16. Varda Stabiilsus

1

1

LoengukursusTehniline mehaanika IITehniline mehaanika II

8. Loeng

Varda Varda stabiilsusstabiilsus

2

16. Varda stabiilsus

Mõlemast otsast liigenditele toetatud vardale mõjub tsentriliselt rakendatud jõud F.

�

16.1 Nõtke ja kriitiline koormus

1. Tugevustingimuse rahuldamiseks peab olema tagatud:

��

� σσ ≤= �� =kus

2. Jäikustingimuse rahuldamiseks peab olema tagatud:

��

�� Λ≤=Λ

3

Isegi siis, kui koormus F on tugevus-ja jäikustingimuste kohaselt lubatav, võib varras kaotada stabiilsuse jaseega ka kandevõime.

� �

Surutud varda nõtke

Seda nimetatakse nõtkeks, mille tagajärjel varras saavutab uue tasakaaluseisundi, kuid sellega kaasnevad suured siirded,on võimalik plastsete deformatsioonide teke ja purunemine.

4

Teisi stabiilsuse kao näiteid

surutud post surutud sõrestiku varras

2

5

Tasakaaluseisundid

stabiilne indiferentne labiilne

Stabiilses tasakaaluasendis kuuli potentsiaalne energia on minimaalne, labiilses aga maksimaalne.

Stabiilses tasakaaluasendis väike häiring ei vii kuuli tasakaaluasendist välja, labiilses aga viib.

6

Tasakaaluseisundid - pendel

F

φ

F

φ=0°

stabiilne

F

φ=180°

labiilne

7

Kriitiline jõud – vähim jõud, mille juures on võimalikstabiilsuse kadu.

stabiilne

��

indiferentne

��

labiilne8

Stabiilsustingimus

Olgu surutud sale varras konstruktsioonielemendiks. Selle elemendi kandevõime on tagatud siis, kui on täidetud tugevus- ja jäikustingimused, ja kui varda koormus ei ületa kriitilist väärtust

��

�� ≤

kus S on nõtke varutegur.

3

9

Stabiilsuse kadu paindel - kiive

�� >10

16.2 Euleri kriitiline jõud

�

x

z

�

x

w(x)

Euleri ülesanne: olgu mõlemast otsast liigenditele toetatud ümara ristlõikega vardale rakendatud kriitiline jõud Fcr.

Varras nõtkub ja saab uue tasakaalu asendi. Määrame Fcrtingimusest, et uues tasakaaluasendis vardas mõjub paindemoment

�� =

11

�

x

z

�

x

w(x)

Eeldame, et deformatsioonid on elastsed.See võimaldab kasutada elastse joone diferentsiaalvõrrandit. Pannes paindemomendi avaldise elastse joone diferentsiaalvõrrandisse, saame

��

��

��

�

�� −=−=

�� =+ ��

ehk teisiti

kus

��

�

�� =

12

�

x

z

�

x

w(x)

Saime nõtkunud varda elastse joonediferentsiaalvõrrandi, mis on hästi tuntud, ja mille üldlahend on

�� =+ ��

Integreerimiskonstandid C1 ja C2leitakse rajatingimustest:

�� +=

kui x=0, siis �� =�

�� ==+= ��

4

13

�

x

z

�

x

w(x)

�� == ��

kui x=�, siis �� =��

Saadud võrrandil on kaks võimaliku lahendit

� =� ja �� =��

millest esimene vastab varda sirgele seisundile, mis ei ole kooskõlas ülesande sisuga.

14

�

x

z

�

x

w(x)

Teine lahend

kus n on meelevaldne täisarv. Asendades k tema avaldisega saame

�� =��

annab seose

�π�� =

�π��

�� =

15

�

x

z

�

x

w(x)

Siit saame

��

��

�

� ��

π=

Valemis n=1,2,3,…Kõige väiksemaks kriitiliseks jõuks on see, mis vastab n=1:

��

�

�

� �

π=

See on Euleri kriitiline jõud,millele vastab elastne joon:

��

��π=

16

Kriitilise jõu sõltuvus toesidemetest

Konsoolvarras nõtkumisel paindub nii nagu kahe liigendotsaga varda ülemine pool.

FcrFcr

Fcr

��

�

Siis konsooli kriitiliseks jõuks on

( ) ��

�

�

�

� �

π=

ehk�

�

�

��

�

� �

π=

kus�� =

on efektiivne ehk nõtkepikkus.

��

5

17


��

��

��

�

FcrFcr Fcr Fcr

Igal varda kinnitusel on oma nõtkepikkus �� µ=

�=µ =µ ��=µ ��=µ

��

18


Nüüd saame anda Euleri kriitilise jõu valemile üldisema kuju

��

�

��

�

� �

π=

kus

�� µ=

Euleri kriitilisele jõule vastava pinge leiame valemiga

��

�

��

�

�

�

��

πσ ==

19

��

�

�

��

�

�

λπππσ �

�

��

��

�

��

===

Kasutades inertsiraadiust ��

� =

anname Euleri kriitilise pinge valemile kuju

Siin�

��=λ on varda saledus.

Saledus kasvab varda pikkuse suurenemise ja ristlõike mõõtmete vähenemise korral.

20

Kui varras on mõlemas peatasandis kinnitatud ühesuguselt, siis valemites tuleb kasutada inertsimomendi minimaalset väärtust.

Kui aga varras peatasandites on kinnitatud erinevalt, siis valemites on lihtsam kasutada saleduse maksimaalset väärtust.

��

��

�

λπσ �

=

��

��

�

��

�

� �

π= ��

� =σ

6

21

Näide 1.: surutud saleda posti dimensioneerimine

Alumiiniumpost on on surutud jõuga F. Posti ülemise otsa liikumist y - telje sihis tõkestavad plaadid.

�

F

��

1. Leida suhe b/h, mille juures post töötab kõige efektiivsemalt nõtkumisele.

�� =

�� =

2. Dimensioneerida posti.

��=�

� �� =

�� 22

�

F

��

1. Kõige parem ristlõige on see, mille juures nõtkumise oht mõlemaspeatasandis on sama. See tähendab seda, et mõlemas peatasandis vardal peavad olema võrdsed saledused.

Peatasandis x-z:

�� == µ

� �

�� = �

� �

�

��

��

�

�

�

� ===

�

�

�

�

�

��

�

�� ==λ

LAHENDUS:

23

�

F

��

Peatasandis x-y:

�� == µ

� �

�� = �

� �

�

��

��

�

� �� ===

�

�

�

�

�

��

�

�� ==λ

Et saledused kahes tasandis peavad olema võrdsed, siis

�� λλ =�

�

�

� �� = � ��

�� ==�

�

24

2. Posti dimensioneerimine.

�

F

��

��

� !"� �# �� ===λ

�� =⋅==

Leiame kriitilise jõu korrutades tegeliku koormuse varuteguriga

� ��

��

��

�

�

�

⋅===σ

Siis vastav kriitiline pinge on

7

25

�!"�

��

�$�

�

�

��

⋅== πλ

πσ

Samas kriitiline pinge on

�

F

��

�

�$�

�

!"�

��

��

��

�

⋅=⋅ π

Siit saame võrrandi kõrguse h leidmieks

�� "��"��

!"� ��#

$�

�

==⋅

⋅⋅=π

�� ==26

16.3 Euleri valemi kehtivuspiir

Kuna Euleri valemi tuletamisel lähtuti Hooke’i seaduse kehtivusest, siis arvutatav kriitiline pinge ei tohi ületada materjali proportsionaalsuse piiri.

Madalsüsinikuterase puhul �� =

�� =σ

�� =σ

27

��

�

�

� σλ

πσ ≤=

Siis pinge peab olema

kust leiame, et Euleri piirsaledus

� ��

��"

$��

≈⋅

⋅==≥ πσπλλ

�

�

Seega Euleri valem on kasutatav ainult suurte saleduste juures,

� ��≥λ28

Samas väikeste saleduste juures nõtkumise ohtu ei ole ja varda arvutatakse ainult tugevusele.

Erinevad saleduse piirkonnad ja nendele vastav arvutusmetoodika on toodud järgneval joonisel.

Suurte ja väikeste saleduste vahel on nn. keskmised saledused, kus Euleri valemit kasutada ei saa, ning arvutusteks kasutatakse teisi meetodeid. Suurem osa konstruktiivseid elemente satub just keskmiste saleduste piirkonda.

8

29100 200

λλλλ

σσσσcr

MPa

100

200sy=235

λλλλ−−−−σσσσ diagramm madalsüsinikuterasel

Euleri hüperbool

voolepiir

väike λλλλ keskmine λλλλ suur λλλλ 30

��

�� !��

% &�� "�# $ �

( )$��

� �

�

=

==

��

��"

� ��

�

σσπσ

% &�� "�# % �

( )

�

�

�

!

�

!

�

�

�

��

��

�−+=

=��

�

�−=

�

�

��

�&

�

"

�

"��

��

" σσσσ

% &�� "�# ' �

&&

��

σπσσ�

�� ==

AISC arvutusmetoodika.

Valemites FS on varutegur (safety factor).

��

31

16.4 Nõtketegur

Selles jaotises vaadeldav arvutusmeetod kehtib kõikide saledustejuures.

Seame vardale stabiilsustingimuse kriitilise pinge abil

��

��

� σσσ =≤=

Kus S on varutegur ja σa,s – lubatav pinge nõtkel. See lubatav pinge ei ole konstantne antud materjali juures, vaid on saledusest sõltuv suurus.

32

Väljendame lubatava pinge nõtkel

�� ϕσσ =

kus φ<1 on dimensioonitu tegur, mis sõltub saledusest λ ja kannab nimetust nõtketegur.

Siis stabiilsustingimus saab kuju

��

� ϕσσσ =≤=

On näha, et tegemist on tugevusarvutusega kasutades vähendatud lubatava pinge väärtust.

9

33

Nõtketeguri φφφφ väärtusi Materjal - madalsüsinikuteras.

0,7580

0,6990

0,60100

0,8170

0,8660

0,8950

0,9240

0,9430

0,9620

0,9910

1,000

φλ

0,21190

0,19200

0,23180

0,26170

0,29160

0,32150

0,36140

0,40130

0,45120

0,52110

φλ

Nõtketegur näitab mittukorda tuleb vähendadalubatavat (surve)pingetselleks, et oleks täidetudstabiilsustingimus.

34

Projekteerimisnormides nõtketeguriarvutatakse sõltuvalt tingsaledusestja nõtkeklassist.

�

� ��βπλλ =

35

Nõtkeklassi määramine Nõtketegur χχχχ

36

Näide 2: stabiisuskontroll nõtketeguri abil

Teraspost on on surutud jõuga F=250 kN. Anda hinnang posti stabiilsusele, kuiterase lubatav pinge σa=160MPa.

�=1,

5m

F=250kN

�=120mm

�=60mm

z

y

10

37

�=1,

5m

F=250kN

�=120mm

�=60mmz

y

Kontrollime, kas stabiilsustingimus

��

��σσ ≤=

on täidetud.

Leiame varda minimaalne inertsuraadius

��

��

��

�

�

� �

��

"�

�

�

��

===

====

LAHENDUS:

38

�=1,

5m

F=250kN

�=120mm

�=60mmz

y

Varda minimaalsele inertsiraadiuselevastab maksimaalne saledus

� � � �

�� =⋅===�

�

�

�

�

�� µλ

0,23180

0,26170

φλ

Interpoleerides leiame tabelist nõtketeguri

�� !�

�"�� "�� =−

−−+=ϕ

39

�=1,

5m

F=250kN

�=120mm

�=60mmz

y

Seega lubatav pinge stabiilsusarvutuses

�� #� "�� =⋅== ϕσσ

��

�� #

�"� ��

��"

=⋅⋅

⋅== −σ

Leiame tegeliku pinge postis

Kuna

�#�� # � �� =<= σσ

siis posti stabiilsustingimus on täidetud.40

Näide 3: lubatava koormuse leidminenõtketeguri abil

Leida eelmise näite jaoks lubatav koormus.

�=1,

5m

F-?

�=120mm

�=60mmz

y

��

� ϕσσσ =≤= �

Avaldame jõu stabiilsustingimusest

LAHENDUS:

��

��

��!!

� "� � ��"�� ""

==⋅⋅⋅⋅⋅=≤ −σϕ

Vastus: lubatav koormus on Fa=288kN.

11

41

�#�#

� ��"��

$�

�

�

��

� �

��

=⋅⋅⋅== ππ

Võrdluseks võime arvutada kriitilise jõu Euleri valemiga. See on võimalik, kuna λ=173 >100.

Järelikult varuteguriks on

�"�� !!

#�# ==�

42

�=8m

F=1MNValida posti jaoks laia vööga I-teras(HD-tüüp) , kui terase lubatav pingeσa=160MPa. Post on mõlemast otsastjäigalt kinnitatud.

��

� ϕσσσ =≤= �

Stabiilsustingimuses on tundmatud nii A kui ka φ. Dimensioneerimise ülesannetlahendtakse proovimise teel.

Näide 4: terasposti dimensioneerimine

tugev telg

nõrk telg

43

�=8m

F=1 MN LAHENDUS:

Pindala A ligikaudseks hindamiseksoletame, et φ=0,5.

��

"

"

�� "��

��

��

�

=⋅⋅

=≥ϕσ

��

� ϕσσσ =≤= �

1. lähendus

44Tabelist valime HD 260x114 profiil, mille minimaalne inertsiraadiusiz=6,66 cm.

12

45

�"�""�"

!�� =⋅===�

�

�

�� µλ

Stabiilsust tagav pinge �� "� � "�!"�� =⋅== ϕσσ

Tegelik pinge ��

�"�"!

�� #�

�#

"

=⋅

== −σ

Tegelik pinge on lubatavast palju väiksem – valime väiksema profiili.

Valime tabelist nõtketeguri

!"��=ϕ0,8170

0,8660

φλ

46

2. lähendus

Tabelist valime HD 260x54,1 profiil, mille minimaalne inertsiraadiusiz=6,36 cm.

47

$�"� "�"

�� =⋅===�

�

�

�� µλ


Stabiilsust tagav pinge �� " "�!�� =⋅== ϕσσ


�� #�

�$��"!

�#

"

=⋅

== −σ

Tegelik pinge on lubatavast suurem – valime suurema profiili.

0,8170

0,8660

φλ( ) !��"�$�"�

"��

!"��! ��!"�� =−

−−+=ϕ

48

3. lähendus

Tabelist valime HD 260x68,2 profiil, mille minimaalne inertsiraadiusiz=6,50 cm.

13

49

��" ��"

�� =⋅===�

�

�

�� µλ

Stabiilsust tagav pinge �� " "�!�� =⋅== ϕσσ


��

�!��!"

�#

"

=⋅

== −σ

Lõplikult valime profiili HD 260x68,2.


0,8170

0,8660

φλ( ) !��"��"

"��

!"��! ��!"�� =−

−−+=ϕ

50

16.5 Pikipõikipaine

xA B

'

�

p

w0(x)

Olgu sirge varras koormatud ühtlase põikikoormusega p

siis varda elastse joone w0(x) diferentsiaalvõrrand avaldub kujus

Olgu paindemoment põikikoormusest M0(x),

�� −=

51

xA B

'

�

p

Kui varras on samaaegselt koormatud ka pikijõuga F, siis pikijõud kutsub esile täiendava läbipaindumise.

w (x)

F

Nüüd paindemoment põiki- ja piki koormusest on

�� +=

( )�� +−=

ja varda elastse joone w (x) diferentsiaalvõrrand avaldub kujus

52

Arvestades, et �� −=

( )�� +−=

saame

�� −=

Kuna elastse joone kuju nii pikikoormusega, kui ka ilma on lähedane sinusoidile, siis võime esitada läbipainded avaldistena

��

��

π= ��

��

π=

kus f0 ja f on tundmatud kordajad, sisuliselt on nad aga läbipainded varda keskel (maksimaalsed läbipainded).

14

53

��

��

π=

��

��

π=

Kui nüüd paneme siirete avaldised elastse joonediferentsiaalvõrrandisse, siis

�� −=

��

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

πππππ −−=−

��

�

��

�

��

� ��

� � += ππ

54

��

�

��

�

��

� ��

� � += ππ

��

�

��

�

��

��

ππ =��

��

�−

Ning arvestades, et ��

�

�

� �

π=

leiame siirde avaldiseks�

�

�

�

��

−=

55

�/2A B

'

�

p

f

F

Siirete valemi analüüs

�

f0

�

�

�

�

��

−=

Mida lähemal on pikijõud kriitilisele jõule, seda suuremaks kasvab läbipaine varda keskel (maksimaalne siire).

56

�

�

�

�

��

−=

Valemit saab kasutada ka teiste varda kinnituste korral valides vastava kriitilise jõu. Siis f ja f0 on maksimaalsed siirded.

F

p��

p

15

57

Pingete arvutamine pikipõikipaindel

�/2A B

'

�

p

f

F

�

f0

�� +=

��

��

(

��

(

�

�

�

(

��

(

��

�

� ++=++=σ

Maksimaalne survepinge leitakse pikkepinge ning paindepinge summana. Paindepinge koosneb põiki- ja pikikoormuse panuste summast.

58

16.6 Saleda varda ekstsentriline surve

Fe

x

z

Ekstsentrilisel survel mõjuvad vardas pikijõud N= -F ja paindemoment M0= -Fe.Varda kõverdumise tõttu suureneb koormuse õlg ja tekib täiendav läbipaine.

Tegemist on pikipõikipainde erijuhtumiga, kus põikikoormuseks on paindemoment.w (x)

f

�

�

�

�

��

−=

Maksimaalse läbipainde leiame varem pikipõikipaindel saadud valemiga

59

Fe

x

z

Toeristlõikes tekib maksimaalne paindemoment

( )�� +=+=

f

ning suurim survepinge

�

��

��

� ++=(

�

(

�

��σ

60

Fe

x

z

f

Surutud varda vaba otsa siirde sõltuvuskoormusest erineva ekstsentrilisuse korral

f

F

Fcr

e=0

e1

e2

e2>e1

16

61

16.7 Saleda varda arvutus paindemomendile(kiive)

Tavaliselt koormatakse tala tematugevamas peatasandis ja tala telgkõverdub samas tasandis

F

Kõverdumisel varras saab uuetasapinnalise tasakaalukuju.

�

F

62

Koormuse kasvades tasapinnaline tasakaalukuju võib osutuda labiilseks. Stabiilsuse kaole vastavatdeformeerumist nimetatakse kiiveks.Kiivel varras paindub kahes peatasandis ja väändub.

F

Kiivumise oht on eeskätt kõrgetel jakitsastel taladel. Põhjus – väike paindejäikus külgsihis ja väike väändejäikus.

63

Tuletame kiivele vastava kriitilise koormuse koondatud momentidega koormatud varda näitel.Telje pöördenurkadeks on väändenurk φx ja paindenurk φzhorisontaaltasandis.

��

��

��

φφφφx

xφφφφz

z

64

��φφφφx

x

φφφφz z

x1 z1

y

ja väändemoment

T=Mx1=��sinφz≅≅��φz

Projekteerides momentvektorideformeerunud varda telgedele x1 ja z1leiame, et paindemoment

M=Mz1=-��sinφx ≅≅-��φx

17

65

��

φφφφx

x

φφφφz z

x1 z1

y�� φφ �−==

�� )� φφ �==

Kuna kehtivad diferentsiaalseosed

siis elimineerides φz kahestvõrrandist saame ühe

��

�

� � �

�

�=

�� =+ �� φφ

kusT

M

66

�� =+ �� φφ

�� +=φ

Saadud võrrand on sama, mis varem saadud nõtkel. Lahendiks on

Rajatingimusteks on: �� =�φ �� =��φ

kust leiame, et �� =� ja �� =��

�� =�� π�� =Peab olema täidetud järelikult

67

Vähim nullist erinev kriitiline moment on, siis kui n=1

��

� � ��

�

�== π

�π=��

��

�

π=�

See on kiivele vastav kriitiline moment. Valemit saab kasutada ka teiste varda otste kinnitustega, kui kasutada �ef.

Teiste koormuste tüüpidele vastavad valemid saab leida kirjandusest.

J. Metsaveer, U. Raukas. Saleda varda arvutus. Varda kandevõime ja dünaamika. TTÜ kirjastus, 1999.

68

Loengu kokkuvõte

2. Kriitiline jõud – vähim jõud, mille juures on võimalik stabiilsuse kadu.

1. Isegi siis, kui koormus F on tugevus- ja jäikustingimuste kohaselt lubatav, varras võib kaotada stabiilsuse ja kandevõime.

3. Euleri valem on kasutatav ainult suurte saleduste juures � ��≥λ

16. Varda Stabiilsus

Documents

Transcript of 16. Varda Stabiilsus