Engineering Mathematics IIocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/4334.pdf · Engineering...

EEngineering Mathematics IIngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)

Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g

10.3 Calculus Review: Double Integrals

10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane

10.5 Surfaces for Surface Integrals

10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss

10.8 Further Applications of the Divergence Theorem

10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem

2

Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g

10.3 Calculus Review: Double Integrals

10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane

10.5 Surfaces for Surface Integrals

10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss

10.8 Further Applications of the Divergence Theorem

10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem

3

1010.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg((이중적분이중적분))

이중적분 : 피적분함수를 평면의 닫힌 유한한 영역에서 적분

. 분할한다그어직선을평행한축에축과을영역 yxR

( )

( ) 만든다합을형태의같은와

택하여을점한내의직사각형각

.

ΔA,yxfJ

,yx

n

kkkn

kk

=∑ ( )

면적직사각형의번째는

1

kΔA

,yf

k

kkkkn

∗

∑=

( )

( ) . Integral) (Double , ,

,

한다이라이중적분의에서의영역극한을수렴이수열

가정한다고경계로곡선을매끄러운유한개의이연속이고에서가

yxfRJ

RRyxf

n⇒


이중적분의 성질

dxdyfkdxdykfRR

=∗ ∫∫∫∫

이중적분의 성질

( ) dxdygdxdyfdxdygfRRR

+=+∗ ∫∫∫∫∫∫

21

dxdyfdxdyfdxdyfRRR

+=∗ ∫∫∫∫∫∫

Theorem) Value(Mean

단순연결되었으면이

대한이중적분에

R

∗ 정리 평균값

( ) ( ) ( ) . , ,, 0000 존재한다에하나적어도가점만족하는을 RyxAyxfdxdyyxfR

=∫∫

. R 면적이다의는A


연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산

• ( ) ( )( )

ddfd dfb xh

∫ ∫∫∫ ⎥⎤

⎢⎡

• ( ) ( )( )

dxdyyxfdxdyyxfa xgR∫ ∫∫∫ ⎥

⎦⎢⎣

= ,,

• ( ) ( )( )

dydxyxfdxdyyxfd yq

∫ ∫∫∫ ⎥⎤

⎢⎡

=• ( ) ( )( )

dydxyxfdxdyyxfc ypR∫ ∫∫∫ ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣

= ,,


이중적분의 응용

•

•

∫∫=R

dxdyAR : 면적의영역

( ) ( )>= Rxyx,yfz 0 체적이루어지는위로영역평면아래와

( )∫∫=R

dxdyx,yfV :

• ( )

( )∫∫=∗

=

R

dxdyx,yfMR

xyyxf

:

) ( : ,

질량전체에서

질량면적당단위밀도질량분포의평면에서

( ) ( )∫∫∫∫ ==∗RR

dxdyx,yyfM

y dxdyx,yxfM

xR 1 ,1 : )Gravity of(Center 무게중심질량의에서

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫∫∫

+=+=∗

==∗

yx

Ry

Rx

dxdyx,yfyxIIIR

dxdyx,yfxIdxdyx,yfyIR

220

22

: Inertia) of Moments(Polar

, : Inertia) of (Moments

극관성모멘트질량의에서

관성모멘트질량의에서

∫∫R

y


이중적분에서 변수변환. Jacobian

•

( )∂

,

yx

vu,yx 변환공식변수로의에서이중적분에서

xx ∂∂

( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫∫ ∂∂

=* ,

,,,,, : RR

dudvvuyxvuyvuxfdxdyyxf

( )( ) u

yvx

vy

ux

vy

uy

vx

ux

vuyxJ

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=,, :Jacobian

•

vu ∂∂

== sincos , θrθ, yrxr θ로서과극좌표계

( )( ) =

−=

∂∂

=⇒cossinsincos

,, r

rr

ryxJ

θθθθ

θ

( ) ( )∫∫∫∫ =⇒*

sin,cos, RR

rdrdθrθrfdxdyyxf θ

1010.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integrals

Ex. 1 R . 계산하라이중적분을아래의에서정사각형

gg((이중적분이중적분))

( )∫∫ +R

dxdyyx 22

( ) ( )11

R 변환모양으로부터의

( ) ( )

( )11

2 ,

2 , :

∂

−=+=⇒=−=+ vuyvuxvyxuyx

( )( ) 2

1

21

21

22,, −=

−=

∂∂

=vuyxJ

( ) ( ) 811

20 ,20

2 22222

≤≤≤≤

∫ ∫∫∫ d dd d

vuR 정사각형은

( ) ( )38

21

21

0 0

2222 =+=+ ∫ ∫∫∫ dudvvudxdyyxR

1010.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integrals

Ex. 1 R . 계산하라이중적분을아래의에서정사각형

gg((이중적분이중적분))

( )∫∫ +R

dxdyyx 22

( ) ( )11

R 변환모양으로부터의

( ) ( )

( )11

2 ,

2 , :

∂

−=+=⇒=−=+ vuyvuxvyxuyx

xx ∂∂( )( ) 2

1

21

21

22,, −=

−=

∂∂

=vuyxJ ( )

( ) uy

vx

vy

ux

vy

uy

vx

ux

vuyxJ

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=,,

( ) ( ) 811

20 ,20

2 22222

≤≤≤≤

∫ ∫∫∫ d dd d

vuR 정사각형은

( ) ( )38

21

21

0 0

2222 =+=+ ∫ ∫∫∫ dudvvudxdyyxR


PROBLEM SET 10.3

HW 9 12HW: 9, 12

12

1010.4 .4 Green’s Theorem in the PlaneGreen’s Theorem in the Plane((평면에서의평면에서의 GreenGreen의의 정리정리))

평면에서 Green의 정리 (이중적분과 선적분 간의 변화)

영역유계닫힌평면에서의 : xyR

( ) ( ) 연속이고점에서모든영역의어떤포함하는을

경계의영역곡선으로매끄러운유한개의

: , ,,

:

21 RyxFyxF

RC

함수갖는를편도함수연속인 , 21

FF

xF

yF

⎞⎛ ∂∂

∂∂

∂∂

( )

방향있는좌측에이때진행할따라를방향적분의 :

2112

RC

dyFdxFdxdyyF

xF

R C

∗

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⇒ ∫∫ ∫

[ ] ( ) rFkFjiF ddxdyFFFFCR

•=•⇒+== ∫∫∫ curl , 2121

13


Ex. 1 평면에서 Green 정리 검증

,22 ,7 22

1 +=−= xxyFyyF

1 : 22 =+ yxC 원

( ) ( )[ ] ππ 997222: 12 ==−−+=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

−∂

⇒ ∫∫∫∫∫∫ dxdydxdyyydxdyFFR 면적의원판 ( ) ( )[ ] ππ 997222 : +⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂∂

⇒ ∫∫∫∫∫∫RRR

dxdydxdyyydxdyyx

R 면적의원판

( ) [ ] ( ) [ ]t,tt't,tt C

2i222ii

cos sin ,sin cos :

22

−==⇒ rr방향반시계

( ) ( )( ) ( )( )[ ]dttttttttdty'Fx'F

tttxxyt, Ftyy F

π

C

coscossincos2sinsin7sin

cos2sincos222sin7sin7

2

0

221

222

1

++−−=+⇒

+=+=−=−=⇒

∫∫

( )dtttttt π

C

cos2sincos2sin7sin2

0

2223

0

+++−= ∫

14

πππ- 92070 =++=



,22 ,7 22

1 +=−= xxyFyyF

1 : 22 =+ yxC 원

( ) ( )[ ] ππ 997222: 12 ==−−+=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

−∂


⎜⎜⎝ ∂∂

⇒ ∫∫∫∫∫∫RRR

dxdydxdyyydxdyyx

R 면적의원판

( ) [ ] ( ) [ ]t,tt't,tt C

2i222ii

cos sin ,sin cos :

22



tttxxyt, Ftyy F

π

C



2

0

221

222

1

++−−=+⇒

+=+=−=−=⇒

∫∫

( )dtttttt π

C

cos2sincos2sin7sin2

0

2223

0

+++−= ∫

15

πππ- 92070 =++=



,22 ,7 22

1 +=−= xxyFyyF

1 : 22 =+ yxC 원

( ) ( )[ ] ππ 997222: 12 ==−−+=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

−∂


⎜⎜⎝ ∂∂

⇒ ∫∫∫∫∫∫RRR

dxdydxdyyydxdyyx

R 면적의원판

( ) [ ] ( ) [ ]t,tt't,tt C

2i222ii

cos sin ,sin cos :

22



tttxxyt, Ftyy F

π

C



2

0

221

222

1

++−−=+⇒

+=+=−=−=⇒

∫∫

( )dtttttt π

C

cos2sincos2sin7sin2

0

2223

0

+++−= ∫

16

πππ- 92070 =++=


Ex. 2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적

Green 정리 응용

∫∫ ∫

∫∫ ∫

⇒

=⇒==R C

ydxdxdyFyF

xdydxdyxFF

0

,0 21 ( )∫ −=C

ydxxdyA21

∫∫ ∫−=⇒=−=R C

ydxdxdyFyF 0 , 21 C

Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적Ex. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적

+=−=⇒== drdrdydrdrdxryrx cossin ,sincos sin ,cos θθθθθθθθ

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ∫∫∫ =−−+=−=⇒CCC

dθrdrdrrdrdrrydxxdyA 221sincossincossincos

21

21 θθθθθθθθ

17



Green 정리 응용

∫∫ ∫

∫∫ ∫

⇒

=⇒==R C

ydxdxdyFyF

xdydxdyxFF

0

,0 21 ( )∫ −=C

ydxxdyA21

∫∫ ∫−=⇒=−=R C

ydxdxdyFyF 0 , 21 C

Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적 ( )∫∫ ∫⎟⎞

⎜⎛ ∂∂ FFEx. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적


( )∫∫ ∫ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

R C

dyFdxFdxdyyF

xF

2112

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ∫∫∫ =−−+=−=⇒CCC


21

21 θθθθθθθθ

18



Green 정리 응용

∫∫ ∫

∫∫ ∫

⇒

=⇒==R C

ydxdxdyFyF

xdydxdyxFF

0

,0 21 ( )∫ −=C

ydxxdyA21

∫∫ ∫−=⇒=−=R C

ydxdxdyFyF 0 , 21 C



( ) ( )( ) ( )( )[ ] ∫∫∫ =−−+=−=⇒CCC


21

21 θθθθθθθθ

19



Green 정리 응용

∫∫ ∫

∫∫ ∫

⇒

=⇒==R C

ydxdxdyFyF

xdydxdyxFF

0

,0 21 ( )∫ −=C

ydxxdyA21

∫∫ ∫−=⇒=−=R C

ydxdxdyFyF 0 , 21 C



( ) ( )( ) ( )( )[ ] ∫∫∫ =−−+=−=⇒CCC


21

21 θθθθθθθθ

20


Ex 4 함수의 라플라스 작용소(Laplacian)인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환Ex. 4 함수의 라플라스 작용소(Laplacian)인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환

( )yxw 2 1 : , 함수가지는도함수를연속적인차의차와연속적이고

xwF

ywF

⇒∂∂

=∂∂

−= 21

,

wdywdxwdydx

wdxdydxdyyF

xFw

yw

xw

yF

xF

RR∫∫∫∫

∂⎞⎛ ∂∂⎞⎛

∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⇒∇=∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

∗ 212222

2

212

( )

( ) wwdxdywwdxwdyw

dsnwds

dsdy

xw

dsdx

ywds

dsdyF

dsdxFdyFdxF

CCCC∫∫∫∫

∂=•=⎥

⎤⎢⎡ −⎥⎤

⎢⎡ ∂∂

=∂

−∂

⇐

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+∗ 2121

grad

n( )

dsnwwdxdy

nw

dsdsyxdsydsx

CR∫∫∫ ∂∂

=∇∴

∂=•=⎥⎦⎢⎣⎥⎦

⎢⎣ ∂∂

=∂∂

⇐

2

grad,, n

21

CR


PROBLEM SET 10.4

HW 5 20HW: 5, 20

22

1010.5 .5 Surfaces for Surface IntegralsSurfaces for Surface Integralsgg((면적분에서의면적분에서의 곡면곡면))

( ) ( ) 0,, : == zyxgx,yfz 또는표현식곡면의

( ) ( ) ( ) ( )[ ]vuzvuyvuxvuS

= ,,,,,,

r

표현식매개변수의곡면

( ) ( ) ( )

( ) Rvu

vuzvuyvux

∈

++=

,

,,, kji

23


Ex. 1 원기둥의 매개변수 표현

11 : 2 222 ≤≤−=+ z, ayxza 원기둥하는축으로축을이며높이는이고반지름이

( ) [ ] kjir vuauavuauau,v ++== sincos,sin,cos : 매개변수표현식

( )

성분의

변함에서

직사각형평면의는와매개변수

i

11 ,20 :

∗

≤≤−≤≤∗ vuRuvvu π

직선들수직인상수곡선

원들평행한상수곡선

성분의

: :

sincos :

=

=∗

===∗

uv

vu, zau, yaxr

24


Ex. 1 원기둥의 매개변수 표현

11 : 2 222 ≤≤−=+ z, ayxza 원기둥하는축으로축을이며높이는이고반지름이

( ) [ ] kjir vuauavuauau,v ++== sincos,sin,cos : 매개변수표현식

( )

성분의

변함에서

직사각형평면의는와매개변수

i

11 ,20 :

∗

≤≤−≤≤∗ vuRuvvu π

직선들수직인상수곡선

원들평행한상수곡선

성분의

: :

sincos :

=

=∗

===∗

uv

vu, zau, yaxr

25


Ex. 2 구의 매개변수 표현

( ) kjir vauvauvavuazyx

sinsincoscoscos, :

2222

++=

=++∗ 매개변수표현식의구

22 ,20 : πππ ≤≤−≤≤ vuR

( ) kjir vavuavuavu cossinsinsincos: ++=∗ 매개변수표현식다른

22

( ) kjir vavuavuavu cossinsinsincos, : ++=∗ 매개변수표현식다른

ππ ≤≤≤≤ vuR 0 ,20 :

26

,


Ex. 2 구의 매개변수 표현

( ) kjir vauvauvavuazyx

sinsincoscoscos, :

2222

++=

=++∗ 매개변수표현식의구

22 ,20 : πππ ≤≤−≤≤ vuR

( ) kjir vavuavuavu cossinsinsincos: ++=∗ 매개변수표현식다른

22

( ) kjir vavuavuavu cossinsinsincos, : ++=∗ 매개변수표현식다른

ππ ≤≤≤≤ vuR 0 ,20 :

27

,


접평면과 곡면법선접평면과 곡면법선

접평면(Tangent Place)

: 곡면의 한 점을 통과하는 모든 곡선의 접선벡터들이 형성하는 곡면

법선벡터(N l V ) 접평면에 수직인 벡터법선벡터(Normal Vector) : 접평면에 수직인 벡터

( )

( ) ( ) ( )( )~ :

tttCS

u,vS rr =∗

곡선상의

곡면

( ) ( ) ( )( )

( ) ''~

'~ :

vdvdu

dud

dtdtCS

t,vtutC : S

rrrr

rr

+==∗

=∗

접선벡터의상에서

곡선상의

0rrNrr

rr

≠×=⇒⇒ vuvu

vu

SPSP

SPP

:

법선벡터의에서생성접평면의에서는와

됨접하게에에서는와편도함수에서

( )

vuvu

1

11 : ××

==∗ rrrr

NN

n단위벡터법선벡터의

28

( ) gg

x,y,zS : g gradgrad

1 0 =⇒=∗ n


접평면과 곡면법선

,

가진다법선벡터를유일한연속적인방향이점들에서의

가지며접평면을유일한생성되는의해에와는곡면

S

S vu rr

. 가진다법선벡터를유일한연속적인방향이점들에서의S

Ex. 4 구의 단위법선벡터. 구의 단위법선벡터

( ) 0,, 2222 단위법선벡터의구 =−++= azyxzyxg

( ) kjinaz

ay

ax

az

ay

axzyx ++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ,,,,

⎦⎣

29


접평면과 곡면법선

,

가진다법선벡터를유일한연속적인방향이점들에서의

가지며접평면을유일한생성되는의해에와는곡면

S

S vu rr

. 가진다법선벡터를유일한연속적인방향이점들에서의S

Ex. 4 구의 단위법선벡터. 구의 단위법선벡터

( ) 0,, 2222 단위법선벡터의구 =−++= azyxzyxg

( ) kjinaz

ay

ax

az

ay

axzyx ++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ,,,,

⎦⎣

30


Ex. 5 원뿔의 단위법선벡터

( ) 022 단위법선벡터의원뿔 ++( ) 0,, 22 단위법선벡터의원뿔 =++−= yxzzyxg

( ) ⎥⎤

⎢⎡ −1yx( )

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ++

=21,

)(2,

)(2,,

2222 yxy

yxxzyxn

31


Ex. 5 원뿔의 단위법선벡터

( ) 022 단위법선벡터의원뿔 ++( ) 0,, 22 단위법선벡터의원뿔 =++−= yxzzyxg

( ) ⎥⎤

⎢⎡ −1yx( )

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ++

=21,

)(2,

)(2,,

2222 yxy

yxxzyxn

32


PROBLEM SET 10.5

HW 9 18HW: 9, 18

33

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