetri resolutsioon on 01 degC ning naumliduks on 226 degC siis tegelik temperatuur on vahemikus (2255 degC ndash 226 5 degC) Kuna meil pole mingi alust eeldada et temperatuuril esineks mi ngisugused eelistatumaid vaumlaumlrtuseid siis on kotildeige motildeistlikum e eldada et motildeotildetevahendi resolutsioonist tingitud m aumlaumlramatus on kirjeldatav uumlhtlase jaotusena

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

Suumlmmeetriatelg

2

bam

+=

25770

23

1 abab minusasymp

minus=σ

31

Eelmise naumldala numbrite pakkumise ning suumlnnikuupaumleva viimase numbri kuumlsitluse tulemused

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash uumlhtlane jaotus

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vaba_numbersuumlnnipaumlevuumlhtlane

32

Kolmnurkjaotus

Vaatame uumlhte erijuhtu kolmnurkjaotusest mis on suumlmme etriline ning asub lotildeigul [0 2] seega on tema jaotustihedus on antud funktsiooniga

Et uumllalkirjeldatud kolmnurkjaotuson suumlmmeetriline siis ilmselt on tema keskvaumlaumlrtus

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

leltminus

lelt

=

mujal0

212

10

)( xx

xx

xf

1

10 2

)(xfσ6minus σ6

12

20=

+=m

33

Kolmnurkjaotus

Kolmnurkjaotuse ruudu keskvaumlaumlrtus on

ja kolmnurkjaotuse dispersioon ning standardhaumllve on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash kolmnurkjaotus

12

20)( =

+=xm

12

14

12

45563

4

116

3

216

4

1

43

2

4)2()()( 2

1

421

310

42

1

21

0

222

=minus+

=minus

minusminus

+=

=minus+=minussdot+sdot== intintintinfin

infinminus

xxxdxxxdxxxdxxfxxm

( )

41012

2

12

21

12

14)( 222

asymp==

=minus=minus=

D

mxmD

σ

34

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

35

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

36

Palun leia tuumlkk paberit ning kirjuta sellele luumlhidalt

ndash mis oli sinu arvates kotildeige olulisem asi mida sa tauml na otildeppisid

ndash milline koht oli taumlnases loengus kotildeige keerulisem segasem

ndash oma eriala

Paumlrast loengu lotildeppu jaumltke paberid ukse kotildervale karpi

MMM ndash Tagasiside

37

Kodune test sulgub 06032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

MMM ndash tagasiside

3

Eksponentjaotus

Eksponentjaotuse saate laumlbi arvutada radioaktiivse ai ne pooldumist kirjeldavas naumlites

Siin λ = 1 t0 eksponentjaotuse keskvaumlaumlrtus ja standardhaumllve on motildelemad votilderdsed parameetriga t0

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

)exp(1)(

)exp()(

ttF

ttf

λλλminusminus=

minus=

4

Naumlide 29 Hotildeotildeglambi eluiga allub eksponentjaotusel e Tootja vaumlidab et hotildeotildeglambi keskmine eluiga on 1000 tundi Kui pik k on keskmiselambi eluiga Kui suur on totildeenaumlosus et uumlhe lambi el uiga on 5000 tundi

Lahendus ndash Mathcadiga ndash (lambi_eluigamcd)

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash eksponentjaotu s

5

Normaaljaotus

Juhusliku suuruse jaotust nimetatakse normaaljaotusek s ehk Gaussi jaotuseks kui jaotustihedus on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

2

)(exp

2

1)(

2

2

minusminus=

σπσax

xf

6 4 2 0 2 4 6

02

04

06

0

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

66 x

6 4 2 0 2 4 6

05

1

15

f1 x( )

f2 x( )

f03 x( )

x

6

Normaaljaotus

Nagu teistegi jaotusseaduste puhul on ka normaaljao tuse puhul mingisse intervalli sattumise totildeenaumlosuse leidmiseks vaja teada tema jaotusfunktsiooni Praktikas ei ole normaaljaotuse in tegreerimine just lihtne uumllesanne Selles loengukursuses me ei totildeesta et normaaljaotuse jaotusfunktsioon on

Siin erf( x) taumlhistab veafunktsiooni Praktiliste uumllesannete l ahendamisel kasutatakse valmisprogrammide abi

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

int minus=

minus+=

x

dttx

axxF

0

2 )exp(2

)(erf

2erf1

2

1)(

π

σ

7

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

8

Normaaljaotus

Mathcadrsquois on normaaljaotuse parameetritega a ja σ jaotustihedus f(x)kohal x arvutatav funktsiooniga dnorm (x a σ) ning jaotusfunktsioon F(x) kohal x funktsiooniga pnorm (x a σ)

Excelrsquois on jaotustihedus f(x) arvutatav kaumlsuga normdist (x a σ 0) ning jaotusfunktsioon F(x) kaumlsuga normdist (x a σ 1)

Naumlide

Pliiatsitehases toodetavate pliiatsite pikkus allub normaaljaotusele keskvaumlaumlrtusega 1800 mm ning standardhaumllbega 07 mm Kui suur on totildeenaumlosus et toodangu seast juhuslikult valitud pl iiatsi pikkus on vaumlhem kui 179 mm

normdist(179 1800 07 1) = 0076563726 = 766

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash normaaljaotus

9

Arkussiinusjaotus

Arkussiinusjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X niisugust jaotust mille jaotustihedus ning jaotusfunktsioon on

MMM ndash enamkasutatavad jaotusseadused ndash arkussiinusjao tus

10)arcsin(2

)(

10)1(

1)(

ltltsdot

=

ltltminus

=

xx

xF

xxx

xf

π

π

0 02 04 06 08 10

2

4

6

8

f x( )

x

0 02 04 06 08 10

05

1

F x( )

x

10

Kahe jaotuse summa jaotus

Senini oleme tegelenud ainult uumlksikvaumlaumlrtustega ming ist jaotusest Sageli aga sooritatakse korduvmotildeotildetmisi ning kasutatak se hoopis keskvaumlaumlrtuseid Tekib otildeigustatud kuumlsimus et milline on keskvaumlaumlrtuse jaotus Alustuseks meenutame et n-kordse korduvmotildeotildetm ise keskvaumlaumlrtus on votilderdne n-kordse korduvmotildeotildetmise summaga j agatud motildeotildetmiste arvu n-ga Kuna n on konstant siis on sel ge et nii keskvaumlaumlrtus kui ka summa peavad olema samast jaotuse st Arvutuslikult on lihtsam analuumluumlsida summat ning alle s jaotuse leidmisel see laumlbi jagada n-ga

MMM ndash jaotuste summa

11

Kahe taumlringuviske summa jaotustabel

MMM ndash jaotuste summa

summa kombinatsioonid esinemiste esinemise Jaotus- arv totildeenaumlosus funktsioon 2 11 1 136 136 3 12 21 2 236 336 4 13 22 31 3 336 636 5 14 23 32 41 4 436 1036 6 15 24 33 42 51 5 536 1536 7 16 25 34 43 52 61 6 636 2136 8 26 35 44 53 62 5 536 2636 9 36 45 54 63 4 436 3036 10 46 55 64 3 336 3336 11 56 65 2 236 3536 12 66 1 136 1

1 2 3 4 5 6

136

336

236

436

636

536

P

x

12

Uumlldiselt kasutatakse kahe jaotuse summa jaotustihed use leidmisekskonvolutsiooni integraali

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

13

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Selleks et see integraal oleks nullist erinev peav ad tema motildelemad komponendid olema nullist erinevad

seega on meil integreerimisradade valikuks kaks tingim ust mis peavad motildelemad samaaegselt kehtima

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ]10=τ [ ] [ ] [ ]tttt 10110 minus=rArrminus=+minusrArr=minus τττ

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

14

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

intinfin

infinminus

minussdot== τττ dthxthtxty )()()()()(

ltlt

==mujal0

101)()(

tthtx

[ ][ ]minus

=tt 1

10τ

0)(01 =rArrlt tyt

tddthxtyttt

=sdotsdot=minussdot=rArr=rArrltlt intintinfin

infinminus 0

11)()()()0(102 τττττ

ttdtytt t

t

minus=minusminus==sdot=rArrminus=rArrltlt minus

minusint 2)1(11)()11(213 1

1

1

1

τττ

0)(24 =rArrgt tyt

15

Naumlide 214 Leiame konvolutsiooni integraali kahest uumlhtlasest jaotusest

Seega saime et kahe uumlhtlase jaotuse summa jaotus o n maumlaumlratud jaumlrgmiste tingimustega

MMM ndash jaotuste summa ndash konvolutsiooni integraal

ltltminus

ltlt

=

mujal0

212

10

)( tt

tt

ty

16

On totildeestatud et paljude sotildeltumatute (votildei notildergalt sotildel tuvate) juhuslike suuruste (motildeotildetesuuruste) summa

jaotus erineb vaumlhe normaaljaotusest Mida suurem on li idetavate arv n seda vaumliksem on erinevus Teisisotildenu normaaljaotust votildeib eeldada paljudes uumllesannetes kus juhuslikke sotildeltumatuid su uruseid on palju ja uumlkski neist ei ole uumllekaalus Keskse piirteoreem i potildehjal kehtib see olenematult jaotusseadusest (peab eksisteerima lotildepli k dispersioon)

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

sum=

=n

iiXX

1

17

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

Kotildeigepealt tuleb aga eelnevalt motildeningaid vajalikke uumlleminekuvalemeid tuletada

Kasutame Mathcadi sisseehitatud juhuslike arvude gene raatorit mis annab juhusliku arvu uumlhtlasest jaotusest vahemikus ( 0 1) taumlhistame seda U(0 1) Kui me tahame testida motildenda teist jaotust siis tuleb leida vastav uumlleminekuvalem Selleks kasutame tingi must et motildelema jaotuse jaotusfunktsioonid peavad olema votilderdsed F(y) = F(x) Leiame uumlleminekuvalemid kolmnurkjaotusele eksponentjaotuse le ning parabooljaotusele

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

18

Vaatame kolmnurkjaotust mis on defineeritud kujul

Uumlhtlase jaotuse jaotusfunktsioon on

Kolmnurkjaotuse jaotusfunktsioon on

Kuna F(y) = F(x) siis y2 = x jaumlrelikult annab sedasi defineeritud kolmnurkjaotuse ruutjuur uumlhtlasest jaotusest

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

ltlt

=mujal0

102)(

yyyf

)10(1)( 0

0

UxxdxxF xx

===sdot= int

20

2

0

2)( yydyyyF yy

==sdot= int

)10(Uxy ==

19

Teeme Mathcadis demo kus me analuumluumlsime keskset piir teoreemi

1 Genereerime mingist jaotusest suure hulga arve Arv utame suuruse Zn ning teeme Zn esinemissagedusest graafiku tulemus peaks olema sarnane sellele jaotusele endale

2 Genereerime uuesti arvud mingist jaotusest ning arvuta me nendest arvudest n arvu jaoks Zn vaumlaumlrtused Tehes Znesinemissagedusest graafiku naumleme milline on sell e jaotuse narvu aritmeetilise keskmise jaotus

Maumlngime Mathcadi demoga ldquoKeskne piirteoreem_v3mcdrdquo

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

)10(Nn

nSZ n

n rArrsdotminus

=σ

micro

20

Demoga bdquomaumlngidesldquo veendusime et totildeesti summeeritavat e vaumlaumlrtuste arvu n suurenedes laumlhenes jaotus normaaljaotusele See laumlhenemise kiirus sotildeltus aga oluliselt jaotuse kujust uumlhtlase jaotuse puhul piisas tingimusest et n ge 3 samas kui eksponentjaotuse puhul jaumli vaumlike erinevus sisse ka veel n = 20 juures Me ei proovinud kuid selline laumlhenemine normaaljaotusele kehtib ka erinevatest ja otustest paumlrit arvude liitmisel See ongi keskse piirteoreemi uumlks kotilde ige olulisem omadus Laumlhenemine normaaljaotusele votildeib siiski olla vaumlga aeglane kui leiduvad motildened mittenormaaljaotusega komponendid millel on teistega votilderreldes palju suuremad standardhaumllbed Selle st hoolimata votildeib enamasti motildeotildetetulemust mis on sisendsuuruste s ummat y = x1 + x2 + + xn (votildei ka aritmeetilist keskmist) kaumlsitleda kui normaaljaotusega suurust See tulemus kehtib ka vaumlga komplitseeritud jaotustega motildeotildetetulemustele mis kin nitab veelgi selle teoreemi suurt metroloogilist vaumlaumlrtust

MMM ndash jaotuste summa ndash keskne piirteoreem

21

Oletame et meil on teada motildeotildedetava suuruse totildeeline v aumlaumlrtus xt(tegelikult muidugi ei ole teada aga motildettelise eks perimendi korras votildeib nii oletada) Motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt on motildeotildetmistulemuse viga (kasutatakse ka pikemat terminit uumlhekordse motildeotildetmise konkreetne motildeotildete viga) Viga sisaldab suumlstemaatilist ja juhuslikku komponenti V otildeib ka oumlelda et viga liitub suumlstemaatilisest komponendist ja juhusl ikust komponendist

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

22

Suumlstemaatilised vead liigitatakse

1 Vead mille potildehjused on teada ja millede suurusi o n votildeimalik piisavalt taumlpselt m aumlaumlrata (nt testri null votildeib olla paigast aumlra jms)

2 Vead millede potildehjused on teada kuid suurused mit te (nt ebataumlpnegradueerimine)

3 Vead millede olemasolu on meile teadmata

Juhuslikud vead

Lisaks suumlstemaatilisele veale on motildeotildetmistulemusel a lati ka juhuslik komponent Tingituna suurest hulgast mitmesugustest uumlldjuhul vaumllistest so motildeotildetja kontrollile mitte alluvatest t eguritest on uumlksikmotildeotildetmise tulemus juhuslik suurus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

23

Keskvaumlaumlrtuse hindamine motildeotildetmistulemustest

Vaatame alustuseks taas huumlpoteetilist situatsiooni kus meil on aprioorselt teada motildeotildedetava suuruse totildeeline vaumlaumlrtus xtX juhuslikkuse totildettu motildeotildetmistulemuse x ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe ∆x = x ndash xt so motildeotildetmistulemuse viga erineb nullist Tehes nuumluumld palju kordi motildeotildetmisi kokku N sotildeltumatut motildeotildetmist saame juhusliku suuruse X valimi x1 x2 x3 xi xN-1 xN Selle valimi aritmeetiline keskvaumlaumlrtus

on parim laumlhend totildeelisele vaumlaumlrtusele piirvaumlaumlrtuse motildette s

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

N

x

N

xxxx

N

ii

NN

sum==

+++= 121 K

lim tNN xx =infinrarr

24

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Dispersiooni katselisel m aumlaumlramisel on olukord analoogiline keskvaumlaumlrtuse hindamisega Meenutame siin dispersiooni definitsiooni

Kuna summa uumlle pi-de peab olema votilderdne uumlhega ning pole potildehjust oletada et naumliteks esimesed motildeotildetmised olid taumlpsema d kui viimased siis pi = 1N seega

Alternatiivset valemit dispersiooni arvutamiseks nime tatakse empiiriliseks dispersiooniks

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] i

N

ii pmxXD sdotminus= sum

=

2

1

)(

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ

[ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

25

Dispersiooni hindamine motildeotildetmistulemustest

Osutub et nende suuruste keskvaumlaumlrtused rahuldavad seo seid

kus d on uumlksiksuuruse Xk dispersioon Nagu naumleme laumlhendab suurus sN

2 vaumlhemalt matemaatilise ootuse (keskmise) motildettes totildee list dispersiooni otildeigesti kuna suurus σN

2 alahindab dispersiooni Seepaumlrast kasutame edaspidi juhuslikus suuruse dispers iooni hindamisel suuruse X empiirilist dispersiooni

Juhusliku suuruse X empiiriline standardhaumllve on vastavalt

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] 2

1

2 )(1

mxN

XDN

iiN minussdot=asymp sum

=

σ [ ] 2

1

2 )(1

1mx

NsXD

N

iiN minussdot

minus=asymp sum

=

[ ] 12 d

N

Nm N

minus=σ [ ] 2 dsm N =

1

)(1

2

dN

xxs

N

i

Ni

N asympminus

minus=sum=

26

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

27

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

28

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

29

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

30

Uue standardi jaumlrgi on oluline erinevus m aumlaumlramatuse ja motildeotildetmisvea motildeistete vahel

Maumlaumlramatus ne viga

Viga on motildeotildetmistulemuse ja motildeotildedetava suuruse totildeelise vaumlaumlrtuse vahe on seega juhusliku suuruse konkreetne realisatsi oon Kuna totildeelist vaumlaumlrtust ei ole votildeimalik teada siis pole ka viga praktikas votildeimalik leida

Motildeotildetem aumlaumlramatus peegeldab seda et meil puuduvad taumlpsed teadmised motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuste kohta Ka paumlrast tea daolevate suumlstemaatiliste motildeotildetehaumllvete kotildervaldamist on motildeotildetmis tulemus ikkagi vaid motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnang ja seda m aumlaumlramatuse totildettu mis on tingitud juhuslikust motildeotildeteveast ja suumlstemaatilis te motildeotildetevigade ldquomittetaumlielikustrdquo korrigeerimisest Motildeotildetmistulemus votildei b osutuda vaumlga laumlhedaseks motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtusele (mida pole kuumlll votilde imalik taumlpselt teada) kuid samal ajal votildeib sellel motildeotildetmistulemuse l olla uumlsna suur maumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

31

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

32

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

33

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluuml pi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

N

sXu N

NA == )(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

34

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

35

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

36

Kodune test sulgub 13032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (viimane korraline loeng on 23 mai)

30 mai

13 juuni

Jaumlreleksam

27 juuni

Taumliendav votildeimalus

20112012 kevadsemester

MMM ndash tagasiside

3

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Vaatleme n sotildeltumatut juhuslikku suurust Xk (k = 1 2 N) mis on uumlhesuguse jaotusega ja jaumlrelikult ka uumlhesuguste arvkarakteristikutega st

Leiame juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise

arvkarakteristikud

Keskvaumlaumlrtuseks saame

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ] [ ] dXDaXm kk ==

sum=

=N

kkN X

NX

1

1

[ ] [ ] aN

NaXm

NX

NmXm

N

kk

N

kkN ===

= sumsum

== 11

11

4

Uumlhetaoliselt jaotunud suuruste aritmeetilise keskmise keskvaumlaumlrtus ja dispersioon

Aritmeetilise keskmise dispersioon on (ilma totildeestuset a)

ning jaumlreldusena

Seega uumlhesuguselt jaotunud N sotildeltumatu suuruse aritmeetilise keskmise dispersioon on N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse dispersioon ja standardhaumllve on ruutjuur N korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse standardhaumllve

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

[ ]N

dXD N =

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

5

Teeme eksperimendi kus motildeotildedame N korda mingit suurust mingist jaotusest ning arvutame keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllb e Kordame seda eksperimenti M korda ning vaatame kui haumlsti motildeotildetmistulemused omavahel kokku langevad

Olgu tegemist uumlhtlase jaotusega keskvaumlaumlrtusega 100 n ing standardhaumllbega 10

Lahendame Mathcadis ldquokeskmise_standardhaumllve_v01mcdrdquo

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

6

Motildeotildetmistulemuse m aumlaumlramatus koosneb paljudest komponentidest mis jagatakse kahte tuumluumlpkategooriasse

A- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse statistiliste meetodite abil

B- tuumluumlpi m aumlaumlramatus mida hinnatakse muul viisil

Nende kahe potildehituumluumlbi koosmotildejul tekkiv motildeotildetem aumlaumlramatus kannab nime

Liitm aumlaumlramatus ka C-tuumluumlpi m aumlaumlramatus

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

7

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on statistilist tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus mille suurust saab vaumlhendada motildeotildetmiste arvu suurendade s kordusmotildeotildetmisi sooritades ja tulemusi keskmistades A -tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus on tekitatud juhuslike motildejurite poolt mis votildeivad kallutada motildeotildetmistulemust kord uumlhele kord teisele po ole suurendada ja vaumlhendada uumlksikmotildeotildetmist A-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse potildehjustavad 1) mitmesugused haumlirivad tegurid motildeotildetmisel (naumlit vaumllisti ngimused) 2) objekti enda muutlikkus (nii valmistamise ebataumlpsus kui objekti ajaline muutumine) jne

Uumlhesuguselt jaotunud sotildeltumatu suuruse aritmeetilis e keskmise standardhaumllve on korda vaumliksem kui uumlksiksuuruse sta ndardhaumllve

seega mida suuremaks viia motildeotildetmiste arv seda vaumliksem aks laumlheb aritmeetilise keskmise standardhaumllve

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

8

Oluline on taumlhele panna et motildeotildetmistulemused oleksid omavahel sotildeltumatud Kui on oht et motildeotildetmistulemused ei ole sotildeltumatud siis ei kasutata motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhauml lbe arvutamiseks mitte valemit

vaid hoopis valemit

st ka motildeotildeteseeria aritmeetilise keskmise standardhaumll bena kasutatakse empiirilist standardhaumllvet

A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse hindamine toimub nii nagu juhusliku suuruse aritmeetilise keskmise standardhaumllbe statistilisel hindamisel A-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uA

N

s

N

dX N

N asymp=)(σ

1

)(1

2

minus

minus=sum=

N

xxs

N

i

Ni

N

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

9

Laias laastus on B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatus igasugune motildeotildeteprotsessis ilmnev m aumlaumlramatus mis ei ole statistiliselt hinnatav ning mis ei vaumlhene kordusmotildeotildetmiste arvu suurenedes B- tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse taumlhis on uB

Esmajoones kuuluvad B-tuumluumlpi motildeotildetem aumlaumlramatuse alla vead mis on tingitud motildeotildeteinstrumendi piiratud votildeimalustest Kui hoolikalt ja taumlpselt ka poleks valmistatud motildeotildeteriist votildei motildeotildeteva hend millega me motildeotildetmist teostame alati on ka sellel olemas mingi (juhuslikku laadi) viga mis on selle konkreetse motildeotildeteriista puhul kuumlll muutumatu ja puumlsiv suurus kuid mis muutub uumlhelt motildeotildeteriistalt te isele samuti juhuslikult See ndash motildeotildeteriista viga ndash on viga etaloni suhtes Korduvatel motildeotildetmistel see viga on esindatud taumlpselt uumlhel ja sa mal moel (kuna motildeotildetmised teeme uumlhe ja sama motildeotildeteriistaga) ja korduva d motildeotildetmised tema suurust ei kahanda

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

10

Motildeotildetmistulemuse standardm aumlaumlramatust mis on saadud A ja B komponentide liitumise tulemusel nimetatakse liitm aumlaumlramatuseks ehk koondm aumlaumlramatuseks ( combined uncertainty) Tema arvuline vaumlaumlrtus votilderdub positiivse ruutjuurega liitdispersioonist mis s aadakse kotildeikide dispersiooni komponentide liitmisel

u u uC A B= +2 2

MMM ndash motildeotildetevead ja motildeotildetem aumlaumlramatus

11

Motildenikord juhtub et motildeotildetetulemuste hulka satub ilmse lgelt vale motildeotildedis ehk ekse Eksed aga motildejutavad selgelt motildeotildetmistu lemust ja neid ei tohiks keskvaumlaumlrtuse ning standardhaumllbe arvutu stes kasutada

Uumlldiselt defineeritakse ekseteks kotildeik motildeotildetmistulemuse d mis erinevad keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolmekordne standardhaumllve Normaaljaotuse eeldusel on totildeenaumlosus et motildeotildetetulemu s erineb keskvaumlaumlrtusest rohkem kui kolm standardhaumllvet 03

Eksed tuleb edasisest andmetoumloumltlusest kotildervaldada ning siis arvutada uuesti keskvaumlaumlrtus ning standardhaumllve Motildeotildetmiste prot okolli tuleb ekse kotildervaldamisest teha asjakohane m aumlrge

Kolmekordse standardhaumllbe kriteeriumit ekse leidmiseks o n motildetet kasutada juhul kui motildeotildetmiste arv on vaumlhemalt N = 11

MMM ndash Ekse

12

On totildeestatud et m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus on

Kui vabadusastmete arv on ν = 4 siis on suhteline m aumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 35 ning kui ν = 50 siis on suhteline maumlaumlramatuse hinnangu m aumlaumlramatus 10

Naumlide Detaili pikkuse keskvaumlaumlrtus on m(l) = 18045 mm koondm aumlaumlramatus on u(l) = 12789 mm ning vabadusastmete arvon ν = 8

Seega koondm aumlaumlramatuse kolmanda tuumlvinumbri esitamine ei oma mingit motildetet kuna ka teine tuumlvinumber ei pruugi otildeige olla

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

νν 2

1)(

2)( asymprArrasymp

s

sussu

mm3204

)(

82

)())(( ==

sdotasymp

lululuu

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 10 100 1000 10000

vabadusastmete arv

u(s

)s

ν21)(

asymps

su

14

Avaldame nuumluumld sellest valemist vabadusastmete arvu ν

See valem on suureks abiks B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuste hindamisel

Naumlide 311 Hindame nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatust Nihkkaliibri tootja on m aumlrkinud nihiku potildehiveaks ∆ = 005 mm Votildeime eeldada et tootja on seda teinud potildehjalikult ehk u(s) rarr 0 Uumllal toodud valemist saame et nihkkaliibri B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on lotildepmatult suur Saadud tulemust saab uumlldistada motildeotildeteseadme tootja poolt e sitatud maumlaumlramatuse (B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuse) vabadusastmete arv on lotildepmatu

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

2

2

2 )(

2

1

)(22

1)(minus

=asymprArrasymps

su

su

s

s

suν

ν

15

Naumlide 312 Termomeetri naumlidu standardm aumlaumlramatuseks on hinnatud 02 degC Toodud kirjaviisist votildeib jaumlreldada et termomee tri naumlidu standardm aumlaumlramatus on vahemikus (015 025) degC Uumlhtlase jaotu se standardm aumlaumlramatus on

Siit saame et temperatuuri m aumlaumlramatuse suhteline m aumlaumlramatus on

ning vabadusastmete arv on

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

0289012

10

12

)())(( ==

∆=

tutuu

144020

02890)())((

==tu

tuu

( ) 2414402

1 2 == minusν

16

Kui m aumlaumlramatus esitatakse ainult uumlhe tuumlvinumbri taumlpsusega siis votildeib lahutusvotildeimest tingitud vabadusastmete arv olla uumlsna vaumlike

MMM ndash Maumlaumlramatuse m aumlaumlramatus

1

10

100

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maumlaumlramatuse tuumlvinumber

Vab

adus

astm

ete

arv

17

Liitm aumlaumlramatuse vabadusastmete arvu otseselt ei saa arvutad a kuumlll aga votildeib hinnata efektiivsete vabadusastmete arvu νeff kasutades Welch-Satterthwaitersquo valemit

kus u(xi) on i-ndast sisendsuurusest tingitud liitm aumlaumlramatuse komponent

Efektiivne vabadusastmete arv ei ole uumlldiselt taumlisarv Taumlisarvulise vabadusastmete arvu saamiseks uumlmardatakse saadud tule mus alla naumliteks arvud 62 ja 68 uumlmardatakse motildelemad taumlisarvuk s 6

sum=

partpart

=

n

i i

ii

eff

xux

y

yu

1

4

4

)(

)(

ν

ν

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

18

Naumlide Keha kineetiline energia on arvutatav valemis t

Eelnevalt on teada et keha mass on 1000 g koondm aumlaumlramatusega 50 g vabadusastmete arvuga 5 ning keha kiirus on 20 0 ms kiiruse koondm aumlaumlramatus on 10 ms ning vabadusastmete arv on 8

Leia keha kineetilise energia koondm aumlaumlramatus ning efektiivne vabadusastmete arv

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

2

2vmE

sdot=

19

Welch-Satterthwaitersquo valem efektiivsete vabadusastme te arvu leidmiseks kehtib kui kotildeik sisendsuurused on laumlhend atavad normaaljaotusega Probleem tekib aga siis kui tahta arvutada liitm aumlaumlramatuse efektiivsete vabadusastmete arvu kui A-t uumluumlpi maumlaumlramatus on laumlhendatav normaaljaotusele sest motildeotildetm iste arv on piisavalt suur kuid B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus on saadud uumlhtlasest jaotusest

Ideaalse Gaussi puhul oleks 95 usaldusnivool katte teguriks 196 aga uumlhtlase jaotuse puhul 168 Nende uumlhendjaotuse puhul peaks kattetegur jaumlaumlma nende kahe juhu vahele seega ikka vaumliksem kui 196 Studenti testi kattetegur aga laumlheneb vabadusastmete arvu suurenedes normaaljaotusele seega on alati vaumlhemalt 196 Seega kasutades Welch-Satterthwaite valemit uumlhtlase jaotuse ga sisendite puhul hindame katteteguri vaumlaumlrtust veidi uumlle see ag a pole keelatud

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse efektiivne vabadusastmete arv

20

Studenti jaotus sotildeltub vaid vabadusastmete arvust υ ja ei sotildeltu uumlldse juhusliku suuruse (motildeotildedetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskvaumlaumlrtusest (kuumlll on aga oluline X normaalsus) Usaldusnivoole p vastav motildeotildetmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul

Seda valemit nimetatakse Studenti testiks Siin suurus tυ(p) on (Studenti) t-kordaja ndash

kattetegur etteantud usaldus-nivoo p ja υ vabadusastme korral Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate vaumlaumlrtuste jaoks tabuleeritult

[ ] )()()()( pxuptxxxuptxP NNNN =+ltltminus νν

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

21

Studenti jaotus laumlheneb vabadusastmete arvu kasvades standardiseeritud normaaljaotusele

4 3 2 1 0 1 2 3 4

01

02

03

04s 1 x( )

s 2 x( )

s 5 x( )

s 10 x( )

f x( )

x

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

22

Kuigi liitm aumlaumlramatus u(y) on motildeotildetesuuruse Y motildeotildetetulemuse ymaumlaumlramatuse esmane vaumlljend on motildenede toumloumlstuslike ja aumlrialaste rakenduste vajaduste rahuldamiseks aga ka tervishoiu ja ohutusalaste notildeuete tagamiseks vajalik liitm aumlaumlramatuse asemel esitada vahemik mis teatud usaldatavusega hotildelmab m otildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse Vastava vahemiku moodustamiseks kasutataks e nn laiendm aumlaumlramatust taumlhisega U Laiendm aumlaumlramatuse saame standardhaumllbena esitatud liitm aumlaumlramatuse korrutamisel mingi teguriga k Jaumlrelikult on motildelemate m aumlaumlramatuse esitamisvormide motildeotildeteinfo hulk sama ja seega tundub laiendm aumlaumlramatuse kasutamine justkui asjatuna Kuid laiendm aumlaumlramatusel on siiski uumlks eelis Ta votildeimaldab votilderrelda motildeotildetetulemusi milledel on erinev vabadusastm ete arv

Laiendm aumlaumlramatus U saadakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

23

Tabel 32 Valik ristkuumllik- kolmnurk- normaaljaotus- ja studentijaotusele kehtivaid kp vaumlaumlrtuseid

)()( yukyU sdot=

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

Usaldatavustase p Kattetegur kp Ristkuumllikjaotus Kolmnurkjaotus Studenti jaotus (ν = 9) Normaaljaotus

5774 1 0857 0802 6498 1125 1 0934 6827 1182 1070 106 1

90 1559 1675 183 1645 95 1645 1902 226 1960

9545 1653 1927 232 2 9663 1674 2 2124

99 1715 2205 325 2576 9973 1727 2322 409 3

100 ge1732 ge2449 infin infin

24

)()( yukyU sdot=

997

95

68

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

25

Kattetegur on arv mida kasutatakse liitm aumlaumlramatuse u(y) korrutustegurina et saada laiendm aumlaumlramatust U Katteteguri vaumlaumlrtus valitakse sotildeltuvalt vahemikule etteantud usaldata vustasemest p Enamasti valitakse selleks usaldusvahemikuks 95 v otildei 99 Eeldusel et motildeotildetesuurus Y allub ligikaudu normaaljaotusele valitakse katteteguri kp vaumlaumlrtuseks Studenti t-kordaja sotildeltuvalt vabadusastmete arvust ning soovitavast usaldusnivoos t

Arvutiga saab leida t-kordaja vastava sisseehitatud f unktsiooniga

Mathcad

Excel

+

ν2

1 pqt

( )ν1 pTINV minus

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

26

Vabadusastmete

arv 1minus= Nνννν

Osa p protsentides

6827(I) 90 95 9545(I) 99 9973(I)

1 184 631 1271 1397 6366 23580 2 132 292 430 453 992 1921 3 120 235 318 331 584 922 4 114 213 278 287 460 662 5 111 202 257 265 403 551 6 109 194 245 252 371 490 7 108 189 236 243 350 453 8 107 186 231 237 336 428 9 106 183 226 232 325 409

10 105 181 223 228 317 396 11 105 180 220 225 311 385 12 104 178 218 223 305 376 13 104 177 216 221 301 369 14 104 176 214 220 298 364 15 103 175 213 218 295 359 16 103 175 212 217 292 354 17 103 174 211 216 290 351 18 103 173 210 215 288 348 19 103 173 209 214 286 345 20 103 172 209 213 285 342 25 102 171 206 211 279 333 30 102 170 204 209 275 327 35 101 170 203 207 272 323 40 101 168 202 206 270 320 45 101 168 201 206 269 318 50 101 168 201 205 268 316

100 1005 1660 1984 2025 2626 3077 infin 1000 1645 1960 2000 2576 3000

MMM ndash Studenti test ning laiendm aumlaumlramatus

27

Naumlidete 315 316 ja 317 kokkuvotildete

MMM ndash Laiendm aumlaumlramatus

182

183

184

185

186

187

188

28

Tuletame motildeotildetem aumlaumlramatuse valemi kahe sisendsuuruse korral

Alustuseks tuletame meelde Taylori rittaarenduse kui e sinevad vaumliksed haumllbed

Naumlide 318 Arvutame rittaarendusena suuruse 101 2 = 10201

valime x = 10 δx = 01 siis

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

xx

xfxfxxf δδ sdot

partpart

+asymp+)(

)()(

102101021002)(

)()( 2 =sdotsdot+=sdot+=sdotpart

part+asymp+ xxxx

x

xfxfxxf δδδ

29

Probleemi puumlstitus Olgu motildeotildedetud 2 fuumluumlsikalist suuru st X1 X2 (nn sisendsuurused) st olgu meil teada motildelema keskvaumlaumlrt used m(x1) m(x2) ja liitmotildeotildetem aumlaumlramatused u(x1) u(x2)

Olgu fuumluumlsikaline suurus Y (nn vaumlljundsuurus) funktsioon sisendsuurustest X1 X2

Y = Y(X1 X2)

Teeme nuumluumld eelduse et suuruste Xi uumlksikmotildeotildetmiste haumllbed δxi = xi ndash m(xi) on vaumlikesed ja muudavad vaumlljundsuuruse Y vaumlaumlrtust vaumlhe Sel juhul saame esitada uumlksikmotildeotildetmisele vasta va Y vaumlaumlrtuse punktis xi rittaarendusena punktis m(xi) haumllvetele δxi jaumlrgi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

30

Siin m(Y) samastame suuruse Y motildeotildedetudparima hinnangu vaumlaumlrtusega ja haumllbe δY samastame suuruse Y uumlhekordse motildeotildetmise motildeotildeteveaga Seetotildettu saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse arvutamiseks valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

( ) ( ) 22

11

212211 xx

Yx

x

YxxYxxxxYY δδδδ

part

part+

part

part+asymp++=

YYY δ+=

( )21 xxYY =

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ= [ ] [ ]( )[ ]2XmXmXD minus=

31

Uumlhendades need kaks valemit saame

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

22

11

xx

Yx

x

YY δδδ

part

part+

part

part=

( )[ ]22 )( YmYu δ=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

32

Keskvaumlaumlrtus δx1δx2-st on votilderdne kovariatsiooniga mille saab esitada kasutades korrelatsioonikordajat r

seega saame Y motildeotildetem aumlaumlramatuse ruudu jaoks jaumlrgmise valemi

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

[ ] )()()cov( 212121 XuXurxxxxm ==sdot δδδδ

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

[ ]

part

part+

part

part

part

part+

part

part=

=

part

part+

part

part==

2

22

2121

2

11

2

22

11

22

2

)()(

xx

Yxx

x

Y

x

Yx

x

Ym

xx

Yx

x

YmYmYu

δδδδ

δδδ

33

Vaatame esialgu erijuhtu mil muutujad x ja y on omavahel sotildeltumatud st uumlhe tulemus ei motildejuta teise tulemu st Praktikas votildeib leida lotildeputult selliseid paare naumliteks mingi kera m ass ning laumlbimotildeotildet sademete hulk ajauumlhikus ning pindala aeg ja teepik kus jne Osutub et sotildeltumatute muutujate vaheline korrelatsioon votilderdne n ulliga ningmaumlaumlramatuse valem lihtsustub

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus kahe sisendsuuruse korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

)()()( 22

2

21

22

1

Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

34

Millised paarid on omavahel sotildeltumatud millised sotilde ltuvad

puude pikkus ndash puude laumlbimotildeotildet

puude pikkus ndash paumlikese kotildergus kraadides

puude laumlbimotildeotildet ndash puude vanus

puude laumlbimotildeotildet ndash maapinna temperatuur

ruumi temperatuur ndash ruumi niiskus

inimese jalanumber ndash pikkus

merevee temperatuur Hurghadas ndash lume paksus Haanjas

MMM ndash Sotildeltumatud ning sotildeltuvad suurused

35

MMM naumldalate plaan

7 Motildeotildetmise mudel Motildeotildetem aumlaumlramatus mitme sotildeltumatu sisendsuuruse korral Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

8 Uumllesannete lahendamine kontrolltoumloumlks valmistumine

9 KONTROLLTOumlOuml

MMM ndash Jaumlrgmiste naumldalate plaan

36

Kodune test sulgub 20032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis on kattetegur

ndash Milleks Studenti test

ndash Mille jaumlrgi maumlaumlrata jaotuse tuumluumlpi

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

Igasugune reaalsetes tingimustes motildeotildetmine toimub al ati suure hulga motildejurite toimel ning iga motildeotildeteuumllesande korral arvutat akse meid huvitava motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtus matemaatilise seosega t eiste antud motildeotildeteuumllesande jaoks vajalike suuruste abil Hinnangu id saame teatud osale nendest suurustest anda nende vahetu motildeotildetmise kaumligus uumllejaumlaumlnud osale suurustest aga teadaoleva info naumlit eks normdokumentides votildei kaumlsiraamatutes esitatud andmete abil Motildeotildetesuuruse vaumlaumlrtuse hinnangu leidmiseks tuleb seega motildeotildeteuumllesandest laumlhtuvalt koostada motildeotildetesuuruse sotildelt uvust teistest vaadeldud suurustest kirjeldav motildeotildetmise mudel

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

4

Sisendsuurused votildeivad olla nii konstandid parandid motildejurid kui ka sellised suurused mida tuleb antud uumllesande lahend amise kaumligus omakorda motildeotildeta Sotildeltuvust saab vaumlljendada funktsioon i f abil kujul

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

)( 21 Ni XXXXfY =

X1

X2

Xi

XN

f Y

5

Naumlide 43 Suusataja lotildeppkiiruse m aumlaumlramine kaumlepaumlraste vahenditega Kiirus v on defineeritud valemiga

kus s on teepikkus ning t on aeg Selle valemi votildeibki votildetta motildeotildetmiste mudeliks kuid kindlam on kui seda mudelit taumlpsust ada laumlhtuvalt sellest kuidas sisendsuurused motildeotildedetakse

Oletame et teepikkuse s motildeotildetmiseks kasutatakse motildeotildedulinti pikkusega s1 mida totildestetakse edasi N korda siis teepikkuse motildeotildetmise mudel on

s = N s1 + ds

kus ds on paumlrast viimast edasitotildestmist motildeotildedulindilt saadud lugem

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

t

sv =

6

Aeg t on suusataja motildeotildetmisalast vaumlljumise aeg t2 lahutatud motildeotildetmisalasse jotildeudmise aeg t1

t = t2 ndash t1

Pannes esialgsesse valemisse sisendsuuruste motildeotildetmist e mudelid saame kiiruse motildeotildetmise mudeliks

Lihtsamatel juhtudel tavaliselt motildeotildetmiste mudelit v aumllja ei kirjutata sest teatakse isegi kuidas soovitud suurust otildeigesti arvutada Probleem tekibki enamasti alles m aumlaumlramatuse hindamisel sest peas olevast valemist peast osatuletiste votildetmine kaumlib uumll djuhul uumlle jotildeu Seega ndash enne motildeotildetma hakkamist on ALATI motildeistlik kirja panna ka motildeotildetmiste mudel see lihtsustab uumlldjuhul oluliselt nii motildeotildetmiste optimaalset planeerimist kui ka motildeotildetem aumlaumlramatuste hindamist

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

12

1

tt

dssN

t

sv

minus+sdot

==

7

Metoodika ldquoAnemomeetrite kalibreerimine TUuml Katsekojatuuletunneliga ja poumloumlrdnoole-etalonigardquo

MMM ndash Motildeotildetmiste mudel

8

Eelmine loeng tuletasime motildeotildetesuuruse motildeotildetem aumlaumlramatuse kahe sisendsuuruse korral Uumlldistame saadud valemit

Sama valem on summa m aumlrgi all kirja pandav kujul

Uumlldistatult kehtib samasugune valem ka N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltumatute sisendite korral

)()()( 22

2

21

22

1

2 Xux

YXu

x

YYu

part

part+

part

part=

sum=

part

part=

2

1

22

2 )()(i

ii

Xux

YYu

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

9

Motildeotildetmise mudelisse tuleb sisse viia kotildeik motildeeldavad maumlaumlramatust tekitavad liikmed Motildene liikme koha pealt votildeib tekk ida kahtlus kas seda peab arvesse votildetma votildei saab oumlelda et see liig e on ebaoluline Selleks laumlhtume eeldusest et m aumlaumlramatuse hinnang antakse mitte rohkem kui kahe taumlhendusliku arvkohaga Kui mingi m aumlaumlramatuse komponent on nii vaumlike et liitm aumlaumlramatuse kahte taumlhenduslikku arvkohta praktiliselt ei muuda siis votildeib oumlelda et t egemist on ebaolulise m aumlaumlramatuse komponendiga Mingi m aumlaumlramatuse komponendi u(xm) ebaolulisuse kinnitamiseks on eelpool oumleldust tuletatud votilderratus

st kotildeik komponendid mis alluvad sellele votilderratusele on ebaolulised

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

10

Kuna liitm aumlaumlramatus u(y) moodustub kotildeikide m aumlaumlramatuse komponentide summast siis tingimusest

kus u(xi) on suvaline m aumlaumlramatuse komponent jaumlreldub ka tingimus

Seega kui leida kotildeige suurem m aumlaumlramatuse komponent ning votilderrelda teisi m aumlaumlramatuse komponente sellega siis kui motildeni kompone ndi suurus on votilderreldes kotildeige suurema komponendiga 30 votildei vaumlhem siis on tegemist taumlhtsusetu komponendiga mille votildei b arvutuste lihtsustamise huvides jaumltta arvestamata

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

)(30)( yuxux

fm

m

lepartpart

)(30)( ii

mm

xux

fxu

x

f

partpart

lepartpart

11

Naumlide 43 Alumiiniumist risttahukakujulist plaadi k otildeigi kolme kuumllje pikkused motildeotildedeti nihikuga ning saadi jaumlrgmised tulem used

a = 802 mm u(a) = 003 mm ν(a) = 5b = 4253 mm u(b) = 004 mm ν(b) = 6c = 17211 mm u(c) = 005 mm ν(c) = 7

Leida plaadi ruumala laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Liitm aumlaumlramatuse taumlhtsusetu komponendi kriteerium

12

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Oletame et meil on motildeotildedetud kahte suurust x ja y Kui meil on Nsuuruste paari xi yi (i = 1 N) siis kovariatsioon x ja y vahel on

Korrelatsioon r (taumlhistatakse ka R R(x y)) on defineeritav kovariatsiooni ning standardhaumllvete kaudu

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

1

)()()cov( 1

minus

minussdotminus=sum=

n

ymyxmxyx

N

iii

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sdot=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmx

ysxs

yxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()(

)()(

)cov()(

13

Kovariatsioon ja korrelatsioon

Korrelatsioon on normeeritud kovariatsioon kuna ta saab olla vahemikus [ndash1 1] Korrelatsioon r = plusmn1 taumlhendab et tegemist on funktsionaalse seosega kus puudub varieeruvus Kui r gt 0 on tegemist positiivse korrelatsiooniga st x kasvades kasvavad uumlldiselt ka y vaumlaumlrtused Kui r lt 0 on tegemist negatiivse korrelatsiooniga st xkasvades uumlldiselt y vaumlaumlrtused kahanevad Kui r asymp 0 siis korrelatsioon puudub ning suurused x ja y on omavahel sotildeltumatud

Korrelatsiooniga r on tihedasti seotud ka determinatsioonikoefitsient r2 Matemaatiliselt sisaldab determinatsioonikoefitsie nt vaumlhem infot sest ta ei naumlita kas on tegemist positiivse votildei ne gatiivse korrelatsiooniga Determinatsioonikoefitsient naumlitab kui suur osa yvarieeruvusest on aumlra kirjeldatud lineaarse trendiga y = ax + b

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

14

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

( ) ( )

( ) ( )

minussdot

minus

minussdotminus=

sumsum

sum

==

=

N

ii

N

ii

N

iii

ymyxmx

ymyxmxyxr

1

2

1

2

1

)()(

)()()(

15

Jaumltkame eelmises loengus tuletatud motildeotildetem aumlaumlramatusega kahe sisendsuuruse korral kuid jaumltame aumlra eelduse et tege mist on sotildeltumatute suurustega

Uumlldistatult on maumlaumlramatuse valem N sotildeltumatu sisendsuuruse korral

Kui nuumluumld sotildeltumatuse eeldusest loobuda siis lisand uvad valemisse korrelatsiooni liikmed

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

)()()(2)()( 22

2

221

211

22

1

2 Xux

YXuXu

x

Y

x

YrXu

x

YYu

part

part+

part

part

part

partsdotsdot+

part

part=

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sumsumsumminus

= +== part

part

part

partsdot+

part

part=

1

1 11

22

2 )()()(2)()(N

i

N

ikki

kiki

N

ii

i

XuXux

Y

x

YxxrXu

x

YYu

16

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

E = A ndash C

Leia suuruste D ja E standardm aumlaumlramatused nii arvestades korrelatsioone kui ka ilma

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

17

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Lahendus Leiame D standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

18

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ][ ] 11600580208010800302

405011)40(40301190503011202

)()()()()()()()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

=sdot=minus+sdot=

=sdotsdotsdotsdotminus+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

+partpart

partpart

+partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sumsum

minus

= +=

CuBuC

D

B

DCBrCuAu

C

D

A

DCArBuAu

B

D

A

DBAr

XuXux

D

x

DxxrDu

N

i

N

ikki

kiki

19

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

D = A + B + C

Leiame D standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

7806160116050)(2)(1)( 22 ==+=+= DuDuDu

20

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse kotildeigepealt ilma korrelatsioone arvestamata

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

50250)(1

250401301

)()()()(1

2222

22

22

1

22

2

==

=sdot+sdot=

=

partpart

+

partpart

=

part

part=sum

=

Eu

CuC

EAu

A

EXu

x

EEu

N

ii

i

21

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse korrelatsioonide osa

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

[ ] [ ] 2160108024030)1(1902

)()()(2

)()()(2)(21

1 1

2

minus=minussdot=sdotsdotminussdotsdotsdot=

=

partpart

partpart

sdot=

=part

part

part

partsdot= sum sum

minus

= +=

CuAuC

E

A

ECAr

XuXux

E

x

ExxrEu

N

i

N

ikki

kiki

22

Naumlide 46 Vaatame kolme suurust A B C Keskmised vaumlaumlrtused onA = 5 B = 7 C = 12 standardm aumlaumlramatused on u(A) = 03 u(B) = 05 u(C) = 04 parameetrite vahelised korrelatsioonid on r(A B) = 02r(A C) = 09 r(B C) = ndash04

E = A ndash C

Leiame E standardm aumlaumlramatuse arvestades korrelatsioone

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

1800340)2160(250)(2)(1)( 22 ==minus+=+= EuEuEu

23

1

Maumlaumlramatuse hindamine (sotildeltumatud sisendid )

Matemaatiline mudel

Sisendvaumlaumlrtused

Maumlaumlramatuse komponendid

igale sisendvaumlaumlrtusele

Y = f(X1 X2 hellip Xn)3

6

d

m

V

m

sdot==π

ρ

X1 X2 hellip Xn m d π

uA(X1) uB(X1) uC(X1)

uA(X2) uB(X2) uC(X2) hellip etc

Liitmaumlaumlramatus

22

21

2A2

2A1C

22

21

2A2

2A1C

++++=

++++=

BB

BB

ududududud

umumumumum

sum=

part

part=

N

ii

i

Xux

YYu

1

22

2 )()(

sdotminus+

sdot=22

22 )(3)()(

d

du

m

muu ρρ

Vabadusastmete arv

igale sisendvaumlaumlrtusele nννν 21 dm νν

Efektiivsed vabadusastmete

arvud vaumlljundsuurustele( ) ( )

sum=

=n

i i

iieff

xucyuy

1

444)(

νν ( )

sdotminus

sdot+

sdot

=dm

eff

d

du

m

mu

uν

ρ

ν

ρρρν

44

4

)(3)(

)(

Kattetegur k = tαν = TINV(1-α ν)

Laiendmaumlaumlramatus U(y) = k u(y)

k = t95ν(ρ) = TINV(005 ν(ρ))

U(ρ) = k u(ρ)

24

Motildeningaid naumlpunaumliteid praktikumi aruannete vormistam isest Mathcadis

bull Praktikumi aruande eesm aumlrk on tulemusi arusaadavalt esitadaeesmaumlrgiks peaks olema tulemuste laumlbipaistvus

bull Toumloumld tuleb kommenteerida ndash lugejal ei tohi kuskil te kkida kuumlsimust et ldquomiks siin nii tehtirdquo

bull Kotildeigi motildeotildetmiste mudeli sisendsuuruste motildeotildetem aumlaumlramatused tuleb protokollis esitada

bull Hea toon on esitada kotildeigi motildeotildetmiste mudeli komponen tide osa koondm aumlaumlramatuses

bull Aruanne peaks olema struktureeritud st peaks olema lih tsalt arusaadav kus uumlks arvutus lotildepeb ning teine algab

bull Enne aruande esitamist tuleks see ise laumlbi lugeda ni ng votildeimalusel lasta ka kellelgi teisel see laumlbi lugeda

MMM ndash Praktikumide toumloumlde vormistamine

25

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Kontrolltoumlouml annab 20 aine koondhindest

Eksamile paumlaumlsemiseks peab kontrolltoumloumls saama vaumlhemalt 50 punktidest

Tuleb ka kontrolltoumlouml jaumlreltoumlouml selle aja lepime kokkunaumldal paumlrast kontrolltoumloumld 11 aprillil

Positiivset sooritust uumlmber teha ei saa

Jaumlreltoumloumls saadud punktid korrutatakse laumlbi koefitsiend iga 08(ei kehti potildehjendatud vabandajate kohta)

26

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

27

Kodune test sulgub 27032011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Eelmise loengu tagasiside

ndash Mis asjad on vabadusastmed mille jaoks neid vaja o n

Koduste testide tagasiside

EKSAMI AJAD (kell 1215 ndash 1400 ruum 160)30 mai06 juuni 13 juuni

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash tagasiside

3

MMM ndash 04 aprilli kontrolltoumlouml

Test ja eksam on kirjalikud testi vormis ning sisal davad kuumlsimusi nii teooria osast kui ka praktilist arvutamist Spikerdam ine on limiteeritud Kaastudengeid raamatuid konspekte a rvuteid telefone jne pole lubatud kasutada Laual votildeib olla kalkulaa tor ning uumlks A4 formaadis lehekuumllg vabalt valitud kaumlsitsi kirjutatud teksti nagu valemid definitsioonid jne

Testi ja eksami tulemuste kontrollimine kaumlib lahendi matriitsi abil ndash on kaks varianti kas vastus on otildeige votildei vale Lisalehe d on arvutam iseks neis olevat infot uumlldjuhul ei kontrollita ega hinnat a

4

MMM ndash Naumlidiskontrolltoumlouml

Kuumlsimused-kommentaarid naumlidiskontrolltoumlouml kohta

5

Naumlide 47 Tavaliselt on digitaalsetel termomeetritel votildeimalik valida naumlidud nii Celsiuse (C) kui ka Farenheidi (F) kraadid es Kuna infopaumlrineb samalt temperatuuri sensorilt on korrelatsioon nende naumlitude vahel uumlks Teame et nende skaalade vaheline seos o n jaumlrgmine

Meid huvitab kui taumlpselt me saame hinnata koefitsi enti x kuumlmnest motildeotildetmisest Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised

C = 22 15 21 20 23 24 21 21 18 17

F = 72 60 70 67 74 76 70 70 64 62

Lahendus Mathcad failisbdquoC_ja_F_temperatuuri_omavaheline_seosmcdldquo

MMM ndash Motildeotildetem aumlaumlramatus sotildeltuvate sisendite korral

C

FxxCF

3232

minus=rArr+sdot=

6

Kodune test sulgub 03042011 kell 2355

Seekord saab toumloumld esitada lotildepmatult palju kordi arves se laumlheb parim tulemus

MMM ndash Kodune toumlouml

7

Naumlide 48 Modelleerimise kaumligus saadi et uumlhte pro tsessi kirjeldab jaumlrgmine funktsioon

Leia

bull koefitsient cbull jaotusfunktsioon kohal x1 (0 lt x1 lt 1)bull keskvaumlaumlrtusbull mediaanbull standardhaumllvebull totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (ndash03 07)

MMM ndash Harjutusuumllesanded

ltltsdotsdot+

sdot

sdot=

mujal0

10321

)(2

5

8

xxxcx

xxf

8

Naumlide 49 Praktikumis kaaluti klotsi massi 5 korda kaaluga millekalibreerimistunnistusel on kirjas et piirkonnas 50 g on tema laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95 (k = 2) 03 g Kaalu resolutsioon on 01 g Motildeotildetmistulemused on jaumlrgmised m = 455 459 458 452 456 g

Leia

bull klotsi massi parim hinnangbull klotsi massi A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi B-tuumluumlpi m aumlaumlramatusbull klotsi massi liitm aumlaumlramatusbull klotsi massi vabadusastmete arvbull klotsi massi laiendm aumlaumlramatus usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

9

Naumlide 410 Jaumlauml tiheduse motildeotildetmiseks puuriti jaumlaumlst 10 puursuumldamikku ning motildeotildedeti nende pikkused ning massid Kuna jaumlauml pa ksus erines motildeotildetekohtades oluliselt siis oli ka pikkuste ja ma sside erinevus suur samas oli massi ja pikkuse vaheline korrelatsioon vaumlg a kotilderge R = 095 Motildeotildetmisandmetest saadi puursuumldamiku pikkuse k eskvaumlaumlrtuseks 204 cm ning koondm aumlaumlramatuseks 94 cm puursuumldamiku laumlbimotildeotildedu keskvaumlaumlrtuseks saadi 496 cm koondm aumlaumlramatusega 012 cm ning puursuumldamiku massi keskvaumlaumlrtuseks saadi 366 g koondm aumlaumlramatusega 130 g Silindri ruumala on

Leia

bull jaumlauml tiheduse parim hinnangbull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatabull jaumlauml tiheduse m aumlaumlramatus arvestades korrelatsioone

MMM ndash Harjutusuumllesanded

4

2 HdV

sdotsdot=π

10

Naumlide 411 Risttahuka kujuline akvaarium on taumlidetu d veega Akvaariumi potildehja motildeotildetmed on 2023 cm ja 3018 cm ve ekihi paksuson 3817 cm Kotildeik akvaariumi motildeotildedud motildeotildedeti metallj oonlauaga mille potildehiviga oli 1 mm akvaariumi erinevatest punktidest1 0 korda Akvaariumi potildehja luumlhema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks oli 20 mm potildehja pikema kuumllje standardm aumlaumlramatuseks aga 30 mm Veekihi paksust motildeotildedeti 20 korda ning saadi standardm aumlaumlramatuseks 5 mm Hinnata akvaariumis oleva vee ruumala koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

11

Naumlide 412 Optikas on valgustatus arvutatav valemist

Valgusti intensiivsus olgu I = 100 W plusmn 2 W Uuritava pinna ning valgusti vaheline kaugus on motildeotildedetud 10 korda keskm iseks kauguseks R = 1 m standardhaumllve on s(R) = 3 cm motildeotildedulindi potildehiviga on plusmn1 mm Valgusti ja valgustatava pinna v aheline nurk on motildeotildedetud nurgamotildeotildetjaga α = 30deg nurgamotildeotildetja potildehiviga on plusmn1 deg Hinnata pinna valgustatus E koos laiendm aumlaumlramatusega usaldusnivool 95

MMM ndash Harjutusuumllesanded

αcos2R

IE =

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml aeg

Neljapaumlev 1404 kell 1615 ndash 1800 ruum 410

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 30 mai kell 1215 ndash 1400 ruum 416 30 mai kell 1415 ndash 1600 ruum 160

06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

Statistika

Keskmine hinne 139Standardhaumllve 40Laumlbikukkujaid 17

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

4

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

y = 01834x + 25747R2 = 02161

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80

Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

5

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

0

5

10

15

20

25

20 30 40 50 60 70 80Kodused testid

Kon

trol

ltoumlouml

FuumluumlsikaKeemiaMaterjaliteadusKeskkonnatehnoloogiaHT

6

1 Kirjuta tiheduse ( ρ = m V) dimensioonvalem

2 Esita ajauumlhik viis naumldalat kilotundides

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

7

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida) ndash hea vastus

Maumlaumlratavad vead ndash nende esinemine on teada ning ka v ea ulatus on maumlaumlratav Naumliteks tekib mingi motildejuri arvestamata jaumltmisel arv utustes votildei aparatuuri skaala nihke totildettu (pole null korrektselt paigas) Kuna saab maumlaumlrata vea ulatuse on votildeimalik kasutada parandeid (naumliteks kasu tatakse enne motildeotildetmist algnaumlidu erinevust nullist hiljem motildeotildetmistulemuse p arandamiseks) (aparatuuri kalibreerimine)

Vead mille olemasolu on teada kuid suurus pole ki ndlalt maumlaumlratav Naumliteks motildeotildeteriistade ja aparatuuri vead Votildeib oumlelda ka et B-tuumluumlpi vead Motildeotildeteriistade vead loetakse uumlhtlase jaotuse alla kaumlivaks ei teat a kui kaugel motildeotildetmistulemusest on totildeeline vaumlaumlrtus kuid teatakse mis piirkonda see votildeiks jaumlaumlda Mida parema lahutusvotildeimega ning vaumliksema potildeh iveaga on aparatuur seda vaumliksem tuleb B-tuumluumlpi maumlaumlramatus Taumlpsem apara tuur vaumlhendab vigu

Vead mille olemasolu ja suurus on teadmata Sellist eks on naumliteks aparatuuri defektid votildei keskkonnaga seotud tegurid mida ei os ata arvestada Aparatuuri defektide avastamiseks kasutada erinevaid aparaate votilderrelda tulemusi alati hoolikalt laumlbi motildeelda et mis tegurid votildeivad tulemu si motildejutada

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

8

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 1

bull Vaumlltida saab siis kui kasutada koguaeg uusi motildeotildeteri istu (sest neilpole vigu teada)

bull Kolmandaks ndash vead mille olemasolus ei saa kindel ol la saab ainulteeldada et nad on olemas Tuleb motildeotildetmisi sooritada mitu korda etjotildeuda totildeelisele vaumlaumlrtusele keskvaumlaumlrtusega votildeimalikult laumlhedale

bull Teadmata vigu saab vaumlltida tehes rohkem motildeotildetmisi keskmistadesjaumlttes vaumllja suured kotildervalekalded keskmisest (eksed)

bull Motildened vead saab kaotada kui teha suurem arv motildeotildetmisi Kasutada toumloumltavaid motildeotildetevahendeid Motildeotildetmised sooritada selle ks sobilikus keskkonnas (motildettetu on motildeotildeta tuulekiirust tormi ajal kui motildeotildeteriist asub kinnises ruumis)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

9

3 Suumlstemaatilised vead (liigitus naumlited kuidas v aumlltida)

Mitte vaumlga korrektsed vaumlited 2

bull Suumlstemaatilised vead on vead mis esinevad pidevalt ja nende olemasolust ollakse teadlikud

bull Vigade vaumlltimiseks tuleb kasutada votildeimalikult palju mehhaniseeritud ja digitaliseeritud motildeotildeteriistu

bull Suumlstemaatilised vead jaotatakse potildehiviga ja suhtel ine viga Potildehiviga on antud motildeotildeteriistaga motildeotildetmisel tehtud viga see o leneb motildeotildeteriista motildeotildete taumlpsusest Suhteline viga on motildeotildetj a enda poolt tehtud viga votildei viga mille potildehjustasid mingisuguse d vaumllised jotildeud naumliteks m uumlra segas helikiiruse motildeotildetmist Suhteline viga votildeib olla ka ldquonaumlpuvigardquo ndash vajutasi d kalkulaatorilvalet klahvi votildei unustasid uumlhikud teisendamata

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

10

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt 3 ning x gt 4 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [3 4] kirjeldab se da ruutfunktsioon f(x) = cx2 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [3 4] c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (35 7)

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

11

5 Praktikumis motildeotildedeti laua pikkust 5 korda ning saadi jaumlrgmised vaumlaumlrtused l = 1544 1546 1543 1543 1544 mm Kasutatava motildeotildedulindi potildehiviga on 1 mm Leia

a laua pikkuse hinnangb laua pikkuse hinnangu A-tuumluumlpi m aumlaumlramatusc laua pikkuse hinnangu B-tuumluumlpi m aumlaumlramatus c laua pikkuse hinnangu liitm aumlaumlramatus

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

12

6 Kehamassi indeks BMI on defineeritud kui kehakaal M jagatud pikkuse l ruuduga 10 tudengi motildeotildetmistulemustest saadi jaumlrgmised keskvaumlaumlrtuse koondm aumlaumlramatuse ning vabadusastmete arvu tulemused m(M) = 72 kg u(M) = 8 kg υ(M) = 34 m(l) = 172 cm u(l) = 9 cm υ(l) = 70 Korrelatsioon tudengite kehakaalu ning pikkuse vahel oli r(M l) = 077 Leia

a Kehamassi indeksi BMI parim hinnangb BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamatac BMI m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades

MMM ndash Kontrolltoumlouml analuumluumls

13

Arktika kliima statistiline analuumluuml sToumlouml seisneb ERA-40 jaumlrelanaluumluumlsi mudeli 44 aasta and mebaasi temperatuuri ning niiskuse vertikaalsete profiilide sta tistilisel analuumluumlsil Arktikas Toumlouml eesm aumlrk on otildeppida kasutama programmi GrADS ning tutvuda andmeanaluumluumlsi lihtsamate meetoditeg a

Toumlouml jaumltkuks magistrantuuris suuremate globaalsete ilmam udelite andmete valideerimisega Arktikas kasutades votilderdluseks 2007 aastal laumlbi Arktika triivinud laeval TARA tehtud motildeotildetmisi

Juhendaja Erko Jakobson

MMM ndash Vaba bakalaureuse teema

14

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml viimase versiooni esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-failina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

15

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

16

Koduseks toumloumlks on grupi moodustamine ning grupitoumlouml tee ma vaumlljamotildetlemine kuid punkte selle eest ei saa

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Jaumlrelkontrolltoumlouml tulemused keskmine tulemus oli uumlsna hea maksimumpunkte ei tulnud kuid laumlbikukkujaid oli ka ainult uumlks Esines ka motildeningaid tuumluumlpvigasid mis vajavad selgit amist

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

3

4 Jaotustihedus on defineeritud jaumlrgnevalt pii rkondades x lt ndash1 ning x gt 1 on tema vaumlaumlrtus 0 vahemikus [ndash1 1] kirjeldab s eda funktsioon f(x) = cx4 Leia

a koefitsient cb jaotusfunktsioon vahemikus [1 2] (motildeeldud oli vahemik [ndash1 1])c keskvaumlaumlrtusd mediaane standardhaumllvef totildeenaumlosus et suumlndmus satuks piirkonda (0 15)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

4

6 6 Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgmise d keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Korrelatsioon 2 m ja 10 m tuule kiiruste vahel oli r(v2 v10) = 078

Parameeter ZZ on defineeritud kui 2 m ning 10 m tuule kiiruste korrutis

Leia a Parameetri ZZ parim hinnang (05p)b Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestamata (2p)c Parameetri ZZ m aumlaumlramatus korrelatsiooni arvestades (2p)

MMM ndash Jaumlrelkontrolltoumlouml analuumluumls

5

Grupitoumlouml

Eksamile paumlaumlsemise uumlheks eelduseks on grupitoumlouml tegemi ne grupi suurus kuni 5 tudengit Grupid moodustate ise Grupitouml ouml annab 10 eksamihindest

Grupitoumlouml uumllesandeks on motildeotildeta mingit vabalt valitud para meetrit kaumlepaumlraste vahenditega ning vormistada motildeotildetmistulemus koos motildeotildetem aumlaumlramatusega Iga grupis osalev tudeng peab motildeotildetmise vaumlhemalt kolm korda laumlbi viima seega peab olema kor ratud motildeotildetmiste arv vaumlhemalt 3 n kus n on grupi suurus Sotildeltumata kasutatud meetodist ning motildeotildetevahenditest tuleb tulemus esit ada SI uumlhikutes

Grupitoumlouml VIIMASE VERSIOONI esitamise taumlhtaeg on 29 apri ll kell 2355 Toumlouml tuleb esitada korralikult vormistatult pdf-f ailina Moodles

MMM ndash Grupitoumlouml

6

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

7

Vaatame konspektis uumlle teema ldquoMaumlaumlramatuse allikadrdquo

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

8

59 Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste kaumlsitlus (kaalutud keskmiste meetod)

Erinevate m aumlaumlramatustega motildeotildetetulemuste uumlhise keskvaumlaumlrtuse hinnanguks on sobiv kasutada kaalutud keskmist

kus gj on motildeotildetetulemuse yj kaal

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10

)(1

2j

j yug =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

9

Naumlide Meteomasti andmetest oli vaumllja arvutatud jaumlrgm ised keskvaumlaumlrtuse ning koondm aumlaumlramatuse vaumlaumlrtused 2 m tuule kiirus m(v2) =40 ms u(v2) =04 ms 10 m tuule kiirus m(v10) =60 ms u(v10) =03 ms Leia 2 m ja 10 m tuule kiiruse kaalutud keskmine nin g vastav standardm aumlaumlramatus

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =

sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

10

Naumlide Rahvusvahelise votilderdlusmotildeotildetmise kaumligus on 10 er inevat laborit kalibreerinud uumlhte ja sama motildeotildetevahendit samades motildeotilde tepunktides ning sarnastel keskkonnatingimustel Kalibreerimispara ndid koos laiendm aumlaumlramatustega usaldusnivool 95 on toodud allolevas tabelis Mis tuleks votildetta kalibreerimisparandi parimaks hinnanguks ning selle laiendm aumlaumlramatuseks milliste laborite motildeotildetetulemused lugeda korrektseteks ning millised ebakorrektseteks

Labor parand Laiendmaumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

11

Labor parand Laiendm aumlaumlramatus1 0245 00132 0240 00133 0230 00274 0280 00325 0248 00256 0250 00197 0352 00128 0355 00279 0210 007210 0253 0013

Keskmine 0266Standardhaumllve 0049

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

12

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

aritm keskm

aritm keskm - 2stdev

aritmkeskm + 2stdev

13

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed

Kaal keskm

Kaal keskm - U

Kaal keskm + U

14

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Labori number

Kal

ibre

erim

ispa

rand

andmed Kaal keskm

Kaal keskm2 Kaal keskm2 - U2

Kaal keskm2 + U2

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

15

Naumlide 51 Uumlhte ja sama keha kaaluti kotildeigepealt votilderd lusmeetodil votilderdotildelgse kaaluga ning siis otsehinnangmeetodil elek tronkaalugaMotildeotildetetulemused olid jaumlrgmised

m1 = 20039 g liitm aumlaumlramatusega u(m1) = 01 mg (votilderdotildelgne kaal)

m2 = 20052 g liitm aumlaumlramatusega u(m2) = 02 mg (elektronkaal)

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

sum

sum

=

=

sdot

= J

jj

J

jjj

g

yg

y

1

10)(

12

jj yu

g =sum=

=J

jjg

yu

1

0

1)(

16

Naumlide 51

MMM ndash Maumlaumlramatuse allikad

20036

20038

2004

20042

20044

20046

20048

2005

20052

20054

20056

0 1 2 3

data

kaalkesk

posstdev

minstdev

aritmkesk

17

Kodune test sulgub 24042011 kell 2355

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

OtildeIS tagasiside

ldquoStatistika puudub (Otildepetamise ja ainekursuste hindami se periood 0205201122052011 statistika naumlhtav alates 2 8062011)rdquo

Koduse testi analuumluumls

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendid

Motildeotildetevahendid jaotatakse viide ruumlhma

1 motildeotildedudbull uumlhevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks kaaluvihidbull mitmevaumlaumlrtuselised motildeotildedud naumliteks joonlauad takis tussalved

2 motildeotildeteriistad (motildeotildeturid)3 motildeotildetemuundurid4 abimotildeotildetevahendid5 motildeotildetesuumlsteemid votildei -kompleksid votildei seadeldised

Iga motildeotildetevahendi juurde kuulub pass ja rida dokumente mis normeerivad

bull motildeotildetepiirkonnabull motildeotildetediapasoonibull tundlikkusebull motildeotildetevea jne

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Motildeotildetevahendi taumlpsusklass on motildeotildetevahendi uumlldistatud karakteristik mis m aumlaumlrab tema suurima lubatava potildehi- ja lisavea aga samu ti teised taumlpsust motildejutavad omadused vastavalt motildeotildeteli ikidele kehtestatud standardile

Selleks uumlldistatud karakteristikuks votildeib olla

1 Absoluutpotildehiviga ∆0

2 Suhtpotildehiviga δ0

3 Taandpotildehiviga γ0

4 Konstandid e ja f

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

6

1 Absoluutpotildehiviga ∆0 Definitsiooni kohaselt on absoluutpotildehiviga maksimaalselt lubatud viga normaaltingimustel Absol uutpotildehiviga on alati positiivne suurus seejuures eeldatakse et motildeotilde detav suurus satub intervalli (ndash ∆0 ∆0) Kasutatakse peamiselt motildeotildetude puhul

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

Lisa 2 Vihtide lubatud vead

Tavaliste vihtide lubatud vead milligrammides [mg] (GOST 7328-65 jaumlrgi)

m 1 kl 2 kl 3 kl 4 kl 5 kl

50 g 012 06 3 30 300

20 g 008 04 2 20 200

10 g 005 025 12 12 120

5 g 003 016 08 8 80

2 g 0025 012 06 6 ndash

1 g 0015 008 04 4 ndash

7

2 Suhtpotildehiviga

Kui taumlpsusklass on suhtpotildehivea kujul siis on seadme esipaneelile votildei skaalale kantud taumlpsusklassi taumlhis (= suhtpotildehivea vauml aumlrtus) ringi sees Klasside taumlhised on siin informatiivsed Vene paumlritol u seadmetel votildeib olla suhtpotildehivea taumlhiseks ka venekeelne sotildena K ЛACC

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100oo

naumlitx

∆=δ

8

3 Taandpotildehiviga

Rotildehuva enamuse osutmotildeotildeteriistade puhul on kasutusel see karakteristik Seadme esipaneelile votildei skaalale on ka ntud taumlpsusklassi taumlhis (= taandpotildehivea vaumlaumlrtus) ilma ringita Naumliteks 05 votildei 10 jne

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

100norm

oo x

∆=γ

9

4 Konstandid e ja f kujul ef taandpotildehivea arvutamiseks valemist

NB Motildenikord antakse analoogilise valemiga ka motildeotildete riista suhtpotildehiviga Seetotildettu tuleb alati seadme passist lu geda mis veaga on tegemist

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

1naumlit

norm

minus+=

x

xfeoγ

10

5 Absoluut- ja suhtvea kombinatsioon Motildenikord kasuta takse digitaalsete motildeotildeteriistade taumlpsusklassi esitamisel kombinatsiooni absoluutveast ja suhtelisest veast

Naumlide 66 Digitaalse multimeetri viga antakse kujul

Selline esitusviis on praegu digitaalsete riistade pu hul kotildeige levinum

Sellist esitust tuleb motildeista jaumlrgmiselt Lugemi abso luutpotildehiviga on 025 lugemist pluss lugemi viimase kehtiva koha k aks uumlhikut

MMM ndash Motildeotildetevahendi taumlpsusklass

D2rdg 250 +=Taumlpsus

11

Loe ise konspektist lk 120 ndash 126

MMM ndash Motildeotildetevahendi metroloogilised omadused

12

MMM ndash Pendli naumlide

13

Grupitoumlouml

Grupitoumlouml on potildehimotildetteliselt arvestuslik ndash kui esitatud t oumlouml vastab kotildeigile esitatud kriteeriumidele siis saab selle ees t 10 punktieksamiarvestusse vastasel korral laumlheb toumlouml tagasi para ndamisele-taumliendamisele

On kergesti votildeimalik teenida lisapunkte

bull Vaumlhemalt kahe eriala esindajatest koosnev grupp (+1p )

bull Korreleeruvate sisendite kasutamine (kuni +5p)

bull Silmapaistvalt huvitav ning keeruline toumlouml (kuni ldquoArdquo il ma eksamita)

MMM ndash Grupitoumlouml

14

Kodune test sulgub 01052011 kell 2355

Tegemist on viimase koduse testiga

MMM ndash Kodune toumlouml

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

Loengute ajakava

9 mai ndash Kuumllaline Metroserdist eksami uumllesehituse tut vustamine grupitoumloumlde esitamine

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

Taumlnase loengu uumllesehitus

1 Kodune test tagasiside

2 Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

3 Grupitoumloumld uumlldine tagasiside

4 Grupitoumloumlde esitamine

MMM ndash Tagasiside

3

Motildeotildetevahendi kasutamistingimused

Normaaltingimused Toumloumltingimused Piirtingimused Saumlilitamise tingimused

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

4

Motildeotildedulindi taumlpsus

ldquoThe precision of our rules is within 02mmm (conform to ECII)rdquo

Kui joonlaudadel votildei motildeotildedulintidel pole taumlpsusklass i antud siis parema puudumisel tulekski eeldada et need vastavad ECII standardile

Motildeotildetes 30 m pika motildeotildedulindiga 24 m pikkust koridori on motildeotildedulindi veaks 48 mm motildeotildetes sama lindiga 30 cm pikkust pab erilehte on motildeotildedulindi veaks 006 mm

Kes leiab ja postitab esimesena foorumisse ECI ja E CIII klassi motildeotildedulindi taumlpsushinnangu viite saab preemiapunkte

MMM ndash Motildeotildetevahendid ja nende lubatud vigade normeeri mine

5

Senini oleme laumlhtunud olukorrast kus olemasolevatest andmetest laumlhtuvalt tuleb hinnata motildeotildetem aumlaumlramatust

Poumloumlrduumllesanne oleks selline kus antakse ette soovit ud motildeotildetem aumlaumlramatus ning sellest laumlhtuvalt planeeritakse milli ste motildeotildetevahenditega motildeotildeta ning mitu kordusmotildeotildetmist soori tada

motildeotildetmiste_planeeriminemcd

MMM ndash Grupitoumlouml poumloumlrduumllesande naumlide

6

bull Grupp 18 Kitarri haumlaumllestamine

bull Grupp 14 CD andmerajad

bull Grupp 1 Kaumlekoti rotildehk otildelale

bull Grupp 5 Kopsumaht

bull Grupp 24 Lift

bull Grupp 11 Emajotildee temperatuur

bull Grupp 4 Aumlmbri mahutavus

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

AS Metrosert teadus- ja arendusdivisjoni juht Toomas Kuuml barsepp

MMM ndash kuumllaline

3

Loengute ajakava

16 mai ndash Loengut ei toimu seoses otildeppusega ldquoKevadto rmrdquo

23 mai ndash Grupitoumloumlde esitamine eksamiks valmistumine

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

MMM ndash Tagasiside

4

MMM ndash maumlaumlramatuse vaumlhendamise nipp

5

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

6

Naumlidiseksam on Moodles uumlleval Viimane uumllesanne tule b uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

Koduste testide tagasiside

Maumlrkus 100 motildeotildetmise praktikumi toumlouml kohta

MMM ndash Naumlidiseksam

7

bull Grupp 19 Koridori pindala

bull Grupp 6 Patareide mahutavus

bull Grupp 9 OtildeIS uumlleslaadimise aeg

bull Grupp 15 Kuumluumlnlad

bull Grupp 10 Ajataju test

bull Grupp 22 NaHCO3 lahustumine

MMM ndash Grupitoumloumld

1

Motildeotildetmised ja motildeotildetem aumlaumlramatused

Measurements and uncertainties

Erko Jakobson PhD

2

1 eksamist

2 grupitoumloumlde laumlbivaatamine

3 tuumlnni uumllesanne

4 tagasisides esitatud kuumlsimused

5 konsultatsioon

MMM ndash Loengu uumllesehitus

3

EKSAMI AJAD

valida uumlks kolmest30 mai kell 1015 ndash 1200 ruum 160 06 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160 13 juuni kell 1215 ndash 1400 ruum 160

Jaumlreleksam27 juuni

Erandkorras saab eksamit teha juba teisipaumleval 2405 kell 1015 ndash 1200 ruumis 207

Naumlidiseksami 2 varianti on Moodles uumlleval Viimane uumll esanne tuleb uumlhe esitatud grupitoumlouml baasil

MMM ndash Tagasiside

4

Toumloumlde esitamisel votildeiks faili nimi olla votildeimalikult informatiivne

bull millega on tegu motildeistetavalt nii toumlouml esitaja kui ka vastuvotildetja jaoks

bull jaumlrjekorra number et oleks uumlheselt aru saada milline on viimane versioon

MMM ndash Grupitoumloumld

5

bull Grupp 27 Porgandbull Grupp 28 Plaumlhviga pikkusbull Grupp 21 Korruse kotildergusbull Grupp 13 Soolalahuse tihedusbull Grupp 12 Raha pindtihedusbull Grupp 26 Inimkotilderva tundlikkusbull Grupp 07 Rosinadbull Grupp 08 Kaltsiumkloriidi moolide arvbull Grupp 23 Fuajee pikkusbull Grupp 30 Laua pindala prillidegabull Grupp 16 Pulss ja hinge kinnihoidminebull Grupp 02 Kaumlelaba pikkusbull Grupp 03 Riisitera motildeotildetminebull Grupp 20 Laibameetodbull Grupp 25 Piima massbull Grupp 17 Snikers

MMM ndash Grupitoumloumld

6

Naumlidisuumllesanne selle kohta et mitte kotildeik uumllesanded ei ole lihtsad

Silindrikujuline horisontaalne kuumltusetuumlnn on osalisel t kuumltust taumlis Tuumlnni pikkus on l m aumlaumlramatusega u(l) ning laumlbimotildeotildet d m aumlaumlramatusega u(d) Allesoleva kuumltuse hulga motildeotildetmiseks asetatakse tuumlnni puupulk ning siis motildeotildedetakse kui paks kiht kuumltust on paks us h maumlaumlramatusega u(h)

Leida arvutusvalem kuumltuse koguse ning selle m aumlaumlramatuse jaoks

MMM ndash Lisauumllesanne kodus proovimiseks

hl

d

7

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kuidas arvutada vabadusastmeid WelchndashSatterthwaitei valemiga kui motildeni m aumlaumlramatuse komponent sisaldab korrelatsioonikordajat Oma toumloumls jaumltsin selle liikme lihtsalt arvestamata kuid pole kindel kas see on otildeigustatud (konspektis on mainitud ainult seda et sisendsuurused peavad olema sotildeltumatud jaumlrelikult oleks pidanud ka korreleeruvad sisendsuurused vabadusastmete arvutamisel aumlra jaumltma)

kuidas arvestada regressioonisirge totildeusu ja vabaliikm e maumlaumlramatuste arvutamisel motildeotildetevahendist tingitud B-tuuml uumlpi maumlaumlramatusi Totildeenaumlosusteooria ja statistika konspekti s on kirjas standardhaumllbe arvutamise valemid ning need standardhaumll bed on maumlaumlramatuse arvutamisel laumlbi korrutatud Studenti t-kordaj aga See nagu viitaks sellele et arvutatud standardhaumllve (A- tuumluumlpi maumlaumlramatus) on votildeetud votilderdseks liitm aumlaumlramatusega ning B-maumlaumlramatus on arvestamata jaumletud

MMM ndash Tagasiside

88

Estimation of intercept and slope (KampF p63)

We donrsquot prove that coefficients a and bare as follows

n

ss

ns

D

yxyxnb

D

xyxxya

xxnD

aver

n

ii

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iii

=

minus=

sdotminussdot

=

sdotsdotminussdot

=

minussdot=

sum

sum sum sum

sum sum sum sum

sum sum

=

= = =

= = = =

= =

21

2

1 1 1

1 1 1 1

2

1

2

1

2

ε

y = -00004x + 09376Rsup2 = 05902

074

076

078

080

082

084

086

088

090

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Korrelatsioon r

Jaamade vaheline kaugus (km)

Sadestatava vee W korrelatsioon sotildeltuvalt jaamade vaheliselt kaugusest r

D

nss

D

xss

b

n

ii

a

sdot=

sdot=sum=1

2

9

Moodles saadeti jaumlrgmine tagasiside

kui vaumlljundsuuruse arvutamisel on kasutatud mingi ka he korreleeruva sisendsuuruse alusel koostatud regressioon isirge totildeusu siis kas vaumlljundsuuruse vabadusastmete arvutamisel votilde ib totildeusu maumlaumlramatuse komponendi vabadusastmete arvuks votildetta ne nde sisendsuuruste motildeotildetmiste arvu miinus kaks (st kui vas tavate sisendsuuruste motildeotildetmiste arv on N siis regressioonisirg e totildeusu maumlaumlramatuse komponent jagatakse W -S valemis laumlbi (N-2)ga)

konspekti lotildepus on toodud naumlide kaalutud keskmiste arvutamisest Kas sama suuruse erinevate m aumlaumlramatuste kattumise votilderdlemisel arvestatakse vaid nende standardm aumlaumlramatusi

kas vaumlljundsuuruse m aumlaumlramatust (arvutatakse osatuletiste ja asjadega) nimetatakse B-tuumluumlpi m aumlaumlramatuseks

MMM ndash Tagasiside

10

Kuumlsige kotildeige kohta mis on jaumlaumlnud segaseks eksamil kuumlsin juba mina

MMM ndash Konsultatsioon