Ensayo PSU a _ Soluciones

S i m u l a c r o

1111. Sean aaaa y bbbb dos números enteros tales que aaaa > 0000 y bbbb = –aaaa. ¿Cuál(es) de las expresiones

siguientes es(son) menor(es) que bbbb?

I. ––––aaaa +

aaaa

bbbb

II. aaaa ++++ bbbb

III. aaaa

–––– 2222bbbb 2222

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

2222. Al multiplicar los dos tercios del cuadrado de 6666 por los tres octavos del cubo de 4444, se

obtiene

A) 12121212 B) 36363636

C) 48484848

D) 576576576576

E) 1111.296296296296

3333. Los números ganadores en un juego de azar fueron 8888; 9999; 17171717; 26262626; 30303030 y 34343434. En el sorteosiguiente, los números ganadores se formaron al sumar 2 a los pares y –3 a los impares

del sorteo anterior. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. Hay sólo 2222 números impares en el nuevo sorteo. II. Los números del nuevo sorteo son todos pares.

III. En el nuevo sorteo hay 2222 números múltiplos de 7777.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005

Matemática 2 0 0 5

4444. En el conjunto de los números enteros, en la operación resta, ¿cuál de las siguientes

propiedades se cumplen?

I. Clausura ((((si aaaa ∧ bbbb ∈ ZZZZ ⇒ ((((aaaa –––– bbbb)))) ∈ ZZZZ)))) II. Asociatividad ((((aaaa –––– [[[[bbbb –––– cccc]]]] ==== [[[[aaaa –––– bbbb]]]] –––– cccc))))

III. Conmutatividad ((((aaaa –––– bbbb ==== bbbb –––– aaaa))))


C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

5. En la figura, la distancia entre los puntos P y S es 35 cm, entre Q y S es25 cm y entre P y R es 17 cm. ¿Cuál es la distancia entre Q y R?

A) 7777 cm B) 8888 cm

C) 9999 cm

D) 10101010 cm

E) 18181818 cm

PPPP QQQQ RRRR SSSS

6666. Dada la suma 0000,0000xxxx + 0000,0000xyxyxyxy

0000,124124124124 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

A) yyyy es el triple de xxxx B) xxxx es la mitad de yyyyC) xxxx es el triple de yyyyD) xxxx = yyyy + 2222

E) yyyy = xxxx + 2222

CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 3

S i m u l a c r o

7777. Si la mitad de un medio se divide por un medio, resulta

A) 4444

B) 2222

C) 1111 2222

D) 11114444

E) 1111 8888

8888. Sean pppp > 3333 y mmmm < –2222, con pppp y mmmm números enteros. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes

es(son) siempre VERDADERA(S)?

I. pppp •••• mmmm < 0000 II. pppp –––– mmmm > 0000

III. pppp ++++ mmmm = 1111


C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

9999. Si 1111 · 5555 1111

= 6666, entonces xxxx =xxxx

A) – 9999 8888

B) – 88889999

C) 8888 9999

D) 9999 8888

E) 18181818 5555

3333


Matemática 2 0 0 5

10101010. Si cccc # bbbb = ccccbbbb – bbbb, entonces 2222 # –1111 vale

A) – 3333 2222

B) – 1111

C) –

11112222

D) 0000

E)

3333 2222

11111111. Al reducir la expresión 3333 ((((2222 + 3333 )))) ⋅ 3333 ((((2222 − 3333 )))) ésta es equivalente a

A) – 1111

B) 1111

C) 2222

D) 3333√√√√7777

E) 2222 · 3333√√√√3333

12121212. Si mmmm = –1111, entonces (–mmmm)3333 + 3333mmmm =

A) – 6666B) – 4444

C) – 2222

D) 0000

E) 4444

13131313. Al simplificar3333√√√√

8888 · 3333√√√√

88880,1250,1250,1250,125 ésta es igual a

A) – 10101010B) – 1111

C) 0000,1111

D) 1111

E) 10101010


S i m u l a c r o

14141414. ¿Cuál es el valor de 10101010xxxx5555 + 9999xxxx4444+ 8888xxxx3333 + 7777xxxx2222 + 6666xxxx + 5555, si xxxx toma valor –1111?

A) – 12121212B) – 3333

C) 13131313

D) 20202020

E) 45454545

1111 2222 15151515. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene el conjunto 0000,,,, ,,,, cuando nnnn toma los

valores 1111, 2222 y 3333?

I. nnnn ---- 1111 2222nnnn

II. nnnn ---- 1111

nnnn2222

III. 1111

- 1111

4444

9999

nnnn nnnn2222

A) Sólo en I B) Sólo en II

C) Sólo en III

D) Sólo en II y en III

E) En I, en II y en III

16161616. Determine el valor de xxxx en la siguiente expresión 2222xxxx ---- 6666

= 2222xxxx ---- 12121212

A) – 1111

B) – 3333 10101010

C) 0000

D) 3333 10101010

E) 1111

2222xxxx ---- 4444 2222xxxx ---- 8888


Matemática 2 0 0 5

17171717. Sabiendo que aaaa ---- bbbb

= 2222, ¿cuál(es) de las expresiones es(son) igual(es) a cero?aaaa ++++ bbbb

I. aaaa + 3333bbbb

II. 3333 abababab + aaaa2222

III. abababab + 3333bbbb2222

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

18181818. ¿Cuál es el valor de xxxx en el siguiente sistema?

xxxx + yyyy + zzzz = 1111

xxxx − yyyy + zzzz = 1111

2222xxxx − 1111 + zzzz = 2222

A) – 1111

B) 2222 3333

C) 1111

D) 3333 2222

E) 2222

19191919. Si AAAA gana el doble de lo que gana BBBB y BBBB la mitad de lo que gana CCCC, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. AAAA gana lo mismo que CCCC. II. AAAA y CCCC juntos ganan 4444 veces lo que gana BBBB.

III. BBBB gana la quinta parte de la suma de los tres sueldos.

A) Sólo I y II B) Sólo I y III

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas


S i m u l a c r o

20202020. Si una ficha verde equivale a dos azules y 3333 verdes equivalen a 5555 blancas, ¿cuál es el menor

número de fichas blancas cuyo valor sobrepasa a la suma entre una ficha verde y una azul?

A) 2222B) 3333

C) 5555

D) 6666

E) 7777

21212121. Juan gana la mitad de lo que gana Diego. Cada uno deposita mensualmente el 25252525% de su

sueldo para comprar casa. Si entre los dos ganan $6666tttt mensualmente, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. En conjunto, en un año depositan $ 18181818tttt. II. En 8888 meses Diego ha depositado $ 8888tttt. III. En un año Juan ha depositado $ 6666tttt.

A) Sólo II

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

22222222. Si el 75757575% de 0000,025025025025 es igual a (pppp · 10101010–3333), entonces el valor de pppp es:

A) 0,18750,18750,18750,1875B) 1,8751,8751,8751,875

C) 18,7518,7518,7518,75

D) 187,5187,5187,5187,5

E) 1875187518751875

23232323. El 20202020% de 500500500500 es equivalente al

A) 10101010% de 10.00010.00010.00010.000 B) 200200200200% de 5.0005.0005.0005.000

C) 50505050% de 200200200200

D) 25252525% de 4.0004.0004.0004.000

E) 100100100100% de 10101010


Matemática 2 0 0 5 24242424. En un curso de 36363636 alumnos, la mitad son hombres, la sexta parte de las mujeres son altas y

la tercera parte de los hombres son bajos. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)

VERDADERA(S)?.

I. Hay exactamente 12121212 hombres que no son bajos.

II. Hay exactamente 3333 mujeres que son altas.

III. Hay exactamente 12121212 mujeres que no son altas.


C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

25252525. Si se sabe que aaaa

= <bbbb

= cccc

= kkkk, con kkkk un número real, tal que a,a,a,a, bbbb,,,, c,c,c,c, d,d,d,d, e,e,e,e, ffff son númerosdddd eeee ffff

naturales, entonces siempre se cumple(n)

I. aaaa ++++ bbbb ++++ cccc dddd ++++ eeee ++++ ffff

II. aaaa ++++ bbbb ++++ cccc aaaa ++++ bbbb aaaa dddd ++++ eeee ++++ ffff dddd ++++ eeee dddd

III. aaaa ++++ bbbb

= bbbb ++++ cccc

dddd ++++ eeee eeee ++++ ffff


C) Sólo III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

26262626. Para un picnic hay comida suficiente para alimentar a 20202020 adultos o bien para alimentar a 32323232niños. Si al picnic asisten 15151515 adultos, ¿cuál es el número máximo de niños que podrían asistir

para los cuales habría comida?

A) 5555 B) 8888

C) 20202020

D) 24242424

E) 27272727


S i m u l a c r o

27272727. Raúl y Pedro deben tomar cada uno de ellos tres y media tabletas del mismo medicamento diariamente, el que se vende sólo en cajas que contienen 3333 tabletas cada una. Si Raúl debe

tomar el medicamento durante 12121212 días y Pedro durante 6666 días, ¿cuántas cajas consumieron

en total entre ambos?

A) 18181818 B) 19191919

C) 21212121

D) 27272727

E) 31313131,5555

28282828. Determine el intervalo solución de la siguiente inecuación –3333xxxx + 1111 < 7777

A) ]–2222, +∞[

B) ]–∞, 2222[

C) −∞,,,,

8888

3333

D) −∞,,,, −

8888

3333

E)

8888 8888 − ,,,, 3333 3333

29292929. Si gggg(xxxx) = xxxx – 2222 y hhhh(xxxx) = xxxx2222 –2222xxxx + 2222, entonces gggg (hhhh(xxxx)) es

A) xxxx3333

B) xxxx2222

C) xxxx(xxxx – 2222)

D) xxxx2222 + 2222xxxxE) xxxx2222 – 2222


Matemática 2 0 0 5

30303030. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función ffff(xxxx)?

I)yyyy

xxxx

II)yyyy

xxxx

III)yyyy

xxxx


C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

31313131. Sea ffff(xxxx) = axaxaxax + 5555; si xxxx = 8,8,8,8, entonces ffff(xxxx) = 0000. El valor de ffff(5555) es

A) 0000

B) 15151515 8888

C) 5555

D) 8888

E) 65656565 8888

32323232. Dada una ecuación cuadrática cuyo discriminante es uno, entonces se puede determinar

que

A) no tiene raíces reales. B) tiene dos raíces reales y distintas.

C) tiene dos raíces reales e iguales.

D) tiene sólo una raíz real.

E) las dos raíces siempre son positivas.


S i m u l a c r o

33333333. Si 33332222aaaa ++++ 9999

= 10101010, ¿cuáles son los valores de aaaa que satisfacen la ecuación? 3333aaaa

A) 3333 y 2222 B) 2222 y –1111

C) 1111 y 0000

D) 0000 y –1111

E) 2222 y 0000

34343434. Dada la parábola: yyyy = xxxx2222 – 4444xxxx + 3333, ¿en qué puntos intersecta el eje xxxx?

A) ( –1111, 0000) y ( –3333, 0000)

B) ( 0000, 1111) y ( 0000, 3333)

C) ( –1111, 0000) y ( 3333, 0000)

D) ( 1111, 0000) y ( 3333, 0000)

E) ( 0000, –1111) y ( 0000, –3333)

35353535. Si xxxx = bbbb, entonces log aaaaxxxx––––bbbb + loglogloglog bbbbbbbb––––xxxx + loglogloglog xxxx2222 – loglogloglog bbbb2222 es igual a

A) xxxx ++++ bbbb B) 0000

C) 1111

D) aaaa –––– bbbb

E) Ninguna de ellas

36363636. Determine el valor de xxxx en la siguiente expresión loglogloglog aaaa((((xxxx – 1)1)1)1) = loglogloglog bbbb2222xxxx

A) loglogloglog aaaa − 2222 loglogloglog bbbb

B) (2222 loglogloglog bbbb ----1111

C)

2222 loglogloglog bbbb ---- loglogloglog aaaa loglogloglog aaaa

D) ( loglogloglog aaaa ---- 2222 loglogloglog bbbb ----1111

E) 2222 loglogloglog aaaa · loglogloglog bbbb


Matemática 2 0 0 5

37373737. Si (2(2(2(2----5555))))xxxx ==== 88884444xxxx+3+3+3+3, ¿cuál es el valor de xxxx que satisface la ecuación?

A) – 9999 17171717

B) –9999

C) 17171717

D) 9999 17171717

E) 9999 8888

<444430303030 (<4444----xxxx ) ==== 4444 ···· 16161616 es 38383838. El producto de las raíces de 1111 ·

1111 xxxx2222

A) –35353535

B) – √35√35√35√35

C) ± √35√35√35√35

D) √35√35√35√35

E) 35353535

39393939. El perímetro de un triángulo equilátero es (cccc – 6666) cm. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado

cuyo lado es igual al lado del triángulo?

A) (4444cccc – 6666) cm

3333 – 2222) cm

3333 – 8888) cm

3333 – 6666) cm

3333 – 24242424)cm


S i m u l a c r o

40404040. En la figura: ∆ ABCABCABCABC es equilátero y DBCDBCDBCDBC es un triángulo rectángulo en CCCC. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

I. 2222ABABABAB ==== DADADADA ++++ ACACACAC

II. ∆ DACDACDACDAC es isósceles 2222 2222 2222

CCCC

III. DCDCDCDC ==== DBDBDBDB ++++ BCBCBCBC

A) Sólo I y II B) Sólo I y III

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

DDDD AAAA BBBB

41414141. En el triángulo ABCABCABCABC de la figura, γ = 2222β, β = 2222α, γ = 40404040° y ε = 70707070°. ¿Cuál(es) de las

afirmaciones siguientes es(son) VERDADERA(S)?

I. ∆ ABCABCABCABC es isósceles II. ∠ xxxx = 110110110110°

III. ∆ ABDABDABDABD es isóscelesCCCC

ε


C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

xxxx

AAAA

αβ

γ

DDDD

BBBB

42424242. Los triángulos PQRPQRPQRPQR y STUSTUSTUSTU de la figura son congruentes. Si PPPPQQQQ = QQQQRRRR = 5555 cm y TWTWTWTW = 4444 cm,

¿cuánto mide PRPRPRPR ?

A) 2222 cm

B) 3333 cm

C) 4444 cm

D) 5555 cm

RRRR

β

α

WWWW

UUUU

β

αE) 6666 cm PPPP QQQQ SSSS TTTT


Matemática 2 0 0 5 43434343. En el triángulo ABCABCABCABC de la figura, α + β = δ y α = 2222β, entonces los ángulos miden

α β δ A) 60606060° 30303030° 90909090°

B) 90909090° 60606060° 30303030°

C) 30303030° 60606060° 90909090°

D) 45454545° 45454545° 90909090° α

CCCC

δ

βE) 120120120120° 60606060° 180180180180°

AAAA BBBB

44444444. El número total de diagonales en un polígono de 8888 lados es

A) 6666 B) 10101010

C) 15151515

D) 19191919

E) 20202020

45454545. En la figura, LLLL es una recta, xxxx° + yyyy° = 130130130130°, zzzz° + vvvv° = 80808080° y zzzz°

es el suplemento de wwwwº.Entonces el valor de xxxx° es

A) 10101010°

2222

x°x°x°x° LLLL

B) 20202020° w°w°w°w°

C) 30303030°

D) 60606060°

E) no se puede determinar, falta información

y°y°y°y°

v°v°v°v° z°z°z°z°

46464646. En la figura ABABABAB = √3√3√3√3 m. Si sensensensen α = coscoscoscos β = 1111 , ¿cuánto mide DCDCDCDC ?2222 DDDD

A) 0000,5555 m

B) <√3√3√3√3 2222

m

C) 1,51,51,51,5 m D) √3√3√3√3 m

E) 3333 m

AAAAα β

BBBB CCCC


S i m u l a c r o

47474747. Si el perímetro de un rectángulo de lados aaaa y aaaa

es igual al perímetro de un cuadrado de

lado bbbb, entonces bbbb mide

A) 3333aaaa 2222

2222

B) aaaa

C) 3333aaaa4444

D) aaaa 2222

E) aaaa 4444

48484848. Si el perímetro de un rectángulo es 36363636 cm y el área se mantiene igual al aumentar el ancho en

2222 cm y disminuir el largo en 3333 cm, entonces el área es

A) 36363636 cm2222

B) 49494949 cm2222

C) 72727272 cm2222

D) 90909090 cm2222

E) 324324324324 cm2222

49494949. ¿Cuánto mide la altura CECECECE del trapecio isósceles AAAABBBBCCCCDDDD si DCDCDCDC ==== 4444 cm, ACACACAC ==== 11110000 cm y

ABABABAB ==== 11112222 cm?

A) 4444 cm

B) 4444√3√3√3√3 cm

C) 6666 cm

DDDD CCCC

D) 6666√3√3√3√3 cm

E) 8888 cm

AAAA BBBB EEEE

50505050. En el sistema de ejes coordenados de la figura, el área sombreada mide

A) 72727272 pppp2222

B) 38383838 pppp2222

C) 36363636 pppp2222

D) 32323232 pppp2222

E) 28282828 pppp2222

8p8p8p8p

6p6p6p6p

4p4p4p4p

2p2p2p2p

2p2p2p2p 4p4p4p4p 6p6p6p6p 8p8p8p8p 10p10p10p10p


Matemática 2 0 0 5

51515151. En el cuadrado ABCDABCDABCDABCD de lado aaaa, sus diagonales se intersectan en MMMM. Si MEMEMEME = mmmm, ¿cuál de

las siguientes expresiones representa el área del cuadrado?

A) aaaa · mmmm

B) aaaa · mmmm

2222

C) 2222mmmm2222

DDDD CCCC

MMMM

D) mmmm4444

E) 2222aaaa · mmmm AAAA EEEE BBBB

52525252. Dado que: arco BDBDBDBD = 1111

de la circunferencia, y arco EAEAEAEA = 1111

de la circunferencia, determine

el valor del ángulo α9999

la siguiente figura.4444

A) 25252525° B) 45454545°

C) 50505050°

D) 65656565°

E) 130130130130°

EEEE

AAAA

DDDD

BBBB

α CCCC

53535353. En la figura, MMMM y RRRR son rectas tangentes a la circunferencia de centro OOOO en TTTT y SSSS,

respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones es siempre FALSA?

A) El ∆ TSPTSPTSPTSP es rectángulo. B) OPOPOPOP es mayor que TTTTSSSS.

C) El ∆ TOSTOSTOSTOS es rectángulo.

D) OPOPOPOP es mayor que el radio del círculo.

E) SPTOSPTOSPTOSPTO es un cuadrado.

PPPP

SSSS

RRRR

OOOO

TTTTMMMM


S i m u l a c r o

54545454. En la circunferencia de centro OOOO, BCBCBCBC ⊥ CCCCOOOO, α = 60606060° y OAOAOAOA = ABABABAB = 2222. ¿Cuál es el valor del

área sombreada?

4444 A) 4444√3√3√3√3 – π

3333

2222 B) 2222√3√3√3√3 – π

3333

2222π

CCCC

C) 2222 ++++ 2222√3√3√3√3 –

D) 2222π – 2222√3√3√3√3

E) 4444 (<π – √√√√_3333)

3333 OOOO AAAABBBB

55555555. Determine la medida del trazo ABABABAB sabiendo que OOOO es el centro de la circunferencia,

OBOBOBOB = 11112222 cm y ODODODOD = 9999 cm.

A) 3333√3√3√3√3 cm

B) 3333√6√6√6√6 cm

C) 3333√7√7√7√7 cm

D) 6666√7√7√7√7 cm

E) 7777 cm

AAAA DDDD

OOOO

BBBB

56565656. ¿Cuál es el valor del área sombreada, sabiendo que ABCDEABCDEABCDEABCDEFFFFAAAA es un hexágono regular

inscrito en una circunferencia de centro OOOO y AAAADDDD = 4444 cm?

A) π –––– √3√3√3√3 cm2222

B) √3√3√3√3 cm2222

C) π cm2222

D) 4444π –––– 6666√3√3√3√3 cm2222

E) 2222π –––– √3√3√3√3 cm2222

AAAA

FFFF

OOOO

EEEE

DDDD

BBBB CCCC


Matemática 2 0 0 5

57575757. Las circunferencias de centros OOOO y PPPP son congruentes de radio 3333 cm cada una. ¿Cuánto mide 2222

OPOPOPOP , si ABABABAB = OPOPOPOP ? 3333

A) 8888 cm B) 10101010 cm

C) 12121212 cm OOOOD) 15151515 cm

E) 18181818 cm

rrrr rrrr

AAAA BBBB PPPP

58585858. En un rectángulo, el ancho equivale a la tercera parte del largo y su superficie mide 48484848 m2222. Si

con el largo se construyera un cuadrado, ¿qué superficie tendría dicho cuadrado?

A) 4444 m2222

B) 6666 m2222

C) 9999 m2222

D) 12121212 m2222

E) 16161616 m2222

59595959. Si ABCABCABCABC es un triángulo y CDCDCDCD es bisectriz del ∠ ACBACBACBACB, ¿cuál es el valor de xxxx?

A) acacacac

B) acacacac 2222

C) acacacac bbbb

D) babababa cccc

aaaa2222bbbbAAAA

bbbb

cccc

CCCC

DDDD xxxx

aaaa

BBBBE)

cccc

60606060. ¿Cuál es el valor de xxxx en la figura?

A) 9999 B) 5555

C) 9999 2222

D) 9999 5555

E) 5555 9999

AAAA 6666

xxxx

4444

CCCC

3333

BBBB


S i m u l a c r o

61616161. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos AAAA(3333, 5555) y BBBB(4444, 8888)?

A) yyyy + 3333xxxx = – 4444 B) yyyy – 3333xxxx = – 4444

C) yyyy – 3333xxxx = 1111

D) 3333 yyyy – xxxx = 2222

E) yyyy + xxxx = 1111

62626262. En la siguiente figura se tiene que el radio del cilindro circular superior es la mitad del radio

inferior. Si el radio del cilindro superior es 3333 cm, entonces, el volumen total es

A) 90909090π cm3333

B) 180180180180π cm3333

C) 225225225225π cm3333

D) 270270270270π cm3333

E) 315315315315π cm3333

10101010 cmcmcmcm

5555 cmcmcmcm

63636363. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2222 dados simultáneamente sus caras superiores sumen tres?

A) 1111 36363636

B) 1111 18181818

C) 1111 9999

D) 2222 9999

E) 5555 9999


Matemática 2 0 0 5

InstInstInstInstrrrruccionesuccionesuccionesucciones paraparaparapara laslaslaslas prprprpreeeeguntasguntasguntasguntas NºNºNºNº 64646464 aaaa lalalala NºNºNºNº 70707070

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema sino que decida si losdatos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1111) y

(2222) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:

A) (1111) por sí sola, si la afirmación (1111) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero

la afirmación (2222) por sí sola no lo es;

B) (2222) por sí sola, si la afirmación (2222) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero

la afirmación (1111) por sí sola no lo es:

C) ambas juntas, (1111) y (2222), si ambas afirmaciones (1111) y (2222) juntas son suficientes para responder

a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) cada una por sí sola, (1111) ó (2222), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta;

E) se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para

responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

64646464. Se puede determinar el valor del dato xxxx de la muestra {2,{2,{2,{2, 2,2,2,2, 3,3,3,3, 3,3,3,3, 4,4,4,4, 4,4,4,4, xxxx,,,, 5,5,5,5, 7,7,7,7, 7}7}7}7} si

(1111) la moda es 4444

(2222) la media es igual a 4,14,14,14,1

A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1111) y (2222).

D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).

E) Se requiere información adicional.


S i m u l a c r o

65656565. Se puede determinar las coordenadas del punto AAAA si

(1111) al aplicarle el vector traslación (−7,17,17,17,1) sus nuevas coordenadas son (−3,43,43,43,4) (2222) al aplicarle una rotación en 90909090º con respecto al origen sus nuevas coordenadas son

(−3,4)


C) Ambas juntas, (1111) y (2222).



66666666. Se puede determinar el valor de la media de una muestra de datos no agrupados si

(1111) la suma de los datos es 1.1501.1501.1501.150

(2222) la muestra tiene 250250250250 datos


C) Ambas juntas, (1111) y (2222).



67676767. Si para resolver un problema en que se debe determinar el valor de 3333 incógnitas, me dan

como dato una ecuación con ellas, puedo resolverlo siempre si me agregan:

(1111) otra ecuación con las 3333 incógnitas.

(2222) una proporción con las 3333 incógnitas.


C) Ambas juntas, (1111) y (2222).




Matemática 2 0 0 5

68686868. Se puede determinar cuánto demoran 5555 hombres en construir una piscina si:

(1111) 2222 hombres demoran 10101010 días en construir la misma piscina.

(2222) Si trabajan horas extraordinarias demorarán la mitad.


C) Ambas juntas, (1111) y (2222).



69696969. Se puede determinar cuánto mide el área del rombo si:

(1111) Sus diagonales miden 6666 y 9999 cm.

(2222) La suma de sus diagonales es 11115555 cm. y están en la razón de 2222 : 3333


C) Ambas juntas, (1111) y (2222).



70707070. Para la circunferencia de la figura se puede determinar el valor del ∠ xxxx si:

(1111) BBBBAAAA = 70707070° (2222) BCBCBCBC = diámetro

A) (1111) por sí sola.

B) (2222) por sí sola.

CCCC xxxx

AAAA

C) Ambas juntas (1111) y (2222). BBBB

D) Cada una por sí sola (1111) ó (2222).



4. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Análisis

La alternativa correcta es A

De I) a - b ∈ Z si a, b ∈ Z De II) (a-b) - c ≠ a - (b-c) con a, b, c ∈ Z De III) a - b ≠ b - a con a, b ∈ Z

Por lo tanto sólo I es verdadera

5. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Comprensión


Reemplazado los datos en la figura obtenemos:

25 cm 10 cm 7 cm

P Q R S

35 cm

de donde QR = 7 cm

6. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Comprensión

La alternativa correcta es D

0,0x 0,0xy 0,124

De donde se deduce que: y = 4 x = 6

,luego x = y + 2

7. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Aplicación

La alternativa correcta es C

& 1 1 # 1∃

2 ∋ 2

! √ 2

= (Desarrollando el paréntesis)

% ∀

1 1 √ = (Dividiendo y luego simplificando) 4 2

12

8. Sub-unidad Conjuntos Numérico Habilidad Análisis

Defensa La alternativa correcta es D

SI: p : Positivo m: Negativo ,entonces:

p ⋅ m : negativo ; p - m: positivo ; p + m: indeterminado (+)⋅(-) = (-) (+)-(-) = (+) (+)+(-) = ?

,luego sólo I y II son siempre verdaderas

9. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Aplicación


1 1 ! 5 = 6 (Transformando el número mixto a fracción) x 3

1 16 ! = 6 (Despejando) x 3

16 = 18x (Dividi endo por 18 ambos lados de la ecuación y simplificando)

8 = 9

x

10. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Comprensión

La alternativa correcta es E

Si c # b = cb - b ⇒ 2#-1 = 2-1 - (-1) = 1

+ 1 2

2 #-1 = 32

11. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Aplicación

La alternativa correcta es B

3 (2 + 3 )∀ 3 (2 ! 3 )= (Aplicando factorización de raíces)

3 (2 + 3 )(2 ! 3 )= ( Utili zando suma por su diferencia)

3 2 2 ! ( 3 )2 = (Desarrollando las potencias)

3 4 ! 3 = (Resolviendo la raíz)

3 1 = 1

12. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Comprensión

La alternativa correcta es C (-m)3 + 3m = (Reemplazando con m = -1) (-(-1))3 + 3 · (-1) = (Resolviendo los paréntesis)

1 - 3 = -2 (Restando)

13. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Conocimiento


3 8 ! 3 0,125 = (Expresando 0,125 en su forma fraccionaria)

3 8 ! 3 1 = 8

2 ! 1 = 2

(Resolviendo las raíces) (Multiplicando)

1

14. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Aplicación

La alternativa correcta es B 10 · (-1)5 +9 · (-1)4 + 8 · (-1)3 + 7 · (-1)2 + 6 · (-1) + 5 = (Resolviendo las potencias)

10 · -1 +9 · 1 + 8 · -1 + 7 · 1 + 6 · -1 + 5 = (Multipli cando)

-10 + 9 - 8 + 7 - 6 + 5 = (Sumando)

-3 =

15. Sub-unidad Álgebra Habilidad Análisis


I.- Si n = 1 ⇒ 1 ∀ 1 2 ∀ 1 1 3 ∀ 1 1 = 0 ; n = 2 ⇒ = ; n = 3 ⇒ = 2 !1 2 !1 2 2 ! 3 3

1 ! 1 2 ! 1 1 3 ! 1 2II .- Si n = 1 ⇒ = 0 ; n = 2 ⇒ = ; n = 3 ⇒ =

12 2 2 4 32 9

1 1 1 1 1 1 1 2II I.- Si n = 1 ⇒

1 !

1

2 = 0 ; n = 2 ⇒

2 !

2 2 =

4 ; n = 3 ⇒

3 !

32 =

9

Por lo tanto sólo en II y III se obtiene el conjunto los valores 1, 2 y 3

%0, ∃

1 4

,2 #

∀ !

cuando n toma

16. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Aplicación

La alternativa correcta es C 2x ! 6 2x ! 12 = (Factorizando por dos numeradores y denominadores) 2x ! 4 2x ! 8

2(x ! 3) = 2(x ! 6) (Simplificando)

2(x ! 2) 2(x ! 4)

(x ! 3) = (x ! 6) (Multipli cando cruzado) (x ! 2) (x ! 4)

(x ! 3)(x ! 4)= (x ! 6)(x ! 2) (Multipli cando término a término)

x2 –7x +12 = x2 –8x +12 (Restando x2 a ambos lados de la ecuación)

–7x +12 = –8x +12 (Despejando x)

8x –7x = 0 x = 0

17. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad análisis


Si a ! b = 2 a + b

⇒ (Despejando el valor de a)

a - b = 2a + 2b -b - 2b = 2a - a

-3b = a (Reemplazando a en I, II y III)

I. a + 3b = -3b + 3b = 0 II. 3ab + a2 = 3 · -3b · b + (-3b)2 = -9b2 + 9b2 = 0 III. ab + 3b2 = -3b · b + 3b2 = -3b2 + 3b2 = 0

Por lo tanto las expresiones I, I I y III son iguales a cero

18. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Comprensión


1) x + y + z = 1 1) + 2) 2x + 2z = 2 /: -2 2) x - y + z = 1 3) 2x + z = 3 3) 2x - 1 + z = 2

-x - z = -1 (Resolviendo 2x + z = 3 por reducción)

x = 2 z = -1

Si se desea conocer el valor de y se debe reemplazar los valores conocidos en (1), (2) o (3)

19. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Análisis


1 A = 2B ; B = ! C (Despejando C)

2

A = 2B ; 2B = C (Igualando) ⇒ A = C (Con lo cuál I es verdadero)

(Luego reemplazando)

A + C = 2B + 2B = 4B (Con lo cuál II es verdadero)

(Finalmente volviendo a reemplazar)

A + B + C = 2B + B + 2B = 5B (Con lo cuál III es verdadero)

Por lo tanto I, II y II I son verdaderas

20. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Análisis


1V = 2A ; 3V = 5B (Despejando V)

V = 5

B 3

(Dado que 1V = 2A, igualamos)

5 B = 2A (Despejando A) 3

5 B = A 6

Finalmente, sumando una ficha verde más una azul:

1V + 1A = 5 5 B + B = (Sumando) 3 6

15 B = 2,5B (Dividiendo) 6

Luego serán 3 blancas

21. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Análisis


Sí J = 2t ; D = 4t ordenando en un cuadro de doble entrada obtenemos:

Depósito mensual Depósito anual Juan 0,5 t 6 t Diego 1 t 12 t

Total anual 18 t

Por lo tanto I, II y II I son verdaderas

22. Sub-unidad Habilidad Conocimiento


Expresando el 75% de 0,025 en forma fraccionaria, obtenemos:

75 25 ! = (p • 10-3) (Desarrollando la potencia) 100 1000

75 25 p ! = (Multipli cando por 1000 ambos lados de la ecuación) 100 1000 1000

75 ! 25 = p (Desarrollando) 100 75 = p = 18,75 4

23. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Comprensión


Utili zando la definición de porcentaje siguiente:

El A % de B = A ! B 100

tenemos que el el 20% de 500 es 20 ! 500 = 100

100

,luego la alternativa que también da como resultado 100 es:

50% de 200 = 50 ! 200 = 100

100

Con lo cuál el 20% de 500 equivale al 50% de 200

24. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis


Ordenado los datos en una tabla de doble entrada:

Altos Bajos Total Hombres 12 6 18 Mujeres 3 15 18

En donde observamos que sólo I y II son verdaderas

25. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad análisis


Si a b c = = = k ,entonces

a = k ; b = k ;

c = k (Despejando a, b, c) d e f d e f

a=dk; b=ek; c=fk

I) a + b + c = dk + ek + fk (Factorizando por k)

a + b + c = (d + e + f) k (Despejando)

a + b + c = k d + e + f

(Con lo cuál I es verdadera)

II) a + b = dk + ek (Factorizando por k)

a + b = (d + e)k (Despejando)

a + b = k (verdadera) d + e

II I) b + c = ek + fk (Factorizando por k)

b + c = k(e + f) (Despejando)

b + c = k e + f

(Con lo cuál III es verdadera)

26. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis La alternativa correcta es B

Si asisten 15 adultos, entonces queda comida para alimentar a 5 adultos y su equivalente en niños puede calcularse con la siguiente proporción:

20 adultos → 32 niños (Desarrollando la proporción) 5 adultos → x niños

5 ! 32 = 8 niños

20

27. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis


Raúl = 3,5 12 = 42 tabletas

Pedro = 3,5 ⋅ 6 = 21 tabletas

En total consumieron 42 + 21 = 63 tabletas y dado que cada caja contiene 3 tabletas en total se consumieron 63/3 = 21 tabletas.

28. Sub-unidad Inecuaciones Habilidad Aplicación La alternativa correcta es A

-3x + 1 < 7 /-1 (Restando 1 a ambos lados de la inecuación) -3x < 6 /:-3 ( Dividiendo por –3 ambos lados de la inecuación)

6 x > ! (Dividiendo)

3

x > -2

Con lo cuál el intervalo solución de la inecuación es ]-2, + ! [

29. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Comprensión


g(h(x)) = g (x2 - 2x + 2)= (Valorizando g(x) en h(x)) (x2 - 2x + 2) – 2 = (Desarrollando el paréntesis) x2 - 2x = (factorizando por x) x (x - 2)

30. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Análisis La alternativa correcta es D

Una relación es función cuando a cada valor del dominio (abscisa) le corresponde una y solo una imagen en el recorrido (ordenada).

Por lo tanto sólo I y III son funciones f(x)

31. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Aplicación


Sí f(8) = a ⋅ 8 + 5 = 0 (Restando 5 a ambos lados de la ecuación)

8a = -5 (Dividiendo por 8)

a = ! 5 8

,luego f = ! 5

x +5 (Valorizando en 5) 8

f (5) = 5

! ⋅5 + 5 = (Multiplicando) 8

25 ! + 5 =

8 (Sumando fracciones)

158

32. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Análisis


Si el discriminante < 0 La ecuación tiene 2 raíces complejas distintas Si el discriminante = 0 La ecuación tiene 2 raíces reales iguales

Si el discriminante > 0 La ecuación tiene 2 raíces reales distintas

Por lo tanto si el discriminante es 1 (o sea mayor que cero), posee dos raíces reales distintas.

33. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Aplicación


Sí 32 a + 9

3a

= 10 (Multipli cando por 3ª a ambos lados de la ecuación)

(3a)2 + 9 = 10 · (3a); (Utilizando una variable auxiliar en donde Si x = 3a)

x2 + 9 = 10x (Restando 10x a ambos lados de la ecuación)

x2 - 10x + 9 = 0 (Factorizando)

(x - 9)(x -1) = 0

,luego a) x - 9 = 0 b) x - 1 = 0

x = 9 x = 1

Por lo tanto x puede tomar los valores 9 y 1

,luego Como x = 3a entonces:

a) 3a = 9 b) 3

a = 1

3a = 32 3a = 3º

a = 2 a = 0

34. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Aplicación

La alternativa correcta es D y = x2 - 4x + 3 Intercepta al eje x cuando y = 0, es decir:

x2 - 4x + 3 = 0 (Factorizando) (x - 3) (x - 1) = 0 (Igualando cada binomio a cero)

x - 3 = 0 x - 1 = 0 (Despejando)

x1 = 3 x2 = 1

,luego x intercepta al eje x en los puntos: (3,0) ^ (1,0)

35. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Comprensión


Reemplazando x = b queda: log ab-b + log bb-b + log b2 - log b2 (Restando exponentes y sumando términos

semejantes) = log a0 + log b0 + 0 (Desarrollando las potencias) = log 1 + log 1 (Utilizando propiedades de logaritmo) = 0 + 0 (Sumando) = 0

36. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Aplicación


log (ax-1) = log (b2x) (Aplicando log xn = n⋅logx) (x-1) log a = x log b2 (Multiplicando término a término) x log a - log a = x log b2 (Dejando las x al mismo lado de la

ecuación) x log a - xlog b2 = log a (Factorizando por x) x (log a - log b2) = log a (Despejando x)

log a ∋ log a ! log b = %

2)∃ ∀ !1

(log a ! log b 2 ) %& log a ∀#



(2!5 )x = 84x + 3 (Expresando 8 en forma de potencia de base 2)

(2 !5 )x = ((2)3 )4 x+3

(Multipli cando los exponentes)

2-5x = 212x+9 ( Dado que las bases a ambos lados de la ecuación son iguales, sus exponentes son necesariamente una igualdad)

-5x = 12x + 9 (Sumando 5 a ambos lados de la ecuación) -9 = 17x (Dividiendo por 17)

9 ! = x

17


Defensa La alternativa correcta es A

1 1 ! % ∀

x

= 4 !16 2 (Expresando todas potencias en base 4) ∋ ∃

430 & 4 ( x #

4-30⋅(4x)x = 4⋅(42)2 (Multiplicando los exponentes)

4-30⋅ 4 x = 4⋅44 (Aplicando la multiplicación de potencias de igual base)

4 x 2 !30 = 45 ( Dado que las bases a ambos lados de la ecuación

son iguales, sus exponentes son necesariamente una igualdad) x2- 30 = 5 (Sumando 30 a ambos lados de la ecuación)

x2 = 35 (Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación)

x1 = 35 ∧ x2 = – 35 (Luego multipli cándolas)

x1 ⋅x2 = = 35 ⋅ – 35 = -35

39. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Aplicación


Si el Perímetro del triángulo = 3a = (c - 6)cm (Con a lado del triángulo)

Entonces el lado del triángulo es

a = (c ! 6)

cm 3

Además ya que el lado del cuadrado es igual al del triangulo y como el perímetro de un cuadrado es cuatro veces el lado del cuadrado, tenemos que el perímetro del cuadrado es:

4⋅ (c ! 6)

3 4c ! 24

3

(Multipli cando) (Simplificando)

4c ! 8 3

40. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis


C

Completando la figura con los datos entregados 30º 60º

30º 120º 60º 60º D A B

Con lo cuál sólo I y II son verdaderas.

41. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis


Sí ! = 2 ! ,entonces 40º = 2 ! (Despejando)

20º = !

Sí ! = 2 ! ,entonces 20º = 2 ! (Entonces)

10º = !

,luego

! = 10º , ! = 20º, ! = 40° , ! = 70°.

Con lo cuál I, II y III son verdaderas



Dado que los triángulos en cuestión son congruentes, si completamos los datos:

R U

! 3 ! W 5

4 . ! ! 3 ! !

5 P Q S T

Dado que los triángulos son congruentes SU = PR = 6 cm



Sí ! = 2 ! y ! + ! = ! Entonces reemplazando 2 ! + ! = ! (Sumando)

3 ! = !

Además dado que ! + ! + ! = 180º (Si reemplazamos cada incógnita

En función de ! )

2 ! + ! + 3 ! = 180º (Despejando)

! = 30º

,luego ! = 2 ! = 60º

! = 3 ! = 90º

44. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Comprensión

La alternativa correcta es E Número total de diagonales de un polígono =

,luego para un polígono de 8 lados:

n(n ! 3) ; con n: número de lados

2

8(8 ! 3)= (Desarrollando el paréntesis)

2

8(5)= (Resolviendo)

2

20



Hay 5 incógnitas en juego y los datos nos permiten determinar el valor de wº =150º, y como

z o o

es el suplemento de wº, entonces = 30º , por lo tanto z°= 60º. 2 2

Como z° + y° = 180° , entonces y°=120°, luego x°= 10°.

46. Sub-unidad Trigonometría Habilidad Análisis


Las funciones trigonométricas seno de un medio y seno de raíz cuadrada de tres medios son muy utilizadas, pudiendo descubrir que ! y ! corresponden a 30º y 60º respectivamente.

Completando los ángulos en la figura ,resulta:

D

30º 30º

3 60º 30º

C B 3 A

Con lo cuál descubrimos que el triángulo ABD es isósceles y los trazos AB y BD poseen la

misma medida 3 metros, luego dado que conocemos el valor de la hipotenusa del triángulo BCD, podemos utilizar la función trigonométrica seno, para conocer el valor del trazo CD.

De donde: sen 60º = CD

(Reemplazando) BD

sen 60º = CD

(despejando) 3

47. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación


a b

a 2

a 2

b b

a b

,luego los perímetros de las respectivas figures son: P1 = 3a P2 = 4b

Además si P1 = P2 ⇒ 3a = 4b (Despejando)

3 a = b 4

48. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Análisis


xSabemos que el perímetro =

y 2(x + y) = 36 (Despejando) x + y = 18

Además sabemos que: x · y = (x + 2)(y - 3) (desarrollando)

3x - 2y = -6

Con las ecuaciones encontradas podemos formar un sistema de ecuaciones, en donde El sistema queda:

x + y = 18 /· 2 (Multipli cando por 2) 3x - 2y = -6

2x + 2y = 36

3x - 2y = -6 (Resolviendo el sistema)

5x = 30 /:5 x = 6 cm ; y = 12 cm

Ahora sólo resta calcular el área Área = 6 cm · 12 cm = 72 cm2

49. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación La alternativa correcta es C

Reemplazando los datos en el dibujo y utili zando Pitágoras resulta:

D 4 cm C

10

A 4cm 4cm E 4cm B

En donde conocemos 2 de los lados del triangulo rectángulo AEC (8 y 10), ahora simplemente utilizamos el teorema de Pitágoras para descubrir el valor del lado restante, que corresponde a nuestra incógnita.

102 = 82 + x2 (Desarrollando las raíces y despejando x2) 100 – 64 = x2 (Despejando x)

36 = x (Desarrollando la raiz)

6 cm = x



El área de cada cuadrado es: 2p

2p

Área = 4p2

Además como el área achurada corresponde a 9,5 de estos cuadrados el área achurada total corresponderá a:

Área total = 9,5 ⋅ (Área del cuadrado) Área total = 9,5 ⋅4p2

Área total = 38p2



Si ME = m ,entonces a = 2m

Luego el área del cuadrado es lado ⋅ lado (Reemplazando) a ⋅2m = 2am

52. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación


1 1 de circunferencia = ·360º = 40º = Arco BD 9 9

1 1 de circunferencia = ·360º = 90º = Arco EA 4 4

Luego aplicando teorema del ángulo externo, resulta:

90º!40º ∀ =

2 ! = 25º

(Desarrollando)

53. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Análisis

La alternativa correcta es B P T M

S ∞ O

R

Ya que los trazos SO y OT son radios y considerando los datos del ejercicio, podemos concluir que: TPS es triángulo rectángulo

OP = TS TOS es triángulo rectángulo

OP > OT SPTO es un cuadrado

Por lo tanto la opción que siempre es falsa es OP es mayor que TS , pues son iguales.



Área achurada = Área Triángulo BOC - Área sector AOC

Si ! = 60° entonces el sector AOC es un sexto de la circunferencia, luego

2 ! 2 3 # ! 2 2 Área achurada = ∀ (Simplificando)

Área achurada = 2

2

3 ∀ 2! 3

6


Utili zando teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del trazo BD(x)

92 + x2 = 122

81 + x2 = 144 (Restando 81 a ambos lados de la ecuación)

x2 = 63 (Calculando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación)

x = 63 (Descomponiendo la raíz)

x = 3 7

Además como los trazos AB y OD son perpendiculares, necesariamente EL trazo AB es el doble de BD, por lo tanto

AB = 2 ! BD = 2⋅ 3 7

(Reemplazando)

(Multiplicando)

= 6 7


La alternativa correcta es D Los triángulos interiores son equiláteros congruentes de lado 2 cm.

El área achurada corresponde al área de la circunferencia menos el área de 6 triángulos equiláteros, en forma de ecuación resulta.

Área achurada = ∀ ! (2 cm)2 -6⋅ (2cm)

4

! 3= (desarrollando las potencias y

simplificando)

# ∀ 4cm 2 ! 6 3 cm 2



OP = OA + AB + BP (Reemplazando con los datos)

OP = r + 2 OP3

+ r (Reemplazando con OP = x y r = 3)

x = 3 + x = 6 +

2 x 3 2 x3

+ 3 (Sumando)

(Multiplicando por 3 ambos lados de la ecuación)

3x = 18 + 2x (Despejando x)

x = 18

58. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Comprensión

La alternativa correcta es C Sí Ancho = x Largo = 3x ,entonces el área corresponde a:

3x ⋅ x = 48 m2

3x2 = 48 m2 (Dividiendo por 3 ambos lados de la ecuación) x2 = 16 m2 (Calculando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación) x = 4 m

Luego reemplazando en los primeros enunciados:

Ancho = x = 4m Largo = 3x = 12m

Por lo tanto Con la medida del largo se puede construir un cuadrado de lado 3m, Siendo el Área del cuadrado = (3m)2 = 9 m2



Aplicando teorema de Apolonio:

b a = (Despejando x) c x =

x ac

b




Aplicando teorema de Thales:

6 10 = (Despejando x) x 3

x = x =

18 (Simplificando) 10 9

5

61. Sub-unidad Geometría analítica Habilidad Aplicación


Sí x1 = 3, x2 = 4, y1 = 5, y2 = 8

Utili zando la formula para encontrar la ecuación de una recta a contar de 2 puntos, tenemos que:

y ! yy - y1 = 2 1 (x ! x1 ) x2 ! x1

y - 5 = 8 ! 5 (x ! 3) 4 ! 3

(Reemplazando) (Restando numerador y denominador)

y - 5 = 3 (x - 3) (Multipli cando el paréntesis y despejando y)

y = 3x - 9 + 5 (Restando)

y = 3x –4 (Restando 3x a ambos lados de la ecuación)

y - 3x = -4

62. Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies. Habilidad Aplicación


Si V1: volumen de cilindro inferior y V2: volumen cilindro superior, entonces:

V1= ∀ ! R 2 ! h1 y V2 = ∀ ! R 2 ! h2

V1= (6 cm)2 ⋅ 5 cm V2 = ∀ ! (3cm)2 ⋅ 10 cm V1= 180 ∀ ! cm3 V2 = 90 ! cm3

,luego el volumen total de la figura corresponde a :

volumen total = V1 + V2 = (Reemplazando) 180 ! cm3 + 90 ! cm3 = (Sumando) 270 ! cm3

63. Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Comprensión


La única posibilidad de que al lanzar 2 dados simultáneamente sus caras superiores sumen tres, es que en la cara superior del primero salga un 1 y en el segundo un 2 (1+ 2 =3), O que en la cara superior del primero salga un 2 y en el segundo un 1 (2 + 1 = 3)

Luego tenemos 2 casos favorables y ya que al lanzar dos dados los casos posibles son 36 (6⋅6), la posibilidad de dicho evento es:

2 = 36

(Simplificando)

1 18

64. Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Evaluación La alternativa correcta es D

Si la moda es 4, x necesariamente debe tomar el valor 4 para ser el valor con mayor frecuencia de la muestra.

Sí la media es igual a 4,1, podemos calcular el valor de x, despejando la formula de media aritmética con los datos de la muestra:

4,1 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + x + 5 + 7 + 7

10

Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2). Sirve para encontrar el valor de x.

65. Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies. Habilidad Evaluación


Si el punto a (x, y) le aplicamos el vector traslación (-7,1) , este queda expresado como (x –7, y +1) y si lo igualamos con (-3, 4 ) resulta:

(x –7, y +1) = (-3, 4 ) , de donde:

x –7 = -3 (Despejando) x = 4

y + 1 = 4 (Despejando) y = 3 el punto en cuestión es por lo tanto (4,3)

Además, si tenemos un punto (x, y) al aplicarle una rotación en 90º se transforma en el punto (-y, x), con lo cuál si al aplicar una rotación en 90º con respecto al origen las nuevas coordenadas del punto son (-3,4), eso quiere decir que el punto en cuestión es (4,3).

Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2). Sirve para encontrar el valor de x.

66. Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Evaluación


Dado que la formula para calcular la media de una muestra de datos no agrupados es la suma de todos los datos dividida por el número de datos, necesitamos de ambas condiciones para resolver el ejercicio.

Por lo tanto la alternativa Ambas juntas, (1) y (2). Permite resolver el ejercicio.

67. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Evaluación


Según los datos del enunciado, ya se tiene una ecuación con tres incógnitas, por lo que sería necesario tener dos ecuaciones más que relacionen las variables y dichas ecuaciones ndeben ser equivalentes ni incompatibles o una proporción con las tres incógnitas.

De (1) Se agrega una ecuación con las tres incógnitas, lo cual no es dato suficiente pues hay tres incógnitas y dos ecuaciones. No se sabe que tipo de ecuación es la entregada en (1)

De (2) Se da una proporción con las tres incógnitas, es decir,

x:y:z = a:b:c se calcula la constante de proporcionalidad utilizando la ecuación entregada en el enunciado más la entregada en (2), luego se resuelve el problema.

68. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Evaluación


De (1) Se tiene la siguiente regla de tres hombres Días Como las variables están en 2 10 razón inversa, entonces: 5 x 2 ⋅10 = 5 ⋅x (Despejando)

x = 4 días

De (2) No se puede extraer información útil

Por lo tanto la alternativa (1) por sí sola. Permite resolver el ejercicio.

69. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Evaluación


De (1) Área rombo = d1 ! d 2

2 (Reemplazando)

De (2) d1 + d2 = 15 d1 : d2 = 2:3

= 27 cm2 2

d1 + d 2

2 + 3 15

= = 3 5

,entonces d1 = 2⋅3 = 6 d2 = 3⋅3 = 9

Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2), permite encontrar el área del rombo.

70. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Evaluación


De (1) Se sabe que el ángulo x es igual a la mitad del arco BA, o sea el ángulo x es igual a la mitad de 70º o sea a 35º

De (2) Si BC es diámetro sólo se puede deducir que BC = 180º

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